Oltin nisbat - bu nima? Fibonachchi raqamlari? DNK spirali, qobiq, galaktika va Misr piramidalarida qanday umumiylik bor? Fibonachchi spirali tabiatning shifrlangan qonunidir.

Leonardo Fibonachchi - O'rta asrlarning eng buyuk matematiklaridan biri. Fibonachchi "Hisoblar kitobi" asarlaridan birida hind-arab hisoblash tizimini va uni Rim tizimidan foydalanishning afzalliklarini tasvirlab bergan.

Ta'rif
Fibonachchi raqamlari yoki Fibonachchi ketma -ketligi qator xususiyatlarga ega bo'lgan raqamli ketma -ketlikdir. Masalan, ketma-ketlikning ikkita qo'shni sonining yig'indisi keyingi qiymatini beradi (masalan, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 va boshqalar), bu Fibonachchi nisbatlari mavjudligini tasdiqlaydi. , ya'ni doimiy nisbatlar.

Fibonachchi ketma -ketligi shunday boshlanadi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Fibonachchi raqamlarining to'liq ta'rifi

3.


Fibonachchi ketma -ketligi xususiyatlari

4.

1. Har bir sonning keyingi raqamga nisbati tobora 0,618 ga to'g'ri keladi, chunki tartib sonining ko'payishi. Har bir raqamning oldingi raqamga nisbati 1,618 (teskari 0,618) ga to'g'ri keladi. 0.618 raqami (PI) deb nomlanadi.

2. Har bir sonni keyingisiga bo'lishganda, birdan keyin 0,382 raqami olinadi; aksincha - mos ravishda 2.618.

3. Bu tarzda nisbatlarni tanlab, biz Fibonachchi koeffitsientlarining asosiy to'plamini olamiz:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.


Fibonachchi ketma -ketligi va "oltin nisbat" o'rtasidagi bog'liqlik

6.

Fibonachchi ketma -ketligi asimptotik tarzda (tobora sekinroq yaqinlashib) doimiy nisbatga intiladi. Biroq, bu nisbat mantiqsiz, ya'ni kasrli qismda o'nlik raqamlarning cheksiz, oldindan aytib bo'lmaydigan ketma -ketligiga ega bo'lgan raqam. Buni aniq ifodalashning iloji yo'q.

Agar Fibonachchi ketma -ketligining har qanday a'zosi o'zidan oldingi bo'linishga bo'linsa (masalan, 13: 8), natijada 1.61803398875 irratsional qiymat atrofida tebranadigan qiymat bo'ladi va yana ko'tariladi, keyin unga etib bormaydi. Ammo abadiylikka tegsa ham, oxirgi o'nlik raqamgacha bo'lgan nisbatni aniq bilish mumkin emas. Qattiqlik uchun biz uni 1.618 shaklida tarjima qilamiz. Bu nisbatning maxsus nomlari Luka Pacioli (o'rta asr matematik) uni "Ilohiy nisbat" deb atashidan oldin ham berila boshlagan. Uning zamonaviy nomlari orasida "Oltin nisbat", "Oltin o'rtacha" va aylanuvchi kvadratlarning nisbati bor. Keplep bu munosabatni "geometriya xazinalari" dan biri deb atadi. Algebrada uni yunoncha phi harfi bilan belgilash odatda qabul qilinadi

Oltin nisbatni misol sifatida chiziq segmentidan foydalanib tasavvur qilaylik.

A va B uchlari bo'lgan segmentni ko'rib chiqaylik. S nuqtasi AB segmentini bo'lsin.

AC / CB = CB / AB yoki

AB / CB = CB / AC.

Siz buni shunday o'ylashingiz mumkin: A -– C --– B

7.

Oltin nisbat - bu segmentning teng bo'lmagan qismlarga mutanosib ravishda bo'linishi, bunda butun segment katta qismni xuddi katta qismning o'zi kichikroq qismini bildiradi; yoki boshqacha aytganda, kichikroq segment hamma narsaga kattaroq bo'lgani kabi kattaroq segmentga ham tegishli.

8.

Oltin nisbat segmentlari 0,618 cheksiz irratsional kasr bilan ifodalanadi ... agar AB birlik sifatida qabul qilinsa, AC = 0,382 .. Bizga ma'lumki, 0.618 va 0.382 raqamlari Fibonachchi ketma -ketligining koeffitsientlari.

9.

Tabiat va tarixda Fibonachchi va Oltin nisbatlar

10.


Ta'kidlash joizki, Fibonachchi xuddi insoniyatga bo'lgan ketma -ketligini eslatdi. U hatto qadimgi yunonlar va misrliklarga ham ma'lum bo'lgan. Darhaqiqat, o'shandan beri tabiat, arxitektura, tasviriy san'at, matematika, fizika, astronomiya, biologiya va boshqa ko'plab sohalarda naqshlar Fibonachchi koeffitsientlari bilan tasvirlangan. Fibonachchi ketma -ketligi yordamida qancha doimiyni hisoblash mumkinligi va uning a'zolari juda ko'p kombinatsiyalarda paydo bo'lishi ajablanarli. Biroq, bu shunchaki raqamli o'yin emas, balki kashf etilgan tabiat hodisalarining eng muhim matematik ifodasi desak mubolag'a bo'lmaydi.

11.

Quyidagi misollar ushbu matematik ketma -ketlikning qiziqarli ilovalarini ko'rsatadi.

12.

1. Qobiq spiral bilan o'ralgan. Agar siz uni ochsangiz, siz ilon uzunligidan biroz pastroq uzunlikka ega bo'lasiz. Kichik o'n santimetrli qobiqning uzunligi 35 sm bo'lgan spirali bor, spiral bilan o'ralgan qobiq shakli Arximedning e'tiborini tortdi. Gap shundaki, qobiq burmalarining o'lchovlari nisbati doimiy va 1.618 ga teng. Arximed chig'anoqlar spiralini o'rganib, spiralning tenglamasini chiqargan. Bu tenglamadan chiqarilgan spiral uning nomi bilan atalgan. Uning qadamining o'sishi har doim bir xil bo'ladi. Hozirgi vaqtda Arximed spirali texnologiyada keng qo'llaniladi.

2. O'simliklar va hayvonlar. Hatto Gyote ham tabiatning spiralga moyilligini ta'kidlagan. Daraxt shoxlarida barglarning spiral va spiral joylashuvi ancha oldin sezilgan. Spiral kungaboqar urug'lari, qarag'ay konuslari, ananas, kaktuslar va boshqalarda joylashtirilgan. Botaniklar va matematiklarning birgalikdagi ishlari bu ajoyib tabiat hodisalariga oydinlik kiritdi. Ma'lum bo'lishicha, Fibonachchi seriyasi kungaboqar va qarag'ay konuslari novdasida barglarning joylashishida namoyon bo'ladi va shuning uchun oltin nisbat qonuni o'zini namoyon qiladi. O'rgimchak to'rni spiral tarzda to'qadi. Bo'ron spiralda aylanmoqda. Qo'rqib ketgan bug'ular podasi spiralda tarqaladi. DNK molekulasi ikkita spiralda o'ralgan. Gyote spiralni "hayotning egri chizig'i" deb atagan.

Yo'l bo'yidagi o'tlar orasida g'ayrioddiy o'simlik - hindibo o'sadi. Keling, unga yaqindan qaraylik. Asosiy ildizdan jarayon shakllandi. Birinchi varaq shu erda joylashgan. Otish kosmosga kuchli chiqarib yuboradi, to'xtaydi, bargni chiqaradi, lekin birinchisidan qisqaroq, yana kosmosga chiqarib yuboradi, lekin kamroq kuch bilan undan ham kichik o'lchamdagi bargni chiqaradi va yana chiqaradi. Agar birinchi emissiya 100 birlik sifatida qabul qilinsa, ikkinchisi 62 birlik, uchinchisi 38, to'rtinchisi 24 va hokazo. Barglarning uzunligi ham oltin nisbatga bo'ysunadi. O'sishda, kosmosni zabt etishda, o'simlik ma'lum nisbatlarni saqlab qoldi. Uning o'sish impulslari oltin qismga mutanosib ravishda kamayib bordi.

Kaltakesak tirik. Kaltakesakda, birinchi qarashda, bizning ko'zlarimizga yoqadigan nisbatlar aniqlanadi - dumining uzunligi tananing qolgan qismining uzunligi bilan 62 dan 38 gacha.

O'simliklar va hayvonot dunyosida tabiatning shakllanish tendentsiyasi doimiy ravishda buziladi - o'sish va harakat yo'nalishi bo'yicha simmetriya. Bu erda oltin nisbat o'sish yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan qismlar nisbatida paydo bo'ladi. Tabiat nosimmetrik qismlarga va oltin nisbatlarga bo'linishni amalga oshirdi. Qismlarda butun tuzilishning takrorlanishi namoyon bo'ladi.

