Kalkulyator raqamlari maydoni cheklangan. Onlayn kalkulyator. Muayyan integral (egri trapzium hududini tozalash)

18.10.2019

Shuningdek o'qing

Nega Sofya Goliknlyallyatomni afzal ko'rdi?

Do'konning nomining nomining ramziy ma'nosi a

Ushbu moddadan siz integrallar yordamida hisob-kitoblar bilan cheklangan raqamlarni qanday topishni o'rganasiz. Birinchi marta biz o'rta maktabda bunday vazifani bajaramiz, qachonki biz muayyan integrallarni o'rganishni o'tkazdik va amalda olingan bilimlarni geometrik talqin qilishni boshlash vaqti keldi.

Shunday qilib, integratsiyalar yordamida raqamni izlash muammosini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:

Mahorat rasmlar barpo etish;
Nyuton-Leibnik formulasi yordamida o'ziga xos integralni hal qilish qobiliyati;
"Ko'rish" qobiliyati ko'proq daromadli echim optsiyasini - i.e. Bunday holat integratsiyani amalga oshirish uchun qulayroq bo'lishini tushunib olingmi? X o'qi (ho'kiz) yoki o'yin o'qi (Oy)?
Xo'sh, bu erda to'g'ri hisoblashsiz?) Bu boshqa bir integrallarning boshqa turini va to'g'ri raqamli hisob-kitoblarni tushunishni o'z ichiga oladi.

Rasmning maydonini hisoblash vazifasini hal qilishning algoritmi, cheklangan liniyalar:

1. Rasm qurish. Buni keng miqyosda qafasda qilish tavsiya etiladi. Ushbu funktsiyaning nomini har bir jadvalga qalamga obunamiz. Grafiklarning imzosi faqat qo'shimcha hisoblash qulayligi uchun amalga oshiriladi. Kerakli raqam grafikasini olgandan so'ng, ko'p hollarda u darhol integratsiyalash chegaralaridan foydalanilishini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz vazifani grafik usul bilan hal qilamiz. Biroq, bu chegaralar qadriyatlari kasr yoki irratsionaldir. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikki bosqichga o'ting.

2. Agar integratsiya chegaralari aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, biz bir-birimiz bilan grafiklarning kesishadigan punktlarini topamiz va tahliliy muammoning grafik echimiga to'g'ri kelmasligini ko'rib chiqamiz.

3. Keyinchalik rasmni tahlil qilish kerak. Funktsiyalar grafikasi qanday joylashganligiga qarab, raqamning maydonini topish uchun turli xil yondashuvlar mavjud. Integratsiyalar yordamida ushbu raqam sohasini topish uchun turli xil misollarni ko'rib chiqing.

3.1. Eng klassik va oddiy vazifa opsiyasi - bu sizning egri Trapziyning maydonini topishingiz kerak. Kurvilineare Trape nima? Bu x o'q bilan cheklangan tekis rasm (y \u003d 0)To'g'riga x \u003d a, x \u003d b va vaqt oralig'ida egri chiziq doimiy a. oldin b.. Shu bilan birga, bu raqam salbiy emas va abkissa o'qidan past emas. Bunday holda, "Nyuton Laboratend" Formulasi tomonidan hisoblangan aniq ajralmas narsa "ning bir-biriga teng ravishda aniqlanadi:

1-misol. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Shakl qaysi chiziqlar cheklangan? Bizda Parabola bor y \u003d x2 - 3x + 3o'q tepasida joylashgan Ayni, bu salbiy emas, chunki Ushbu parabolaning barcha fikrlari ijobiy. Keyingi, to'g'ridan-to'g'ri x \u003d 1. va x \u003d 3.o'qga parallel ravishda ishlaydigan Joduchap va o'ngdagi rasmning cheklovchi chiziqlari. Yaxshi y \u003d 0.U quyidagi rasmni cheklaydigan x o'qi. Olingan raqam soyali, chunki chap tomondagi rasmdan ko'rinib turibdi. Bunday holda, siz muammoni hal qilishingiz mumkin. Bizda "Nyuton-Leibnic" formulasi yordamida yanada hal etadigan egri chiziqli trapezumning oddiy namunasi mavjud.

3.2. Oldingi qismida 3.1-bandda, Curvilineare Trapzium X o'qidan yuqori bo'lganida, ish demontaj qilinadi. Endi vazifaning shartlari bir xil bo'lsa, ishni ko'rib chiqing, bundan tashqari funktsiya X o'qi ostida ishlaydi. Nyuton-Lablender formulasi minus qo'shildi. Qanday qilib bunday vazifani qanday hal qilish kerak.

2-misol. . Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Shu misolda bizda parabola bor y \u003d x2 + 6x + 2o'qdan kelib chiqqan Ayni, To'g'riga x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Bu yerda y \u003d 0. Yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'riga x \u003d -4. va x \u003d -1. Bular o'ziga xos integral hisoblangan chegaralar. Rasmning maydonini topish muammoni hal qilish printsipi deyarli bir-biriga to'g'ri keladi. Faqatgina farq shundaki, belgilangan funktsiya ijobiy emasligi va barchasi ham oraliqda ham uzluksizdir [-4; -1] . Ijobiy ma'no anglatmaydimi? Rasmdan ko'rinib turibdiki, belgilangan ACS doirasidagi raqam, bu muammoni hal qilishda kerak bo'lgan va eslab qolishimiz kerak bo'lgan "salbiy" koordinatalar mavjud. Shakl maydoni newton Labitsa formulasini qidirmoqda, faqat boshida minus belgisi bilan.

Maqola tugallanmagan.

Integratsiya dasturlarini ko'rib chiqish. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz. ma'lum bir integral bilan tekis raqamni hisoblash. Va nihoyat, eng yuqori matematikadagi ma'noning barcha ma'nosi - topiladi. Oz. Biz mamlakatimiz hududini hayotga boshlang'ich funktsiyalar bilan olib kelishimiz va o'ziga xos yaxlitlik yordamida uning hududini topishga majbur bo'lamiz.

Muvaffaqiyatli moddiy rivojlanish uchun quyidagilar zarur:

1) noaniq integralni kamida o'rtacha darajaga etkazish. Shunday qilib, choynaklar dars bilan tanish bo'lishi kerak Emas.

2) Nyuton Labnic formulasini qo'llash va o'ziga xos ajralmas narsani hisoblash. Sahifada ba'zi bir integrallar bilan iliq do'stlik o'rnatish Muayyan integral. Solutionlarga misollar. Vazifa "Vayoni aniq ajralish yordamida hisobni hisoblash" har doim chizish chizig'ini anglatadiShuning uchun sizning qurilish chizmalarining bilimingiz va ko'nikmalari ham dolzarb masala bo'ladi. Minimal darajada, siz to'g'ri, parabola va giperbola qurishingiz kerak.

Keling, egri trapezi bilan boshlaylik. Currvilineare Trapzium - bu ba'zi xususiyatlarning grafikasi bilan cheklangan tekis rasm. y. = f.(x., o'q o'qi Ho'kiz. va chiziqlar x. = a.; x. = b..

Krikvilinear trapziyning maydoni aniq bir ajralmas narsaga teng

Har qanday o'ziga xos ajralmas (qaysi mavjud bo'lsa) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Muayyan integral. Solutionlarga misollarbiz ma'lum bir integral raqam ekanligini aytdik. Va endi boshqa foydali haqiqatni davlat qilish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan ma'lum bir integral narsa - bu mintaqa. Ya'ni, muayyan integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ba'zi raqamlarning maydoniga mos keladi. Muayyan integralni ko'rib chiqing

Qayish

samolyotdagi egri chiziqni belgilaydi (kerak bo'lganda chizilishi mumkin) va ma'lum bir ajralmas narsa tegishli egri Trapolear Trapezum maydoniga teng.

1-misol.

, , , .

Bu odatdagi vazifa shakllanishi. Qarorning eng muhim jihati - bu rasmni qurish. Va rasm qurilishi kerak To'g'ri.

Chizma qurishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: avval Hammasini to'g'ri qurish yaxshiroqdir (agar ular bo'lsa) va faqat keyinchalik - Parabola, Giperbolas, boshqa funktsiyalarning jadvallari. Tekshirish texnikasini ma'lumotnomada topish mumkin. Boshlang'ich funktsiyalarning jadvallari va xususiyatlari. U erda siz, shuningdek, bizning darsimizga nisbatan juda foydali materialni topishingiz mumkin - bu parabola qanday qilib tezkor qurish kerak.

Ushbu vazifada qaror bunday ko'rinishi mumkin.

Rasmni bajaring (shunga e'tibor bering y. \u003d 0 o'qni o'rnatadi Ho'kiz.):

Kurvilinearit Traptionni urmang, bu erda qaysi sohada nutq borligi haqida aniq. Qaror quyidagicha davom etmoqda:

Segmentda [-2; 1] funktsiya jadvali y. = x. 2 + 2 joylashgan o'q orqaliHo'kiz., shunday qilib:

Javob: .

Newton-leybnia formulasining ma'lum bir ajralmas va foydalanishini hisoblashda kim

ma'ruza haqida murojaat qiling Muayyan integral. Solutionlarga misollar. Vazifa tugagandan so'ng, rasm chizish va hisob-kitoblarga qarash har doim foydalidir, haqiqiy emas. Bu holda, "Ko'zlardagi" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - Xo'sh, 9 ga yaqin 9 kishi uchib ketadi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar bo'lsak, javob bersak, 20 kvadrat birlik, bu xato qilishda xatolik yuz berganligi aniq, u o'nlab tirqishlar aniqlanmaganligi aniq. Agar javob salbiy bo'lsa, vazifa noto'g'ri deb hisoblanadi.

2-misol.

Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang xi. = 4, x. = 2, x. \u003d 4 va o'q Ho'kiz..

Bu mustaqil echim uchun namuna. Dars oxirida to'liq echim va javob bering.

Agar egri trapezium joylashgan bo'lsa nima qilish kerak o'q ostidaHo'kiz.?

3-misol.

Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang y. = e - x., x. \u003d 1 va koordinata o'qlari.

Yechim: rasmni bajaring:

Agar egri chiziqli trapezium bo'lsa to'liq o'q ostida joylashgan Ho'kiz. , keyin uning maydoni formulani topish mumkin:

Ushbu holatda:

Diqqat! Vazifaning ikki turini chalkashtirib yubormang:

1) Agar siz oddiy integratsiyani hech qanday geometrik ma'nosiz hal qilishga taklif qilinsangiz, u salbiy bo'lishi mumkin.

2) Agar siz aniq bir integral yordamida shakl raqamini topishga taklif qilinsangiz, unda hudud har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun faqat ko'rib chiqilgan formula minus ko'rinadi.

Amalda, bu ko'rsatkich ko'pincha yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab jadvalidan, yanada mazmunli misollarga o'ting.

4 misol.

Maydoni cheklangan chiziqlarni toping y. = 2x. – x. 2 , y. = -x..

Yechim: Avval siz chizish kerak. Ushbu hududga vazifalarni muvofiqlashtirganda, biz chiziqlar kesishadigan joylariga ko'proq qiziqamiz. Parabola kesishganlik nuqtalarini toping y. = 2x. – x. 2 va to'g'ridan-to'g'ri y. = -x.. Buni ikki yo'l bilan amalga oshirish mumkin. Birinchi usul tahliliy. Biz tenglamani hal qilamiz:

Shunday qilib, integratsiyaning pastki chegarasi a. \u003d 0, yuqori integratsiya chegarasi b. \u003d 3. Ko'pincha oqimning chiziqlarini qurish, integratsiya chegaralari go'yo "o'zlari" kabi aniqlanadi. Biroq, masalan, chegaralarni topishning analitik usuli, agar jadval etarli darajada katta bo'lsa yoki stajirlangan qurilish integratsiya chegarasini aniqlamasa (ular kasr yoki irqtiv bo'lishi mumkin). Bizning vazifamizga qaytamiz: yanada oqilona chiziqni tuzing va faqat parabola. Rasmni bajaring:

Takrorlang, joriy qurilishda integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik ravishda" ni aniqlaydi.

Va endi ish formulasi:

Agar segmentda bo'lsa [ a.; b.] Ba'zi doimiy funktsiya f.(x.) ko'proq yoki teng Ba'zi uzluksiz funktsiya g.(x.), keyin ushbu raqamni formuladan topish mumkin:

Bu erda, bu raqam o'qning o'qi ostida yoki o'q ostida joylashganligini o'ylashingiz kerak emas va yuqoridagi grafik nima(boshqa jadvalga nisbatan) va nima - quyida.

Ushbu misolda, Parabola segmentida to'g'ri yuqorida joylashganligi va 2 dan tashqarida joylashganligi aniq ko'rinadi x. – x. 2 olib tashlash kerak x..

Eritmani tugatish quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Kerakli raqam parabola bilan cheklangan y. = 2x. – x. 2 ta va to'g'ri y. = -x. pastki qism.

2-segmentda 2. x. – x. 2 ≥ -x.. Tegishli formulaga muvofiq:

Javob: .

Aslida, pastki yarim tekislikda egri chiziqli trapezumning maydoni uchun maktab formulasi (3-misol) - formulada

O'qdan beri Ho'kiz. Tenglama bilan yaroqsiz y. \u003d 0 va funktsiya jadvali g.(x.) O'qdan pastda joylashgan Ho'kiz.T.

Va endi mustaqil qaror uchun bir nechta misollar

5-misol.

6-misol.

Cheklangan chiziqlar maydonini toping

Vazifalarni aniq bir integral bilan hisoblash uchun vazifalarni hal qilishda ba'zan kulgili ish sodir bo'ladi. Chizish to'g'ri, hisob-kitoblar - to'g'ridan-to'g'ri, ammo, beparvolik bilan ... topilgan maydon raqam emas.

7 misol.

Birinchi rasmni amalga oshiring:

Bizni topishimiz kerak bo'lgan maydon ko'k rangda soya qiladi(Bu holatga diqqat bilan qarang - bu cheklanganmi?). Ammo amalda ehtiyotkorlik bilan, ko'pincha yashil rang bilan soya qiladigan raqam maydonini topishingiz kerakligini hal qiling!

Bu misol, shuningdek, unda ikkita o'ziga xos integralning kattaligi hisoblanadi. Haqiqatan ham:

1) segmentda [-1; 1] o'q ustida Ho'kiz. Jarayon yo'nalishi bo'yicha joylashgan y. = x.+1;

2) o'q tepasidagi segmentda Ho'kiz. Giperbola chizig'i joylashgan y. = (2/x.).

Maydonni parchalash mumkinligi aniq, shuning uchun:

Javob:

8 misol.

Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang

"Maktab" shaklida tenglamani tasavvur qiling

va hozirgi rasmni bajaring:

Chizig'idan bizda "yaxshi" borligi aniq: b. = 1.

Ammo pastki chegarasi nima?! Bu butun son emasligi aniq, lekin nima?

Balkim, a.\u003d (- 1/3)? Ammo chizish ideal aniqlik bilan qilinganligi, bu yaxshi bo'lishi mumkinligi haqida kafolat bor a.\u003d (- 1/4). Va agar biz odatda jadvalni qursak?

Bunday hollarda, siz qo'shimcha vaqt sarflashingiz va antotizatsiyasini tahlil qilishingiz kerak.

Grafiklar kesishganligini toping

Buning uchun quyidagi tenglamani hal qiling:

Shunday qilib, a.=(-1/3).

Keyingi echim arzimas. Asosiysi almashtirish va belgilar bilan chalkashib ketmaslikdir. Hisoblash eng oddiy emas. Kesilganda

, ,

tegishli formulaga muvofiq:

Javob:

Darsning oxirida ikkita vazifani qiyinlashtiradi.

9-misol.

Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang

Qaror: Ushbu shaklni chizishda ko'rsating.

Chizgi uy qurilishi uchun sinusoidlarning ko'rinishini bilish kerak. Umuman olganda, barcha elementar funktsiyalar, shuningdek ba'zi sinus qiymatlarining grafikasini bilish foydali bo'ladi. Ular qiymat jadvalida topish mumkin trigonometrik funktsiyalar. Ba'zi hollarda (masalan, bunga) sxematik rasmni qurishga ruxsat beriladi, ularda grafik va integratsiya chegaralari printsipda aks ettirilishi kerak.

Integratsiya chegaralari bilan bu erda hech qanday muammo bo'lmaydi, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan o'tishadi:

- "X" noldan "pi" ga o'zgaradi. Biz boshqa echimni tuzamiz:

Kesilgan grafik funktsiyasida y. \u003d GAL 3. x. O'qdan yuqorida joylashgan Ho'kiz., shunday qilib:

(1) Gunoh va kosinslarni g'alati darajadagi birlashtirib, siz darsga qarashingiz mumkin Trigonometrik funktsiyalardan integrallar. Bir satirni o'chiring.

(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatordan foydalanamiz

(3) Biz o'zgaruvchini almashtiramiz t. \u003d Cos. x.keyin: o'q tepasida joylashgan:

Eslatma: Kubadagi tangens olinishi qanchalik integratsiya amalga oshirilganligiga e'tibor bering, bu erda asosiy trigonometrik identifikatorning natijasi ishlatiladi.

Oldingi bo'limda ma'lum bir integral ma'nosining tahliliga bag'ishlangan bo'limda biz Kurvilinear Trapzium maydonini hisoblash uchun bir qator formulalar oldik:

Yandex.rtb R-A-339285-1

S (g) \u003d ∫ a b (x) d (x) d doimiy va salbiy funktsiyalar uchun y \u003d f (x) [a; a; a; b]

S (g) \u003d - ∫ a b (x) d (x) div (x) segmentda [a; a; a; a; b].

Ushbu formulalar nisbatan oddiy vazifalarni hal qilish uchun qo'llaniladi. Aslida, biz ko'pincha murakkab raqamlar bilan ishlashimiz kerak. Shu munosabat bilan biz algoritmlarni aniqlangan raqamlar bilan hisoblab chiqilgan raqamlar hisobini hisoblash uchun tahlil qilishga bag'ishlangan, men funktsiyalar bilan cheklangan. Y \u003d f (x) yoki x \u003d g (y).

Teorema

Y \u003d F 1 (x) va y \u003d F 2 (x) funktsiyalarini amalga oshiring va interfeysda uzluksizdir. b], f 1 (x) ≤ f 2 (x) bilan x dan [a; b]. Keyin g \u003d a chiziqlari bilan chegaralangan g shaklidagi g, y \u003d f 1 (x) va y \u003d f 2 (x) ni hisoblash formulasi (g) \u003d g) \u003d ∫ deb hisoblanadi ABF 2 (x) - F 1 (x) Dx.

Shunga o'xshash formulalar y \u003d c, y \u003d d, g 1 (y) va x \u003d g 1 (y): s (g) cd (G 2 (y) - g 1 (y) dy.

Dalil

Biz formula adolatli bo'lishini biz tahlil qilamiz.

Birinchi holatda, mintaqaning ekstreattivligi, asl figurali g va Curvilinear Trapzium g 1 kilvilinear trapezium g 1 bu 1-rasmning maydoniga teng. Bu shuni anglatadiki

Shuning uchun s (g) \u003d s (g 2) \u003d ∫ ABF 2 (x) dx - ∫ ∫ ∫ ∫ \u003d ḍi (x) - f 1 (x) DX.

So'nggi o'tishni amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan so'nggi integratsiyani amalga oshirishimiz mumkin.

Ikkinchi holatda, tenglik to'g'ri: S (g) \u003d s (g 1) \u003d ∫ ABF 2 (x) Dx + AB \u003d Ab (x) ) - f 1 (x)) Dx

Grafik rasmlar ko'rinadi:

Agar ikkala funktsiyalari ijobiy bo'lmagan bo'lsa, biz (g) \u003d s (g 2) - ∫ ABF 2 (x) dx \u003d fc \u003d f 2 (x) - f 1 (x)) Dx. Grafik rasmlar ko'rinadi:

Y \u003d F 1 (x) va y \u003d f 2 (x) OX o'qidan kesib o'tgan umumiy ishni ko'rib chiqaylik.

X i, i \u003d 1, 2, 2-o'rinni kesishamiz. . . , N - 1. Ushbu fikrlar segmentni buzadi [a; b] larga x i - 1; x i, i \u003d 1, 2,. . . , n, bu erda a \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Shunday qilib,

S (g) \u003d s i s (g i i n ∫ Xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d x d dǐno - f (x )) dx \u003d ∫ ABF 2 (x) - F 1 (x) dx

Muayyan integral xususiyatlarining beshinchi xususiyatlaridan foydalanib, oxirgi o'tishni amalga oshirishimiz mumkin.

Biz umumiy ishni jadvalda tasvirlaymiz.

Formula s (G) \u003d ∫ a a b F 2 (x) - F 1 (x) d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x gacha deb hisoblanishi mumkin.

Va endi biz y \u003d F (x) va x \u003d g (y) chiziqlar bilan cheklangan raqamlar mintaqasini hisoblash misollarini ko'rib chiqamiz.

Jadval qurilishi bilan boshlanadigan har qanday misollarni ko'rib chiqish. Rasm bizga murakkab raqamlarni birlashtirgan holda murakkab raqamlarni ifodalashga imkon beradi. Agar grafika va raqamlarning qurilishi ularni qiyinlashtirsa, siz asosiy elementar funktsiyalar, funktsiyalar grafikasini, funktsiyalar grafikasini, shuningdek funktsiyalarni o'rganish paytida qurilish gidroksozliklarini o'rganishingiz mumkin.

1-misol.

Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 va to'g'ri chiziqlar bilan cheklangan raqamning maydonini aniqlash kerak. Y \u003d - 1, x \u003d 1 .

Qaror

Cartezian Koordinata tizimidagi grafikdagi chiziqlarni ko'rsating.

Segmentda [1; 4] Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 to'g'ri y \u003d - 1 3 x - 1 2 da joylashgan. Bu borada javob olish uchun biz ilgari formulani, shuningdek, Nyuton-Leybnitsa formulasiga muvofiq aniq integratsiyani hisoblash usuli:

S (g) \u003d li 1 - x 2 + 6 x - 1 - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 - 1 1 - 9 2 dx \u003d 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d 1 3 3 + 19 6 · 4 2 - 2 - 2 3 + 19 6 6 · 1 2 - 9 2 - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Javob: S (G) \u003d 13

Yanada murakkab misolni ko'rib chiqing.

2-misol.

Y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7 qatorlari bilan cheklangan raqamning maydonini hisoblash kerak.

Qaror

Bunday holda, bizda faqat bitta to'g'ri liniya mavjud, faqat abssissa o'qiga parallel ravishda joylashgan. Bu x \u003d 7. Bu bizdan ikkinchi integratsiya limitini topishni talab qiladi.

Biz jadval tuzib, unga chiziqlar olib boramiz, vazifa holatida ma'lumotlar.

Ko'zlar oldida grafikka ega bo'lishimiz mumkinki, integratsiyaning pastki chegarasi, y \u003d x va parabola y \u003d x + 2 pog'onasining kesish nuqtasi bo'ladi. Abkissani topish uchun tenglikdan foydalaning:

y \u003d x + 2 o d z: x ≥ - 2 \u003d 2 \u003d 0 d \u003d (- 1) 2 - 4 · 1) \u003d 4 x 1 \u003d 1 + 1 2 \u003d 2 ∈ O dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ ODZ

Ma'lum bo'lishicha, chorraha nuqtasi x \u003d 2.

Biz sizning e'tiboringizni y \u003d x + 2, y \u003d x kesishmadagi chizig'ida (2; 2) kesish uchun, shuning uchun bunday batafsil hisob-kitoblar keraksiz tuyulishi mumkin. Biz bu erda bunday batafsil qarorni qabul qildik, chunki ko'proq murakkab hollarda qaror shunchalik aniq bo'lmasligi mumkin. Bu shuni anglatadiki, chiziqlar kesishgan koordinatalari analitik jihatdan hisoblash yaxshiroqdir.

Intervalda [2; 7] Y \u003d X funktsiyasining grafigi y \u003d x + 2 funktsiyasining grafikidan yuqori. Hisoblash maydonining formulasini qo'llang:

S (g) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3) 3 2 2 7 \u003d 2 2 - 2 3 - 2 3 - 2 2 - 2 2 2 - 2 3 3 3 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Javob: S (g) \u003d 59 6

3-misol.

Y \u003d 1 X va y \u003d - x 2 + 4 x - 2 funktsiyalari bilan cheklangan raqamni hisoblash kerak.

Qaror

Jadvalda chiziqlarni qo'llang.

Integratsiya chegarasi bilan aniqlang. Buning uchun biz liniyalarning kesishish joylarining koordinatalarini 1 x va x 2 + 4 x - 2-ga tenglashtirishni aniqlaymiz. Agar x nolga teng bo'lmasa, tenglik 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 Uchinchi darajali tenglik - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 0 - 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 \u003d 1 ekveradi. Bunday tenglamalarni echib, xotirada algoritmni yangilash uchun biz "kubik tenglamalar" bo'limiga murojaat qilishimiz mumkin.

Ushbu tenglamaning ildizi x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 2 - 2 - 1 - 1 \u003d 0.

Ifodani ajratish - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1, Biz olamiz: - x 3 + 1 x 2 - 2 x - 1 - (x 2 - 3 x - 1) 1) \u003d 0.

Qolgan ildizlar biz x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 ni topa olamiz:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 d \u003d (- 3) 2 - 4 · 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.

Biz vaqtni x ∈ 1 topdik; 3 + 13 2, bu rasm g qizil chiziqdan yuqoriga va pastda tugaydi. Bu bizga rasm sohasini aniqlashda yordam beradi:

S (g) \u003d li 1 3 + 13 2 - 2 - 1 xdx \u003d xdx \u003d 1 xdx \u003d 2 x 1 2 \u003d - 3 x 1 2 \u003d - 3 x 1 2 \u003d - 3 x 1 2 \u003d - 3 x 1 2 \u003d - 3 x 1 + 2 · 3 + 13 2 2 - LN 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 2 - 2 - LN 1 \u003d 2 - LN 3 + 13 2 - LN 3 + 13 2 .

Javob: S (G) \u003d 7 + 13 3 - LN 3 + 13 2

4 misol.

Y \u003d x 3, y \u003d - 2 x + 1 va abkissaning o'qi bilan cheklangan raqamning maydonini hisoblash kerak.

Qaror

Biz jadvalga barcha satrlarni qo'llaymiz. Agar biz uni mjassi o'qiga nisbatan nosimmetrik jihatdan nosimmetrik jihatdan nosimmetrik jihatdan nosimmetrik ravishda joylashtirsak va bitta birlikni yuqoriga ko'tarsak va bitta birlikni ko'taradigan bo'lsak, biz funktsiyaning funktsiyasini olishimiz mumkin. Abssissa o'q tengligi y \u003d 0.

Chiziqlar kesishadigan joylarini anglatadi.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, funktsiyalarning y \u003d x 3 va y \u003d 0 kesma (0; 0). Buning sababi, x \u003d 0 x 3 \u003d 0 tenglamaning yagona haqiqiy ildizidir.

x \u003d 2 - bu tenglamaning yagona ildizi - log 2 x + 1 \u003d 0, funktsiyalarning grafikalari y \u003d - log £ kesma (2; 0).

x \u003d 1 - bu x 3 \u003d - 2 x + 1 tenglamaning yagona tubidir. Shu munosabat bilan, y \u003d x 3 va y funktsiyalarining grafikasi (1; 1; 1). Oxirgi gap aniq bo'lishi mumkin, ammo x 3 \u003d - LOL 1 dan ortiq ildiz bo'lishi mumkin emas, chunki Y \u003d x 3 funktsiyasi qat'iy ravishda ko'payib boradi, va Funktsiya - bu qat'iy pasayadi .

Keyingi echim bir nechta variantlarni o'z ichiga oladi.

Variant 1

Iblis Ixloqiy ekvilinearit trapesining yuqorida joylashgan ikkita egri chiziqli trapesning birinchisi x ∈ 0 segmentidagi o'rta chiziqdan pastda joylashganligi sababli tasavvur qila olamiz; 1 va x ∈ 1 segmentidagi qizil chiziq ostida; 2. Bu shuni anglatadiki, bu hudud S (G) \u003d ∫ 0 1 x X x X x + ∫ 1 2 2 (- log 2 x + 1) d x x x ga teng.

2 raqami.

G rasmli ikkita raqamning farqi sifatida namoyish qilinishi mumkin, ular birinchi bo'lib abkissa o'qidan va x ∈ 0 segmentidagi ko'k chiziq ostida joylashgan; 2, ikkinchisi x ∈ 1 segmentidagi qizil va ko'k chiziqlar orasidagi ikkinchi; 2. Bu bizga maydonni quyidagicha topishga imkon beradi:

S (g) \u003d li 0 2 x 3 d x - ① 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bunday holda, mintaqani topish uchun S (G) forma formulasini ishlatishi kerak (G) \u003d g 2 (y 1 (y) - g 1 (y)) d y. Aslida, raqamni cheklaydigan chiziqlar y argumentining funktsiyalari sifatida tasvirlanishi mumkin.

Y \u003d x 3 va x ga to'g'ri keladigan tenglamalarga ruxsat berdi:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Biz kerakli maydonni olamiz:

S (g) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 2 - 1 - 0 LN 2 - 0 4 4 \u003d 1 ln 2 - 1 4 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Javob: S (G) \u003d 1 ln 2 - 1 4

5-misol.

Y \u003d X, y \u003d 2 3 x - 3 x - 3, y \u003d - 1 x + 4 qatorini hisoblash kerak.

Qaror

Qizil chiziq bilan biz y \u003d x funktsiyasi tomonidan belgilangan grafikka qo'llaymiz. Y \u003d - 1 2 x + 4 qatorli ko'k rangda, biz y \u003d 2 3 x - 3 chizig'ini bildiramiz.

Kasallik nuqtalariga e'tibor bering.

Y \u003d X va y \u003d - 1 2 x + 4 funktsiyalarining kesishgan nuqtalarini toping:

x \u003d - 1 2 x + 4 o d z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 - 4 X + 2 - 4 X + 16 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 p r o, 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 4 \u003d 16 n. XP va n va ix 2 \u003d 4 \u003d 2 \u003d 4 \u003d 2 · 2 + 4 \u003d 2 ⇒ x va ni ⇒ - Tohkaparesenda Lietirenemuradaman va i y \u003d x va y \u003d - 1 2 x + 4

Y \u003d X va y \u003d 2 3 x - 3 funktsiyalarining kesishish nuqtasini topamiz:

x \u003d 2 3 x - 3 o d z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x \u003d 2 2 - 4 x 2 - 4 X + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45) 2 - 4 · 41 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d x 2 45 - 9 4 p u @ \u003d 9, 2 3 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Men Liemiraneni ⇒ men Liemiraneni ⇒ men uchun Aperecechiy \u003d X va 2 kem \u003d 2 x 2, 2 2, 2 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 n e i l i e m u r a n e n i n i

Y \u003d - 1 2 x + 4 va y \u003d 2 3 x - 3 chiziqlarini kesish nuqtasini topamiz:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x \u003d 42 · 1 - 1 2 · 4 \u003d 2 3 - 1 · 1 ; 1) t haqida hkanereceniy \u003d 1 2 x + 4 va y \u003d 2 3 x - 3

1 raqami.

Shaxsiy raqamlarning maydoni sifatida kerakli raqamning maydonini tasavvur qiling.

Shunda bu raqamning raqami quyidagilarga teng:

S (g) \u003d ∫ 4 6 X - - 1 2 x + 4 DX + 2 3 x - 3 dx \u003d 2 3 x 3 2 4 + x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 bu - x 2 3 x 6 9 \u003d 2 3 3 2 + 6 2 4 - 2 2 - 2 3 - 2 3 - 2 3 - 2 3 3 3 - 4 2 3 3 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 3 3 3 2 - 6 2 3 + 3 · · 6 - 4 6 - 4 6 + - 4 6 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

2-usul.

Asl raqamning maydoni ikki raqamning yig'indisi sifatida taqdim etilishi mumkin.

Keyin biz chiziq tenglamasini X ga tenglashtiramiz va shundan keyingina, biz rasmning raqamini hisoblash uchun formulani qo'llaymiz.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 dan R va i l va i y \u003d 2 3 x - 3 h e n i l va € & 1 € & 1 S va nil va ni

Shunday qilib, maydon teng:

S (g) \u003d li 1 2 3 2 y + 9 2 - 2 y + 2 dy + 2 dy + 2 ∫ 2 ∫ 2 1 - Y 2 2 7 2 y - 1 2 dy + ∫ 2 3 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y 2 - 7 4 1 1 2 - 2 y 2 + 2 y 2 4 2 y 2 4 2 y 2 - 7 4 4 4 - 7 4 4 4 - 7 4 4 - 7 - 7 - 7 4 · 1 2 - 7 4 4 + 3 3 3 3 3 + 3 2 4 + 3 2 4 + 3 2 4 2 + 3 · 2 4 2 2 · 2 \u003d 7 4 2 12 \u003d 11 3

Ko'rinib turibdiki, qadriyatlar to'g'ri keladi.

Javob: S (g) \u003d 11 3

Natijalar

Belgilangan satrlar bilan cheklangan raqamni topish uchun, biz samolyotda chiziqlar qurishimiz, ularning kesishgan joylarini topish, hududni topish formulasini qo'llashimiz kerak. Ushbu bo'limda biz eng keng tarqalgan vazifalar variantlarini ko'rib chiqdik.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Shunday qilib, integratsiyalar yordamida raqamni izlash muammosini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:

Mahorat rasmlar barpo etish;
Nyuton-Leibnik formulasi yordamida o'ziga xos integralni hal qilish qobiliyati;
"Ko'rish" qobiliyati ko'proq daromadli echim optsiyasini - i.e. Bunday holat integratsiyani amalga oshirish uchun qulayroq bo'lishini tushunib olingmi? X o'qi (ho'kiz) yoki o'yin o'qi (Oy)?
Xo'sh, bu erda to'g'ri hisoblashsiz?) Bu boshqa bir integrallarning boshqa turini va to'g'ri raqamli hisob-kitoblarni tushunishni o'z ichiga oladi.

Rasmning maydonini hisoblash vazifasini hal qilishning algoritmi, cheklangan liniyalar:

1-misol. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

2-misol. . Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Maqola tugallanmagan.

Aslida, rasmning maydonini topish uchun noaniqliklar haqida hech qanday ma'lumot yo'q va ajralmas ta'riflangan. Vazifa "Vayoni aniq ajralish yordamida hisobni hisoblash" har doim chizish chizig'ini anglatadiShu sababli, qurilish chizmalarining bilimingiz va ko'nikmalaringiz ko'proq tegishli masala bo'ladi. Shu munosabat bilan asosiy elementar funktsiyalarning grafikasi xotirasida yangi va hech bo'lmaganda to'g'ri, giperbola qurishga qodir bo'ling.

Curvilineare Traptzion kvartira, o'q bilan cheklangan, to'g'ri va bu vaqt oralig'ida belgini o'zgartirmaydigan funktsiyani o'zgartirmaydigan funktsiyaning segmentida cheklangan. Bu raqamda bo'lishiga yo'l qo'ying kam emas Abssissa o'qi:

Keyin krikvilinear trapziyning maydoni aniq bir ajralmas narsaga teng. Har qanday o'ziga xos ajralmas (qaysi mavjud bo'lsa) juda yaxshi geometrik ma'noga ega.

Geometriya nuqtai nazaridan ma'lum bir integral narsa - bu mintaqa.

Ya'ni, Ma'lum bir integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan ba'zi shaklga mos keladi. Masalan, o'ziga xos ajralmas narsani ko'rib chiqing. Intrum va funksiya o'qda joylashgan (qaysi istak chizishni chizishi mumkin) va o'ziga xos yaxlitlik mos keladigan trapeziumning soniga teng ravishda egri chiziqni o'rnatadi.

1-misol.

Bu odatdagi vazifa shakllanishi. Qarorning birinchi va eng muhim nuqtasi - rasm chizish. Va rasm qurilishi kerak To'g'ri.

Ushbu vazifada qaror bunday ko'rinishi mumkin.
Chizmani bajaring (tenglama o'qni o'rnatadi):

Funktsiya segmentida funktsiya joylashgan o'q orqali, shunday qilib:

Javob:

Vazifa tugagandan so'ng, rasm chizish va hisob-kitoblarga qarash har doim foydalidir, haqiqiy emas. Bu holda, "Ko'zlardagi" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - Xo'sh, 9 ga yaqin 9 kishi uchib ketadi, bu haqiqatga o'xshaydi. Agar bo'lsak, javob bersak, 20 kvadrat birlik, bu xato qilishda xatolik yuz berganligi aniq, u o'nlab tirqishlar aniqlanmaganligi aniq. Agar javob salbiy bo'lsa, vazifa noto'g'ri deb hisoblanadi.

3-misol.

Shakl, cheklangan liniyalar va koordinata o'qlarining maydonini hisoblang.

Qaror: Rasmni bajaring:

Agar egri trapezium joylashgan bo'lsa o'q ostida(yoki hech bo'lmaganda) undan yuqori emas Ushbu o'qi), keyin uning maydoni formulasi bilan topish mumkin:

Ushbu holatda:

Diqqat! Vazifalarning ikki turini chalkashtirib yubormang:

1) Agar siz oddiy integratsiyani hech qanday geometrik ma'nosiz hal qilishga taklif qilinsangiz, u salbiy bo'lishi mumkin.

2) Agar siz aniq bir integral yordamida shakl raqamini topishga taklif qilinsangiz, unda hudud har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun faqat ko'rib chiqilgan formula minus ko'rinadi.

Amalda, bu ko'rsatkich ko'pincha yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab jadvalidan, yanada mazmunli misollarga o'ting.

4 misol.

Yassi rasmning maydonini, cheklangan liniyalarni toping,.

Qaror: Avval siz chizish kerak. Umuman olganda, mintaqaga topshiriqlar asosida chizilganda, biz chiziqlar kesishadigan joylariga ko'proq qiziqamiz. Parabola va to'g'ridan-to'g'ri kesishganlik nuqtalarini toping. Buni ikki yo'l bilan amalga oshirish mumkin. Birinchi usul tahliliy. Biz tenglamani hal qilamiz:

Shunday qilib, pastki integratsiya chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.

Bunday yo'l yaxshiroq bo'lsa, ishlatmang.

Bu juda foydali va chiziq chiziqlarini qurish, integratsiya chegaralari go'yo "o'zlari" kabi aniqlanadi. Biroq, masalan, chegaralarni topishning analitik usuli, agar jadval etarli darajada katta bo'lsa yoki stajirlangan qurilish integratsiya chegarasini aniqlamasa (ular kasr yoki irqtiv bo'lishi mumkin). Va bunday misol, biz ham ko'rib chiqamiz.

Bizning vazifamizga qaytamiz: yanada oqilona chiziqni tuzing va faqat parabola. Rasmni bajaring:

Va endi ish formulasi: Agar segmentda ba'zi uzluksiz funktsiya bo'lsa ko'proq yoki teng Ba'zi doimiy funktsiya, raqamning maydoni, ushbu funktsiyalar va to'g'ridan-to'g'ri, formulani topish mumkin:

Bu erda bu erda joy qayerda joylashgan - o'q yoki o'q ostidagi va o'qi, ya'ni gapiradigan deb o'ylash kerak emas yuqoridagi grafik nima(boshqa jadvalga nisbatan) va nima - quyida.

Ushbu misolda parabola segmentida to'g'ri yuqorida joylashganligi aniq, shuning uchun uni olib tashlash kerak

Eritmani tugatish quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Kerakli raqam yuqoridagi va to'g'ridan-to'g'ri pastki qismdan Parabola bilan cheklangan.
Segmentda tegishli formulaga muvofiq:

Javob:

4 misol.

Shakl maydonini, cheklangan liniyalarni hisoblang ,,,.

Qaror: Avval rasmni bajaring:

Bizni topishimiz kerak bo'lgan maydon ko'k rangda soya qiladi (Bu holatga diqqat bilan qarang - bu cheklanganmi?). Ammo amalda, "glitch" ko'pincha yodda qoladi, bu siz yashil rang bilan soyalangan rasmning maydonini topishingiz kerak!

Ushbu misol hali ham foydali va unda bu raqamning maydoni ikkita o'ziga xos integraldan foydalangan holda ko'rib chiqilishi.

Chindan ham:

1) to'g'ri jadval o'q ustida joylashgan;

2) O'q qismida xushbo'y giperbollar grafikasi mavjud.

Maydonni parchalash mumkinligi aniq, shuning uchun: