Υπό όρους πιθανότητα. Theorem bayes.

Για Οι εκτιμήσεις της πιθανότητας εμφάνισης οποιουδήποτε τυχαίου γεγονότος είναι πολύ σημαντικές για την προεπιλογή αντιπροσωπεύουν εάν η πιθανότητα των γεγονότων ενδιαφέροντος για μας διαφέρει από το πώς αναπτύσσονται άλλα γεγονότα.

Στην περίπτωση ενός κλασικού συστήματος, όταν όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου ακόμη και, μπορούμε ήδη να αξιολογήσουμε τις αξίες της πιθανότητας ενός ατόμου ενδιαφέροντος για εμάς ανεξάρτητα. Μπορούμε να το κάνουμε ακόμη και αν το γεγονός είναι ένα σύνθετο σύνολο διαφόρων στοιχειωδών αποτελεσμάτων. Και αν εμφανιστούν αρκετά τυχαία συμβάντα ταυτόχρονα ή διαδοχικά; Πώς επηρεάζει αυτό την πιθανότητα των γεγονότων που μας ενδιαφέρουν;

Εάν ρίχνω ένα παίζοντας κόκαλο αρκετές φορές και θέλω να πέσω "έξι" και δεν είμαι τυχερός όλη την ώρα, αυτό σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να αυξηθεί το στοίχημα, επειδή, σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, εγώ 'για να πάρω μια τύχη; Δυστυχώς, η θεωρία της πιθανότητας δεν εγκρίνει κάτι τέτοιο. Ούτε τα οστά ούτε κάρτα ούτε κέρμα δεν ξέρετε πώς να απομνημονεύσετε Τι μας έδειξαν την τελευταία φορά. Δεν ενδιαφέρονται εντελώς, για πρώτη φορά ή τη δέκατη φορά σήμερα βιώνομαι το πεπρωμένο μου. Κάθε φορά που επαναλαμβάνω τη ρίψη, ξέρω μόνο ένα πράγμα: αυτή τη φορά η πιθανότητα των "έξι" είναι και πάλι ίσα με ένα έκτο. Φυσικά, αυτό δεν σημαίνει ότι ο αριθμός που χρειάζεστε δεν θα πέσει ποτέ. Αυτό σημαίνει μόνο το γεγονός ότι η απώλειά μου μετά την πρώτη ρίψη και μετά από οποιαδήποτε άλλα ενδεχόμενα γεγονότα.

Τα γεγονότα Α και Β καλούνται ανεξάρτητοςΕάν η εφαρμογή ενός από αυτά δεν επηρεάζει την πιθανότητα άλλου γεγονότος. Για παράδειγμα, οι πιθανότητες ήττα ο στόχος πρώτα από δύο όπλα δεν εξαρτώνται από το αν ο στόχος χτύπησε ένα άλλο εργαλείο, οπότε τα γεγονότα "το πρώτο όπλο χτύπησε το στόχο" και "το δεύτερο εργαλείο έπληξε το στόχο" ανεξάρτητο.

Εάν δύο εκδηλώσεις Α και σε ανεξάρτητα, και η πιθανότητα καθενός από αυτά είναι γνωστός, η πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης και γεγονότων Α και γεγονότα σε (που ονομάζεται ΑΒ) μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας το ακόλουθο θεωρητικό.

Πολλαπλασιασμός πολλαπλασιασμού θεώρημα για ανεξάρτητα γεγονότα

Παράδειγμα.Οι πιθανότητες εισαγωγής του στόχου στη λήψη του πρώτου και του δεύτερου εργαλείων είναι αντίστοιχα ίσες: p 1 \u003d 0,7; P 2 \u003d 0,8. Βρείτε την πιθανότητα να μπείτε σε ένα βόλεϊ με τα δύο όπλα ταυτόχρονα.

Απόφαση:Όπως έχουμε ήδη δει γεγονότα Α (το πρώτο χτύπημα του πυροβόλου όπλου) και στο (το δεύτερο χτύπημα εργαλείων) είναι ανεξάρτητη, δηλ. P (av) \u003d p (a) * p (c) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Τι συμβαίνει στις εκτιμήσεις μας εάν τα γεγονότα της πηγής δεν είναι ανεξάρτητες; Ας αλλάξουμε ελαφρά το προηγούμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα.Δύο βέλη σε διαγωνισμούς πυροβολούν στόχους και αν ένας από αυτούς πυροβολεί μια ετικέτα, ο αντίπαλος αρχίζει να είναι νευρικός και τα αποτελέσματά του επιδεινώνονται. Πώς να μετατρέψετε αυτήν την καθημερινή κατάσταση σε ένα μαθηματικό έργο και να περιγράψετε τους τρόπους να το λύσετε; Είναι διαισθητικό ότι είναι απαραίτητο να χωρίσετε με κάποιο τρόπο τις δύο επιλογές για την ανάπτυξη των γεγονότων, να καταρτίσουν δύο σενάρια, δύο διαφορετικά καθήκοντα. Στην πρώτη περίπτωση, εάν ο αντίπαλος χάσει, το σενάριο θα είναι ευνοϊκό για τον νευρικό αθλητή και η ακρίβειά της θα είναι υψηλότερη. Στη δεύτερη περίπτωση, αν ο αντίπαλος συνειδητοποίησε αξιοπρεπώς την πιθανότητά του, μειώνεται η πιθανότητα να χτυπήσει ο στόχος για τον δεύτερο αθλητή.

Για τον διαχωρισμό πιθανών σεναρίων (συχνά ονομάζονται υποθέσεις), συχνά θα χρησιμοποιήσουμε το σύστημα "πιθανοτήτων δέντρου". Το καθεστώς αυτό είναι παρόμοιο με το νόημα του δέντρου των αποφάσεων με τις οποίες πιθανότατα έπρεπε ήδη να αντιμετωπίσουν. Κάθε υποκατάστημα είναι ένα ξεχωριστό σενάριο ανάπτυξης γεγονότων, μόνο τώρα έχει τη δική του αξία των λεγόμενων υποθετικός πιθανότητα (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Το καθεστώς αυτό είναι πολύ βολικό για την ανάλυση διαδοχικών τυχαίων γεγονότων.

Παραμένει να μάθετε ένα άλλο σημαντικό ερώτημα: Πού προέρχονται οι αρχικές τιμές πιθανότητας από Πραγματικές καταστάσεις ? Μετά από όλα, η θεωρία πιθανοτήτων εργάζεται με τα ίδια νομίσματα και να παίζει οστά; Συνήθως αυτές οι εκτιμήσεις λαμβάνονται από στατιστικά στοιχεία και όταν δεν υπάρχουν στατιστικές πληροφορίες, πραγματοποιούμε τη δική μας έρευνα. Και συχνά δεν είναι απαραίτητο να το ξεκινήσετε από τη συλλογή δεδομένων, αλλά από την ερώτηση, ποιες πληροφορίες πρέπει να χρειαστούμε.

Παράδειγμα.Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αξιολογήσουμε στην πόλη με έναν πληθυσμό εκατό χιλιάδων κατοίκων, ο όγκος της αγοράς για ένα νέο προϊόν, το οποίο δεν είναι το αντικείμενο, για παράδειγμα, για ένα βάλσαμο για τη φροντίδα ζωγραφισμένων μαλλιών. Εξετάστε το σχέδιο του "δέντρου πιθανότητας". Ταυτόχρονα, η τιμή πιθανότητας σε κάθε "υποκατάστημα" πρέπει να αξιολογούμε περίπου. Έτσι, η ικανότητα της αγοράς μας εκτιμά:

1) από όλους τους κατοίκους της πόλης των γυναικών 50%,

2) όλων των γυναικών μόνο 30% μαλλιά χρωμάτων συχνά,

3) από αυτά μόνο 10% απολαμβάνουν το βάλσαμο για ζωγραφισμένα μαλλιά,

4) Από αυτά, μόνο το 10% μπορεί να κερδίσει θάρρος να δοκιμάσει ένα νέο προϊόν,

5) Από αυτά, το 70% συνήθως αγοράζει τα πάντα από εμάς, αλλά από τους ανταγωνιστές μας.

Απόφαση:Σύμφωνα με το νόμο πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, καθορίζουμε την πιθανότητα των γεγονότων που μας ενδιαφέρουν ένα \u003d (κάτοικος της πόλης αγοράζει αυτό το νέο Balsam) \u003d 0,00045.

Πολλαπλασιάστε αυτή την τιμή της πιθανότητας για τον αριθμό των κατοίκων της πόλης. Ως αποτέλεσμα, έχουμε μόνο 45 δυνητικούς αγοραστές και αν θεωρήσουμε ότι μια φούσκα αυτού του ταμείου είναι αρκετή για αρκετούς μήνες, το εμπόριο δεν είναι πολύ απασχολημένο.

Παρ 'όλα αυτά, υπάρχουν οφέλη από τις εκτιμήσεις μας.

Πρώτον, μπορούμε να συγκρίνουμε τις προβλέψεις διαφόρων επιχειρηματικών ιδεών, σε συστήματα, θα έχουν διαφορετική «ανάπτυξη» και, φυσικά, οι τιμές πιθανότητας θα είναι επίσης διαφορετικές.

Δεύτερον, όπως έχουμε ήδη μιλήσει, μια τυχαία τιμή δεν είναι επειδή ονομάζεται τυχαία ότι δεν εξαρτάται από τίποτα. Ακριβώς της ακριβής Η τιμή δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Γνωρίζουμε ότι ο μέσος αριθμός αγοραστών μπορεί να αυξηθεί (για παράδειγμα, με τη βοήθεια της διαφήμισης ενός νέου προϊόντος). Επομένως, έχει νόημα να επικεντρωθούμε σε αυτές τις "ανάπτυξη", όπου η κατανομή των πιθανοτήτων δεν μας ταιριάζει ιδιαίτερα, στους παράγοντες που είμαστε σε θέση να επηρεάσουμε.

Εξετάστε ένα άλλο ποσοτικό παράδειγμα της μελέτης της συμπεριφοράς του πελάτη.

Παράδειγμα.Κατά τη διάρκεια της ημέρας, η αγορά τροφίμων επισκέπτεται κατά μέσο όρο 10.000 άτομα. Η πιθανότητα ότι ο επισκέπτης της αγοράς έρχεται στο περίπτερο των γαλακτοκομικών προϊόντων είναι το 1/2. Είναι γνωστό ότι σε αυτό το περίπτερο κατά μέσο όρο προς πώληση ανά ημέρα 500 kg διαφόρων προϊόντων.

Είναι δυνατόν να υποστηρίξουμε ότι η μέση αγορά στο περίπτερο ζυγίζει μόνο 100 g;

Συζήτηση.Φυσικά, είναι αδύνατο. Είναι σαφές ότι όχι όλοι όσοι πήγαν στο περίπτερο, ως αποτέλεσμα, κάτι αγόρασε κάτι εκεί.

Όπως φαίνεται στο διάγραμμα για να απαντήσει στην ερώτηση του μέσου βάρους της αγοράς, πρέπει να βρούμε την απάντηση στην ερώτηση, ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα άτομο που ήρθε στο περίπτερο θα αγοράσει κάτι εκεί. Εάν δεν υπάρχουν τέτοια δεδομένα στη διάθεσή μας και τους χρειαζόμαστε, θα πρέπει να τα πάρετε μόνοι σας, αφού παρακολουθήσετε τους επισκέπτες του περίπτερο για κάποιο χρονικό διάστημα. Ας υποθέσουμε ότι οι παρατηρήσεις μας έχουν δείξει ότι μόνο το πέμπτο των επισκεπτών του περίπτερο αγοράζει κάτι.

Μόλις αυτές οι εκτιμήσεις αποκτήσουν από εμάς, η εργασία γίνεται απλή. Από τους 10.000 άτομα που έρχονται στην αγορά, 5000 θα εισέλθουν στο περίπτερο των γαλακτοκομικών προϊόντων, τα ψώνια θα είναι μόνο 1000. Το μέσο βάρος αγοράς είναι 500 γραμμάρια. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι, προκειμένου να οικοδομήσουμε μια πλήρη εικόνα του τι συμβαίνει, η λογική του όρους "baters" θα πρέπει να καθοριστεί σε κάθε στάδιο της συλλογιστικής μας καθώς και αν συνεργαστούμε με μια "συγκεκριμένη" κατάσταση και όχι με Πιθανότητες.

Εργασίες για αυτοέλεγχο

1. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από n σειρά συνδεδεμένων στοιχείων, καθένα από τα οποία λειτουργεί ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα.

Η πιθανότητα Ρ είναι γνωστή με τη σειρά κάθε στοιχείου. Προσδιορίστε την πιθανότητα λειτουργίας ολόκληρης της περιοχής της αλυσίδας (συμβάν Α).

2. Ο φοιτητής γνωρίζει 20 από τις 25 ερωτήσεις εξετάσεων. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο φοιτητής γνωρίζει τις τρεις ερωτήσεις που του προσφέρουν.

3. Η παραγωγή αποτελείται από τέσσερα διαδοχικά βήματα, σε κάθε μία από τις οποίες λειτουργεί ο εξοπλισμός, για τις οποίες οι πιθανότητες αποτυχίας εντός του επόμενου μήνα είναι ίσες με αντίστοιχα Ρί 1, Ρ3, Ρ3 και Ρ 4. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε ένα μήνα δεν θα υπάρξει μια ενιαία στάση παραγωγής λόγω δυσλειτουργίας του εξοπλισμού.

Πιθανότητα - Ένας αριθμός από το 0 έως 1, το οποίο αντικατοπτρίζει τις πιθανότητες να συμβεί ένα τυχαίο γεγονός, όπου το 0 είναι η πλήρης έλλειψη πιθανότητας της εκδήλωσης και 1 σημαίνει ότι το υπό εξέταση γεγονός θα συμβεί σίγουρα.

Η πιθανότητα συμβάντος συμβάντος είναι ένας αριθμός από το 1.
Το άθροισμα των πιθανοτήτων αμοιβαία αποκλειστικών συμβάντων είναι ίσο με 1.

Εμπειρική πιθανότητα - Η πιθανότητα θεωρείται ως η σχετική συχνότητα του γεγονότος στο παρελθόν, που εξάγεται από την ανάλυση των ιστορικών δεδομένων.

Η πιθανότητα πολύ σπάνιων συμβάντων δεν μπορεί να υπολογιστεί εμπειρικά.

Υποκειμενική πιθανότητα - την πιθανότητα που βασίζεται σε μια προσωπική υποκειμενική αξιολόγηση του γεγονότος των άσχετων ιστορικών δεδομένων. Οι επενδυτές που λαμβάνουν αποφάσεις σχετικά με την αγορά και πώληση μετοχών συχνά ενεργούν ακριβώς από τις εκτιμήσεις της υποκειμενικής πιθανότητας.

μια πιθανότητα priori -

Τιμή 1 από ... (αποδόσεις) ότι η εκδήλωση θα συμβεί μέσω της έννοιας της πιθανότητας. Η πιθανότητα εμφάνισης της εκδήλωσης εκφράζεται μέσω της πιθανότητας: P / (1-P).

Για παράδειγμα, εάν η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι 0,5, τότε η πιθανότητα συμβάντων 1 στα 2 επειδή 0,5 / (1-0,5).

Η πιθανότητα ότι η εκδήλωση δεν συμβαίνει υπολογίζεται από τον τύπο (1-P) / P

Ασυνεπής πιθανώς - Για παράδειγμα, στην τιμή των μετοχών της Εταιρείας, ένα γεγονός 85% έλαβε υπόψη το πιθανό γεγονός του Ε και στην τιμή των μετοχών της Εταιρείας μόλις 50%. Αυτό ονομάζεται ασυνεπής πιθανότητα. Σύμφωνα με το ολλανδικό θεώρημα, η ασυνεπής πιθανότητα δημιουργεί ευκαιρίες εξάργυσης κερδών.

Άνευ όρων πιθανότητα - Αυτή είναι η απάντηση στην ερώτηση "Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί μια εκδήλωση;"

Υπό όρους πιθανότητα - Αυτή είναι η απάντηση στην ερώτηση: "Ποια είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος Α εάν συνέβη ένα συμβάν Β." Η υπό όρους πιθανότητα δηλώνεται ως P (a | b).

Κοινή πιθανότητα - Η πιθανότητα να εμφανιστούν τα γεγονότα Α και Β ταυτόχρονα. Δηλώνει ως p (ab).

P (a | b) \u003d p (ab) / p (b) (1)

P (ab) \u003d p (a | b) * p (b)

Κανόνας άθροισης πιθανότητας:

Την πιθανότητα τι θα συμβεί είτε ένα συμβάν ένα ή το e event b -

P (a ή b) \u003d p (a) + p (b) - p (ab) (2)

Εάν τα συμβάντα Α και Β αμοιβαία αποκλειστικά, τότε

P (a ή b) \u003d p (a) + p (b)

Ανεξάρτητα γεγονότα - Εκδηλώσεις Α και Β ανεξάρτητη εάν

P (a | b) \u003d p (a), p (b | a) \u003d p (b)

Δηλαδή αυτή είναι η ακολουθία των αποτελεσμάτων, όπου η τιμή πιθανότητας είναι συνεχώς από μία παρτίδα σε άλλη.
Ρίξτε νομίσματα - ένα παράδειγμα ενός τέτοιου γεγονότος, - το αποτέλεσμα κάθε επόμενης ρίψης δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα του προηγούμενου.

