Rodzaje równowagi: równowaga Nasha, Stekelberga, równowaga Pareto-optymalna, równowaga strategii dominujących. O badaniu równowagi mechanizmów Mieszane rozszerzenie gry

W antagonistycznej grze naturalne jest, że optymalny wynik to taki, w którym odejście od niego nie jest opłacalne dla żadnego z graczy. Taki wynik (x*,y*) nazywamy sytuacją równowagi, a zasada optymalności oparta na znalezieniu sytuacji równowagi nazywana jest zasadą równowagi.

Definicja. W grze macierzowej z macierzą wymiarów wynikiem jest sytuacja równowagi lub punkt siodła, jeśli

W punkcie siodłowym element macierzy jest zarówno minimum w swoim rzędzie, jak i maksimum w swojej kolumnie. W grze z przykładu element 2 33 to punkt siodła. Optymalne w tej grze są trzecie strategie dla obu graczy. Jeśli pierwszy gracz odejdzie od trzeciej strategii, zacznie wygrywać mniej niż 33. Jeśli drugi gracz odejdzie od trzeciej strategii, to zaczyna tracić więcej niż 33. Tak więc dla obu graczy nie ma nic lepszego niż konsekwentne trzymanie się trzeciej strategii.

Zasada optymalnego zachowania: jeśli w grze macierzowej występuje punkt siodła, to optymalną strategią jest wybór odpowiadający punktowi siodła. Co się stanie, jeśli w grze jest więcej niż jeden punkt siodła?

Twierdzenie. Zostawiać dwa dowolne punkty siodła w grze macierzowej. Następnie:

Dowód. Z definicji sytuacji równowagi mamy:

Zastąpmy lewą stronę nierówności (2.8) i prawą - , lewą stroną nierówności (2.9) - , prawą - . Następnie otrzymujemy:

Skąd bierze się równość:

Z twierdzenia wynika, że ​​funkcja wypłaty przyjmuje tę samą wartość we wszystkich sytuacjach równowagi. Dlatego nazywa się ten numer kosztem gry. Strategie odpowiadające dowolnemu punktowi siodła nazywają się optymalne strategie graczy 1 i 2, odpowiednio. Na mocy (2.7) wszystkie optymalne strategie gracza są wymienne.

Optymalność zachowania graczy nie zmieni się, jeśli zestaw strategii w grze pozostanie ten sam, a funkcja wypłaty zostanie pomnożona przez stałą dodatnią (lub zostanie do niej dodana stała liczba).

Twierdzenie. Aby punkt siodłowy (i*,j*) istniał w grze macierzowej, konieczne i wystarczające jest, aby maksymina była równa minimaksowi:

(2.10)

Dowód. Potrzebować. Jeżeli (i*,j*) jest punktem siodłowym, to zgodnie z (2.6) :

(2.11)

Mamy jednak:

(2.12)

Z (2.11) i (2.12) otrzymujemy:

(2.13)

Argumentując podobnie, dochodzimy do równości:

Zatem,

Z drugiej strony, odwrotna nierówność (2.5) jest zawsze spełniona, więc (2.10) okazuje się słuszne.

Adekwatność. Niech (2.10) będzie prawdą. Udowodnijmy istnienie punktu siodłowego. Mamy:

Zgodnie z równością (2.10), nierówności (2.15) i (2.16) zamieniają się w równości. Po czym mamy:

Twierdzenie zostało udowodnione. Po drodze udowodniono, że łączna wartość maximin i minimax jest równa cenie gry.

Mieszany dodatek do gry

Rozważmy grę macierzową G. Jeśli jest w niej sytuacja równowagi, to minimaks jest równy maksyminie. Co więcej, każdy z graczy może przekazać drugiemu graczowi informacje o swojej optymalnej strategii. Jego przeciwnik nie będzie mógł czerpać żadnych dodatkowych korzyści z tych informacji. Załóżmy teraz, że w grze G nie ma sytuacji równowagi. Następnie:

W tym przypadku strategie minimax i maximin nie są stabilne. Gracze mogą mieć bodźce do odstąpienia od rozważnych strategii, związane z możliwością uzyskania większej wypłaty, ale także z ryzykiem przegranej, czyli uzyskania wypłaty mniejszej niż w przypadku stosowania ostrożnej strategii. Przy stosowaniu ryzykownych strategii przekazywanie informacji o nich przeciwnikowi ma niekorzystne konsekwencje: gracz automatycznie otrzymuje mniejszą wypłatę niż przy użyciu ostrożnej strategii.

Przykład 3. Niech macierz gry wygląda tak:

Dla takiej matrycy tj. równowaga nie istnieje. Ostrożne strategie graczy to i*=1, j*=2. Niech gracz 2 zastosuje strategię j*=2, a gracz 1 wybierze strategię i=2. wtedy ten ostatni otrzyma wypłatę w wysokości 3, czyli o dwie jednostki więcej niż maksymin. Jeśli jednak gracz 2 zgadnie co do planów gracza 1, zmieni swoją strategię na j=1, a wtedy pierwszy otrzyma wypłatę 0, czyli mniej niż jego maksyma. Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla drugiego gracza. Generalnie można stwierdzić, że zastosowanie strategii przygodowej w osobnej grze gry może przynieść wynik większy niż gwarantowany, ale jej zastosowanie wiąże się z ryzykiem. Powstaje pytanie, czy można połączyć niezawodną ostrożną strategię z przygodową w taki sposób, aby zwiększyć średnią wypłatę? Zasadniczo pytanie brzmi, jak podzielić wypłatę (2,17) między graczy?

Okazuje się, że rozsądnym rozwiązaniem jest zastosowanie strategii mieszanej, czyli losowego wyboru strategii czystych. Odwołaj to strategia gracza 1 nazywa się mieszana, jeśli wyboru i-tego rzędu dokonuje on z pewnym prawdopodobieństwem p i . Taką strategię można utożsamić z rozkładem prawdopodobieństwa w wielu wierszach. Załóżmy, że pierwszy gracz ma m czystych strategii, a drugi gracz ma n czystych strategii. Wtedy ich mieszane strategie są wektorami prawdopodobieństwa:

(2.18)

Rozważ dwie możliwe strategie mieszane dla pierwszego gracza w przykładzie 3: . Strategie te różnią się rozkładem prawdopodobieństwa pomiędzy czystymi strategiami. Jeżeli w pierwszym przypadku wiersze macierzy wybiera gracz z równymi prawdopodobieństwami, to w drugim przypadku - z różnymi. Kiedy mówimy o strategii mieszanej, przez losowy wybór rozumiemy nie „losowy” wybór, ale wybór oparty na działaniu mechanizmu losowego, który zapewnia pożądany rozkład prawdopodobieństwa. Tak więc do realizacji pierwszej ze strategii mieszanych dobrze nadaje się rzut monetą. Gracz wybiera pierwszą linię lub drugą, w zależności od tego, jak wypadnie moneta. Przeciętnie gracz będzie równie często wybierał zarówno pierwszy rząd, jak i drugi rząd, ale wybór w określonej iteracji gry nie podlega żadnej ustalonej regule i ma maksymalny stopień tajności: przed wdrożeniem mechanizmu losowego , jest nieznany nawet pierwszemu graczowi. Aby wdrożyć drugą strategię mieszaną, dobrze nadaje się mechanizm losowania. Gracz bierze siedem identycznych kartek, zaznaczając trzy z nich krzyżykiem i wrzuca je do kapelusza. Następnie losowo wydobywa jeden z nich. Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa wyciągnie kartkę z krzyżykiem z prawdopodobieństwem 3/7 i czystą kartkę z prawdopodobieństwem 4/7. Taki mechanizm losowania jest w stanie zrealizować dowolne racjonalne prawdopodobieństwa.

Niech gracze trzymają się strategii mieszanych (2.18). Wtedy wypłata pierwszego gracza w pojedynczej iteracji gry jest zmienną losową: v(X,Y). Ponieważ gracze wybierają strategie niezależnie od siebie, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo wyboru wyniku (i, j) z wygraną jest równe iloczynowi prawdopodobieństw . Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej v(X,Y) podane w poniższej tabeli

Teraz niech gra toczy się w nieskończoność. Wtedy średnia wypłata w takiej grze jest równa matematycznemu oczekiwaniu wartości v(X,Y).

(2.19)

Dla skończonej, ale wystarczająco dużej liczby iteracji gry, średnia wypłata będzie nieznacznie różnić się od wartości (2,19).

Przykład 4. Oblicz średnią wypłatę (2.19) dla gry z przykładu 3, gdy gracze stosują następujące strategie: . Macierz wypłat i macierz prawdopodobieństwa są następujące:

Znajdźmy średnią:

Zatem średnia wypłata (2,20) jest pośrednia między maksyminem a minimaksem.

Ponieważ dla dowolnej pary strategii mieszanych X i Y można obliczyć średnią wartość gry, pojawia się problem ze znalezieniem strategii optymalnej. Naturalne jest, aby zacząć od zbadania ostrożnych strategii. Ostrożna strategia pierwszego gracza zapewnia mu maksymalizację. Ostrożna strategia drugiego gracza nie pozwala pierwszemu wygrać więcej niż minimaks. Za najważniejszy wynik w teorii gier o przeciwnych interesach można uznać:

Twierdzenie. Każda gra macierzowa ma sytuację równowagi w strategiach mieszanych. Dowód tego twierdzenia nie jest łatwy. W tym kursie jest pomijany.

Konsekwencje: Istnienie sytuacji równowagi oznacza, że ​​maksymina jest równa minimaksowi, a zatem każda gra macierzowa ma swoją cenę. Optymalną strategią dla pierwszego gracza jest strategia maksymalizacji. Optymalną strategią drugiej jest minimax. Ponieważ problem znalezienia optymalnych strategii został rozwiązany, mówimy, że każda gra macierzowa rozpuszczalny na zestawie strategii mieszanych.

Rozwiązanie gry 2x2

Przykład 5. Rozwiąż grę. Nietrudno sprawdzić, czy nie ma punktu siodełka. Oznacz optymalną strategię pierwszego gracza (x, 1-x) jest wektorem kolumnowym, ale dla wygody zapisujemy go jako ciąg. Oznacz optymalną strategię drugiego gracza (y,1-y).

Wypłata pierwszego gracza jest zmienną losową o następującym rozkładzie:

Znajdujemy średnią wypłatę dla iteracji pierwszego gracza - matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej v(x,y):

Przekształćmy to wyrażenie:

To matematyczne oczekiwanie składa się ze stałej (5/7) i części zmiennej: 14(x-11/14)(y-8/14). Jeśli wartość tak inny niż 8/14, wtedy pierwszy gracz zawsze może wybrać X w taki sposób, aby zmienna część była pozytywna, zwiększając Twoje wygrane. Jeśli wartość X inny niż 11/14, drugi gracz zawsze może wybrać tak tak, aby zmienna część była ujemna, zmniejszając wypłatę pierwszego gracza. Tak więc punkt siodłowy jest określony przez równości: x*=11/14, y*=8/14.

2.5 Rozwiązywanie gier

Przykład pokaże, jak rozwiązywać takie gry.

Przykład 6. Rozwiąż grę . Upewniamy się, że nie ma punktu siodła. Oznacz mieszaną strategię pierwszego gracza X=(x, 1-x) jest wektorem kolumnowym, ale dla wygody zapisujemy go jako ciąg.

Niech pierwszy gracz zastosuje strategię X, a drugi swoją j-tą czystą strategię. Oznaczmy średnią wypłatę pierwszego gracza w tej sytuacji jako . Mamy:

Narysujmy wykresy funkcji (2.21) na odcinku .

Rzędna punktu znajdującego się na dowolnym z odcinków linii odpowiada wypłacie pierwszego gracza w sytuacji, gdy stosuje on strategię mieszaną (x,(1-x)), a drugiemu graczowi odpowiednią czystą strategię. Gwarantowanym wynikiem pierwszego gracza jest dolna obwiednia rodziny linii (przerwane ABC). Najwyższym punktem tej łamanej linii (punkt B) jest maksymalny gwarantowany wynik gracza 1. Odcięta punktu B odpowiada optymalnej strategii pierwszego gracza.

Ponieważ żądany punkt B jest przecięciem prostych, a następnie jego odciętą można znaleźć jako rozwiązanie równania:

Zatem optymalna strategia mieszana pierwszego gracza to (5/9, 4/9). Rzędna punktu B to cena gry. Jest równy:

(2.22)

Zauważ, że linia odpowiadająca drugiej strategii drugiego gracza przechodzi nad punktem B. Oznacza to, że jeśli pierwszy gracz zastosuje swoją optymalną strategię, a gracz 2 użyje drugiej, to strata drugiego gracza wzrasta w porównaniu ze stosowaniem strategii 1 lub 3. Zatem druga strategia nie może uczestniczyć w optymalnej strategii drugiego gracza. Optymalną strategią dla gracza 2 powinna być: . Czyste strategie 1 i 3 drugiego gracza, które mają niezerowe składowe w strategii optymalnej, są zwykle nazywane istotne. Strategia 2 nazywa się nieistotny. Z powyższego rysunku, a także z równości (2.22) widać, że kiedy pierwszy gracz zastosuje swoją optymalną strategię, wypłata drugiego gracza nie zależy od tego, której z jego podstawowych strategii użyje. Może też zastosować dowolną strategię mieszaną, składającą się z zasadniczych (w szczególności optymalnych), wypłata również w tym przypadku nie ulegnie zmianie. Całkowicie analogiczne stwierdzenie jest również prawdziwe w przypadku odwrotnym. Jeśli drugi gracz zastosuje swoją optymalną strategię, wypłata pierwszego gracza nie zależy od tego, której z podstawowych strategii używa i jest równa kosztowi gry. Korzystając z tego stwierdzenia, znajdujemy optymalną strategię dla drugiego gracza.

Łącząc linie podaży i popytu na jednym wykresie otrzymujemy graficzną reprezentację równowagi we współrzędnych P, Q(rys. 2.6). Punkt przecięcia linii ma współrzędne (P*, Q*), gdzie R* - Cena równowagi, Q*- równowaga wielkości produkcji i konsumpcji.

Równowaga rynkowa- jest to stan rynku, w którym przy danym poziomie cen ilość popytu jest równa ilości podaży.

Tylko w punkcie równowagi mi rynek jest zrównoważony, żaden z agentów rynkowych nie ma bodźców do zmiany sytuacji. Oznacza to, że równowaga rynkowa ma tę właściwość zrównoważony rozwój - w przypadku braku równowagi podmioty rynkowe są motywowane do przywrócenia rynku do stanu równowagi. Aby udowodnić stabilność, zwykle używa się logiki L. Walrasa lub A. Marshalla.

Zdaniem L. Walrasa przy zbyt wysokich cenach występuje nadpodaż – nadprodukcja (segment A-B na ryc. 2.6i), taki rynek nazywa się rynek kupującego ponieważ kupujący ma możliwość żądania obniżenia ceny przy zawieraniu transakcji. W takiej sytuacji w pierwszej kolejności nie jest zainteresowany sprzedający, który jest zmuszony do obniżania cen i zmniejszania wielkości produkcji. Wraz ze spadkiem cen wzrasta popyt A-B kurczy się, aż stanie się punktem równowagi MI.

Przy niskich cenach występuje nadwyżka popytu – rozwija się niedobór (segment CFna rys. 2.6a), rynek sprzedawcy. Kupujący jest zmuszony

Jeśli konsument zmniejszy konsumpcję i przepłaci za rzadkie dobro, wraz ze wzrostem ceny ilość podaży rośnie, a niedobór kurczy się, aż rynek się zrównoważy.

Według A. Marshalla (ryc. 2.66), przy małych ilościach produkcji cena popytu przewyższa cenę sprzedającego, przy dużych ilościach - odwrotnie. W każdym razie sytuacja nierównowagi stymuluje przesunięcie ceny lub wielkości podaży i popytu w kierunku równowagi. równowaga (a) według Walrasa – cena reguluje nierównowagę podaży i popytu, (b) według Marshalla - ceny kupującego i sprzedającego są równoważone zmianą wolumenów.

Ryż. 2.6. Ustalenie równowagi rynkowej: c) wg L. Walrasa; b) według A. Marshalla

Zmiana popytu lub podaży na rynku prowadzi do zmiany równowagi (rys. 2.7). Jeśli na przykład popyt rynkowy wzrasta, to linia popytu przesuwa się w prawo, wtedy wzrasta cena i wolumen równowagi. Jeśli podaż rynkowa spada, linia podaży przesuwa się w lewo, co powoduje wzrost ceny i spadek wolumenu.

Ten model rynku jest statyczny, ponieważ nie pojawia się w nim czas.

Model „pająka”

Jako przykład dynamicznego modelu równowagi rynkowej przedstawiamy najprostszy model „pajęczyny”. Załóżmy, że wymagana ilość zależy od poziomu cen w bieżącym okresie t, a wielkość podaży - od cen z poprzedniego okresu t-1:

Q d i = Q d i (P t) , Q s i = Q s i (P t -1) ,

gdzie t = 0,1….T jest wartością dyskretną okresu czasu.

Ryż. 2.7. Zmiana równowagi rynkowej:

a) z powodu wzrostu popytu; b) ze względu na spadek

propozycje

Cena rynkowa P t może nie odpowiadać cenie równowagi R*, i są trzy możliwe dynamiki P t(rys. 2.8).

Wariant trajektorii rozwoju w tym modelu zależy od stosunku nachyleń linii podaży i popytu.

Ryż. 2.8. „Pająk” model równowagi rynkowej:

a) maleje odchylenie od równowagi; 5) odchylenie

wzrasta od równowagi (model „katastroficzny”); c) rynek

oscyluje cyklicznie wokół punktu równowagi, ale równowaga

Zbadajmy mechanizm powstawania równowagi rynkowej, gdy pod wpływem zmian czynników podażowych lub popytowych rynek opuszcza stan. Istnieją dwa główne warianty dysproporcji między podażą a popytem: nadwyżka i niedobór dóbr.

Nadmiar(nadwyżka) towaru – ϶ᴛᴏ taka sytuacja na rynku, gdy podaż towaru po danej cenie przewyższa popyt na niego. W tym przypadku powstaje konkurencja między producentami, walka o nabywców. Wygrywa ten, kto zaoferuje korzystniejsze warunki sprzedaży towarów. Rynek ma więc tendencję do powrotu do stanu równowagi.

deficyt towar – w takim przypadku popyt na towar w danej cenie przewyższa ilość oferowanych towarów. W tej sytuacji powstaje już konkurencja między kupującymi o możliwość zakupu rzadkiego produktu. Zwycięzcą jest ten, który zaoferuje najwyższą cenę za ten produkt. Podwyższona cena przyciąga do niej uwagę producentów, którzy zaczynają rozszerzać produkcję, zwiększając tym samym podaż towarów. W rezultacie system powraca do stanu równowagi.

Na podstawie powyższego dochodzimy do wniosku, że cena realizuje funkcję bilansującą, stymulując rozwój produkcji i podaży towarów z niedoborem i ograniczając podaż, uwalniając rynek od nadwyżek.

Równoważną rolę ceny będzie odgrywać zarówno popyt, jak i podaż.

Wyjdziemy z założenia, że ​​równowaga ustanowiona na naszym rynku została zachwiana - pod wpływem jakichkolwiek czynników (np. wzrostu dochodów) nastąpił wzrost popytu, w efekcie jego krzywa przesunęła się od D1 w D2(rys. 4.3 a), a propozycja pozostała bez zmian.

Jeżeli cena danego produktu nie zmieniła się bezpośrednio po przesunięciu krzywej popytu, to po wzroście popytu powstanie sytuacja, gdy przy poprzedniej cenie, P1 ilość towaru, jaką każdy z kupujących może teraz zakup (QD) przekracza wielkość, jaką mogą zaoferować w danej cenie producenci danej Towary (QS). Wielkość popytu przekroczy teraz wielkość podaży tego produktu, co oznacza, że brak towaru w tempie Df = QD – Qs na tym rynku.

Niedobór towarów, jak już wiemy, prowadzi do konkurencji między kupującymi o możliwość zakupu tego produktu, co prowadzi do wzrostu cen rynkowych. W ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙii z prawem podaży reakcją sprzedawców na wzrost ceny będzie wzrost ilości oferowanego towaru. Na wykresie ϶ᴛᴏ zostanie wyrażony przez przesunięcie punktu równowagi rynkowej E1 wzdłuż krzywej podaży, aż przetnie się z nową krzywą popytu D2 gdzie zostanie osiągnięta nowa równowaga danego rynku E2 s równowaga ilości towarów Q2 i cena równowagi R2.

Ryż. 4.3. Przesunięcie punktu równowagi cenowej.

Zbadajmy sytuację, w której stan równowagi jest zakłócany przez stronę podażową.

Wyjdziemy z założenia, że ​​pod wpływem niektórych czynników nastąpił wzrost podaży, w efekcie jej krzywa przesunęła się w prawo od pozycji S1 w S2 a popyt pozostał bez zmian (rys. 4.3 b).

Dopóki cena rynkowa pozostaje taka sama (R1) wzrost podaży doprowadzi do nadmiar towary w rozmiarze Sp = Qs–QD. W rezultacie istnieje konkurencja dostawców, prowadzące do spadku ceny rynkowej (z P1 zanim P2) oraz wzrost ilości sprzedanych towarów. Na wykresie ϶ᴛᴏ zostanie odzwierciedlone poprzez przesunięcie punktu równowagi rynkowej E1 wzdłuż krzywej popytu, aż przetnie się z nową krzywą podaży, co skutkuje nową równowagą E2 z parametrami Q2 oraz R2.

Podobnie można określić wpływ spadku popytu i podaży na cenę równowagi i ilość towarów w równowadze.

W literaturze edukacyjnej formułowane są cztery zasady interakcji podaży i popytu.

Wzrost popytu powoduje wzrost ceny równowagi i równowagi ilości dóbr.

Spadek popytu powoduje spadek zarówno ceny równowagi, jak i ilości towarów w równowadze.

Wzrost podaży pociąga za sobą spadek ceny równowagi i wzrost ilości towarów w równowadze.

Spadek podaży pociąga za sobą wzrost ceny równowagi i spadek ilości towarów w równowadze.

Warto powiedzieć – korzystając z tych reguł, można znaleźć punkt równowagi dla wszelkich zmian podaży i popytu.

Następujące okoliczności mogą głównie uniemożliwić powrót ceny do poziomu równowagi rynkowej:

administracyjna regulacja cen;

monopolizm producenta lub konsumenta, pozwalając na utrzymanie ceny monopolistycznej, która może być zarówno sztucznie zawyżona, jak i zaniżona.

Rozpoczynając rozwiązywanie problemu, należy najpierw określić liczbę stopni swobody rozpatrywanego układu (w szczególności mechanizmu), zgodnie z liczbą niezależnych możliwych przemieszczeń lub współrzędnych układu.

W mechanizmach płaskich liczbę stopni swobody można praktycznie określić w następujący sposób. Wyobraź sobie, że mechanizm się porusza. Jeśli po zatrzymaniu ruchu translacyjnego lub obrotowego dowolnego ogniwa jednocześnie zatrzymujemy cały mechanizm, to ma on jeden stopień swobody. Jeżeli po tym jakaś część mechanizmu może dalej się poruszać, ale gdy ruch jakiegoś innego ogniwa zostanie wtedy zatrzymany, mechanizm zatrzyma się, to ma dwa stopnie swobody itd. Podobnie, jeśli określimy położenie mechanizmu poprzez pewna współrzędna i gdy jest stała , mechanizm nie może się poruszać - ma jeden stopień swobody. Jeśli po tym część mechanizmu może się poruszać, wybierana jest druga współrzędna i tak dalej.

Aby rozwiązać problem metodą geometryczną, gdy układ ma jeden stopień swobody, konieczne jest: 1) przedstawienie wszystkich sił aktywnych działających na układ; 2) poinformować układ o możliwym ruchu i pokazać na rysunku elementarne przemieszczenia punktów przyłożenia sił lub kątów 69, elementarne obroty ciał, na które działają siły (dla elementarnych przemieszczeń wskażemy na rysunku ich moduły, które są bezpośrednio uwzględnione w warunkach równowagi); 3) obliczyć pracę elementarną wszystkich sił czynnych na dane przemieszczenie według wzorów:

i sformułować warunek (99); 4) ustalić związek między wielkościami zawartymi w równości (99) i wyrazić te wielkości w postaci jakiejś jednej, co zawsze można zrobić dla układu o jednym stopniu swobody.

Po zastąpieniu wszystkich wielkości w równości (99) przez jeden otrzymujemy równanie, z którego można znaleźć poszukiwaną w zadaniu wartość lub zależność.

Zależności pomiędzy można znaleźć: a) z odpowiednich relacji geometrycznych (zadania 164, 169); b) z relacji kinematycznych, przy założeniu, że układ się porusza i w danej pozycji układu, wyznaczenie zależności między prędkościami liniowymi lub kątowymi odpowiednich punktów lub ciał układu, a następnie założenie, że jest to prawda, ponieważ rzeczywiste przemieszczenia otrzymane przez punkty lub ciała w czasie dt będą na połączeniach stacjonarnych należą do możliwych (w przeciwnym razie możemy od razu rozważyć zależności między możliwymi przemieszczeniami jako takie same, jak między odpowiadającymi im prędkościami, patrz problemy 165, 166 itp.).

W przypadku układu o kilku stopniach swobody, problem można rozwiązać przez złożenie warunku (99) dla każdego z niezależnych możliwych przemieszczeń układu i przekształcenie go w ten sam sposób. W rezultacie system będzie miał tyle warunków równowagi, ile ma stopni swobody. Inna metoda rozwiązania prowadząca do tych samych wyników została określona w § 144.

Przy analitycznej metodzie obliczeń warunek równowagi ma postać (100). W tym celu należy wybrać osie współrzędnych związane z ciałem, które przy ewentualnych przemieszczeniach układu pozostaje nieruchome. Następnie obliczane są rzuty wszystkich aktywnych sił na wybrane osie oraz współrzędne punktów przyłożenia tych sił, wyrażając wszystkie współrzędne w postaci jakiegoś parametru (np. kąta). Następnie wartości znajdują się, różnicując współrzędne w odniesieniu do tego parametru.

Jeżeli nie jest możliwe wyrażenie wszystkich współrzędnych za pomocą jednego parametru na raz, to należy wprowadzić kilka parametrów, a następnie ustalić relację między nimi.

Podsumowując, zauważamy, że warunki (99) lub (100) mogą być również wykorzystywane do rozwiązywania problemów w obecności tarcia, w tym siły tarcia w liczbie sił aktywnych. W ten sam sposób można znaleźć reakcje więzów, jeśli po odrzuceniu więzów zastąpimy je odpowiednią reakcją, włączymy ją do liczby sił czynnych i weźmiemy pod uwagę, że po odrzuceniu więzów ograniczenia, system uzyskuje nowy stopień swobody.

Problem 164. W mechanizmie pokazanym na ryc. 354, znajdź związek między siłami P i Q w stanie równowagi.

Rozwiązanie, system ma jeden stopień swobody. Jeśli systemowi powiedziano o możliwym ruchu, wszystkie przekątne równoległoboków utworzonych przez pręty wydłużą się o tę samą wartość. Następnie .

Kompilując równanie (99), otrzymujemy:

gdzie . Wynik jest bardzo prosty.

