2018 Olshevsky Andrey Georgievich

Δικτυακός τόπος γεμάτο με βιβλία, μπορείτε να κατεβάσετε βιβλία

Διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα, μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων, παραδείγματα, τύποι

1 Διανύσματα στο διάστημα

Τα διανύσματα στο διάστημα περιλαμβάνουν τη γεωμετρία της 10ης τάξης, τη γεωμετρία της 11ης τάξης και την αναλυτική γεωμετρία. Τα διανύσματα σάς επιτρέπουν να λύσετε αποτελεσματικά γεωμετρικά προβλήματα του δεύτερου μέρους της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης και αναλυτικής γεωμετρίας στο διάστημα. Τα διανύσματα στο χώρο δίνονται με τον ίδιο τρόπο όπως τα διανύσματα στο επίπεδο, αλλά λαμβάνεται υπόψη η τρίτη συντεταγμένη z. Ο αποκλεισμός από διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο δίνει διανύσματα στο επίπεδο, τα οποία εξηγούνται από τη γεωμετρία 8η, 9η τάξη.

1.1 Διάνυσμα στο επίπεδο και στο διάστημα

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα με αρχή και τέλος, που απεικονίζονται στο σχήμα με ένα βέλος. Ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο μπορεί να θεωρηθεί μηδενικό διάνυσμα. Το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση, αφού η αρχή και το τέλος είναι ίδια, άρα μπορεί να του δοθεί οποιαδήποτε κατεύθυνση.

Διάνυσμα μεταφρασμένο από τα αγγλικά σημαίνει διάνυσμα, κατεύθυνση, πορεία, καθοδήγηση, ρύθμιση κατεύθυνσης, πορεία αεροσκάφους.

Το μήκος (μέτρο) ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ, το οποίο συμβολίζεται
. Διάνυσμα μήκος συμβολίζεται με . Το μηδενικό διάνυσμα έχει μήκος ίσο με μηδέν = 0.

Τα μη μηδενικά διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμικά.

Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Τα συγγραμμικά μη μηδενικά διανύσματα που έχουν την ίδια κατεύθυνση ονομάζονται συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα συνκατεύθυνσης υποδεικνύονται με . Για παράδειγμα, εάν το διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα , τότε χρησιμοποιείται ο συμβολισμός.

Το μηδενικό διάνυσμα είναι συμκατευθυντικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Αντίθετα κατευθυνόμενα είναι δύο συγγραμμικά μη μηδενικά διανύσματα που έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. Τα αντίθετα κατευθυνόμενα διανύσματα υποδεικνύονται με το πρόσημο ↓. Για παράδειγμα, εάν το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα, τότε χρησιμοποιείται ο συμβολισμός ↓.

Τα συνκατευθυνόμενα διανύσματα ίσου μήκους ονομάζονται ίσα.

Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά μεγέθη: δύναμη, ταχύτητα, ηλεκτρικό πεδίο.

Εάν το σημείο εφαρμογής (έναρξης) του διανύσματος δεν έχει καθοριστεί, τότε επιλέγεται αυθαίρετα.

Εάν η αρχή του διανύσματος τοποθετηθεί στο σημείο Ο, τότε το διάνυσμα θεωρείται ότι καθυστερεί από το σημείο Ο. Από οποιοδήποτε σημείο μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο διάνυσμα ίσο με ένα δεδομένο διάνυσμα.

1.2 Διανυσματικό άθροισμα

Όταν προσθέτουμε διανύσματα σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, σχεδιάζεται το διάνυσμα 1, από το τέλος του οποίου σχεδιάζεται το διάνυσμα 2, και το άθροισμα αυτών των δύο διανυσμάτων είναι το διάνυσμα 3, σχεδιασμένο από την αρχή του διανύσματος 1 έως το τέλος του διανύσματος 2:

Για αυθαίρετα σημεία Α, Β και Γ, μπορείτε να γράψετε το άθροισμα των διανυσμάτων:

+
=

Αν δύο διανύσματα προέρχονται από το ίδιο σημείο

τότε είναι καλύτερα να τα προσθέσουμε σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου.

Όταν προσθέτουμε δύο διανύσματα σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, τα προστιθέμενα διανύσματα τοποθετούνται από ένα σημείο, από τα άκρα αυτών των διανυσμάτων συμπληρώνεται ένα παραλληλόγραμμο εφαρμόζοντας την αρχή ενός άλλου στο τέλος ενός διανύσματος. Το διάνυσμα που σχηματίζεται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου, που προέρχεται από το σημείο προέλευσης των διανυσμάτων που προστίθενται, θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων

Ο κανόνας του παραλληλογράμμου περιέχει διαφορετική σειρά πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου.

Νόμοι της πρόσθεσης διανυσμάτων:

1. Νόμος μετατόπισης + = +.

2. Συνδυαστικός νόμος ( + ) + = + ( + ).

Εάν είναι απαραίτητο να προσθέσετε πολλά διανύσματα, τότε τα διανύσματα προστίθενται σε ζεύγη ή σύμφωνα με τον κανόνα του πολυγώνου: το διάνυσμα 2 σχεδιάζεται από το τέλος του διανύσματος 1, το διάνυσμα 3 σχεδιάζεται από το τέλος του διανύσματος 2, το διάνυσμα 4 σχεδιάζεται από το τέλος του διανύσματος 3, το διάνυσμα 5 σχεδιάζεται από το τέλος του διανύσματος 4 κ.λπ. Ένα διάνυσμα που είναι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων σχεδιάζεται από την αρχή του διανύσματος 1 έως το τέλος του τελευταίου διανύσματος.

Σύμφωνα με τους νόμους της πρόσθεσης διανυσμάτων, η σειρά πρόσθεσης του διανύσματος δεν επηρεάζει το διάνυσμα που προκύπτει, το οποίο είναι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων.

Δύο μη μηδενικά αντίθετα κατευθυνόμενα διανύσματα ίσου μήκους ονομάζονται αντίθετα. Διάνυσμα - είναι το αντίθετο του διανύσματος

Αυτά τα διανύσματα είναι αντίθετα κατευθυνόμενα και ίσα σε μέγεθος.

1.3 Διανυσματική διαφορά

Η διανυσματική διαφορά μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα διανυσμάτων

- = + (-),

όπου "-" είναι το διάνυσμα απέναντι από το διάνυσμα .

Τα διανύσματα και - μπορούν να προστεθούν σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου ή του παραλληλογράμμου.

Αφήστε τα διανύσματα και

Για να βρούμε τη διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων, κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα -

Προσθέτουμε τα διανύσματα και - σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, εφαρμόζοντας την αρχή του διανύσματος - στο τέλος του διανύσματος, παίρνουμε το διάνυσμα + (-) = -

Προσθέτουμε τα διανύσματα και - σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, παραμερίζοντας τις αρχές των διανυσμάτων και - από ένα σημείο

Αν τα διανύσματα και προέρχονται από το ίδιο σημείο

,

τότε η διαφορά των διανυσμάτων δίνει ένα διάνυσμα που συνδέει τα άκρα τους και το βέλος στο τέλος του διανύσματος που προκύπτει τοποθετείται προς την κατεύθυνση του διανύσματος από το οποίο αφαιρείται το δεύτερο διάνυσμα

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη διαφορά πρόσθεσης και διανύσματος

Το παρακάτω σχήμα δείχνει πρόσθεση και διαφορά διανυσμάτων με διαφορετικούς τρόπους

Εργο.Τα διανύσματα και δίνονται.

Σχεδιάστε το άθροισμα και τη διαφορά των διανυσμάτων με όλους τους δυνατούς τρόπους σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς διανυσμάτων.

1.4 Λήμμα σε συγγραμμικά διανύσματα

= κ

1.5 Γινόμενο διανύσματος και αριθμού

Το γινόμενο ενός μη μηδενικού διανύσματος με τον αριθμό k δίνει το διάνυσμα = k, συγγραμμικό με το διάνυσμα. Μήκος διανύσματος:

| | = |κ |·| |

Αν k > 0, τότε τα διανύσματα και είναι ομοκατευθυντικά.

Αν k = 0, τότε το διάνυσμα είναι μηδέν.

Αν κ< 0, то векторы и противоположно направленные.

Αν | k | = 1, μετά διανύσματα και έχουν ίσο μήκος.

Αν k = 1, τότε τα διανύσματα είναι ίσα.

Αν k = -1, τότε τα αντίθετα διανύσματα.

Αν | k | > 1, τότε το μήκος του διανύσματος είναι μεγαλύτερο από το μήκος του διανύσματος .

Αν k > 1, τότε τα διανύσματα είναι και τα δύο συμκατευθυντικά και το μήκος είναι μεγαλύτερο από το μήκος του διανύσματος.

Αν κ< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Αν | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Αν 0< κ< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Αν -1< κ< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Το γινόμενο ενός μηδενικού διανύσματος και ενός αριθμού δίνει ένα μηδενικό διάνυσμα.

Εργο.Δίνεται ένα διάνυσμα.

