Προβλήματα για τον κλασικό προσδιορισμό της πιθανότητας Παραδείγματα λύσεων. Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων

"Τα ατυχήματα δεν είναι τυχαία" ... Ακούγεται όπως είπε ένας φιλόσοφος, αλλά στην πραγματικότητα είναι η μεγάλη επιστήμη των μαθηματικών να μελετήσει την τυχαιότητα. Στα μαθηματικά, η θεωρία της τύχης ασχολείται με την τυχαιότητα. Τύποι και παραδείγματα εργασιών, καθώς και οι κύριοι ορισμοί αυτής της επιστήμης θα παρουσιαστούν στο άρθρο.

Τι είναι η θεωρία πιθανοτήτων;

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας από τους μαθηματικούς κλάδους που μελετά τυχαία γεγονότα.

Για να γίνει λίγο πιο σαφές, ας δώσουμε ένα μικρό παράδειγμα: αν αναποδογυρίσετε ένα νόμισμα, μπορεί να πέσει «κεφάλια» ή «ουρές». Όσο το νόμισμα βρίσκεται στον αέρα, και οι δύο αυτές δυνατότητες είναι δυνατές. Δηλαδή, η πιθανότητα πιθανών συνεπειών είναι 1: 1. Εάν τραβήξετε ένα από ένα κατάστρωμα με 36 κάρτες, τότε η πιθανότητα θα συμβολιστεί ως 1:36. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα για διερεύνηση και πρόβλεψη, ειδικά με τη βοήθεια μαθηματικών τύπων. Ωστόσο, εάν επαναλάβετε μια συγκεκριμένη ενέργεια πολλές φορές, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε ένα συγκεκριμένο μοτίβο και, με βάση αυτό, να προβλέψετε την έκβαση των γεγονότων σε άλλες συνθήκες.

Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω, η θεωρία της πιθανότητας με την κλασική έννοια μελετά τη δυνατότητα εμφάνισης ενός από τα πιθανά γεγονότα σε αριθμητική τιμή.

Από τις σελίδες της ιστορίας

Η θεωρία της πιθανότητας, οι τύποι και τα παραδείγματα των πρώτων εργασιών εμφανίστηκαν στον μακρινό Μεσαίωνα, όταν έγιναν για πρώτη φορά προσπάθειες πρόβλεψης της έκβασης των παιχνιδιών καρτών.

Αρχικά, η θεωρία της πιθανότητας δεν είχε καμία σχέση με τα μαθηματικά. Βασίστηκε σε εμπειρικά γεγονότα ή ιδιότητες ενός γεγονότος που θα μπορούσε να αναπαραχθεί στην πράξη. Τα πρώτα έργα σε αυτόν τον τομέα ως μαθηματική πειθαρχία εμφανίστηκαν τον 17ο αιώνα. Οι ιδρυτές ήταν ο Blaise Pascal και ο Pierre Fermat. Πολύς καιρόςσπούδασαν τον τζόγο και είδαν ορισμένα μοτίβα, για τα οποία αποφάσισαν να πουν στο κοινό.

Η ίδια τεχνική επινοήθηκε από τον Christian Huygens, αν και δεν ήταν εξοικειωμένος με τα αποτελέσματα της έρευνας των Pascal και Fermat. Η έννοια της "θεωρίας πιθανοτήτων", οι τύποι και τα παραδείγματα, που θεωρούνται τα πρώτα στην ιστορία του κλάδου, εισήχθη από αυτόν.

Τα έργα του Jacob Bernoulli, τα θεωρήματα του Laplace και του Poisson είναι επίσης σημαντικά. Έκαναν τη θεωρία της πιθανότητας περισσότερο σαν μαθηματική πειθαρχία. Η θεωρία της πιθανότητας, οι τύποι και τα παραδείγματα βασικών εργασιών έλαβαν τη σημερινή τους μορφή χάρη στα αξιώματα του Kolmogorov. Ως αποτέλεσμα όλων των αλλαγών, η θεωρία της πιθανότητας έχει γίνει ένας από τους μαθηματικούς κλάδους.

Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Εξελίξεις

Η κύρια έννοια αυτής της πειθαρχίας είναι το «γεγονός». Υπάρχουν τρεις τύποι εκδηλώσεων:

• Αξιόπιστος.Αυτά που θα συμβούν ούτως ή άλλως (το νόμισμα θα πέσει).
• Αδύνατο.Γεγονότα που δεν θα συμβούν κάτω από κανένα σενάριο (το νόμισμα θα παραμείνει κρεμασμένο στον αέρα).
• Τυχαίος.Αυτά που θα συμβούν ή δεν θα συμβούν. Μπορούν να επηρεαστούν διαφορετικούς παράγοντες, τα οποία είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθούν. Αν μιλάμε για το νόμισμα, τότε τυχαίοι παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν το αποτέλεσμα: φυσικά χαρακτηριστικάνόμισμα, το σχήμα του, η θέση εκκίνησης, η δύναμη ρίψης κ.λπ.

Όλα τα γεγονότα στα παραδείγματα υποδεικνύονται με κεφαλαία γράμματα με λατινικά γράμματα, με εξαίρεση το P, το οποίο έχει διαφορετικό ρόλο. Για παράδειγμα:

• Α = "οι μαθητές ήρθαν στη διάλεξη."
• Ā = "οι μαθητές δεν ήρθαν στη διάλεξη."

V πρακτικές εργασίεςτα γεγονότα συνήθως καταγράφονται με λέξεις.

Ενας από κρίσιμα χαρακτηριστικάγεγονότα - η ισότητα τους. Δηλαδή, αν αναποδογυρίσετε ένα νόμισμα, όλες οι παραλλαγές της αρχικής πτώσης είναι δυνατές μέχρι να πέσει. Αλλά και τα γεγονότα δεν είναι εξίσου δυνατά. Αυτό συμβαίνει όταν κάποιος επηρεάζει συγκεκριμένα το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, "σημειώθηκε" παίζοντας χαρτιάή ζάρια στα οποία μετατοπίζεται το κέντρο βάρους.

Επίσης, τα συμβάντα είναι συμβατά και ασύμβατα. Συμβατά συμβάντα δεν αποκλείουν το ένα το άλλο να συμβεί. Για παράδειγμα:

• Α = "ένας μαθητής ήρθε στη διάλεξη."
• Β = "φοιτητής ήρθε στη διάλεξη."

Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν επηρεάζει την εμφάνιση του άλλου. Τα ασυμβίβαστα γεγονότα καθορίζονται από το γεγονός ότι η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Αν μιλάμε για το ίδιο νόμισμα, τότε οι «ουρές» που πέφτουν καθιστά αδύνατη την εμφάνιση των «κεφαλών» στο ίδιο πείραμα.

Δράσεις για εκδηλώσεις

Τα γεγονότα μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να προστεθούν, αντίστοιχα, οι λογικές συνδέσεις "AND" και "OR" εισάγονται στην πειθαρχία.

Το ποσό καθορίζεται από το γεγονός ότι είτε το συμβάν Α, είτε το Β, είτε δύο μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Στην περίπτωση που είναι ασύμβατα, η τελευταία επιλογή είναι αδύνατη, είτε το Α είτε το Β θα πέσουν έξω.

Ο πολλαπλασιασμός των γεγονότων συνίσταται στην εμφάνιση Α και Β ταυτόχρονα.

Τώρα μπορείτε να δώσετε μερικά παραδείγματα για να θυμάστε καλύτερα τα βασικά, τη θεωρία πιθανοτήτων και τους τύπους. Παραδείγματα περαιτέρω επίλυσης προβλημάτων.

Ασκηση 1: Η εταιρεία συμμετέχει σε διαγωνισμό για συμβάσεις τριών τύπων εργασίας. Πιθανά συμβάντα που μπορεί να συμβούν:

• Α = "η εταιρεία θα λάβει το πρώτο συμβόλαιο."
• A 1 = "η εταιρεία δεν θα λάβει το πρώτο συμβόλαιο."
• B = "η εταιρεία θα λάβει ένα δεύτερο συμβόλαιο."
• Β 1 = "η επιχείρηση δεν θα λάβει δεύτερο συμβόλαιο"
• C = "η εταιρεία θα λάβει ένα τρίτο συμβόλαιο."
• C 1 = "η επιχείρηση δεν θα λάβει τρίτο συμβόλαιο."

Ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τις ακόλουθες καταστάσεις χρησιμοποιώντας ενέργειες σε γεγονότα:

• K = "η εταιρεία θα λάβει όλες τις συμβάσεις."

Σε μαθηματική μορφή, η εξίσωση θα έχει την εξής μορφή: K = ABC.

• M = "η εταιρεία δεν θα λάβει ούτε ένα συμβόλαιο."

Μ = Α 1 Β 1 Γ 1.

Περιπλέκει το έργο: H = "η επιχείρηση θα λάβει ένα συμβόλαιο." Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό ποια σύμβαση θα λάβει η επιχείρηση (πρώτη, δεύτερη ή τρίτη), είναι απαραίτητο να καταγραφεί ολόκληρη η σειρά πιθανών συμβάντων:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

Το 1 BC 1 είναι μια σειρά γεγονότων όπου η εταιρεία δεν λαμβάνει το πρώτο και το τρίτο συμβόλαιο, αλλά λαμβάνει το δεύτερο. Άλλα πιθανά γεγονότα καταγράφηκαν με την αντίστοιχη μέθοδο. Το σύμβολο υ στην πειθαρχία δηλώνει το σύνδεσμο "OR". Αν μεταφράσουμε το δεδομένο παράδειγμα στην ανθρώπινη γλώσσα, τότε η εταιρεία θα λάβει είτε ένα τρίτο συμβόλαιο, είτε ένα δεύτερο, είτε πρώτο. Με παρόμοιο τρόπομπορείτε να γράψετε άλλες συνθήκες στην πειθαρχία "Θεωρία πιθανοτήτων". Οι τύποι και τα παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που παρουσιάζονται παραπάνω θα σας βοηθήσουν να το κάνετε μόνοι σας.

Στην πραγματικότητα, η πιθανότητα

Perhapsσως, σε αυτή τη μαθηματική πειθαρχία, η πιθανότητα ενός γεγονότος να είναι η κεντρική έννοια. Υπάρχουν 3 ορισμοί πιθανότητας:

• κλασσικός;
• στατιστικός;
• γεωμετρικός.