Zadanie 165. Ciężar kłody Q, ciężar każdego z dwóch walców, na których jest ona ułożona, P. Określ, jaka siła F musi być przyłożona do kłody, aby utrzymać ją w równowadze na pochyłej płaszczyźnie o podany kąt nachylenia a (ryc. 355). Tarcie rolek o płaszczyznę i kłodę zapewnia, że ​​nie ma poślizgu.

Decyzja. Jeśli pominiemy opory toczenia, idealnym połączeniem będzie płaszczyzna dla rolek. Podczas toczenia bez poślizgu system ma jeden stopień swobody. Mówiąc systemowi o możliwym przemieszczeniu, otrzymujemy według warunku (99)

gdzie jest możliwe przemieszczenie kłody, zbiegające się z przemieszczeniem punktu B.

Punkt kontaktu K jest chwilowym środkiem prędkości jazdy. Dlatego, jeśli rozważymy , Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniego równania, w końcu znajdujemy

Zadanie 166. Znajdź zależność między momentem M pary działającym na korbę mechanizmu korbowo-suwakowego (rys. 356) a siłą nacisku P na tłok w równowadze, jeśli

Decyzja. Mechanizm ma jeden stopień swobody. Z warunku równowagi (99), jeśli postawimy, otrzymamy:

Rozwiązanie sprowadza się do znalezienia związku pomiędzy Ten problem kinematyczny został rozwiązany wcześniej (patrz § 57, problem 63). Korzystając z uzyskanego tam wyniku, znajdujemy

Problem 167. Dla skrzyni biegów rozpatrywanej w zadaniu 83 (patrz § 70), znajdź zależność między momentem obrotowym przyłożonym do wału napędowego A, a momentem oporu przyłożonym do wału napędzanego B, gdy oba wały obracają się równomiernie.

Decyzja. Przy jednostajnej rotacji stosunek między będzie taki sam jak w równowadze. Zatem zgodnie z warunkiem (99), jeśli postawimy:

Stąd, korzystając z wyniku otrzymanego w zadaniu 83, znajdujemy

Problem 168

Decyzja. Komponując warunek równowagi (99), otrzymujemy

Zakłada się, że przy równomiernym obrocie rękojeści, przy czym klamka jest również równomiernie odkręcana, wtedy

Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniej równości, znajdujemy

Zauważamy, że tego prostego problemu nie można było w ogóle rozwiązać metodami statyki geometrycznej, ponieważ szczegóły mechanizmu nie są znane.

Rozwiązany problem pokazuje, jakie są (w zasadzie) możliwości zastosowanej metody. Ale w konkretnym obliczeniu inżynieryjnym takiego mechanizmu będzie oczywiście konieczne uwzględnienie tarcia między jego częściami, dla którego konieczne będzie poznanie mechanizmu.

Problem 169. Belka składająca się z dwóch belek połączonych zawiasem C przenosi obciążenie P (ryc. 358, a). Wymiary belki i położenie podpór pokazano na rysunku. Określ siłę nacisku na podporę B wywołaną przez dane obciążenie.

Decyzja. Odrzucamy podporę B i zastępujemy ją reakcją N w, liczbowo równą żądanej sile nacisku (ryc. 358, b). Po poinformowaniu systemu o możliwym ruchu (ma teraz jeden stopień swobody), tworzymy warunek (99)

Znajdujemy związek między proporcjami:

Stąd,

Przy zastosowaniu metody statyki geometrycznej rozwiązanie okazałoby się dłuższe (konieczne byłoby uwzględnienie równowagi części belki i wprowadzenie dodatkowych reakcji innych więzów, a następnie wykluczenie tych reakcji z powstałego układu równowagi równania).

Problem 170. Poziomy pręt 1 z ciężarem zamocowanym w punkcie A za pomocą zawiasu (ryc. 359) jest połączony za pomocą zawiasu B z prętem 2 z ciężarem końca C, pręt spoczywa na poziomej podłodze, tworząc kąt z nim. Określ, przy jakiej wartości siły tarcia belki o podłogę układ będzie w równowadze.

Decyzja. Przedstawiamy siły działające na układ oraz siłę tarcia F, wliczając ją w liczbę sił czynnych; w tym przypadku rozkładamy siłę na dwie składowe, każda równa i przyłożona w punktach B i C (zwracamy uwagę na tę technikę, która znacznie ułatwia obliczenie możliwej pracy).

Składając warunek równowagi (99) i uwzględniając wzory (101), otrzymujemy przez oznaczanie

Ale przez analogię do twierdzenia o rzutach prędkości dwóch punktów ciała, gdzie . Wtedy i wreszcie

Zauważ, że w tym problemie, używając metod statyki geometrycznej, nie można skomponować tylko jednego równania, z którego F można od razu znaleźć.

Problem 171. W mechanizmie planetarnym z przekładnią różnicową (patrz § 70) koło zębate 1 o promieniu i korba AB, łożyskująca oś B koła zębatego 2 o promieniu, są niezależnie zamontowane na osi A (ryc. 360). Moment obrotowy M działa na korbę, a momenty oporu działają na koła zębate 1 i 2. Znajdź wartości​​w stanie równowagi mechanizmu.

Temat 4. Teoria gier i modelowanie interakcji.

1. Podstawowe pojęcia teorii gier.

2. Typy równowagi: równowaga Nasha, Stekelberga, równowaga optymalna Pareto, równowaga strategii dominujących.

3. Podstawowe modele teorii gier.

Podstawowe pojęcia teorii gier.

Wykorzystanie w analizie procesów gospodarczych metod matematycznych, do których należy teoria gier, pozwala na identyfikację takich trendów, związków, które pozostają ukryte podczas stosowania innych metod, a nawet uzyskanie bardzo nieoczekiwanych wyników.

Zauważ, że teoria gier jest jedną z najmłodszych dyscyplin matematycznych. Jej pojawienie się jako samodzielnej gałęzi matematyki przypisuje się połowie lat pięćdziesiątych, kiedy opublikowano znaną monografię F. Neumanna i O. Morgensterna „Teoria gier i zachowań ekonomicznych”. Początki teorii gier związane z pracą E. Porela (1921)."

Do tej pory teoria gier przekształciła się w cały kierunek matematyczny, bogaty w interesujące wyniki i posiadający dużą liczbę praktycznych zaleceń i zastosowań.

Rozważmy główne założenia i koncepcje modelu gry interakcji międzyludzkich.

1. Liczba jednostek wchodzących w interakcje to dwa. Osoby fizyczne nazywane są graczami. Koncepcja gracza pozwala na modelowanie ról społecznych jednostki: sprzedającego, kupującego, męża, żony itp. Gra to uproszczona reprezentacja interakcji dwóch osób o różnych lub podobnych rolach społecznych, np. kupujący – sprzedawca, sprzedawca - sprzedawca itp.

2. Każda osoba ma ustalony zestaw zachowań lub alternatyw. Liczba opcji zachowania dla różnych graczy może nie być taka sama.

3. Interakcję interpersonalną uważa się za zrealizowaną, jeśli obaj gracze jednocześnie wybierają opcje swojego zachowania i postępują zgodnie z nimi. Pojedynczy akt interakcji międzyludzkiej nazywany jest przebiegiem gry. Zakłada się, że czas trwania aktu interakcji wynosi zero.

4. Przebieg gry określają dwie liczby całkowite - wybrany numer opcji zachowania (ruch) pierwszego gracza i wybrany numer opcji zachowania (ruch) drugiego gracza. Maksymalna możliwa liczba różnych ruchów w grze jest równa iloczynowi całkowitej liczby ruchów pierwszego gracza i całkowitej liczby ruchów drugiego gracza.

5. Każda interakcja jednostek, czyli przebieg gry, otrzymuje swój numer seryjny: 1, 2, 3 itd. Nie należy mylić pojęcia „ruch w grze” (para liczb) i „numer ruchu w grze” (pojedyncza liczba). Zakłada się, że interakcje zachodzą regularnie w regularnych odstępach czasu, więc numer tury gry wskazuje, jak długo te osoby wchodzą ze sobą w interakcje.

6. Każdy gracz dąży do osiągnięcia maksymalnej wartości jakiegoś wskaźnika celu, który nazywa się użytecznością lub wypłatą. Tym samym gracz ma cechy „człowieka ekonomicznego”. Wypłata gracza może być dodatnia lub ujemna. Ujemna wygrana nazywana jest również przegraną.

7. Każdy ruch w grze (para alternatyw wybranych przez graczy) odpowiada unikalnej parze wypłat graczy. Zależność wypłat graczy od wybranych przez nich ruchów opisuje macierz gry, czyli macierz wypłat. Wiersze tej macierzy odpowiadają alternatywom (ruchom) pierwszego gracza, a kolumny odpowiadają alternatywom (ruchom) drugiego gracza. Elementami matrycy gry są pary wypłat odpowiadające odpowiedniemu wierszowi i kolumnie (ruchy graczy). Wypłata pierwszego gracza (pierwsza liczba w komórce macierzy gry) zależy nie tylko od jego ruchu (numer wiersza), ale także od ruchu drugiego gracza (numer kolumny). Dlatego przed realizacją interakcji jednostka nie zna dokładnej kwoty swojego zysku. Innymi słowy, wybór zachowania gracza dokonywany jest w warunkach niepewności, tj. gracz ma cechy „osoby instytucjonalnej”.

8. Strategia gracza to nawykowy stereotyp zachowania, którym kieruje się gracz wybierając alternatywne zachowanie przez określony czas. Strategię gracza określają prawdopodobieństwa (lub częstotliwości) wyboru wszystkich możliwych zachowań. Innymi słowy, strategia gracza to wektor, którego liczba współrzędnych jest równa całkowitej liczbie możliwych alternatyw, a współrzędna i-ta jest równa prawdopodobieństwu (częstotliwości) wyboru i-tej alternatywy. Oczywiste jest, że suma wartości wszystkich współrzędnych danego wektora jest równa jeden.

Jeśli gracz w rozpatrywanym okresie wybierze tylko jeden wariant zachowania, wówczas strategię gracza nazywa się czysty.

Wszystkie współrzędne odpowiedniego wektora strategii czystej są równe zero, z wyjątkiem jednego, który jest równy jeden.

Strategia, która nie jest czysta, nazywa się mieszany.

W tym przypadku wektor strategii gracza ma co najmniej dwie niezerowe współrzędne. Reagują na aktywne zachowania. Gracz stosujący strategię mieszaną zmienia aktywne zachowania zgodnie z wybranymi prawdopodobieństwami (częstotliwościami). W dalszej części, dla uproszczenia prezentacji materiału, przyjmiemy, że gracz zawsze kieruje się jakąś czystą strategią, tj. w rozpatrywanym okresie niezmiennie wybiera jedyny wariant zachowania z danego zestawu alternatyw.

Osobę instytucjonalną charakteryzuje zmienność jej zachowania, która zależy od jej stanu wewnętrznego, doświadczenia życiowego, zewnętrznego otoczenia społecznego itp. W ramach podejścia gry do badania instytucji ta właściwość osoby instytucjonalnej wyraża się w możliwość zmiany strategii przez gracza. Gdyby wśród strategii gracza zawsze istniała obiektywnie najlepsza, to niezmiennie by ją realizował, a zmiana strategii byłaby bezcelowa. Ale w prawdziwym życiu człowiek zwykle rozważa kilka strategii zachowania. Nie da się obiektywnie wyróżnić najlepszych spośród nich. Model gry interakcji międzyludzkich pozwala zgłębić tę cechę zachowań instytucjonalnych, ponieważ obejmuje szereg strategii behawioralnych, które się nie wykluczają i odzwierciedlają różne aspekty zachowania osoby instytucjonalnej. Przyjrzyjmy się tym zachowaniom.

macierz gry

Wyróżnić solidarny oraz niesolidarny strategie zachowania. Te pierwsze są najbardziej typowe dla „człowieka instytucjonalnego”, a drugie dla „człowieka ekonomicznego”.

niesolidarny strategie behawioralne charakteryzują się tym, że jednostka samodzielnie wybiera wariant swojego zachowania, przy czym albo w ogóle nie bierze pod uwagę zachowania innej jednostki, albo na podstawie swojego doświadczenia sugeruje możliwy wariant swojego zachowania .

Główne rodzaje zachowań niesolidarnościowych obejmują: irracjonalny, ostrożny, optymalizacja, zboczeniec oraz innowacyjny.

1) Irracjonalne zachowanie. Oznacz dwie strategie pierwszego gracza odpowiednio jako A i B. Strategię A nazywamy dominującą w stosunku do strategii B, jeżeli dla dowolnego ruchu drugiego gracza wypłata pierwszego gracza odpowiadająca strategii A jest większa niż jego wypłata odpowiadająca strategii B. Zatem strategia B jest obiektywnie gorsza w odniesieniu do strategii A.

Jeśli strategia A zawsze może być dowolnie wybrana przez gracza, to strategia B nigdy nie powinna być wybierana w ogóle. Jeśli jednak strategia B zostanie wybrana przez pierwszego gracza, to jego zachowanie w tym przypadku nazywa się irracjonalnym. Aby zidentyfikować irracjonalne zachowanie gracza, wystarczy przeanalizować macierz jego wypłat: w tym przypadku nie jest używana macierz wypłat innego gracza.

Zauważ, że termin „irracjonalne zachowanie” zapożyczono z teorii neoklasycznej. Oznacza to jedynie, że wybór tej strategii oczywiście nie jest najlepszy w sytuacji, gdy obaj gracze toczą antagonistyczną konfrontację, co jest typowe dla „człowieka ekonomicznego”. Ale dla „osoby instytucjonalnej”, która wchodzi w interpersonalne interakcje z innymi ludźmi, irracjonalne zachowanie jest nie tylko możliwe, ale może okazać się najbardziej rozsądną opcją zachowania. Przykładem tego jest gra Prisoner's Dilemma.

2) Zachowanie ostrożne. „Człowiek instytucjonalny”, w przeciwieństwie do „człowieka ekonomicznego”, nie jest całkowicie racjonalny, tj. nie zawsze wybiera najlepsze zachowanie, które maksymalizuje zysk. Ograniczona racjonalność „osoby instytucjonalnej” wyraża się w niemożności wyboru najlepszej opcji zachowania ze względu na dużą liczbę alternatyw, złożony algorytm określania optymalnej alternatywy, ograniczony czas na podjęcie decyzji itp. Jednocześnie pojęcie ograniczonej racjonalności sugeruje, że biorąc pod uwagę wszystkie zawiłości wyboru, osoba jest w stanie wybrać w miarę dobrą alternatywę.

W graowym podejściu do badania instytucji ograniczoną racjonalność jednostki ilustruje ostrożne zachowanie gracza.

Strategia ostrożności- to strategia gracza, która gwarantuje mu pewną wypłatę, niezależnie od wyboru (ruchu) drugiego gracza. Ostrożna strategia jest również nazywana maksymalizacją, ponieważ jest obliczana poprzez znalezienie maksymalnej wartości z kilku wartości minimalnych.

Ostrożna strategia pierwszego gracza jest zdefiniowana w następujący sposób. W każdym wierszu macierzy jego wypłat znajduje się element minimum, a następnie z takich elementów minimum wybiera się maksimum, czyli maksimum pierwszego gracza. Linia matrycy gry, na której znajduje się maksyma pierwszego gracza, odpowiada jego ostrożnej strategii. W podobny sposób uzyskuje się ostrożną strategię drugiego gracza. W każdej kolumnie macierzy jej wypłat znajduje się element minimalny, a następnie z takich elementów minimalnych wyznaczany jest element maksymalny. Kolumna matrycy gry, w której znajduje się maksyma drugiego gracza, odpowiada jego ostrożnej strategii. Każdy gracz może mieć kilka ostrożnych strategii, ale wszystkie mają tę samą wartość maksymalizacja (maksymalna strategia minimalna) lub gwarantowaną wygraną. W każdej grze macierzowej istnieją ostrożne strategie. Aby zidentyfikować ostrożną strategię gracza, wystarczy przeanalizować jego macierz wypłat, podczas gdy macierz wypłat innego gracza nie jest używana. Ta cecha jest wspólna dla irracjonalnych i ostrożnych zachowań.

3) Optymalizacja zachowania. W praktyce biznesowej często dochodzi do sytuacji, w których podmioty gospodarcze (na przykład sprzedawca i stały nabywca) w trakcie długotrwałej interakcji ze sobą znajdują strategie zachowań, które odpowiadają obu stronom, a zatem są wykorzystywane przez „graczy” w celu długi okres czasu. W podejściu gry do badania instytucji opisana sytuacja jest modelowana przy użyciu koncepcji strategii równowagi. Para takich strategii charakteryzuje się następującą właściwością: jeśli pierwszy gracz odchodzi od swojej strategii równowagi (wybiera inną), a drugi gracz nadal stosuje swoją strategię równowagi, to pierwszy gracz ponosi szkodę w postaci spadek wypłaty. Komórka macierzy gry znajdująca się na przecięciu wiersza i kolumny odpowiadającej parze strategii równowagi nazywana jest punktem równowagi. Matryca gry może mieć kilka punktów równowagi lub w ogóle ich nie mieć.

Zachowanie gracza stosującego strategię równowagi nazywa się optymalizacją ( zachowanie minimaks lub strategia minimum-maksimum).

Różni się od maksymalizacji zachowania. Po pierwsze, wypłata równowagi gracza nie jest maksymalną ze wszystkich możliwych wypłat. Odpowiada ono nie globalnemu maksimum, ale lokalnemu optimum, zatem globalne maksimum funkcji podanej na przedziale liczbowym przekracza każde z jej lokalnych maksimów. Po drugie, podążanie za strategią równowagi przez jednego gracza pociąga za sobą osiągnięcie przez niego lokalnego maksimum tylko wtedy, gdy strategia równowagi jest utrzymywana przez drugiego gracza. Jeśli drugi gracz odejdzie od strategii równowagi, to dalsze stosowanie strategii równowagi przez pierwszego gracza nie da mu efektu maksymalizacji.

Strategie równowagi określane są zgodnie z następującą zasadą: komórkę macierzy gry uważa się za równowagę, jeśli odpowiadająca jej wypłata pierwszego gracza jest maksymalna w kolumnie, a odpowiadająca jej wypłata drugiego gracza to maksimum w rzędzie. Tak więc algorytm znajdowania strategii równowagi wykorzystuje macierze wypłat obu graczy, a nie jednego z nich, jak w przypadku irracjonalnego i ostrożnego zachowania.

4) Odbiegające od normy zachowanie. Instytucjonalizacja strategii równowagi jako podstawowej normy zachowania następuje w wyniku uogólniania przez człowieka jego doświadczenia interakcji międzyludzkich, w tym doświadczenia zachowań dewiacyjnych. Świadomość negatywnych konsekwencji takiego zachowania, oparta na wyborze nierównowagowych alternatyw, jest decydującym argumentem przy wyborze optymalizacyjnej strategii zachowania. Zachowania dewiacyjne stanowią zatem integralną część doświadczenia życiowego „osoby instytucjonalnej”, stanowiąc empiryczne uzasadnienie optymalizacji zachowania. Doświadczenie dewiacyjnego zachowania daje osobie pewność, że drugi uczestnik gry będzie niezmiennie trzymał się strategii równowagi. Takie doświadczenie służy więc jako dowód racjonalności zachowania drugiego gracza i przewidywalności przyszłych interakcji z nim.

5) Innowacyjne zachowanie. Powyżej rozważono zachowania dewiacyjne, których głównym celem jest empiryczne uzasadnienie i utrwalenie początkowej strategii równowagi. Jednak cel odchylenia od strategii równowagi może być fundamentalnie inny. Zachowanie innowacyjne to systematyczne odstępstwo od zwykłej strategii równowagi w celu znalezienia innego stanu równowagi, który jest bardziej korzystny dla innowatora.

W ramach modelu gry interakcji międzyludzkich cel zachowania innowacyjnego można osiągnąć, jeśli macierz gry ma inny punkt równowagi, w którym wypłata innowatora jest większa niż w początkowym stanie równowagi. Jeśli nie ma takiego punktu, to zachowanie innowacyjne jest prawdopodobnie skazane na niepowodzenie, a innowator powróci do pierwotnej strategii równowagi. Jednocześnie jego straty z innowacyjnego eksperymentu będą równe łącznemu efektowi odchylenia dla całego okresu eksperymentu.

W prawdziwym życiu osoby wchodzące w interakcje często zgadzają się na stosowanie pewnych strategii behawioralnych w przyszłości. W tym przypadku zachowanie graczy nazywa się solidarny.

