Ogólny schemat badań funkcji online. Pełna eksploracja i kreślenie funkcji

Dziś zapraszamy do odkrywania i kreślenia z nami wykresu funkcji. Po dokładnym przestudiowaniu tego artykułu nie będziesz musiał długo się pocić, aby wykonać tego rodzaju zadanie. Eksploracja i budowanie wykresu funkcji nie jest łatwe, praca jest obszerna, wymagająca maksymalnej uwagi i dokładności obliczeń. Aby ułatwić percepcję materiału, stopniowo będziemy studiować tę samą funkcję, wyjaśniać wszystkie nasze działania i obliczenia. Witamy w niesamowitym i fascynującym świecie matematyki! Iść!

Domena

Aby zbadać i wykreślić funkcję, musisz znać kilka definicji. Funkcja jest jednym z podstawowych (podstawowych) pojęć w matematyce. Odzwierciedla zależność między kilkoma zmiennymi (dwie, trzy lub więcej) ze zmianami. Funkcja pokazuje również zależność zbiorów.

Wyobraź sobie, że mamy dwie zmienne, które mają pewien zakres zmian. Tak więc y jest funkcją x, pod warunkiem, że każda wartość drugiej zmiennej odpowiada jednej wartości drugiej. W tym przypadku zmienna y jest zależna i nazywana jest funkcją. Przyjęło się mówić, że zmienne x i y są w. Dla większej przejrzystości tej zależności budowany jest wykres funkcji. Co to jest wykres funkcji? Jest to zbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych, gdzie każda wartość x odpowiada jednej wartości y. Wykresy mogą być różne - linia prosta, hiperbola, parabola, sinusoida i tak dalej.

Wykresu funkcji nie można wykreślić bez eksploracji. Dziś dowiemy się, jak prowadzić badania i sporządzać wykres funkcji. Bardzo ważne jest robienie notatek podczas nauki. Tak więc znacznie łatwiej będzie poradzić sobie z zadaniem. Najwygodniejszy plan nauki:

1. Domena.
2. Ciągłość.
3. Parzyste czy nieparzyste.
4. Okresowość.
5. Asymptoty.
6. Zera.
7. Stałość.
8. W górę i w dół.
9. Ekstrema.
10. Wypukłość i wklęsłość.

Zacznijmy od pierwszego punktu. Znajdźmy dziedzinę definicji, czyli na jakich przedziałach istnieje nasza funkcja: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). W naszym przypadku funkcja istnieje dla dowolnych wartości x, czyli dziedziną definicji jest R. Można to zapisać jako xОR.

Ciągłość

Teraz zbadamy funkcję nieciągłości. W matematyce termin „ciągłość” pojawił się w wyniku badania praw ruchu. Co jest nieskończone? Przestrzeń, czas, niektóre zależności (przykładem jest zależność zmiennych S i t w problemach ruchu), temperatura ogrzewanego obiektu (woda, patelnia, termometr itd.), linia ciągła (czyli jeden który można narysować bez zdejmowania go z ołówka).

Wykres jest uważany za ciągły, jeśli w pewnym momencie się nie załamie. Jednym z najbardziej oczywistych przykładów takiego wykresu jest sinusoida, którą można zobaczyć na obrazku w tej sekcji. Funkcja jest ciągła w pewnym punkcie x0, jeśli spełniony jest szereg warunków:

• funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie;
• prawa i lewa granica w punkcie są równe;
• granica jest równa wartości funkcji w punkcie x0.

Jeśli co najmniej jeden warunek nie jest spełniony, funkcja zostanie przerwana. A punkty, w których funkcja załamuje się, nazywane są punktami przerwania. Przykładem funkcji, która „przerwie się”, gdy zostanie wyświetlona graficznie, jest: y=(x+4)/(x-3). Co więcej, y nie istnieje w punkcie x = 3 (ponieważ nie można podzielić przez zero).

W badanej przez nas funkcji (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) wszystko okazało się proste, ponieważ wykres będzie ciągły.