Κατασκευάστε διανύσματα 2, -3, 0,5, -1,5.

Εργο.Τα διανύσματα και δίνονται.

Κατασκευάστε διανύσματα 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Νόμοι που περιγράφουν τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό

1. Συνδυαστικός νόμος (kn) = k (n)

2. Ο πρώτος νόμος κατανομής k ( + ) = k + k .

3. Δεύτερος νόμος κατανομής (k + n) = k + n.

Για συγγραμμικά διανύσματα και , εάν ≠ 0, υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός k που σας επιτρέπει να εκφράσετε το διάνυσμα ως εξής:

= κ

1.6 Συνεπίπεδα διανύσματα

Τα διανύσματα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα ονομάζονται συνεπίπεδα. Αν σχεδιάσουμε διανύσματα ίσα με αυτά τα ομοεπίπεδα διανύσματα από ένα σημείο, τότε θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι τα διανύσματα ονομάζονται συνεπίπεδα εάν υπάρχουν ίσα διανύσματα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Δύο αυθαίρετα διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα. Τα τρία διανύσματα μπορεί να είναι συνεπίπεδα ή μη. Τρία διανύσματα, τουλάχιστον δύο από τα οποία είναι συγγραμμικά, είναι συνεπίπεδα. Τα συγγραμμικά διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα.

1.7 Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα

Οποιοδήποτε διάνυσμα διασπάται μοναδικά στο επίπεδο σε δύο μη γραμμικά μη μηδενικά διανύσματα Και με απλούς συντελεστές διαστολής x και y:

= x+y

Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ομοεπίπεδο με τα μη μηδενικά διανύσματα και μπορεί να επεκταθεί μοναδικά σε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και με μοναδικούς συντελεστές επέκτασης x και y:

= x+y

Ας επεκτείνουμε το δεδομένο διάνυσμα στο επίπεδο σύμφωνα με τα δεδομένα μη γραμμικά διανύσματα και :

Ας σχεδιάσουμε τα δοσμένα συνεπίπεδα διανύσματα από ένα σημείο

Από το τέλος του διανύσματος σχεδιάζουμε γραμμές παράλληλες με τα διανύσματα και μέχρι να τέμνονται με τις γραμμές που χαράσσονται μέσα από τα διανύσματα και . Παίρνουμε ένα παραλληλόγραμμο

Τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των διανυσμάτων και με τους αριθμούς x και y, που προσδιορίζονται διαιρώντας τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου με τα μήκη των αντίστοιχων διανυσμάτων και. Λαμβάνουμε την αποσύνθεση του διανύσματος σύμφωνα με τα δεδομένα μη συγγραμμικά διανύσματα και:

= x+y

Στο πρόβλημα που λύνεται, x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, επομένως η επέκταση του διανύσματος σε δεδομένα μη συγγραμμικά διανύσματα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

1,3 + 1,9 .

Στο πρόβλημα που λύνεται, x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, επομένως η επέκταση του διανύσματος σε δεδομένα μη συγγραμμικά διανύσματα μπορεί να γραφεί με τη μορφή

1,3 - 1,9 .

1.8 Κανόνας παραλληλεπιπέδου

Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα του οποίου οι απέναντι όψεις αποτελούνται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.

Ο κανόνας του παραλληλεπίπεδου σάς επιτρέπει να προσθέσετε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα, τα οποία σχεδιάζονται από ένα σημείο, και ένα παραλληλεπίπεδο κατασκευάζεται έτσι ώστε τα αθροιστικά διανύσματα να σχηματίζουν τις άκρες του και οι υπόλοιπες ακμές του παραλληλεπίπεδου να είναι αντίστοιχα παράλληλες και ίσες με τα μήκη του οι ακμές που σχηματίζονται από τα αθροιστικά διανύσματα. Η διαγώνιος του παραλληλεπίπεδου σχηματίζει ένα διάνυσμα, το οποίο είναι το άθροισμα των δεδομένων τριών διανυσμάτων, το οποίο ξεκινά από το σημείο προέλευσης των διανυσμάτων που προστίθενται.

1.9 Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα

Οποιοδήποτε διάνυσμα επεκτείνεται σε τρία δεδομένα μη ομοεπίπεδα διανύσματα , και με απλούς συντελεστές επέκτασης x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

Στον τρισδιάστατο χώρο, το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz ορίζεται από την αρχή O και τους τεμνόμενους αμοιβαία κάθετους άξονες συντεταγμένων Ox, Oy και Oz με επιλεγμένες θετικές κατευθύνσεις που υποδεικνύονται με βέλη και τη μονάδα μέτρησης των τμημάτων. Εάν η κλίμακα των τμημάτων είναι ίδια και στους τρεις άξονες, τότε ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Συντεταγμένη Το x ονομάζεται τετμημένη, το y είναι η τεταγμένη, το z είναι η εφαρμογή. Οι συντεταγμένες του σημείου Μ γράφονται σε αγκύλες M (x; y; z).

1.11 Διανυσματικές συντεταγμένες στο χώρο

Στο διάστημα θα ορίσουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz. Από την αρχή των συντεταγμένων στις θετικές κατευθύνσεις των αξόνων Ox, Oy, Oz, αντλούμε τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα , , , τα οποία ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένων και είναι μη ομοεπίπεδα. Επομένως, οποιοδήποτε διάνυσμα αποσυντίθεται σε τρία δεδομένα μη ομοεπίπεδα διανύσματα συντεταγμένων και με μοναδικούς συντελεστές επέκτασης x, y, z:

= x + y + z .

Οι συντελεστές διαστολής x, y, z είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, οι οποίες γράφονται σε παρένθεση (x; y; z). Το μηδενικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες ίσες με μηδέν (0; 0; 0). Τα ίσα διανύσματα έχουν ίσες αντίστοιχες συντεταγμένες.

Κανόνες για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος που προκύπτει:

1. Όταν αθροίζονται δύο ή περισσότερα διανύσματα, κάθε συντεταγμένη του διανύσματος που προκύπτει είναι ίση με το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των δεδομένων διανυσμάτων. Αν δίνονται δύο διανύσματα (x 1 ; y 1 ; z 1) και (x 1 ; y 1 ; z 1), τότε το άθροισμα των διανυσμάτων + δίνει ένα διάνυσμα με συντεταγμένες (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Η διαφορά είναι ένας τύπος αθροίσματος, άρα η διαφορά των αντίστοιχων συντεταγμένων δίνει κάθε συντεταγμένη του διανύσματος που προκύπτει αφαιρώντας δύο δεδομένα διανύσματα. Αν δίνονται δύο διανύσματα (x a; y a; z a) και (x b; y b; z b), τότε η διαφορά των διανυσμάτων δίνει ένα διάνυσμα με συντεταγμένες (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, κάθε συντεταγμένη του διανύσματος που προκύπτει είναι ίση με το γινόμενο αυτού του αριθμού και της αντίστοιχης συντεταγμένης του δεδομένου διανύσματος. Εάν δίνονται ένας αριθμός k και ένα διάνυσμα (x; y; z), τότε πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα με τον αριθμό k δίνεται το διάνυσμα k με συντεταγμένες

k = (kx; ky; kz).

Εργο.Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος = 2 - 3 + 4, αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Λύση

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2)· 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1)· 4·(-3· 4·2) = (-4· -12· 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Συντεταγμένες ενός διανύσματος, διάνυσμα ακτίνας και σημείου

Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος είναι οι συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος εάν η αρχή του διανύσματος τοποθετηθεί στην αρχή.

Ένα διάνυσμα ακτίνας είναι ένα διάνυσμα που σχεδιάζεται από την αρχή σε ένα δεδομένο σημείο· οι συντεταγμένες του διανύσματος ακτίνας και του σημείου είναι ίσες.

Αν το διάνυσμα
δίνεται από τα σημεία M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) και M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2), τότε κάθε μία από τις συντεταγμένες της είναι ίση με τη διαφορά των αντίστοιχων συντεταγμένων του άκρου και αρχή του διανύσματος

Για συγγραμμικά διανύσματα = (x 1 ; y 1 ; z 1) και = (x 2 ; y 2 ​​· z 2), εάν ≠ 0, υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός k που σας επιτρέπει να εκφράσετε το διάνυσμα μέσω:

= κ

Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος εκφράζονται μέσω των συντεταγμένων του διανύσματος

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

Ο λόγος των αντίστοιχων συντεταγμένων των συγγραμμικών διανυσμάτων είναι ίσος με τον ενικό αριθμό k

1.13 Διάνυσμα μήκος και απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Το μήκος του διανύσματος (x; y; z) είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του

Το μήκος του διανύσματος που καθορίζεται από τα σημεία εκκίνησης M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) και το άκρο M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2) είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετράγωνα της διαφοράς μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους του διανύσματος και της αρχής

Απόσταση d μεταξύ δύο σημείων M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) και M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2) είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος

Δεν υπάρχει συντεταγμένη z στο αεροπλάνο

Απόσταση μεταξύ των σημείων M 1 (x 1 ; y 1) και M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Συντεταγμένες του μέσου τμήματος

Αν το σημείο C είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου C σε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο O είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των διανυσμάτων ακτίνας των σημείων Α και Β

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ​​; z 2), τότε κάθε διανυσματική συντεταγμένη είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των αντίστοιχων διανυσματικών συντεταγμένων και

,
,

= (x, y, z) =

Κάθε μία από τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος ισούται με το ήμισυ του αθροίσματος των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του τμήματος.

1.15 Γωνία μεταξύ διανυσμάτων

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με τη γωνία μεταξύ των ακτίνων που τραβήχτηκαν από ένα σημείο και κατευθύνονται με αυτά τα διανύσματα. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να είναι από 0 0 έως 180 0 συμπεριλαμβανομένων. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων συνκατεύθυνσης είναι 0 0 . Εάν ένα διάνυσμα ή και τα δύο είναι μηδέν, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, τουλάχιστον ένα από τα οποία είναι μηδέν, είναι ίση με 0 0 . Η γωνία μεταξύ των κάθετων διανυσμάτων είναι 90 0. Η γωνία μεταξύ των αντίθετα κατευθυνόμενων διανυσμάτων είναι 180 0.

1.16 Διανυσματική προβολή

1.17 Τελεακή γινόμενο διανυσμάτων

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένας αριθμός (βαθμωτός) ίσος με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Αν = 0 0 , τότε τα διανύσματα είναι ομοκατευθυντικά
Και
= cos 0 0 = 1, επομένως, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ομοκατεύθυνσης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών τους (μονάδες)

.

Αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, επομένως το βαθμωτό γινόμενο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν
.

Αν τα μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα, τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν
, αφού cos 90 0 = 0. Το κλιμακωτό γινόμενο των κάθετων διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν.

Αν
, τότε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τέτοιων διανυσμάτων είναι μικρότερο από το μηδέν
, επομένως το βαθμωτό γινόμενο είναι μικρότερο από το μηδέν
.

Καθώς η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων αυξάνεται, το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας
μειώνεται και φτάνει σε μια ελάχιστη τιμή στο = 180 0 όταν τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση
. Αφού cos 180 0 = -1, τότε
. Το κλιμακωτό γινόμενο των αντίθετα κατευθυνόμενων διανυσμάτων είναι ίσο με το αρνητικό γινόμενο των μηκών τους (μονάδες).

Το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος στο τετράγωνο

Το γινόμενο με τελείες διανυσμάτων από τα οποία τουλάχιστον ένα είναι μηδέν ισούται με μηδέν.

1.18 Φυσική έννοια του κλιμακωτού γινόμενου διανυσμάτων

Από ένα μάθημα φυσικής είναι γνωστό ότι το έργο που γίνεται από μια δύναμη όταν μετακινείτε το σώμα ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων δύναμης και μετατόπισης και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας, δηλαδή ίσο με το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων δύναμης και μετατόπισης

Αν το διάνυσμα δύναμης είναι συνκατευθυντικό με την κίνηση του σώματος, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων
= 0 0, επομένως το έργο που ασκεί η δύναμη στη μετατόπιση είναι μέγιστη και ίση με A =
.

Αν 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Αν = 90 0, τότε το έργο που γίνεται από τη δύναμη στη μετατόπιση είναι μηδέν A = 0.

Αν 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Εάν το διάνυσμα δύναμης κατευθύνεται αντίθετα από την κίνηση του σώματος, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων = 180 0, επομένως το έργο της δύναμης στην κίνηση είναι αρνητικό και ίσο με A = -.

Εργο.Προσδιορίστε την εργασία που επιτελείται από τη βαρύτητα κατά την ανύψωση ενός επιβατικού αυτοκινήτου βάρους 1 τόνου κατά μήκος ενός δρόμου μήκους 1 km με γωνία κλίσης 30 0 ως προς τον ορίζοντα. Πόσα λίτρα νερού σε θερμοκρασία 20 0 μπορούν να βράσουν χρησιμοποιώντας αυτή την ενέργεια;

Λύση

Δουλειά Μια βαρύτητα όταν κινείται ένα σώμα, είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας, δηλαδή ίσο με το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων βαρύτητας και μετατόπισης

Βαρύτητα

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10.000 N.

= 1000 m.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων = 120 0 . Επειτα

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - αμαρτία 30 0 = - 0,5.

Ας αντικαταστήσουμε

A = 10.000 N · 1000 m · (-0,5) = - 5.000.000 J = - 5 MJ.

1.19 Τελεακή γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

Σημείο γινόμενο δύο διανυσμάτων = (x 1; y 1; z 1) και = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των συντεταγμένων με το ίδιο όνομα

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων

Εάν τα μη μηδενικά διανύσματα = (x 1 ; y 1 ; z 1) και = (x 2 ; y 2 ​​· z 2) είναι κάθετα, τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν

Εάν δίνεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα = (x 1 ; y 1 ; z 1), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος που είναι κάθετες (κανονικές) σε αυτό = (x 2 ; y 2 ​​· z 2) πρέπει να ικανοποιούν την ισότητα

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διανυσμάτων.

Εάν δίνεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα = (x 1 ; y 1) στο επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος που είναι κάθετες (κανονικές) σε αυτό = (x 2 ; y 2) πρέπει να ικανοποιούν την ισότητα

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Εάν ένα διάνυσμα μη μηδενικό = (x 1 ; y 1) δίνεται στο επίπεδο, τότε αρκεί να ορίσετε αυθαίρετα μια από τις συντεταγμένες του διανύσματος κάθετη (κανονική) σε αυτό = (x 2 ; y 2) και από η συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

εκφράζουν τη δεύτερη συντεταγμένη του διανύσματος.

Για παράδειγμα, αν αντικαταστήσετε μια αυθαίρετη συντεταγμένη x 2, τότε

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Δεύτερη διανυσματική συντεταγμένη

Αν δώσουμε x 2 = y 1, τότε η δεύτερη συντεταγμένη του διανύσματος

Αν ένα διάνυσμα μη μηδενικό = (x 1 ; y 1) δίνεται στο επίπεδο, τότε το διάνυσμα είναι κάθετο (κανονικό) σε αυτό = (y 1 ; -x 1).

Εάν μία από τις συντεταγμένες ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι ίση με μηδέν, τότε το διάνυσμα έχει την ίδια συντεταγμένη όχι ίση με μηδέν και η δεύτερη συντεταγμένη είναι ίση με μηδέν. Τέτοια διανύσματα βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων και επομένως είναι κάθετα.

Ας ορίσουμε ένα δεύτερο διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1), αλλά αντίθετο στο διάνυσμα , δηλαδή το διάνυσμα - . Τότε αρκεί να αλλάξουμε τα πρόσημα των διανυσματικών συντεταγμένων

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Εργο.

Λύση

Συντεταγμένες δύο διανυσμάτων κάθετων στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1) στο επίπεδο

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Αντικατάσταση διανυσματικών συντεταγμένων = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

σωστά!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

σωστά!

Απάντηση: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Αν αντιστοιχίσουμε x 2 = 1, αντικαταστήστε

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Λαμβάνουμε τη συντεταγμένη y 2 του διανύσματος που είναι κάθετο στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1)

Για να αποκτήσετε ένα δεύτερο διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1), αλλά αντίθετο στο διάνυσμα . Αφήνω

Τότε αρκεί να αλλάξουμε τα πρόσημα των διανυσματικών συντεταγμένων.

Συντεταγμένες δύο διανυσμάτων κάθετων στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1) στο επίπεδο

Εργο.Δίνεται διάνυσμα = (3; -5). Βρείτε δύο κανονικά διανύσματα με διαφορετικούς προσανατολισμούς.

Λύση

Συντεταγμένες δύο διανυσμάτων κάθετων στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1) στο επίπεδο

Συντεταγμένες ενός διανύσματος

Συντεταγμένες του δεύτερου διανύσματος

Για να ελέγξουμε την καθετότητα των διανυσμάτων, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες τους στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

σωστά!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

σωστά!

Απάντηση: και.

Αν αντιστοιχίσετε x 2 = - x 1, αντικαταστήστε

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Παίρνουμε τη συντεταγμένη του διανύσματος κάθετη στο διάνυσμα

Αν αντιστοιχίσετε x 2 = x 1, αντικαταστήστε

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Λαμβάνουμε τη συντεταγμένη y του δεύτερου διανύσματος κάθετου στο διάνυσμα

Συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου στο διάνυσμα στο επίπεδο = (x 1 ; y 1)

Συντεταγμένες του δεύτερου διανύσματος κάθετες στο διάνυσμα στο επίπεδο = (x 1 ; y 1)

Συντεταγμένες δύο διανυσμάτων κάθετων στο διάνυσμα = (x 1 ; y 1) στο επίπεδο

1.21 Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο μη μηδενικών διανυσμάτων = (x 1 ; y 1 ; z 1) και = (x 2 ; y 2 ​​· z 2) είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων διαιρούμενο με το γινόμενο του τα μήκη αυτών των διανυσμάτων

Αν
= 1, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 0 0, τα διανύσματα είναι ομοκατευθυντικά.

Αν 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Αν = 0, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 90 0, τα διανύσματα είναι κάθετα.

Αν -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Αν = -1, τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 180 0, τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Εάν ένα διάνυσμα δίνεται από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους, τότε αφαιρώντας τις συντεταγμένες της αρχής από τις αντίστοιχες συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες αυτού του διανύσματος.

Εργο.Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Λύση

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

επομένως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίση με = 90 0 .

1.22 Ιδιότητες του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων

Οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος ισχύουν για οποιαδήποτε , , , κ :

1.
, Αν
, Οτι
, Αν =, Οτι
= 0.

2. Ο ταξιδιωτικός νόμος

3. Διανεμητικό δίκαιο

4. Συνδυαστικό δίκαιο
.

1.23 Άμεσο διάνυσμα

Το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια ευθεία ή σε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία.

Εάν μια ευθεία γραμμή ορίζεται από δύο σημεία M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) και M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2), τότε ο οδηγός είναι το διάνυσμα
ή το αντίθετό του διάνυσμα
= - , του οποίου οι συντεταγμένες

Συνιστάται να ρυθμίσετε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε η γραμμή να διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, τότε οι συντεταγμένες του μοναδικού σημείου στη γραμμή θα είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης.

Εργο.Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Λύση

Το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από τα σημεία M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) συμβολίζεται
. Κάθε συντεταγμένη του είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του διανύσματος

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Ας απεικονίσουμε το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας στο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο Μ 1, με τέλος στο σημείο Μ 2 και ίσο διάνυσμα
από την αρχή με το άκρο στο σημείο M (-1; 1; 0)

1.24 Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Πιθανές επιλογές για τη σχετική θέση 2 ευθειών σε ένα επίπεδο και τη γωνία μεταξύ τέτοιων ευθειών:

1. Ευθείες γραμμές τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, σχηματίζοντας 4 γωνίες, 2 ζεύγη κάθετες γωνίες είναι ίσες ανά ζεύγη. Η γωνία φ μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι η γωνία που δεν υπερβαίνει τις άλλες τρεις γωνίες μεταξύ αυτών των γραμμών. Επομένως, η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι φ ≤ 90 0.

Οι τεμνόμενες ευθείες μπορεί να είναι, ειδικότερα, κάθετες στο φ = 90 0.

Πιθανές επιλογές για τη σχετική θέση 2 ευθειών στο διάστημα και τη γωνία μεταξύ τέτοιων ευθειών:

1. Ευθείες γραμμές τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, σχηματίζοντας 4 γωνίες, 2 ζεύγη κάθετες γωνίες είναι ίσες ανά ζεύγη. Η γωνία φ μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι η γωνία που δεν υπερβαίνει τις άλλες τρεις γωνίες μεταξύ αυτών των γραμμών.

2. Οι ευθείες είναι παράλληλες, δηλαδή δεν συμπίπτουν και δεν τέμνονται, φ=0 0 .

3. Οι γραμμές συμπίπτουν, φ = 0 0 .

4. Οι ευθείες τέμνονται, δηλαδή δεν τέμνονται στο χώρο και δεν είναι παράλληλες. Η γωνία φ μεταξύ τεμνόμενων γραμμών είναι η γωνία μεταξύ γραμμών που σχεδιάζονται παράλληλα με αυτές τις ευθείες έτσι ώστε να τέμνονται. Επομένως, η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι φ ≤ 90 0.

Η γωνία μεταξύ 2 ευθειών είναι ίση με τη γωνία μεταξύ ευθειών που σχεδιάζονται παράλληλα με αυτές τις ευθείες στο ίδιο επίπεδο. Επομένως, η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Γωνία θ (θήτα) μεταξύ διανυσμάτων και 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Αν η γωνία φ μεταξύ των ευθειών α και β είναι ίση με τη γωνία θ μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των ευθειών φ = θ, τότε

cos φ = cos θ.

Αν η γωνία μεταξύ ευθειών είναι φ = 180 0 - θ, τότε

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Επομένως, το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ ευθειών είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

cos φ = |cos θ|.

Αν δίνονται οι συντεταγμένες των μη μηδενικών διανυσμάτων = (x 1 ; y 1 ; z 1) και = (x 2 ; y 2 ​​· z 2), τότε το συνημίτονο της γωνίας θ μεταξύ τους

Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των γραμμών είναι ίσο με το μέτρο του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών

cos φ = |cos θ| =

Οι γραμμές είναι τα ίδια γεωμετρικά αντικείμενα, επομένως οι ίδιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις cos υπάρχουν στον τύπο.

Εάν καθεμία από τις δύο ευθείες δίνεται από δύο σημεία, τότε είναι δυνατό να προσδιοριστούν τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των ευθειών και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών.

Αν cos φ = 1, τότε η γωνία φ μεταξύ των γραμμών είναι ίση με 0 0, μπορούμε να πάρουμε για αυτές τις γραμμές ένα από τα διανύσματα κατεύθυνσης αυτών των γραμμών, οι γραμμές είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Εάν οι γραμμές δεν συμπίπτουν, τότε είναι παράλληλες. Εάν οι ευθείες συμπίπτουν, τότε οποιοδήποτε σημείο στη μία γραμμή ανήκει στην άλλη ευθεία.

Αν 0< cos φ ≤ 1, τότε η γωνία μεταξύ των γραμμών είναι 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Αν cos φ = 0, τότε η γωνία φ μεταξύ των γραμμών είναι 90 0 (οι ευθείες είναι κάθετες), οι ευθείες τέμνονται ή διασταυρώνονται.

Εργο.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ ευθειών M 1 M 3 και M 2 M 3 με τις συντεταγμένες των σημείων M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) και M 3 (0; 0; 1).

Λύση

Ας κατασκευάσουμε δεδομένα σημεία και ευθείες στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.

Κατευθύνουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών έτσι ώστε η γωνία θ μεταξύ των διανυσμάτων να συμπίπτει με τη γωνία φ μεταξύ των δεδομένων γραμμών. Ας αναπαραστήσουμε τα διανύσματα =
και =
, καθώς και οι γωνίες θ και φ:

Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 και ax + κατά + cz = 0;

Το επίπεδο είναι παράλληλο στον άξονα συντεταγμένων, ο χαρακτηρισμός του οποίου απουσιάζει στην εξίσωση του επιπέδου και, επομένως, ο αντίστοιχος συντελεστής είναι μηδέν, για παράδειγμα, σε c = 0, το επίπεδο είναι παράλληλο στον άξονα Oz και δεν περιέχει z στην εξίσωση ax + κατά + d = 0;

Το επίπεδο περιέχει αυτόν τον άξονα συντεταγμένων, ο προσδιορισμός του οποίου λείπει, επομένως, ο αντίστοιχος συντελεστής είναι μηδέν και d = 0, για παράδειγμα, με c = d = 0, το επίπεδο είναι παράλληλο στον άξονα Oz και δεν περιέχει z στο η εξίσωση ax + κατά = 0;

Το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων, τα σύμβολα του οποίου απουσιάζουν στην εξίσωση του επιπέδου και, επομένως, οι αντίστοιχοι συντελεστές είναι μηδέν, για παράδειγμα, για b = c = 0, το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων Oyz και δεν περιέχει y, z στην εξίσωση ax + d = 0.

Εάν το επίπεδο συμπίπτει με το επίπεδο συντεταγμένων, τότε η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου είναι η ισότητα προς το μηδέν του προσδιορισμού του άξονα συντεταγμένων κάθετου στο δεδομένο επίπεδο συντεταγμένων, για παράδειγμα, όταν x = 0, το δεδομένο επίπεδο είναι το επίπεδο συντεταγμένων Oyz.

Εργο.Το κανονικό διάνυσμα δίνεται από την εξίσωση

Να παρουσιάσετε την εξίσωση του επιπέδου σε κανονική μορφή.

Λύση

Κανονικές διανυσματικές συντεταγμένες

ΕΝΑ; β ; γ), τότε μπορείτε να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σημείου M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) και τις συντεταγμένες a, b, c του κανονικού διανύσματος στη γενική εξίσωση του επιπέδου

ax + by + cz + d = 0 (1)

Λαμβάνουμε εξίσωση με έναν άγνωστο d

ax 0 + επί 0 + cz 0 + d = 0

Από εδώ

d = -(ax 0 + επί 0 + cz 0 )

Επίπεδη εξίσωση (1) μετά την αντικατάσταση του d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Λαμβάνουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) κάθετο στο μη μηδενικό διάνυσμα (α; β; γ)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Ας υποδηλώσουμε

d = - τσεκούρι 0 - επί 0 - cz 0

Λαμβάνουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από δύο σημεία και η αρχή

ax + by + cz + d = 0.

Συνιστάται να ρυθμίσετε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε το επίπεδο να διέρχεται από την αρχή αυτού του συστήματος συντεταγμένων. Τα σημεία M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) και M 2 (x 2 ; y 2; z 2) που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο πρέπει να προσδιορίζονται έτσι ώστε η ευθεία γραμμή που συνδέει αυτά τα σημεία να μην διέρχεται από την αρχή.

Το επίπεδο θα περάσει από την αρχή, άρα d = 0. Τότε η γενική εξίσωση του επιπέδου παίρνει τη μορφή

τσεκούρι + κατά + cz = 0.

Υπάρχουν 3 άγνωστοι συντελεστές a, b, c. Η αντικατάσταση των συντεταγμένων δύο σημείων στη γενική εξίσωση του επιπέδου δίνει ένα σύστημα 2 εξισώσεων. Αν πάρουμε κάποιο συντελεστή στη γενική εξίσωση του επιπέδου ίσο με ένα, τότε το σύστημα των 2 εξισώσεων θα μας επιτρέψει να προσδιορίσουμε 2 άγνωστους συντελεστές.

Αν μία από τις συντεταγμένες ενός σημείου είναι μηδέν, τότε ο συντελεστής που αντιστοιχεί σε αυτή τη συντεταγμένη λαμβάνεται ως ένας.

Εάν κάποιο σημείο έχει δύο μηδενικές συντεταγμένες, τότε ο συντελεστής που αντιστοιχεί σε μία από αυτές τις μηδενικές συντεταγμένες λαμβάνεται ως ένας.

Εάν γίνει αποδεκτό το a = 1, τότε ένα σύστημα 2 εξισώσεων θα μας επιτρέψει να προσδιορίσουμε 2 άγνωστους συντελεστές b και c:

Είναι ευκολότερο να λυθεί ένα σύστημα από αυτές τις εξισώσεις πολλαπλασιάζοντας κάποια εξίσωση με έναν τέτοιο αριθμό ώστε οι συντελεστές για κάποιο άγνωστο να γίνουν ίσοι. Τότε η διαφορά των εξισώσεων θα μας επιτρέψει να εξαλείψουμε αυτό το άγνωστο και να προσδιορίσουμε ένα άλλο άγνωστο. Η αντικατάσταση του αγνώστου που βρέθηκε σε οποιαδήποτε εξίσωση θα σας επιτρέψει να προσδιορίσετε τον δεύτερο άγνωστο.

1.30 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές της γενικής εξίσωσης του επιπέδου

ax + by + cz + d = 0,

περνώντας από τα σημεία M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​· z 2) και M 3 (x 3 , y 3 , z 3). Τα σημεία δεν πρέπει να έχουν δύο ίδιες συντεταγμένες.

Υπάρχουν 4 άγνωστοι συντελεστές a, b, c και d. Η αντικατάσταση των συντεταγμένων τριών σημείων στη γενική εξίσωση του επιπέδου δίνει ένα σύστημα 3 εξισώσεων. Πάρτε κάποιο συντελεστή στη γενική εξίσωση του επιπέδου ίσο με μονάδα, τότε το σύστημα των 3 εξισώσεων θα σας επιτρέψει να προσδιορίσετε 3 άγνωστους συντελεστές. Συνήθως a = 1 είναι αποδεκτό, τότε ένα σύστημα 3 εξισώσεων θα μας επιτρέψει να προσδιορίσουμε 3 άγνωστους συντελεστές b, c και d:

Είναι προτιμότερο να λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων εξαλείφοντας τους αγνώστους (μέθοδος Gauss). Μπορείτε να αναδιατάξετε τις εξισώσεις στο σύστημα. Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί με οποιονδήποτε συντελεστή που δεν ισούται με μηδέν. Μπορούν να προστεθούν οποιεσδήποτε δύο εξισώσεις και η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί στη θέση μιας από τις δύο προστιθέμενες εξισώσεις. Τα άγνωστα εξαιρούνται από τις εξισώσεις λαμβάνοντας μηδενικό συντελεστή μπροστά τους. Σε μία εξίσωση, συνήθως τη χαμηλότερη, μένει μία μεταβλητή που προσδιορίζεται. Η μεταβλητή που βρέθηκε αντικαθίσταται στη δεύτερη εξίσωση από κάτω, η οποία συνήθως αφήνει 2 άγνωστα. Οι εξισώσεις λύνονται από κάτω προς τα πάνω και προσδιορίζονται όλοι οι άγνωστοι συντελεστές.

Οι συντελεστές τοποθετούνται μπροστά από τους αγνώστους και οι όροι χωρίς αγνώστους μεταφέρονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων

Η επάνω γραμμή περιέχει συνήθως μια εξίσωση που έχει συντελεστή 1 πριν από το πρώτο ή οποιοδήποτε άγνωστο, ή ολόκληρη η πρώτη εξίσωση διαιρείται με τον συντελεστή πριν από τον πρώτο άγνωστο. Σε αυτό το σύστημα εξισώσεων, διαιρέστε την πρώτη εξίσωση με το y 1

Πριν από το πρώτο άγνωστο είχαμε συντελεστή 1:

Για να επαναφέρετε τον συντελεστή μπροστά από την πρώτη μεταβλητή της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με -y 2, προσθέστε τη στη δεύτερη εξίσωση και γράψτε την εξίσωση που προκύπτει αντί για τη δεύτερη εξίσωση. Ο πρώτος άγνωστος στη δεύτερη εξίσωση θα εξαλειφθεί γιατί

y 2 b - y 2 b = 0.

Ομοίως, εξαλείφουμε τον πρώτο άγνωστο στην τρίτη εξίσωση πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση επί -y 3, προσθέτοντάς την στην τρίτη εξίσωση και γράφοντας την εξίσωση που προκύπτει αντί για την τρίτη εξίσωση. Ο πρώτος άγνωστος στην τρίτη εξίσωση θα εξαλειφθεί επίσης επειδή

y 3 b - y 3 b = 0.

Ομοίως, εξαλείφουμε τον δεύτερο άγνωστο στην τρίτη εξίσωση. Λύνουμε το σύστημα από κάτω προς τα πάνω.

Εργο.

ax + by + cz + d = 0,

περνώντας από τα σημεία M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) και y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Το καθορισμένο επίπεδο είναι το επίπεδο συντεταγμένων Oyz.

Εργο.Να προσδιορίσετε τη γενική εξίσωση του επιπέδου

ax + by + cz + d = 0,

περνώντας από τα σημεία M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) και M 3 (0; 0; 1). Βρείτε την απόσταση από αυτό το επίπεδο μέχρι το σημείο M 0 (10; -3; -7).

Λύση

Ας κατασκευάσουμε τα δεδομένα σημεία στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.

Ας δεχτούμε ένα= 1. Η αντικατάσταση των συντεταγμένων τριών σημείων στη γενική εξίσωση του επιπέδου δίνει ένα σύστημα 3 εξισώσεων

ℓ =

Ιστοσελίδες: 1 2 Διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα (συνέχεια)

Διαβουλεύσεις με τον Andrey Georgievich Olshevsky στις Skype δα.ενοχλώ.ru

Προετοιμασία μαθητών και μαθητών μαθηματικών, φυσικής, πληροφορικής, μαθητών που θέλουν να πάρουν πολλούς βαθμούς (Μέρος Γ) και αδύναμων μαθητών για τις Κρατικές Εξετάσεις (GIA) και την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Ταυτόχρονη βελτίωση της τρέχουσας ακαδημαϊκής επίδοσης με την ανάπτυξη μνήμης, σκέψης και σαφούς επεξήγησης περίπλοκης, οπτικής παρουσίασης αντικειμένων. Ιδιαίτερη προσέγγιση σε κάθε μαθητή. Προετοιμασία για Ολυμπιάδες που παρέχουν οφέλη για την εισαγωγή. 15 χρόνια εμπειρίας στη βελτίωση των επιδόσεων των μαθητών.

Ανώτερα μαθηματικά, άλγεβρα, γεωμετρία, θεωρία πιθανοτήτων, μαθηματικές στατιστικές, γραμμικός προγραμματισμός.

Μια σαφής εξήγηση της θεωρίας, το κλείσιμο των κενών στην κατανόηση, οι μέθοδοι διδασκαλίας για την επίλυση προβλημάτων, η διαβούλευση κατά τη συγγραφή μαθημάτων και διπλωμάτων.

Μηχανές αεροπορίας, πυραύλων και αυτοκινήτων. Υπερηχητικές, ramjet, πύραυλοι, παλμική έκρηξη, παλλόμενος, αεριοστρόβιλος, κινητήρες εσωτερικής καύσης με έμβολο - θεωρία, σχεδιασμός, υπολογισμός, αντοχή, σχεδιασμός, τεχνολογία κατασκευής. Θερμοδυναμική, θερμική μηχανική, δυναμική αερίων, υδραυλική.

Αεροπορία, αερομηχανική, αεροδυναμική, δυναμική πτήσης, θεωρία, σχεδιασμός, αεροϋδρομηχανική. Υπερελαφριά αεροσκάφη, ekranoplanes, αεροπλάνα, ελικόπτερα, πύραυλοι, πύραυλοι κρουζ, hovercraft, αερόπλοια, έλικες - θεωρία, σχεδιασμός, υπολογισμός, δύναμη, σχεδιασμός, τεχνολογία κατασκευής.

Δημιουργία και υλοποίηση ιδεών. Βασικές αρχές επιστημονικής έρευνας, μέθοδοι παραγωγής, υλοποίηση επιστημονικών, εφευρετικών, επιχειρηματικών ιδεών. Διδακτικές τεχνικές επίλυσης επιστημονικών προβλημάτων και εφευρετικών προβλημάτων. Επιστημονική, εφευρετική, συγγραφική, μηχανική δημιουργικότητα. Δήλωση, επιλογή, επίλυση των πολυτιμότερων επιστημονικών, ευρηματικών προβλημάτων και ιδεών.

Δημοσίευση δημιουργικών αποτελεσμάτων. Πώς να γράψετε και να δημοσιεύσετε ένα επιστημονικό άρθρο, να κάνετε αίτηση για μια εφεύρεση, να γράψετε, να δημοσιεύσετε ένα βιβλίο. Θεωρία γραφής, υπεράσπιση διπλωματικών εργασιών. Κερδίστε χρήματα από ιδέες και εφευρέσεις. Συμβουλευτική στη δημιουργία εφευρέσεων, συγγραφή αιτήσεων για εφευρέσεις, επιστημονικά άρθρα, αιτήσεις για εφευρέσεις, βιβλία, μονογραφίες, διατριβές. Συν-συγγραφή εφευρέσεων, επιστημονικών άρθρων, μονογραφιών.

Θεωρητική μηχανική (teormekh), αντοχή υλικών (αντοχή υλικών), εξαρτήματα μηχανών, θεωρία μηχανισμών και μηχανών (TMM), τεχνολογία μηχανολογίας, τεχνικοί κλάδοι.

Θεωρητικά θεμέλια ηλεκτρολόγων μηχανικών (TOE), ηλεκτρονικά, βασικά στοιχεία ψηφιακής και αναλογικής ηλεκτρονικής.

Αναλυτική γεωμετρία, περιγραφική γεωμετρία, μηχανικά γραφικά, σχέδιο. Γραφικά υπολογιστών, προγραμματισμός γραφικών, σχέδια σε AutoCAD, NanoCAD, φωτομοντάζ.

Λογική, γραφήματα, δέντρα, διακριτά μαθηματικά.

OpenOffice και LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET,μακροεντολές, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Δημιουργία προγραμμάτων, παιχνιδιών για Η/Υ, φορητούς υπολογιστές, φορητές συσκευές. Χρήση δωρεάν έτοιμων προγραμμάτων, μηχανών ανοιχτού κώδικα.

Δημιουργία, τοποθέτηση, προώθηση, προγραμματισμός ιστοσελίδων, ηλεκτρονικά καταστήματα, κέρδος σε ιστοσελίδες, Σχεδιασμός ιστοσελίδων.

Επιστήμη υπολογιστών, χρήστης Η/Υ: κείμενα, πίνακες, παρουσιάσεις, εκπαίδευση στην ταχύτητα πληκτρολόγησης σε 2 ώρες, βάσεις δεδομένων, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, δίκτυα, email.

Εγκατάσταση και επισκευή σταθερών υπολογιστών και φορητών υπολογιστών.

Video blogger, δημιουργία, επεξεργασία, δημοσίευση βίντεο, επεξεργασία βίντεο, κερδίζοντας χρήματα από ιστολόγια βίντεο.

Επιλογή, επίτευξη στόχων, προγραμματισμός.

Εκπαίδευση στο να κερδίσετε χρήματα στο Διαδίκτυο: blogger, video blogger, προγράμματα, ιστότοποι, ηλεκτρονικό κατάστημα, άρθρα, βιβλία κ.λπ.

Μπορείτε να υποστηρίξετε την ανάπτυξη του ιστότοπου, να πληρώσετε για τις συμβουλευτικές υπηρεσίες του Andrey Georgievich Olshevsky

10.15.17 Olshevsky Andrey GeorgievichΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ:[email προστατευμένο]

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου αυτό το τεράστιο και πολυαναμενόμενο θέμα. αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα λόγια για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών... Σίγουρα θυμάστε τώρα ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο κλισέ μαθηματικές φράσεις έρχονται αμέσως στο μυαλό: «μέθοδος γραφικής λύσης» και «μέθοδος αναλυτικής λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων και σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής· συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε προσεκτικά τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα μπορέσουμε να το κάνουμε αυτό χωρίς σχέδια καθόλου, και επιπλέον, για καλύτερη κατανόηση του υλικού, θα προσπαθήσω να τα αναφέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το νέο μάθημα των μαθημάτων γεωμετρίας δεν προσποιείται ότι είναι θεωρητικά ολοκληρωμένο· επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε πιο ολοκληρωμένη βοήθεια σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσιτή βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, γνωρίζουν αρκετές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη περάσει από 20 (!) ανατυπώσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για το γυμνάσιο, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που συναντώ σπάνια μπορεί να πέσουν από τα μάτια μου και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν στο διαδίκτυο. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα στα ανώτερα μαθηματικά.

Μεταξύ των εργαλείων, προτείνω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει πολύ τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια στους επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Συνιστώ να διαβάσετε περαιτέρω το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, και επίσης Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Μια τοπική εργασία - Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη - δεν θα είναι επίσης περιττή. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε να κυριαρχήσετε εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδοΜε απλούστερα παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν να λύνουν προβλήματα γεωμετρίας. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα σε ευθεία γραμμή και επίπεδο, άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Έννοια του φορέα. Δωρεάν διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, αν μετακινήσετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα, και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να συμφωνήσετε, το να μπαίνεις στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή να βγαίνεις από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να θεωρούνται μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου ή χώρου ως τα λεγόμενα μηδενικό διάνυσμα. Για ένα τέτοιο διάνυσμα, το τέλος και η αρχή συμπίπτουν.

!!! Σημείωση: Εδώ και περαιτέρω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί παρατήρησαν αμέσως το ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν, υπάρχει επίσης ένα βέλος στην κορυφή! Είναι αλήθεια ότι μπορείτε να το γράψετε με ένα βέλος: , αλλά είναι επίσης δυνατό το λήμμα που θα χρησιμοποιήσω στο μέλλον. Γιατί; Προφανώς, αυτή η συνήθεια αναπτύχθηκε για πρακτικούς λόγους· οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχτηκαν πολύ διαφορετικού μεγέθους και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν η στυλιστική, και τώρα για τους τρόπους γραφής διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο γράμμα Αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το σημείο λήξης του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικός.

Το μήκος του διανύσματος υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή: ,

Θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε το μήκος ενός διανύσματος (ή θα το επαναλάβουμε, ανάλογα με το ποιος) λίγο αργότερα.

Αυτές ήταν βασικές πληροφορίες για τους φορείς, γνωστές σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Να το θέσω απλά - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Έχουμε συνηθίσει να αποκαλούμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή στην πορεία επίλυσης προβλημάτων, μπορείτε να "προσαρτήσετε" αυτό ή εκείνο το διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο χαρακτηριστικό! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει ένα τέτοιο φοιτητικό ρητό: Κάθε λέκτορας δίνει βλασφημία για το διάνυσμα. Εξάλλου, δεν είναι απλώς μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - το διάνυσμα μπορεί επίσης να συνδεθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, είναι οι ίδιοι οι μαθητές που συχνά υποφέρουν =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- Αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυνόμενα τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα...» υπονοεί ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο συνδέεται με ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά λανθασμένη και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο, αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου, συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, ανελεύθεροςδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας καλύπτει μια σειρά από ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, κανόνας διανυσματικής διαφοράς, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων κ.λπ.Ως σημείο εκκίνησης, ας επαναλάβουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Ο κανόνας για την προσθήκη διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Πρέπει να βρείτε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, θα παραμερίσουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα. Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, είναι σκόπιμο να δώσουμε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να ταξιδέψει κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει με την αρχή στο σημείο αναχώρησης και το τέλος στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να πάει πολύ αδύνατο κατά μήκος ενός ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως στον αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος του αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από ξεκίνησεδιάνυσμα, τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Αλλά σε σχέση με αυτά, χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο "συγγραμμικό".

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Εάν τα βέλη δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετες κατευθύνσεις.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

Η δουλειάένα μη μηδενικό διάνυσμα σε έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με τη βοήθεια μιας εικόνας:

Ας το δούμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο πολλαπλασιαστής περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι το μισό του μήκους του διανύσματος. Αν ο συντελεστής του πολλαπλασιαστή είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός άλλου, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συν-κατευθυνόμενα. Vectors και είναι επίσης συν-σκηνοθετημένα. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας κατευθύνεται αντίθετα σε σχέση με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι στην ίδια κατεύθυνση και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συνκατεύθυνση συνεπάγεται συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Ο ορισμός θα ήταν ανακριβής (περιττός) αν λέγαμε: «Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος».

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, όπως συζητήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα στο επίπεδο. Ας απεικονίσουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας το σχεδιάσουμε από την αρχή των συντεταγμένων μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Σας συνιστώ να συνηθίσετε σιγά σιγά τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότηταΚαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:Η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο της καθετότητας, για παράδειγμα: .

Τα διανύσματα που εξετάζονται ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Τι είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς· περισσότερες λεπτομερείς πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτωνΜε απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίου πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: «ορθό» - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο «κανονικοποιημένο» σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟτακτοποιώ.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, Οπου - αριθμοίπου ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Και η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςκατά βάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις συζητήθηκαν:
1) ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα σχεδιάστε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι προφανές ότι η φθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα "κουβαλά τα πάντα με τον εαυτό του". Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να σχεδιάζονται από την αρχή· το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, καθώς ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας αποσπάσει μια "πίστωση" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα είναι συμκατευθυντικό με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν· μπορείτε να τη γράψετε σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν μίλησα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι πού, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι μια ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται εύκολα ως άθροισμα: . Αναδιάταξη των όρων και δείτε στο σχέδιο πόσο καλά λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.

Η θεωρούμενη αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα· η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με πρόσημο ίσου:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικά προβλήματα, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές σημειογραφίας.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά θα το πω πάντως: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράφουμε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσησημειώνουμε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα. Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα ας δούμε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, σχεδόν όλα είναι ίδια εδώ! Θα προσθέσει απλώς μια ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να κάνω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα παραμερίσω από την αρχή:

Οποιος 3D διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) σε αυτή τη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι διανυσματικοί κανόνες εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (βέλος βατόμουρου). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το αρχικό σημείο αναχώρησης (αρχή του διανύσματος) και τελειώνει στο τελικό σημείο άφιξης (τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα· προσπαθήστε να παραμερίσετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η αποσύνθεσή του «θα παραμείνει μαζί του».

Παρόμοια με την επίπεδη περίπτωση, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε στη θέση τους μπαίνουν μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Αυτή, ίσως, είναι όλη η ελάχιστη θεωρητική γνώση που είναι απαραίτητη για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Μπορεί να υπάρχουν πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στις τσαγιέρες να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν ξανά αυτές τις πληροφορίες. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να ανατρέχει κατά καιρούς στο βασικό μάθημα για να αφομοιώσει καλύτερα την ύλη. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιούνται συχνά στο μέλλον. Σημειώνω ότι τα υλικά στον ιστότοπο δεν επαρκούν για να περάσετε το θεωρητικό τεστ ή το συνέδριο για τη γεωμετρία, καθώς κρυπτογραφώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (και χωρίς αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας το θέμα. Για να λάβετε λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, παρακαλούμε να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Και περνάμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Συνιστάται ιδιαίτερα να μάθετε πώς να επιλύετε τις εργασίες που θα εξεταστούν πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, δεν χρειάζεται καν να το θυμάστε επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να αφιερώνετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια . Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σας, πολλά πράγματα σας είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες... θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα από δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες αρχή του διανύσματος.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον κατάλληλο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη καταχώρηση:

Οι αισθητιστές θα αποφασίσουν αυτό:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση της ηχογράφησης.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να διευκρινίσω ορισμένα σημεία για τα ανδρείκελα, δεν θα είμαι τεμπέλης:

Πρέπει οπωσδήποτε να καταλάβετε διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείων– αυτές είναι συνηθισμένες συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία σε ένα επίπεδο συντεταγμένων από την 5η-6η τάξη. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του διανύσματος– αυτή είναι η επέκτασή του σύμφωνα με τη βάση, στην προκειμένη περίπτωση. Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το απομακρύνουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα δεν χρειάζεται να δημιουργήσετε καθόλου άξονες ή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων· χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των συντεταγμένων των σημείων και οι συντεταγμένες των διανυσμάτων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και έννοια των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το διάστημα.

Κυρίες και κύριοι, ας γεμίσουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί Και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως είναι αρκετό. Αυτά είναι παραδείγματα για να αποφασίσεις μόνος σου, προσπάθησε να μην τα αμελήσεις, θα αποδώσει ;-). Δεν χρειάζεται να κάνετε σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό κατά την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε να κάνετε το αριστοτεχνικό λάθος «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ συγγνώμη αμέσως αν έκανα λάθος κάπου =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και , τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον κατάλληλο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - αυτό δεν είναι διάνυσμα, και, φυσικά, δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά. Επιπλέον, εάν σχεδιάζετε σε κλίμακα: 1 μονάδα. = 1 cm (δύο κελιά σημειωματάριου), τότε η απάντηση που προκύπτει μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά ακόμη σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Πρώτον, στην απάντηση βάζουμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, μια μαθηματικά σωστή λύση θα ήταν η γενική διατύπωση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για την εξεταζόμενη εργασία:

δώσε προσοχή στο σημαντική τεχνική – αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, έχουμε ένα αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του παράγοντα κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Πιο αναλυτικά η διαδικασία μοιάζει με αυτό: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση ως έχει δεν θα ήταν λάθος - αλλά σίγουρα θα ήταν μια αδυναμία και ένα βαρύ επιχείρημα για κουβέντα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά η ρίζα παράγει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό, για παράδειγμα . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή, ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4: . Ναι, χωρίστηκε τελείως, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά προφανώς δεν θα λειτουργήσει. Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα έχουμε έναν αριθμό που δεν μπορεί να εξαχθεί ως σύνολο, τότε προσπαθούμε να αφαιρέσουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, κλπ.

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, συχνά συναντώνται ρίζες· προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερο βαθμό και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας με βάση τα σχόλια του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε επίσης τις ρίζες του τετραγώνου και άλλες δυνάμεις:

Οι κανόνες για τη λειτουργία με τις δυνάμεις σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο άλγεβρας, αλλά νομίζω ότι από τα παραδείγματα που δίνονται, όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα.

Εργασία για ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Πόντοι και δίνονται. Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Τυπικός ορισμός: "Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα." Αυτή είναι συνήθως η έκταση της γνώσης ενός πτυχιούχου σχετικά με τους φορείς. Ποιος χρειάζεται κάποια «κατευθυντικά τμήματα»;

Αλλά πραγματικά, τι είναι τα διανύσματα και σε τι χρησιμεύουν;
Δελτίο καιρού. "Άνεμος βορειοδυτικός, ταχύτητα 18 μέτρα ανά δευτερόλεπτο." Συμφωνώ, τόσο η κατεύθυνση του ανέμου (από όπου φυσά) όσο και το μέγεθος (δηλαδή η απόλυτη τιμή) της ταχύτητάς του έχουν σημασία.

Οι ποσότητες που δεν έχουν κατεύθυνση ονομάζονται βαθμωτές. Η μάζα, η εργασία, το ηλεκτρικό φορτίο δεν κατευθύνονται πουθενά. Χαρακτηρίζονται μόνο από μια αριθμητική τιμή - "πόσα κιλά" ή "πόσα joules".

Τα φυσικά μεγέθη που δεν έχουν μόνο απόλυτη τιμή, αλλά και κατεύθυνση, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.

Ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση - διανύσματα. Για αυτούς, το «πόσο» είναι σημαντικό και το «που» είναι σημαντικό. Για παράδειγμα, η επιτάχυνση της βαρύτητας κατευθύνεται προς την επιφάνεια της Γης και η τιμή της είναι 9,8 m/s 2. Η ώθηση, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, η επαγωγή του μαγνητικού πεδίου είναι επίσης διανυσματικά μεγέθη.

Θυμάστε ότι τα φυσικά μεγέθη δηλώνονται με γράμματα, λατινικά ή ελληνικά. Το βέλος πάνω από το γράμμα δείχνει ότι η ποσότητα είναι διανυσματική:

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Ένα αυτοκίνητο κινείται από το Α στο Β. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η μετακίνησή του από το σημείο Α στο σημείο Β, δηλαδή η κίνηση από ένα διάνυσμα .

Τώρα είναι σαφές γιατί ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Σημειώστε ότι το τέλος του διανύσματος είναι το βέλος. Διάνυσμα μήκοςονομάζεται μήκος αυτού του τμήματος. Υποδεικνύεται από: ή

Μέχρι τώρα, δουλεύαμε με βαθμωτές ποσότητες, σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής και της στοιχειώδους άλγεβρας. Τα διανύσματα είναι μια νέα έννοια. Αυτή είναι μια άλλη κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων. Έχουν τους δικούς τους κανόνες.

Μια φορά κι έναν καιρό δεν ξέραμε τίποτα για αριθμούς. Η γνωριμία μου μαζί τους ξεκίνησε από το δημοτικό. Αποδείχθηκε ότι οι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους, να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Μάθαμε ότι υπάρχει ένας αριθμός ένα και ένας αριθμός μηδέν.
Τώρα εισάγουμε τα διανύσματα.

Οι έννοιες "περισσότερο" και "λιγότερο" για τα διανύσματα δεν υπάρχουν - τελικά, οι κατευθύνσεις τους μπορεί να είναι διαφορετικές. Μόνο τα διανυσματικά μήκη μπορούν να συγκριθούν.

Υπάρχει όμως η έννοια της ισότητας για τα διανύσματα.
ΙσοςΤα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση ονομάζονται. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα με τον εαυτό του σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.
Μονόκλινοείναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1. Το μηδέν είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή του συμπίπτει με το τέλος.

Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με διανύσματα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων - το ίδιο στο οποίο σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων. Κάθε σημείο του συστήματος συντεταγμένων αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς - τις συντεταγμένες x και y, την τετμημένη και την τεταγμένη.
Το διάνυσμα καθορίζεται επίσης από δύο συντεταγμένες:

Εδώ οι συντεταγμένες του διανύσματος γράφονται σε παρένθεση - σε x και y.
Βρίσκονται απλά: η συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος μείον τη συντεταγμένη της αρχής του.

Εάν δίνονται οι συντεταγμένες του διανύσματος, το μήκος του βρίσκεται από τον τύπο

Διάνυσμα προσθήκη

Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα.

1 . Κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσουμε τα διανύσματα και , τοποθετούμε την αρχή και των δύο στο ίδιο σημείο. Χτίζουμε μέχρι ένα παραλληλόγραμμο και από το ίδιο σημείο σχεδιάζουμε μια διαγώνιο του παραλληλογράμμου. Αυτό θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Θυμάστε τον μύθο για τον κύκνο, τις καραβίδες και τους λούτσους; Προσπάθησαν πολύ σκληρά, αλλά δεν κίνησαν ποτέ το κάρο. Εξάλλου, το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που εφάρμοσαν στο καρότσι ήταν ίσο με μηδέν.

2. Ο δεύτερος τρόπος για να προσθέσετε διανύσματα είναι ο κανόνας του τριγώνου. Ας πάρουμε τα ίδια διανύσματα και . Θα προσθέσουμε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Τώρα ας συνδέσουμε την αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτό είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα. Τα τακτοποιούμε το ένα μετά το άλλο και μετά συνδέουμε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.

Φανταστείτε ότι πηγαίνετε από το σημείο Α στο σημείο Β, από το Β στο Γ, από το Γ στο Δ, μετά στο Ε και στο ΣΤ. Το τελικό αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών είναι η μετακίνηση από το Α στο ΣΤ.

Όταν προσθέτουμε διανύσματα και παίρνουμε:

Αφαίρεση διάνυσμα

Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα. Τα μήκη των διανυσμάτων και είναι ίσα.

Τώρα είναι σαφές τι είναι η διανυσματική αφαίρεση. Η διανυσματική διαφορά και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος .

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό k, προκύπτει ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι k φορές διαφορετικό από το μήκος . Είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα αν το k είναι μεγαλύτερο από μηδέν και αντίθετο αν το k είναι μικρότερο από μηδέν.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν όχι μόνο με αριθμούς, αλλά και μεταξύ τους.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Σημειώστε ότι πολλαπλασιάσαμε δύο διανύσματα και το αποτέλεσμα ήταν ένας βαθμωτός, δηλαδή ένας αριθμός. Για παράδειγμα, στη φυσική, το μηχανικό έργο είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων - δύναμη και μετατόπιση:

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο τους είναι μηδέν.
Και έτσι εκφράζεται το βαθμωτό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων και:

Από τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο μπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Αυτή η φόρμουλα είναι ιδιαίτερα βολική στη στερεομετρία. Για παράδειγμα, στο Πρόβλημα 14 του Προφίλ Unified State Exam στα Μαθηματικά, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ή μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου. Το πρόβλημα 14 λύνεται συχνά πολλές φορές πιο γρήγορα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διανύσματος από ότι χρησιμοποιώντας την κλασική μέθοδο.

Στο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών διδάσκεται μόνο το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων.
Αποδεικνύεται ότι, εκτός από το βαθμωτό γινόμενο, υπάρχει και ένα διανυσματικό γινόμενο, όταν το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα. Όποιος δίνει το Unified State Exam στη φυσική ξέρει τι είναι η δύναμη Lorentz και η δύναμη Ampere. Οι τύποι για την εύρεση αυτών των δυνάμεων περιλαμβάνουν διανυσματικά γινόμενα.

Τα διανύσματα είναι ένα πολύ χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Αυτό θα το δεις στον πρώτο σου χρόνο.

Λοιπόν, υπηρεσίες:

Η υπηρεσία για εργασία με διανύσματα σάς επιτρέπει να εκτελέσετε δράσεις σε διανύσματα.
Εάν έχετε μια εργασία να εκτελέσετε έναν πιο περίπλοκο μετασχηματισμό, τότε αυτή η υπηρεσία θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ως κατασκευαστής.
Παράδειγμα. Διανυσματικά δεδομένα έναΚαι σι, πρέπει να βρούμε το διάνυσμα Με = ένα + 3*σι,

Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων (Τελική γινόμενο)

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τρία βήματα:

• ένα
• σι

Διάνυσμα άθροισμα

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τρία βήματα:

• Εισαγάγετε το διάνυσμα του πρώτου όρου ένα
• Εισαγάγετε το διάνυσμα του δεύτερου όρου σι
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Διάνυσμα μήκος

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο δύο βήματα:

• Εισαγάγετε διάνυσμα ένα, για το οποίο πρέπει να βρούμε το διανυσματικό μήκος
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τρία βήματα:

• Εισαγάγετε το διάνυσμα πρώτου παράγοντα ένα
• Εισαγάγετε τον δεύτερο αριθμό παράγοντα q
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Αφαίρεση διάνυσμα

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τρία βήματα:

• Εισαγάγετε το πρώτο διάνυσμα ένα, το οποίο αφαιρείται
• Εισαγάγετε δεύτερο διάνυσμα σι, από το οποίο αφαιρούν
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Κάθετο διάνυσμα

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο δύο βήματα:

• Εισαγάγετε διάνυσμα ένα, για το οποίο πρέπει να βρείτε ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο σε αυτό
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τρία βήματα:

• Εισαγάγετε το διάνυσμα πρώτου παράγοντα ένα
• Εισαγάγετε το διάνυσμα δεύτερου παράγοντα σι
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων

Αυτή είναι μια διαδικτυακή υπηρεσία στο τέσσερα βήματα:

• Εισαγάγετε το διάνυσμα πρώτου παράγοντα ένα
• Εισαγάγετε το διάνυσμα δεύτερου παράγοντα σι
• Εισαγάγετε το διάνυσμα του τρίτου παράγοντα Με
• Καθορίστε το e-mail όπου θα σταλεί η λύση

Ορισμός

Κλιμωτή ποσότητα- μια ποσότητα που μπορεί να χαρακτηριστεί από έναν αριθμό. Για παράδειγμα, μήκος, εμβαδόν, μάζα, θερμοκρασία κ.λπ.

Διάνυσμαονομάζεται το κατευθυνόμενο τμήμα $\overline(A B)$; Το σημείο $A$ είναι η αρχή, το σημείο $B$ είναι το τέλος του διανύσματος (Εικ. 1).

Ένα διάνυσμα συμβολίζεται είτε με δύο κεφαλαία γράμματα - την αρχή και το τέλος του: $\overline(A B)$ είτε με ένα μικρό γράμμα: $\overline(a)$.

Ορισμός

Εάν η αρχή και το τέλος ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται μηδέν. Τις περισσότερες φορές, το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται ως $\overline(0)$.

Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται είτε στην ίδια ευθεία είτε σε παράλληλες ευθείες (Εικ. 2).

Ορισμός

Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα $\overline(a)$ και $\overline(b)$ συν-σκηνοθεσία, εάν οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Εικ. 3, a). Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα $\overline(a)$ και $\overline(b)$ αντίθετα κατευθυνόμενη, εάν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Εικ. 3, b).

Ορισμός

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν είναι παράλληλα στο ίδιο επίπεδο ή βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (Εικ. 4).

Δύο διανύσματα είναι πάντα ομοεπίπεδα.

Ορισμός

Μήκος (ενότητα)διάνυσμα $\overline(A B)$ είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του τέλους του: $|\overline(A B)|$

Λεπτομερής θεωρία για το μήκος του διανύσματος στον σύνδεσμο.

Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν.

Ορισμός

Ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με ένα ονομάζεται μονάδα διάνυσμαή ortom.

Τα διανύσματα ονομάζονται ίσος, εάν βρίσκονται σε μία ή παράλληλες γραμμές. οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν και τα μήκη τους είναι ίσα.

Με άλλα λόγια, δύο διανύσματα ίσος, εάν είναι συγγραμμικά, ομοκατευθυντικά και έχουν ίσα μήκη:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Σε ένα αυθαίρετο σημείο $M$ του χώρου, μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα μόνο διάνυσμα $\overline(M N)$ ίσο με το δεδομένο διάνυσμα $\overline(A B)$.