Πώς υπολογίζεται η πιθανότητα. Τύπος υπολογισμού της κλασικής πιθανότητας

Σύνδεση (Logical) n Εκδηλώσεις Καλέστε ένα συμβάν που παρατηρείται κάθε φορά που έρχεται τουλάχιστον ένα από ταεκδηλώσεις . Συγκεκριμένα, η Ένωση Εκδηλώσεων Α και Β καλέστε ένα γεγονός ΕΝΑ.+ ΣΙ. (σε ορισμένους συγγραφείς
), η οποία παρατηρείται πότε Θελκτικόςή ΕΝΑή ΣΙ.ή Και τα δύο αυτά γεγονότα ταυτόχρονα(Εικ. 7). Ένα σημάδι της διασταύρωσης στα σκευάσματα κειμένου των γεγονότων είναι η Ένωση "ή".

Σύκο. 7. Συνδυασμός συμβάντων A + B

Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι πιθανότητες του συμβάντος Ρ (α) αντιστοιχούν στο αριστερό μέρος της σκιασμένης στο Σχ. 7 σχήματα και το κεντρικό τμήμα του επισημαίνονται ως
. Και τα αποτελέσματα που αντιστοιχούν στο συμβάν Β βρίσκονται τόσο στη δεξιά πλευρά της σκιασμένης μορφής όσο και στο σημειωμένο
κεντρικό τμήμα. Έτσι, κατά την προσθήκη και παιδική χαρά
Πραγματικά εισάγετε το ποσό δύο φορές και η ακριβής έκφραση για την περιοχή των σκιασμένων
.

Ετσι, Πιθανότητα της Ένωσης δύο εκδηλώσεις Α και Β είναι ίσα

Για έναν μεγαλύτερο αριθμό συμβάντων, η συνολική έκφραση του διακανονισμού γίνεται εξαιρετικά ογκώδη λόγω της ανάγκης να ληφθούν υπόψη πολλές επιλογές για αμοιβαίες επικαλυπτόμενες περιοχές. Ωστόσο, εάν οι ενωμένες εκδηλώσεις είναι ελλιπείς (βλέπε σελ. 33), η αμοιβαία επιβολή περιοχών είναι αδύνατη και η ευνοϊκή ζώνη καθορίζεται απευθείας από το άθροισμα των περιοχών που αντιστοιχούν σε μεμονωμένα γεγονότα.

Πιθανότητα Σχέση αυθαίρετους αριθμούς μη-κρεβάτιαεκδηλώσεις Που καθορίζεται από την έκφραση

Επικάλυψη 1.: Μια πλήρης ομάδα γεγονότων αποτελείται από ελλιπή γεγονότα, ένα από τα οποία στην εμπειρία εφαρμόζεται αναγκαστικά. Σαν άποτέλεσμα, Εάν τα γεγονότα …
,Μορφή πλήρους ομάδαςτότε για αυτούς

Με αυτόν τον τρόπο,

ΑΠΟΠάγος 3. Λαμβάνουμε υπόψη ότι η αντίθετη δήλωση "θα συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα …
"Είναι μια δήλωση" κανένα από τα γεγονότα …
Δεν εφαρμόστηκε. " Εκείνοι, με άλλα λόγια, τα γεγονότα θα τηρούνται στην εμπειρία. , ΕΓΩ. , και ..., και "Ποια είναι η διασταύρωση των γεγονότων απέναντι από το αρχικό σετ. Από εδώ, λαμβάνοντας υπόψη (2 .0), για να συνδυάσετε έναν αυθαίρετο αριθμό γεγονότων που παίρνουμε

Το COROLLARY 2, 3 δείχνουν ότι σε περιπτώσεις όπου ο άμεσος υπολογισμός της πιθανότητας ορισμένου γεγονότος είναι προβληματικός, είναι χρήσιμο να αξιολογηθεί ο χρόνος εξέτασης της έρευνας συμβάντων σε αυτόν. Μετά από όλα, γνωρίζοντας
, να πάρετε από (2 .0) την επιθυμητή τιμή
Καμία εργασία δεν αντιπροσωπεύει πλέον.

1. Παραδείγματα υπολογισμού των πιθανοτήτων πολύπλοκων γεγονότων

Παράδειγμα 1. : Δύο φοιτητές (Ivanov και Petrov) μαζί εγώΜετακινήθηκε για να προστατεύσει εργαστηριακές εργασίες, έχοντας μάθει το πρώτο 8 controlny Ερωτήσεις για αυτό το έργο από το 10 διαθέσιμο. Έλεγχος της ετοιμότητας,Ο σταθμός καθιστούσε το καθένα μόνο έναh Γεωργικά επιλεγμένη ερώτηση. Προσδιορίστε την πιθανότητα των παρακάτω συμβάντων:

ΕΝΑ. \u003d "Ο Ivanov θα προστατεύσει την εργαστηριακή εργασία".

ΣΙ. \u003d "Ο Petrov θα προστατεύσει την εργαστηριακή εργασία".

ΝΤΟ. \u003d "Και οι δύο θα προστατεύσουν την εργαστηριακή εργασία".

ΡΕ. \u003d "Τουλάχιστον ένας από τους μαθητές θα προστατεύσει την εργασία".

ΜΙ. \u003d "Μόνο ένας από τους μαθητές θα προστατεύσει την εργασία".

ΦΑ. \u003d "Κανένας από αυτούς δεν θα προστατεύσει την εργασία."

Απόφαση. Σημειώστε ότι η ικανότητα προστασίας της εργασίας όπως ο Ivanov, tΗ AK και ο Petrov ξεχωριστά καθορίζεται μόνο από τον αριθμό των αναπτυγμένων θεμάτων, ποιητήςw. . (Σημείωση: Σε αυτό το παράδειγμα, οι τιμές των ληφθέντων κλάσματα δεν μειώθηκαν συνειδητά για να απλοποιήσουν τη σύγκριση των αποτελεσμάτων των υπολογισμών.)

ΕκδήλωσηΝΤΟ. Είναι δυνατόν να διατυπώσουμε διαφορετικά πώς «η εργασία θα προστατεύσει τόσο τον Ivanov, όσο και το Petrov", δηλ. συμβείκαι ΕκδήλωσηΕΝΑ., και ΕκδήλωσηΣΙ.. Έτσι, ένα γεγονόςΝΤΟ. Είναι μια διασταύρωση των γεγονότωνΕΝΑ. καιΣΙ.και σύμφωνα με το (2 .0)

Όπου το "7/9" ξεκίνησε λόγω του γεγονότος ότι τα γεγονόταΕΝΑ. Αυτό σημαίνει ότι ο Ivanovo πήρε μια "επιτυχημένη" ερώτηση, πράγμα που σημαίνει ότι ο Petrov από τις υπόλοιπες 9 ερωτήσεις έχει τώρα μόνο 7 "καλά" ζητήματα.

ΕκδήλωσηΡΕ. σημαίνει ότι "η εργασία θα προστατεύσειή Ivanov,ή Πετράζωή Είναι μαζί μαζί ", δηλ. θα συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονόταΕΝΑ. καιΣΙ.. ΈτσιΡΕ. Είναι μια ένωση γεγονότωνΕΝΑ. καιΣΙ.και σύμφωνα με το (2 .0)

Τι αντιστοιχεί στις προσδοκίες, επειδή Ακόμη και για κάθε ένα από τα μαθητές ξεχωριστά, οι πιθανότητες επιτυχίας είναι αρκετά μεγάλες.

ΑΠΟΠιστοποιητικό e σημαίνει "Οποιαδήποτε εργασία θα προστατεύσει το ivanoκαι το Petrov "n",ή Ο Ivanov θα πέσει ανεπιτυχής στοΟι επαγγελματίες και ο Petrov με προστασία θα αντιμετωπίσει. " Δύο εναλλακτικές επιλογές είναι αμοιβαία αποκλειστικές (ελλιπείς), επομένως

Τέλος, η δήλωσηΦΑ. Αποδεικνύεται δίκαιο μόνο αν "και Ivanov,και Petrov με προστασίαδεν Chact. " Ετσι,

Σε αυτό το πρόβλημα, η εργασία ολοκληρώθηκε, ωστόσο είναι χρήσιμο να σημειωθεί τα ακόλουθα σημεία:

1. Κάθε μία από τις ληφθείσες πιθανότητες πληροί την προϋπόθεση (1.0),o εάν για
και
Πάρτε συγκρούσειςΜΙΚΡΟ. (1.0) Κατ 'αρχήν είναι αδύνατο, τότε για
Προσπάθεια I.Η χρήση (2 .0) αντί για (2 .0) θα οδηγούσε προφανώς εσφαλμένηΑξία κτήματος
. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι μια τέτοια τιμή πιθανότητας είναι θεμελιωδώς αδύνατη και μετά την παραλαβή ενός τέτοιου αποτελέσματος παράδοξης, προχωρά αμέσως στην αναζήτηση σφάλματος.

2. Βρέθηκαν πιθανότητες να ικανοποιήσουν τις σχέσειςΜ.

.

ΜΙ.Που αναμένεται αρκετά, επειδή εκδηλώσειςΝΤΟ., ΜΙ. καιΦΑ. Μορφή πλήρουςΟμάδα UU και εκδηλώσειςΡΕ. καιΦΑ. αντίθετα μεταξύ τους. Λογιστική για αυτάΟι σχέσεις από τη μία πλευρά μπορούν να χρησιμοποιηθούνwang για τους επανελέγους υπολογισμούς και σε μια άλλη κατάσταση μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση για έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος.