Per Kuri asrning boshlarida simmetriyaning bir qancha chuqur g'oyalarini shakllantirdi. Uning ta'kidlashicha, atrof -muhit nosimmetrikligini hisobga olmaganda, har qanday jismning simmetriyasini ko'rib bo'lmaydi. Oltin simmetriya naqshlari elementar zarrachalarning energiya o'tishida, ba'zi kimyoviy birikmalar tarkibida, sayyora va kosmik tizimlarda, tirik organizmlarning genetik tuzilishlarida namoyon bo'ladi. Bu naqshlar, yuqorida aytib o'tilganidek, insonning individual a'zolari va umuman tananing tuzilishida, shuningdek, bioritmlarda, miyaning ishida va vizual idrokda namoyon bo'ladi.

3. Bo'shliq. Astronomiya tarixidan ma'lumki, XVIII asr nemis astronomi I. Titius ushbu turkum (Fibonachchi) yordamida Quyosh sistemasi sayyoralari orasidagi masofalarda muntazamlik va tartibni topgan.

Biroq, qonunga zid ko'rinadigan bitta holat: Mars va Yupiter o'rtasida sayyora yo'q edi. Osmonning bu mintaqasini diqqat bilan kuzatish asteroidlar kamarining ochilishiga olib keldi. Bu 19 -asr boshlarida Titius vafotidan keyin sodir bo'ldi.

Fibonachchi seriyasidan keng foydalaniladi: u tirik mavjudotlar me'morchiligi, sun'iy tuzilmalar va galaktikalar tuzilishini ifodalash uchun ishlatiladi. Bu faktlar sonlar seriyasining namoyon bo'lish shartlaridan mustaqilligidan dalolat beradi, bu uning universalligi belgilaridan biridir.

4. Piramidalar. Ko'pchilik Gizadagi piramidaning sirlarini ochishga urindi. Boshqa Misr piramidalaridan farqli o'laroq, bu qabr emas, balki raqamlar kombinatsiyasining erimaydigan jumbog'i. Piramida me'morlarining abadiy ramzni qurishda ishlatgan ajoyib zukkoligi, mahorati, vaqti va mehnati ular kelajak avlodlarga etkazmoqchi bo'lgan xabarning o'ta muhimligini ko'rsatadi. Ularning davri oldindan yozilgan, ieroglifgacha bo'lgan va kashfiyotlarni yozishning yagona vositasi edi. Uzoq vaqt davomida insoniyat uchun sir bo'lgan Giza piramidasining geometrik-matematik siri kalitini Gerodotga ma'bad ruhoniylari bergan va ular piramidaning maydoni shunday qilib qurilganligini ma'lum qilgan. uning har bir yuzi balandligi kvadratiga teng edi.

Uchburchak maydoni

356 x 440/2 = 78320

Kvadrat maydoni

280 x 280 = 78400

Giza piramida poydevorining chetining uzunligi 783,3 fut (238,7 m), piramidaning balandligi 484,4 fut (147,6 m). Asosiy qovurg'aning uzunligi balandlikka bo'linib, F = 1.618 nisbatiga olib keladi. 484,4 fut balandlik 5813 dyuymga (5-8-13) to'g'ri keladi-bular Fibonachchi ketma-ketligidagi raqamlar. Bu qiziqarli kuzatishlar shuni ko'rsatadiki, piramidaning dizayni Φ = 1.618 nisbatiga asoslangan. Ba'zi zamonaviy olimlar, qadimgi misrliklar buni kelajak avlodlarga saqlamoqchi bo'lgan bilimlarni etkazish uchun qurgan, deb talqin qilishga moyil. Gizadagi piramidani intensiv tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, o'sha paytda matematika va astrologiya bo'yicha bilimlar qanchalik keng edi. Piramidaning barcha ichki va tashqi nisbatlarida 1.618 raqami markaziy rol o'ynaydi.

Meksikadagi piramidalar. Oltin nisbatning mukammal nisbatlariga muvofiq nafaqat Misr piramidalari qurilgan, xuddi shu hodisa Meksika piramidalarida ham topilgan. Misr va Meksika piramidalarini qariyb bir vaqtning o'zida umumiy naslli odamlar qurgan degan fikr paydo bo'ladi.

Koinotda hali hal qilinmagan ko'plab sirlar bor, ularning ba'zilari olimlar allaqachon aniqlab, tasvirlab bera olgan. Fibonachchi raqamlari va oltin nisbati atrofdagi dunyoni hal qilish, uning shakli va optimal vizual idrokini qurish uchun asos bo'lib xizmat qiladi, uning yordamida u go'zallik va uyg'unlikni his qila oladi.

Oltin nisbat

Oltin qismning o'lchamini aniqlash printsipi butun dunyo va uning qismlari uning tuzilishi va funktsiyalarida mukammallikka asoslanadi, uning namoyon bo'lishini tabiatda, san'atda va texnikada ko'rish mumkin. Oltin nisbat haqidagi ta'limot qadimgi olimlarning sonlarning tabiati haqidagi tadqiqotlari natijasida paydo bo'lgan.

U qadimgi faylasuf va matematik Pifagor tomonidan yaratilgan segmentlar bo'linmalarining nisbati va nisbati nazariyasiga asoslangan. U segmentni ikkiga: X (kichikroq) va Y (kattaroq) ga bo'lganda, katta va kichikning nisbati ularning yig'indisiga (butun segmentga) teng bo'lishini isbotladi:

Natijada tenglama bo'ladi: x 2 - x - 1 = 0, sifatida hal qilinadi x = (1 ± √5) / 2.

Agar biz 1 / x nisbatni hisobga olsak, u tengdir 1,618…

Oltin nisbatdan qadimgi mutafakkirlar foydalangani haqidagi dalillar Evklidning III asrda yozilgan "Boshlanishi" kitobida keltirilgan. Miloddan avvalgi, bu qoidani muntazam 5 gon qurish uchun qo'llagan. Pifagorliklar orasida bu raqam muqaddas hisoblanadi, chunki u nosimmetrik va assimetrikdir. Pentagram hayot va sog'likni ramziy qildi.

Fibonachchi raqamlari

Italiyalik matematik Leonardoning, keyinchalik Fibonachchi nomi bilan mashhur bo'lgan "Liber abaci" nomli mashhur kitobi 1202 yilda nashr etilgan. Unda olim birinchi marta sonlarning muntazamligini, har bir sonning yig'indisini ko'rsatadi. Oldingi 2 ta raqam. Fibonachchi raqamlarining ketma -ketligi quyidagicha:

0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 va boshqalar.

Olim, shuningdek, bir qancha naqshlarni keltirdi:

• Seriyadagi har qanday raqam keyingi raqamga bo'linib, 0.618 qiymatiga teng bo'ladi. Bundan tashqari, birinchi Fibonachchi raqamlari bunday raqamni bermaydi, lekin biz ketma -ketlikning boshidan harakat qilsak, bu nisbat tobora aniqroq bo'ladi.
• Agar biz qatorni oldingi raqamga bo'lsak, natija 1.618 ga oshadi.
• Bitta raqam keyingi raqamga bo'linib, 0,382 qiymatini ko'rsatadi.

Ulanishning qo'llanilishi va oltin nisbat qonunlari, Fibonachchi raqami (0.618) nafaqat matematikada, balki tabiatda, tarixda, arxitektura va qurilishda va boshqa ko'plab fanlarda uchraydi.

Arximed spirali va oltin to'rtburchak

Spirallar, tabiatda juda keng tarqalgan, Arximed tomonidan o'rganilgan, hatto uning tenglamasini ham chiqargan. Spiral shakli oltin nisbat qonunlariga asoslanadi. Qachonki u burilmagan bo'lsa, uzunlik olinadi, unga nisbatlar va Fibonachchi raqamlari qo'llanilishi mumkin, qadam teng ravishda oshadi.

Fibonachchi raqamlari va oltin nisbati o'rtasidagi parallellikni tomonlari 1,618: 1 ga mutanosib "oltin to'rtburchak" yasash orqali ko'rish mumkin. U katta to'rtburchakdan kichiklarga o'tadigan qilib qurilgan bo'lib, tomonlarning uzunligi qatorlar soniga teng bo'ladi. Uning qurilishi teskari tartibda, "1" qutisidan boshlanishi mumkin. Bu to'rtburchakning burchaklari kesishish markazidagi chiziqlar bilan bog'langanda, Fibonachchi spirali yoki logarifmik spirali olinadi.

Oltin nisbatlardan foydalanish tarixi

Misrning ko'plab qadimiy me'moriy yodgorliklari oltin nisbatlar yordamida qurilgan: mashhur Cheops piramidalari va boshqalar.Qadimgi Yunoniston me'morlari ularni ibodatxonalar, amfiteatrlar, stadionlar kabi me'moriy ob'ektlarni qurishda keng qo'llashgan. Masalan, bunday nisbatlar qadimgi Parfenon ibodatxonasi (Afina) va matematik qonunlarga asoslangan uyg'unlikni namoyish etuvchi qadimiy me'morchilik durdonalariga aylangan boshqa ob'ektlarni qurishda qo'llanilgan.

Keyingi asrlarda "Oltin nisbat" ga bo'lgan qiziqish susayib, naqshlar unutildi, lekin yana Uyg'onish davrida, Fransiskalik rohib L. Pacioli di Borgo "Ilohiy nisbat" (1509) kitobi bilan qayta tiklandi. Unda "oltin nisbat" degan yangi nomni mustahkamlagan Leonardo da Vinchining rasmlari bor edi. Shuningdek, oltin nisbatning 12 xossasi ilmiy jihatdan isbotlangan va muallif uning tabiatda, san'atda qanday namoyon bo'lishi haqida gapirgan va uni "dunyo va tabiatni qurish tamoyili" deb atagan.

Vitruviyalik odam Leonardo

Leonardo da Vinchi 1492 yildagi Vitruvius kitobini tasvirlash uchun ishlatgan rasmda, qo'llari bir -biridan ajratilgan holda, 2 holatda odam qiyofasi tasvirlangan. Rasm doira va kvadrat shaklida yozilgan. Bu chizma Leonardo tomonidan Rim me'mori Vitruviusning risolalarida o'rganilgan tasvirlangan inson tanasining (erkak) kanonik nisbati deb hisoblanadi.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 va hokazo.

O'shandan beri chizma inson tanasining ichki simmetriyasini ko'rsatish uchun ramz sifatida ishlatilgan.

Leonardo "Oltin nisbat" atamasini odam qiyofasidagi mutanosib munosabatlarga ishora qilgan. Masalan, beldan oyoqgacha bo'lgan masofa kindikdan to tojgacha bo'lgan balandlik bilan bir qatorda balandlikning birinchi uzunligigacha (beldan pastga) bog'liq. Bu hisoblash oltin nisbatni hisoblashda segmentlar nisbatiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi va 1.618 ga to'g'ri keladi.

Bu uyg'un nisbatlarning barchasi ko'pincha rassomlar tomonidan chiroyli va ta'sirli asarlar yaratish uchun ishlatiladi.

16-19-asrlarda oltin nisbatni o'rganish

Oltin nisbat va Fibonachchi raqamlaridan foydalanib, nisbatlar bo'yicha tadqiqotlar asrlar davomida davom etib kelmoqda. Leonardo da Vinchi bilan bir qatorda, nemis rassomi Albrecht Dyurer ham inson tanasining to'g'ri nisbati nazariyasini ishlab chiqish ustida ishladi. Buning uchun u hatto maxsus kompas yaratdi.

16 -asrda. Fibonachchi raqami va oltin nisbati o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi savol, bu qoidalarni botanikaga birinchi bo'lib qo'llagan astronom I. Keplerning asarlarining mavzusi edi.

19 -asrda oltin nisbatni yangi "kashfiyot" kutdi. nemis olimi professor Zeyzig "Estetik tadqiqotlar" ni nashr etishi bilan. U bu nisbatlarni mutlaq darajaga ko'tardi va ular barcha tabiat hodisalari uchun universal ekanligini e'lon qildi. U ko'plab odamlarni, aniqrog'i ularning tana nisbatlarini (taxminan 2 ming) tadqiq qildi, natijalariga ko'ra tananing turli qismlari nisbatlarining statistik tasdiqlangan naqshlari to'g'risida xulosalar chiqarildi: elkalarining uzunligi, bilaklar, qo'llar, barmoqlar va boshqalar.

San'at ob'ektlari (vazalar, me'moriy tuzilmalar), musiqiy ohanglar, she'rlar yozishdagi o'lchovlar ham o'rganilgan - Zeyzig bularning barchasini segmentlar va raqamlar uzunligi orqali aks ettirgan, u "matematik estetika" atamasini ham kiritgan. Natijalarni olgach, Fibonachchi seriyasi olinganligi ma'lum bo'ldi.

Fibonachchi soni va tabiatning oltin nisbati

O'simlik va hayvonot olamida o'sish va harakat yo'nalishida kuzatiladigan simmetriya shaklida shakllanish tendentsiyasi mavjud. Oltin nisbatlar kuzatiladigan nosimmetrik qismlarga bo'linish ko'plab o'simlik va hayvonlarga xos bo'lgan naqshdir.

Atrofimizdagi tabiatni Fibonachchi raqamlari yordamida tasvirlash mumkin, masalan:

• har qanday o'simlikning barglari yoki shoxlarining joylashuvi, shuningdek masofalar berilgan raqamlar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 va boshqalar bilan bog'liq;
• kungaboqar urug'lari (konuslardagi tarozilar, ananas hujayralari), turli yo'nalishlarda o'ralgan spirallar bo'ylab ikki qatorda joylashtirilgan;
• dum uzunligi va kertenkaning butun tanasi nisbati;
• tuxum shakli, agar siz uning keng qismi orqali shartli ravishda chiziq chizsangiz;
• odamning qo'lidagi barmoqlar kattaligining nisbati.

Va, albatta, eng qiziqarli shakllar - bu salyangoz chig'anoqlari, o'rgimchak to'rlaridagi naqshlar, bo'ron ichidagi shamol harakati, DNKdagi ikkita spiral va galaktikalarning tuzilishi - bularning hammasi Fibonachchi raqamlari ketma -ketligini o'z ichiga oladi. .

San'atda oltin nisbatdan foydalanish

Oltin nisbatdan san'atda foydalanish misollarini izlayotgan tadqiqotchilar turli me'moriy ob'ektlar va rasmlarni batafsil o'rganmoqdalar. Taniqli haykaltaroshlik asarlari, yaratuvchilari oltin nisbatlarga rioya qilganlar - Olimpiada Zevs, Apollon Belvedere va

Leonardo da Vinchi ijodlaridan biri - "Mona Lizaning portreti" ko'p yillar davomida ilmiy tadqiqotlar mavzusi bo'lib kelgan. Ular aniqladilarki, asar tarkibi oddiy beshburchak yulduzda birlashtirilgan "oltin uchburchaklar" dan iborat. Da Vinchining barcha asarlari uning bilimlari inson tanasining tuzilishi va nisbatlarida qanchalik chuqur ekanligidan dalolat beradi, buning natijasida u La Jokondaning ajoyib sirli tabassumini ushlagan.

Arxitekturada oltin nisbat

Misol tariqasida, olimlar "oltin qism" qoidalariga muvofiq yaratilgan me'moriy durdonalarni o'rgandilar: Misr piramidalari, Panteon, Parfenon, Notr -Dam -de -Pari sobori, Aziz Bazil sobori va boshqalar.

Parfenon - Qadimgi Yunonistonning eng go'zal binolaridan biri (miloddan avvalgi V asr) - 8 ta ustun va har tomonida 17 ta, balandligi tomonlar uzunligiga nisbati 0,618. Uning jabhalaridagi chiqishlar "oltin nisbat" ga muvofiq qilingan (pastdagi rasm).

Arxitektura ob'ektlarining modulli nisbatlar tizimini takomillashtirishni ixtiro qilgan va muvaffaqiyatli qo'llagan olimlardan biri ("modulyator" deb ataladi) frantsuz me'mori Le Korbusier edi. Modulyator inson tanasining qismlariga shartli bo'linish bilan bog'liq bo'lgan o'lchash tizimiga asoslangan.

Moskvada bir nechta turar -joy binolarini, shuningdek, Kremldagi Senat binolarini va Golitsin kasalxonasini (hozirgi N.I. Pirogov nomidagi 1 -klinik) qurgan rus me'mori M. Kazakov me'morlardan biri edi. oltin nisbati haqida dizayn va qurilish.

Dizaynda nisbatlarni qo'llash

Kiyim dizaynida barcha moda dizaynerlari inson tanasining nisbati va oltin nisbati qoidalarini hisobga olgan holda yangi tasvirlar va modellar yaratadilar, garchi tabiatan hamma odamlar ideal nisbatlarga ega emas.

Landshaft dizaynini rejalashtirishda va o'simliklar (daraxtlar va butalar), favvoralar va mayda me'moriy ob'ektlar yordamida hajmli park kompozitsiyalarini yaratishda "ilohiy nisbatlar" qonunlarini ham qo'llash mumkin. Axir, parkning tarkibi tashrif buyuruvchida taassurot qoldirishga qaratilgan bo'lishi kerak, u bemalol sayohat qilib, kompozitsion markazni topa oladi.

Parkning barcha elementlari shunday nisbatda bo'ladiki, geometrik tuzilish, o'zaro kelishuv, yorug'lik va yorug'lik yordamida odamga uyg'unlik va mukammallik taassurotini qoldiradi.

Oltin nisbatning kibernetika va injeneriyada qo'llanilishi

Oltin nisbati va Fibonachchi raqamlari naqshlari energiya almashinuvida, kimyoviy birikmalarni tashkil etuvchi elementar zarralar bilan sodir bo'ladigan jarayonlarda, kosmik tizimlarda, DNKning genetik tuzilishida namoyon bo'ladi.

Shunga o'xshash jarayonlar inson tanasida sodir bo'ladi, ular o'z hayotining bioritmlarida, organlar, masalan, miya yoki ko'rish ta'sirida namoyon bo'ladi.

Oltin nisbatlarning algoritmlari va naqshlari zamonaviy kibernetika va informatikada keng qo'llaniladi. Boshlang'ich dasturchilarga hal qilish uchun berilgan oddiy vazifalardan biri bu formulani yozish va Fibonachchi sonlarining yig'indisini ma'lum bir songacha dasturlash tillari yordamida aniqlashdir.

Oltin nisbat nazariyasi bo'yicha zamonaviy tadqiqotlar

20 -asrning o'rtalaridan boshlab muammolarga qiziqish va oltin nisbatlarining inson hayotiga ta'siri keskin oshdi va ko'plab kasb egalari: matematiklar, etnos tadqiqotchilari, biologlar, faylasuflar, tibbiyot. ishchilar, iqtisodchilar, musiqachilar va boshqalar.

1970 -yillardan boshlab AQShda The Fibonacci Quarterly jurnali nashr etilib, u erda shu mavzuda asarlar chop etiladi. Matbuotda oltin nisbati va Fibonachchi seriyasining umumlashtirilgan qoidalari turli bilim sohalarida qo'llaniladigan asarlar mavjud. Masalan, ma'lumotlarni kodlash, kimyoviy tadqiqotlar, biologik va boshqalar uchun.

Bularning barchasi qadimgi va zamonaviy olimlarning oltin nisbati ko'p tomonlama fanning fundamental masalalari bilan bog'liqligi va atrofimizdagi dunyoning ko'plab ijod va hodisalari simmetriyasida namoyon bo'lishi haqidagi xulosalarini tasdiqlaydi.

B. Biggsning "to'siq tumandan chiqdi" kitobiga asoslangan.

Fibonachchi raqamlari va savdosi haqida

Mavzuga kirish sifatida qisqacha texnik tahlilga o'tamiz. Qisqacha aytganda, texnik tahlil o'tmishdagi tarixiy ma'lumotlarga asoslanib, kelajakda aktiv narxining harakatini bashorat qilishga qaratilgan. Uning tarafdorlarining eng mashhur so'zlari shundaki, narx allaqachon barcha kerakli ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Texnik tahlilni amalga oshirish aktsiyalar spekulyatsiyasini ishlab chiqish bilan boshlangan va hozircha to'liq yakunlanmagan, chunki u cheksiz daromadni va'da qiladi. Texnik tahlilning eng mashhur usullari (atamalari) - qo'llab -quvvatlash va qarshilik darajalari, yapon shamdonlar, narxlarning o'zgarishini ko'rsatuvchi naqshlar va boshqalar.

Vaziyatning paradoksi, menimcha, quyidagilarda yotadi - ta'riflangan usullarning aksariyati shu qadar keng tarqaldiki, ularning samaradorligi uchun dalil bazasi yo'qligiga qaramay, ular haqiqatan ham bozor xatti -harakatlariga ta'sir qilish imkoniyatiga ega bo'lishdi. Shuning uchun, hatto fundamental ma'lumotlardan foydalanadigan skeptiklar ham, bu tushunchalarni juda ko'p sonli boshqa o'yinchilar ("texnika") hisobga olgani uchun o'ylashlari kerak. Texnik tahlil tarixda yaxshi ishlashi mumkin, lekin amalda hech kim doimiy ravishda pul topa olmaydi - "Texnik tahlil yordamida qanday qilib millioner bo'lish mumkin" kitobining katta tirajini chop etish orqali boyib ketish osonroq. .

Shu ma'noda, Fibonachchi nazariyasi alohida turadi, bu ham turli davrlar uchun narxlarni bashorat qilish uchun ishlatiladi. Uning izdoshlari odatda "to'lqin rahbarlari" deb nomlanadi. U ajralib turadi, chunki u bozor bilan bir vaqtda paydo bo'lmagan, lekin ancha oldin - 800 yil. Uning yana bir o'ziga xos xususiyati shundaki, nazariya deyarli hamma narsani va har kimni tasvirlash uchun jahon kontseptsiyasi sifatida o'z aksini topdi va bozor faqat uni qo'llash uchun alohida holat. Nazariyaning samaradorligi va uning davomiyligi unga yangi tarafdorlarni ham, uning asosida bozorlarning xatti -harakatlarining eng kam bahsli va umumiy qabul qilingan tavsifini tuzishga yangi urinishlarni ham beradi. Ammo, afsuski, nazariya omad bilan tenglasha oladigan, yakka tartibdagi muvaffaqiyatli bozor bashoratlaridan ilgarilab ketmadi.

Fibonachchi nazariyasining mohiyati

Fibonachchi uzoq umr ko'rdi, ayniqsa o'z hayoti uchun, u bir qancha matematik muammolarni echishga bag'ishlab, ularni "Abak kitobi" (13 -asr boshlari) asarida shakllantirdi. U har doim raqamlarning tasavvufi bilan qiziqardi - ehtimol u Arximed yoki Evkliddan kam emas edi. Kvadrat tenglamalar bilan bog'liq masalalar Fibonachchi oldida qo'yilgan va qisman hal qilingan, masalan, olim va shoir, mashhur Umar Xayyom; ammo, Fibonachchi quyonlarni etishtirish muammosini shakllantirdi, bu xulosalar unga asrlar davomida nomini yo'qotmaslikka imkon berdi.

Qisqasi, vazifa quyidagicha. Har tomondan devor bilan o'ralgan joyga bir juft quyon qo'yildi va har bir juft quyon har oyda, ikkinchi oyidan boshlab, boshqa juft tug'adi. Quyonlarning o'z vaqtida ko'payishi ketma -ketlikda tasvirlanadi: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 va boshqalar. Matematik nuqtai nazardan, ketma -ketlik o'ziga xos bo'lib chiqdi, chunki u bir qator ajoyib xususiyatlarga ega edi:

• ketma -ket keladigan har qanday ikkita sonning yig'indisi keyingi raqamdir;

• ketma -ketlikdagi har bir sonning beshinchisidan oldingi raqamiga nisbati 1,618;

• har qanday sonning kvadrati va chapdagi ikkita pozitsiyaning kvadrati o'rtasidagi farq Fibonachchi raqami bo'ladi;

• qo'shni sonlarning kvadratchalari yig'indisi Fibonachchi raqami bo'ladi, bu kvadrat sonlarning kattaroqidan keyin ikkita pozitsiya.

Bu xulosalar ichida ikkinchisi eng qiziqarli, chunki u "Oltin nisbat" deb nomlanuvchi 1.618 raqamidan foydalanadi. Bu raqam Parfenon qurilishida ishlatilgan qadimgi yunonlarga allaqachon ma'lum bo'lgan (aytmoqchi, ba'zi ma'lumotlarga ko'ra, Markaziy bank yunonlarga xizmat qilgan). Shunisi qiziqki, 1.618 raqamini tabiatda ham mikro, ham makroskalada - salyangoz qobig'idagi spiral burilishlardan kosmik galaktikalarning katta spirallariga qadar topish mumkin. Qadimgi misrliklar yaratgan Gizadagi piramidalar, shuningdek, bir vaqtning o'zida Fibonachchi seriyasining bir nechta parametrlarini o'z ichiga olgan. Bir tomoni boshqasidan 1,618 barobar kattaroq bo'lgan to'rtburchaklar ko'zga eng yoqadi - bu nisbat Leonardo da Vinchi tomonidan rasmlari uchun ishlatilgan va kundalik ma'noda ba'zan derazalar yaratish uchun ishlatilgan. eshiklar. Hatto to'lqin ham, maqolaning boshidagi rasmda bo'lgani kabi, Fibonachchi spirali sifatida ifodalanishi mumkin.

Tirik tabiatda Fibonachchi ketma -ketligi o'zini tez -tez namoyon qiladi - uni tirnoqlarda, tishlarda, kungaboqarlarda, o'rgimchak to'rlarida va hatto bakteriyalar ko'payishida topish mumkin. Agar xohlasangiz, izchillik deyarli hamma narsada, shu jumladan insonning yuzi va tanasida topiladi. Shunga qaramay, tabiiy va tarixiy hodisalarda Fibonachchi raqamlarini topadigan ko'plab bayonotlar noto'g'ri degan fikr bor - bu tez -tez uchraydigan afsona bo'lib, u ko'pincha kerakli natijaga to'g'ri kelmaydi.

Moliyaviy bozorlarda Fibonachchi raqamlari

Moliya bozorida Fibonachchi raqamlarini qo'llashda birinchi bo'lib yaqindan ishtirok etganlardan biri R.Elliot edi. Uning ishi behuda ketmagan, chunki Fibonachchi nazariyasidan foydalangan holda bozor tavsiflari "Elliot to'lqinlari" deb ataladi. Bu erdagi bozorlarning rivojlanishi uch qadam oldinga va ikki qadam orqaga ketadigan super tsikllardan inson taraqqiyoti modeliga asoslangan edi. Insoniyatning chiziqli bo'lmagan tarzda rivojlanishi haqiqatan ham hamma uchun ravshan - Qadimgi Misr haqidagi bilim va Demokritning atomistik ta'limoti o'rta asrlarda butunlay yo'q bo'lib ketgan, ya'ni. taxminan 2000 yildan keyin; 20 -asr inson hayotining dahshati va ahamiyatsizligini keltirib chiqardi, buni yunonlarning Punik urushlari davrida ham tasavvur qilish qiyin edi. Ammo, agar biz qadamlar nazariyasi va ularning sonini to'g'ri deb qabul qilsak ham, har bir qadamning o'lchami noma'lum bo'lib qoladi, bu esa Elliot to'lqinlarini bosh va dumlarning bashoratli kuchi bilan taqqoslaydi. To'lqinlar sonining boshlang'ich nuqtasi va to'g'ri hisoblanishi nazariyaning asosiy zaifligi bo'lgan va bo'lishi ham mumkin.

Shunga qaramay, nazariya mahalliy muvaffaqiyatlarga erishdi. Elliotning talabasi deb hisoblanishi mumkin bo'lgan Bob Pretcher 80 -yillarning boshlarida buqa bozorini to'g'ri bashorat qilgan va 1987 yilda - hal qiluvchi yil. Bu haqiqatan ham sodir bo'ldi, shundan so'ng Bob o'zini daho kabi his qildi - hech bo'lmaganda boshqalarning nazarida u, albatta, sarmoya gurusi bo'ldi. O'sha yili Prechterning Elliott to'lqinlar nazariyotchisi obunasi 20000 taga etdi.ammo, 90 -yillarning boshlarida u pasayib ketdi, chunki Amerika bozorining bashorat qilingan "azobi va qorong'iligi" biroz kechiktirishga qaror qildi. Biroq, bu Yaponiya bozori uchun ishladi va u erda bir to'lqinda "kechikkan" nazariyaning bir qancha tarafdorlari na o'z kapitalini, na o'z kompaniyalari mijozlarining kapitalini yo'qotdilar. Xuddi shu tarzda va xuddi shu muvaffaqiyat bilan, nazariyani ko'pincha valyuta bozoridagi savdoda qo'llashga harakat qilinadi.

Nazariya har xil savdo davrlarini o'z ichiga oladi - haftalikdan, bu standart texnik tahlil strategiyalari bilan bog'liq bo'lib, o'nlab yillar davomida hisob -kitoblargacha, ya'ni. fundamental bashoratlar hududiga kirib boradi. Bu to'lqinlar sonini o'zgartirish orqali mumkin. Yuqorida aytib o'tilgan nazariyaning zaif tomonlari uning tarafdorlariga to'lqinlarning nomuvofiqligi haqida emas, balki o'zlarining noto'g'ri hisob -kitoblari, shu jumladan, boshlang'ich pozitsiyasini noto'g'ri aniqlash haqida gapirishga imkon beradi. Bu labirintga o'xshaydi - agar sizda to'g'ri xarita bo'lsa ham, siz faqat qaerda ekanligingizni aniq tushunganingizda o'tishingiz mumkin. Aks holda, karta foydasiz bo'ladi. Elliot to'lqinlari holatida, uning joylashuvi to'g'riligiga emas, balki kartaning to'g'riligiga ham shubha qiladigan barcha belgilar mavjud.

xulosalar

Insoniyatning to'lqinli rivojlanishi haqiqiy asosga ega - O'rta asrlarda inflyatsiya va deflyatsiya to'lqinlari bir -birini almashtirib turar, urushlar nisbatan tinch osoyishta hayot o'rnini bosar edi. Tabiatda Fibonachchi ketma -ketligini kuzatish, hech bo'lmaganda, ba'zi hollarda, shubhasiz. Shuning uchun, har kim Xudo kim degan savolga o'z javobini berishga haqli: matematik yoki tasodifiy sonlar generatori. Mening shaxsiy fikrimcha, garchi butun insoniyat tarixi va bozorlari to'lqin tushunchasida ifodalanishi mumkin bo'lsa -da, hech kim har bir to'lqinning balandligi va davomiyligini bashorat qila olmaydi.

Shu bilan birga, Amerika bozorini kuzatgan 200 yil, qolganlari uchun 100 yildan ziyod vaqt mobaynida qimmatli qog'ozlar bozori o'sib borayotganini, turli o'sish va turg'unlik davrlarini boshdan kechirayotganini aniq ko'rsatib turibdi. Bu fakt bahsli nazariyalarga murojaat qilmasdan va ularga oqilona tavakkalchiliklarga qaraganda ko'proq kapitalni ishonib topshirmasdan, qimmatli qog'ozlar bozorida uzoq muddatli daromad olish uchun etarli.

Keling, qadimgi Misr piramidalari, Leonardo da Vinchining "Mona Liza" surati, kungaboqar, salyangoz, qarag'ay konusi va odam barmoqlari o'rtasida qanday umumiylik borligini bilib olaylik?

Bu savolga javob kashf etilgan ajoyib raqamlarda yashiringan O'rta asrlarning italiyalik matematikasi Leonardo Pisa, Fibonachchi nomi bilan mashhur (taxminan 1170 yilda tug'ilgan - 1228 yildan keyin vafot etgan), italiyalik matematik ... Sharqda sayohat qilib, arab matematikasining yutuqlari bilan tanishdim; ularning G'arbga o'tishiga hissa qo'shdi.

U kashf etilgandan so'ng, bu raqamlar mashhur matematik nomi bilan atalishni boshladi. Fibonachchi ketma -ketligining ajoyib mohiyati shundan iborat bu ketma -ketlikdagi har bir raqam oldingi ikkita raqamning yig'indisidan olinganligini.

Shunday qilib, ketma -ketlikni tashkil etuvchi raqamlar:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"Fibonachchi raqamlari", ketma -ketlikning o'zi esa Fibonachchi ketma -ketligi deb ataladi.

Fibonachchi raqamlarida bitta qiziq xususiyat bor. Har qanday sonni ketma -ketlikdagi navbatdagi raqamga ajratganda, natija har doim 1.61803398875 irratsional qiymat atrofida o'zgarib turadigan qiymat bo'ladi va vaqt o'tishi bilan u ko'tariladi yoki unga etib bormaydi. (Izoh: irratsional son, ya'ni o'nlik tasviri cheksiz va davriy bo'lmagan son)

Bundan tashqari, ketma -ketlikda 13 -chidan so'ng, bu bo'linish natijasi abadiy doimiy bo'lib qoladi ... O'rta asrlarda bo'linishlarning bu doimiy soni ilohiy nisbat deb atalgan va hozirda u oltin nisbat, oltin o'rtacha yoki oltin nisbat deb ataladi. ... Algebrada bu raqam yunoncha phi (F) harfi bilan belgilanadi.

Shunday qilib, Oltin nisbat = 1: 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Inson tanasi va oltin nisbat

Rassomlar, olimlar, dizaynerlar, dizaynerlar oltin nisbat nisbati asosida o'z hisob -kitoblarini, chizmalarini yoki eskizlarini tuzadilar. Ular "oltin nisbat" tamoyili bo'yicha yaratilgan inson tanasining o'lchovlaridan foydalanadilar. Leonardo Da Vinchi va Le Korbusier o'z asarlarini yaratishdan oldin, "Oltin nisbat" qonuniga binoan yaratilgan inson tanasining parametrlarini oldilar.

Barcha zamonaviy me'morlarning eng muhim kitobi E.Noyfertning "Bino dizayni" ma'lumotnomasida oltin nisbatni o'z ichiga olgan inson tanasi parametrlarining asosiy hisob -kitoblari mavjud.

Tanamizning turli qismlarining nisbati oltin nisbatga juda yaqin raqamni tashkil qiladi. Agar bu nisbatlar oltin nisbati formulasiga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda odamning tashqi ko'rinishi yoki tanasi mukammal buklangan deb hisoblanadi. Inson tanasidagi oltin o'lchovni hisoblash tamoyilini diagramma sifatida tasvirlash mumkin:

M / m = 1.618

Inson tanasining tuzilishidagi oltin nisbatning birinchi misoli:
Agar kindik nuqtasini inson tanasining markazi sifatida, odamning oyoqlari bilan kindik orasidagi masofani o'lchov birligi sifatida olsak, odamning bo'yi 1,618 ga teng.

Bundan tashqari, tanamizning yana bir necha asosiy oltin nisbati bor:

* barmoq uchidan bilakka tirsakgacha bo'lgan masofa 1: 1.618;

* elka sathidan bosh tojigacha bo'lgan masofa va bosh o'lchami 1: 1.618;

* kindikdan bosh tojigacha va yelka sathidan bosh tojigacha bo'lgan masofa 1: 1.618;

* kindik nuqtasining tizzagacha va tizzadan oyoqgacha bo'lgan masofasi 1: 1.618;

* iyak uchidan yuqori lab uchigacha va yuqori lab uchidan burun teshigigacha bo'lgan masofa 1: 1.618;

* jag'ning uchidan qoshning yuqori chizig'igacha va qoshning yuqori chizig'idan tojgacha bo'lgan masofa 1: 1.618;

* jag'ning uchidan qoshning yuqori chizig'igacha va qoshning yuqori chizig'idan tojgacha bo'lgan masofa 1: 1.618:

Insonning yuz xususiyatlaridagi oltin nisbat mukammal go'zallik mezoni sifatida.

Oltin nisbat formulasining qiymatiga yaqinlashgan odamlarning yuz xususiyatlari tuzilishida ko'plab misollar mavjud. Biroq, hukmdorning ortidan hamma odamlarning yuzini o'lchashga shoshilmang. Olimlar va san'at ahli, rassom va haykaltaroshlarning fikriga ko'ra, oltin nisbatga aniq moslik faqat mukammal go'zallikka ega odamlarda bo'ladi. Darhaqiqat, odamning yuzida oltin nisbatning mavjudligi inson ko'zining go'zalligi uchun idealdir.

Masalan, agar biz oldingi ikkita yuqori tishning kengligini qo'shsak va bu miqdorni tish balandligiga bo'lsak, "Oltin nisbat" raqamini olgan holda, bu tishlarning tuzilishi ideal deb bahslashish mumkin.

Inson yuzida oltin nisbat qoidasining boshqa mujassamlari bor. Mana bu munosabatlarning ba'zilari:

* Yuz balandligi / yuz kengligi;

* Dudoqlar burun tagiga tutashgan joyining markaziy nuqtasi / burun uzunligi;

* Yuz balandligi / iyak uchidan lablar birikmasining markaziy nuqtasigacha bo'lgan masofa;

* Og'iz kengligi / burun kengligi;

* Burunning kengligi / burun teshiklari orasidagi masofa;

* O'quvchilar orasidagi masofa / qoshlar orasidagi masofa.

Inson qo'li

Kaftingizni hozir sizga yaqinlashtirish va ko'rsatkich barmog'ingizga diqqat bilan qarash kifoya, shunda siz darhol oltin nisbat formulasini topasiz. Qo'limizning har bir barmog'i uchta falanjdan iborat.

* Barmoqning birinchi ikki falanjining yig'indisi barmoqning butun uzunligiga nisbatan va oltin nisbat sonini beradi (bosh barmog'idan tashqari);

* Bundan tashqari, o'rta barmoq va kichik barmoq o'rtasidagi nisbat ham oltin nisbatga teng;

* Odamning 2 qo'li bor, har bir qo'lidagi barmoqlar 3 falanjdan iborat (bosh barmog'idan tashqari). Har bir qo'lda 5 barmog'i, ya'ni jami 10 ta barmog'i bor, lekin ikkita biphalangeal bosh barmog'idan tashqari, oltin nisbat tamoyili bo'yicha faqat 8 barmoq yaratilgan. Holbuki, bu 2, 3, 5 va 8 raqamlari Fibonachchi ketma -ketligining raqamlari:

Inson o'pkasining tuzilishidagi oltin nisbat

Amerikalik fizik B.D. Uest va doktor A.L. Goldberger, jismoniy va anatomik tadqiqotlar davomida, oltin nisbat inson o'pkasining tuzilishida ham borligini aniqladi.

Odam o'pkasini tashkil etuvchi bronxlarning o'ziga xos xususiyati ularning assimetriyasida. Bronxlar ikkita asosiy havo yo'lidan iborat bo'lib, ulardan biri (chapda) uzunroq, ikkinchisida (o'ngda) kalta.

* Bu assimetriya bronxlar shoxlarida, hamma kichik nafas yo'llarida davom etishi aniqlandi. Qisqa va uzun bronxlar uzunligining nisbati ham oltin nisbatni tashkil qiladi va 1: 1.618 ga teng.

Oltin ortogonal to'rtburchak va spiralning tuzilishi

Oltin nisbat - bu segmentning teng bo'lmagan qismlarga mutanosib ravishda bo'linishi, bunda butun segment katta qismni bildiradi, xuddi katta qismi ham kichikini bildiradi; yoki boshqacha aytganda, kichikroq segment hamma narsaga kattaroq bo'lgani kabi kattaroq segmentga ham tegishli.

Geometriyada bu nisbat nisbati bo'lgan to'rtburchaklar oltin to'rtburchaklar deb ataldi. Uning uzun tomonlari qisqa tomonlarga nisbatan 1.168: 1 nisbatda.

Oltin to'rtburchak ham ajoyib xususiyatlarga ega. Oltin to'rtburchak juda ko'p g'ayrioddiy xususiyatlarga ega. Oltin to'rtburchakdan to'rtburchakning kichik tomoniga teng bo'lgan kvadratni kesib, biz yana kichikroq oltin to'rtburchaklar olamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. Kvadratlarni kesib tashlashni davom ettirsak, biz kichikroq va kichikroq oltin to'rtburchaklar olamiz. Bundan tashqari, ular logarifmik spiral bo'ylab joylashadi, bu tabiiy ob'ektlarning matematik modellarida muhim ahamiyatga ega (masalan, salyangoz qobig'i).

Spiral qutb boshlang'ich to'rtburchak va kesilgan birinchi vertikal diagonallarning kesishmasida yotadi. Bundan tashqari, barcha kamayib borayotgan oltin to'rtburchaklar diagonallari shu diagonallar ustida yotadi. Albatta, oltin uchburchak ham bor.

Ingliz dizayner va estetikasi Uilyam Charlton odamlarning spiral shakllarini ko'zga yoqishini va ularni ming yillar davomida ishlatib kelayotganini aytib, buni quyidagicha izohlagan:

"Bizga spiralning ko'rinishi yoqadi, chunki uni vizual tarzda ko'rishimiz mumkin".

Tabiatda

* Spiral tuzilishining asosini tashkil etuvchi oltin nisbat qoidasi tabiatda ko'pincha go'zalligi bilan solishtirib bo'lmaydigan ijodlarda uchraydi. Eng yorqin misollar - spiral shaklini kungaboqar urug'lari, qarag'ay konuslarida, ananas, kaktuslarda, atirgul barglarining tuzilishida va boshqalarda ko'rish mumkin;

* O'simlikshunoslar aniqladilarki, novdada, kungaboqar urug'ida yoki qarag'ay konusida barglar joylashganda, Fibonachchi seriyasi aniq namoyon bo'ladi va shuning uchun oltin kesim qonuni namoyon bo'ladi;

Oliy Rabbiy O'zining har bir yaratilishi uchun maxsus o'lchov va mutanosiblikni o'rnatdi, buni tabiatda uchraydigan misollar tasdiqlaydi. Tirik organizmlarning o'sish jarayoni logarifmik spiral shakliga mos ravishda sodir bo'lganda juda ko'p misollar keltirish mumkin.

Sargardagi barcha buloqlar bir xil shaklga ega. Matematiklar, buloqlar kattalashgan taqdirda ham, spiral shakli o'zgarmasligini aniqladilar. Matematikada spiral kabi o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lgan boshqa shakl yo'q.

Dengiz qobig'ining tuzilishi

Dengiz tubida yashaydigan yumshoq taneli mollyuskalar qobig'ining ichki va tashqi tuzilishini o'rgangan olimlar shunday deydilar:

"Qobiqlarning ichki yuzasi beg'ubor silliq, tashqi yuzasi esa pürüzlülük va nosimmetrikliklar bilan qoplangan. Mollyuska qobiq ichida edi va buning uchun qobiqning ichki yuzasi mukammal silliq bo'lishi kerak edi. Qobiqning tashqi burchak-burilishlari uning kuchini, qattiqligini oshiradi va shu tariqa kuchini oshiradi. Qobiq (salyangoz) tuzilishining mukammalligi va ajoyib aql -idroki hayratlanarli. Chig'anoqlar haqidagi spiral g'oya mukammal geometrik shakl bo'lib, o'zining jilolangan go'zalligi bilan hayratga soladi.

Qobiqlari bo'lgan salyangozlarning ko'pchiligida qobiq logarifmik spiralda o'sadi. Biroq, shubhasiz, bu aql bovar qilmaydigan mavjudotlar nafaqat logarifmik spiral haqida tasavvurga ega, balki o'zlari uchun spiral qobiq yaratish uchun eng oddiy matematik bilimlarga ham ega emaslar.

Ammo keyin qanday qilib bu aqlsiz mavjudotlar spiral qobiq shaklidagi o'sish va mavjudlikning ideal shaklini aniqlab, o'zi tanlay olardi? Dunyo olimlari hayotning ibtidoiy shakllari deb ataydigan bu tirik mavjudotlar qobiqning logarifmik shakli ularning mavjudligi uchun ideal bo'lardi deb hisoblay oladimi?

Albatta, yo'q, chunki bunday rejani aql va bilimsiz amalga oshirish mumkin emas. Ammo na ibtidoiy mollyuskalar, na ongsiz tabiat, lekin ba'zi olimlar er yuzidagi hayotni yaratuvchisi deb ataydilar (?!)

Hatto eng ibtidoiy hayot shaklining kelib chiqishini ba'zi tabiiy sharoitlarning tasodifiy tasodif bilan tushuntirishga urinish hech bo'lmaganda bema'nilikdir. Bu loyiha ongli ijod ekanligi aniq.

Biolog Ser D'arkey Tompson bu turdagi dengiz qobig'ining o'sishini chaqiradi "Gnomlarning o'sish shakli."

