Εξελίξεις

Εκδήλωση. Πρωτοβάθμια εκδήλωση.

Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων.

Ένα αξιόπιστο γεγονός. Αδύνατο γεγονός.

Πανομοιότυπα γεγονότα.

Άθροισμα, προϊόν, διαφορά γεγονότων.

Αντίθετα γεγονότα. Ασυμβίβαστα συμβάντα.

Εξίσου πιθανά γεγονότα.

Υπό Εκδήλωση στη θεωρία πιθανοτήτων, κατανοούν κάθε γεγονός που μπορεί ή δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα ενός πειράματος μετυχαίο αποτέλεσμα. Το πιο απλό αποτέλεσμα ενός τέτοιου πειράματος (για παράδειγμα, η εμφάνιση "κεφαλιών" ή "ουρών" κατά τη ρίψη ενός νομίσματος, το χτύπημα στο στόχο κατά τη βολή, η εμφάνιση ενός άσου κατά την αφαίρεση μιας κάρτας από το κατάστρωμα, τυχαία πτώση από έναν αριθμό όταν ρίχνετε ένα ζάρικλπ) λέγεταιστοιχειώδες γεγονός .

Σύνολο όλων των στοιχειωδώνγεγονότα μιπου ονομάζεται διαστημικό στοιχείο απόβαρα γεγονότα . Ετσι, για ρίχνοντας ένα ζάρι, αυτός ο χώρος αποτελείται από έξιβασικά γεγονότα, και κατά την αφαίρεση μιας κάρτας από το κατάστρωμα - από 52. Ένα συμβάν μπορεί να αποτελείται από ένα ή περισσότερα στοιχειώδη γεγονότα, για παράδειγμα, την εμφάνιση δύο άσων στη σειρά κατά την αφαίρεση μιας κάρτας από το κατάστρωμα ή την εμφάνιση της ίδιο αριθμό όταν ρίχνετε ένα ζάρι τρεις φορές. Τότε μπορεί κανείς να ορίσει Εκδήλωση ως αυθαίρετο υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων.

Ένα αξιόπιστο γεγονός καλείται όλος ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων. Έτσι, ένα αξιόπιστο γεγονός είναι ένα γεγονός που πρέπει απαραίτητα να συμβεί ως αποτέλεσμα μιας δεδομένης εμπειρίας. Όταν ρίχνεται ένα ζάρι, ένα τέτοιο γεγονός είναι η πτώση του σε ένα από τα πρόσωπα.

Αδύνατο γεγονός () ονομάζεται κενό υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων. Δηλαδή, ένα αδύνατο γεγονός δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα μιας δεδομένης εμπειρίας. Έτσι, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, ένα αδύνατο γεγονός είναι η πτώση του στην άκρη.

Εξελίξεις ΕΝΑκαι Vλέγονταιπανομοιότυπο (ΕΝΑ= V) εάν το συμβάν ΕΝΑσυμβαίνει εάν και μόνο όταν συμβεί ένα συμβάνV .

Το γεγονός λέγεται ότι είναι ΕΝΑ συνεπάγεται ένα συμβάν V ( ΕΝΑ V) εάν από την κατάσταση"συνέβη το συμβάν Α" πρέπει "συνέβη το συμβάν Β".

Εκδήλωση ΜΕπου ονομάζεται το άθροισμα των γεγονότων ΕΝΑκαι V (ΜΕ = ΕΝΑ V) εάν το συμβάν ΜΕσυμβαίνει εάν και μόνο όταν το ένα ΕΝΑή V.

Εκδήλωση ΜΕπου ονομάζεται προϊόν γεγονότων ΕΝΑκαι V (ΜΕ = ΕΝΑ V) εάν το συμβάν ΜΕσυμβαίνει εάν και μόνο όταν εμφανιστεί καιΕΝΑ, και V.

Εκδήλωση ΜΕπου ονομάζεται διαφορά γεγονότων ΕΝΑκαι V (ΜΕ = ΕΝΑ – V) εάν το συμβάν ΜΕσυμβαίνει τότε καιΜόνο τότε, όταν συμβείΕκδήλωση ΕΝΑκαι δεν συμβαίνει κανένα συμβάν V.