Εξαρτώμενα γεγονότα - Αυτά είναι τέτοια γεγονότα όταν η πιθανότητα εμφάνισης ενός εξαρτάται από την πιθανότητα του άλλου.

Ο κανόνας πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων των ανεξάρτητων γεγονότων:
Εάν τα συμβάντα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε

P (ab) \u003d p (a) * p (b) (3)

Ο κανόνας της πλήρους πιθανότητας:

P (A) \u003d P (AS) + P (ως ") \u003d P (a | s") p (s) + p (a | s ") p (s") (4)

S και s "- αμοιβαία αποκλειστικά γεγονότα

Μαθηματική αναμονή (αναμενόμενη τιμή) Η τυχαία μεταβλητή είναι η μέση πιθανά αποτελέσματα της τυχαίας μεταβλητής. Για το συμβάν Χ, το τάγμα παρεμποδίζεται ως Ε (Χ).

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 5 αξίες αμοιβαία αποκλειστικών γεγονότων με μια ορισμένη πιθανότητα (για παράδειγμα, το εισόδημα της εταιρείας ήταν ένα τέτοιο ποσό με μια τέτοια πιθανότητα). Με λεύκανση θα είναι το άθροισμα όλων των αποτελεσμάτων πολλαπλασιασμένο με την πιθανότητά τους:

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι πολλές τετραγωνικές αποκλίσεις μιας τυχαίας μεταβλητής από τη σωματική της κατάσχεση:

s 2 \u003d e (2) (6)

Προϋπολογισμός Αναμενόμενη τιμή - Υλικά του τυχαίου μεγέθους x, υπό την προϋπόθεση ότι το συμβάν e έχει ήδη συμβεί.

Στο blog μου, η μετάβαση της επόμενης διάλεξης των αρχών της ισορροπίας τυχερών παιχνιδιών του σχεδιαστή τυχερών παιχνιδιών Jan Schreiber, ο οποίος εργάστηκε σε τέτοια έργα όπως το Marvel Trading Card Game και το Mansion.

Μέχρι σήμερα, σχεδόν όλα όσα μιλήσαμε ήταν καθοριστικά και την περασμένη εβδομάδα μελετάμε προσεκτικά τη μεταβατική μηχανική, αποσυναρμολογήσαμε με τέτοια λεπτομέρεια πόσο λεπτομερώς μπορώ να εξηγήσω. Αλλά μέχρι στιγμής δεν έχουμε δώσει προσοχή σε άλλες πτυχές πολλών παιχνιδιών, δηλαδή, μη ντετερμινιστικές στιγμές - με άλλα λόγια, ατύχημα.

Η κατανόηση της φύσης του ατυχήματος είναι πολύ σημαντική για τους τυχερούς. Δημιουργούμε συστήματα που επηρεάζουν την εμπειρία του χρήστη σε ένα συγκεκριμένο παιχνίδι, οπότε πρέπει να γνωρίζουμε πώς λειτουργούν αυτά τα συστήματα. Εάν υπάρχει ένα ατύχημα στο σύστημα, πρέπει να καταλάβετε τη φύση αυτής της πιθανότητας και να ξέρετε πώς να το αλλάξετε για να πάρετε τα αποτελέσματα που χρειαζόμαστε.

Ζάρια

Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό - από τη ρίψη των οστών. Όταν οι περισσότεροι άνθρωποι σκέφτονται να παίζουν οστά, φαντάζονται ένα εξάγωνο κύβο, γνωστό ως D6. Αλλά οι περισσότεροι από τους παίκτες είδαν πολλά άλλα οστά παιχνιδιού: τετραπλάσια (D4), οκτάγραμμα (D8), δώδεκα περιθωριακά (D12), είκοσι περιθώρια (D20). Εάν είστε ένα πραγματικό gick, μπορεί να έχετε κάπου υπάρχουν 30 βαθμούς ή 100 βαθμούς οστά.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτή την ορολογία, το D είναι ένα παιχνίδι που παίζει και ο αριθμός που στέκεται αφού είναι ο αριθμός των προσώπων του. Εάν ο αριθμός είναι μπροστά από το D, τότε υποδηλώνει τον αριθμό των οστών παιχνιδιού όταν ρίχνει. Για παράδειγμα, στο παιχνίδι "μονοπώλιο" ρίχνετε 2D6.

Έτσι, στην περίπτωση αυτή, η φράση "παίζοντας οστά" είναι μια υπό όρους ονομασία. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός άλλων γεννητριών τυχαίων αριθμών που δεν μοιάζουν με πλαστικές μορφές, αλλά εκτελούν την ίδια λειτουργία - δημιουργούν έναν τυχαίο αριθμό από 1 έως το n. Ένα συμβατικό νόμισμα μπορεί επίσης να εκπροσωπείται ως ένα κόκαλο Diugrani D2.

Έχω δει δύο σχέδια ημι-οστών: ένας από αυτούς έμοιαζε σαν κύβος παιχνιδιού, και το δεύτερο ήταν περισσότερο σαν ένα ημι-φτιαγμένο ξύλινο μολύβι. Η σίδερα τεσσάρων μορίων, επίσης γνωστή ως TITOTUM, είναι ένα ανάλογο του τετραχερωμένου οστού. Το πεδίο παιχνιδιού με ένα περιστρεφόμενο βέλος στο παιχνίδι Cheutes & σκάλες, όπου το αποτέλεσμα μπορεί να είναι από 1 έως 6, αντιστοιχεί στο εξάγωνο.

Η γεννήτρια τυχαίων αριθμών στον υπολογιστή μπορεί να δημιουργήσει οποιονδήποτε αριθμό από 1 έως 19 εάν ο σχεδιαστής εργαστεί μια τέτοια ομάδα, αν και δεν υπάρχουν οστά παιχνιδιού 19 βαθμού στον υπολογιστή (γενικά, σχετικά με την πιθανότητα αριθμών στον υπολογιστή, εγώ Θα μιλήσει περισσότερα για την επόμενη εβδομάδα). Όλα αυτά τα στοιχεία φαίνονται διαφορετικά, αλλά στην πραγματικότητα είναι ισοδύναμες: Έχετε ίσες πιθανότητες κάθε ένα από τα πολλά πιθανά αποτελέσματα.

Τα κόκαλα που παίζουν έχουν κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζουμε. Πρώτον, η πιθανότητα πτώσης από οποιοδήποτε από τα πρόσωπα είναι η ίδια (υποθέτω ότι ρίχνετε το παιχνίδι του σωστού γεωμετρικού σχήματος). Εάν θέλετε να μάθετε τη μέση τιμή της ρίψης (εκείνοι που ενδιαφέρονται για τη θεωρία της πιθανότητας, είναι γνωστή ως μαθηματική προσδοκία), συνοψίζοντας τις τιμές σε όλα τα πρόσωπα και διαιρέστε αυτόν τον αριθμό από τον αριθμό των προσώπων.

Το άθροισμα των τιμών όλων των προσώπων για τον πρότυπο κύβο εξάγωνου είναι 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21. Διαιρούμε 21 από τον αριθμό των προσώπων και λαμβάνουμε τη μέση τιμή της ρίψης: 21 / 6 \u003d 3.5. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση, επειδή υποθέτουμε ότι όλα τα αποτελέσματα είναι ίσα.

Τι γίνεται αν έχετε ειδικά οστά παιχνιδιού; Για παράδειγμα, είδα το παιχνίδι με ένα εξάγωνο που παίζει οστό με ειδικά αυτοκόλλητα στις άκρες: 1, 1, 1, 2, 2, 3, έτσι συμπεριφέρεται σαν ένα παράξενο τριγωνικό οστό που παίζει, με το οποίο υπάρχουν περισσότερες πιθανότητες ο αριθμός 1 θα πέσει από 2, και μάλλον θα πέσει 2 από 3. Ποια είναι η μέση τιμή της ρίψης για αυτό το κόκκαλο; Έτσι, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, διαιρούμενο με 6 - αποδειχθεί ότι είναι 5/3, ή περίπου 1,66. Έτσι, αν έχετε ένα ιδιαίτερο παιχνίδι οστού και οι παίκτες θα ρίξουν τρία οστά και στη συνέχεια θα συνοψίσουν τα αποτελέσματα - γνωρίζετε ότι το άθροισμα της ρίψης τους θα είναι ίσο με περίπου 5, και μπορείτε να εξισορροπήσετε το παιχνίδι με βάση αυτή την υπόθεση αυτή.

Παίζοντας οστά και ανεξαρτησία

Όπως είπα, προχωράμε από την υπόθεση ότι η πτώση κάθε προσώπου είναι εξίσου. Δεν έχει σημασία εδώ πόσα κόκαλα που ρίχνετε. Κάθε ρίψη του οστού είναι ανεξάρτητη - αυτό σημαίνει ότι οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα των παρακάτω. Με επαρκή αριθμό δοκιμών, σίγουρα θα παρατηρήσετε μια σειρά από αριθμούς - για παράδειγμα, η απώλεια είναι κυρίως μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές - ή άλλα χαρακτηριστικά, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η αναπαραγωγή των οστών "ζεστό" ή "κρύο". Αργότερα θα μιλήσουμε γι 'αυτό.

Εάν ρίχνετε έναν τυπικό εξευγενισμό κύβο και δύο φορές σε μια σειρά πέφτει τον αριθμό 6 - την πιθανότητα ότι το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης θα είναι 6, εξίσου ίσο με το 1 / 6. Η πιθανότητα δεν αυξάνει το γεγονός ότι ο κύβος " θερμός". Ταυτόχρονα, η πιθανότητα δεν πέφτει: είναι εσφαλμένη να υποστηρίξουμε ότι ο αριθμός 6 έχει πέσει σε μια σειρά και επομένως πρέπει να πέσει μια άλλη γραμμή.

Φυσικά, αν ρίξετε έναν κύβο είκοσι φορές και κάθε φορά που ο αριθμός 6 πέφτει - η πιθανότητα είκοσι για είκοσι φορές 6, αρκετά υψηλό: ίσως να έχετε μόνο τον λάθος κύβο. Αλλά αν ο κύβος είναι σωστός, η πιθανότητα πτώσης από κάθε μία από τις όψεις είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από τα αποτελέσματα άλλων βολών. Μπορείτε επίσης να φανταστείτε ότι αντικαθιστούμε το παίξιμο κάθε φορά: Εάν ο αριθμός 6 έπεσε δύο φορές στη σειρά, αφαιρέστε το "ζεστό" κύβο από το παιχνίδι και αντικαταστήστε το με ένα νέο. Ζητώ συγγνώμη αν κάποιος από εσάς το γνώριζε ήδη, αλλά το έπρεπε να διευκρινίσω πριν προχωρήσουμε.

Πώς να κάνετε τα οστά παιχνιδιού περισσότερο ή λιγότερο τυχαία

Ας μιλήσουμε για το πώς να πάρει διαφορετικά αποτελέσματα σε διαφορετικά οστά παιχνιδιού. Εάν ρίχνετε ένα παίζοντας οστό μόνο μία ή αρκετές φορές, το παιχνίδι θα φανεί πιο τυχαίο όταν το οστό είναι πιο πρόσωπα. Όσο πιο συχνά πρέπει να ρίξετε ένα παίξιμο οστών και τα περισσότερα οστά που παίζετε, τόσο περισσότερα αποτελέσματα πλησιάζουν τη μέση τιμή.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση του 1D6 + 4 (δηλαδή, αν ρίξετε ένα τυπικό εξάγωνο παίζοντας οστό μία φορά και προσθέστε στο αποτέλεσμα 4), η μέση τιμή θα είναι από 5 έως 10. Εάν ρίξετε 5d2, η μέση τιμή θα γίνει Επίσης, είναι ο αριθμός από τις 5 έως 10. Το αποτέλεσμα της ρίψης 5D2 θα είναι ως επί το πλείστον αριθμό 7 και 8, λιγότερο συχνά, άλλες τιμές. Η ίδια σειρά, ακόμη και η ίδια μέση τιμή (και στις δύο περιπτώσεις 7.5), αλλά η φύση της πιθανότητας είναι διαφορετική.

Περίμενε ένα λεπτό. Δεν είπα ότι τα οστά παιχνιδιού δεν είναι "θερμαινόμενα" και δεν "ψύχονται"; Και τώρα λέω: αν πετάξετε πολλά οστά, τα αποτελέσματα των πυροβολισμών προσεγγίζουν τη μέση τιμή. Γιατί;

ΑΣΕ με να εξηγήσω. Εάν πετάξετε ένα κόκαλο, η πιθανότητα καθενός από τα πρόσωπα είναι η ίδια. Αυτό σημαίνει ότι αν πετάξετε πολλά κόκαλα για κάποιο χρονικό διάστημα, κάθε όψη θα πέσει γύρω από τον ίδιο αριθμό. Τα περισσότερα οστά που ρίχνετε, τόσο περισσότερο στο σύνολο του αποτελέσματος θα προσεγγίσει τη μέση τιμή.

Αυτό δεν συμβαίνει επειδή ο μειωμένος αριθμός "κάνει" που πέφτει έναν άλλο αριθμό που δεν έχει πέσει. Και επειδή η μικρή σειρά από την πτώση του αριθμού 6 (ή 20, ή άλλου) στο τέλος δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, αν ρίχνετε τα οστά παιχνιδιού για άλλες δέκα χιλιάδες φορές και βασικά θα πέσει τη μέση τιμή. Τώρα θα έχετε αρκετούς μεγάλους αριθμούς, και αργότερα λίγο μικρές - και με την πάροδο του χρόνου θα προσεγγίσουν τη μέση τιμή.

Αυτό συμβαίνει όχι επειδή οι προηγούμενες ρίχνες επηρεάζουν τα οστά παιχνιδιού (σοβαρά, το οστό που παίζει είναι κατασκευασμένο από πλαστικό, δεν έχει εγκεφάλους να σκεφτεί: "Ω, δεν έχει πέσει 2 για μεγάλο χρονικό διάστημα"), αλλά συμβαίνει συνήθως με Ένας μεγάλος αριθμός ρίχνει τα οστά.

Έτσι, οι υπολογισμοί για μία τυχαία ρίψη του παιχνιδιού είναι αρκετά απλή - τουλάχιστον, υπολογίστε τη μέση τιμή της ρίψης. Υπάρχουν επίσης τρόποι υπολογισμού, "πόσο τυχαία" συμβαίνει κάτι και λένε ότι τα αποτελέσματα της ρίψης 1D6 + 4 θα είναι "πιο τυχαία" από το 5d2. Για το 5D2, τα αποτελέσματα που προκύπτουν θα διανεμηθούν πιο ομοιόμορφα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση: όσο μεγαλύτερη τιμή είναι, τα πιο τυχαία αποτελέσματα θα είναι. Δεν θα ήθελα να δώσω τόσους πολλούς υπολογισμούς σήμερα, θα εξηγήσω αυτό το θέμα αργότερα.

Το μόνο που θα σας ζητήσω να θυμάστε: Κατά κανόνα, τόσο μικρότερο είναι τα οστά που ρίχνετε, τόσο μεγαλύτερη είναι η τυχαιότητα. Και τα περισσότερα πρόσωπα του παιχνιδιού, τόσο μεγαλύτερη είναι η τυχαία, δεδομένου ότι πιο πιθανές επιλογές για νόημα.

Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα με τον υπολογισμό

Μπορεί να έχετε μια ερώτηση: Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την ακριβή πιθανότητα να πέσει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα; Στην πραγματικότητα, είναι πολύ σημαντικό για πολλά παιχνίδια: εάν αρχικά ρίξετε ένα παίζοντας οστά - πιθανότατα υπάρχει κάποιο βέλτιστο αποτέλεσμα. Απαντώ: Πρέπει να μετρήσουμε δύο αξίες. Πρώτον, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη ενός οστού που παίζει και, δεύτερον, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων. Διαιρώντας τη δεύτερη τιμή στην πρώτη, θα πάρετε την επιθυμητή πιθανότητα. Για να πάρετε ένα ποσοστό, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα που επιτυγχάνεται κατά 100.

Παραδείγματα

Εδώ είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα. Θέλετε τον αριθμό 4 ή υψηλότερο και μόλις ρίξει ένα εξάγωνο παίζοντας οστά. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων είναι 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Από αυτά, τα 3 αποτελέσματα (4, 5, 6) είναι ευνοϊκά. Σημαίνει να υπολογίσετε την πιθανότητα, να διαιρέσετε 3 έως 6 και να πάρετε 0,5 ή 50%.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα λίγο πιο περίπλοκο. Θέλετε να ρίξετε έναν μοναδικό αριθμό κατά τη ρίψη 2D6. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων είναι 36 (με 6 επιλογές για κάθε κόκαλο παιχνιδιού, ένα οστό δεν επηρεάζει το άλλο, τόσο πολλαπλασιάζεται 6 έως 6 και λαμβάνουμε 36). Η πολυπλοκότητα του θέματος αυτού του τύπου είναι ότι είναι εύκολο να υπολογιστεί δύο φορές. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε 2k6 υπάρχουν δύο επιλογές για 3: 1 + 2 και 2 + 1. Φαίνονται εξίσου, αλλά η διαφορά είναι ο τρόπος εμφάνισης του αριθμού στο πρώτο παιχνίδι και τι - στο δεύτερο.