Π Ρομμετρία : Μην παραμελούν τη γραπτή στερέωσηΜια ακριβής διατύπωση της εκδήλωσης, διαφορετικά, κατά τη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος, μπορείτε να μετακινηθείτε ακούσια σε άλλη ερμηνεία της σημασίας αυτού του γεγονότος, η οποία θα συνεπάγεται σφάλμα στη συλλογιστική.

Παράδειγμα 2. : Σε μια μεγάλη παρτίδα, οι μικροκυκλώματα που δεν έχουν περάσει τον έλεγχο ποιότητας εξόδου, το 30% των προϊόντων είναι ελαττωματικό.Αν πρέπει να επιλέξετε δύο μάρκες από αυτή την παρτίδα, τότε τιΗ πιθανότητα είναι μεταξύ τους:

ΕΝΑ. \u003d "Και τα δύο κατάλληλα".

ΣΙ. \u003d "Ακριβώς 1 κατάλληλο τσιπ".

ΝΤΟ. \u003d "Τόσο ελαττωματικά».

Ας αναλύσουμε την ακόλουθη επιλογή της συλλογιστικής (Προσοχή, περιέχει ένα σφάλμα):

Δεδομένου ότι μιλάμε για μια μεγάλη παρτίδα προϊόντων, η απόσυρση του από αυτό από διάφορες μάρκες πρακτικά δεν επηρεάζει τον λόγο του αριθμού των κατάλληλων και ελαττωματικών προϊόντων, και ως εκ τούτου, επιλέγοντας αρκετές φορές σε μια σειρά μερικές μικροκιές από αυτό το πάρτι μπορούν να θεωρηθεί ότι σε κάθε περίπτωση παραμένουν αμετάβλητες πιθανότητες

= Π.(επιλέχθηκε ένα ελαττωματικό προϊόν) \u003d 0,3 και

= Π.(Επιλεγμένο παραγωγικό προϊόν) \u003d 0,7.

Για γεγονόταΕΝΑ. χρειάζομαι να είμαικαι πρώτα,και Τη δεύτερη φορά επιλέγεται ένα καταφατικό προϊόν και ως εκ τούτου (λαμβάνοντας υπόψη την ανεξαρτησία της επιτυχίας του άλλου της επιλογής του πρώτου και του δεύτερου τσιπ) για να διασχίσει τα γεγονότα

Ομοίως, για την εμφάνιση της εκδήλωσης, είναι απαραίτητο και τα δύο προϊόντα να είναι ελαττωματικά και να ληφθούν b, είναι απαραίτητο να επιλέξει την αντένθητη μία φορά και το ένα είναι ελαττωματικό προϊόν.

Σημάδι σφάλματος. Η.όλες τις παραπάνω πιθανότητεςκαι φαίνονται εύλογα, όταν αναλύονται από κοινού, είναι εύκολο ναΤροποποιήστε αυτό .Ωστόσο, περιπτώσειςΕΝΑ., ΣΙ. καιΝΤΟ. Μορφή πλήρουςΜια ομάδα γεγονότων για τα οποία πρέπει να εκτελεστεί .Αυτή η αντίφαση δείχνει κάποιο σφάλμα στη συλλογιστική.

ΑΠΟ Λάβετε λάθη. Εισάγουμε δύο τροποποιήσεις στην εξέτασηγεγονότα λιονταριών:

\u003d "Το πρώτο τσιπ - κατάλληλο, δεύτερο - ελαττωματικό".

\u003d "Το πρώτο τσιπ είναι ελαττωματικό, το δεύτερο - κατάλληλο."

Προφανώς, ωστόσο, αυτή η επιλογή είναι ότι ο παραπάνω υπολογισμός χρησιμοποιήθηκε για να επιτευχθεί πιθανότητα ενός γεγονότος.ΣΙ., Αν και γεγονόταΣΙ. και δεν είναι Ε.δεινός. Πράγματι,
επειδή ΔιατύπωσηεκδηλώσειςΣΙ. απαιτεί αυτό μεταξύ των τσιπ ακριβώςένας , αλλά καθόλουΌχι απαραίτητα πρώτα Ήταν κατάλληλο (και το άλλο ήταν ελαττωματικό). Επομένως, αν και Εκδήλωση Δεν είναι συμβάντα , και θα πρέπει να ληφθεί υπόψηΠαρακολουθήστε ανεξάρτητα. Δεδομένης της ανεπάρκειας των γεγονότων και , Η πιθανότητα του λογικού τους ποσού θα είναι ίσος

Μετά την καθορισμένη διόρθωση των υπολογισμών που έχουμε

Τι επιβεβαιώνει έμμεσα την ορθότητα της πιθανότητας που βρέθηκε.

Σημείωση : Δώστε ιδιαίτερη προσοχή σε αντίθεση με τη διατύπωση των γεγονότων τύπου μόνοπρώτα από τα αναφερόμενα στοιχεία πρέπει να ... και "μόνοένας Από τα εισηγμένα στοιχείαΟι ακροδεκτοί πρέπει ... ". Το τελευταίο γεγονός είναι σαφώς ευρύτερο και περιλαμβάνειΤ.Στη σύνθεσή της είναι η πρώτη ως μία (ίσως πολυάριθμεςx) Επιλογές. Αυτές οι εναλλακτικές επιλογές (ακόμη και με την σύμπτωση της πιθανότητας τους) πρέπει να θεωρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

Π Ρομμετρία : Η λέξη "ποσοστό" συνέβη από "ανά. ΣΕΝΤ.", Δηλ."Εκατό". Η αναπαράσταση των συχνοτήτων και των πιθανοτήτων σε ποσοστό επιτρέπει τη λειτουργία με μεγαλύτερες τιμές, οι οποίες μερικές φορές απλοποιούν την αντίληψη των αξιών "κατά την ακρόαση". Ωστόσο, η χρήση στους υπολογισμούς για τη σωστή ομαλοποίηση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση στο "100%" δυσκίνητο και ανεπαρκώς. Από την άποψη αυτή, όχιΌταν χρησιμοποιείτε τιμές, αναφέρουμεζήτησε ως ποσοστό, να τα υποκαταστήσουν στις εκφράσεις διακανονισμούΤο ίδιο υπό τη μορφή ενός κλάσματος από το ένα (για παράδειγμα, το 35% στον υπολογισμό καταγράφεταιΕγώ ως "0,35") για να ελαχιστοποιηθεί ο κίνδυνος εσφαλμένης ομαλοποίησης των αποτελεσμάτων.

Παράδειγμα 3. : Ένα σύνολο αντιστάσεων περιέχει μία αντίσταση4 com, τρεις αντιστάσεις για 8 com και έξι αντιστέκονταιors με αντίσταση 15 com. Οι επιλεγμένες ταχείες τρεις αντιστάσεις συνδέονται μεταξύ τους παράλληλα. Προσδιορίστε την πιθανότητα απόκτησης τελικής αντίστασης που δεν υπερβαίνει τα 4 com.

Στερεός . Παράλληλη αντοχή σύνδεσηςΟ Istorov μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο

.

Αυτό σας επιτρέπει να εισάγετε ένα συμβάν, όπως

ΕΝΑ. \u003d "Τρεις αντιστάσεις επιλέγονται για 15 com" \u003d "
”;

ΣΙ. \u003d "Β.Δύο αντιστάσεις για 15 com και ένα με αντίστασηm 8 com "\u003d"
”…

Μια πλήρης ομάδα γεγονότων που αντιστοιχεί στην κατάσταση του προβλήματος περιλαμβάνει έναν άλλο αριθμό επιλογών και ακριβώς αυτόΟι Siffliers αντιστοιχούν στην προηγμένη απαίτηση αντοχής που δεν υπερβαίνει τα 4 com. Ωστόσο, αν και η "ευθεία" πορεία της απόφασης, η οποία αναλαμβάνει τον υπολογισμό (και τα επόμενα ποσάΟι πιθανότητες που χαρακτηρίζουν όλα αυτά τα συμβάντα και είναι σωστές, δεν είναι πρακτικό κατά τέτοιο τρόπο.

Σημειώστε ότι για να αποκτήσετε την τελική αντίσταση μικρότερη από 4 comΚαταλύματα, προκειμένου να χρησιμοποιηθεί τουλάχιστον μία αντίσταση με αντίστασηΦάτε λιγότερο από 15 com. Έτσι, μόνο στην περίπτωση τουΕΝΑ. Η απαίτηση της εργασίας δεν εκτελείται, δηλ. ΕκδήλωσηΕΝΑ. είναι έναΑπεναντι απο υπό μελέτη. Ωστόσο,

.

Με αυτόν τον τρόπο, .

Π r. Ετικέτα : Κρατώντας την πιθανότητα κάποιου γεγονότοςΕΝΑ., μην ξεχάσετε να αναλύσετε την ένταση εργασίας του ορισμούΕίμαι η πιθανότητα ενός γεγονότος σε αυτόν το αντίθετο. Αν ο Russνα διαβασω
Εύκολο, από αυτό πρέπει να ξεκινήσετε να επιλυθείΚαθήκονταολοκληρώνοντας τη χρήση της σχέσης (2 .0).

Π rymer 4. : Στο πλαίσιο είναι διαθέσιμαΝ. λευκόΜ. Μαύρο Ι.Κ. Κόκκινες μπάλες. Οι μπάλες ένα από ένα τυχαία εξάγονται έξω από το κουτίΚαι επέστρεψε πίσω από κάθε εκχύλιση. Προσδιορίστε την πιθανότηταεκδηλώσειςΕΝΑ. \u003d "Λευκή μπάλαθα εξαχθεί νωρίτερα από το μαύρο” .

Στερεός . Εξετάστε το ακόλουθο σύνολο συμβάντων

\u003d "Λευκή μπάλα που εξάγεται κατά την πρώτη προσπάθεια".