Εκδήλωση ΕΝΑ"που ονομάζεται απεναντι απο ΕκδήλωσηΕΝΑαν το συμβάν δεν συνέβη ΕΝΑ... Έτσι, ένα miss και ένα χτύπημα στα γυρίσματα είναι αντίθετα γεγονότα.

Εξελίξεις ΕΝΑκαι Vλέγονταιασυνεπής (ΕΝΑ V = ) , αν η ταυτόχρονη εμφάνισή τους είναι αδύνατη. Για παράδειγμα, πέφτοντας έξω και "ουρές", και"αετός" όταν ρίχνει ένα νόμισμα.

Εάν κατά τη διάρκεια του πειράματος μπορούν να συμβούν πολλά γεγονότα και καθένα από αυτά, σύμφωνα με αντικειμενικές συνθήκες, δεν είναι πιο πιθανό από το άλλο, τότε τέτοια γεγονότα ονομάζονταιεξίσου δυνατό ... Παραδείγματα εξίσου πιθανών γεγονότων: η εμφάνιση ενός deuce, ace και jack όταν αφαιρείτε μια κάρτα από το κατάστρωμα, πέφτοντας από οποιονδήποτε από τους αριθμούς από το 1 έως το 6 όταν ρίχνετε ένα ζάρι κ.λπ.

Θα υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα μιας πραγματικής εμπειρίας (πείραμα) μπορεί να είναι ένα ή περισσότερα αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα. Αυτά τα αποτελέσματα είναι αμετάβλητα και αλληλοαποκλείονται. Σε αυτή την περίπτωση, το πείραμα λέγεται ότι τελειώνει με ένα και μόνο ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα.

Το σύνολο όλων των στοιχειωδών γεγονότων που προκύπτουν από τυχαίοςπείραμα, θα καλέσουμε χώρος στοιχειωδών γεγονότων W (ένα στοιχειώδες γεγονός αντιστοιχεί σε ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα).

Τυχαία γεγονότα(γεγονότα), θα ονομάσουμε υποσύνολα του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων W.

Παράδειγμα 1.Γυρίστε ένα νόμισμα μία φορά. Ένα νόμισμα μπορεί να πέσει ψηφίο προς τα πάνω - ένα στοιχειώδες γεγονός w q (ή w 1), ή με ένα εθνόσημο - ένα στοιχειώδες γεγονός w Г (ή w 2). Ο αντίστοιχος χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W αποτελείται από δύο στοιχειώδη γεγονότα:

W = (w q, w Г) ή W = (w 1, w 2).

Παράδειγμα 2. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώπόντους. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση από ζυγό αριθμό πόντων, ΕΝΑ= (w 2, w 4, w 6), ΕΝΑ W.

Παράδειγμα 3. Ένα σημείο τοποθετείται τυχαία (τυχαία) σε ένα τμήμα. Μετράται η απόσταση του σημείου από το αριστερό άκρο της γραμμής. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών σε ένα τμήμα μονάδας.

Με πιο ακριβείς, τυπικούς όρους, τα στοιχειώδη γεγονότα και ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων περιγράφονται ως εξής.

Ένα αυθαίρετο σύνολο W, W = (w) ονομάζεται χώρος στοιχειωδών γεγονότων. Τα στοιχεία w αυτού του συνόλου W ονομάζονται στοιχειώδη γεγονότα .

Έννοιες στοιχειώδες γεγονός, γεγονός, χώρος στοιχειωδών γεγονότων, είναι οι αρχικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Είναι αδύνατο να δοθεί μια πιο συγκεκριμένη περιγραφή του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων. Για να περιγράψετε κάθε πραγματικό μοντέλο, επιλέγεται ο αντίστοιχος χώρος W.

Το συμβάν W ονομάζεται αξιόπιστοςΕκδήλωση.

Ένα αξιόπιστο γεγονός δεν μπορεί παρά να συμβεί ως αποτέλεσμα ενός πειράματος συμβαίνει πάντα.