Μπορείτε επίσης να φανταστείτε ότι παίζοντας οστά διαφορετικών χρωμάτων: έτσι, για παράδειγμα, σε αυτή την περίπτωση, ένα παιχνίδι κόκκινου, άλλου μπλε. Στη συνέχεια, μετρήστε τον αριθμό των επιλογών για απώλεια:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 18 επιλογές για ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα 36 - όπως στην προηγούμενη περίπτωση, η πιθανότητα είναι 0,5 ή 50%. Ίσως απροσδόκητα, αλλά αρκετά ακριβή.

Monte Carlo Modeling Modeling

Τι γίνεται αν για έναν τέτοιο υπολογισμό έχετε πάρα πολλά κόκαλα παιχνιδιού; Για παράδειγμα, θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα το ποσό ίσο με 15 ή περισσότερες πτώσεις όταν ρίχνετε 8D6. Για οκτώ οστά παιχνιδιού, υπάρχει μια τεράστια ποικιλία διαφορετικών αποτελεσμάτων και ο χειροκίνητος μετρητής τους θα πάρει πολύ χρόνο - ακόμα κι αν βρούμε κάποια καλή λύση για να ομαδοποιήσουμε διαφορετικές σειρές από τις ρίψεις των ωρών παιχνιδιού.

Σε αυτή την περίπτωση, ο ευκολότερος τρόπος δεν πρέπει να είναι χειροκίνητα, αλλά χρησιμοποιήστε τον υπολογιστή. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού της πιθανότητας στον υπολογιστή. Με τη βοήθεια της πρώτης μεθόδου, μπορείτε να πάρετε μια ακριβή απάντηση, αλλά περιλαμβάνει κάποιο προγραμματισμό ή σενάριο. Ο υπολογιστής θα δει κάθε δυνατότητα, αξιολογεί και θα μετρήσει τον συνολικό αριθμό επαναλήψεων και τον αριθμό των επαναλήψεων που ταιριάζουν με το επιθυμητό αποτέλεσμα και στη συνέχεια να δώσουν απαντήσεις. Ο κωδικός σας μπορεί να φαίνεται ως εξής:

Εάν δεν καταλάβετε τον προγραμματισμό και χρειάζεστε μια ακριβή, αλλά μια παραδειγματική απάντηση, μπορείτε να προσομοιώσετε αυτή την κατάσταση στο Excel, όπου ρίχνετε 8D6 μερικές χιλιάδες φορές και λάβετε μια απάντηση. Για να ρίξετε 1d6 στο Excel, χρησιμοποιήστε τον τύπο \u003d Πάτωμα (Rand () * 6) +1.

Υπάρχει ένα όνομα για μια κατάσταση όπου δεν γνωρίζετε την απάντηση και απλά προσπαθήστε να προσομοιώσετε τη μέθοδο Monte Carlo. Αυτή είναι μια εξαιρετική λύση στην οποία μπορείτε να καταφύγετε πότε να υπολογίσετε την πιθανότητα είναι πολύ περίπλοκη. Το πιο αξιοσημείωτο πράγμα είναι ότι σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να καταλάβουμε πώς συμβαίνει ο μαθηματικός υπολογισμός και γνωρίζουμε ότι η απάντηση θα είναι "αρκετά καλή", διότι, όπως γνωρίζουμε ήδη, τόσο πιο βολές πλησιάζουν το μέση αξία.

Πώς να συνδυάσετε ανεξάρτητες δοκιμές

Εάν ρωτήσετε για αρκετές επαναλαμβανόμενες, αλλά ανεξάρτητες δοκιμές, το αποτέλεσμα μιας ρίψης δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα άλλων βολών. Υπάρχει μια άλλη απλούστερη εξήγηση αυτής της κατάστασης.

Πώς να διακρίνετε τίποτα εξαρτώμενο και ανεξάρτητο; Κατ 'αρχήν, εάν μπορείτε να επιλέξετε κάθε ρίψη (ή μια σειρά από ρίχνες) του παιχνιδιού ως ξεχωριστό συμβάν, είναι ανεξάρτητο. Για παράδειγμα, ρίχνουμε 8k6 και θέλουμε να πέσουμε το ποσό ίσο με 15. Το συμβάν αυτό δεν μπορεί να χωριστεί σε πολλές ανεξάρτητες βολές των οστών. Για να πάρετε το αποτέλεσμα, υπολογίζετε το ποσό όλων των τιμών, οπότε το αποτέλεσμα μειώθηκε σε ένα παίξιμο οστά επηρεάζει τα αποτελέσματα που πρέπει να πέσουν σε άλλους.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα ανεξάρτητων βολών: Έχετε ένα παιχνίδι με τα οστά παιχνιδιού και ρίχνετε κύβους έξι όψεων αρκετές φορές. Έτσι μένετε στο παιχνίδι, όταν η πρώτη ρίψη θα πρέπει να πέσει 2 ή μεγαλύτερη. Για τη δεύτερη ρίψη - 3 ή υψηλότερη. Για το τρίτο, απαιτείται 4 ή υψηλότερη, για το τέταρτο - 5 ή υψηλότερο, για το πέμπτο - 6. Εάν και οι πέντε βολές είναι επιτυχείς, κερδίσατε. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες. Ναι, αν μια ρίψη είναι ανεπιτυχής, θα επηρεάσει το αποτέλεσμα ολόκληρου του παιχνιδιού, αλλά μια ρίψη δεν επηρεάζει την άλλη. Για παράδειγμα, εάν η δεύτερη σας ρίψη των οστών παιχνιδιού είναι πολύ καλή, δεν σημαίνει ότι οι παρακάτω βολές θα είναι τόσο καλές. Ως εκ τούτου, μπορούμε να εξετάσουμε την πιθανότητα κάθε ρίψης των οστών παιχνιδιού ξεχωριστά.

Εάν έχετε ανεξάρτητες πιθανότητες και θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να έρχονται όλες οι εκδηλώσεις, ορίζετε κάθε ατομική πιθανότητα και να τα πλοηγηθείτε. Ένας άλλος τρόπος: Εάν πρόκειται να περιγράψετε διάφορες συνθήκες, να χρησιμοποιήσετε την ένωση "και" (για παράδειγμα, ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης τυχαίας εκδήλωσης και κάποιο άλλο ανεξάρτητο τυχαίο συμβάν;) - υπολογίστε τις πιθανότητες και να τα πολλαπλασιάσετε.

Δεν έχει σημασία τι νομίζετε - ποτέ να συνοψίσετε ανεξάρτητες πιθανότητες. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο λάθος. Για να καταλάβετε γιατί είναι λάθος, φανταστείτε την κατάσταση όταν ρίχνετε ένα νόμισμα και θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα ότι ο "Eagle" πέφτει δύο φορές στη σειρά. Η πιθανότητα να πέσει μακριά από κάθε πλευρά είναι 50%. Εάν συνοψίζεις αυτές τις δύο πιθανότητες, θα λάβετε 100% πιθανότητα να πέσει το "Eagle", αλλά γνωρίζουμε ότι δεν είναι αλήθεια, επειδή δύο φορές η "Rushka" θα μπορούσε να πέσει στη σειρά. Εάν αντίθετα στείλτε δύο πιθανότητες, θα έχετε 50% * 50% \u003d 25% - αυτή είναι η σωστή απάντηση για τον υπολογισμό της πιθανότητας της απώλειας "αετού" των δύο φορές στη σειρά.

Παράδειγμα

Ας επιστρέψουμε στο παιχνίδι με ένα εξάγωνο παίζοντας οστά, όπου πρέπει να πέσει για πρώτη φορά έναν αριθμό περισσότερο από 2, στη συνέχεια περισσότερο από 3 - και ούτω καθεξής έως 6. ποιες είναι οι πιθανότητες του γεγονότος ότι σε αυτή τη σειρά πέντε βολεύει όλα τα πέντε τα αποτελέσματα θα είναι ευνοϊκά;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, είναι ανεξάρτητες δοκιμές, οπότε υπολογίζουμε την πιθανότητα για κάθε ατομική ρίψη, και στη συνέχεια τους γυρίζουμε έξω. Η πιθανότητα να είναι ευνοϊκή η έκβαση της πρώτης ρίψης, είναι 5/6. Δεύτερη - 4/6. Τρίτο - 3/6. Τέταρτη - 2/6, πέμπτη - 1/6. Πολλαπλασιάστε όλα τα αποτελέσματα ο ένας στον άλλο και πάρτε περίπου το 1,5%. Η νίκη σε αυτό το παιχνίδι συμβαίνει σπάνια, οπότε αν προσθέσετε αυτό το στοιχείο στο παιχνίδι σας, θα χρειαστείτε ένα αρκετά μεγάλο τζάκποτ.

Αρνηση

Εδώ είναι μια άλλη χρήσιμη υπαινιγμός: Μερικές φορές είναι δύσκολο να υπολογίσετε την πιθανότητα να έρθει η εκδήλωση, είναι ευκολότερο να προσδιοριστείτε τις πιθανότητες ότι η εκδήλωση δεν θα έρθει. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα άλλο παιχνίδι: ρίχνετε 6D6 και κερδίστε εάν τουλάχιστον 6 θα πέσει μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα νίκης;

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να εξετάσετε πολλές επιλογές. Ένας αριθμός 6 θα πέσει, δηλαδή, ο αριθμός 6 θα πέσει σε ένα από τα οστά παιχνιδιού, και σε άλλους - αριθμούς από 1 έως 5, τότε υπάρχουν 6 επιλογές για τις οποίες θα πέσει τα οστά παιχνιδιού 6. Μπορείτε να πέσετε Ο αριθμός 6 σε δύο οστά, ή σε τρία, ή ακόμα περισσότερα, και κάθε φορά που πρέπει να κάνετε μια ξεχωριστή μέτρηση, οπότε είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Αλλά ας δούμε την εργασία στην άλλη πλευρά. Θα χάσετε αν ο αριθμός 6 δεν θα πέσει σε ένα από τα οστά παιχνιδιού. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε 6 ανεξάρτητες δοκιμές. Η πιθανότητα ότι σε κάθε ένα από τα οστά παιχνιδιού θα πέσει τον αριθμό, όχι ίσο με 6, είναι 5/6. Πολλαπλασιάστε τους - και πάρτε περίπου το 33%. Έτσι, η πιθανότητα απώλειας είναι ένα έως τρία. Κατά συνέπεια, η πιθανότητα νίκης είναι 67% (ή δύο έως τρία).

Από αυτό το παράδειγμα, είναι προφανές: αν θεωρήσετε την πιθανότητα ότι η εκδήλωση δεν έρχεται, πρέπει να αφαιρέσετε το αποτέλεσμα από το 100%. Εάν η πιθανότητα νίκης είναι 67%, η πιθανότητα αναπαραγωγής είναι 100% μείον 67%, ή 33% και αντίστροφα. Εάν είναι δύσκολο να υπολογίσετε μια πιθανότητα, αλλά είναι εύκολο να υπολογίσετε το αντίθετο, να εξετάσετε το αντίθετο, και στη συνέχεια να αφαιρέσετε αυτόν τον αριθμό από το 100%.

Συνδέστε τις συνθήκες για μια ανεξάρτητη δοκιμή

Λίγο υψηλότερο, είπα ότι ποτέ δεν πρέπει να συνοψίσουμε τις πιθανότητες με ανεξάρτητες δοκιμές. Υπάρχουν περιπτώσεις όταν μπορείτε να πιείτε πιθανότητα; Ναι, σε μια συγκεκριμένη κατάσταση.

Εάν θέλετε να υπολογίσετε την πιθανότητα για πολλά μη συνδεδεμένα ευνοϊκά αποτελέσματα μιας δοκιμής, συνοψίζοντας τις πιθανότητες κάθε ευνοϊκού αποτελέσματος. Για παράδειγμα, η πιθανότητα πτώσης των αριθμών 4, 5 ή 6 έως 1D6 ισούται με το άθροισμα της πιθανότητας του Fallout του αριθμού 4, τις πιθανότητες του Fallout 5 και την πιθανότητα του αριθμού 6. Αυτή η κατάσταση μπορεί να είναι Εκπροσωπείται ως εξής: Εάν βρίσκεστε στο θέμα της πιθανότητας να χρησιμοποιήσετε την Ένωση "ή" (για παράδειγμα, ποια είναι η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος είναι η πιθανότητα;) - Μετρήστε ξεχωριστές πιθανότητες και συνοψίστε τα.

Σημείωση: Όταν υπολογίζετε όλα τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού, το ποσό των πιθανοτήτων της επίθεσης τους πρέπει να είναι 100%, διαφορετικά ο υπολογισμός σας ήταν εσφαλμένος. Αυτός είναι ένας καλός τρόπος για να ελέγξετε διπλάτε τους υπολογισμούς σας. Για παράδειγμα, αναλύσατε την πιθανότητα απώλειας όλων των συνδυασμών στο πόκερ. Εάν συνοψίζετε όλα τα αποτελέσματα που έχουν ληφθεί, θα πρέπει να αποδεικνύετε ακριβώς το 100% (ή τουλάχιστον ένα πολύ κοντά στο 100%: Εάν χρησιμοποιείτε μια αριθμομηχανή, εμφανίζεται ένα μικρό σφάλμα κατά τη στρογγυλοποίηση, αλλά αν συνοψίσετε τους ακριβείς αριθμούς χειροκίνητα, τα πάντα θα πρέπει να πέσει). Εάν το ποσό δεν συγκλίνει, τότε, πιθανότατα, δεν έλαβε υπόψη ορισμένους συνδυασμούς ή θεωρούνται ότι η πιθανότητα ορισμένων συνδυασμών λανθασμένα και οι υπολογισμοί πρέπει να μειωθούν.

Ανόμοιες πιθανότητες

Μέχρι τώρα, υποθέσαμε ότι κάθε πτυχή του παιχνιδιού εμπίπτει με την ίδια συχνότητα, επειδή φαίνεται ότι εμφανίζεται η αρχή της λειτουργίας του παιχνιδιού. Αλλά μερικές φορές μπορείτε να αντιμετωπίσετε την κατάσταση όταν τα διαφορετικά αποτελέσματα είναι δυνατά και έχουν διαφορετικές πιθανότητες να πέσουν έξω.

Για παράδειγμα, σε μία από τις προσθήκες του παιχνιδιού της κάρτας πυρηνικού πολέμου, υπάρχει ένα πεδίο παιχνιδιού με ένα βέλος, στο οποίο εξαρτάται το αποτέλεσμα της εκτόξευσης πυραύλων. Τις περισσότερες φορές, προκαλεί συνηθισμένη ζημιά, ισχυρότερη ή ασθενέστερη, αλλά μερικές φορές η ζημιά ενισχύεται σε δύο ή τρεις φορές, ή ο πυραύλος εκρήγνυται στο site Launch και σας πονάει, ή κάποιο άλλο συμβάν συμβαίνει. Σε αντίθεση με ένα πεδίο παιχνιδιού με ένα βέλος σε chutes & σκάλες ή ένα παιχνίδι ζωής, τα αποτελέσματα του πεδίου παιχνιδιών στον πυρηνικό πόλεμο δεν είναι ενόσωνα. Ορισμένα τμήματα του πεδίου παιχνιδιών είναι μεγαλύτερα σε μέγεθος και το βέλος τους σταματά πολύ πιο συχνά, ενώ τα άλλα τμήματα είναι πολύ μικρά και το βέλος σταματάει σπάνια.

Έτσι, με την πρώτη ματιά, το οστό φαίνεται περίπου ως εξής: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - Έχουμε ήδη μιλήσει γι 'αυτό, αντιπροσωπεύει κάτι σαν σταθμισμένο 1d3. Κατά συνέπεια, πρέπει να διαιρέσουμε όλα αυτά τα τμήματα σε ίσα μέρη, να βρούμε τη μικρότερη μονάδα μέτρησης, ένα διαχωριστικό, το οποίο όλα είναι πιο βαμμένα και στη συνέχεια παρουσιάζουν μια κατάσταση με τη μορφή του D522 (ή κάποιου άλλου), όπου πολλά πρόσωπα Το παιχνίδι του παιχνιδιού θα εμφανίσει την ίδια κατάσταση, αλλά με πολλά αποτελέσματα. Αυτός είναι ένας από τους τρόπους επίλυσης του προβλήματος και εκτελείται τεχνικά, αλλά υπάρχει μια απλούστερη επιλογή.

Ας επιστρέψουμε στα τυπικά μας ζάρια εξάγωνου. Είπαμε ότι για τον υπολογισμό της μέσης αξίας της ρίψης για ένα κανονικό κόκαλο, πρέπει να συνοψίσουμε τις τιμές σε όλα τα πρόσωπα και να τα χωρίσετε με τον αριθμό των προσώπων, αλλά πώς ακριβώς είναι ο υπολογισμός; Μπορείτε να το εκφράσετε διαφορετικά. Για ένα εξάγωνο παίζοντας κόκαλο, η πιθανότητα του Fallout κάθε προσώπου είναι ίση με ακριβώς το 1/6. Τώρα πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα κάθε προσώπου έναντι της πιθανότητας αυτού του αποτελέσματος (στην περίπτωση αυτή 1/6 για κάθε πρόσωπο) και στη συνέχεια συνοψίζουμε τις τιμές που λαμβάνονται. Έτσι, η αθροιστική αθροιστική (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα (3.5), όπως και στον υπολογισμό παραπάνω. Στην πραγματικότητα, το θεωρούμε κάθε φορά: πολλαπλασιάζουμε κάθε αποτέλεσμα σχετικά με την πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος.

Μπορούμε να κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό για το βέλος στο πεδίο του παιχνιδιού στον πυρηνικό πόλεμο του παιχνιδιού; Φυσικά μπορούμε. Και αν συνοψίσουμε όλα τα αποτελέσματα που βρέθηκαν, θα λάβουμε τη μέση τιμή. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος για το βέλος στο πεδίο παιχνιδιών και να πολλαπλασιάσουμε την αξία των αποτελεσμάτων.

Ενα άλλο παράδειγμα

Η αναφερόμενη μέθοδος υπολογισμού της μέσης τιμής είναι επίσης κατάλληλη εάν τα αποτελέσματα είναι ίσα, αλλά έχουν διαφορετικά πλεονεκτήματα - για παράδειγμα, αν ρίχνετε το παιχνίδι και κερδίζετε περισσότερο όταν πέσετε έξω από ορισμένα πρόσωπα από άλλους. Για παράδειγμα, πάρτε το παιχνίδι που συμβαίνει στο καζίνο: στοιχηματίζετε και ρίχνετε 2d6. Εάν τρεις αριθμοί πέσουν με τη μικρότερη τιμή (2, 3, 4) ή τέσσερις αριθμούς με υψηλή τιμή (9, 10, 11, 12) - θα κερδίσετε το ποσό ίσο με το στοίχημά σας. Συγκεκριμένα, είναι οι αριθμοί με τη χαμηλότερη και υψηλότερη τιμή: εάν 2 ή 12 σταγόνες, θα κερδίσετε διπλάσιο από το στοίχημά σας. Εάν οποιοσδήποτε άλλος αριθμός πέφτει (5, 6, 7, 8), θα χάσετε το στοίχημά σας. Αυτό είναι ένα αρκετά απλό παιχνίδι. Αλλά ποια είναι η πιθανότητα νίκης;

Ας ξεκινήσουμε με αυτό που θεωρούμε πόσες φορές μπορείτε να κερδίσετε. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη 2D6 είναι 36. Ποιος είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων;

• Υπάρχουν 1 επιλογή ότι 2 θα πέσει έξω και 1 επιλογή που θα πέσει 12.
• Υπάρχουν 2 επιλογές που οι επιλογές 3 και 2 θα πέσουν, οι οποίες θα πέσουν 11.
• Υπάρχουν 3 επιλογές που οι 4, και 3 επιλογές πέφτουν, οι οποίες θα πέσουν 10.
• Υπάρχουν 4 επιλογές που θα πέσουν 9.

Έχοντας προκάλεσε όλες τις επιλογές, λαμβάνουμε 16 ευνοϊκά αποτελέσματα από 36. Έτσι, υπό κανονικές συνθήκες, θα κερδίσετε 16 φορές από 36 πιθανές - η πιθανότητα νίκης είναι ελαφρώς μικρότερη από 50%.

Αλλά σε δύο περιπτώσεις από αυτά τα δεκαέξι θα κερδίσετε δύο φορές περισσότερο - είναι πώς να κερδίσετε δύο φορές. Εάν παίζετε αυτό το παιχνίδι 36 φορές, κάθε φορά που κάνετε ένα στοίχημα σε $ 1, και κάθε ένα από όλα τα πιθανά αποτελέσματα θα πέσει μία φορά, θα κερδίσετε στο ποσό των $ 18 (στην πραγματικότητα, θα κερδίσετε 16 φορές, αλλά δύο από τα δύο θα θεωρηθούν ως δύο κέρδη). Εάν παίζετε 36 φορές και κερδίστε $ 18, σημαίνει ότι οι πιθανότητες είναι ίσες;

Μην βιαζεσαι. Εάν θεωρείτε τον αριθμό των φορών που μπορείτε να χάσετε, τότε θα έχετε 20, όχι 18. Εάν παίζετε 36 φορές, κάθε φορά που στοιχηματίζετε σε $ 1, θα κερδίσετε συνολικά $ 18 όταν πέσετε από όλα ευνοϊκά αποτελέσματα. Αλλά θα χάσετε συνολικά $ 20 όταν πέσετε από τα 20 ανεπιθύμητα αποτελέσματα. Ως αποτέλεσμα, θα καθυστερήσετε λίγο: χάνετε έναν μέσο όρο $ 2 δίχτυ για κάθε 36 παιχνίδια (μπορείτε επίσης να πείτε ότι χάνουμε κατά μέσο όρο 1/18 δολάριο την ημέρα). Τώρα βλέπετε πόσο εύκολα σε αυτή την περίπτωση κάντε ένα λάθος και εξετάστε την πιθανότητα εσφαλμένα.

Perestanovka

Μέχρι στιγμής, υποθέσαμε ότι η σειρά του αριθμού των αριθμών κατά τη ρίψη των οστών παιχνιδιού δεν έχει σημασία. Η απώλεια των 2 + 4 είναι η ίδια με την απώλεια των 4 + 2. Στις περισσότερες περιπτώσεις, υπολογίζουμε με το χέρι τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, αλλά μερικές φορές αυτή η μέθοδος είναι πρακτική και καλύτερη χρήση της μαθηματικής φόρμουλας.

Ένα παράδειγμα αυτής της κατάστασης από το παιχνίδι με τα οστά του Farkle. Για κάθε νέο γύρο που ρίχνετε 6D6. Εάν είστε τυχεροί και πάρτε όλα τα πιθανά αποτελέσματα 1-2-3-4-5-6 (ευθεία), θα πάρετε ένα μεγάλο μπόνους. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό; Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές ενσωματώσεις αυτού του συνδυασμού.

Η λύση έχει ως εξής: Σε ένα από τα οστά παιχνιδιού (και μόνο ένα), ο αριθμός 1. Πόσες επιλογές για τον αριθμό Fallout 1 σε ένα παίξιμο οστό θα πρέπει να πέσει. Επιλογές 6, καθώς υπάρχουν 6 οστά αναπαραγωγής και ο αριθμός 1. Ο αριθμός 1. Μπορεί να πέσει σε οποιοδήποτε από αυτά, πάρτε ένα οστό και να το σταματήσετε. Τώρα, σε ένα από τα υπόλοιπα οστά παιχνιδιού, ο αριθμός 2. Υπάρχουν 5 επιλογές για αυτό. Πάρτε ένα άλλο παίζοντας οστά και σέβεται στην άκρη. Στη συνέχεια, ο αριθμός 3 μπορεί να εμπίπτει σε 4 από τα υπόλοιπα οστά παιχνιδιού, σε 3 από τα υπόλοιπα οστά παιχνιδιού, ο αριθμός 4 μπορεί να πέσει έξω, σε 2 οστά - τον αριθμό 5. Ως αποτέλεσμα, παραμένετε ένα παίζοντας οστά, πάνω στο οποίο Ο αριθμός 6 πρέπει να πέσει (στην τελευταία περίπτωση, παίζοντας το οστό είναι ένα και δεν υπάρχει επιλογή).

Για να υπολογίσετε το ποσό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για να πέσει ένας συνδυασμός "τεντώματος", πολλαπλασιάζουμε όλες τις διαφορετικές ανεξάρτητες επιλογές: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 \u003d 720 - Φαίνεται ότι υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός επιλογών που Αυτός ο συνδυασμός θα πέσει.

Για να υπολογίσετε την πιθανότητα συνδυασμού "συμβολοσειρά", πρέπει να διαιρέσουμε το 720 με το ποσό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων για τη ρίψη του 6D6. Ποιος είναι ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων; Σε κάθε κόκαλο παιχνιδιού, 6 πρόσωπα μπορούν να πέσουν, έτσι πολλαπλασιάζουμε 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 \u003d 46656 (ο αριθμός είναι πολύ μεγαλύτερος από τον προηγούμενο). Διαχωρίζουμε 720 έως 46656 και λαμβάνουμε μια πιθανότητα ίση με περίπου 1,5%. Εάν συμμετείχατε στο σχεδιασμό αυτού του παιχνιδιού, θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζετε ότι μπορείτε να δημιουργήσετε ένα κατάλληλο σύστημα υπολογισμού πεδίου εφαρμογής. Τώρα καταλαβαίνουμε γιατί στο παιχνίδι Farkle θα πάρετε ένα τόσο μεγάλο μπόνους αν πέσετε ένα συνδυασμό "Stretch": αυτή η κατάσταση είναι αρκετά σπάνια.

Το αποτέλεσμα είναι επίσης ενδιαφέρον για έναν άλλο λόγο. Το παράδειγμα δείχνει πόσο σπάνια στη σύντομη περίοδο υπάρχει ένα αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στην πιθανότητα. Φυσικά, αν έριξα αρκετές χιλιάδες κόκαλα παιχνιδιού, διαφορετικά πρόθυρα να παίζουν οστά θα πέφτουν αρκετά συχνά. Αλλά όταν ρίχνουμε μόνο έξι κόκαλα παιχνιδιού, σχεδόν ποτέ δεν συμβαίνει έτσι ώστε κάθε πρόσωπα να πέσει έξω. Γίνεται σαφές ότι είναι ηλίθιο να περιμένω ότι το πρόσωπο θα πέσει τώρα, το οποίο δεν έχει ακόμη υπάρξει, επειδή "ο αριθμός 6 δεν έχει πέσει για μεγάλο χρονικό διάστημα." Ακούστε, η γεννήτρια τυχαίων αριθμών σας έσπασε.

Αυτό μας οδηγεί σε μια κοινή εσφαλμένη αντίληψη ότι όλα τα αποτελέσματα πέφτουν με την ίδια συχνότητα σε σύντομο χρονικό διάστημα. Αν ρίχνουμε τα οστά παιχνιδιού αρκετές φορές, η συχνότητα του Fallout καθενός από τα πρόσωπα δεν θα είναι η ίδια.

Εάν έχετε συνηθίσει ποτέ να εργάζεστε σε ένα online παιχνίδι με κάποια γεννήτρια τυχαίων αριθμών, τότε, κατά πάσα πιθανότητα συναντήθηκε μια κατάσταση όπου ο παίκτης γράφει στην υπηρεσία τεχνικής υποστήριξης με μια καταγγελία ότι η γεννήτρια τυχαίων αριθμών δεν εμφανίζει τυχαίους αριθμούς. Ήρθε σε αυτό το συμπέρασμα επειδή σκότωσε 4 τέρατα στη σειρά και έλαβε 4 ακριβώς τα ίδια βραβεία και αυτά τα βραβεία πρέπει να πέσουν μόνο στο 10% των περιπτώσεων, επομένως, είναι προφανώς σχεδόν ποτέ δεν συνέβη ποτέ.

Κάνετε μαθηματικό υπολογισμό. Η πιθανότητα είναι 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, δηλαδή 1 έκβαση 10 χιλιάδων είναι μια μάλλον σπάνια περίπτωση. Αυτό είναι που ο παίκτης προσπαθεί να σας πει. Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην περίπτωση αυτή;

Όλα εξαρτώνται από τις περιστάσεις. Πόσοι παίκτες είναι συνδεδεμένοι στο διακομιστή σας; Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα αρκετά δημοφιλές παιχνίδι και 100 χιλιάδες άνθρωποι το παίζουν καθημερινά. Πόσοι παίκτες θα σκοτώσουν τέσσερα τέρατα στη σειρά; Ίσως τα πάντα, αρκετές φορές την ημέρα, αλλά ας υποθέσουμε ότι το μισό από αυτά απλώς ανταλλάσσει διαφορετικά αντικείμενα σε δημοπρασίες, αντιστοιχεί σε διακομιστές RP ή εκτελεί άλλες δράσεις παιχνιδιού - με αυτόν τον τρόπο, μόνο οι μισοί από τους κυνήγι σε τέρατα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι κάποιος θα πέσει την ίδια ανταμοιβή; Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να αναμένεται ότι αυτό θα συμβεί τουλάχιστον αρκετές φορές την ημέρα.

Ως εκ τούτου, φαίνεται ότι κάθε λίγες εβδομάδες κάποιος κερδίζει στην κλήρωση, ακόμα κι αν κάποιος δεν ήταν ποτέ ή οι γνωστοί σας. Εάν ένας επαρκής αριθμός ανθρώπων παίζει τακτικά - υπάρχει μια πιθανότητα ότι κάπου εκεί θα υπάρξει τουλάχιστον ένα τυχερό. Αλλά αν παίζετε το λαχείο μόνοι σας, τότε είστε απίθανο να κερδίσετε, μάλλον θα κληθείτε να εργαστείτε στο Infinity Ward.

Χάρτες και εθισμός

Συζητήσαμε ανεξάρτητα γεγονότα, όπως η ρίψη ενός παιχνιδιού, και τώρα γνωρίζουμε πολλά ισχυρά εργαλεία ανάλυσης πρωταθλήματος σε πολλά παιχνίδια. Ο υπολογισμός της πιθανότητας είναι λίγο πιο δύσκολος όταν πρόκειται για την αφαίρεση καρτών από το κατάστρωμα, επειδή κάθε κάρτα που βγάζουμε, επηρεάζει εκείνους που παραμένουν στο κατάστρωμα.

Εάν έχετε ένα τυποποιημένο κατάστρωμα σε 52 κάρτες, παίρνετε 10 σκουλήκια από αυτό και θέλετε να γνωρίζετε την πιθανότητα ότι η επόμενη κάρτα θα είναι το ίδιο κοστούμι, η πιθανότητα έχει αλλάξει σε σύγκριση με το αρχικό, επειδή έχετε ήδη αφαιρέσει μία κάρτα του κοστούμι του σκουληκιού από το κατάστρωμα. Κάθε κάρτα που καταργεί, αλλάζει την πιθανότητα εμφάνισης της επόμενης κάρτας στο κατάστρωμα. Σε αυτή την περίπτωση, το προηγούμενο συμβάν επηρεάζει τα εξής, οπότε ονομάζουμε μια τέτοια πιθανότητα εξαρτώμενη.

Παρακαλώ σημειώστε: Όταν λέω "χάρτες", εννοώ οποιεσδήποτε μηχανικές παιχνιδιών στο οποίο υπάρχει ένα σύνολο αντικειμένων και αφαιρείτε ένα από τα αντικείμενα χωρίς να το αντικαταστήσετε. "Κατάστρωμα καρτών" σε αυτή την περίπτωση - ένα αναλογικό από μια τσάντα με μάρκες από τα οποία βγάζετε ένα τσιπ, ή από τις ουρές από τις οποίες αφαιρούνται οι μπάλες χρώματος (δεν έχω δει ποτέ παιχνίδια με την ουρά, από την οποία θα βγάλουν οι μπάλες χρώματος, Αλλά οι εκπαιδευτικοί της θεωρίας πιθανοτήτων για το τι - αυτός ο λόγος προτιμά αυτό το παράδειγμα).

Ακίνητα του εθισμού

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι όταν πρόκειται για χάρτες, υποθέτω ότι παίρνετε κάρτες, κοιτάξτε τους και αφαιρέστε από το κατάστρωμα. Κάθε μία από αυτές τις ενέργειες είναι μια σημαντική ιδιοκτησία. Αν είχα ένα κατάστρωμα, ας πούμε, από έξι κάρτες με αριθμούς από 1 έως 6, θα τους ανακατέψαμε και έβγαλε μία κάρτα, στη συνέχεια μετατόπισε και πάλι έξι κάρτες - θα ήταν παρόμοιο με το να ρίχνεις ένα εξάγωνο παιχνίδι που παίζει δεν επηρεάζουν εδώ στο επόμενο. Και αν βγάλω τις κάρτες και δεν τα αντικαθιστώ, στη συνέχεια, μειώνοντας τον χάρτη 1, αυξάνω την πιθανότητα την επόμενη φορά που θα έχω έναν χάρτη με έναν αριθμό 6. Η πιθανότητα θα αυξηθεί ενώ δεν φοβάμαι αυτό κάρτα ή αδιαφορία.

Το γεγονός ότι κοιτάζουμε τις κάρτες είναι επίσης σημαντικές. Εάν είμαι μια κάρτα από το ελάφι και δεν το βλέπω - δεν θα έχω πρόσθετες πληροφορίες και στην πραγματικότητα πιθανότητα δεν θα αλλάξει. Μπορεί να ακούγεται παράλογο. Πώς είναι η απλή στροφή της κάρτας μπορεί να αλλάξει μαγικά την πιθανότητα; Αλλά αυτό είναι δυνατό επειδή μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα για άγνωστα στοιχεία μόνο με βάση αυτό που γνωρίζετε.

Για παράδειγμα, εάν σύρετε το τυποποιημένο κατάστρωμα των καρτών, ανοίξτε 51 κάρτα και κανένας από αυτούς δεν θα είναι μια κυρία τριών κατευθύνσεων, τότε μπορείτε να είστε 100% σίγουροι ότι η υπόλοιπη κάρτα είναι μια τροφική κυρία. Εάν σύρετε το τυποποιημένο κατάστρωμα των καρτών και πάρτε 51 κάρτα, χωρίς να τις κοιτάξετε, τότε η πιθανότητα ότι η υπόλοιπη κάρτα είναι μια κυρία Trephy, θα παραμείνει 1/52. Άνοιγμα κάθε κάρτας, έχετε περισσότερες πληροφορίες.

