İfade dönüştürme. Ayrıntılı Teori (2020)
Bölümler: Matematik
Sınıf: 9
AMAÇ: Derecenin özelliklerini rasyonel bir gösterge ile uygulama becerilerini pekiştirmek ve geliştirmek; kesirli bir üs ile derece içeren ifadelerin basit dönüşümlerini gerçekleştirme becerilerini geliştirmek.
DERS TÜRÜ: Verilen bir konuda bilgiyi pekiştirmek ve uygulamak için bir ders.
DERS KİTABI: Cebir 9 ed. S.A. Telyakovski.
DERSLER SIRASINDA
Öğretmenin tanıtım konuşması
"Cebirle aşina olmayan insanlar, söz konusu bilimin yardımıyla... elde edilebilecek inanılmaz şeyleri hayal edemezler." G.V. Leibniz
Cebir bizim için laboratuvar kompleksinin kapılarını açıyor "Rasyonel üslü derece".
1. Önden inceleme
1) Dereceyi kesirli bir üsle tanımlayın.
2) Derece, sıfıra eşit bir tabanla tanımlanan hangi kesirli üs için?
3) Derece, negatif bir taban için kesirli bir üs ile belirlenecek mi?
Görev: 64 sayısını taban - 2 ile bir güç olarak yazın; 2; sekiz.
64 hangi sayının küpüdür?
64 sayısını rasyonel üslü bir kuvvet olarak göstermenin başka bir yolu var mı?
2. Gruplar halinde çalışın
1 grup. (-2) 3/4 ifadesinin; 0 -2 anlamsızdır.
2 grup. Dereceyi kök olarak kesirli bir üsle temsil edin: 2 2/3; 3 -1|3 ; -1.5'te; 5a 1/2; (x-y) 2/3 .
3. grup. Derece olarak kesirli bir üsle ifade edin: v3; 8 va 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; vvv.
3. "Güçler Üzerine Eylem" laboratuvarına gidelim
Laboratuvarın sık konukları astronomlardır. "Astronomik sayılarını" getirirler, cebirsel işleme tabi tutarlar ve faydalı sonuçlar alırlar.
Örneğin, Dünya'dan Andromeda Bulutsusu'na olan mesafe, sayı ile ifade edilir.
9500000000000000000 = 95 10 18 km;
buna denir kentilyon.
Güneşin gram cinsinden kütlesi 1983 10 30 gr sayısı ile ifade edilir - nonalion.
Ayrıca laboratuvara başka ciddi görevler de düşmektedir. Örneğin, genellikle şu şekildeki ifadeleri değerlendirme sorunu vardır:
a) ; b) ; içinde) .
Laboratuvar personeli bu tür hesaplamaları en uygun şekilde yapmaktadır.
İşe bağlanabilirsiniz. Bunu yapmak için, derecelerin özelliklerini rasyonel üslerle tekrarlıyoruz:
Şimdi üslerin özelliklerini rasyonel üslerle uygulayarak ifadeyi hesaplayın veya basitleştirin:
1 grup:
2 grup:
3. grup:
Kontrol edin: tahtadaki gruptan bir kişi.
4. Karşılaştırma görevi
Derecelerin özelliklerini kullanarak 2 100 ve 10 30 ifadeleri nasıl karşılaştırılır?
Cevap:
2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .
10 30 =(10 3) 10 =1000 10
1024 10 >1000 10
2 100 >10 30
5. Ve şimdi sizi "Dereceler Araştırması" laboratuvarına davet ediyorum.
Güçler üzerinde hangi dönüşümleri gerçekleştirebiliriz?
1) 3 sayısını bir üssü 2 olan bir kuvvet olarak ifade edin; 3; -bir.
2) a-b ifadeleri ne şekilde çarpanlarına ayrılabilir; + içinde 1/2; a-2a 1/2; 2'ler 2 mi?
3) Daha sonra karşılıklı doğrulama ile kesri azaltın:
4) Yapılan dönüşümleri açıklayın ve ifadenin değerini bulun:
6. Ders kitabıyla çalışın. 611(d, e, f).
Grup 1: (d).
Grup 2: (e).
Grup 3: (e).
629 (a, b).
Karşılıklı doğrulama.
7. Bir atölye çalışması yürütüyoruz (bağımsız çalışma).
Verilen ifadeler:
Hangi kesirleri azaltırken, ortak faktörün kısaltılmış çarpma ve parantezleme formülleri kullanılır?
1 grup: No. 1, 2, 3.
Grup 2: No. 4, 5, 6.
Grup 3: Sayı 7, 8, 9.
Görevi tamamlarken önerileri kullanabilirsiniz.
- Örneğin kaydında hem rasyonel üslü üsler hem de n'inci kökler varsa, n'inci kökleri rasyonel üslü üsler olarak yazın.
- Eylemlerin gerçekleştirildiği ifadeyi basitleştirmeye çalışın: parantezleri açma, indirgenmiş çarpma formülünü uygulama, negatif bir üsten pozitif üsler içeren bir ifadeye geçme.
- Eylemlerin gerçekleştirileceği sırayı belirleyin.
- Adımları gerçekleştirildikleri sırayla gerçekleştirin.
Defterleri toplayarak öğretmeni değerlendirir.
8. Ödev: No. 624, 623.
Belediye devlet eğitim kurumu
25 numaralı temel kapsamlı okul
cebir dersi
Başlık:
« Derece İçeren İfadeleri Kesirli Üslerle Dönüştürme»
Tarafından geliştirilmiş:
,
matematik öğretmeni
en yüksek kyeterlilik kategorisi
düğüm
2013
ders konusu: Kuvvet içeren ifadeleri kesirli üslerle dönüştürme
dersin amacı:
1. Dereceleri içeren ifadeleri kesirli göstergelerle dönüştürmek için daha fazla beceri, bilgi ve beceri oluşumu
2. Hata bulma yeteneğinin gelişimi, düşünmenin gelişimi, yaratıcılık, konuşma, hesaplama becerileri
3. Bağımsızlık eğitimi, konuya ilgi, dikkat, doğruluk.
TSO: manyetik tahta, kontrol kartları, masalar, bireysel kartlar, okul çocukları masada bireysel çalışma için boş imzalı sayfalara, bir bulmacaya, matematiksel ısınma masalarına, bir multimedya projektörüne sahiptir.
ders türü: ZUN'u sabitleme.
Zamanında ders planı
1. Organizasyonel anlar (2 dk)
2. Ödevi kontrol etme (5 dk)
3. Bulmaca (3 dk)
4. Matematik ısınması (5 dk)
5. Ön tarafı sabitlemek için çözme alıştırmaları (7 dk)
6. Bireysel çalışma (10 dakika)
7. Tekrarlama egzersizlerinin çözümü (5 dk)
8. Dersin özeti (2 dk)
9. Ödev (1 dk)
Dersler sırasında
1) Akran değerlendirmesi şeklinde ödev kontrolü . İyi öğrenciler, zayıf çocukların defterlerini kontrol eder. Ve zayıf adamlar, kontrol kartının modeline göre güçlü olanlarla kontrol eder. Ev ödevi iki versiyonda verilmektedir.
ben kolay görev seçeneği
II zor görev seçeneği
Kontrol sonucunda, çocuklar basit bir kalemle hataların altını çizer ve bir işaret koyarlar. Son olarak, dersten sonra çocuklar defterlerini teslim ettikten sonra çalışmayı kontrol ediyorum. Çocuklara testlerinin sonuçlarını soruyorum ve bu tür işler için özetleme tabloma işaretler koyuyorum.
2) Teorik materyali test etmek için bir bulmaca sunulmaktadır..
Dikey:
1. Tek terimli bir polinom ile çarpılırken kullanılan çarpma özelliği?
2. Bir dereceye kadar bir derece yükseltirken üslerin etkisi?
3. Sıfır üslü bir derece mi?
4. Aynı faktörlerden oluşan bir ürün mü?
yatay:
5. Kök n - negatif olmayan bir sayıdan derece mi?
6. Üsleri çarparken üsler nasıl çalışır?
7. Derecelerin bölünmesinde üslerin eylemi?
8. Tüm aynı faktörlerin sayısı?
3) matematik ısınma
a) hesaplamayı gerçekleştirin ve problemde gizli olan kelimeyi okumak için şifreyi kullanın.
Önünüzde tahtada bir masa var. Sütun 1'deki tablo, hesaplanması gereken örnekleri içerir.
tablonun anahtarı
491/2 | ||
27-1/3 | ||
4*81/3 | ||
5*25-1/2 | ||
7*82/3 | ||
(49/144)1/2 | 7/12 | |
(27*64)1/3 |
7/12 |
Ve cevabı sütuna yaz II ve sütun III'te bu cevaba karşılık gelen harfi koyun.
Öğretmen : Yani şifreli kelime "derece". Bir sonraki görevde 2. ve 3. derece ile çalışıyoruz.
b) "Bak, hata yapma" oyunu
Noktaları bir sayı ile değiştirin
a) x=(x…)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5… = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; f) 74/5 = (7…)2; g) x1/2=(x…)2; h) y1/2=(y…)2
Hatayı bulalım:
А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/
Peki arkadaşlar, bu görevi tamamlamak için neye başvurmanız gerekiyordu:
Derecelerin özelliği: bir dereceyi bir güce yükseltirken, göstergeler çarpılır;
4) Şimdi ön çalışmaya geçelim. önceki çalışmaların sonuçlarını kullanarak. Açık defterler numarayı, dersin konusunu yazın.
№ 000
a) a - c \u003d (a1/2) 2 - (b1/2) 2 \u003d (a1/2 - c1/2) * (a1/2 + c1/2)
b) a - c \u003d (a1/3) 3 - (c1/3) 3 \u003d (a1/3 - c1/3) * (a2/3 + a1/3 c1/3 + c2/3)
000 (a, c, d, e)
a ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)
c) a3 - 4 = (a3/2)2 - 22 = (a3/2 - 2)*(a3/2 +2)
d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)
e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)
000 (a, d, e)
a) x3 - 2 = x3 - (21/3)3 = (x - 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)
d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 - 3 a2/5 + 9)
f) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)
Seviye
5) Ayrı sayfalarda dört seçeneğe göre ayrı kartlar üzerinde çalışın
Farklı zorluk derecelerine sahip görevler, öğretmenin herhangi bir yönlendirmesi olmadan tamamlanır.
Hemen işi kontrol edip masama ve adamların yapraklarına işaretler koyuyorum.
000 (a, c, e, h)
a) 4*31/2/(31/2 - 3) = 4*31/2 /31/2*(1 - 31/2) = 4 / (1 - 31/2)
c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2
e) (а2/3 – в2/3)/(а1/3 + в1/3) = (а1/3)2 – (в1/3)2/(а1/3 + в1/3) = (а1/3 + v1/3)*(a1/3 – -1/3)/(1/3 + 1/3) = a1/3 – 1/3
h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 + (y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(x1/3 + y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)
7) Değişken derecelerde karmaşıklığa sahip bireysel kartlar üzerinde çalışın. Bazı alıştırmalarda, materyal karmaşık olduğundan ve zayıf çocukların işle başa çıkması zor olduğundan, öğretmenin önerileri vardır.
Ayrıca dört seçenek mevcuttur. Değerlendirme hemen gerçekleşir. Tüm puanları bir elektronik tabloya giriyorum.
Sorun № koleksiyondan
Öğretmen sorular sorar:
1. Problemde ne bulunmalı?
2. Bunun için bilmeniz gerekenler nelerdir?
3. 1 yaya ve 2 yaya zamanı nasıl ifade edilir?
4. Problemin durumuna göre 1 ve 2 yayaların sürelerini karşılaştırın ve bir denklem kurun.
Sorunun çözümü:
1 yayanın hızı x (km/h) olsun
X +1 (km/h) – hız 2 yaya
4/х (h) – yürüme süresi
4 / (x +1) (h) - ikinci yayanın zamanı
Problemin durumuna göre 4/х >4/ (х+1) 12 dakika
12 dak = 12/60 sa = 1/5 sa
bir denklem kurarız
X / 4 - 4 / (x + 1) \u003d 1/5
NOZ: 5x(x+1) ≠ 0
5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)
20x + 20 - 20x - x2 - x = 0
X2 + x -20 = 0
D \u003d 1 - 4 * (-20) \u003d 81, 81> 0, 2 k
x1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5 km / s - 1 yaya hızı
x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 - x>0 olduğundan görevin anlamına uymuyor
Cevap: 5 km / s - 2 yaya hızı
9) ders özeti: Evet arkadaşlar, bugün derste derece içeren ifadeleri dönüştürme bilgi, beceri, becerilerini pekiştirdik, kısaltılmış çarpma formüllerini uyguladık, ortak çarpanı parantezlerden çıkardık, işlenen materyali tekrarladık. Avantaj ve dezavantajlarını belirtiyorum.
