Görev B7 - Logaritmik ve gösterge ifadelerinin dönüşümü. Logaritmik ifadeler
Dersin Türü: Bilginin genelleme ve sistematizasyonu dersi
Hedefler:
- Öğrencilerin logaritmalarla ilgili bilgilerini ve özellikleri hakkında genelleyici bir tekrarı ve kullanım için hazırlık çerçevesinde gerçekleştirmek;
- Öğrencilerin zihinsel aktivitesinin geliştirilmesini, egzersiz yaparken teorik bilgi başvurusu becerilerini geliştirmek;
- Öğrencilerin kişisel niteliklerinin geliştirilmesini, kendi kendini kontrol etme becerilerini ve etkinliklerinin kendi değerlendirmesini teşvik etmek; Zor işi, hasta, sebat, bağımsızlığı eğitin.
Ekipman:bilgisayar, Projektör, Sunum (Ek 1), Ödevleri olan kartlar (bir elektronik günlüğünde bir göreve sahip bir dosyayı ekleyebilirsiniz).
Sınıflar sırasında
I. Organizasyon anı. Tebrik, ders için ruh hali.
II. Tartışma ödev.
III. Mesaj temaları ve dersin hedefleri. Motivasyon.(Slayt 1) sunum.
Matematik dersinin tekrarını sınav için hazırlıklı olarak genelleştirmeye devam ediyoruz. Ve bugün derste logaritmalar ve özellikleri hakkında konuşacağız.
Logaritmaların hesaplanması ve logaritmik ifadelerin dönüşümü için görevler, hem bazik hem de profil seviyelerinin kontrol ve ölçüm malzemelerinde mutlaka bulunur. Bu nedenle, dersimizin amacı "Logarithm" kavramının anlamı hakkındaki fikirleri geri kazanmak ve logaritmik ifadeleri dönüştürme becerilerini güncellemektir. Dersin konusunu dizüstü bilgisayarlarda yazın.
İv. Bilginin gerçekleştirilmesi.
1. / oral /Başlamak için, logaritma denilen neyin dikkatini unutmayın. (Slayt 2)
(Taban A (A\u003e 0, AH? 1) için pozitif sayının logaritması, B sayısını almak için A sayısının alınması gereken derecenin bir göstergesi olarak adlandırılır)
Log a b \u003d n<-> A n \u003d B, (A\u003e 0 ve 1, b\u003e 0)
Böylece, "Logaritma" "Derecenin Göstergesi" nidir!
(Slayt 3) sonra bir n \u003d b olarak yeniden yazılabilir \u003d B, ana logaritmik kimliktir.
Baz \u003d 10 ise, logaritmun ondalık ve gösterilmiş LGB olarak adlandırılır.
A \u003d E ise, logaritma doğal olarak adlandırılır ve LNB'yi belirtir.
2. / Yazılı / (Slayt 4)Sadık eşitlik elde etmek için atlamaları doldurun:
Günlük? x + log a? \u003d Log? (? Y)
LOG A? - Günlük? Y \u003d Günlük? (x /?)
Bir x giriş? \u003d PLOG? (?)
Kontrol:
bir; bir; a, y, x; x, a, a, y; Sulh.
Bunlar logaritmaların özellikleridir. Ve ayrıca bir grup özellik: (Slayt 5)
Kontrol:
a, 1, n, x; n, x, p, a; x, b, a, y; a, x, b; A, 1, B.
V. Oral çalışma
(Slayt 6) №1. Hesaplamak:
a b c d); e).
Yanıtlar : a) 4; b) - 2; 2'de; d) 7; e) 27.
(Slayt 7) №2. X bul:
fakat) ; b) (Cevaplar: a) 1/4; b) 9).
3 numara. Böyle bir logaritmayı düşünmek mantıklı mı:
fakat) ; b); içinde) ? (Değil)
Vi. Gruplarda bağımsız çalışma, güçlü öğrenciler - danışmanlar. (Slayt 8)
# 1. Hesapla: 
.
2. 2. Basitleştirin:
# 3. Eğer ifadenin değerini bulun
№ 4. İfadeyi basitleştirin: 
№ 5. Hesapla:
№ 6. Hesapla:№ 7. Hesapla:
8. 8. Hesapla:
Uygulamadan sonra - hasat edilen çözelti üzerinde kontrol ve tartışma veya belgeyi kullanarak - kameralar.
VII. Artan karmaşıklığın görevinin çözümü(Tahtada güçlü bir öğrenci, dinlenme - not defterlerinde) (Slayt 9)
İfadenin değerini bulun:
VIII. Ödev (kartlarda) farklılaştırılmıştır.(Slayt 10)
№1. Hesaplamak: 
Logaritma ile ifadelerin dönüştürülmesinde listelenen eşitlik hem sağ hem sağdan sağa doğru kullanılır.
ÖZELLİKLERİN ETKİLERİNDEN ETKİLERİN ETKİLENDİRMESİNİN ETKİLENDİRİLMESİ İSTEĞE BAĞLIĞINDAN KAYNAKLANMAKTADIR. sonuçlar akışı. Bu yaklaşımın "yan etkisi" sadece kararın biraz daha uzun olacağını tezahür eder. Örneğin, soruşturma olmadan yapmak, formül tarafından ifade edilen 
Ve sadece logaritmaların ana özelliklerinden, aşağıdaki türdeki bir dönüşüm zinciri yapmanız gerekecek: 
.
Aynı şey, yukarıdaki listeden, formüle karşılık gelen son özellik hakkında söylenebilir. 
Ayrıca logaritmaların ana özelliklerinden de aşağıdaki gibidir. Her zaman, derecenin temelini ve logaritma tabelasının altındaki sayıyı değiştirmek için göstergede bir logaritma ile her zaman olumlu bir sayı olasılığı olduğunu anlamak. Adalet uğruna, böyle bir tür dönüşümlerin uygulanmasının uygulanmasının pratikte nadir olduğunu gösteren örneklerin nadir olduğunu not ediyoruz. Metnin altına birkaç örnek veriyoruz.
Logaritmalarla sayısal ifadelerin dönüşümü
Logaritmaların özellikleri hatırladı, şimdi ifadeleri dönüştürmek için onları pratikte uygulamayı öğrenme zamanı. Doğal olarak, sayısal ifadelerin dönüşümüyle başlar ve temelleri daha uygun ve daha kolay oldukları için değişkenli ifadeler değil. Bu yüzden yapacağız ve logaritmun istenen özelliğini nasıl seçeceğinizi öğrenmek için çok basit örneklerle başlayacağız, ancak sonucu elde etmek için üst üste birkaç özellik kullanmanız gerektiğinde, örneklere kadar karmaşıklaştıracağız.
Logaritmaların istenen özelliklerinin seçimi
Logaritmaların özellikleri o kadar az değildir ve bu, bu özel durumda istenen sonucağa yol açacak olan uygun olanı seçebilmeniz gerektiği açıktır. Bunu yapmak genellikle, dönüştürülmüş logaritma türünü veya ekspresyon türünü, logaritmaların özelliklerini ifade eden formüllerin sol ve sağ kısımlarının görünümleriyle karşılaştırarak zordur. Formüllerden birinin sol veya sağ tarafı, belirli bir logaritma veya ifadeyle çakışıyorsa, büyük olasılıkla dönüştürülürken uygulanması gereken bu özelliktir. Aşağıdaki örnekler açıkça gösterilmiştir.
Bir logaritm'un tanımını kullanarak bir logaritmun tanımını kullanarak dönüştürme ifadeleri örnekleri ile başlayalım. A log a B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0.
Misal.
Mümkünse hesaplayın: a) 5 Günlük 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), b) 
, d) 2 Günlük 2 (-7), E).
Karar.