Παράδειγμα 4. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Ένα αξιόπιστο γεγονός συνίσταται στο γεγονός ότι ο αριθμός των πόντων που έχουν πέσει δεν είναι μικρότερος από ένα και όχι περισσότερο από έξι, δηλ. W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώτα σημεία είναι ένα αξιόπιστο γεγονός.

Ένα κενό σύνολο ονομάζεται αδύνατο γεγονός.

Ένα αδύνατο γεγονός δεν μπορεί να συμβεί ως αποτέλεσμα ενός πειράματος δεν συμβαίνει ποτέ.

Ένα τυχαίο γεγονός μπορεί να συμβεί ή όχι ως αποτέλεσμα ενός πειράματος συμβαίνει μερικές φορές.

Παράδειγμα 5. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Η πτώση περισσότερων από έξι πόντων είναι ένα αδύνατο γεγονός.

Αντίθετη εκδήλωση ΕΝΑονομάζεται συμβάν που το γεγονός ΕΝΑΔεν συνέβη. Υποδεικνύεται από ,.

Παράδειγμα 6. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Εκδήλωση ΕΝΑτότε το συμβάν είναι μονός αριθμός πόντων. Εδώ W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), όπου w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώσημεία, ΕΝΑ= (w 2, w 4, w 6), =.

Παράδειγμα 7. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση από ζυγό αριθμό πόντων, γεγονός σι- πέφτει από τον αριθμό των πόντων λιγότερο από δύο. Εκδήλωση ΕΝΑσι συνίσταται στην επίτευξη ζυγού αριθμού πόντων μικρότερων από δύο. Είναι αδύνατο, ΕΝΑ= (w 2, w 4, w 6), Β =(w 1), ΕΝΑΒ =, εκείνοι. εξελίξεις ΕΝΑκαι Β -ασυνεπής.

Το άθροισμαγεγονότα ΕΝΑκαι σιονομάζεται ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν σε ένα από τα γεγονότα ΕΝΑή ΣΙ.Συμβολίζεται Α + ΣΙ.

Παράδειγμα 8. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Σε αυτό το πείραμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), όπου το στοιχειώδες γεγονός w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώπόντους. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση από ζυγό αριθμό πόντων, ΕΝΑ σι Β =(w 5, w 6).

Εκδήλωση Α + σι = (w 2, w 4, w 5, w 6) συνίσταται στο γεγονός ότι είτε ένας ζυγός αριθμός σημείων έπεσε είτε ένας αριθμός σημείων μεγαλύτερο από τέσσερα, δηλ. είτε συνέβη ένα συμβάν ΕΝΑ, ή εκδήλωση ΣΙ.Είναι προφανές ότι Α + σι W.

Κατά προϊόνγεγονότα ΕΝΑκαι σιονομάζεται γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν ταυτόχρονα σε γεγονότα ΕΝΑκαι ΣΙ.Συμβολίζεται ΑΒ.

Παράδειγμα 9. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Σε αυτή την εμπειρία, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), όπου το στοιχειώδες γεγονός w Εγώ- εγκατάλειψη Εγώπόντους. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση από ζυγό αριθμό πόντων, ΕΝΑ= (w 2, w 4, w 6), γεγονός σι- πέφτει από τον αριθμό των πόντων πάνω από τέσσερα, Β =(w 5, w 6).

Εκδήλωση ΕΝΑ σισυνίσταται στο γεγονός ότι ένας άρτιος αριθμός πόντων έπεσε, περισσότεροι από τέσσερις, δηλ. και τα δύο γεγονότα συνέβησαν, και το συμβάν ΕΝΑκαι εκδήλωση Β, Α σι = (w 6) ΕΝΑ σι W.

Διαφοράγεγονότα ΕΝΑκαι σιονομάζεται γεγονός που αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν ΕΝΑαλλά δεν ανήκει ΣΙ.Συμβολίζεται Α \ Β.

