Kalkulator ograniczonej powierzchni figury. Kalkulator online Oblicz całkę oznaczoną (obszar trapezu krzywoliniowego)

18.10.2019

Przeczytaj także

Prezentacja na temat onkologii na temat „Profilaktyka raka”

Prezentacja „Kształtowanie się języka komunikatywnego na lekcjach języka obcego w szkole podstawowej”

Prezentacja - rzeczowniki nieodmienne Prezentacja rzeczowników nieodmiennych

Prezentacja zadania dla nauczycieli z komunikatywnego uczenia się

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczony liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy spotykamy się z sformułowaniem takiego problemu w liceum, kiedy badanie pewnych całek zostało właśnie zakończone i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy pomocy znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów jest wykonywany wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną użyte. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub irracjonalne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od lokalizacji wykresów funkcji istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania pola figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru trapezu krzywoliniowego. Czym jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y=0), prosty x = a, x = b oraz dowolna krzywa ciągła na przedziale od a zanim b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemna, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są pozytywne. Następnie podane proste linie x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi OU, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowy rysunek jest zacieniony, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz od razu zacząć rozwiązywać problem. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, w którym warunki problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowej formuły Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, który wychodzi spod osi OH, prosty x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których zostanie obliczona całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia i wszystko jest również ciągłe w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy „pozytywny”? Jak widać z rysunku, figura leżąca w obrębie danego x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, które musimy zobaczyć i zapamiętać podczas rozwiązywania problemu. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

Przejdziemy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. obliczanie powierzchni figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszyscy, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć letni domek z podstawowymi funkcjami i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby skutecznie opanować materiał, musisz:

1) Zrozum całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Na stronie możesz nawiązać ciepłe, przyjacielskie relacje z pewnymi całkami Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku dlatego pilną kwestią będzie również Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Trzeba co najmniej umieć zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego. Trapez krzywoliniowy to płaska figura ograniczona wykresem pewnej funkcji tak = f(x), oś WÓŁ i linie x = a; x = b.

Powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa pewnej całce

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA. Tj, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważ całkę oznaczoną

Integrand

definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

, , , .

To jest typowa instrukcja zadania. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas tworzenia planu polecam następującą kolejność: najpierw lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę budowy punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Można tam również znaleźć materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.

Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie tak= 0 określa oś WÓŁ):

Nie wylęgniemy trapezu krzywoliniowego, wiadomo o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w ten sposób:

W przedziale [-2; 1] wykres funkcji tak = x 2 + 2 zlokalizowane nad osiąWÓŁ, Dlatego:

Odpowiedź: .

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza?

odsyłam do wykładu Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie pasuje do danej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami xy = 4, x = 2, x= 4 i oś WÓŁ.

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osiąWÓŁ?

Przykład 3

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami tak = były, x= 1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią WÓŁ , to jego obszar można określić wzorem:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pola figury za pomocą całki oznaczonej, to pole jest zawsze dodatnie! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury samolotu ograniczony liniami tak = 2x – x 2 , tak = -x.

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli tak = 2x – x 2 i proste tak = -x. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

A więc dolna granica integracji a= 0, górna granica całkowania b= 3. Często bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, podczas gdy granice integracji są ustalane tak, jakby „samodzielnie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być zastosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzamy, że w konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działająca formuła:

Jeśli na segmencie [ a; b] jakaś funkcja ciągła f(x) większe lub równe jakaś ciągła funkcja g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, a więc od 2 x – x 2 należy odjąć - x.

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą tak = 2x – x 2 górne i proste tak = -x od dołu.

Na segmencie 2 x – x 2 ≥ -x. Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź: .

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej połowie płaszczyzny (patrz przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem formuły

Od osi WÓŁ jest podane przez równanie tak= 0, a wykres funkcji g(x) znajduje się poniżej osi WÓŁ, następnie

A teraz kilka przykładów samodzielnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale przez nieuwagę ... znalazł obszar niewłaściwej figury.

Przykład 7

Narysujmy najpierw:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często decydują, że muszą znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku [-1; 1] nad osią WÓŁ wykres jest prosty tak = x+1;

2) Na odcinku nad osią WÓŁ znajduje się wykres hiperboli tak = (2/x).

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami

Przedstawmy równania w formie „szkolnej”

i narysuj linię:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: b = 1.

Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co?

Być może, a=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że rysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się okazać, że? a=(-1/4). A co, jeśli w ogóle nie uzyskaliśmy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie doprecyzować granice integracji.

Znajdź punkty przecięcia wykresów

Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie:

Stąd, a=(-1/3).

Dalsze rozwiązanie jest banalne. Najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach. Obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych. Na segmencie

, ,

zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź:

Na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami

Rozwiązanie: narysuj tę figurę na rysunku.

Aby narysować punkt po punkcie, musisz znać wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych, a także niektóre wartości sinusa. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) dozwolone jest skonstruowanie schematu, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie wyświetlane.

Tutaj nie ma problemów z granicami integracji, wynikają one bezpośrednio z warunku:

- "x" zmienia się od zera do "pi". Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji tak= grzech 3 x znajduje się nad osią WÓŁ, Dlatego:

(1) W lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są zintegrowane z nieparzystymi potęgami Całki z funkcji trygonometrycznych. Odcinamy jeden sinus.

(2) Używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej w postaci

(3) Zmieńmy zmienną t= cos x, a następnie: znajduje się nad osią , czyli:

Notatka: zauważ, jak brana jest całka stycznej w sześcianie, tutaj używana jest konsekwencja podstawowej tożsamości trygonometrycznej

W poprzedniej części, poświęconej analizie geometrycznego znaczenia całki oznaczonej, uzyskaliśmy szereg wzorów do obliczania powierzchni trapezu krzywoliniowego:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na odcinku [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na odcinku [ a ; b] .

Te wzory mają zastosowanie do rozwiązywania stosunkowo prostych problemów. W rzeczywistości często musimy pracować z bardziej złożonymi kształtami. W związku z tym ten rozdział poświęcimy analizie algorytmów obliczania powierzchni figur, które są ograniczone funkcjami w formie jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y) .

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą zdefiniowane i ciągłe na odcinku [ a ; b ] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; b] . Następnie wzór do obliczania powierzchni figury Ograniczony liniami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) i y \u003d f 2 (x) będzie wyglądał jak S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do obszaru figury ograniczonego liniami y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) i x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dowód

Przeanalizujemy trzy przypadki, dla których wzór będzie ważny.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności obszaru, suma obszarów pierwotnej figury G i trapezu krzywoliniowego G 1 jest równa powierzchni figury G 2 . To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać tak:

Jeśli obie funkcje są niedodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . Ilustracja graficzna będzie wyglądać tak:

Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x .

Punkty przecięcia będziemy oznaczać jako x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Te punkty łamią segment [ a ; b ] na n części x i - 1 ; x ja , ja = 1 , 2 , . . . , n , gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stąd,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy ogólny przypadek na wykresie.

Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za sprawdzony.

A teraz przejdźmy do analizy przykładów obliczania powierzchni liczb ograniczonych liniami y \u003d f (x) i x \u003d g (y) .

Biorąc pod uwagę dowolny z przykładów, zaczniemy od konstrukcji grafu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone kształty jako kombinacje prostszych kształtów. Jeśli masz problemy z kreśleniem na nich wykresów i figur, możesz zapoznać się z sekcją dotyczącą podstawowych funkcji elementarnych, przekształceń geometrycznych wykresów funkcji, a także wykreślania podczas badania funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y \u003d - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Decyzja

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W przedziale [ 1 ; 4] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2 . W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru, a także metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S (G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie powierzchni figury, która jest ograniczona liniami y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Decyzja

W tym przypadku mamy tylko jedną prostą równoległą do osi x. To jest x = 7 . Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy integracji.

Zbudujmy wykres i umieśćmy na nim linie podane w warunkach zadania.

Mając wykres przed oczami, możemy łatwo określić, że dolną granicą integracji będzie odcięta punktu przecięcia wykresu z linią prostą y \u003d x i półparabolą y \u003d x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ OD G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ OD G

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę, że w ogólnym przykładzie na rysunku proste y = x + 2 , y = x przecinają się w punkcie (2 ; 2) , więc tak szczegółowe obliczenia mogą wydawać się zbędne. Podaliśmy tutaj tak szczegółowe rozwiązanie tylko dlatego, że w bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązanie może nie być tak oczywiste. Oznacza to, że lepiej zawsze obliczać współrzędne przecięcia linii analitycznie.

W przedziale [ 2 ; 7 ] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2 . Zastosuj wzór, aby obliczyć powierzchnię:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S (G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony wykresami funkcji y \u003d 1 x i y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Decyzja

Narysujmy linie na wykresie.

Określmy granice integracji. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, zrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2 . Pod warunkiem, że x nie jest równe zeru, równość 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 ze współczynnikami całkowitymi . Możesz odświeżyć pamięć algorytmu rozwiązywania takich równań, odwołując się do rozdziału „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastek tego równania to x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2 , gdzie G jest otoczone powyżej niebieskiej linii i poniżej czerwonej linii. To pomaga nam określić obszar kształtu:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony krzywymi y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 i oś x.

Decyzja

Umieśćmy wszystkie linie na wykresie. Możemy uzyskać wykres funkcji y = - log 2 x + 1 z wykresu y = log 2 x, jeśli umieścimy go symetrycznie wokół osi x i przesuniemy o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x y \u003d 0.

Oznaczmy punkty przecięcia linii.

Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y \u003d x 3 i y \u003d 0 przecinają się w punkcie (0; 0) . Dzieje się tak, ponieważ x \u003d 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 \u003d 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0 , więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2 ; 0) .

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . W związku z tym wykresy funkcji y \u003d x 3 i y \u003d - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 \u003d - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, ponieważ funkcja y \u003d x 3 ściśle rośnie, a funkcja y \u003d - log 2 x + 1 jest ściśle malejące.

Następny krok obejmuje kilka opcji.

Numer opcji 1

Możemy przedstawić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych położonych powyżej osi odciętej, z których pierwszy znajduje się poniżej linii środkowej na odcinku x ∈ 0; 1 , a druga znajduje się poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1 ; 2. Oznacza to, że obszar będzie równy S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Numer opcji 2

Cyfra G może być przedstawiona jako różnica dwóch cyfr, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2 , a druga znajduje się pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1 ; 2. To pozwala nam znaleźć taki obszar:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

W takim przypadku, aby znaleźć obszar, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające kształt mogą być reprezentowane jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - r - r 3) d r = - 2 1 - y ln 2 - r 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony liniami y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Decyzja

Narysuj na wykresie linię czerwoną linią, określoną funkcją y = x . Narysuj linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko i zaznacz linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zwróć uwagę na punkty przecięcia.

Znajdź punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4 ; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdź punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 to rozwiązanie równania ⇒ (9; 3) punkt i przecięcie y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nie jest rozwiązaniem równania

Znajdź punkt przecięcia linii y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda numer 1

Reprezentujemy obszar pożądanej figury jako sumę obszarów poszczególnych figur.

Wtedy obszar figury to:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda numer 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę pozostałych dwóch figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii dla x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia powierzchni figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

A więc obszar to:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 r + 9 2 - - 2 r + 8 dnia r + ∫ 2 3 3 2 r + 9 2 - r 2 dnia r = = ∫ 1 2 7 2 r - 7 2 dni r + ∫ 2 3 3 2 r + 9 2 - r 2 r r = = 7 4 r 2 - 7 4 r 1 2 + - r 3 3 + 3 r 2 4 + 9 2 r 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać, wartości się zgadzają.

Odpowiedź: S (G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć obszar figury ograniczony podanymi liniami, musimy narysować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na znalezienie obszaru. W tej sekcji omówiliśmy najczęstsze opcje zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

A więc, co jest wymagane, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność prawidłowego rysowania rysunków;
Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej przy pomocy znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym lub innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) lub osi y (OY)?
Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać inne rodzaje całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania powierzchni figury ograniczonej liniami:

2. Jeśli granice całkowania nie są jednoznacznie ustalone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne pokrywa się z analitycznym.

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Przykład 2 . Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Artykuł nie jest ukończony.

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe będą o wiele bardziej istotne. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą i hiperbolę.

Trapez krzywoliniowy to płaska figura ograniczona osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym odcinku. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Pod względem geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.

Tj, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie, która znajduje się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest budowa rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Decyzja: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie pola figury za pomocą całki oznaczonej, to pole jest zawsze dodatnie! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Decyzja: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .

Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..

O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywa się „samodzielnie”. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być zastosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). I rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą z góry i linią prostą z dołu.
Na odcinku , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Przykład 4

Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .

Decyzja: Najpierw zróbmy rysunek:

Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku nad osią znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku nad osią znajduje się wykres hiperboli.

Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego: