एक सामान्य विभाजक को लाने के लिए वाक्यांशवैज्ञानिक इकाई का क्या मतलब है? एक सामान्य विभाजक पर आएं

शाही मुद्दे से आम तक... पांच-एपिसोड की ऐतिहासिक फिल्म "द रोमानोव्स। द ज़ार का मामला" (निर्माता और पटकथा लेखक ई. चावचावद्ज़े, निर्देशक जी. ओगुर्नया) पहली नज़र में रूस के इतिहास की जांच करती है। कुलीन वर्ग की, राज्य के निर्माण में किसकी भूमिका

मैं मूल रूप से "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" पैराग्राफ में सामान्य विभाजक विधियों को शामिल करना चाहता था। लेकिन इतनी अधिक जानकारी थी, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो मान लीजिए कि हमारे पास अलग-अलग हर वाले दो भिन्न हैं। और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि हर एक समान हो जाएं। अंश की मुख्य संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो, मैं आपको याद दिला दूं, इस तरह लगती है:

एक भिन्न नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, यदि आप गुणनखंडों को सही ढंग से चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर होंगे - इस प्रक्रिया को सामान्य हर में कमी कहा जाता है। और वांछित संख्याएँ, हर को "समतल" करने वाली, अतिरिक्त गुणनखंड कहलाती हैं।

आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता क्यों है? यहाँ केवल कुछ कारण हैं:

1. विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
2. भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
3. शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

संख्याएँ ज्ञात करने के कई तरीके हैं जिनसे गुणा करने पर हर बराबर हो जाते हैं। हम उनमें से केवल तीन पर विचार करेंगे - बढ़ती जटिलता के क्रम में और, एक अर्थ में, दक्षता के अनुसार।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका, जो हर को बराबर करने की गारंटी देता है। हम "आगे" कार्य करेंगे: हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। नज़र रखना:

अतिरिक्त कारकों के रूप में, पड़ोसी भिन्नों के हरों पर विचार करें। हम पाते हैं:

हाँ, यह इतना आसान है. यदि आप अभी-अभी भिन्न सीखना शुरू कर रहे हैं, तो इस पद्धति के साथ काम करना बेहतर है - इस तरह आप कई गलतियों के खिलाफ खुद को सुरक्षित कर लेंगे और परिणाम प्राप्त करने की गारंटी देंगे।

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत अधिक गिनना पड़ता है, क्योंकि हर को "आगे" से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, बहुत बड़ी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। यही विश्वसनीयता की कीमत है.

सामान्य भाजक विधि

यह तकनीक गणनाओं को बहुत कम करने में मदद करती है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। विधि इस प्रकार है:

1. "थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
2. इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
3. साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 84: 21 = 4; 72:12 = 6. चूँकि दोनों ही मामलों में एक हर बिना किसी शेषफल के दूसरे से विभाज्य होता है, इसलिए हम सामान्य गुणनखंडों की विधि का उपयोग करते हैं। अपने पास:

ध्यान दें कि दूसरे भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया था। वास्तव में, हमने गणना की मात्रा आधी कर दी है!

वैसे, मैंने इस उदाहरण में भिन्नों को एक कारण से लिया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके उन्हें गिनने का प्रयास करें। कटौती के बाद जवाब वही होंगे, लेकिन काम बहुत ज्यादा होगा.

यह सामान्य भाजक की विधि की ताकत है, लेकिन, फिर से, इसे केवल तभी लागू किया जा सकता है जब एक हर को बिना किसी शेष के दूसरे से विभाजित किया जाता है। जो कि बहुत ही कम होता है.

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक ऐसी संख्या खोजने का प्रयास कर रहे होते हैं जो प्रत्येक हर से विभाज्य हो। फिर हम दोनों भिन्नों के हरों को इस संख्या में लाते हैं।

ऐसी बहुत सारी संख्याएँ हैं, और उनमें से सबसे छोटी संख्या आवश्यक रूप से मूल भिन्नों के हर के प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर नहीं होगी, जैसा कि "क्रॉस-वाइज" विधि में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24:8 = 3; 24:12 = 2. यह संख्या गुणनफल 8 12 = 96 से बहुत कम है।

प्रत्येक हर से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या को उनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) कहा जाता है।

संकेतन: a और b के लघुत्तम समापवर्त्य को LCM(a ; b ) द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एलसीएम(16; 24) = 48; एलसीएम(8; 12) = 24।

यदि आप ऐसी संख्या ढूंढने में कामयाब हो जाते हैं, तो गणना की कुल राशि न्यूनतम होगी। उदाहरण की तरफ देखो:

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 234 = 117 2; 351 = 117 3 . गुणनखंड 2 और 3 सहअभाज्य हैं (1 को छोड़कर कोई सामान्य भाजक नहीं है), और गुणनखंड 117 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(234; 351) = 117 2 3 = 702.

इसी प्रकार, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . कारक 3 और 4 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, और कारक 5 सामान्य है। इसलिए एलसीएम(15; 20) = 5 3 4 = 60।

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

1. समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत सबसे कम सामान्य गुणक तक पहुंच गए, जो आम तौर पर बोलना, एक गैर-तुच्छ समस्या है;
2. परिणामी विस्तार से, आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह समझने के लिए कि कम से कम समापवर्त्य विधि कितनी जीत दिलाती है, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके समान उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें। बेशक, बिना कैलकुलेटर के। मुझे लगता है कि उसके बाद टिप्पणियाँ बेमानी हो जाएंगी।

यह मत सोचिए कि ऐसे जटिल भिन्न वास्तविक उदाहरणों में नहीं होंगे। वे हर समय मिलते रहते हैं, और उपरोक्त कार्य सीमा नहीं हैं!

एकमात्र समस्या यह है कि इस एनओसी को कैसे पाया जाए। कभी-कभी सब कुछ कुछ ही सेकंड में मिल जाता है, शाब्दिक रूप से "आंख से", लेकिन सामान्य तौर पर यह एक जटिल कम्प्यूटेशनल समस्या है जिस पर अलग से विचार करने की आवश्यकता होती है। यहां हम इस पर बात नहीं करेंगे.

कोई भी चीज़ आपको अपने दृष्टिकोण से अधिक देखने से नहीं रोकती।
वी. काबरूट

मैं किसी के बारे में कह सकता हूं कि वह बदमाश या औसत दर्जे का व्यक्ति है। उससे बात करो। और यह स्वाभाविक है, क्योंकि मेरे मन में लोगों के प्रति बहुत गुस्सा जमा हो गया है। मैं उनसे आधे रास्ते में मिलना, समझने की कोशिश करना, सहानुभूति दिखाना नहीं चाहता. हां, मैं इस बात से सहमत हूं कि ऐसा करके मैं लोगों को अपने करीब नहीं लाता, बल्कि उन्हें दूर धकेल देता हूं। लेकिन मूलतः, मुझे परवाह नहीं है.
यह सब मेरे बारे में है। संपर्क में एकमात्र बाधा मैं ही हूं।
मैं खुद को दोषी मानता हूं कि मैंने उसे वह नहीं दिया जो वह मुझसे उम्मीद करता है, उसे खुशी नहीं दी, उसकी इच्छाओं को पूरा नहीं किया।
मान लीजिए कि उसे उच्च, आध्यात्मिक चीज़ों के बारे में सुनना और पढ़ना पसंद है। वह इस आध्यात्मिकता को अपने अंदर महसूस करने का प्रयास करता है और चाहता है कि उच्च को उचित उच्च शैली में व्यक्त किया जाए। वह प्रत्याशित आनंद से सराबोर है!
और अचानक मैं आकर उनसे इतने महत्वपूर्ण विषय पर बेहद धीमे, भद्दे शब्दों में बात करता हूं। मैं विषय की निंदा कर रहा हूं. यह उनकी उम्मीदों के बिल्कुल विपरीत है. और यह आपको कष्ट देता है! इस बात से पीड़ित हूं कि मैं खुद को उस तरह से अभिव्यक्त नहीं कर पाता, जैसा वह देखना, सुनना चाहता है। वैसा नहीं जैसा उसे दिखता है. वह इसे बर्दाश्त नहीं कर पाता और मेरी आलोचना करता है... वह कष्ट नहीं सहना चाहता, दुख को दूर धकेल देता है... नहीं! मैं जो सुनना चाहता हूँ उसे किसी और से कहलवाओ!
हम दूसरे को समझने और स्वीकार करने के लिए तैयार क्यों नहीं हैं? क्या वास्तव में केवल अपने विश्वदृष्टिकोण को ही सच्चा मानना ​​और स्वयं को, यदि पूर्ण नहीं है, तो भी एक विशेष व्यक्तित्व मानना ​​बेहतर है?
यदि मैं अपने और दूसरे के बीच कुछ समान ढूंढ सकूं, जिस पर हम दोनों सहमत हों, तो हम एक-दूसरे को समझने में कितना आगे बढ़ेंगे, एक-दूसरे से संपर्क करेंगे...
हम पाएंगे कि हमारे बीच तमाम मतभेदों के बावजूद अभी भी एकता की गुंजाइश है। इसके अलावा, असहमति के अस्तित्व के बिना एकीकरण असंभव है।
क्योंकि आपसी ग़लतफ़हमी के कारण ही आगे बढ़ने का अवसर पैदा होता है। आपसी रियायतों के बिना कोई संबंध नहीं है।
इस बीच, मेरी राय, मानो, एक रेखा खींचती है: सब कुछ, मुझे ऐसा लगता है! लेकिन एक आम राय यह भी है. ये बात खास है. दूसरों से जानकारी को अवशोषित करके, हम एक-दूसरे का विकास करते हैं और एक सामान्य विभाजक पर आते हैं। हममें से प्रत्येक अन्य सभी से समृद्ध है।
परिणामस्वरूप, स्वयं रहते हुए, हम दूसरों के बारे में ज्ञान प्राप्त करते हैं, उनकी संवेदनाओं और प्रतिनिधित्व को अपने साथ जोड़ते हैं। और फिर प्रत्येक की व्यक्तिगत ताकत कई गुना बढ़ जाती है...
और फिर यह पहले से ही एक-दूसरे की प्रशंसा करने के लिए एक पत्थर फेंकना है ...
एक साथ जुड़कर हम एक नई वास्तविकता की खोज करेंगे। आइए शरीर की सीमाओं का विस्तार करें, और हमारी सामान्य इच्छाएं वहां, एक नई दुनिया, एक विशाल शानदार दुनिया का रास्ता दिखाएंगी। वह हमारे लिए खुलेगा, हमें खोलेगा। वह इसे अपने पास ले लेगा, और हम इसमें रहना जारी रखेंगे।
और इसलिए, हमारे बीच संचार की गांठ को मजबूत करने की कोशिश करते हुए, हम एक कोशिका और दूसरी कोशिका में विलीन हो जाते हैं, और दूसरी ... सात अरब गांठें एक नेटवर्क बनाती हैं जिस पर पूरी दुनिया टिकी हुई है!
मुझे यह सब तब समझ में आया जब मैंने दूसरे को वैसे ही स्वीकार करने का फैसला किया जैसे वह है... मैंने अपने आकलन, निर्णय को खारिज कर दिया...
दिल खोल दिया... इसे जो करना है करने दो। मुख्य बात डरने की नहीं है, दिल कोई दिमाग नहीं है, वह गलतियाँ करना नहीं जानता।
मैंने बस एक निश्चित सीमा पार कर ली है, जिसके आगे मेरा क्रूर स्वभाव बना रहा, जिसने मुझमें मेरे चरित्र का निर्माण किया, मुझे उचित पालन-पोषण दिया।
मेरे पत्थर दिल को प्यार से तोड़ दिया...
हम एक चौराहे पर हैं. हमें नई सोच अपनाने की जरूरत है। इस विचार के लिए कि दुनिया में सब कुछ आपस में जुड़ा हुआ और अन्योन्याश्रित है। कि प्यार दुनिया पर राज करे...
वास्तव में, चूंकि ऐसे विचार लोगों में तेजी से प्रकट हो रहे हैं, इसका मतलब है कि हम पहले से ही इस तरह के संक्रमण का अनुभव कर रहे हैं, हम पहले से ही इसमें हैं।
प्रेम पर अमल करके, हम एक सार्वभौमिक मानव का निर्माण करेंगे, जिसमें सभी शामिल होंगे और सभी में समाहित होंगे। यही एकमात्र चीज़ है जो हम कर सकते हैं...
और हम खुश रहेंगे.