Uchburchak penroz. Imkonsiz uchburchakni yarating

Bosh

matematik o'qituvchi

1. Qiymati ......................................... .............. 3

2. Tarixiy ma'lumotnoma ................................... . ... 4

3. Asosiy qism ............................... .............. 7

4. Penrozov uchburchagi ... 9

5. Xulosa ............................... ................... 11 11

6. Yozuvchi ..................................... ......... ...... 12

Muhim: Matematika birinchi bitiruv sinfidan o'rganadigan ob'ekt. Ko'plab talabalar buni qiyin, qiziqarli va keraksiz deb bilishadi. Agar siz darslik sahifasiga qarasangiz, qo'shimcha adabiyotlar, matematik sofizm va paradokslarni o'qing, so'ngra matematika g'oyasi o'zgaradi, degan fikr matematika kursida o'rganishdan ko'ra ko'proq narsani o'rganish kerak.

Ishning maqsadi:

imkoniyat raqamlarining mavjudligi ufqlarni kengaytirishini ko'rsating, nafaqat matematika, balki rassomlar tomonidan ham qo'llaniladi.

Vazifalar :

1. Ushbu mavzu bo'yicha adabiyotlarni o'rganish.

2. Imkonsiz raqamlarni ko'rib chiqa olmaydigan uchburchakning modelini ko'rib chiqing, imkonsiz uchburchak samolyotda mavjud emasligini isbotlang.

3. imkonsiz uchburchakni tekshiring.

4. Vizual san'atdagi imkonsiz uchburchakdan foydalanish misollarini ko'rib chiqing.

Kirish

Tarixan, matematikada uch o'lchovli sahna yoki bir varaqda uch o'lchovli sahnaning real qiyofasini anglatuvchi istiqbolli tasvirda matematikada muhim rol o'ynadi. Zamonaviy qarashlarga ko'ra, matematika va vizual san'at juda uzoqdir, birinchi bo'lib tahliliy, ikkinchisi hissiy. Matematika zamonaviy san'atning aksariyat asarlarida aniq rol o'ynay olmaydi va aslida ko'plab san'atkorlar kamdan-kam hollarda yoki umuman boshqa nuqtai nazardan foydalanishni hech qachon ishlatishmaydi. Biroq, diqqat markazida matematikaga ega bo'lgan ko'plab rassomlar mavjud. Ko'rgazma san'atida bir nechta muhim shaxslar ushbu odamlarga yo'l ochdi.

Aslida, iloji bo'lmagan raqamlar, Mebrius lenta, buzg'un yoki g'ayrioddiy istiqbolli tizimlar, shuningdek, fraktsiyalar kabi qoidalar yoki cheklovlar mavjud emas.

Imkoniyat raqamlari tarixi

Tasmol bo'lmagan raqamlar tartibsiz kompleksda bo'lgan doimiy qismlardan iborat muayyan matematik paradokslarning ma'lum bir turi. Agar siz "imkonsiz narsalarning" atamasining ta'rifini shakllantirishga harakat qilsangiz, ehtimol bunday tuyuladigan raqamlar - mumkin bo'lmagan shaklda to'plangan raqamlar. Ammo ularga qarash yanada yoqimli, ta'riflarni tuzish.

Mekantion qurilishning xatolari rassomlar va ming yil oldin uchrashgan. Ammo iloji yo'qligini va tahlil qilish uchun birinchi bo'lib, 1934 yilda durang bo'lgan Shvetsiya rassomi Oskar Rassom deb hisoblanadi. To'qqiz kubdan iborat birinchi imkonsiz uchburchak.

Uchburchak reuterserverda

Rezerverdda bo'lishidan qat'i nazar, ingliz matematik va fizikli rogoz imkonsiz uchburchakni qayta tiklaydi va 1958 yilda ingliz tilidagi jurnalda o'z rasmini nashr etadi. Xayollarda "yolg'on nuqtai nazar". Ba'zida bunday nuqtai nazar xitoy, "noaniq" masalan, "noaniq" shaklning chuqurligi, ko'pincha xitoylik rassomlarning asarlarida uchrashadi.

Esker sharsharasi

1961 yilda Dlaypanman M. Escher penrozning imkonsiz uchburchagidan ilhomlangan, taniqli litografiyani keltirib chiqaradi. Rasmdagi suv cheksiz, suv g'ildiragidan keyin o'tadi, u davom etmoqda va boshlang'ich nuqtaga qaytadi. Aslida, bu abadiy dvigatelning tasviri, ammo ushbu dizaynni tuzishga har qanday urinish muvaffaqiyatsizlikka uchraydi.

Moskva metrosi mutlaqo oddiy sxemasini ko'rsatmaydigan "Moskva" ni aks ettirishning yana bir namunasi. Birinchidan, biz rasmni butunlay anglaymiz, lekin qiyofa bilan individual chiziqlarni kuzatib boramiz, biz ularning mavjudligi mumkin emasligiga ishonch hosil qilamiz.

« Moskva, grafika (maskara, qalam), 50x70 sm, 2003

"Uchta salyangoz" raqami ikkinchi taniqli bo'lmagan shaklning an'anasini davom ettirmoqda - mumkin bo'lmagan kub (tortma).

"Uchta salyangoz" mumkin bo'lmagan kub

Turli xil ob'ektlarning kombinatsiyasi unchalik jiddiy bo'lmagan "IQ" (Inthide koeffitsienti) da topilishi mumkin. Qizig'i shundaki, ba'zi odamlar imkonsiz narsalarni uch o'lchovli ob'ektlar bilan aniqlay olmasliklari sababli imkonsiz narsalarni sezmaydilar.

Donald Simanek vizual paradokshomlarni tushunish eng yaxshi matematika, olimlar va san'atkorlar ijod turi alomatlaridan biri degan fikrni bildirdi. Ko'plab paradoksik ob'ektlar bilan ishlash "Intellektual matematik o'yinlar" ga tegishli bo'lishi mumkin. Zamonaviy fan dunyoning 7 o'lchovli yoki 26 o'lchovli modeli haqida gapiradi. Siz shunga o'xshash dunyoni matematik formulalar yordamida taqlid qilishingiz mumkin, odam shunchaki uni taqdim etmaydi. Va bu erda foydali bo'lmagan raqamlar.

Uchinchi mashhur imkonsiz joy - bu penroz tomonidan yaratilgan g'aroyib zinapoyadir. Siz doimiy ravishda yoki ko'tarilish (soat yo'nalishi) yoki tushkunlikka tushasiz (soat yo'nalishi bo'yicha). Penroz modeli mashhur rasmga asoslangan M. Escher "yuqoriga va pastga" Aql bovar qilmaydigan zinapoya penaosi

Buning imkonsiz tomoni

"La'nati vilka"

Ishlamaydigan boshqa ob'ektlar mavjud. Klassik shaxs imkonsiz tomon yoki "la'nati vilkasi". Rasmni sinchkovlik bilan o'rganish bilan, uchta tish asta-sekin ikkitasi ikkitaga kirib, to'qnashuvga olib keladigan bitta bazada ikkiga bo'lmoqda. Biz tishlar sonini yuqori va pastki qismida taqqoslaymiz va ob'ektning imkonsizligi haqida xulosaga keldik. Agar siz Trisning yuqori qismini yopsangiz, biz to'liq haqiqiy rasmni ko'ramiz - uch yumaloq tish. Agar siz Trisning pastki qismini yopsangiz, biz ham haqiqiy rasmni - ikkita to'rtburchakli tishlarni ko'ramiz. Ammo, agar biz umuman butun qalbni ko'rib chiqsak, uchta dumaloq tish asta-sekin ikki to'rtburchaklarga aylanib boradi.

Shunday qilib, ushbu rasm mojaroning old va orqa rejalarini ko'rish mumkin. Ya'ni, oldingi oldingi narsa orqaga qaytdi va orqa reja (o'rta tish) oldinga chiqadi. Ushbu rasmdagi oldingi va orqa rejalarning o'zgarishi bilan bir qatorda, yana bir ta'sir mavjud - tazyiqning yuqori chetida pastki qismida.

Asosiy qism.

Uchburchak- Ushbu qismlarning qabul qilinishi mumkin bo'lmagan birikmalari yordamida 3 ta qo'shni qo'shma qismlardan tashkil topgan rasm, imkonsiz tuzilishning matematik nuqtai nazaridan xayol yaratadi. Turli xil uch ball qo'ng'iroq deyiladi Almalak Penroz

Ushbu xayolotning orqasida yashiradigan grafik printsipi psixolog va o'g'li Rojer, fizikani shakllantirishga majburdir. Pen frontasining tuzi 3 ta keskin perpendikulyar yo'nalishlarda joylashgan maydonning 3 kvadratidan iborat; Ularning har biri navbatdagi burchakka ulangan, bularning barchasi uch o'lchovli makonda joylashtirilgan. Mana oddiy retsepti, ushbu izometrik proektsiyani qanday chizish mumkin:

Tomonlarga parallel chiziqlardagi yo'nalishdagi kesma burchaklar;

Cho'milish uchburchagida chambarchanglar tomonlarga parallel ravishda nafaqa;

· Burchaklarni yana kesib oling;

Ichkarida yana bir parallel oling;

Tasavvur qiling, ba'zi ikki kubning burchaklaridan birida;

· L - shakllangan "narsa" ni davom ettirish;

· Ushbu dizaynni aylanada choping.

Agar boshqa kubni tanladik, maydon boshqacha "yigirilgan" bo'lar edi .

Imkonsiz uchburchakni tekshirish.

Idence liniyasi

Kesilgan chiziq

Qanday elementlar imkonsiz uchburchak? Aniq, u bizga qanday elementlarga o'xshaydi (shunday ko'rinadi!) Qurilish to'rtburchaklar barning o'ng burchagi bilan biriktirilgan to'rtburchaklar burchagiga asoslangan. Bunday burchaklar va barlar bor, u olti qismga aylandi. Ushbu burchaklar alohida zanjirni hosil qilishlari uchun bir-birlariga "ulanish" ni boshqa tomondan "ulash" bo'lishi kerak. Qanday bo'lmaydi, mumkin emas.

Birinchi burchak gorizontal tekislikda joylashtiriladi. Bunda ikkinchi burchakni ulang, uning qovurg'asidan birini yuqoriga ko'taring. Va nihoyat, ikkinchi burchakka uchinchi burchakni yopish uchun uchinchi burchakni yopish uchun asl gorizontal tekislikka parallel. Shu bilan birga, birinchi va uchinchi burchaklarning ikkita qovurg'asi turli yo'nalishlarga parallel va yo'naltirilgan bo'ladi.

Endi kosmosning turli nuqtalari nuqtalaridan (yoki haqiqiy simlar tartibini shakllantirish) raqamga qarashga harakat qilaylik. Qanday qilib bu qanday nuqtai nazaridan, uchinchidan ko'rinib turibdiki, kuzatuv nuqtasida (yoki xuddi shu narsa - bu xuddi shunday bo'lsa), u ikkita "oxirgi" ko'rinadi. Bizning burchaklarimizning qovurg'asi bir-biriga nisbatan harakat qiladi. Ushbu pozitsiyani tanlash qiyin emas (albatta ular yaqinroq burchak uzunroq burchak uzunroq ko'rinadi).

Ammo agar qovurg'alar orasidagi masofa - bu bizning dizaynimizni hisoblaydigan masofaga qaraganda kamroq bo'lsa, unda ikkala qovurg'imiz ham biz uchun bir xil qalinlikka ega bo'ladi va bu ikki qovurg'a aslida bir-birining davomi.

Aytgancha, agar biz bir vaqtning o'zida oynadagi dizaynning displeyiga qarab, men u erda yopiq zanjirni ko'rmayman.

Tanlangan kuzatuv nuqtalaridan biz o'zimizning mo''jizasi bor: uchta burchakning yopiq zanjiri bor. Faqatgina kuzatuv nuqtasini o'zgartirmang, shunda ushbu xayol (aslida bu xayol!) Qulab tushmaydi. Endi siz ko'rinadigan ob'ektni chizishingiz yoki kamera linzalarini topilgan nuqtaga qo'yishingiz va mumkin bo'lmagan narsaning rasmini olishingiz mumkin.

