Η χρυσή αναλογία - τι είναι; Είναι αριθμοί Fibonacci; Τι κοινό έχουν η έλικα του DNA, το κέλυφος, ο γαλαξίας και οι αιγυπτιακές πυραμίδες; Η σπείρα Fibonacci είναι ένας κρυπτογραφημένος νόμος της φύσης.

Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι είναι ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Σε ένα από τα έργα του "Το βιβλίο των υπολογισμών" ο Φιμπονάτσι περιέγραψε το ινδοαραβικό σύστημα υπολογισμού και τα πλεονεκτήματα της χρήσης του σε σχέση με το ρωμαϊκό.

Ορισμός
Οι αριθμοί Fibonacci ή Fibonacci Sequence είναι μια αριθμητική ακολουθία που έχει μια σειρά από ιδιότητες. Για παράδειγμα, το άθροισμα δύο παρακείμενων αριθμών της ακολουθίας δίνει την τιμή του επόμενου (για παράδειγμα, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5, κ.λπ.), η οποία επιβεβαιώνει την ύπαρξη των λεγόμενων λόγων Fibonacci , δηλ σταθερές αναλογίες.

Η ακολουθία Fibonacci ξεκινά έτσι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Πλήρης ορισμός των αριθμών Fibonacci

3.


Ιδιότητες ακολουθίας Fibonacci

4.

1. Ο λόγος κάθε αριθμού προς τον επόμενο τείνει στο 0,618 όσο αυξάνεται ο κανονικός αριθμός. Ο λόγος κάθε αριθμού προς τον προηγούμενο τείνει στο 1,618 (αντίστροφος σε 0,618). Ο αριθμός 0.618 ονομάζεται (PI).

2. Όταν διαιρείται κάθε αριθμός με τον επόμενο, μετά από ένα, λαμβάνεται ο αριθμός 0.382. αντίθετα - αντίστοιχα 2.618.

3. Επιλέγοντας τις αναλογίες με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε το κύριο σύνολο συντελεστών Fibonacci:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.


Η σύνδεση μεταξύ της ακολουθίας Fibonacci και της "χρυσής αναλογίας"

6.

Η ακολουθία Fibonacci ασυμπτωτικά (πλησιάζει όλο και πιο αργά) τείνει σε κάποια σταθερή αναλογία. Ωστόσο, αυτός ο λόγος είναι παράλογος, είναι δηλαδή ένας αριθμός με άπειρη, απρόβλεπτη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Είναι αδύνατο να το εκφράσω με ακρίβεια.

Εάν οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας Fibonacci διαιρείται με αυτό που προηγείται (για παράδειγμα, 13: 8), το αποτέλεσμα θα είναι μια τιμή που κυμαίνεται γύρω από την παράλογη τιμή 1.61803398875 ... και, κάθε τόσο, τότε το κάνει να μην το φτάσω. Αλλά ακόμα κι αν αγγίξαμε την Αιωνιότητα, είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ακριβώς την αναλογία, μέχρι το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο. Για λόγους σκληρότητας, θα το μεταφράσουμε με τη μορφή 1.618. Ειδικά ονόματα για αυτήν την αναλογία άρχισαν να δίνονται ακόμη και πριν ο Luca Pacioli (μαθηματικός του μέσου αιώνα) το αποκαλέσει Θεϊκή Αναλογία. Μεταξύ των σύγχρονων ονομάτων του υπάρχουν όπως Golden Ratio, Golden Mean και η αναλογία περιστρεφόμενων τετραγώνων. Ο Keplep χαρακτήρισε αυτή τη σχέση έναν από τους "θησαυρούς της γεωμετρίας". Στην άλγεβρα, ο χαρακτηρισμός του είναι γενικά αποδεκτός από το ελληνικό γράμμα phi

Ας φανταστούμε τη χρυσή τομή χρησιμοποιώντας ένα τμήμα γραμμής ως παράδειγμα.

Εξετάστε ένα τμήμα με άκρα Α και Β. Αφήστε το σημείο Γ να διαιρέσει το τμήμα ΑΒ έτσι ώστε,

AC / CB = CB / AB ή

AB / CB = CB / AC.

Μπορείτε να το σκεφτείτε έτσι: A -– C --– B

7.

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στο οποίο ολόκληρο το τμήμα αναφέρεται στο μεγαλύτερο μέρος όσο το μεγαλύτερο τμήμα αναφέρεται στο μικρότερο. ή με άλλα λόγια, ένα μικρότερο τμήμα σχετίζεται με ένα μεγαλύτερο ως μεγαλύτερο με όλα.

8.

Τα τμήματα της χρυσής τομής εκφράζονται με το άπειρο παράλογο κλάσμα 0,618 ... αν το AB ληφθεί ως μονάδα, AC = 0,382 .. Όπως ήδη γνωρίζουμε, οι αριθμοί 0,618 και 0,382 είναι οι συντελεστές της ακολουθίας Fibonacci.

9.

Fibonacci και Golden Ratios στη φύση και την ιστορία

10.


Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο Fibonacci, όπως ήταν, υπενθύμισε την ακολουθία του στην ανθρωπότητα. Wasταν γνωστή ακόμη και στους αρχαίους Έλληνες και Αιγύπτιους. Πράγματι, έκτοτε στη φύση, την αρχιτεκτονική, τις καλές τέχνες, τα μαθηματικά, τη φυσική, την αστρονομία, τη βιολογία και πολλούς άλλους τομείς, βρέθηκαν πρότυπα που περιγράφονται από τους συντελεστές Fibonacci. Είναι εκπληκτικό πόσες σταθερές μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci και πώς τα μέλη της εμφανίζονται σε έναν τεράστιο αριθμό συνδυασμών. Ωστόσο, δεν θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι αυτό δεν είναι απλώς ένα παιχνίδι με αριθμούς, αλλά η πιο σημαντική μαθηματική έκφραση φυσικών φαινομένων που ανακαλύφθηκαν ποτέ.

11.

Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν μερικές ενδιαφέρουσες εφαρμογές αυτής της μαθηματικής ακολουθίας.

12.

1. Το κέλυφος τυλίγεται σπειροειδώς. Αν το ξεδιπλώσετε, έχετε ένα μήκος ελαφρώς κατώτερο από το μήκος του φιδιού. Το μικρό κέλυφος των 10 εκατοστών έχει μια σπείρα μήκους 35 εκ. Το σχήμα του σπειροειδώς κουλουριασμένου κελύφους τράβηξε την προσοχή του Αρχιμήδη. Το θέμα είναι ότι ο λόγος των μετρήσεων των μπούκλες του κελύφους είναι σταθερός και ίσος με 1,618. Ο Αρχιμήδης μελέτησε τη σπείρα των κελυφών και έβγαλε την εξίσωση για τη σπείρα. Η σπείρα που προέρχεται από αυτήν την εξίσωση έχει το όνομά του. Η αύξηση στο βήμα της είναι πάντα ομοιόμορφη. Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία.

2. Φυτά και ζώα. Ακόμα και ο Γκαίτε τόνισε την τάση της φύσης να σπειροειδής. Η ελικοειδής και σπειροειδής διάταξη των φύλλων στα κλαδιά των δέντρων παρατηρήθηκε πολύ καιρό πριν. Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη των ηλιόσπορων, σε κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτους κ.λπ. Η κοινή δουλειά βοτανολόγων και μαθηματικών έχει ρίξει φως σε αυτά τα καταπληκτικά φυσικά φαινόμενα. Αποδείχθηκε ότι στη διάταξη των φύλλων σε έναν κλάδο ηλιόσπορων, κουκουνάρια, η σειρά Fibonacci εκδηλώνεται και επομένως εκδηλώνεται ο νόμος της χρυσής αναλογίας. Η αράχνη υφαίνει τον ιστό με σπειροειδή τρόπο. Ένας τυφώνας περιστρέφεται σπειροειδώς. Ένα τρομαγμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα. Το μόριο DNA περιστρέφεται σε διπλή έλικα. Ο Γκαίτε αποκάλεσε τη σπείρα "καμπύλη της ζωής".

Μεταξύ των χόρτων στην άκρη του δρόμου, φυτρώνει ένα αξιοσημείωτο φυτό - κιχώριο. Ας τον ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Μια διαδικασία έχει σχηματιστεί από το κύριο στέλεχος. Το πρώτο φύλλο βρίσκεται ακριβώς εκεί. Ο βλαστός κάνει μια ισχυρή εκτόξευση στο διάστημα, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά είναι πιο κοντό από το πρώτο, και πάλι κάνει μια εκτόξευση στο διάστημα, αλλά με λιγότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά. Εάν η πρώτη εκπομπή λαμβάνεται ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη ισούται με 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24 κ.λπ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Κατά την ανάπτυξη, την κατάκτηση του διαστήματος, το φυτό διατηρούσε ορισμένες αναλογίες. Οι παρορμήσεις της ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Η σαύρα είναι ζωογόνος. Σε μια σαύρα, με την πρώτη ματιά, πιάνουν αναλογίες ευχάριστες στα μάτια μας - το μήκος της ουράς του σχετίζεται τόσο με το μήκος του υπόλοιπου σώματος όσο και 62 έως 38.

Τόσο στον φυτικό όσο και στον ζωικό κόσμο, η διαμορφωτική τάση της φύσης διαπερνά επίμονα - συμμετρία ως προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης και της κίνησης. Εδώ, η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις αναλογίες των τμημάτων κάθετα προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης. Η φύση πραγματοποίησε τη διαίρεση σε συμμετρικά μέρη και χρυσές αναλογίες. Στα μέρη, εκδηλώνεται η επανάληψη της δομής του συνόλου.

Ο Πιερ Κιουρί στις αρχές αυτού του αιώνα διατύπωσε μια σειρά από βαθιές ιδέες συμμετρίας. Υποστήριξε ότι δεν μπορεί κανείς να εξετάσει τη συμμετρία οποιουδήποτε σώματος χωρίς να λάβει υπόψη τη συμμετρία του περιβάλλοντος. Τα μοτίβα της χρυσής συμμετρίας εκδηλώνονται στις ενεργειακές μεταβάσεις στοιχειωδών σωματιδίων, στη δομή ορισμένων χημικών ενώσεων, σε πλανητικά και διαστημικά συστήματα, στις γενετικές δομές ζωντανών οργανισμών. Αυτά τα μοτίβα, όπως αναφέρθηκαν παραπάνω, βρίσκονται στη δομή μεμονωμένων οργάνων ενός ατόμου και του σώματος στο σύνολό του, και εκδηλώνονται επίσης σε βιορυθμούς και τη λειτουργία του εγκεφάλου και την οπτική αντίληψη.

3. Χώρος. Είναι γνωστό από την ιστορία της αστρονομίας ότι ο I. Titius, Γερμανός αστρονόμος του 18ου αιώνα, με τη βοήθεια αυτής της σειράς (Fibonacci) βρήκε την κανονικότητα και την τάξη στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού συστήματος

Ωστόσο, μια περίπτωση που φαινομενικά αντίκειται στον νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ Άρη και Δία. Η συγκεντρωμένη παρατήρηση αυτής της περιοχής του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών. Αυτό συνέβη μετά το θάνατο του Τιτίου στις αρχές του 19ου αιώνα.