Örnekte, A harfinin altında), bir LOG A'nın bir B'nin yapısı açıkça görülebilir, burada A \u003d 5, B \u003d 4. Bu sayılar A\u003e 0, ≠ 1, b\u003e 0 koşullarını karşılamak, böylece eşitliği bir log a b \u003d b kullanabilirsiniz. 5 günlüğümüz var 5 4 \u003d 4.
b) Burada A \u003d 10, B \u003d 1 + 2 · π, Koşullar A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0 yapılır. Bu durumda, 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π bir eşitlik vardır.
c) Ve bu örnekte, bir LOG A LOUD A B, nerede ve B \u003d LN15 ile uğraşıyoruz. Yani 
.
Bir LOG A B tipine ait olana rağmen (burada bir \u003d 2, b \u003d -7), D harfinin altındaki ifade, bir log a b \u003d B formülüyle dönüştürülemez. Bunun nedeni, mantıklı olmadığıdır, çünkü logaritma belirtisi altında negatif bir sayı içerdiğinden. Dahası, B \u003d -7 sayısı B\u003e 0 durumunu karşılamıyor, bu, bir B \u003d B'lik bir log'a başvurmaya izin vermeyen, çünkü A\u003e 0, A ≠ 1, B koşullarının yerine getirilmesini gerektirir. \u003e 0. Öyleyse, 2 günlük 2 (-7) değerinin hesaplanması hakkında konuşmak imkansızdır. Bu durumda, 2 günlük 2 (-7) \u003d -7 kaydı bir hata olacaktır.
Benzer şekilde, D harfinin altındaki örnekte), çözüm getirilemez 
İlk ifade anlamlı olmadığından.
Cevap:
a) 5 Günlük 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , d), e) ifadeler anlam ifade etmiyor.
Göstergedeki bir logaritma ile herhangi bir pozitif ve farklı sayının bir derecesinde pozitif bir sayının sunulduğu dönüşüm için genellikle faydalıdır. Logarithm'ın bir logaritm, A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, ancak formül sağ sola uygulanır, yani B \u003d A log a b formülüne uygulanır. Örneğin, 3 \u003d E LN3 veya 5 \u003d 5 log 5 5.
İfadeleri dönüştürmek için logaritmaların özelliklerinin uygulanmasına gidin.
Misal.
İfadenin değerini bulun: a) log -2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, e) lg1, g) log 3,75, s) log 5 · π 7 1.
Karar.
A), B) ve C harflerinin altındaki örneklerde, log -2, log 1 1, günlüğü 0 1, mantıklı olmayan ifadeler, çünkü logaritmanın tabanında negatif bir sayı olmaması gerektiğinden, Sıfır veya birim, çünkü logaritmayı yalnızca pozitif ve temel birimden farklı olarak belirledik. Bu nedenle, örneklerde a) - c) İfade değerini bulmak için hiçbir soru olabilir.
Diğer tüm görevlerde, sırasıyla 7, E, 10, 3.75 ve 5 · π 7, ve her yerdeki logaritmaların belirtileri altında, 7, E, 10, 3.75 ve 5 · π 7'den pozitif ve farklı sayılar olduğu açıktır. Ve logaritma biriminin özelliğini biliyoruz: herhangi bir\u003e 0, a ≠ 1 için 1 \u003d 0 log. Böylece, B) - E) ifadelerinin değerleri sıfıra eşittir.
Cevap:
a), b), c) ifadeler anlam ifade etmeyin, d) log 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) log 3,75 1 \u003d 0, h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.
Misal.
Hesapla: a), b) lne, c) lg10, d) günlük 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), e) Günlük -3 (-3), E) Günlük 1 1.
Karar.
Taban logaritmasının mülkiyetinden yararlanmak zorunda kaldığımız açıktır; bu, Formül Log a A\u003e 0, A ≠ 1'de A \u003d 1 A \u003d 1'e karşılık gelir. Aslında, tüm harflerin altındaki görevlerde, logaritmin işareti altındaki sayı olarak temeli ile çakışıyor. Böylece, derhal belirtilen ifadelerin her birinin anlamının 1 olduğunu söylemek istiyorum. Bununla birlikte, sonuçlarla acele etmek gerekli değildir: A harflerinin altındaki görevlerde) - d) ifadelerin değerleri gerçekten birine eşittir ve D) ve E) İlk ifadeler yapmaz Sense, bu ifadelerin değerlerinin 1 olduğu söylenemez.
Cevap:
a), b) lne \u003d 1, c) lg10 \u003d 1, d) günlük 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) ifadeler anlam ifade etmiyor.
Misal.
Bir değer bul: a) Günlük 3 3 11, b) 
, c), d) log -10 (-10) 6.
Karar.
Açıkçası, logaritmaların belirtileri altında bazı vakıflar vardır. Buna dayanarak, bunun için burada sizin için yararlı olduğunu biliyoruz. Vakfın derecesi: bir A p \u003d P, burada\u003e 0, ≠ 1 ve p herhangi bir geçerli sayıdır. Bunu göz önüne alındığında, aşağıdaki sonuçlara sahibiz: a) Günlük 3 3 11 \u003d 11, b) 
, içinde) 
. -10 (-10) 6 \u003d 6'nın türünün D) harfinin D) harfinin altındaki benzer eşitlik kaydetmek mümkün mü? Hayır, imkansızdır, çünkü ifade log -10 (-10) 6 anlamı anlamaz.
Cevap:
a) Günlük 3 3 11 \u003d 11, b) , içinde) , d) İfade mantıklı değil.
Misal.
Bir miktar veya logaritmaların aynı şekilde farkı biçiminde bir ifadeyi hayal edin: a) 
, b), c) lg ((- 5) · (-12)).
Karar.
a) Logaritma'nın belirtisi altında bir iştir ve Log A (x · y) çalışma çalışmalarının logarithm özelliğini biliyoruz (x · y) \u003d log Ax + Log A, A\u003e 0, ≠ 1, X\u003e 0, y\u003e 0. Bizim durumumuzda, logaritmun tabanındaki ve işteki sayının sayısı pozitiftir, yani seçilen mülkün koşullarını yerine getirir, böylece sakince uygulayabiliriz: 
.
b) Burada özel olan logaritmin özelliğini kullanıyoruz, burada bir\u003e 0, ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Bizim olgumuzda, logaritmin üssü, pozitif bir sayıdır, numberator ve paydayı π pozitiftir, bu da mülkün koşullarının tatmin edici olduğu anlamına gelir, bu nedenle seçilen formülü kullanma hakkımız var: 
.
c) İlk önce, LG ifadesinin ((- 5) · (-12)) anlamlı olduğunu not ediyoruz. Ancak aynı zamanda, onun için, Logarithm formülünü (x · y) \u003d Günlük Ax + Log A, A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0, uygulama formülünü uygulama hakkına sahip değiliz. Y\u003e 0, sayılar -5 ve -12 - negatif ve x\u003e 0, y\u003e 0 koşullarını karşılamadığından. Yani, böyle bir dönüşüm yapmak imkansızdır: lG ((- 5) · (-12)) \u003d lg (-5) + lg (-12). Ve ne yapmalı? Bu gibi durumlarda, ilk ifadenin olumsuz sayılardan uzaklaşmanıza izin veren ön dönüşüme ihtiyaç duyar. Logaritma belirtisi altında olumsuz sayılarla olumsuz sayılarla ifadelerin dönüşümü durumları hakkında konuşacağız, aşağıdaki örneklerden birinde, anlaşılır ve açıklama olmadan: lG ((- 5) · (-12) \u003d lg (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.
Cevap:
fakat) b) , c) lg ((- 5) · (-12) \u003d lg5 + lg12.
Misal.
İfadeyi basitleştirin: a) Günlük 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5, b).
Karar.
Burada, önceki örneklerde kullandığımız özel kişinin iş ve logaritmasının logaritmasının tüm özelliklerine yardım edeceğiz, yalnızca şimdi onları sağdan sola uygulayacağız. Yani, logaritmaların miktarı, işin logaritmasına dönüşüyor ve logaritmalar arasındaki farkı - özel logaritm. Sahip olmak
fakat) günlük 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 (0.25 · 16 · 0,5) \u003d Günlük 3 2.
b) 
.
Cevap:
fakat) günlük 3 0.25 + Günlük 3 16 + Günlük 3 0.5 \u003d Günlük 3 2b) 
.