Παράδειγμα 10. Ρίξτε μια φορά το ζάρι. Εκδήλωση ΕΝΑ- πτώση από ζυγό αριθμό πόντων, ΕΝΑ= (w 2, w 4, w 6), γεγονός σι- πέφτει από τον αριθμό των πόντων πάνω από τέσσερα, Β =(w 5, w 6). Εκδήλωση ΕΝΑ \ σι = (w 2, w 4) συνίσταται στο γεγονός ότι ένας άρτιος αριθμός σημείων έπεσε έξω, που δεν υπερβαίνει τα τέσσερα, δηλ. συνέβη ένα γεγονός ΕΝΑκαι το συμβάν δεν έγινε Β, Α \ Β W.

Είναι προφανές ότι

A + A = A, AA = A, .

Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε τις ισότητες:

, (Α + Β)C = AC + BC.

Οι ορισμοί του αθροίσματος και του προϊόντος των γεγονότων μεταφέρονται σε άπειρες ακολουθίες γεγονότων:

, ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα, καθένα από τα οποία ανήκει σε τουλάχιστον ένα από αυτά ·

, ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα, καθένα από τα οποία ανήκει σε όλους ταυτόχρονα.

Αφήστε το W να είναι ένας αυθαίρετος χώρος στοιχειωδών γεγονότων, και - Έτσι ένα σύνολο τυχαίων γεγονότων, για τα οποία ισχύει: W, AB, A + B και A \ B αν A και Β.

Μια αριθμητική συνάρτηση P που ορίζεται σε ένα σύνολο γεγονότων καλείται πιθανότητα,αν : (ΕΝΑ) 0 για οποιοδήποτε ΕΝΑαπό ; (W) = 1;

Οι τρεις λέγονται πιθανοτικός χώρος.

Αξιόπιστα και αδύνατα γεγονότα

Αξιόπιστοςονομάζεται ένα συμβάν που σίγουρα θα συμβεί εάν εφαρμοστεί ένα ορισμένο σύνολο συνθηκών.

Αδύνατοείναι ένα γεγονός που δεν θα συμβεί εάν πληρείται ένα ορισμένο σύνολο προϋποθέσεων.

Ένα συμβάν που ταιριάζει με ένα κενό σύνολο ονομάζεται αδύνατοσυμβάν, και ονομάζεται ένα συμβάν που συμπίπτει με ολόκληρο το σύνολο αξιόπιστοςΕκδήλωση.

Τα γεγονότα ονομάζονται εξίσου δυνατόεάν δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ένα συμβάν είναι πιο πιθανό από άλλα.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά τους νόμους των τυχαίων γεγονότων. Ένα από τα κύρια καθήκοντα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι το έργο του προσδιορισμού ενός ποσοτικού μέτρου της πιθανότητας να συμβεί ένα συμβάν.

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

Λειτουργίες σε γεγονότα (άθροισμα, διαφορά, προϊόν)

Κάθε δοκιμή σχετίζεται με μια σειρά γεγονότων που μας ενδιαφέρουν, τα οποία, σε γενικές γραμμές, μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι (δηλαδή ένα ζάρι με τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6 στις άκρες του), το συμβάν είναι δύο και το συμβάν είναι ζυγός αριθμός πόντων. Προφανώς, αυτά τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται.

Αφήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα των δοκιμών να πραγματοποιηθούν σε μια σειρά από τις μοναδικές δυνατές ειδικές περιπτώσεις, αμοιβαία αποκλειόμενες μεταξύ τους. Τότε:

• · Κάθε αποτέλεσμα του τεστ αντιπροσωπεύεται από ένα και μόνο ένα στοιχειώδες γεγονός.
• · Οποιοδήποτε συμβάν που σχετίζεται με αυτό το τεστ είναι ένα σύνολο πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού στοιχειωδών γεγονότων.
• · Ένα συμβάν συμβαίνει εάν και μόνο εάν πραγματοποιηθεί ένα από τα στοιχειώδη γεγονότα που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο.

