Arba aritmetika yra užsakytos skaitinės sekos rūšis, kurios savybės tiriamos mokyklos algebros kurse. Šiame straipsnyje išsamiai aptariamas klausimas, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą.

Kas yra šis progresas?

Prieš pradėdami svarstyti klausimą (kaip rasti aritmetinės progresijos sumą), verta suprasti, kas bus aptarta.

Bet kokia realiųjų skaičių seka, gaunama pridedant (atimant) tam tikrą reikšmę iš kiekvieno ankstesnio skaičiaus, vadinama algebrine (aritmetine) progresija. Šis apibrėžimas, išverstas į matematikos kalbą, yra toks:

Čia i yra eilutės a i eilės elemento eilės numeris. Taigi, žinodami tik vieną sėklą, galite lengvai rekonstruoti visą seriją. Parametras d formulėje vadinamas progresijos skirtumu.

Galima lengvai parodyti, kad nagrinėjamų skaičių serijoms taikoma ši lygybė:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Tai yra, norėdami rasti n-tojo elemento vertę, pridėkite skirtumą d prie pirmojo elemento a 1 n-1 karto.

Kokia yra aritmetinės progresijos suma: formulė

Prieš pateikiant nurodytos sumos formulę, verta apsvarstyti paprastą specialų atvejį. Atsižvelgiant į natūralių skaičių progresavimą nuo 1 iki 10, turite rasti jų sumą. Kadangi progresijoje yra nedaug narių (10), problemą galima spręsti iš karto, tai yra, sudėti visus elementus iš eilės.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Verta apsvarstyti vieną įdomų dalyką: kadangi kiekvienas terminas nuo kito skiriasi ta pačia reikšme d = 1, tada porinis pirmojo ir dešimtojo, antrojo - devintojo ir tt sumavimas duos tą patį rezultatą. Tikrai:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kaip matote, šių sumų yra tik 5, tai yra, tiksliai du kartus mažiau nei serijos elementų. Tada padauginę sumų skaičių (5) iš kiekvienos sumos (11) rezultato, gausite pirmame pavyzdyje gautą rezultatą.

Jei apibendrinsime šį samprotavimą, galime parašyti tokią išraišką:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ši išraiška rodo, kad visai nebūtina apibendrinti visų elementų iš eilės, pakanka žinoti pirmojo a 1 ir paskutinio a n vertę, taip pat bendrą terminų skaičių n.

Manoma, kad Gaussas pirmą kartą pagalvojo apie šią lygybę, kai ieškojo savo mokyklos mokytojo iškeltos problemos sprendimo: susumuokite pirmuosius 100 sveikųjų skaičių.

Elementų suma nuo m iki n: formulė

Ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė duoda atsakymą į klausimą, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą (pirmieji elementai), tačiau dažnai iškilus problemoms būtina apibendrinti skaičių seriją progresijos viduryje. Kaip tai padaryti?

Lengviausias būdas atsakyti į šį klausimą yra apsvarstyti šį pavyzdį: leiskite būtinai surasti terminų sumą nuo m-ojo iki n-to. Norėdami išspręsti problemą, tam tikras progreso segmentas nuo m iki n turėtų būti pateiktas naujos skaitmeninės serijos pavidalu. Šiuo atveju m-asis terminas a m bus pirmasis, o n- n- (m-1). Tokiu atveju, taikydami standartinę sumos formulę, gausite tokią išraišką:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulių naudojimo pavyzdys

Žinant, kaip rasti aritmetinės progresijos sumą, verta apsvarstyti paprastą pateiktų formulių naudojimo pavyzdį.

Žemiau pateikiama skaitinė seka, kurioje turėtumėte rasti jos narių sumą, pradedant 5 -a ir baigiant 12 -a:

Pateikti skaičiai rodo, kad skirtumas d yra lygus 3. Naudodami n -ojo elemento išraišką, galite rasti 5 ir 12 progresijos sąlygų reikšmes. Paaiškėja:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Žinodami skaičių reikšmes nagrinėjamos algebrinės progresijos pabaigoje, taip pat žinodami, kuriuos eilutės numerius jie užima, galite naudoti ankstesnėje pastraipoje gautos sumos formulę. Tai paaiškės:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Verta paminėti, kad šią vertę būtų galima gauti ir kitaip: pirma, naudodami standartinę formulę raskite pirmųjų 12 elementų sumą, tada pagal tą pačią formulę apskaičiuokite pirmųjų 4 elementų sumą, tada atimkite antrąją iš pirmosios sumos.

Mokantis algebros bendrojo lavinimo mokykloje (9 klasė), viena iš svarbių temų yra skaitinių sekų, kurios apima progresijas - geometrinę ir aritmetinę, tyrimas. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti svarstomos pažangos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Yra žinoma, kad esant tam tikrai algebrinei progresijai 1 -asis narys lygus 6, o 7 -asis - 18. Būtina rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 -ąjį narį.

Naudokime formulę nežinomam terminui nustatyti: a n = (n - 1) * d + a 1. Mes pakeičiame jame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos galite lengvai apskaičiuoti skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi, mes atsakėme į pirmąją problemos dalį.

Norėdami atkurti iki 7 terminų seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, tai yra, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3 pavyzdys: progresavimas

Dar labiau apsunkinkime problemos būklę. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galite pateikti tokį pavyzdį: duoti du skaičiai, pavyzdžiui - 4 ir 5. Būtina atlikti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys terminai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą šie skaičiai užims ateityje. Kadangi tarp jų bus dar trys terminai, tada 1 = -4 ir 5 = 5. Tai nustatę, pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n -ajam terminui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš kur: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia mes gavome ne sveiką skirtumo vertę, bet tai yra racionalus skaičius, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar pridėkite rastą skirtumą prie 1 ir atkurkite trūkstamus progresijos narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos būkle.

4 pavyzdys: pirmasis progresavimo terminas

Toliau pateikime aritmetinės progresijos pavyzdžius su sprendimu. Visose ankstesnėse problemose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo problemą: tegul duodami du skaičiai, kur 15 = 50 ir 43 = 37. Būtina rasti skaičių, nuo kurio prasideda ši seka.