Tablodaki dersi özetlemek.
Bulmaca | Mat. ısınmak | Ön. İş | Ind. iş K-1 | Ind. iş K-2 | ||||
10) Puanları açıklarım. Ev ödevi
Bireysel kartlar K - 1 ve K - 2
B - 1 ve B - 2'yi değiştiririm; B - 3 ve B - 4, eşdeğer oldukları için
Ders başvuruları.
1) Ödev kartları
1. basitleştirmek
a) (x1/2 - y1/2)2 + 2x1/2 y1/2
b) (a3/2 + 5a1\2)2 - 10a2
2. toplam olarak sunmak
a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)
b) (a1/2 - c1/2)*(a + a1/2 c1\2 + c)
3. ortak faktörü çıkarın
c) 151/3 +201/3
1. basitleştirmek
a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2
b) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1\8 - в1/8)
2. toplam olarak sunmak
a) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)
b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 - x1/3 y1\3 + y2/3)
3. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın
b) c1\3 - c
c) (2a)1/3 - (5a)1\3
2) B - 2 için kontrol kartı
a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4
b) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1/8 - в1/8) = (а1/4 + в1/4)*(а1/8)2 - ( â1/8)2 = (а1/4 + â1/4)*(а1/4 - â1/4) = (а1/4)2 - (â1/4)2 = a1/2 - â1/2
a) x0.5 y0.5* (x-0.5- y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2
b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 - x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 - x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y
a) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)
b) c1/3 - c \u003d c1/3 * (1 - c2/3)
c) (2a)1/3 - (5a)1/3 = a1/3*(21/3 - 51/3)
3) İlk bireysel çalışma için kartlar
a) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0
b) a – ben, a ≥ 0
1. Karelerin farkı olarak sunarak çarpanlara ayırın
a) a1/2 - b1/2
2. Bir fark veya küp toplamı olarak sunarak çarpanlara ayırın
a) c1/3 + d1/3
1. Karelerin farkı olarak sunarak çarpanlara ayırın
a) X1/2 + Y1/2
b) X1/4 - Y1/4
2. Bir fark veya küp toplamı olarak sunarak çarpanlara ayırın
4) ikinci bireysel çalışma için kartlar
a) (x - x1/2) / (x1/2 - 1)
İpucu: x1/2 payları parantez içine alın
b) (a - c) / (a1/2 - c1/2)
Not: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2
Kesri azalt
a) (21/4 - 2) / 5*21/4
İpucu: parantez 21/4
b) (a - c) / (5a1/2 - 5v1/2)
Not: a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2
Seçenek 3
1. Kesri azaltın
a) (x1/2 - x1/4)/x3/4
Talimat: braket x1/4
b) (а1/2 - в1/2) / (4а1/4 - 4в1/4)
Seçenek 4
Kesri azalt
a) 10/ (10 - 101/2)
b) (a - c) / (a2/3 + a1 \ 3b1 / 3 + B 1/3)
İfadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem "ana"dır.
Yani, harfler yerine bazı (herhangi bir) sayı yerine koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem çarpma ise, o zaman bir ürünümüz olur (ifade çarpanlara ayrılır).
Son eylem toplama veya çıkarma ise, bu ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla indirgenemeyeceği) anlamına gelir.
Kendiniz düzeltmek için birkaç örnek:
Örnekler:
Çözümler:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Bunun gibi birimleri “azaltmak” hala yeterli değildi:
İlk adım, çarpanlara ayırmak olmalıdır:
4. Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak bir paydaya getirmek.
Sıradan kesirleri toplamak ve çıkarmak iyi bilinen bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları toplar / çıkarırız.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve aralarında asaldır, yani ortak bölenleri yoktur. Bu nedenle, bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacaktır:
2. Burada ortak payda:
3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve sonra - olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi tamamen başka bir konudur, örneğin:
Basitten başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirler ile aynıdır: ortak bir payda buluruz, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları toplar / çıkarırız:
şimdi payda varsa benzerlerini getirebilir ve çarpanlara ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harf içerir
Harfsiz ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
Öncelikle ortak çarpanları belirliyoruz;
Sonra tüm ortak çarpanları bir kez yazıyoruz;
ve bunları yaygın olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için önce bunları basit çarpanlara ayırırız:
Ortak faktörleri vurguluyoruz:
Şimdi ortak çarpanları bir kez yazıyoruz ve onlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) tüm faktörleri ekliyoruz:
Bu ortak paydadır.