Misal.
LOGARITHM işaretinin altındaki ölçüden kurtulun: a) Günlük 0.7 5 11, b) 
, c) Günlük 3 (-5) 6.
Karar.
LOG'un ifadeleri ile uğraştığımızı görmek kolaydır. Logaritm'un karşılık gelen özelliği, bir B, bir B \u003d p. LOG A LOUD A,\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P herhangi bir geçerli sayıdır. Yani, Koşullar A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, bir B G logaritmisinden birleştirirken, P · C Log A B ürününe geçebiliriz. Bu dönüşümü belirtilen ifadelerle yapacağız.
a) Bu durumda, a \u003d 0.7, b \u003d 5 ve p \u003d 11. Öyleyse log 0.7 5 11 \u003d 11 · Günlük 0.7 5.
b) Burada, bir\u003e 0, ≠ 1, b\u003e 0 koşulları yapılır. bu nedenle 
c) İfade Günlüğü 3 (-5) 6, aynı yapıya A B P, A \u003d 3, B \u003d -5, P \u003d 6'ya sahiptir. Ancak B için B\u003e 0 durumu memnun değildir, bu, LOG A B P \u003d P. LOG A LOUND A B. Öyleyse, görevle baş etmek imkansız mı? Mümkün, ancak ön dönüşümlü bir ifade gereklidir, aşağıda başlık noktasında detaylı olarak konuşacağız. Karar: günlük 3 (-5) 6 \u003d Günlük 3 5 6 \u003d 6 · Günlük 3 5.
Cevap:
a) Günlük 0.7 5 11 \u003d 11 · Günlük 0.7 5,
b)
c) Günlük 3 (-5) 6 \u003d 6 · Günlük 3 5.
Oldukça sık, dönüşüm sırasındaki derecenin logaritma formülü, P · LOG A B \u003d LOG A B P (bu, A, B ve P için aynı koşulların performansını gerektirir). Örneğin, 3 · ln5 \u003d ln5 3 ve lg2 · Günlük 2 3 \u003d Günlük 2 3 LG2.
Misal.
a) LG2≈0,3010 ve LG5≈0,6990 olduğu biliniyorsa, Log 2 5'in değerini hesaplayın. b) 3'e göre bir logaritma biçiminde bir kesir sunmak.
Karar.
a) Logaritma'nın yeni bir tabanına geçiş formülü, bu logaritmmanın değerleri bizimle bilinen, ondalık logaritmaların bir oranı biçiminde temsil etmesine izin verir :. Sadece hesaplamaları yapmak için kalır, biz var 
.
b) Burada, yeni bir üsle geçişten yararlanmak için yeterli, bu şekilde, bu şekilde sağa doğru uygulamak yeterlidir. 
. Teslim almak 
.
Cevap:
a) Günlük 2 5≈2,3223, b) .
Bu aşamada, logaritmaların ana özelliklerini ve logaritma tanımını kullanarak en basit ifadelerin dönüşümünü yeterince titizlikle düşündük. Bu örneklerde, bir tür mülk uygulamak zorunda kaldık ve başka bir şey yoktu. Şimdi sakin bir vicdanla, dönüşüm, logaritmaların ve diğer ilave dönüşümlerin çeşitli özelliklerinin kullanılmasını gerektiren örneklere geçebilirsiniz. Bir sonraki paragrafta gideceğiz. Ancak bundan önce, kısaca, logaritmaların ana özelliklerinin sonuçlarının örneklerine kısaca odaklanacağız.
Misal.
a) Logaritma belirtisinin altındaki kökten kurtulun. b) Tabandaki logaritm içinde fraksiyonu dönüştürün. c) Logaritma işareti altındaki ve kuruluşundaki dereceden sık sık. d) İfadenin değerini hesaplayın 
. e) Derecenin ifadesini taban 3 ile değiştirin.
Karar.
a) Logaritm'un mülkünün sonucunu hatırlarsanız 
Hemen cevaplayabilirsiniz: 
.
b) Formülü kullanıyoruz 
sola gittik 
.
c) Bu durumda, sonuç formülü yol açar. . Teslim almak 
.
d) Ve burada formülün sorumlu olduğu bir sonucu uygulamak yeterlidir. 
. Yani 
.
e) Mülkiyet Logaritması İstenilen sonucu elde etmemize izin verir: 
.
Cevap:
fakat) . b) . içinde) 
. d) 
. e) .
Birkaç özelliklerin sıralı kullanımı
Logaritmaların özelliklerini kullanan ifadelerin dönüşümü için gerçek görevler, önceki paragrafta nişanladığımız kişiler tarafından genellikle daha karmaşıktır. Kural olarak, sonuç olarak, sonuç bir adım değildir ve çözelti, bir mülkün birbiri ardına bir mülkün tutarlı bir şekilde uygulanmasında, parantezlerin açıklanması gibi ek kimlik dönüşümleri, benzer terimleri, fraksiyonların azaltılması, vb. . Öyleyse bu tür örneklere yaklaşalım. Bunun için zor bir şey yoktur, ana şey düzgün ve tutarlı bir şekilde hareket etmek, eylemler gerçekleştirme prosedürünü gözlemlemektir.
Misal.
İfadenin değerini hesaplayın (Log 3 15-log 3 5) · 7 Günlük 7 5.
Karar.
Özel bir logaritma logaritmasının parantez içindeki logaritmaların farkı, logaritma günlüğü 3 (15: 5) ile değiştirilebilir ve ayrıca değerini 3 (15: 5) \u003d log 33 \u003d 1'i de hesaplayın. İfade 7 Log 7 5 logaritma tanımı ile 5'e eşittir. Bu sonuçların orijinal ifadelerinin yerine geçtiğini, aldık (Log 3 15-log 3 5) · 7 Günlük 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.
Açıklama olmadan bir çözüm verelim:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 Günlük 7 5 \u003d Log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 · 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.
Cevap:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 Günlük 7 5 \u003d 5.
Misal.
Sayısal ifade günlüğünün değeri 3 günlük 2 2 3 -1?
Karar.
Logaritma formülüne göre, logaritmin işareti altında bulunan logaritımı ilk önce dönüştürüyoruz: Logarithm Formula: Log 2 2 3 \u003d 3. Böylece, LOG 3 LOG 2 2 3 \u003d LOG 3 3 ve Diğer Günlük 3 3 \u003d 1. Öyleyse log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.
Cevap:
günlük 3 Günlüğü 2 2 3 -1 \u003d 0.
Misal.
Ifadeyi basitleştir.
Karar.
Logaritm'un yeni tabanına geçiş formülü, logaritmaların bir üsle ilişkisini günlük 3 5 olarak gösterilmesini sağlar. Bu durumda, ilk ifade formu alır. Logaritma tanımı ile 3 log 3 5 \u003d 5, yani 
Ve logaritmun aynı tanımından dolayı elde edilen ifadenin değeri ikisidir.
İşte genellikle verilen çözümün kısa bir versiyonu: 
.
Cevap:
.
Aşağıdaki ürün bilgilerine pürüzsüz bir geçiş için, 5 2 + log 5 3 ve LG0.01 ifadelerine bir göz atalım. Yapıları, logaritmaların özelliklerinden herhangi biri için uygun değildir. Öyleyse ne olur, logaritmaların özelliklerini kullanarak dönüştürülemezler mi? Bu ifadeleri logaritmaların özelliklerinin uygulanmasına hazırlayan ön dönüşümler yapabiliyorsanız mümkündür. Yani 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 · 5 Günlük 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, 
ve lg0.01 \u003d lg10 -2 \u003d -2. Öyleyse, bu tür ifadelerin eğitiminin nasıl yapıldığını ayrıntılı olarak anlayacağız.
Logaritmaların özelliklerinin uygulanmasına ilişkin ifadelerin hazırlanması
Dönüştürülen ifadenin bileşimindeki logaritmalar çok sık, logaritmaların özelliklerine karşılık gelen formüllerin sol ve sağ kısımlarından farklıdır. Ancak daha az sıklıkla bu ifadelerin dönüşümü, logaritmaların özelliklerinin kullanımını ifade eder: bunları kullanmak için sadece ön hazırlık gerektirir. Ve bu hazırlık, belirli bir özdeş dönüşümler öngörülen logaritmaların formuna, özellikleri uygulamak için uygundur.