Υπολογίζει τις πιθανότητες για εξαρτώμενα γεγονότα εκτελούνται σύμφωνα με τις ίδιες αρχές που είναι ανεξάρτητες, εκτός από το ότι είναι λίγο πιο περίπλοκο, αφού οι πιθανότητες αλλάξουν όταν ανοίγετε τις κάρτες. Έτσι, πρέπει να πολλαπλασιάσετε πολλές διαφορετικές τιμές, αντί να πολλαπλασιάσετε την ίδια τιμή. Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να συνδέσουμε όλους τους υπολογισμούς που κάναμε, σε ένα συνδυασμό.

Παράδειγμα

Είστε εντάξει ένα τυποποιημένο κατάστρωμα σε 52 κάρτες και βγάλτε δύο κάρτες. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ένα ζευγάρι; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσετε αυτήν την πιθανότητα, αλλά, ίσως, το πιο εύκολο μοιάζει με αυτό: Ποια είναι η πιθανότητα να τροφοδοτείτε μια κάρτα, δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα ζευγάρι; Αυτή η πιθανότητα είναι μηδέν, οπότε δεν είναι τόσο σημαντικό πότε η πρώτη κάρτα που αντιστράφηκε, υπό την προϋπόθεση ότι συμπίπτει με το δεύτερο. Δεν έχει σημασία τι χάρτη θα πάρετε την πρώτη, έχουμε ακόμα την ευκαιρία να αφαιρέσουμε ένα ζευγάρι. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα απομάκρυνσης ενός ζευγαριού αφού έβγαλε την πρώτη κάρτα, είναι 100%.

Ποια είναι η πιθανότητα να συμπίπτει η δεύτερη κάρτα με την πρώτη; Το κατάστρωμα παραμένει 51 κάρτες και 3 από αυτούς συμπίπτουν με την πρώτη κάρτα (στην πραγματικότητα θα ήταν 4 από τα 52, αλλά έχετε ήδη αφαιρέσει έναν από τους συμπίπτους χάρτες όταν αντιστραφεί η πρώτη κάρτα), έτσι ώστε η πιθανότητα να είναι η πιθανότητα 1/17. Ως εκ τούτου, την επόμενη φορά, όταν κρατά το παιχνίδι στο Τέξας, ένας τύπος απέναντι από σας στο τραπέζι θα πει: "Cool, ένα άλλο ζευγάρι; Είμαι τυχερός σήμερα, "Θα το ξέρετε με μεγάλη πιθανότητα, μπλοφάνει.

Τι γίνεται αν προσθέτουμε δύο τζόκερ, οπότε θα έχουμε 54 κάρτες στο κατάστρωμα, και θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα απομάκρυνσης ενός ζευγαριού; Η πρώτη κάρτα μπορεί να είναι ένας τζόκερ, και στη συνέχεια μόνο μία κάρτα θα είναι στο κατάστρωμα, το οποίο συμπίπτει, και όχι τρία. Πώς να βρείτε μια πιθανότητα σε αυτή την περίπτωση; Διαιρούμε τις πιθανότητες και αλλάζουμε κάθε ευκαιρία.

Η πρώτη μας κάρτα μπορεί να είναι ένας τζόκερ ή κάποιο άλλο χάρτη. Η πιθανότητα απομάκρυνσης του τζόκερ είναι 2/54, η πιθανότητα απομάκρυνσης κάποιων άλλων καρτών είναι 52/54. Εάν η πρώτη κάρτα είναι ένας τζόκερ (2/54), τότε η πιθανότητα να συμπίπτει η δεύτερη κάρτα με την πρώτη, ίση με 1/53. Γυρίστε τις τιμές (μπορούμε να τα πολλαπλασιάσουμε, επειδή αυτά είναι ξεχωριστά γεγονότα, και θέλουμε και τα δύο γεγονότα να έρθουν) και να πάρουμε 1/1431 - λιγότερο από το ένα δέκατο τοις εκατό.

Εάν η πρώτη αφαιρέσετε κάποιο άλλο χάρτη (52/54), η πιθανότητα σύμπτωσης με τη δεύτερη κάρτα είναι 3/53. Μειώστε τις τιμές και κερδίστε 78/1431 (λίγο περισσότερο από 5,5%). Τι κάνουμε με αυτά τα δύο αποτελέσματα; Δεν διασταυρώνονται και θέλουμε να γνωρίζουμε την πιθανότητα κάθε ένα από αυτά, οπότε συνοψίζουμε τις αξίες. Λαμβάνουμε το τελικό αποτέλεσμα των 79/1431 (ακόμα περίπου 5,5%).

Αν θέλαμε να είμαστε σίγουροι για την ακρίβεια της απαντήσεως, θα μπορούσαμε να εξετάσουμε την πιθανότητα όλων των άλλων πιθανών αποτελεσμάτων: αφαίρεση του τζόκερ και της διαφοράς με τη δεύτερη κάρτα ή να αφαιρέσετε κάποια άλλη κάρτα και την απόκλιση με τη δεύτερη κάρτα. Έχοντας προωθήσει αυτές τις πιθανότητες και την πιθανότητα των κερδών, θα έχουμε ακριβώς το 100%. Δεν θα δώσω εδώ μαθηματικός υπολογισμός, αλλά μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε για να κάνετε διπλό έλεγχο.

Paradox Monty Hall.

Αυτό μας οδηγεί σε ένα αρκετά διάσημο παράδοξο, το οποίο συχνά οδηγεί πολλές σε σύγχυση, είναι το παράδοξο της Monti Hall. Το παράδοξο ονομάζεται μετά την παράδοση της τηλεοπτικής εκπομπής ας κάνουμε μια συμφωνία. Για όσους δεν έχουν δει ποτέ αυτή την τηλεοπτική εκπομπή, θα πω ότι ήταν το αντίθετο της τιμής είναι σωστό.

Στην τιμή είναι ο σωστός παρουσιαστής (προηγουμένως το προβάδισμα ήταν ο Bob Barker, ο οποίος είναι τώρα, Drew Carey; δεν έχει σημασία) - ο φίλος σου. Θέλει να κερδίσετε χρήματα ή δροσερά βραβεία. Προσπαθεί να σας παράσχει όλες τις ευκαιρίες για τη νίκη, με την προϋπόθεση ότι μπορείτε να μαντέψετε πόσα αντικείμενα που αποκτήθηκαν από τους χορηγούς.

Η Monti Hall συμπεριφέρθηκε διαφορετικά. Ήταν σαν ένα κακό δίδυμο Bob Barker. Σκοπός του ήταν να σας κάνει στον αιθέρα της εθνικής τηλεόρασης μοιάζει με έναν ηλίθιο. Εάν συμμετάσχετε στην εκπομπή, ήταν ο αντίπαλός σας, παίζατε εναντίον του και οι πιθανότητες να κερδίσουν ήταν υπέρ του. Ίσως πέρασα πολύ απότομα, αλλά κοιτάζοντας την παράσταση, η οποία είναι πιο πιθανό να πάρει αν φορέσει μια γελοία κοστούμι, έρχομαι σε τέτοια συμπεράσματα.

Ένα από τα πιο διάσημα μίτα της παράστασης ήταν τέτοια: μπροστά σας τρεις πόρτες, αριθμός πόρτας 1, αριθμός πόρτας 2 και αριθμός πόρτας 3. Μπορείτε να επιλέξετε κάποια πόρτα δωρεάν. Για ένα από αυτά υπάρχει ένα υπέροχο βραβείο - για παράδειγμα, ένα νέο επιβατικό αυτοκίνητο. Για δύο άλλες πόρτες δεν υπάρχουν βραβεία, και οι δύο δεν αποτελούν αξία. Πρέπει να σας ταπεινώσουν, έτσι δεν είναι μόνο τίποτα, και κάτι ηλίθιο, για παράδειγμα, μια κατσίκα ή ένα τεράστιο σωλήνα οδοντόκρεμας - οτιδήποτε, όχι ένα νέο αυτοκίνητο.

Επιλέγετε μία από τις πόρτες, η Monti πρόκειται ήδη να το ανοίξει έτσι ώστε να μάθετε, να κερδίζετε ή να μην ... αλλά περιμένετε. Πριν ξέρετε, ας δούμε μία από αυτές τις πόρτες που δεν επιλέξατε. Η Monti ξέρει, για ποια πόρτα υπάρχει ένα βραβείο, και μπορεί πάντα να ανοίξει την πόρτα πίσω από την οποία δεν υπάρχει βραβείο. "Επιλέγετε τον αριθμό της πόρτας 3; Τότε ας ανοίξουμε τον αριθμό της πόρτας 1 για να δείξουμε ότι δεν υπήρχε βραβείο πίσω της. " Και τώρα από τη γενναιοδωρία σας προσφέρει την ευκαιρία να ανταλλάξετε την επιλεγμένη πόρτα αριθ. 3 σχετικά με το τι είναι πίσω από την πόρτα αριθ. 2.

Σε αυτό το σημείο, υπάρχει μια ερώτηση σχετικά με την πιθανότητα: Η ευκαιρία αυτή αυξάνει την πιθανότητα να κερδίσετε ή να χαμηλώσει ή παραμένουν αμετάβλητα; Τι νομίζετε;

Η σωστή απάντηση: Η ικανότητα επιλογής μιας άλλης πόρτας αυξάνει την πιθανότητα να κερδίσει από 1/3 έως 2/3. Είναι παράλογο. Εάν δεν συναντήσατε αυτό το παράδοξο πριν, τότε, πιθανότατα, νομίζετε ότι: περιμένετε σαν μια πόρτα, αλλάξαμε μαγευτικά την πιθανότητα; Όπως έχουμε ήδη δει στο παράδειγμα με τους χάρτες, είναι ακριβώς αυτό που συμβαίνει όταν έχουμε περισσότερες πληροφορίες. Προφανώς, όταν επιλέγετε για πρώτη φορά, η πιθανότητα κερδών είναι 1/3. Όταν ανοίγει μια πόρτα, δεν αλλάζει την πιθανότητα νίκης για την πρώτη επιλογή: η πιθανότητα είναι ίση με 1/3. Αλλά η πιθανότητα ότι η άλλη πόρτα είναι σωστή, είναι τώρα ίση με 2/3.

Ας δούμε αυτό το παράδειγμα από την άλλη πλευρά. Επιλέγετε την πόρτα. Η πιθανότητα νίκης είναι 1/3. Σας προτείνω να αλλάξετε τις δύο άλλες πόρτες, γεγονός που κάνει το Monti Hall. Φυσικά, ανοίγει μια από τις πόρτες για να δείξει ότι δεν υπάρχει βραβείο πίσω της, αλλά μπορεί πάντα να το κάνει αυτό, έτσι στην πραγματικότητα δεν αλλάζει τίποτα. Φυσικά, θα θελήσετε να επιλέξετε μια άλλη πόρτα.

Εάν δεν καταλάβετε την ερώτηση και χρειάζεστε μια πιο πειστική εξήγηση, κάντε κλικ σε αυτόν τον σύνδεσμο για να πάτε σε μια υπέροχη εφαρμογή Flash που θα σας επιτρέψει να μελετήσετε αυτό το παράδοξο λεπτομερέστερα. Μπορείτε να παίξετε, ξεκινώντας από περίπου 10 πόρτες και στη συνέχεια να μετακινηθείτε σταδιακά στο παιχνίδι με τρεις πόρτες. Υπάρχει επίσης ένας προσομοιωτής όπου μπορείτε να παίξετε με οποιονδήποτε αριθμό θυρών από 3 έως 50 ή να ξεκινήσετε αρκετές χιλιάδες προσομοιώσεις και να δείτε πόσες φορές κερδίσατε αν έπαιζαν.

Επιλέξτε μία από τις τρεις πόρτες - η πιθανότητα νίκης είναι ίση με το 1/3. Τώρα έχετε δύο στρατηγικές: αλλάξτε την επιλογή μετά το άνοιγμα μιας εσφαλμένης πόρτας ή όχι. Εάν δεν αλλάξετε την επιλογή σας, τότε η πιθανότητα θα παραμείνει 1/3, καθώς η επιλογή πηγαίνει μόνο στο πρώτο στάδιο και πρέπει να μαντέψετε αμέσως. Εάν αλλάξετε, μπορείτε να κερδίσετε εάν επιλέξετε πρώτα τη λανθασμένη πόρτα (τότε θα ανοίξετε ένα άλλο λανθασμένο, το σωστό θα παραμείνει - αλλάζοντας τη λύση, το παίρνετε). Η πιθανότητα επιλογής στην αρχή της λανθασμένης πόρτας είναι 2/3 - έτσι αποδεικνύεται ότι, αλλάζοντας την απόφασή σας, είστε διπλάσιος από την πιθανότητα των κερδών.

Η Remarika από τον δάσκαλο των ανώτερων μαθηματικών και ενός ειδικού στην ισορροπία τυχερών παιχνιδιών των Maxim Soldiers - φυσικά, δεν ήταν στο Schreiber, αλλά χωρίς να καταλάβει αυτή η μαγική μετασχηματισμός είναι αρκετά δύσκολη

Και πάλι για το παράδοξο του Monti Hall

Όσον αφορά την ίδια η παράσταση: Ακόμη και αν οι αντίπαλοι της αίθουσας Monti δεν ήταν ισχυροί στα μαθηματικά, το αποσυναρμολογήθηκε καλά. Αυτό έκανε για να αλλάξει λίγο το παιχνίδι. Εάν επιλέξατε την πόρτα πίσω από την οποία υπήρχε ένα βραβείο, η πιθανότητα του οποίου είναι ίσος με το 1/3, σας προσέφερε πάντα την ευκαιρία να επιλέξετε μια άλλη πόρτα. Επιλέξατε ένα επιβατικό αυτοκίνητο και, στη συνέχεια, αλλάξτε το στην κατσίκα και θα φαίνεστε αρκετά ηλίθιο - και αυτό είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεστε, επειδή η αίθουσα είναι ένα είδος κακού τύπου.

Αλλά αν επιλέξετε την πόρτα πίσω από την οποία δεν θα υπάρξει βραβείο, τότε θα σας προσφέρει να επιλέξετε ένα άλλο κάθε μισό των περιπτώσεων ή απλά να σας δείξετε τη νέα σας κατσίκα και θα φύγετε από τη σκηνή. Ας αναλύσουμε αυτό το νέο παιχνίδι στο οποίο η Monti Hall μπορεί να αποφασίσει αν θα σας προσφέρει μια ευκαιρία να επιλέξετε μια άλλη πόρτα ή όχι.

Ας υποθέσουμε ότι ακολουθεί αυτόν τον αλγόριθμο: Εάν επιλέξετε την πόρτα με το βραβείο, σας προσφέρει πάντα την ευκαιρία να επιλέξετε μια άλλη πόρτα, διαφορετικά θα είναι πιθανό να σας προσφέρουμε να επιλέξετε μια άλλη πόρτα ή να δώσετε μια κατσίκα. Ποια είναι η πιθανότητα νίκης σας;

Σε μία από τις τρεις επιλογές, επιλέγετε αμέσως την πόρτα πίσω από την οποία είναι το βραβείο, και ο παρουσιαστής σας προσφέρει να επιλέξετε ένα άλλο.

Από τις υπόλοιπες δύο επιλογές από τις τρεις (αρχικά επιλέξτε την πόρτα χωρίς βραβείο) σε μισές περιπτώσεις, ο οδηγός θα σας προτείνει να αλλάξετε την απόφαση και στο άλλο μισό των περιπτώσεων - όχι.

Το μισό από τα 2/3 - είναι 1/3, δηλαδή, σε μια περίπτωση, παίρνετε μια κατσίκα σε μια περίπτωση, σε μια περίπτωση τριών, επιλέξτε την λανθασμένη πόρτα και το προβάδισμα θα σας προτείνει να επιλέξετε ένα άλλο, και σε μια περίπτωση τριών ετών Θα επιλέξετε τη σωστή πόρτα, αλλά και πάλι θα προσφέρει ένα άλλο.

Εάν ο παρουσιαστής προτείνει την επιλογή μιας άλλης πόρτας, γνωρίζουμε ήδη ότι αυτή η περίπτωση των τριών, όταν μας δίνει μια κατσίκα και αφήνουμε, δεν συνέβη. Αυτές είναι χρήσιμες πληροφορίες: σημαίνει ότι οι πιθανότητες νίκης μας έχουν αλλάξει. Δύο περιπτώσεις τριών όταν έχουμε την ευκαιρία να επιλέξουμε: σε μια περίπτωση, σημαίνει ότι μαντέψαμε σωστά, αλλά σε άλλο ότι μαντέψαμε το λάθος, οπότε αν είχαμε γενικά την ευκαιρία να επιλέξουμε, σημαίνει ότι η πιθανότητα των κερδών μας είναι ίση με 1/2 και C άποψη των μαθηματικών δεν έχει σημασία, μείνετε με την επιλογή του ή να επιλέξετε άλλη πόρτα.

Όπως το πόκερ, αυτό είναι ένα ψυχολογικό παιχνίδι, όχι μαθηματικό. Γιατί η Monti σας προσέφερε μια επιλογή; Νομίζει ότι είστε διαφορετικοί που δεν ξέρει τι να επιλέξει μια άλλη πόρτα - "η σωστή" λύση και θα κρατήσει πεισματικά την επιλογή σας (μετά από όλα, η ψυχολογικά πιο δύσκολη κατάσταση όταν επιλέξατε ένα αυτοκίνητο, και στη συνέχεια το χάσατε) ;

Ή αποφασίζοντας ότι είστε έξυπνοι και επιλέξτε μια άλλη πόρτα, σας προσφέρει αυτή την ευκαιρία, επειδή γνωρίζετε ότι αρχικά μαντεύετε σωστά και πέστε στο γάντζο; Ή ίσως δεν είναι καλό για τον εαυτό του και σας ωθεί να κάνετε κάτι ευεργετικό για εσάς, επειδή δεν έχει δοθεί στο αυτοκίνητο και οι παραγωγοί λένε ότι το κοινό γίνεται βαρετό, και θα ήταν καλύτερο να δώσετε ένα μεγάλο βραβείο σε αξιολογήσεις πτώση?

Έτσι, η Monti μπορεί μερικές φορές να προσφέρει μια επιλογή και ταυτόχρονα η συνολική πιθανότητα της οχλήσεως παραμένει ίση με το 1/3. Θυμηθείτε ότι η πιθανότητα να χάσετε αμέσως, ίσο με το 1/3. Η πιθανότητα να μαντέψετε αμέσως είναι σωστή είναι η 1/3, και το 50% αυτών των περιπτώσεων θα κερδίσετε (1/3 x 1/2 \u003d 1/6).

Η πιθανότητα να υποθέσετε εσφαλμένα εσφαλμένα, αλλά τότε θα έχετε την ευκαιρία να επιλέξετε μια άλλη πόρτα, ίση με 1/3, και στις μισές από αυτές τις περιπτώσεις θα κερδίσετε (επίσης 1/6). Σύνοψη δύο σκαφών που δεν εξαρτάται από τον άλλον - και θα πάρετε μια πιθανότητα ίση με το 1/3, οπότε δεν έχει σημασία αν θα παραμείνετε όταν επιλέγετε ή επιλέγετε άλλη πόρτα - η συνολική πιθανότητα των κερδών σας σε όλο το παιχνίδι είναι 1/3.

Η πιθανότητα δεν γίνεται μεγαλύτερη από αυτή την κατάσταση, όταν μαντέψατε την πόρτα και ο παρουσιαστής απλά σας έδειξε τι είναι πίσω από αυτό, χωρίς να προτείνει να επιλέξετε ένα άλλο. Η αίσθηση της πρότασης δεν είναι να αλλάξει την πιθανότητα, αλλά να κάνει τη διαδικασία λήψης αποφάσεων πιο συναρπαστική για την τηλεοπτική προβολή.

Παρεμπιπτόντως, αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους το πόκερ μπορεί να είναι τόσο ενδιαφέρον: στις περισσότερες μορφές μεταξύ γύρων, όταν γίνονται ποσοστά (για παράδειγμα, flop, στροφές και ποτάμι στο Texas Hold'em), οι κάρτες ανοίγουν σταδιακά και αν το άνοιγμα των καρτών Έχετε μια πιθανότητα να κερδίσετε στην αρχή του παιχνιδιού, τότε μετά από κάθε γύρο στοιχημάτων, όταν περισσότερες κάρτες είναι ανοιχτές, αυτή η πιθανότητα αλλάζει.

Αγόρι και κορίτσι παράδοξο

Αυτό μας οδηγεί σε ένα άλλο διάσημο παράδοξο, το οποίο, κατά κανόνα, παζλ όλα, είναι ένα παράδοξο αγόρι και κορίτσι. Το μόνο πράγμα για το τι γράφω σήμερα είναι ότι δεν είναι συνδεδεμένο απευθείας με τα παιχνίδια (αν και υποθέτω ότι απλά πρέπει να σας προωθήσω τη δημιουργία κατάλληλων μηχανικών παιχνιδιών). Είναι μάλλον ένα παζλ, αλλά ενδιαφέρον και να το αποφασίσει, πρέπει να καταλάβετε την πιθανότητα υπό όρους για την οποία μιλήσαμε παραπάνω.

Εργασία: Έχω έναν φίλο με δύο παιδιά, τουλάχιστον ένα παιδί από αυτά είναι ένα κορίτσι. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το δεύτερο παιδί είναι επίσης ένα κορίτσι; Ας υποθέσουμε ότι σε οποιαδήποτε οικογένεια οι πιθανότητες γέννησης των κοριτσιών και του αγοριού αποτελούν 50/50, και αυτό ισχύει για κάθε παιδί.

Στην πραγματικότητα, σε σπέρμα μερικούς άνδρες περισσότερο σπερματοζωάρια με ένα χρωμοσόριο Χ-χρωμόσωμα ή Υ-χρωμόσωμα, έτσι αλλάζει ελαφρά. Εάν γνωρίζετε ότι ένα παιδί είναι ένα κορίτσι, η πιθανότητα εμφάνισης του δεύτερου κοριτσιού είναι ελαφρώς υψηλότερη, επιπλέον, υπάρχουν και άλλες συνθήκες, για παράδειγμα, ερμαφρροδιτισμό. Αλλά για να λύσουμε αυτό το έργο, δεν θα το λάβουμε υπόψη και θα υποθέσουμε ότι η γέννηση ενός παιδιού είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός και η γέννηση ενός αγοριού και κοριτσιών είναι εξίσου ακόμη και.

Δεδομένου ότι μιλάμε για την πιθανότητα 1/2, εμποτίζουμε ότι η απάντηση πιθανότατα 1/2 ή 1/4 ή στον παρονομαστή θα υπάρξει κάποιο άλλο αριθμό, πολλαπλά δύο. Αλλά η απάντηση είναι 1/3. Γιατί;

Η πολυπλοκότητα σε αυτή την περίπτωση είναι ότι οι πληροφορίες που έχουμε μειώσει τον αριθμό των χαρακτηριστικών. Ας υποθέσουμε τους γονείς - τους οπαδούς των "Sesame Streets" και ανεξάρτητα από το απαλό των παιδιών τους ονόμασαν Α και Β. Υπό κανονικές συνθήκες, υπάρχουν τέσσερις ισοδύναμες ευκαιρίες: Α και Β - Δύο αγόρια, Α και Β - Δύο κορίτσια, Α - αγόρι, και b - κορίτσι, ένα κορίτσι και b - αγόρι. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα παιδί είναι ένα κορίτσι, μπορούμε να εξαλείψουμε την πιθανότητα ότι τα Α και Β είναι δύο αγόρια. Έτσι, έχουμε τρεις δυνατότητες - εξακολουθούν να είναι ισοδύναμες. Εάν όλες οι δυνατότητες είναι εξίσου ακόμη και τρεις, τότε η πιθανότητα καθενός από αυτά είναι 1/3. Μόνο σε μία από αυτές τις τρεις επιλογές τόσο τα κορίτσια μωρών, έτσι η απάντηση είναι 1/3.

Και πάλι για το παράδοξο ενός αγοριού και κοριτσιών

Η λύση στο πρόβλημα γίνεται ακόμα πιο παράλογο. Φανταστείτε ότι ο φίλος μου έχει δύο παιδιά και ένα από αυτά είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη. Ας υποθέσουμε ότι υπό κανονικές συνθήκες, ένα παιδί με ίσο πιθανότητα μπορεί να γεννηθεί σε κάθε μία από τις επτά ημέρες της εβδομάδας. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το δεύτερο παιδί είναι επίσης ένα κορίτσι;

Μπορεί να νομίζετε ότι η απάντηση θα εξακολουθεί να είναι 1/3: ποια είναι η σημασία της Τρίτης; Αλλά σε αυτή την περίπτωση, η διαίσθηση μας αποτυγχάνει. Η απάντηση είναι 13/27, η οποία δεν είναι απλά δεν είναι διαισθητική, αλλά πολύ περίεργη. Ποιο είναι το θέμα στην περίπτωση αυτή;

Στην πραγματικότητα, η Τρίτη αλλάζει την πιθανότητα, επειδή δεν γνωρίζουμε ποιο παιδί γεννήθηκε την Τρίτη ή, ίσως, και οι δύο γεννήθηκαν την Τρίτη. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την ίδια λογική: θεωρούμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς όταν τουλάχιστον ένα παιδί είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, υποθέστε ότι τα παιδιά είναι όνομα Α και Β. Οι συνδυασμοί μοιάζουν με αυτό:

• Το Α είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, B - αγόρι (υπάρχουν 7 ευκαιρίες σε αυτή την κατάσταση, μία για κάθε ημέρα της εβδομάδας, όταν θα μπορούσε να γεννηθεί ένα αγόρι).
• B Κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη και ένα αγόρι (επίσης 7 δυνατότητες).
• Α - Ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, στην κοπέλα που γεννήθηκε την άλλη ημέρα της εβδομάδας (6 δυνατότητες).
• Στην κοπέλα που γεννήθηκε την Τρίτη και η κοπέλα που γεννήθηκε την Τρίτη (επίσης 6 πιθανότητες).
• Και B - δύο κορίτσια που γεννήθηκαν την Τρίτη (1 ευκαιρία, πρέπει να δώσετε προσοχή σε αυτό να μην υπολογίζετε δύο φορές).

Συνοψίζουμε και παίρνουμε 27 διαφορετικούς συνδυασμούς ισορροπίας της γέννησης των παιδιών και των ημερών με τουλάχιστον μία δυνατότητα κοριτσιών γενεθλίων την Τρίτη. Από αυτές, 13 δυνατότητες όταν γεννιούνται δύο κορίτσια. Φαίνεται επίσης εντελώς παράλογο - φαίνεται ότι αυτό το καθήκον επινοήθηκε μόνο για να προκαλέσει πονοκεφάλους. Εάν εξακολουθείτε να είστε μπερδεμένοι, στην ιστοσελίδα του θεωρητικού παιχνιδιού Jespera Yula, υπάρχει μια καλή εξήγηση για αυτό το ζήτημα.

Εάν εργάζεστε στο παιχνίδι τώρα

Εάν στο παιχνίδι, ο σχεδιασμός του οποίου κάνεις, υπάρχει ένα ατύχημα, είναι ένας εξαιρετικός λόγος να το αναλύσουμε. Επιλέξτε κάποιο στοιχείο που θέλετε να αναλύσετε. Πρώτα ρωτήστε τον εαυτό σας, τι, σύμφωνα με τις προσδοκίες σας, την πιθανότητα για αυτό το στοιχείο, τι θα πρέπει να βρίσκεται στο πλαίσιο του παιχνιδιού.

Για παράδειγμα, αν δημιουργήσετε RPG και σκεφτείτε τι θα πρέπει να είναι η πιθανότητα ότι ο παίκτης θα κερδίσει ένα τέρας στη μάχη, ρωτήστε τον εαυτό σας ποιο ποσοστό των νικών φαίνεται σωστά. Συνήθως, στην περίπτωση των κονσολών RPG, οι παίκτες είναι πολύ απογοητευμένοι στην ήττα, οπότε είναι καλύτερο να χάσουν σπάνια - στο 10% των περιπτώσεων ή λιγότερο. Εάν είστε σχεδιαστής RPG, πιθανότατα γνωρίζετε καλύτερα από μένα, αλλά πρέπει να έχετε μια βασική ιδέα στην οποία πρέπει να είναι η πιθανότητα.

Στη συνέχεια, ρωτήστε τον εαυτό σας αν έχετε πιθανότητες εξαρτώμενη (όπως με κάρτες) ή ανεξάρτητα (όπως με τα οστά παιχνιδιού). Αποσυναρμολογήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα και τις πιθανότητες. Βεβαιωθείτε ότι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι 100%. Και, φυσικά, συγκρίνετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν με τις προσδοκίες σας. Είτε αποδειχθεί για να ρίξει τα οστά παιχνιδιού είτε να αφαιρέσετε τις κάρτες όπως έχετε σκεφτεί, ή μπορεί να φανεί ότι οι τιμές πρέπει να προσαρμοστούν. Και, φυσικά, αν βρείτε τα μειονεκτήματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ίδιους υπολογισμούς για να καθορίσετε πόσο πρέπει να αλλάξουν οι τιμές.

Εργασία στο σπίτι

Η "εργασία σας" αυτή την εβδομάδα θα σας βοηθήσει να ακονίσετε τις δεξιότητες της εργασίας με πιθανότητα. Εδώ είναι δύο παιχνίδια στα ζάρια και το παιχνίδι καρτών που πρέπει να αναλύσετε χρησιμοποιώντας την πιθανότητα, καθώς και τον περίεργο μηχανικό του παιχνιδιού, το οποίο μόλις ανέπτυξα, - στο παράδειγμά του, ελέγχετε τη μέθοδο Monte Carlo.

Παιχνίδι №1 - οστά δράκων

Αυτό είναι ένα παιχνίδι στο κόκκαλο, το οποίο κατά κάποιον τρόπο βρήκαμε με τους συναδέλφους (χάρη στον Jaba Heventsu και τον Jesse King), - ειδικά κάνει τον εγκέφαλο στους ανθρώπους με τις πιθανότητες τους. Αυτό είναι ένα απλό παιχνίδι χαρτοπαικτικών λεσχών που ονομάζεται "οστά δράκων" και αυτός είναι ένας ανταγωνισμός τυχερών παιχνιδιών στο οστό μεταξύ του παίκτη και του ιδρύματος.

Σας δίνεται ένας κανονικός κύβος 1d6. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να πετάξει τον αριθμό περισσότερο από το ίδρυμα. Υπάρχει ένα μη τυποποιημένο 1D6 - το ίδιο όπως έχετε, αλλά σε ένα από τα πρόσωπά τους αντί μιας μονάδας - η εικόνα του δράκου (με αυτόν τον τρόπο, ο Κούβιος κύβος είναι ο δράκος-2-3-4-5-6). Εάν ο χώρος πέσει έξω από το δράκο, κερδίζει αυτόματα, και χάνετε. Αν και οι δύο πέφτουν τον ίδιο αριθμό είναι μια κλήρωση και ρίχνετε ξανά τα οστά. Κερδίζει εκείνη που θα πετάξει περισσότερα.

Φυσικά, όλα δεν είναι αρκετά υπέρ του παίκτη, επειδή το καζίνο έχει ένα πλεονέκτημα με τη μορφή της άκρης του δράκου. Αλλά είναι αλήθεια; Αυτό είναι και θα υπολογιστεί. Αλλά πρώτα ελέγχετε τη διαίσθησή σας.

Ας υποθέσουμε ότι τα κέρδη είναι 2 έως 1. Με αυτόν τον τρόπο, αν κερδίσετε, διατηρείτε την προσφορά σας και να το πάρετε ένα διπλασιασμένο ποσό. Για παράδειγμα, αν βάζετε 1 δολάριο και κερδίστε - διατηρείτε αυτό το δολάριο και κερδίσετε 2 επιπλέον κορυφές, συνολικά 3 δολάρια. Εάν χάσετε - χάνετε μόνο το στοίχημά σας. Θα παίζεις; Αισθάνεστε διαισθητικό ότι η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από 2 έως 1, ή ακόμα πιστεύει ότι λιγότερο; Με άλλα λόγια, κατά μέσο όρο για 3 παιχνίδια, περιμένετε να κερδίσετε περισσότερες από μία φορές ή λιγότερο ή μία;

Μόλις υπολογίσαμε τη διαίσθηση, εφαρμόστε τα μαθηματικά. Και για τα δύο παιχνίδια, υπάρχουν μόνο 36 πιθανές διατάξεις, έτσι ώστε να μπορείτε εύκολα να τα υπολογίσετε όλα. Εάν δεν είστε σίγουροι για αυτή την πρόταση "2 έως 1", σκεφτείτε τι: Ας υποθέσουμε ότι έπαιξε ένα παιχνίδι 36 φορές (κάθε φορά, ρυθμίζοντας 1 δολάριο). Λόγω κάθε νίκης παίρνετε 2 δολάρια, λόγω της απώλειας χάσει 1, και να σχεδιάσετε τίποτα αλλαγές. Υπολογίστε όλα τα πιθανά κέρδη και την απώλεια και αποφασίστε αν θα χάσετε κάποια ποσότητα δολαρίων ή να αποκτήσετε. Στη συνέχεια, ρωτήστε τον εαυτό σας πώς αποδείχθηκε η διαίσθησή σας. Και στη συνέχεια να συνειδητοποιήσω τι είμαι ο κακοποιός.

Και, ναι, αν έχετε ήδη σκεφτεί για αυτό το ζήτημα - χτυπάω σκόπιμα σε σας, στρεβλώνοντας την πραγματική μηχανική των παιχνιδιών στο οστό, αλλά σίγουρα μπορείτε να ξεπεράσετε αυτό το εμπόδιο, απλά να σκεφτείτε καλά. Προσπαθήστε να λύσετε αυτόν τον εαυτό σας.

Αριθμός παιχνιδιού 2 - Ρίξτε για τύχη

Αυτό είναι ένα ζαχαροκάλαμο, ο οποίος ονομάζεται "ρίψη για τύχη" (επίσης "κελί πουλιών", επειδή μερικές φορές δεν ρίχνονται τα οστά, αλλά τοποθετούνται σε ένα μεγάλο κύτταρο σύρματος, θυμίζοντας το κελί από το bingo. Το παιχνίδι είναι απλό, η ουσία έρχεται κάτω για το τι: βάλτε, πείτε, 1 δολάριο είναι ένα από τα 1 έως 6. Στη συνέχεια, ρίχνετε 3D6. Για κάθε κόκαλο στο οποίο πέφτει ο αριθμός σας, παίρνετε 1 δολάριο (και αποθηκεύστε το αρχικό σας στοίχημα). Εάν ούτε σε ένα οστό δεν πέσει έξω, το καζίνο λαμβάνει το δολάριο σας και δεν είστε τίποτα. Έτσι, εάν βάζετε 1 και η μονάδα στις άκρες πέφτει τρεις φορές, παίρνετε 3 δολάρια.

Φαίνεται διαισθητικά να είναι ίσες πιθανότητες σε αυτό το παιχνίδι. Κάθε κόκκαλο είναι μια ατομική ευκαιρία να κερδίσει μπροστά από το 6, έτσι στο άθροισμα των τριών ρίχνει την ευκαιρία να κερδίσετε είναι ίσο με 3 έως 6. Ωστόσο, φυσικά, θυμηθείτε ότι ευθυγραμμίζετε τρία ξεχωριστά οστά και σας επιτρέπεται Προσθέστε μόνο αν μας επιτρέψουμε να μιλάμε για μεμονωμένους συνδυασμούς νίκης του ίδιου οστού. Κάτι που πρέπει να πολλαπλασιάσετε.

Μόλις υπολογίσετε όλα τα πιθανά αποτελέσματα (πιθανώς θα είναι ευκολότερο να κάνετε στο Excel από το χέρι σας, εξαιτίας τους 216), το παιχνίδι με την πρώτη ματιά εξακολουθεί να φαίνεται ακόμα πιο περίεργη. Στην πραγματικότητα, το καζίνο εξακολουθεί να έχει περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει - πόσο περισσότερα; Συγκεκριμένα, πόσο μέσος όρος υπολογίζετε να χάσετε χρήματα για κάθε γύρο του παιχνιδιού;

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να συνοψίσουμε τα κέρδη και να χάσετε και τα 216 αποτελέσματα και στη συνέχεια χωρίζεται σε 216, το οποίο πρέπει να είναι αρκετά απλό. Αλλά, όπως μπορείτε να δείτε, εδώ μπορείτε να μπείτε σε μερικές παγίδες, γι 'αυτό λέω: αν σας φαίνεται ότι σε αυτό το παιχνίδι υπάρχουν ίσες πιθανότητες νίκης, όλοι παρεξηγημένοι.

Αριθμός παιχνιδιού 3 - 5-Card Stud Poker

Εάν έχετε ήδη βυθιστεί σε προηγούμενα παιχνίδια, ας ελέγξουμε ότι γνωρίζουμε την πιθανότητα υπό όρους, στο παράδειγμα αυτού του παιχνιδιού καρτών. Ας φανταστούμε το πόκερ με ένα κατάστρωμα σε 52 κάρτες. Ας φανταστούμε επίσης ένα stud 5 καρτών, όπου κάθε παίκτης λαμβάνει μόνο 5 κάρτες. Δεν μπορείτε να επαναφέρετε την κάρτα, δεν μπορείτε να τραβήξετε ένα νέο, χωρίς κοινό κατάστρωμα - παίρνετε μόνο 5 κάρτες.

Το Royal Flash είναι 10-J-K-A-A σε ένα συνδυασμό, όλα αυτά είναι τέσσερα, επομένως, υπάρχουν τέσσερις πιθανοί τρόποι για να πάρετε ένα φλας Roy. Υπολογίστε την πιθανότητα να πέσει ένας τέτοιος συνδυασμός.

Πρέπει να σας προειδοποιήσω για ένα πράγμα: να θυμάστε ότι μπορείτε να τραβήξετε αυτές τις πέντε κάρτες με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, μπορείτε πρώτα να τραβήξετε το άσσο, ή τα δέκα κορυφαία, δεν έχει σημασία. Έτσι, διεξαγάγετε τους υπολογισμούς, να έχετε κατά νου ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν περισσότεροι από τέσσερις τρόποι για να πάρετε το Royal Flash, υποθέτοντας ότι οι κάρτες εκδόθηκαν με τη σειρά.

Αριθμός παιχνιδιού 4 - Λοταρία ΔΝΤ

Το τέταρτο έργο δεν θα λειτουργήσει τόσο εύκολο στην επίλυση των μεθόδων που μιλήσαμε σήμερα, αλλά μπορείτε εύκολα να προσομοιώσετε την κατάσταση χρησιμοποιώντας τον προγραμματισμό ή το Excel. Είναι στο παράδειγμα αυτού του στόχου ότι μπορείτε να επεξεργαστείτε τη μέθοδο Monte Carlo.

Έχω ήδη αναφέρει το παιχνίδι Chron X, πάνω από το οποίο εργάστηκα κάποτε, και υπήρχε ένας πολύ ενδιαφέροντος χάρτης - λαχειοφόρος ΔΝΤ. Έτσι λειτούργησε: το χρησιμοποίησες στο παιχνίδι. Αφού ολοκληρωθεί ο γύρος, οι κάρτες αναδιανεμήθηκαν και ήταν η πιθανότητα 10% ότι η κάρτα θα βγει από το παιχνίδι και ότι ο τυχαίος παίκτης θα λάβει 5 μονάδες κάθε τύπου πόρων, το τσιπ που ήταν παρόν σε αυτόν τον χάρτη . Η κάρτα εισήχθη στο παιχνίδι χωρίς ένα τσιπ, αλλά κάθε φορά, μείνετε στο παιχνίδι στην αρχή του επόμενου γύρου, έλαβε ένα τσιπ.

Έτσι, υπήρξε μια πιθανότητα 10% ότι το εισάγετε στο παιχνίδι, ο γύρος θα τελειώσει, η κάρτα θα αφήσει το παιχνίδι και κανείς δεν θα πάρει τίποτα. Εάν αυτό δεν συμβεί (με πιθανότητα 90%), εμφανίζεται πιθανότητα 10% (στην πραγματικότητα 9%, δεδομένου ότι είναι 10% 90%) ότι στον επόμενο γύρο θα εγκαταλείψει το παιχνίδι και κάποιος θα λάβει 5 μονάδες των πόρων. Εάν η κάρτα εγκαταλείψει το παιχνίδι μέσω ενός γύρου (10% του διαθέσιμου 81%, έτσι ώστε η πιθανότητα να είναι 8,1%), κάποιος θα λάβει 10 μονάδες, ακόμη και μέσω του γύρου - 15, περισσότεροι και ούτω καθεξής. Ερώτηση: Ποια είναι η αναμενόμενη αξία του αριθμού των πόρων που παίρνετε από αυτήν την κάρτα όταν τελικά αφήνει το παιχνίδι;

Συνήθως προσπαθήσαμε να λύσουμε αυτό το έργο, να υπολογίσουμε τη δυνατότητα κάθε αποτελέσματος και να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό όλων των αποτελεσμάτων. Υπάρχει πιθανότητα 10% που παίρνετε 0 (0,1 * 0 \u003d 0). 9% που λαμβάνετε 5 μονάδες πόρων (9% * 5 \u003d 0,45 πόροι). 8,1% του τι παίρνετε 10 (8,1% * 10 \u003d 0,81 πόροι - γενικά, αναμενόμενη τιμή). Και τα λοιπά. Και τότε θα το συνιστούσαμε.

Και τώρα είστε προφανές στο πρόβλημα: υπάρχει πάντα μια πιθανότητα ότι η κάρτα δεν θα αφήσει το παιχνίδι, μπορεί να μείνει στο παιχνίδι για πάντα, στον άπειρο αριθμό γύρων, έτσι ώστε να μην υπάρχει δυνατότητα να υπολογιστεί καμία πιθανότητα. Οι μέθοδοι που μελετήθηκαν σήμερα δεν μας δίνουν την ευκαιρία να υπολογίσουμε μια άπειρη επανάληψη, οπότε θα πρέπει να το δημιουργήσουμε τεχνητά.

Εάν είστε πολύ έμπειροι στον προγραμματισμό, γράψτε ένα πρόγραμμα που θα προσομοιώσει αυτή την κάρτα. Πρέπει να έχετε έναν χρονικό βρόχο, το οποίο δίνει μια μεταβλητή στην αρχική θέση του μηδέν, δείχνει έναν τυχαίο αριθμό και με μεταβλητή πιθανότητας 10% βγει από το βρόχο. Στην αντίθετη περίπτωση, προσθέτει στη μεταβλητή 5, και ο κύκλος επαναλαμβάνεται. Όταν τελειώσει τελικά από το βρόχο, αυξήστε τον συνολικό αριθμό της δοκιμής αρχίζει στο 1 και ο συνολικός αριθμός των πόρων (όσο εξαρτάται από την τιμή που έχει σταματήσει η μεταβλητή). Στη συνέχεια, επαναφέρετε τη μεταβλητή και ξεκινήστε ξανά.

Εκτελέστε το πρόγραμμα μερικές χιλιάδες φορές. Στο τέλος, διαιρέστε το συνολικό ποσό των πόρων στον συνολικό αριθμό των διαδρομών είναι και θα είναι η αναμενόμενη αξία της μεθόδου Monte Carlo. Εκτελέστε το πρόγραμμα αρκετές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λάβατε είναι περίπου το ίδιο. Εάν η διασπορά είναι ακόμα μεγάλη, αυξήστε τον αριθμό των επαναλήψεων στον εξωτερικό βρόχο μέχρι να αρχίσετε να λαμβάνετε τη συμμόρφωση. Μπορείτε να είστε σίγουροι: Οποιοσδήποτε αριθμός που τελικά παίρνετε, θα είναι περίπου αλήθεια.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τον προγραμματισμό (αν και ακόμη και αν γνωρίζετε), εδώ έχετε μια μικρή άσκηση για τον έλεγχο των δεξιοτήτων της εργασίας με το Excel. Εάν είστε geimidizer, αυτές οι δεξιότητες δεν θα είναι ποτέ περιττές.

Τώρα θα είστε πολύ χρήσιμοι για λειτουργίες αν και rand. Το RAND δεν απαιτεί τιμές, δίνει μόνο έναν τυχαίο δεκαδικό αριθμό από το 0 έως το 1. Συνήθως το συνδυάζουμε με το πάτωμα και τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα για να προσομοιώσουν τη ρίψη του οστού, την οποία ήδη ανέφερα νωρίτερα. Ωστόσο, στην περίπτωση αυτή, αφήνουμε μόνο μια πιθανότητα 10% ότι η κάρτα αφήνει το παιχνίδι, έτσι ώστε να μπορούμε απλώς να ελέγξουμε αν η αξία του rand είναι μικρότερη από 0,1, και δεν βαθμολογείται πλέον στον εαυτό τους αυτό το κεφάλι.

Αν έχει τρεις έννοιες. Προκειμένου: μια κατάσταση που είναι είτε αληθής, είτε όχι, τότε η τιμή που επιστρέφει εάν η κατάσταση είναι αληθής και η τιμή που επιστρέφει εάν η κατάσταση είναι εσφαλμένη. Έτσι, η ακόλουθη συνάρτηση θα επιστρέψει το 5% του χρόνου και το 0 που παραμένει το 90% του χρόνου: \u003d Αν (Rand ()<0.1,5,0) .

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να δημιουργήσετε αυτήν την εντολή, αλλά θα χρησιμοποιούσα ένα τέτοιο κελί που αντιπροσωπεύει τον πρώτο γύρο, λέει, αυτό είναι ένα κύτταρο Α1: \u003d Αν (Rand ()<0.1,0,-1) .

Εδώ χρησιμοποιώ μια αρνητική μεταβλητή κατά την έννοια "Αυτή η κάρτα δεν άφησε το παιχνίδι και δεν έδωσε ακόμα πόρους." Οπότε αν ο πρώτος γύρος τελείωσε και ο χάρτης άφησε το παιχνίδι, το A1 είναι 0, Στην αντίθετη περίπτωση είναι -1.

Για το επόμενο κύτταρο που αντιπροσωπεύει το δεύτερο γύρο: \u003d Αν (A1\u003e -1, A1, εάν (Rand ()<0.1,5,-1)) . Έτσι, αν ο πρώτος γύρος τελείωσε και η κάρτα αμέσως άφησε το παιχνίδι, το A1 είναι 0 (ο αριθμός των πόρων) και αυτό το κελί απλά αντιγράφει αυτή την τιμή. Στην αντίθετη περίπτωση, το A1 είναι -1 (η κάρτα δεν έχει ακόμη εγκαταλείψει το παιχνίδι) και αυτό το κελί συνεχίζει μια τυχαία κίνηση: το 10% του χρόνου θα επιστρέψει 5 μονάδες πόρων, κατά τη διάρκεια της υπόλοιπης τιμής του θα είναι εξακολουθεί να είναι ίσο με -1. Εάν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο σε πρόσθετα κελιά, θα λάβουμε πρόσθετους γύρους και, ανεξάρτητα από το κελί να πέσει στο τέλος, θα λάβετε το τελικό αποτέλεσμα (ή -1, αν ο χάρτης δεν άφησε ποτέ το παιχνίδι μετά από όλα τα γύρους σας έπαιξε).

Πάρτε αυτό το εύρος των κυττάρων, το οποίο είναι ο μόνος γύρος με αυτή την κάρτα και αντιγράψτε και επικολλήστε αρκετές εκατοντάδες (ή χιλιάδες) σειρές. Ίσως δεν μπορούμε να κάνουμε μια ατελείωτη εξέταση για το Excel (υπάρχει ένας περιορισμένος αριθμός κελιών στον πίνακα), αλλά τουλάχιστον μπορούμε να εξετάσουμε τις περισσότερες περιπτώσεις. Στη συνέχεια, επιλέξτε ένα κελί στο οποίο τοποθετείτε τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων όλων των γύρων - Το Excel παρέχει ευγενικά αυτή τη μέση λειτουργία ().

Στα Windows, τουλάχιστον μπορείτε να πατήσετε το πλήκτρο F9 για να υπολογίσετε ξανά όλους τους τυχαίους αριθμούς. Όπως και πριν, το κάνετε αρκετές φορές και δείτε αν έχετε τις ίδιες τιμές. Εάν η διασπορά είναι πολύ μεγάλη, διπλάτε τον αριθμό των διαδρομών και δοκιμάστε ξανά.

Ανεπίλυτες εργασίες

Εάν έχετε κατά λάθος έναν επιστημονικό βαθμό στον τομέα της θεωρίας πιθανοτήτων και τα παραπάνω καθήκοντα φαίνονται πολύ εύκολα - εδώ είναι δύο εργασίες πάνω από τα οποία σπάω το κεφάλι για χρόνια, αλλά, δυστυχώς, δεν είμαι τόσο καλός στα μαθηματικά για να τα λύσω.

Ανεπαρκής εργασία # 1: Λοταρία ΔΝΤ

Η πρώτη μη συνδρομή είναι η προηγούμενη εργασία στο σπίτι. Μπορώ εύκολα να εφαρμόσω τη μέθοδο Monte Carlo (χρησιμοποιώντας C ++ ή Excel) και θα είμαι σίγουρος για την απάντηση "Πόσοι πόροι θα λάβουν έναν παίκτη", αλλά δεν ξέρω ακριβώς πώς να παράσχουμε μια ακριβή αποδεδειγμένη απάντηση μαθηματικά ( Αυτή είναι η απεριόριστη σειρά).

Ανεπιβεβαίωσε τον αριθμό της εργασίας 2: Ακολουθία των αριθμών

Αυτή η εργασία (επίσης υπερβαίνει τα καθήκοντα που λυθούν σε αυτό το blog) έριξα έναν γνωστό gamer πριν από δέκα χρόνια. Κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού στο Μπλάκτζακ στο Βέγκας, παρατήρησε ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό: αφαίρεση καρτών από το παπούτσι σε 8 καταστρώματα, είδε δέκα στοιχεία στη σειρά (σχήμα ή σγουρή κάρτα - 10, τζόκερ, βασιλιά ή βασίλισσα, έτσι ώστε να είναι μόνο 16 Στο τυπικό κατάστρωμα σε 52 χάρτες ή 128 στο παπούτσι για 416 κάρτες).

Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε αυτό το παπούτσι τουλάχιστον μία ακολουθία δέκα ή περισσότερων αριθμών; Ας υποθέσουμε ότι ήταν ειλικρινείς, με τυχαία σειρά. Ή, αν σας αρέσει περισσότερο, ποια είναι η πιθανότητα πουθενά η ακολουθία των δέκα ή περισσότερων αριθμών;

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εργασία. Εδώ είναι μια ακολουθία 416 μερών. Κάθε τμήμα είναι 0 ή 1. Υπάρχουν 128 μονάδες και 288 μηδενικά, τυχαία διάσπαρτα σε όλη την αλληλουχία. Πόσοι τρόποι υπάρχουν τρόποι διακοπής 128 μονάδων 288 μηδενικά και πόσες φορές σε αυτές τις μεθόδους θα συναντηθούν τουλάχιστον μία ομάδα δέκα ή περισσότερες μονάδες;

Κάθε φορά που ήρθα για την επίλυση αυτού του έργου, φαινόταν εύκολο για μένα και προφανές, αλλά αξίζει να χαρώ στις λεπτομέρειες, καθώς ξαφνικά κοίταξε γύρω και ήταν απλά αδύνατο.

Επομένως, μην βιαστείτε να τροφοδοτήσετε την απάντηση: Καθίστε καλά, σκεφτείτε, εξετάστε τις συνθήκες, προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τους πραγματικούς αριθμούς, επειδή όλοι οι άνθρωποι που μίλησαν για αυτό το έργο (συμπεριλαμβανομένων πολλών μεταπτυχιακών φοιτητών που εργάζονται σε αυτόν τον τομέα) αντέδρασαν περίπου το ίδιο: " Αυτό είναι απολύτως προφανές ... Ω, όχι, περιμένετε, όχι καθόλου προφανές ". Αυτό συμβαίνει όταν δεν έχω μια μέθοδο για τον υπολογισμό όλων των επιλογών. Σίγουρα θα μπορούσα να είχα προκαλέσει το πρόβλημα από τους Brutfors μέσω ενός αλγορίθμου υπολογιστή, αλλά θα ήταν πολύ πιο ενδιαφέρον να γνωρίζουμε τη μαθηματική λύση.

Πιθανότητα Τα γεγονότα ονομάζονται αναλογία του αριθμού των στοιχειωδών αποτελεσμάτων, που ευνοούν αυτό το γεγονός, στον αριθμό των αποτελεσμάτων ισορροπίας της εμπειρίας κατά την οποία μπορεί να εμφανιστεί αυτό το συμβάν. Η πιθανότητα συμβάντων Α δηλώνεται με P (A) (εδώ p είναι το πρώτο γράμμα της γαλλικής λέξης πιθανοτήτων). Σύμφωνα με τον ορισμό
(1.2.1)
όπου - ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων, που ευνοεί τα γεγονότα Α · - Ο αριθμός όλων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της ισορροπίας της εμπειρίας που αποτελεί μια πλήρη ομάδα συμβάντων.
Αυτός ο ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται κλασικός. Προέρχεται από το αρχικό στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας πιθανοτήτων.

Η πιθανότητα του συμβάντος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Η πιθανότητα ενός αξιόπιστου συμβάντος είναι ίσος με ένα. Υποδηλώνουν μια αξιόπιστη επιστολή εκδήλωσης. Για ένα αξιόπιστο γεγονός, έτσι
(1.2.2)
2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι μηδέν. Υποδηλώνουν την αδύνατη επιστολή συμβάντων. Για το αδύνατο συμβάν, έτσι
(1.2.3)
3. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος εκφράζεται από έναν θετικό αριθμό, λιγότερες μονάδες. Δεδομένου ότι οι ανισότητες εκτελούνται για ένα τυχαίο γεγονός, ή
(1.2.4)
4. Η πιθανότητα οποιουδήποτε συμβάντος ικανοποιεί τις ανισότητες
(1.2.5)
Αυτό προκύπτει από τις σχέσεις (1.2.2) - (1.2.4).

Παράδειγμα 1. Στο URN 10 το ίδιο μέγεθος και το βάρος των μπάλες, εκ των οποίων τα 4 είναι κόκκινα και 6 μπλε. Μια μπάλα εξάγεται από την ουρά. Ποια είναι η πιθανότητα η κατάργηση της μπάλας να είναι μπλε;

Απόφαση. Το γεγονός "που εξάγεται μπάλα αποδείχθηκε ότι είναι μπλε" υποδηλώνει με το γράμμα Α. Αυτή η δοκιμή έχει 10 στοιχειώδη αποτελέσματα της ισοδυναμίας, εκ των οποίων 6 ευνοεί το συμβάν Α. Σύμφωνα με τον τύπο (1.2.1)

Παράδειγμα 2. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί από 1 έως 30 καταγράφονται στις ίδιες κάρτες και τοποθετούνται στο URN. Μετά από προσεκτική ανάμιξη καρτών από την URN, εξάγεται μία κάρτα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αριθμός στην κάρτα λήψης θα είναι πολλαπλάσια 5;

Απόφαση. Δηλώστε από το συμβάν "Αριθμός σε μια ζωγραφισμένη κάρτα με πολλαπλά 5". Σε αυτή τη δοκιμή, υπάρχουν 30 ίσα στοιχειώδη αποτελέσματα, εκ των οποίων η εκδήλωση είναι ευνοεί 6 αποτελέσματα (αριθμοί 5, 10, 15, 20, 25, 30). Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 3. Δύο κύβοι αναπαραγωγής ρίχνονται επάνω, υπολογίζεται η ποσότητα σημείων στις άνω άκρες. Βρείτε την πιθανότητα των γεγονότων στο γεγονός ότι θα υπάρχουν 9 σημεία στις άνω άκρες των κύβων στο ποσό.

Απόφαση. Σε αυτή τη δοκιμή, μόνο 6 2 \u003d 36 ίσα στοιχειώδη αποτελέσματα. Εκδηλώσεις ευνοούνται από 4 αποτελέσματα: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), επομένως

Παράδειγμα 4.. Επιλέγεται φυσικός αριθμός, που δεν υπερβαίνει το 10. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αριθμός αυτός είναι απλός;

Απόφαση. Δηλώνουν την επιστολή με την εκδήλωση "Ο επιλεγμένος αριθμός είναι απλός." Στην περίπτωση αυτή, n \u003d 10, m \u003d 4 (απλούς αριθμούς 2, 3, 5, 7). Κατά συνέπεια, η επιθυμητή πιθανότητα

Παράδειγμα 5. Δύο συμμετρικά νομίσματα ρίχνονται επάνω. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα αριθμητικά στοιχεία αποδείχθηκαν στις πάνω πλευρές και των δύο νομισμάτων;

Απόφαση. Δηλώνουν το συμβάν γράμματος D "το σχήμα ήταν στην πάνω πλευρά κάθε νομίσματος." Σε αυτή τη δοκιμή, 4 ίση στοιχειώδη αποτελέσματα: (g, δ), (g, η), (c, g), (c, c). (Η εγγραφή (G, C) σημαίνει ότι στο πρώτο νόμισμα το κέρμα είναι το οικόσημο, στον δεύτερο αριθμό). Η εκδήλωση D ευνοεί ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα (C, C). Δεδομένου m \u003d 1, n \u003d 4, τότε

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Ποια είναι η πιθανότητα ότι οι αριθμοί που επιλέγονται διψήφιος αριθμός είναι οι ίδιοι;

Απόφαση. Οι διψήφιοι αριθμοί είναι αριθμοί από 10 έως 99. Συνολικοί αριθμοί 90. Οι ίδιοι αριθμοί έχουν 9 αριθμούς (αυτοί είναι αριθμοί 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Δεδομένου ότι στην περίπτωση αυτή m \u003d 9, n \u003d 90, τότε
,
όπου και είναι ένας "αριθμός με τους ίδιους αριθμούς".

Παράδειγμα 7. Από λέξεις γραμμάτων διαφορικός Τυχαία επιλέγεται ένα γράμμα. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι αυτή η επιστολή: α) φωνήεν, β) σύμφωνη, γ) επιστολή ΝΤΟ.?

Απόφαση. Στη λέξη Dfferentantantual 12 γράμματα, εκ των οποίων 5 φωνήεντα και 7 συφωνία. Γράμματα ΝΤΟ. Δεν υπάρχει καμία λέξη σε αυτή τη λέξη. Δηλώνει γεγονότα: Α - "Γράμμα φωνήεν", σε - "Συνολική επιστολή", με - "επιστολή ΝΤΟ."Ο αριθμός των ευνοημένων στοιχειωδών αποτελεσμάτων: -Για γεγονότα Α, - για το συμβάν Β, - για το συμβάν C. Δεδομένου ότι n \u003d 12, τότε
, και.

Παράδειγμα 8. Δύο κύβοι αναπαραγωγής ρίχνουν, σημειώνεται ο αριθμός των σημείων στην κορυφή κάθε κύβου. Βρείτε την πιθανότητα και των δύο κύβων να μειώσουν τον ίδιο αριθμό σημείων.

Απόφαση. Δηλώνει αυτή την εκδήλωση από το γράμμα Α. Evtyo ένα ευνοϊκό 6 στοιχειώδες αποτέλεσμα: (1;]), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (6, 5) . Συνολικά ίσα στοιχειώδη αποτελέσματα που αποτελούν μια πλήρη ομάδα συμβάντων, στην περίπτωση αυτή n \u003d 6 2 \u003d 36. Σημαίνει την επιθυμητή πιθανότητα

Παράδειγμα 9. Στο βιβλίο των 300 σελίδων. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η ανοιχτή σελίδα θα έχει έναν αριθμό ακολουθίας, πολλαπλά 5;

Απόφαση. Από την κατάσταση του προβλήματος, ακολουθεί ότι όλα τα ίση στοιχειώδη αποτελέσματα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα συμβάντων θα είναι n \u003d 300. από αυτά, m \u003d 60 ευνοεί την έναρξη του καθορισμένου συμβάντος. Πράγματι, ο αριθμός, πολλαπλά 5, έχει την εμφάνιση 5k, όπου το k είναι ένας αριθμός, και όπου, πού, . Ως εκ τούτου,
όπου ένα "συμβάν" σελίδα "έχει έναν αριθμό ακολουθίας, πολλαπλά 5".

Παράδειγμα 10.. Δύο κύβοι αναπαραγωγής ρίχνονται επάνω, υπολογίζεται η ποσότητα σημείων στις άνω άκρες. Τι είναι πιο πιθανό να φτάσει στο ποσό των 7 ή 8;

Απόφαση. Δηλώστε τα γεγονότα: Α - "Έπεσε 7 πόντους", σε - "έπεσε 8 πόντους". Εκδηλώσεις Α 6 στοιχειώδη αποτελέσματα ευνοεί: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) και το συμβάν σε 5 αποτελέσματα: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα ισορροπίας n \u003d 6 2 \u003d 36. Έτσι και.

Έτσι, το P (A)\u003e P (B), δηλαδή, φτάστε στο ποσό των 7 βαθμών - ένα πιο πιθανό γεγονός από το να πάρετε 8 πόντους στο ποσό.

Καθήκοντα

1. Ο φυσικός αριθμός επιλέγεται, που δεν υπερβαίνει τα 30. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλά 3;
2. Στο URN ΕΝΑ. Κόκκινο Ι. ΣΙ. Μπλε μπάλες ίσο σε μέγεθος και βάρος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η άκρη μιας εξαγόμενης μπάλας από αυτή την ουρά θα είναι μπλε;
3. Το μυαλό · Επιλέξατε έναν αριθμό που δεν υπερβαίνει τις 30. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αριθμός αυτός είναι ένας διαιρέτης του ZO;
4. Στο URN αλλά Μπλε Ι. ΣΙ. Κόκκινες μπάλες ίσες σε μέγεθος και βάρος. Από αυτή την ουρά αφαιρέστε μια μπάλα και βρισκόταν στην άκρη. Αυτή η μπάλα ήταν κόκκινη. Μετά από αυτό, οι μπάλες κάνουν μια άλλη μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα ότι η δεύτερη μπάλα είναι επίσης κόκκινη.
5. Μια προσπάθεια επιλέγεται από έναν αριθμό εξασθένησης που δεν είναι ανώτερο από 50. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αριθμός αυτός είναι απλός;
6. Τρεις κύβοι αναπαραγωγής ρίχνονται επάνω, υπολογίζεται η ποσότητα των σημείων στις άνω άκρες. Τι είναι πιο πιθανό να φτάσει στο ποσό των 9 ή 10 βαθμών;
7. Τρεις κύβοι αναπαραγωγής ρίχνονται επάνω, υπολογίζεται η ποσότητα των λαμπερό σημεία. Τι είναι πιο πιθανό να φτάσει στο ποσό των 11 (συμβάν Α) ή 12 βαθμοί (συμβάν Β);

Απαντήσεις

1. 1/3. 2 . ΣΙ./(ΕΝΑ.+ΣΙ.). 3 . 0,2. 4 . (ΣΙ.-1)/(ΕΝΑ.+ΣΙ.-1). 5 .0,3.6 . P 1 \u003d 25/216 - την πιθανότητα απόκτησης ύψους 9 μονάδων. P 2 \u003d 27/216 - την πιθανότητα απόκτησης ύψους 10 μονάδων. P 2\u003e P 1 7 . P (a) \u003d 27/216, P (C) \u003d 25/216, P (A)\u003e P (b).

Ερωτήματα

1. Τι αποκαλείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος;
2. Ποια είναι η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος;
3. Ποια είναι η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος;
4. Σε ποια όρια είναι η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος;
5. Σε ποια όρια είναι η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος;
6. Ποιος είναι ο ορισμός της πιθανότητας που ονομάζεται Classic;

Μας αρέσει ή όχι, αλλά η ζωή μας είναι γεμάτη από όλα τα είδη ατυχημάτων, τόσο ευχάριστα και όχι πολύ. Ως εκ τούτου, ο καθένας από εμάς δεν θα βλάψει να μάθει πώς να βρει την πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος. Αυτό θα βοηθήσει στην πραγματοποίηση πιστών λύσεων υπό οποιεσδήποτε συνθήκες που σχετίζονται με αβεβαιότητα. Για παράδειγμα, τέτοιες γνώσεις θα είναι αρκετά από τον τρόπο κατά την επιλογή των επενδυτικών επιλογών, αξιολογώντας τη δυνατότητα νίκης σε απόθεμα ή λαχειοφόρου αγοράς, καθορίζοντας την πραγματικότητα της επίτευξης των προσωπικών στόχων κλπ. Και έτσι η παράγραφος.

Ο τύπος της θεωρίας της πιθανότητας

Κατ 'αρχήν, η μελέτη αυτού του θέματος δεν χρειάζεται πάρα πολύ χρόνο. Για να λάβετε μια απάντηση στην ερώτηση: "Πώς να βρείτε την πιθανότητα οποιουδήποτε φαινομένου;", είναι απαραίτητο να αντιμετωπίσετε βασικές έννοιες και να θυμάστε τις βασικές αρχές στις οποίες βασίζεται ο υπολογισμός. Έτσι, σύμφωνα με τα στατιστικά στοιχεία, τα ερευνητικά γεγονότα υποδεικνύονται από το A1, A2, ..., ένα. Κάθε ένας από αυτούς έχει ευνοούμενα αποτελέσματα (m) και τον συνολικό αριθμό των στοιχειωδών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, μας ενδιαφέρει ο τρόπος να βρούμε την πιθανότητα ότι ένας ομοιόμορφος αριθμός σημείων θα βρίσκεται στην κορυφή του κύβου. Στη συνέχεια, το A είναι μια ρίψη m - απώλεια 2, 4 ή 6 μονάδων (τρεις ευνοϊκές επιλογές) και η n είναι έξι πιθανές επιλογές.

Ο ίδιος ο τύπος υπολογισμού έχει ως εξής:

Ένα αποτέλεσμα είναι εξαιρετικά εύκολο. Αλλά πώς να βρείτε μια ευκαιρία αν τα γεγονότα πάνε τα ένα μετά το άλλο; Σκεφτείτε ένα τέτοιο παράδειγμα: μία κάρτα εμφανίζεται από το κατάστρωμα της κάρτας (36 τεμ.), Τότε κρύβεται ξανά σε ένα κατάστρωμα και το επόμενο είναι απομακρυνόμενο μετά από ανάδευση. Πώς να βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον σε μια περίπτωση τραβήχτηκε από μια κορυφή κυρίας; Υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: Εάν εξεταστεί ένα πολύπλοκο συμβάν, το οποίο μπορεί να χωριστεί σε διάφορα ασυμβίβαστα απλά γεγονότα, μπορείτε πρώτα να υπολογίσετε το αποτέλεσμα για κάθε ένα από αυτά και, στη συνέχεια, διπλώστε τα μαζί. Στην περίπτωσή μας, θα μοιάζει με αυτό: 1/36 + 1/36 \u003d 1/18. Αλλά τι γίνεται όταν συμβαίνει κάπως ταυτόχρονα; Στη συνέχεια, τα αποτελέσματα πολλαπλασιάζονται! Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι με ταυτόχρονη πετώντας ταυτόχρονα δύο νομίσματα θα πέσει δύο ποτάμια, θα είναι ίση με: ½ * ½ \u003d 0,25.

Τώρα πάρτε ένα ακόμα πιο περίπλοκο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ήρθαμε στην κλήρωση βιβλίου, στην οποία τα εισιτήρια δέκα εισιτηρίων είναι πλεονεκτικά. Απαιτείται να προσδιορίσει:

1. Την πιθανότητα ότι και οι δύο θα είναι επωφελείς.
2. Τουλάχιστον ένας από αυτούς θα φέρει ένα βραβείο.
3. Και οι δύο θα χάσουν.

Έτσι, εξετάστε την πρώτη περίπτωση. Μπορεί να χωριστεί σε δύο εκδηλώσεις: Το πρώτο εισιτήριο θα είναι ευτυχισμένο και το δεύτερο θα είναι επίσης ευτυχισμένο. Λαμβάνουμε υπόψη ότι τα γεγονότα εξαρτώνται, αφού μετά από κάθε pullout, ο συνολικός αριθμός των επιλογών μειώνεται. Παίρνουμε:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να καθοριστεί η πιθανότητα να χάσει ένα εισιτήριο και να θεωρηθεί ότι μπορεί να είναι τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 \u003d 0.4598.

Τέλος, η τρίτη περίπτωση, πότε, στο παιχνιδιάρικο λαχείο, ακόμη και ένα βιβλίο δεν θα πάρει: 20/30 * 19/2 \u003d 0.4368.