Η σειρά Fibonacci χρησιμοποιείται ευρέως: χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει την αρχιτεκτονική των ζωντανών όντων, τις τεχνητές κατασκευές και τη δομή των Γαλαξιών. Αυτά τα γεγονότα είναι απόδειξη της ανεξαρτησίας της σειράς αριθμών από τις συνθήκες εκδήλωσής της, κάτι που είναι ένα από τα σημάδια της καθολικότητάς της.

4. Πυραμίδες. Πολλοί προσπάθησαν να αποκαλύψουν τα μυστικά της πυραμίδας στη Γκίζα. Σε αντίθεση με άλλες αιγυπτιακές πυραμίδες, αυτός δεν είναι τάφος, αλλά μάλλον ένα αδιάλυτο παζλ συνδυασμών αριθμών. Η αξιοσημείωτη εφευρετικότητα, ικανότητα, χρόνος και κόπος των αρχιτεκτόνων της πυραμίδας, που χρησιμοποίησαν στην κατασκευή του αιώνιου συμβόλου, υποδεικνύουν την εξαιρετική σημασία του μηνύματος που ήθελαν να μεταφέρουν στις επόμενες γενιές. Η εποχή τους ήταν πρωτόγνωρη, προ-ιερογλυφική ​​και τα σύμβολα ήταν το μόνο μέσο καταγραφής ανακαλύψεων. Το κλειδί για το γεωμετρικό-μαθηματικό μυστικό της πυραμίδας στη Γκίζα, που ήταν μυστήριο για την ανθρωπότητα τόσο καιρό, δόθηκε στην πραγματικότητα στον Ηρόδοτο από τους ιερείς του ναού, οι οποίοι τον ενημέρωσαν ότι η πυραμίδα ήταν χτισμένη έτσι ώστε η περιοχή κάθε όψη του ήταν ίση με το τετράγωνο του ύψους του.

Περιοχή τριγώνου

356 x 440/2 = 78320

Τετράγωνη περιοχή

280 x 280 = 78400

Το μήκος της άκρης της βάσης της πυραμίδας στη Γκίζα είναι 783,3 πόδια (238,7 μέτρα), το ύψος της πυραμίδας είναι 484,4 πόδια (147,6 μέτρα). Το μήκος της βασικής πλευράς διαιρούμενο με το ύψος οδηγεί στον λόγο Φ = 1,618. Ένα ύψος 484,4 ποδιών αντιστοιχεί σε 5813 ίντσες (5-8-13)-αυτοί είναι αριθμοί από την ακολουθία Fibonacci. Αυτές οι ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις υποδηλώνουν ότι ο σχεδιασμός της πυραμίδας βασίζεται στην αναλογία Φ = 1.618. Ορισμένοι σύγχρονοι μελετητές τείνουν να ερμηνεύσουν ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το έχτισαν με μοναδικό σκοπό τη μετάδοση της γνώσης που ήθελαν να διατηρήσουν για τις επόμενες γενιές. Οι εντατικές μελέτες της πυραμίδας στη Γκίζα έδειξαν πόσο εκτεταμένη ήταν η γνώση στα μαθηματικά και την αστρολογία εκείνη την εποχή. Σε όλες τις εσωτερικές και εξωτερικές αναλογίες της πυραμίδας, ο αριθμός 1.618 παίζει κεντρικό ρόλο.

Πυραμίδες στο Μεξικό. Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες είναι χτισμένες σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής, το ίδιο φαινόμενο συναντάται και στις μεξικάνικες πυραμίδες. Η ιδέα προκύπτει ότι τόσο οι αιγυπτιακές όσο και οι μεξικανικές πυραμίδες χτίστηκαν περίπου την ίδια στιγμή από άτομα κοινής καταγωγής.

Υπάρχουν ακόμη πολλά άλυτα μυστήρια στο σύμπαν, μερικά από τα οποία οι επιστήμονες έχουν ήδη καταφέρει να εντοπίσουν και να περιγράψουν. Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή αναλογία αποτελούν τη βάση για την επίλυση του κόσμου γύρω, κατασκευάζοντας το σχήμα του και τη βέλτιστη οπτική αντίληψη από ένα άτομο, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί να αισθανθεί ομορφιά και αρμονία.

Χρυσή αναλογία

Η αρχή του καθορισμού του μεγέθους της χρυσής τομής είναι η τελειότητα ολόκληρου του κόσμου και των μερών του στη δομή και τις λειτουργίες του, η εκδήλωσή του μπορεί να φανεί στη φύση, την τέχνη και την τεχνολογία. Το δόγμα της χρυσής τομής διατυπώθηκε ως αποτέλεσμα μελετών αρχαίων επιστημόνων για τη φύση των αριθμών.

Βασίζεται στη θεωρία των αναλογιών και των αναλογιών των διαιρέσεων τμημάτων, η οποία έγινε από τον αρχαίο φιλόσοφο και μαθηματικό Πυθαγόρα. Απέδειξε ότι κατά τη διαίρεση ενός τμήματος σε δύο μέρη: Χ (μικρότερο) και Υ (μεγαλύτερο), η αναλογία του μεγαλύτερου προς το μικρότερο θα είναι ίση με την αναλογία του αθροίσματος τους (ολόκληρο το τμήμα):

Το αποτέλεσμα είναι η εξίσωση: x 2 - x - 1 = 0,το οποίο λύνεται ως x = (1 ± √5) / 2.

Αν λάβουμε υπόψη την αναλογία 1 / x, τότε είναι ίση με 1,618…

Στοιχεία για τη χρήση της χρυσής τομής από τους αρχαίους στοχαστές δίνονται στο βιβλίο του Ευκλείδη «Αρχές», γραμμένο τον 3ο αιώνα. Π.Χ., ο οποίος εφάρμοσε αυτόν τον κανόνα για να κατασκευάσει κανονικά 5-gons. Μεταξύ των Πυθαγορείων, αυτή η μορφή θεωρείται ιερή, αφού είναι συμμετρική και ασύμμετρη. Το πεντάγραμμο συμβόλιζε τη ζωή και την υγεία.

Αριθμοί Φιμπονάτσι

Το διάσημο βιβλίο Liber abaci του μαθηματικού από την Ιταλία Leonardo της Πίζας, ο οποίος αργότερα έγινε γνωστός ως Fibonacci, δημοσιεύτηκε το 1202. Σε αυτό, ο επιστήμονας για πρώτη φορά παραθέτει την κανονικότητα των αριθμών, στη σειρά των οποίων κάθε αριθμός είναι άθροισμα 2 προηγούμενων ψηφίων. Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci είναι η ακόλουθη:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 κ.λπ.

Ο επιστήμονας ανέφερε επίσης μια σειρά από μοτίβα:

• Οποιοσδήποτε αριθμός από τη σειρά, διαιρούμενος με τον επόμενο, θα είναι ίσος με μια τιμή που τείνει στο 0,618. Επιπλέον, οι πρώτοι αριθμοί Fibonacci δεν δίνουν έναν τέτοιο αριθμό, αλλά καθώς κινούμαστε από την αρχή της ακολουθίας, αυτός ο λόγος θα γίνεται όλο και πιο ακριβής.
• Εάν διαιρέσουμε τον αριθμό από τη σειρά με την προηγούμενη, τότε το αποτέλεσμα θα σπεύσει στο 1,618.
• Ένας αριθμός διαιρούμενος με τον επόμενο μετά έναν θα εμφανίσει μια τιμή που τείνει στο 0,382.

Η εφαρμογή της σύνδεσης και των νόμων της χρυσής τομής, ο αριθμός Fibonacci (0.618) μπορεί να βρεθεί όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φύση, στην ιστορία, στην αρχιτεκτονική και την κατασκευή και σε πολλές άλλες επιστήμες.

Αρχιμήδης σπείρα και χρυσό ορθογώνιο

Οι σπείρες, που είναι πολύ συνηθισμένες στη φύση, ερευνήθηκαν από τον Αρχιμήδη, ο οποίος έβγαλε ακόμη και την εξίσωση του. Το σπειροειδές σχήμα βασίζεται στους νόμους της χρυσής αναλογίας. Όταν είναι ακατάσχετο, λαμβάνεται το μήκος, στο οποίο μπορούν να εφαρμοστούν οι αναλογίες και οι αριθμοί Fibonacci, το βήμα αυξάνεται ομοιόμορφα.

Ο παραλληλισμός μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας μπορεί να φανεί με την κατασκευή ενός «χρυσού ορθογωνίου» με ανάλογες πλευρές 1,618: 1. Είναι κατασκευασμένο, περνώντας από ένα μεγάλο ορθογώνιο σε μικρό, έτσι ώστε τα μήκη των πλευρών να είναι ίσα με τους αριθμούς από τη σειρά. Η κατασκευή του μπορεί να γίνει με αντίστροφη σειρά, ξεκινώντας από το κουτί "1". Όταν οι γωνίες αυτού του ορθογωνίου συνδέονται με γραμμές στο κέντρο της τομής τους, λαμβάνεται μια σπείρα Fibonacci ή λογαριθμική σπείρα.

Η ιστορία της χρήσης χρυσών αναλογιών

Πολλά αρχαία αρχιτεκτονικά μνημεία της Αιγύπτου ανεγέρθηκαν με χρυσές αναλογίες: τις περίφημες πυραμίδες του Χέοπα και άλλων.Οι αρχιτέκτονες της Αρχαίας Ελλάδας τα χρησιμοποίησαν ευρέως στην κατασκευή αρχιτεκτονικών αντικειμένων όπως ναοί, αμφιθέατρα, στάδια. Για παράδειγμα, τέτοιες αναλογίες χρησιμοποιήθηκαν στην κατασκευή του αρχαίου ναού του Παρθενώνα, (Αθήνα) και άλλων αντικειμένων που έχουν γίνει αριστουργήματα της αρχαίας αρχιτεκτονικής, επιδεικνύοντας αρμονία με βάση μαθηματικούς νόμους.

Στους επόμενους αιώνες, το ενδιαφέρον για τη Χρυσή Αναλογία υποχώρησε και τα πρότυπα ξεχάστηκαν, αλλά ξανάρχισαν στην Αναγέννηση, μαζί με το βιβλίο του Φραγκισκανού μοναχού L. Pacioli di Borgo "Θεία αναλογία" (1509). Περιείχε εικονογραφήσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος ενοποίησε το νέο όνομα "χρυσή αναλογία". Επίσης, 12 ιδιότητες της χρυσής τομής αποδείχθηκαν επιστημονικά και ο συγγραφέας μίλησε για το πώς εκδηλώνεται στη φύση, στην τέχνη και το ονόμασε "η αρχή της οικοδόμησης του κόσμου και της φύσης".

Vitruvian Man Leonardo

Το σχέδιο, το οποίο ο Λεονάρντο ντα Βίντσι χρησιμοποίησε για να εικονογραφήσει το βιβλίο του Βιτρούβιου το 1492, απεικονίζει μια ανθρώπινη φιγούρα σε 2 θέσεις με τα χέρια απλωμένα. Το σχήμα είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και τετράγωνο. Αυτό το σχέδιο θεωρείται ότι είναι οι κανονικές αναλογίες του ανθρώπινου σώματος (αρσενικό), που περιγράφονται από τον Λεονάρντο με βάση τη μελέτη του στις πραγματείες του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου.