Adalet için, hemen hemen her ifadenin dönüşümlerinin, bu tür terimlerin banal aktüatöründen trigonometrik formüllerin kullanımına kadar ön dönüşüm olarak hareket edebileceğini unutmayacağız. Bu anlaşılabilir, çünkü dönüştürülmüş ifadeler herhangi bir matematiksel nesneyi içerebilir: parantez, modüller, kesirler, kökler, dereceler vb. Böylece, logaritmaların özelliklerini daha da kullanabilmek için gerekli herhangi bir dönüşüm yapmaya hazır olmalısınız.
Hemen, bu noktada kendimizi, logaritmaların özelliklerini veya logaritma tanımını daha da uygulayacak olan tüm akla gelebilecek ön dönüşümleri sınıflandırmak ve sökmek için kendimizi ayarlamadığımızı söyleyelim. Burada sadece dördünde ikamet edeceğiz, bu da en karakteristik ve en sık pratikte bulunur.
Ve şimdi her biri hakkında detaylı olarak, konuyla ilgili olarak, yalnızca logaritmaların belirtileri altında değişkenli ifadelerin dönüşümüyle ilgilenmeye devam edecektir.
Logaritma belirtisi ve kuruluşunda derecelerin seçimi
Hemen örneğin hemen başlayalım. LOGARITHM olalım. Açıkçası, bu formda yapısının logaritmaların özelliklerini kullanmak zorunda değildir. Bir şekilde bu ifadeyi basitleştirmek için dönüştürmek mümkün mü, ve hatta değerini daha iyi hesaplamak için mi? Bu soruyu cevaplamak için, örneğimizin bağlamında 81 ve 1/9 numaralarına dikkatlice bakalım. Burada, bu sayıların 3 numaralı, 81 \u003d 34 ve 1/9 \u003d 3 -2 derecesinin gösterilmesine izin vermesi kolaydır. Bu durumda, ilk logaritma formda sunulur ve formülü uygulama olasılığı . Yani, 
.
Demonte Örneğin bir analizi aşağıdaki düşünceyi oluşturur: Mümkünse, logaritmin işareti altında ve logaritma özelliğini veya bunun sonucunu uygulamak için temelini vurgulamaya çalışabilirsiniz. Sadece bu dereceleri nasıl tahsis edileceğini bulmak için kalır. Bu konuda bazı önerilerde bulunalım.
Bazen, logaritma ve / veya kuruluşun işaretindeki sayının, yukarıdaki örnekteki gibi tüm derecelerin bir kısmı olduğu açıktır. Pratik olarak sürekli olarak iyi düşünülmüş olan two'lar ile başa çıkmak zorundadır: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Bu, üçlü derecesi hakkında söylenebilir: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 35, ... Genel olarak, gözlerimizden önce olacaksa, zarar görmez. doğal sayılar derecelerinin tablosu bir düzinede. Ayrıca on, yüz, binlerce, tamsayı dereceleriyle çalışmak da zor değildir.
Misal.
Değeri hesaplayın veya ifadesini basitleştirin: a) Günlük 6 216, b), c) Günlük 0.000001 0.001.
Karar.
a) 216 \u003d 63, bu nedenle günlük 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3 olduğu açıktır.
b) Doğal sayılar derecelerinin tablosu, sırasıyla 73 ve 3 -4 derecesinde 343 ve 1/243 numaralarını sunmanıza olanak sağlar. Bu nedenle, verilen bir logaritmun aşağıdaki dönüşümünü takip etmek mümkündür: 
c) 0.000001 \u003d 10 -6 ve 0.001 \u003d 10 -3, daha sonra günlük 0.000001 0.001 \u003d log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.
Cevap:
a) Günlük 6 216 \u003d 3, b) 
, c) Günlük 0.000001 0.001 \u003d 1/2.
Daha karmaşık durumlarda, sayı derecelerinin başvurusunda bulunmak zorunda olduğunu vurgulamak için.
Misal.
İfadeyi daha basit bir günlüğe dönüştürün 3 648 · Günlük 2 3.
Karar.
Bakalım basit faktörler başına bir dizi 648'in ayrışması nedir:
Yani, 648 \u003d 2 3 · 3 4. Böylece, günlük 3 648 · Günlük 2 3 \u003d log 3 (2 3 · 3 4) · Günlük 2 3.
Artık çalışmaların logaritması logaritma miktarında dönüştürülüyor, ardından derecenin logaritmasının özellikleri geçerlidir:
günlük 3 (2 3 · 3 4) · Günlük 2 3 \u003d (Günlük 3 2 3 + Log 3 3 4) · Günlük 2 3 \u003d
\u003d (3 · Günlük 3 2 + 4) · Günlük 2 3.
Formülün sorumlu olduğu logaritmanın mülkiyetinden kaynaklanan soruşturma nedeniyle Ürün log32 · log23 bir iştir ve biri olduğu bilinmektedir. Göz önünde bulundurarak, biz 3 · Günlük 3 2 · Günlük 2 3 + 4 · Günlük 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · Günlük 2 3 \u003d 3 + 4 · Günlük 2 3.
Cevap:
günlük 3 648 · Günlük 2 3 \u003d 3 + 4 · Günlük 2 3.
Oldukça sık, logaritma işareti ve kuruluşundaki ifadeler, örneğin, bazı sayıların köklerinin ve / veya derecelerinin oranı veya oranlarıdır. Bu tür ifadeler bir derece olarak temsil edilebilir. Bunun için kökten derecelere geçiş ve uygulanır. Bu dönüşümler, logaritma işaretinin altındaki dereceleri vurgulamanıza ve tabanında logaritmaların özelliklerini uygulayabilirsiniz.
Misal.
Hesapla: a) 
, b).
Karar.
a) Logaritmun tabanındaki ifade aynı üslerdeki derecelerin ürünüdür, derecelerin uygun özelliklerine göre, 5 2 · 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0.5-1 \u003d 5 0.5.
Şimdi fraksiyonu logaritmin işareti altında dönüştürüyoruz: Kökten dereceye kadar dönüyoruz, daha sonra aynı gerekçesiyle derecelerin özelliklerini kullanacağız: 
.
İlk ifadeye elde edilen sonuçların yerini almak için kalır, formülü kullanın. ve dönüşümleri bitirmek: 
b) 729 \u003d 36 ve 1/9 \u003d 3 -2'den beri, ilk ifade formda yeniden yazılabilir.
Sonra, kökün mülkünü dereceden uygulayın, logaritmayı dereceye dönüştürmek için kökten dereceye geçişi dereceye kadar gerçekleştiririz ve derecesi oranı özelliğini kullanın: 
.
Son sonuç göz önüne alındığında, 
.
Cevap:
fakat) 
, b).
Genel olarak, logaritmin işareti altında derecelerde bulunması ve kuruluşunda çeşitli ifadelerin çeşitli dönüşümleri gerekli olabileceği açıktır. Birkaç örnek veriyoruz.
Misal.
İfadenin değeri nedir: a) 
b) 
.
Karar.
Bu nedenle, belirtilen ifadenin, A \u003d 2, B \u003d X + 1 ve P \u003d 4'ü, B'nin bir B PO günlüğüne sahip olduğunu not ediyoruz. Bu tür türlerin sayısal ifadeleri, LOGARITH'in logaritmasının özelliği tarafından dönüştürüldüğünden, bu nedenle, belirli bir ifadeyle aynı şeyi yapmak istiyorum (x + 1) 4'ü aynı şeyi yapmak istiyorum. 4 · Günlük 2'ye (x + 1) gidin. Ve şimdi ilk ifadenin değerini ve dönüşümden sonra elde edilen ifadenin değerini, örneğin x \u003d -2 ile hesaplayalım. Günlük 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, ve 4 · Günlük 2 (-2 + 1) \u003d 4 · Günlük 2 (-1) - anlam ifade etmeyin. Bu, doğal bir soruya neden olur: "Ne yanlış yaptık?"?
Ve neden aşağıdaki gibidir: Dönüşüm günlüğünü 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · Log 2 (x + 1), formül log abp \u003d p · günlüğüne göre yaptık, ancak bunu uygulama hakkımız var. Formül yalnızca A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P - herhangi bir geçerli numara. Yani, bizim tarafımızdan yapılan dönüşüm, X + 1\u003e 0, aynı X\u003e -1 olan (A ve P - koşullar için) uygulanırsa gerçekleşir. Bununla birlikte, bizim durumumuzda, ilk ifade için OTZ değişkeni, sadece X\u003e -1 aralığından değil, X döneminden de oluşur.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Dikkate alma ihtiyacı ...
Günlük 2'nin (X + 1) 4'ün dönüştürülmesini sökmeye devam edeceğiz ve şimdi ekspresyona geçerken OTZ'de ne olacağını görelim 4 · Günlük 2 (x + 1). Önceki paragrafta, kaynak ifadesini bile bulduk - bu bir set (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Şimdi, 4 · Log 2 (x + 1) için X değişkeninin izin verilen değerlerinin alanını buluyoruz. Küme (-1, + ∞) karşılık gelen X + 1\u003e 0 durumuyla belirlenir. Açıkçası, log 2'den (x + 1) 4 ila 4 · Günlük 2 (x + 1) geçerken, geçerli değerlerin alanı oluşur. Ve bu, OTZ'nin daralmasına yol açan dönüşümleri önlemeyi kabul ettik, çünkü bu çeşitli olumsuz sonuçlara yol açabiliyor.
Burada kendiniz, dönüşümün her adımında OTZ'yi kontrol etmenin ve daralmasını önlemenin yararlı olduğu için yararlı olduğunu düşünmeye değer. Ve eğer aniden, dönüşümün bir aşamasında, bir ost daralması vardı, o zaman çok dikkatli bir şekilde bakmaya değer ve bu dönüşümün izin verilip verilmeyeceği ve bunu yapmaya hakkımız olmadığı.
Örneğin, pratikte, genellikle, OTZ değişkenleri, dönüşümler gerçekleştirirken, halihazırda bilinen formda kısıtlamalar olmadan logaritmaların özelliklerini kullanın ve her ikisi de soldan sağ ve sağ sola. Hızlı bir şekilde alışırsınız ve mekanik olarak, düşünmeden ve bunları yapmanın mümkün olup olmadığını mekanik olarak dönüşümleri gerçekleştirmeye başlarsınız. Ve bu tür anlarda, boşalmış olarak, logaritmaların özelliklerinin erişimi kullanıldığı terlik daha karmaşık örnekler hatalara yol açar. Yani her zaman bir çek üzerinde olmalısınız ve OTZ'nin daralması olmadığını izleyin.
Çok dikkatli bir şekilde gerçekleştirilmesi gereken logaritmaların özelliklerine dayanarak, bir OTZ'nin daralmasına yol açabilecek logaritmaların özelliklerine dayanarak ana dönüşümleri ayrı olarak seçmez.
Logaritmaların özelliklerine göre bazı ifadelerin dönüşümleri, OTZ'nin tersi - genişlemesine yol açabilir. Örneğin, 4 · Günlük 2'den (x + 1) geçiş 2 (x + 1) 4 (x + 1) 4'e (-1, + ∞) ila (-∞, -1) ∪ (-1, +) konumundan genişletir ∞). Bu tür dönüşümler, ilk ifade için ODZD içinde kalırsa ortaya çıkar. Böylece sadece belirtilen dönüşüm 4 · Günlük 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 Orijinal ekspresyon 4 · Günlük 2 (x + 1), yani X + ile 1\u003e 0, aynı olan (-1, + ∞).
Şimdi, logaritmaların özelliklerini kullanarak değişkenli ifadeleri dönüştürürken dikkat etmeniz gereken nüansları tartıştığımız, bu dönüşümlerin ne kadar doğru yapılması gerektiğini bulmak için kalır.
X + 2\u003e 0. Bizim durumumuzda mı çalışıyor? Bu soruyu cevaplamak için, OTZ değişkenine bir göz atın. Eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir 
X + 2\u003e 0 durumuna eşdeğer olan (gerekirse, makaleye bakın) eşitsizlik sistemlerini çözme). Böylece, Logarithm özelliğini sakince uygulayabiliriz.
Sahip olmak
3 · lg (x + 2) 7 -Lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · lg (x + 2) -Lg (x + 2) -5 · 4 · lg (x + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (x + 2) -Lg (x + 2) -20 · lg (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · LG (x + 2) \u003d 0.
Harekete geçebilirsiniz, aksi takdirde OTZ'nin yararı, örneğin: 
Cevap:
3 · lg (x + 2) 7 -Lg (x + 2) -5 · lg (x + 2) 4 \u003d 0.
Ve logaritmaların beraberindeki özelliklerin şartları yerine getirildiğinde ne yapmalı? Örneklerde bununla ilgileneceğiz.
LG (x + 2) 4 -LG (x + 2) 2 ifadesini basitleştirmemiz için varsayalım. Bu ifadenin dönüşümü, ekspresyonun aksine, önceki örneğin aksine, logaritma derecesinin günlüğüne izin vermez. Neden? Bu durumda OTZ değişkeni x\u003e -2 ve x iki boşluktan oluşan bir kombinasyondur.<−2 . При x>-2 LOGARITHM özelliğini sakince uygulayabilir ve yukarıda demonte olarak hareket edebiliriz: lG (x + 2) 4 -Lg (x + 2) 2 \u003d 4 · lg (x + 2) -2 · lg (x + 2) \u003d 2 · lg (x + 2). Ancak OTZ, X + 2'nin başka bir dönemini içerir.<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4 -Lg (- | x + 2 |) 2 Ve Derecesi Özellikleri Güçlendiriciliği ile LG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2. Elde edilen ifade, değişkenin herhangi bir değerleri için | X + 2 |\u003e 0 için Logarithm özelliği tarafından dönüştürülebilir. Sahip olmak lG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2 \u003d 4 · LG | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · lg | x + 2 |. Şimdi, işini yaptığı gibi, modülden kendinizi serbest bırakabilirsiniz. X + 2'de dönüşüm yaptığımızdan beri<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Modüllerle çalışmanın tanıdık olması için başka bir örneği düşünün. İfadeden tasarlamamıza izin verin 
X-1, X-2 ve X-3'ün logaritmalarının logaritmaları arasındaki toplam ve farkı gider. İlk önce buluruz ... 
Aralıkta (3, + ∞) X-1, X-2 ve X-3 ifadelerinin değerleri pozitiftir, bu nedenle toplamların ve farklılıkların logaritmasının özelliklerini sakince uyguluyoruz: 
Ve aralığında (1, 2), X-1 ekspresyonunun değerleri pozitiftir ve X-2 ve X-3 ifadelerinin değerleri negatiftir. Bu nedenle, dikkate alınan aralıkta, modülünü kullanarak X-2 ve X-3'ü - | X-2 | ve - | X-3 | sırasıyla. Burada 
Artık, işin logaritmasının özelliklerini ve özelliğinin özelliklerini (1, 2) X-1, | X-2'deki ifadelerin değerleri için uygulayabilirsiniz. ve | X-3 | - Pozitif.
Sahip olmak 
Sonuçlar birleştirilebilir:
Genel olarak, benzer argümanlar Logaritma formüllerinin logaritma, ilişkiler ve dereceler temelinde, kullanımı oldukça uygun olan üç pratikte faydalı sonuç elde etmek için izin verir:
- İki keyfi ifadenin logaritma eserleri (x · y) LOG A tipi (x · y) 'nın türünden birleştirilebilir Logaritmalar ile değiştirilebilir. X | + Log A | Y | , A\u003e 0, a ≠ 1.
- LOGARITHM Özel LOG A (X: Y) Logaritmalar arasındaki farkla değiştirilebilir Log A | x | -Log a | y | , A\u003e 0, ≠ 1, x ve y - keyfi ifadeler.
- Bazı ifadelerin logaritmasından B günlüğündeki bir p l cinsinden bir p logarithm'den P ifadesine gidebilirsiniz P · Log A | B | , burada bir\u003e 0, a ≠ 1, p hatta bir numara ve B - keyfi bir ifadedir.
Örneğin, M. I. Scanavi'nin editörleri altındaki üniversitelere başvuranlar için matematikte problemlerin toplanmasında gösterge ve logaritmik denklemleri çözme talimatlarında benzer sonuçlar verilmiştir.
Misal.
İfadeyi basitleştirin 
.
Karar.
Logaritmun özelliklerini, miktarlarının ve farklılıkların özelliklerini uygulamak iyi olur. Ama burada yapabilir miyiz? Bu soruyu cevaplamak için OTZ'yi bilmemiz gerekir.
Bunu tanımlıyoruz: 
X + 4, X-2 ve (x + 4) 13 ifadelerinin, X değişkeninin izin verilen değerlerinin değerleri üzerindeki ifadelerin hem pozitif hem de negatif değerler alabileceği açıktır. Bu nedenle, modüllerle hareket etmemiz gerekecek. 
Modülün özellikleri, bu nedenle yeniden yazmanıza izin verir. 
Ayrıca hiçbir şey logaritma derecesinin mülkiyetinden engellenemez, ardından benzer terimleri getirin: 
Diğer dönüşümler dizisi aynı sonuna yol açar: 
Ve X-2 ekspresyonu hem pozitif hem de negatif değerleri alabildiğinden, daha sonra 14'lük bir derece oranı gönderirken
Çözümü yatan görevler logaritmik ifadelerin dönüşümü, sık sık sınavda buluşalım.
Ana logaritmik kimlikler dışında, en az zamanda onlarla başarılı bir şekilde başa çıkmak için bazı formülleri bilmeniz ve doğru şekilde kullanmanız gerekir.
Bu: bir log a b \u003d b, burada A, B\u003e 0 ve ≠ 1 (doğrudan logaritmun tanımından takip eder).
bir b \u003d log ile bir b / log ile bir veya bir b \u003d 1 / log b a
burada A, B, C\u003e 0; A, C ≠ 1.
bir m b n \u003d (m / n) log | a | | B |
burada A, B\u003e 0, a ≠ 1, m, n є r, n ≠ 0.
ve b \u003d b log ile bir
nerede a, b, c\u003e 0 ve a, b, s ≠ 1
Dördüncü eşitliğin adilliğini göstermek için, sola ve A'nın sağ tarafını prologa etmek. Kod A (ve B ile oturum açın) \u003d Log A (b log a ile) veya b \u003d log ile günlüğe kaydet A · Günlük A B; KODU B \u003d O gün girişi · (A ile log ile log); B \u003d log ile log b.
Logaritma altındaki ifadelere eşit olan logaritmaların eşitliğini kanıtladık. Formül 4 kanıtlandı.
Örnek 1.
Hesapla 81 Log 27 5 Log 5 4.
Karar.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
lOG 27 5 \u003d 1/3 LOG 3 5, LOG 5 4 \u003d LOG 3 4 / LOG 3 5. Sonuç olarak,
günlük 27 5 · Günlük 5 4 \u003d 1/3 Günlük 3 5 · (Günlük 3 4 / log 3 5) \u003d 1/3 Log 3 4.
Daha sonra 81 Günlük 27 5 Günlük 5 4 \u003d (3 4) 1/3 Günlük 3 4 \u003d (3 Günlük 3 4) 4/3 \u003d (4) 4/3 \u003d 4 3 √4.
Aşağıdaki görevi bağımsız olarak yapabilirsiniz.
Hesaplayın (8 Log 2 3 + 3 1 / Log 2 3) - Günlük 0.2 5.
Bir ipucu olarak 0.2 \u003d 1/5 \u003d 5 -1; Günlük 0.2 5 \u003d -1.
Cevap: 5.
Örnek 2.
Hesapla (√11) günlüğü. √3 9- Günlük 121 81.
Karar.
İfadelerin değiştirilmesini gerçekleştirin: 9 \u003d 3 2, √3 \u003d 3 1/2, log √3 9 \u003d 4,
121 \u003d 11 2, 81 \u003d 3 4, LOG 121 81 \u003d 2 LOG 11 3 (Formül 3 kullanıldı).
Ardından (√11) Günlük √3 9- LOG 121 81 \u003d (11 1/2) 4-2 Günlük 11 3 \u003d (11) 2- Günlük 11 3 \u003d 11 2 / (11) Günlük 11 3 \u003d 11 2 / ( 11 Günlük 11 3) \u003d 121/3.
Örnek 3.
Günlüğü hesaplayın 2 24 / log 96 2- LOG 2 192 / LOG 12 2.
Karar.
Örnekte bulunan logaritmalar, logaritmaları bir baz 2 ile değiştirin.
günlük 96 2 \u003d 1 / LOG 2 96 \u003d 1 / LOG 2 (2 5 · 3) \u003d 1 / (LOG 2 2 5 + LOG 2 3) \u003d 1 / (5 + LOG 2 3);
lOG 2 192 \u003d LOG 2 (2 6 · 3) \u003d (LOG 2 2 6 + LOG 2 3) \u003d (6 + LOG 2 3);
lOG 2 24 \u003d LOG 2 (2 3 · 3) \u003d (LOG 2 2 3 + LOG 2 3) \u003d (3 + LOG 2 3);
lOG 12 2 \u003d 1 / LOG 2 12 \u003d 1 / LOG 2 (2 2 · 3) \u003d 1 / (LOG 2 2 2 + LOG 2 3) \u003d 1 / (2 + LOG 2 3).
Ardından log 2 24 / log 96 2 - Günlük 2 192 / log 12 2 \u003d (3 + log 2 3) / (1 / (5 + log 2 3)) - ((6 + log 2 3) / (1 / ( 2 + log 2 3)) \u003d
\u003d (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Braketleri ifşa ettikten ve benzer terimleri getirdikten sonra, 3 numarayı elde ediyoruz (ifadenin basitleştirilmesiyle, Log 2 3, N ile belirleyebilir ve ifadeyi basitleştirebilir
(3 + N) · (5 + N) - (6 + N) (2 + N)).
Cevap: 3.
Aşağıdaki görevi bağımsız olarak yapabilirsiniz:
Hesapla (Günlük 3 4 + Log 4 3 + 2) · Günlük 3 16 · Günlük 2 144 3.
Burada 3 logaritmalara bir geçiş yapmak ve büyük sayıların basit çarpanları üzerinde ayrışmaya devam etmek gerekir.
Cevap: 1/2
Örnek 4.
Üç numara A \u003d 1 / (Log 3 0.5), B \u003d 1 / (Log 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - Günlük 0.5 3. Onları artan sıraya yerleştirin.
Karar.
A \u003d 1 / (log 3 0.5) numaralarını değiştiriyoruz \u003d log 0.5 3; C \u003d Günlük 0.5 12 - Günlük 0.5 3 \u003d Günlük 0.5 12/3 \u003d Log 0.5 4 \u003d -2.
Onları karşılaştırmak
günlük 0.5 3\u003e Günlük 0.5 4 \u003d -2 ve Günlük 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Veya 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Cevap. Sonuç olarak, sayıları yerleştirme prosedürü: C; FAKAT; İÇİNDE.
Örnek 5.
Aralıkta kaç tamsayılar bulunur (log 3 1/16; log 2 6 48).
Karar.
Numaranın 3 numarasının hangi derecelerinin 1/16 numaralı olduğunu tanımlıyoruz. 1/27 alıyoruz< 1 / 16 < 1 / 9 .
Y \u003d log 3 x işlevi arttığından, günlüğü 3 (1/2 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
lOG 6 48 \u003d LOG 6 (36 · 4/3) \u003d LOG 6 36 + LOG 6 (4/3) \u003d 2 + LOG 6 (4/3). Günlüğü 6 (4/3) ve 1/5'i karşılaştırın. Ve bunun için, sayıları 4/3 ve 6 1/5 karşılaştırın. Her iki sayıyı 5 dereceye çıkardı. Elde ediyoruz (4/3) 5 \u003d 1024/243 \u003d 4 52/243< 6. Следовательно,
günlük 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Sonuç olarak, aralık (log 3 1/16; log 6 48) aralığı içerir [-2; 4] ve tamsayılar üzerine yerleştirilir; -bir; 0; bir; 2; 3; dört.
Cevap: 7 tam sayı.
Örnek 6.
3 lglg 2 / lg 3 - LG20'yi hesaplayın.
Karar.
3 LG LG 2 / LG 3 \u003d (3 1 / LG3) LG LG 2 \u003d (3 LO G 3 10) LG LG 2 \u003d 10 LG LG 2 \u003d LG2.
Daha sonra 3 lglg2 / lg3 - lg 20 \u003d lg 2 - lg 20 \u003d lg 0.1 \u003d -1.
Cevap 1.
Örnek 7.
Günlük 2'nin (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) \u003d A'yı bulduğu bilinmektedir. Log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) bulun.
Karar.
Sayılar (√3 + 1) ve (√3 - 1); (√6 - 2) ve (√6 + 2) - Konjugat.
İfadelerinin aşağıdaki dönüşümünü yapacağız.
√3 - 1 \u003d (√3 - 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) \u003d 2 / (√3 + 1);
√6 + 2 \u003d (√6 + 2) · (√6 - 2)) / (√6 - 2) \u003d 2 / (√6 - 2).
Ardından log 2 (√3 - 1) + log 2 (√6 + 2) \u003d log 2 (2 / (√3 + 1)) + Günlük 2 (2 / (√6 - 2)) \u003d
Günlük 2 2 - Günlük 2 (√3 + 1) + Günlük 2 2 - Günlük 2 (√6 - 2) \u003d 1 - Günlük 2 (√3 + 1) + 1 - Günlük 2 (√6 - 2) \u003d
2 - Günlük 2 (√3 + 1) - Günlük 2 (√6 - 2) \u003d 2 - A.
Cevap: 2 - A.
Örnek 8..
İfadenin yaklaşık değerini basitleştirin ve bulun (Günlük 3 2 · Günlük 4 3 · Günlük 5 4 · Günlük 6 5 · ... · Günlük 10 9.
Karar.
Toplam taban 10'a verdiğimiz tüm logaritmalar.
(Günlük 3 2 · Günlük 4 3 · Günlük 5 4 · Günlük 6 5 · ... · Günlük 10 9 \u003d (LG 2 / LG 3) · (LG 3 / LG 4) · ((LG 4 / LG 5) · ( LG 5 / LG 6) · ... · (LG 8 / LG 9) · LG 9 \u003d LG 2 ≈ 0.3010. (Yaklaşık LG 2 değeri bir tablo, logaritmik bir çizgi veya bir hesap makinesi kullanılarak bulunabilir).
Cevap: 0,3010.
Örnek 9..
LOG A 2 B3 √ (A 11 B -3) Hesaplayın. Log √ A B3 \u003d 1 ise (bu örnekte ve 2 B3, logaritmanın tabanıdır).
Karar.
LOG √ A B3 \u003d 1, daha sonra 3 / (0.5 Log A B \u003d 1 ve B \u003d 1/6 günlüğe kaydet.
Ardından 2 b 3√ (A 11 B -3) \u003d 1/2 günlüğe kaydet A 2 B3 (A 11 B -3) \u003d LOG A (A 11 B -3) / (2LOG A (A 2 B3) ) \u003d (LOG AA 11 + LOG Ab -3) / (2 (AA 2 + LOG Ab 3)) \u003d (11 - 3LOG Ab) / (2 + 3log AB)) O günlüğe kaydettiğini göz önünde bulundurun. 1/6 elde edilir (11 - 3 · 1/6) / (2 (2 + 3 · 1/6)) \u003d 10.5 / 5 \u003d 2.1.
Cevap: 2.1.
Aşağıdaki görevi bağımsız olarak yapabilirsiniz:
Günlüğü hesaplayın √3 6 √2.1 Günlük 0.7 27 \u003d a.
Cevap: (3 + a) / (3a).
Örnek 10.
Hesapla 6.5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + log125.
Karar.
6.5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + log 125 \u003d (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2 / log 2 13 + 2log 5 5 3 \u003d (13/2) 2 Günlük 13 3 · 3 2 Günlük 13 2 + 6 \u003d (13 Günlük 13 3/2 Log 13 3) 2 · (3 Günlük 13 2) 2 + 6 \u003d (3/2 Günlük 13 3) 2 · (3 Günlük 13 2) 2 + 6 \u003d (3 2 / (2 log 13 3) 2) · (2 \u200b\u200bGünlük 13 3) 2 + 6.
(2 Günlük 13 3 \u003d 3 Günlük 13 2 (Formula 4))
9 + 6 \u003d 15 elde ediyoruz.
Cevap: 15.
Sorularım var? Logaritmik ifadenin değerini nasıl bulacağınızı bilmiyorum?
Bir öğretmen yardımı almak için - Kayıt olun.
İlk ders ücretsizdir!
site, orijinal kaynağa olan malzeme referansının tam veya kısmi kopyalanmasıyla gereklidir.
Logaritmik ifadeler, örnekleri çözme. Bu yazıda, logaritmaların çözümüyle ilişkili görevleri göz önünde bulunduracağız. Görevler, ifade değerini bulma sorusunu gündeme getirir. Logaritma kavramının birçok görevde kullanıldığı ve anlamının son derece önemli olduğunu anladığı belirtilmelidir. Kullanım için, logaritma, uygulamalı görevlerde, fonksiyonların çalışmasıyla ilişkili görevlerde de, denklemlerin çözülmesinde kullanılır.
Logaritma duygusunu anlamak için örnekler veriyoruz:
Temel Logaritmik Kimlik:
Her zaman hatırlanması gereken logaritmaların özellikleri:
* İşin logaritması, faktörlerin logaritmalarının toplamına eşittir.
* * *
* Özel logaritma (kesir), faktörlerin logaritmalarındaki farkına eşittir.
* * *
* Logaritma, tabanının logaritmasındaki derecenin ürününe eşittir.
* * *
* Yeni bir üsle geçiş
* * *
Daha fazla özellik:
* * *
Logaritmaların hesaplanması, derece göstergelerinin özelliklerinin kullanımıyla yakından ilgilidir.
Bunlardan bir kısmını listeleyin:
Bu özelliğin özü, sayıyı paydaşaya aktarırken ve aksine, gösterge işareti tam tersi değişir. Örneğin:
Bu mülkün sonucu:
* * *
Bir dereceye kadar bir dereceye kadar monte ederken, temel aynı kalır ve göstergeler değişkendir.
* * *
Logaritma kavramını basit gördünüz. Asıl şey, belirli bir beceri sağlayan iyi uygulamanın gerekli olmasıdır. Tabii ki, formüllerin bilgisi gerekir. İlköğretim logaritmalarının dönüşümünde yetenek oluşturulmazsa, basit görevleri çözerken, bir hataya kolayca izin verebilirsiniz.
Uygulama, önce matematiğin gidişatından en basit örnekleri karar verin, daha sonra daha karmaşık hale gelir. Gelecekte, kesinlikle "korkunç" logaritmaların nasıl çözüldüğünü göstereceğim, sınavda böyle olanlar olmayacak, ancak ilgi duyuyorlar, kaçırmayın!
Bu kadar! Sana başarı!
Saygılarımızla, Alexander Krutitsky
S.S: Site hakkında sosyal ağlar hakkında söylerseniz minnettar olacağım.
Herhangi bir sayı gibi logaritmalar katlanabilir, düşebilir ve dönüştürebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan değil, denilen kendi kuralları var. temel özellikler.
Bu kurallar mutlaka bilmelidir - ciddi bir logaritmik görevi onlarsız çözülmez. Ek olarak, onlar oldukça biraz - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse devam et.
Logaritmaların eklenmesi ve çıkarılması
Aynı bazlarla iki logaritmayı düşünün: log a. x. ve log. a. y.. Sonra katlanabilir ve düşülebilirler ve:
- günlüğü. a. x. + Log. a. y. \u003d Log. a. (x. · y.);
- günlüğü. a. x. - Günlük. a. y. \u003d Log. a. (x. : y.).
Bu nedenle, logaritmaların miktarı, işin logaritmasına eşittir ve farkın özel logaritmasıdır. Lütfen dikkat: Buradaki anahtar nokta aynı gerekçesiyle. Temeller farklıysa, bu kurallar işe yaramaz!
Bu formüller, bireysel parçalar dikkate alınmazken bile logaritmik ifadeyi hesaplamaya yardımcı olacaktır (logarithm "dersine bakın).). Örneklere bir göz atın - ve emin olun:
Günlük 6 4 + Günlük 6 9.
Logaritmalardaki bazlar aynı olduğundan, toplamın toplamını kullanıyoruz:
lOG 6 4 + LOG 6 9 \u003d LOG 6 (4 · 9) \u003d LOG 6 36 \u003d 2.
Bir görev. İfadenin değerini bulun: log 2 48 - Log 2 3.
Temeller, fark formülü kullanarak aynıdır:
günlük 2 48 - LOG 2 3 \u003d LOG 2 (48: 3) \u003d LOG 2 16 \u003d 4.
Bir görev. İfadenin değerini bulun: log 3 135 - Log 3 5.
Yine temeller aynıdır, bu yüzden biz var:
günlük 3 135 - Günlük 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.
Gördüğünüz gibi, ilk ifadeler ayrı ayrı olarak kabul edilmeyen "kötü" logaritmalardan oluşur. Ancak dönüşümden sonra, oldukça normal sayılar elde edilir. Bu aslında, birçok test işi inşa edilmiştir. Ancak kontrol nedir - bu tür ifadeler tam olarak (bazen - neredeyse değişmeyen) sınavda sunulmaktadır.
Logaritm'dan İcra Derecesi
Şimdi biraz zorlaştırın. Ya logaritmun temelinde veya argümanında bir dereceye mal olur mu? Ardından, bu derecenin göstergesi aşağıdaki kurallara göre logaritma işaretinden çıkarılabilir:
Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak bunu hatırlamak daha iyidir, bazı durumlarda hesaplamaların miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.
Tabii ki, tüm bu kurallar, OTZ Logarithm'a uygunluk olup olmadığını gösterir: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. ve ayrıca: Tüm formülleri sadece soldan sağa değil, aksine, yani, yani Sayı, logaritmaya, logaritmin kendisine bakacak şekilde yapabilirsiniz. Bu genellikle gereklidir.
Bir görev. İfadenin değerini bulun: log 7 49 6.
İlk formüldeki argümandaki ölçüde kurtulun:
lOG 7 49 6 \u003d 6 · Günlük 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12
Bir görev. İfadenin değerini bulun:
[Şekil olarak imza]
Dominator'da bir logaritma, taban ve argümanı olduğu bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Sahibiz:
[Şekil olarak imza] Sanırım en son örneğin açıklama gerektiriyor. Logaritmalar nerede kayboldu? Son ana kadar, sadece paydaşla çalışıyoruz. Oradaki bir logaritmin temelini ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeler yapıldı - "üç katlı" bir kesir aldı.
Şimdi temel kesire bakalım. Numarator ve payminatördeki sayı aynı sayıdır: Log 2 7. Günlük 2 7 ≠ 0, fraksiyonu azaltabiliriz - 2/4 payda kalır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan, yapılan numaraya aktarılabilir. Sonuç cevaptı: 2.
Yeni bir üsle geçiş
Logaritmaların eklenmesi ve çıkarılması için kurallar hakkında konuşursak, özellikle aynı bazlarla çalıştıklarını vurguladım. Ve eğer vakıflar farklıysa? Ya aynı sayıda doğru derece değilse?
Yeni bir üsle geçiş için formüller kurtarmaya gelir. Onları teorem biçiminde formüle ediyoruz:
Logaritma günlüğüne izin ver a. x.. Sonra herhangi bir sayı için c. öyle ki c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, gerçek eşitlik:
[Şekil olarak imza]
Özellikle, eğer koyarsan c. = x.Alacağız:
[Şekil olarak imza]
İkinci formülden, logaritmun tabanının ve argümanının yerlerde değiştirilebileceğini, ancak aynı zamanda "döner" ifadesi, yani Logaritma, payda olduğu ortaya çıkıyor.
Bu formüller geleneksel sayısal ifadelerde nadirdir. Ne kadar uygun olduklarını değerlendirme, yalnızca logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken mümkündür.
Bununla birlikte, genellikle herhangi bir yerde yeni bir temele geçiş olarak çözülmeyen görevler vardır. Birkaç tane düşünün:
Bir görev. İfadenin değerini bulun: log 5 16 · Günlük 2 25.
Her iki logaritmin argümanlarının doğru derece olduğunu unutmayın. Özetleyeceğim: LOG 5 16 \u003d LOG 5 2 4 \u003d 4LOG 5 2; LOG 2 25 \u003d LOG 2 5 2 \u003d 2LOG 2 5;
Ve şimdi "invert" ikinci logaritımı:
[Şekil olarak imza]Çalışma çarpanların yeniden düzenlenmesinden geçmediğinden, dört ve bir ikisini sakince değiştirdik ve ardından logaritmalarla sıralanırız.
Bir görev. İfadenin değerini bulun: LOG 9 100 · LG 3.
İlk logaritmun temeli ve argümanı - doğru derece. Yazıyoruz ve göstergelerden kurtuluruz:
[Şekil olarak imza]Şimdi yeni üse dönerek ondalık logaritmasından kurtulun:
[Şekil olarak imza]Temel Logaritmik Kimlik
Genellikle, çözelti, belirli bir taban için bir logaritma olarak bir sayı göndermek için gereklidir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:
İlk durumda n. Argümanda derecenin bir göstergesi haline gelir. Numara n. Kesinlikle herkes olabilir, çünkü bu sadece bir logaritma değeridir.
İkinci formül aslında paramparça bir tanımdır. Bu denir: ana logaritmik kimlik.
Aslında, sayı ise ne olacak b. sayının böyle bir dereceye kadar yapılması b. Bu ölçüde sayıyı verir a.? Doğru: Bu en çok a.. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun - Üzerinde birçok "asıl".
Geçiş formülleri yeni bir baza gibi, ana logaritmik kimlik bazen mümkün olan tek çözümdür.
Bir görev. İfadenin değerini bulun:
[Şekil olarak imza]
Günlük 25 64 \u003d log 5 8'in - sadece tabandan bir kare ve logaritmanın argümanını yaptığını unutmayın. Aynı üs ile derecelerin çarpılması için kurallar göz önüne alındığında, biz alırız:
[Şekil olarak imza]Birisi farkında değilse, Ege'nin gerçek bir görevi oldu :)
Logaritmik birim ve logaritmik sıfır
Sonuç olarak, mülklerin isimlendirilmesi zor olduğu iki kimlik vereceğim - bunun yerine, logaritma tanımının sonucudur. Görevlerde sürekli olarak bulunurlar ve şaşırtıcı, "ileri" öğrenciler için bile sorun yaratıyorlar.
- günlüğü. a. a. \u003d 1 bir logaritmik bir birimdir. Bir kez ve sonsuza kadar kayıt: herhangi bir temelde logaritma a. Temelden birine eşittir.
- günlüğü. a. 1 \u003d 0 bir logaritmik sıfırdır. Üs a. Belki bir şekilde bir şekilde, ancak argüman bir birim ise - logaritma sıfır! Çünkü a. 0 \u003d 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.
Bu tüm özellikler. Uygulamayı pratikte uyguladığınızdan emin olun! Beşiği dersin başlangıcında indirin, yazdırın - görevleri çözün.