Με άλλα λόγια, δίνεται ένας αυθαίρετος αλλά σταθερός χώρος στοιχειωδών γεγονότων, ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συγκεκριμένη περιοχή σε ένα επίπεδο. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχειώδη γεγονότα είναι σημεία του επιπέδου που βρίσκονται μέσα. Δεδομένου ότι ένα συμβάν ταυτίζεται με ένα σύνολο, όλες οι λειτουργίες που εκτελούνται σε σύνολα μπορούν να εκτελεστούν σε συμβάντα. Δηλαδή, κατ 'αναλογία με τη θεωρία συνόλων, κατασκευάζει κανείς άλγεβρα γεγονότων... Συγκεκριμένα, ορίζονται οι ακόλουθες λειτουργίες και σχέσεις μεταξύ συμβάντων:

(η σχέση συμπερίληψης συνόλων: ένα σύνολο είναι ένα υποσύνολο ενός συνόλου) - το συμβάν Α συνεπάγεται το συμβάν Β. Με άλλα λόγια, το συμβάν Β συμβαίνει κάθε φορά που το συμβάν Α. (σχέση ισοδυναμίας συνόλων) - ένα συμβάν είναι πανομοιότυπο ή ισοδύναμο με ένα συμβάν. Αυτό είναι δυνατό εάν και μόνο εάν και ταυτόχρονα, δηλ. το καθένα συμβαίνει όποτε συμβαίνει το άλλο. () - το άθροισμα των γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι έχει συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο συμβάντα ή (όχι αποκλειστικά λογικό "ή"). Στη γενική περίπτωση, το άθροισμα πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα.

() - προϊόν γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού υλοποίηση γεγονότων και (λογικό "και"). Γενικά, το προϊόν αρκετών εκδηλώσεων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη υλοποίηση όλων αυτών των γεγονότων. Έτσι, τα γεγονότα είναι ασύμβατα εάν το προϊόν τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλ. ...

(σύνολο στοιχείων που ανήκουν αλλά δεν ανήκουν) - η διαφορά γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που αποτελείται από αποτελέσματα που περιλαμβάνονται, αλλά δεν περιλαμβάνονται. Συνίσταται στο γεγονός ότι συμβαίνει ένα συμβάν, αλλά το συμβάν δεν συμβαίνει.

Απέναντι (πρόσθετο) για ένα συμβάν (καθορισμένο) είναι ένα γεγονός που αποτελείται από όλα τα αποτελέσματα που δεν περιλαμβάνονται. Δύο γεγονότα ονομάζονται αντίθετα, εάν η εμφάνιση του ενός ισοδυναμεί με τη μη εμφάνιση του άλλου. Το αντίθετο συμβάν συμβαίνει εάν και μόνο εάν το συμβάν δεν συμβεί. Με άλλα λόγια, η εμφάνιση ενός γεγονότος σημαίνει απλώς ότι το συμβάν δεν συνέβη.

Η συμμετρική διαφορά δύο γεγονότων και (συμβολίζεται) είναι ένα γεγονός που αποτελείται από αποτελέσματα που περιλαμβάνονται ή, αλλά δεν περιλαμβάνονται και ταυτόχρονα. Η έννοια του γεγονότος είναι ότι ένα και μόνο ένα από τα γεγονότα συμβαίνει ή. Υποδεικνύεται η συμμετρική διαφορά: ή.

Κοινά και ασυμβίβαστα γεγονότα.

Δύο γεγονότα ονομάζονται άρθρωσησε μια δεδομένη εμπειρία, εάν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση ενός άλλου. Παραδείγματα του : χτυπώντας έναν άφθαρτο στόχο με δύο διαφορετικά βέλη, παίρνοντας τον ίδιο αριθμό πόντων σε δύο ζάρια.

Δύο γεγονότα ονομάζονται ασυνεπής(ασυμβίβαστα) σε μια δεδομένη εμπειρία εάν δεν μπορούν να συμβούν μαζί στην ίδια δοκιμή. Αρκετά γεγονότα ονομάζονται ασυνεπή εάν είναι ασυνεπή σε ζεύγη. Παραδείγματα ασυνεπών γεγονότων: α) χτυπήστε και χάστε με ένα σουτ. β) ένα μέρος ελήφθη τυχαία από ένα κουτί με μέρη - γεγονότα «ένα τυπικό μέρος βγήκε» και «ένα μη τυποποιημένο μέρος βγήκε» γ) η εταιρεία χάλασε και κέρδισε.