Nawet dziwne

Teraz przyjrzyj się funkcji parzystości. Zacznijmy od małej teorii. Funkcja parzysta to funkcja, która spełnia warunek f (-x) = f (x) dla dowolnej wartości zmiennej x (z zakresu wartości). Przykłady to:

• moduł x (wykres wygląda jak kawka, dwusieczna pierwszej i drugiej ćwiartki wykresu);
• x do kwadratu (parabola);
• cosinus x (fala cosinusowa).

Zwróć uwagę, że wszystkie te wykresy są symetryczne, gdy są oglądane w odniesieniu do osi y.

Co zatem nazywa się funkcją nieparzystą? Są to funkcje, które spełniają warunek: f (-x) \u003d - f (x) dla dowolnej wartości zmiennej x. Przykłady:

• hiperbola;
• parabola sześcienna;
• sinusoida;
• styczna i tak dalej.

Zwróć uwagę, że te funkcje są symetryczne względem punktu (0:0), czyli początku. W oparciu o to, co zostało powiedziane w tej części artykułu, funkcja parzysta i nieparzysta musi mieć właściwość: x należy do zestawu definicji, a -x również.

Zbadajmy funkcję parzystości. Widzimy, że nie pasuje do żadnego z opisów. Dlatego nasza funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Asymptoty

Zacznijmy od definicji. Asymptota to krzywa, która jest jak najbliżej wykresu, to znaczy odległość od pewnego punktu dąży do zera. Istnieją trzy rodzaje asymptot:

• pionowy, to znaczy równoległy do ​​osi y;
• poziomo, czyli równolegle do osi x;
• skośny.

Jeśli chodzi o pierwszy typ, tych linii należy szukać w niektórych punktach:

• Luka;
• końce domeny.

W naszym przypadku funkcja jest ciągła, a dziedziną definicji jest R. Nie ma więc pionowych asymptot.

Wykres funkcji ma poziomą asymptotę, która spełnia następujący warunek: jeśli x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, a granica jest równa pewnej liczbie (na przykład a). W tym przypadku y=a jest asymptotą poziomą. W badanej przez nas funkcji nie występują asymptoty poziome.

Asymptota ukośna istnieje tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Wtedy można go znaleźć za pomocą wzoru: y=kx+b. Znowu w naszym przypadku nie ma asymptot ukośnych.

Zera funkcji

Następnym krokiem jest zbadanie wykresu funkcji dla zer. Bardzo ważne jest również, aby zauważyć, że zadanie związane ze znalezieniem zer funkcji występuje nie tylko w badaniu i kreśleniu wykresu funkcji, ale także jako zadanie niezależne i jako sposób rozwiązywania nierówności. Może być konieczne znalezienie zer funkcji na wykresie lub użycie notacji matematycznej.

Znalezienie tych wartości pomoże ci dokładniej wykreślić funkcję. Mówiąc prościej, zero funkcji jest wartością zmiennej x, przy której y \u003d 0. Jeśli szukasz zer funkcji na wykresie, powinieneś zwrócić uwagę na punkty, w których wykres przecina się z osią x.

Aby znaleźć zera funkcji, musisz rozwiązać następujące równanie: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Po wykonaniu niezbędnych obliczeń otrzymujemy następującą odpowiedź:

znak stałości

Kolejnym etapem badania i konstrukcji funkcji (grafiki) jest znalezienie przedziałów stałości znaku. Oznacza to, że musimy określić, na których przedziałach funkcja przyjmuje wartość dodatnią, a na których przyjmuje wartość ujemną. Pomogą nam w tym zera funkcji znalezionych w poprzedniej sekcji. Musimy więc zbudować linię prostą (oddzielnie od wykresu) i rozmieścić wzdłuż niej zera funkcji w odpowiedniej kolejności od najmniejszej do największej. Teraz musisz określić, który z wynikowych przedziałów ma znak „+”, a który „-”.

W naszym przypadku funkcja przyjmuje wartość dodatnią na przedziałach:

• od 1 do 4;
• od 9 do nieskończoności.

Negatywne znaczenie:

• od minus nieskończoności do 1;
• od 4 do 9.

Jest to dość łatwe do ustalenia. Podstaw dowolną liczbę z przedziału do funkcji i zobacz, jaki znak jest odpowiedzią (minus lub plus).

Funkcja rosnąco i malejąco

Aby zbadać i zbudować funkcję, musimy wiedzieć, gdzie wykres będzie się zwiększał (w górę na Oy), a gdzie opada (w dół wzdłuż osi y).

Funkcja zwiększa się tylko wtedy, gdy większa wartość zmiennej x odpowiada większej wartości y. Oznacza to, że x2 jest większe niż x1, a f(x2) jest większe niż f(x1). I obserwujemy zupełnie odwrotne zjawisko w funkcji malejącej (im więcej x, tym mniej y). Aby określić przedziały wzrostu i spadku, musisz znaleźć następujące elementy:

• zakres (już go mamy);
• pochodna (w naszym przypadku: 1/3(3x^2-28x+49);
• rozwiąż równanie 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Po obliczeniach otrzymujemy wynik:

Otrzymujemy: funkcja rośnie na przedziałach od minus nieskończoności do 7/3 i od 7 do nieskończoności, a maleje na przedziale od 7/3 do 7.

Ekstrema

Badana funkcja y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) jest ciągła i istnieje dla dowolnych wartości zmiennej x. Punkt ekstremum pokazuje maksimum i minimum tej funkcji. W naszym przypadku ich nie ma, co znacznie upraszcza zadanie budowlane. W przeciwnym razie można je również znaleźć za pomocą funkcji pochodnej. Po znalezieniu nie zapomnij zaznaczyć ich na wykresie.

Wypukłość i wklęsłość

Kontynuujemy badanie funkcji y(x). Teraz musimy to sprawdzić pod kątem wypukłości i wklęsłości. Definicje tych pojęć są dość trudne do zrozumienia, lepiej wszystko przeanalizować na przykładach. Dla testu: funkcja jest wypukła, jeśli jest funkcją niemalejącą. Zgadzam się, to jest niezrozumiałe!

Musimy znaleźć pochodną funkcji drugiego rzędu. Otrzymujemy: y=1/3(6x-28). Teraz przyrównujemy prawą stronę do zera i rozwiązujemy równanie. Odpowiedź: x=14/3. Znaleźliśmy punkt przegięcia, czyli miejsce, w którym wykres zmienia się z wypukłego na wklęsły lub odwrotnie. W przedziale od minus nieskończoności do 14/3 funkcja jest wypukła, a od 14/3 do plus nieskończoności jest wklęsła. Bardzo ważne jest również, aby pamiętać, że punkt przegięcia na wykresie powinien być gładki i miękki, nie powinno być żadnych ostrych narożników.

Definicja dodatkowych punktów

Naszym zadaniem jest zbadanie i wykreślenie wykresu funkcji. Zakończyliśmy badanie, teraz nie będzie trudno wykreślić funkcję. Aby uzyskać dokładniejsze i bardziej szczegółowe odwzorowanie krzywej lub linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych, można znaleźć kilka punktów pomocniczych. Łatwo je obliczyć. Na przykład bierzemy x=3, rozwiązujemy otrzymane równanie i znajdujemy y=4. Albo x=5, y=-5 i tak dalej. Możesz wziąć tyle dodatkowych punktów, ile potrzebujesz do budowy. Znaleziono co najmniej 3-5 z nich.

Konspiratorstwo

Musieliśmy zbadać funkcję (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Wszystkie niezbędne oznaczenia w trakcie obliczeń zostały wykonane na płaszczyźnie współrzędnych. Pozostaje tylko zbudować wykres, czyli połączyć ze sobą wszystkie punkty. Łączenie kropek jest płynne i dokładne, to kwestia umiejętności - trochę praktyki i Twój harmonogram będzie idealny.

Instrukcja

Znajdź zakres funkcji. Na przykład funkcja sin(x) jest zdefiniowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest zdefiniowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.

Zdefiniuj obszary ciągłości i punkty przerwania. Zwykle funkcja jest ciągła w tej samej dziedzinie, w której jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, musisz obliczyć, kiedy argument zbliża się do izolowanych punktów wewnątrz dziedziny definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x→0+ i do minus nieskończoności, gdy x→0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeżeli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeśli są równe, funkcja jest uważana za ciągłą, chociaż nie jest zdefiniowana w izolowanym punkcie.