Główne powody zachowań solidarnościowych:

a) opłacalność zachowania solidarnego dla obu graczy. W ramach modelu interakcji gry sytuację tę ilustruje macierz gry, w której w jednej komórce wypłaty obu graczy są maksymalne, ale jednocześnie nie jest ona równowagowa i nie odpowiada parze ostrożnych strategie graczy. Strategie odpowiadające tej komórce raczej nie zostaną wybrane przez graczy, którzy wdrażają niestałe wzorce zachowań. Ale jeśli gracze dojdą do porozumienia w sprawie wyboru odpowiednich strategii solidarnościowych, to później nieopłacalne będzie dla nich naruszenie porozumienia i zostanie to przeprowadzone automatycznie;

b) etyczne zachowanie solidarności często służy jako „wewnętrzny” mechanizm zapewniający zgodność z umową. Koszt moralny w postaci potępienia społecznego, jakie poniesie jednostka, jeśli złamie umowę, może mieć dla niej większe znaczenie niż osiągnięty dzięki temu zysk. Czynnik etyczny odgrywa ważną rolę w zachowaniu „osoby instytucjonalnej”, ale nie jest on właściwie uwzględniany w grze modelu interakcji międzyludzkich;

c) przymus do zachowań solidarnościowych służy jako „zewnętrzny” mechanizm zapewniający zgodność z umową. Ten czynnik zachowań instytucjonalnych również nie znajduje odpowiedniego odzwierciedlenia w grze modelu interakcji.

Rodzaje równowagi: równowaga Nasha, Stekelberga, równowaga Pareto-optymalna, równowaga strategii dominujących.

W każdej interakcji mogą występować różne typy równowagi: równowaga strategii dominującej, równowaga Nasha, równowaga Stackelberga i równowaga Pareto. Strategia dominująca to plan działania, który zapewnia uczestnikowi maksymalną użyteczność, niezależnie od działań drugiego uczestnika. W związku z tym równowaga strategii dominujących będzie przecięciem się strategii dominujących obu uczestników gry. Równowaga Nasha to sytuacja, w której strategia każdego gracza jest najlepszą odpowiedzią na działania drugiego gracza. Innymi słowy, ta równowaga zapewnia graczowi maksymalną użyteczność w zależności od działań drugiego gracza. Równowaga Stackelberga występuje wtedy, gdy występuje opóźnienie w podejmowaniu decyzji przez uczestników gry: jeden z nich podejmuje decyzje, wiedząc już, jak postąpił drugi. Równowaga Stackelberga odpowiada więc maksymalnej użyteczności graczy w warunkach niejednoczesnego podejmowania przez nich decyzji. W przeciwieństwie do dominującej równowagi strategii i równowagi Nasha, ten rodzaj równowagi zawsze istnieje. Wreszcie równowaga Pareto istnieje pod warunkiem, że nie jest możliwe jednoczesne zwiększenie użyteczności obu graczy. Rozważmy na jednym z przykładów technologię poszukiwania równowag wszystkich czterech typów.

Dominująca strategia- taki plan działania, który zapewnia uczestnikowi maksymalną użyteczność, niezależnie od działań drugiego uczestnika.

Równowaga Nasha- sytuacja, w której żaden z graczy nie może jednostronnie zwiększyć swoich wygranych poprzez zmianę planu działania.

Równowaga Stackelberga- sytuacja, w której żaden z graczy nie może jednostronnie zwiększyć swoich wygranych, a decyzje podejmuje najpierw jeden gracz, a poznaje je drugiemu.

Równowaga Paretto- sytuacja, w której nie da się poprawić pozycji jednego z graczy bez pogorszenia pozycji drugiego i bez obniżenia całkowitej wypłaty graczy.

Niech firma A będzie starała się przełamać monopol firmy B na produkcję określonego produktu. Firma A decyduje, czy wejść na rynek, a firma B decyduje, czy zmniejszyć produkcję w przypadku, gdy A nadal zdecyduje się wejść. W przypadku niezmienionej produkcji firmy B obie firmy tracą, ale jeśli firma B zdecyduje się zmniejszyć produkcję, to „dzieli się” zyskiem z firmą A.

Równowaga dominujących strategii. Firma A porównuje swoje zyski w obu scenariuszach (-3 i 0, jeśli B zdecyduje się rozpocząć wojnę cenową) i (4 i 0, jeśli B zdecyduje się zmniejszyć produkcję). Nie posiada strategii zapewniającej maksymalny zysk niezależnie od działań B: 0 > -3 => "nie wchodź na rynek" jeśli B opuszcza wyjście na tym samym poziomie, 4 > 0 => "wejdź" jeśli B zmniejsza wydajność (patrz . pełne strzałki). Chociaż firma A nie ma dominującej strategii, B ma. Jest zainteresowany zmniejszeniem wydajności niezależnie od działań A (4 > -2, 10 = 10, patrz strzałki przerywane). Dlatego nie ma równowagi dominujących strategii.

Równowaga Nasha. Najlepszą odpowiedzią firmy A na decyzję firmy B o utrzymaniu produkcji na tym samym poziomie nie jest wejście na rynek, ale decyzja o zmniejszeniu produkcji to wejście. Najlepszą odpowiedzią firmy B na decyzję firmy A o wejściu na rynek jest zmniejszenie produkcji; jeśli firma B zdecyduje się nie wchodzić na rynek, obie strategie są równoważne. Dlatego dwie równowagi Nasha (A, A2) znajdują się w punktach (4, 4) i (0, 10) - A wchodzi, a B zmniejsza produkcję, lub A nie wchodzi, a B nie zmniejsza produkcji. Łatwo to zweryfikować, gdyż w tych punktach żaden z uczestników nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii.

Równowaga Stackelberga. Załóżmy, że jako pierwsza podejmuje decyzję firma A. Jeśli zdecyduje się wejść na rynek, ostatecznie dojdzie do punktu (4, 4): wybór firmy B jest w tej sytuacji jednoznaczny, 4 > -2. Jeśli zdecyduje się nie wchodzić na rynek, to wynik wyniesie dwa punkty (0, 10): preferencje firmy B dopuszczają obie opcje. Wiedząc to, firma A maksymalizuje swoją wypłatę w punktach (4, 4) i (0, 10) porównując 4 i 0. Preferencje są jednowartościowe, a pierwsza równowaga Stackelberga StA będzie znajdować się w punkcie (4, 4). Podobnie, równowaga Stackelberga StB, gdy Firma B podejmie pierwszą decyzję, będzie wynosić (0, 10).

Równowaga Pareto. Aby określić optimum Pareto, musimy przejść kolejno przez wszystkie cztery wyniki gry, odpowiadając na pytanie: „Czy przejście do dowolnego innego wyniku gry zapewnia jednocześnie wzrost użyteczności dla obu uczestników?” Na przykład z wyniku (-3, -2) możemy przejść do dowolnego innego wyniku, spełniając określony warunek. Dopiero od wyniku (4, 4) nie możemy przejść dalej bez zmniejszenia użyteczności któregokolwiek z graczy, będzie to równowaga Pareto, R.