Με άλλα λόγια, γεγονότα ΕΝΑκαι Vείναι συνεπείς εάν τα αντίστοιχα σύνολα ΕΝΑκαι Vέχουν κοινά στοιχεία και είναι ασύμβατα εάν τα αντίστοιχα σύνολα ΕΝΑκαι Vδεν έχουν κοινά στοιχεία.

Κατά τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων γεγονότων, η έννοια χρησιμοποιείται συχνά εξίσου δυνατό γεγονότα. Αρκετά γεγονότα σε ένα δεδομένο πείραμα ονομάζονται εξίσου δυνατά εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες συμμετρίας, υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένα από αυτά δεν είναι αντικειμενικά πιο πιθανό από άλλα (πτώση του εθνόσημου και της ουράς, εμφάνιση κάρτας οποιοδήποτε κοστούμι, η επιλογή μιας μπάλας από ένα δοχείο κ.λπ.)

Μια σειρά γεγονότων σχετίζονται με κάθε δοκιμή, η οποία, σε γενικές γραμμές, μπορεί να συμβεί ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, ένα συμβάν είναι δύο και ένα συμβάν είναι ζυγός αριθμός πόντων. Προφανώς, αυτά τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται.

Αφήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα των δοκιμών να πραγματοποιηθούν σε μια σειρά από τις μοναδικές δυνατές ειδικές περιπτώσεις, αμοιβαία αποκλειόμενες μεταξύ τους. Τότε

ü κάθε αποτέλεσμα του τεστ αντιπροσωπεύεται από ένα και μόνο ένα στοιχειώδες συμβάν.

ü κάθε συμβάν που σχετίζεται με αυτό το τεστ είναι ένα σύνολο πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού στοιχειωδών γεγονότων.

ένα συμβάν συμβαίνει εάν και μόνο εάν πραγματοποιηθεί ένα από τα στοιχειώδη γεγονότα που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο.

Ένας αυθαίρετος, αλλά σταθερός χώρος στοιχειωδών γεγονότων μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συγκεκριμένη περιοχή σε ένα επίπεδο. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχειώδη γεγονότα είναι σημεία του επιπέδου που βρίσκονται μέσα. Δεδομένου ότι ένα συμβάν ταυτίζεται με ένα σύνολο, όλες οι λειτουργίες που εκτελούνται σε σύνολα μπορούν να εκτελεστούν σε συμβάντα. Κατ 'αναλογία με τη θεωρία συνόλων, κατασκευάζουμε άλγεβρα γεγονότων... Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούν να οριστούν οι ακόλουθες λειτουργίες και σχέσεις μεταξύ συμβάντων:

ΕΝΑÌ σι(ορίστε σχέση συμπερίληψης: σύνολο ΕΝΑείναι ένα υποσύνολο του συνόλου V) – συμβάν Α συνεπάγεται γεγονός Β... Με άλλα λόγια, το γεγονός Vσυμβαίνει κάθε φορά που συμβαίνει ένα συμβάν ΕΝΑ. Παράδειγμα - η πτώση από δύο οδηγεί σε ζυγό αριθμό πόντων.

(ορίστε σχέση ισοδυναμίας) – Εκδήλωση πανομοιότυπαή ισοδυναμεί μεΕκδήλωση. Αυτό είναι δυνατό εάν και μόνο εάν και ταυτόχρονα, δηλ. το καθένα συμβαίνει όποτε συμβαίνει το άλλο. Παράδειγμα - συμβάν Α - βλάβη της συσκευής, συμβάν Β - βλάβη τουλάχιστον μίας από τις μονάδες (μέρη) της συσκευής.

() – άθροισμα γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι έχει συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο συμβάντα ή (λογικό "ή"). Στη γενική περίπτωση, το άθροισμα πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα. Παράδειγμα - ο στόχος χτυπιέται από το πρώτο όπλο, το δεύτερο ή και τα δύο ταυτόχρονα.

() – παραγωγή εκδηλώσεων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού υλοποίηση γεγονότων και (λογικό "και"). Γενικά, το προϊόν αρκετών εκδηλώσεων νοείται ως ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη υλοποίηση όλων αυτών των γεγονότων. Έτσι, τα γεγονότα είναι ασύμβατα εάν το προϊόν τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλ. . Παράδειγμα - γεγονός Α - βγάζοντας μια κάρτα από διαμάντια από το κατάστρωμα, γεγονός Β - βγάζοντας έναν άσο, τότε - η εμφάνιση ενός άσου διαμαντιών δεν ήρθε.