Το καθένα έχει τη θέση του στη μελέτη των πιθανοτήτων. Η θεωρία πιθανοτήτων, οι τύποι και τα παραδείγματα (βαθμός 9) χρησιμοποιούν κυρίως τον κλασικό ορισμό, ο οποίος ακούγεται ως εξής:

• Η πιθανότητα της κατάστασης Α είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν την εμφάνισή της προς τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων.

Ο τύπος μοιάζει με αυτόν: P (A) = m / n.

Το Α είναι στην πραγματικότητα ένα γεγονός. Εάν υπάρχει αντίθετη περίπτωση με το Α, μπορεί να γραφτεί ως Ā ή Α 1.

m είναι ο αριθμός πιθανών ευνοϊκών περιπτώσεων.

n - όλα τα γεγονότα που μπορούν να συμβούν.

Για παράδειγμα, A = "τραβήξτε μια κάρτα από το κοστούμι." Υπάρχουν 36 κάρτες σε ένα τυπικό κατάστρωμα, 9 από αυτές είναι καρδιές. Συνεπώς, ο τύπος για την επίλυση του προβλήματος θα μοιάζει με:

Ρ (Α) = 9/36 = 0,25.

Κατά συνέπεια, η πιθανότητα να τραβηχτεί μια κάρτα κοστουμιού από το κατάστρωμα είναι 0,25.

Προς τα ανώτερα μαθηματικά

Τώρα έχει γίνει λίγο γνωστό ποια είναι η θεωρία της πιθανότητας, τύποι και παραδείγματα επίλυσης εργασιών που συναντώνται σχολικό πρόγραμμα σπουδών... Ωστόσο, η θεωρία πιθανοτήτων βρίσκεται επίσης στα ανώτερα μαθηματικά, τα οποία διδάσκονται στα πανεπιστήμια. Τις περισσότερες φορές, λειτουργούν με γεωμετρικούς και στατιστικούς ορισμούς της θεωρίας και σύνθετων τύπων.

Η θεωρία της πιθανότητας είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Είναι καλύτερα να ξεκινήσετε να μαθαίνετε τύπους και παραδείγματα (ανώτερα μαθηματικά) μικρά - με στατιστικό (ή συχνότητα) ορισμό της πιθανότητας.

Η στατιστική προσέγγιση δεν έρχεται σε αντίθεση με την κλασική, αλλά την επεκτείνει ελαφρώς. Εάν στην πρώτη περίπτωση ήταν απαραίτητο να προσδιοριστεί με ποιο βαθμό πιθανότητας θα συμβεί ένα συμβάν, τότε σε αυτή τη μέθοδο είναι απαραίτητο να υποδείξετε πόσο συχνά θα συμβεί. Εδώ εισάγεται μια νέα έννοια της "σχετικής συχνότητας", η οποία μπορεί να συμβολιστεί με W n (A). Ο τύπος δεν διαφέρει από τον κλασικό:

Αν κλασική φόρμουλαυπολογίζεται για πρόβλεψη, στη συνέχεια στατιστική - σύμφωνα με τα αποτελέσματα του πειράματος. Πάρτε μια μικρή εργασία, για παράδειγμα.

Το τμήμα τεχνολογικού ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για ποιότητα. Μεταξύ 100 προϊόντων, 3 βρέθηκαν να είναι κακής ποιότητας. Πώς βρίσκετε την πιθανότητα της συχνότητας ενός ποιοτικού προϊόντος;

Α = "η εμφάνιση ενός ποιοτικού προϊόντος."

W n (A) = 97/100 = 0,97

Έτσι, η συχνότητα ενός ποιοτικού προϊόντος είναι 0,97. Από πού πήρες το 97; Από τα 100 αντικείμενα που ελέγχθηκαν, 3 διαπιστώθηκε ότι ήταν κακής ποιότητας. Αφαιρούμε 3 από 100, παίρνουμε 97, αυτό είναι το ποσό των αγαθών ποιότητας.

Λίγα λόγια για τα συνδυαστικά

Μια άλλη μέθοδος θεωρίας πιθανοτήτων ονομάζεται συνδυαστική. Η βασική αρχή του είναι ότι αν οριστική επιλογήΚαι μπορείτε να εφαρμόσετε m διαφορετικοί τρόποι, και η επιλογή του Β - n με διαφορετικούς τρόπους, τότε η επιλογή των Α και Β μπορεί να πραγματοποιηθεί με πολλαπλασιασμό.

Για παράδειγμα, υπάρχουν 5 δρόμοι που οδηγούν από την πόλη Α στην πόλη Β. Υπάρχουν 4 τρόποι από την πόλη Β στην πόλη Γ. Πόσους τρόπους μπορείτε να φτάσετε από την πόλη Α στην πόλη Γ;

Είναι απλό: 5x4 = 20, δηλαδή, μπορείτε να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Γ με είκοσι διαφορετικούς τρόπους.

Ας περιπλέξουμε το έργο. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να παίξετε χαρτιά σε πασιέντζα; Υπάρχουν 36 κάρτες στο κατάστρωμα - αυτό είναι το σημείο εκκίνησης. Για να μάθετε τον αριθμό των τρόπων, πρέπει να "αφαιρέσετε" μία κάρτα από το σημείο εκκίνησης και να πολλαπλασιάσετε.

Δηλαδή, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = το αποτέλεσμα δεν ταιριάζει στην οθόνη της αριθμομηχανής, οπότε μπορείτε απλά να το ορίσετε ως 36!. Σημάδι "!" δίπλα στον αριθμό υποδηλώνει ότι ολόκληρη η σειρά αριθμών πολλαπλασιάζεται μεταξύ τους.

Στη συνδυαστική, υπάρχουν έννοιες όπως η μετάθεση, η τοποθέτηση και ο συνδυασμός. Κάθε ένα από αυτά έχει τη δική του φόρμουλα.

Μια διατεταγμένη συλλογή στοιχείων ενός συνόλου ονομάζεται διάταξη. Οι τοποθετήσεις μπορούν να επαναλαμβάνονται, δηλαδή ένα στοιχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές. Και καμία επανάληψη, όταν τα στοιχεία δεν επαναλαμβάνονται. n είναι όλα στοιχεία, m είναι στοιχεία που συμμετέχουν στην τοποθέτηση. Ο τύπος για τοποθέτηση χωρίς επαναλήψεις θα είναι:

A n m = n! / (N-m)!

Οι συνδέσεις n στοιχείων που διαφέρουν μόνο στη σειρά τοποθέτησης ονομάζονται μεταθέσεις. Στα μαθηματικά, αυτό είναι: P n = n!

Οι συνδυασμοί n στοιχείων ανά m είναι τέτοιες ενώσεις στις οποίες είναι σημαντικό ποια στοιχεία ήταν και ποιος ήταν ο συνολικός τους αριθμός. Ο τύπος θα μοιάζει με:

A n m = n! / M! (N-m)!

Η φόρμουλα του Bernoulli

Στη θεωρία της πιθανότητας, όπως σε κάθε κλάδο, υπάρχουν έργα εξαιρετικών ερευνητών στον τομέα τους που το έφεραν νέο επίπεδο... Ένα από αυτά τα έργα είναι ο τύπος Bernoulli, ο οποίος σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συγκεκριμένο συμβάν υπό ανεξάρτητες συνθήκες. Αυτό υποδηλώνει ότι η εμφάνιση του Α σε ένα πείραμα δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του ίδιου συμβάντος σε προηγούμενες ή επόμενες δοκιμές.

Εξίσωση Bernoulli:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Η πιθανότητα (p) εμφάνισης του συμβάντος (A) είναι αμετάβλητη για κάθε δοκιμή. Η πιθανότητα ότι η κατάσταση θα συμβεί ακριβώς m φορές σε n αριθμό πειραμάτων θα υπολογιστεί από τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω. Κατά συνέπεια, τίθεται το ερώτημα πώς να μάθετε τον αριθμό q.

Εάν το συμβάν Α εμφανιστεί p πολλές φορές, αντίστοιχα, μπορεί να μην συμβεί. Ο ένας είναι ένας αριθμός που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό όλων των αποτελεσμάτων μιας κατάστασης σε έναν κλάδο. Επομένως, το q είναι ένας αριθμός που δηλώνει την πιθανότητα να μην συμβεί το συμβάν.

Τώρα γνωρίζετε τον τύπο του Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων). Θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων (πρώτο επίπεδο) περαιτέρω.

Εργασία 2:Ο επισκέπτης του καταστήματος θα κάνει μια αγορά με πιθανότητα 0,2. 6 επισκέπτες εισήλθαν στο κατάστημα ανεξάρτητα. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επισκέπτης να κάνει μια αγορά;

Λύση: Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό πόσοι επισκέπτες πρέπει να κάνουν μια αγορά, ένας ή και οι έξι, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε όλες τις πιθανές πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli.

Α = "ο επισκέπτης κάνει μια αγορά."

Σε αυτήν την περίπτωση: p = 0,2 (όπως υποδεικνύεται στην εργασία). Κατά συνέπεια, q = 1-0.2 = 0.8.

n = 6 (αφού υπάρχουν 6 πελάτες στο κατάστημα). Ο αριθμός m θα αλλάξει από 0 (κανένας πελάτης δεν θα αγοράσει) σε 6 (όλοι οι επισκέπτες στο κατάστημα θα αγοράσουν κάτι). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τη λύση:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Κανένας από τους αγοραστές δεν θα πραγματοποιήσει αγορά με πιθανότητα 0,2621.

Πώς αλλιώς χρησιμοποιείται ο τύπος του Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων); Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων (δεύτερο επίπεδο) παρακάτω.

Μετά το παραπάνω παράδειγμα, προκύπτουν ερωτήματα σχετικά με το πού έχουν πάει τα C και p. Όσον αφορά το p, ο αριθμός στην ισχύ του 0 θα είναι ίσος με ένα. Όσο για το C, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

C n m = n! / m! (n-m)!

