Το γενικό σχήμα της μελέτης της συνάρτησης σε απευθείας σύνδεση. Εξερεύνηση και σχεδίαση πλήρους λειτουργίας

Σήμερα σας προσκαλούμε να εξερευνήσετε και να γράψετε τη συνάρτηση μαζί μας. Αφού μελετήσετε προσεκτικά αυτό το άρθρο, δεν θα χρειαστεί να ιδρώνετε για μεγάλο χρονικό διάστημα για να ολοκληρώσετε αυτό το είδος εργασίας. Η εξερεύνηση και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν είναι εύκολη, η εργασία είναι ογκώδης, απαιτεί μέγιστη προσοχή και ακρίβεια των υπολογισμών. Για να διευκολύνουμε την αντίληψη του υλικού, θα μελετήσουμε την ίδια λειτουργία βήμα προς βήμα, θα εξηγήσουμε όλες τις ενέργειες και τους υπολογισμούς μας. Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών! Πηγαίνω!

Τομέα

Για να εξερευνήσετε και να σχεδιάσετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε αρκετούς ορισμούς. Η συνάρτηση είναι μια από τις βασικές (βασικές) έννοιες στα μαθηματικά. Αντικατοπτρίζει τη σχέση μεταξύ πολλών μεταβλητών (δύο, τρεις ή περισσότερες) με αλλαγές. Η συνάρτηση δείχνει επίσης την εξάρτηση των συνόλων.

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο μεταβλητές που έχουν ένα συγκεκριμένο εύρος διακύμανσης. Άρα, το y είναι συνάρτηση του x, με την προϋπόθεση ότι κάθε τιμή της δεύτερης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία τιμή της δεύτερης. Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή y είναι εξαρτημένη και ονομάζεται συνάρτηση. Συνηθίζεται να λέμε ότι οι μεταβλητές x και y είναι in. Για μεγαλύτερη σαφήνεια αυτής της εξάρτησης, σχεδιάζεται ένα γράφημα συνάρτησης. Τι είναι ένα γράφημα συνάρτησης; Αυτό είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, όπου κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία τιμή του y. Τα γραφήματα μπορεί να είναι διαφορετικά - ευθεία γραμμή, υπερβολή, παραβολή, ημιτονοειδής και ούτω καθεξής.

Είναι αδύνατο να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης χωρίς έρευνα. Σήμερα θα μάθουμε πώς να διεξάγουμε έρευνα και να σχεδιάζουμε ένα γράφημα συνάρτησης. Είναι πολύ σημαντικό να κρατάτε σημειώσεις κατά τη διάρκεια της έρευνας. Αυτό θα κάνει το έργο πολύ πιο εύκολο. Το πιο βολικό σχέδιο έρευνας:

1. Τομέα.
2. Συνέχεια.
3. Ζυγή ή περιττή ισοτιμία.
4. Περιοδικότης.
5. Ασύμπτωτοι.
6. Μηδενικά.
7. Σταθερότητα σημείων.
8. Αυξάνεται και μειώνεται.
9. Ακρα.
10. Κυρτότητα και κοιλότητα.

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο σημείο. Ας βρούμε το πεδίο ορισμού, δηλαδή σε ποια διαστήματα υπάρχει η συνάρτησή μας: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές του x, δηλαδή ο τομέας είναι ίσος με R. Μπορεί να γραφτεί ως εξής xÎR.

Συνέχεια

Τώρα πρόκειται να διερευνήσουμε τη συνάρτηση διακοπής. Στα μαθηματικά, ο όρος «συνέχεια» εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα της μελέτης των νόμων της κίνησης. Τι είναι το άπειρο; Χώρος, χρόνος, ορισμένες εξαρτήσεις (ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση των μεταβλητών S και t σε προβλήματα κίνησης), η θερμοκρασία του θερμαινόμενου αντικειμένου (νερό, τηγάνι, θερμόμετρο κ.λπ.), μια συνεχής γραμμή (δηλαδή ένα που μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να το σκίσετε από το μολύβι του φύλλου).

Ένα γράφημα θεωρείται συνεχές αν δεν σπάσει κάποια στιγμή. Ένα από τα πιο ξεκάθαρα παραδείγματα τέτοιου γραφήματος είναι ένα ημιτονοειδές κύμα, το οποίο μπορείτε να δείτε στην εικόνα σε αυτήν την ενότητα. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x0 εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:

• μια συνάρτηση ορίζεται σε αυτό το σημείο.
• τα δεξιά και αριστερά όρια στο σημείο είναι ίσα.
• το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

Εάν δεν πληρούται τουλάχιστον μία προϋπόθεση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει διακοπεί. Και τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ασυνεχής συνήθως ονομάζονται σημεία ασυνέχειας. Ένα παράδειγμα συνάρτησης που θα "σπάσει" όταν εμφανίζεται γραφικά είναι: y = (x + 4) / (x-3). Επιπλέον, το y δεν υπάρχει στο σημείο x = 3 (αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν).

Στη συνάρτηση που εξετάζουμε (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), όλα αποδείχθηκαν απλά, αφού το γράφημα θα είναι συνεχές.

Ζυγά μονά

Τώρα εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Πρώτον, μια μικρή θεωρία. Μια άρτια συνάρτηση είναι αυτή που ικανοποιεί τη συνθήκη f (-x) = f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x (από το εύρος τιμών). Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• ενότητα x (το γράφημα μοιάζει με αυγή, η διχοτόμος του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου του γραφήματος).
• x τετράγωνο (παραβολή);
• συνημίτονο x (συνημίτονο).

Σημειώστε ότι όλα αυτά τα διαγράμματα είναι συμμετρικά όταν τα βλέπουμε σε σχέση με την τεταγμένη (δηλαδή y).

Τι ονομάζεται, λοιπόν, περιττή συνάρτηση; Αυτές είναι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την συνθήκη: f (-x) = - f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Παραδείγματα:

• υπερβολή;
• κυβική παραβολή?
• ημιτονοειδής?
• εφαπτοειδές και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς το σημείο (0: 0), δηλαδή την αρχή. Με βάση όσα έχουν ειπωθεί σε αυτή την ενότητα του άρθρου, μια άρτια και μια περιττή συνάρτηση πρέπει να έχουν την ιδιότητα: το x ανήκει στο σύνολο των ορισμών και το -x επίσης.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Μπορούμε να δούμε ότι δεν ταιριάζει με καμία από τις περιγραφές. Επομένως, η συνάρτησή μας δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Ασύμπτωτοι

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό. Ασύμπτωτη είναι μια καμπύλη που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα, δηλαδή η απόσταση από ένα σημείο τείνει στο μηδέν. Συνολικά, υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων:

• κατακόρυφη, δηλαδή παράλληλη προς τον άξονα y.
• οριζόντια, δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x.
• κεκλιμένος.

Όσον αφορά τον πρώτο τύπο, θα πρέπει να αναζητηθούν ευθείες γραμμές δεδομένων σε ορισμένα σημεία:

• Διακοπή;
• άκρα του τομέα ορισμού.

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού είναι ίσο με το R. Επομένως, δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, η οποία πληροί την ακόλουθη απαίτηση: αν το x τείνει στο άπειρο ή μείον το άπειρο, και το όριο είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό (για παράδειγμα, a). Σε αυτή την περίπτωση, y = a - αυτή είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. Στη συνάρτηση που διερευνούμε, δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες.

Η πλάγια ασύμπτωτη υπάρχει μόνο εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = β.

Τότε μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: y = kx + b. Και πάλι, στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Συναρτήσεις μηδενικά

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στα μηδενικά. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η εργασία που σχετίζεται με την εύρεση των μηδενικών μιας συνάρτησης εμφανίζεται όχι μόνο στη μελέτη και τη χάραξη ενός γραφήματος συνάρτησης, αλλά και ως ανεξάρτητη εργασία και ως τρόπος επίλυσης ανισώσεων. Μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα ή να χρησιμοποιήσετε μαθηματικούς συμβολισμούς.

Η εύρεση αυτών των τιμών θα σας βοηθήσει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση με μεγαλύτερη ακρίβεια. Με απλά λόγια, το μηδέν μιας συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής x, στην οποία y = 0. Αν ψάχνετε για τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στα σημεία στα οποία το γράφημα διασχίζει τον άξονα της τετμημένης.

Για να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Αφού κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, παίρνουμε την ακόλουθη απάντηση:

Σταθερότητα

Το επόμενο στάδιο έρευνας και κατασκευής μιας συνάρτησης (γραφήματος) είναι η εύρεση διαστημάτων σταθερότητας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσδιορίσουμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή και σε ποια - αρνητική. Οι συναρτήσεις μηδενικά που βρέθηκαν στην προηγούμενη ενότητα θα μας βοηθήσουν να το κάνουμε αυτό. Άρα, πρέπει να δημιουργήσουμε μια ευθεία γραμμή (ξεχωριστά από το γράφημα) και να κατανείμουμε τα μηδενικά της συνάρτησης από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο σε αυτήν με τη σωστή σειρά. Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποιο από τα διαστήματα που προκύπτουν έχει σύμβολο "+" και ποιο "-".

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή στα διαστήματα:

• από 1 έως 4?
• από το 9 στο άπειρο.

Αρνητική σημασία:

• από μείον άπειρο έως 1.
• 4 έως 9.

Αυτό είναι εύκολο να οριστεί. Συνδέστε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα στη συνάρτηση και δείτε ποιο πρόσημο είναι η απάντηση (μείον ή συν).

Αύξηση και μείωση συναρτήσεων

Για να διερευνήσουμε και να δημιουργήσουμε μια συνάρτηση, πρέπει να βρούμε πού θα αυξηθεί το γράφημα (ανεβαίνει κατά μήκος Oy) και πού θα πέσει (ανιχνεύσουμε προς τα κάτω κατά μήκος της τεταγμένης).

Η συνάρτηση αυξάνεται μόνο εάν η μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή του y. Δηλαδή, το x2 είναι μεγαλύτερο από το x1 και το f (x2) είναι μεγαλύτερο από το f (x1). Και παρατηρούμε ένα εντελώς αντίθετο φαινόμενο σε μια φθίνουσα συνάρτηση (όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y). Για να προσδιορίσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να βρείτε τα ακόλουθα:

• πεδίο εφαρμογής (το έχουμε ήδη)
• παράγωγο (στην περίπτωσή μας: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49).
• Λύστε την εξίσωση 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Μετά τους υπολογισμούς, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Παίρνουμε: η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα από το μείον άπειρο στο 7/3 και από το 7 στο άπειρο και μειώνεται στο διάστημα από το 7/3 στο 7.

Ακρα

Η συνάρτηση που διερευνήθηκε y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) είναι συνεχής και υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x. Το ακραίο σημείο δείχνει το μέγιστο και το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, δεν υπάρχουν, κάτι που απλοποιεί πολύ το έργο κατασκευής. Διαφορετικά, βρίσκονται και χρησιμοποιώντας την παράγωγο της συνάρτησης. Μετά την εύρεση, μην ξεχάσετε να τα σημειώσετε στο γράφημα.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Συνεχίζουμε να διερευνούμε περαιτέρω τη συνάρτηση y (x). Τώρα πρέπει να το ελέγξουμε για κυρτότητα και κοιλότητα. Οι ορισμοί αυτών των εννοιών είναι αρκετά δύσκολο να γίνουν αντιληπτοί, είναι καλύτερο να αναλύσουμε τα πάντα με παραδείγματα. Για τη δοκιμή: η συνάρτηση είναι κυρτή εάν είναι μη φθίνουσα συνάρτηση. Συμφωνώ, αυτό είναι ακατανόητο!

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης δεύτερης τάξης. Παίρνουμε: y = 1/3 (6x-28). Τώρα ας μηδενίσουμε τη δεξιά πλευρά και ας λύσουμε την εξίσωση. Απάντηση: x = 14/3. Βρήκαμε το σημείο καμπής, δηλαδή το σημείο όπου το γράφημα αλλάζει από κυρτότητα σε κοιλότητα ή το αντίστροφο. Στο διάστημα από μείον άπειρο έως 14/3, η συνάρτηση είναι κυρτή και από 14/3 έως συν άπειρο, είναι κοίλη. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι το σημείο καμπής στο γράφημα πρέπει να είναι ομαλό και απαλό, να μην υπάρχουν αιχμηρές γωνίες.

Ορισμός πρόσθετων σημείων

Το καθήκον μας είναι να διερευνήσουμε και να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση. Έχουμε τελειώσει την έρευνα, δεν θα είναι δύσκολο να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση τώρα. Για πιο ακριβή και λεπτομερή αναπαραγωγή μιας καμπύλης ή μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να βρείτε πολλά βοηθητικά σημεία. Είναι αρκετά εύκολο να τα υπολογίσεις. Για παράδειγμα, παίρνουμε x = 3, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε y = 4. Ή x = 5 και y = -5 και ούτω καθεξής. Μπορείτε να πάρετε όσους επιπλέον πόντους χρειάζεστε για να δημιουργήσετε. Βρίσκονται τουλάχιστον 3-5 από αυτά.