Ser Tompson quyidagi fikrni bildiradi:

"Dengiz qobig'ining o'sishidan ko'ra oddiy shakl yo'q, u bir xil shaklni saqlab, mutanosib ravishda o'sadi va kengayadi. Qobiq, eng ajablanarlisi shundaki, o'sadi, lekin hech qachon shaklini o'zgartirmaydi. "

Diametri bir necha santimetr bo'lgan nautilus o'sishning gnome turining eng dramatik namunasidir. S. Morrison nautilusning o'sish jarayonini quyidagicha ta'riflaydi, uni hatto inson ongi bilan rejalashtirish qiyin:

"Nautilus qobig'ining ichida marvarid bo'laklari bo'lgan ko'plab bo'linmalar-xonalar bor va ichidagi qobiqning o'zi markazdan kengayib borayotgan spiraldir. Nautilus o'sib ulg'aygan sayin, qobiqning old qismida boshqa xona o'sadi, lekin avvalgisidan kattaroqdir va xonaning qolgan qismlari marvarid qatlami bilan qoplangan. Shunday qilib, spiral mutanosib ravishda kengayib bormoqda. "

Mana, ilmiy nomlariga mos ravishda logarifmik o'sishga ega bo'lgan spiral qobiqlarning ayrim turlari:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solaryum Trochleare.

Barcha topilgan qobiq qoldiqlari ham rivojlangan spiral shaklga ega edi.

Ammo o'sishning logarifmik shakli hayvonot olamida nafaqat mollyuskalarda uchraydi. Antilopalar, yovvoyi echkilar, qo'chqorlar va boshqa shunga o'xshash hayvonlarning shoxlari ham oltin nisbat qonunlariga muvofiq spiral shaklida rivojlanadi.

Inson qulog'idagi oltin nisbat

Insonning ichki qulog'ida tovush tebranishini uzatuvchi funktsiyani bajaruvchi Cochlea ("Salyangoz") deb nomlangan organ bor.. Bu suyak tuzilishi suyuqlik bilan to'ldirilgan, shuningdek, barqaror logarifmik spiral shakli = 73º 43 'bo'lgan salyangoz shaklida yaratilgan.

Hayvonlarning shoxlari va tishlari spiral shaklida rivojlanadi

Fil va so'ngan mamontlarning tishlari, sherlarning tirnoqlari va to'tiqushlarning tumshug'i logarifmik shaklga ega bo'lib, spiralga aylanishga moyil bo'lgan o'q shakliga o'xshaydi. O'rgimchaklar har doim to'rlarini logarifmik spiralda aylantiradi. Plankton (globigerinae, planorbis, girdob, terebra, turitella va trochida) kabi mikroorganizmlarning tuzilishi ham spiral shaklida bo'ladi.

Mikroto'lqinlar dunyosining oltin nisbati

Geometrik shakllar faqat uchburchak, kvadrat, beshburchak yoki olti burchak bilan chegaralanib qolmaydi. Agar biz bu raqamlarni bir-biri bilan har xil usulda bog'lasak, u holda biz yangi uch o'lchovli geometrik shakllarni olamiz. Bunga kub yoki piramida kabi shakllar misol bo'la oladi. Biroq, ulardan tashqari, biz kundalik hayotda uchrashmasligimiz kerak bo'lgan va, ehtimol, birinchi marta eshitayotgan uch o'lchovli raqamlar ham bor. Bu uch o'lchovli raqamlarga tetraedr (muntazam to'rt qirrali rasm), oktaedr, dodekaedr, ikosaedr va boshqalar kiradi. Dodekaedr 13 ta beshburchakdan, ikosaedrdan 20 ta uchburchakdan iborat. Matematiklarning ta'kidlashicha, bu raqamlar matematik jihatdan juda oson o'zgartiriladi va ularning konvertatsiyasi oltin nisbatning logarifmik spirali formulasiga muvofiq sodir bo'ladi.

Mikrokosmosda oltin nisbatda qurilgan uch o'lchovli logarifmik shakllar hamma joyda keng tarqalgan. ... Masalan, ko'plab viruslar ikosaedrning uch o'lchovli geometrik shakliga ega. Ehtimol, bu viruslarning eng mashhuri Adeno virusidir. Adeno virusining oqsil qoplamasi ma'lum ketma -ketlikda joylashtirilgan 252 ta oqsil hujayralaridan hosil bo'ladi. Ikosaedrning har bir burchagida besh burchakli prizma shaklidagi 12 ta oqsil hujayralari joylashgan va bu burchaklardan boshoqsimon tuzilmalar cho'zilgan.

Birinchi marta viruslar tarkibidagi oltin nisbat 1950 -yillarda kashf etilgan. London Birkbek kolleji olimlari A. Klug va D. Kaspar. 13 Polyo virus birinchi bo'lib logarifmik shaklda paydo bo'lgan. Ushbu virusning shakli Rhino 14 virusiga o'xshashligi aniqlandi.

Savol tug'iladi, qanday qilib viruslar shunday murakkab uch o'lchovli shakllarni hosil qiladi, ularning tuzilishi oltin nisbatni o'z ichiga oladi, uni hatto bizning insoniy ongimizni qurish juda qiyin? Viruslarning bu shakllarini kashf etgan virusolog A.Klug quyidagi izohni beradi:

"Doktor Kaspar va men shuni ko'rsatdiki, virusning sferik konvertlari uchun eng maqbul shakli simosa, masalan, ikosaedr shakli. Bu tartib birlashtiruvchi elementlar sonini kamaytiradi ... Buckminster Fuller geodezik yarim sharlari kublarining ko'pchiligi shunga o'xshash geometrik printsip asosida qurilgan. 14 Bunday kublarni o'rnatish juda aniq va batafsil tushuntirish sxemasini talab qiladi. Holbuki, ongsiz viruslarning o'zlari elastik, moslashuvchan oqsil hujayralari bo'linmalarining shunday murakkab qobig'ini quradilar.

Italiyalik matematik Leonardo Fibonachchi XIII asrda yashagan va Evropada birinchilardan bo'lib arab (hind) raqamlarini ishlatgan. U fermada boqiladigan quyonlar haqida biroz sun'iy muammo bilan chiqdi, ularning hammasi urg'ochi hisoblanadi, erkaklar e'tiborga olinmaydi. Quyonlar ikki oylikdan keyin nasl bera boshlaydi, keyin esa har oy quyon tug'adi. Quyonlar hech qachon o'lmaydi.

Fermada nechta quyon bo'lishini aniqlash kerak n oylar, agar boshida faqat bitta yangi tug'ilgan quyon bo'lsa.

Shubhasiz, dehqon birinchi oyda bitta quyon, ikkinchi oyda bitta quyonga ega. Uchinchi oyda ikkita quyon bo'ladi, to'rtinchi - uchta va boshqalar. Keling, quyonlar sonini belgilaymiz n oy kabi. Shunday qilib,
,
,
,
,
, …

Topish uchun algoritm tuzish mumkin har qanday uchun n.

Muammoning shartiga ko'ra, quyonlarning umumiy soni
v n+1 oy uchta komponentga bo'linadi:

ko'paytirishga qodir bo'lmagan bir oylik quyonlar

;

Shunday qilib, biz olamiz

. (8.1)

Formula (8.1) sizga bir qator sonlarni hisoblash imkonini beradi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,. ..

Bu ketma -ketlikdagi raqamlar deyiladi Fibonachchi raqamlari .

Agar qabul qilsangiz
va
, keyin (8.1) formulasidan foydalanib, boshqa barcha Fibonachchi raqamlarini aniqlash mumkin. Formula (8.1) deyiladi takroriy formula bo'yicha ( takrorlanish - "qaytish" lotincha).

Misol 8.1. Aytaylik, ichkarida zinapoya bor n qadamlar. Biz unga bir qadam yoki ikki qadamlik qadam bilan ko'tarilishimiz mumkin. Har xil ko'tarish usullarining nechta kombinatsiyasi bor?

Agar n= 1, muammoning faqat bitta echimi bor. Uchun n= 2 ikkita variant mavjud: ikkita bitta qadam yoki bitta dubl. Uchun n= 3 uchta variant mavjud: uchta birlik qadam, yoki bitta birlik va bitta dubl, yoki bitta er -xotin va bitta birlik.

Keyingi holatda n= 4, bizda 5 ta imkoniyat bor (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

O'zboshimchalik bilan berilgan savolga javob berish uchun n, biz variantlar sonini belgilaymiz va aniqlashga harakat qiling
ma'lum bo'lganiga ko'ra va
... Agar biz bir qadam bilan boshlasak, bizda ham bor qolganlari uchun kombinatsiyalar n qadamlar. Agar biz ikki tomonlama qadam bilan boshlasak, bizda
qolganlari uchun kombinatsiyalar n- 1 qadam. Uchun variantlarning umumiy soni n+1 qadam teng

. (8.2)

Olingan formula egizak formulaga (8.1) o'xshaydi. Biroq, bu kombinatsiyalar sonini aniqlashga imkon bermaydi Fibonachchi raqamlari bilan ... Biz, masalan, buni ko'ramiz
, lekin
... Biroq, quyidagi munosabatlar sodir bo'ladi:

.

Bu uchun to'g'ri n= 1, 2, va bu ham har bir kishi uchun to'g'ri n... Fibonachchi raqamlari va kombinatsiyalar soni bir xil formuladan foydalanib hisoblab chiqiladi, lekin dastlabki qiymatlar
,
va
,
ular farq qiladi.