Penrooz ushbu hodisaga qiziqdi. Ular uch o'lchovli bo'shliq va uch o'lchovli ob'ektlar ikki o'lchovli tekislikda (ya'ni dizaynda) ko'rinishda paydo bo'lgan va ba'zi bir dizayn noaniqligida e'tiborni jalb qilganda, ular uch o'lchovli kosmik va uch o'lchovli ob'ektlar paydo bo'lganda, ularda uch o'lchovli noaniqlik borasida ko'rsatiladi yopiq zanjir sifatida.

Yuqorida aytib o'tilganidek, simdan tushuntirish kuzatilgan effekti tamoyilida eng oddiy modelni osongina yaratishingiz mumkin. To'g'ri simni olib, uni uchta teng qismga bo'ling. Keyin, ular o'rta qism bilan to'g'ri burchakni hosil qilishlari va bir-birlarini 900 ga aylantirishlari uchun haddan tashqari qismlarni egib oling. Endi bu raqamni aylantiring va uni bir ko'z bilan tomosha qiling. Uning ba'zi pozitsiyasi bilan u yopiq simdan hosil bo'lganga o'xshaydi. Stol chiroqini yoqishda siz kosmosdagi shakldagi shaklda joylashgan stolga tushgan soyani tomosha qilishingiz mumkin.

Biroq, dizaynning bu xususiyati boshqa vaziyatda kuzatish mumkin. Agar siz simni uzuk qilsangiz, unda uni turli yo'nalishlarda ko'paytirsangiz, unda bir burilish silindrsimon spiral. Bu, albatta, ochiq. Ammo uni samolyotga loyihalashda siz yopiq chiziqni olishingiz mumkin.

Biz yana bir bor, samolyotda proektsiyaga binoan, uch o'lchovli raqamda uch o'lchovli raqam tiklanadi. Ya'ni, proektsiyada, "imkonsiz uchburchak" ni yaratadigan aniq, arzon, arzon.

Biz penrozning "mumkin bo'lmagan uchburchagi" deb ayta olamiz, boshqa ko'plab optik xayollar, mantiqiy paradoks va kaambora bilan bir qatorda turadi, deyish mumkin.

Penroz uchburchagi mumkin emasligini tasdiqlovchi hujjat

Samolyotda uch o'lchovli ob'ektlarning ikki o'lchovli tasvirining xususiyatlarini tahlil qilish, biz ushbu xaritalashning xususiyatlari imkonsiz uchburchakka qanday olib borishni tushundik.

Buning iloji yo'qligini isbotlang, bu juda oson, chunki har bir burchak to'g'ridan-to'g'ri va ularning miqdori 1800 o'rniga 2700 ga teng.

Bundan tashqari, agar biz 900 dan kichik burchaklar tomonidan yopishmagan uchburchakni qo'yib bo'lmaydigan uchburchakni ko'rib chiqsak ham, bu holda siz imkonsiz uchburchak mavjud emasligini isbotlashingiz mumkin.

Bir necha qismdan iborat boshqa uchburchakni ko'rib chiqing. Agar u tarkibidagi qismlar boshqacha bo'lsin, u bir xil uchburchakni, ammo bitta kichik kamchilik bilan bo'ladi. Etarli bir kvadrat bo'lmaydi. Bu qanday mumkin? Yoki bundan keyin bu xayol.

https://pandia.ru/021/images/image016_2.jpg "Alt \u003d" (! Lang: mumkin emas" width="298" height="161">!}

Fenomenon idrokidan foydalanish

Imkoniyatning ta'sirini qanday qilib kuchaytirish mumkinmi? "Bu imkonsiz" boshqalarga qaraganda biron bir narsa bormi? Va bu erda inson idrokining xususiyatlari qutqaruvga keladi. Psixologlarning yo'llari aniq belgilanganki, ko'z chap chap burchakdan ob'ektni (naqshni) tekshirishni boshlaydi, shunda qarash markazga to'g'ri keladi va rasmning pastki o'ng burchagiga tushadi. Bunday tatektoriya ota-bobolarimiz dushman bilan uchrashuvda eng xavfli qo'liga qaratilayotgani sababli, birinchi navbatda eng xavfli qo'lni ko'rib chiqdi, shunda qarash chapga, yuziga va rasmga ko'chib o'tdi. Shunday qilib, badiiy idrok rassomlik tarkibi qanday qurilganiga bog'liq bo'ladi. O'rta asrlarda bu xususiyat gobestie ishlab chiqarishda aniq namoyon bo'ladi: ularning rasmlari asl nusxa va genester va asl nusxalar ishlab chiqaradigan taassurot aks ettirildi.

Ushbu mulkni imkonsiz narsalar bilan yaratishda, "imkonsizlik darajasi" ni ko'paytirish yoki kamaytirishda ushbu mulk muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin. Kompyuter texnologiyalaridan yoki bir nechta rasmlardan foydalanadigan qiziqarli kompozitsiyalarni olish, boshqa bir xil turdagi (ehtimol, boshqa turdagi simmetriyadan foydalanish). bir, aylanadigan (doimiy ravishda yoki urg'ochi) ba'zi burchaklar uchun oddiy mexanizm bilan.

Bu yo'nalishda posmonkal (poligonal) deb atash mumkin. Ikkinchisiga nisbatan bitta rasmlar mavjud. Tarkibi quyidagicha yaratilgan: maskara va qalamda qilingan qog'oz chizig'i skanerdan o'tkazildi, raqamli shaklga tarjima qilingan va grafik muharrirga qayta ishlangan. Bu naqshni ta'kidlash mumkin - aylantirilgan rasm boshlang'ichga qaraganda ko'proq "iloji yo'q". Bu oson tushuntiriladi: ish paytida rassom ongsiz ravishda "to'g'ri" tasvirni yaratishga harakat qiladi.

Xulosa

Turli matematik raqamlar va qonunlardan foydalanish yuqoridagi misollar bilan cheklanmaydi. Yuqoridagi barcha raqamlarni sinchkovlik bilan o'rganib chiqing, siz ushbu maqolada, geometrik idoralarda yoki matematik qonunlarning vizual izohlashda boshqalarni topishingiz mumkin.

Matematik san'ati bugun gullab-yashnamoqda va ko'plab rassomlar Esker uslubida va o'zlarining uslublarida rasmlar yaratadilar. Ushbu rassomlar turli yo'nalishlarda, shu jumladan haykaltaroshlik, yassi va uch o'lchovli yuzalar, litografiya va kompyuter grafikasida chizilgan. Matematik san'atning eng mashhur mavzulari polixedra bo'lib, bu mumkin bo'lmagan raqamlar, mebius lentalari, buzilgan istiqbolli tizimlar va fraktsiyalar bo'lib qolmoqda.

Xulosa:

1. Shunday qilib, imkonsiz raqamlarni ko'rib chiqish bizning fazoviy tasavvurimizni rivojlantiradi, samolyotdan samolyotdan uch o'lchovli makonga, bu sterometriyani o'rganishda yordam beradi.

2. Keraksiz raqamlarning modellari samolyotda proektsiyalarni ko'rib chiqishga yordam beradi.

3. Matematikada matematik siymolarni va paradokslarni ko'rib chiqish mos keladi.

Ushbu ishni bajarishda

1. Men shuni bilib oldim - qanday qilib, qayerda va men kimning imkonsiz bo'lmagan raqamlarni ko'rib chiqishni birinchi bo'lib ko'rib chiqdim, bu raqamlar doimiy ravishda rassomlarni tasvirlashga harakat qilmoqda.

2. Dada bilan birga, imkonsiz uchburchakning modelini yaratganman, samolyotda proektsiyani ko'rib chiqdi, bu ko'rsatkich paradoksini ko'rdi.

3. Ushbu raqamlar tasvirlangan rassomlarning ko'payishlari ko'rib chiqildi

4. Mening tadqiqotlarim sinfdoshlarga qiziqdi.

Kelajakda men matematika darslarida foydalanaman va meni qiziqtiraman, lekin boshqa paradokslar mavjudmi?

Adabiyot

1. Texnika fanlari nomzodi D. RAKOV Imkoniyat raqamlari tarixi

2. RumeVard O Mumkin bo'lmagan raqamlar. - m .: Stroyzdat, 1990 yil.

3. V. Aleksebeev Illoziya · 7 sharhlar

4. J. Timoti Anrachi. - ajoyib raqamlar.
("Nashriyot AST" MChJ "Astell Nashriy" MChJ, 2002, 168 p.)

5. . - Grafika.
(Art Rodnik, 2001)

6. Duglas Xofstadter. - Yaxshilab, escher, Bax: Bu cheksiz gulland. ("Baxrax-M" nashriyoti, 2001 yil)

7. A. Konenko - imkonsiz bo'lmagan raqamlar sirlari
(Omsk: Lefty, 199)

Mumkin bo'lmagan imkonsiz. Bu haqning yorqin tasdig'i penrozning imkonsiz uchburchagi. O'tgan asrda ochiladi, ko'pincha ilmiy adabiyotlarda uchraydi. Va qanchalik hayratlanarli darajada eshitilmasin, lekin uni hatto o'zingiz ham qilish mumkin. Va buni amalga oshirish juda oson. Ko'pgina sevuvchilar origami uzoq vaqtdan beri buni amalga oshirishga qodir bo'lishgan.

Uchburchakli penroz qiymati

Bu raqamning bir nechta ismlari mavjud. Ba'zilar buni imkonsiz uchburchak deb atashadi, boshqalari - faqat qabila. Ammo ko'pincha siz "penroz uchburchagi" ta'rifini topishingiz mumkin.

Ushbu ta'riflarni tushunishning iloji bo'lmagan raqamlardan birini tushunish. Agar siz ismni hukm qilsangiz, shunga o'xshash raqamni haqiqatda amalga oshirish mumkin emas. Ammo amalda buni amalga oshirish mumkinligi isbotlandi. Agar siz uni kerakli burchak ostida ma'lum bir nuqtadan qarasangiz, bu faqat shakl oladi. Boshqa tomondan, bu raqam juda haqiqiy. Bu Kubaning uch qirralarini anglatadi. Va shunga o'xshash dizaynni osongina qiling.

Tarixning ochilishi

1934 yilda Penroos uchburchagichi rassom Oskar Oskar Retervardvadan ochildi. Rasm birgalikda to'plangan kub shaklida keltirilgan. Kelajakda rassom "imkonsiz raqamlar otasi" deb nomlana boshladi.

Ehtimol, qayta tiklanadigan qurilish chizig'i kam ma'lum bo'ladi. Ammo 1954 yilda shved matematik Rojer Penos imkonsiz raqamlar haqida maqola yozdi. Bu uchburchakning ikkinchi tug'ilishi bo'ldi. To'g'ri, olim buni yanada tanishdi. U kub emas, balki nurlardan foydalangan. Har bir nur bir-biriga 90 daraja burchak ostida ulangan edi. Farqi shundaki, Reutervard chizish paytida parallel nuqtai nazardan foydalangan. Va penrooz chiziqli nuqtai nazarni qo'lladi, bu rasmni yanada barqarorlashtirdi. Bunday uchburchak 1958 yilda Psixologiya bo'yicha ingliz tilidagi jurnallaridan birida nashr etilgan.

1961 yilda rassom Masitz Escher (Gollandiya) eng mashhur "sharshara" ning eng mashhur litografiyasidan birini yaratdi. U imkonsiz raqamlar haqida maqola sabab bo'lgan taassurot tufayli yaratilgan.

O'tgan asrning saksoninchi yillarida Shvetsiya davlat pochta markalarida tribar va boshqa imkonsiz raqamlar tasvirlangan. Bu bir necha yil davom etdi.

O'tgan asrning oxirida (yoki 1999 yilda), Avstraliyada penrozning imkonsiz uchburchagini tasvirlaydigan alyuminiy haykaltaroshlik tashkil etildi. U 13 metr balandlikka etdi. Bunday haykallar, boshqa mamlakatlarda faqat kichikroq.

Aslida imkonsiz

Penroz uchburchagi, ehtimol, odatdagi tushunchada uchburchak emas deb taxmin qilish mumkin. Bu Kubaning uch yuzi. Ammo agar siz biron bir burchakdan qarasangiz, uchburchakning iloji yo'qligi sababli, 2 burchak tekislikka to'liq mos keladiganligi sababli olinadi. Tashqi tomondan va uzoq burchakdan eng yaqin bo'lgan naycha.

Agar siz ehtiyot bo'lsangiz, siz tribar bu xayoldan boshqa narsa emasligini taxmin qilishingiz mumkin. Shaklning haqiqiy ko'rinishi uning soyasini berishi mumkin. Bu shuni ko'rsatadiki, aslida burchaklar ulanmagan. Xo'sh, shubhasiz shakar qo'lga olinganida, hamma narsa aniq bo'ladi.

O'z qo'llari bilan bir xil

Penrooz uchburchagichi mustaqil ravishda to'planishi mumkin. Masalan, qog'oz yoki karton. Va ushbu sxemada yordam bering. Ular faqat chop etish va yopishtirish kerak. Internetda ikkita sxema mavjud. Ulardan biri biroz oson, ikkinchisi ancha murakkab, ammo ko'proq mashhur. Ikkalasi ham rasmlarda taqdim etiladi.

Penrozning uchburchagichi mehmonlardan zavqlanadigan qiziqarli mahsulot bo'ladi. U albatta sezilmaydi. Bu yaratish uchun birinchi qadam bu sxemani tayyorlashdir. U printer bilan qog'ozga (karton) o'tkaziladi. Va keyin hali ham osonroq. Siz shunchaki perimetri atrofida kesishingiz kerak. Diagramma allaqachon barcha kerakli satrlarga ega. Yanada zich qog'oz bilan ishlash qulayroq bo'ladi. Agar sxema nozik qog'ozda bosilgan bo'lsa, lekin men asta-sekin narsa kerak bo'lsa, bilet tanlangan materialga shunchaki qo'llaniladi va konturni kesib tashlaydi. Shunday qilib, sxema siljish emas, u qog'oz kliplari bilan biriktirilishi mumkin.

Keyinchalik, ish stansiyasini egishi bilan siz ushbu chiziqlarni aniqlashingiz kerak. Qoida tariqasida, diagrammada u buyumni bukish bilan ifodalanadi. Keyinchalik, biz silash kerak bo'lgan joylarni aniqlaymiz. Ular pval elim yo'q. Mahsulot bitta raqamga ulangan.

Batafsil bo'yash mumkin. Va siz dastlab rang kartonidan foydalanishingiz mumkin.

Imkonsiz shaklni chizish

Penrooz uchburchagi ham chizilishi mumkin. Boshlash uchun, varaqda oddiy maydon chizilgan. Uning hajmi muhim emas. Maydonning pastki qismiga qarab, uchburchak chiziladi. Uning burchaklarida kichik to'rtburchaklar ichkarisida chizilgan. Ularning partiyalari faqat uchburchak bilan odatiy bo'lganlarni yo'q qilishlari kerak. Natijada, kesilgan burchakli uchburchak chiqish kerak.

Yuqori pastki burchakning chap tomonida to'g'ri chiziq bor. Xuddi shu chiziq, ammo bir oz qisqaroq, chap tomondan burchakdan chizilgan. Parallelda uchburchakning asosi o'ng burchakdan chiqadigan chiziq o'tkaziladi. Bu ikkinchi o'lchov paydo bo'ladi.

Ikkinchisining printsipiga ko'ra, uchinchi o'lchov chizilgan. Faqat bu holatda, barcha to'g'ridan-to'g'ri emas, balki birinchi nuqta emas, balki ikkinchi o'lchovga asoslanadi.

Bir nechta imkonsiz raqamlar ixtiro qilingan - zinapoya, uchburchak va x-tishlar. Ushbu raqamlar aslida jild tasvirida juda haqiqiy. Ammo rassom ovoz balandligini loyihalashtirganda, ob'ektlar imkonsiz bo'lib tuyuladi. Tribar deb ataladigan uchburchak harakatlarni qo'llasangiz, bunga imkonsiz bo'lishining ajoyib namunasi bo'ldi.

Bu raqamlarning barchasi chiroyli xayollardandir. Insoniy daho yutuqlari taassurot qoldirgan rassomlar foydalanadilar.

Hech narsa imkonsiz emas. Shunday qilib, biz penroz uchburchagi haqida ayta olamiz. Bu geometrik bo'lmagan raqam, uning elementlari ulangan bo'lishi mumkin emas. Ammo imkonsiz uchburchak mumkin. 1934 yilda Shvetsiya rassomi Oskar, dunyoga kublardan iloji bo'lmagan uchburchakni taqdim etdi. O. Qayg'uli xayolning kashfiyoti hisoblanadi. Ushbu tadbir sharafiga ushbu sovrinlar keyinchalik Shvetsiya Pochtada e'lon qilindi.

Va 1958 yilda ingliz tilidagi iloji bo'lmagan raqamlar haqidagi nashr matematikadagi Rojer penozi tomonidan nashr etilgan. Ilmiy xayol modelini yaratgan edi. Rojer Penos aql bovar qilmaydigan olim edi. U nisbiylik nazariyasida, shuningdek qiziqarli kvant nazariyasini o'rgandi. U Bo'ri sovrinini S. Xoking bilan birga taqdirlashdi.

Ma'lumki, ushbu maqoladan hayratda qolgan rassom Masitz Escher o'zining ajoyib ishini - "sharshara" ning litografiyasini bo'yashi ma'lum. Ammo penroz uchburchagi qilish mumkinmi? Iloji bo'lsa, qanday qilish kerak?

Trbar va haqiqat

Ushbu ko'rsatkich imkonsiz deb qaramagan bo'lsa-da, o'z qo'llari bilan Penrozning uchburchagi yasang - sodda. U qog'ozdan yasalgan bo'lishi mumkin. Origami oshiqlari shunchaki Tribarning tomoniga kirolmadilar va olimlarning fantaziyasini qo'llarida yaratib, ushlab turish yo'lini topa olishdi.

Biroq, biz uchta perpendikulyar chiziqlarning uch o'lchovli ob'ektning proektsiyasini ko'rib chiqsak, bizning ko'zlarimiz aldanib qoladi. Kuzatuvchi uchburchakni ko'rayotganga o'xshaydi, ammo aslida bunday emas.

Geometriya hunarmandchilik

Aytgancha, uchburchak tribar aslida uchburchak emas. Uchburchak penroz - xayol. Faqat ma'lum bir burchakda, ob'ekt bir tomonlama uchburchakka o'xshaydi. Biroq, tabiiy shakldagi ob'ekt kubning 3 yuzi. Bunday izometrik proektsiya burchakning 2 samolyotiga to'g'ri keladi: tomoshabindan eng yaqin va uzoq.

Albatta, optik yolg'on tezda aniqlanadi, faqat bu ob'ektni qo'lda olib boradi. Shuningdek, soyaning xayolotini ochib beradi, chunki Tribora soyasi aniq haqiqatga mos kelmasligini aniq ko'rsatmoqda.

Qog'ozning qabri. Sxemalar

Qo'llari ostidagi Penrozis uchburchagini qog'ozdan qanday qilish kerak? Ushbu modelning diagrammalari bormi? Bugungi kunda bunday imkonsiz uchburchakni bog'lash uchun 2 ta yozuv ixtiro qilingan. Geometriya asoslari ob'ektni qanday qilib qo'yish kerakligini ko'rsatadi.

O'z qo'llari bilan Penrozis uchburchagini bog'lash uchun atigi 10-20 daqiqa ajratish kerak bo'ladi. Sxema chop etilgan bir nechta kesish va qog'oz uchun yopishtirilgan elim tayyorlash kerak.

Bunday ish qismidan eng mashhur bo'lmagan uchburchak olinadi. Kasaba-origami ishlab chiqarishda juda murakkab emas. Shuning uchun, birinchi marta, hatto maktab o'quvchisi ham geometriyani o'rganishni boshladi.

Ko'rinib turibdiki, juda chiroyli hunarmandchilik paydo bo'ladi. Ikkinchi bo'sh boshqa ko'rinadi va turli xil ko'rinadi, ammo penroz uchburchagi bir xil ko'rinadi.

Qog'ozdan qalam uchburchakni yaratish bosqichlari.

Siz uchun ikkita qulay blanklardan birini tanlang, faylni nusxalash va bosib chiqarish. Mana bu misol va aylanmaning ikkinchi modeli, bu biroz osonlashtiradi.

Origami "Tribar" uchun Billet barcha zarur shartlarni o'z ichiga oladi. Aslida, sxema bo'yicha ko'rsatma talab qilinmaydi. Zich qog'ozli vositaga shunchaki yuklab oling, aks holda u noqulay ishlamaydi va raqam ishlamaydi. Agar siz darhol kartonda bosib chiqara olmasangiz, siz yangi materialga chizishingiz kerak va kontur chizmani kesib tashlang. Qulaylik uchun siz qog'oz kliplarni davolashingiz mumkin.

Xo'sh, nima qilish kerak? Penrozis uchburchagini qo'llari bilan qanday qilib qo'yish kerak? Siz ushbu harakat rejasiga amal qilishingiz kerak:

1. Qabul qilishning qarama-qarshi tomonini ko'rsatmalariga ko'ra, ko'rsatmalarga muvofiq egilishingiz kerak. Barcha chiziqlarni egib oling
2. Zarur bo'lganda, kesma qiling.
3. Biz qismlarni bitta butun songa mahkamlash uchun mo'ljallangan Loskutkadagi PVA yordamida echdik.

Tayyor model har qanday rangda va rang karton bilan ishlashi mumkin. Ammo ob'ekt oq qog'ozdan bo'lsa ham, baribir, yashash xonangizga birinchi marta kiradigan har bir kishi bunday beshikdan tushkunlikka tushadi.

Chizma uchburchagi

Uchburchak penrozni qanday chizish kerak? Hamma ham Origami bilan shug'ullanishni yaxshi ko'rmaydi, lekin ko'pchilik durangni yaxshi ko'radi.

Boshlash uchun har qanday o'lchamdagi odatiy kvadrat tasvirlangan. Keyin uchburchak ichkarida chizilgan, uning asosi maydonning pastki tomoni. Kichik to'rtburchak har bir burchakka o'ralgan, ularning barcha tomonlari o'chiriladi; Faqatgina partiyalar uchburchakka tutashadi. Chiziqlar silliq bo'lishi kerak. Bu kesilgan burchaklar bilan uchburchak bo'ladi.

Keyingi qadam - bu ikkinchi o'lchovning tasviri. Yuqori pastki burchakning chap tomonidan qat'iy tekis chiziq amalga oshiriladi. Xuddi shu chiziq pastki chap burchakdan boshlab amalga oshiriladi va o'lchashning birinchi qatoriga biroz olib kelmaydi. Yana bir satr asosiy raqamning pastki qismiga parallel ravishda parallel ravishda chizilgan.

Yakuniy bosqich - ikkinchi o'lchov ichida uchta kichik chiziqlar bilan uchinchi o'rinni egallaydi. Kichik chiziqlar ikkinchi o'lchovli chiziqlardan boshlanadi va uch o'lchovli hajmning tasviri tugadi.

Boshqa raqamlar penroz

Xuddi shu o'xshashlikdagi, boshqa raqamlar chizilishi mumkin - kvadrat yoki olmogon. Xayol kuzatiladi. Ammo baribir bu raqamlar endi xayolot emas. Bunday ko'pburchaklar juda buralib ko'rinadi. Zamonaviy grafika mashhur uchburchakning yanada qiziqarli versiyalarini o'tkazishga imkon beradi.

Uchburchakdan tashqari, penroz zinapoyasi ham taniqli dunyoga mashhur. Fikrni aldashdir, agar u soat miliga teskari tomonga burilib, soat miliga teskari tomonga siljiganida, keyin pastga tushsa.

Zinapoyada zinapoyaning birlashmasi bilan tanishib chiqadi M. Escher "toqqa chiqish va tushish". Qizig'i shundaki, odam ushbu xayoliy zinapoyaning barcha 4 talarini olib ketganda, u u erda, u boshlanganidan u erda paydo bo'ladi.

Shaxsiy tushunchani tanishtiradigan boshqa ob'ektlar, masalan, mumkin bo'lmagan bar kabi ma'lum. Yoki illyuziya qutisining qonunlariga ko'ra kesishgan yuzlar bilan bog'liq. Ammo bu ob'ektlarning barchasi allaqachon ajoyib olim - Rojer penosining maqolasi asosida ixtiro qilingan.

Pepdagi mumkin bo'lmagan uchburchak

Matematik nomli rasm sharaflandi. Uning yodgorligi bor. 1999 yilda Penosning katta uchburchagi Alyuminiydan katta uchburchak Avstraliya shaharlarida (Perth) o'rnatildi, bu esa balandligi 13 metr. Alyuminiy gigant yaqinida sayyohlar suratga olishdan mamnun. Ammo agar siz fotosurat uchun boshqa burchakli ko'rinishni tanlasangiz, yolg'on ravshan bo'ladi.

Sizga salomlar Hurmatli Blog o'quvchilari veb-sayti. Tostam Zokirov va menda penroz uchburchak chizig'ini chizadigan boshqa maqolani. Bugun men sizga qanday oson va shunchaki imkonsiz uchburchakni chizish mumkinligini ko'rsatmoqchiman. Biz ushbu uchburchakning ikkita rasmini chizamiz, odatiy bo'ladi va ikkinchisi haqiqiy 3D chizilgan. Va bularning barchasi ajablanarli darajada oddiy bo'ladi. Ushbu uchburchakning hozirgi 3D chizilishi mumkin. Men bunga boshqa joyda namoyish etiladi, shuning uchun maqolani oxirigacha va juda ehtiyotkorlik bilan o'qing.

Bizning rasmlarimiz uchun biz har doimgidek kerak bo'ladi. Oddiy qalamlar (afzalroq bitta "o'rta", "boshqa yumshoq") va bir nechta rangli qalam yoki markerlar.

Har qanday uchta rasm chizish qanchalik oson.

Men bu erda bu kabi imkonsiz uchburchakni bu erda men hozirgina Internetda topdim. Bu erda u.

Va keyin bir necha daqiqadan so'ng yordam 3Dga o'tkazildi . Buni 3Dga deyarli har qanday rasmga tarjima qilish mumkin. Kim bir xil o'rganishni istaydi, shu erni bosing.

Va biz chizamizga boramiz.

Muntazam uchburchak chizig'ini chizing.

1-qadam 1. Monitorning ekranidan o'tkazish.

Sizga uchburchakni chizish uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak bo'ladi. Siz varag'ingizni qog'ozga olasiz va uni monitor ekranidagi uchburchakka suyanasiz va shunchaki tarjima qiling.

Va bizning uchburchak mutlaqo qiyin emasligi sababli, faqat barcha burchaklaridagi asosiy fikrlarni qo'ying.

Va keyin biz aslni ko'rib chiqamiz va bu fikrlarni hukmdor yordamida ulaymiz. Men buni yoqtirdim.

Bizning barcha uchburchak tayyor. Siz bu kabi ketishingiz mumkin, ammo buni biroz keyinroq ko'rsataylik. Men buni rangli qalam bilan qildim. Biz bizning uchburchakimizni to'liq bezatganimizdan so'ng, biz uni yana bir bor oddiy yumshoq qalam bilan to'liq ta'minlaymiz.

Shu bilan birga, bizning oddiy uchburchak penrosi butunlay tayyor va biz bir xil uchburchakka o'tamiz.

Biz uchburchakning 3D chizish chizig'ini chizamiz.

1-qadam 1. Tarjima qiling.

Biz bir xil sxemada, masalan an'anaviy shaklda harakat qilamiz. Men sizga 3D-ga tarjima qilingan uchburchak formatini beraman. Mana.

Va siz uni tarjima qilasiz. Biz hamma narsani, shuningdek odatdagi naqsh bilan qilamiz. Siz varaqingizni olib, orqa mitor ekraniga suyanasiz, varaqasi porlaydi va siz shunchaki tayyor 3D chizmalarini varaqangizga tarjima qilasiz.

Bu men bilan shunday bo'ldi.

Uchburchak o'lchamini oshirish yoki kamaytirish mumkin. Buning uchun siz monitoringizning ko'lamini o'zgartirishingiz kerak. Ctrl tugmachasini bosib ushlab turing va sichqonchani g'ildiragini aylantiring.

Bizning 3D chizig'imiz tayyorligini aniq aytishimiz mumkin. Men unga taxminan 3 daqiqa bordim. Bunda siz to'g'ridan-to'g'ri tugatishingiz mumkin, ammo bizning uchburchakimiz haqida gapirib ketaylik.

Dmitriy Rakov

Qanday qilib ko'zlarimiz qanday qilib bilmaydi
Mahalliy ob'ektlar.
Va shuning uchun ularni majburlamang
aqlni aldash.

Tit Lucretiya avtomobili

"Tasavvur qiling" vaziyat noto'g'ri noto'g'ri. Ko'zlar bizni alday olmaydi, chunki ular faqat ob'ekt va inson miyasi o'rtasidagi oraliq bog'liqlikdir. Odatda qamoqqa olinmasligimiz, lekin ongsiz ravishda ular hushidan ketishadi va beixtiyor xato qilishlari sababli: "Ko'z orqali, dunyoga qarash uchun ko'zlar qanday qarashini biladi".

Kirish optik oqimining eng ajoyib yo'nalishlaridan biri bu mumkin bo'lmagan raqamlar tasviriga asoslangan impr-san'at (Impr san'at, imkonsiz san'at). Buning imkonsiz narsalari samolyotda (ikki o'lchovli samolyotda) uch o'lchovli tuzilmalarni, haqiqiy uch o'lchovli dunyoda paydo bo'lmaydi. Klassik va eng oddiy raqamlardan biri bu mumkin bo'lmagan uchburchak.

Kam imkonsiz uchburchakda har bir burchakning o'zi mumkin, ammo paradoklar buni butunlay ko'rib chiqishda yuzaga keladi. Uchburchakning yon tomonlari bir vaqtning o'zida tomoshabinga yo'naltiriladi va undan, shuning uchun uning qismlari haqiqiy uch o'lchovli ob'ektni hosil qila olmaydi.

Aslida, bizning miyamiz samolyotda uch o'lchovli model sifatida tartibni izlaydi. Ongning har birining har bir nuqtasini "chuqurlashtirish" ni o'rnatadi. Haqiqiy dunyo haqidagi g'oyalarimiz ba'zi bir nomuvofiqlik bilan qarama-qarshilikka duch keladi va ba'zi taxminlarni bajarishi kerak:

• to'g'ridan-to'g'ri ikki o'lchovli chiziqlar to'g'ridan-to'g'ri uch o'lchovli chiziqlar deb talqin qilinadi;
• ikki o'lchovli parallel chiziqlar uch o'lchovli parallel chiziqlar sifatida izohlanadi;
• o'tkir va ahmoqona burchaklar kelajakda to'g'ridan-to'g'ri burchaklar sifatida talqin qilinadi;
• tashqi chiziqlar shaklning chegarasi hisoblanadi. Ushbu tashqi chegara to'liq tasvirni yaratish uchun juda muhimdir.

Inson ongi birinchi navbatda mavzuning umumiy qiyofasini yaratadi va keyinchalik alohida qismlarni tekshiradi. Har bir burchak fazoviy nuqtai nazar bilan mos keladi, ammo qayta uchraydi, ular fazoviy paradoks hosil qiladi. Agar siz uchburchak burchaklarini yopsangiz, unda etishmovchilik yo'qolmaydi.

Imkoniyat raqamlari tarixi

Mekantion qurilishning xatolari rassomlar va ming yil oldin uchrashgan. Ammo imkonsiz ob'ektlarni birinchi bo'lib qurish va tahlil qilish uchun birinchi bo'lib, 1934 yilda to'qqiz kubdan iborat bo'lgan Shvetsiya rassomi RusuterVard (Oskar Reuterskd) deb hisoblanadi.

		"Moskva", grafika (maskara, qalam), 50x70 sm, 2003

Rezerverdda bo'lishidan qat'i nazar, inglizcha va fizikli rogoz imkonsiz uchburchakni qayta tiklaydi va 1958 yilda ingliz tilidagi psixologiya jurnalida uning suratini e'lon qiladi. Ba'zida bunday nuqtai nazar xitoy, "noaniq" masalan, "noaniq" shaklning chuqurligi, ko'pincha xitoylik rassomlarning asarlarida uchrashadi.

"Uchta salyangoz" raqami kichik va katta Kuba normal izometrik proektsiyaga yo'naltirilmaydi. Kichik kubning kattaligi katta old va qayta joylashmalar bilan birlashadi va shuning uchun uch o'lchovli mantiqqa ergashgan holda, u kattalar kabi bir xil o'lchovlarga ega. Birinchidan, chizma qattiq tananing haqiqiy namoyishi bo'lib tuyuladi, ammo ushbu ob'ektning mantiqiy qarama-qarshiliklari tahlil qilinganidek aniqlanadi.

"Uchta salyangoz" raqami ikkinchi taniqli bo'lmagan shaklning an'anasini davom ettirmoqda - mumkin bo'lmagan kub (tortma).

"IQ", grafika (maskara, qalam), 50x70 sm, 2001		"Tepaga va pastga", M. Esker

Turli xil ob'ektlarning "IQ" (Inturence-ning razvedka koeffitsienti - razvedka koeffitsienti) da topish mumkin. Qizig'i shundaki, ba'zi odamlar imkonsiz narsalarni uch o'lchovli ob'ektlar bilan aniqlay olmasliklari sababli imkonsiz narsalarni sezmaydilar.

Donald E. Simanek vizual paradokslarni tushunish eng yaxshi matematika, olimlar va rassomlarning ijodiy salohiyatining turiga kiradi degan fikrni bildirdi. Ko'plab paradoksik ob'ektlar bilan ishlash "Intellektual matematik o'yinlar" ga tegishli bo'lishi mumkin. Zamonaviy fan dunyoning 7 o'lchovli yoki 26 o'lchovli modeli haqida gapiradi. Siz shunga o'xshash dunyoni matematik formulalar yordamida taqlid qilishingiz mumkin, odam shunchaki uni taqdim etmaydi. Va bu erda foydali bo'lmagan raqamlar. Falsafiy nuqtai nazardan, ular har qanday jiddiy va aniq bo'lmagan munosabatlarda, har qanday hodisalar (tizimli tahlil, iqtisodiyot va iqtisodiyotda) hisobga olinishi kerakligini eslatmoqda.

Turli xil imkonsiz (va mumkin bo'lgan) ob'ektlar "Mumber alifbo" tasvirda taqdim etiladi.

Uchinchi mashhur imkonsiz joy - bu penroz tomonidan yaratilgan g'aroyib zinapoyadir. Siz doimiy ravishda yoki ko'tarilish (soat yo'nalishi) yoki tushkunlikka tushasiz (soat yo'nalishi bo'yicha). Penroz modeli mashhur rasmga asoslangan M. Escher "yuqoriga va pastga" ("o'sish va pasayish").

Ishlamaydigan boshqa ob'ektlar mavjud. Klassik shaxs imkonsiz tomon yoki "la'nati vilkasi".

Rasmni sinchkovlik bilan o'rganish bilan, uchta tish asta-sekin ikkitasi ikkitaga kirib, to'qnashuvga olib keladigan bitta bazada ikkiga bo'lmoqda. Biz tishlar sonini yuqori va pastki qismida taqqoslaymiz va ob'ektning imkonsizligi haqida xulosaga keldik.

Aqlning aqlidan ko'ra ko'proq ahamiyatsiz rasmlardan unumli foyda keltiradimi? Ba'zi shifoxonalarda, imkonsiz narsalarning rasmlari, xususan osib qo'ygan rasmlar, chunki ularni ko'rish bemorlarni uzoq vaqt egallab olishga qodir. Bunday rasmlarni, militsioner va boshqa joylarda, uning navbati kutadigan joyda ba'zan butun abadiylikni tugatish mantimal bo'lar edi. Raqamlar bunday "xronofazlar" kabi harakat qilishi mumkin, i.e. Vaqtni iste'mol qiluvchilar.