Iki šiol naudotos formulės numato 1 ir d žinias. Apie šiuos skaičius problemos pranešime nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam nariui išrašome išraiškas, apie kurias yra informacijos: a 15 = a 1 + 14 * d ir 43 = a 1 + 42 * d. Gautos dvi lygtys, kuriose yra 2 nežinomi kiekiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema yra sumažinta iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Lengviausias būdas išspręsti šią sistemą yra išreikšti 1 kiekvienoje lygtyje ir tada palyginti gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Lygindami šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (nurodomi tik 3 skaičiai po kablelio).

Žinodami d, galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau išraiškų 1. Pavyzdžiui, pirmasis: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * ( - 0,464) = 56,496.

Jei abejojate rezultatu, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti 43 progresijos terminą, kuris nurodytas sąlygoje. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Nedidelė klaida atsiranda dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių su sprendimais dėl aritmetinės progresijos sumos.

Tegul pateikiama tokios formos skaitmeninė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti šių 100 skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, šią problemą galima išspręsti, tai yra, iš eilės sudėti visus skaičius, kuriuos kompiuteris padarys, kai tik žmogus paspaus „Enter“ klavišą. Tačiau problemą galima išspręsti mintyse, jei atkreipiame dėmesį, kad pateikta skaičių seka yra algebrinė progresija, o jos skirtumas yra 1. Taikydami sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad jei poromis pridėsite skaičius sekos kraštuose, visada gausite vieną rezultatą, tai yra, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ir kadangi iš šių sumų bus lygiai 50 (100/2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: narių suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: atsižvelgiant į skaičių seriją: 3, 7, 11, 15, ..., turite rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14.

Problema išspręsta dviem būdais. Pirmasis iš jų apima nežinomų terminų radimą nuo 8 iki 14, o tada jų nuoseklią sumavimą. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, siūloma šią problemą išspręsti naudojant antrąjį metodą, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumos formulę, kur n> m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais užrašykime dvi sumos išraiškas:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n> m, akivaizdu, kad 2 suma apima pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad jei paimsime šių sumų skirtumą ir pridėsime prie jo terminą a m (skirtumo paėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gausime reikiamą atsakymą į problemą. Turime: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). Šioje išraiškoje būtina n ir a formulę pakeisti formulėmis. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga; vis dėlto S mn suma priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitus šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos žiniomis apie n -ojo nario išraišką ir pirmųjų narių rinkinio sumos formulę. Prieš pradedant bet kurios iš šių problemų sprendimą, rekomenduojama atidžiai perskaityti būklę, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada tęsti sprendimą.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tai turite tai padaryti, nes šiuo atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos pavyzdyje, naudojant 6 sprendimą, galima sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am ir nutraukti bendrą problemą į atskiras papildomas užduotis (šiuo atveju pirmiausia suraskite narius an ir am).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip tai buvo padaryta kai kuriuose pateiktuose pavyzdžiuose. Mes išsiaiškinome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei suprasite, tai nėra taip sunku.

Prieš pradėdami apsispręsti aritmetinės progresijos problemos, apsvarstykite, kas yra skaičių seka, nes aritmetinė progresija yra ypatingas skaičių sekos atvejis.

Skaitinė seka yra skaitinė aibė, kurios kiekvienas elementas turi savo eilės numerį... Šio rinkinio elementai vadinami sekos nariais. Sekos elemento eilės numeris nurodomas indeksu:

Pirmasis sekos elementas;

Penktasis sekos elementas;

- „n“ sekos elementas, t.y. punktas „eilėje“ n.

Yra ryšys tarp sekos elemento vertės ir jo eilės numerio. Todėl seką galime galvoti kaip funkciją, kurios argumentas yra eilės elemento eilės numeris. Kitaip tariant, mes galime tai pasakyti seka yra natūralaus argumento funkcija:

Seką galima nustatyti trimis būdais:

1 . Seką galima nustatyti naudojant lentelę.Šiuo atveju mes tiesiog nustatome kiekvieno sekos nario vertę.

Pavyzdžiui, kažkas nusprendė pradėti asmeninį laiko valdymą ir pirmiausia apskaičiuoti, kiek laiko jis per savaitę praleidžia „VKontakte“. Užrašęs laiką lentelėje, jis gaus seką, susidedančią iš septynių elementų:

Pirmoje lentelės eilutėje yra savaitės dienos numeris, antroje - laikas minutėmis. Matome, kad, pirmadienį, kažkas „VKontakte“ praleido 125 minutes, tai yra ketvirtadienį - 248 minutes, o penktadienį - tik 15.

2 . Seką galima nurodyti naudojant n -osios termino formulę.

Šiuo atveju sekos elemento vertės priklausomybė nuo jo skaičiaus išreiškiama tiesiogiai formulės pavidalu.

Pavyzdžiui, jei, tada

Norėdami rasti sekos elemento, turinčio nurodytą skaičių, vertę, elemento numerį pakeisime į n -ojo nario formulę.

Tą patį darome, jei reikia rasti funkcijos vertę, jei argumento vertė žinoma. Pakeiskite argumento vertę į funkcijos lygtį:

Jei pvz. , tada

Dar kartą pastebiu, kad sekoje, skirtingai nuo savavališkos skaitinės funkcijos, argumentu gali būti tik natūralusis skaičius.

3 ... Seką galima nurodyti naudojant formulę, kuri išreiškia sekos nario, suskaičiuoto su numeriu, vertės priklausomybę nuo ankstesnių narių vertės. Šiuo atveju mums nepakanka žinoti tik sekos nario numerį, kad rastume jo vertę. Turime nurodyti pirmąjį ar pirmuosius sekos narius.

Pavyzdžiui, apsvarstykite seką ,

Galime rasti sekos narių vertybes sekoje pradedant nuo trecio:

Tai yra, kiekvieną kartą, norėdami rasti sekos n-ojo nario vertę, grįžtame prie dviejų ankstesnių. Šis sekos nustatymo būdas vadinamas pasikartojantis, iš lotyniško žodžio pasikartojimas- grįžk.

Dabar galime apibrėžti aritmetinę progresiją. Aritmetinė progresija yra paprastas ypatingas skaičių sekos atvejis.

Aritmetinė progresija yra skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, pridėtas prie to paties skaičiaus.

Skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumas... Aritmetinės progresijos skirtumas gali būti teigiamas, neigiamas arba lygus nuliui.

Jei pavadinimas = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} didėja.

Pavyzdžiui, 2; 5; aštuoni; vienuolika;...

Jei, tada kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra mažesnis nei ankstesnis, ir progresija yra mažėja.

Pavyzdžiui, 2; -1; -4; -7; ...

Jei, tada visi progresijos nariai yra lygūs tam pačiam skaičiui, o progresija yra stacionarus.

Pavyzdžiui, 2; 2; 2; 2; ...

Pagrindinė aritmetinės progresijos savybė:

Pažvelkime į paveikslėlį.

Mes tai matome

, ir tuo pačiu metu

Pridėjus šias dvi lygtis, gauname:

.

Padalinkite abi lygybės puses iš 2:

Taigi kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus dviejų gretimų aritmetiniam vidurkiui:

Be to, nuo tada

, ir tuo pačiu metu

, tada

, ir todėl

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, prasidedantis titulu = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Trečiojo nario formulė.

Matome, kad aritmetinės progresijos nariams yra šie santykiai:

ir, galiausiai

Mes turime n -ojo nario formulė.

SVARBU! Bet kuris aritmetinės progresijos narys gali būti išreikštas ir. Žinodami pirmąjį terminą ir aritmetinės progresijos skirtumą, galite rasti bet kurį jo terminą.

Aritmetinės progresijos n narių suma.

Vykdant savavališką aritmetinę progresiją, narių, esančių vienodu atstumu nuo kraštutinumų, sumos yra lygios viena kitai:

Apsvarstykite aritmetinę progresiją su n nariais. Tegul yra šios progresijos n narių suma.

Iš pradžių išdėstykime progresijos narius didėjančia skaičių tvarka, o tada mažėjančia tvarka:

Pridėkime poromis:

Kiekvieno skliausto suma lygi, porų skaičius n.

Mes gauname:

Taigi, aritmetinės progresijos n narių sumą galima rasti pagal formules:

Apsvarstykite sprendžiant aritmetinės progresijos problemas.

1 . Seka pateikiama pagal n -osios formulės formulę: . Įrodykite, kad ši seka yra aritmetinė progresija.

Įrodykime, kad skirtumas tarp dviejų gretimų sekos narių yra lygus tam pačiam skaičiui.

Gavome, kad skirtumas tarp dviejų gretimų sekos narių nepriklauso nuo jų skaičiaus ir yra pastovus. Todėl pagal apibrėžimą ši seka yra aritmetinė progresija.

2 . Jums pateikiama aritmetinė progresija -31; -27; ...

a) Raskite 31 progresijos narį.

b) Nustatykite, ar skaičius 41 įtrauktas į šią progresiją.

a) Mes tai matome;

Parašykime mūsų progreso n -tosios formulės formulę.

Apskritai

Mūsų atveju , todėl

Mes gauname:

b) Tarkime, 41 yra sekos narys. Raskime jo numerį. Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame lygtį:

Mes gavome n natūraliąją vertę, todėl taip, skaičius 41 yra progresijos narys. Jei nustatyta n reikšmė nebūtų natūralusis skaičius, atsakytume, kad skaičius 41 NĖRA progresijos narys.

3 ... a) Tarp skaičių 2 ir 8 įterpkite 4 skaičius, kad jie kartu su nurodytais skaičiais atliktų aritmetinę progresiją.

b) Raskite gautos progresijos narių sumą.

a)Įterpkite keturis skaičius tarp skaičių 2 ir 8:

Mes gavome aritmetinę pažangą su 6 nariais.

Raskime šios progresijos skirtumą. Norėdami tai padaryti, mes naudosime n -ojo termino formulę:

Dabar nesunku rasti skaičių reikšmes:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Atsakymas: a) taip; b) 30

4. Sunkvežimis gabena 240 tonų sveriančio skaldos partiją, kasdien padidindamas gabenimo greitį tiek pat tonų. Yra žinoma, kad per pirmąją dieną buvo gabenamos 2 tonos skaldos. Nustatykite, kiek tonų skaldos buvo gabenama dvyliktą dieną, jei visi darbai buvo baigti per 15 dienų.

Atsižvelgiant į problemos būklę, sunkvežimiu pervežamų skaldų kiekis kasdien didėja tuo pačiu kiekiu. Todėl mes susiduriame su aritmetine progresija.

Suformuluokime šią problemą kaip aritmetinę progresiją.

Per pirmąją dieną buvo gabenamos 2 tonos skaldos: a_1 = 2.

Visi darbai buvo atlikti per 15 dienų :.

Sunkvežimis gabena 240 tonų sveriančio skaldos partiją:

Mums reikia rasti.

Pirmiausia raskite progresavimo skirtumą. Naudokime progreso n terminų sumos formulę.

Mūsų atveju:

Taip, taip: aritmetinis progresas jums ne žaislas :)

Na, draugai, jei skaitote šį tekstą, tada vidiniai dangtelio įrodymai man sako, kad jūs dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet jūs tikrai (ne, taip: SOOOOO!) Norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir iš karto imsiuosi reikalų.

Pradėkime nuo poros pavyzdžių. Apsvarstykite keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Kas bendro tarp visų šių rinkinių? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų yra kažkas. Būtent: kiekvienas kitas elementas skiriasi nuo ankstesnio tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tiesiog nuoseklūs skaičiai, kurių kiekvienas yra didesnis nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp gretimų skaičių jau lygus penkiems, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju šaknys apskritai. Tačiau $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, o $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, t.y. ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $ \ sqrt (2) $ (ir nebijokite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis. Pateiksime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas skiriasi nuo ankstesnio lygiai tokia pačia suma, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progreso skirtumu ir dažniausiai žymima raide $ d $.

Pavadinimas: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - pati progresija, $ d $ - jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, tik tvarkingas skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai tokia tvarka, kokia jie parašyti - ir nieko daugiau. Negalite pertvarkyti ar pakeisti numerių.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei kažką rašote dvasia (1; 2; 3; 4; ...) - tai jau begalinis progresas. Elipsė po keturių tarsi užuomina, kad vis dar vyksta nemažai skaičių. Pavyzdžiui, be galo daug. :)

Taip pat norėčiau pastebėti, kad progresas didėja ir mažėja. Mes jau matėme didėjančius - tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). O štai progresavimo mažėjimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Gerai, gerai: šis paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, supranti. Todėl pateiksime naujas apibrėžtis:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis nei ankstesnis;
2. mažėja, jei, priešingai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis už ankstesnį.

Be to, yra vadinamųjų „stacionarių“ sekų - jos susideda iš to paties pasikartojančio skaičiaus. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresiją nuo mažėjančios? Laimei, viskas priklauso nuo skaičiaus $ d $ ženklo, t.y. Skirtumo progresas:

1. Jei $ d \ gt 0 $, progresas didėja;
2. Jei $ d \ lt 0 $, tai progresas akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $ d = 0 $ - šiuo atveju visa progresija sumažinama iki stacionarios identiškų skaičių sekos: (1; 1; 1; 1; ...) ir kt.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $ d $ trims aukščiau pateiktoms mažėjančioms progresijoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kokius du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti kairėje esantį skaičių iš dešinėje esančio skaičiaus. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Kaip matote, visais trimis atvejais skirtumas tikrai pasirodė neigiamas. O dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, atėjo laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios yra jų savybės.

Pažangos nariai ir pasikartojanti formulė

Kadangi mūsų sekų elementų negalima pakeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\ [\ kairė (((a) _ (n)) \ dešinė) = \ kairė \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), (a) _ (3 )), ... \ teisingai \) \]

Atskiri šio rinkinio elementai vadinami progresavimo nariais. Jie žymimi skaičiumi: pirmasis terminas, antrasis terminas ir kt.

Be to, kaip jau žinome, kaimyniniai progresijos nariai yra susiję pagal formulę:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Dešinysis rodyklė ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti $ n $ -ąjį terminą progresijoje, turite žinoti $ n-1 $ -ąjį terminą ir $ d $ skirtumą. Tokia formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba galite rasti bet kokį skaičių, tik žinodami ankstesnį (ir iš tikrųjų - visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra sudėtingesnė formulė, kuri sumažina bet kokius skaičiavimus iki pirmojo termino ir skirtumo:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (n-1 \ dešinė) d \]

Žinoma, jūs jau susidūrėte su šia formule. Jie mėgsta tai duoti įvairiose žinynuose ir rešebikuose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje ji eina viena pirmųjų.

Nepaisant to, siūlau šiek tiek pasipraktikuoti.

1 problema. Parašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, jei $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmą terminą $ ((a) _ (1)) = 8 $ ir progresijos skirtumą $ d = -5 $. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $ n = 1 $, $ n = 2 $ ir $ n = 3 $:

\ [\ begin (lygiuoti) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (n-1 \ dešinė) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (1-1 \ dešinė) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & (a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (2-1 \ dešinė) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & (a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (3-1 \ dešinė) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (lygiuoti) \]

Atsakymas: (8; 3; −2)

Tai viskas! Atkreipkite dėmesį: mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $ n = 1 $ negalėjo būti pakeistas - pirmasis terminas mums jau žinomas. Tačiau, pakeisdami vieną, įsitikinome, kad mūsų formulė veikia net pirmą kadenciją. Kitais atvejais viskas virto nereikšminga aritmetika.

2 problema. Parašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei septintasis narys yra –40, o septynioliktasis - –50.

Sprendimas. Užrašykime problemos būklę įprastais terminais:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ kairėn \ (\ begin (lygiuoti) & (a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (lygiuoti) \ dešinėn. \]

\ [\ kairėn \ (\ prasideda (lygiuoti) & (a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & (a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ pabaiga (lygiuoti) \ teisingai.]

Aš įdėjau sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Ir dabar atkreipkite dėmesį, kad jei iš antrosios lygties atimsime pirmąją (mes turime teisę tai daryti, nes turime sistemą), gauname tai:

\ [\ begin (align) & (a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ right); \\ & (a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (lygiuoti) \]

Štai kaip lengvai radome progreso skirtumą! Belieka rastą skaičių pakeisti bet kuria sistemos lygtimi. Pavyzdžiui, pirmoje:

\ [\ begin (matrica) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matrica) \]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka surasti antrąjį ir trečiąjį terminus:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & (a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (lygiuoti) \]

Paruošta! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į įdomią mūsų atrastos progresijos savybę: jei paimsime $ n $ th ir $ m $ th terminus ir atimsime juos vienas nuo kito, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš skaičiaus $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n -m \ right) \]

Paprasta, bet labai naudinga savybė, kurią tikrai turėtumėte žinoti - jos pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresuojančių problemų sprendimą. Štai puikus pavyzdys:

3 problema. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis - 14,4. Raskite penkioliktąjį šios progresijos terminą.

Sprendimas. Kadangi $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $, ir jums reikia rasti $ ((a) _ (15)) $, tada pastebime, kad :

\ [pradėti (suderinti) & (a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (lygiuoti) \]

Bet pagal sąlygą $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 USD, taigi 5 USD = 6 USD, iš kur turime:

\ [\ prasideda (lygiuoti) & (a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & (a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (lygiuoti) \]

Atsakymas: 20.4

Tai viskas! Mums nereikėjo sudaryti kai kurių lygčių sistemų ir apskaičiuoti pirmojo nario ir skirtumo - viskas buvo išspręsta vos per kelias eilutes.

Dabar apsvarstykime kito tipo užduotis - surasti neigiamus ir teigiamus progresavimo narius. Ne paslaptis, kad jei progresas didėja, o pirmasis terminas yra neigiamas, tada anksčiau ar vėliau jame atsiras teigiamų terminų. Ir priešingai: mažėjančios progresijos nariai anksčiau ar vėliau taps neigiami.

Tuo pačiu metu toli gražu ne visada įmanoma apčiuopti šią akimirką „galva“, nuosekliai einant per elementus. Dažnai problemos yra suplanuotos taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis lapus - mes tiesiog užmigtume, kol rasime atsakymą. Todėl mes stengsimės šias problemas išspręsti greičiau.

4 problema. Kiek neigiamų terminų yra aritmetinėje progresijoje -38,5; −35,8; ...?

Sprendimas. Taigi, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, iš kur mes iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresas didėja. Pirmasis terminas yra neigiamas, todėl tam tikru momentu mes tikrai susidursime su teigiamais skaičiais. Vienintelis klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti: kiek laiko (t. Y. Iki kokio natūralaus skaičiaus $ n $) išsaugomas terminų negatyvumas:

\ [\ begin (lygiuoti) & (a) _ (n)) \ lt 0 \ Dešinėn rodyklė ((a) _ (1)) + \ kairė (n-1 \ dešinė) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ kairė (n -1 \ dešinė) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ teisingai. \\ & -385 + 27 \ cdot \ kairė (n -1 \ dešinė) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Dešinė rodyklė ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (lygiuoti) \]

Paskutinė eilutė reikalauja paaiškinimo. Taigi, mes žinome, kad $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Kita vertus, būsime patenkinti tik sveikųjų skaičių reikšmėmis (be to: $ n \ in \ mathbb (N) $), todėl didžiausias leistinas skaičius yra lygiai $ n = 15 $ ir jokiu būdu 16.

5 problema. Aritmetinėje progresijoje $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, tačiau mes nežinome $ ((a) _ (1)) $. Tačiau gretimi terminai yra žinomi: $ ((a) _ (5)) $ ir $ ((a) _ (6)) $, todėl galime lengvai rasti progreso skirtumą:

Be to, mes stengsimės išreikšti penktąjį terminą pirmuoju ir skirtumu pagal standartinę formulę:

\ [\ begin (lygiuoti) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kairė (n-1 \ dešinė) \ cdot d; \\ & (a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & (a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (lygiuoti) \]

Dabar tęsiame pagal analogiją su ankstesne užduotimi. Mes sužinome, kuriame mūsų sekos taške bus teigiami skaičiai:

\ [\ begin (lygiuoti) & (a) _ (n)) = - 162+ \ kairėn (n -1 \ dešinė) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Dešinė rodyklė ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (lygiuoti) \]

Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra 56.

Atminkite: paskutinėje užduotyje viskas buvo sumažinta iki griežtos nelygybės, todėl $ n = 55 $ variantas mums netiks.

Dabar, kai išmokome išspręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išnagrinėkime dar vieną labai naudingą aritmetinių progresijų savybę, kuri ateityje sutaupys mums daug laiko ir nevienodas ląsteles. :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Apsvarstykite kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos narius $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Pabandykime juos pažymėti skaičių eilutėje:

Skaičių eilutės aritmetinės progresijos nariai

Aš konkrečiai pažymėjau savavališkus terminus $ ((a) _ (n-3)), ..., (a) _ (n + 3)) $, o ne bet kurį $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ ir kt. Nes taisyklė, apie kurią aš dabar kalbėsiu, veikia vienodai visiems „segmentams“.

Ir taisyklė labai paprasta. Prisiminkime pasikartojimo formulę ir užsirašykime ją visiems pažymėtiems nariams:

\ [\ prasideda (lygiuoti) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (lygiuoti) \]

Tačiau šios lygybės gali būti perrašytos skirtingai:

\ [\ prasideda (lygiuoti) & ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (lygiuoti) \]

Na, ir kas? Ir tai, kad terminai $ ((a) _ (n-1)) $ ir $ ((a) _ (n + 1)) $ yra tame pačiame atstume nuo $ ((a) _ (n)) $ . Ir šis atstumas yra lygus $ d $. Tą patį galima pasakyti apie narius $ ((a) _ (n -2)) $ ir $ ((a) _ (n + 2)) $ - jie taip pat pašalinami iš $ ((a) _ (n) ) $ tas pats atstumas lygus $ 2d $. Galite tęsti neribotą laiką, tačiau prasmę puikiai iliustruoja paveikslėlis.

Progreso nariai guli tuo pačiu atstumu nuo centro

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad galite rasti $ ((a) _ (n)) $, jei žinomi gretimi skaičiai:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Mes sugalvojome puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų terminų aritmetiniam vidurkiui! Be to: mes galime nukrypti nuo $ ((a) _ (n)) $ kairėn ir dešinėn ne vienu žingsniu, o $ k $ žingsniais - ir vis tiek formulė bus teisinga:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Tie. mes galime lengvai rasti $ ((a) _ (150)) $, jei žinome $ ((a) _ (100)) $ ir $ ((a) _ (200)) $, nes $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums neduoda nieko naudingo. Tačiau praktikoje daugelis problemų yra specialiai „užaštrintos“ naudojant aritmetinį vidurkį. Pažiūrėk:

6 problema. Raskite visas $ x $ vertes, kurių skaičiai $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ ir $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ yra iš eilės aritmetinės progresijos (tvarka).

Sprendimas. Kadangi nurodyti skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinį elementą $ x + 1 $ galima išreikšti gretimais elementais:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (lygiuoti) \]

Rezultatas yra klasikinė kvadratinė lygtis. Jos šaknys: $ x = 2 $ ir $ x = -3 $ - tai yra atsakymai.

Atsakymas: −3; 2.

7 problema. Raskite $$ reikšmes, kurių skaičiai $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ atlieka aritmetinę progresiją (tokia tvarka).

Sprendimas. Vėlgi, mes išreiškiame vidurinį terminą kaimyninių terminų aritmetiniu vidurkiu:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac ((((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ right.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (lygiuoti) \]

Vėl kvadratinė lygtis. Ir vėl yra dvi šaknys: $ x = 6 $ ir $ x = 1 $.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą gausite keletą žiaurių skaičių arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tada yra nuostabi technika, leidžianti patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Pavyzdžiui, 6 užduotyje gavome atsakymus -3 ir 2. Kaip patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkime juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Leiskite jums priminti, kad turime tris skaičius ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ ir $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), kurie turi sudaryti aritmetinę progresiją. Pakaitalas $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Dešinėn rodyklė \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (lygiuoti) \]

Gauti skaičiai -54; −2; 50, kuris skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka ir su $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Dešinė rodyklė \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (lygiuoti) \]

Vėl progresas, bet su skirtumu 27. Taigi problema išspręsta teisingai. Susidomėjusieji gali savarankiškai patikrinti antrąją problemą, bet iš karto pasakysiu: ir ten viskas teisinga.

Apskritai, spręsdami paskutines problemas, susidūrėme su dar vienu įdomiu faktu, kurį taip pat reikia prisiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra pirmojo ir paskutiniojo aritmetinis vidurkis, tada šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis pažodžiui „sukonstruoti“ būtinas pažangas, atsižvelgiant į problemos būklę. Tačiau prieš pradėdami tokią „statybą“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo svarstyta.

Elementų grupavimas ir suma

Vėl grįžkime prie skaičių ašies. Pažymėkime keletą progresijos narių, tarp kurių galbūt. yra daug kitų narių:

Skaičių eilutėje yra pažymėti 6 elementai

Pabandykime „kairę uodegą“ išreikšti $ ((a) _ (n)) $ ir $ d $, o „dešinę uodegą“ - $ ((a) _ (k)) $ ir $ d $ . Tai labai paprasta:

\ [\ begin (lygiuoti) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (lygiuoti) \]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\ [\ prasideda (lygiuoti) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (lygiuoti) \]

Paprasčiau tariant, jei pradžiai laikysime du progresavimo elementus, kurie iš viso prilygsta tam tikram $ S $ skaičiui, tada pradėsime vaikščioti nuo šių elementų priešingomis kryptimis (vienas kito link arba atvirkščiai, kad pasitrauktume), tada elementų, į kuriuos atsitiksime, sumos taip pat bus lygios$ S $. Tai aiškiausiai galima pavaizduoti grafiškai:

Vienodas įdubimas suteikia vienodas sumas

Suprasdami šį faktą, galėsime išspręsti iš esmės didesnio sudėtingumo problemas nei tos, kurias svarstėme aukščiau. Pavyzdžiui, tokie:

8 problema. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo nario sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\ [pradėti (suderinti) & (a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (lygiuoti) \]

Taigi, mes nežinome progreso skirtumo $ d $. Tiesą sakant, visas sprendimas bus pagrįstas skirtumu, nes produktą $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ galima perrašyti taip:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & (a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & (a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ kairė (66 + d \ dešinė) \ cdot \ kairė (66 + 11 d \ dešinė) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ end (lygiuoti) \]

Tiems, kurie yra tanke: iš antrojo skliausto išėmiau bendrą koeficientą 11. Taigi ieškomas produktas yra kvadratinė funkcija kintamojo $ d $ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - jos grafikas bus parabolė su šakomis aukštyn, nes jei išplėsime skliaustus, gausime:

\ [\ begin (lygiuoti) & f \ kairėn (d \ dešinė) = 11 \ kairėn (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ dešinėn) = \\ & = 11 ((( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (lygiuoti) \]

Kaip matote, pagrindinio termino koeficientas yra 11 - tai teigiamas skaičius, todėl mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis:

kvadratinės funkcijos grafikas - parabolė

Atkreipkite dėmesį: ši parabolė užima minimalią vertę savo viršūnėje su $ ((d) _ (0)) $. Žinoma, mes galime apskaičiuoti šią abscisę pagal standartinę schemą (taip pat yra formulė $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), bet tai būtų daug protingiau pastebėti, kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $ ((d) _ (0)) $ yra vienodai nutolęs nuo lygties $ f \ left (d \ right) = 0 $ šaknų:

\ [\ begin (lygiuoti) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (lygiuoti) \]

Štai kodėl aš neskubėjau atidaryti skliaustų: pradine forma šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]

Ką mums suteikia atrastas skaičius? Su juo reikalingas produktas įgauna mažiausią vertę (beje, mes neskaičiavome $ ((y) _ (\ min)) $ - mums to nereikia). Kartu šis skaičius yra skirtumas tarp pradinės progresijos, t.y. radome atsakymą. :)

Atsakymas: -36

9 problema. Įterpkite tris skaičius tarp skaičių $ - \ frac (1) (2) $ ir $ - \ frac (1) (6) $, kad jie kartu su nurodytais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Iš esmės turime sudaryti penkių skaičių seką, kurioje pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkime kintamaisiais $ x $, $ y $ ir $ z $:

\ [\ kairė (((a) _ (n)) \ dešinė) = \ kairė \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ dešinė \ ) \]

Atminkite, kad skaičius $ y $ yra mūsų sekos „vidurys“ - jis yra vienodai nutolęs nuo skaičių $ x $ ir $ z $ ir nuo skaičių $ - \ frac (1) (2) $ ir $ - \ frac (1) (6) $. Ir jei šiuo metu negalime gauti $ y $ iš skaičių $ x $ ir $ z $, tada progresavimo pabaigoje situacija yra kitokia. Prisimindami aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $ y $, rasime likusius skaičius. Atminkite, kad $ x $ yra tarp ką tik rastų skaičių $ - \ frac (1) (2) $ ir $ y = - \ frac (1) (3) $. Štai kodėl

Panašiai samprotaudami, mes randame likusį skaičių:

Paruošta! Radome visus tris skaičius. Užrašykime juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

10 problema. Įterpkite kelis skaičius tarp skaičių 2 ir 42, kurie kartu su šiais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinote, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptųjų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar sunkesnė užduotis, kuri vis dėlto sprendžiama pagal tą pačią schemą, kaip ir ankstesnės - per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad tiksliai nežinome, kiek skaičių įterpti. Todėl dėl aiškumo tarkime, kad įvedus viską bus tiksliai $ n $ skaičiai, o pirmasis iš jų yra 2, o paskutinis - 42. Tokiu atveju norimą aritmetinę progresiją galima pavaizduoti taip:

\ [\ kairė (((a) _ (n)) \ dešinė) = \ kairė \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ dešinė \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $ ((a) _ (2)) $ ir $ ((a) _ (n-1)) $ gaunami iš skaičių 2 ir 42 pakraščiuose vienu žingsniu vienas kito link, ty ... į sekos centrą. Tai reiškia, kad

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Bet tada aukščiau parašytą išraišką galima perrašyti taip:

\ [pradėti (suderinti) & (a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ kairė (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ dešinė) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & (a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (lygiuoti) \]

Žinodami $ ((a) _ (3)) $ ir $ ((a) _ (1)) $, galime lengvai rasti progreso skirtumą:

\ [\ prasideda (lygiuoti) & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ kairė (3-1 \ dešinė) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Dešinė rodyklė d = 5. \\ \ end (lygiuoti) \]

Belieka tik surasti likusius narius:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & (a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & (a) _ (3)) = 12; \\ & (a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & (a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & (a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & (a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & (a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & (a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (lygiuoti) \]

Taigi, jau 9 -ajame žingsnyje pateksime į kairįjį sekos galą - skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Žodžių problemos su progresavimu

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų užduočių. Na, kaip paprasta: daugumai moksleivių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios užduotys gali atrodyti kaip skarda. Nepaisant to, būtent tokios problemos kyla OGE ir USE matematikoje, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

Problemos numeris 11. Sausio mėnesį brigada pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei ankstesnę. Kiek dalių komanda padarė lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, suplanuotas pagal mėnesį, parodys vis didesnę aritmetinę progresiją. Be to:

\ [pradėti (suderinti) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ kairė (n-1 \ dešinė) \ cdot 14. \\ \ end (lygiuoti) \]

Lapkritis yra 11 -asis metų mėnuo, todėl turime rasti $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ 14 taškas = 202 \]

Taigi lapkritį bus pagaminta 202 dalys.