\u003d "Στην αρχή, η κόκκινη μπάλα ελήφθη, και στη συνέχεια - λευκό";

\u003d "Δύο φορές αντιστραφεί μια κόκκινη μπάλα και για τρίτη φορά - λευκό”…

Έτσι Κ.Οι μπάλες AK επιστρέφονται, τότε η ακολουθίαyyte Μπορεί να επεκταθεί τυπικά άπειρα.

Αυτά τα γεγονότα είναι ασυνέπειες και αποτελούν το σύνολο καταστάσεων στις οποίες συμβαίνει το συμβάνΕΝΑ.. Με αυτόν τον τρόπο,

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι τα συστατικά των συστατικών σχηματίζονταιΓεωμετρική εξέλιξη Με το αρχικό στοιχείο
και παρονομαστής
. Αλλά τα ποσάκαι τα στοιχεία της άπειρης γεωμετρική εξέλιξης είναι ίση

Με αυτόν τον τρόπο, . ΜΕΓΑΛΟ.σκεφτεί ότι αυτή η πιθανότητα (ως εξής από το ληφθένΗ έκφραση) δεν εξαρτάται από τον αριθμό των κόκκινων μπάλες στο κουτί.

Στην οικονομία, καθώς και σε άλλους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας ή στη φύση, συνεχώς πρέπει να αντιμετωπίσουν τα γεγονότα που δεν μπορούν να προβλεφθούν με ακρίβεια. Έτσι, οι πωλήσεις αγαθών εξαρτώνται από τη ζήτηση, η οποία μπορεί να αλλάξει σημαντικά και από διάφορους άλλους παράγοντες που είναι πρακτικά μη ρεαλιστικοί. Ως εκ τούτου, κατά την οργάνωση της παραγωγής και των πωλήσεων, είναι απαραίτητο να προβλεφθεί η έκβαση των δραστηριοτήτων αυτών με βάση τη δική τους προηγούμενη εμπειρία, ή παρόμοια εμπειρία άλλων ανθρώπων ή διαίσθησης, η οποία βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε έμπειρα δεδομένα.

Για να εκτιμηθεί με κάποιο τρόπο το υπό εξέταση γεγονός, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ή να οργανώσει συγκεκριμένα τις συνθήκες στις οποίες καταγράφεται αυτό το γεγονός.

Εφαρμογή ορισμένων όρων ή ενεργειών για τον προσδιορισμό του υπό εξέταση συμβάντων καλείται Εμπειρία ή Πείραμα.

Το συμβάν καλείται τυχαίοςΑν ως αποτέλεσμα της εμπειρίας μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί.

Το συμβάν καλείται ΑξιόπιστοςΕάν εμφανίζεται αναγκαστικά ως αποτέλεσμα αυτής της εμπειρίας, και ΑδύνατοΕάν δεν μπορεί να εμφανιστεί σε αυτή την εμπειρία.

Για παράδειγμα, η απώλεια χιονιού στη Μόσχα στις 30 Νοεμβρίου είναι ένα τυχαίο γεγονός. Η καθημερινή ανατολή μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστη εκδήλωση. Η απώλεια χιονιού στον ισημερινό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα αδύνατο γεγονός.

Ένα από τα κύρια καθήκοντα στη θεωρία της πιθανότητας είναι το καθήκον να καθοριστεί το ποσοτικό μέτρο της δυνατότητας ενός γεγονότος.

Άλγεβρα γεγονότα

Τα γεγονότα ονομάζονται ελλιπή εάν δεν μπορούν να τηρηθούν στην ίδια εμπειρία. Έτσι, η παρουσία δύο και τριών αυτοκινήτων σε ένα κατάστημα προς πώληση ταυτόχρονα είναι δύο ελλιπή γεγονότα.

Αθροισμα Τα γεγονότα ονομάζονται ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα.

Για παράδειγμα, η ποσότητα των γεγονότων μπορεί να ονομαστεί παρουσία στο κατάστημα τουλάχιστον ένα από τα δύο προϊόντα.

Εργασία Τα γεγονότα ονομάζονται ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση όλων αυτών των συμβάντων.

Ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση ταυτόχρονα στο κατάστημα δύο προϊόντων είναι το έργο των γεγονότων: - ένα προϊόν - η εμφάνιση ενός άλλου προϊόντος.

Τα γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, εάν τουλάχιστον ένας από αυτούς θα συμβεί στην εμπειρία.

Παράδειγμα. Το λιμάνι έχει δύο κουκέτες για τη λήψη σκαφών. Μπορείτε να εξετάσετε τρία γεγονότα: - Η απουσία σκαφών στις κουκέτες είναι η παρουσία ενός σκάφους από μια από τις κουκέτες - η παρουσία δύο σκαφών σε δύο βέρους. Αυτά τα τρία γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων.

Απεναντι απο Τα δύο μόνο πιθανά γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα καλούνται.

Εάν ένα από τα γεγονότα που είναι αντίθετα για να ορίσουν, το αντίθετο συμβάν συνήθως δηλώνεται.

Κλασική και στατιστική ταυτοποίηση της πιθανότητας ενός γεγονότος

Κάθε ένα από τα αποτελέσματα των δοκιμών ισορροπίας (πειράματα) ονομάζεται στοιχειώδες αποτέλεσμα. Συνήθως δηλώνται με γράμματα. Για παράδειγμα, ένα παιχνίδι κουνουπιών. Τα στοιχειώδη αποτελέσματα μπορούν να είναι έξι από τον αριθμό των σημείων στις άκρες.

Από τα στοιχειώδη αποτελέσματα, μπορείτε να κάνετε ένα πιο σύνθετο γεγονός. Έτσι, το γεγονός της απώλειας ενός ομαλού αριθμού σημείων καθορίζεται από τρία αποτελέσματα: 2, 4, 6.

Το ποσοτικό μέτρο της πιθανότητας εμφάνισης του υπό εξέταση εκδήλωση είναι η πιθανότητα.

Το πιο διαδεδομένο έλαβε δύο ορισμούς της εκδήλωσης ενός γεγονότος: Κλασσικός και Στατιστικός.

Ο ορισμός της κλασικής πιθανότητας σχετίζεται με την έννοια ενός ευνοϊκού αποτελέσματος.

Το Exodus καλείται Ευνοϊκός Αυτό το γεγονός, εάν η εμφάνισή του συνεπάγεται την έναρξη αυτού του γεγονότος.

Στο παραπάνω παράδειγμα, το εν λόγω συμβάν είναι ένα ακόμη σημαντικό αριθμό σημείων σχετικά με το πεσμένο πρόσωπο, έχει τρία ευνοημένα αποτελέσματα. Σε αυτή την περίπτωση, είναι επίσης γνωστό ότι γενικεύεται
Τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων. Έτσι, εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος.

Κλασικός ορισμόςισούται με τον λόγο του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων στον συνολικό αριθμό πιθανών αποτελεσμάτων

Όπου - η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο αριθμός των αποτελεσμάτων που ευνοούν συμβάντα - ο συνολικός αριθμός πιθανών αποτελεσμάτων.

Στο εξεταζόμενο παράδειγμα

Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας σχετίζεται με την έννοια της σχετικής συχνότητας του συμβάντος σε πειράματα.

Η σχετική συχνότητα του συμβάντος υπολογίζεται από τον τύπο

Όπου - ο αριθμός των γεγονότων στη σειρά από πειράματα (δοκιμές).

Στατιστικός ορισμός. Η πιθανότητα ενός γεγονότος ονομάζεται αριθμός σε σχέση με το οποίο σταθεροποιεί τη σχετική συχνότητα (σετ) σχετική συχνότητα με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των πειραμάτων.

Σε πρακτικά καθήκοντα, η σχετική συχνότητα λαμβάνεται για την πιθανότητα ενός γεγονότος με επαρκώς μεγάλο αριθμό δοκιμών.

Από αυτούς τους ορισμούς πιθανοτήτων, το συμβάν μπορεί να φανεί ότι η ανισότητα πραγματοποιείται πάντοτε.

Για να προσδιοριστεί η πιθανότητα ενός συμβάντος που βασίζεται στον τύπο (1.1), οι τύποι συνδυαστικών χρησιμοποιούνται συχνά, ο οποίος είναι ο αριθμός των ευνοημένων αποτελεσμάτων και ο συνολικός αριθμός πιθανών αποτελεσμάτων.

Θέμα 1. . Τύπος υπολογισμού της κλασικής πιθανότητας.

Οι κύριοι ορισμοί και οι τύποι:

Πείραμα, το αποτέλεσμα του οποίου είναι αδύνατο να προβλεφθεί, καλέστε Τυχαίο πείραμα (SE).

Ένα γεγονός που μπορεί να συμβεί σε αυτό το se και μπορεί να μην συμβεί, που ονομάζεται Τυχαίο συμβάν.

Στοιχειώδη αποτελέσματα Συμβάντα κλήσης που ικανοποιούν τις απαιτήσεις:

1. Σε όλη την εφαρμογή της SE, ένα και μόνο ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα συμβαίνει.

2. Το γεγονός είναι κάποιος συνδυασμός, κάποια σύνολα στοιχειωδών αποτελεσμάτων.

Το σύνολο όλων των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων περιγράφει πλήρως την SE. Τέτοιες παρτίδες αποδεκτές Χώρος στοιχειωδών αποτελεσμάτων (PEI). Η επιλογή του PEI για να περιγράψει αυτή η SE είναι διφορούμενη και εξαρτάται από την επίλυση της εργασίας.

P (a) \u003d n (a) / n,

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων ισορροπίας,

n (α) - ο αριθμός των αποτελεσμάτων που συνθέτουν ένα γεγονός Α, όπως λένε, ευνοϊκές για το γεγονός Α.