Gelelim mektuplara. Paydalar tam olarak aynı şekilde verilir:
Paydaları faktörlere ayırırız;
ortak (özdeş) çarpanları belirlemek;
tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
Bunları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpıyoruz.
Yani, sırayla:
1) paydaları faktörlere ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani ortak payda burada. İlk kesir, ikincisi - ile çarpılmalıdır:
Bu arada, bir numara var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, sadece hepsi farklı göstergelerle. Ortak payda şöyle olacaktır:
ölçüde
ölçüde
ölçüde
derece olarak.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Kesirlerin paydaları aynı nasıl yapılır?
Bir kesrin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde, bir kesrin pay ve paydasından aynı sayının çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmez. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrenildi?
Yani, başka bir sarsılmaz kural:
Kesirleri ortak paydaya getirdiğinizde sadece çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
İşte ve çoğaltın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere "temel çarpanlar" adı verilir.
Örneğin, temel bir faktördür. - fazla. Ama - hayır: faktörlere ayrıştırılır.
Peki ya ifade? İlköğretim mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
("" konusundaki çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla, harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Ve biz de onlarla aynı şeyi yapacağız.
Her iki paydanın da bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Güçteki ortak paydaya gidecek (nedenini hatırlıyor musun?).
Çarpan temeldir ve ortak noktaları yoktur, bu da ilk kesrin basitçe onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Bu paydaları panik içinde çarpmadan önce, onları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı mı düşünmeniz gerekiyor? Her ikisi de şunları temsil eder:
Harika! O zamanlar:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi, paydaları çarpanlarına ayırıyoruz. İlk paydada, onu basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - karelerin farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız, zaten çok benzerler ... Ve gerçek şu ki:
Öyleyse yazalım:
Yani, şöyle çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesrin önündeki işaret tam tersine değişti. Dikkat edin, bunu sık sık yapmanız gerekecek.
Şimdi ortak bir paydaya getiriyoruz:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamalıyız - küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının "toplamın karesi" formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünür:
A, toplamın tamamlanmamış karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonun çarpımıdır, iki katına çıkmış ürünü değildir. Toplamın eksik karesi, küp farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Ya zaten üç kesir varsa?
Evet aynısı! Her şeyden önce, paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olacağız:
Dikkat edin: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz, kesrin önündeki işaret tam tersi olur. İkinci parantezdeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret yine ters çevrilir. Sonuç olarak, o (kesirin önündeki işaret) değişmedi.
İlk paydayı tam olarak ortak paydaya yazarız ve sonra henüz yazılmamış olan tüm faktörleri ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa) ekleriz. Yani, şöyle gider:
Hmm ... Kesirlerle ne yapılması gerektiği açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: kesirleri nasıl ekleyeceğinizi biliyorsunuz, değil mi? Bu nedenle, ikilinin bir kesir haline geldiğinden emin olmalısınız! Unutmayın: kesir bir bölme işlemidir (aniden unuttuysanız, pay paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda, sayının kendisi değişmeyecek, ancak bir kesire dönüşecektir:
Tam olarak ne gerekli!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Neyse, en zor kısım artık bitti. Ve önümüzde en basit, ama aynı zamanda en önemlisi:
prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Unutmayın, böyle bir ifadenin değerini göz önünde bulundurarak:
saydın mı?
İşe yaramalı.
O yüzden hatırlatırım.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birkaç çarpma ve bölme varsa, bunları herhangi bir sırayla yapabilirsiniz.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemi yapıyoruz. Yine, herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade düzensiz olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantez içindeki ifadeyi değerlendirir, sonra çarpar veya böleriz.
Parantez içinde başka parantezler varsa ne olur? Bir düşünelim: parantez içinde bir ifade yazıyor. Bir ifadeyi değerlendirirken yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, parantezleri hesaplayın. Pekala, anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra diğer her şeyi.
Dolayısıyla, yukarıdaki ifade için eylemlerin sırası aşağıdaki gibidir (geçerli eylem kırmızı ile vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, hepsi basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil, değil mi?
Hayır, aynı! Sadece aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan işlemleri yapmak gerekir: benzerini getirmek, kesirler ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma eylemi olacaktır (kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırma için i kullanmanız veya ortak faktörü parantezlerden çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız, bir ifadeyi bir ürün veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Önce parantez içindeki ifadeyi sadeleştirelim. Burada kesir farkımız var ve amacımız onu bir çarpım veya bölüm olarak göstermek. Bu yüzden kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır, buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hala hatırlıyor musunuz?).
2) Şunları elde ederiz:
Kesirlerin çarpımı: daha kolay ne olabilir?
3) Şimdi kısaltabilirsiniz:
Tamam şimdi her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Önce kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Her şeyden önce, prosedürü tanımlayalım.
Önce parantez içindeki kesirleri ekleyelim, iki kesir yerine bir tane çıkacak.
Daha sonra kesirlere bölme işlemi yapacağız. Son kesir ile sonucu ekliyoruz.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi mevcut eylemi kırmızı ile renklendirerek tüm süreci göstereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Benzerlerimiz ne zaman olursa olsun, hemen getirmeniz tavsiye edilir.
2. Aynı şey kesirleri azaltmak için de geçerlidir: Azaltma fırsatı doğar doğmaz kullanılmalıdır. İstisna, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirlerdir: şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözmeniz için bazı görevler:
Ve en başında söz verdi:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.
Şimdi öğrenmeye devam edin!
İFADE DÖNÜŞÜMÜ. ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Temel sadeleştirme işlemleri:
- benzerlerini getirmek: benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- çarpanlara ayırma: ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak, uygulamak vb.
- kesir azaltma: bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydada ortak çarpanlar varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: sadece çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerde toplama ve çıkarma:
; - Kesirlerde çarpma ve bölme:
;
n'nin bir doğal sayı, m'nin bir tam sayı ve a derecesinin tabanının sıfırdan büyük olduğu a (m/n) biçiminin bir ifadesi, kesirli üslü derece denir. Ayrıca, aşağıdaki eşitlik doğrudur. n√(bir m) = bir (m/n) .
Bildiğimiz gibi, n'nin bir doğal sayı ve m'nin bir tam sayı olduğu m/n biçimindeki sayılara kesirli veya rasyonel sayılar denir. Yukarıdakilerden, herhangi bir rasyonel üs ve derecenin herhangi bir pozitif tabanı için derecenin tanımlandığını anlıyoruz.
Herhangi bir p,q rasyonel sayısı ve herhangi bir a>0 ve b>0 için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
- 1. (bir p)*(a q) = bir (p+q)
- 2. (a p): (b q) = a (p-q)
- 3. (p) q = bir (p*q)
- 4. (a*b) p = (bir p)*(b p)
- 5. (a/b) p = (bir p)/(b p)
Bu özellikler, derece içeren çeşitli ifadeleri kesirli üslerle dönüştürürken yaygın olarak kullanılır.
Kesirli üslü bir derece içeren ifadelerin dönüşüm örnekleri
Bu özelliklerin ifadeleri dönüştürmek için nasıl kullanılabileceğini gösteren birkaç örneğe bakalım.
1. 7 (1/4) * 7 (3/4) hesaplayın.
- 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.
2. 9 (2/3) : 9 (1/6) olarak hesaplayın.
- 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.
3. Hesaplayın (16 (1/3)) (9/4) .
- (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.
4. 24'ü (2/3) hesaplayın .
- 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.
5. Hesaplayın (8/27) (1/3) .
- (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.
6. ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) ifadesini sadeleştirin
- ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.
7. Hesaplayın (25 (1/5))*(125 (1/5)).
- (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.
8. İfadeyi basitleştirin
- (a (1/3) - bir (7/3))/(a (1/3) - bir (4/3)) - (a (-1/3) - bir (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
- (a (1/3) - bir (7/3))/(a (1/3) - bir (4/3)) - (a (-1/3) - bir (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
- = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
- = 1 + a - (1-a) = 2*a.
Gördüğünüz gibi, bu özellikleri kullanarak, derece içeren bazı ifadeleri kesirli üslerle büyük ölçüde basitleştirebilirsiniz.