Problemos numeris 12. Knygų rišimo dirbtuvės sausio mėnesį surišo 216 knygų, o kiekvieną kitą mėnesį surišo 4 knygomis daugiau nei ankstesnė. Kiek knygų gruodžio mėnesį surišo seminaras?

Sprendimas. Visi vienodi:

$ \ begin (align) & (a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & (a) _ (n)) = 216+ \ kairė (n-1 \ dešinė) \ cdot 4. \\ \ end (lygiuoti) $

Gruodis yra paskutinis, 12 -asis metų mėnuo, todėl ieškome $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ 4 taškas = 260 \]

Tai yra atsakymas - gruodžio mėnesį įrišamos 260 knygų.

Na, jei perskaitėte taip toli, skubu jus pasveikinti: sėkmingai įveikėte „jaunųjų kovotojų kursą“ aritmetinėmis pažangomis. Galite saugiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progreso sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.

Pirmasis lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi sėskime ir pradėkime rašyti kai kuriuos skaičius. Pavyzdžiui:
Galite parašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek jums patinka (mūsų atveju - jie). Kad ir kiek skaičių rašytume, visada galime pasakyti, kuris iš jų yra pirmasis, kuris antrasis ir tt iki paskutinio, tai yra, galime juos suskaičiuoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskiriamas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų antrųjų skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -asis) visada yra vienas.
Skaičius su skaičiumi vadinamas trečiuoju sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui:.

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir kt.
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Sąvoką „progresija“ VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir ji buvo suprantama platesne prasme kaip nesibaigianti skaičių seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią užėmė senovės graikai.

Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtas prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkime mūsų atsakymus:
Yra aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie nurodytos progresijos () ir pabandykime rasti jos trečiojo nario vertę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Mes galime pridėti prie ankstesnės progreso skaičiaus vertės, kol pateksime į trečiąjį progresijos terminą. Gerai, kad nebeturime daug ką apibendrinti - tik trys vertės:

Taigi, aprašytos aritmetinės progresijos trečiasis narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikia rasti progreso progreso vertę? Apibendrinimas užtruktų daugiau nei vieną valandą, ir ne faktas, kad neklystume pridėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nereikia pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės vertės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį ... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą modelį, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip pridedama šio aritmetinės progresijos trečiojo nario vertė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Apskaičiuota? Palyginkite savo pastabas su atsakymu:

Atminkite, kad gavote lygiai tą patį skaičių, kaip ir ankstesniame metode, kai iš eilės pridėjome aritmetinės progresijos narius prie ankstesnės vertės.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę - suformuosime ją į bendrą formą ir gausime:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetika progresuoja, o kartais mažėja.

Didėjantis- progresas, kai kiekviena paskesnė narių vertė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėja- progresas, kai kiekviena paskesnė narių vertė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant aritmetinės progresijos sąlygas tiek didėjančiomis, tiek mažėjančiomis sąlygomis.
Patikrinkime tai praktikoje.
Mums pateikiama aritmetinė progresija, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei apskaičiuosime pagal formulę:

Nuo tada:

Taigi įsitikinome, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite savarankiškai rasti šios aritmetinės progresijos trečiąją ir trečiąją sąlygas.

Palyginkime gautus rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtinkime užduotį - išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, mums suteikiama ši sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite vertę.
Lengva, tu sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Leiskite, a:

Visiškai teisus. Pasirodo, kad pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresą vaizduoja mažos vertės, tai nėra nieko sudėtingo, bet jei mums pateikiami skaičiai būkle? Pripažinkite, yra tikimybė suklysti skaičiuojant.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu veiksmu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir būtent ją mes dabar bandysime pasitraukti.

Pažymėkime reikiamą aritmetinės progresijos terminą, kaip žinome jo paieškos formulę - tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, tada:

• ankstesnis progreso narys yra:
• kitas progresijos narys yra:

Apibendrinkime ankstesnius ir vėlesnius progresijos narius:

Pasirodo, kad ankstesnių ir vėlesnių progresijos narių suma yra padvigubinta tarp jų esančios progresijos nario vertė. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis vertėmis, būtina jas sudėti ir padalyti.

Teisingai, gavome tą patį skaičių. Pataisykime medžiagą. Progreso vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.

Šauniai padirbėta! Jūs beveik viską žinote apie progresavimą! Liko mokytis tik vienos formulės, kurią, pasak legendos, pats nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ - Karlas Gaussas ...

Kai Karlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiimantis kitų klasių mokinių darbo tikrinimu, pamokoje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) per minutę teisingai atsakė į problemą, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą ...

Jaunasis Karlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: turime rasti duotų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, mes galime rankiniu būdu susumuoti visas vertes, bet ką daryti, jei užduotyje reikia rasti jos narių sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Nubrėžkime tam tikrą progresą. Atidžiai peržiūrėkite paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairias matematines operacijas.


Ar bandėte? Ką pastebėjote? Teisingai! Jų sumos lygios

Dabar pasakyk man, kiek tokių porų yra tam tikroje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad visa suma yra:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome trečiojo termino, tačiau žinome progreso skirtumą. Pabandykite sumos formulėje pakeisti trečiojo termino formulę.
Ką tu padarei?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie problemos, kuri buvo pateikta Karlui Gausui: apskaičiuokite patys, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -osios, ir skaičių, prasidedančių nuo -osios, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad narių suma yra lygi, o narių suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę dar trečiajame amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės galingai ir iš esmės naudojo aritmetinės progresijos savybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir ambicingiausią to meto statybvietę - piramidės statybą ... Paveikslėlyje parodyta viena jos pusė.

Kur čia progresas, sakote? Atidžiai pažiūrėkite ir raskite smėlio blokų skaičiaus modelį kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Ar tai ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei blokelio plytos dedamos į pagrindą. Tikiuosi, neskaičiuosite pirštu perbraukę monitorių, ar prisimenate paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip :.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuosime 2 būdais).

1 metodas.

2 metodas.

Dabar monitoriuje galite apskaičiuoti: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar tai susibūrė? Gerai padaryta, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos sąlygų sumą.
Žinoma, jūs negalite pastatyti piramidės iš blokų bazėje, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su šia sąlyga.
Ar susitvarkėte?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Sportuoti

Užduotys:

1. Vasarą Masha įgauna formą. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša tupės per savaites, jei per pirmąją treniruotę ji atlikdavo pritūpimus.
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Saugodami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu žurnalu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei rąstai yra mūro pagrindas.

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Po dviejų savaičių Masha turėtų tupėti kartą per dieną.

2. Pirmasis nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau mes patikrinsime šį faktą naudodami formulę, skirtą rasti aritmetinės progresijos -ąjį terminą:

   Skaičiuose yra nelyginiai skaičiai.
   Turimus duomenis pakeiskite į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime piramidės problemą. Mūsų atveju a, nes kiekvienas viršutinis sluoksnis yra sumažintas vienu žurnalu, tada tik daugybe sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskite duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstai.

Apibendrinkime

1. - skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti ir mažėti.
2. Formulės paieška-asis aritmetinės progresijos narys užrašomas pagal formulę -, kur yra progresijos skaičių skaičius.
3. Aritmetinės progresijos narių nuosavybė- kur yra progresuojančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PAŽANGA. VIDUTINIS LYGIS

Skaičių seka

Sėskime ir pradėkime rašyti kai kuriuos skaičius. Pavyzdžiui:

Galite parašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek jums patinka. Bet jūs visada galite pasakyti, kuris iš jų yra pirmasis, kuris antrasis ir pan., Tai yra, mes galime juos suskaičiuoti. Tai skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš jų galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir vieninteliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas trečiuoju sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas lygus šio nario skaičiui:.

Labai patogu, jei sekos terminą galima nurodyti kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nurodo seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis terminas čia yra lygus, o skirtumas). Arba (, skirtumas).

N -osios formulės formulė

Pasikartojančią vadiname formule, pagal kurią norėdami sužinoti trečiąjį narį, turite žinoti ankstesnius ar kelis ankstesnius:

Norėdami rasti, pavyzdžiui, trečiąjį progreso terminą, naudodami tokią formulę, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, kokia dabar formulė?

Kiekvienoje eilutėje, kurią pridedame, padauginame iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario numeris, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes patikriname:

Nuspręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n -tosios formulės formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Ir štai ką:

(taip yra todėl, kad jis vadinamas skirtumu, kuris yra lygus tolesnių progresijos narių skirtumui).

Taigi formulė yra tokia:

Tada šimtasis terminas yra:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, puikus matematikas Karlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir paskutiniojo skaičiaus suma yra ta pati, trečio ir trečio suma nuo pabaigos yra vienoda ir t.t. Kiek tokių porų bus? Teisingai, lygiai pusę visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendroji bet kurios aritmetinės progresijos narių sumos formulė būtų tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviejų skaitmenų kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi, mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Trečioji šio progreso formulė yra tokia:

Kiek narių progresuoja, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva: .

Paskutinė progresijos kadencija bus lygi. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar nuspręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas bėga daugiau m nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgs km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei ankstesnis. Pirmą dieną jis nuvažiavo km. Kiek dienų jam reikia keliauti, kad įveiktų km? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
3. Šaldytuvo kaina parduotuvėje kasmet mažėja tiek pat. Nustatykite, kiek šaldytuvo kaina kasmet sumažėjo, jei, parduodamas už rublius, po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Svarbiausia čia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos narių sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama :, būtina rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę, kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite vertes:

   Akivaizdu, kad šaknis netinka, todėl atsakymas yra.
   Apskaičiuokime paskutinės dienos nuvažiuotą atstumą pagal trečiosios formulės formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota :. Rasti:.
   Tai negali būti lengviau:
   (trina).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PAŽANGA. Trumpai apie PAGRINDINĮ

Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Formulė, leidžianti rasti n-ąjį aritmetinės progresijos terminą

parašyta pagal formulę, kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių nuosavybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai - kur yra progresijos skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai rasti sumą:

Kur yra vertybių skaičius.

Kur yra vertybių skaičius.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tuomet esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. O jei perskaitysite iki galo, vadinasi, esate 5%!

Dabar ateina pats svarbiausias dalykas.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir vėl tai yra ... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją dalį savo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti ...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, priėmimą į institutą dėl biudžeto ir, SVARBU, visą gyvenimą.

Aš tavęs niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką ...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie to negavo. Tai yra statistika.

Bet tai irgi nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie LABAI LAIMINGI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad jiems yra daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats ...

Ko reikia, kad egzaminas būtų tikrai geresnis už kitus ir galiausiai būtų ... laimingesnis?

ŠIĄ TEMĄ GAUTI RANKŲ SPRENDIMO PROBLEMAS.

Egzamino metu jūsų neprašys teorijos.

Jums reikės kurį laiką spręsti problemas.

Ir jei jų neišsprendėte (DAUG!), Jūs tikrai nueisite kur nors kvailai suklysti arba tiesiog nespėsite laiku.

Tai kaip ir sporte - reikia tikrai kartoti, kad tikrai laimėtum.

Raskite kolekciją ten, kur norite, būtinai su sprendimais, išsamia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Norėdami užpildyti ranką atlikdami mūsų užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo „YouClever“ vadovėlio gyvenimą.

Kaip? Yra du variantai:

1. Pasidalykite visomis paslėptomis užduotimis šiame straipsnyje - 299 r
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovo straipsniuose - 999 RUB

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai, o prieiga prie visų užduočių ir visų paslėptų tekstų gali būti atidaryta vienu metu.

Antruoju atveju mes tau duosim simuliatorius „6000 problemų su sprendimais ir atsakymais kiekvienai temai, visiems sudėtingumo lygiams“. To tikrai pakaks, kad suprastumėte bet kokios temos problemų sprendimą.

Tiesą sakant, tai yra daug daugiau nei tik simuliatorius - visa mokymo programa. Jei reikia, taip pat galite ja naudotis NEMOKAMAI.

Prieiga prie visų tekstų ir programų suteikiama visą svetainės gyvavimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, raskite kitas. Tik nesigilink į teoriją.

„Suprantu“ ir „aš sugebu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas išspręskite!