Δεδομένου ότι στο πρώτο παράδειγμα m = 0, αντίστοιχα, C = 1, το οποίο, κατ 'αρχήν, δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας νέα φόρμουλα, ας προσπαθήσουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να αγοράσουν αγαθά δύο επισκέπτες.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Η θεωρία της πιθανότητας δεν είναι τόσο περίπλοκη. Ο τύπος του Bernoulli, παραδείγματα του οποίου παρουσιάζονται παραπάνω, είναι μια άμεση απόδειξη αυτού.

Ο τύπος του Poisson

Η εξίσωση του Poisson χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό απίθανων τυχαίων καταστάσεων.

Βασικός τύπος:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Επιπλέον, λ = n x p. Εδώ είναι ένας απλός τύπος Poisson (θεωρία πιθανοτήτων). Θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων περαιτέρω.

Εργασία 3: Το εργοστάσιο παρήγαγε εξαρτήματα ποσού 100.000 τεμαχίων. Ελαττωματική εμφάνιση τμήματος = 0.0001. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 5 ελαττωματικά εξαρτήματα σε μια παρτίδα;

Όπως μπορείτε να δείτε, ο γάμος είναι ένα απίθανο γεγονός, και ως εκ τούτου ο τύπος του Poisson (θεωρία πιθανοτήτων) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων αυτού του είδους δεν διαφέρουν από άλλα καθήκοντα του κλάδου, αντικαθιστούμε τα απαραίτητα δεδομένα στον δεδομένο τύπο:

A = "ένα τυχαία επιλεγμένο μέρος θα είναι ελαττωματικό."

p = 0.0001 (ανάλογα με την κατάσταση της εργασίας).

n = 100000 (αριθμός μερών).

m = 5 (ελαττωματικά μέρη). Αντικαθιστούμε τα δεδομένα στον τύπο και παίρνουμε:

Ρ 100000 (5) = 10 5/5! Χ ε -10 = 0,0375.

Ακριβώς όπως ο τύπος του Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα λύσεων με τα οποία γράφονται παραπάνω, η εξίσωση του Poisson έχει ένα άγνωστο ε. Στην πραγματικότητα, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

е -λ = lim n -> ∞ (1 -λ / n) n.

Ωστόσο, υπάρχουν ειδικοί πίνακες που περιέχουν σχεδόν όλες τις τιμές του e.

Θεώρημα Moivre-Laplace

Εάν ο αριθμός των δοκιμών στο σχέδιο Bernoulli είναι αρκετά μεγάλος και η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε όλα τα σχήματα είναι η ίδια, τότε η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α ένα ορισμένο ποσόφορές σε μια σειρά δοκιμών μπορούν να βρεθούν με τον τύπο Laplace:

Ρ n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Για να θυμάστε καλύτερα τον τύπο Laplace (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα προβλημάτων που θα σας βοηθήσουν παρακάτω.

Αρχικά, βρίσκουμε X m, αντικαθιστούμε τα δεδομένα (όλα αναφέρονται παραπάνω) στον τύπο και παίρνουμε 0,025. Χρησιμοποιώντας τους πίνακες, βρίσκουμε τον αριθμό ϕ (0,025), η τιμή του οποίου είναι 0,3988. Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

R 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Έτσι, η πιθανότητα ότι το φυλλάδιο θα πυροβολήσει ακριβώς 267 φορές είναι 0,03.

Τύπος Bayes

Ο τύπος του Bayes (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με τη βοήθεια των οποίων θα δοθεί παρακάτω, είναι μια εξίσωση που περιγράφει την πιθανότητα ενός γεγονότος, με βάση τις συνθήκες που θα μπορούσαν να σχετίζονται με αυτό. Ο βασικός τύπος μοιάζει με αυτόν:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

Τα Α και Β είναι ορισμένα γεγονότα.

P (A | B) - υπό όρους πιθανότητα, δηλαδή, το συμβάν Α μπορεί να συμβεί με την προϋπόθεση ότι το συμβάν Β είναι αληθινό.

P (B | A) - υπό όρους πιθανότητα συμβάντος Β.

Έτσι, το τελευταίο μέρος του σύντομου μαθήματος "Θεωρία των πιθανοτήτων" είναι ο τύπος Bayes, παραδείγματα λύσεων στα προβλήματα με τα οποία βρίσκονται παρακάτω.

Εργασία 5: Τηλέφωνα τριών εταιρειών έφεραν στην αποθήκη. Ταυτόχρονα, μέρος των τηλεφώνων που κατασκευάζονται στο πρώτο εργοστάσιο είναι 25%, στο δεύτερο - 60%, στο τρίτο - 15%. Είναι επίσης γνωστό ότι το μέσο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων στο πρώτο εργοστάσιο είναι 2%, στο δεύτερο - 4%και στο τρίτο - 1%. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαία επιλεγμένο τηλέφωνο θα αποδειχθεί ελαττωματικό.

A = "τηλέφωνο τυχαία επιλεγμένο."

Β 1 - το τηλέφωνο που κατασκευάστηκε από το πρώτο εργοστάσιο. Κατά συνέπεια, θα υπάρξει είσοδος Β 2 και Β 3 (για το δεύτερο και το τρίτο εργοστάσιο).

Ως αποτέλεσμα, έχουμε:

Ρ (Β 1) = 25% / 100% = 0,25; Ρ (Β 2) = 0,6. P (B 3) = 0,15 - έτσι βρήκαμε την πιθανότητα κάθε επιλογής.

Τώρα πρέπει να βρείτε τις υπό όρους πιθανότητες του επιθυμητού συμβάντος, δηλαδή την πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων σε επιχειρήσεις:

Ρ (Α / Β 1) = 2% / 100% = 0,02;

Ρ (Α / Β 2) = 0,04;

Ρ (Α / Β 3) = 0,01.

Τώρα συνδέουμε τα δεδομένα στον τύπο Bayes και παίρνουμε:

Ρ (Α) = 0,25 χ 0,2 + 0,6 χ 0,4 + 0,15 χ 0,01 = 0,0305.

Το άρθρο παρουσιάζει τη θεωρία της πιθανότητας, τύπους και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων, αλλά αυτό δεν είναι παρά η κορυφή του παγόβουνου μιας τεράστιας πειθαρχίας. Και μετά από όλα αυτά που γράφτηκαν, θα ήταν λογικό να θέσουμε το ερώτημα εάν η θεωρία της πιθανότητας χρειάζεται στη ζωή. Στον απλό άνθρωποδύσκολο να απαντηθεί, είναι καλύτερα να το ρωτήσετε από αυτόν που έχει χτυπήσει το τζάκποτ περισσότερες από μία φορές με τη βοήθειά του.

Σύντομη θεωρία

Για μια ποσοτική σύγκριση γεγονότων ανάλογα με το βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους, εισάγεται ένα αριθμητικό μέτρο, το οποίο ονομάζεται πιθανότητα ενός συμβάντος. Πιθανότητα τυχαίο γεγονός ονομάζεται αριθμός που αποτελεί έκφραση του μέτρου της αντικειμενικής πιθανότητας εμφάνισης ενός γεγονότος.

Οι τιμές που καθορίζουν πόσο σημαντικοί είναι οι αντικειμενικοί λόγοι για να αναμένεται η εμφάνιση ενός συμβάντος χαρακτηρίζονται από την πιθανότητα του συμβάντος. Πρέπει να τονιστεί ότι η πιθανότητα είναι μια αντικειμενική τιμή που υπάρχει ανεξάρτητα από τον γνώστη και εξαρτάται από το σύνολο των συνθηκών που συμβάλλουν στην εμφάνιση ενός γεγονότος.

Οι εξηγήσεις που δώσαμε στην έννοια της πιθανότητας δεν είναι μαθηματικός ορισμός, αφού δεν ποσοτικοποιούν την έννοια. Υπάρχουν αρκετοί ορισμοί για την πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος που χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων (κλασικά, αξιωματικά, στατιστικά κ.λπ.).

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότοςανάγει αυτή την έννοια σε μια πιο στοιχειώδη έννοια εξίσου δυνατών γεγονότων, η οποία δεν υπόκειται πλέον σε ορισμό και θεωρείται ότι είναι διαισθητικά σαφής. Για παράδειγμα, εάν το ζάρι είναι ένας ομοιόμορφος κύβος, τότε η πτώση οποιουδήποτε από τα πρόσωπα αυτού του κύβου θα είναι εξίσου πιθανά γεγονότα.

Αφήστε ένα αξιόπιστο γεγονός να χωριστεί σε εξίσου πιθανές περιπτώσεις, το άθροισμα των οποίων δίνει ένα συμβάν. Δηλαδή, οι περιπτώσεις από τις οποίες χωρίζεται ονομάζονται ευνοϊκές για το γεγονός, αφού η εμφάνιση μιας από αυτές εξασφαλίζει την επίθεση.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος θα συμβολίζεται με το σύμβολο.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των περιπτώσεων που είναι ευνοϊκές για αυτό, από το συνολικό αριθμό των μοναδικών δυνατών, εξίσου δυνατών και ασυνεπών περιπτώσεων με τον αριθμό, δηλ.

Αυτός είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Έτσι, για να βρεθεί η πιθανότητα ενός συμβάντος, είναι απαραίτητο, αφού ληφθούν υπόψη τα διάφορα αποτελέσματα του τεστ, να βρεθεί ένα σύνολο από τις μοναδικές πιθανές, εξίσου πιθανές και ασυνεπείς περιπτώσεις, για να υπολογιστεί ο συνολικός τους αριθμός n, ο αριθμός περιπτώσεις m, ευνοϊκές για αυτό το γεγονός και, στη συνέχεια, εκτελέστε τον υπολογισμό σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος ίση με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων γεγονότων της εμπειρίας προς το συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεται κλασική πιθανότητατυχαίο γεγονός.

Οι ακόλουθες ιδιότητες πιθανότητας προκύπτουν από τον ορισμό:

Ιδιότητα 1. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου συμβάντος είναι ίση με ένα.

Ιδιότητα 2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι μηδενική.

Ιδιότητα 3. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι ένας θετικός αριθμός μεταξύ μηδέν και ενός.

Ιδιότητα 4. Η πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με μία.

Ιδιότητα 5. Η πιθανότητα εμφάνισης του αντίθετου συμβάντος καθορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α.