Misol 8.2. Bu misol kodlash muammolarini tuzatishda amaliy ahamiyatga ega. Uzunlikdagi barcha ikkilik so'zlarning sonini toping n ketma -ket bir nechta nolni o'z ichiga olmaydi. Biz bu raqam bilan belgilaymiz ... Shubhasiz,
va cheklovimizni qondiradigan 2 -uzunlikdagi so'zlar: 10, 01, 11, ya'ni.
... Bo'lsin
- shunday so'z n belgilar. Agar belgi bo'lsa
, keyin
ixtiyoriy bo'lishi mumkin (
) -ketma -ket bir nechta nolni o'z ichiga olmaydigan so'z. Demak, oxirida birlik bo'lgan so'zlar soni
.

Agar belgi bo'lsa
, keyin albatta
va birinchisi
belgi
ko'rib chiqilgan cheklovlarni hisobga olgan holda o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin. Shuning uchun, bor
so'z uzunligi n oxirida nol bilan. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan so'zlarning umumiy soni tengdir

.

Sharti bilan; inobatga olgan holda
va
, natijada raqamlar ketma -ketligi - Fibonachchi raqamlari.

Misol 8.3. 7.6 -misolda biz doimiy og'irlikdagi ikkilik so'zlar sonini topdik t(va uzunligi k) tengdir ... Endi biz doimiy og'irlikdagi ikkilik so'zlar sonini topamiz t ketma -ket bir nechta nolni o'z ichiga olmaydi.

Siz shunday fikr yuritishingiz mumkin. Bo'lsin
so'zlardagi nollar soni. Har qanday so'z bor
eng yaqin nollar orasidagi bo'shliqlar, ularning har birida bir yoki bir nechta bor. Bu taxmin qilinadi
... Aks holda, qo'shni nolsiz bitta so'z bo'lmaydi.

Agar biz har bir intervaldan aynan bitta birlikni olib tashlasak, uzunlik so'zini olamiz
o'z ichiga olgan nol. Har qanday bunday so'zni ko'rsatilgan usulda ba'zilaridan olish mumkin (va bundan tashqari, faqat bittasi) k-o'z ichiga olgan harfli so'z nol, ularning ikkitasi yonma -yon emas. Demak, kerakli son uzunlikdagi barcha so'zlar soniga to'g'ri keladi
aniq o'z ichiga oladi nol, ya'ni teng
.

Misol 8.4. Keling, bu summani isbotlaylik
har qanday butun son uchun Fibonachchi raqamlariga teng ... Belgi
bildiradi dan kichik yoki teng bo'lgan eng kichik butun son ... Masalan, agar
, keyin
; Agar
, keyin
shift("ship"). Belgi ham paydo bo'ladi
nimani anglatadi dan kichik yoki teng bo'lgan eng katta butun son ... Ingliz tilida bu operatsiya deyiladi pol ("qavat").

Agar
, keyin
... Agar
, keyin
... Agar
, keyin
.

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan holatlar uchun summa haqiqatan ham Fibonachchi raqamlariga teng. Endi biz umumiy holat uchun dalil keltiramiz. Fibonachchi raqamlarini takroriy tenglama (8.1) yordamida olish mumkin bo'lganligi sababli, tenglik bajarilishi kerak:

.

Va aslida shunday qiladi:

Bu erda biz ilgari olingan (4.4) formuladan foydalanganmiz:
.

Fibonachchi raqamlarining yig'indisi

Keling, birinchisining yig'indisini aniqlaylik n Fibonachchi raqamlari.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Har bir tenglamaning o'ng tomoniga birlik qo'shib, biz yana Fibonachchi raqamini olamiz. Birinchisining yig'indisini aniqlashning umumiy formulasi n Fibonachchi raqamlari:

Buni matematik induktsiya usuli yordamida isbotlaylik. Buning uchun yozing:

Bu miqdor teng bo'lishi kerak
.

Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini -1 ga kamaytirib, (6.1) tenglamani olamiz.

Fibonachchi raqamlari uchun formulalar

Teorema 8.1. Fibonachchi raqamlarini formula yordamida hisoblash mumkin

.

Dalil... Keling, ushbu formulaning to'g'riligini tekshirib ko'raylik n= 0, 1, va keyin bu formulaning o'zboshimchalik uchun to'g'riligini isbotlang n indüksiyon orqali. Keling, ikkita eng yaqin Fibonachchi raqamlarining nisbatlarini hisoblaylik:

Ko'ramizki, bu raqamlarning nisbati 1.618 atrofida o'zgarib turadi (agar biz bir necha qiymatlarni e'tiborsiz qoldirsak). Bu xususiyatga ko'ra, Fibonachchi raqamlari geometrik progressiyaning a'zolariga o'xshaydi. Biz qabul qilamiz
, (
). Keyin ifoda

ga aylantirildi

soddalashtirishlardan keyin shunday ko'rinadi

.

Biz kvadrat tenglamani oldik, uning ildizlari teng:

Endi biz yozishimiz mumkin:

(qaerda v doimiy). Ikkala a'zo ham va kabi Fibonachchi raqamlarini bermang
, esa
... Biroq, farq
takroriy tenglamani qondiradi:

Uchun n= 0 bu farq beradi , ya'ni:
... Biroq, bilan n= 1 bizda bor
... Olish uchun
, qabul qilish kerak:
.

Endi bizda ikkita ketma -ketlik bor: va
ular bir xil ikkita raqamdan boshlanadi va bir xil takrorlanish formulasini bajaradi. Ular teng bo'lishi kerak:
... Teorema isbotlangan.

Ko'tarilish n a'zo juda katta bo'ladi
va a'zoning roli farqi kamayadi. Shuning uchun, katta uchun n taxminan yozishimiz mumkin

.

Biz 1/2 ni e'tiborsiz qoldiramiz (chunki Fibonachchi raqamlari cheksizlikka etadi n cheksizlikka).

Munosabat
chaqirdi oltin nisbat, u matematikadan tashqarida ishlatiladi (masalan, haykaltaroshlik va arxitekturada). Oltin nisbat - bu diagonal va yon orasidagi nisbat muntazam beshburchak(8.1 -rasm).

Guruch. 8.1. Oddiy beshburchak va uning diagonallari

Oltin nisbatni ko'rsatish uchun harfni ishlatish odatiy holdir
mashhur afinalik haykaltarosh Fidias sharafiga.

Bosh raqamlar

Barcha natural sonlar, katta birliklar ikki sinfga bo'linadi. Birinchisiga aynan ikkita tabiiy bo'luvchi bo'lgan sonlar kiradi, ikkinchisiga - ikkinchisiga. Birinchi sinf raqamlari chaqiriladi oddiy va ikkinchisi - tarkibiy... Birinchi uchta o'nlikdagi oddiy sonlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Bosh sonlarning xossalari va ularning barcha natural sonlar bilan aloqasi Evklid (mil. Av. 3 -asr) tomonidan o'rganilgan. Agar siz oddiy sonlarni ketma -ket yozsangiz, ularning nisbiy zichligi pasayganini sezasiz. Birinchi o'nlikda ulardan 4 tasi, ya'ni 40%, yuzda - 25, ya'ni. 25%, ming boshiga - 168, ya'ni. 17%dan kam, millionga - 78498, ya'ni. 8%dan kam va hokazo. Biroq, ularning umumiy soni cheksizdir.

Boshlang'ichlar orasida shunday juftliklar borki, ularning orasidagi farq ikkiga teng (deyiladi oddiy egizaklar), lekin bunday juftliklarning cheksizligi yoki cheksizligi isbotlanmagan.

Evklid faqat oddiy sonlarni ko'paytirish orqali barcha natural sonlarni olish mumkinligi aniq va har bir natural sonni yagona sonlar mahsuloti sifatida (omillar tartibiga qadar) ifodalash mumkinligi aniq edi. Shunday qilib, tub sonlar tabiiy qatorlar uchun multiplikativ asosni tashkil qiladi.

Oddiy sonlarning taqsimlanishini o'rganish oddiy sonlar jadvallarini olish imkonini beradigan algoritmni yaratishga olib keldi. Bu algoritm Eratosfen elagi(Miloddan avvalgi III asr). Bu usul berilgan ketma -ketlikdagi butun sonlarni ajratib olishdan iborat (masalan, chizish orqali)
dan kam bo'lgan tub sonlarning kamida bittasiga bo'linadi
.

Teorema 8 . 2 . (Evklid teoremasi). Bosh sonlar soni cheksizdir.

Dalil... Leonard Eyler (1707–1783) taklif qilgan usul bilan Evklidning sonlar cheksizligi haqidagi teoremasini isbotlaylik. Euler mahsulotni hamma zamonlarda ham ko'rib chiqqan p:

da
... Bu mahsulot birlashadi va agar biz uni kengaytirsak, unda natural sonlarning ajralib chiqishining o'ziga xosligi tufayli asosiy omillarga ko'ra, u ketma -ket yig'indisiga teng ekan. qaerdan Eylerning shaxsi kelib chiqadi:

.

Dan beri
o'ngdagi ketma -ketlik ajralib chiqadi (harmonik qator), keyin Evklid teoremasi Eylerning kimligidan kelib chiqadi.

Rus matematikasi P.L. Chebishev (1821-1894) oddiy sonlar sonining chegaralarini belgilaydigan formulani oldi.
oshmagan X:

,

qayerda
,
.