Znajdź pionowe asymptoty, jeśli takie istnieją. Obliczenia z poprzedniego kroku pomogą ci w tym, ponieważ pionowa asymptota prawie zawsze znajduje się w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z zakresu definicji wyłącza się nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów, a następnie pionowe asymptoty mogą znajdować się na krawędziach tych przedziałów.

Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie nawet jeśli dla dowolnego x w dziedzinie f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 są funkcjami parzystymi.

Okresowość to właściwość, która mówi, że istnieje pewna liczba T nazywana okresem, która dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie podstawowe funkcje trygonometryczne (sinus, cosinus, tangens) są okresowe.

Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną danej funkcji i znajdź te wartości x, w których znika. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.

Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, prześledź zmianę znaków pochodnej w znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa przy x = -6 iz powrotem od minusa do plusa przy x = 0. Dlatego funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.

Tak więc znalazłeś również obszary monotoniczności: f(x) rośnie monotonicznie na przedziale -∞;-6, maleje monotonicznie na -6;0 i ponownie wzrasta na 0;+∞.

Znajdź drugą pochodną. Jego pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład drugą pochodną funkcji f(x) będzie h(x) = 6x + 18. Znika ona przy x = -3, zmieniając swój znak z minus na plus. Zatem wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.

Funkcja może mieć inne asymptoty poza pionowymi, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x→∞ lub x→-∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptotę poziomą.

Asymptota skośna jest prostą postacią kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x→∞. Aby znaleźć b - granicę (f(x) – kx) przy tym samym x→∞.

Wykreśl funkcję na obliczonych danych. Oznacz asymptoty, jeśli takie istnieją. Zaznacz ekstrema i wartości funkcji w nich. Aby uzyskać większą dokładność wykresu, oblicz wartości funkcji w kilku kolejnych punktach pośrednich. Badania zakończone.

Punktami odniesienia w badaniu funkcji i konstrukcji ich wykresów są punkty charakterystyczne - punkty nieciągłości, ekstremum, przegięcia, przecięcia z osiami współrzędnych. Za pomocą rachunku różniczkowego można ustalić charakterystyczne cechy zmiany funkcji: wzrost i spadek, maksima i minima, kierunek wypukłości i wklęsłości wykresu, obecność asymptot.

Szkic wykresu funkcji można (i należy) naszkicować po znalezieniu asymptot i punktów ekstremów, a w trakcie badania wygodnie jest wypełnić tabelę podsumowującą badanie funkcji.

Zwykle stosuje się następujący schemat badania funkcji.

1.Znajdź dziedzinę, przedziały ciągłości i punkty przerwania funkcji.

2.Sprawdź funkcję pod kątem parzystej lub nieparzystej (osiowa lub centralna symetria wykresu).

3.Znajdź asymptoty (pionowe, poziome lub ukośne).

4.Znajdź i zbadaj przedziały wzrostu i spadku funkcji, jej ekstrema.

5.Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości krzywej, jej punkty przegięcia.

6.Znajdź punkty przecięcia krzywej z osiami współrzędnych, jeśli istnieją.

7.Sporządź tabelę podsumowującą badanie.

8.Zbuduj wykres, biorąc pod uwagę badanie funkcji przeprowadzone zgodnie z powyższymi punktami.

Przykład. Poznaj funkcję

i wykreśl to.

7. Zróbmy tabelę podsumowującą badanie funkcji, w której wprowadzimy wszystkie punkty charakterystyczne i odstępy między nimi. Biorąc pod uwagę parzystość funkcji, otrzymujemy następującą tabelę:

W celu pełnego zbadania funkcji i wykreślenia jej wykresu zaleca się zastosowanie następującego schematu:

1) znaleźć zakres funkcji;

2) znaleźć punkty nieciągłości funkcji i asymptoty pionowe (jeśli istnieją);

3) zbadać zachowanie funkcji w nieskończoności, znaleźć asymptoty poziome i ukośne;

4) zbadać funkcję parzystości (nieparzystości) i okresowości (dla funkcji trygonometrycznych);

5) znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji;

6) określić odstępy punktów wypukłości i punktów przegięcia;

7) znajdź punkty przecięcia z osiami współrzędnych, jeśli to możliwe, i kilka dodatkowych punktów, które doprecyzowują wykres.

Badanie funkcji odbywa się jednocześnie z konstruowaniem jej wykresu.

Przykład 9 Poznaj funkcję i zbuduj wykres.

1. Dziedzina definicji: ;

2. Funkcja łamie się w punktach
,
;

Badamy funkcję na obecność asymptot pionowych.

;
,
─ asymptota pionowa.

;
,
─ asymptota pionowa.

3. Badamy funkcję na obecność asymptot ukośnych i poziomych.

Prosty
─ asymptota ukośna, jeśli
,
.

,
.

Prosty
─ asymptota pozioma.

4. Funkcja jest nawet dlatego, że
. Parzystość funkcji wskazuje na symetrię wykresu względem osi y.

5. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne, tj. punkty, w których pochodna wynosi 0 lub nie istnieje:
;
. Mamy trzy punkty
;

. Punkty te dzielą całą oś rzeczywistą na cztery interwały. Zdefiniujmy znaki na każdym z nich.

Na przedziałach (-∞; -1) i (-1; 0) funkcja rośnie, na przedziałach (0; 1) i (1; +∞) maleje. Przejeżdżając przez punkt
pochodna zmienia znak z plusa na minus, dlatego w tym momencie funkcja ma maksimum
.

6. Znajdźmy przedziały wypukłości, punkty przegięcia.

Znajdźmy punkty, w których wynosi 0 lub nie istnieje.

nie ma prawdziwych korzeni.
,
,

zwrotnica
oraz
podziel oś rzeczywistą na trzy przedziały. Zdefiniujmy znak w każdym przedziale.

Tak więc krzywa na przedziałach
oraz
wypukły w dół, na przedziale (-1;1) wypukły w górę; nie ma punktów przegięcia, ponieważ funkcja w punktach
oraz
nieokreślony.

7. Znajdź punkty przecięcia z osiami.

z osią
wykres funkcji przecina się w punkcie (0; -1) oraz z osią
wykres się nie przecina, ponieważ licznik tej funkcji nie ma prawdziwych pierwiastków.

Wykres danej funkcji pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1 ─ Wykres funkcji

Zastosowanie pojęcia pochodnej w ekonomii. Elastyczność funkcji

Do badania procesów gospodarczych i rozwiązywania innych problemów aplikacyjnych często stosuje się pojęcie elastyczności funkcji.

Definicja. Elastyczność funkcji
nazywamy granicą stosunku względnego przyrostu funkcji do względnego przyrostu zmiennej w
,. (VII)

Elastyczność funkcji pokazuje w przybliżeniu, o ile procent funkcja się zmieni
przy zmianie zmiennej niezależnej o 1%.

Elastyczność funkcji jest wykorzystywana w analizie popytu i konsumpcji. Jeżeli elastyczność popytu (w wartości bezwzględnej)
, to popyt jest uważany za elastyczny, jeśli
─ neutralny, jeśli
─ nieelastyczny w stosunku do ceny (lub dochodu).

Przykład 10 Oblicz elastyczność funkcji
i znajdź wartość wskaźnika elastyczności dla = 3.

Rozwiązanie: zgodnie ze wzorem (VII) elastyczność funkcji:

Niech x=3 wtedy
Oznacza to, że jeśli zmienna niezależna wzrośnie o 1%, to wartość zmiennej zależnej wzrośnie o 1,42%.

Przykład 11 Niech funkcja popytu odnośnie ceny ma formę
, gdzie ─ stały współczynnik. Znajdź wartość wskaźnika elastyczności funkcji popytu przy cenie x = 3 den. jednostki

Rozwiązanie: oblicz elastyczność funkcji popytu ze wzoru (VII)

Zarozumiały
jednostki pieniężne, otrzymujemy
. Oznacza to, że w cenie
jednostka monetarna wzrost cen o 1% spowoduje spadek popytu o 6%, tj. popyt jest elastyczny.

W celu pełnego zbadania funkcji i wykreślenia jej wykresu zalecany jest następujący schemat:
A) znaleźć dziedzinę definicji, punkty przerwania; zbadaj zachowanie funkcji w pobliżu punktów nieciągłości (znajdź granice funkcji po lewej i prawej stronie w tych punktach). Określ pionowe asymptoty.
B) określić parzystość lub nieparzystość funkcji i wyciągnąć wniosek o obecności symetrii. Jeżeli , to funkcja jest parzysta, symetryczna względem osi OY; dla , funkcja jest nieparzysta, symetryczna względem początku; a jeśli jest funkcją formy ogólnej.
C) znaleźć punkty przecięcia funkcji z osiami współrzędnych OY i OX (jeśli to możliwe), określić odstępy znaku funkcji. Granice przedziałów stałości znaku funkcji wyznaczają punkty, w których funkcja jest równa zero (zera funkcji) lub nie istnieje oraz granice dziedziny definicji tej funkcji. W przedziałach, w których wykres funkcji znajduje się powyżej osi OX, a gdzie - poniżej tej osi.
D) znajdź pierwszą pochodną funkcji, wyznacz jej zera i przedziały stałości. W przedziałach, w których funkcja wzrasta i spada. Wyciągnij wniosek na temat obecności ekstremów (punktów, w których istnieje funkcja i pochodna i podczas przechodzenia przez które zmienia znak. Jeśli zmienia znak z plusa na minus, to w tym momencie funkcja ma maksimum, a jeśli z minus na plus, to minimum). Znajdź wartości funkcji w skrajnych punktach.
E) znajdź drugą pochodną, ​​jej zera i przedziały stałości. W interwałach, gdzie< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) znajdź asymptoty ukośne (poziome), których równania mają postać ; gdzie
.
Na wykres funkcji będzie miał dwie ukośne asymptoty, a każda wartość x w i może odpowiadać dwóm wartościom b.
G) znajdź dodatkowe punkty do udoskonalenia wykresu (jeśli to konieczne) i zbuduj wykres.

Przykład 1 Zbadaj funkcję i wykreśl jej wykres. Rozwiązanie: A) dziedzina definicji ; funkcja jest ciągła w dziedzinie definicji; – punkt załamania, bo ; . Następnie jest asymptota pionowa.
B)
tych. y(x) jest funkcją ogólną.
C) Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osią OY: ustawiamy x=0; wtedy y(0)=–1, tj. wykres funkcji przecina oś w punkcie (0;-1). Zera funkcji (punkty przecięcia wykresu z osią OX): przyjmujemy y=0; następnie
.
Dyskryminator równania kwadratowego jest mniejszy od zera, więc zer nie ma. Wtedy granicą przedziałów stałości jest punkt x=1, w którym funkcja nie istnieje.
Znak funkcji w każdym z przedziałów określa się metodą wartości cząstkowych:

Z wykresu widać, że w przedziale wykres funkcji znajduje się pod osią OX, aw przedziale powyżej osi OX.
D) Dowiadujemy się o obecności punktów krytycznych.
.
Punkty krytyczne (gdzie lub nie istnieją) znajdują się na podstawie równości i .

Otrzymujemy: x1=1, x2=0, x3=2. Stwórzmy tabelę pomocniczą

Tabela 1

(Pierwsza linia zawiera punkty krytyczne i przedziały, na które te punkty są podzielone przez oś OX; druga linia wskazuje wartości pochodnej w punktach krytycznych i znaki na przedziałach. Znaki są określane metodą wartości cząstkowych.Trzecia linia wskazuje wartości funkcji y(x) w punktach krytycznych i pokazuje zachowanie funkcji - wzrost lub spadek w odpowiednich odstępach osi liczbowej.Dodatkowo obecność minimum lub maksimum.
E) Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
; budujemy tabelę jak w paragrafie D); dopiero w drugim wierszu zapisujemy znaki, aw trzecim wskazujemy rodzaj wybrzuszenia. Bo ; wtedy punktem krytycznym jest jeden x=1.
Tabela 2

Punkt x=1 jest punktem przegięcia.
E) Znajdź asymptoty ukośne i poziome

Wtedy y=x jest asymptotą ukośną.
G) Na podstawie uzyskanych danych budujemy wykres funkcji

1). Zakres funkcji.
Oczywiście funkcja ta jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktów „” i „”, ponieważ w tych punktach mianownik jest równy zero, a zatem funkcja nie istnieje, a proste i pionowe asymptoty.

2). Zachowanie funkcji, gdy argument dąży do nieskończoności, istnienie punktów nieciągłości i sprawdzanie asymptot ukośnych.
Sprawdźmy najpierw, jak zachowuje się funkcja przy zbliżaniu się do nieskończoności w lewo iw prawo.

Zatem w , funkcja dąży do 1, tj. jest asymptotą poziomą.
W sąsiedztwie punktów nieciągłości zachowanie funkcji definiuje się następująco:


Tych. zbliżając się do punktów nieciągłości po lewej stronie funkcja maleje w nieskończoność, natomiast po prawej nieskończenie wzrasta.
Obecność asymptoty ukośnej określamy, biorąc pod uwagę równość:

Nie ma asymptot ukośnych.

3). Punkty przecięcia z osiami współrzędnych.
Tutaj należy wziąć pod uwagę dwie sytuacje: znaleźć punkt przecięcia z osią Ox iz osią Oy. Znak przecięcia z osią x to zerowa wartość funkcji, czyli musisz rozwiązać równanie:

To równanie nie ma pierwiastków, dlatego na wykresie tej funkcji nie ma punktów przecięcia z osią Wół.
Znakiem przecięcia z osią Oy jest wartość x \u003d 0. W tym przypadku
,
tych. - punkt przecięcia wykresu funkcji z osią Oy.

4).Wyznaczanie punktów ekstremów i przedziałów wzrostu i spadku.
Aby zbadać ten problem, definiujemy pierwszą pochodną:
.
Przyrównujemy do zera wartość pierwszej pochodnej.
.
Ułamek ma wartość zero, gdy jego licznik wynosi zero, tj. .
Wyznaczmy przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Tak więc funkcja ma jeden punkt ekstremum i nie istnieje w dwóch punktach.
Zatem funkcja rośnie na przedziałach ii maleje na przedziałach i .

5). Punkty przegięcia oraz obszary wypukłości i wklęsłości.
Ta charakterystyka zachowania funkcji jest określana za pomocą drugiej pochodnej. Określmy najpierw obecność punktów przegięcia. Druga pochodna funkcji to

Bo i funkcja jest wklęsła;

dla i funkcja jest wypukła.

6). Wykreślanie wykresu funkcji.
Wykorzystując wartości znalezione w punktach konstruujemy schematyczny wykres funkcji:

Rozwiązanie
Dana funkcja jest funkcją nieokresową o postaci ogólnej. Jego wykres przechodzi przez początek, ponieważ .
Dziedziną danej funkcji są wszystkie wartości zmiennej , z wyjątkiem i , przy których znika mianownik ułamka.
Dlatego punkty i są punktami przerwania funkcji.
Bo ,

Bo ,
, wtedy punkt jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju.
Linie proste i pionowe asymptoty wykresu funkcji.
Równania asymptoty ukośnej , gdzie , .
Na ,
.
Zatem dla i wykres funkcji ma jedną asymptotę .
Znajdźmy przedziały wzrostu i spadku funkcji oraz punkty ekstremów.
.
Pierwsza pochodna funkcji w i w związku z tym w i funkcja rośnie.
Dla , zatem dla , funkcja maleje.
nie istnieje dla , .
, dlatego w wykres funkcji jest wklęsły.
Na , dlatego w wykres funkcji jest wypukły.

Przejeżdżając przez punkty , , zmienia znak. Gdy funkcja nie jest zdefiniowana, wykres funkcji ma jeden punkt przegięcia .
Zbudujmy wykres funkcji.