Μια γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων συμβάντων είναι συχνά χρήσιμη. Οι γραφικές απεικονίσεις των λειτουργιών ονομάζονται διαγράμματα Venn.

Τύποι τυχαίων γεγονότων

Τα γεγονότα ονομάζονται ασυνεπήςεάν η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση άλλων γεγονότων στην ίδια δοκιμή.

Παράδειγμα 1.10.Ένα μέρος έχει αφαιρεθεί τυχαία από το πλαίσιο μερών. Η εμφάνιση ενός τυπικού εξαρτήματος εξαλείφει την εμφάνιση ενός μη τυποποιημένου εξαρτήματος. Εκδηλώσεις (εμφανίστηκε ένα τυπικό μέρος) και (εμφανίστηκε ένα μη τυποποιημένο μέρος) - ασυνεπής .

Παράδειγμα 1.11.Ρίχνεται ένα νόμισμα. Η εμφάνιση του "θυρεού" αποκλείει την εμφάνιση του αριθμού. Εκδηλώσεις (εμφανίστηκε το εθνόσημο) και (εμφανίστηκε ο αριθμός) - ασυνεπής .

Δημιουργούνται διάφορα γεγονότα πλήρη ομάδαεάν τουλάχιστον ένα από αυτά εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της δοκιμής.Με άλλα λόγια, η εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα της πλήρους ομάδας είναι αξιόπιστος Εκδήλωση. Συγκεκριμένα, εάν τα γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι αμοιβαία ασύμβατα, τότε ένα και μόνο ένα από αυτά τα γεγονότα θα εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής.Η συγκεκριμένη περίπτωση μας ενδιαφέρει περισσότερο, αφού χρησιμοποιείται παρακάτω.

Παράδειγμα 1.12.Αγοράστηκαν δύο μετρητά λαχεία. Ένα και μόνο ένα από τα ακόλουθα γεγονότα θα συμβεί σίγουρα: (τα κέρδη έπεσαν στο πρώτο εισιτήριο και δεν έπεσαν στο δεύτερο), (τα κέρδη δεν έπεσαν στο πρώτο εισιτήριο και έπεσαν στο δεύτερο), (τα κέρδη έπεσαν και στα δύο εισιτήρια), (και στα δύο εισιτήρια, τα κέρδη δεν έπεσαν). Αυτά τα γεγονότα σχηματίζονται πλήρη ομάδα ζευγάρια ασυμβίβαστα γεγονότα.

Παράδειγμα 1.13.Ο σκοπευτής έριξε μια βολή στον στόχο. Ένα από τα ακόλουθα δύο γεγονότα αναμένεται να συμβεί: χτυπήστε ή χάστε. Αυτά τα δύο ασυνεπή γεγονότα σχηματίζονται πλήρη ομάδα .

Τα γεγονότα ονομάζονται εξίσου δυνατό αν υπάρχει λόγος να το πιστέψουμε κανένας από αυτούςδεν είναι πιο πιθανό από το άλλο.

3. Λειτουργίες σε γεγονότα: άθροισμα (ένωση), προϊόν (διασταύρωση) και διαφορά γεγονότων. Διαγράμματα της Βιέννης.

Λειτουργίες σε εκδηλώσεις

Οι εκδηλώσεις ορίζονται με κεφαλαία γράμματα της αρχής του λατινικού αλφαβήτου A, B, C, D,…, παρέχοντάς τους δείκτες εάν είναι απαραίτητο. Το γεγονός ότι το στοιχειώδες αποτέλεσμα NSπεριέχεται στο γεγονός Α, δηλώστε.

