Μαθητής για τη θεωρία των πιθανοτήτων - λυτικά v.s. Χαρακτηριστικά της μάθησης των θεμελίων της θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολικό έτος των μαθηματικών

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Οι μαθητές, οι μεταπτυχιακοί φοιτητές, οι νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές τους και τις εργασίες τους θα είναι πολύ ευγνώμονες σε εσάς.

αναρτήθηκε από http://www.allbest.ru/

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας

Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Παιδαγωγικό Κράτος της Λευκορωσίας

Πανεπιστήμιο που ονομάζεται μετά από M. Tanka

Σχολή Φυσικής και Μαθηματικών

Τμήμα Διδασκαλίας Μαθηματικών

Θεωρία της πιθανότητας στη σχολική πορεία των μαθηματικών

Μινσκ, 2016.

Εισαγωγή

Το ζήτημα της βελτίωσης της μαθηματικής εκπαίδευσης στην πατριωτική σχολή τέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '60 του 20ου αιώνα εξαιρετικά μαθηματικά B.V. Groundenko, Α.Ν. Kolmogorov, I.I. Kikoin, a.i. Markushevich, Α.ΥΑ. Hinchin. Β.ν. Ο Groundnko έγραψε: "Έχει περάσει πολύ καιρό πριν και δεν ανεχθεί περαιτέρω καταθέσεις, το ζήτημα της εισαγωγής μαθηματικών στοιχείων πιθανοτικής στατιστικής γνώσης στο σχολικό νόμισμα των μαθηματικών. Οι νόμοι της άκαμπτης αποφασιστικότητας, ο οποίος είναι πλήρως προσανατολισμένος από την σχολική μας εκπαίδευση, μόνο μία παράλληλα αποκαλύπτει την ουσία του κόσμου. Η τυχαία φύση πολλών πραγματικότητας φαινομένων είναι εκτός της προσοχής των μαθητών μας. Ως αποτέλεσμα αυτού, οι ιδέες τους σχετικά με τη φύση πολλών φυσικών και κοινωνικών διαδικασιών είναι μονόπλευρη και ανεπαρκή στη σύγχρονη επιστήμη. Είναι απαραίτητο να τα εισαγάγετε με στατιστικούς νόμους που αποκαλύπτουν τις πολύπλευρες επικοινωνίες της ύπαρξης αντικειμένων και φαινομένων. " Σε και. Ο Levin έγραψε: "... ο στατιστικός πολιτισμός που απαιτείται για ... Οι δραστηριότητες πρέπει να αυξηθούν από νεαρή ηλικία. Όχι τυχαία στις ανεπτυγμένες χώρες, μια μεγάλη προσοχή δίνεται σε αυτό: με στοιχεία θεωρίας πιθανότητας και στατιστικά στοιχεία, οι σπουδαστές έχουν ήδη εξοικειωθεί από τα πρώτα σχολικά χρόνια και καθ 'όλη τη διάρκεια των μελετών τους απορροφούν πιθανοτικές στατιστικές προσεγγίσεις στην ανάλυση των κοινών καταστάσεων που συναντώνται στην καθημερινή ανάλυση των κοινών καταστάσεων ΖΩΗ. " Η μεταρρύθμιση της δεκαετίας του '80, τα στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας και των στατιστικών συμπεριλήφθηκαν στα προγράμματα των τάξεων προφίλ, ειδικότερα, το φυσικο-μαθηματικό και φυσικό επιστημονικό, καθώς και η προαιρετική πορεία της μελέτης των μαθηματικών. Δεδομένης της επείγουσας ανάγκης να αναπτυχθούν μεμονωμένες ιδιότητες σκέψης των μαθητών, εμφανίζονται οι εξελίξεις των μαθημάτων του συγγραφέα σχετικά με τη θεωρία πιθανοτήτων. Ένα παράδειγμα αυτού μπορεί να είναι το μάθημα N.N. Avdeeva σύμφωνα με τα στατιστικά στοιχεία για 7 και 9 μαθήματα και μια πορεία στοιχείων μαθηματικών στατιστικών για την 10η τάξη του γυμνασίου. Στην 10η τάξη πραγματοποιήθηκαν εργασίες δοκιμών, τα αποτελέσματα των οποίων, καθώς και οι παρατηρήσεις των εκπαιδευτικών και της έρευνας των μαθητών έδειξαν ότι το προτεινόμενο υλικό ήταν πλήρως προσβάσιμο στους φοιτητές, προκάλεσε το μεγάλο ενδιαφέρον τους, δείχνοντας τη συγκεκριμένη χρήση των μαθηματικών για την επίλυση των πρακτικών καθηκόντων της επιστήμης και της τεχνολογίας. Η διαδικασία εισαγωγής στοιχείων θεωρίας πιθανοτήτων σε υποχρεωτική πορεία μαθηματικών σχολείων ήταν πολύ δύσκολη. Υπάρχει μια άποψη ότι, για την αφομοίωση, η θεωρία πιθανοτήτων απαιτείται από μια προκαταρκτική προσφορά ιδεών, ιδεών, συνήθειες, σημαντικά διαφορετικών από εκείνους που αναπτύσσονται από μαθητές με παραδοσιακή εκπαίδευση σε εξοικείωση με τα κανονικά καθοριστικά φαινόμενα. Ως εκ τούτου, σύμφωνα με ορισμένους δασκάλους - μαθηματικοί, θεωρία πιθανοτήτων πρέπει να εισάγει σχολικά μαθηματικά ως ανεξάρτητο τμήμα, το οποίο θα εξασφάλιζε τη δημιουργία, τη συστηματική και την ανάπτυξη ιδεών σχετικά με την πιθανοτική φύση των φαινομένων του κόσμου γύρω μας. Δεδομένου ότι η μελέτη της θεωρίας της πιθανότητας στο σχολικό μάθημα εισήχθη πρόσφατα, τότε υπάρχουν προβλήματα με την εφαρμογή αυτού του υλικού στα σχολικά εγχειρίδια. Επίσης, λόγω της ιδιαιτερότητας αυτού του μαθήματος, ο αριθμός της μεθοδολογικής λογοτεχνίας είναι επίσης μικρός. Σύμφωνα με τις προσεγγίσεις που ορίζονται στη συντριπτική πλειοψηφία της λογοτεχνίας, πιστεύεται ότι η κύρια εμπειρία των φοιτητών θα πρέπει να είναι το κύριο πράγμα στη μελέτη αυτού του θέματος, συνεπώς η κατάρτιση είναι επιθυμητή να ξεκινήσει με ερωτήσεις που πρέπει να βρουν λύσεις στο πρόβλημα κατά του προβλήματος κατά του προβλήματος Ιστορικό της πραγματικής κατάστασης. Στη διαδικασία μάθησης, όλα τα θεωρήματα δεν πρέπει να αποδειχθούν, δεδομένου ότι αξίζει μεγάλο χρονικό διάστημα, ενώ η πορεία του μαθήματος είναι ο σχηματισμός χρήσιμων δεξιοτήτων και η ικανότητα να αποδείξει ότι οι θεωρήσεις σε τέτοιες δεξιότητες δεν ισχύουν. Η προέλευση της θεωρίας της πιθανότητας συνέβη σε αναζήτηση αντίδρασης στην ερώτηση: Πόσο συχνά έρχεται μια άλλη εκδήλωση σε μια μεγαλύτερη σειρά δοκιμών με τυχαία αποτελέσματα που συμβαίνουν στις ίδιες συνθήκες; Αξιολογώντας τη δυνατότητα εμφάνισης οποιουδήποτε γεγονότος, λέμε συχνά: "Είναι πολύ πιθανό", σίγουρα θα συμβεί "," είναι απίθανο "," δεν θα συμβεί ποτέ ". Αγοράζοντας ένα λαχείο που μπορείτε να κερδίσετε, αλλά δεν μπορείτε να κερδίσετε. Αύριο στο μάθημα, τα μαθηματικά μπορούν να προκληθούν στο διοικητικό συμβούλιο και δεν μπορεί να προκαλέσει. Στις επόμενες εκλογές, το κυβερνών κόμμα μπορεί να κερδίσει και δεν μπορεί να νικήσει. Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα. Τι νομίζετε, πόσοι άνθρωποι πρέπει να βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη ομάδα, έτσι ώστε τουλάχιστον δύο από αυτούς, τα γενέθλια συμπίπτουν με πιθανότητα 100% (δηλαδή την ημέρα και το μήνα χωρίς τη γέννηση της γέννησης); Αυτό σήμαινε εδώ δεν είναι ένα άλμα, δηλ. έτος στο οποίο 365 ημέρες. Η απάντηση είναι προφανής - θα πρέπει να υπάρχουν 366 άτομα στην ομάδα. Τώρα μια άλλη ερώτηση: Πόσο πρέπει να έχει ένα άτομο να έχει ένα ζευγάρι με τα συμπτωματικά γενέθλια με πιθανότητα 99,9%; Με την πρώτη ματιά, όλα είναι απλά - 364 άτομα. Στην πραγματικότητα, τα 68 άτομα είναι αρκετά! Έτσι, για να πραγματοποιήσετε τέτοιους ενδιαφέροντες υπολογισμούς και να κάνετε ασυνήθιστες ανακαλύψεις για τον εαυτό σας, θα μελετήσουμε ένα τέτοιο τμήμα της θεωρίας πιθανοτήτων των μαθηματικών ".

Κεφάλαιο Ι. Πιθανιστική στατιστική γραμμή στη βασική σχολική πορεία των μαθηματικών

1.1 Στατιστική σκέψη και σχολική μαθηματική εκπαίδευση

Κάθε εποχή τοποθετεί τις απαιτήσεις της για τη μαθηματική επιστήμη και τη μαθηματική εκπαίδευση. Επί του παρόντος, οι φωνές των μεθοδολόγων γίνονται όλο και πιο δυνατοί, οι οποίες θα τους ενημερώσουν για την ενίσχυση μιας πιθαννιακής - στατιστικής γραμμής στη σχολική πορεία των μαθηματικών, ξεκινώντας από τις κατηγορίες Junior High School. Αλλά πολλοί δάσκαλοι των μαθηματικών δεν έχουν συναντήσει τη συνδυαστική, τη θεωρία πιθανοτήτων, τα στατιστικά στοιχεία, δηλ. Με όλα όσα περιλαμβάνονται στην πιθανότητα - τη στατιστική κατεύθυνση των μαθηματικών. Πρέπει να επεκτείνουν τις γνώσεις τους σε θέματα σε βάθος. Ο πιο αυταρχικός ερευνητής στη χώρα μας στον τομέα της θεωρίας της πιθανότητας και των μαθηματικών στατιστικών ήταν ο Boris Vladimirovich Griedenko (1912-1995). Ήταν ο συγγραφέας πολλών άρθρων στο περιοδικό "Μαθηματικά στο σχολείο".

Τι και πώς να μάθετε στο σχολείο, προφανώς, θα ανήκουν πάντοτε στον αριθμό των αιώνων προβλημάτων που συνεχώς προκύπτουν ακόμη και μετά τη χορήγηση λύσης, το καλύτερο σε σχέση με το προηγούμενο. Και είναι αναπόφευκτο, επειδή οι επιστημονικές γνώσεις και οι προσεγγίσεις μας για την εξήγηση των φαινομένων γύρω μας αναπληρώνεται συνεχώς. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το περιεχόμενο της διδασκαλίας του σχολείου πρέπει να αλλάξει με την πρόοδο της επιστήμης, κάπως καθυστερημένη πίσω από αυτήν και επιτρέποντας νέες επιστημονικές ιδέες και έννοιες να υιοθετήσουν παραδεκτά στους ψυχολογικούς και μεθοδολογικούς όρους.

Ωστόσο, πρέπει να θεωρηθεί ότι το περιεχόμενο και η φύση της σχολικής πορείας ενός ή άλλου πρέπει να καθορίζονται πλήρως από την κατάσταση του σχετικού επιστημονικού κλάδου της γνώσης και τις παρουσιάσεις που την κυριαρχούν στις κεντρικές τους έννοιες θα ήταν ένα ακαθάριστο λάθος. Η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών δεν θα είναι ειδικοί σε αυτόν τον τομέα της επιστήμης. Από αυτά, και οι δύο εκπρόσωποι άλλων επιστημονικών συμφερόντων και πρακτικών τομέων δραστηριότητας και εκπρόσωποι των ελεύθερων επαγγελμάτων είναι συγγραφείς, καλλιτέχνες, καλλιτέχνες. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο όλοι οι μαθητές πρέπει να λάβετε πληροφορίες σχετικά με τις καθιερωμένες επιστημονικές έννοιες και να αποκτήσετε μια σταθερή βάση για επιστημονικές γνώσεις και επιπλέον, η ικανότητα να υποστηρίζετε και να δηλώσετε σαφώς τις σκέψεις σας. Το σχολείο θα πρέπει να δώσει την ιδέα ότι η επιστήμη και η έννοια της συνδέονται στενά με την πρακτική της οποίας αντλεί το περιβάλλον των προβλημάτων, των ιδεών τους και στη συνέχεια επιστρέφει την πρακτική των νέων ευκαιριών για την επίλυση των κύριων προβλημάτων της, δημιουργεί νέες μεθόδους για αυτό. Χωρίς αυτό, η εκπαίδευση θα είναι ελαττωματική, σχισμένη μακριά από τη ζωή και θα δημιουργήσει πολλές δυσκολίες για τους μαθητές των σχολείων. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το περιεχόμενο της σχολικής εκπαίδευσης πρέπει να έχει ευρέως κατανοητές απαιτήσεις της πρακτικής των ημερών μας και του προβλέψιμου μέλλοντος.

Στις ζωές, οι εκλογές και δημοψηφίσματα, τα τραπεζικά δάνεια και τα ασφαλιστήρια συμβόλαια, οι πίνακες απασχόλησης και τα διαγράμματα των κοινωνιολογικών ερευνών έχουν εισέλθει. Η κοινωνία αυξάνεται βαθύτερα για να μελετήσει και να προσπαθήσει να προβεί σε προβλέψεις για τον εαυτό τους και στα φαινόμενα της φύσης που απαιτούν ιδέες για την πιθανότητα. Ακόμα και οι καιρικές συνθήκες στις εφημερίδες αναφέρουν ότι "αύριο βρέχει αναμένεται με πιθανότητα 40%".

Η πλήρης ύπαρξη ενός πολίτη σε μια πολύπλοκη, μεταβλητή και πολυεπίπεδη κοινωνία συνδέεται άμεσα με το δικαίωμα λήψης πληροφοριών, με τη διαθεσιμότητα και την αξιοπιστία του, με το δικαίωμα σε μια συνειδητή επιλογή, η οποία δεν μπορεί να γίνει χωρίς τη δυνατότητα να κάνουν εκλογές και προβλέψεις με βάση την ανάλυση και την επεξεργασία συχνά ελλιπείς και αμφιλεγόμενες πληροφορίες.

Πρέπει να διδάξουμε τα παιδιά να ζουν σε μια πιθανοτική κατάσταση. Και αυτό σημαίνει να εξαγάγετε, να αναλύσετε και να επεξεργαστείτε τις πληροφορίες, να κάνετε ενημερωμένες λύσεις σε διάφορες καταστάσεις με τυχαία αποτελέσματα. Προσανατολισμός στις δημοκρατικές αρχές της σκέψης, το πολυπαραγοντικό της πιθανής ανάπτυξης πραγματικών καταστάσεων και εκδηλώσεων, σχετικά με τη διαμόρφωση ενός ατόμου, τη δυνατότητα να ζουν και να εργάζονται σε ένα δύσκολο, συνεχώς μεταβαλλόμενο κόσμο, με αναπόφευκτη απαιτεί την ανάπτυξη των πιθανοτήτων - στατιστικής σκέψης ανάμεσα στη νεότερη γενιά. Αυτή η εργασία μπορεί να λυθεί στη σχολική πορεία των μαθηματικών με βάση ένα συγκρότημα θεμάτων που σχετίζονται με περιγραφικά στατιστικά στοιχεία και στοιχεία των μαθηματικών στατιστικών, με το σχηματισμό της συνδυαστικής και πιθανντικής σκέψης (12). Ωστόσο, όχι μόνο η κοινωνικοοικονομική κατάσταση υπαγορεύει την ανάγκη δημιουργίας μιας νέας γενιάς πιθανοτικής σκέψης. Οι πιθανοτικοί νόμοι είναι καθολικοί. Έγιναν η βάση για την περιγραφή της επιστημονικής εικόνας του κόσμου. Η σύγχρονη φυσική, η χημεία, η βιολογία, η δημογραφία, η κοινωνιολογία, η γλωσσολογία, η φιλοσοφία, το σύνολο των κοινωνικοοικονομικών επιστημών κατασκευάζονται και αναπτύσσονται σε μια πιθανοτική - στατιστική βάση. Ένας έφηβος δεν χωρίζεται από αυτόν τον κόσμο ένα κωφό τοίχο και στη ζωή του αντιμετωπίζει συνεχώς πιθανοτικές καταστάσεις. Το παιχνίδι και ο ενθουσιασμός αποτελούν ένα σημαντικό μέρος της ζωής του παιδιού. Το φάσμα των ζητημάτων που σχετίζονται με τους λόγους σχέσεων "πιθανότητα" και "αξιοπιστία", το πρόβλημα της επιλογής των καλύτερων διαφόρων λύσεων, αξιολόγηση του βαθμού κινδύνου και των πιθανών επιτυχίας, μια ιδέα της δικαιοσύνης και της αδικίας στα παιχνίδια και στο Πραγματικές συγκρούσεις ζωής - Όλα αυτά είναι αναμφισβήτητα τοποθετημένα στη σφαίρα των πραγματικών συμφερόντων του εφήβου. Προετοιμασία για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και θα πρέπει να αναλάβει την πορεία των μαθηματικών του σχολείου.

Σήμερα, στην επιστήμη, η θεμελιώδης σημασία έχει αποκτήσει την έννοια της τυχαίας και με αυτοπεποίθηση να σπάσει το δρόμο του για να βρει τις βέλτιστες λύσεις. Η ανάγκη εισαγωγής στο σχολείο διδασκαλία της έννοιας τυχαίων και αυτό οφείλεται όχι μόνο από τις απαιτήσεις επιστημονικής και πρακτικής τάξης, αλλά και καθαρά μεθοδικές εκτιμήσεις. Ταυτόχρονα, το κλασικό σύστημα της ρωσικής εκπαίδευσης βασίζεται κυρίως σε σαφώς καθοριστικές αρχές και προσεγγίσεις στα μαθηματικά και σε άλλα θέματα. Εάν δεν καταργήσετε, τουλάχιστον αποδυναμωθείτε την αντίφαση μεταξύ των αποφάσεων του παγκόσμιου προσδιορισμού που σχηματίζονται στους τοίχους των σχολείων και των σύγχρονων επιστημονικών ιδεών που βασίζονται σε πιθανοτικούς στατιστικούς νόμους, είναι αδύνατο χωρίς την εισαγωγή των βασικών στοιχείων στατιστικών στοιχείων και της θεωρίας των πιθανοτήτων στην υποχρεωτική σχολική εκπαίδευση. Η σύγχρονη έννοια της σχολικής μαθηματικής εκπαίδευσης είναι προσανατολισμένη, καταρχάς, για να καταγράψει την ατομικότητα του παιδιού, τα συμφέροντά του και τις ασυνέπειές του. Αυτό καθορίζει τα κριτήρια επιλογής, την ανάπτυξη και την εφαρμογή νέων, διαδραστικών τεχνικών διδασκαλίας, αλλαγές στις απαιτήσεις για τη μαθηματική προετοιμασία του φοιτητή. Ταυτόχρονα, η γνωριμία των μαθητών με μια πολύ περίεργη περιοχή των μαθηματικών, όπου υπάρχει μια ολόκληρη σειρά χρωμάτων και αποχρώσεων μεταξύ μαύρου και λευκού, και δεν υπάρχει επίσης "ναι" και "όχι" (ίσως να υπάρχουν "ίσως "Προσέχει μια αυστηρή ποσοτική αξιολόγηση!), Βοηθά να εξαλείψει το ριζωμένο συναίσθημα ότι αυτό που συνέβη στο μάθημα των μαθηματικών δεν συνδέεται με τον κόσμο σε όλο τον κόσμο, με την καθημερινή ζωή.

Σύμφωνα με τους φυσιολογικούς επιστήμονες και τους ψυχολόγους, καθώς και σε πολλές παρατηρήσεις των εκπαιδευτικών των μαθηματικών, η πτώση του ενδιαφέροντος για τη διαδικασία μάθησης γενικά και στα μαθηματικά ειδικότερα. Στα μαθήματα των μαθηματικών στην κεντρική σχολή, στις πέμπτες ονομαστικές βαθμίδες που πραγματοποιήθηκαν από το συνηθισμένο σύστημα και στο παραδοσιακό υλικό, ο φοιτητής συχνά έχει ένα αίσθημα αδιαπέραστου τοίχου μεταξύ των περιγραφόμενων αφηρημένων αντικειμένων και του εξωτερικού κόσμου. Είναι η πιθανοτική στατιστική γραμμή, ή πώς άρχισε να καλείται πρόσφατα - η στοχαστική γραμμή, η μελέτη του οποίου είναι αδύνατη χωρίς να υποστηρίξει τις διαδικασίες που παρατηρούνται στον κόσμο σε όλο τον κόσμο, η πραγματική εμπειρία ζωής του παιδιού είναι σε θέση να προωθήσει το Επιστροφή ενδιαφέροντος για το θέμα των "Μαθηματικών", της προπαγάνδας της σημασίας και της ευελιξίας της. Τέλος, η έννοια της ανοικτής κοινωνίας, οι διαδικασίες της ευρωπαϊκής και παγκόσμιας ολοκλήρωσης είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την αμοιβαία σύγκλιση των χωρών και των λαών, μεταξύ άλλων στον τομέα της εκπαίδευσης. Η Ρωσία, έχοντας μία από τις ισχυρότερες και αναγνωρισμένες παραδόσεις της σχολικής μαθηματικής εκπαίδευσης στον κόσμο, ταυτόχρονα παραμένει σχεδόν η μόνη ανεπτυγμένη χώρα, όπου στην κύρια σχολική πορεία των μαθηματικών δεν υπάρχουν θεμελιώδεις στατιστικές και τη θεωρία της πιθανότητας . Οι τάσεις των οικονομικών μετασχηματισμών που προέκυψαν στη χώρα μας υποδηλώνουν ότι οι διοργανωτές και οι συμμετέχοντες της παραγωγής ενός νέου τύπου που πολλοί απόφοιτοι σχολείων θα είναι σε ζήτηση στην πιο ανακαλυφθείσα κοινωνία. Η στοχαστική κουλτούρα πρέπει να εκπαιδεύεται εύκολα από νεαρή ηλικία. Δεν είναι τυχαίο ότι στις ανεπτυγμένες χώρες, η μεγάλη προσοχή δίνεται σε αυτό: με στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας και των στατιστικών, οι σπουδαστές ήδη εξοικειώνονται από τα πρώτα σχολικά έτη και καθ 'όλη τη διάρκεια των μελετών τους απορροφούν τις πιθανοτικές - στατιστικές προσεγγίσεις στην ανάλυση των κοινών καταστάσεις που συναντώνται στην καθημερινή ζωή.

Ο αριθμός των παραδειγμάτων προσεγγίσεων στη μελέτη του προανοτιστικού - στατιστικού υλικού στο γυμνάσιο θα μπορούσε να οδηγήσει πολλούς, διότι τις τελευταίες δύο δεκαετίες, σχεδόν κάθε χώρα έχει εισαγάγει αυτό το υλικό στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών και πρότεινε μία ή περισσότερες προσεγγίσεις στη μελέτη του. Ενδιαφέρουσες εργασίες εμφανίστηκαν στην Πολωνία, τη Σουηδία, το Ισραήλ της Γαλλίας. Προβλήματα που σχετίζονται με τη δημιουργία ενός συστήματος μελέτης του προανοτιστικού υλικού στο γυμνάσιο, στη χώρα μας δεν καλύπτονται αρκετά. Ανάλυση των προσεγγίσεων που μας γνωστών για να μελετήσουμε τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων και στατιστικά στοιχεία σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης διαφόρων χωρών καθιστά τα ακόλουθα συμπεράσματα:

Στη συντριπτική πλειοψηφία των χωρών, το υλικό αυτό αρχίζει να μελετώνεται στο δημοτικό σχολείο.

Κατά τη διάρκεια όλων των ετών μελέτης, οι φοιτητές εξοικειωθούν με πιθανότητες - στατιστικές προσεγγίσεις στην ανάλυση των εμπειρικών δεδομένων και τα καθήκοντα ενός εφαρμοσμένου χαρακτήρα διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο, την ανάλυση πραγματικών καταστάσεων.

Στη διαδικασία εκμάθησης, δίδεται ένας μεγάλος ρόλος στα καθήκοντα που απαιτούν από τους μαθητές να εργάζονται σε μικρές ομάδες, τα δεδομένα αυτο-συλλογής, που συνοψίζουν τα αποτελέσματα της ομάδας, τη διεξαγωγή ανεξάρτητων ερευνών, εργασιών εργασίας, θέτοντας πειράματα, την κατάρτιση μικρών εργαστηρίων, την κατάρτιση των μακροπρόθεσμων μαθημάτων - όλα αυτά υπαγορεύονται από τη μοναδικότητα πιθανοτικό - στατιστικό υλικό, τη στενή σχέση της με τις πρακτικές δραστηριότητες.

Μελετώντας την στοχαστική, καθώς επρόκειτο να πέσει σε πιθανοτικά και στατιστικά συστατικά, στενά συνδεδεμένα μεταξύ τους, σε πολλές χώρες συμπληρώνονται με ένα μικρό κομμάτι των συνδυαστικών.

Στη χώρα μας, ανεπιτυχείς προσπάθειες εισαγωγής μαθηματικών στο σχολικό μάθημα, η έννοια της πιθανότητας ενός γεγονότος έχει ήδη ληφθεί. Λόγω της undulance και του forefare, το υλικό αυτό αφαιρέθηκε σύντομα από τα προγράμματα και τα εγχειρίδια σε σχέση με το παραδοσιακό σχολικό ρυθμό.

Κάποια εμπειρία της μάθησης των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων έχει συσσωρευτεί στα σχολεία με μια εμπεριστατωμένη μελέτη των μαθηματικών, αλλά επιβεβαιώνει μόνο το γεγονός ότι προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα εισάγοντας ένα νέο απομονωμένο τμήμα σε ένα παραδοσιακό τμήμα μαθηματικών είναι καταδικασμένη σε αποτυχία. Η μελέτη των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων ως κλειστού τμήματος ενός προγράμματος που σχετίζεται με το "καθαρό", θεωρητικά μαθηματικά, εντελώς απογοητευμένη στα μάτια των εκπαιδευτικών και οδήγησε στο γεγονός ότι ορισμένοι από αυτούς γενικά εκφράζουν αμφιβολίες ότι μπορεί και πρέπει να μελετηθεί στο Λύκειο. Ταυτόχρονα, οι δάσκαλοι της φυσικής, η χημεία, η βιολογία αισθάνθηκε την επείγουσα ανάγκη να εκφράσουν τα κύρια πρότυπα αυτών των επιστημών στη γλώσσα των πιθανοτήτων έννοιες. Εξάλλου, η τρέχουσα κατάσταση της ανθρώπινης γνώσης για τον κόσμο προτείνει ότι μια τυχαία φύση είναι εγγενής στα κύρια (βασικά) φαινομενικά μικροκροτά.

Η εμφάνιση στο σχολικό πρόγραμμα μιας πιθαννιακής στατιστικής γραμμής που επικεντρώθηκε στην γνωριμία φοιτητές με τον πιθανοτικό χαρακτήρα της πλειοψηφίας των φαινομένων της γύρω πραγματικότητας θα συμβάλει στην ενίσχυση του γενικού πολιτιστικού δυναμικού της, της εμφάνισης νέων, βαθιά λογικών διεπιστημονικών σχέσεων , ανθρωποποίηση της σχολικής μαθηματικής εκπαίδευσης.

Κατά την επιλογή του υλικού για τη Νέα Σχολή του Σχολείου, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η γενική εκπαιδευτική σημασία και το ιδεολογικό δυναμικό των προτεινόμενων θεμάτων. Είναι σημαντικό να εκτιμήσουμε σωστά τις γνώσεις που απαιτούνται από ένα σύγχρονο άτομο στην καθημερινή ζωή και τις δραστηριότητες, αυτό θα απαιτήσει από έναν μαθητή να μελετήσει άλλα σχολικά θέματα, να συνεχίσει την εκπαίδευση, η οποία συμβολή μπορεί να κάνει αυτές τις γνώσεις στη διαμόρφωση διαφόρων κομμάτων το διάνοτρο του μαθητή. Είναι επίσης απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι το προτεινόμενο περιεχόμενο εξασφαλίζει τις δυνατότητες οργανικής σύζευξης ενός νέου εκπαιδευτικού υλικού με την παραδοσιακή, συνέβαλε στην ανάπτυξη των ενδομεταγγειακών σχέσεων.

Και στη χώρα μας σήμερα υπάρχει μια αναπόφευκτη διαδικασία στάσης ως ισότιμη συνιστώσα στην υποχρεωτική σχολική μαθηματική εκπαίδευση.

Όλα τα κρατικά εκπαιδευτικά έγγραφα των τελευταίων ετών περιέχουν μια πιθανοτική στατιστική γραμμή κατά τη διάρκεια των μαθηματικών του κεντρικού σχολείου σε ισοτιμία με τέτοιες γνωστές γραμμές ως "αριθμούς", "λειτουργίες", "εξισώσεις και ανισότητες", "γεωμετρικά σχήματα" κλπ.

1.2 Ψυχολογικές και παιδαγωγικές πτυχές της μελέτης θεωρίας πιθανοτήτων στο γυμνάσιο

Πιθανοτεχνία θεωρία σχολικής θεωρίας

Η μελέτη των ψυχολόγων (J. Piazhe, Ε. Fishbain) δείχνουν ότι ένα άτομο αρχικά κακώς προσαρμόζεται σε μια πιθανότητα αξιολόγησης, στην ευαισθητοποίηση και την ορθή ερμηνεία των πιθανοτικών στατιστικών πληροφοριών. Πειράματα που διεξήγαγαν η EA BAYNOVICH (Μόσχα, ένας από τους συγγραφείς εγχειριδίων που περιέχουν στοχαστικά στοιχεία) με βάση το Γυμνάσιο Μόσχας Νο. 710, Γυμναστήριο Yaroslavl No. 20 και Kaluga Gymnasium No. 2. Σε πειραματικές μελέτες, πιθανοτικές παραστάσεις των μαθητών του μαθητών του Ανώτερα μαθήματα προφίλ που έχουν αρχίσει με το βάθος των μαθηματικών, αλλά δεν έχουν ακόμη μελετήσει πιθανοτικά τμήματα. Τα αποτελέσματα της μελέτης δείχνουν αδιαμφισβήτητα ότι ακόμη και η καλή γνώση και η κατανόηση άλλων τμημάτων των μαθηματικών από μόνη της δεν εξασφαλίζουν την ανάπτυξη της πιθαννολογικής σκέψης και δεν ανακουφίζει ακόμη και από τις ασήμαντες πιθανότητες προκατάληψη και αυταπάτες (7).

Δίνουμε ένα παράδειγμα. Η ερώτηση ρώτησε:

"Στην ίδια κάρτα Sportslio (6 από 49) διέσχισαν τους αριθμούς

1, 2, 3, 4, 5 και 6,

Και από την άλλη

5, 12, 17, 23, 35 και 41.

Τι πιστεύετε ότι η νίκη του είδους των αριθμών είναι πιο πιθανό; ".

Από όλους τους συμμετέχοντες στο πείραμα, το 22% των μαθητών γυμνασίου απάντησε ότι πιθανότατα η δεύτερη κάρτα. Ενδιαφέρουσα σχεδόν την ίδια απάντηση δύο μαθητών διαφόρων σχολείων (Μόσχα και Yaroslavl): "Γενικά, και οι δύο περιπτώσεις είναι εξίσου ακόμη και, αλλά η δεύτερη περίπτωση είναι πιο πιθανή", εκφράζοντας την προφανή αντίφαση μεταξύ των νοικοκυριών και των επιστημονικών ιδεών των μαθητών.

Είναι περίεργο το προφίλ χημικών βιολογικών οικονομικών τάξεων, όπου το μάθημα των μαθηματικών είναι σημαντικά βαθύτερο από το βασικό, αλλά δεν υπάρχει πιθανοτικό - στατιστικό υλικό, δίνουν σχεδόν το ίδιο αποτέλεσμα (έως και 30% των απαντήσεων - "τα κέρδη του δεύτερου σετ είναι πιο πιθανό"). Δεν διαφέρουν πολύ από τα δεδομένα και τα αποτελέσματα των απαντήσεων σε παρόμοια ερώτηση στη δοκιμή, που προτάθηκε το 1998, καθηγητές μαθηματικών σε προηγμένα μαθήματα κατάρτισης στη Μόσχα.

Σημειώνουμε με τον τρόπο που ο διάσημος ερασιτέχνης των μαθηματικών παιχνιδιών και των παράδοξων Martin Gardner έγραψε με παρόμοια ευκαιρία που είναι στην πραγματικότητα πιο κερδοφόρα για να διασχίσει τον συνδυασμό 1, 2, 3, 4, 5 και 6 ή άλλου "κανονικού" συνδυασμού . Οι πιθανότητες να κερδίσετε το ίδιο, αλλά το ποσό που τα κέρδη μπορεί να είναι σημαντικά περισσότερο, δεδομένου ότι είναι δύσκολο για κάποιον που θα έρθει στο μυαλό να διασχίσει τον αριθμό από 1 έως 6, και στην περίπτωση της καλής τύχης, δεν χρειάζεται να Μοιραστείτε ένα ταμείο βραβείων με κανέναν.

Στην εποχή των πρωταρχικών τάξεων, εξακολουθούν να υπάρχουν πολύ στις ιδέες των μαθητών για τον κόσμο που δεν σχηματίζεται αρκετό, δεν υπάρχει αρκετή μαθηματική συσκευή (πρώτα απ 'όλα - απλά κλάσματα) για να εξηγήσει τις ιδέες σχετικά με την πιθανότητα. Ταυτόχρονα, τα βασικά στοιχεία των περιγραφικών στατιστικών, των πινάκων και των διαγραμμάτων μπάρων, καθώς και τα βασικά συστατικά της συνδυαστικής, η συστηματική προτομή των πιθανών επιλογών σε ένα μικρό σύνολο αντικειμένων και ακόμη και πρέπει να εισαχθούν στο μάθημα του δημοτικού σχολείου.

Έναρξη της δήλωσης των βασικών θεμάτων της θεωρίας πιθανοτήτων στα γυμνάσια είναι αναποτελεσματική. Η επιθυμία να επισημοποιήσει γρήγορα τη γνώση που σχηματίζεται από την παραδοσιακή πορεία των μαθηματικών, η επιθυμία να μάθουν στο μάθημα, καταρχάς, ένα ορισμένο σύνολο κανόνων, αλγορίθμων και μεθόδων υπολογισμού αντικαθιστά στην πραγματικότητα το σχηματισμό πιθανοτικών παραστάσεων στην επίσημη μάθηση των τύπων των συνδυαστικών και τον υπολογισμό της πιθανότητας σύμφωνα με το κλασικό μοντέλο Laplace.

Με στοιχεία στατιστικής σκέψης, πρέπει να αρχίσετε να γνωρίσετε στο σχολείο σε πολλά αντικείμενα και όχι μόνο κατά τη διάρκεια των μαθηματικών. Είναι απαραίτητο να γίνει αυτό στα διδάγματα της βοτανικής και της ζωολογίας, της αστρονομίας και της φυσικής, της ρωσικής γλώσσας και της ιστορίας, από καιρό σε καιρό, εύλογες παρατηρήσεις σχετικά με την πιθανότητα φαινομένων, τα οποία μελετούν αυτή την επιστημονική πειθαρχία. Φυσικά, τα μαθηματικά δεν μπορούν να παραμείνουν στην άκρη. Οι πρώτες ιδέες για τον κόσμο των τυχαίων παιδιών λαμβάνουν από τις παρατηρήσεις τους στη γύρω ζωή. Ταυτόχρονα, διευκρινίζονται σημαντικά χαρακτηριστικά των παρατηρούμενων φαινομένων κατά τη συλλογή στατιστικών πληροφοριών και οπτικής εκπροσώπησης. Η δυνατότητα εγγραφής στατιστικών πληροφοριών και η υποβολή τους με τη μορφή απλούστερων πινάκων και διαγραμμάτων από μόνη της χαρακτηρίζουν την παρουσία ορισμένης στατιστικής εμπειρίας στον φοιτητή. Αντικατοπτρίζει την πρώτη, ακόμη και αν οι συνειδητικές ιδέες για την ασάφεια και τη μεταβλητότητα των πραγματικών φαινομένων, περίπου τυχαία, αξιόπιστα και αδύνατα αποτελέσματα παρατηρήσεων, σχετικά με τους συγκεκριμένους τύπους στατιστικών συσσωματών, τα χαρακτηριστικά τους και τις γενικές ιδιότητες. Αυτές οι δεξιότητες καθιστούν δυνατή τη δημιουργία μιας σωστής αναπαράστασης όχι μόνο για τα φαινόμενα με έντονο ατύχημα, αλλά και για τα φαινόμενα αυτά, η τυχαία φύση των οποίων είναι μη προφανής και κολλημένη με πολλές περιπτώσεις αντίληψης από παράγοντες.

Στην καθημερινή ζωή και στην εργασία, ένας απόφοιτος γυμνασίου αντιμετωπίζει συνεχώς την ανάγκη λήψης και σχεδίασης ορισμένων πληροφοριών. Στα διδάγματα της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας, όταν εκτελεί εργαστηριακές και πρακτικές εργασίες, ο φοιτητής θα πρέπει να είναι σε θέση να εκδώσει τα αποτελέσματα της παρατήρησης και των πειραμάτων. Στα μαθήματα της γεωγραφίας της ιστορίας, της κοινωνικής επιστήμης, πρέπει να χρησιμοποιεί πίνακες και καταλόγους, αντιλαμβάνονται τις πληροφορίες που παρουσιάζονται σε γραφική μορφή. Αυτές οι δεξιότητες χρειάζονται για κάθε άτομο, αφού, με το στατιστικό υλικό που παρουσιάζεται σε διάφορες μορφές, βρίσκεται συνεχώς σε όλες τις πηγές πληροφοριών που έχουν σχεδιαστεί για ένα μαζικό κοινό - σε εφημερίδες, περιοδικά, βιβλία, στην τηλεόραση κλπ.

Η κατανόηση της φύσης του μελετημένου στοχαστικού φαινομένου συνδέεται με τη δυνατότητα να διαθέσει το κύριο πράγμα, να δείτε χαρακτηριστικά και τάσεις κατά την εξέταση των πινάκων, των διαγραμμάτων και γραφημάτων. Οι απλούστερες δεξιότητες με την "ανάγνωση" των πινάκων και των γραφημάτων καθιστούν δυνατή την ειδοποίηση ορισμένων προτύπων παρατηρούμενων φαινομένων, ανατρέξτε στις μορφές στατιστικών δεδομένων, συγκεκριμένες ιδιότητες των φαινομένων με χαρακτηριστικά και αιτιώδεις σχέσεις που είναι εγγενείς σε αυτά.

Τυπικά χαρακτηριστικά των μελετημένων φαινομένων, οι κοινές τάσεις τους μπορούν να ανιχνευθούν χρησιμοποιώντας μεσαία στατιστικά χαρακτηριστικά. Η δυνατότητα να τα χρησιμοποιήσετε χαρακτηρίζει την παρουσία ιδεών φοιτητών που σχετίζονται με τις κεντρικές τάσεις στον κόσμο τυχαίας. Κατανόηση της σημασίας των πιο συνηθισμένων μέσων όρων, όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, κάθε φοιτητής είναι απαραίτητος.

Η στοχαστική φύση των γύρω φαινομένων δεν μπορεί να αποκαλυφθεί χωρίς να καταλάβει τον βαθμό μεταβλητότητας. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να ποσοτικοποιηθεί η διασπορά στατιστικών στοιχείων, η οποία συμβάλλει στην βαθύτερη κατανόηση της ουσίας των φαινομένων και των διαδικασιών, καθιστά δυνατή τη σύγκριση των στατιστικών μεγεθών από τον βαθμό της παραλλαγής τους.