Ο αφαλός θεωρείται το κέντρο του σώματος ως ίσο σημείο από το τέλος των χεριών και των ποδιών, το μήκος των χεριών είναι ίσο με το ύψος ενός ατόμου, το μέγιστο πλάτος ώμων = 1/8 του ύψους, η απόσταση από την κορυφή του στήθους στα μαλλιά = 1/7, από την κορυφή του στήθους στην κορυφή του κεφαλιού = 1/6 κ.λπ.

Από τότε, το σχέδιο χρησιμοποιήθηκε ως σύμβολο για να δείξει την εσωτερική συμμετρία του ανθρώπινου σώματος.

Ο Λεονάρντο χρησιμοποίησε τον όρο "Χρυσή Αναλογία" για να αναφερθεί στις αναλογικές σχέσεις στο σχήμα ενός ατόμου. Για παράδειγμα, η απόσταση από τη μέση στα πόδια σχετίζεται με την ίδια απόσταση από τον αφαλό ως το στέμμα του κεφαλιού καθώς και το ύψος έως το πρώτο μήκος (από τη μέση και κάτω). Αυτός ο υπολογισμός γίνεται παρόμοια με την αναλογία των τμημάτων κατά τον υπολογισμό της χρυσής τομής και τείνει στο 1,618.

Όλες αυτές οι αρμονικές αναλογίες χρησιμοποιούνται συχνά από καλλιτέχνες για να δημιουργήσουν όμορφα και εντυπωσιακά κομμάτια.

Μελέτες της Χρυσής Αναλογίας τον 16ο-19ο αιώνα

Χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή και τους αριθμούς Fibonacci, η έρευνα για τις αναλογίες συνεχίζεται εδώ και αιώνες. Παράλληλα με τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο Γερμανός καλλιτέχνης Άλμπρεχτ Ντύρερ ανέπτυξε επίσης τη θεωρία για τις σωστές αναλογίες του ανθρώπινου σώματος. Για αυτό, δημιούργησε ακόμη και μια ειδική πυξίδα.

Τον 16ο αιώνα. το ζήτημα της σχέσης μεταξύ του αριθμού Fibonacci και της χρυσής αναλογίας ήταν το θέμα των έργων του αστρονόμου Ι. Κέπλερ, ο οποίος ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε αυτούς τους κανόνες στη βοτανική.

Μια νέα «ανακάλυψη» περίμενε τη χρυσή τομή τον 19ο αιώνα. με τη δημοσίευση της «Αισθητικής Έρευνας» του Γερμανού επιστήμονα καθηγητή Zeisig. Ανέβασε αυτές τις αναλογίες σε απόλυτες και ανακοίνωσε ότι είναι καθολικές για όλα τα φυσικά φαινόμενα. Διεξήγαγε μελέτες για έναν τεράστιο αριθμό ανθρώπων, ή μάλλον τις σωματικές τους αναλογίες (περίπου 2 χιλιάδες), βάσει των οποίων εξήχθησαν συμπεράσματα σχετικά με στατιστικά επιβεβαιωμένα μοτίβα στις αναλογίες διαφόρων τμημάτων του σώματος: το μήκος των ώμων, των αντιβραχίων, των χεριών , δάχτυλα κλπ.

Αντικείμενα τέχνης (βάζα, αρχιτεκτονικές δομές), μουσικοί τόνοι, διαστάσεις κατά τη συγγραφή ποιημάτων μελετήθηκαν επίσης - ο Zeisig αντανακλούσε όλα αυτά μέσα από τα μήκη των τμημάτων και των αριθμών, εισήγαγε επίσης τον όρο "μαθηματική αισθητική". Μετά τη λήψη των αποτελεσμάτων, αποδείχθηκε ότι λαμβάνεται μια σειρά Fibonacci.

Ο αριθμός Φιμπονάτσι και η χρυσή αναλογία στη φύση

Στον κόσμο των φυτών και των ζώων, υπάρχει μια τάση σχηματισμού σχηματισμού με τη μορφή συμμετρίας, η οποία παρατηρείται προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης και της κίνησης. Η διαίρεση σε συμμετρικά μέρη, στα οποία παρατηρούνται οι χρυσές αναλογίες, είναι ένα πρότυπο εγγενές σε πολλά φυτά και ζώα.

Η φύση γύρω μας μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci, για παράδειγμα:

• η θέση των φύλλων ή των κλαδιών οποιουδήποτε φυτού, καθώς και οι αποστάσεις, σχετίζονται με έναν αριθμό δεδομένων αριθμών 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 και περαιτέρω ·
• ηλιόσποροι (ζυγαριές σε κώνους, κελιά ανανά), διατεταγμένες σε δύο σειρές κατά μήκος στριμμένων σπειρών σε διαφορετικές κατευθύνσεις.
• ο λόγος του μήκους της ουράς και ολόκληρου του σώματος της σαύρας.
• το σχήμα του αυγού, αν τραβήξετε μια γραμμή υπό όρους στο ευρύ τμήμα του.
• η αναλογία του μεγέθους των δακτύλων στο χέρι ενός ατόμου.

Και, φυσικά, τα πιο ενδιαφέροντα σχήματα είναι τα σπειροειδή κελύφη σαλιγκαριών, τα σχέδια στους ιστούς αράχνης, η κίνηση του ανέμου μέσα στον τυφώνα, η διπλή έλικα στο DNA και η δομή των γαλαξιών - όλα αυτά περιλαμβάνουν μια ακολουθία αριθμών Fibonacci Το

Η χρήση της χρυσής τομής στην τέχνη

Οι ερευνητές που αναζητούν παραδείγματα χρήσης της χρυσής τομής στην τέχνη διερευνούν λεπτομερώς διάφορα αρχιτεκτονικά αντικείμενα και πίνακες ζωγραφικής. Είναι γνωστά διάσημα γλυπτά, οι δημιουργοί των οποίων τηρούν τις χρυσές αναλογίες - αγάλματα του Ολυμπίου Διός, του Απόλλωνα Μπελβεντέρε και

Μία από τις δημιουργίες του Λεονάρντο ντα Βίντσι - «Πορτρέτο της Μόνα Λίζα» - αποτελεί αντικείμενο έρευνας επιστημόνων εδώ και πολλά χρόνια. Διαπίστωσαν ότι η σύνθεση του έργου αποτελείται εξ ολοκλήρου από «χρυσά τρίγωνα» συνδυασμένα για να σχηματίσουν ένα κανονικό πεντάγωνο-αστέρι. Όλα τα έργα του Ντα Βίντσι είναι απόδειξη του πόσο βαθιά γνώση είχε στη δομή και τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, χάρη στα οποία μπόρεσε να πιάσει το απίστευτα μυστηριώδες χαμόγελο του La Gioconda.

Χρυσή αναλογία στην αρχιτεκτονική

Για παράδειγμα, οι επιστήμονες μελέτησαν αρχιτεκτονικά αριστουργήματα που δημιουργήθηκαν σύμφωνα με τους κανόνες της «χρυσής τομής»: οι αιγυπτιακές πυραμίδες, το Πάνθεον, ο Παρθενώνας, ο καθεδρικός ναός της Παναγίας των Παρισίων, ο καθεδρικός ναός του Αγίου Βασιλείου κ.λπ.

Ο Παρθενώνας - ένα από τα ομορφότερα κτίρια της Αρχαίας Ελλάδας (5ος αιώνας π.Χ.) - έχει 8 κίονες και 17 σε διαφορετικές πλευρές, η αναλογία του ύψους του προς το μήκος των πλευρών είναι 0,618. Οι προεξοχές στις προσόψεις του γίνονται σύμφωνα με τη «χρυσή τομή» (φωτογραφία παρακάτω).

Ένας από τους επιστήμονες που εφηύρε και εφάρμοσε με επιτυχία τη βελτίωση του αρθρωτού συστήματος αναλογιών για αρχιτεκτονικά αντικείμενα (ο λεγόμενος "διαμορφωτής") ήταν ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier. Ο διαμορφωτής βασίζεται σε ένα σύστημα μέτρησης που σχετίζεται με την υπό όρους διαίρεση σε μέρη του ανθρώπινου σώματος.

Ο Ρώσος αρχιτέκτονας Μ. Καζάκοφ, ο οποίος έχτισε πολλά κτίρια κατοικιών στη Μόσχα, καθώς και τα κτίρια της Γερουσίας στο Κρεμλίνο και το Νοσοκομείο Γκολίτσιν (τώρα η 1η κλινική που πήρε το όνομά του από τον Ν. Πιρόγκοφ), ήταν ένας από τους αρχιτέκτονες που χρησιμοποίησαν νόμους ο σχεδιασμός και η κατασκευή για τη χρυσή τομή.

Εφαρμογή αναλογιών στο σχεδιασμό

Στο σχεδιασμό ρούχων, όλοι οι σχεδιαστές μόδας δημιουργούν νέες εικόνες και μοντέλα λαμβάνοντας υπόψη τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και τους κανόνες της χρυσής τομής, αν και από τη φύση τους δεν έχουν όλοι οι άνθρωποι ιδανικές αναλογίες.

Κατά τον σχεδιασμό του σχεδιασμού τοπίου και τη δημιουργία ογκομετρικών συνθέσεων πάρκων χρησιμοποιώντας φυτά (δέντρα και θάμνους), βρύσες και μικρά αρχιτεκτονικά αντικείμενα, μπορούν επίσης να εφαρμοστούν οι νόμοι των "θεϊκών αναλογιών". Εξάλλου, η σύνθεση του πάρκου πρέπει να επικεντρωθεί στη δημιουργία εντύπωσης στον επισκέπτη, ο οποίος μπορεί ελεύθερα να περιηγηθεί σε αυτό και να βρει ένα κέντρο σύνθεσης.

Όλα τα στοιχεία του πάρκου είναι σε τέτοιες αναλογίες που με τη βοήθεια της γεωμετρικής δομής, η αμοιβαία διάταξη, ο φωτισμός και το φως, κάνουν εντύπωση σε ένα άτομο αρμονίας και τελειότητας.

Εφαρμογή της Χρυσής Αναλογίας στην Κυβερνητική και τη Μηχανική

Τα πρότυπα της χρυσής τομής και των αριθμών Fibonacci εκδηλώνονται επίσης σε ενεργειακές μεταβάσεις, σε διαδικασίες που συμβαίνουν με στοιχειώδη σωματίδια που αποτελούν χημικές ενώσεις, σε διαστημικά συστήματα, στη γενετική δομή του DNA.

Παρόμοιες διαδικασίες συμβαίνουν στο ανθρώπινο σώμα, που εκδηλώνονται στους βιορυθμούς της ζωής του, στη δράση οργάνων, για παράδειγμα, στον εγκέφαλο ή στην όραση.

Αλγόριθμοι και μοτίβα χρυσών αναλογιών χρησιμοποιούνται ευρέως στη σύγχρονη κυβερνητική και την επιστήμη των υπολογιστών. Μία από τις απλές εργασίες που πρέπει να επιλύσουν οι αρχάριοι προγραμματιστές είναι να γράψουν έναν τύπο και να καθορίσουν το άθροισμα των αριθμών Fibonacci έως ένα συγκεκριμένο αριθμό χρησιμοποιώντας γλώσσες προγραμματισμού.