Οι λέξεις "Mindach", "Τυχαία" και εγγυώνται τυχαία την ισορροπία των στοιχειωδών αποτελεσμάτων.

Επίλυση τυπικών παραδειγμάτων

Παράδειγμα 1. Από την ουρά που περιέχει 5 κόκκινες, 3 μαύρες και 2 λευκές μπάλες, η υποθήκη απομακρύνει 3 μπάλες. Βρείτε τις πιθανότητες συμβάντων:

ΑΛΛΑ - "Όλες οι εκχυλισμένες μπάλες είναι κόκκινο".

ΣΕ - "Όλες οι εκχυλισμένες μπάλες - ένα χρώμα".

ΑΠΟ - "Μεταξύ των εξαγόμενων ακριβώς 2 μαύρου".

Απόφαση:

Το στοιχειώδες αποτέλεσμα αυτής της SE είναι μια τριπλή (διαταραγμένη!) Μπάλες. Ως εκ τούτου, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι ο αριθμός των συνδυασμών: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

Εκδήλωση ΑΛΛΑ Αποτελείται μόνο από αυτούς τους τριπλούς που απομακρύνθηκαν από πέντε κόκκινες μπάλες, δηλ. n (a) \u003d\u003d 10.

Εκδήλωση ΣΕ Εκτός από 10 κόκκινα τρίκλινα, ευνοούνται τα μαύρα στρατεύματα, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος \u003d 1. Επομένως: n (b) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

Εκδήλωση ΑΠΟ Οι κορυφές των μπάλες που περιέχουν 2 μαύρο και το ένα δεν είναι ευνοϊκές. Κάθε τρόπος για να επιλέξετε δύο μαύρες μπάλες μπορεί να συνδυαστεί με μια επιλογή ενός μη μαύρου (επτά). Επομένως: n (c) \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Ετσι: R (a) = 10/120; P (b) = 11/120; P (c) = 21/120.

Παράδειγμα 2. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου καθήκοντος, υποθέτουμε ότι οι μπάλες κάθε χρώματος έχουν την αρίθμησή τους, ξεκινώντας από το 1. Βρείτε τις πιθανότητες συμβάντων:

ΡΕ. - "Ο μέγιστος αριθμός εξαγόμενων είναι 4".

ΜΙ. - "Ο μέγιστος εξαγόμενος αριθμός είναι 3".

Απόφαση:

Για να υπολογίσουμε το n (d), μπορούμε να υποθέσουμε ότι στην URN υπάρχει μια μπάλα με έναν αριθμό 4, μία σφαίρα με μεγάλο αριθμό και 8 μπάλες (3k + 3Η + 2b) με μικρότερους αριθμούς. Εκδήλωση ΡΕ. Υποστηρίζει τις τρεις κορυφαίες μπάλες που απαραιτήτως περιέχουν μια μπάλα με αριθμό 4 και 2 μπάλες με μικρότερους αριθμούς. Επομένως: n (d) \u003d

P (d) \u003d 28/120.

Για τον υπολογισμό του n (ε), θεωρούμε: στην URN δύο μπάλες με αριθμό 3, δύο με μεγάλους αριθμούς και έξι μπάλες με μικρότερους αριθμούς (2k + 2Η + 2b). Εκδήλωση ΜΙ. Αποτελείται από τρεις τύπους τριπλών:

1. Μια μπάλα με αριθμό 3 και δύο με μικρότερους αριθμούς.

2. Μια μπάλα με έναν αριθμό 3 και ένα με μικρότερο αριθμό.

Επομένως: n (e) \u003d

P (e) \u003d 36/120.

Παράδειγμα 3. Κάθε ένα από τα m διαφόρων σωματιδίων βυθίζεται σε ένα από τα κύτταρα η. Βρείτε τις πιθανότητες συμβάντων:

ΑΛΛΑ - όλα τα σωματίδια μπαίνουν στο δεύτερο κύτταρο.

ΣΕ - όλα τα σωματίδια μπαίνουν σε ένα κελί.

ΑΠΟ - κάθε κύτταρο δεν περιέχει περισσότερα από ένα σωματίδια (m £ n).

ΡΕ. - όλα τα κύτταρα καταλαμβάνονται (m \u003d n +1).

ΜΙ. - το δεύτερο κύτταρο περιέχει ομαλά προς την Σωματίδια.

Απόφαση:

Για κάθε σωματίδιο, υπάρχουν n μέθοδοι για να εισέλθουν σε ένα ή ένα άλλο κύτταρο. Σύμφωνα με την κύρια αρχή των συνδυαστικών για τα σωματίδια M, έχουμε n * n * n * ... * n (m-Ώρα). Έτσι, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων σε αυτό το se n \u003d n m.

Για κάθε σωματίδιο έχουμε τη δυνατότητα να εισέλθουμε στο δεύτερο κύτταρο, επομένως n (α) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 m \u003d 1, και p (α) \u003d 1 / n m.

Για να μπείτε σε ένα κελί (όλα τα σωματίδια) σημαίνει να φτάσετε σε όλους στην πρώτη, ή σε όλους στο δεύτερο, ή κλπ. Όλα σε n-. Αλλά κάθε μία από αυτές τις επιλογές n μπορεί να πραγματοποιηθεί με έναν τρόπο. Επομένως, η (Β) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (η-) \u003d η και ρ (c) \u003d n / n m.

Ένα συμβάν με σημαίνει ότι κάθε σωματίδιο έχει τον αριθμό των τρόπων τοποθέτησης μιας μονάδας μικρότερη από εκείνη του προηγούμενου σωματιδίου και το πρώτο μπορεί να εισέλθει σε οποιοδήποτε από τα κύτταρα Ν. Ως εκ τούτου:

n (c) \u003d n * (n -1) * ... * (n + m -1) και p (c) \u003d

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση στο m \u003d n: p (s) \u003d

Το συμβάν D σημαίνει ότι ένα από τα κύτταρα περιέχει δύο σωματίδια και κάθε ένα από τα υπόλοιπα κύτταρα (Ν -1) περιέχει ένα σωματίδιο. Για να βρείτε n (d) υποστηρίζουμε έτσι: επιλέξτε το κελί στο οποίο θα υπάρχουν δύο σωματίδια, αυτό μπορεί να γίνει \u003d n τρόπους. Στη συνέχεια, επιλέξτε δύο σωματίδια για αυτό το κελί, υπάρχουν τρόποι για αυτό. Μετά από αυτό, τα υπόλοιπα σωματίδια (Ν -1) θα κατανεμηθούν σε ένα προς τα υπόλοιπα κύτταρα (Ν -1), γι 'αυτό υπάρχει (n -1)! τρόπους.

Έτσι, n (d) \u003d

.

Ο αριθμός N (E) μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: προς την Τα σωματίδια για το δεύτερο κύτταρο μπορούν να είναι μεθόδους ότι τα υπόλοιπα σωματίδια (Μ-Κ) κατανέμονται τυχαία σε (Ν -1) κυττάρων (Ν -1) m-μεθόδους. Ως εκ τούτου:

"Το ατύχημα δεν είναι τυχαίο" ... Ακούγεται σαν ο φιλόσοφος, αλλά στην πραγματικότητα να μελετήσει την τυχαία επιστήμη των μαθηματικών. Στα μαθηματικά, η πιθανότητα δεσμεύεται η θεωρία πιθανοτήτων. Οι φόρμουλες και τα παραδείγματα καθηκόντων, καθώς και οι κύριοι ορισμοί αυτής της επιστήμης θα παρουσιαστούν στο άρθρο.

Τι είναι η θεωρία πιθανότητας;

Η θεωρία της πιθανότητας είναι ένας από τους μαθηματικούς κλάδους που μελετούν τυχαία γεγονότα.

Για να είναι ελαφρώς σαφέστερα, δίνουμε ένα μικρό παράδειγμα: αν ρίχνετε ένα νόμισμα, μπορεί να πέσει "αετός" ή "ευρύ". Ενώ το κέρμα είναι στον αέρα, και οι δύο αυτές πιθανότητες είναι δυνατές. Δηλαδή, η πιθανότητα πιθανών συνεπειών συσχετίζεται 1: 1. Εάν τραβήξετε ένα από τα κατάστρωμα με 36 κάρτες, τότε η πιθανότητα θα υποδείξει ως 1:36. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα να εξερευνήσετε και να προβλέψετε, ειδικά με τη βοήθεια μαθηματικών τύπων. Ωστόσο, αν επαναλάβετε μια συγκεκριμένη ενέργεια πολλές φορές, είναι δυνατόν να εντοπίσετε κάποια κανονικότητα και βασίζεται σε αυτό για να προβλέψει το αποτέλεσμα των γεγονότων με άλλους όρους.

Εάν γενικεύουμε όλα τα παραπάνω, η θεωρία της πιθανότητας σε μια κλασική κατανόηση εξετάζει τη δυνατότητα ενός από τα πιθανά γεγονότα στην αριθμητική τιμή.

Από τις σελίδες ιστορίας

Η θεωρία της πιθανότητας, των τύπων και των παραδειγμάτων των πρώτων καθηκόντων εμφανίστηκε πίσω στην απόσταση μεσαίωνα, όταν επιχειρήθηκε για πρώτη φορά να προβλέψει το αποτέλεσμα των παιχνιδιών της κάρτας για πρώτη φορά.

