Zlatý rez - čo to je? Sú Fibonacciho čísla? Čo majú spoločné špirála DNA, škrupina, galaxia a egyptské pyramídy? Fibonacciho špirála je šifrovaný prírodný zákon.

Leonardo Fibonacci je jedným z najväčších matematikov stredoveku. V jednom zo svojich diel „Kniha výpočtov“ Fibonacci popísal indoarabský systém počtu a výhody jeho použitia oproti rímskemu.

Definícia
Fibonacciho čísla alebo Fibonacciho postupnosť je číselná postupnosť, ktorá má množstvo vlastností. Napríklad súčet dvoch susedných čísel sekvencie udáva hodnotu nasledujúceho (napríklad 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 atď.), Čo potvrdzuje existenciu takzvaných Fibonacciho pomerov , tj konštantné pomery.

Fibonacciho sekvencia začína takto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Kompletná definícia Fibonacciho čísel

3.


Vlastnosti Fibonacciho sekvencie

4.

1. Pomer každého čísla k ďalšiemu stále viac a viac má tendenciu k 0,618, keď sa radové číslo zvyšuje. Pomer každého čísla k predchádzajúcemu má tendenciu k 1,618 (obrátene k 0,618). Číslo 0,618 sa nazýva (PI).

2. Pri delení každého čísla nasledujúcim číslom po jednom sa získa číslo 0,382; naopak - respektíve 2,618.

3. Voľbou pomerov týmto spôsobom získame základný súbor Fibonacciho koeficientov: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Spojenie medzi Fibonacciho sekvenciou a „zlatým pomerom“

6.

Fibonacciho sekvencia asymptoticky (blíži sa stále pomalšie) má tendenciu k nejakému konštantnému pomeru. Tento pomer je však iracionálny, to znamená, že ide o číslo s nekonečným, nepredvídateľným sledom desatinných číslic v zlomkovej časti. Nedá sa to presne vyjadriť.

Ak je ktorýkoľvek člen Fibonacciho postupnosti delený tým, ktorý mu predchádza (napríklad 13: 8), výsledkom bude hodnota, ktorá kolíše okolo iracionálnej hodnoty 1,61803398875 ... a raz za čas aj áno nedosiahnuť to. Ale aj keď sa to dotkne Večnosti, nie je možné presne poznať pomer až do posledného desatinného čísla. Kvôli tvrdosti ho preložíme do tvaru 1,618. Špeciálne názvy pre tento pomer sa začali dávať ešte predtým, ako ho Luca Pacioli (matematik z polovice storočia) nazval Božskou proporciou. Medzi jeho moderné názvy patria napríklad Zlatý pomer, Zlatý priemer a pomer rotujúcich štvorcov. Keplep nazval tento vzťah jedným z „pokladov geometrie“. V algebre je jej označenie všeobecne akceptované gréckym písmenom phi

Predstavme si zlatý rez na príklade úsečky.

Uvažujme segment s koncami A a B. Nech bod C rozdelí segment AB tak, že,

AC / CB = CB / AB alebo

AB / CB = CB / AC.

Môžete si to predstaviť takto: A -– C --– B

7.

Zlatý rez je také proporcionálne rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, v ktorom celý segment odkazuje na väčšiu časť, rovnako ako samotná väčšia časť na menšiu; alebo inými slovami, menší segment sa týka väčšieho, ako väčší všetkého.

8.

Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené nekonečnou iracionálnou frakciou 0,618 ... ak je AB brané ako jednotka, AC = 0,382 .. Ako už vieme, čísla 0,618 a 0,382 sú koeficienty Fibonacciho postupnosti.

9.

Fibonacciho a Zlatý pomer v prírode a histórii

10.


Je dôležité poznamenať, že Fibonacci akoby pripomínal jeho postupnosť ľudstvu. Poznali ju už starovekí Gréci a Egypťania. Odvtedy sa v prírode, architektúre, výtvarnom umení, matematike, fyzike, astronómii, biológii a mnohých ďalších oblastiach našli vzorce popísané Fibonacciho koeficientmi. Je úžasné, koľko konštánt je možné vypočítať pomocou Fibonacciho postupnosti a ako sa jej členy objavujú v obrovskom počte kombinácií. Nebolo by však prehnané tvrdiť, že nejde len o hru s číslami, ale o najdôležitejšie matematické vyjadrenie prírodných javov, aké bolo kedy objavené.

11.

Nasledujúce príklady ukazujú niektoré zaujímavé aplikácie tejto matematickej postupnosti.

12.

1. Škrupina je špirálovito navinutá. Ak ho rozložíte, získate dĺžku mierne nižšiu ako je dĺžka hada. Malá 10-centimetrová škrupina má špirálu dlhú 35 cm. Tvar špirálovito stočenej škrupiny upútal pozornosť Archimedesa. Ide o to, že pomer meraní obalových kudrliniek je konštantný a rovná sa 1,618. Archimedes študoval špirálu škrupín a odvodil pre ňu špirálu. Špirála odvodená z tejto rovnice je pomenovaná po ňom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je špirála Archimedes v technológiách široko používaná.

2. Rastliny a zvieratá. Dokonca aj Goethe zdôrazňoval sklon prírody k špirále. Špirálovité a špirálové usporiadanie listov na konároch stromov bolo zaznamenané už dávnejšie. Špirálu bolo možné vidieť v úprave slnečnicových semien, v šiškách, ananásoch, kaktusoch atď. Spoločná práca botanikov a matematikov vrhla svetlo na tieto úžasné prírodné úkazy. Ukázalo sa, že v usporiadaní listov na vetve slnečnicových semien, šiškách sa prejavuje séria Fibonacci, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu. Pavúk pletie pavučinu špirálovitým spôsobom. Špirálou sa točí hurikán. Vystrašené stádo sobov sa rozptýli po špirále. Molekula DNA je skrútená v dvojitej špirále. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Medzi cestnými trávami rastie nenápadná rastlina - čakanka. Pozrime sa naňho bližšie. Z hlavného stonky sa vytvoril proces. Prvý list sa nachádza priamo tam. Výstrel urobí silný vyhodenie do vesmíru, zastaví sa, uvoľní list, ale je kratší ako prvý, opäť urobí vyhodenie do vesmíru, ale s menšou silou uvoľní list ešte menšej veľkosti a opäť sa vysunie. Ak sa prvá emisia berie ako 100 jednotiek, potom druhá je 62 jednotiek, tretia je 38, štvrtá je 24 atď. Zlatému rezu podlieha aj dĺžka okvetných lístkov. V raste, dobývaní vesmíru, si rastlina zachovala určité rozmery. Impulzy jeho rastu postupne klesali úmerne so zlatým rezom.

Jašterica je viviparous. U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie príjemné pre naše oči - dĺžka jeho chvosta rovnako súvisí s dĺžkou zvyšku tela ako 62 až 38.

V rastlinnom aj živočíšnom svete vytrvalo preráža formatívna tendencia prírody - symetria vzhľadom na smer rastu a pohybu. Tu sa zlatý pomer objavuje v pomeroch častí kolmých na smer rastu. Príroda rozdelila na symetrické časti a zlaté proporcie. V častiach sa prejavuje opakovanie štruktúry celku.

Pierre Curie na začiatku tohto storočia formuloval niekoľko hlbokých myšlienok symetrie. Tvrdil, že nemožno uvažovať o symetrii akéhokoľvek telesa bez toho, aby sa zvážila symetria prostredia. Vzory zlatej symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v genetických štruktúrach živých organizmov. Tieto vzorce, ako je uvedené vyššie, sú v štruktúre jednotlivých orgánov osoby a tela ako celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a vizuálneho vnímania.