Ο αριθμός των φορών που συμβαίνει το αντίθετο συμβάν. Επομένως, η πιθανότητα εμφάνισης του αντίθετου γεγονότος είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της ενότητας και της πιθανότητας εμφάνισης του γεγονότος Α:

Ένα σημαντικό πλεονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός γεγονότος είναι ότι με τη βοήθειά του η πιθανότητα ενός γεγονότος μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς να καταφύγει στην εμπειρία, αλλά προερχόμενη από λογική συλλογιστική.

Όταν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις, σίγουρα θα συμβεί ένα αξιόπιστο γεγονός και δεν θα συμβεί απαραίτητα το αδύνατο. Μεταξύ των γεγονότων που, κατά τη δημιουργία ενός συνόλου συνθηκών, μπορεί να συμβούν ή όχι, μπορεί να βασιστεί κανείς στην εμφάνιση κάποιων με περισσότερους λόγους, στην εμφάνιση άλλων με λιγότερο λόγο. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχουν περισσότερες άσπρες μπάλες σε ένα δοχείο παρά μαύρες, τότε υπάρχει περισσότερος λόγος να ελπίζουμε στην εμφάνιση μιας λευκής μπάλας όταν την βγάζουμε τυχαία από το δοχείο παρά στην εμφάνιση μιας μαύρης μπάλας.

Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος

Παράδειγμα 1

Το κουτί περιέχει 8 λευκές, 4 μαύρες και 7 κόκκινες μπάλες. 3 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε τις πιθανότητες των ακόλουθων συμβάντων: - εξάγονται τουλάχιστον 1 κόκκινη μπάλα, - υπάρχουν τουλάχιστον 2 μπάλες του ίδιου χρώματος, - υπάρχουν τουλάχιστον 1 κόκκινη και 1 λευκή μπάλα.

Η λύση του προβλήματος

Βρίσκουμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων της δοκιμής ως τον αριθμό των συνδυασμών 19 (8 + 4 + 7) στοιχείων των 3:

Βρείτε την πιθανότητα ενός συμβάντος- αφαιρέθηκε τουλάχιστον 1 κόκκινη μπάλα (1,2 ή 3 κόκκινες μπάλες)

Αναζήτηση πιθανότητας:

Αφήστε το γεγονός- υπάρχουν τουλάχιστον 2 μπάλες του ίδιου χρώματος (2 ή 3 λευκές μπάλες, 2 ή 3 μαύρες μπάλες και 2 ή 3 κόκκινες μπάλες)

Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων για την εκδήλωση:

Αναζήτηση πιθανότητας:

Αφήστε το γεγονός- υπάρχει τουλάχιστον μία κόκκινη και 1 άσπρη μπάλα

(1 κόκκινο, 1 λευκό, 1 μαύρο ή 1 κόκκινο, 2 λευκό ή 2 κόκκινο, 1 λευκό)

Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων για την εκδήλωση:

Αναζήτηση πιθανότητας:

Απάντηση:Ρ (Α) = 0,773 · Ρ (Γ) = 0,7688 · Ρ (D) = 0,6068

Παράδειγμα 2

Ρίχνονται δύο ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των πόντων να είναι τουλάχιστον 5.

Λύση

Αφήστε το γεγονός να είναι το άθροισμα πόντων τουλάχιστον 5

Ας χρησιμοποιήσουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας:

Συνολικός αριθμός πιθανών αποτελεσμάτων δοκιμής

Ο αριθμός των δοκιμών που ευνοούν το γεγονός που μας ενδιαφέρει

Στην πεσμένη άκρη του πρώτου ζάριαένα σημείο, δύο σημεία ..., έξι σημεία μπορεί να εμφανιστούν. ομοίως, έξι αποτελέσματα είναι δυνατά στο δεύτερο κύλινδρο. Κάθε ένα από τα αποτελέσματα της ρίψης της πρώτης μήτρας μπορεί να συνδυαστεί με καθένα από τα αποτελέσματα της δεύτερης. Ετσι, συνολικός αριθμόςτα πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα της δοκιμής είναι ίσα με τον αριθμό των τοποθετήσεων με επαναλήψεις (επιλογή με τοποθετήσεις 2 στοιχείων από ένα σύνολο 6):

Βρείτε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος - το άθροισμα των πόντων είναι μικρότερο από 5

Οι παρακάτω συνδυασμοί μειωμένων πόντων θα ευνοήσουν την εκδήλωση:

Παρουσιάζεται ο γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας και παρουσιάζεται η λύση στο γνωστό πρόβλημα συνάντησης.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας αρκετά εκτεταμένος ανεξάρτητος κλάδος των μαθηματικών. Στο σχολικό μάθημα, η θεωρία της πιθανότητας εξετάζεται πολύ επιφανειακά, ωστόσο, στις εξετάσεις και στο GIA υπάρχουν εργασίες για αυτό το θέμα... Ωστόσο, για την επίλυση προβλημάτων σχολικό μάθημαόχι τόσο δύσκολο (τουλάχιστον όσον αφορά τις αριθμητικές πράξεις) - εδώ δεν χρειάζεται να μετράτε παράγωγα, να παίρνετε ολοκλήρωμα και να λύνετε πολύπλοκους τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς - το κυριότερο είναι να μπορείτε να χειρίζεστε πρώτους αριθμούς και κλάσματα.

Θεωρία πιθανοτήτων - βασικοί όροι

Οι κύριοι όροι της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι η δοκιμή, το αποτέλεσμα και το τυχαίο γεγονός. Ένα τεστ στη θεωρία της πιθανότητας είναι ένα πείραμα - ρίξτε ένα νόμισμα, τραβήξτε μια κάρτα, κληρώστε - όλα αυτά είναι τεστ. Το αποτέλεσμα της δοκιμής, όπως μαντέψατε, ονομάζεται αποτέλεσμα.

Και ποια είναι η τυχαιότητα ενός γεγονότος; Στη θεωρία της πιθανότητας, θεωρείται ότι η δοκιμή διεξάγεται περισσότερες από μία φορές και υπάρχουν πολλά αποτελέσματα. Πολλά αποτελέσματα μιας δοκιμής ονομάζονται τυχαίο γεγονός. Για παράδειγμα, αν αναποδογυρίσετε ένα νόμισμα, μπορεί να συμβούν δύο τυχαία γεγονότα - κεφαλές ή ουρές.

Μην συγχέετε τις έννοιες ενός αποτελέσματος και ενός τυχαίου γεγονότος. Το αποτέλεσμα είναι ένα αποτέλεσμα μιας δοκιμής. Ένα τυχαίο γεγονός είναι ένα πλήθος πιθανών αποτελεσμάτων. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένας τέτοιος όρος ως αδύνατο γεγονός. Για παράδειγμα, το συμβάν "αριθμός 8" σε μια τυπική θήκη παιχνιδιών δεν είναι δυνατό.

Πώς βρίσκετε την πιθανότητα;

Όλοι καταλαβαίνουμε τι είναι πιθανότητα και χρησιμοποιούμε αρκετά συχνά δεδομένη λέξηστο λεξιλόγιό του. Επιπλέον, μπορούμε ακόμη και να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα σχετικά με την πιθανότητα αυτού ή εκείνου του γεγονότος, για παράδειγμα, εάν υπάρχει χιόνι έξω από το παράθυρο, πιθανότατα μπορούμε να πούμε ότι δεν είναι καλοκαίρι τώρα. Ωστόσο, πώς μπορεί αυτή η υπόθεση να εκφραστεί αριθμητικά;

Για να εισαγάγουμε έναν τύπο για την εύρεση της πιθανότητας, εισάγουμε μια ακόμη έννοια - ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα, δηλαδή ένα αποτέλεσμα που είναι ευνοϊκό για ένα συγκεκριμένο γεγονός. Ο ορισμός είναι μάλλον διφορούμενος, φυσικά, ωστόσο, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι πάντα σαφές ποιο από τα αποτελέσματα είναι ευνοϊκό.

Για παράδειγμα: Υπάρχουν 25 άτομα στην τάξη, τρία από αυτά είναι η Κάτια. Ο δάσκαλος διορίζει την Olya εφημερεύουσα και χρειάζεται έναν συνεργάτη. Ποια είναι η πιθανότητα η Κάτια να γίνει συνεργάτης;

Σε αυτό το παράδειγμα, μια ευνοϊκή έκβαση είναι η συνεργάτης Katya. Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα λίγο αργότερα. Αλλά πρώτα, με τη βοήθεια ενός πρόσθετου ορισμού, εισάγουμε έναν τύπο για την εύρεση της πιθανότητας.

• P = A / N, όπου P είναι η πιθανότητα, A είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, N είναι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων.

Όλα τα σχολικά προβλήματα περιστρέφονται γύρω από αυτόν τον τύπο και η κύρια δυσκολία βρίσκεται συνήθως στην εύρεση των αποτελεσμάτων. Μερικές φορές είναι εύκολο να τα βρεις, μερικές φορές δεν είναι πολύ εύκολο.

Πώς να λύσετε τις πιθανότητες;

Πρόβλημα 1

Τώρα ας λύσουμε το πρόβλημα που τέθηκε παραπάνω.

Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο δάσκαλος θα επιλέξει την Κάτια) είναι τρία, επειδή υπάρχουν τρία Κάτια στην τάξη και υπάρχουν 24 συνολικά αποτελέσματα (25-1, επειδή η Olya έχει ήδη επιλεγεί). Τότε η πιθανότητα είναι: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Έτσι, η πιθανότητα ότι η Κάτια θα είναι συνεργάτης της Olya είναι 12,5%. Δεν είναι δύσκολο, σωστά; Ας δούμε κάτι λίγο πιο περίπλοκο.

Εργασία 2

Το νόμισμα ρίχτηκε δύο φορές, ποια είναι η πιθανότητα του συνδυασμού: ένα κεφάλι και ένα ουρά;

Επομένως, λάβετε υπόψη τα συνολικά αποτελέσματα. Πώς μπορούν να πέσουν νομίσματα - κεφάλια / κεφάλια, ουρές / ουρές, κεφάλια / ουρές, ουρές / κεφάλια; Αυτό σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι 4. Πόσα ευνοϊκά αποτελέσματα; Δύο - κεφάλια / ουρές και ουρές / κεφάλια. Έτσι, η πιθανότητα απόκτησης συνδυασμού κεφαλής / ουράς είναι:

• Ρ = 2/4 = 0,5 ή 50 τοις εκατό.

Τώρα ας εξετάσουμε το ακόλουθο πρόβλημα. Η Μάσα έχει 6 νομίσματα στην τσέπη της: δύο - 5 ρούβλια και τέσσερα - 10 ρούβλια. Η Μάσα έβαλε 3 νομίσματα σε μια άλλη τσέπη. Ποια είναι η πιθανότητα τα κέρματα των 5 ρούβλι να καταλήξουν σε διαφορετικές τσέπες;

Για λόγους απλότητας, ας ορίσουμε νομίσματα με αριθμούς - 1,2 - κέρματα πέντε ρούβλια, 3,4,5,6 - κέρματα των δέκα ρούβλι. Λοιπόν, πώς μπορούν τα κέρματα να βρίσκονται στην τσέπη σας; Υπάρχουν συνολικά 20 συνδυασμοί:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι ορισμένοι συνδυασμοί έχουν εξαφανιστεί, για παράδειγμα, 231, αλλά στην περίπτωσή μας οι συνδυασμοί 123, 231 και 321 είναι ισοδύναμοι.

Τώρα μετράμε πόσα ευνοϊκά αποτελέσματα έχουμε. Για αυτούς παίρνουμε εκείνους τους συνδυασμούς στους οποίους υπάρχει είτε ο αριθμός 1 είτε ο αριθμός 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Υπάρχουν 12 από αυτούς. Έτσι , η πιθανότητα είναι:

• Ρ = 12/20 = 0,6 ή 60%.

Τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων που παρουσιάζονται εδώ είναι αρκετά απλά, αλλά μην νομίζετε ότι η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας απλός κλάδος των μαθηματικών. Εάν αποφασίσετε να συνεχίσετε την εκπαίδευσή σας σε πανεπιστήμιο (με εξαίρεση τις ανθρωπιστικές ειδικότητες), θα έχετε σίγουρα ζευγάρια στα ανώτερα μαθηματικά, όπου θα εξοικειωθείτε με πιο σύνθετους όρους αυτής της θεωρίας και τα προβλήματα εκεί θα είναι πολύ πιο δύσκολα Το

Αρχικά μόνο μια συλλογή πληροφοριών και εμπειρικές παρατηρήσεις του παιχνιδιού των ζαριών, η θεωρία της πιθανότητας έχει γίνει μια σταθερή επιστήμη. Οι πρώτοι που του έδωσαν μαθηματικό πλαίσιο ήταν οι Fermat και Pascal.

Από τη σκέψη για το αιώνιο στη θεωρία πιθανοτήτων

Δύο άτομα στα οποία η θεωρία πιθανοτήτων οφείλει πολλούς από τους θεμελιώδεις τύπους της, ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τόμας Μπέιζ, είναι γνωστό ότι είναι βαθιά θρησκευόμενοι άνθρωποι, ο τελευταίος είναι πρεσβυτεριανός ιερέας. Προφανώς, η επιθυμία αυτών των δύο επιστημόνων να αποδείξουν την πλάνη της γνώμης για μια συγκεκριμένη τύχη, χαρίζοντας καλή τύχη στα κατοικίδια ζώα τους, έδωσε ώθηση στην έρευνα σε αυτόν τον τομέα. Πράγματι, στην πραγματικότητα, οποιαδήποτε ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑμε τις νίκες και τις ήττες του, είναι απλώς μια συμφωνία μαθηματικών αρχών.

Χάρη στον ενθουσιασμό του καβαλάρη ντε Μερέ, ο οποίος ήταν εξίσου παίκτης και ένα άτομο που δεν ήταν αδιάφορο για την επιστήμη, ο Πασκάλ αναγκάστηκε να βρει έναν τρόπο να υπολογίσει την πιθανότητα. Ο De Mere ενδιαφέρθηκε για την ακόλουθη ερώτηση: "Πόσες φορές χρειάζεται να ρίξετε δύο ζάρια σε ζευγάρια προκειμένου η πιθανότητα να λάβετε 12 πόντους να ξεπεράσει το 50%;" Η δεύτερη ερώτηση, που είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τον κύριο: "Πώς να μοιραστεί το στοίχημα μεταξύ των συμμετεχόντων στο ημιτελές παιχνίδι;" Φυσικά, ο Πασκάλ απάντησε επιτυχώς και στις δύο ερωτήσεις του de Mere, ο οποίος έγινε ο άθελά του πρωτοπόρος στην ανάπτυξη της θεωρίας της πιθανότητας. Είναι ενδιαφέρον ότι το άτομο de Mere παρέμεινε γνωστό σε αυτόν τον τομέα και όχι στη βιβλιογραφία.

Προηγουμένως, κανένας μαθηματικός δεν είχε προσπαθήσει ποτέ να υπολογίσει τις πιθανότητες γεγονότων, καθώς πιστεύεται ότι αυτό ήταν μόνο μια λύση εικασίας. Ο Blaise Pascal έδωσε τον πρώτο ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος και έδειξε ότι πρόκειται για ένα συγκεκριμένο σχήμα που μπορεί να τεκμηριωθεί μαθηματικά. Η θεωρία πιθανοτήτων έχει γίνει η βάση για τις στατιστικές και χρησιμοποιείται ευρέως στη σύγχρονη επιστήμη.

Τι είναι η τυχαιότητα

Εάν εξετάσουμε ένα τεστ που μπορεί να επαναληφθεί άπειρο αριθμό φορές, τότε μπορούμε να ορίσουμε ένα τυχαίο συμβάν. Αυτό είναι ένα από τα πιθανά αποτελέσματα της εμπειρίας.

Η εμπειρία είναι η υλοποίηση συγκεκριμένων δράσεων υπό σταθερές συνθήκες.

Για να μπορέσουμε να εργαστούμε με τα αποτελέσματα του πειράματος, τα γεγονότα συνήθως ορίζονται με τα γράμματα A, B, C, D, E ...

Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος

Για να μπορέσετε να ξεκινήσετε το μαθηματικό μέρος της πιθανότητας, είναι απαραίτητο να δώσετε ορισμούς σε όλα τα συστατικά του.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ένα αριθμητικό μέτρο της πιθανότητας ενός γεγονότος (Α ή Β) να συμβεί ως αποτέλεσμα εμπειρίας. Η πιθανότητα συμβολίζεται ως P (A) ή P (B).

Στη θεωρία της πιθανότητας, διακρίνονται τα εξής:

• αξιόπιστοςτο συμβάν είναι εγγυημένο ότι θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος P (Ω) = 1.
• αδύνατοτο συμβάν δεν μπορεί ποτέ να συμβεί Р (Ø) = 0?
• τυχαίοςένα συμβάν βρίσκεται μεταξύ ορισμένου και αδύνατου, δηλαδή, η πιθανότητα εμφάνισής του είναι δυνατή, αλλά δεν είναι εγγυημένη (η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι πάντα εντός του εύρους 0≤P (A) 1).

Σχέσεις μεταξύ γεγονότων

Εξετάστε και το ένα και το άθροισμα των συμβάντων A + B, όταν το συμβάν υπολογίζεται όταν εφαρμόζεται τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία, το Α ή το Β, ή και τα δύο Α και Β.

Σε σχέση μεταξύ τους, τα γεγονότα μπορεί να είναι:

• Εξίσου δυνατό.
• Σύμφωνος.
• Ασύμβατες.
• Απέναντι (αλληλοαποκλείονται).
• Εθισμένος.

Εάν δύο γεγονότα μπορούν να συμβούν με την ίδια πιθανότητα, τότε αυτά εξίσου δυνατό.

Εάν η εμφάνιση του συμβάντος Α δεν ακυρώσει την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β, τότε αυτά σύμφωνος.

Εάν τα γεγονότα Α και Β δεν συμβούν ποτέ ταυτόχρονα στην ίδια εμπειρία, τότε ονομάζονται ασύμβατες... Στρίβω νόμισμα - Καλό παράδειγμα: Η εμφάνιση ουρών είναι αυτόματη μη εμφάνιση κεφαλών.

Η πιθανότητα για το άθροισμα τέτοιων ασυμβίβαστων γεγονότων αποτελείται από το άθροισμα των πιθανοτήτων καθενός από τα γεγονότα:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος καθιστά αδύνατη την έναρξη ενός άλλου γεγονότος, τότε ονομάζονται αντίθετα. Στη συνέχεια, ένα από αυτά ορίζεται ως Α και το άλλο - Ā (διαβάστε ως "όχι Α"). Η εμφάνιση του γεγονότος Α σημαίνει ότι Ā δεν συνέβη. Αυτά τα δύο γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα με το άθροισμα των πιθανοτήτων ίσο με 1.

Τα εξαρτώμενα γεγονότα έχουν αμοιβαία επιρροή, μειώνοντας ή αυξάνοντας την πιθανότητα του άλλου.

Σχέσεις μεταξύ γεγονότων. Παραδείγματα του

Χρησιμοποιώντας παραδείγματα, είναι πολύ πιο εύκολο να κατανοήσουμε τις αρχές της θεωρίας της πιθανότητας και του συνδυασμού γεγονότων.

Το πείραμα που πρέπει να πραγματοποιηθεί συνίσταται στο να βγάζουμε τις μπάλες από το κουτί και το αποτέλεσμα κάθε πειράματος είναι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα.

Ένα συμβάν είναι ένα από τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος - μια κόκκινη μπάλα, μια μπλε μπάλα, η μπάλα αριθμός έξι κ.λπ.

Δοκιμή Νο. 1. Συμμετέχουν 6 μπάλες, εκ των οποίων οι τρεις έχουν μπλε χρώμα με περιττούς αριθμούς και άλλες τρεις είναι κόκκινες με ζυγούς αριθμούς.

Αριθμός δοκιμής 2. Περιλαμβάνονται 6 μπάλες σε μπλε χρώμαμε αριθμούς από ένα έως έξι.

Με βάση αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να ονομάσετε συνδυασμούς:

• Ένα αξιόπιστο γεγονός.Στην isp. Νο 2, το γεγονός «για να πάρεις τη μπλε μπάλα» είναι αξιόπιστο, αφού η πιθανότητα εμφάνισής του είναι 1, αφού όλες οι μπάλες είναι μπλε και δεν μπορεί να λείπει. Ενώ η εκδήλωση "για να πάρει την μπάλα με τον αριθμό 1" είναι τυχαία.
• Αδύνατο γεγονός.Στην isp. №1 με μπλε και κόκκινες μπάλες, το γεγονός "για να πάρει τη μοβ μπάλα" είναι αδύνατο, αφού η πιθανότητα εμφάνισής του είναι ίση με 0.
• Εξίσου πιθανά γεγονότα.Στην isp. Το Νο 1 των εκδηλώσεων "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 2" και "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 3" είναι εξίσου πιθανό και τα γεγονότα "πάρτε τη μπάλα με ζυγό αριθμό" και "πάρτε τη μπάλα με τον αριθμό 2" «έχουν διαφορετικές πιθανότητες.
• Συμβατές εκδηλώσεις.Το να παίρνεις έξι στη σειρά δύο φορές στη σειρά είναι συμβατά συμβάντα.
• Ασυμβίβαστα συμβάντα.Στην ίδια isp. Νο 1, τα γεγονότα "πάρτε μια κόκκινη μπάλα" και "πάρτε μια μπάλα με έναν μονό αριθμό" δεν μπορούν να συνδυαστούν στο ίδιο πείραμα.
• Αντίθετα γεγονότα.Πλέον ζωντανό παράδειγμαΑυτή είναι μια ρίψη νομίσματος όταν η σχεδίαση κεφαλών ισοδυναμεί με μη σχεδίαση ουρών και το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι πάντα 1 (πλήρης ομάδα).
• Εξαρτώμενα γεγονότα... Έτσι, στην ισπ. # 1, μπορείτε να βάλετε στόχο να εξαγάγετε την κόκκινη μπάλα δύο φορές στη σειρά. Ανακτήθηκε ή δεν ανακτήθηκε την πρώτη φορά επηρεάζει την πιθανότητα ανάκτησής του για δεύτερη φορά.

Μπορεί να φανεί ότι το πρώτο συμβάν επηρεάζει σημαντικά την πιθανότητα του δεύτερου (40% και 60%).

Τύπος πιθανότητας συμβάντος

Η μετάβαση από τις προφητικές σκέψεις σε ακριβή δεδομένα συμβαίνει με τη μετάφραση του θέματος σε μαθηματικό επίπεδο. Δηλαδή, οι κρίσεις για ένα τυχαίο γεγονός όπως "υψηλή πιθανότητα" ή "ελάχιστη πιθανότητα" μπορούν να μεταφραστούν σε συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα. Ένα τέτοιο υλικό είναι ήδη επιτρεπτό για αξιολόγηση, σύγκριση και εισαγωγή σε πιο περίπλοκους υπολογισμούς.

Από την άποψη του υπολογισμού, ο ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των στοιχειωδών θετικών αποτελεσμάτων προς τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων της εμπειρίας σε σχέση με ένα συγκεκριμένο γεγονός. Η πιθανότητα συμβολίζεται μέσω του P (A), όπου το P σημαίνει τη λέξη "probabilite", η οποία μεταφράζεται από τα γαλλικά ως "πιθανότητα".

Έτσι, ο τύπος για την πιθανότητα ενός συμβάντος:

Όπου m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το συμβάν Α, n είναι το άθροισμα όλων των δυνατών αποτελεσμάτων για αυτήν την εμπειρία. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα ενός συμβάντος βρίσκεται πάντα μεταξύ 0 και 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Υπολογισμός της πιθανότητας ενός συμβάντος. Παράδειγμα

Ας πάρουμε τα ισπανικά. Μπάλα # 1 όπως περιγράφηκε νωρίτερα: 3 μπλε μπάλες με αριθμούς 1/3/5 και 3 κόκκινες μπάλες με αριθμούς 2/4/6.

Πολλές διαφορετικές εργασίες μπορούν να ληφθούν υπόψη με βάση αυτό το τεστ:

• Α - κόκκινη μπάλα που πέφτει έξω. Υπάρχουν 3 κόκκινες μπάλες και συνολικά υπάρχουν 6 παραλλαγές. απλούστερο παράδειγμα, στην οποία η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι P (A) = 3/6 = 0,5.
• Β - ένας άρτιος αριθμός έπεσε. Υπάρχουν συνολικά 3 (2,4,6) ζυγοί αριθμοί και ο συνολικός αριθμός πιθανών αριθμητικών επιλογών είναι 6. Η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι P (B) = 3/6 = 0,5.
• Γ - πτώση από έναν αριθμό μεγαλύτερο από 2. Υπάρχουν 4 τέτοιες επιλογές (3,4,5,6) από το συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων 6. Η πιθανότητα του γεγονότος Γ είναι P (C) = 4/6 = 0,67.

Όπως φαίνεται από τους υπολογισμούς, το γεγονός C έχει μεγάλη πιθανότητα, καθώς ο αριθμός των πιθανών θετικών αποτελεσμάτων είναι μεγαλύτερος από ό, τι στα Α και Β.

Ασυμβίβαστα συμβάντα

Τέτοια γεγονότα δεν μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα στην ίδια εμπειρία. Όπως στην isp. Νο 1 είναι αδύνατο να πάρεις την μπλε και κόκκινη μπάλα ταυτόχρονα. Δηλαδή, μπορείτε να πάρετε είτε μια μπλε είτε μια κόκκινη μπάλα. Ομοίως, ένας ζυγός και ένας περιττός αριθμός δεν μπορούν να εμφανιστούν σε μια μήτρα ταυτόχρονα.

Η πιθανότητα δύο γεγονότων θεωρείται η πιθανότητα του αθροίσματος ή του γινομένου τους. Το άθροισμα τέτοιων συμβάντων Α + Β θεωρείται ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση ενός συμβάντος Α ή Β, και το γινόμενο ΑΒ είναι στην εμφάνιση και των δύο. Για παράδειγμα, η εμφάνιση δύο sixes ταυτόχρονα στις άκρες δύο ζαριών σε ένα ρολό.

Το άθροισμα πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που προϋποθέτει την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Η παραγωγή αρκετών εκδηλώσεων είναι η κοινή εμφάνιση όλων αυτών.

Στη θεωρία της πιθανότητας, κατά κανόνα, η χρήση της ένωσης "και" δηλώνει το άθροισμα, την ένωση "ή" - τον πολλαπλασιασμό. Οι τύποι με παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τη λογική της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού στη θεωρία πιθανοτήτων.

Η πιθανότητα του αθροίσματος ασυνεπών γεγονότων

Εάν ληφθεί υπόψη η πιθανότητα ασυνεπών γεγονότων, τότε η πιθανότητα του αθροίσματος γεγονότων είναι ίση με την πρόσθεση των πιθανοτήτων τους:

P (A + B) = P (A) + P (B)

Για παράδειγμα: ας υπολογίσουμε την πιθανότητα ότι στο isp. Το Νο 1 με μπλε και κόκκινες μπάλες θα ρίξει έναν αριθμό μεταξύ 1 και 4. Ας υπολογίσουμε όχι σε μία ενέργεια, αλλά το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχειωδών συστατικών. Έτσι, σε μια τέτοια εμπειρία υπάρχουν μόνο 6 μπάλες ή 6 από όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Οι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση είναι 2 και 3. Η πιθανότητα λήψης του αριθμού 2 είναι 1/6, η πιθανότητα του αριθμού 3 είναι επίσης 1/6. Η πιθανότητα να πέσει ένας αριθμός μεταξύ 1 και 4 είναι:

Η πιθανότητα του αθροίσματος ασυμβίβαστων γεγονότων ολόκληρης της ομάδας είναι 1.

Έτσι, εάν, στο πείραμα με έναν κύβο, αθροίσουμε τις πιθανότητες πτώσης από όλους τους αριθμούς, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένα.

Αυτό ισχύει επίσης για αντίθετα γεγονότα, για παράδειγμα, στην εμπειρία με ένα νόμισμα, όπου η μία πλευρά του είναι το συμβάν Α και η άλλη είναι αντίθετο γεγονόςĀ είναι γνωστό σε

P (A) + P (Ā) = 1

Η πιθανότητα παραγωγής ασυνεπών γεγονότων

Ο πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων χρησιμοποιείται όταν εξετάζεται η εμφάνιση δύο ή περισσοτέρων ασυμβίβαστων γεγονότων σε μία παρατήρηση. Η πιθανότητα τα γεγονότα Α και Β να εμφανίζονται ταυτόχρονα σε αυτήν είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους, ή:

P (A * B) = P (A) * P (B)

Για παράδειγμα, η πιθανότητα στο isp. №1 ως αποτέλεσμα δύο προσπαθειών, μια μπλε μπάλα θα εμφανιστεί δύο φορές, ίση με

Δηλαδή, η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν όταν, ως αποτέλεσμα δύο προσπαθειών με την εξαγωγή μπάλων, θα εξαχθούν μόνο μπλε μπάλες, είναι ίση με 25%. Είναι πολύ εύκολο να κάνετε πρακτικά πειράματα με αυτό το έργο και να δείτε αν αυτό συμβαίνει στην πραγματικότητα.

Κοινές εκδηλώσεις

Τα γεγονότα θεωρούνται κοινά όταν η εμφάνιση ενός από αυτά μπορεί να συμπίπτει με την εμφάνιση ενός άλλου. Παρόλο που είναι κοινά, λαμβάνεται υπόψη η πιθανότητα ανεξάρτητων γεγονότων. Για παράδειγμα, η ρίψη δύο ζαριών μπορεί να δώσει αποτέλεσμα όταν και οι δύο παίρνουν τον αριθμό 6. Αν και τα γεγονότα συνέπεσαν και εμφανίστηκαν ταυτόχρονα, είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο - μόνο ένα έξι θα μπορούσε να πέσει, το δεύτερο ζάρι δεν έχει καμία επίδραση σε αυτό.

Η πιθανότητα των κοινών γεγονότων θεωρείται η πιθανότητα του αθροίσματός τους.

Η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων. Παράδειγμα

Η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων Α και Β, τα οποία είναι κοινά μεταξύ τους, είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων του συμβάντος μείον την πιθανότητα του προϊόντος τους (δηλαδή, η κοινή τους εφαρμογή):

R άρθρωση (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)

Ας πούμε ότι η πιθανότητα να χτυπήσει έναν στόχο με μία βολή είναι 0,4. Στη συνέχεια, το συμβάν Α - χτύπημα του στόχου στην πρώτη προσπάθεια, Β - στη δεύτερη. Αυτά τα γεγονότα είναι κοινά, καθώς είναι πιθανό να είναι δυνατό να χτυπήσουμε τον στόχο τόσο με το πρώτο όσο και με το δεύτερο σουτ. Αλλά τα γεγονότα δεν εξαρτώνται. Ποια είναι η πιθανότητα να χτυπήσει ο στόχος ένα συμβάν με δύο βολές (τουλάχιστον μία); Σύμφωνα με τον τύπο:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Η απάντηση στο ερώτημα είναι: "Η πιθανότητα να χτυπήσει τον στόχο με δύο βολές είναι 64%".

Αυτός ο τύπος για την πιθανότητα ενός συμβάντος μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ασυνεπή συμβάντα, όπου η πιθανότητα από κοινού εμφάνισης ενός γεγονότος P (AB) = 0. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα του αθροίσματος ασυνεπών γεγονότων μπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση του προτεινόμενου τύπου.

Γεωμετρία πιθανότητας για σαφήνεια

Είναι ενδιαφέρον ότι η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή δύο περιοχών Α και Β, οι οποίες τέμνονται μεταξύ τους. Όπως μπορείτε να δείτε από την εικόνα, το εμβαδόν της ένωσής τους είναι ίσο με το συνολικό εμβαδόν μείον το εμβαδόν της τομής τους. Αυτές οι γεωμετρικές εξηγήσεις καθιστούν τον τύπο, παράλογο με την πρώτη ματιά, σαφέστερο. Σημειώστε ότι οι γεωμετρικές λύσεις δεν είναι ασυνήθιστες στη θεωρία πιθανοτήτων.

Ο προσδιορισμός της πιθανότητας του αθροίσματος ενός συνόλου (περισσότερων από δύο) κοινών γεγονότων είναι μάλλον δυσκίνητος. Για να τον υπολογίσετε, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που παρέχονται για αυτές τις περιπτώσεις.

Εξαρτώμενα γεγονότα

Τα εξαρτώμενα συμβάντα ονομάζονται εάν η εμφάνιση ενός (Α) από αυτά επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης ενός άλλου (Β). Επιπλέον, λαμβάνεται υπόψη η επιρροή τόσο της εμφάνισης του γεγονότος Α όσο και της μη εμφάνισής του. Παρόλο που τα γεγονότα ονομάζονται εξαρτώμενα εξ ορισμού, μόνο ένα από αυτά εξαρτάται (Β). Η συνήθης πιθανότητα σημειώθηκε ως P (B) ή η πιθανότητα ανεξάρτητων γεγονότων. Στην περίπτωση του εξαρτώμενου, εισάγεται μια νέα έννοια - η υπό όρους πιθανότητα P A (B), η οποία είναι η πιθανότητα του εξαρτημένου γεγονότος B υπό την προϋπόθεση του γεγονότος A (υπόθεση), από την οποία εξαρτάται.

Αλλά το γεγονός Α είναι επίσης τυχαίο, επομένως έχει επίσης μια πιθανότητα που πρέπει και μπορεί να ληφθεί υπόψη στους υπολογισμούς. Το ακόλουθο παράδειγμα θα σας δείξει πώς να εργάζεστε με εξαρτώμενα γεγονότα και υπόθεση.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της πιθανότητας εξαρτημένων γεγονότων

Ένα καλό παράδειγμα για τον υπολογισμό εξαρτημένων γεγονότων είναι ένα τυπικό κατάστρωμα καρτών.

Χρησιμοποιώντας μια τράπουλα με 36 κάρτες ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη εξαρτημένα γεγονότα. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί η πιθανότητα ότι το δεύτερο φύλλο που τραβήχτηκε από το κατάστρωμα θα είναι από διαμάντια, εάν το πρώτο φύλλο τραβηχτεί:

1. Διαμάντια.
2. Άλλο κοστούμι.

Προφανώς, η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος Β εξαρτάται από το πρώτο Α. Έτσι, εάν η πρώτη επιλογή είναι αληθινή, ότι υπάρχει 1 κάρτα (35) στο κατάστρωμα και 1 ντέφι (8) λιγότερο, η πιθανότητα συμβάντος Β:

Ρ Α (Β) = 8/35 = 0,23

Εάν η δεύτερη επιλογή είναι αληθινή, τότε υπάρχουν 35 κάρτες στο κατάστρωμα και ο πλήρης αριθμός ντέφι (9) εξακολουθεί να διατηρείται, τότε η πιθανότητα του ακόλουθου γεγονότος Β:

P A (B) = 9/35 = 0,26.

Μπορεί να φανεί ότι εάν συμφωνηθεί το γεγονός Α ότι το πρώτο φύλλο είναι ντέφι, τότε η πιθανότητα του γεγονότος Β μειώνεται και το αντίστροφο.

Πολλαπλασιασμός εξαρτημένων γεγονότων

Καθοδηγούμενοι από το προηγούμενο κεφάλαιο, παίρνουμε το πρώτο συμβάν (Α) ως γεγονός, αλλά στην ουσία, είναι τυχαίο. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος, δηλαδή η εξαγωγή ενός ντέφι από μια τράπουλα, είναι ίση με:

P (A) = 9/36 = 1/4

Δεδομένου ότι η θεωρία δεν υπάρχει από μόνη της, αλλά προορίζεται να εξυπηρετήσει πρακτικούς σκοπούς, τότε είναι δίκαιο να πούμε ότι η πιθανότητα παραγωγής εξαρτημένων γεγονότων είναι πιο συχνά απαραίτητη.

Σύμφωνα με το θεώρημα για το προϊόν των πιθανοτήτων εξαρτημένων γεγονότων, η πιθανότητα εμφάνισης από κοινού εξαρτώμενων γεγονότων Α και Β είναι ίση με την πιθανότητα ενός γεγονότος Α, πολλαπλασιασμένη με την υπό όρους πιθανότητα του συμβάντος Β (εξαρτάται από το Α):

P (AB) = P (A) * P A (B)

Στη συνέχεια, στο παράδειγμα με ένα κατάστρωμα, η πιθανότητα να τραβήξετε δύο κάρτες με ένα ντέφι είναι:

9/36 * 8/35 = 0,0571, ή 5,7%

Και η πιθανότητα εξαγωγής στην αρχή όχι ντέφι, και στη συνέχεια ντέφι, είναι ίση με:

27/36 * 9/35 = 0,19, ή 19%

Μπορεί να φανεί ότι η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β είναι μεγαλύτερη, με την προϋπόθεση ότι η κάρτα της στολής εκτός από το ντέφι τραβιέται πρώτα. Αυτό το αποτέλεσμα είναι αρκετά λογικό και κατανοητό.

Πλήρης πιθανότητα του γεγονότος

Όταν ένα πρόβλημα με πιθανότητες υπό όρους γίνεται πολύπλευρο, δεν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας συμβατικές μεθόδους. Όταν υπάρχουν περισσότερες από δύο υποθέσεις, δηλαδή A1, A2, ..., And n, .. σχηματίζει μια πλήρη ομάδα γεγονότων υπό την προϋπόθεση:

• P (A i)> 0, i = 1,2, ...
• A i ∩ A j = Ø, i ≠ j.
• Σ k A k = Ω.

Έτσι, ο τύπος για τη συνολική πιθανότητα για το συμβάν Β στο πλήρη ομάδατυχαία γεγονότα A1, A2, ..., Και n είναι ίσο με:

Μια ματιά στο μέλλον

Η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος είναι εξαιρετικά απαραίτητη σε πολλούς τομείς της επιστήμης: οικονομετρία, στατιστική, φυσική κλπ. Δεδομένου ότι ορισμένες διαδικασίες δεν μπορούν να περιγραφούν ντετερμινιστικά, καθώς οι ίδιες έχουν πιθανό χαρακτήρα, απαιτούνται ειδικές μέθοδοι εργασίας. Η θεωρία πιθανοτήτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε τεχνολογικό πεδίο ως τρόπος προσδιορισμού της πιθανότητας σφάλματος ή δυσλειτουργίας.

Μπορούμε να πούμε ότι, αναγνωρίζοντας την πιθανότητα, κάνουμε με κάποιο τρόπο ένα θεωρητικό βήμα προς το μέλλον, κοιτάζοντάς το μέσα από το πρίσμα των τύπων.

Όλα στον κόσμο συμβαίνουν ντετερμινιστικά ή τυχαία ...
Αριστοτέλης

Πιθανότητα: βασικοί κανόνες

Η θεωρία πιθανοτήτων υπολογίζει τις πιθανότητες διαφόρων γεγονότων. Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η έννοια ενός τυχαίου συμβάντος.

Για παράδειγμα, πετάτε ένα νόμισμα, τυχαία πέφτει στο εθνόσημο ή τις ουρές. Δεν γνωρίζετε εκ των προτέρων σε ποια πλευρά θα πέσει το νόμισμα. Συνάπτετε ασφαλιστήριο συμβόλαιο, δεν γνωρίζετε εκ των προτέρων εάν θα γίνουν ή όχι πληρωμές.

Σε αναλογιστικούς υπολογισμούς, πρέπει να είστε σε θέση να εκτιμήσετε την πιθανότητα διαφόρων γεγονότων, οπότε η θεωρία της πιθανότητας παίζει βασικό ρόλο. Κανένας άλλος τομέας των μαθηματικών δεν μπορεί να αντιμετωπίσει τις πιθανότητες γεγονότων.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην ρίψη νομισμάτων. Υπάρχουν 2 αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα: ένα εθνόσημο ή μια ουρά. Το αποτέλεσμα της ρίψης είναι τυχαίο, αφού ο παρατηρητής δεν μπορεί να αναλύσει και να λάβει υπόψη όλους τους παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα. Ποια είναι η πιθανότητα πτώσης ενός οικόσημου; Οι περισσότεροι θα απαντήσουν but, αλλά γιατί;

Αφήστε επίσημα ΕΝΑδηλώνει την πτώση του οικόσημου. Αφήστε το νόμισμα να πετάξει νμια φορά. Στη συνέχεια, η πιθανότητα του γεγονότος ΕΝΑμπορεί να οριστεί ως το ποσοστό των ρίψεων που έχουν ως αποτέλεσμα το εθνόσημο:

όπου νο συνολικός αριθμός των ρίψεων, n (A)ο αριθμός των θυρεών πέφτει.

Η σχέση (1) ονομάζεται συχνότηταεξελίξεις ΕΝΑ v μακρά σειράδοκιμές.

Αποδεικνύεται ότι σε διάφορες σειρές δοκιμών η αντίστοιχη συχνότητα εν γένει νομαδοποιούνται γύρω από κάποια σταθερή τιμή P (A)... Αυτή η ποσότητα ονομάζεται πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑκαι συμβολίζεται με το γράμμα R- συντομογραφία από αγγλική λέξη πιθανότητα - πιθανότητα.

Επίσημα, έχουμε:

(2)

Αυτός ο νόμος ονομάζεται ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

Εάν το νόμισμα είναι σωστό (συμμετρικό), τότε η πιθανότητα να αποκτήσετε το εθνόσημο είναι ίση με την πιθανότητα πτώσης κεφαλών και είναι ίση με ½.

Ας είναι ΕΝΑκαι Vορισμένα γεγονότα, για παράδειγμα, εάν έχει συμβεί ασφαλισμένο συμβάν ή όχι. Ο συνδυασμός δύο συμβάντων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εκτέλεση ενός συμβάντος ΕΝΑ, εξελίξεις V, ή και τα δύο γεγονότα μαζί. Η τομή δύο γεγονότων ΕΝΑκαι Vονομάζεται συμβάν που συνίσταται στην υλοποίηση ως συμβάν ΕΝΑκαι γεγονότα V.

Θεμελιώδεις κανόνεςΟ υπολογισμός των πιθανοτήτων των γεγονότων έχει ως εξής:

1. Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος είναι μεταξύ μηδέν και ενός:

2. Έστω Α και Β δύο γεγονότα, τότε:

Διαβάζεται έτσι:η πιθανότητα συνδυασμού δύο συμβάντων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων μείον την πιθανότητα διασταύρωσης γεγονότων. Εάν τα γεγονότα είναι ασυνεπή ή ασύνδετα, τότε η πιθανότητα συνδυασμού (το άθροισμα) των δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων. Αυτός ο νόμος ονομάζεται νόμος προσθήκες πιθανότητες.

Λέμε ότι ένα συμβάν είναι αξιόπιστο εάν η πιθανότητά του είναι 1. Κατά την ανάλυση ορισμένων φαινομένων, προκύπτει το ερώτημα πώς επηρεάζει η εμφάνιση ενός γεγονότος Vκατά την έναρξη του γεγονότος ΕΝΑ... Για αυτό, υπό όρους πιθανότητα :

(4)

Διαβάζεται έτσι:πιθανότητα εμφάνισης ΕΝΑυπό την προϋπόθεση Vισούται με την πιθανότητα διέλευσης ΕΝΑκαι Vδιαιρούμενο με την πιθανότητα του συμβάντος V.
Στον τύπο (4), θεωρείται ότι η πιθανότητα ενός συμβάντος VΠάνω απο το μηδέν.

Ο τύπος (4) μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

(5)

Αυτή είναι η φόρμουλα πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων.

Η πιθανότητα υπό όρους ονομάζεται επίσης εκ των υστέρων πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ- πιθανότητα εμφάνισης ΕΝΑμετά την έναρξη V.

Σε αυτή την περίπτωση, η ίδια η πιθανότητα ονομάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα. Υπάρχουν αρκετοί άλλοι σημαντικοί τύποι που χρησιμοποιούνται σε μεγάλο βαθμό στους αναλογιστικούς υπολογισμούς.

Τύπος Συνολικής Πιθανότητας

Ας υποθέσουμε ότι πραγματοποιείται ένα πείραμα, οι συνθήκες του οποίου μπορούν να γίνουν εκ των προτέρων. αμοιβαίωςαμοιβαία αποκλειόμενες υποθέσεις (υποθέσεις):

Υποθέτουμε ότι υπάρχει είτε μια υπόθεση, είτε ... ή. Οι πιθανότητες αυτών των υποθέσεων είναι γνωστές και ίσες:

Τότε ισχύει ο ακόλουθος τύπος: πλήρηςπιθανότητες :

(6)

Η πιθανότητα του γεγονότος ΕΝΑίσο με το άθροισμα των προϊόντων της πιθανότητας εμφάνισης ΕΝΑγια κάθε υπόθεση σχετικά με την πιθανότητα αυτής της υπόθεσης.

Τύπος Bayes

Τύπος Bayes σας επιτρέπει να υπολογίσετε εκ νέου την πιθανότητα υποθέσεων υπό το φως ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑπου έδωσε το αποτέλεσμα ΕΝΑ.

Ο τύπος του Bayes είναι κατά μία έννοια το αντίστροφο του τύπου της ολικής πιθανότητας.

Εξετάστε την ακόλουθη πρακτική εργασία.

Πρόβλημα 1

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει αεροπορικό δυστύχημα και οι ειδικοί είναι απασχολημένοι με τη διερεύνηση των αιτιών του. 4 λόγοι για την καταστροφή είναι γνωστοί εκ των προτέρων: είτε ο λόγος, είτε, είτε, είτε. Σύμφωνα με τα διαθέσιμα στατιστικά στοιχεία, οι λόγοι αυτοί έχουν τις ακόλουθες πιθανότητες:

Κατά την επιθεώρηση του τόπου της συντριβής, βρέθηκαν ίχνη ανάφλεξης καυσίμου, σύμφωνα με στατιστικά στοιχεία, η πιθανότητα αυτού του γεγονότος για τον έναν ή τον άλλο λόγο έχει ως εξής:

Ερώτηση: ποια είναι η πιθανότερη αιτία της καταστροφής;

Ας υπολογίσουμε τις πιθανότητες των αιτιών υπό την προϋπόθεση της εμφάνισης του συμβάντος ΕΝΑ.

Αυτό δείχνει ότι ο πρώτος λόγος είναι ο πιο πιθανός, αφού η πιθανότητά του είναι μέγιστη.

Εργασία 2

Σκεφτείτε ένα αεροπλάνο που προσγειώνεται σε αεροδρόμιο.

Κατά την προσγείωση, οι καιρικές συνθήκες μπορεί να είναι οι εξής: δεν υπάρχει χαμηλή συννεφιά (), υπάρχει χαμηλή συννεφιά (). Στην πρώτη περίπτωση, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι Ρ1... Στη δεύτερη περίπτωση - Ρ2... Είναι σαφές ότι Ρ1> Ρ2.

Οι συσκευές τυφλής προσγείωσης έχουν τη δυνατότητα απρόσκοπτης λειτουργίας R... Εάν υπάρχει χαμηλό νέφος και οι τυφλές συσκευές προσγείωσης έχουν αποτύχει, η πιθανότητα επιτυχούς προσγείωσης είναι P3, και P3<Р2 ... Είναι γνωστό ότι για ένα δεδομένο αεροδρόμιο η αναλογία ημερών σε ένα έτος με χαμηλή συννεφιά είναι ίση με.

Βρείτε την πιθανότητα μιας ασφαλούς προσγείωσης.

Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα.

Υπάρχουν δύο αμοιβαίως αποκλειόμενες επιλογές: οι συσκευές τυφλής προσγείωσης λειτουργούν, οι συσκευές τυφλής προσγείωσης έχουν αποτύχει, οπότε έχουμε:

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας:

Πρόβλημα 3

Η ασφαλιστική εταιρεία ασχολείται με την ασφάλιση ζωής. Το 10% των ασφαλισμένων σε αυτήν την εταιρεία είναι καπνιστές. Εάν ο ασφαλισμένος δεν καπνίζει, η πιθανότητα θανάτου του κατά τη διάρκεια του έτους είναι 0,01 Εάν είναι καπνιστής, τότε αυτή η πιθανότητα είναι 0,05.

Ποιο είναι το ποσοστό των καπνιστών μεταξύ των ασφαλισμένων που πέθαναν κατά τη διάρκεια του έτους;

Επιλογές απάντησης: (Α) 5%, (Β) 20%, (Γ) 36%, (Δ) 56%, (Ε) 90%.

Λύση

Ας παρουσιάσουμε εκδηλώσεις:

Η κατάσταση του προβλήματος σημαίνει ότι

Επιπλέον, δεδομένου ότι τα γεγονότα και αποτελούν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη, τότε.
Η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι αυτή.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bayes, έχουμε:

Επομένως, η σωστή επιλογή είναι ( V).

Πρόβλημα 4

Η ασφαλιστική εταιρεία πωλεί συμβάσεις ασφάλισης ζωής σε τρεις κατηγορίες: τυπικές, προνομιούχες και εξαιρετικά προνομιούχες.

Το 50% όλων των ασφαλισμένων είναι τυπικό, το 40% προνομιούχο και το 10% εξαιρετικά προνομιούχο.

Η πιθανότητα θανάτου σε ένα έτος για τον τυπικό ασφαλισμένο είναι 0,010, για τον προνομιούχο 0,005 και για τον υπερ προνομιούχο 0,001.

Ποια είναι η πιθανότητα ο αποθανών ασφαλισμένος να είναι εξαιρετικά προνομιούχος;

Λύση

Ας εξετάσουμε τα ακόλουθα γεγονότα:

Όσον αφορά αυτά τα γεγονότα, η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι αυτή. Κατά συνθήκη:

Δεδομένου ότι τα γεγονότα ,, σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη, χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes, έχουμε:

Τυχαίες μεταβλητές και χαρακτηριστικά τους

Αφήστε κάποια τυχαία μεταβλητή, για παράδειγμα, ζημιά από πυρκαγιά ή το ποσό των ασφαλιστικών πληρωμών.
Μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται πλήρως από τη συνάρτηση κατανομής της.

Ορισμός.Λειτουργία που ονομάζεται συνάρτηση διανομής τυχαία μεταβλητή ξ .

Ορισμός.Εάν υπάρχει μια συνάρτηση τέτοια που για αυθαίρετα ένα Έγινε