Αρχικά, η θεωρία της πιθανότητας δεν είχε κάτι κοινό με τα μαθηματικά. Δικαιολογείται από εμπειρικά γεγονότα ή ιδιότητες ενός γεγονότος που θα μπορούσε να αναπαραχθεί στην πράξη. Το πρώτο έργο σε αυτόν τον τομέα όπως στη μαθηματική πειθαρχία εμφανίστηκε στον XVII αιώνα. Το Pascal και το Pierre Farm ήταν βούρτσα από τους Blazers. Για μεγάλο χρονικό διάστημα, σπούδασαν τυχερά παιχνίδια και είδαν ορισμένα πρότυπα που αποφάσισαν να πούμε στην κοινωνία.

Η ίδια τεχνική εφευρέθηκε από τους χριστιανούς Huygens, αν και δεν ήταν εξοικειωμένοι με τα αποτελέσματα των μελετών του Pascal και του αγρότες. Η έννοια της «θεωρίας της πιθανότητας», των τύπων και των παραδειγμάτων, τα οποία θεωρούνται πρώτα στην ιστορία της πειθαρχίας, εισήχθησαν από αυτούς.

Ο Jacob Bernoulli, η Λάπλα και τα θεωρήματα Poisson έχουν σημαντική σημασία. Έκαναν τη θεωρία της πιθανότητας περισσότερο σαν μαθηματική πειθαρχία. Η τρέχουσα άποψη της θεωρίας των πιθανοτήτων, των τύπων και των παραδειγμάτων βασικών καθηκόντων προέκυψε χάρη στα αξιώματα του Κολομογόνοφ. Ως αποτέλεσμα όλων των αλλαγών, η θεωρία της πιθανότητας έχει γίνει ένα από τα μαθηματικά τμήματα.

Τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Εκδηλώσεις

Η κύρια έννοια αυτής της πειθαρχίας είναι η εκδήλωση. Τα γεγονότα είναι τρία είδη:

• Αξιόπιστος. Εκείνοι που θα συμβούν σε κάθε περίπτωση (το νόμισμα θα πέσει).
• Αδύνατο. Γεγονότα που δεν θα συμβούν με κανένα είδος (το νόμισμα θα παραμείνει κρέμονται στον αέρα).
• Τυχαίος. Εκείνοι που θα συμβούν ή δεν θα συμβούν. Μπορούν να επηρεάσουν διαφορετικούς παράγοντες που είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθούν. Αν μιλάμε για ένα νόμισμα, τότε τυχαίοι παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν το αποτέλεσμα: τα φυσικά χαρακτηριστικά του νομίσματος, το σχήμα του, την αρχική θέση, τη δύναμη της ρίψης κλπ.

Όλα τα γεγονότα στα παραδείγματα υποδηλώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα, με εξαίρεση το P, το οποίο έχει εκχωρηθεί ένας άλλος ρόλος. Για παράδειγμα:

• A \u003d "Οι μαθητές ήρθαν στη διάλεξη."
• Ā \u003d "Οι μαθητές δεν πήγαν στη διάλεξη."

Σε πρακτικά καθήκοντα, τα γεγονότα γίνονται δεκτά για την καταγραφή λέξεων.

Ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά των γεγονότων είναι η ισορροπία τους. Δηλαδή, αν ρίξετε ένα νόμισμα, όλες οι επιλογές για την αρχική πτώση είναι δυνατές μέχρι να πέσει. Αλλά και τα γεγονότα δεν είναι ίσα. Αυτό συμβαίνει όταν κάποιος επηρεάζει ειδικά το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, οι "επισημασμένες" κάρτες αναπαραγωγής ή τα οστά στα οποία μετατοπίζεται το κέντρο βάρους.

Ακόμη και τα συμβάντα είναι συμβατά και ασυμβίβαστα. Συμβατά γεγονότα δεν αποκλείουν ο ένας τον άλλον. Για παράδειγμα:

• A \u003d "Ο φοιτητής ήρθε στη διάλεξη."
• B \u003d "Ο φοιτητής ήρθε στη διάλεξη."

Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και η εμφάνιση ενός από αυτά δεν επηρεάζει την εμφάνιση άλλου. Τα ασυμβίβαστα γεγονότα καθορίζονται από το γεγονός ότι η εμφάνιση ενός εξαλείφει την εμφάνιση άλλου. Αν μιλάμε για το ίδιο κέρμα, τότε η απώλεια του "πιάτου" καθιστά αδύνατο να εμφανιστεί ο "αετός" στο ίδιο πείραμα.

Ενέργειες για τα γεγονότα

Τα γεγονότα μπορούν να πολλαπλασιάζονται και να διπλωθούν, αντίστοιχα, λογικοί σύνδεσμοι "και" και "ή" εισάγονται σε πειθαρχία.

Το ποσό καθορίζεται από το γεγονός ότι εμφανίζεται ταυτόχρονα ένα συμβάν Α, ή Β, ή δύο ταυτόχρονα. Στην περίπτωση που είναι ασυμβίβαστες, η τελευταία επιλογή είναι αδύνατη, πέφτει ή α ή V.

Ο πολλαπλασιασμός των γεγονότων είναι η εμφάνιση ενός και ταυτόχρονα.

Τώρα μπορείτε να δώσετε μερικά παραδείγματα προκειμένου να θυμάστε καλύτερα τα βασικά, τη θεωρία της πιθανότητας και των τύπων. Παραδείγματα λύσεων εργασιών στη συνέχεια.

Ασκηση 1: Η Εταιρεία συμμετέχει στον διαγωνισμό για τις συμβάσεις για τρεις ποικιλίες εργασίας. Πιθανά γεγονότα που μπορεί να προκύψουν:

• A \u003d "Η εταιρεία θα λάβει την πρώτη σύμβαση."
• Και 1 \u003d "η επιχείρηση δεν θα λάβει την πρώτη σύμβαση."
• B \u003d "η επιχείρηση θα λάβει τη δεύτερη σύμβαση."
• Σε 1 \u003d "η επιχείρηση δεν θα λάβει τη δεύτερη σύμβαση"
• C \u003d "Η επιχείρηση θα λάβει την τρίτη σύμβαση."
• Από 1 \u003d "η εταιρεία δεν θα λάβει την τρίτη σύμβαση".

Χρησιμοποιώντας τη δράση για τα γεγονότα, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• K \u003d "Η επιχείρηση θα λάβει όλες τις συμβάσεις."

Στη μαθηματική μορφή, η εξίσωση θα έχει την ακόλουθη μορφή: k \u003d abc.

• M \u003d "Η εταιρεία δεν θα λάβει μια ενιαία σύμβαση."

M \u003d a 1 σε 1 s 1.

Ολοκλήρωση της εργασίας: H \u003d "Η εταιρεία θα λάβει μια σύμβαση." Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό ακριβώς τι είδους σύμβαση θα λάβει μια εταιρεία (πρώτο, δεύτερο ή τρίτο), είναι απαραίτητο να καταγραφεί ολόκληρο το φάσμα πιθανών γεγονότων:

N \u003d 1 ηλιοβασίλεμα 1 υ ΑΕ 1 C 1 υ Α 1 σε 1 C.

Και 1 η Sun 1 είναι μια σειρά από γεγονότα όπου η εταιρεία δεν λαμβάνει την πρώτη και την τρίτη σύμβαση, αλλά λαμβάνει το δεύτερο. Άλλες πιθανές συμβάντες καταγράφονται με την αντίστοιχη μέθοδο. Το σύμβολο Υ στην πειθαρχία δείχνει τη δέσμη "ή". Εάν μεταφράσουμε το δεδομένο παράδειγμα στην ανθρώπινη γλώσσα, η επιχείρηση θα λάβει ή η τρίτη σύμβαση ή η δεύτερη ή η πρώτη ή η πρώτη. Ομοίως, άλλες προϋποθέσεις μπορούν να καταγραφούν στην πειθαρχία "Θεωρία πιθανότητας". Οι φόρμουλες και τα παραδείγματα επίλυσης των καθηκόντων που παρουσιάζονται παραπάνω θα σας βοηθήσουν να το κάνετε μόνοι σας.

Στην πραγματικότητα, πιθανότητα

Ίσως, σε αυτή τη μαθηματική πειθαρχία, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι μια κεντρική ιδέα. Υπάρχουν 3 ορισμοί πιθανότητας:

• κλασσικός;
• στατιστικός;
• γεωμετρικός.

Κάθε θέση έχει τη θέση της στη μελέτη των πιθανοτήτων. Η θεωρία της πιθανότητας, των τύπων και των παραδειγμάτων (βαθμός 9) χρησιμοποιούν κυρίως έναν κλασικό ορισμό που ακούγεται έτσι:

• Η πιθανότητα της κατάστασης είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των αποτελεσμάτων, το οποίο ευνοεί την εμφάνισή της, στον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων.

Ο τύπος μοιάζει με αυτό: P (a) \u003d m / n.

Α - Στην πραγματικότητα, γεγονός. Εάν η θήκη εμφανιστεί απέναντι α, μπορεί να γραφτεί ως ā ή 1.

m είναι ο αριθμός πιθανών ευνοϊκών περιπτώσεων.

n - όλα τα γεγονότα που μπορεί να εμφανιστούν.

Για παράδειγμα, a \u003d "τραβήξτε την κάρτα του κοστούμι σκουληκιών". Σε ένα τυπικό κατάστρωμα 36 καρτών, 9 από τους σκουλήκια. Συνεπώς, ο τύπος για την επίλυση της εργασίας θα είναι:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Ως αποτέλεσμα, η πιθανότητα να τραβηχτεί η κάρτα του κοστούμι σκουληκιών από το κατάστρωμα, θα είναι 0,25.

Σε υψηλότερα μαθηματικά

Τώρα έχει γίνει λίγο γνωστή ποια είναι η θεωρία της πιθανότητας, των τύπων και των παραδειγμάτων των εργασιών επίλυσης που συναντώνται στο σχολικό πρόγραμμα. Ωστόσο, η θεωρία πιθανοτήτων πληροί σε ανώτερα μαθηματικά, η οποία διδάσκεται στα πανεπιστήμια. Πιο συχνά λειτουργούν με γεωμετρικούς και στατιστικούς ορισμούς θεωρητικών και σύνθετων τύπων.

Πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία πιθανοτήτων. Τύποι και παραδείγματα (ανώτερα μαθηματικά) Είναι καλύτερα να αρχίσουμε να σπουδάζουν από ένα μικρό - από έναν στατιστικό (ή συχνότητα) προσδιορισμού πιθανότητας.

Η στατιστική προσέγγιση δεν έρχεται σε αντίθεση με το κλασικό και ελαφρώς επεκτείνεται. Εάν στην πρώτη περίπτωση ήταν απαραίτητο να προσδιοριστεί πλέον πιθανό ένα συμβάν να συμβεί, τότε σε αυτή τη μέθοδο είναι απαραίτητο να υποδείξει πόσο συχνά θα συμβεί. Εδώ εισάγεται η νέα έννοια της "σχετικής συχνότητας", η οποία μπορεί να δηλώνεται από W (A). Ο τύπος δεν διαφέρει από το κλασικό:

Εάν ο κλασσικός τύπος υπολογίζεται για πρόβλεψη, στη συνέχεια στατιστικά - σύμφωνα με τα αποτελέσματα του πειράματος. Πάρτε, για παράδειγμα, ένα μικρό έργο.

Το Τμήμα Τεχνολογικού Ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για την ποιότητα. Μεταξύ 100 προϊόντων βρήκαν 3 χαμηλής ποιότητας. Πώς να βρείτε την πιθανότητα συχνότητας προϊόντος ποιότητας;

A \u003d "την εμφάνιση προϊόντων υψηλής ποιότητας".

W (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Έτσι, η συχνότητα του προϊόντος ποιότητας είναι 0,97. Πού πήρατε 97; Από 100 προϊόντα που ελέγχθηκαν, 3 αποδείχθηκε ότι ήταν κακή ποιότητα. Από 100 στροφή 3, λαμβάνουμε 97, αυτό είναι το ποσό του ποιοτικού προϊόντος.

Λίγο για τη συνδυαστική

Μια άλλη μέθοδος πιθανότητας ονομάζεται Combinatorics. Η βασική αρχή είναι ότι εάν μια συγκεκριμένη επιλογή Α μπορεί να διεξαχθεί με Μ με διάφορους τρόπους και η επιλογή του Β είναι n με διαφορετικούς τρόπους, τότε η επιλογή Α και Β μπορεί να πραγματοποιηθεί πολλαπλασιασμός.

Για παράδειγμα, από την πόλη και στην πόλη σε οδηγούς 5 δρόμων. Από την πόλη μέχρι την πόλη με 4 τρόπους. Πόσοι τρόποι μπορούν να προσεγγιστούν από την πόλη και την πόλη;

Όλα είναι απλά: 5x4 \u003d 20, δηλαδή είκοσι με διαφορετικούς τρόπους μπορεί να επιτευχθεί από το σημείο Α στο σημείο S.

Περιπλέξτε την εργασία. Πόσοι τρόποι να θέσετε κάρτες στο Solitaire; Σε ένα κατάστρωμα 36 καρτών - αυτό είναι το σημείο εκκίνησης. Για να μάθετε τον αριθμό των τρόπων, χρειάζεστε από το αρχικό σημείο για να "αφήσετε" στον ίδιο χάρτη και να πολλαπλασιάσετε.

Δηλαδή, 36x35x34x36x32 ... x2x1 \u003d Αποτέλεσμα δεν θα ταιριάζει στην οθόνη αριθμομηχανή, έτσι ώστε να μπορεί απλά να δηλώνεται 36!. Σημάδι "!" Κοντά στον αριθμό δείχνει ότι ολόκληρος ο αριθμός των αριθμών ποικίλλει μεταξύ τους.

Τα συνδυαστικά παρουσιάζουν τέτοιες έννοιες ως μετάθεση, στέγαση και συνδυασμός. Κάθε ένας από αυτούς έχει τη δική του φόρμουλα.

Ένα διατεταγμένο σύνολο συνόλων σετ ονομάζεται τοποθέτηση. Η τοποθέτηση μπορεί να είναι με επαναλήψεις, δηλαδή ένα στοιχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί αρκετές φορές. Και χωρίς επαναλήψεις, όταν τα στοιχεία δεν επαναλαμβάνονται. n είναι όλα τα στοιχεία, m είναι στοιχεία που συμμετέχουν στη στέγαση. Ο τύπος για τοποθέτηση χωρίς επανάληψη θα είναι:

Ένα n m \u003d n! / (N-m)!

Οι ενώσεις από το n στοιχεία που διαφέρουν μόνο με τη σειρά της τοποθέτησης ονομάζονται μετάθεση. Στα μαθηματικά, έχει τη μορφή: p n \u003d n!

Συνδυάζει από τα στοιχεία n σε m ονομάζονται τέτοιες ενώσεις στις οποίες είναι σημαντικό ποια στοιχεία ήταν και ποιο είναι το σύνολο τους. Ο τύπος θα εξετάσει:

Ένα n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli Formula

Σε θεωρία πιθανοτήτων, καθώς και σε κάθε πειθαρχία, υπάρχουν έργα εκκρεμή στον τομέα των ερευνητών τους που την έφεραν σε νέο επίπεδο. Ένα από αυτά τα έργα είναι ο τύπος Bernoulli, ο οποίος καθιστά δυνατή τον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός συγκεκριμένου γεγονότος υπό ανεξάρτητες συνθήκες. Αυτό υποδηλώνει ότι η εμφάνιση ενός στο πείραμα δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή δεν εμφανίζεται το ίδιο συμβάν στις προηγούμενες ή επόμενες δοκιμές.

Εξίσωση Bernoulli:

P n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.

Η πιθανότητα (P) της εμφάνισης ενός συμβάντος (α) παραμένει αμετάβλητη για κάθε δοκιμή. Η πιθανότητα να συμβεί η κατάσταση ακριβώς m φορές σε n Οι ποσότητες πειράματος θα υπολογίζονται από τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω. Κατά συνέπεια, τίθεται το ερώτημα σχετικά με τον τρόπο ανακαλύψε τον αριθμό Q.

Εάν το συμβάν αυτό συμβεί ο αριθμός των φορών, αντίστοιχα, ενδέχεται να μην έρθει. Η μονάδα είναι ο αριθμός που πρέπει να δηλώνεται από όλα τα αποτελέσματα της κατάστασης στην πειθαρχία. Ως εκ τούτου, το Q είναι ένας αριθμός που σημαίνει τη δυνατότητα των λανθασμένων συμβάντων.

Τώρα γνωρίζετε τη φόρμουλα Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων). Παραδείγματα εργασιών επίλυσης (πρώτο επίπεδο) εξετάζουν περαιτέρω.

Εργασία 2: Ο επισκέπτης του καταστήματος θα κάνει μια αγορά με πιθανότητα 0,2. 6 επισκέπτες επισκέπτονται το κατάστημα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο επισκέπτης θα κάνει μια αγορά;

Λύση: Δεδομένου ότι δεν είναι γνωστό πόσοι επισκέπτες πρέπει να κάνουν μια αγορά, ένα ή και το έξι, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε όλες τις πιθανές πιθανότητες χρησιμοποιώντας τον Bernoullli Formula.

A \u003d "ο επισκέπτης θα κάνει μια αγορά."

Στην περίπτωση αυτή: p \u003d 0,2 (όπως υποδεικνύεται στην εργασία). Συνεπώς, q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (δεδομένου ότι το κατάστημα έχει 6 επισκέπτες). Ο αριθμός m θα αλλάξει από το 0 (κανένας αγοραστής κάνει μια αγορά) σε 6 (όλοι οι επισκέπτες θα αγοράσουν κάτι θα αγοραστούν). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια λύση:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × q 6 \u003d Q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Κανένας από τους αγοραστές δεν κάνει μια αγορά με πιθανότητα 0,2621.

Πώς αλλιώς είναι ο τύπος Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων); Παραδείγματα προβλημάτων επίλυσης (δεύτερο επίπεδο) στη συνέχεια.

Μετά το παραπάνω παράδειγμα, προκύπτουν ερωτήσεις σχετικά με το πού να μοιραστείτε με και r. Σχετικά με τον αριθμό Ρ στον βαθμό 0 θα είναι ίσο με ένα. Όπως και για το C, μπορεί να βρεθεί στον τύπο:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Δεδομένου ότι στο πρώτο παράδειγμα m \u003d 0, αντίστοιχα, C \u003d 1, το οποίο κατ 'αρχήν δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας μια νέα φόρμουλα, ας προσπαθήσουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα αγοράς αγαθών από δύο επισκέπτες.

P 6 (2) \u003d C 6 2 × P 2 × 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 4 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Δεν είναι τόσο περίπλοκη η θεωρία της πιθανότητας. Τύπος Bernoulli, παραδείγματα των οποίων παρουσιάζονται παραπάνω, η οποία είναι άμεση απόδειξη.

Τύπος Poisson

Η εξίσωση Poisson χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό απίθανων τυχαίων καταστάσεων.

Βασικός τύπος:

P n (m) \u003d λ mm / m! × E (-λ).

Σε αυτή την περίπτωση, λ \u003d n x p. Αυτός είναι ένας τόσο απλός τύπος Poisson (θεωρία πιθανοτήτων). Παραδείγματα εργασιών επίλυσης θεωρούν περαιτέρω.

Εργασία 3.: Στο εργοστάσιο κατασκευασμένο μέρος του ποσού των 100.000 τεμαχίων. Την εμφάνιση του ελαττωματικού μέρους \u003d 0,0001. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα 5 ελαττωματικά μέρη θα είναι στο πάρτι;

Όπως μπορείτε να δείτε, ο γάμος είναι μια απίθανη εκδήλωση και σε σχέση με την οποία χρησιμοποιείται η φόρμουλα Poisson (θεωρία πιθανοτήτων) για τον υπολογισμό. Παραδείγματα προβλημάτων επίλυσης αυτού του είδους δεν διαφέρουν από άλλα καθήκοντα της πειθαρχίας, στον μειωμένο τύπο που υποκαθιστούμε τα απαραίτητα δεδομένα:

A \u003d "τυχαία επιλεγμένο στοιχείο θα είναι ελαττωματικό."

p \u003d 0,0001 (σύμφωνα με την κατάσταση ανάθεσης).

n \u003d 100000 (αριθμός εξαρτημάτων).

m \u003d 5 (ελαττωματικά μέρη). Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο και λάβετε:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Εκτός από τη φόρμουλα Bernoulli (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα λύσεων με τη βοήθεια των οποίων είναι γραμμένα πάνω, η εξίσωση Poisson έχει ένα άγνωστο e. Στην πραγματικότητα, μπορεί να βρεθεί στον τύπο:

e -λ \u003d Lim N -\u003e ∞ (1-λ / Ν) n.

Ωστόσο, υπάρχουν ειδικοί πίνακες στους οποίους υπάρχουν σχεδόν όλες οι αξίες.

Moavorrow Θεώρημα Laplace

Εάν ο αριθμός των δοκιμών στο Bernoulli στο σύστημα Bernoulli και η πιθανότητα ενός γεγονότος και σε όλα τα συστήματα είναι η ίδια, τότε η πιθανότητα γεγονότων και ένας ορισμένος αριθμός χρόνων σε μια σειρά δοκιμών μπορεί να βρεθεί όπως ο Laplace Formula:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X M \u003d M-NP / √NPQ.

Για να θυμηθείτε καλύτερα τον τύπο της Laplace (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα καθηκόντων για να βοηθήσει κατωτέρω.

Πρώτα βρήκαμε το x m, υποκαθιστούμε τα δεδομένα (όλα εμφανίζονται παραπάνω) στον τύπο και να πάρει 0,025. Με τη βοήθεια πινάκων, βρίσκουμε τον αριθμό φ (0,025), την τιμή του οποίου είναι 0,3988. Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Έτσι, η πιθανότητα ότι το διαφημιστικό φυλλάδιο θα λειτουργήσει ακριβώς 267 φορές, είναι 0,03.

Bayes Formula.

Bayes Formula (θεωρία πιθανοτήτων), παραδείγματα εργασιών επίλυσης με τα οποία θα εμφανίζονται παρακάτω, είναι μια εξίσωση που περιγράφει την πιθανότητα ενός γεγονότος, με βάση τις περιστάσεις που θα μπορούσαν να σχετίζονται με αυτήν. Ο κύριος τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

P (a | b) \u003d P (σε | A) x P (A) / P (C).

Τα Α και Β είναι ορισμένα γεγονότα.

P (a | B) - Η πιθανότητα υπό όρους, δηλαδή, ένα γεγονός μπορεί να συμβεί α, υπό την προϋπόθεση ότι το συμβάν είναι αληθές.

P (σε | Α) - Η υπό όρους πιθανότητα της εκδήλωσης V.

Έτσι, το τελευταίο μέρος της μικρής πορείας "Θεωρία πιθανότητας" είναι ο τύπος Bayes, παραδείγματα λύσεων καθηκόντων με τις οποίες παρακάτω.

Εργασία 5.: Η αποθήκη έφερε τηλέφωνα από τρεις εταιρείες. Ταυτόχρονα, μέρος των τηλεφώνων που παράγονται στο πρώτο εργοστάσιο είναι 25%, στο δεύτερο - 60%, στο τρίτο - 15%. Είναι επίσης γνωστό ότι το μέσο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων στο πρώτο εργοστάσιο είναι 2%, στο δεύτερο - 4%, και στο τρίτο - 1%. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η πιθανότητα ότι το τυχαία επιλεγμένο τηλέφωνο θα είναι ελαττωματικό.

A \u003d "τυχαία λήψη τηλεφώνου".

Στο 1ο τηλέφωνο που έκανε το πρώτο εργοστάσιο. Κατά συνέπεια, θα εμφανιστεί η εισαγωγική στα 2 και 3 (για το δεύτερο και το τρίτο εργοστάσιο).

Ως αποτέλεσμα, έχουμε:

P (σε 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (σε 2) \u003d 0,6; P (στο 3) \u003d 0,15 - Έτσι βρήκαμε την πιθανότητα κάθε επιλογής.

Τώρα πρέπει να βρείτε την υπό όρους πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος, δηλαδή την πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων σε επιχειρήσεις:

P (a / in 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / in 2) \u003d 0,04;

P (A / in 3) \u003d 0,01.

Τώρα θα αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στο Bayes Formula και θα πάρουμε:

Ρ (α) \u003d 0,25 χ 0,2 + 0,6 χ 0,4 + 0,15 χ 0,01 \u003d 0,0305.

Το άρθρο παρουσιάζει τη θεωρία της πιθανότητας, των τύπων και των παραδειγμάτων της επίλυσης προβλημάτων, αλλά είναι μόνο η κορυφή της εκτεταμένης πειθαρχίας του παγόβουνου. Και μετά από όλα γράφονται, θα είναι λογικό να ρωτήσετε αν χρειάζεται η θεωρία της πιθανότητας στη ζωή. Είναι δύσκολο να απαντήσετε σε ένα απλό άτομο να απαντήσετε, είναι καλύτερο να ρωτήσετε για αυτό που, με τη βοήθειά της, δεν έσπασε τον Jack-ιδρώτα.

Θα υπάρξουν καθήκοντα για μια ανεξάρτητη λύση στην οποία μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Η συνολική ρύθμιση του προβλήματος: είναι γνωστές οι πιθανότητες ορισμένων εκδηλώσεων και είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η πιθανότητα άλλων γεγονότων που σχετίζονται με αυτά τα γεγονότα. Αυτά τα καθήκοντα προκύπτουν την ανάγκη για τέτοιες ενέργειες σχετικά με τις πιθανότητες ως προσθήκη και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, δύο λήψεις που καθοδηγούνται στο κυνήγι. Εκδήλωση ΕΝΑ. - Η πάπια πέφτει από την πρώτη βολή, γεγονός ΣΙ. - Χτυπήστε από το δεύτερο πλάνο. Τότε το άθροισμα των γεγονότων ΕΝΑ. και ΣΙ. - χτυπήστε από το πρώτο ή το δεύτερο πλάνο ή από δύο βολές.

Καθήκοντα άλλου τύπου. Υπάρχουν πολλά γεγονότα, για παράδειγμα, ένα κέρμα ρίχνεται τρεις φορές. Απαιτείται να βρούμε την πιθανότητα ότι το έμβλημα θα πέσει ή και οι τρεις φορές, ή το έμβλημα θα πέσει τουλάχιστον μία φορά. Αυτό είναι το καθήκον του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων.

Προσθήκη πιθανότητας ατελή γεγονότα

Προσθήκη πιθανότητας χρησιμοποιείται όταν είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την πιθανότητα συνδυασμού ή του λογικού ποσού τυχαίων γεγονότων.

Το ποσό των γεγονότων ΕΝΑ. και ΣΙ. σημαίνω ΕΝΑ. + ΣΙ. ή ΕΝΑ. ∪ ΣΙ.. Το άθροισμα δύο γεγονότων ονομάζεται ένα γεγονός που έρχεται όταν και μόνο όταν συμβαίνει τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα. Αυτό σημαίνει ότι ΕΝΑ. + ΣΙ. - ένα γεγονός που έρχεται στη συνέχεια και μόνο όταν ένα συμβάν συνέβη όταν παρατηρήθηκε ΕΝΑ.ή γεγονός ΣΙ., ή ταυτόχρονα ΕΝΑ.και ΣΙ..

Εάν τα γεγονότα ΕΝΑ.και ΣΙ.Αμοιβαία ασυνεπή και οι πιθανότητες τους δίνονται, τότε η πιθανότητα να συμβεί, ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής, ένα από αυτά τα συμβάντα θα εμφανιστούν, υπολογιζόμενες χρησιμοποιώντας την προσθήκη πιθανοτήτων.

Θεωρία προσθήκης πιθανότητας. Η πιθανότητα να προκύψει ένα από τα δύο αμοιβαία ελλιπή γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων:

Για παράδειγμα, δύο λήψεις που παράγονται στο κυνήγι. Εκδήλωση ΑΛΛΑ - Η πάπια πέφτει από την πρώτη βολή, γεγονός ΣΕ- Χτυπήστε από τη δεύτερη βολή, γεγονός ( ΑΛΛΑ+ ΣΕ) - Χτυπήστε από το πρώτο ή το δεύτερο πλάνο ή από δύο βολές. Έτσι, αν δύο εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΕ - Ελλιπή γεγονότα, τότε ΑΛΛΑ+ ΣΕ- την έναρξη τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα ή δύο γεγονότα.

Παράδειγμα 1.Στο συρτάρι 30 μπάλες των ίδιων μεγεθών: 10 κόκκινα, 5 μπλε και 15 λευκά. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι χωρίς να φαίνεται ότι θα ληφθεί χρώμα (όχι λευκή) μπάλα.

Απόφαση. Θα λάβουμε αυτό το γεγονός ΑΛΛΑ- "Μια κόκκινη μπάλα λαμβάνεται", και το γεγονός ΣΕ- "Μπλε μπάλα λαμβάνεται". Στη συνέχεια, η εκδήλωση γίνεται "έγχρωμη (όχι λευκή) μπάλα". Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ:

και γεγονότα ΣΕ:

Εκδηλώσεις ΑΛΛΑκαι ΣΕ - Αμοιβαία ασυμβίβαστη, διότι εάν ληφθεί μια μπάλα, τότε δεν μπορείτε να πάρετε τις μπάλες διαφορετικών χρωμάτων. Επομένως, χρησιμοποιούμε την προσθήκη πιθανοτήτων:

Προσθήκη πιθανότητας Θεώρημα για πολλά ελλιπή συμβάντα. Εάν τα γεγονότα αποτελούν ένα πλήρες σύνολο συμβάντων, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι 1:

Το άθροισμα της πιθανότητας αντίθετων συμβάντων είναι επίσης ίσο με 1:

Τα αντίθετα γεγονότα αποτελούν ένα πλήρες σύνολο συμβάντων και η πιθανότητα ενός πλήρους σειράς συμβάντων είναι 1.

Οι πιθανότητες των αντιτιθέμενων συμβάντων συνήθως δηλώνται με μικρά γράμματα. Π. και q.. Συγκεκριμένα,

Αυτό που ακολουθεί τους ακόλουθους τύπους όπως τα αντίθετα γεγονότα:

Παράδειγμα 2.Ο στόχος στην παύλα χωρίζεται σε 3 ζώνες. Η πιθανότητα ότι ένας συγκεκριμένος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο στην πρώτη ζώνη είναι 0,15, στη δεύτερη ζώνη - 0,23, στην τρίτη ζώνη - 0,17. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο σκοπευτής θα πέσει στον στόχο και την πιθανότητα ότι ο σκοπευτής θα πέσει πέρα \u200b\u200bαπό το στόχο.

Λύση: Θα βρούμε την πιθανότητα ότι ο σκοπευτής θα πέσει στο στόχο:

Θα βρούμε την πιθανότητα ότι ο σκοπευτής θα πέσει πέρα \u200b\u200bαπό τον στόχο:

Τα καθήκοντα είναι πιο ολοκληρωμένα, στα οποία πρέπει να εφαρμοστεί η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων - στη σελίδα "διάφορες εργασίες για την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων".

Προσθήκη πιθανότητας αμοιβαία κοινά γεγονότα

Δύο τυχαία συμβάντα ονομάζονται άρθρωση, εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν αποκλείει την έναρξη του δεύτερου γεγονότος με την ίδια παρατήρηση. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα συμβάν παιχνιδιού ΑΛΛΑΗ απόρριψη του αριθμού 4 θεωρείται και το συμβάν ΣΕ- Απώλεια αναγνώστη. Δεδομένου ότι ο αριθμός 4 είναι ένας ζυγός αριθμός, αυτά τα δύο συμβάντα είναι συμβατά. Στην πράξη, υπάρχουν καθήκοντα σχετικά με τον υπολογισμό της πιθανότητας εμφάνισης ενός από τα αμοιβαία κοινά γεγονότα.

Προσθήκη πιθανότητας Θεώρημα για κοινά γεγονότα. Η πιθανότητα να έρθει ένα από τα κοινά γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων από τις οποίες αφαιρείται η πιθανότητα της συνολικής έναρξης και των δύο εκδηλώσεων, δηλαδή το προϊόν των πιθανοτήτων. Ο τύπος των πιθανοτήτων των κοινών γεγονότων έχει την ακόλουθη μορφή:

Δεδομένου ότι τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΕ Συμβατό, γεγονός ΑΛΛΑ+ ΣΕέρχεται αν εμφανιστεί ένα από τα τρία πιθανά γεγονότα: ή Au. Σύμφωνα με την προσθήκη ελλιπών γεγονότων, υπολογίζουμε αυτό:

Εκδήλωση ΑΛΛΑΘα έρθει αν εμφανιστεί ένα από τα δύο ασυνεπή γεγονότα: ή Au. Ωστόσο, η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος από διάφορα ελλιπή γεγονότα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων αυτών των συμβάντων:

Ομοίως:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (6) και (7) στην έκφραση (5), λαμβάνουμε έναν τύπο πιθανότητας για κοινά γεγονότα:

Όταν χρησιμοποιείτε τον τύπο (8), θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα γεγονότα ΑΛΛΑ και ΣΕμπορεί:

• αμοιβαία ανεξάρτητη.
• αμοιβαία εξαρτημένη.

Τύπος πιθανότητας για αμοιβαία ανεξάρτητα συμβάντα:

Τύπος πιθανότητας για αμοιβαία εξαρτώμενα γεγονότα:

Εάν τα γεγονότα ΑΛΛΑκαι ΣΕασυνεπής, η σύμπτωμα τους είναι η αδύνατη περίπτωση και, συνεπώς, Π.(Ab) \u003d 0. Ο τέταρτος τύπος πιθανότητας για τα ελλιπή συμβάντα έχει ως εξής:

Παράδειγμα 3.Στο αυτοκίνητο αγωνιστικά κατά την άφιξη στο πρώτο αυτοκίνητο, η πιθανότητα να κερδίσει, κατά την άφιξη στο δεύτερο αυτοκίνητο. Να βρω:

• την πιθανότητα να κερδίσουν και τα δύο αυτοκίνητα.
• την πιθανότητα να κερδίσει τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο.

1) Η πιθανότητα να κερδίσει το πρώτο αυτοκίνητο δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα του δεύτερου αυτοκινήτου, έτσι γεγονότα ΑΛΛΑ(Κερδίστε το πρώτο αυτοκίνητο) και ΣΕ (Το δεύτερο όχημα θα κερδίσει) - ανεξάρτητα γεγονότα. Θα βρούμε την πιθανότητα ότι και τα δύο αυτοκίνητα θα κερδίσουν:

2) Θα βρούμε την πιθανότητα ότι ένα από τα δύο αυτοκίνητα θα κερδίσει:

Τα καθήκοντα είναι πιο ολοκληρωμένα, στα οποία πρέπει να εφαρμοστεί η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων - στη σελίδα "διάφορες εργασίες για την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων".

Επίλυση της εργασίας για την προσθήκη πιθανοτήτων μόνοι σας και στη συνέχεια να δείτε την απόφαση

Παράδειγμα 4. Δύο κέρματα βιασύνη. Εκδήλωση ΕΝΑ. - την απώλεια του οικόσημου στο πρώτο νόμισμα. Εκδήλωση ΣΙ. - την απώλεια του ορίου στο δεύτερο νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα συμβάντων ΝΤΟ. = ΕΝΑ. + ΣΙ. .

Πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων

Ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων χρήσης όταν πρέπει να υπολογιστεί η πιθανότητα του λογικού προϊόντος των γεγονότων.

Ταυτόχρονα, τα τυχαία γεγονότα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Δύο γεγονότα καλούνται αμοιβαία ανεξάρτητη αν η έναρξη ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος.

Πολλαπλασιασμός πολλαπλασιασμού θεώρημα για ανεξάρτητα γεγονότα. Την πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων ΑΛΛΑκαι ΣΕΕίναι ίσο με το προϊόν των πιθανοτήτων αυτών των συμβάντων και υπολογίζεται από τον τύπο:

Παράδειγμα 5.Το νόμισμα ρίχνεται τρεις φορές στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα ότι το οικόσημο θα πέσει τρεις φορές.

Απόφαση. Η πιθανότητα να πέσουν τα κέρματα με το πρώτο ρίχνει κέρμα, τη δεύτερη φορά, για τρίτη φορά. Θα βρούμε την πιθανότητα ότι το έμβλημα θα πέσει τρεις φορές:

Επίλυση καθηκόντων για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων ανεξάρτητα και στη συνέχεια να δείτε την απόφαση

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Υπάρχει ένα κουτί με εννέα νέες μπάλες του τένις. Για το παιχνίδι πάρτε τρεις γκολ, μετά το παιχνίδι που επιστρέφουν. Όταν επιλέγετε μπάλες, οι παίκτες δεν διακρίνονται από τις μη καρέκλες. Ποια είναι η πιθανότητα ότι μετά από τρία παιχνίδια στο κουτί δεν θα παραμείνουν μη καρέκλες;

Παράδειγμα 7. 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου γράφονται στον κύκλο του διαχωρισμένου αλφαβήτου. Πέντε κάρτες αφαιρούνται τυχαία το ένα μετά το άλλο και στοιβάζονται στο τραπέζι με τη σειρά εμφάνισης. Βρείτε την πιθανότητα να αποδειχθεί η λέξη "τέλος".

Παράδειγμα 8. Τέσσερις κάρτες αφαιρούνται από το πλήρες κατάστρωμα των χαρτών (52 φύλλα). Βρείτε την πιθανότητα ότι όλες αυτές οι τέσσερις κάρτες θα είναι διαφορετικές υφές.

Παράδειγμα 9. Το ίδιο καθήκον είναι ότι στο Παράδειγμα 8, αλλά κάθε κάρτα μετά την απομάκρυνση των επιστροφών στο κατάστρωμα.

Τα καθήκοντα είναι πιο ολοκληρωμένα, στα οποία πρέπει να εφαρμοστεί η προσθήκη και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων, καθώς και να υπολογίσει το προϊόν πολλών συμβάντων - στη σελίδα "διάφορες εργασίες για την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων".

Η πιθανότητα να υπολογίζεται τουλάχιστον ένα από τα αμοιβαία ανεξάρτητα γεγονότα μπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας από 1 προϊόν της πιθανότητας των αντίθετων συμβάντων, δηλαδή από τον τύπο.