Ένα από τα σημαντικότερα συστατικά της στοχαστικής σκέψης είναι η κατανόηση των βιώσιμων ατυχημάτων στον κόσμο, η τάξη τυχαίων γεγονότων. Είναι αδύνατο να υποθέσουμε ότι οι μαθητές που αντιλαμβάνονται από την επαγχήγησή τους στη ζωή τους τυχαίων φαινομένων φοιτητών που αντιλαμβάνονται από οποιεσδήποτε διασυνδέσεις. Ο κεντρικός χώρος καταλαμβάνεται από τις απόψεις που σχετίζονται με διάφορες πειραματικές ιδέες του νόμου μεγάλων αριθμών. Η ευκολότερη και πιο προσιτή διαδρομή συνίσταται στο σχηματισμό ιδεών σχετικά με την πιθανότητα ως "θεωρητικά αναμενόμενη" τιμή συχνότητας με αύξηση του αριθμού των παρατηρήσεων. Ταυτόχρονα, η κατανόηση της σχέσης μεταξύ της πιθανότητας και της εμπειρικής πρωτότυπης συχνότητας οδηγεί στην επίγνωση της στατιστικής σταθερότητας της συχνότητας. Ταυτόχρονα, ένας σημαντικός ρόλος παίζεται επίσης από την κατανόηση ότι η ποσοτική αξιολόγηση της πιθανότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος μπορεί να πραγματοποιηθεί πριν από το πείραμα, με βάση ορισμένες θεωρητικές εκτιμήσεις. Έτσι, φτάνουμε στον υπολογισμό των πιθανοτήτων στο κλασικό σχέδιο.

Σε περίπτωση που όταν στη διδασκαλία των μαθηματικών, η πιθανοτική διαίσθηση δεν αναπτύσσεται, αντί των σωστών ιδεών και εννοιών, διδάσκονται ψευδείς προβολές, εκφράζουν λανθασμένες κρίσεις.

Ένας από τους σημαντικούς στόχους της μελέτης πιθανοτήτων - στατιστικού υλικού στο σχολείο είναι η ανάπτυξη πιθανοτικής διαίσθησης, ο σχηματισμός επαρκών ιδεών για τις ιδιότητες των τυχαίων φαινομένων. Εξάλλου, στη ζωή, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να αξιολογηθούν οι πιθανότητες να υποβάλουν υποθέσεις και προτάσεις, προβλέπουν την ανάπτυξη της κατάστασης, να υποστηρίξουν τις δυνατότητες επιβεβαίωσης μιας ή άλλης υποθέσεως κλπ. Η ιδέα του Πιθανότητα που έχει μάθει στη διαδικασία της οργανωμένης, συστηματικής μελέτης είναι διαφορετική από το συνηθισμένο, ... ακριβώς είναι το γεγονός ότι είναι ένας φορέας υποβολής στη σταθερότητα, η κανονικότητα του κόσμου τυχαίων, επιτρέπει την πλήρη και ορθή σύνταξη συμπερασμάτων από τις διαθέσιμες πληροφορίες.

Σημειώνουμε την ίδια στιγμή, η οποία είναι εξίσου αναποτελεσματική και ακόμη και επικίνδυνη με την έγκαιρη επίσημη και η άλλη ακραία, η οποία αντανακλάται τώρα σε ορισμένα πειραματικά προγράμματα - ατελείωτες συλλογιστικές για την πιθανότητα εκτός της πορείας των μαθηματικών, εκτός της κατασκευής πιθανοτικών μοντέλων.

Κεφάλαιο 2. Βασικές έννοιες

2.1 Στοιχεία συνδυαστικών

Η μελέτη του μαθήματος θα πρέπει να αρχίσει με τη μελέτη των θεμελίων των συνδυαστικών και η θεωρία πιθανοτήτων πρέπει να μελετηθεί παράλληλα, καθώς χρησιμοποιούνται τα συνδυαστικά όταν οι πιθανότητες υπολογίζονται. Οι μέθοδοι συνδυαστικών χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία, τα οικονομικά και άλλους τομείς της γνώσης. Στην επιστήμη και την πρακτική, συχνά βρίσκονται καθήκοντα, τα οποία πρέπει να είναι διαφορετικοί συνδυασμοί ενός πεπερασμένου αριθμού αντικειμένων και να υπολογίσουν τον αριθμό των συνδυασμών. Τέτοια καθήκοντα ονομάζονται συνδυαστικά καθήκοντα και το τμήμα μαθηματικών στο οποίο εξετάζονται αυτά τα καθήκοντα, ονομάζεται Combinatorics. Οι συνδυαστικές μελέτες μέθοδοι για την καταμέτρηση του αριθμού των στοιχείων στα τελικά σύνολα. Οι τύποι των συνδυαστικών χρησιμοποιούνται κατά τον υπολογισμό των πιθανοτήτων. Εξετάστε κάποιο σύνολο x αποτελούμενο από στοιχεία n. Θα επιλέξουμε από αυτό το σύνολο διαφορετικών διαταγμένων υποστρωσών Y από το K Elements. Με την τοποθέτηση από τα στοιχεία του Set X by k στοιχεία, ονομάζουμε οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο στοιχείων του SET X. Εάν η επιλογή των στοιχείων του συν σειρά x εμφανίζεται με την επιστροφή, δηλ. Κάθε στοιχείο του Set X μπορεί να επιλεγεί αρκετές φορές, ο αριθμός διαμονής από το N από k βρίσκεται σύμφωνα με τον τύπο (τοποθέτηση με επανάληψη). Εάν η επιλογή γίνεται χωρίς επιστροφή, δηλ. Κάθε στοιχείο του SET X μπορεί να επιλέξει μόνο μία φορά, ο αριθμός των διαμονής από το N από k δηλώνεται και καθορίζεται από την ισότητα (τοποθέτηση χωρίς επαναλήψεις). Μια ειδική περίπτωση τοποθέτησης στο n \u003d k ονομάζεται μετάθεση από n στοιχεία. Ο αριθμός όλων των μεταβολών από τα στοιχεία n ισούται με τώρα από το σύνολο x, ένα μη συνδεδεμένο υποσύνολο Y (η σειρά των στοιχείων του υποσύνολα δεν έχει σημασία). Συνδυάζει από το n στοιχεία σύμφωνα με το Κ ονομάζεται υποσύνολα από στοιχεία Κ που διαφέρουν μεταξύ τους τουλάχιστον ένα στοιχείο. Ο συνολικός αριθμός όλων των συνδυασμών από το N με k υποδεικνύεται και εξίσου ίσο με την ισότητα:, κατά την επίλυση προβλημάτων, τα συνδυαστικά χρησιμοποιούν τους ακόλουθους κανόνες: ο κανόνας του κανόνα. Εάν κάποιο αντικείμενο Α μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο των μεθόδων m των αντικειμένων, και ένας άλλος σκοπός σε μπορεί να επιλεγεί με n μεθόδους και στη συνέχεια να επιλέξει είτε μία είτε σε μεθόδους m + n. Τον κανόνα του έργου. Εάν το αντικείμενο Α μπορεί να επιλεγεί από τη σύνολο αντικειμένων m μεθόδους και μετά από κάθε επιλογή, το αντικείμενο σε μπορεί να επιλεγεί από το n σε μεθόδους, τότε ένα ζεύγος αντικειμένων (a, b) στην καθορισμένη σειρά μπορεί να επιλεγεί m * n Μέθοδοι.

2.2 Θεωρία πιθανότητας

Στην καθημερινή ζωή, στην πρακτική και επιστημονική δραστηριότητα, παρατηρούμε συχνά ορισμένα φαινόμενα, πραγματοποιούμε ορισμένα πειράματα. Ένα συμβάν που μπορεί να συμβεί και μπορεί να μην εμφανιστεί στη διαδικασία παρατήρησης ή πειραματισμού, που ονομάζεται τυχαίο συμβάν. Για παράδειγμα, ένας λαμπτήρας κρέμεται κάτω από την οροφή - κανείς δεν ξέρει πότε είναι υπερβολική. Κάθε τυχαίο συμβάν είναι συνέπεια της δράσης τόσων τυχαίων μεταβλητών (η δύναμη με την οποία ρίχνεται το νόμισμα, το σχήμα του νομίσματος και πολλά άλλα). Είναι αδύνατο να ληφθεί υπόψη η επίδραση στο αποτέλεσμα όλων αυτών των λόγων, δεδομένου ότι ο αριθμός αυτών είναι μεγάλος και οι νόμοι της δράσης είναι άγνωστες. Τα πρότυπα τυχαίων γεγονότων μελετούν ένα ειδικό τμήμα των μαθηματικών, το οποίο ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων. Η θεωρία πιθανοτήτων δεν καθορίζει μια εργασία για να προβλέψει, ένα μόνο συμβάν θα συμβεί ή όχι - απλά δεν μπορεί να το κάνει. Εάν μιλάμε για μαζικά ομοιογενή τυχαία γεγονότα, στη συνέχεια υπακούουν σε ορισμένα πρότυπα, δηλαδή πιθανοτικές νομοθεσίες. Πρώτον, ας εξετάσουμε την ταξινόμηση των γεγονότων. Υπάρχουν συνεργατικά και ελλιπή γεγονότα. Τα γεγονότα ονομάζονται άρθρωση, εάν η προσβολή ενός από αυτά δεν αποκλείει την έναρξη του άλλου. Διαφορετικά, η εκδήλωση ονομάζεται ελλιπής. Για παράδειγμα, δύο οστά παιχνιδιού είναι δεμένα. Εκδήλωση Α - Πτώση τριών σημείων στο πρώτο παιχνίδι BOY, το συμβάν Β - ρίχνει τρία σημεία στο δεύτερο οστό. Α και Β - Κοινά γεγονότα. Αφήστε το κατάστημα να εισέλθει στην αποθήκη παπουτσιών ενός στυλ και μεγέθους, αλλά διαφορετικών χρωμάτων. Εκδήλωση A - Ruadach που πήρε το κουτί θα είναι με ένα μαύρο παπούτσι, ένα συμβάν Β - το κουτί θα είναι με ένα καφέ παπούτσι, ένα και β - ελλιπή γεγονότα. Η εκδήλωση ονομάζεται αξιόπιστη αν σίγουρα θα συμβεί στις συνθήκες αυτής της εμπειρίας. Η εκδήλωση καλείται αδύνατη αν δεν μπορεί να συμβεί υπό τους όρους αυτής της εμπειρίας. Για παράδειγμα, ένα γεγονός, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι ένα τυποποιημένο τμήμα θα ληφθεί από το κόμμα των τυποποιημένων εξαρτημάτων, είναι αξιόπιστο και το μη πρότυπο είναι αδύνατο. Το συμβάν καλείται πιθανό ή τυχαίο, εάν ως αποτέλεσμα της εμπειρίας μπορεί να εμφανιστεί, αλλά ενδέχεται να μην εμφανιστεί. Ένα παράδειγμα τυχαίας εκδήλωσης μπορεί να είναι η ταυτοποίηση των ελαττωμάτων του προϊόντος κατά τον έλεγχο μιας παρτίδας τελικών προϊόντων, μη συμμόρφωση του μεγέθους του επεξεργασμένου προϊόντος, η αποτυχία μιας από τις μονάδες του αυτοματοποιημένου συστήματος ελέγχου. Τα γεγονότα ονομάζονται ισορροπία εάν, υπό τις συνθήκες δοκιμής, κανένα από αυτά τα συμβάντα δεν είναι αντικειμενικά πιο δυνατά από άλλα. Για παράδειγμα, αφήστε το κατάστημα να τροφοδοτήσει ηλεκτρικούς λαμπτήρες (και σε ίσες ποσότητες) αρκετούς κατασκευαστές. Τα γεγονότα στην αγορά ελαφρών λαμπτήρων οποιουδήποτε από αυτά τα φυτά είναι ίσα. Μια σημαντική ιδέα είναι μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Αρκετά γεγονότα σε αυτή την εμπειρία αποτελούν μια πλήρη ομάδα εάν, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, τουλάχιστον ένας από αυτούς θα εμφανιστεί σίγουρα. Για παράδειγμα, υπάρχουν δέκα μπάλες στο Urn, εκ των οποίων έξι κόκκινες μπάλες, τέσσερις λευκές και πέντε μπάλες έχουν αριθμούς. Α - Η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας σε μια εκχύλιση, β - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας, C - η εμφάνιση μιας μπάλας με τον αριθμό. Τα γεγονότα Α, Β, Γ αποτελούν μια πλήρη ομάδα κοινών γεγονότων. Το συμβάν μπορεί να είναι αντίθετο ή προαιρετικό. Κάτω από το αντίθετο γεγονός, κατανοείται ως γεγονός που πρέπει να συμβεί εάν δεν υπήρξε κάποιο γεγονός Α. Τα αντίθετα γεγονότα είναι ασυνεπή και το μόνο δυνατό. Αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Για παράδειγμα, εάν μια παρτίδα κατασκευασμένων προϊόντων αποτελείται από κατάλληλα και ελαττωματικά, τότε κατά την αφαίρεση ενός προϊόντος, μπορεί να είναι είτε κατάλληλη - συμβάν ένα ή ελαττωματικό συμβάν. Εξετάστε ένα παράδειγμα. Ρίξτε ένα κύβο παιχνιδιού (δηλ. Ένας μικρός κύβος, στις άκρες των οποίων τα γυαλιά 1, 2, 3, 4, 5, 6 σπάσουν). Όταν ρίχνετε έναν κύβο παιχνιδιού στο επάνω πρόσωπο του, ένα σημείο μπορεί να πέσει έξω, δύο σημεία, τρία σημεία κλπ. Κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι τυχαία. Διεξήγαγε μια τέτοια δοκιμή. Ο κύβος παίζοντας έριξε 100 φορές και παρακολούθησε πόσες φορές θα συμβεί το γεγονός "6 πόντοι έπεσαν στον κύβο". Αποδείχθηκε ότι σε αυτή τη σειρά πειραμάτων "έξι" έπεσαν 9 φορές. Ο αριθμός 9, ο οποίος δείχνει πόσες φορές συμβαίνει το συμβάν σε αυτή τη δοκιμή, ονομάζεται συχνότητα αυτού του συμβάντος και ο λόγος συχνότητας στον συνολικό αριθμό των δοκιμών, ίσου, ονομάζεται σχετική συχνότητα αυτού του συμβάντος. Σε γενικές γραμμές, αφήστε μια συγκεκριμένη δοκιμή να διεξαχθεί επανειλημμένα με τις ίδιες συνθήκες και ταυτόχρονα κάθε φορά να σταθεροποιηθεί ή δεν υπάρχει γεγονός που μας ενδιαφέρει. Η πιθανότητα του συμβάντος υποδεικνύεται από το μεγάλο λατινικό γράμμα P. τότε το πιθανότητα γεγονότων και θα δηλώσουμε: P (A). Κλασικός ορισμός της πιθανότητας: η πιθανότητα συμβάντος Α είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των περιπτώσεων M που συμβάλλουν σε αυτό, από τον συνολικό αριθμό NS των μοναδικών, ίσων και ασυνεπών περιπτώσεων στον αριθμό n, δηλαδή, επομένως, να βρουν Η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο: να εξεταστεί διάφορα αποτελέσματα δοκιμών. Βρείτε το συνδυασμό της μόδας δυνατού, ισορροπίας και ασυνέπειων, για να υπολογίσετε το συνολικό τους n, τον αριθμό των περιπτώσεων M, συμβάλλουν σε αυτό το συμβάν. Εκτελέστε τον υπολογισμό από τον τύπο. Από τον τύπο ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και μπορεί να ποικίλει στην περιοχή από το μηδέν σε ένα, ανάλογα με το οποίο ένα κλάσμα είναι ένας ευνοϊκός αριθμός περιπτώσεων από τον συνολικό αριθμό των περιπτώσεων: Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα. Υπάρχουν 10 μπάλες στο κουτί. 3 από αυτά είναι κόκκινα, 2 - πράσινα, τα υπόλοιπα είναι λευκά. Βρείτε την πιθανότητα ότι η αποκαλυφθείσα σε τυχαία μπάλα θα είναι κόκκινο, πράσινο ή λευκό. Η εμφάνιση κόκκινων, πράσινων και λευκών μπάλων αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Δηλώνουν την εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας - ένα γεγονός α, την εμφάνιση ενός πράσινου γεγονότος, την εμφάνιση του λευκού - την εκδήλωση Γ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους τύπους που καταγράφονται παραπάνω, λαμβάνουμε: ; Σημειώστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα δύο ζεύγη ελλιπών συμβάντων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. Η σχετική συχνότητα του συμβάντος ονομάζεται στάση του αριθμού των πειραμάτων, ως αποτέλεσμα της οποίας συνέβη ένα συμβάν και στον συνολικό αριθμό των πειραμάτων. Η διαφορά μεταξύ της σχετικής συχνότητας στην πιθανότητα είναι ότι η πιθανότητα υπολογίζεται χωρίς άμεση εργασία των πειραμάτων, αλλά σχετική συχνότητα μετά την εμπειρία. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, αν οι 5 μπάλες εξήχθησαν από το κιβώτιο και 2 από αυτούς ήταν κόκκινοι, τότε εμφανίστηκε η σχετική συχνότητα της κόκκινης σφαίρας: όπως μπορεί να φανεί, αυτή η τιμή δεν συμπίπτει με την πιθανότητα που βρέθηκε. Με ένα επαρκώς μεγάλο αριθμό περιγραμμάτων που παράγονται, η σχετική συχνότητα αλλάζει ελάχιστα, διστάζει περίπου έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός μπορεί να γίνει δεκτός για την πιθανότητα ενός γεγονότος. Γεωμετρική πιθανότητα. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας υποθέτει ότι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων φυσικά, ο οποίος περιορίζει επίσης την εφαρμογή της στην πράξη. Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η δοκιμή με άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων, χρησιμοποιείται ο ορισμός μιας γεωμετρικής πιθανότητας - το σημείο στην περιοχή. Κατά τον προσδιορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας, πιστεύεται ότι υπάρχει μια περιοχή n και σε αυτό μια μικρότερη περιοχή Μ. Στην περιοχή n, η αντλία ρίχνεται στο σημείο (αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της περιοχής n "ίση" σε σχέση στο αναπτυσσόμενο σημείο εκεί). Εκδήλωση Α - "Χτυπήστε το ρίχτον σημείο στην περιοχή M." Η περιοχή M ονομάζεται ευνοϊκό γεγονός Α. Η πιθανότητα εισόδου οποιουδήποτε μέρους Ν είναι ανάλογη με την έκταση αυτού του τμήματος και δεν εξαρτάται από τη θέση και τη μορφή του. Η περιοχή στην οποία κατανέμεται η γεωμετρική πιθανότητα να είναι: ένα τμήμα (μέτρο είναι το μήκος) ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο (το μέτρο είναι η περιοχή) το γεωμετρικό σώμα στο διάστημα (το μέτρο είναι ο όγκος) θα δώσουμε έναν ορισμό του ορισμού μια γεωμετρική πιθανότητα για μια επίπεδη φιγούρα. Ας m να είναι μέρος του N. Event A Αποτελείται από το χτύπημα με τυχαία εγκαταλείψει την περιοχή N Point στην περιοχή M. Η γεωμετρική πιθανότητα εκδήλωσης Α ονομάζεται περιοχή της περιοχής Μ στην περιοχή της περιοχής n : Ενώ η πιθανότητα να χτυπήσει το τυχαία εγκαταλελειμμένο σημείο στο όριο της περιοχής θεωρείται μηδέν. Εξετάστε ένα παράδειγμα: Το μηχανικό ρολόι με ένα δώδεκα ωρών έσπασε και σταμάτησε το περπάτημα. Βρείτε την πιθανότητα ότι η ώρα βέλους πάγωσε, φτάνοντας στο Mark 5, αλλά δεν φθάσαι 8 ώρες. Απόφαση. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι άπειρος, εφαρμόστε τον ορισμό μιας γεωμετρικής πιθανότητας. Ο τομέας μεταξύ 5 και 8 ωρών αποτελεί μέρος της περιοχής ολόκληρου του επιλογέα. Λειτουργίες εκδηλώσεων: Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ίση, εάν η εφαρμογή της εκδήλωσης και συνεπάγεται την εφαρμογή της εκδήλωσης και αντιστρόφως. Η ένωση ή το ποσό των γεγονότων ονομάζεται συμβάν Α, πράγμα που σημαίνει την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα. A \u003d διασταύρωση ή εργασία συμβάντων είναι ένα γεγονός Α, το οποίο πρόκειται να υλοποιήσει όλα τα γεγονότα. A \u003d? Η διαφορά των γεγονότων Α και Β ονομάζεται ένα γεγονός με, πράγμα που σημαίνει ότι συμβαίνει ένα συμβάν ένα, αλλά το συμβάν δεν συμβαίνει V. C \u003d a \\ b παράδειγμα: a + b - "πτώση 2; τέσσερα; 6 ή 3 μονάδες "Α Β -" Έπεσε 6 πόντους "Α - Β -" έπεσε 2 και 4 βαθμοί "επιπλέον στην εκδήλωση, αλλά ονομάζεται ένα γεγονός που σημαίνει ότι το γεγονός δεν συμβαίνει. Τα στοιχειώδη αποτελέσματα της εμπειρίας είναι τα ακόλουθα αποτελέσματα της εμπειρίας που αποκλείει αμοιβαία ο ένας τον άλλον και, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, συμβαίνει ένα από αυτά τα γεγονότα, πράγμα που θα είχε επίσης ένα γεγονός Α, σύμφωνα με το επόμενο στοιχειώδες αποτέλεσμα, μπορεί να κριθεί Είτε συμβεί είτε αυτό το γεγονός δεν συμβαίνει. Ο συνδυασμός όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεται χώρος στοιχειωδών γεγονότων. Ακίνητα των πιθανοτήτων: Ακίνητα 1. Εάν όλες οι περιπτώσεις είναι ευνοϊκές αυτό το συμβάν Α, αυτό το γεγονός σίγουρα θα συμβεί. Κατά συνέπεια, η υπό εξέταση εκδήλωση είναι αξιόπιστη και η πιθανότητα εμφάνισης της, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή το ακίνητο 2. Εάν δεν υπάρχει ενιαία περίπτωση που ευνοεί αυτό το γεγονός, το γεγονός αυτό δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα της εμπειρίας. Κατά συνέπεια, η υπό εξέταση εκδήλωση είναι αδύνατη και η πιθανότητα εμφάνισης της, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή m \u003d 0: ιδιοκτησία 3. Η πιθανότητα εμφάνισης συμβάντων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με μία. Ακίνητα 4 Η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και η πιθανότητα εμφάνισης, γεγονότα Α: όπου (n-m) είναι ο αριθμός των περιπτώσεων που ευνοούν την εμφάνιση του αντίθετου συμβάντος. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα του αντίθετου συμβάντος είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και της πιθανότητας ενός γεγονότος α: προσθήκη και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων. Η εκδήλωση Α ονομάζεται ειδική περίπτωση γεγονότων σε, αν στην εμφάνιση ενός ερχόμενου και V. Ποια είναι η ειδική περίπτωση, γράψτε ένα; Β. Τα συμβάντα Α και Β ονομάζονται ίση, αν ο καθένας από αυτούς είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση άλλου. Ισότητα των γεγονότων Α και σε καταγραφή Α \u003d V. Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β ονομάζεται εκδήλωση Α + Β, η οποία έρχεται τότε και μόνο όταν τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα έρχεται: Α ή Β. Θεωρήστε την προσθήκη πιθανοτήτων 1. Η πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα δύο ασυνεπή γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. P \u003d P + P Σημειώστε ότι το διαμορφωμένο το θεώρημα ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό ελλιπών συμβάντων: εάν τα τυχαία συμβάντα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ελλιπών συμβάντων, τότε η ισότητα P + P + ... + p \u003d 1 από το έργο των γεγονότων Το Α και Β ονομάζεται εκδήλωση AB που έρχεται και μόνο αν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα: Α και ταυτόχρονα. Τυχαία συμβάντα Α και Β ονομάζονται άρθρωση, αν και τα δύο αυτά συμβάντα ενδέχεται να εμφανιστούν με αυτή τη δοκιμή. Το θεώρημα της προσθήκης πιθανοτήτων 2. Η πιθανότητα της ποσότητας των συμβάντων άρθρωσης υπολογίζεται από τον τύπο P \u003d P + P-P Παραδείγματα καθηκόντων για το θεώρημα προσθήκης. Κατά την εξέταση της γεωμετρίας, ένας μαθητής παίρνει μία ερώτηση από τον κατάλογο των θεμάτων εξέτασης. Η πιθανότητα ότι πρόκειται για μια ερώτηση σχετικά με το θέμα "εγγεγραμμένος κύκλος" είναι 0,2. Η πιθανότητα ότι πρόκειται για μια ερώτηση σχετικά με το θέμα "Τα παράλληλα προγράμματα" είναι 0,15. Ερωτήσεις που ταυτόχρονα αναφέρονται σε αυτά τα δύο θέματα, όχι. Βρείτε την πιθανότητα ότι η εξέταση του φοιτητή θα έχει μια ερώτηση σε ένα από αυτά τα δύο θέματα. Απόφαση. Η πιθανότητα του ποσού δύο ασυνεπών συμβάντων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων: 0,2 + 0,15 \u003d 0,35. Απάντηση: 0,35. Στο εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπα μηχανήματα πωλούν καφέ. Η πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας στο μηχάνημα θα τελειώσει τον καφέ, ίσο με 0,3. Η πιθανότητα ότι ο καφές θα τελειώσει και στα δύο μηχανήματα είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας ο καφές θα παραμείνει και στα δύο μηχανήματα. Απόφαση. Εξετάστε τα γεγονότα Α - "Ο καφές θα τελειώσει στο πρώτο αυτοματοποιημένο", ο καφές θα τελειώσει στο δεύτερο μηχάνημα. " Στη συνέχεια, ένας καφές θα τελειώσει και στα δύο μηχανήματα ", ο καφές A + B -" θα τελειώσει τουλάχιστον ένα μηχάνημα ". Κάτω από την κατάσταση Ρ (α) \u003d Ρ (Β) \u003d 0,3; P (a · b) \u003d 0,12. Εκδηλώσεις Α και Β, η πιθανότητα του ποσού των δύο κοινών γεγονότων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα εργασίας τους: p (a + b) \u003d p (a) + p (b); P (a · b) \u003d 0,3 + 0,3; 0,12 \u003d 0,48. Κατά συνέπεια, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος που συνίσταται στο γεγονός ότι ο καφές θα παραμείνει και στα δύο μηχανήματα, είναι 1; 0,48 \u003d 0,52. Απάντηση: 0,52. Εκδηλώσεις Τα συμβάντα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα του άλλου. Η εκδήλωση Α ονομάζεται εξαρτώμενη από το συμβάν μέσα εάν η πιθανότητα συμβάντος Α κυμαίνεται ανάλογα με το αν ένα συμβάν ή δεν συνέβη. Η πιθανότητα υπό όρους Πιθανότητα P (a | b) ονομάζεται πιθανότητα που υπολογίζεται υπό την προϋπόθεση ότι το συμβάν που συνέβη. Ομοίως, μέσω του P (B | A) υποδηλώνει την υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος κατά την προϋπόθεση ότι ήρθε. Για ανεξάρτητα γεγονότα εξ ορισμού P (a | b) \u003d P (a). P (B | A) \u003d P (b) Το θεώρημα πολλαπλασιασμού για εξαρτώμενα γεγονότα Η πιθανότητα του προϊόντος εξαρτώμενων συμβάντων ισούται με το έργο του V0.01 \u003d 0.0198 + 0.0098 \u003d 0.0296. Απάντηση: 0,0296.

Το 2003, αποφασίστηκε να συμπεριληφθούν τα στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας στη σχολική πορεία των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (διδακτική επιστολή αριθ. 03-93in / 13-03 της 23ης Σεπτεμβρίου 2003 του Υπουργείου Παιδείας των Ρωσικών Ομοσπονδία "σχετικά με την εισαγωγή στοιχείων συνδυαστικών, στατιστικών και θεωρίας πιθανοτήτων στο περιεχόμενο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης Κύριο Σχολή", "Μαθηματικά στο σχολείο", αριθ. 9 για το 2003). Μέχρι αυτή τη στιγμή, τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων για περισσότερα από δέκα χρόνια σε μια ποικίλη μορφή ήταν παρόντα στα γνωστά σχολικά εγχειρίδια άλγεβρες για διαφορετικές κατηγορίες (για παράδειγμα, εάν "άλγεβρα: εγχειρίδια για 7-9 κατηγορίες γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" Επεξεργασμένο από τον GVDorofeyev. "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης: μαθήματα για 10-11 Μαθήματα γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" G.V.Dorofeev, L.V. Kuznetsova, Ε.Α. Sedov "), και με τη μορφή μεμονωμένων εγχειριδίων. Ωστόσο, η παρουσίαση του υλικού σχετικά με τη θεωρία της πιθανότητας σε αυτά, κατά κανόνα, δεν ήταν συστηματικό, και οι δάσκαλοι, συνήθως, δεν έφεραν σε αυτά τα τμήματα, δεν τα συμπεριλάμβαναν στο πρόγραμμα σπουδών. Το έγγραφο που εγκρίθηκε από το Υπουργείο Παιδείας το 2003 προέβλεπε τη σταδιακή, σταδιακή συμπερίληψη αυτών των τμημάτων στα σχολικά μαθήματα, επιτρέποντας στη διδακτική κοινότητα να προετοιμαστεί για τις κατάλληλες αλλαγές. Το 2004-2008 Υπάρχουν ορισμένα μαθήματα που συμπληρώνουν τα υπάρχοντα εγχειρίδια άλγεβρα. Αυτή είναι η δημοσίευση Tyurin Yu.n., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Θεωρία της πιθανότητας και των στατιστικών", Tyurin Yu.n., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko i.v. "Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικά στοιχεία: Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δάσκαλο", Makarychev Yu.n., Mindyuk N.G. "Άλγεβρα: Στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων: Μελέτες. Εγχειρίδιο για τους μαθητές 7-9 Cl. γενική εκπαίδευση. Ιδρύματα ", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Στατιστικά στοιχεία και πιθανότητα: Μελέτες. Εγχειρίδιο για 7-9 CB. γενική εκπαίδευση. ιδρύματα. " Τα μεθοδολογικά εγχειρίδια προέκυψαν επίσης για να βοηθήσουν τους εκπαιδευτικούς. Για πολλά χρόνια, όλες αυτές οι βοηθητικές ενισχύσεις δοκιμάστηκαν στα σχολεία. Υπό συνθήκες, όταν τελείωσε η μεταβατική περίοδος υλοποίησης στα σχολικά προγράμματα, και τα τμήματα των στατιστικών και της θεωρίας πιθανοτήτων έλαβαν τη θέση τους στην τάξη 7-9, ανάλυση και κατανόηση της συνοχής των βασικών ορισμών και των ονομασιών που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτές τις εκπαιδευτικές ενισχύσεις . Όλα αυτά τα μαθήματα δημιουργήθηκαν ελλείψει παραδόσεων διδασκαλίας αυτών των τμημάτων των μαθηματικών στο σχολείο. Μια τέτοια έλλειψη δωρεάν ή άθελα προκάλεσε τους συγγραφείς εγχειριδίων για σύγκριση με τα υπάρχοντα εγχειρίδια για τα πανεπιστήμια. Το τελευταίο, ανάλογα με τις καθιερωμένες παραδόσεις σε μεμονωμένες ειδικότητες, το ανώτατο σχολείο επέτρεψε συχνά μια σημαντική ορολογική διαφορά και διαφορές στις ονομασίες βασικών εννοιών και αρχείων των τύπων. Η ανάλυση του περιεχομένου του προαναφερθέντος σχολικού βιβλίου δείχνει ότι σήμερα κληρονόμησαν αυτά τα χαρακτηριστικά από τα εγχειρίδια του Ανώτατου Σχολείου. Με μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η επιλογή ενός συγκεκριμένου εκπαιδευτικού υλικού σε μια νέα για τα σχολικά τμήματα των μαθηματικών που σχετίζεται με την έννοια του "τυχαίου", παρουσιάζεται σήμερα το μεγαλύτερο μέρος που δεν είναι τυχαία, μέχρι τα ονόματα και τους ονομασίες. Ως εκ τούτου, οι ομάδες των συγγραφέων των κορυφαίων σχολικών σχολικών βιβλίων σχετικά με τη θεωρία πιθανοτήτων και των στατιστικών σχολείο για τη θεωρία και στατιστικά στοιχεία πιθανότητας. Θα αναλύσουμε την εισαγωγή του θέματος "Θεωρία της πιθανότητας" στα σχολικά εγχειρίδια. ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ: Περιεχόμενο της διδασκαλίας του θέματος "Στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας", που διατίθενται στο "Πρόγραμμα για τα γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα. Μαθηματικά", εξασφαλίζει την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών τους ικανοτήτων, προσανατολισμού σε επαγγέλματα, που σχετίζονται ουσιαστικά με τα μαθηματικά, την κατάρτιση για υψηλά σχολείο. Η ιδιαιτερότητα του μαθηματικού περιεχομένου του υπό εξέταση θέματος μας επιτρέπει να καθορίσουμε το κατανεμημένο βασικό καθήκον μιας εμπεριστατωμένης μελέτης των μαθηματικών ως εξής. 1. Συνεχίστε τη γνωστοποίηση των μαθηματικών, ως σύστημα εκπεκτής γνώσης. - να οικοδομήσουμε ένα σύστημα ορισμών των βασικών εννοιών. - να εντοπίσει τις πρόσθετες ιδιότητες των εννοιών που εισάγονται · - Καθιέρωση των συνδέσεων των εισαχθέντων και προηγουμένως μελετημένες έννοιες. 2. Συστηματίζει ορισμένους πιθανοτικούς τρόπους για την επίλυση προβλημάτων. Αποκαλύψτε την επιχειρησιακή σύνθεση της αναζήτησης λύσεων συγκεκριμένων τύπων εργασιών. 3. Δημιουργήστε συνθήκες κατανόησης και επίγνωση των φοιτητών της βασικής ιδέας της πρακτικής σημασίας της θεωρίας πιθανοτήτων, αναλύοντας τα κύρια θεωρητικά γεγονότα. Αποκαλύπτουν πρακτικές εφαρμογές που μελετήθηκαν σε αυτή τη θεωρία. Το επίτευγμα των κατάλληλων εκπαιδευτικών στόχων θα συμβάλει στην επίλυση των ακόλουθων καθηκόντων: 1. Για να σχηματίσουν μια ιδέα διαφόρων τρόπων για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος (στατιστική, κλασική, γεωμετρική, αξιωματική) 2. Βασικές λειτουργίες σχετικά με τα γεγονότα και την ικανότητα να τα εφαρμόζουν για να περιγράψουν ορισμένα γεγονότα μέσω άλλων. 3. αποκαλύπτουν την ουσία της θεωρίας της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων · Προσδιορίστε τα όρια της χρήσης αυτών των θεωρήσεων. Δείχνουν τις εφαρμογές τους να εξάγουν πλήρεις τύπους πιθανοτήτων. 4. να προσδιορίσει τους αλγόριθμους για την εξεύρεση της πιθανότητας των συμβάντων α) σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας · β) στη θεωρία της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού · γ) Σύμφωνα με τον τύπο0.99 + 0.98p (a | BN) Εξετάστε ένα παράδειγμα: Η αυτόματη γραμμή κατασκευάζει τις μπαταρίες. Η πιθανότητα ότι η τελική μπαταρία είναι ελαττωματική είναι 0,02. Πριν από τη συσκευασία, κάθε μπαταρία υποβάλλεται στο σύστημα ελέγχου. Η πιθανότητα ότι το σύστημα παίρνει την ελαττωματική μπαταρία είναι 0,99. Η πιθανότητα ότι το σύστημα σφάλματος παίρνει την ενεργή μπαταρία είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα να απορριφθεί η μπαταρία που επιλέγεται από τη συσκευασία. Απόφαση. Η κατάσταση στην οποία η μπαταρία θα απορριφθεί μπορεί να είναι ως αποτέλεσμα συμβάντων: α - "η μπαταρία είναι πραγματικά ελαττωματική και απορρίπτεται σωστά" ή σε - "η μπαταρία είναι καλή, αλλά κατά λάθος απορρίπτεται." Αυτά είναι ελλιπή γεγονότα, η πιθανότητα του ποσού τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. Έχουμε: P (a + b) \u003d p (a) + p (b) \u003d 0,02p (a | b3) + ... + p (bn) p (a | b2) + p (b3) p (a | B1) + P (B2) Aimedice ενός από αυτά στην υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπό την προϋπόθεση ότι η πρώτη συνέβη: P (AB) \u003d P (A) P (B | A) P (AB) \u003d P (AB) \u003d P (AB) \u003d P (AB) \u003d P ( β) P (a | b) (ανάλογα με το γεγονός που συνέβη πρώτα). Φορέστε το θεώρημα: το θεώρημα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα. Η πιθανότητα του έργου ανεξάρτητων συμβάντων ισούται με το προϊόν της πιθανότητας τους: P (Ab) \u003d P (A) P (b) εάν a και σε ανεξάρτητο, τότε ανεξάρτητο και ζεύγη: (, C), (ένα). Παραδείγματα εργασιών σχετικά με το θεώρημα πολλαπλασιασμού: Εάν ο Grandmaster A. παίζει λευκό, τότε κερδίζει στο Grandmaster B. με πιθανότητα 0,52. Εάν το A. παίζει μαύρο, Α. Κερδίζω στο Β. Με πιθανότητα 0,3. Οι γιαγιά Α. Και Β. Παίξτε δύο παρτίδες, και στη δεύτερη παρτίδα, το χρώμα των αριθμών αλλάζουν. Βρείτε την πιθανότητα ότι το A. κερδίζει και τις δύο φορές. Απόφαση. Η ικανότητα να κερδίσει την πρώτη και τη δεύτερη παρτίδα δεν εξαρτάται ο ένας από τον άλλο. Η πιθανότητα του έργου ανεξάρτητων γεγονότων ισούται με το προϊόν της πιθανότητας τους: 0,52 · 0,3 \u003d 0,156. Απάντηση: 0,156. Το κατάστημα έχει δύο πλατφόρμες. Κάθε ένας από αυτούς μπορεί να είναι ελαττωματικός με πιθανότητα 0,05 ανεξάρτητα από την άλλη μηχανή. Βρείτε την πιθανότητα να λειτουργήσει τουλάχιστον ένα μηχάνημα. Απόφαση. Βρίσκουμε την πιθανότητα ότι και τα δύο μηχανήματα είναι ελαττωματικά. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα εργασίας τους είναι ίση με το προϊόν των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων: 0,05 · 0,05 \u003d 0,0025. Το συμβάν, που αποτελείται από το γεγονός ότι είναι κατά κάποιο τρόπο τουλάχιστον ένα μόνο μηχάνημα απέναντι. Κατά συνέπεια, η πιθανότητά του είναι ίση με 1; 0.0025 \u003d 0.9975. Απάντηση: 0,9975. Ο τύπος της πλήρους πιθανότητας της συνέπειας των θεωρήσεων προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων είναι ο τύπος της πλήρους πιθανότητας: η πιθανότητα P (α) των συμβάντων Α, η οποία μπορεί να συμβεί μόνο υπό την κατάσταση ενός από τα συμβάντα (υποθέσεις) b1 , B2, B3 ... BN, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα σε ζεύγη ατελών γεγονότων, ισούται με το ποσό της πιθανότητας κάθε ένα από τα συμβάντα (υποθέσεις) B1, B2, B3, ..., στο αντίστοιχο υπό όρους Πιθανότητες του συμβάντος Α: Ρ (α) \u003d Ρ (Β1) μιας πλήρους πιθανότητας. 5. Για να διαμορφώσετε μια συνταγή που σας επιτρέπει να επιλέξετε ορθολογικά έναν από τους αλγορίθμους κατά την επίλυση μιας συγκεκριμένης εργασίας. Αφιερωμένους εκπαιδευτικούς σκοπούς για τη μελέτη των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων που συμπληρώνει την ανάπτυξη και τους εκπαιδευτικούς σκοπούς. Ανάπτυξη στόχων: Για να σχηματίσουν φοιτητές σταθερό ενδιαφέρον για το θέμα, προσδιορίζουν και να αναπτύσσουν μαθηματικές ικανότητες. Στη διαδικασία μάθησης, την ανάπτυξη ομιλίας, σκέψης, συναισθηματικών και ατόμων και κινητικών πεδίων. Ανεξάρτητη εύρεση φοιτητών νέων τρόπων επίλυσης προβλημάτων και καθηκόντων. Την εφαρμογή της γνώσης σε νέες καταστάσεις και περιστάσεις · Αναπτύξτε την ικανότητα να εξηγήσετε τα γεγονότα, οι συνδέσεις μεταξύ των φαινομένων, μετατρέψτε το υλικό από μια μορφή υποβολής σε άλλη (λεκτική, συμβολική, γραφική). Μάθηση Να αποδείξει την ορθή χρήση μεθόδων, βλέπε τη λογική της συλλογιστικής, της ομοιότητας και της διαφοράς των φαινομένων. Εκπαιδευτικοί στόχοι: Να διαμορφώσει τις ηθικές και αισθητικές ιδέες από τους μαθητές, το σύστημα απόψεων στον κόσμο, τη δυνατότητα να ακολουθήσουν τους κανόνες της συμπεριφοράς στην κοινωνία. αποτελούν τις ανάγκες της προσωπικότητας, τα κίνητρα της κοινωνικής συμπεριφοράς, των δραστηριοτήτων, των αξιών και των προσανατολισμών αξίας · Πρακτική προσωπικότητα ικανή για αυτοπεποίθηση και αυτοπεποίθηση. Θα αναλύσουμε το εγχειρίδιο για την άλγεβρα για τον βαθμό 9 "άλγεβρα: στοιχεία στατιστικών στοιχείων και η θεωρία των πιθανοτήτων" makarychev yu.n. Αυτό το σεμινάριο προορίζεται για φοιτητές στους βαθμούς 7-9, συμπληρώνει τα εγχειρίδια: makarychev yu.n., Mindyuk N.G., Neshkov Κ.Ι., Suvorov S.B. "Άλγεβρα 7", "Άλγεβρα 8", "Άλγεβρα 9", που εκδόθηκε από Telyakovsky S.A. Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερις παραγράφους. Κάθε στοιχείο περιέχει θεωρητικές πληροφορίες και κατάλληλες ασκήσεις. Στο τέλος του σημείου υπάρχουν οι ασκήσεις για επανάληψη. Κάθε παράγραφος παρέχει πρόσθετες ασκήσεις υψηλότερου επιπέδου πολυπλοκότητας σε σύγκριση με τις κύριες ασκήσεις. Σύμφωνα με το "πρόγραμμα γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" για να μελετήσει το θέμα "Θεωρία της πιθανότητας και στατιστικών" στο σχολικό μάθημα, η άλγεβρα χορηγείται 15 ώρες. Το υλικό σε αυτό το θέμα πέφτει στην 9η τάξη και καθορίζεται στις επόμενες παραγράφους: §3 "Συνδυαστικά στοιχεία" Περιέχει 4 βαθμούς: Παραδείγματα συνδυαστικών εργασιών. Σε απλά παραδείγματα, αποδεικνύεται από τη λύση συνδυαστικών εργασιών με τη μέθοδο αλληλεπίδρασης για πιθανές επιλογές. Αυτή η μέθοδος απεικονίζεται με την κατασκευή ενός δέντρου πιθανών επιλογών. Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού εξετάζεται. Μεταβολές. Η ίδια η έννοια και ο τύπος για τον υπολογισμό της μετάθεσης εισάγονται. Κατάλυμα. Η έννοια εισάγεται σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ο τύπος του αριθμού των καταλυμάτων προέρχεται. Συνδυασμός. Την έννοια και τη φόρμουλα του αριθμού των συνδυασμών. Σκοπός της παρούσας παραγράφου είναι να δοθεί στους μαθητές διάφορους τρόπους να περιγράψουν όλα τα πιθανά στοιχειώδη γεγονότα σε διάφορους τύπους τυχαίας εμπειρίας. §4 "Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία πιθανοτήτων". Το περίγραμμα του υλικού αρχίζει με την εξέταση του πειράματος, μετά την οποία εισάγεται η έννοια του "τυχαίας εκδήλωσης" και η "σχετική συχνότητα ενός τυχαίου συμβάντος". Εισάγεται ο ορισμός στατιστικής και κλασικής πιθανότητας. Η παράγραφος ολοκληρώνεται από το στοιχείο "προσθήκη και πολλαπλασιασμός της πιθανότητας". Τα θεωρήματα της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων θεωρούνται, οι έννοιες που σχετίζονται με αυτές είναι ασυνεπείς, απέναντι, ανεξάρτητα γεγονότα. Αυτό το υλικό έχει σχεδιαστεί για φοιτητές που δείχνουν ενδιαφέρον και κλίση στα μαθηματικά και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μεμονωμένες εργασίες ή σε εξωσχολικές μελέτες με φοιτητές. Οι μεθοδικές συστάσεις για αυτό το εγχειρίδιο παρατίθενται σε διάφορα άρθρα Makarychev και Mindyuk ("Στοιχεία Συγκομιστών στην σχολική χρονιά άλγεβρα", "Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων στο σχολικό έτος της άλγεβρας"). Εκτός από ορισμένες κρίσιμες παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το εγχειρίδιο εκπαίδευσης περιέχονται στο άρθρο του StudentHell και Fadeeva, η οποία θα συμβάλει στην πρόληψη σφαλμάτων όταν συνεργάζεται με αυτό το εγχειρίδιο. Σκοπός: μετάβαση από ποιοτική περιγραφή γεγονότων στη μαθηματική περιγραφή. Το θέμα "Θεωρία της πιθανότητας" στα εγχειρίδια Mordkovich A.G., Semenova P.V. Για 9-11 μαθήματα. Προς το παρόν, ένα από τα υπάρχοντα εγχειρίδια στο σχολείο είναι το βιβλίο Mordkovich A.G., Semenova P.V. "Εκδηλώσεις, πιθανότητες, Στατιστική επεξεργασία δεδομένων", υπάρχουν επίσης πρόσθετα κεφάλαια για 7-9 μαθήματα. Θα αναλύσουμε. Σύμφωνα με το πρόγραμμα εργασίας της Algebra για να μελετήσει το θέμα "Στοιχεία συνδυαστικών, στατιστικών στοιχείων και θεωρίας πιθανοτήτων", δίνονται 20 ώρες. Το υλικό στο θέμα "Θεωρία της πιθανότητας" αποκαλύπτεται στις ακόλουθες παραγράφους: § 1. Απλότερες συνδυαστικές εργασίες. Κανόνας πολλαπλασιασμού και επιλογές δέντρων. Μεταβολές. Αρχίζει με την εξέταση απλών συνδυαστικών εργασιών, λαμβάνεται υπόψη ένας πίνακας πιθανών επιλογών, η οποία δείχνει την αρχή του κανόνα πολλαπλασιασμού. Στη συνέχεια, τα δέντρα θεωρούνται πιθανές επιλογές και μεταβολές. Μετά το θεωρητικό υλικό, ακολουθούνται ασκήσεις για κάθε μία από τις υπο-ρήτρες. § 2. Επιλέγοντας πολλά στοιχεία. Συνδυασμός. Πρώτον, ο τύπος εμφανίζεται για 2 στοιχεία, στη συνέχεια για τρία και στη συνέχεια κοινά σε n στοιχεία. § 3. Τυχαία γεγονότα και τις πιθανότητες τους. Ο ορισμός της κλασικής πιθανότητας εισάγεται. Το Plus αυτού του εγχειριδίου είναι ότι είναι ένας από τους λίγους περιέχει αντικείμενα στα οποία εξετάζονται οι πίνακες και τα δέντρα επιλογών. Αυτά τα στοιχεία χρειάζονται, αφού είναι τα τραπέζια και τα δέντρα των επιλογών για να διδάξουν στους μαθητές να παρουσίασαν και την αρχική ανάλυση των δεδομένων. Επίσης σε αυτό το σεμινάριο, ο τύπος συνδυασμών εισάγεται με επιτυχία πρώτα για δύο στοιχεία, στη συνέχεια για τρεις και συνοψίζονται για n στοιχεία. Με τη συνδυαστική, το υλικό παρουσιάζεται επίσης. Κάθε παράγραφος περιέχει ασκήσεις, οι οποίες σας επιτρέπει να διορθώσετε το υλικό. Παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το εγχειρίδιο εκπαίδευσης περιέχονται στο άρθρο του StudentHell και Fadeeva. Στην 10η τάξη σε αυτό το θέμα, δίνονται τρεις παραγράφους. Στο πρώτο από αυτά, ο "κανόνας πολλαπλασιασμού. Αναδιατάξεις και παραγράψιμα ", εκτός από την πραγματικότητα ο κανόνας πολλαπλασιασμού, η κύρια εστίαση έγινε στο συμπέρασμα από αυτόν τον κανόνα δύο κύριων συνδυαστικών ταυτότητες: για τον αριθμό των μεταβολών και τον αριθμό όλων των πιθανών υποσυνόλων του σετ που αποτελείται από n στοιχεία. Ταυτόχρονα, τα εργοστάσια εισάγονται ως ένας βολικός τρόπος μείωσης της εγγραφής απόκρισης σε πολλά συγκεκριμένα συνδυαστικά καθήκοντα νωρίτερα από την έννοια της "μετάβασης". Στη δεύτερη παράγραφο 10 της κατηγορίας "Επιλογή διαφόρων στοιχείων. Οι διωνυμικοί συντελεστές "Οι κλασικές συνδυαστικές εργασίες θεωρήθηκαν ότι σχετίζονται με ταυτόχρονη (ή εναλλακτικά) επιλογή διαφόρων στοιχείων από ένα δεδομένο τελικό σύνολο. Το πιο σημαντικό και πραγματικά νέο για το ρωσικό ολοκληρωμένο σχολείο ήταν η τελική παράγραφος "τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους". Θεωρήθηκε κλασικό πιθανοτικό σχήμα, ο τύπος Ρ (Α + Β) + Ρ (ΑΒ) \u003d Ρ (Α) + Ρ (Β), Ρ () \u003d 1- P (Α), Ρ () \u003d 1- P () και τις μεθόδους χρήσης τους. Η παράγραφος έληξε με τη μετάβαση σε ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιμών με δύο αποτελέσματα. Αυτό είναι το πιο σημαντικό από πρακτική άποψη του πιθανοτικού μοντέλου (δοκιμασία Bernoulli), η οποία έχει σημαντικό αριθμό εφαρμογών. Το τελευταίο υλικό σχημάτισε τη μετάβαση μεταξύ του περιεχομένου του εκπαιδευτικού υλικού σε τάξεις 10 και 11. Στο θέμα της 11ης τάξης "στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων" δύο παραγράφους του εγχειριδίου και το βιβλίο εργασιών είναι αφιερωμένες. Στο § 22 μιλάμε για γεωμετρικές πιθανότητες, στην § 23, η γνώση των ανεξάρτητων επαναλήψεων δοκιμών με δύο αποτελέσματα επαναλαμβάνεται και επεκτείνεται.

Παρόμοια έγγραφα

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένα τμήμα των μαθηματικών, το οποίο μελετά τα πρότυπα τυχαίων φαινομένων: τυχαία γεγονότα, τυχαίες μεταβλητές, τις ιδιότητες και τις λειτουργίες τους πάνω τους. Μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία της πιθανότητας, τον προσδιορισμό της μαθηματικής προσδοκίας και της διασποράς.

Εξέταση, προστέθηκε 04.02.2012


Η μελέτη της θεωρίας πιθανοτήτων κατά τη διάρκεια του σχολικού προγράμματος σας επιτρέπει να αναπτύξετε λογική σκέψη στους μαθητές, τη δυνατότητα αφαίρεσης, να διαθέσετε την ουσία. Η ιστορία της θεωρίας πιθανοτήτων και τα επιστημονικά του θεμέλια. Τύποι εκδηλώσεων. Λειτουργίες με τυχαία γεγονότα.

Διατριβή, πρόσθεσε 01/26/2009


Μελετώντας μοτίβα μαζικών τυχαίων φαινομένων. Ο βαθμός σχέσης της θεωρίας και των στατιστικών πιθανοτήτων. Αδύνατα, δυνατά και αξιόπιστα γεγονότα. Στατιστικός, κλασσικός, γεωμετρικός, αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας. Bayes Formula.

Περίληψη, προστέθηκε 08.05.2011


Οι κύριες κατευθύνσεις της ανάπτυξης της γραμμής των εξισώσεων και των ανισοτήτων στη σχολική πορεία των μαθηματικών, η σύνδεσή του με ένα αριθμητικό και λειτουργικό σύστημα. Χαρακτηριστικά της μελέτης, αναλυτικές και γραφικές μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεων και ανισοτήτων που περιέχουν παραμέτρους.

Εργασία μαθημάτων, προστέθηκαν 01.02.2015


Προσδιορισμός της πιθανότητας γάμου επαληθεύσιμων δομών. Υπολογισμός της πιθανότητας από εκατό νεογέννητα πόλη n ζουν σε 50 χρόνια. Υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς. Προσδιορισμός άγνωστης σταθεράς C και κατασκευάζοντας ένα γράφημα της λειτουργίας R (x).

Εργασία μαθημάτων, πρόσθεσε 10.27.2011


Η θεωρία της πιθανότητας ως μαθηματικών επιστήμης που μελετά σχέδια σε μαζικές ομοιογενείς περιπτώσεις, φαινόμενα και διαδικασίες, υποκείμενες, βασικές έννοιες και στοιχειώδη γεγονότα. Προσδιορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος. Ανάλυση των κύριων θεωριών θεωρίας πιθανοτήτων.

cheat φύλλο, πρόσθεσε 12/24/2010


Πρακτική επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων. Εργασία στην πιθανότητα υπό όρους. Το έργο της καταμέτρησης των πιθανοτήτων. Η εργασία είναι ο τύπος πλήρους πιθανότητας. Η πρόκληση για το θεώρημα στην επανάληψη των πειραμάτων. Εργασία για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων. Καθήκον στο σύστημα των περιπτώσεων.

Εξέταση, πρόσθεσε 24.09.2008


Ανάπτυξη μεθοδολογικών πτυχών μαθητών σε στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων. Μέθοδοι προσδιορισμού, ακολουθία παρουσίασης των διερμηνείων πιθανοτήτων και ο σχηματισμός μιας αξιωματικής έννοιας. Οι εργασίες επιλύθηκαν στη μελέτη της γεωμετρική πιθανότητα.

Εργασία μαθημάτων, πρόσθεσε 07/03/2011


Έρευνα J. Kartano και N. Tartalia στον τομέα της απόφασης των πρωταρχικών καθηκόντων της θεωρίας της πιθανότητας. Συμβολή του Pascal και της φάρμας στην ανάπτυξη της θεωρίας πιθανοτήτων. Εργασία H. Guygens. Τις πρώτες μελέτες σχετικά με τη δημογραφία. Ο σχηματισμός της έννοιας της γεωμετρικής πιθανότητας.

Εργασίες μαθημάτων, προστέθηκαν 24.11.2010


Η έννοια και οι ιδιότητες των επίπεδων καμπυλών, η ιστορία της έρευνάς τους. Μέθοδοι εκπαίδευσης και ποικιλιών επίπεδων καμπυλών. Οι καμπύλες που μελετήθηκαν στη σχολική πορεία των μαθηματικών. Ανάπτυξη σχεδίου προαιρετικών τάξεων στα μαθηματικά σχετικά με το θέμα "Καμπύλες" στο σχολείο προφίλ.

Στην καθημερινή ζωή, στην πρακτική και επιστημονική δραστηριότητα, παρατηρούμε συχνά ορισμένα φαινόμενα, πραγματοποιούμε ορισμένα πειράματα. Ένα συμβάν που μπορεί να συμβεί και μπορεί να μην εμφανιστεί στη διαδικασία παρατήρησης ή πειραματισμού, που ονομάζεται τυχαίο συμβάν. Για παράδειγμα, ένας λαμπτήρας κρέμεται κάτω από την οροφή - κανείς δεν ξέρει πότε είναι υπερβολική. Κάθε τυχαίο συμβάν είναι συνέπεια της δράσης τόσων τυχαίων μεταβλητών (η δύναμη με την οποία ρίχνεται το νόμισμα, το σχήμα του νομίσματος και πολλά άλλα). Είναι αδύνατο να ληφθεί υπόψη η επίδραση στο αποτέλεσμα όλων αυτών των λόγων, δεδομένου ότι ο αριθμός αυτών είναι μεγάλος και οι νόμοι της δράσης είναι άγνωστες. Τα πρότυπα τυχαίων γεγονότων μελετούν ένα ειδικό τμήμα των μαθηματικών, το οποίο ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων. Η θεωρία πιθανοτήτων δεν καθορίζει μια εργασία για να προβλέψει, ένα μόνο συμβάν θα συμβεί ή όχι - απλά δεν μπορεί να το κάνει. Εάν μιλάμε για μαζικά ομοιογενή τυχαία γεγονότα, στη συνέχεια υπακούουν σε ορισμένα πρότυπα, δηλαδή πιθανοτικές νομοθεσίες. Πρώτον, ας εξετάσουμε την ταξινόμηση των γεγονότων. Υπάρχουν συνεργατικά και ελλιπή γεγονότα. Τα γεγονότα ονομάζονται άρθρωση, εάν η προσβολή ενός από αυτά δεν αποκλείει την έναρξη του άλλου. Διαφορετικά, η εκδήλωση ονομάζεται ελλιπής. Για παράδειγμα, δύο οστά παιχνιδιού είναι δεμένα. Εκδήλωση Α - Πτώση τριών σημείων στο πρώτο παιχνίδι BOY, το συμβάν Β - ρίχνει τρία σημεία στο δεύτερο οστό. Α και Β - Κοινά γεγονότα. Αφήστε το κατάστημα να εισέλθει στην αποθήκη παπουτσιών ενός στυλ και μεγέθους, αλλά διαφορετικών χρωμάτων. Εκδήλωση A - Ruadach που πήρε το κουτί θα είναι με ένα μαύρο παπούτσι, ένα συμβάν Β - το κουτί θα είναι με ένα καφέ παπούτσι, ένα και β - ελλιπή γεγονότα. Η εκδήλωση ονομάζεται αξιόπιστη αν σίγουρα θα συμβεί στις συνθήκες αυτής της εμπειρίας. Η εκδήλωση καλείται αδύνατη αν δεν μπορεί να συμβεί υπό τους όρους αυτής της εμπειρίας. Για παράδειγμα, ένα γεγονός, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι ένα τυποποιημένο τμήμα θα ληφθεί από το κόμμα των τυποποιημένων εξαρτημάτων, είναι αξιόπιστο και το μη πρότυπο είναι αδύνατο. Το συμβάν καλείται πιθανό ή τυχαίο, εάν ως αποτέλεσμα της εμπειρίας μπορεί να εμφανιστεί, αλλά ενδέχεται να μην εμφανιστεί. Ένα παράδειγμα τυχαίας εκδήλωσης μπορεί να είναι η ταυτοποίηση των ελαττωμάτων του προϊόντος κατά τον έλεγχο μιας παρτίδας τελικών προϊόντων, μη συμμόρφωση του μεγέθους του επεξεργασμένου προϊόντος, η αποτυχία μιας από τις μονάδες του αυτοματοποιημένου συστήματος ελέγχου. Τα γεγονότα ονομάζονται ισορροπία εάν, υπό τις συνθήκες δοκιμής, κανένα από αυτά τα συμβάντα δεν είναι αντικειμενικά πιο δυνατά από άλλα. Για παράδειγμα, αφήστε το κατάστημα να τροφοδοτήσει ηλεκτρικούς λαμπτήρες (και σε ίσες ποσότητες) αρκετούς κατασκευαστές. Τα γεγονότα στην αγορά ελαφρών λαμπτήρων οποιουδήποτε από αυτά τα φυτά είναι ίσα. Μια σημαντική ιδέα είναι μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Αρκετά γεγονότα σε αυτή την εμπειρία αποτελούν μια πλήρη ομάδα εάν, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, τουλάχιστον ένας από αυτούς θα εμφανιστεί σίγουρα. Για παράδειγμα, υπάρχουν δέκα μπάλες στο Urn, εκ των οποίων έξι κόκκινες μπάλες, τέσσερις λευκές και πέντε μπάλες έχουν αριθμούς. Α - Η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας σε μια εκχύλιση, β - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας, C - η εμφάνιση μιας μπάλας με τον αριθμό. Τα γεγονότα Α, Β, Γ αποτελούν μια πλήρη ομάδα κοινών γεγονότων. Το συμβάν μπορεί να είναι αντίθετο ή προαιρετικό. Κάτω από το αντίθετο γεγονός, κατανοείται ως γεγονός που πρέπει να συμβεί εάν δεν υπήρξε κάποιο γεγονός Α. Τα αντίθετα γεγονότα είναι ασυνεπή και το μόνο δυνατό. Αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Για παράδειγμα, εάν μια παρτίδα κατασκευασμένων προϊόντων αποτελείται από κατάλληλα και ελαττωματικά, τότε κατά την αφαίρεση ενός προϊόντος, μπορεί να είναι είτε κατάλληλη - συμβάν ένα ή ελαττωματικό συμβάν. Εξετάστε ένα παράδειγμα. Ρίξτε ένα κύβο παιχνιδιού (δηλ. Ένας μικρός κύβος, στις άκρες των οποίων τα γυαλιά 1, 2, 3, 4, 5, 6 σπάσουν). Όταν ρίχνετε έναν κύβο παιχνιδιού στο επάνω πρόσωπο του, ένα σημείο μπορεί να πέσει έξω, δύο σημεία, τρία σημεία κλπ. Κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι τυχαία. Διεξήγαγε μια τέτοια δοκιμή. Ο κύβος παίζοντας έριξε 100 φορές και παρακολούθησε πόσες φορές θα συμβεί το γεγονός "6 πόντοι έπεσαν στον κύβο". Αποδείχθηκε ότι σε αυτή τη σειρά πειραμάτων "έξι" έπεσαν 9 φορές. Ο αριθμός 9, ο οποίος δείχνει πόσες φορές συμβαίνει το συμβάν σε αυτή τη δοκιμή, ονομάζεται συχνότητα αυτού του συμβάντος και ο λόγος συχνότητας στον συνολικό αριθμό των δοκιμών, ίσου, ονομάζεται σχετική συχνότητα αυτού του συμβάντος. Σε γενικές γραμμές, αφήστε μια συγκεκριμένη δοκιμή να διεξαχθεί επανειλημμένα με τις ίδιες συνθήκες και ταυτόχρονα κάθε φορά να σταθεροποιηθεί ή δεν υπάρχει γεγονός που μας ενδιαφέρει. Η πιθανότητα του συμβάντος υποδεικνύεται από το μεγάλο λατινικό γράμμα P. τότε το πιθανότητα γεγονότων και θα δηλώσουμε: P (A). Κλασικός ορισμός της πιθανότητας: η πιθανότητα συμβάντος Α είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των περιπτώσεων M που συμβάλλουν σε αυτό, από τον συνολικό αριθμό NS των μοναδικών, ίσων και ασυνεπών περιπτώσεων στον αριθμό n, δηλαδή, επομένως, να βρουν Η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο: να εξεταστεί διάφορα αποτελέσματα δοκιμών. Βρείτε το συνδυασμό της μόδας δυνατού, ισορροπίας και ασυνέπειων, για να υπολογίσετε το συνολικό τους n, τον αριθμό των περιπτώσεων M, συμβάλλουν σε αυτό το συμβάν. Εκτελέστε τον υπολογισμό από τον τύπο. Από τον τύπο ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και μπορεί να ποικίλει στην περιοχή από το μηδέν σε ένα, ανάλογα με το οποίο ένα κλάσμα είναι ένας ευνοϊκός αριθμός περιπτώσεων από τον συνολικό αριθμό των περιπτώσεων: Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα. Υπάρχουν 10 μπάλες στο κουτί. 3 από αυτά είναι κόκκινα, 2 - πράσινα, τα υπόλοιπα είναι λευκά. Βρείτε την πιθανότητα ότι η αποκαλυφθείσα σε τυχαία μπάλα θα είναι κόκκινο, πράσινο ή λευκό. Η εμφάνιση κόκκινων, πράσινων και λευκών μπάλων αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Δηλώνουν την εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας - ένα γεγονός α, την εμφάνιση ενός πράσινου γεγονότος, την εμφάνιση του λευκού - την εκδήλωση Γ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους τύπους που καταγράφονται παραπάνω, λαμβάνουμε: ; Σημειώστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα δύο ζεύγη ελλιπών συμβάντων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. Η σχετική συχνότητα του συμβάντος ονομάζεται στάση του αριθμού των πειραμάτων, ως αποτέλεσμα της οποίας συνέβη ένα συμβάν και στον συνολικό αριθμό των πειραμάτων. Η διαφορά μεταξύ της σχετικής συχνότητας στην πιθανότητα είναι ότι η πιθανότητα υπολογίζεται χωρίς άμεση εργασία των πειραμάτων, αλλά σχετική συχνότητα μετά την εμπειρία. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, αν οι 5 μπάλες εξήχθησαν από το κιβώτιο και 2 από αυτούς ήταν κόκκινοι, τότε εμφανίστηκε η σχετική συχνότητα της κόκκινης σφαίρας: όπως μπορεί να φανεί, αυτή η τιμή δεν συμπίπτει με την πιθανότητα που βρέθηκε. Με ένα επαρκώς μεγάλο αριθμό περιγραμμάτων που παράγονται, η σχετική συχνότητα αλλάζει ελάχιστα, διστάζει περίπου έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός μπορεί να γίνει δεκτός για την πιθανότητα ενός γεγονότος. Γεωμετρική πιθανότητα. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας υποθέτει ότι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων φυσικά, ο οποίος περιορίζει επίσης την εφαρμογή της στην πράξη. Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται η δοκιμή με άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων, χρησιμοποιείται ο ορισμός μιας γεωμετρικής πιθανότητας - το σημείο στην περιοχή. Κατά τον προσδιορισμό της γεωμετρικής πιθανότητας, πιστεύεται ότι υπάρχει μια περιοχή n και σε αυτό μια μικρότερη περιοχή Μ. Στην περιοχή n, η αντλία ρίχνεται στο σημείο (αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της περιοχής n "ίση" σε σχέση στο αναπτυσσόμενο σημείο εκεί). Εκδήλωση Α - "Χτυπήστε το ρίχτον σημείο στην περιοχή M." Η περιοχή M ονομάζεται ευνοϊκό γεγονός Α. Η πιθανότητα εισόδου οποιουδήποτε μέρους Ν είναι ανάλογη με την έκταση αυτού του τμήματος και δεν εξαρτάται από τη θέση και τη μορφή του. Η περιοχή στην οποία κατανέμεται η γεωμετρική πιθανότητα να είναι: ένα τμήμα (μέτρο είναι το μήκος) ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο (το μέτρο είναι η περιοχή) το γεωμετρικό σώμα στο διάστημα (το μέτρο είναι ο όγκος) θα δώσουμε έναν ορισμό του ορισμού μια γεωμετρική πιθανότητα για μια επίπεδη φιγούρα. Ας m να είναι μέρος του N. Event A Αποτελείται από το χτύπημα με τυχαία εγκαταλείψει την περιοχή N Point στην περιοχή M. Η γεωμετρική πιθανότητα εκδήλωσης Α ονομάζεται περιοχή της περιοχής Μ στην περιοχή της περιοχής n : Ενώ η πιθανότητα να χτυπήσει το τυχαία εγκαταλελειμμένο σημείο στο όριο της περιοχής θεωρείται μηδέν. Εξετάστε ένα παράδειγμα: Το μηχανικό ρολόι με ένα δώδεκα ωρών έσπασε και σταμάτησε το περπάτημα. Βρείτε την πιθανότητα ότι η ώρα βέλους πάγωσε, φτάνοντας στο Mark 5, αλλά δεν φθάσαι 8 ώρες. Απόφαση. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι άπειρος, εφαρμόστε τον ορισμό μιας γεωμετρικής πιθανότητας. Ο τομέας μεταξύ 5 και 8 ωρών αποτελεί μέρος της περιοχής ολόκληρου του επιλογέα. Λειτουργίες εκδηλώσεων: Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ίση, εάν η εφαρμογή της εκδήλωσης και συνεπάγεται την εφαρμογή της εκδήλωσης και αντιστρόφως. Η ένωση ή το ποσό των γεγονότων ονομάζεται συμβάν Α, πράγμα που σημαίνει την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα. A \u003d διασταύρωση ή εργασία συμβάντων είναι ένα γεγονός Α, το οποίο πρόκειται να υλοποιήσει όλα τα γεγονότα. A \u003d? Η διαφορά των γεγονότων Α και Β ονομάζεται ένα γεγονός με, πράγμα που σημαίνει ότι συμβεί ένα συμβάν Α, αλλά το συμβάν δεν συμβεί. C \u003d ab Παράδειγμα: a + b - "πτώση 2; τέσσερα; 6 ή 3 μονάδες "Α Β -" Έπεσε 6 πόντους "Α - Β -" έπεσε 2 και 4 βαθμοί "επιπλέον στην εκδήλωση, αλλά ονομάζεται ένα γεγονός που σημαίνει ότι το γεγονός δεν συμβαίνει. Τα στοιχειώδη αποτελέσματα της εμπειρίας είναι τα ακόλουθα αποτελέσματα της εμπειρίας που αποκλείει αμοιβαία ο ένας τον άλλον και, ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, συμβαίνει ένα από αυτά τα γεγονότα, πράγμα που θα είχε επίσης ένα γεγονός Α, σύμφωνα με το επόμενο στοιχειώδες αποτέλεσμα, μπορεί να κριθεί Είτε συμβεί είτε αυτό το γεγονός δεν συμβαίνει. Ο συνδυασμός όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της εμπειρίας ονομάζεται χώρος στοιχειωδών γεγονότων. Ακίνητα των πιθανοτήτων: Ακίνητα 1. Εάν όλες οι περιπτώσεις είναι ευνοϊκές αυτό το συμβάν Α, αυτό το γεγονός σίγουρα θα συμβεί. Κατά συνέπεια, η υπό εξέταση εκδήλωση είναι αξιόπιστη και η πιθανότητα εμφάνισης της, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή το ακίνητο 2. Εάν δεν υπάρχει ενιαία περίπτωση που ευνοεί αυτό το γεγονός, το γεγονός αυτό δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα της εμπειρίας. Κατά συνέπεια, η υπό εξέταση εκδήλωση είναι αδύνατη και η πιθανότητα εμφάνισης της, δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή m \u003d 0: ιδιοκτησία 3. Η πιθανότητα εμφάνισης συμβάντων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίση με μία. Ακίνητα 4 Η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και η πιθανότητα εμφάνισης, γεγονότα Α: όπου (n-m) είναι ο αριθμός των περιπτώσεων που ευνοούν την εμφάνιση του αντίθετου συμβάντος. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα του αντίθετου συμβάντος είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και της πιθανότητας ενός γεγονότος α: προσθήκη και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων. Η εκδήλωση Α ονομάζεται ειδική περίπτωση γεγονότων σε, αν στην εμφάνιση ενός ερχόμενου και V. Ποια είναι η ειδική περίπτωση, γράψτε ένα; Β. Τα συμβάντα Α και Β ονομάζονται ίση, αν ο καθένας από αυτούς είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση άλλου. Ισότητα των γεγονότων Α και σε καταγραφή Α \u003d V. Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β ονομάζεται εκδήλωση Α + Β, η οποία έρχεται τότε και μόνο όταν τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα έρχεται: Α ή Β. Θεωρήστε την προσθήκη πιθανοτήτων 1. Η πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα δύο ασυνεπή γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. P \u003d P + P Σημειώστε ότι το διαμορφωμένο το θεώρημα ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό ελλιπών συμβάντων: εάν τα τυχαία συμβάντα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ελλιπών συμβάντων, τότε η ισότητα P + P + ... + p \u003d 1 από το έργο των γεγονότων Το Α και Β ονομάζεται εκδήλωση AB που έρχεται και μόνο αν συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα: Α και ταυτόχρονα. Τυχαία συμβάντα Α και Β ονομάζονται άρθρωση, αν και τα δύο αυτά συμβάντα ενδέχεται να εμφανιστούν με αυτή τη δοκιμή. Το θεώρημα της προσθήκης πιθανοτήτων 2. Η πιθανότητα της ποσότητας των συμβάντων άρθρωσης υπολογίζεται από τον τύπο P \u003d P + P-P Παραδείγματα καθηκόντων για το θεώρημα προσθήκης. Κατά την εξέταση της γεωμετρίας, ένας μαθητής παίρνει μία ερώτηση από τον κατάλογο των θεμάτων εξέτασης. Η πιθανότητα ότι πρόκειται για μια ερώτηση σχετικά με το θέμα "εγγεγραμμένος κύκλος" είναι 0,2. Η πιθανότητα ότι πρόκειται για μια ερώτηση σχετικά με το θέμα "Τα παράλληλα προγράμματα" είναι 0,15. Ερωτήσεις που ταυτόχρονα αναφέρονται σε αυτά τα δύο θέματα, όχι. Βρείτε την πιθανότητα ότι η εξέταση του φοιτητή θα έχει μια ερώτηση σε ένα από αυτά τα δύο θέματα. Απόφαση. Η πιθανότητα του ποσού δύο ασυνεπών συμβάντων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων: 0,2 + 0,15 \u003d 0,35. Απάντηση: 0,35. Στο εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπα μηχανήματα πωλούν καφέ. Η πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας στο μηχάνημα θα τελειώσει τον καφέ, ίσο με 0,3. Η πιθανότητα ότι ο καφές θα τελειώσει και στα δύο μηχανήματα είναι 0,12. Βρείτε την πιθανότητα ότι μέχρι το τέλος της ημέρας ο καφές θα παραμείνει και στα δύο μηχανήματα. Απόφαση. Εξετάστε τα γεγονότα Α - "Ο καφές θα τελειώσει στο πρώτο αυτοματοποιημένο", ο καφές θα τελειώσει στο δεύτερο μηχάνημα. " Στη συνέχεια, ένας καφές θα τελειώσει και στα δύο μηχανήματα ", ο καφές A + B -" θα τελειώσει τουλάχιστον ένα μηχάνημα ". Κάτω από την κατάσταση Ρ (α) \u003d Ρ (Β) \u003d 0,3; P (a · b) \u003d 0,12. Εκδηλώσεις Α και Β, η πιθανότητα του ποσού των δύο κοινών γεγονότων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα εργασίας τους: p (a + b) \u003d p (a) + p (b); P (a · b) \u003d 0,3 + 0,3; 0,12 \u003d 0,48. Κατά συνέπεια, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος που συνίσταται στο γεγονός ότι ο καφές θα παραμείνει και στα δύο μηχανήματα, είναι 1; 0,48 \u003d 0,52. Απάντηση: 0,52. Εκδηλώσεις Τα συμβάντα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα του άλλου. Η εκδήλωση Α ονομάζεται εξαρτώμενη από το συμβάν μέσα εάν η πιθανότητα συμβάντος Α κυμαίνεται ανάλογα με το αν ένα συμβάν ή δεν συνέβη. Η πιθανότητα υπό όρους Πιθανότητα P (a | b) ονομάζεται πιθανότητα που υπολογίζεται υπό την προϋπόθεση ότι το συμβάν που συνέβη. Ομοίως, μέσω του P (B | A) υποδηλώνει την υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος κατά την προϋπόθεση ότι ήρθε. Για ανεξάρτητα γεγονότα εξ ορισμού P (a | b) \u003d P (a). P (B | A) \u003d P (b) Το θεώρημα πολλαπλασιασμού για εξαρτώμενα γεγονότα Η πιθανότητα του προϊόντος εξαρτώμενων συμβάντων ισούται με το έργο του V0.01 \u003d 0.0198 + 0.0098 \u003d 0.0296. Απάντηση: 0,0296.

Το 2003, αποφασίστηκε να συμπεριληφθούν τα στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας στη σχολική πορεία των μαθηματικών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (διδακτική επιστολή αριθ. 03-93in / 13-03 της 23ης Σεπτεμβρίου 2003 του Υπουργείου Παιδείας των Ρωσικών Ομοσπονδία "σχετικά με την εισαγωγή στοιχείων συνδυαστικών, στατιστικών και θεωρίας πιθανοτήτων στο περιεχόμενο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης Κύριο Σχολή", "Μαθηματικά στο σχολείο", αριθ. 9 για το 2003). Μέχρι αυτή τη στιγμή, τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων για περισσότερα από δέκα χρόνια σε μια ποικίλη μορφή ήταν παρόντα στα γνωστά σχολικά εγχειρίδια άλγεβρες για διαφορετικές κατηγορίες (για παράδειγμα, εάν "άλγεβρα: εγχειρίδια για 7-9 κατηγορίες γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" Επεξεργασμένο από τον GVDorofeyev. "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης: μαθήματα για 10-11 Μαθήματα γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" G.V.Dorofeev, L.V. Kuznetsova, Ε.Α. Sedov "), και με τη μορφή μεμονωμένων εγχειριδίων. Ωστόσο, η παρουσίαση του υλικού σχετικά με τη θεωρία της πιθανότητας σε αυτά, κατά κανόνα, δεν ήταν συστηματικό, και οι δάσκαλοι, συνήθως, δεν έφεραν σε αυτά τα τμήματα, δεν τα συμπεριλάμβαναν στο πρόγραμμα σπουδών. Το έγγραφο που εγκρίθηκε από το Υπουργείο Παιδείας το 2003 προέβλεπε τη σταδιακή, σταδιακή συμπερίληψη αυτών των τμημάτων στα σχολικά μαθήματα, επιτρέποντας στη διδακτική κοινότητα να προετοιμαστεί για τις κατάλληλες αλλαγές. Το 2004-2008 Υπάρχουν ορισμένα μαθήματα που συμπληρώνουν τα υπάρχοντα εγχειρίδια άλγεβρα. Αυτή είναι η δημοσίευση Tyurin Yu.n., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Θεωρία της πιθανότητας και των στατιστικών", Tyurin Yu.n., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko i.v. "Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικά στοιχεία: Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δάσκαλο", Makarychev Yu.n., Mindyuk N.G. "Άλγεβρα: Στοιχεία στατιστικής και θεωρίας πιθανοτήτων: Μελέτες. Εγχειρίδιο για τους μαθητές 7-9 Cl. γενική εκπαίδευση. Ιδρύματα ", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Στατιστικά στοιχεία και πιθανότητα: Μελέτες. Εγχειρίδιο για 7-9 CB. γενική εκπαίδευση. ιδρύματα. " Τα μεθοδολογικά εγχειρίδια προέκυψαν επίσης για να βοηθήσουν τους εκπαιδευτικούς. Για πολλά χρόνια, όλες αυτές οι βοηθητικές ενισχύσεις δοκιμάστηκαν στα σχολεία. Υπό συνθήκες, όταν τελείωσε η μεταβατική περίοδος υλοποίησης στα σχολικά προγράμματα, και τα τμήματα των στατιστικών και της θεωρίας πιθανοτήτων έλαβαν τη θέση τους στην τάξη 7-9, ανάλυση και κατανόηση της συνοχής των βασικών ορισμών και των ονομασιών που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτές τις εκπαιδευτικές ενισχύσεις . Όλα αυτά τα μαθήματα δημιουργήθηκαν ελλείψει παραδόσεων διδασκαλίας αυτών των τμημάτων των μαθηματικών στο σχολείο. Μια τέτοια έλλειψη δωρεάν ή άθελα προκάλεσε τους συγγραφείς εγχειριδίων για σύγκριση με τα υπάρχοντα εγχειρίδια για τα πανεπιστήμια. Το τελευταίο, ανάλογα με τις καθιερωμένες παραδόσεις σε μεμονωμένες ειδικότητες, το ανώτατο σχολείο επέτρεψε συχνά μια σημαντική ορολογική διαφορά και διαφορές στις ονομασίες βασικών εννοιών και αρχείων των τύπων. Η ανάλυση του περιεχομένου του προαναφερθέντος σχολικού βιβλίου δείχνει ότι σήμερα κληρονόμησαν αυτά τα χαρακτηριστικά από τα εγχειρίδια του Ανώτατου Σχολείου. Με μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η επιλογή ενός συγκεκριμένου εκπαιδευτικού υλικού σε μια νέα για τα σχολικά τμήματα των μαθηματικών που σχετίζεται με την έννοια του "τυχαίου", παρουσιάζεται σήμερα το μεγαλύτερο μέρος που δεν είναι τυχαία, μέχρι τα ονόματα και τους ονομασίες. Ως εκ τούτου, οι ομάδες των συγγραφέων των κορυφαίων σχολικών σχολικών βιβλίων σχετικά με τη θεωρία πιθανοτήτων και των στατιστικών σχολείο για τη θεωρία και στατιστικά στοιχεία πιθανότητας. Θα αναλύσουμε την εισαγωγή του θέματος "Θεωρία της πιθανότητας" στα σχολικά εγχειρίδια. ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ: Περιεχόμενο της διδασκαλίας του θέματος "Στοιχεία της θεωρίας της πιθανότητας", που διατίθενται στο "Πρόγραμμα για τα γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα. Μαθηματικά", εξασφαλίζει την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών τους ικανοτήτων, προσανατολισμού σε επαγγέλματα, που σχετίζονται ουσιαστικά με τα μαθηματικά, την κατάρτιση για υψηλά σχολείο. Η ιδιαιτερότητα του μαθηματικού περιεχομένου του υπό εξέταση θέματος μας επιτρέπει να καθορίσουμε το κατανεμημένο βασικό καθήκον μιας εμπεριστατωμένης μελέτης των μαθηματικών ως εξής. 1. Συνεχίστε τη γνωστοποίηση των μαθηματικών, ως σύστημα εκπεκτής γνώσης. - να οικοδομήσουμε ένα σύστημα ορισμών των βασικών εννοιών. - να εντοπίσει τις πρόσθετες ιδιότητες των εννοιών που εισάγονται · - Καθιέρωση των συνδέσεων των εισαχθέντων και προηγουμένως μελετημένες έννοιες. 2. Συστηματίζει ορισμένους πιθανοτικούς τρόπους για την επίλυση προβλημάτων. Αποκαλύψτε την επιχειρησιακή σύνθεση της αναζήτησης λύσεων συγκεκριμένων τύπων εργασιών. 3. Δημιουργήστε συνθήκες κατανόησης και επίγνωση των φοιτητών της βασικής ιδέας της πρακτικής σημασίας της θεωρίας πιθανοτήτων, αναλύοντας τα κύρια θεωρητικά γεγονότα. Αποκαλύπτουν πρακτικές εφαρμογές που μελετήθηκαν σε αυτή τη θεωρία. Το επίτευγμα των κατάλληλων εκπαιδευτικών στόχων θα συμβάλει στην επίλυση των ακόλουθων καθηκόντων: 1. Για να σχηματίσουν μια ιδέα διαφόρων τρόπων για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος (στατιστική, κλασική, γεωμετρική, αξιωματική) 2. Βασικές λειτουργίες σχετικά με τα γεγονότα και την ικανότητα να τα εφαρμόζουν για να περιγράψουν ορισμένα γεγονότα μέσω άλλων. 3. αποκαλύπτουν την ουσία της θεωρίας της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων · Προσδιορίστε τα όρια της χρήσης αυτών των θεωρήσεων. Δείχνουν τις εφαρμογές τους να εξάγουν πλήρεις τύπους πιθανοτήτων. 4. να προσδιορίσει τους αλγόριθμους για την εξεύρεση της πιθανότητας των συμβάντων α) σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας · β) στη θεωρία της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού · γ) Σύμφωνα με τον τύπο0.99 + 0.98p (a | BN) Εξετάστε ένα παράδειγμα: Η αυτόματη γραμμή κατασκευάζει τις μπαταρίες. Η πιθανότητα ότι η τελική μπαταρία είναι ελαττωματική είναι 0,02. Πριν από τη συσκευασία, κάθε μπαταρία υποβάλλεται στο σύστημα ελέγχου. Η πιθανότητα ότι το σύστημα παίρνει την ελαττωματική μπαταρία είναι 0,99. Η πιθανότητα ότι το σύστημα σφάλματος παίρνει την ενεργή μπαταρία είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα να απορριφθεί η μπαταρία που επιλέγεται από τη συσκευασία. Απόφαση. Η κατάσταση στην οποία η μπαταρία θα απορριφθεί μπορεί να είναι ως αποτέλεσμα συμβάντων: α - "η μπαταρία είναι πραγματικά ελαττωματική και απορρίπτεται σωστά" ή σε - "η μπαταρία είναι καλή, αλλά κατά λάθος απορρίπτεται." Αυτά είναι ελλιπή γεγονότα, η πιθανότητα του ποσού τους είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων. Έχουμε: P (a + b) \u003d p (a) + p (b) \u003d 0,02p (a | b3) + ... + p (bn) p (a | b2) + p (b3) p (a | B1) + P (B2) Aimedice ενός από αυτά στην υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπό την προϋπόθεση ότι η πρώτη συνέβη: P (AB) \u003d P (A) P (B | A) P (AB) \u003d P (AB) \u003d P (AB) \u003d P (AB) \u003d P ( β) P (a | b) (ανάλογα με το γεγονός που συνέβη πρώτα). Φορέστε το θεώρημα: το θεώρημα πολλαπλασιασμού για ανεξάρτητα γεγονότα. Η πιθανότητα του έργου ανεξάρτητων συμβάντων ισούται με το προϊόν της πιθανότητας τους: P (Ab) \u003d P (A) P (b) εάν a και σε ανεξάρτητο, τότε ανεξάρτητο και ζεύγη: (, C), (ένα). Παραδείγματα εργασιών σχετικά με το θεώρημα πολλαπλασιασμού: Εάν ο Grandmaster A. παίζει λευκό, τότε κερδίζει στο Grandmaster B. με πιθανότητα 0,52. Εάν το A. παίζει μαύρο, Α. Κερδίζω στο Β. Με πιθανότητα 0,3. Οι γιαγιά Α. Και Β. Παίξτε δύο παρτίδες, και στη δεύτερη παρτίδα, το χρώμα των αριθμών αλλάζουν. Βρείτε την πιθανότητα ότι το A. κερδίζει και τις δύο φορές. Απόφαση. Η ικανότητα να κερδίσει την πρώτη και τη δεύτερη παρτίδα δεν εξαρτάται ο ένας από τον άλλο. Η πιθανότητα του έργου ανεξάρτητων γεγονότων ισούται με το προϊόν της πιθανότητας τους: 0,52 · 0,3 \u003d 0,156. Απάντηση: 0,156. Το κατάστημα έχει δύο πλατφόρμες. Κάθε ένας από αυτούς μπορεί να είναι ελαττωματικός με πιθανότητα 0,05 ανεξάρτητα από την άλλη μηχανή. Βρείτε την πιθανότητα να λειτουργήσει τουλάχιστον ένα μηχάνημα. Απόφαση. Βρίσκουμε την πιθανότητα ότι και τα δύο μηχανήματα είναι ελαττωματικά. Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα εργασίας τους είναι ίση με το προϊόν των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων: 0,05 · 0,05 \u003d 0,0025. Το συμβάν, που αποτελείται από το γεγονός ότι είναι κατά κάποιο τρόπο τουλάχιστον ένα μόνο μηχάνημα απέναντι. Κατά συνέπεια, η πιθανότητά του είναι ίση με 1; 0.0025 \u003d 0.9975. Απάντηση: 0,9975. Ο τύπος της πλήρους πιθανότητας της συνέπειας των θεωρήσεων προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων είναι ο τύπος της πλήρους πιθανότητας: η πιθανότητα P (α) των συμβάντων Α, η οποία μπορεί να συμβεί μόνο υπό την κατάσταση ενός από τα συμβάντα (υποθέσεις) b1 , B2, B3 ... BN, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα σε ζεύγη ατελών γεγονότων, ισούται με το ποσό της πιθανότητας κάθε ένα από τα συμβάντα (υποθέσεις) B1, B2, B3, ..., στο αντίστοιχο υπό όρους Πιθανότητες του συμβάντος Α: Ρ (α) \u003d Ρ (Β1) μιας πλήρους πιθανότητας. 5. Για να διαμορφώσετε μια συνταγή που σας επιτρέπει να επιλέξετε ορθολογικά έναν από τους αλγορίθμους κατά την επίλυση μιας συγκεκριμένης εργασίας. Αφιερωμένους εκπαιδευτικούς σκοπούς για τη μελέτη των στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων που συμπληρώνει την ανάπτυξη και τους εκπαιδευτικούς σκοπούς. Ανάπτυξη στόχων: Για να σχηματίσουν φοιτητές σταθερό ενδιαφέρον για το θέμα, προσδιορίζουν και να αναπτύσσουν μαθηματικές ικανότητες. Στη διαδικασία μάθησης, την ανάπτυξη ομιλίας, σκέψης, συναισθηματικών και ατόμων και κινητικών πεδίων. Ανεξάρτητη εύρεση φοιτητών νέων τρόπων επίλυσης προβλημάτων και καθηκόντων. Την εφαρμογή της γνώσης σε νέες καταστάσεις και περιστάσεις · Αναπτύξτε την ικανότητα να εξηγήσετε τα γεγονότα, οι συνδέσεις μεταξύ των φαινομένων, μετατρέψτε το υλικό από μια μορφή υποβολής σε άλλη (λεκτική, συμβολική, γραφική). Μάθηση Να αποδείξει την ορθή χρήση μεθόδων, βλέπε τη λογική της συλλογιστικής, της ομοιότητας και της διαφοράς των φαινομένων. Εκπαιδευτικοί στόχοι: Να διαμορφώσει τις ηθικές και αισθητικές ιδέες από τους μαθητές, το σύστημα απόψεων στον κόσμο, τη δυνατότητα να ακολουθήσουν τους κανόνες της συμπεριφοράς στην κοινωνία. αποτελούν τις ανάγκες της προσωπικότητας, τα κίνητρα της κοινωνικής συμπεριφοράς, των δραστηριοτήτων, των αξιών και των προσανατολισμών αξίας · Πρακτική προσωπικότητα ικανή για αυτοπεποίθηση και αυτοπεποίθηση. Θα αναλύσουμε το εγχειρίδιο για την άλγεβρα για τον βαθμό 9 "άλγεβρα: στοιχεία στατιστικών στοιχείων και η θεωρία των πιθανοτήτων" makarychev yu.n. Αυτό το σεμινάριο προορίζεται για φοιτητές στους βαθμούς 7-9, συμπληρώνει τα εγχειρίδια: makarychev yu.n., Mindyuk N.G., Neshkov Κ.Ι., Suvorov S.B. "Άλγεβρα 7", "Άλγεβρα 8", "Άλγεβρα 9", που εκδόθηκε από Telyakovsky S.A. Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερις παραγράφους. Κάθε στοιχείο περιέχει θεωρητικές πληροφορίες και κατάλληλες ασκήσεις. Στο τέλος του σημείου υπάρχουν οι ασκήσεις για επανάληψη. Κάθε παράγραφος παρέχει πρόσθετες ασκήσεις υψηλότερου επιπέδου πολυπλοκότητας σε σύγκριση με τις κύριες ασκήσεις. Σύμφωνα με το "πρόγραμμα γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων" για να μελετήσει το θέμα "Θεωρία της πιθανότητας και στατιστικών" στο σχολικό μάθημα, η άλγεβρα χορηγείται 15 ώρες. Το υλικό σε αυτό το θέμα πέφτει στην 9η τάξη και καθορίζεται στις επόμενες παραγράφους: §3 "Συνδυαστικά στοιχεία" Περιέχει 4 βαθμούς: Παραδείγματα συνδυαστικών εργασιών. Σε απλά παραδείγματα, αποδεικνύεται από τη λύση συνδυαστικών εργασιών με τη μέθοδο αλληλεπίδρασης για πιθανές επιλογές. Αυτή η μέθοδος απεικονίζεται με την κατασκευή ενός δέντρου πιθανών επιλογών. Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού εξετάζεται. Μεταβολές. Η ίδια η έννοια και ο τύπος για τον υπολογισμό της μετάθεσης εισάγονται. Κατάλυμα. Η έννοια εισάγεται σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ο τύπος του αριθμού των καταλυμάτων προέρχεται. Συνδυασμός. Την έννοια και τη φόρμουλα του αριθμού των συνδυασμών. Σκοπός της παρούσας παραγράφου είναι να δοθεί στους μαθητές διάφορους τρόπους να περιγράψουν όλα τα πιθανά στοιχειώδη γεγονότα σε διάφορους τύπους τυχαίας εμπειρίας. §4 "Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία πιθανοτήτων". Το περίγραμμα του υλικού αρχίζει με την εξέταση του πειράματος, μετά την οποία εισάγεται η έννοια του "τυχαίας εκδήλωσης" και η "σχετική συχνότητα ενός τυχαίου συμβάντος". Εισάγεται ο ορισμός στατιστικής και κλασικής πιθανότητας. Η παράγραφος ολοκληρώνεται από το στοιχείο "προσθήκη και πολλαπλασιασμός της πιθανότητας". Τα θεωρήματα της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων θεωρούνται, οι έννοιες που σχετίζονται με αυτές είναι ασυνεπείς, απέναντι, ανεξάρτητα γεγονότα. Αυτό το υλικό έχει σχεδιαστεί για φοιτητές που δείχνουν ενδιαφέρον και κλίση στα μαθηματικά και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μεμονωμένες εργασίες ή σε εξωσχολικές μελέτες με φοιτητές. Οι μεθοδικές συστάσεις για αυτό το εγχειρίδιο παρατίθενται σε διάφορα άρθρα Makarychev και Mindyuk ("Στοιχεία Συγκομιστών στην σχολική χρονιά άλγεβρα", "Αρχικές πληροφορίες από τη θεωρία των πιθανοτήτων στο σχολικό έτος της άλγεβρας"). Εκτός από ορισμένες κρίσιμες παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το εγχειρίδιο εκπαίδευσης περιέχονται στο άρθρο του StudentHell και Fadeeva, η οποία θα συμβάλει στην πρόληψη σφαλμάτων όταν συνεργάζεται με αυτό το εγχειρίδιο. Σκοπός: μετάβαση από ποιοτική περιγραφή γεγονότων στη μαθηματική περιγραφή. Το θέμα "Θεωρία της πιθανότητας" στα εγχειρίδια Mordkovich A.G., Semenova P.V. Για 9-11 μαθήματα. Προς το παρόν, ένα από τα υπάρχοντα εγχειρίδια στο σχολείο είναι το βιβλίο Mordkovich A.G., Semenova P.V. "Εκδηλώσεις, πιθανότητες, Στατιστική επεξεργασία δεδομένων", υπάρχουν επίσης πρόσθετα κεφάλαια για 7-9 μαθήματα. Θα αναλύσουμε. Σύμφωνα με το πρόγραμμα εργασίας της Algebra για να μελετήσει το θέμα "Στοιχεία συνδυαστικών, στατιστικών στοιχείων και θεωρίας πιθανοτήτων", δίνονται 20 ώρες. Το υλικό στο θέμα "Θεωρία της πιθανότητας" αποκαλύπτεται στις ακόλουθες παραγράφους: § 1. Απλότερες συνδυαστικές εργασίες. Κανόνας πολλαπλασιασμού και επιλογές δέντρων. Μεταβολές. Αρχίζει με την εξέταση απλών συνδυαστικών εργασιών, λαμβάνεται υπόψη ένας πίνακας πιθανών επιλογών, η οποία δείχνει την αρχή του κανόνα πολλαπλασιασμού. Στη συνέχεια, τα δέντρα θεωρούνται πιθανές επιλογές και μεταβολές. Μετά το θεωρητικό υλικό, ακολουθούνται ασκήσεις για κάθε μία από τις υπο-ρήτρες. § 2. Επιλέγοντας πολλά στοιχεία. Συνδυασμός. Πρώτον, ο τύπος εμφανίζεται για 2 στοιχεία, στη συνέχεια για τρία και στη συνέχεια κοινά σε n στοιχεία. § 3. Τυχαία γεγονότα και τις πιθανότητες τους. Ο ορισμός της κλασικής πιθανότητας εισάγεται. Το Plus αυτού του εγχειριδίου είναι ότι είναι ένας από τους λίγους περιέχει αντικείμενα στα οποία εξετάζονται οι πίνακες και τα δέντρα επιλογών. Αυτά τα στοιχεία χρειάζονται, αφού είναι τα τραπέζια και τα δέντρα των επιλογών για να διδάξουν στους μαθητές να παρουσίασαν και την αρχική ανάλυση των δεδομένων. Επίσης σε αυτό το σεμινάριο, ο τύπος συνδυασμών εισάγεται με επιτυχία πρώτα για δύο στοιχεία, στη συνέχεια για τρεις και συνοψίζονται για n στοιχεία. Με τη συνδυαστική, το υλικό παρουσιάζεται επίσης. Κάθε παράγραφος περιέχει ασκήσεις, οι οποίες σας επιτρέπει να διορθώσετε το υλικό. Παρατηρήσεις σχετικά με αυτό το εγχειρίδιο εκπαίδευσης περιέχονται στο άρθρο του StudentHell και Fadeeva. Στην 10η τάξη σε αυτό το θέμα, δίνονται τρεις παραγράφους. Στο πρώτο από αυτά, ο "κανόνας πολλαπλασιασμού. Αναδιατάξεις και παραγράψιμα ", εκτός από την πραγματικότητα ο κανόνας πολλαπλασιασμού, η κύρια εστίαση έγινε στο συμπέρασμα από αυτόν τον κανόνα δύο κύριων συνδυαστικών ταυτότητες: για τον αριθμό των μεταβολών και τον αριθμό όλων των πιθανών υποσυνόλων του σετ που αποτελείται από n στοιχεία. Ταυτόχρονα, τα εργοστάσια εισάγονται ως ένας βολικός τρόπος μείωσης της εγγραφής απόκρισης σε πολλά συγκεκριμένα συνδυαστικά καθήκοντα νωρίτερα από την έννοια της "μετάβασης". Στη δεύτερη παράγραφο 10 της κατηγορίας "Επιλογή διαφόρων στοιχείων. Οι διωνυμικοί συντελεστές "Οι κλασικές συνδυαστικές εργασίες θεωρήθηκαν ότι σχετίζονται με ταυτόχρονη (ή εναλλακτικά) επιλογή διαφόρων στοιχείων από ένα δεδομένο τελικό σύνολο. Το πιο σημαντικό και πραγματικά νέο για το ρωσικό ολοκληρωμένο σχολείο ήταν η τελική παράγραφος "τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους". Θεωρήθηκε κλασικό πιθανοτικό σχήμα, ο τύπος Ρ (Α + Β) + Ρ (ΑΒ) \u003d Ρ (Α) + Ρ (Β), Ρ () \u003d 1- P (Α), Ρ () \u003d 1- P () και τις μεθόδους χρήσης τους. Η παράγραφος έληξε με τη μετάβαση σε ανεξάρτητες επαναλήψεις δοκιμών με δύο αποτελέσματα. Αυτό είναι το πιο σημαντικό από πρακτική άποψη του πιθανοτικού μοντέλου (δοκιμασία Bernoulli), η οποία έχει σημαντικό αριθμό εφαρμογών. Το τελευταίο υλικό σχημάτισε τη μετάβαση μεταξύ του περιεχομένου του εκπαιδευτικού υλικού σε τάξεις 10 και 11. Στο θέμα της 11ης τάξης "στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων" δύο παραγράφους του εγχειριδίου και το βιβλίο εργασιών είναι αφιερωμένες. Στο § 22 μιλάμε για γεωμετρικές πιθανότητες, στην § 23, η γνώση των ανεξάρτητων επαναλήψεων δοκιμών με δύο αποτελέσματα επαναλαμβάνεται και επεκτείνεται.

Tarasevich Alyona Konstantinovna, φοιτητής του κρατικού πανεπιστημίου Smolensk, πόλη Smolensk [Προστατεύεται μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου];

Το Morozova Elena Valentinovna, ο βαθμός υποψηφίου των παιδαγωγικών επιστημών, ο καθηγητής του τμήματος πληροφοριών και εκπαιδευτικών τεχνολογιών, το κρατικό πανεπιστήμιο Smolensk, πόλη Smolensk [Προστατεύεται μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου]

Χαρακτηριστικά της μάθησης των θεμελίων της θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολικό έτος των μαθηματικών

Σχόλιο. Το άρθρο είναι αφιερωμένο στις ιδιαιτερότητες της μελέτης των θεμελίων της θεωρίας πιθανοτήτων στη σχολική πορεία των μαθηματικών. Ιδιαίτερη προσοχή καταβάλλεται στους στόχους της διδασκαλίας, των χαρακτηριστικών και των περιόδων, καθώς και παραδείγματα μελέτης αυτής της πειθαρχίας με τη βοήθεια ειδικά δημιουργημένων προγραμμάτων.

Λέξεις-κλειδιά: Μεθοδολογία για τη μελέτη της θεωρίας της πιθανότητας στο σχολείο, τρόποι μελέτης βασικών εννοιών, μεθόδους μάθησης μαθηματικών.

Η μελέτη των θεμελίων της θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολικό μάθημα μαθηματικών είναι μερικά χαρακτηριστικά. Από τη μία πλευρά, αυτή είναι μια αρκετά ευαίσθητη και σοβαρή διαδικασία, η οποία είναι δύσκολη τουλάχιστον σε μια πιο συνειδητή ηλικία, για να μην αναφέρουμε το σχολείο, ωστόσο, κανείς δεν αμφιβάλλει την απαραίτητη υιοθέτηση αυτής της ονομασίας στην πορεία προ-αγωγιμότητας, όπως αυτή Βοηθά στην ανάπτυξη ορισμένων δεξιοτήτων σε ένα παιδί που θα είναι χρήσιμο γι 'αυτόν όχι μόνο στην περαιτέρω κατάρτιση, αλλά και στη ζωή γενικά. Είναι απαραίτητο να διδάξουν οι μαθητές να σκεφτούν, δεδομένης όλων των ειδών πιθανότητας. Δηλαδή, πρέπει να τους διδάξετε να λάβουν, να αναλύσουν και να χειριστούν πληροφορίες, να επιτευχθούν, αγοραστούν σκόπιμα διάφορες καταστάσεις με σημεία με βάση το χιόνι. Οι μαθητές της ζωής του κάθε μέρα αντιμετωπίζουν γεύσεις. Το παιχνίδι και το θάρρος καταλαμβάνουν ένα συγκεκριμένο, ουσιαστικό μέρος του Jim. Όλες αυτές οι ερωτήσεις συνδέονται με τη σύγκριση των εννοιών της "πιθανότητας" και της "αξιοπιστίας", η δυσκολία είναι η καλύτερη περίπτωση για αρκετές επιλογές για τη δράση, την πιθανότητα επιτυχίας και Fiasco, την ιδέα του καλού και του κακού στα παιχνίδια και στο Τρέχουσες καταστάσεις, όλα αυτά, φυσικά, είναι σε ένα κύκλο αληθινές και απαραίτητες χόμπι ενός έφηβου. Η μαθηματική δραστηριότητα των μαθητών πρέπει να υπερβεί τα τελικά πιθανό μοντέλα. Οι μαθητές που εκτελούν εργασίες, οι οποίες στη συνέχεια συμβάλλουν στη λήψη αποφάσεων σε πραγματικές καταστάσεις ζωής, παίζει τεράστιο ρόλο και απαιτεί τη σωστή και έμπειρη διδασκαλία των υλικών από τα χρήματα. Η γνώση της στοχαστικης είναι ένας από τους σημαντικότερους παράγοντες των προοπτικών για δάσκαλο των μαθηματικών. Χρειαζόμαστε μια πολυμερή ματιά στο στοχαστικό, συμπεριλαμβανομένων τόσο της ειδικής μεθοδολογίας, συμπεριλαμβανομένων των σχετικών και στατιστικών συμπερασμάτων της σχέσης τους. Ο επόπτης θα πρέπει να γνωρίζει προσεκτικά και να συνειδητοποιήσει την εμφάνιση του κινδύνου εσφαλμένων αποφάσεων κατά την ανάλυση των περιπτώσεων που συμβαίνουν στην περίπτωση η υπόθεση. Μια παραπλανητική κατανόηση, για παράδειγμα, μπορεί να προκύψει λόγω μικρών στατιστικών πληροφοριών. Οι δάσκαλοι εμφανίζονται ασυνήθιστες προσεγγίσεις κατάρτισης. Λέκτορας, καθορίζοντας το επίπεδο γνώσης από μαθητές οποιουδήποτε ροδαστικές δεξιότητες, μπορεί να αντιμετωπίσει κάποιες δυσκολίες, για παράδειγμα, κατά την επίλυση εργασιών, οι μαθητές είναι συχνά απαραίτητοι, οπότε ας πούμε, υγιή σκέφτονται και να μην δρουν αυστηρά σύμφωνα με τον αλγόριθμο, τους κανόνες, έτσι Οι απαντήσεις τους στην ίδια ερώτηση διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, το καθήκον του δασκάλου θα αποτελέσει αξιολόγηση του δικαιώματος στο λάθος του φοιτητή, δεδομένου ότι είναι δυνατόν. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα πιο ανεπτυγμένα παιδιά είναι ταχύτερα να αρχίσουν να κάνουν τα πράγματα που σχετίζονται με τη συμπεριφορά των πειραμάτων και την έρευνα ενδιαφέροντος για εμάς και να φροντίζουν να φροντίσουν τους συντρόφους τους.

Ως εκ τούτου, δεν αρκεί να γίνει διάκριση μεταξύ του επιπέδου των δεξιοτήτων και των δεξιοτήτων μεμονωμένα και χωρίς τη βοήθεια των ξένων για να μελετηθεί η παραγωγή. Ξεκινώντας τη διδασκαλία των φοιτητών των αποθεμάτων, ο δάσκαλος πρέπει να συνειδητοποιήσει γιατί ήταν απαραίτητο να εισαχθεί ένα νέο πρόγραμμα στην πορεία της μελέτης. Η σωστή κατανόηση του δασκάλου στη Σχολή των Στόχων της στοχαστικής κατάρτισης, μια σαφής αναπαράσταση της σχέσης τους με τα μαθηματικά και τους τόπους της σταχαστικής σε διάφορα άλλα θέματα, η γνώση των τελικών απαιτήσεων για αυτή την προετοιμασία των φοιτητών είναι η κύρια βάση του δασκάλου των μαθηματικών για την εφαρμογή της νέας γραμμής. Μην το σημειώνω, ότι η μάθηση σε οποιεσδήποτε μεθοδολογίες είναι θετική στην ψυχική ανάπτυξη των εφήβων, διότι δίνει τις δεξιότητές τους από την αποκλειστική σκέψη, με βάση αποκλειστικά τις πιστές και τις απαραίτητες έννοιες. Όλα τα παραπάνω στην υποκίνηση αναφέρονται στην εκπαίδευση της θεωρίας πιθανοτήτων, αλλά η διδασκαλία του Larmit έχει πολύ μεγαλύτερη αξία, πηγαίνει πέρα \u200b\u200bαπό την περιοχή του συνήθους. Αφού μελετήσατε τη θεωρία της πιθανότητας, ο φοιτητής αρχίζει να κατανοεί πώς να εφαρμόζει τις τεχνικές λογικής σκέψης όταν συναντήσετε την αβεβαιότητα (και υπάρχει μια τεράστια πρακτική τέτοιων πρακτικών).

Όλα τα παραπάνω μπορούν να οριστούν ως στόχοι της μελέτης αυτής της πειθαρχίας και τι ακριβώς μας παρουσιάζει στο σχολικό έτος, τι μελετά τους μαθητές ποιες βασικές έννοιες βρίσκονται εκεί;

Εάν είναι απαραίτητο να προσεγγίσετε λεπτομερώς και σταδιακά, τότε η σχολική πορεία της θεωρίας της πιθανότητας είναι καλύτερα να ξεκινήσει στην 5η τάξη, όπου θα εισαχθούν οι κύριοι ορισμοί της θεωρίας πιθανοτήτων σε συγκεκριμένα "ζωντανά παραδείγματα. Η αρχή της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι η συνιστώσα, όπου τα καθήκοντα θα λυθούν με τη μέθοδο κατάσβεσης, δηλαδή οι μελέτες των δυνατοτήτων λύσης της Thelestwashtvos. Φυσικά, είναι απαραίτητο να εξεταστεί η λύση των συνδυαστικών εργασιών χρησιμοποιώντας το δέντρο πιθανών επιλογών.

Το επόμενο στάδιο έμαθε από την εκδήλωση των γεγονότων: τυχαία, αξιόπιστη, αδύνατη, ισορροπία, ισορροπία, η οποία απεικονίζεται σε καθημερινά παραδείγματα. Είναι επίσης δυνατό να εξεταστεί ο κανόνας πολλαπλασιασμού, ο οποίος είναι ένα νέο μέσο επίλυσης συνδυαστικών εργασιών, που ακούγεται σαν Αυτό: "Εάν το πρώτο στοιχείο κάποιου ζεύγους μπορεί να επιλεγεί μεθόδους m και για καθέναν από αυτές τις μεθόδους, το δεύτερο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί με n με τρόπους, τότε αυτό το ζεύγος μπορεί να επιλεγεί μεθόδους m * n." Είναι απαραίτητο να επεξηγήσουμε τις δυνατότητες αυτού του κανόνα σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Ένα ξεχωριστό κεφάλαιο θα πρέπει να θεωρείται τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά: η μέση αριθμητική (η μέση αριθμητική σειρά αριθμών ονομάζεται ιδιωτικός από τη διαίρεση του ποσού αυτών των αριθμών στον αριθμό τους), η μόδα (η μόδα ονομάζεται αριθμός των σειρών, η οποία βρίσκεται σε αυτό Συχνότερη σειρά), η διαφορά μεταξύ των μεγαλύτερων και των μικρότερων αξιών ορισμένων δεδομένων), ο διάμεσος (διάμεσος είναι ένας αριθμός που μοιράζεται ορισμένα στοιχεία σε δύο μέρη, το ίδιο όσον αφορά τον αριθμό των μελών) , η οποία θα έχει ένα πλήθος παραδειγμάτων από τη ζωή. Η πιο σημαντική κατάρτιση είναι να εξετάσει παραδείγματα που δεσμεύονται στην πρακτική, περιγράφονται διάφορα παραδείγματα ζωής, τα οποία θα είναι χρήσιμα και ενδιαφέροντα για τα παιδιά.

Μετά την ανάλυση των προαναφερθέντων, μπορούμε να διατυπώσουμε χαρακτηριστικούς ανιχνευτές πιθανότητας, το οποίο δόθηκε για πρώτη φορά στα έργα των γαλλικών μαθηματικών του Laplace και επίσης εξετάζει τα στοιχεία των συνδυαστικών: διαμονής και συνδυασμοί. Μπορείτε να απεικονίσετε έναν κλασικό ορισμό χρησιμοποιώντας έναν πίνακα: Πίνακας 1 Εργασίες που χρησιμοποιούν κλασικό ορισμό

Έχουν ήδη μελετηθεί στα γυμνάσια, οι στατιστικές μελέτες μελετώνονται, ο ορισμός των στατιστικών (επιστημονική μάθηση που κατασκευάζει και αναλύει ποσοτικά δεδομένα σε μια ευρεία ποικιλία μαζικών φαινομένων στη ζωή στη ζωή), εισάγονται νέες έννοιες δειγματοληψίας, αντιπροσωπευτικότητας, γενικού συνδυασμού, θεωρούνται. Εισάγεται μια νέα μέθοδος γραφικής αναπαράστασης των αποτελεσμάτων του πολύγωνου. Αποσυνδέσεις νέου δείγματος και δευτερεύουσα τετραγωνική απόκλιση.

Η μελέτη του τελευταίου απαιτεί όχι μόνο την κατανόηση των θεμελίων, τα δεδομένα νωρίτερα, αλλά και μια πιο λεπτομερή και προσεκτική σχέση, για τα μαθηματικά, όπως στη ζωή, τότε, τόσο πιο δύσκολη.

Φυσικά, όπως σε όλους τους κλάδους και στο σχολικό πορεία, η μελέτη της θεωρίας πιθανοτήτων υπήρξε δική τους ειδική μέθοδος μελέτης των θεωρήσεων, η κύρια η οποία είναι τα θεωρητικά της προσθήκης πιθανοτήτων και η επίδραση αυτών και η πιθανότητα πολλαπλασιασμού θεώρημα . Οι θεωρήσεις μελέτης πρέπει να αποδειχθούν σε συγκεκριμένα παραδείγματα που απεικονίζουν την εφαρμογή τους, αλλά θα παράσχουμε στους δασκάλους του σχολείου και θα ανακοινώσει απλώς το περιεχόμενο αυτών των θεωρητών, και έτσι, η προσθήκη προσθήκης πιθανοτήτων ακούγεται έτσι: "Η πιθανότητα του ποσού των δύο ασυνεπών Τα γεγονότα είναι ίσα με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων »και, αντίστοιχα, του τύπου για αυτό το θεώρημα Ρ (Α + C) \u003d Ρ (Α) + Ρ (Β). Ο πολλαπλασιαστικός πολλαπλασιασμός θεώρημα "η πιθανότητα ενός έργου δύο γεγονότων ισούται με το προϊόν της πιθανότητας ενός γεγονότος για την υπό όρους πιθανότητα του άλλου, υπό την προϋπόθεση ότι το πρώτο συμβάν συνέβη," ο τύπος φαίνεται έτσι p (av) \u003d p (Α) * P (V / A). Μαζί με αυτά τα θεωρήματα, η θεωρία των μαθηματικών μελετάται επίσης με τη θεωρία των μαθηματικών, στην οποία μελετώνται οι γενικές ιδιότητες των συνόλων στοιχείων των αυθαίρετων φύσης, οι οποίες έχουν συνολική ιδιοκτησία. Εάν οι μαθητές θα έχουν γνώση της θεωρίας των σετ, θα είναι σε θέση να επικοινωνούν με τις διατροπές σε σχέση με τα γεγονότα των συνόλων σετ. Χάρη σε αυτό, οι μαθητές θα είναι σε θέση να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι τα αντικείμενα και οι σχέσεις στη θεωρία των πιθανοτήτων είναι παρόμοια με τα αντικείμενα και τις σχέσεις στη θεωρία των σετ. Περιγραφή είναι τα ονόματα των όρων που χρησιμοποιούνται. Στους πρώτους πόρους, είναι απαραίτητο να συγκεντρωθούν Ένας ενοποιημένος πίνακας, ο οποίος αντικατοπτρίζει τις βασικές πληροφορίες. Επεξεργασία των ερυθρών αποτελεσμάτων των πειραματισμών εκδηλώσιμων συμβάντων για αυτό το συμβάν Α: P (A) \u003d m / Όχι Flossing Coin2 Enel11 / 2 Countate Cove Bead211 Extracystone Cube 11/24 Prowing Cube6NA Cube Purchate Σημεία 33/6 \u003d 1/2 W Κρουστά σε λοταρία250 επαγρύπνηση, αγοράζοντας ένα εισιτήριο1010 / 250 \u003d 1/25

Στη διαδικασία μελέτης των δραστηριοτήτων των γεγονότων που πρέπει να χρειαστούν για τη χρήση όσο το δυνατόν περισσότερο, οι οποίες αντανακλούν όχι μόνο την ουσία των πράξεων, αλλά και τις διαφορές σε αυτά. Μαθητές με ευκινησία του ποσού και το έργο των γεγονότων που χρησιμοποιούν τον ορισμό. Η δυσκολία είναι να σχηματίσουν τους μαθητές κατανόηση και επίγνωση της ουσίας των επιχειρήσεων σχετικά με τα γεγονότα. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες εργασίες για να συνεργαστούμε με λειτουργίες σε γεγονότα. Το πιο κοντά στο οποίο μπορείτε να συναντήσετε μια εξήγηση αυτού του θέματος είναι η πολυπλοκότητα της κατανομής απλών συμβάντων. Η απόφαση είναι προφανής, το όλο θέμα στην εμπειρία, τα περισσότερα καθήκοντα αποφασίζονται, όσο περισσότερη κατανόηση και ελάχιστες λανθασμένες κρίσεις. Τα περιστατικά αυτής της μετατροπής του μαθητή σε μια πολύ λεπτομερή κατανόηση και κατανόηση τέτοιων εννοιών ως "στοιχειώδεις", "ατελείωτα γεγονότα" "," αξιόπιστα γεγονότα "," αδύνατα γεγονότα "," αντίθετα γεγονότα ", αφού όλες αυτές οι έννοιες μπορούν να καθοριστούν με βάση τις πράξεις σε γεγονότα. Φαίνεται ότι οποιοδήποτε σύστημα έχει τα μειονεκτήματα και τα σχόλιά του. Ένας από τους γενικά αποδεκτούς ο ορισμός πιθανότητας είναι η περιορισμένη του χρήση, καθώς είναι κατάλληλη μόνο για κλασσικά πειράματα, τα οποία δεν συμβαίνουν τόσο συχνά στη σύγχρονη εκτύπωση. Το πιο σημαντικό πράγμα θα είναι πεπεισμένο ότι οι μαθητές έχουν μάθει ότι η εισαγωγή της πιθανότητας είναι πολύ καθορισμένη Κατά τη χρήση του, γι 'αυτό υπάρχει ανάγκη να μελετηθούν ο αριθμός των προσεγγίσεων στην ερμηνεία της έννοιας της πιθανότητας. Μία από τις πιο σημαντικές προσεγγίσεις από μια πρακτική άποψη είναι μια στατιστική προσέγγιση στον ορισμό της έννοιας της "πιθανότητας". Η εφαρμογή της θεωρείται ως το επόμενο στάδιο του σχηματισμού θεωρητικών ευαίσθητων ιδεών μεταξύ των φοιτητών. Η ανάπτυξη του στατιστικού ορισμού της έννοιας της "πιθανότητας" είναι σημαντική για την επακόλουθη χρήση στα τμήματα των μαθηματικών στατιστικών για την αξιολόγηση των στατιστικών χαρακτηριστικών μιας ευρείας κατηγορίας φαινομένων διαφόρων φύσεων. Η πρακτική έδειξε ότι η θεωρία πιθανοτήτων είναι πολύ καιρό- Καταναλώνοντας και βαριά διαδικασία για φοιτητές στο σχολείο και είναι τόσο δύσκολο για τους εκπαιδευτικούς, από την άποψη της μεταφοράς τους στους φοιτητές. Ως εκ τούτου, δεν απλοποιεί τα σφάλματα και τις ελλείψεις, οι οποίες, ας πούμε, μπορούν να επιτραπεί στα μαθήματα και τη μουσική, πρώτα απ 'όλα, διότι είναι συνεπής, διαρθρωτική και κάθε σωματίδιο της δομής της συμπληρώνει ο ένας τον άλλον.

Αναφορές σε πηγές1..Morozova E.V. Τρόποι για την ανάπτυξη λογικής σκέψης και λογικής αντανάκλασης των φοιτητών στο πλαίσιο του εκσυγχρονισμού της σχολικής εκπαίδευσης // σύγχρονα προβλήματα της επιστήμης και της εκπαίδευσης. -2014. -Από 5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id\u003d14962 (ημερομηνία χειρισμού: 02/10/2016) .2.g. Dorofeev, I.F. Sharygin, S. B. Savorova. Tutorial: Άλγεβρα. Βαθμός 7: Μελέτες. Για τον γενικό σχηματισμό. Εκπαίδευση / -m.: Εκπαίδευση 2014. -288 P.3.G. V. Dorofeev, S. B. Suvorov, Ε. Α. Baynovich και άλλη άλγεβρα. Βαθμός 8: Μελέτες, για γενικό σχηματισμό. ιδρύματα / Α45; Ed. Γ. V. Dorofeeva; Ros. Acad. Επιστήμη, ros. Acad. Εκπαίδευση, Edudva "Διαφωτισμός". - 5η έκδοση. -Μ. : Διαφωτισμός, 2010.-288 C.4.4m.: G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S. B. Savorova. Tutorial: Άλγεβρα. Βαθμός 7: Μελέτες. Είμαστε γενικός σχηματισμός. Μεγέθυνση / -m.: Εκπαίδευση 2014. -288 P.5.

Ν. L. Stefanov, Ν. Σ. Προσεγγίσεις. Μεθοδολογία και τεχνολογία μαθηματικών μαθηματικών. Πορεία διαλέξεων: όφελος για τα πανεπιστήμια. -Μ. : Drop, 2005. -416 σελ .6.

Βλέπε: Ν. L. Stefanov, Ν. Σ. Προσεγγίσεις. Μεθοδολογία και τεχνολογία μαθηματικών μαθηματικών. Πορεία διαλέξεων: όφελος για τα πανεπιστήμια. -Μ. : Drop, 2005. -416 σελ.