Για κατανόηση, μια γεωμετρική ερμηνεία με τη βοήθεια διαγραμμάτων της Βιέννης είναι βολική: αναπαριστούμε το χώρο των στοιχειωδών γεγονότων Ω με τη μορφή ενός τετραγώνου, κάθε σημείο του οποίου αντιστοιχεί σε ένα στοιχειώδες γεγονός. Τυχαία γεγονότα Α και Β, που αποτελούνται από ένα σύνολο στοιχειωδών γεγονότων x iκαι στο j, αντίστοιχα, απεικονίζονται γεωμετρικά με τη μορφή ορισμένων μορφών που βρίσκονται στο τετράγωνο Ω (Εικ. 1-α, 1-β).

Αφήστε το πείραμα να συνίσταται στο γεγονός ότι μέσα στο τετράγωνο που φαίνεται στο σχήμα 1-α, ένα σημείο επιλέγεται τυχαία. Ας υποδείξουμε με Α το συμβάν που συνίσταται στο γεγονός ότι (το επιλεγμένο σημείο βρίσκεται μέσα στον αριστερό κύκλο) (Εικ. 1 -α), μέσω Β - το γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι (το επιλεγμένο σημείο βρίσκεται μέσα στον δεξιό κύκλο) (Εικ. 1-β).

Κάθε αξιόπιστο συμβάν ευνοείται, επομένως, ένα αξιόπιστο συμβάν θα συμβολίζεται με το ίδιο σύμβολο Ω.

Δύο τα γεγονότα είναι πανομοιότυπαμεταξύ τους (Α = Β) εάν και μόνο εάν αυτά τα γεγονότα αποτελούνται από τα ίδια στοιχειώδη γεγονότα (σημεία).

Το άθροισμα (ή ένωση) δύο γεγονότωνΤο Α και το Β ονομάζεται συμβάν Α + Β (ή), το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί κάποιο Α ή Β. Το άθροισμα των γεγονότων Α και Β αντιστοιχεί στην ένωση των συνόλων Α και Β (Εικ. 1-ε).

Παράδειγμα 1.15.Το συμβάν που συνίσταται στην εμφάνιση ενός ζυγού αριθμού είναι το άθροισμα των γεγονότων: έπεσε 2, έπεσε 4, έπεσε 6. Δηλαδή, (x = ακόμη και }= {x = 2}+{x = 4 }+{x = 6 }.

Το προϊόν (ή τομή) δύο γεγονότωνΤο Α και το Β ονομάζεται συμβάν ΑΒ (ή), το οποίο συμβαίνει εάν και μόνο όταν συμβούν και τα Α και Β. Το γινόμενο των γεγονότων Α και Β αντιστοιχεί στην τομή των συνόλων Α και Β (Εικ. 1-ε).

Παράδειγμα 1.16... Ένα συμβάν που αποτελείται από ένα ρολό 5 είναι μια τομή γεγονότων: ένας περιττός αριθμός έπεσε έξω και περισσότεροι από 3 έπεσαν έξω, δηλαδή A (x = 5) = B (x-odd) ∙ C (x> 3).

Σημειώστε τις προφανείς σχέσεις:

Η εκδήλωση ονομάζεται απεναντι αποστο Α αν συμβεί εάν και μόνο αν το Α δεν συμβεί. Γεωμετρικά, είναι ένα σύνολο σημείων ενός τετραγώνου που δεν περιλαμβάνεται στο υποσύνολο Α (Εικ. 1-γ). Το συμβάν ορίζεται παρόμοια (Εικ. 1-δ).

Παράδειγμα 1.14.... Τα γεγονότα που συνίστανται στην εμφάνιση ενός ζυγού και ενός περιττού αριθμού είναι αντίθετα γεγονότα.

Σημειώστε τις προφανείς σχέσεις:

Δύο γεγονότα ονομάζονται ασυνεπήςεάν η ταυτόχρονη εμφάνισή τους στην εμπειρία είναι αδύνατη. Επομένως, εάν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, τότε το προϊόν τους είναι ένα αδύνατο γεγονός:

Τα στοιχειώδη γεγονότα που παρουσιάστηκαν νωρίτερα είναι προφανώς αμοιβαία ασύμβατα, δηλαδή

Παράδειγμα 1.17... Τα γεγονότα που συνίστανται στην εμφάνιση ενός ζυγού και ενός περιττού αριθμού είναι ασυνεπή γεγονότα.