सुनहरा अनुपात - यह क्या है? क्या फाइबोनैचि संख्याएं हैं? डीएनए हेलिक्स, शेल, आकाशगंगा और मिस्र के पिरामिड में क्या समानता है? फाइबोनैचि सर्पिल प्रकृति का एक एन्क्रिप्टेड कानून है।

लियोनार्डो फिबोनाची मध्य युग के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। अपने एक काम "द बुक ऑफ कैलकुलेशन" में फिबोनाची ने कैलकुलस की इंडो-अरबी प्रणाली और रोमन एक पर इसका उपयोग करने के लाभों का वर्णन किया।

परिभाषा
फाइबोनैचि संख्याएं या फाइबोनैचि अनुक्रम एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम की दो आसन्न संख्याओं का योग अगले एक का मान देता है (उदाहरण के लिए, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5, आदि), जो तथाकथित फाइबोनैचि अनुपात के अस्तित्व की पुष्टि करता है। , अर्थात स्थिर अनुपात।

फाइबोनैचि अनुक्रम इस प्रकार शुरू होता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

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फाइबोनैचि संख्याओं की पूरी परिभाषा

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फाइबोनैचि अनुक्रम गुण

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1. क्रमिक संख्या बढ़ने पर प्रत्येक संख्या का अगली संख्या से अनुपात 0.618 हो जाता है। प्रत्येक संख्या का पिछली संख्या से अनुपात 1.618 (0.618 के विपरीत) हो जाता है। संख्या 0.618 को (PI) कहा जाता है।

2. प्रत्येक संख्या को अगले एक से विभाजित करने पर, एक के बाद एक संख्या 0.382 प्राप्त होती है; इसके विपरीत - क्रमशः 2.618।

3. इस तरह से अनुपातों को चुनने पर, हमें फाइबोनैचि गुणांक का मुख्य सेट मिलता है:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236।

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फाइबोनैचि अनुक्रम और "सुनहरा अनुपात" के बीच संबंध

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फाइबोनैचि अनुक्रम स्पर्शोन्मुख रूप से (अधिक से अधिक धीरे-धीरे आ रहा है) कुछ स्थिर अनुपात में जाता है। हालाँकि, यह अनुपात अपरिमेय है, अर्थात यह एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में दशमलव अंकों का एक अनंत, अप्रत्याशित अनुक्रम होता है। इसे सटीक रूप से व्यक्त करना असंभव है।

यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसके पहले वाले से विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, 13:8), तो परिणाम एक ऐसा मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है ... और, कभी-कभी, तब ऐसा होता है उस तक नहीं पहुंचना। लेकिन इस पर अनंत काल को छूने के बाद भी, अनुपात को अंतिम दशमलव अंक तक ठीक से जानना असंभव है। कठोरता के लिए, हम इसे 1.618 के रूप में अनुवादित करेंगे। इस अनुपात के लिए विशिष्ट नाम लुका पैसिओली (एक मध्य शताब्दी के गणितज्ञ) से पहले ही दिए जाने लगे थे, जिन्हें इसे दैवीय अनुपात कहा जाता था। इसके आधुनिक नामों में गोल्डन रेश्यो, गोल्डन मीन और रोटेटिंग स्क्वेयर का अनुपात जैसे नाम शामिल हैं। केप्लेप ने इस संबंध को "ज्यामिति के खजाने" में से एक कहा। बीजगणित में, इसका पदनाम आमतौर पर ग्रीक अक्षर फी द्वारा स्वीकार किया जाता है

आइए एक उदाहरण के रूप में एक रेखा खंड का उपयोग करके सुनहरे अनुपात की कल्पना करें।

ए और बी के सिरों वाले एक खंड पर विचार करें। बिंदु सी को खंड एबी को विभाजित करने दें ताकि,

एसी / सीबी = सीबी / एबी या

एबी / सीबी = सीबी / एसी।

आप इसके बारे में इस तरह सोच सकते हैं: ए - सी --- बी

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सुनहरा अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से को उतना ही संदर्भित करता है जितना कि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से को संदर्भित करता है; या दूसरे शब्दों में, एक छोटा खंड एक बड़े खंड से सब कुछ के लिए एक बड़ा के रूप में संबंधित है।

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सुनहरे अनुपात के खंड अनंत अपरिमेय अंश 0.618 द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ... यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, तो AC = 0.382 .. जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि संख्याएँ 0.618 और 0.382 फाइबोनैचि अनुक्रम के गुणांक हैं।

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प्रकृति और इतिहास में फाइबोनैचि और स्वर्ण अनुपात

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यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फिबोनाची, जैसा कि वह था, ने मानवता के लिए अपने अनुक्रम को याद दिलाया। वह प्राचीन यूनानियों और मिस्रियों के लिए भी जानी जाती थी। दरअसल, तब से प्रकृति, वास्तुकला, ललित कला, गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में, फाइबोनैचि गुणांक द्वारा वर्णित पैटर्न पाए गए हैं। यह आश्चर्यजनक है कि फिबोनाची अनुक्रम का उपयोग करके कितने स्थिरांक की गणना की जा सकती है, और इसके सदस्य बड़ी संख्या में संयोजनों में कैसे दिखाई देते हैं। हालाँकि, यह कहना अतिशयोक्ति नहीं होगी कि यह केवल संख्याओं वाला खेल नहीं है, बल्कि प्राकृतिक घटनाओं की अब तक की सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अभिव्यक्ति है।

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नीचे दिए गए उदाहरण इस गणितीय अनुक्रम के कुछ दिलचस्प अनुप्रयोग दिखाते हैं।

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1. खोल सर्पिल घाव है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। दस सेंटीमीटर के एक छोटे से खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल-घाव के खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। मुद्दा यह है कि खोल कर्ल के माप का अनुपात स्थिर और 1.618 के बराबर है। आर्किमिडीज ने गोले के सर्पिल का अध्ययन किया और सर्पिल के लिए समीकरण व्युत्पन्न किया। इस समीकरण से खींचे गए सर्पिल का नाम उनके नाम पर रखा गया है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

2. पौधे और जानवर। गोएथे ने भी प्रकृति की सर्पिल प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु की एक शाखा पर पत्तियों की व्यवस्था में प्रकट होती है, और इसलिए सुनहरे अनुपात का कानून स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी वेब को सर्पिल तरीके से बुनती है। एक सर्पिल में एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क के किनारे घास के बीच, एक अचूक पौधा उगता है - चिकोरी। आइए उसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक प्रक्रिया का निर्माण हुआ है। पहली शीट वहीं स्थित है। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन करता है, रुकता है, एक पत्ता छोड़ता है, लेकिन पहले की तुलना में छोटा होता है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाता है, लेकिन कम बल के साथ, एक और भी छोटे आकार की पत्ती को छोड़ता है और फिर से बाहर निकालता है। यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाई के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग धीरे-धीरे सुनहरे खंड के अनुपात में कम हो गए।

छिपकली जीवंत होती है। एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पकड़ा जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से उतनी ही जुड़ी होती है जितनी 62 से 38।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूट रही है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां, विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है। प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।

इस शताब्दी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता पर विचार किए बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है। स्वर्ण समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की आनुवंशिक संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक व्यक्ति और पूरे शरीर के अलग-अलग अंगों की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

3. अंतरिक्ष। खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि १८वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला (फिबोनाची) की सहायता से सौरमंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में नियमितता और व्यवस्था पाई।

हालांकि, एक मामला जो प्रतीत होता है कि कानून का खंडन करता है: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस क्षेत्र के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह १९वीं शताब्दी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ।

फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसका उपयोग जीवित प्राणियों के वास्तुशिल्प, और मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। ये तथ्य इसकी अभिव्यक्ति की शर्तों से संख्या श्रृंखला की स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

4. पिरामिड। कई लोगों ने गीज़ा में पिरामिड के रहस्यों को जानने की कोशिश की है। मिस्र के अन्य पिरामिडों के विपरीत, यह एक मकबरा नहीं है, बल्कि संख्या संयोजनों की एक अघुलनशील पहेली है। पिरामिड के वास्तुकारों की उल्लेखनीय सरलता, कौशल, समय और श्रम, जिसका उपयोग उन्होंने शाश्वत प्रतीक के निर्माण में किया था, उस संदेश के अत्यधिक महत्व को इंगित करते हैं जो वे आने वाली पीढ़ियों को देना चाहते थे। उनका युग पूर्व-साक्षर था, पूर्व-चित्रलिपि और प्रतीक ही खोजों को रिकॉर्ड करने का एकमात्र साधन थे। गीज़ा में पिरामिड के ज्यामितीय-गणितीय रहस्य की कुंजी, जो इतने लंबे समय से मानव जाति के लिए एक रहस्य थी, वास्तव में हेरोडोटस को मंदिर के पुजारियों द्वारा दी गई थी, जिन्होंने उन्हें बताया कि पिरामिड का निर्माण इसलिए किया गया था ताकि इसका क्षेत्रफल उसका प्रत्येक फलक उसकी ऊँचाई के वर्ग के बराबर था।

त्रिभुज क्षेत्र

356 x 440/2 = 78320

वर्गाकार क्षेत्र

280 x 280 = 78400

गीज़ा में पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई 783.3 फीट (238.7 मीटर) है, पिरामिड की ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। आधार पसली की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर अनुपात = 1.618 हो जाता है। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है - ये फाइबोनैचि अनुक्रम से संख्याएं हैं। इन दिलचस्प टिप्पणियों से पता चलता है कि पिरामिड का डिज़ाइन = 1.618 के अनुपात पर आधारित है। कुछ आधुनिक विद्वान यह व्याख्या करने के इच्छुक हैं कि प्राचीन मिस्रियों ने इसे ज्ञान प्रसारित करने के एकमात्र उद्देश्य से बनाया था जिसे वे भविष्य की पीढ़ियों के लिए संरक्षित करना चाहते थे। गीज़ा में पिरामिड के गहन अध्ययन से पता चला है कि उस समय गणित और ज्योतिष में कितना व्यापक ज्ञान था। पिरामिड के सभी आंतरिक और बाहरी अनुपातों में, संख्या 1.618 एक केंद्रीय भूमिका निभाती है।

मेक्सिको में पिरामिड। मिस्र के पिरामिड न केवल सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए हैं, वही घटना मैक्सिकन पिरामिड में पाई जाती है। यह विचार उठता है कि मिस्र और मैक्सिकन दोनों पिरामिड लगभग एक ही समय में आम वंश के लोगों द्वारा बनाए गए थे।

ब्रह्मांड में अभी भी कई अनसुलझे रहस्य हैं, जिनमें से कुछ वैज्ञानिक पहले ही पहचान और वर्णन कर पाए हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात किसी व्यक्ति द्वारा उसके आकार और इष्टतम दृश्य धारणा के निर्माण के लिए आसपास की दुनिया को हल करने का आधार बनाते हैं, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।

सुनहरा अनुपात

स्वर्ण खंड के आकार को निर्धारित करने का सिद्धांत इसकी संरचना और कार्यों में पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की पूर्णता का आधार है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्ण अनुपात का सिद्धांत प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा संख्याओं की प्रकृति के अध्ययन के परिणामस्वरूप निर्धारित किया गया था।

यह खंडों के विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि एक खंड को दो भागों में विभाजित करते समय: एक्स (छोटा) और वाई (बड़ा), बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम समीकरण है: एक्स २ - एक्स - १ = ०,जिसे के रूप में हल किया गया है एक्स = (1 ± 5) / 2।

अगर हम अनुपात 1 / x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्ण अनुपात के उपयोग का प्रमाण यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग्स" में दिया गया है, जिसे तीसरी शताब्दी में वापस लिखा गया था। ईसा पूर्व, जिन्होंने इस नियम को नियमित 5-गों के निर्माण के लिए लागू किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आंकड़ा पवित्र माना जाता है, क्योंकि यह सममित और विषम दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्या

इटली के एक गणितज्ञ लिबर अबासी की प्रसिद्ध पुस्तक पीसा के लियोनार्डो, जिसे बाद में फिबोनाची के नाम से जाना जाने लगा, 1202 में प्रकाशित हुई। इसमें वैज्ञानिक ने पहली बार संख्याओं की नियमितता का हवाला दिया, जिसकी एक पंक्ति में प्रत्येक संख्या है 2 पिछले अंकों का योग। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई पैटर्न का भी हवाला दिया:

• श्रृंखला से कोई भी संख्या, अगले से विभाजित, उस मान के बराबर होगी जो 0.618 तक जाता है। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएं ऐसी संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे हम अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ते हैं, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होता जाएगा।
• यदि हम पंक्ति से संख्या को पिछले एक से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 तक पहुंच जाएगा।
• एक के बाद एक संख्या को अगले एक से विभाजित करने पर 0.382 का मान दिखाई देगा।

कनेक्शन के आवेदन और सुनहरे अनुपात के नियम, फाइबोनैचि संख्या (0.618) न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में, और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज सर्पिल और स्वर्ण आयत

सर्पिल, जो प्रकृति में बहुत सामान्य हैं, आर्किमिडीज द्वारा जांच की गई, जिन्होंने इसका समीकरण भी निकाला। सर्पिल आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। जब इसे घुमाया जाता है, तो लंबाई प्राप्त की जाती है, जिसमें अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं को लागू किया जा सकता है, चरण समान रूप से बढ़ता है।

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानता को 1.618: 1 के समानुपाती पक्षों के साथ "सुनहरा आयत" बनाकर देखा जा सकता है। इसका निर्माण एक बड़े आयत से छोटे आयतों तक करते हुए किया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई पंक्ति से संख्याओं के बराबर हो जाए। इसका निर्माण बॉक्स "1" से शुरू होकर, उल्टे क्रम में किया जा सकता है। जब इस आयत के कोनों को उनके चौराहे के केंद्र में रेखाओं से जोड़ा जाता है, तो एक फाइबोनैचि सर्पिल या लॉगरिदमिक सर्पिल प्राप्त होता है।

सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास

मिस्र के कई प्राचीन स्थापत्य स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: चेप्स और अन्य के प्रसिद्ध पिरामिड। प्राचीन ग्रीस के आर्किटेक्ट्स ने मंदिरों, एम्फीथिएटर, स्टेडियम जैसी स्थापत्य वस्तुओं के निर्माण में उनका व्यापक रूप से उपयोग किया। उदाहरण के लिए, इस तरह के अनुपात को पार्थेनन के प्राचीन मंदिर, (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में लागू किया गया था जो गणितीय कानूनों के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गए थे।

बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात में रुचि कम हो गई, और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ, साथ में फ्रांसिस्कन भिक्षु एल। पैसिओली डि बोर्गो "दिव्य अनुपात" (150 9) की पुस्तक के साथ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र थे, जिन्होंने नए नाम "गोल्डन रेशियो" को समेकित किया। इसके अलावा, सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से सिद्ध हुए थे, और लेखक ने इस बारे में बात की कि यह प्रकृति में, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

लियोनार्डो दा विंची ने 1492 में विट्रुवियस की पुस्तक को चित्रित करने के लिए जिस चित्र का उपयोग किया था, उसमें एक मानव आकृति को 2 स्थितियों में अलग-अलग भुजाओं के साथ दर्शाया गया है। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में अपने अध्ययन के आधार पर किया था।

नाभि को हाथ और पैर के अंत से एक समान दूरी के रूप में शरीर का केंद्र माना जाता है, भुजाओं की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर होती है, अधिकतम कंधे की चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, दूरी छाती के ऊपर से बालों तक = 1/7, छाती के ऊपर से सिर के ऊपर तक = 1/6 आदि।

तब से, मानव शरीर की आंतरिक समरूपता दिखाने के लिए चित्र का उपयोग प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।

लियोनार्डो ने "गोल्डन रेशियो" शब्द का इस्तेमाल किसी व्यक्ति की आकृति में आनुपातिक संबंधों को संदर्भित करने के लिए किया था। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के मुकुट तक की समान दूरी के साथ-साथ पहली लंबाई (कमर से नीचे) की ऊंचाई से संबंधित है। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान की जाती है और 1.618 तक जाती है।

ये सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपात अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली टुकड़े बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

16वीं-19वीं शताब्दी में स्वर्ण अनुपात का अध्ययन

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, सदियों से अनुपात पर शोध चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत के विकास पर काम किया। इसके लिए उन्होंने एक खास कंपास भी बनाया।

16वीं सदी में। फाइबोनैचि संख्या और स्वर्ण अनुपात के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के कार्यों का विषय था, जिन्होंने वनस्पति विज्ञान में इन नियमों को लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे।

19वीं सदी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफेसर ज़ीसिग द्वारा "सौंदर्य अनुसंधान" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्ष तक बढ़ा दिया और घोषणा की कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके आधार पर शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रभाग, हाथ , उंगलियां, आदि

कला की वस्तुएं (फूलदान, स्थापत्य संरचनाएं), संगीत के स्वर, आयाम जब कविताएँ लिखते हैं, का भी अध्ययन किया गया था - ज़ीसिग ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब परिलक्षित किया, उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि एक फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त हुई है।

फाइबोनैचि संख्या और प्रकृति में सुनहरा अनुपात

पौधे और जानवरों की दुनिया में, समरूपता के रूप में गठन करने की प्रवृत्ति होती है, जो विकास और गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन, जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं, कई पौधों और जानवरों में निहित एक पैटर्न है।

उदाहरण के लिए, हमारे आस-पास की प्रकृति को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं का स्थान, साथ ही दूरियां, दी गई संख्या 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 और आगे की संख्या से संबंधित हैं;
• सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़ सर्पिल के साथ दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
• छिपकली की पूंछ और पूरे शरीर की लंबाई का अनुपात;
• अंडे का आकार, यदि आप इसके विस्तृत भाग के माध्यम से सशर्त रूप से एक रेखा खींचते हैं;
• किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों के आकार का अनुपात।

और, ज़ाहिर है, सबसे दिलचस्प आकार सर्पिलिंग घोंघे के गोले, कोबवे पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना है - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम शामिल है .

कला में सुनहरे अनुपात का उपयोग

कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग के उदाहरण खोज रहे शोधकर्ता विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रों की विस्तार से खोज कर रहे हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कार्य, जिनके रचनाकारों ने सुनहरे अनुपात का पालन किया, वे जाने जाते हैं - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ

लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक - "मोना लिसा का पोर्ट्रेट" - कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रहा है। उन्होंने पाया कि काम की संरचना में पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" होते हैं जो एक नियमित पेंटागन-स्टार बनाने के लिए मिलकर मिलते हैं। दा विंची की सभी रचनाएँ इस बात का प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह ला जिओकोंडा की अविश्वसनीय रूप से रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में स्वर्ण अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार बनाई गई स्थापत्य कृतियों का अध्ययन किया है: मिस्र के पिरामिड, पैंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक पार्थेनन में 8 कॉलम और 17 अलग-अलग तरफ हैं, इसकी ऊंचाई और पक्षों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके पहलुओं पर प्रोट्रूशियंस "गोल्डन रेशियो" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।

उन वैज्ञानिकों में से एक जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलेटर") के अनुपात के मॉड्यूलर सिस्टम के सुधार का आविष्कार किया और सफलतापूर्वक लागू किया, वह फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर थे। न्यूनाधिक मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम. काज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों का निर्माण किया, साथ ही क्रेमलिन और गोलित्सिन अस्पताल (अब एनआई पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिक) में सीनेट की इमारतों का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने कानूनों का इस्तेमाल किया था सुनहरे अनुपात के बारे में डिजाइन और निर्माण।

डिजाइन में अनुपात लागू करना

कपड़ों के डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के आदर्श अनुपात नहीं होते हैं।

लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं का उपयोग करके वॉल्यूमेट्रिक पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के नियम भी लागू किए जा सकते हैं। आखिरकार, पार्क की संरचना को आगंतुक पर एक छाप बनाने पर ध्यान केंद्रित किया जाना चाहिए, जो इसमें स्वतंत्र रूप से नेविगेट कर सकता है और एक रचनात्मक केंद्र ढूंढ सकता है।

पार्क के सभी तत्व इस तरह के अनुपात में हैं कि ज्यामितीय संरचना, आपसी व्यवस्था, रोशनी और प्रकाश की मदद से सद्भाव और पूर्णता के व्यक्ति पर प्रभाव पड़ता है।

साइबरनेटिक्स और इंजीनियरिंग में स्वर्ण अनुपात का अनुप्रयोग

डीएनए की आनुवंशिक संरचना में, अंतरिक्ष प्रणालियों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, स्वर्ण अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के पैटर्न भी ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं।

मानव शरीर में इसी तरह की प्रक्रियाएं होती हैं, जो अपने जीवन के बायोरिदम में खुद को प्रकट करती हैं, अंगों की क्रिया में, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। शुरुआती प्रोग्रामर को हल करने के लिए दिए गए सरल कार्यों में से एक है एक फॉर्मूला लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्ण अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध

20 वीं शताब्दी के मध्य से, समस्याओं में रुचि और मानव जीवन पर सुनहरे अनुपात के पैटर्न का प्रभाव तेजी से बढ़ रहा है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों की ओर से: गणितज्ञ, नृवंश शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, आदि।

1970 के दशक से, द फिबोनाची क्वार्टरली पत्रिका संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रकाशित हुई है, जहाँ इस विषय पर काम प्रकाशित होते हैं। प्रेस में ऐसे कार्य होते हैं जिनमें ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में स्वर्ण अनुपात और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोडिंग जानकारी के लिए, रासायनिक अनुसंधान, जैविक, आदि।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि स्वर्ण अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से संबंधित है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।

बी. बिग्स की पुस्तक पर आधारित "हेजर कोहरे से बाहर आया"

फाइबोनैचि संख्या और व्यापार के बारे में

विषय के परिचय के रूप में, आइए संक्षेप में तकनीकी विश्लेषण की ओर मुड़ें। संक्षेप में, तकनीकी विश्लेषण का उद्देश्य पिछले ऐतिहासिक डेटा के आधार पर किसी परिसंपत्ति की कीमत के भविष्य के आंदोलन की भविष्यवाणी करना है। उनके समर्थकों का सबसे प्रसिद्ध शब्द यह है कि कीमत में पहले से ही सभी आवश्यक जानकारी शामिल है। तकनीकी विश्लेषण का कार्यान्वयन स्टॉक सट्टा के विकास के साथ शुरू हुआ और संभवत: अब तक पूरी तरह से समाप्त नहीं हुआ है, क्योंकि यह संभावित रूप से असीमित कमाई का वादा करता है। तकनीकी विश्लेषण में सबसे प्रसिद्ध तकनीक (शर्तें) समर्थन और प्रतिरोध स्तर, जापानी कैंडलस्टिक्स, पैटर्न जो मूल्य उलट का पूर्वाभास देते हैं, आदि हैं।

स्थिति का विरोधाभास, मेरी राय में, इस प्रकार है - वर्णित अधिकांश विधियां इतनी व्यापक हो गई हैं कि, उनकी प्रभावशीलता के लिए सबूत आधार की कमी के बावजूद, उन्हें वास्तव में बाजार के व्यवहार को प्रभावित करने का अवसर मिला। इसलिए, यहां तक ​​​​कि मौलिक डेटा का उपयोग करने वाले संशयवादियों को भी इन अवधारणाओं पर विचार करना चाहिए क्योंकि उन्हें बहुत बड़ी संख्या में अन्य खिलाड़ियों ("तकनीकी") द्वारा ध्यान में रखा जाता है। तकनीकी विश्लेषण इतिहास पर अच्छा काम कर सकता है, लेकिन व्यावहारिक रूप से कोई भी व्यवहार में इसके साथ लगातार पैसा नहीं कमा पाता है - "तकनीकी विश्लेषण का उपयोग करके करोड़पति कैसे बनें" पुस्तक का एक बड़ा प्रसार प्रकाशित करके अमीर बनना बहुत आसान है। .

इस अर्थ में, फाइबोनैचि सिद्धांत अलग है, जिसका उपयोग विभिन्न अवधियों के लिए कीमतों की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है। इसके अनुयायियों को आमतौर पर "लहर नेताओं" के रूप में जाना जाता है। यह अलग खड़ा है क्योंकि यह बाजार के साथ एक साथ नहीं दिखाई देता था, लेकिन बहुत पहले - जितना कि 800 साल। इसकी एक और ख़ासियत यह है कि सिद्धांत ने अपना प्रतिबिंब लगभग हर चीज और हर किसी का वर्णन करने के लिए एक विश्व अवधारणा के रूप में पाया है, और बाजार इसके आवेदन के लिए केवल एक विशेष मामला है। सिद्धांत की प्रभावशीलता और इसकी अवधि इसे नए समर्थकों और इसके आधार पर बाजारों के व्यवहार का कम से कम विवादास्पद और आम तौर पर स्वीकृत विवरण लिखने के नए प्रयास दोनों प्रदान करती है। लेकिन अफसोस, सिद्धांत व्यक्तिगत सफल बाजार भविष्यवाणियों से आगे नहीं बढ़ा, जिसे भाग्य के साथ जोड़ा जा सकता है।

फाइबोनैचि सिद्धांत का सार

फाइबोनैचि एक लंबे समय तक जीवित रहे, विशेष रूप से अपने समय, जीवन के लिए, जिसे उन्होंने कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित किया, उन्हें अपने विशाल काम "द बुक ऑफ एबैकस" (13 वीं शताब्दी की शुरुआत) में तैयार किया। वह हमेशा संख्याओं के रहस्यवाद में रुचि रखता था - वह शायद आर्किमिडीज़ या यूक्लिड से कम प्रतिभाशाली नहीं था। द्विघात समीकरणों से संबंधित समस्याओं को फिबोनाची के सामने रखा गया था और आंशिक रूप से हल किया गया था, उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध ओमर खय्याम, एक वैज्ञानिक और कवि; हालांकि, फाइबोनैचि ने खरगोश के प्रजनन की समस्या को सूत्रबद्ध किया, जिसके निष्कर्ष ने उन्हें सदियों में अपना नाम न खोने दिया।

संक्षेप में, कार्य इस प्रकार है। खरगोशों के एक जोड़े को एक ऐसी जगह पर रखा गया था, जो चारों तरफ से एक दीवार से घिरी हुई थी, और खरगोशों का प्रत्येक जोड़ा अपने अस्तित्व के दूसरे महीने से शुरू होकर हर महीने एक और जोड़े को जन्म देता है। समय में खरगोशों के प्रजनन को अनुक्रम द्वारा वर्णित किया जाएगा: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, आदि। गणितीय दृष्टिकोण से, अनुक्रम केवल अद्वितीय निकला, क्योंकि इसमें कई उत्कृष्ट गुण थे:

• किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं का योग क्रम में अगली संख्या होती है;

• अनुक्रम में प्रत्येक संख्या का अनुपात, पांचवें से शुरू होकर पिछले एक तक, 1.618 के बराबर है;

• किसी भी संख्या के वर्ग और बाईं ओर के दो पदों के वर्ग के बीच का अंतर फाइबोनैचि संख्या होगी;

• आसन्न संख्याओं के वर्गों का योग फाइबोनैचि संख्या होगी, जो वर्ग संख्याओं में से बड़ी संख्या के बाद दो स्थान है

इन निष्कर्षों में से दूसरा सबसे दिलचस्प है, क्योंकि यह संख्या 1.618 का उपयोग करता है, जिसे स्वर्ण अनुपात के रूप में जाना जाता है। यह संख्या प्राचीन यूनानियों को पहले से ही ज्ञात थी, जिन्होंने इसका उपयोग पार्थेनन के निर्माण में किया था (वैसे, कुछ रिपोर्टों के अनुसार, सेंट्रल बैंक ने यूनानियों की सेवा की थी)। कोई कम दिलचस्प तथ्य यह नहीं है कि संख्या 1.618 प्रकृति में सूक्ष्म और मैक्रोस्केल दोनों में पाई जा सकती है - सर्पिल से घोंघे के खोल पर ब्रह्मांडीय आकाशगंगाओं के बड़े सर्पिल तक। प्राचीन मिस्रवासियों द्वारा बनाए गए गीज़ा के पिरामिडों में, उनके निर्माण के दौरान, एक साथ फाइबोनैचि श्रृंखला के कई पैरामीटर भी शामिल थे। एक आयत, जिसका एक पक्ष दूसरे से 1.618 गुना बड़ा है, आंख को सबसे अधिक भाता है - इस अनुपात का उपयोग लियोनार्डो दा विंची ने अपने चित्रों के लिए किया था, और अधिक रोजमर्रा के अर्थ में, इसका उपयोग कभी-कभी खिड़कियां बनाने के लिए किया जाता था या द्वार यहां तक ​​​​कि एक लहर, जैसा कि लेख की शुरुआत में आकृति में है, को फाइबोनैचि सर्पिल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

जीवित प्रकृति में, फाइबोनैचि अनुक्रम कम बार प्रकट नहीं होता है - यह पंजे, दांत, सूरजमुखी, कोबवे और यहां तक ​​​​कि बैक्टीरिया के प्रजनन में भी पाया जा सकता है। यदि वांछित है, तो मानव चेहरे और शरीर सहित लगभग हर चीज में एकरूपता पाई जाती है। फिर भी, एक राय है कि प्राकृतिक और ऐतिहासिक घटनाओं में फाइबोनैचि संख्याओं को खोजने वाले कई कथन गलत हैं - यह एक सामान्य मिथक है जो अक्सर वांछित परिणाम के लिए गलत साबित होता है।

वित्तीय बाजारों में फाइबोनैचि संख्या

वित्तीय बाजार में फाइबोनैचि संख्याओं के अनुप्रयोग में सबसे पहले शामिल लोगों में से एक आर. इलियट थे। उनका काम इस अर्थ में व्यर्थ नहीं था कि फाइबोनैचि सिद्धांत का उपयोग करते हुए बाजार विवरण को अक्सर "इलियट तरंग" कहा जाता है। यहां के बाजारों का विकास तीन कदम आगे और दो कदम पीछे सुपर साइकिल से मानव विकास के मॉडल पर आधारित था। तथ्य यह है कि मानवता गैर-रेखीय रूप से विकसित होती है, लगभग सभी के लिए स्पष्ट है - प्राचीन मिस्र का ज्ञान और डेमोक्रिटस की परमाणु शिक्षा पूरी तरह से मध्य युग में खो गई थी, अर्थात। लगभग 2000 वर्षों के बाद; २०वीं सदी ने मानव जीवन की ऐसी भयावहता और तुच्छता को जन्म दिया, जिसकी कल्पना यूनानियों के पुनिक युद्धों के युग में भी करना कठिन था। हालाँकि, भले ही हम चरणों के सिद्धांत और उनकी संख्या को सत्य मान लें, प्रत्येक चरण का आकार अस्पष्ट रहता है, जो इलियट तरंगों को सिर और पूंछ की भविष्य कहनेवाला शक्ति के बराबर बनाता है। प्रारंभिक बिंदु और तरंगों की संख्या की सही गणना सिद्धांत की मुख्य कमजोरी थी और शायद होगी।

फिर भी, सिद्धांत को स्थानीय सफलताएँ मिलीं। बॉब प्रेचर, जिन्हें इलियट का छात्र माना जा सकता है, ने 80 के दशक की शुरुआत में, और 1987 के बुल मार्केट की सही भविष्यवाणी की - एक महत्वपूर्ण वर्ष के रूप में। यह वास्तव में हुआ था, जिसके बाद बॉब को स्पष्ट रूप से एक प्रतिभा की तरह महसूस हुआ - कम से कम दूसरों की नजर में, वह निश्चित रूप से एक निवेश गुरु बन गया। प्रीचटर की इलियट वेव थिओरिस्ट सदस्यता उस वर्ष बढ़कर 20,000 हो गई।हालांकि, 1990 के दशक की शुरुआत में इसमें कमी आई, क्योंकि अमेरिकी बाजार के पूर्वानुमानित "कयामत और उदासी" ने इसे थोड़ा स्थगित करने का फैसला किया। हालांकि, इसने जापानी बाजार के लिए काम किया, और सिद्धांत के कई समर्थक, जो एक लहर से "देर से" थे, या तो अपनी पूंजी या अपनी कंपनियों के ग्राहकों की पूंजी खो दी। उसी तरह और उसी सफलता के साथ, सिद्धांत को अक्सर विदेशी मुद्रा बाजार में व्यापार के लिए लागू करने का प्रयास किया जाता है।

यह सिद्धांत कई प्रकार की व्यापारिक अवधियों को शामिल करता है - साप्ताहिक से, जो इसे मानक तकनीकी विश्लेषण रणनीतियों से संबंधित बनाता है, दशकों के लिए गणना करने के लिए, अर्थात। मौलिक भविष्यवाणियों के क्षेत्र में टूट जाता है। यह तरंगों की संख्या को बदलकर संभव है। सिद्धांत की कमजोरियां, जिनका ऊपर उल्लेख किया गया था, इसके अनुयायियों को लहरों की असंगति के बारे में नहीं, बल्कि अपने स्वयं के गलत अनुमानों के बारे में बात करने की अनुमति देते हैं, जिसमें प्रारंभिक स्थिति का गलत निर्धारण भी शामिल है। यह एक भूलभुलैया की तरह दिखता है - भले ही आपके पास सही नक्शा हो, आप इसके माध्यम से तभी जा सकते हैं जब आपको ठीक से समझ में आ जाए कि आप कहां हैं। अन्यथा, कार्ड बेकार है। इलियट तरंगों के मामले में, न केवल इसके स्थान की शुद्धता, बल्कि कार्ड की शुद्धता पर भी संदेह करने के सभी संकेत हैं।

निष्कर्ष

मानव जाति के लहर विकास का एक वास्तविक आधार है - मध्य युग में, मुद्रास्फीति और अपस्फीति की लहरें एक दूसरे के साथ वैकल्पिक होती हैं, जब युद्धों ने अपेक्षाकृत शांत शांतिपूर्ण जीवन को बदल दिया। प्रकृति में फाइबोनैचि अनुक्रम का अवलोकन, कम से कम कुछ मामलों में, संदेह से परे है। इसलिए, प्रत्येक व्यक्ति को इस प्रश्न का अपना उत्तर देने का अधिकार है कि ईश्वर कौन है: एक गणितज्ञ या एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर। मेरी व्यक्तिगत राय यह है कि यद्यपि संपूर्ण मानव इतिहास और बाजारों को एक लहर अवधारणा में दर्शाया जा सकता है, कोई भी प्रत्येक लहर की ऊंचाई और अवधि की भविष्यवाणी नहीं कर सकता है।

साथ ही, अमेरिकी बाजार को देखने के 200 साल और बाकी के 100 से अधिक वर्षों के बाद यह स्पष्ट करता है कि शेयर बाजार बढ़ रहा है, विकास और ठहराव के विभिन्न दौर से गुजर रहा है। विवादास्पद सिद्धांतों का सहारा लिए बिना और उचित जोखिम के भीतर उन्हें अधिक पूंजी के साथ सौंपे बिना, शेयर बाजार में लंबी अवधि की कमाई के लिए यह तथ्य काफी है।

आइए जानें कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों, लियोनार्डो दा विंची की पेंटिंग "मोना लिसा", एक सूरजमुखी, एक घोंघा, एक पाइन शंकु और मानव उंगलियों के बीच क्या आम है?

इस प्रश्न का उत्तर खोजे गए अद्भुत संख्याओं में छिपा है मध्य युग के इतालवी गणितज्ञ पीसा के लियोनार्डो, जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है (जन्म सी। 1170 - 1228 के बाद मृत्यु हो गई), इतालवी गणितज्ञ ... पूर्व में यात्रा करते हुए, मैं अरब गणित की उपलब्धियों से परिचित हुआ; पश्चिम में उनके स्थानांतरण में योगदान दिया।

उनकी खोज के बाद इन नंबरों को प्रसिद्ध गणितज्ञ के नाम से पुकारा जाने लगा। फाइबोनैचि अनुक्रम का अद्भुत सार है कि इस क्रम में प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त होती है।

तो, अनुक्रम बनाने वाली संख्याएँ:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"फाइबोनैचि संख्या" कहलाती है, और अनुक्रम को ही फाइबोनैचि अनुक्रम कहा जाता है.

फाइबोनैचि संख्याओं के बारे में एक बहुत ही रोचक विशेषता है। अनुक्रम से किसी भी संख्या को पंक्ति में उसके सामने की संख्या से विभाजित करने पर, परिणाम हमेशा एक ऐसा मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है ... और समय के माध्यम से यह या तो बढ़ जाता है या उस तक नहीं पहुंचता है। (नोट: एक अपरिमेय संख्या, यानी एक संख्या जिसका दशमलव प्रतिनिधित्व अनंत है और आवधिक नहीं है)

इसके अलावा, क्रम में 13 वीं के बाद, यह विभाजन परिणाम अनिश्चित काल के लिए स्थिर हो जाता है ... मध्य युग में विभाजनों की इस निरंतर संख्या को दैवीय अनुपात कहा जाता था, और आजकल इसे स्वर्ण अनुपात, स्वर्ण माध्य या स्वर्ण अनुपात कहा जाता है। ... बीजगणित में, इस संख्या को ग्रीक अक्षर फी (Ф) द्वारा दर्शाया जाता है।

तो, स्वर्ण अनुपात = 1: 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

मानव शरीर और सुनहरा अनुपात

कलाकार, वैज्ञानिक, फैशन डिजाइनर, डिजाइनर स्वर्ण अनुपात के अनुपात के आधार पर अपनी गणना, चित्र या रेखाचित्र बनाते हैं। वे मानव शरीर से माप का उपयोग करते हैं, जिसे सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार भी बनाया गया है। लियोनार्डो दा विंची और ले कॉर्बूसियर ने अपनी उत्कृष्ट कृतियों को बनाने से पहले, स्वर्ण अनुपात के कानून के अनुसार बनाए गए मानव शरीर के मापदंडों को लिया।

सभी आधुनिक वास्तुकारों की सबसे महत्वपूर्ण पुस्तक, ई. नेफर्ट की संदर्भ पुस्तक "बिल्डिंग डिज़ाइन" में मानव शरीर के मापदंडों की बुनियादी गणना शामिल है, जिसमें सुनहरा अनुपात है।

हमारे शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में एक संख्या होती है जो सुनहरे अनुपात के बहुत करीब होती है। यदि ये अनुपात सुनहरे अनुपात के सूत्र के साथ मेल खाते हैं, तो व्यक्ति का रूप या शरीर पूरी तरह से मुड़ा हुआ माना जाता है। मानव शरीर पर स्वर्ण माप की गणना के सिद्धांत को चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एम / एम = 1.618

मानव शरीर की संरचना में स्वर्णिम अनुपात का पहला उदाहरण:
यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लें, और किसी व्यक्ति के पैरों और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लें, तो व्यक्ति की ऊंचाई 1.618 के बराबर होती है।

इसके अलावा, हमारे शरीर के कई और बुनियादी सुनहरे अनुपात हैं:

* उंगलियों से कलाई से कोहनी तक की दूरी 1: 1.618 है;

* कंधे के स्तर से सिर के मुकुट और सिर के आकार की दूरी 1: 1.618 है;

* नाभि बिंदु से सिर के मुकुट तक और कंधे के स्तर से सिर के मुकुट तक की दूरी 1: 1.618 है;

* नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1: 1.618 है;

* ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका तक की दूरी 1: 1.618 है;

* ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा और भौंहों की ऊपरी रेखा से मुकुट तक की दूरी 1: 1.618 है;

* ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा और भौंहों की ऊपरी रेखा से मुकुट तक की दूरी 1: 1.618 है:

मानव चेहरे में सुनहरा अनुपात पूर्ण सुंदरता की कसौटी के रूप में है।

मानव चेहरे की विशेषताओं की संरचना में, ऐसे कई उदाहरण हैं जो मूल्य में सुनहरे अनुपात के सूत्र के करीब पहुंचते हैं। हालांकि, सभी लोगों के चेहरों को मापने के लिए शासक के तुरंत बाद जल्दी मत करो। क्योंकि वैज्ञानिकों और कला के लोगों, कलाकारों और मूर्तिकारों के अनुसार सुनहरे अनुपात के सटीक पत्राचार केवल पूर्ण सौंदर्य वाले लोगों में मौजूद हैं। दरअसल, किसी व्यक्ति के चेहरे में सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव आंख के लिए सुंदरता का आदर्श है।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो सामने के ऊपरी दांतों की चौड़ाई को जोड़ते हैं और इस राशि को दांतों की ऊंचाई से विभाजित करते हैं, तो, स्वर्ण अनुपात संख्या प्राप्त करने के बाद, यह तर्क दिया जा सकता है कि इन दांतों की संरचना आदर्श है।

मानव चेहरे पर स्वर्णिम अनुपात के नियम के अन्य अवतार हैं। पेश हैं इनमें से कुछ रिश्ते:

* चेहरे की ऊंचाई / चेहरे की चौड़ाई;

* नाक के आधार / नाक की लंबाई के होठों के जंक्शन का केंद्र बिंदु;

* ठुड्डी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक चेहरे की ऊंचाई / दूरी;

* मुंह की चौड़ाई / नाक की चौड़ाई;

* नाक की चौड़ाई / नासिका छिद्रों के बीच की दूरी;

* विद्यार्थियों के बीच की दूरी/भौंहों के बीच की दूरी।

मानव हाथ

अपनी हथेली को अभी अपने पास लाने के लिए और तर्जनी को ध्यान से देखने के लिए पर्याप्त है, और आपको तुरंत इसमें सुनहरे अनुपात का सूत्र मिल जाएगा। हमारे हाथ की प्रत्येक अंगुली में तीन फलांग होते हैं।

* उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फलांगों का योग और सुनहरे अनुपात (अंगूठे को छोड़कर) की संख्या देता है;

* इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है;

* एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियों में 3 फलांग होते हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल 10, लेकिन दो द्विदलीय अंगूठे के अपवाद के साथ, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं:

मानव फेफड़ों की संरचना में सुनहरा अनुपात

अमेरिकी भौतिक विज्ञानी बी.डी. वेस्ट और डॉ. ए.एल. गोल्डबर्गर ने शारीरिक और शारीरिक अध्ययन के दौरान पाया कि मानव फेफड़ों की संरचना में भी सुनहरा अनुपात मौजूद है।

मानव फेफड़ों को बनाने वाली ब्रोंची की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, जिनमें से एक (बाएं) लंबी और दूसरी (दाएं) छोटी होती है।

* यह पाया गया कि यह विषमता ब्रोंची की शाखाओं में, सभी छोटे वायुमार्गों में बनी रहती है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी सुनहरा अनुपात बनाता है और 1: 1.618 के बराबर होता है।

गोल्डन ऑर्थोगोनल चतुर्भुज और सर्पिल की संरचना

सुनहरा अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से को उतना ही संदर्भित करता है जितना कि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से को संदर्भित करता है; या दूसरे शब्दों में, एक छोटा खंड एक बड़े खंड से सब कुछ के लिए एक बड़ा के रूप में संबंधित है।

ज्यामिति में, इस पहलू अनुपात के साथ एक आयत को सुनहरा आयत कहा जाता है। इसकी लंबी भुजाओं की तुलना 1.168:1 के अनुपात में छोटी भुजाओं से की जाती है।

स्वर्ण आयत में भी कई अद्भुत गुण हैं। स्वर्ण आयत में कई असामान्य गुण हैं। सोने के आयत से एक वर्ग को काटकर, जिसकी भुजा आयत की छोटी भुजा के बराबर है, हमें फिर से सोने का एक छोटा आयत मिलता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। जैसे-जैसे हम वर्गों को काटना जारी रखेंगे, हमें छोटे और छोटे सुनहरे आयत मिलेंगे। इसके अलावा, वे एक लघुगणकीय सर्पिल के साथ स्थित होंगे, जो प्राकृतिक वस्तुओं के गणितीय मॉडल (उदाहरण के लिए, घोंघे के गोले) में महत्वपूर्ण है।

सर्पिल पोल प्रारंभिक आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है और काटे जाने वाला पहला ऊर्ध्वाधर कट है। इसके अलावा, बाद के सभी घटते हुए स्वर्ण आयतों के विकर्ण इन विकर्णों पर स्थित हैं। बेशक, एक सुनहरा त्रिकोण भी है।

अंग्रेजी डिजाइनर और एस्थेटिशियन विलियम चार्लटन ने कहा कि लोग सर्पिल आकृतियों को आंख को भाते हैं और सहस्राब्दियों से उनका उपयोग कर रहे हैं, इसे इस तरह समझाते हुए:

"हमें सर्पिल का रूप पसंद है, क्योंकि नेत्रहीन हम इसे आसानी से देख सकते हैं।"

प्रकृति में

* सर्पिल की संरचना में अंतर्निहित सुनहरे अनुपात का नियम प्रकृति में बहुत बार उन रचनाओं में पाया जाता है जो सुंदरता में अतुलनीय हैं। सबसे ज्वलंत उदाहरण - सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में एक सर्पिल आकार देखा जा सकता है, और पाइन शंकु में, अनानास, कैक्टि, गुलाब की पंखुड़ियों की संरचना, आदि में;

* वनस्पतिशास्त्रियों ने स्थापित किया है कि एक शाखा, सूरजमुखी के बीज या पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्पष्ट रूप से प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का नियम प्रकट होता है;

परम भगवान ने अपनी प्रत्येक रचना के लिए एक विशेष माप और आनुपातिकता स्थापित की, जिसकी पुष्टि प्रकृति में पाए जाने वाले उदाहरणों से होती है। जब जीवित जीवों की वृद्धि प्रक्रिया लॉगरिदमिक सर्पिल के आकार के अनुसार सख्ती से होती है तो बहुत से उदाहरणों का हवाला दिया जा सकता है।

कुण्डली के सभी झरनों का आकार समान होता है। गणितज्ञों ने पाया है कि स्प्रिंग्स के आकार में वृद्धि के साथ भी, सर्पिल का आकार अपरिवर्तित रहता है। गणित में कोई अन्य रूप नहीं है जिसमें सर्पिल के समान अद्वितीय गुण हों।

समुद्र के गोले की संरचना

समुद्र के तल पर रहने वाले नरम शरीर वाले मोलस्क के गोले की आंतरिक और बाहरी संरचना का अध्ययन करने वाले वैज्ञानिकों ने कहा:

“गोले की आंतरिक सतह त्रुटिहीन रूप से चिकनी होती है, जबकि बाहरी सतह खुरदरापन और अनियमितताओं से ढकी होती है। मोलस्क खोल में था, और इसके लिए खोल की आंतरिक सतह पूरी तरह चिकनी होनी चाहिए। खोल के बाहरी कोने-मोड़ इसकी ताकत, कठोरता को बढ़ाते हैं और इस तरह इसकी ताकत बढ़ाते हैं। खोल (घोंघा) की संरचना की पूर्णता और अद्भुत बुद्धि अद्भुत है। गोले का सर्पिल विचार एक आदर्श ज्यामितीय आकार है और इसकी पॉलिश सुंदरता में आश्चर्यजनक है।"

अधिकांश घोंघे जिनमें गोले होते हैं, खोल एक लघुगणकीय सर्पिल में बढ़ता है। हालांकि, इसमें कोई संदेह नहीं है कि इन अनुचित प्राणियों को न केवल एक लघुगणकीय सर्पिल का पता है, बल्कि अपने लिए एक सर्पिल खोल बनाने के लिए सबसे सरल गणितीय ज्ञान भी नहीं है।

लेकिन फिर ये अतार्किक प्राणी कैसे एक सर्पिल खोल के रूप में विकास और अस्तित्व के आदर्श रूप का निर्धारण और चयन कर सकते हैं? क्या ये जीवित प्राणी, जिन्हें वैज्ञानिक जीवन के आदिम रूप कहते हैं, गणना कर सकते हैं कि एक खोल का लघुगणक रूप उनके अस्तित्व के लिए आदर्श होगा?

बिल्कुल नहीं, क्योंकि बिना कारण और ज्ञान के ऐसी योजना को साकार नहीं किया जा सकता है। लेकिन न तो आदिम मोलस्क, न ही अचेतन प्रकृति, जिसे कुछ वैज्ञानिक पृथ्वी पर जीवन का निर्माता कहते हैं (?!)

कुछ प्राकृतिक परिस्थितियों के यादृच्छिक संयोग द्वारा जीवन के ऐसे सबसे आदिम रूप की उत्पत्ति की व्याख्या करने की कोशिश करना कम से कम बेतुका है। यह स्पष्ट है कि यह परियोजना एक सचेत रचना है।

जीवविज्ञानी सर डी'आर्की थॉम्पसन इस प्रकार के समुद्री गोले के विकास को कहते हैं "सूक्ति का विकास रूप।"

सर थॉम्पसन निम्नलिखित टिप्पणी करते हैं:

“समुद्र के कोशों की वृद्धि से सरल कोई प्रणाली नहीं है, जो समान आकार रखते हुए, आनुपातिक रूप से बढ़ती और विस्तारित होती है। खोल, सबसे आश्चर्यजनक रूप से, बढ़ता है, लेकिन आकार कभी नहीं बदलता है।"

नॉटिलस, व्यास में कुछ सेंटीमीटर, सूक्ति प्रकार की वृद्धि का सबसे नाटकीय उदाहरण है। एस. मॉरिसन नॉटिलस के विकास की इस प्रक्रिया का निम्नलिखित तरीके से वर्णन करते हैं, जिसकी योजना बनाना मानव मस्तिष्क के साथ भी कठिन है:

"नॉटिलस शेल के अंदर मदर-ऑफ-पर्ल विभाजन वाले कई डिब्बे-कमरे हैं, और अंदर का खोल केंद्र से विस्तार करने वाला एक सर्पिल है। जैसे ही नॉटिलस बढ़ता है, खोल के सामने के हिस्से में एक और कमरा बढ़ता है, लेकिन पहले से ही पिछले एक से बड़ा होता है, और पीछे छोड़े गए कमरे के विभाजन मदर-ऑफ-पर्ल की एक परत से ढके होते हैं। इस प्रकार, सर्पिल हर समय आनुपातिक रूप से विस्तार कर रहा है।"

यहाँ कुछ प्रकार के सर्पिल गोले हैं जो उनके वैज्ञानिक नामों के अनुसार लघुगणकीय वृद्धि के साथ हैं:
हैलियोटिस परवस, डोलियम पेर्डिक्स, म्यूरेक्स, फ्यूसस एंटिकस, स्केलारी प्रीटियोसा, सोलारियम ट्रोक्लियर।

गोले के सभी खोजे गए जीवाश्म अवशेषों में भी एक विकसित सर्पिल आकार था।

हालांकि, विकास का लघुगणक रूप न केवल मोलस्क में जानवरों के साम्राज्य में पाया जाता है। मृग, जंगली बकरियों, मेढ़ों और अन्य समान जानवरों के सींग भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार एक सर्पिल के रूप में विकसित होते हैं।

मानव कान में सुनहरा अनुपात

किसी व्यक्ति के आंतरिक कान में कोक्लीअ ("घोंघा") नामक एक अंग होता है, जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है।. यह बोनी संरचना द्रव से भरी होती है और घोंघे के रूप में भी बनी होती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणकीय सर्पिल आकार = 73º 43' होता है।

सर्पिल आकार में विकसित हो रहे जानवरों के सींग और दांत

हाथियों के दांत और विलुप्त मैमथ, शेरों के पंजे और तोते की चोंच लॉगरिदमिक आकार के होते हैं और एक धुरी के आकार के समान होते हैं जो एक सर्पिल में बदल जाते हैं। मकड़ियाँ हमेशा अपने जाले को एक लघुगणकीय सर्पिल में घुमाती हैं। सूक्ष्मजीवों की संरचना जैसे कि प्लवक (प्रजाति ग्लोबिगेरिने, प्लेनोर्बिस, भंवर, टेरेब्रा, ट्यूरिटेल और ट्रोचिडा) भी सर्पिल-आकार के होते हैं।

माइक्रोवर्ल्ड की संरचना में सुनहरा अनुपात

ज्यामितीय आकार केवल त्रिकोण, वर्ग, पंचकोण या षट्भुज तक सीमित नहीं हैं। यदि हम इन आकृतियों को अलग-अलग तरीकों से एक-दूसरे से जोड़ते हैं, तो हमें नई त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियाँ प्राप्त होती हैं। इसके उदाहरण घन या पिरामिड जैसी आकृतियाँ हैं। हालांकि, उनके अलावा, अन्य त्रि-आयामी आंकड़े भी हैं जो हमें रोजमर्रा की जिंदगी में नहीं मिलते थे, और जिनके नाम हम सुनते हैं, शायद पहली बार। इन त्रि-आयामी आंकड़ों में एक टेट्राहेड्रोन (एक नियमित चार-पक्षीय आकृति), एक ऑक्टाहेड्रोन, एक डोडेकेहेड्रोन, एक इकोसाहेड्रोन आदि शामिल हैं। डोडेकाहेड्रॉन में 13 पेंटागन होते हैं, 20 त्रिकोणों के आईकोसाहेड्रोन। गणितज्ञ ध्यान दें कि ये आंकड़े गणितीय रूप से बहुत आसानी से रूपांतरित हो जाते हैं, और उनका परिवर्तन स्वर्ण अनुपात के लघुगणकीय सर्पिल के सूत्र के अनुसार होता है।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणक रूप हर जगह व्यापक हैं। ... उदाहरण के लिए, कई वायरस में आईकोसाहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इन विषाणुओं में सबसे प्रसिद्ध एडीनो विषाणु है। एडीनो वायरस का प्रोटीन कोट एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित 252 यूनिट प्रोटीन कोशिकाओं से बनता है। आइकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ होती हैं, और स्पाइक जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली होती हैं।

1950 के दशक में पहली बार वायरस की संरचना में सुनहरे अनुपात की खोज की गई थी। लंदन बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए। क्लुग और डी। कास्पर। 13 पॉलीओ वायरस सबसे पहले लॉगरिदमिक रूप में प्रकट हुआ था। इस वायरस का रूप राइनो 14 वायरस जैसा ही पाया गया।

सवाल उठता है कि वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिनकी संरचना में सुनहरा अनुपात होता है, जिसे बनाना हमारे मानव मस्तिष्क के लिए भी काफी कठिन होता है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लुग, निम्नलिखित टिप्पणी देते हैं:

"डॉ कास्पर और मैंने दिखाया है कि वायरस के गोलाकार लिफाफे के लिए, सबसे इष्टतम आकार समरूपता है, जैसे कि आईकोसाहेड्रोन का आकार। यह व्यवस्था कनेक्टिंग तत्वों की संख्या को कम करती है ... बकमिन्स्टर फुलर जियोडेसिक गोलार्द्ध के अधिकांश क्यूब्स एक समान ज्यामितीय सिद्धांत पर बनाए गए हैं। 14 ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए एक अत्यंत सटीक और विस्तृत व्याख्यात्मक आरेख की आवश्यकता होती है। जबकि अचेतन विषाणु स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन कोशिका इकाइयों के ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।"

इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची १३वीं शताब्दी में रहते थे और अरबी (भारतीय) संख्याओं का उपयोग करने वाले यूरोप के पहले लोगों में से एक थे। वह एक खेत पर उठाए गए खरगोशों के बारे में कुछ कृत्रिम समस्या लेकर आया, जिनमें से सभी को मादा माना जाता है, पुरुषों को नजरअंदाज कर दिया जाता है। खरगोश दो महीने के होने के बाद प्रजनन करना शुरू कर देते हैं और फिर हर महीने एक खरगोश को जन्म देते हैं। खरगोश कभी नहीं मरते।

यह निर्धारित करना आवश्यक है कि खेत में कितने खरगोश होंगे एनमहीने, अगर शुरुआती समय में केवल एक नवजात खरगोश था।

जाहिर है, किसान के पास पहले महीने में एक खरगोश और दूसरे महीने में एक खरगोश होता है। तीसरे महीने में दो खरगोश होंगे, चौथे में - तीन, आदि। आइए हम खरगोशों की संख्या को निरूपित करें एनमहीने की तरह। इस प्रकार,
,
,
,
,
, …

खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण किया जा सकता है किसी के लिए एन.

समस्या की स्थिति के अनुसार खरगोशों की कुल संख्या
वी एन+1 महीना तीन घटकों में विघटित होता है:

एक महीने के खरगोश प्रजनन में सक्षम नहीं, मात्रा में

;

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

. (8.1)

सूत्र (8.1) आपको संख्याओं की एक श्रृंखला की गणना करने की अनुमति देता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, । ..

इस क्रम में संख्याएँ कहलाती हैं फाइबोनैचि संख्या .

यदि तुम स्वीकार करते हो
तथा
, फिर सूत्र (8.1) का उपयोग करके अन्य सभी फाइबोनैचि संख्याओं को निर्धारित किया जा सकता है। सूत्र (8.1) कहलाता है आवर्तक सूत्र द्वारा ( पुनरावृत्ति - लैटिन में "वापसी")।

उदाहरण 8.1.मान लीजिए कि वहाँ एक सीढ़ी है एनकदम। हम इसे एक कदम के कदम से, या - दो चरणों के एक कदम के साथ चढ़ सकते हैं। विभिन्न भारोत्तोलन विधियों के कितने संयोजन हैं?

अगर एन= 1, समस्या का केवल एक ही समाधान है। के लिये एन= २ 2 विकल्प हैं: दो सिंगल चरण या एक डबल। के लिये एन= 3 3 विकल्प हैं: तीन इकाई चरण, या एक इकाई और एक डबल, या एक डबल और एक इकाई।

अगले मामले में एन= 4, हमारे पास 5 संभावनाएं हैं (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2)।

मनमाने ढंग से पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए एन, आइए हम विकल्पों की संख्या को इस प्रकार निरूपित करें , और परिभाषित करने का प्रयास करें
प्रसिद्ध के अनुसार तथा
... अगर हम एक कदम से शुरू करते हैं, तो हमारे पास है शेष के लिए संयोजन एनकदम। यदि हम एक दोहरे कदम से शुरू करते हैं, तो हमारे पास है
शेष के लिए संयोजन एन-1 कदम। के लिए विकल्पों की कुल संख्या एन+1 रन बराबर

. (8.2)

परिणामी सूत्र जुड़वा के रूप में सूत्र (8.1) जैसा दिखता है। हालांकि, यह संयोजनों की संख्या की पहचान करने की अनुमति नहीं देता है फाइबोनैचि संख्याओं के साथ ... हम देखते हैं, उदाहरण के लिए, कि
, लेकिन
... हालाँकि, निम्नलिखित संबंध होता है:

.

यह सच है एन= 1, 2, और यह प्रत्येक के लिए भी सत्य है एन... फाइबोनैचि संख्याएं और संयोजनों की संख्या एक ही सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, लेकिन प्रारंभिक मान
,
तथा
,
वे भिन्न हैं।

उदाहरण 8.2।त्रुटि-सुधार कोडिंग समस्याओं के लिए यह उदाहरण व्यावहारिक महत्व का है। लंबाई के सभी बाइनरी शब्दों की संख्या पाएं एनजिसमें एक पंक्ति में कई शून्य न हों। हम इस संख्या को द्वारा निरूपित करते हैं ... जाहिर है,
, और लंबाई 2 के शब्द जो हमारे प्रतिबंध को संतुष्ट करते हैं: १०, ०१, ११, अर्थात्।
... रहने दो
- ऐसा शब्द एनपात्र। यदि प्रतीक
, फिर
मनमाना हो सकता है (
) -शाब्दिक शब्द जिसमें एक पंक्ति में कई शून्य नहीं होते हैं। अत: अंत में एक इकाई वाले शब्दों की संख्या है
.

यदि प्रतीक
, तो निश्चित रूप से
और पहला
प्रतीक
माना प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, मनमाना हो सकता है। इसलिए, वहाँ है
शब्द की लंबाई एनअंत में शून्य के साथ। इस प्रकार, हमारे लिए रुचि के शब्दों की कुल संख्या बराबर है

.

मान लें कि
तथा
, संख्याओं का परिणामी क्रम फाइबोनैचि संख्याएँ हैं।

उदाहरण 8.3।उदाहरण 7.6 में, हमने पाया कि स्थिर भार वाले बाइनरी शब्दों की संख्या टी(और लंबाई क) बराबर ... अब हम स्थिर भार वाले बाइनरी शब्दों की संख्या ज्ञात करते हैं टीजिसमें एक पंक्ति में कई शून्य न हों।

आप इस तरह तर्क कर सकते हैं। रहने दो
प्रश्न में शब्दों में शून्य की संख्या। कोई भी शब्द है
निकटतम शून्य के बीच अंतराल, जिनमें से प्रत्येक में एक या अधिक होते हैं। यह मान लिया है कि
... अन्यथा, आसन्न शून्य के बिना एक भी शब्द नहीं है।

यदि हम प्रत्येक अंतराल से ठीक एक इकाई हटा दें, तो हमें लंबाई का एक शब्द मिलता है
युक्त शून्य ऐसा कोई भी शब्द कुछ से संकेतित तरीके से प्राप्त किया जा सकता है (और, इसके अलावा, केवल एक) क-शाब्दिक शब्द युक्त शून्य, जिनमें से कोई भी दो एक दूसरे के बगल में नहीं हैं। इसलिए, वांछित संख्या लंबाई के सभी शब्दों की संख्या के साथ मेल खाती है
बिल्कुल युक्त शून्य, यानी बराबरी
.

उदाहरण 8.4।आइए हम सिद्ध करें कि योग
किसी भी पूर्णांक के लिए फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर है ... प्रतीक
अर्थ है से बड़ा या उसके बराबर सबसे छोटा पूर्णांक ... उदाहरण के लिए, यदि
, फिर
; क्या हो अगर
, फिर
प्लस्तर लगाना("छत")। प्रतीक भी होता है
जिसका अर्थ है सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या उसके बराबर ... इस ऑपरेशन को अंग्रेजी में कहते हैं मंज़िल ("मंज़िल")।

अगर
, फिर
... अगर
, फिर
... अगर
, फिर
.

इस प्रकार, विचार किए गए मामलों के लिए, योग वास्तव में फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर है। अब हम सामान्य मामले के लिए एक प्रमाण देते हैं। चूंकि आवर्तक समीकरण (8.1) का उपयोग करके फाइबोनैचि संख्याएं प्राप्त की जा सकती हैं, तो समानता को संतुष्ट होना चाहिए:

.

और यह वास्तव में करता है:

यहां हमने पहले प्राप्त सूत्र (4.4) का उपयोग किया है:
.

फाइबोनैचि संख्याओं का योग

आइए पहले का योग ज्ञात करें एनफाइबोनैचि संख्याएं।

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

यह देखना आसान है कि प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर एकता जोड़ने पर हमें फिर से फाइबोनैचि संख्या प्राप्त होती है। पहले का योग ज्ञात करने का सामान्य सूत्र एनफाइबोनैचि संख्या है:

आइए हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इसे सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, लिखें:

यह राशि बराबर होनी चाहिए
.

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को -1 से कम करने पर, हम समीकरण (6.1) प्राप्त करते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं के लिए सूत्र

प्रमेय 8.1. फाइबोनैचि संख्याओं की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

सबूत... आइए हम इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें एन= 0, 1, और फिर एक मनमाना के लिए इस सूत्र की वैधता सिद्ध कीजिए एनप्रेरण द्वारा। आइए दो निकटतम फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात की गणना करें:

हम देखते हैं कि इन संख्याओं के अनुपात में लगभग 1.618 का उतार-चढ़ाव होता है (यदि हम पहले कुछ मानों की उपेक्षा करते हैं)। इस संपत्ति से, फाइबोनैचि संख्याएं एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के समान होती हैं। हम स्वीकार करेंगे
, (
) फिर अभिव्यक्ति

इसमें बदला गया

जो सरलीकरण के बाद इस तरह दिखता है

.

हमें एक द्विघात समीकरण मिला, जिसके मूल बराबर हैं:

अब हम लिख सकते हैं:

(कहां सीस्थिर है)। दोनों सदस्य तथा फाइबोनैचि संख्याएं न दें जैसे
, जबकि
... हालांकि, अंतर
आवर्तक समीकरण को संतुष्ट करता है:

के लिये एन= 0 यह अंतर देता है , अर्थात्:
... हालांकि, साथ एन= 1 हमारे पास है
... प्राप्त करना
, यह स्वीकार करना आवश्यक है:
.

अब हमारे पास दो क्रम हैं: तथा
जो समान दो संख्याओं से प्रारंभ करते हैं और समान पुनरावर्तन सूत्र को संतुष्ट करते हैं। वे बराबर होना चाहिए:
... प्रमेय सिद्ध होता है।

आरोही एनसदस्य बहुत बड़ा हो जाता है, जबकि
, और सदस्य की भूमिका में अंतर कम हो जाता है। इसलिए, बड़े के लिए एनहम मोटे तौर पर लिख सकते हैं

.

हम 1/2 को अनदेखा करते हैं (चूंकि फाइबोनैचि संख्याएं अनंत तक जाती हैं एनअनन्त तक)।

रवैया
बुलाया सुनहरा अनुपात, इसका उपयोग गणित के बाहर किया जाता है (उदाहरण के लिए, मूर्तिकला और वास्तुकला में)। सुनहरा अनुपात विकर्ण और भुजा के बीच का अनुपात है नियमित पंचकोण(अंजीर। 8.1)।

चावल। 8.1. नियमित पंचभुज और उसके विकर्ण

सुनहरे अनुपात को निरूपित करने के लिए, अक्षर का उपयोग करने की प्रथा है
प्रसिद्ध एथेनियन मूर्तिकार फिडियास के सम्मान में।

प्रमुख संख्या

सभी प्राकृतिक संख्याएँ, बड़ी इकाइयाँ, दो वर्गों में आती हैं। पहले में वे संख्याएँ शामिल हैं जिनमें ठीक दो प्राकृतिक भाजक हैं, एक और स्वयं, दूसरे से - अन्य सभी। प्रथम श्रेणी संख्या कहलाती है सरल, और दूसरा - घटक... पहले तीन दहाई में अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा अभाज्य संख्याओं के गुणों और सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ उनके संबंध का अध्ययन किया गया था। यदि आप अभाज्य संख्याओं को एक पंक्ति में लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि उनका आपेक्षिक घनत्व कम हो जाता है। उनमें से पहले दस में ४ हैं, यानी ४०%, सौ में - २५, यानी। 25%, प्रति हजार - 168, अर्थात। 17% से कम, प्रति मिलियन - 78498, अर्थात। 8% से कम, आदि। हालांकि, उनकी कुल संख्या अनंत है।

अभाज्य संख्याओं में ऐसे जोड़े होते हैं जिनके बीच का अंतर दो के बराबर होता है (तथाकथित साधारण जुड़वां), लेकिन ऐसे युग्मों की परिमितता या अनंतता सिद्ध नहीं हुई है।

यूक्लिड ने यह स्पष्ट माना कि केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करके कोई भी सभी प्राकृतिक संख्याएँ प्राप्त कर सकता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है (कारकों के क्रम तक)। इस प्रकार, अभाज्य संख्या प्राकृतिक श्रृंखला के लिए गुणक आधार बनाती है।

अभाज्य संख्याओं के वितरण के अध्ययन से एक एल्गोरिथम का निर्माण हुआ जो अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह एल्गोरिथम है एराटोस्थनीज की छलनी(तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व)। इस विधि में निराई (उदाहरण के लिए, स्ट्राइकथ्रू द्वारा) दिए गए अनुक्रम के उन पूर्णांकों को शामिल किया जाता है
जो . से कम अभाज्य संख्याओं में से कम से कम एक से विभाज्य हों
.

प्रमेय 8 . 2 . (यूक्लिड का प्रमेय)। अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है.

सबूत... आइए लियोनार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा प्रस्तावित विधि द्वारा यूक्लिड के प्रमेय को अभाज्य संख्याओं की अनंतता पर सिद्ध करें। यूलर ने उत्पाद को सभी प्राइम पर माना पी:

पर
... यह उत्पाद अभिसरण करता है, और यदि हम इसका विस्तार करते हैं, तो प्राकृतिक संख्याओं के अभाज्य कारकों में अपघटन की विशिष्टता के कारण, यह पता चलता है कि यह श्रृंखला के योग के बराबर है , जहां से यूलर की पहचान इस प्रकार है:

.

चूंकि ए.टी
सही विचलन (हार्मोनिक श्रृंखला) पर श्रृंखला, फिर यूक्लिड का प्रमेय यूलर की पहचान से चलता है।

रूसी गणितज्ञ पी.एल. चेबीशेव (1821-1894) ने एक सूत्र निकाला जो उस सीमा को निर्धारित करता है जिसमें अभाज्य संख्याओं की संख्या संलग्न है
जो निम्न से अधिक नहीं है एक्स:

,

कहां
,
.