Σύγχρονη έρευνα για τη θεωρία της χρυσής τομής

Από τα μέσα του 20ού αιώνα, το ενδιαφέρον για τα προβλήματα και την επιρροή των μοτίβων των χρυσών αναλογιών στην ανθρώπινη ζωή αυξάνεται κατακόρυφα και από την πλευρά πολλών επιστημόνων διαφόρων επαγγελμάτων: μαθηματικοί, εθνοτικοί ερευνητές, βιολόγοι, φιλόσοφοι, ιατροί εργαζόμενοι, οικονομολόγοι, μουσικοί κ.λπ.

Από τη δεκαετία του 1970, το περιοδικό The Fibonacci Quarterly κυκλοφόρησε στις ΗΠΑ, όπου δημοσιεύονται έργα σχετικά με αυτό το θέμα. Στον Τύπο υπάρχουν έργα στα οποία οι γενικευμένοι κανόνες της χρυσής τομής και η σειρά Fibonacci χρησιμοποιούνται σε διάφορους τομείς γνώσης. Για παράδειγμα, για κωδικοποίηση πληροφοριών, χημική έρευνα, βιολογική κλπ.

Όλα αυτά επιβεβαιώνουν τα συμπεράσματα αρχαίων και σύγχρονων επιστημόνων ότι η χρυσή τομή σχετίζεται πολυμερώς με τα θεμελιώδη ζητήματα της επιστήμης και εκδηλώνεται στη συμμετρία πολλών δημιουργιών και φαινομένων του κόσμου γύρω μας.

βασισμένο στο βιβλίο του B. Biggs "ο φράκτης βγήκε από την ομίχλη"

Σχετικά με τους αριθμούς και τις συναλλαγές Fibonacci

Ως εισαγωγή στο θέμα, ας στραφούμε εν συντομία στην τεχνική ανάλυση. Εν ολίγοις, η τεχνική ανάλυση στοχεύει στην πρόβλεψη της μελλοντικής κίνησης της τιμής ενός περιουσιακού στοιχείου βάσει προηγούμενων ιστορικών δεδομένων. Η πιο διάσημη διατύπωση των υποστηρικτών του είναι ότι η τιμή περιλαμβάνει ήδη όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Η εφαρμογή της τεχνικής ανάλυσης ξεκίνησε με την ανάπτυξη της κερδοσκοπίας των μετοχών και πιθανότατα δεν έχει ολοκληρωθεί μέχρι στιγμής, καθώς υπόσχεται δυνητικά απεριόριστα κέρδη. Οι πιο διάσημες τεχνικές (όροι) στην τεχνική ανάλυση είναι τα επίπεδα υποστήριξης και αντίστασης, τα ιαπωνικά κηροπήγια, τα μοτίβα που προμηνύουν μια ανατροπή τιμών κ.λπ.

Το παράδοξο της κατάστασης, κατά τη γνώμη μου, είναι το εξής - οι περισσότερες από τις περιγραφόμενες μεθόδους έχουν γίνει τόσο διαδεδομένες που, παρά την έλλειψη βάσης στοιχείων για την αποτελεσματικότητά τους, έλαβαν πραγματικά την ευκαιρία να επηρεάσουν τη συμπεριφορά της αγοράς. Επομένως, ακόμη και οι σκεπτικιστές που χρησιμοποιούν θεμελιώδη δεδομένα θα πρέπει να εξετάσουν αυτές τις έννοιες απλώς και μόνο επειδή λαμβάνονται υπόψη από έναν πολύ μεγάλο αριθμό άλλων παικτών («τεχνικοί»). Η τεχνική ανάλυση μπορεί να λειτουργήσει καλά στην ιστορία, αλλά ουσιαστικά κανείς δεν είναι σε θέση να βγάζει χρήματα με αυτήν στην πράξη - είναι πολύ πιο εύκολο να πλουτίσεις δημοσιεύοντας μια μεγάλη κυκλοφορία του βιβλίου "Πώς να γίνεις εκατομμυριούχος χρησιμοποιώντας τεχνική ανάλυση". Το

Με αυτή την έννοια, η θεωρία Fibonacci ξεχωρίζει, η οποία χρησιμοποιείται επίσης για την πρόβλεψη των τιμών για διαφορετικές περιόδους. Οι οπαδοί του συνήθως αναφέρονται ως «κύριοι ηγέτες». Ξεχωρίζει γιατί δεν εμφανίστηκε ταυτόχρονα με την αγορά, αλλά πολύ νωρίτερα - έως και 800 χρόνια. Μια άλλη από τις ιδιαιτερότητές της είναι ότι η θεωρία έχει βρει τον αντικατοπτρισμό της σχεδόν ως μια παγκόσμια ιδέα για την περιγραφή των πάντων και των πάντων, και η αγορά είναι μόνο μια ειδική περίπτωση για την εφαρμογή της. Η αποτελεσματικότητα της θεωρίας και η περίοδος ύπαρξής της παρέχουν τόσο νέους υποστηρικτές όσο και νέες προσπάθειες για τη σύνθεση της λιγότερο αμφιλεγόμενης και γενικά αποδεκτής περιγραφής της συμπεριφοράς των αγορών στη βάση της. Αλλά δυστυχώς, η θεωρία δεν προχώρησε περισσότερο από τις επιμέρους επιτυχημένες προβλέψεις της αγοράς, οι οποίες μπορούν να εξομοιωθούν με την τύχη.

Η ουσία της θεωρίας Fibonacci

Ο Φιμπονάτσι έζησε πολύ, ειδικά για την εποχή του, τη ζωή, την οποία αφιέρωσε στην επίλυση ορισμένων μαθηματικών προβλημάτων, διατυπώνοντάς τα στο ογκώδες έργο του "The Book of Abacus" (αρχές 13ου αιώνα). Πάντα τον ενδιέφερε ο μυστικισμός των αριθμών - μάλλον δεν ήταν λιγότερο λαμπρός από τον Αρχιμήδη ή τον Ευκλείδη. Προβλήματα που σχετίζονται με τις τετραγωνικές εξισώσεις τέθηκαν και λύθηκαν μερικώς πριν από τον Fibonacci, για παράδειγμα, από τον διάσημο Omar Khayyam, επιστήμονα και ποιητή. Ωστόσο, ο Fibonacci διατύπωσε το πρόβλημα της εκτροφής κουνελιών, τα συμπεράσματα από τα οποία του έφεραν αυτό που επέτρεψε το όνομά του να μην χαθεί στους αιώνες.

Εν ολίγοις, η εργασία έχει ως εξής. Ένα ζευγάρι κουνελιών τοποθετήθηκε σε έναν χώρο περιφραγμένο από όλες τις πλευρές από έναν τοίχο και κάθε ζευγάρι κουνελιών γεννά ένα άλλο ζευγάρι κάθε μήνα, ξεκινώντας από τον δεύτερο μήνα της ύπαρξής του. Η αναπαραγωγή των κουνελιών στο χρόνο θα περιγραφεί με την ακολουθία: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 κ.λπ. Από μαθηματική άποψη, η ακολουθία αποδείχθηκε απλά μοναδική, καθώς είχε μια σειρά από εξαιρετικές ιδιότητες:

• το άθροισμα των δύο διαδοχικών αριθμών είναι ο επόμενος αριθμός στην ακολουθία.

• ο λόγος κάθε αριθμού στην ακολουθία, ξεκινώντας από τον πέμπτο, στον προηγούμενο, είναι ίσος με 1,618 ·

• η διαφορά μεταξύ του τετραγώνου οποιουδήποτε αριθμού και του τετραγώνου του αριθμού δύο θέσεων στα αριστερά θα είναι ο αριθμός Fibonacci.

• το άθροισμα των τετραγώνων των διπλανών αριθμών θα είναι ο αριθμός Fibonacci, ο οποίος είναι δύο θέσεις μετά τον μεγαλύτερο από τους τετραγωνισμένους αριθμούς

Από αυτά τα συμπεράσματα, το δεύτερο είναι το πιο ενδιαφέρον, καθώς χρησιμοποιεί τον αριθμό 1.618, γνωστό ως Golden Ratio. Αυτός ο αριθμός ήταν ήδη γνωστός στους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι τον χρησιμοποίησαν στην κατασκευή του Παρθενώνα (παρεμπιπτόντως, σύμφωνα με ορισμένες αναφορές, η Κεντρική Τράπεζα εξυπηρετούσε τους Έλληνες). Όχι λιγότερο ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι ο αριθμός 1.618 μπορεί να βρεθεί στη φύση τόσο σε μικρο -όσο και σε μακροκλίμακα - από σπειροειδείς στροφές στο κέλυφος ενός σαλιγκαριού έως μεγάλες σπείρες κοσμικών γαλαξιών. Οι πυραμίδες στη Γκίζα, που δημιουργήθηκαν από τους αρχαίους Αιγύπτιους, κατά την κατασκευή τους περιείχαν επίσης πολλές παραμέτρους της σειράς Fibonacci ταυτόχρονα. Ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι 1,618 φορές μεγαλύτερη από την άλλη, φαίνεται το πιο ευχάριστο στο μάτι - αυτή η αναλογία χρησιμοποιήθηκε από τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι για τους πίνακές του και με μια πιο καθημερινή έννοια, μερικές φορές χρησιμοποιήθηκε για τη δημιουργία παραθύρων ή πόρτες. Ακόμη και ένα κύμα, όπως στο σχήμα στην αρχή του άρθρου, μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σπείρα Fibonacci.

Στη ζωντανή φύση, η ακολουθία Fibonacci εκδηλώνεται όχι λιγότερο συχνά - μπορεί να βρεθεί σε νύχια, δόντια, ηλίανθους, ιστούς αράχνης, ακόμη και στην αναπαραγωγή βακτηρίων. Εάν είναι επιθυμητό, ​​η συνέπεια βρίσκεται σχεδόν σε όλα, συμπεριλαμβανομένου του ανθρώπινου προσώπου και του σώματος. Παρ 'όλα αυτά, υπάρχει μια άποψη ότι πολλές δηλώσεις που βρίσκουν αριθμούς Fibonacci σε φυσικά και ιστορικά φαινόμενα είναι λανθασμένες - αυτός είναι ένας κοινός μύθος που συχνά αποδεικνύεται ότι δεν ταιριάζει στο επιθυμητό αποτέλεσμα.

Οι αριθμοί Fibonacci στις χρηματοπιστωτικές αγορές

Ένας από τους πρώτους που ασχολήθηκε στενότερα με την εφαρμογή αριθμών Fibonacci στη χρηματοπιστωτική αγορά ήταν ο R. Elliot. Το έργο του δεν ήταν μάταιο με την έννοια ότι οι περιγραφές της αγοράς που χρησιμοποιούν τη θεωρία Fibonacci ονομάζονται συχνά "κύματα Έλιοτ". Η ανάπτυξη των αγορών εδώ βασίστηκε στο μοντέλο της ανθρώπινης ανάπτυξης από τους υπερκύκλους με τρία βήματα μπροστά και δύο βήματα πίσω. Το γεγονός ότι η ανθρωπότητα αναπτύσσεται μη γραμμικά είναι προφανές σε όλους σχεδόν - η γνώση της Αρχαίας Αιγύπτου και η ατομιστική διδασκαλία του Δημόκριτου χάθηκαν εντελώς στον Μεσαίωνα, δηλ. μετά από περίπου 2000 χρόνια? Ο 20ός αιώνας προκάλεσε τέτοια φρίκη και ασήμαντη ανθρώπινη ζωή, που ήταν δύσκολο να φανταστεί κανείς ακόμη και στην εποχή των Πουνικών πολέμων των Ελλήνων. Ωστόσο, ακόμα κι αν δεχτούμε τη θεωρία των βημάτων και τον αριθμό τους ως αληθινό, το μέγεθος κάθε σκαλοπατιού παραμένει ασαφές, γεγονός που καθιστά τα κύματα Έλιοτ συγκρίσιμα με την προγνωστική δύναμη των κεφαλών και των ουρών. Το σημείο εκκίνησης και ο σωστός υπολογισμός του αριθμού των κυμάτων ήταν και θα είναι πιθανώς η κύρια αδυναμία της θεωρίας.

Παρ 'όλα αυτά, η θεωρία είχε τοπικές επιτυχίες. Ο Μπομπ Πρέτσερ, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί μαθητής του Έλιοτ, προέβλεψε σωστά την αγορά ταύρων στις αρχές της δεκαετίας του '80 και το 1987 - ως ένα κομβικό έτος. Πραγματικά συνέβη, μετά το οποίο ο Μπομπ ένιωθε προφανώς ως ιδιοφυΐα - τουλάχιστον στα μάτια των άλλων, έγινε σίγουρα γκουρού επενδύσεων. Η συνδρομή του Prechter's Elliott Wave Theorist αυξήθηκε σε 20.000 εκείνη τη χρονιά.Ωστόσο, μειώθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1990, καθώς ο προβλεπόμενος «χαμός και σκοτάδι» της αμερικανικής αγοράς αποφάσισε να αναβάλει λίγο. Ωστόσο, λειτούργησε για την ιαπωνική αγορά και αρκετοί υποστηρικτές της θεωρίας, που «άργησαν» εκεί με ένα κύμα, έχασαν είτε το κεφάλαιό τους είτε το κεφάλαιο των πελατών των εταιρειών τους. Με τον ίδιο τρόπο και με την ίδια επιτυχία, η θεωρία συχνά προσπαθεί να εφαρμοστεί στις συναλλαγές στην αγορά συναλλάγματος.

Η θεωρία καλύπτει μια ποικιλία περιόδων διαπραγμάτευσης - από εβδομαδιαία, που την κάνει να σχετίζεται με τυπικές στρατηγικές τεχνικής ανάλυσης, έως υπολογισμούς για δεκαετίες, δηλ. διεισδύει στο έδαφος των θεμελιωδών προβλέψεων. Αυτό είναι δυνατό μεταβάλλοντας τον αριθμό των κυμάτων. Οι αδυναμίες της θεωρίας, οι οποίες αναφέρθηκαν παραπάνω, επιτρέπουν στους οπαδούς της να μην μιλούν για την ασυνέπεια των κυμάτων, αλλά για τους δικούς τους λανθασμένους υπολογισμούς, συμπεριλαμβανομένου του εσφαλμένου προσδιορισμού της αρχικής θέσης. Μοιάζει με λαβύρινθο - ακόμα κι αν έχετε τον σωστό χάρτη, μπορείτε να τον περάσετε μόνο αν καταλαβαίνετε ακριβώς πού βρίσκεστε. Διαφορετικά, η κάρτα είναι άχρηστη. Στην περίπτωση των κυμάτων Έλιοτ, υπάρχουν όλα τα σημάδια που αμφισβητούν όχι μόνο την ορθότητα της θέσης της, αλλά και την ορθότητα της κάρτας ως τέτοια.

συμπεράσματα

Η κυματική ανάπτυξη της ανθρωπότητας έχει μια πραγματική βάση - στον Μεσαίωνα, κύματα πληθωρισμού και αποπληθωρισμού εναλλάσσονταν μεταξύ τους, όταν οι πόλεμοι αντικατέστησαν μια σχετικά ήρεμη ειρηνική ζωή. Η παρατήρηση της ακολουθίας Fibonacci στη φύση, τουλάχιστον σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι επίσης χωρίς αμφιβολία. Επομένως, ο καθένας έχει το δικαίωμα να δώσει τη δική του απάντηση στο ερώτημα ποιος είναι ο Θεός: μαθηματικός ή γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Η προσωπική μου άποψη είναι ότι παρόλο που ολόκληρη η ανθρώπινη ιστορία και οι αγορές μπορούν να αναπαρασταθούν σε μια κυματοειδή έννοια, κανείς δεν μπορεί να προβλέψει το ύψος και τη διάρκεια κάθε κύματος.

Ταυτόχρονα, 200 χρόνια παρατήρησης της αμερικανικής αγοράς και περισσότερα από 100 χρόνια μετά τα υπόλοιπα καθιστούν σαφές ότι το χρηματιστήριο αναπτύσσεται, περνώντας από διάφορες περιόδους ανάπτυξης και στασιμότητας. Αυτό το γεγονός είναι αρκετά αρκετό για μακροπρόθεσμα κέρδη στο χρηματιστήριο, χωρίς να καταφύγουμε σε αμφιλεγόμενες θεωρίες και να τους αναθέσουμε περισσότερο κεφάλαιο από ό, τι θα έπρεπε να είναι εντός λογικών κινδύνων.

Ας μάθουμε τι είναι κοινό μεταξύ των αρχαίων αιγυπτιακών πυραμίδων, του πίνακα του Λεονάρντο ντα Βίντσι "Μόνα Λίζα", ενός ηλίανθου, ενός σαλιγκαριού, ενός κώνου πεύκου και ανθρώπινων δακτύλων;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα κρύβεται σε εκπληκτικούς αριθμούς που έχουν ανακαλυφθεί ο Ιταλός μαθηματικός του Μεσαίωνα Λεονάρντο της Πίζας, πιο γνωστός με το όνομα Φιμπονάτσι (γεν. περ. 1170 - πέθανε μετά το 1228), Ιταλός μαθηματικός ... Ταξιδεύοντας στην Ανατολή, γνώρισα τα επιτεύγματα των αραβικών μαθηματικών. συνέβαλε στη μεταφορά τους στη Δύση.

Μετά την ανακάλυψή του, αυτοί οι αριθμοί άρχισαν να ονομάζονται με το όνομα του διάσημου μαθηματικού. Η εκπληκτική ουσία της ακολουθίας Fibonacci είναι ότι κάθε αριθμός αυτής της ακολουθίας λαμβάνεται από το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών.

Έτσι, οι αριθμοί που σχηματίζουν την ακολουθία:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

ονομάζονται "αριθμοί Fibonacci" και η ίδια η ακολουθία ονομάζεται ακολουθία Fibonacci.

Υπάρχει ένα πολύ ενδιαφέρον χαρακτηριστικό στους αριθμούς Fibonacci. Όταν διαιρείται οποιοσδήποτε αριθμός από την ακολουθία με τον αριθμό που βρίσκεται μπροστά στη σειρά, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα μια τιμή που κυμαίνεται γύρω από την παράλογη τιμή 1.61803398875 ... και σε περιόδους είτε ανεβαίνει είτε δεν τον φτάνει. (Σημείωση: ένας παράλογος αριθμός, δηλαδή ένας αριθμός του οποίου η δεκαδική αναπαράσταση είναι άπειρη και όχι περιοδική)

Επιπλέον, μετά το 13ο στη σειρά, αυτό το αποτέλεσμα διαίρεσης γίνεται σταθερό επ 'αόριστον ... Αυτός ο σταθερός αριθμός διαιρέσεων στο Μεσαίωνα ονομάστηκε Θεία αναλογία και στις μέρες μας ονομάζεται χρυσή αναλογία, χρυσός μέσος όρος ή χρυσή αναλογία ... Στην άλγεβρα, ο αριθμός αυτός συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα phi (Ф)

Έτσι, η Χρυσή Αναλογία = 1: 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Το ανθρώπινο σώμα και η χρυσή τομή

Καλλιτέχνες, επιστήμονες, σχεδιαστές μόδας, σχεδιαστές κάνουν τους υπολογισμούς, τα σχέδια ή τα σκίτσα τους με βάση την αναλογία της χρυσής αναλογίας. Χρησιμοποιούν μετρήσεις από το ανθρώπινο σώμα, που δημιουργήθηκαν επίσης σύμφωνα με την αρχή της χρυσής τομής. Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι και ο Λε Κορμπουζιέ, πριν δημιουργήσουν τα αριστουργήματά τους, πήραν τις παραμέτρους του ανθρώπινου σώματος, που δημιουργήθηκαν σύμφωνα με το νόμο της Χρυσής Αναλογίας.

Το πιο σημαντικό βιβλίο όλων των σύγχρονων αρχιτεκτόνων, το βιβλίο αναφοράς του E. Neufert "Building Design" περιέχει τους βασικούς υπολογισμούς των παραμέτρων του ανθρώπινου σώματος, που περιέχουν τη χρυσή αναλογία.

Οι αναλογίες των διαφόρων τμημάτων του σώματός μας αποτελούν έναν αριθμό πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία. Εάν αυτές οι αναλογίες συμπίπτουν με τον τύπο της χρυσής αναλογίας, τότε η εμφάνιση ή το σώμα ενός ατόμου θεωρείται τέλεια διπλωμένο. Η αρχή του υπολογισμού του χρυσού μέτρου στο ανθρώπινο σώμα μπορεί να απεικονιστεί ως διάγραμμα:

Μ / μ = 1,618

Το πρώτο παράδειγμα της χρυσής τομής στη δομή του ανθρώπινου σώματος:
Εάν λάβουμε το σημείο του ομφαλού ως κέντρο του ανθρώπινου σώματος και την απόσταση μεταξύ των ποδιών ενός ατόμου και του σημείου του ομφαλού ως μονάδα μέτρησης, τότε το ύψος ενός ατόμου ισοδυναμεί με 1,618.

Επιπλέον, υπάρχουν αρκετές πιο βασικές χρυσές αναλογίες του σώματός μας:

* η απόσταση από τις άκρες των δακτύλων στον καρπό έως τον αγκώνα είναι 1: 1.618.

* η απόσταση από το επίπεδο των ώμων μέχρι το μέγεθος της κεφαλής και της κεφαλής είναι 1: 1.618.

* η απόσταση από το σημείο του αφαλού στο στέμμα του κεφαλιού και από το επίπεδο των ώμων στο στέμμα του κεφαλιού είναι 1: 1.618 ·

* η απόσταση του ομφαλού στα γόνατα και από τα γόνατα στα πόδια είναι 1: 1.618.

* η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού στην άκρη του άνω χείλους και από την άκρη του άνω χείλους μέχρι τα ρουθούνια είναι 1: 1.618.

* η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού στην άνω γραμμή των φρυδιών και από την πάνω γραμμή των φρυδιών μέχρι το στέμμα είναι 1: 1.618.

* η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού στην άνω γραμμή των φρυδιών και από την πάνω γραμμή των φρυδιών μέχρι το στέμμα είναι 1: 1.618:

Η χρυσή αναλογία στα χαρακτηριστικά του ανθρώπινου προσώπου ως κριτήριο για τέλεια ομορφιά.

Στη δομή των χαρακτηριστικών του προσώπου του ανθρώπου, υπάρχουν επίσης πολλά παραδείγματα που προσεγγίζουν την τιμή του τύπου του χρυσού λόγου. Ωστόσο, μην βιαστείτε αμέσως μετά τον χάρακα να μετρήσετε τα πρόσωπα όλων των ανθρώπων. Επειδή οι ακριβείς αντιστοιχίες στη χρυσή τομή, σύμφωνα με τους επιστήμονες και τους ανθρώπους της τέχνης, καλλιτέχνες και γλύπτες, υπάρχουν μόνο σε άτομα με τέλεια ομορφιά. Στην πραγματικότητα, η ακριβής παρουσία της χρυσής τομής στο πρόσωπο ενός ατόμου είναι το ιδανικό ομορφιάς για το ανθρώπινο μάτι.

Για παράδειγμα, αν προσθέσουμε το πλάτος των δύο εμπρόσθιων άνω δοντιών και διαιρέσουμε αυτό το ποσό με το ύψος των δοντιών, τότε, έχοντας λάβει τον αριθμό Golden Ratio, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η δομή αυτών των δοντιών είναι ιδανική.

Στο ανθρώπινο πρόσωπο, υπάρχουν άλλες ενσαρκώσεις του κανόνα της χρυσής αναλογίας. Εδώ είναι μερικές από αυτές τις σχέσεις:

* Heightψος προσώπου / πλάτος προσώπου.

* Το κεντρικό σημείο της διασταύρωσης των χειλιών με τη βάση της μύτης / μήκος της μύτης.

* Heightψος / απόσταση προσώπου από την άκρη του πηγουνιού στο κεντρικό σημείο της διασταύρωσης των χειλιών.

* Πλάτος στόματος / πλάτος μύτης.

* Πλάτος μύτης / απόσταση μεταξύ ρουθουνιών

* Απόσταση μεταξύ των μαθητών / απόσταση μεταξύ των φρυδιών.

Ανθρώπινο χέρι

Αρκεί μόνο να φέρετε την παλάμη σας πιο κοντά σας τώρα και να κοιτάξετε προσεκτικά τον δείκτη και θα βρείτε αμέσως τον τύπο της χρυσής αναλογίας σε αυτό. Κάθε δάχτυλο του χεριού μας αποτελείται από τρεις φάλαγγες.

* Το άθροισμα των δύο πρώτων φάλαγγων του δακτύλου σε σχέση με όλο το μήκος του δακτύλου και δίνει τον αριθμό της χρυσής τομής (εξαιρουμένου του αντίχειρα).

* Επιπλέον, η αναλογία μεταξύ μεσαίου δακτύλου και μικρού δακτύλου είναι επίσης ίση με τη χρυσή αναλογία.

* Ένα άτομο έχει 2 χέρια, τα δάχτυλα σε κάθε χέρι αποτελούνται από 3 φαλάγγες (εξαιρουμένου του αντίχειρα). Κάθε χέρι έχει 5 δάχτυλα, δηλαδή συνολικά 10, αλλά με εξαίρεση δύο διφαλαγγικούς αντίχειρες, δημιουργούνται μόνο 8 δάχτυλα σύμφωνα με την αρχή της χρυσής αναλογίας. Ενώ όλοι αυτοί οι αριθμοί 2, 3, 5 και 8 είναι οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci:

Η χρυσή αναλογία στη δομή των ανθρώπινων πνευμόνων

Ο Αμερικανός φυσικός B.D. West και ο Δρ A.L. Ο Γκόλντμπεργκερ, κατά τη διάρκεια φυσικών και ανατομικών μελετών, διαπίστωσε ότι η χρυσή τομή υπάρχει και στη δομή των ανθρώπινων πνευμόνων.

Η ιδιαιτερότητα των βρόγχων που αποτελούν τους ανθρώπινους πνεύμονες έγκειται στην ασυμμετρία τους. Οι βρόγχοι αποτελούνται από δύο κύριους αεραγωγούς, ένας από τους οποίους (αριστερά) είναι μεγαλύτερος και ο άλλος (δεξιά) είναι μικρότερος.

* Διαπιστώθηκε ότι αυτή η ασυμμετρία συνεχίζεται στους κλάδους των βρόγχων, σε όλους τους μικρότερους αεραγωγούς. Επιπλέον, η αναλογία του μήκους των κοντών και μακρών βρόγχων είναι επίσης η χρυσή αναλογία και είναι ίση με 1: 1.618.

Η δομή του χρυσού ορθογώνιου τετράπλευρου και σπειροειδούς

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στο οποίο ολόκληρο το τμήμα αναφέρεται στο μεγαλύτερο τμήμα με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το μεγαλύτερο αναφέρεται στο μικρότερο. ή με άλλα λόγια, ένα μικρότερο τμήμα σχετίζεται με ένα μεγαλύτερο ως μεγαλύτερο με όλα.

Στη γεωμετρία, ένα ορθογώνιο με αυτόν τον λόγο διαστάσεων ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο. Οι μακριές πλευρές του συγκρίνονται με τις κοντές πλευρές σε αναλογία 1,168: 1.

Το χρυσό ορθογώνιο έχει επίσης πολλές εκπληκτικές ιδιότητες. Το χρυσό ορθογώνιο έχει πολλές ασυνήθιστες ιδιότητες. Κόβοντας ένα τετράγωνο από το χρυσό ορθογώνιο, η πλευρά του οποίου είναι ίση με τη μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου, παίρνουμε ξανά ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον. Καθώς συνεχίζουμε να κόβουμε τα τετράγωνα, θα έχουμε όλο και μικρότερα χρυσά ορθογώνια. Επιπλέον, θα βρίσκονται κατά μήκος μιας λογαριθμικής σπείρας, η οποία είναι σημαντική σε μαθηματικά μοντέλα φυσικών αντικειμένων (για παράδειγμα, κελύφη σαλιγκαριών).

Ο σπειροειδής πόλος βρίσκεται στη διασταύρωση των διαγωνίων του αρχικού ορθογωνίου και της πρώτης κάθετης τομής που πρόκειται να κοπεί. Επιπλέον, οι διαγώνιες όλων των επόμενων φθίνουσων χρυσών ορθογωνίων βρίσκονται σε αυτές τις διαγώνιες. Φυσικά, υπάρχει και ένα χρυσό τρίγωνο.

Ο Άγγλος σχεδιαστής και αισθητικός William Charlton δήλωσε ότι οι άνθρωποι βρίσκουν σπειροειδή σχήματα ευχάριστα στο μάτι και τα χρησιμοποιούν εδώ και χιλιετίες, εξηγώντας το με αυτόν τον τρόπο:

«Μας αρέσει η εμφάνιση της σπείρας, γιατί οπτικά μπορούμε εύκολα να τη δούμε».

Στη φύση

* Ο κανόνας της χρυσής τομής που βασίζεται στη δομή της σπείρας βρίσκεται στη φύση πολύ συχνά σε δημιουργίες που είναι ασύγκριτες σε ομορφιά. Τα πιο ζωντανά παραδείγματα - ένα σπειροειδές σχήμα μπορεί να δει στη διάταξη των ηλιόσπορων, και σε κουκουνάρια, σε ανανάδες, κάκτους, τη δομή των ροδοπέταλων κ.λπ.

* Οι βοτανολόγοι έχουν διαπιστώσει ότι στη διάταξη των φύλλων σε ένα κλαδί, ηλιόσπορους ή κουκουνάρια, η σειρά Fibonacci εκδηλώνεται σαφώς, και ως εκ τούτου, ο νόμος της χρυσής τομής εκδηλώνεται.

Ο Υπέρτατος Κύριος καθιέρωσε ένα ειδικό μέτρο και αναλογικότητα για κάθε δημιουργία Του, το οποίο επιβεβαιώνεται από παραδείγματα που βρίσκονται στη φύση. Πολλά παραδείγματα μπορούν να αναφερθούν όταν η διαδικασία ανάπτυξης των ζωντανών οργανισμών συμβαίνει σε αυστηρή συμφωνία με το σχήμα μιας λογαριθμικής σπείρας.

Όλα τα ελατήρια στο πηνίο έχουν το ίδιο σχήμα. Οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι ακόμη και με την αύξηση του μεγέθους των ελατηρίων, το σχήμα της σπείρας παραμένει αμετάβλητο. Δεν υπάρχει άλλη μορφή στα μαθηματικά που να έχει τις ίδιες μοναδικές ιδιότητες με μια σπείρα.

Η δομή των κοχυλιών της θάλασσας

Οι επιστήμονες που έχουν μελετήσει την εσωτερική και εξωτερική δομή των κελυφών μαλακών μαλακίων που ζουν στο βυθό της θάλασσας δήλωσαν:

«Η εσωτερική επιφάνεια των κελυφών είναι άψογα λεία, ενώ η εξωτερική επιφάνεια καλύπτεται από τραχύτητα και παρατυπίες. Το μαλάκιο ήταν στο κέλυφος και γι 'αυτό η εσωτερική επιφάνεια του κελύφους έπρεπε να είναι απόλυτα λεία. Οι εξωτερικές γωνίες-κάμψεις του κελύφους αυξάνουν τη δύναμη, τη σκληρότητα και έτσι αυξάνουν τη δύναμή του. Η τελειότητα και η εκπληκτική ευφυΐα της δομής του κελύφους (σαλιγκαριού) είναι εκπληκτική. Η σπειροειδής ιδέα των κοχυλιών είναι ένα τέλειο γεωμετρικό σχήμα και είναι εκπληκτική στην γυαλισμένη ομορφιά του ».

Στα περισσότερα σαλιγκάρια που έχουν κελύφη, το κέλυφος αναπτύσσεται σε λογαριθμική σπείρα. Ωστόσο, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτά τα παράλογα πλάσματα δεν έχουν ιδέα όχι μόνο για μια λογαριθμική σπείρα, αλλά δεν έχουν καν την απλούστερη μαθηματική γνώση για να δημιουργήσουν ένα σπειροειδές κέλυφος για τον εαυτό τους.

Αλλά τότε πώς θα μπορούσαν αυτά τα παράλογα όντα να καθορίσουν και να επιλέξουν για τον εαυτό τους την ιδανική μορφή ανάπτυξης και ύπαρξης με τη μορφή ενός σπειροειδούς κελύφους; Θα μπορούσαν αυτά τα ζωντανά πλάσματα, τα οποία οι επιστήμονες του κόσμου αποκαλούν πρωτόγονες μορφές ζωής, να υπολογίσουν ότι η λογαριθμική μορφή ενός κελύφους θα ήταν ιδανική για την ύπαρξή τους;

Φυσικά όχι, γιατί ένα τέτοιο σχέδιο δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί χωρίς την παρουσία λογικής και γνώσης. Αλλά ούτε πρωτόγονα μαλάκια, ούτε ασυνείδητη φύση, την οποία, ωστόσο, ορισμένοι επιστήμονες αποκαλούν δημιουργό της ζωής στη γη (;!)

Είναι τουλάχιστον παράλογο να προσπαθείς να εξηγήσεις την προέλευση μιας τέτοιας ακόμη και της πιο πρωτόγονης μορφής ζωής από μια τυχαία σύμπτωση ορισμένων φυσικών συνθηκών. Είναι σαφές ότι αυτό το έργο είναι μια συνειδητή δημιουργία.

Ο βιολόγος Sir D'arkey Thompson ονομάζει αυτόν τον τύπο ανάπτυξης θαλάσσιων κοχυλιών "Η μορφή ανάπτυξης των καλικάντζαρων".

Ο Sir Thompson κάνει το ακόλουθο σχόλιο:

«Δεν υπάρχει πιο απλό σύστημα από την ανάπτυξη των κοχυλιών, τα οποία αναπτύσσονται και επεκτείνονται αναλογικά, διατηρώντας το ίδιο σχήμα. Το περίβλημα, το πιο εκπληκτικό, μεγαλώνει, αλλά ποτέ δεν αλλάζει σχήμα ».

Ο ναυτίλος, με διάμετρο λίγα εκατοστά, είναι το πιο δραματικό παράδειγμα ανάπτυξης τύπου gnome. Ο S. Morrison περιγράφει αυτή τη διαδικασία ανάπτυξης του ναυτίλου με τον ακόλουθο τρόπο, η οποία είναι μάλλον δύσκολο να προγραμματιστεί ακόμη και με το ανθρώπινο μυαλό:

«Μέσα στο κέλυφος του ναυτίλου υπάρχουν πολλά διαμερίσματα-δωμάτια με χωρίσματα από μαργαριτάρια και το ίδιο το κέλυφος στο εσωτερικό του είναι μια σπείρα που επεκτείνεται από το κέντρο. Καθώς ο ναυτίλος μεγαλώνει, ένα άλλο δωμάτιο μεγαλώνει στο μπροστινό μέρος του κελύφους, αλλά ήδη μεγαλύτερο από το προηγούμενο, και τα χωρίσματα του δωματίου που αφήνονται πίσω καλύπτονται με ένα στρώμα από μαργαριτάρι. Έτσι, η σπείρα διευρύνεται αναλογικά όλη την ώρα ».

Ακολουθούν μερικοί τύποι σπειροειδών κελυφών με λογαριθμική ανάπτυξη σύμφωνα με τα επιστημονικά τους ονόματα:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Όλα τα απολιθωμένα υπολείμματα όστρακων είχαν επίσης ανεπτυγμένο σπειροειδές σχήμα.

Ωστόσο, η λογαριθμική μορφή ανάπτυξης βρίσκεται στο ζωικό βασίλειο όχι μόνο στα μαλάκια. Τα κέρατα των αντιλόπων, των αγριόγιδων, των κριών και άλλων παρόμοιων ζώων αναπτύσσονται επίσης με τη μορφή μιας σπείρας σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας.

Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο αυτί

Στο εσωτερικό αυτί ενός ατόμου υπάρχει ένα όργανο που ονομάζεται Cochlea ("Σαλιγκάρι"), το οποίο εκτελεί τη λειτουργία μετάδοσης ηχητικών κραδασμών. Αυτή η οστική δομή είναι γεμάτη με ρευστό και δημιουργείται επίσης με τη μορφή σαλιγκαριού, που περιέχει ένα σταθερό λογαριθμικό σπειροειδές σχήμα = 73º 43 ’.

Κέρατα και χαυλιόδοντες ζώων που αναπτύσσονται σε σπειροειδές σχήμα

Οι χαυλιόδοντες ελέφαντων και εξαφανισμένων μαμούθ, τα νύχια των λιονταριών και τα ράμφη των παπαγάλων είναι λογαριθμικά και μοιάζουν με το σχήμα ενός άξονα που τείνει να μετατραπεί σε σπείρα. Οι αράχνες περιστρέφουν πάντα τους ιστούς τους σε μια λογαριθμική σπείρα. Η δομή των μικροοργανισμών όπως το πλαγκτόν (είδη globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae και trochida) έχουν επίσης σπειροειδή μορφή.

Η χρυσή αναλογία στη δομή των μικροκοσμών

Τα γεωμετρικά σχήματα δεν περιορίζονται μόνο σε τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο ή εξάγωνο. Αν συνδέσουμε αυτά τα σχήματα με διαφορετικούς τρόπους μεταξύ τους, τότε έχουμε νέα τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα. Παραδείγματα αυτού είναι σχήματα όπως κύβος ή πυραμίδα. Ωστόσο, εκτός από αυτά, υπάρχουν και άλλες τρισδιάστατες φιγούρες που δεν είχαμε να συναντήσουμε στην καθημερινή ζωή, και τα ονόματα των οποίων ακούμε, ίσως για πρώτη φορά. Αυτές οι τρισδιάστατες φιγούρες περιλαμβάνουν ένα τετράεδρο (κανονική τετράπλευρη φιγούρα), ένα οκτάεδρο, ένα δωδεκάεδρο, ένα εικοσαέδριο κ.λπ. Το δωδεκάεδρο αποτελείται από 13 πεντάγωνα, το εικοσαέδριο από 20 τρίγωνα. Οι μαθηματικοί σημειώνουν ότι αυτά τα σχήματα μετατρέπονται μαθηματικά πολύ εύκολα και ο μετασχηματισμός τους συμβαίνει σύμφωνα με τον τύπο της λογαριθμικής σπείρας της χρυσής αναλογίας.

Στο μικρόκοσμο, οι τρισδιάστατες λογαριθμικές μορφές χτισμένες σύμφωνα με χρυσές αναλογίες είναι διαδεδομένες παντού. ... Για παράδειγμα, πολλοί ιοί έχουν τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα του εικοσαέδρου. Perhapsσως ο πιο διάσημος από αυτούς τους ιούς είναι ο ιός Adeno. Η πρωτεϊνική επικάλυψη του αδενοϊού σχηματίζεται από 252 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων διατεταγμένων σε μια συγκεκριμένη αλληλουχία. Σε κάθε γωνία του εικοσαέδρου υπάρχουν 12 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων με τη μορφή πενταγωνικού πρίσματος, και δομές που μοιάζουν με ακίδα εκτείνονται από αυτές τις γωνίες.

Για πρώτη φορά, η χρυσή αναλογία στη δομή των ιών ανακαλύφθηκε τη δεκαετία του 1950. επιστήμονες από το London Birkbeck College A. Klug και D. Kaspar. 13 Ο ιός Polyo ήταν ο πρώτος που εμφανίστηκε σε λογαριθμική μορφή. Η μορφή αυτού του ιού βρέθηκε ότι ήταν παρόμοια με εκείνη του ιού Rhino 14.

Ανακύπτει το ερώτημα, πώς σχηματίζουν οι ιοί τόσο πολύπλοκες τρισδιάστατες μορφές, η δομή των οποίων περιέχει τη χρυσή τομή, την οποία ακόμη και το ανθρώπινο μυαλό μας είναι αρκετά δύσκολο να κατασκευάσει; Ο ανακαλυπτής αυτών των μορφών ιών, ιολόγος A. Klug, δίνει το ακόλουθο σχόλιο:

«Ο Δρ Kaspar και εγώ δείξαμε ότι για το σφαιρικό περίβλημα του ιού, το πιο βέλτιστο σχήμα είναι η συμμετρία, όπως το σχήμα του εικοσάεδρου. Αυτή η σειρά ελαχιστοποιεί τον αριθμό των στοιχείων σύνδεσης ... Οι περισσότεροι από τους γεωδαιτικούς ημισφαιρικούς κύβους του Buckminster Fuller είναι χτισμένοι με παρόμοια γεωμετρική αρχή. 14 Η εγκατάσταση τέτοιων κύβων απαιτεί ένα εξαιρετικά ακριβές και λεπτομερές επεξηγηματικό διάγραμμα. Ενώ οι ίδιοι οι ασυνείδητοι ιοί κατασκευάζουν ένα τόσο περίπλοκο κέλυφος από ελαστικές, εύκαμπτες πρωτεϊνικές κυτταρικές μονάδες ».

Ο Ιταλός μαθηματικός Leonardo Fibonacci έζησε τον 13ο αιώνα και ήταν ένας από τους πρώτους στην Ευρώπη που χρησιμοποίησε αραβικούς (ινδικούς) αριθμούς. Σκέφτηκε ένα κάπως τεχνητό πρόβλημα σχετικά με τα κουνέλια που εκτρέφονται σε ένα αγρόκτημα, όλα θεωρούνται θηλυκά, τα αρσενικά αγνοούνται. Τα κουνέλια αρχίζουν να αναπαράγονται μετά την ηλικία των δύο μηνών και στη συνέχεια γεννούν ένα κουνέλι κάθε μήνα. Τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ.

Είναι απαραίτητο να καθοριστεί πόσα κουνέλια θα είναι στο αγρόκτημα νμήνες, αν στην αρχική στιγμή υπήρχε μόνο ένα νεογέννητο κουνέλι.

Προφανώς, ο αγρότης έχει ένα κουνέλι τον πρώτο μήνα και ένα κουνέλι τον δεύτερο μήνα. Τον τρίτο μήνα θα υπάρχουν δύο κουνέλια, στον τέταρτο - τρία, κ.λπ. Ας υποδείξουμε τον αριθμό των κουνελιών μέσα νμήνας σαν. Ετσι,
,
,
,
,
, …

Ένας αλγόριθμος μπορεί να κατασκευαστεί για εύρεση για κάθε ν.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, ο συνολικός αριθμός των κουνελιών
v νΟ +1 μήνας αποσυντίθεται σε τρία συστατικά:

κουνέλια ενός μηνός που δεν μπορούν να αναπαραχθούν, σε ποσότητα

;

Έτσι, παίρνουμε

. (8.1)

Ο τύπος (8.1) σας επιτρέπει να υπολογίσετε μια σειρά αριθμών: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..

Οι αριθμοί αυτής της ακολουθίας ονομάζονται Αριθμοί Φιμπονάτσι .

Αν δεχτείς
και
, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.1) μπορούν να προσδιοριστούν όλοι οι άλλοι αριθμοί Fibonacci. Ο τύπος (8.1) καλείται επαναλαμβανόμενος με τον τύπο ( επανάληψη - "επιστροφή" στα Λατινικά).

Παράδειγμα 8.1.Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σκάλα μέσα νβήματα. Μπορούμε να το ανεβούμε με ένα βήμα ενός σκαλιού, ή - με ένα βήμα δύο βημάτων. Πόσοι συνδυασμοί διαφορετικών μεθόδων ανύψωσης υπάρχουν;

Αν ν= 1, υπάρχει μόνο μία λύση στο πρόβλημα. Για ν= 2 υπάρχουν 2 επιλογές: δύο μονά βήματα ή ένα διπλό. Για ν= 3 υπάρχουν 3 επιλογές: τρία βήματα μονάδας, ή μία μονάδα και ένα διπλό, ή ένα διπλό και μία μονάδα.

Στην επόμενη περίπτωση ν= 4, έχουμε 5 δυνατότητες (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που θέσαμε με αυθαίρετο ν, ας υποδείξουμε τον αριθμό των επιλογών ως , και προσπαθήστε να ορίσετε
σύμφωνα με γνωστό και
... Αν ξεκινήσουμε με ένα μόνο βήμα, τότε έχουμε συνδυασμοί για τα υπόλοιπα νβήματα. Αν ξεκινήσουμε με ένα διπλό βήμα, τότε έχουμε
συνδυασμοί για τα υπόλοιπα ν–1 βήματα. Ο συνολικός αριθμός επιλογών για ν+1 βαθμίδα ισούται

. (8.2)

Ο τύπος που προκύπτει μοιάζει με τον τύπο (8.1) ως δίδυμος. Ωστόσο, αυτό δεν επιτρέπει τον προσδιορισμό του αριθμού των συνδυασμών με αριθμούς Fibonacci ... Βλέπουμε, για παράδειγμα, αυτό
, αλλά
... Ωστόσο, συμβαίνει η ακόλουθη σχέση:

.

Αυτό ισχύει για ν= 1, 2, και ισχύει επίσης για το καθένα ν... Οι αριθμοί Fibonacci και ο αριθμός των συνδυασμών υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο, αλλά τις αρχικές τιμές
,
και
,
διαφέρουν.

Παράδειγμα 8.2.Αυτό το παράδειγμα έχει πρακτική σημασία για προβλήματα κωδικοποίησης διόρθωσης σφαλμάτων. Βρείτε τον αριθμό όλων των δυαδικών λέξεων μήκους νπου δεν περιέχουν πολλά μηδενικά στη σειρά. Δηλώνουμε αυτόν τον αριθμό με ... Προφανώς,
, και λέξεις μήκους 2 που ικανοποιούν τον περιορισμό μας είναι: 10, 01, 11, δηλ.
... Ας είναι
- μια τέτοια λέξη από νχαρακτήρες. Αν το σύμβολο
, τότε
μπορεί να είναι αυθαίρετο (
) -κυριολεκτική λέξη που δεν περιέχει πολλά μηδενικά στη σειρά. Ως εκ τούτου, ο αριθμός των λέξεων με μια μονάδα στο τέλος είναι
.

Αν το σύμβολο
, τότε σίγουρα
και το πρώτο
σύμβολο
μπορεί να είναι αυθαίρετα, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που εξετάστηκαν. Επομένως, υπάρχει
μήκος λέξης νμε μηδέν στο τέλος. Έτσι, ο συνολικός αριθμός λέξεων που μας ενδιαφέρουν είναι ίσος με

.

Δεδομένου ότι
και
, η ακολουθία αριθμών που προκύπτει είναι αριθμοί Fibonacci.

Παράδειγμα 8.3.Στο Παράδειγμα 7.6, διαπιστώσαμε ότι ο αριθμός των δυαδικών λέξεων σταθερού βάρους τ(και μήκος κ) ισούται ... Τώρα βρίσκουμε τον αριθμό των δυαδικών λέξεων σταθερού βάρους τπου δεν περιέχουν πολλά μηδενικά στη σειρά.

Μπορείτε να αιτιολογείτε έτσι. Ας είναι
ο αριθμός μηδενικών στις επίμαχες λέξεις. Οποιαδήποτε λέξη έχει
κενά μεταξύ των πλησιέστερων μηδενικών, καθένα από τα οποία περιέχει ένα ή περισσότερα. Θεωρείται ότι
... Διαφορετικά, δεν υπάρχει ούτε μία λέξη χωρίς διπλανά μηδενικά.

Αν αφαιρέσουμε ακριβώς μία μονάδα από κάθε διάστημα, τότε έχουμε μια λέξη μήκους
που περιέχει μηδενικά. Οποιαδήποτε τέτοια λέξη μπορεί να ληφθεί με τον υποδεικνυόμενο τρόπο από μερικές (και, επιπλέον, μόνο μία) κ-κυριολεκτική λέξη που περιέχει μηδενικά, κανένα από τα οποία δεν βρίσκεται το ένα δίπλα στο άλλο. Επομένως, ο απαιτούμενος αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό όλων των λέξεων μήκους
που περιέχει ακριβώς μηδενικά, δηλ. ισούται
.

Παράδειγμα 8.4.Ας αποδείξουμε ότι το άθροισμα
είναι ίσος με τους αριθμούς Fibonacci για κάθε ακέραιο ... Σύμβολο
δηλώνει ο μικρότερος ακέραιος μεγαλύτερος ή ίσος με ... Για παράδειγμα, εάν
, τότε
? κι αν
, τότε
οροφή("οροφή"). Επίσης εμφανίζεται το σύμβολο
που σημαίνει μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός μικρότερος ή ίσος με ... Στα αγγλικά, αυτή η λειτουργία ονομάζεται πάτωμα ("πάτωμα").

Αν
, τότε
... Αν
, τότε
... Αν
, τότε
.

Έτσι, για τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, το άθροισμα είναι πραγματικά ίσο με τους αριθμούς Fibonacci. Τώρα δίνουμε μια απόδειξη για τη γενική περίπτωση. Δεδομένου ότι οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας την επαναλαμβανόμενη εξίσωση (8.1), τότε η ισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί:

.

Και πράγματι κάνει:

Εδώ χρησιμοποιήσαμε τον τύπο (4.4) που αποκτήθηκε νωρίτερα:
.

Άθροισμα αριθμών Fibonacci

Ας καθορίσουμε το άθροισμα του πρώτου νΑριθμοί Φιμπονάτσι.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Είναι εύκολο να δούμε ότι προσθέτοντας ενότητα στη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης, παίρνουμε ξανά τον αριθμό Fibonacci. Γενικός τύπος για τον προσδιορισμό του αθροίσματος του πρώτου νΟι αριθμοί Fibonacci είναι:

Ας το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Για να το κάνετε αυτό, γράψτε:

Αυτό το ποσό πρέπει να είναι ίσο με
.

Μειώνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης κατά -1, παίρνουμε την εξίσωση (6.1).

Τύπος για αριθμούς Fibonacci

Θεώρημα 8.1. Οι αριθμοί Fibonacci μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Απόδειξη... Ας επαληθεύσουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για ν= 0, 1 και, στη συνέχεια, αποδείξτε την εγκυρότητα αυτού του τύπου για ένα αυθαίρετο νμε επαγωγή. Ας υπολογίσουμε την αναλογία των δύο πλησιέστερων αριθμών Fibonacci:

Βλέπουμε ότι ο λόγος αυτών των αριθμών κυμαίνεται γύρω στο 1,618 (αν αγνοήσουμε τις πρώτες λίγες τιμές). Με αυτήν την ιδιότητα, οι αριθμοί Fibonacci μοιάζουν με τα μέλη μιας γεωμετρικής προόδου. Θα δεχτούμε
, (
). Μετά η έκφραση

μετατράπηκε σε

που μετά από απλοποιήσεις μοιάζει με αυτό

.

Πήραμε μια τετραγωνική εξίσωση, οι ρίζες της οποίας είναι ίσες:

Τώρα μπορούμε να γράψουμε:

(όπου ντοείναι σταθερό). Και τα δύο μέλη και μην δίνετε αριθμούς Fibonacci όπως
, ενώ
... Ωστόσο, η διαφορά
ικανοποιεί την επαναλαμβανόμενη εξίσωση:

Για ν= 0 δίνει αυτή η διαφορά , αυτό είναι:
... Ωστόσο, με ν= 1 έχουμε
... Αποκτώ
, είναι απαραίτητο να αποδεχτούμε:
.

Έχουμε τώρα δύο ακολουθίες: και
που ξεκινούν με τους ίδιους δύο αριθμούς και ικανοποιούν τον ίδιο τύπο υποτροπής. Πρέπει να είναι ίσα:
... Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Ανεβαίνοντας νμέλος γίνεται πολύ μεγάλο, ενώ
, και ο ρόλος του μέλους στη διαφορά μειώνεται. Επομένως, για μεγάλες νμπορούμε να γράψουμε χοντρικά

.

Αγνοούμε το 1/2 (αφού οι αριθμοί Fibonacci ανεβαίνουν στο άπειρο με νστο άπειρο).

Συμπεριφορά
που ονομάζεται Χρυσή αναλογία, χρησιμοποιείται εκτός μαθηματικών (για παράδειγμα, στη γλυπτική και την αρχιτεκτονική). Η χρυσή αναλογία είναι η αναλογία μεταξύ της διαγώνιας και της πλευράς κανονικό πεντάγωνο(εικ. 8.1).

Ρύζι. 8.1 Κανονικό πεντάγωνο και οι διαγώνιές του

Για να δηλώσετε τη χρυσή αναλογία, είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείτε το γράμμα
προς τιμήν του διάσημου Αθηναίου γλύπτη Φειδία.

πρώτοι αριθμοί

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί, μεγάλες μονάδες, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Το πρώτο περιλαμβάνει αριθμούς που έχουν ακριβώς δύο φυσικούς διαιρέτες, τον έναν και τον εαυτό του, στον δεύτερο - όλους τους άλλους. Οι αριθμοί πρώτης κατηγορίας καλούνται απλόςκαι το δεύτερο - ψηφοφόρος... Πρώτοι αριθμοί μέσα στις τρεις πρώτες δεκάδες: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών και η σχέση τους με όλους τους φυσικούς αριθμούς μελετήθηκαν από τον Ευκλείδη (3ος αιώνας π.Χ.). Εάν γράψετε τους πρώτους αριθμούς στη σειρά, θα παρατηρήσετε ότι η σχετική πυκνότητά τους μειώνεται. Υπάρχουν 4 από αυτά στην πρώτη δεκάδα, δηλαδή 40%, σε εκατό - 25, δηλ. 25%, ανά χίλια - 168, δηλ. λιγότερο από 17%, ανά εκατομμύριο - 78498, δηλ. λιγότερο από 8%, κλπ. Ωστόσο, ο συνολικός τους αριθμός είναι άπειρος.

Μεταξύ των πρώτων, υπάρχουν ζεύγη τέτοιων, η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με δύο (τα λεγόμενα απλά δίδυμα), ωστόσο, το πεπερασμένο ή το άπειρο τέτοιων ζευγαριών δεν έχει αποδειχθεί.

Ο Ευκλείδης θεώρησε προφανές ότι πολλαπλασιάζοντας μόνο τους πρώτους αριθμούς μπορεί κανείς να αποκτήσει όλους τους φυσικούς αριθμούς και κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών μοναδικά (μέχρι τη σειρά των συντελεστών). Έτσι, οι πρώτοι αποτελούν μια πολλαπλασιαστική βάση για τη φυσική σειρά.

Η μελέτη της κατανομής των πρώτων αριθμών οδήγησε στη δημιουργία ενός αλγορίθμου που επιτρέπει τη λήψη πινάκων πρώτων αριθμών. Αυτός ο αλγόριθμος είναι κόσκινο του Ερατοσθένη(3ος αιώνας π.Χ.). Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο να ξεφορτωθούμε (για παράδειγμα, με διαχωρισμό) αυτούς τους ακέραιους αριθμούς μιας δεδομένης ακολουθίας
που διαιρούνται με τουλάχιστον έναν από τους πρώτους αριθμούς μικρότερους από
.

Θεώρημα 8 . 2 . (Θεώρημα του Ευκλείδη). Ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι άπειρος.

Απόδειξη... Ας αποδείξουμε το θεώρημα του Ευκλείδη για το άπειρο του αριθμού των πρώτων με τη μέθοδο που πρότεινε ο Leonard Euler (1707-1783). Ο Euler θεώρησε το προϊόν σε όλες τις πρώτες τιμές Π:

στο
... Αυτό το προϊόν συγκλίνει και αν το επεκτείνουμε, τότε, λόγω της μοναδικότητας της αποσύνθεσης των φυσικών αριθμών σε πρώτους παράγοντες, αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με το άθροισμα της σειράς , από όπου ακολουθεί η ταυτότητα του Όιλερ:

.

Από το
η σειρά στα δεξιά αποκλίνει (αρμονικές σειρές), τότε το θεώρημα του Ευκλείδη προκύπτει από την ταυτότητα του Όιλερ.

Ρώσος μαθηματικός P.L. Ο Chebyshev (1821-1894) έβγαλε έναν τύπο που ορίζει τα όρια στα οποία περικλείεται ο αριθμός των πρώτων αριθμών
που να μην υπερβαίνει Χ:

,

όπου
,
.