3. Priestor. Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm 18. storočia, pomocou tejto série (Fibonacci) zistil pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy

Jeden prípad však zdanlivo odporoval zákonu: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Sústredené pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objaveniu pásu asteroidov. Stalo sa to po smrti Titia na začiatku 19. storočia.

Séria Fibonacci je široko používaná: používa sa na reprezentáciu architektoniky živých bytostí a štruktúr vytvorených ľuďmi a štruktúry galaxií. Tieto skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselného radu na podmienkach jeho prejavu, čo je jedným zo znakov jeho univerzálnosti.

4. Pyramídy. Mnohí sa pokúsili odhaliť tajomstvá pyramídy v Gíze. Na rozdiel od iných egyptských pyramíd nejde o hrobku, ale skôr o nerozpustnú hádanku kombinácií čísel. Pozoruhodná vynaliezavosť, zručnosť, čas a práca architektov pyramídy, ktoré použili pri stavbe večného symbolu, naznačujú mimoriadny význam posolstva, ktoré chceli sprostredkovať budúcim generáciám. Ich éra bola preliterovaná, predhieroglyfická a symboly boli jediným prostriedkom na zaznamenávanie objavov. Kľúč k geometricko-matematickému tajomstvu pyramídy v Gíze, ktorý bol pre ľudstvo tak dlho záhadou, skutočne odovzdali Herodotovi chrámoví kňazi, ktorí ho informovali, že pyramída bola postavená tak, aby oblasť každá z jeho tvárí sa rovnala štvorcu svojej výšky.

Oblasť trojuholníka

356 x 440/2 = 78320

Štvorcová plocha

280 x 280 = 78400

Dĺžka hrany základne pyramídy v Gíze je 783,3 stôp (238,7 m), výška pyramídy je 484,4 stôp (147,6 m). Dĺžka základného rebra delená výškou vedie k pomeru Ф = 1,618. Výška 484,4 stôp zodpovedá 5813 palcom (5-8-13)-to sú čísla zo sekvencie Fibonacci. Tieto zaujímavé pozorovania naznačujú, že konštrukcia pyramídy je založená na pomere Φ = 1,618. Niektorí moderní vedci majú tendenciu interpretovať, že starovekí Egypťania ju postavili s jediným cieľom - odovzdať znalosti, ktoré chceli zachovať pre budúce generácie. Intenzívne štúdie pyramídy v Gíze ukázali, aké rozsiahle znalosti v matematike a astrológii boli v tej dobe. Vo všetkých vnútorných a vonkajších proporciách pyramídy zohráva ústrednú úlohu číslo 1,618.

Pyramídy v Mexiku. Egyptské pyramídy sú postavené nielen v súlade s dokonalými proporciami zlatého rezu, ale rovnaký jav sa vyskytuje aj v mexických pyramídach. Vzniká myšlienka, že egyptské aj mexické pyramídy postavili ľudia rovnakého pôvodu približne v rovnakom čase.

Vo vesmíre je stále veľa nevyriešených záhad, niektoré z nich už vedci dokázali identifikovať a popísať. Fibonacciho čísla a zlatý rez tvoria základ pre riešenie sveta okolo, budovanie jeho tvaru a optimálne vizuálne vnímanie človekom, pomocou ktorého cíti krásu a harmóniu.

Zlatý pomer

Princíp určovania veľkosti zlatého rezu je základom dokonalosti celého sveta a jeho častí v jeho štruktúre a funkciách, jeho prejav je možné vidieť v prírode, umení a technológiách. Doktrína zlatého rezu bola stanovená ako výsledok štúdií starovekých vedcov o povahe čísel.

Vychádza z teórie proporcií a pomerov rozdelení segmentov, ktorú vytvoril staroveký filozof a matematik Pythagoras. Dokázal, že pri rozdelení segmentu na dve časti: X (menší) a Y (väčší) bude pomer väčších k menším rovný pomeru ich súčtu (celého segmentu):

Výsledkom je rovnica: x 2 - x - 1 = 0, ktorý je riešený ako x = (1 ± √5) / 2.

Ak vezmeme do úvahy pomer 1 / x, potom sa rovná 1,618…

Dôkaz o použití zlatého rezu starovekými myslitelmi je uvedený v Euklidovej knihe „Začiatky“, napísanej v 3. storočí. Pred naším letopočtom, ktorý toto pravidlo použil na zostrojenie pravidelných päťuholníkov. Medzi Pythagorejcami je táto postava považovaná za posvätnú, pretože je symetrická aj asymetrická. Pentagram symbolizoval život a zdravie.

Fibonacciho čísla

Slávna kniha Liber abaci od matematika z Talianska Leonarda z Pisy, ktorý sa neskôr stal známym ako Fibonacci, vyšla v roku 1202. V nej vedec prvýkrát uvádza pravidelnosť čísel, v rade ktorých každé číslo predstavuje súčet 2 predchádzajúcich číslic. Poradie Fibonacciho čísel je nasledujúce:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atď.

Vedec tiež uviedol niekoľko vzorov:

• Akékoľvek číslo zo série, vydelené ďalším, sa bude rovnať hodnote, ktorá má tendenciu k 0,618. Navyše prvé Fibonacciho čísla nedávajú také číslo, ale ako sa budeme pohybovať od začiatku sekvencie, tento pomer bude stále presnejší.
• Ak vydelíme číslo z riadku predchádzajúcim, výsledok sa ponáhľa na 1,618.
• Jedno číslo delené ďalším za druhým zobrazí hodnotu, ktorá má tendenciu k 0,382.

Aplikáciu spojenia a zákonov zlatého rezu, Fibonacciho číslo (0,618) nájdeme nielen v matematike, ale aj v prírode, v histórii, v architektúre a stavebníctve a v mnohých ďalších vedách.

Archimédova špirála a zlatý obdĺžnik

Špirály, ktoré sú v prírode veľmi bežné, skúmal Archimedes a dokonca odvodil jej rovnicu. Špirálovitý tvar je založený na zákonoch zlatého rezu. Keď je odkrútený, získa sa dĺžka, na ktorú možno použiť proporcie a Fibonacciho čísla, krok sa rovnomerne zvyšuje.

Paralelu medzi Fibonacciho číslami a zlatým pomerom je možné vidieť vytvorením „zlatého obdĺžnika“ so stranami úmernými 1,618: 1. Je skonštruovaný tak, že prechádza z veľkého obdĺžnika na malý tak, aby dĺžky strán boli rovnaké ako čísla z radu. Jeho konštrukciu je možné vykonať v opačnom poradí, počínajúc políčkom „1“. Keď sú rohy tohto obdĺžnika spojené čiarami v strede ich priesečníka, získa sa Fibonacciho špirála alebo logaritmická špirála.

História používania zlatých proporcií

Mnoho starovekých architektonických pamiatok v Egypte bolo postavených pomocou zlatých rozmerov: slávne Cheopsove pyramídy a ďalšie. Architekti starovekého Grécka ich široko používali pri stavbe architektonických objektov, ako sú chrámy, amfiteátre, štadióny. Také proporcie boli napríklad použité pri stavbe starovekého chrámu Parthenon (Atény) a ďalších predmetov, ktoré sa stali majstrovskými dielami starovekej architektúry a demonštrovali harmóniu založenú na matematických zákonoch.

V neskorších storočiach záujem o Zlatý rez opadol a na vzorce sa zabudlo, ale opäť sa obnovilo v renesancii spolu s knihou františkánskeho mnícha L. Pacioli di Borgo „Božská proporcia“ (1509). Obsahoval ilustrácie Leonarda da Vinciho, ktorý upevnil nový názov „zlatý rez“. Vedecky dokázaných bolo aj 12 vlastností zlatého rezu a autor hovoril o tom, ako sa prejavuje v prírode, v umení a nazval ho „princíp budovania sveta a prírody“.

Vitruvian Man Leonardo

Kresba, pomocou ktorej Leonardo da Vinci v roku 1492 ilustroval knihu Vitruvius, zobrazuje ľudskú postavu v 2 polohách s roztiahnutými rukami. Postava je vpísaná do kruhu a štvorca. Táto kresba je považovaná za kanonické proporcie ľudského tela (muža), popísané Leonardom na základe jeho štúdie v pojednaniach o rímskom architektovi Vitruviovi.

Pupok je považovaný za stred tela ako rovnako vzdialený bod od konca rúk a nôh, pričom dĺžka ramien sa rovná výške osoby, maximálna šírka ramien = 1/8 výšky, vzdialenosť od temena hrudníka po vlasy = 1/7, od temena hrudníka po temeno hlavy = 1/6 atď.

Od tej doby sa kresba používa ako symbol na zobrazenie vnútornej symetrie ľudského tela.

Leonardo použil termín „zlatý pomer“ na označenie proporcionálnych vzťahov k postave osoby. Napríklad vzdialenosť od pása k chodidlám súvisí s rovnakou vzdialenosťou od pupka po temeno hlavy, ako aj s výškou k prvej dĺžke (od pása nadol). Tento výpočet sa robí podobne ako pomer segmentov pri výpočte zlatého rezu a má tendenciu k 1,618.

Všetky tieto harmonické proporcie umelci často používajú na vytváranie krásnych a pôsobivých kúskov.

Štúdie zlatého rezu v 16.-19. storočí

S využitím zlatého rezu a Fibonacciho čísel pokračuje výskum proporcií stáročia. Paralelne s Leonardom da Vinci pracoval na vývoji teórie správnych proporcií ľudského tela aj nemecký umelec Albrecht Durer. Na tento účel dokonca vytvoril špeciálny kompas.

V 16. storočí. otázka vzťahu medzi Fibonacciho číslom a zlatým rezom bola predmetom prác astronóma I. Keplera, ktorý ako prvý uplatnil tieto pravidlá v botanike.

Na zlatý rez čakal v 19. storočí nový „objav“. s vydaním „Estetického výskumu“ nemeckého vedca profesora Zeisiga. Tieto proporcie povýšil na absolútne a oznámil, že sú univerzálne pre všetky prírodné úkazy. Vykonal štúdie s veľkým počtom ľudí, alebo skôr s ich telesnými proporciami (asi 2 000), na základe ktorých boli vyvodené závery o štatisticky potvrdených vzorcoch v pomeroch rôznych častí tela: dĺžka ramien, predlaktia, ruky, prsty a pod.

Skúmali sa aj predmety umenia (vázy, architektonické štruktúry), hudobné tóny, dimenzie pri písaní básní - Zeisig to všetko reflektoval dĺžkami segmentov a čísel, predstavil aj termín „matematická estetika“. Po obdržaní výsledkov sa ukázalo, že je získaná Fibonacciho séria.

Fibonacciho číslo a zlatý rez v prírode

V rastlinnom a živočíšnom svete existuje tendencia vytvárať formácie vo forme symetrie, ktorá sa pozoruje v smere rastu a pohybu. Rozdelenie na symetrické časti, v ktorých sa pozorujú zlaté proporcie, je vzor vlastný mnohým rastlinám a zvieratám.

Prírodu okolo nás možno opísať pomocou Fibonacciho čísel, napríklad:

• umiestnenie listov alebo konárov akýchkoľvek rastlín, ako aj vzdialenosti, súvisia s počtom daných čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a ďalej;
• slnečnicové semená (šupiny na šiškách, ananásové bunky), usporiadané v dvoch radoch pozdĺž skrútených špirál v rôznych smeroch;
• pomer dĺžky chvosta a celého tela jašterice;
• tvar vajíčka, ak podmienene nakreslíte čiaru cez jeho širokú časť;
• pomer veľkosti prstov na ruke človeka.

A samozrejme, najzaujímavejšie tvary sú špirálovité ulity slimákov, vzory na pavučinách, pohyb vetra vo vnútri hurikánu, dvojitá špirála v DNA a štruktúra galaxií - všetky obsahujú sekvenciu Fibonacciho čísel .

Použitie zlatého rezu v umení

Vedci, ktorí hľadajú príklady použitia zlatého rezu v umení, podrobne skúmajú rôzne architektonické objekty a obrazy. Známe sú sochárske diela, ktorých tvorcovia sa držali zlatých proporcií - sochy olympského Dia, Apolla Belvedera a

Jeden z výtvorov Leonarda da Vinciho - „Portrét Mony Lisy“ - je predmetom výskumu vedcov už mnoho rokov. Zistili, že kompozícia diela pozostáva výlučne zo „zlatých trojuholníkov“, ktoré spolu vytvárajú pravidelnú päťuholníkovú hviezdu. Všetky da Vinciho diela sú dôkazom toho, ako hlboké boli jeho znalosti v štruktúre a proporciách ľudského tela, vďaka čomu dokázal zachytiť neskutočne tajomný úsmev La Gioconda.

Zlatý pomer v architektúre

Vedci napríklad študovali architektonické majstrovské diela vytvorené podľa pravidiel „zlatého rezu“: egyptské pyramídy, Panteón, Parthenon, Katedrála Notre Dame de Paris, Katedrála sv. Bazila atď.

Parthenon, jedna z najkrajších budov starovekého Grécka (5. storočie pred n. L.), Má 8 stĺpcov a 17 na rôznych stranách, pomer jeho výšky k dĺžke strán je 0,618. Výčnelky na jeho fasádach sú vyrobené podľa „zlatého rezu“ (foto nižšie).

Jeden z vedcov, ktorý vynašiel a úspešne aplikoval vylepšenie modulárneho systému proporcií pre architektonické objekty (takzvaný „modulátor“), bol francúzsky architekt Le Corbusier. Modulátor je založený na meracom systéme spojenom s podmieneným rozdelením na časti ľudského tela.

Ruský architekt M. Kazakov, ktorý postavil niekoľko obytných budov v Moskve, ako aj budovy Senátu v Kremli a Golitsynskej nemocnice (dnes 1. klinika pomenovaná po NI Pirogov), bol jedným z architektov, ktorí v r. dizajn a konštrukcia o zlatom pomere.

Aplikácia proporcií v dizajne

V odevnom dizajne robia všetci módni návrhári nové obrázky a modely, berúc do úvahy proporcie ľudského tela a pravidlá zlatého rezu, aj keď od prírody nie všetci ľudia majú ideálne proporcie.

Pri plánovaní krajinného dizajnu a vytváraní objemových kompozícií parku pomocou rastlín (stromov a kríkov), fontán a malých architektonických objektov je možné uplatniť aj zákony „božských rozmerov“. Koniec koncov, kompozícia parku by mala byť zameraná na vytvorenie dojmu na návštevníka, ktorý sa v ňom môže voľne pohybovať a nájsť kompozičné centrum.

Všetky prvky parku sú v takom pomere, že pomocou geometrickej štruktúry, vzájomného usporiadania, osvetlenia a svetla na človeka urobia dojem harmónie a dokonalosti.

Aplikácia zlatého rezu v kybernetike a inžinierstve

Vzory zlatého rezu a Fibonacciho čísla sa prejavujú aj v energetických prechodoch, v procesoch prebiehajúcich s elementárnymi časticami, ktoré tvoria chemické zlúčeniny, vo vesmírnych systémoch, v genetickej štruktúre DNA.

Podobné procesy sa vyskytujú v ľudskom tele, prejavujúce sa v biorytmoch jeho života, v pôsobení orgánov, napríklad mozgu alebo zraku.

Algoritmy a vzorce zlatých rozmerov sú široko používané v modernej kybernetike a informatike. Jednou z jednoduchých úloh, ktoré majú začínajúci programátori vyriešiť, je napísať vzorec a pomocou súčtu programovacích jazykov určiť súčet Fibonacciho čísel do určitého počtu.

Moderný výskum teórie zlatého rezu

Od polovice 20. storočia záujem o problémy a vplyv vzorov zlatých proporcií na ľudský život prudko rastie a zo strany mnohých vedcov rôznych profesií: matematikov, výskumníkov etnológov, biológov, filozofov, lekárov robotníci, ekonómovia, hudobníci atď.

V USA od 70. rokov vychádza časopis The Fibonacci Quarterly, kde sú publikované práce na túto tému. V tlači existujú práce, v ktorých sa zovšeobecnené pravidlá zlatého rezu a Fibonacciho série používajú v rôznych odvetviach poznania. Napríklad na kódovanie informácií, chemický výskum, biologický atď.

To všetko potvrdzuje závery starovekých a moderných vedcov, že zlatý rez multilaterálne súvisí so zásadnými problémami vedy a prejavuje sa v symetrii mnohých výtvorov a javov sveta okolo nás.

podľa knihy B. Biggsa „živý plot vyšiel z hmly“

O číslach Fibonacciho a obchodovaní

Na úvod k tejto téme sa krátko vráťme k technickej analýze. Stručne povedané, technická analýza má za cieľ predpovedať budúci pohyb ceny majetku na základe historických údajov z minulosti. Najslávnejšie znenie jeho priaznivcov je, že cena už obsahuje všetky potrebné informácie. Implementácia technickej analýzy začala vývojom špekulácií s akciami a pravdepodobne ešte nie je úplne dokončená, pretože potenciálne sľubuje neobmedzené zisky. Najslávnejšie techniky (termíny) v technickej analýze sú úrovne podpory a odporu, japonské svietniky, vzory, ktoré predznamenávajú zvrátenie ceny atď.

Paradox situácie podľa mňa spočíva v nasledujúcom - väčšina opísaných metód sa natoľko rozšírila, že napriek nedostatku dôkazovej základne o ich účinnosti skutočne dostali možnosť ovplyvniť správanie trhu. Preto aj skeptici, ktorí používajú základné údaje, by mali tieto koncepty zvážiť jednoducho preto, že ich zohľadňuje veľmi veľký počet ďalších hráčov („technici“). Technická analýza môže na histórii dobre fungovať, ale prakticky nikto nie je schopný na nej v praxi dôsledne zarábať - zbohatnúť je oveľa jednoduchšie vydaním veľkého nákladu knihy „Ako sa stať milionárom pomocou technickej analýzy“. .

V tomto zmysle stojí bokom Fibonacciho teória, ktorá sa používa aj na predpovedanie cien na rôzne obdobia. Jeho nasledovníci sa zvyčajne označujú ako „vodcovia vĺn“. Vyniká, pretože sa neobjavuje súčasne s trhom, ale oveľa skôr - až 800 rokov. Ďalšou z jeho zvláštností je, že teória našla svoj odraz takmer ako svetový koncept na opis všetkého a všetkých a trh je len špeciálnym prípadom jeho aplikácie. Efektívnosť teórie a obdobie jej existencie jej poskytujú nových priaznivcov i nové pokusy zostaviť na jej základe najmenej kontroverzný a všeobecne akceptovaný popis správania sa trhov. Ale bohužiaľ, teória nepokročila ďalej než jednotlivé úspešné predpovede trhu, ktoré možno stotožniť so šťastím.

Podstata Fibonacciho teórie

Fibonacci žil dlho, najmä na svoju dobu, život, ktorý venoval riešeniu množstva matematických problémov, pričom ich formuloval vo svojom rozsiahlom diele „Kniha Abacus“ (začiatok 13. storočia). Vždy ho zaujímala mystika čísel - pravdepodobne nebol o nič menej geniálny ako Archimedes alebo Euclid. Problémy súvisiace s kvadratickými rovnicami položil a čiastočne vyriešil pred Fibonaccim napríklad slávny Omar Khayyam, vedec a básnik; Fibonacci však sformuloval problém chovu králikov, závery, z ktorých mu priniesol to, čo umožnilo v storočiach nestratiť jeho meno.

Stručne povedané, úloha je nasledovná. Dvojica králikov bola umiestnená na mieste ohradenom zo všetkých strán múrom a každý pár králikov každý druhý mesiac od druhého mesiaca svojej existencie porodí ďalší pár. Reprodukcia králikov v čase bude popísaná sekvenciou: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 atď. Z matematického hľadiska sa sekvencia ukázala byť jednoducho jedinečná, pretože mala niekoľko vynikajúcich vlastností:

• súčet akýchkoľvek dvoch po sebe idúcich čísel je ďalším číslom v poradí;

• pomer každého čísla v sekvencii, počnúc piatym, k predchádzajúcemu, je 1,618;

• rozdiel medzi druhou mocninou akéhokoľvek čísla a druhou mocninou čísiel dvoch pozícií vľavo bude Fibonacciho číslo;

• súčet druhých mocnín susedných čísel bude Fibonacciho číslo, čo sú dve polohy za väčším zo štvorcových čísel

Z týchto záverov je najzaujímavejší druhý, pretože používa číslo 1,618, známe ako Zlatý pomer. Toto číslo poznali už starovekí Gréci, ktorí ho použili pri stavbe Parthenonu (mimochodom, podľa niektorých správ, centrálna banka slúžila Grékom). Nemenej zaujímavý je fakt, že číslo 1,618 nájdete v prírode na mikro- aj na makrách - od špirálových závitov na škrupine slimáka až po veľké špirály kozmických galaxií. Pyramídy v Gíze, ktoré vytvorili starovekí Egypťania, počas svojej stavby obsahovali aj niekoľko parametrov Fibonacciho radu naraz. Obdĺžnik, ktorého jedna strana je 1,618 krát väčšia ako druhá, vyzerá pre oko najpríjemnejšie - tento pomer použil Leonardo da Vinci pre svoje obrazy a v každodennejšom zmysle sa niekedy používal na vytváranie okien alebo dvere. Aj vlnu, ako na obrázku na začiatku článku, možno znázorniť ako Fibonacciho špirálu.

V živej prírode sa Fibonacciho sekvencia prejavuje nemenej často - možno ju nájsť v pazúroch, zuboch, slnečniciach, pavučinách a dokonca aj v reprodukcii baktérií. Ak je to žiaduce, konzistencia sa nachádza takmer vo všetkom, vrátane ľudskej tváre a tela. Napriek tomu existuje názor, že mnohé tvrdenia, ktoré nachádzajú Fibonacciho čísla v prírodných a historických javoch, sú nesprávne - to je bežný mýtus, ktorý sa často ukazuje ako nepresný k požadovanému výsledku.

Fibonacciho čísla na finančných trhoch

Jeden z prvých, ktorý sa najviac podieľal na aplikácii Fibonacciho čísel na finančný trh, bol R. Elliot. Jeho práca nebola zbytočná v tom zmysle, že opisy trhu pomocou Fibonacciho teórie sa často nazývajú „Elliottove vlny“. Rozvoj trhov tu vychádzal z modelu ľudského rozvoja zo supercyklov s tromi krokmi vpred a dvoma krokmi späť. Skutočnosť, že sa ľudstvo vyvíja nelineárne, je zrejmá takmer každému - znalosti starovekého Egypta a atomistické učenie Demokrita sa v stredoveku úplne stratili, t.j. asi po 2000 rokoch; 20. storočie vyvolalo takú hrôzu a bezvýznamnosť ľudského života, akú bolo ťažké si predstaviť ani v ére púnskych vojen Grékov. Aj keď teóriu krokov a ich počet prijmeme za pravdivých, veľkosť každého kroku zostáva nejasná, vďaka čomu sú Elliotove vlny porovnateľné s prediktívnou silou hláv a chvostov. Východiskový bod a správny výpočet počtu vĺn boli a pravdepodobne budú hlavnou slabinou teórie.

Napriek tomu mala teória lokálne úspechy. Bob Pretcher, ktorý môže byť považovaný za študenta Elliota, správne predpovedal býčí trh na začiatku 80. rokov a rok 1987 - ako kľúčový rok. Skutočne sa to stalo, po čom sa Bob očividne cítil ako génius - prinajmenšom v očiach ostatných sa z neho definitívne stal investičný guru. Predplatné spoločnosti Prechter Elliott Wave Theorist v tom roku narástlo na 20 000.Začiatkom 90. rokov však upadal, pretože predpovedané „skazy a šero“ amerického trhu sa rozhodli trochu odložiť. Na japonský trh to však fungovalo a množstvo zástancov teórie, ktorí tam „meškali“ o jednu vlnu, prišli buď o kapitál, alebo o kapitál klientov svojich spoločností. Rovnakým spôsobom a s rovnakým úspechom sa teória často pokúša uplatniť pri obchodovaní na devízovom trhu.

Teória pokrýva rôzne obdobia obchodovania - od týždenných, čo ho spája so štandardnými stratégiami technickej analýzy, až po výpočet na desaťročia, t.j. vniká na územie zásadných predpovedí. Je to možné zmenou počtu vĺn. Slabé stránky teórie, ktoré boli uvedené vyššie, umožňujú jej prívržencom hovoriť nie o nekonzistentnosti vĺn, ale o vlastných chybných výpočtoch vrátane nesprávneho určenia počiatočnej polohy. Vyzerá to ako bludisko - aj keď máte správnu mapu, môžete sa po nej prejsť, iba ak presne rozumiete, kde sa nachádzate. V opačnom prípade je karta zbytočná. V prípade Elliottových vĺn existujú všetky znaky pochybovania nielen o správnosti jeho umiestnenia, ale aj o správnosti karty ako takej.

závery

Vlnový vývoj ľudstva má skutočný základ - v stredoveku sa vlny inflácie a deflácie navzájom striedali, keď vojny nahradili relatívne pokojný pokojný život. Pozorovanie Fibonacciho sekvencie v prírode, aspoň v niektorých prípadoch, je tiež nepochybné. Každý má preto právo dať vlastnú odpoveď na otázku, kto je Boh: matematik alebo generátor náhodných čísel. Môj osobný názor je, že hoci celú ľudskú históriu a trhy je možné reprezentovať v koncepte vlny, nikto nemôže predpovedať výšku a trvanie každej vlny.

200 rokov pozorovania amerického trhu a viac ako 100 rokov zvyšku zároveň dáva najavo, že akciový trh rastie, prechádza rôznymi obdobiami rastu a stagnácie. Táto skutočnosť úplne postačuje na dlhodobé zisky na akciovom trhu bez toho, aby sa uchýlili ku kontroverzným teóriám a zverili im viac kapitálu, ako by malo byť v rámci primeraných rizík.

Poďme zistiť, čo je spoločné medzi staroegyptskými pyramídami, obrazom Leonarda da Vinciho „Mona Lisa“, slnečnicou, slimákom, šiškou a ľudskými prstami?

Odpoveď na túto otázku sa skrýva v úžasných číslach, ktoré boli objavené taliansky stredoveký matematik Leonardo z Pisy, známejší pod menom Fibonacci (nar. c. 1170 - zomrel po 1228), taliansky matematik ... Cestovaním na východe som sa zoznámil s úspechmi arabskej matematiky; prispelo k ich presunu na Západ.

Po jeho objave sa tieto čísla začali nazývať menom slávneho matematika. Úžasná podstata Fibonacciho sekvencie je že každé číslo v tomto poradí je získané zo súčtu dvoch predchádzajúcich čísel.

Čísla tvoriace postupnosť:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

sa nazývajú „Fibonacciho čísla“ a samotná sekvencia sa nazýva Fibonacciho postupnosť.

V číslach Fibonacciho je jedna veľmi zaujímavá funkcia. Pri delení ľubovoľného čísla zo sekvencie číslom pred ním v riadku bude výsledkom vždy hodnota kolísajúca okolo iracionálnej hodnoty 1,61803398875 ... a v priebehu času buď stúpajúca, alebo nedosahujúca ju. (Poznámka: iracionálne číslo, t.j. číslo, ktorého desatinné zastúpenie je nekonečné a nie periodické)

Navyše, po 13. v poradí sa tento výsledok delenia stáva neobmedzene konštantný ... Práve tento konštantný počet divízií v stredoveku sa nazýval Božská proporcia a v dnešnej dobe sa nazýva zlatý rez, zlatá stredná cesta alebo zlatý pomer. ... V algebre je toto číslo označené gréckym písmenom phi (Ф)

Zlatý pomer = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ľudské telo a zlatý rez

Umelci, vedci, módni návrhári, návrhári robia svoje výpočty, kresby alebo náčrty na základe pomeru zlatého rezu. Používajú merania z ľudského tela, tiež vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier, než vytvorili svoje majstrovské diela, vzali parametre ľudského tela, vytvorené podľa zákona Zlatého pomeru.

Najdôležitejšia kniha všetkých moderných architektov, referenčná kniha E. Neuferta „Building Design“ obsahuje základné výpočty parametrov ľudského tela, obsahujúce zlatý pomer.

Proporcie rôznych častí nášho tela tvoria číslo veľmi blízke zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého rezu, potom je vzhľad alebo telo osoby považované za dokonale zložené. Princíp výpočtu zlatej miery na ľudskom tele je možné znázorniť ako diagram:

M / m = 1,618

Prvý príklad zlatého rezu v štruktúre ľudského tela:
Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi nohami človeka a bodom pupka ako mernú jednotku, potom je výška osoby ekvivalentná 1,618.

Okrem toho existuje niekoľko ďalších základných zlatých proporcií nášho tela:

* vzdialenosť od končekov prstov k zápästiu k lakťu je 1: 1,618;

* vzdialenosť od úrovne ramien po temeno hlavy a veľkosť hlavy je 1: 1,618;

* vzdialenosť od bodu pupka k temenu hlavy a od úrovne ramien k temenu hlavy je 1: 1,618;

* vzdialenosť bodu pupka od kolien a od kolien k chodidlám je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k špičke horného pera a od špičky horného pera k nosným dierkam je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k hornej línii obočia a od hornej línie obočia k temenu je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k hornej línii obočia a od hornej línie obočia k temenu je 1: 1,618:

Zlatý pomer vo funkciách ľudskej tváre ako kritérium dokonalej krásy.

V štruktúre čŕt človeka je tiež veľa príkladov, ktoré sa hodnotovo približujú vzorcu zlatého rezu. Neponáhľajte sa však hneď za vládcom zmerať tváre všetkým ľuďom. Pretože presná zhoda so zlatým rezom podľa vedcov a ľudí z umenia, výtvarníkov a sochárov existuje iba u ľudí s dokonalou krásou. Presná prítomnosť zlatého rezu v tvári človeka je v skutočnosti ideálom krásy pre ľudské oko.

Ak napríklad spočítame šírku dvoch predných horných zubov a vydelíme ich čiastkou výškou zubov, potom po získaní čísla Zlatý pomer možno tvrdiť, že štruktúra týchto zubov je ideálna.

Na ľudskej tvári sú ďalšie inkarnácie pravidla zlatého rezu. Tu sú niektoré z týchto vzťahov:

* Výška tváre / šírka tváre;

* Stredový bod spojenia pier so základňou nosa / dĺžka nosa;

* Výška tváre / vzdialenosť od špičky brady k stredovému bodu spojenia pier;

* Šírka úst / šírka nosa;

* Šírka nosa / vzdialenosť medzi nozdrami;

* Vzdialenosť medzi zreničkami / vzdialenosť medzi obočím.

Ľudská ruka

Stačí, ak si teraz dlane priblížite k sebe a pozorne sa pozriete na ukazovák, a hneď v ňom nájdete vzorec zlatého rezu. Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov.

* Súčet prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta a udáva číslo zlatého rezu (bez palca);

* Pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa navyše rovná aj zlatému rezu;

* Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (bez palca). Každá ruka má 5 prstov, to je spolu 10, ale s výnimkou dvoch biphalangeálnych palcov je podľa princípu zlatého rezu vytvorených iba 8 prstov. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú čísla Fibonacciho postupnosti:

Zlatý podiel na štruktúre ľudských pľúc

Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger počas fyzických a anatomických štúdií zistil, že zlatý pomer existuje aj v štruktúre ľudských pľúc.

Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria ľudské pľúca, spočíva v ich asymetrii. Priedušky sú tvorené dvoma hlavnými dýchacími cestami, z ktorých jeden (vľavo) je dlhší a druhý (vpravo) je kratší.

* Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Pomer dĺžky krátkych a dlhých priedušiek je navyše zlatým pomerom a je 1: 1,618.

Štruktúra zlatého ortogonálneho štvoruholníka a špirály

Zlatý rez je také proporcionálne rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, v ktorom celý segment odkazuje na väčšiu časť rovnakým spôsobom, ako samotná väčšia časť odkazuje na menšiu časť; alebo inými slovami, menší segment sa týka väčšieho, ako väčší všetkého.

V geometrii sa obdĺžnik s týmto pomerom strán nazýva zlatý obdĺžnik. Jeho dlhé strany sú v porovnaní s krátkymi stranami v pomere 1,168: 1.

Zlatý obdĺžnik má tiež mnoho úžasných vlastností. Zlatý obdĺžnik má mnoho neobvyklých vlastností. Odrezaním štvorca zo zlatého obdĺžnika, ktorého strana sa rovná menšej strane obdĺžnika, opäť získame menší zlatý obdĺžnik. Tento proces môže pokračovať neobmedzene dlho. Ako pokračujeme vo vykrajovaní štvorcov, budú nám vznikať stále menšie zlaté obdĺžniky. Navyše budú umiestnené pozdĺž logaritmickej špirály, ktorá je dôležitá v matematických modeloch prírodných predmetov (napríklad ulity slimákov).

Špirálový pól leží v priesečníku uhlopriečok počiatočného obdĺžnika a prvého vertikálneho rezu, ktorý sa má rezať. Na týchto uhlopriečkach navyše ležia uhlopriečky všetkých nasledujúcich zmenšujúcich sa zlatých obdĺžnikov. Samozrejme, existuje aj zlatý trojuholník.

Anglický dizajnér a estetik William Charlton uviedol, že ľudia nájdu špirálové tvary príjemné pre oko a používajú ich už tisícročia, pričom to vysvetľuje takto:

„Páči sa nám vzhľad špirály, pretože vizuálne ju môžeme ľahko vidieť.“

V prírode

* Pravidlo zlatého rezu, ktoré je základom štruktúry špirály, sa v prírode vyskytuje veľmi často vo výtvoroch, ktoré sú krásou neporovnateľné. Najživšie príklady - špirálovitý tvar je možné vidieť na usporiadaní slnečnicových semien a na šiškách, ananásoch, kaktusoch, štruktúre okvetných lístkov ruží atď.;

* Botanici zistili, že pri usporiadaní listov na vetve, slnečnicových semenách alebo šiškách sa jasne prejavuje séria Fibonacci, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu;

Najvyšší Pán stanovil pre každé svoje stvorenie špeciálnu mieru a proporcionalitu, čo potvrdzujú príklady nachádzajúce sa v prírode. Je možné uviesť mnoho príkladov, keď proces rastu živých organizmov prebieha v prísnom súlade s tvarom logaritmickej špirály.

Všetky pružiny v cievke majú rovnaký tvar. Matematici zistili, že aj pri zväčšovaní veľkosti prameňov zostáva tvar špirály nezmenený. V matematike neexistuje žiadna iná forma, ktorá by mala rovnaké jedinečné vlastnosti ako špirála.

Štruktúra mušlí

Vedci, ktorí študovali vnútornú a vonkajšiu štruktúru lastúr mäkkýšov mäkkýšov žijúcich na dne morí, uviedli:

"Vnútorný povrch škrupín je bezchybne hladký, zatiaľ čo vonkajší povrch je pokrytý drsnosťou a nepravidelnosťami." Mäkkýš bol v škrupine, a preto musel byť vnútorný povrch škrupiny dokonale hladký. Vonkajšie rohy-ohyby škrupiny zvyšujú jej pevnosť, tvrdosť a tým zvyšujú jej pevnosť. Dokonalosť a úžasná inteligencia štruktúry škrupiny (slimáka) je úžasná. Špirálová predstava škrupín je dokonalým geometrickým tvarom a je ohromujúca vo svojej vyleštenej kráse. “

Vo väčšine slimákov, ktoré majú škrupiny, škrupina rastie v logaritmickej špirále. Nie je však pochýb o tom, že tieto nerozumné tvory nemajú predstavu nielen o logaritmickej špirále, ale dokonca ani nemajú najjednoduchšie matematické znalosti na to, aby si vytvorili špirálovitú škrupinu.

Ale ako potom mohli tieto nerozumné bytosti určiť a samy si zvoliť ideálnu formu rastu a existencie vo forme špirálovej škrupiny? Mohli by tieto živé tvory, ktoré vedci sveta nazývajú primitívne formy života, vypočítať, že by logaritmická forma škrupiny bola pre ich existenciu ideálna?

Samozrejme, že nie, pretože takýto plán nie je možné realizovať bez prítomnosti rozumu a znalostí. Ale ani primitívne mäkkýše, ani nevedomá príroda, ktorú však niektorí vedci nazývajú tvorcom života na Zemi (?!)

Pokúšať sa vysvetliť vznik takej aj tej najprimitívnejšej formy života náhodnou zhodou určitých prírodných okolností je prinajmenšom absurdné. Je zrejmé, že tento projekt je vedomou tvorbou.

Biológ Sir D'arkey Thompson nazýva tento typ rastu mušlí "Rastová forma škriatkov."

Sir Thompson uvádza nasledujúci komentár:

"Neexistuje jednoduchší systém ako rast mušlí, ktoré rastú a proporcionálne sa rozširujú a zachovávajú rovnaký tvar." Škrupina, prekvapivo, rastie, ale nikdy nezmení tvar. “

Nautilus s priemerom niekoľko centimetrov je najdramatickejším príkladom rastu trpaslíka. S. Morrison opisuje tento proces rastu nautilu nasledujúcim spôsobom, ktorý je dosť ťažké naplánovať dokonca aj s ľudskou mysľou:

"Vo vnútri ulity nautilus je veľa oddelených miestností s priehradkami z perlete a samotná škrupina vo vnútri je špirála, ktorá sa od stredu rozširuje." Ako nautilus rastie, v prednej časti škrupiny rastie ďalšia miestnosť, ale už väčšia ako predchádzajúca, a priečky miestnosti, ktoré zostali, sú pokryté vrstvou perlete. Špirála sa teda proporcionálne neustále rozširuje. “

Tu je len niekoľko typov špirálových škrupín s logaritmickým rastom v súlade s ich vedeckými názvami:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Všetky objavené fosílie škrupín mali tiež vyvinutý špirálovitý tvar.

Logaritmická forma rastu sa nachádza v živočíšnej ríši nielen u mäkkýšov. Rohy antilop, divých kôz, baranov a ďalších podobných zvierat sa tiež vyvíjajú vo forme špirály podľa zákonov zlatého rezu.

Zlatý rez v ľudskom uchu

Vo vnútornom uchu človeka je orgán nazývaný kochlea („slimák“), ktorý plní funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto štruktúra podobná kosti je naplnená tekutinou a je vytvorená aj vo forme slimáka obsahujúceho stabilný logaritmický špirálový tvar = 73 ° 43 ’.

Rohy a kly zvierat vyvíjajúce sa v špirálovitom tvare

Kly slonov a vyhynuté mamuty, levy pazúry a papagáje majú logaritmické tvary a pripomínajú tvar osi, ktorá má tendenciu sa meniť na špirálu. Pavúky vždy točia svoje siete v logaritmickej špirále. Štruktúra mikroorganizmov, ako je planktón (druhy globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae a trochida), má tiež špirálovitý tvar.

Zlatý rez v štruktúre mikrosvetov

Geometrické tvary sa neobmedzujú iba na trojuholníky, štvorce, päťuholníky alebo šesťuholníky. Ak tieto postavy navzájom spojíme rôznymi spôsobmi, získame nové trojrozmerné geometrické tvary. Príkladom sú tvary ako kocka alebo pyramída. Okrem nich však existujú aj ďalšie trojrozmerné figúrky, s ktorými sme sa v bežnom živote nemuseli stretnúť a ktorých mená počujeme možno prvýkrát. Medzi tieto trojrozmerné figúrky patrí štvorsten (pravidelná štvorstranná figúrka), oktaedrón, dodekahedron, icosahedron atď. Dodekahedron pozostáva z 13 päťuholníkov, icosahedron z 20 trojuholníkov. Matematici poznamenávajú, že tieto údaje sú matematicky veľmi ľahko transformovateľné a ich transformácia prebieha podľa vzorca pre logaritmickú špirálu zlatého rezu.

V mikrokozme sú všadeprítomné trojrozmerné logaritmické formy postavené podľa zlatých proporcií. ... Mnoho vírusov má napríklad trojrozmerný geometrický tvar icosahedronu. Asi najznámejším z týchto vírusov je vírus Adeno. Proteínový obal adenovírusu je vytvorený z 252 jednotiek proteínových buniek usporiadaných v špecifickej sekvencii. V každom rohu ikosahedronu je 12 jednotiek proteínových buniek vo forme päťuholníkového hranola a z týchto rohov sa tiahnu bodcovité štruktúry.

Po prvýkrát bol zlatý pomer v štruktúre vírusov objavený v 50. rokoch minulého storočia. vedci z London Birkbeck College A. Klug a D. Kaspar. 13 Polyo vírus bol prvý, kto sa objavil v logaritmickej forme. Zistilo sa, že forma tohto vírusu je podobná vírusu Rhino 14.

Vynára sa otázka, ako vírusy vytvárajú také komplexné trojrozmerné formy, ktorých štruktúra obsahuje zlatý rez, ktorý je dokonca aj pre našu ľudskú myseľ dosť ťažké postaviť? Objaviteľ týchto foriem vírusov, virológ A. Klug, uvádza nasledujúci komentár:

"Doktor Kaspar a ja sme ukázali, že pre sférický obal vírusu je najoptimálnejším tvarom symetria, napríklad tvar ikosahedronu." Toto usporiadanie minimalizuje počet spojovacích prvkov ... Väčšina geodetických pologuľovitých kociek Buckminstera Fullera je postavená na podobnom geometrickom princípe. 14 Inštalácia takýchto kociek vyžaduje mimoriadne presný a podrobný vysvetľujúci diagram. Zatiaľ čo samotné vírusy v bezvedomí konštruujú taký komplexný obal z elastických, flexibilných proteínových bunkových jednotiek. “

Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a bol jedným z prvých v Európe, ktorý používal arabské (indické) čísla. Prišiel s trochu umelým problémom o králikoch, ktoré sú chované na farme, všetky sú považované za samice, samce ignorujú. Králiky sa začínajú množiť po dvoch mesiacoch života a potom každý mesiac porodia králika. Králiky nikdy neumierajú

Je potrebné určiť, v akom počte králikov bude na farme n mesiacov, ak v počiatočnom čase bol iba jeden novonarodený králik.

Farmár má evidentne jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. V treťom mesiaci budú dvaja králiky, vo štvrtom - traja atď. Označme počet králikov v n mesiac ako. Preto
,
,
,
,
, …

Na nájdenie je možné skonštruovať algoritmus pre hocikoho n.

Podľa stavu problému celkový počet králikov
v n+1 mesiac sa rozloží na tri zložky:

1-mesačné králiky, ktoré nie sú schopné chovu, v množstve

;

Tak dostaneme

. (8.1)

Vzorec (8.1) vám umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..

Čísla v tomto poradí sa nazývajú Fibonacciho čísla .

Ak prijmete
a
, potom pomocou vzorca (8.1) možno určiť všetky ostatné Fibonacciho čísla. Vzorec (8.1) sa nazýva opakujúci podľa vzorca ( recidíva - „návrat“ v latinčine).

Príklad 8.1. Predpokladajme, že v ňom je schodisko n kroky. Môžeme naň vyliezť krokom jedného kroku, alebo - krokom dvoch krokov. Koľko kombinácií rôznych spôsobov zdvíhania existuje?

Ak n= 1, existuje iba jedno riešenie problému. Pre n= 2 existujú 2 možnosti: dva jednoduché kroky alebo jeden dvojitý. Pre n= 3 existujú 3 možnosti: tri jednotkové kroky alebo jedna jednotka a jedna dvojitá alebo jedna dvojitá a jedna jednotka.

V nasledujúcom prípade n= 4, máme 5 možností (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

Aby sme na položenú otázku odpovedali svojvoľne n, označme počet možností ako , a pokúste sa definovať
podľa známych a
... Ak začneme jediným krokom, máme kombinácie pre zostávajúce n kroky. Ak začneme dvojitým krokom, máme
kombinácie pre zostávajúce n- 1 kroky. Celkový počet možností pre n+1 priečka sa rovná

. (8.2)

Výsledný vzorec pripomína vzorec (8.1) ako dvojča. To však neumožňuje identifikovať počet kombinácií s Fibonacciho číslami ... Vidíme to napríklad
, ale
... Nastáva však nasledujúci vzťah:

.

To platí pre n= 1, 2, a platí to aj pre každého n... Fibonacciho čísla a počet kombinácií sú vypočítané pomocou rovnakého vzorca, ale počiatočných hodnôt
,
a
,
líšia sa.

Príklad 8.2. Tento príklad má praktický význam pre problémy s kódovaním opravujúce chyby. Zistite počet všetkých binárnych slov s dĺžkou n ktoré neobsahujú niekoľko núl za sebou. Toto číslo označujeme ako ... Očividne
, a slová dĺžky 2, ktoré uspokojujú naše obmedzenie, sú: 10, 01, 11, t.j.
... Nechaj byť
- také slovo od n postavy. Ak symbol
potom
môže byť ľubovoľný (
) -literálne slovo, ktoré neobsahuje niekoľko núl za sebou. Počet slov s jednotkou na konci je teda
.

Ak symbol
, potom určite
a prvý
symbol
môže byť ľubovoľné, berúc do úvahy uvažované obmedzenia. Preto existuje
dĺžka slova n s nulou na konci. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, sa teda rovná

.

Vzhľadom na to
a
, výsledná postupnosť čísel je Fibonacciho čísla.

Príklad 8.3. V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov konštantnej hmotnosti t(a dĺžka k) rovná sa ... Teraz nájdeme počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t ktoré neobsahujú niekoľko núl za sebou.

Môžete uvažovať takto. Nechaj byť
počet núl v predmetných slovách. Akékoľvek slovo má
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viac. Predpokladá sa, že
... V opačnom prípade neexistuje ani jedno slovo bez susedných núl.

Ak z každého intervalu odstránime presne jednu jednotku, dostaneme slovo o dĺžke
obsahujúce nuly. Akékoľvek také slovo je možné získať uvedeným spôsobom z niektorých (a navyše iba z jedného) k-literárne slovo obsahujúce nuly, z ktorých žiadne dve nie sú vedľa seba. Požadovaný počet sa teda zhoduje s počtom všetkých slov s dĺžkou
obsahujúce presne nuly, t.j. rovná sa
.

Príklad 8.4. Dokážme, že suma
sa rovná Fibonacciho číslam pre akékoľvek celé číslo ... Symbol
označuje najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné ... Napríklad, ak
potom
; čo ak
potom
strop(„strop“). Vyskytuje sa aj symbol
čo znamená najväčšie celé číslo menšie alebo rovné ... V angličtine sa táto operácia nazýva poschodie („poschodie“).

Ak
potom
... Ak
potom
... Ak
potom
.

V uvažovaných prípadoch je teda súčet skutočne rovnaký ako Fibonacciho čísla. Teraz poskytneme dôkaz o všeobecnom prípade. Pretože Fibonacciho čísla je možné získať pomocou rekurentnej rovnice (8.1), musí byť rovnosť splnená:

.

A vlastne to robí:

Tu sme použili vzorec (4.4) získaný skôr:
.

Súčet Fibonacciho čísel

Určme súčet prvého n Fibonacciho čísla.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Je ľahké vidieť, že pridaním jednoty na pravú stranu každej rovnice opäť získame Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n Fibonacciho čísla sú:

Dokážme to pomocou metódy matematickej indukcie. Ak to chcete urobiť, napíšte:

Táto suma by sa mala rovnať
.

Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice o –1 získame rovnicu (6.1).

Vzorec pre Fibonacciho čísla

Veta 8.1. Fibonacciho čísla je možné vypočítať pomocou vzorca

.

Dôkaz... Overme si platnosť tohto vzorca pre n= 0, 1, a potom dokázať platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n indukciou. Vypočítajme pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:

Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo 1,618 (ak ignorujeme prvých pár hodnôt). Touto vlastnosťou sa Fibonacciho čísla podobajú členom geometrickej postupnosti. Prijmeme
, (
). Potom ten výraz

prevedené na

ktorý po zjednodušeniach vyzerá takto

.

Dostali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú rovnaké:

Teraz môžeme napísať:

(kde c je konštantný). Obaja členovia a nedávajte Fibonacciho čísla ako
, zatiaľ čo
... Rozdiel však je
spĺňa rekurentnú rovnicu:

Pre n= 0 dáva tento rozdiel , to je:
... Avšak s n= 1 máme
... Získať
, je potrebné prijať:
.

Teraz máme dve sekvencie: a
ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký vzorec opakovania. Musia byť rovnaké:
... Veta je dokázaná.

Vzostupne nčlen sa stáva veľmi veľkým, zatiaľ čo
, a úloha člena rozdiel sa zníži. Preto pre veľké n môžeme zhruba písať

.

Ignorujeme 1/2 (pretože Fibonacciho čísla siahajú až do nekonečna n do nekonečna).

Postoj
zavolal Zlatý pomer, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý rez je pomer medzi uhlopriečkou a bokom pravidelný päťuholník(obr. 8.1).

Ryža. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky

Na označenie zlatého rezu sa zvyčajne používa písmeno
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.

základné čísla

Všetky prirodzené čísla, veľké jednotky, spadajú do dvoch tried. Prvá obsahuje čísla, ktoré majú presne dvoch prirodzených deliteľov, jedného a seba, k druhému - všetkým ostatným. Volajú sa čísla prvej triedy jednoduché, a druhý - zložka... Prvočísla v rámci prvých troch desiatok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Vlastnosti prvočísel a ich vzťah so všetkými prirodzenými číslami študoval Euclid (3. storočie pred n. L.). Ak vypíšete prvočísla za sebou, všimnete si, že ich relatívna hustota klesá. V prvej desiatke sú ich 4, t.j. 40%, zo sto - 25, t.j. 25%, na tisíc - 168, t.j. menej ako 17%, na milión - 78498, t.j. menej ako 8%atď. Ich celkový počet je však nekonečný.

Medzi prvočíslami existujú páry týchto párov, ktorých rozdiel sa rovná dvom (tzv jednoduché dvojčatá), konečnosť alebo nekonečnosť takýchto párov však nebola dokázaná.

Euclid považoval za zrejmé, že vynásobením iba prvočísel je možné získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel jedinečne (až do poradia faktorov). Prvočísla teda tvoria multiplikatívny základ pre prirodzený rad.

Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý vám umožní získať tabuľky prvočísel. Tento algoritmus je sito Eratosthenes(3. storočie pred n. L.). Táto metóda spočíva v vyradení (napríklad prečiarknutím) celých čísel danej sekvencie
ktoré sú deliteľné aspoň jedným z prvočísel menším ako
.

Veta 8 . 2 . (Euklidova veta). Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz... Dokážme Euclidovu vetu o nekonečnosti počtu prvočísel metódou, ktorú navrhol Leonard Euler (1707–1783). Euler považoval produkt za všetky prvočísla p:

o
... Tento produkt konverguje, a ak ho rozšírite, potom sa kvôli jedinečnosti rozkladu prirodzených čísel na hlavné faktory ukáže, že sa rovná súčtu radu. odkiaľ pochádza Eulerova identita:

.

Odkedy o
séria vpravo sa rozchádza (harmonické rady), potom z Eulerovej identity vyplýva Euklidova veta.

Ruský matematik P.L. Chebyshev (1821-1894) odvodil vzorec, ktorý určuje limity, v ktorých je uzavretý počet prvočísel.
nepresahujúci X:

,

kde
,
.