Σχεδιάζοντας ένα γράφημα

Χρειάστηκε να διερευνήσουμε τη συνάρτηση (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Όλες οι απαραίτητες σημειώσεις κατά τους υπολογισμούς έγιναν στο επίπεδο συντεταγμένων. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα, δηλαδή να συνδέσουμε όλα τα σημεία μεταξύ τους. Η σύνδεση των κουκκίδων πρέπει να είναι ομαλή και τακτοποιημένη, είναι θέμα δεξιότητας - λίγη εξάσκηση και το πρόγραμμά σας θα είναι τέλειο.

Οδηγίες

Βρείτε το εύρος της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση sin (x) ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα από -∞ έως + ∞ και η συνάρτηση 1 / x ορίζεται από -∞ έως + ∞, εκτός από το σημείο x = 0.

Ορίστε περιοχές συνέχειας και σημεία διακοπής. Συνήθως η συνάρτηση είναι συνεχής στην ίδια περιοχή όπου ορίζεται. Για να εντοπίσετε ασυνέχειες, υπολογίστε καθώς το όρισμα πλησιάζει σε απομονωμένα σημεία στον τομέα ορισμού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 1 / x τείνει στο άπειρο όταν x → 0 +, και στο μείον άπειρο όταν x → 0-. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x = 0 έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους.
Εάν τα όρια στο σημείο της ασυνέχειας είναι πεπερασμένα, αλλά όχι ίσα, τότε πρόκειται για ασυνέχεια πρώτου είδους. Αν είναι ίσες, τότε η συνάρτηση θεωρείται συνεχής, αν και σε απομονωμένο σημείο δεν ορίζεται.

Βρείτε τις κάθετες ασύμπτωτες, εάν υπάρχουν. Οι υπολογισμοί του προηγούμενου βήματος θα σας βοηθήσουν εδώ, αφού η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται σχεδόν πάντα στο σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους. Ωστόσο, μερικές φορές δεν εξαιρούνται μεμονωμένα σημεία από την περιοχή ορισμού, αλλά ολόκληρα διαστήματα σημείων και, στη συνέχεια, οι κάθετες ασύμπτωτες μπορούν να εντοπιστούν στα άκρα αυτών των διαστημάτων.

Ελέγξτε εάν η συνάρτηση έχει ειδικές ιδιότητες: ισοτιμία, περιττή ισοτιμία και περιοδικότητα.
Η συνάρτηση θα είναι άρτια αν για οποιοδήποτε x στον τομέα f (x) = f (-x). Για παράδειγμα, το cos (x) και το x ^ 2 είναι ζυγές συναρτήσεις.

Η περιοδικότητα είναι μια ιδιότητα που λέει ότι υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός Τ, που ονομάζεται περίοδος, που για κάθε x f (x) = f (x + T). Για παράδειγμα, όλες οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη) είναι περιοδικές.

Βρείτε τα σημεία. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης και βρείτε αυτές τις τιμές του x όπου εξαφανίζεται. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 έχει μια παράγωγο g (x) = 3x ^ 2 + 18x, η οποία εξαφανίζεται σε x = 0 και x = -6.

Για να προσδιορίσετε ποια ακραία σημεία είναι μέγιστα και ποια ελάχιστα, ανιχνεύστε την αλλαγή στο πρόσημο της παραγώγου στα μηδενικά που βρέθηκαν. Το g (x) αλλάζει πρόσημο από συν στο σημείο x = -6, και στο σημείο x = 0 πίσω από μείον σε συν. Συνεπώς, η συνάρτηση f (x) έχει ελάχιστο στο πρώτο σημείο και στο δεύτερο.

Έτσι, βρήκατε περιοχές μονοτονίας: η f (x) αυξάνεται μονότονα στο διάστημα -∞· -6, μονότονα μειώνεται κατά -6, 0, και πάλι αυξάνεται κατά 0, + ∞.

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο. Οι ρίζες της θα δείχνουν πού θα είναι κυρτή η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και πού θα είναι κοίλη. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f (x) θα είναι h (x) = 6x + 18. Εξαφανίζεται στο x = -3, αλλάζοντας το πρόσημο από μείον σε συν. Επομένως, το γράφημα f (x) πριν από αυτό το σημείο θα είναι κυρτό, μετά από αυτό - κοίλο, και αυτό το ίδιο το σημείο θα είναι το σημείο καμπής.

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει και άλλες ασύμπτωτες εκτός από κάθετες, αλλά μόνο εάν περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού της. Για να τα βρείτε, υπολογίστε το όριο της f (x) ως x → ∞ ή x → -∞. Αν είναι πεπερασμένο, τότε έχετε βρει την οριζόντια ασύμπτωτη.

Η πλάγια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία της μορφής kx + b. Για να βρείτε το k, υπολογίστε το όριο της f (x) / x ως x → ∞. Να βρείτε το b - όριο (f (x) - kx) για το ίδιο x → ∞.

Σχεδιάστε τη συνάρτηση πάνω από τα υπολογισμένα δεδομένα. Επισημάνετε τα ασύμπτωτα, εάν υπάρχουν. Σημειώστε τα ακραία σημεία και τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά. Για μεγαλύτερη ακρίβεια του γραφήματος, υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά ακόμη ενδιάμεσα σημεία. Η έρευνα ολοκληρώθηκε.

Τα σημεία αναφοράς στη μελέτη των συναρτήσεων και την κατασκευή των γραφημάτων τους είναι χαρακτηριστικά σημεία - σημεία ασυνέχειας, ακρότατου, καμπής, τομής με τους άξονες συντεταγμένων. Με τη βοήθεια του διαφορικού λογισμού, είναι δυνατό να καθοριστούν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των αλλαγών στις συναρτήσεις: αύξηση και μείωση, μέγιστα και ελάχιστα, κατεύθυνση κυρτότητας και κοιλότητας του γραφήματος, παρουσία ασυμπτωτών.

Το σκίτσο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μπορεί (και πρέπει) να σκιαγραφηθεί μετά την εύρεση των ασυμπτωτών και των ακραίων σημείων και είναι βολικό να συμπληρώσετε τον πίνακα περιστροφής για τη μελέτη της συνάρτησης κατά τη διάρκεια της μελέτης.

Συνήθως, χρησιμοποιείται το ακόλουθο σχήμα μελέτης συναρτήσεων.

1.Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα συνέχειας και τα σημεία διακοπής της συνάρτησης.

2.Διερευνήστε τη συνάρτηση για ομαλότητα ή περιττότητα (αξονική ή κεντρική συμμετρία του γραφήματος.

3.Βρείτε ασύμπτωτες (κάθετες, οριζόντιες ή πλάγιες).

4.Να βρείτε και να διερευνήσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, τα σημεία του άκρου της.

5.Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης, τα σημεία της καμπής της.

6.Να βρείτε τα σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων, αν υπάρχουν.

7.Ετοιμάστε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης.

8.Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη της συνάρτησης, που πραγματοποιήθηκε στα παραπάνω σημεία.

Παράδειγμα.Λειτουργία εξερεύνησης

και φτιάξτε ένα γράφημα του.

7. Ας συνθέσουμε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης, όπου θα καταχωρήσουμε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία και τα διαστήματα μεταξύ τους. Δεδομένης της ισοτιμίας της συνάρτησης, παίρνουμε τον ακόλουθο πίνακα:

Για μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και τη γραφική παράσταση της, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα:

1) βρείτε τον τομέα της συνάρτησης.

2) βρείτε τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και των κατακόρυφων ασυμπτωμάτων (αν υπάρχουν).

3) Διερευνήστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο, βρείτε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.

4) Διερεύνηση της συνάρτησης για την ομοιότητα (περονότητα) και την περιοδικότητα (για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις).

5) βρείτε τα άκρα και τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

6) προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής.

7) βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων, αν είναι δυνατόν, και μερικά πρόσθετα σημεία που βελτιώνουν το γράφημα.

Η μελέτη της συνάρτησης πραγματοποιείται ταυτόχρονα με την κατασκευή του γραφήματος της.

Παράδειγμα 9Εξερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε το γράφημα.

1. Πεδίο εφαρμογής του ορισμού:;

2. Η συνάρτηση είναι σπασμένη σε σημεία
,
;

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για την παρουσία κάθετων ασυμπτωμάτων.

;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

3. Ας διερευνήσουμε τη συνάρτηση για την παρουσία λοξών και οριζόντιων ασυμπτωμάτων.

Ευθεία
─ πλάγιο ασύμπτωτο αν
,
.

,
.

Ευθεία
─ οριζόντια ασύμπτωτη.

4. Η συνάρτηση είναι άρτια επειδή
... Η ισοτιμία της συνάρτησης δείχνει τη συμμετρία της γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα τεταγμένων.

5. Ας βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας και ακρότατου της συνάρτησης.

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία στα οποία η παράγωγος είναι 0 ή δεν υπάρχει:
;
... Έχουμε τρεις βαθμούς
;

... Αυτά τα σημεία χωρίζουν ολόκληρο τον έγκυρο άξονα σε τέσσερα κενά. Ας ορίσουμε τα σημάδια σε καθένα από αυτά.

Στα διαστήματα (-∞; -1) και (-1; 0) η συνάρτηση αυξάνεται, στα διαστήματα (0; 1) και (1; + ∞) ─ μειώνεται. Κατά τη διέλευση ενός σημείου
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, επομένως, σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο
.

6. Βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας, σημεία καμπής.

Βρείτε τα σημεία στα οποία είναι 0 ή δεν υπάρχει.

δεν έχει έγκυρες ρίζες.
,
,

Πόντοι
και
χωρίστε τον πραγματικό άξονα σε τρία διαστήματα. Ας ορίσουμε το σημάδι σε κάθε διάστημα.

Έτσι, η καμπύλη κατά διαστήματα
και
κυρτό προς τα κάτω, στο διάστημα (-1; 1) κυρτό προς τα πάνω. δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η συνάρτηση στα σημεία
και
απροσδιόριστος.

7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.

Με άξονα
η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνεται στο σημείο (0; -1), και με τον άξονα
το γράφημα δεν επικαλύπτεται, γιατί ο αριθμητής αυτής της συνάρτησης δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 1.

Εικόνα 1 ─ Γράφημα συνάρτησης

Εφαρμογή της έννοιας του παραγώγου στα οικονομικά. Ελαστικότητα λειτουργίας

Για τη μελέτη των οικονομικών διαδικασιών και την επίλυση άλλων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της ελαστικότητας μιας συνάρτησης.

Ορισμός.Ελαστικότητα λειτουργίας
ονομάζεται όριο του λόγου της σχετικής αύξησης της συνάρτησης στη σχετική αύξηση της μεταβλητής στο
, (Vii)

Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης δείχνει κατά προσέγγιση ποσοστό της μεταβολής της συνάρτησης
κατά την αλλαγή της ανεξάρτητης μεταβλητής κατά 1%.

Η ελαστικότητα της συνάρτησης εφαρμόζεται στην ανάλυση ζήτησης και κατανάλωσης. Εάν η ελαστικότητα της ζήτησης (σε απόλυτη τιμή)
, τότε η ζήτηση θεωρείται ελαστική αν
─ ουδέτερο αν
─ ανελαστικό ως προς την τιμή (ή το εισόδημα).

Παράδειγμα 10Να υπολογίσετε την ελαστικότητα μιας συνάρτησης
και βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας για = 3.

Λύση: σύμφωνα με τον τύπο (VII) ελαστικότητα συνάρτησης:

Έστω x = 3, τότε
Αυτό σημαίνει ότι εάν η επεξηγηματική μεταβλητή αυξηθεί κατά 1%, τότε η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής αυξάνεται κατά 1,42%.

Παράδειγμα 11Αφήστε τη ζήτηση να λειτουργήσει σχετικά με την τιμή έχει τη μορφή
, που ─ σταθερός συντελεστής. Βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας της συνάρτησης ζήτησης σε τιμή x = 3 den. μονάδες

Λύση: υπολογίστε την ελαστικότητα της συνάρτησης ζήτησης με τον τύπο (VII)

Υποθέτοντας
νομισματικές μονάδες, παίρνουμε
... Αυτό σημαίνει ότι σε μια τιμή
νομισματικές μονάδες μια αύξηση τιμής 1% θα προκαλέσει μείωση της ζήτησης κατά 6%, δηλ. η ζήτηση είναι ελαστική.

Για μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και τη γραφική παράσταση της, συνιστάται το ακόλουθο σχήμα:
Α) βρείτε την περιοχή ορισμού, τα σημεία διακοπής. να διερευνήσει τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στα σημεία ασυνέχειας (να βρείτε τα όρια της συνάρτησης αριστερά και δεξιά σε αυτά τα σημεία). Προσδιορίστε κάθετες ασύμπτωτες.
Β) Να προσδιορίσετε την ομοιότητα ή την περιττότητα της συνάρτησης και να βγάλετε συμπέρασμα για την ύπαρξη συμμετρίας. Εάν, τότε η συνάρτηση είναι άρτια, συμμετρική ως προς τον άξονα OY. όταν η συνάρτηση είναι περιττή, συμμετρική ως προς την προέλευση. και αν - συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων OY και OX (αν είναι δυνατόν), να προσδιορίσετε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης. Τα όρια των διαστημάτων σταθερού πρόσημου της συνάρτησης καθορίζονται από τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ίση με το μηδέν (μηδενικά της συνάρτησης) ή δεν υπάρχει και από τα όρια του πεδίου ορισμού αυτής της συνάρτησης. Στα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, και όπου - κάτω από αυτόν τον άξονα.
Δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, να προσδιορίσετε τα μηδενικά και τα διαστήματα σταθερότητάς της. Στα διαστήματα που αυξάνεται η συνάρτηση και που μειώνεται. Βγάλτε ένα συμπέρασμα για την παρουσία των ακρών (σημεία όπου υπάρχει η συνάρτηση και η παράγωγος και περνώντας μέσα από τα οποία αλλάζει πρόσημο. Αν αλλάξει πρόσημο από συν σε πλην, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο, και αν από μείον σε συν, μετά ελάχιστο). Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα ακραία σημεία.
Ε) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, τα μηδενικά και τα διαστήματα σταθερότητάς της. Κατά διαστήματα όπου< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ε) να βρείτε πλάγιες (οριζόντιες) ασύμπτωτες, οι εξισώσεις των οποίων έχουν τη μορφή ; που
.
Στο η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα έχει δύο πλάγιες ασύμπτωτες και κάθε τιμή του x στο και μπορεί να αντιστοιχεί σε δύο τιμές του b.
Ζ) Βρείτε πρόσθετα σημεία για να διευκρινίσετε το χρονοδιάγραμμα (αν χρειάζεται) και φτιάξτε ένα γράφημα.

Παράδειγμα 1 Εξετάστε τη συνάρτηση και σχηματίστε τη γραφική παράσταση. Λύση: Α) πεδίο ορισμού. η συνάρτηση είναι συνεχής στον τομέα του ορισμού. - σημείο διακοπής, γιατί ; ... Μετά είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη.
ΣΙ)
εκείνοι. Το y (x) είναι μια γενική συνάρτηση.
Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OY: θέτουμε x = 0; τότε y (0) = - 1, δηλ. η γραφική παράσταση της συνάρτησης διασχίζει τον άξονα στο σημείο (0; -1). Μηδενικά της συνάρτησης (σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OX): θέτουμε y = 0; τότε
.
Η διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι μικρότερη από το μηδέν, άρα δεν υπάρχουν μηδενικά. Τότε το όριο των διαστημάτων σταθερού πρόσημου είναι το σημείο x = 1, όπου η συνάρτηση δεν υπάρχει.
Το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε ένα από τα διαστήματα καθορίζεται με τη μέθοδο συγκεκριμένων τιμών:

Από το διάγραμμα φαίνεται ότι στο διάστημα το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX και στο διάστημα - πάνω από τον άξονα OX.
Δ) Βρείτε την παρουσία κρίσιμων σημείων.
.
Τα κρίσιμα σημεία (όπου υπάρχουν ή δεν υπάρχουν) βρίσκονται από τις ισότητες και.

Παίρνουμε: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2. Ας δημιουργήσουμε έναν βοηθητικό πίνακα

Τραπέζι 1

(Η πρώτη γραμμή περιέχει κρίσιμα σημεία και διαστήματα στα οποία χωρίζονται αυτά τα σημεία με τον άξονα OX· η δεύτερη γραμμή υποδεικνύει τις τιμές της παραγώγου σε κρίσιμα σημεία και τα σημάδια σε διαστήματα. Τα πρόσημα καθορίζονται με τη μέθοδο των μερικών τιμών. Η τρίτη γραμμή υποδεικνύει τις τιμές της συνάρτησης y (x) σε κρίσιμα σημεία και εμφανίζεται η συμπεριφορά της συνάρτησης - αυξανόμενη ή μειούμενη στα αντίστοιχα διαστήματα του αριθμητικού άξονα.
Ε) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της συνάρτησης.
; δημιουργήστε έναν πίνακα όπως στην παράγραφο Δ). μόνο στη δεύτερη γραμμή σημειώνουμε τα σημάδια και στην τρίτη υποδεικνύουμε τον τύπο της κυρτότητας. Επειδή ; τότε υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο x = 1.
πίνακας 2

Το σημείο x = 1 είναι το σημείο καμπής.
Ε) Να βρείτε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες

Τότε το y = x είναι λοξή ασύμπτωτη.
Ζ) Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης

1). Περιοχή ορισμού συνάρτησης.
Προφανώς, αυτή η συνάρτηση ορίζεται στην ακέραια αριθμητική γραμμή, εκτός από τα σημεία «» και «», αφού σε αυτά τα σημεία ο παρονομαστής είναι μηδέν και, επομένως, η συνάρτηση δεν υπάρχει, και οι ευθείες και είναι οι κατακόρυφες ασύμπτωτες.

2). Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης όταν το όρισμα τείνει στο άπειρο, η ύπαρξη σημείων ασυνέχειας και ο έλεγχος για την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων.
Ας ελέγξουμε πρώτα πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν πλησιάζει το άπειρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά.

Έτσι, για, η συνάρτηση τείνει στο 1, δηλ. - οριζόντια ασύμπτωτη.
Στην περιοχή των σημείων ασυνέχειας, η συμπεριφορά της συνάρτησης ορίζεται ως εξής:


Εκείνοι. όταν πλησιάζετε τα σημεία ασυνέχειας στα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται άπειρα και στα δεξιά αυξάνεται άπειρα.
Η παρουσία μιας λοξής ασύμπτωτης προσδιορίζεται λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα:

Δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

3). Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων.
Εδώ είναι απαραίτητο να εξετάσουμε δύο καταστάσεις: να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Ox και με τον άξονα Oy. Το πρόσημο τομής με τον άξονα Ox είναι η μηδενική τιμή της συνάρτησης, δηλ. είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox.
Το πρόσημο τομής με τον άξονα Oy είναι η τιμή x = 0. Στην περίπτωση αυτή,
,
εκείνοι. - το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα Oy.

4).Προσδιορισμός ακραίων σημείων και διαστημάτων αύξησης και μείωσης.
Για να διερευνήσουμε αυτό το ζήτημα, ορίζουμε την πρώτη παράγωγο:
.
Ας εξισώσουμε την τιμή της πρώτης παραγώγου με μηδέν.
.
Ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν όταν ο αριθμητής του είναι ίσος με μηδέν, δηλ. ...
Ας ορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.

Έτσι, η συνάρτηση έχει ένα ακραίο σημείο και δεν υπάρχει σε δύο σημεία.
Έτσι, η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα και και μειώνεται στα διαστήματα και.

5). Σημεία καμπής και περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.
Αυτό το χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς της συνάρτησης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο. Ας προσδιορίσουμε πρώτα την παρουσία σημείων καμπής. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι

Στο και η συνάρτηση είναι κοίλη.

για και η συνάρτηση είναι κυρτή.

6). Σχεδίαση μιας συνάρτησης.
Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρέθηκαν σε σημεία, κατασκευάζουμε ένα σχηματικό γράφημα της συνάρτησης:

Λύση
Η δεδομένη συνάρτηση είναι μια γενική μη περιοδική συνάρτηση. Το γράφημα του περνά από την αρχή, αφού.
Ο τομέας της δεδομένης συνάρτησης είναι όλες οι τιμές της μεταβλητής, εκτός από το και, στο οποίο ο παρονομαστής του κλάσματος εξαφανίζεται.
Κατά συνέπεια, τα σημεία και είναι τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.
Επειδή ,

Επειδή ,
, τότε το σημείο είναι ένα σημείο διακοπής του δεύτερου είδους.
Ευθείες γραμμές και είναι οι κάθετες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Εξισώσεις λοξών ασυμπτωμάτων, όπου, .
Στο ,
.
Έτσι, για και η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μία ασύμπτωτη.
Ας βρούμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και των ακραίων σημείων.
.
Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης στο και, επομένως, στο και, η συνάρτηση αυξάνεται.
Πότε, επομένως, πότε, η συνάρτηση μειώνεται.
δεν υπάρχει για,.
, επομένως, για η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κοίλη.
Στο , επομένως, για η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή.

Όταν διέρχεται από τα σημεία,, αλλάζει πρόσημο. Όταν, η συνάρτηση δεν έχει οριστεί, επομένως, το γράφημα συνάρτησης έχει ένα σημείο καμπής.
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση.