Altın oran - nedir bu? Fibonacci sayıları mı? DNA sarmalı, kabuk, galaksi ve Mısır piramitlerinin ortak noktası nedir? Fibonacci sarmalı, şifreli bir doğa yasasıdır.

11.10.2019

Ayrıca okuyun

"Kaptan'ın Kızı" ndan Masha Mironova'nın Özellikleri

Yaratıcılığa kısa bir genel bakış A

Oblomov (Goncharov I) romanına dayanan Olga Ilyinskaya'nın imajı ve özellikleri

"Kaptan'ın Kızı" Puşkin A'dan Maria Mironova'nın Özellikleri

Kompozisyon "Katerina için farklı bir yol var mıydı": farklı davranabilir miydi?

Fibonacci sayıları ... doğada ve yaşamda

Leonardo Fibonacci, Orta Çağ'ın en büyük matematikçilerinden biridir. "Hesaplamalar Kitabı" adlı yapıtlarından birinde Fibonacci, Hint-Arap hesap sistemini ve onu kullanmanın Romalıya göre avantajlarını anlattı.

Tanım
Fibonacci sayıları veya Fibonacci Dizisi, bir dizi özelliği olan sayısal bir dizidir. Örneğin, dizideki iki bitişik sayının toplamı, bir sonrakinin değerini verir (örneğin, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5, vb.), bu da sözde Fibonacci oranlarının varlığını doğrular. , yani sabit oranlar.

Fibonacci dizisi şöyle başlar: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

Fibonacci sayılarının tam tanımı

3.

Fibonacci dizisi özellikleri

1. Her sayının bir sonrakine oranı, sıra sayısı arttıkça 0,618 olma eğilimindedir. Her sayının bir öncekine oranı 1.618'e (ters 0.618'e) eğilimlidir. 0.618 sayısı (PI) olarak adlandırılır.

2. Her sayıyı bir sonrakine bölerken, birden sonra 0,382 sayısı elde edilir; aksine - sırasıyla 2.618.

3. Oranları bu şekilde seçerek, ana Fibonacci katsayıları kümesini elde ederiz:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Fibonacci dizisi ile "altın oran" arasındaki bağlantı

Fibonacci dizisi asimptotik olarak (gittikçe daha yavaş yaklaşarak) sabit bir orana eğilimlidir. Bununla birlikte, bu oran irrasyoneldir, yani, kesirli kısımda sonsuz, öngörülemeyen bir ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Bunu kesin olarak ifade etmek mümkün değildir.

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi kendisinden öncekine bölünürse (örneğin, 13:8), sonuç 1.61803398875 irrasyonel değeri etrafında dalgalanan bir değer olacaktır... ve arada bir, o zaman öyle olur. ulaşamamak. Ancak Eternity'ye dokunmuş olsanız bile, oranı son ondalık basamağa kadar tam olarak bilmek imkansızdır. Sertlik adına 1.618 şeklinde çevireceğiz. Bu orana özel isimler, Luca Pacioli'nin (bir yüzyıl ortası matematikçisi) İlahi Oran olarak adlandırmasından önce bile verilmeye başlandı. Modern isimleri arasında Altın Oran, Altın Ortalama ve dönen karelerin oranı gibi vardır. Keplep bu ilişkiyi "geometrinin hazinelerinden" biri olarak adlandırdı. Cebirde, tanımı genellikle Yunan harfi phi tarafından kabul edilir.

Örnek olarak bir doğru parçası kullanarak altın oranı hayal edelim.

Uçları A ve B olan bir doğru parçası düşünelim. C noktasının AB doğru parçasına bölünmesine izin verin, öyle ki,

AC / CB = CB / AB veya

AB / CB = CB / AC.

Bunu şöyle düşünebilirsiniz: A -- C --– B

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara böyle orantılı bir bölümüdür, burada tüm parça daha büyük parçayı, aynı şekilde daha büyük parçanın kendisinin daha küçük parçayı ifade etmesi; ya da başka bir deyişle, daha küçük parça daha büyük olanla olduğu kadar, daha büyük olan her şeyle ilgilidir.

Altın oranın segmentleri sonsuz irrasyonel kesir 0.618 ile ifade edilir... AB bir olarak alınırsa AC = 0.382 .. Zaten bildiğimiz gibi 0.618 ve 0.382 sayıları Fibonacci dizisinin katsayılarıdır.

Doğada ve tarihte Fibonacci ve Altın Oranlar

10.

Fibonacci'nin adeta dizilişini insanlığa hatırlattığını belirtmekte fayda var. Eski Yunanlılar ve Mısırlılar tarafından bile biliniyordu. Nitekim o zamandan beri doğada, mimaride, güzel sanatlarda, matematikte, fizikte, astronomide, biyolojide ve daha birçok alanda Fibonacci katsayılarıyla tanımlanan örüntüler bulunmuştur. Fibonacci dizisi kullanılarak kaç sabitin hesaplanabileceği ve üyelerinin çok sayıda kombinasyonda nasıl göründüğü şaşırtıcı. Ancak bunun sadece sayılarla oynanan bir oyun değil, doğa olaylarının şimdiye kadar keşfedilmiş en önemli matematiksel ifadesi olduğunu söylemek abartı olmaz.

11.

Aşağıdaki örnekler, bu matematiksel dizinin bazı ilginç uygulamalarını göstermektedir.

12.

1. Kabuk spiral olarak sarılmıştır. Açarsanız, yılanın uzunluğundan biraz daha düşük bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır, spiral sargılı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Mesele şu ki, kabuk kıvrımlarının ölçümlerinin oranı sabit ve 1,618'e eşit. Arşimet, kabukların spiralini inceledi ve spiral için denklemi türetti. Bu denklemden çizilen spirale onun adı verilmiştir. Adımındaki artış her zaman tekdüzedir. Şu anda, Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

2. Bitkiler ve hayvanlar. Goethe bile doğanın sarmal eğilimini vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve sarmal dizilişi uzun zaman önce fark edildi. Ayçiçeği tohumlarının dizilişinde, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması, bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Ayçiçeği tohumu, çam kozalakları üzerindeki yaprakların düzenlenmesinde Fibonacci serisinin kendini gösterdiği ve bu nedenle altın bölüm yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağı spiral bir şekilde örer. Bir kasırga spiral şeklinde dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü spiral şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülür. Goethe spirali "yaşam eğrisi" olarak adlandırdı.

Yol kenarındaki otlar arasında dikkat çekmeyen bir bitki yetişir - hindiba. Ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir süreç oluşmuştur. İlk sayfa tam orada bulunur. Sürgün, uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır, ancak ilkinden daha kısadır, yine uzaya bir fırlatma yapar, ancak daha az kuvvetle, daha da küçük boyutlu bir yaprak bırakır ve tekrar çıkarır. İlk emisyon 100 birim alınırsa ikincisi 62 birim, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Büyümede, uzayın fethinde, bitki belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri, altın bölümle orantılı olarak yavaş yavaş azaldı.

Kertenkele canlıdır. Bir kertenkelede, ilk bakışta, gözümüze hoş gelen oranlar yakalanır - kuyruğunun uzunluğu, vücudun geri kalanının uzunluğu ile 62 ila 38 arasında ilişkilidir.

Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne göre simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın oran, büyüme yönüne dik olan kısımların oranlarında ortaya çıkar. Doğa, simetrik parçalara ve altın oranlara bölünmeyi gerçekleştirmiştir. Parçalarda bütünün yapısının tekrarı kendini gösterir.

Bu yüzyılın başında Pierre Curie, bir dizi derin simetri fikrini formüle etti. Çevrenin simetrisi dikkate alınmadan herhangi bir cismin simetrisinin düşünülemeyeceğini savundu. Altın simetri kalıpları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegen ve uzay sistemlerinde, canlı organizmaların genetik yapılarında kendini gösterir. Yukarıda belirtildiği gibi bu kalıplar, bir kişinin ve bir bütün olarak vücudun bireysel organlarının yapısındadır ve ayrıca biyoritmlerde ve beynin işleyişinde ve görsel algıda kendini gösterir.

3. Uzay. 18. yüzyılın Alman astronomu I. Titius'un bu serinin (Fibonacci) yardımıyla güneş sisteminin gezegenleri arasındaki mesafelerdeki düzenliliği ve düzeni bulduğu astronomi tarihinden bilinmektedir.

Ancak, görünüşe göre yasayla çelişen bir vaka: Mars ve Jüpiter arasında gezegen yoktu. Gökyüzünün bu bölgesinin yoğun gözlemi, asteroit kuşağının keşfine yol açtı. Bu, 19. yüzyılın başlarında Titius'un ölümünden sonra oldu.

Fibonacci serisi yaygın olarak kullanılmaktadır: canlıların arkitektoniklerini, insan yapımı yapıları ve Galaksilerin yapısını temsil etmek için kullanılır. Bu gerçekler, sayı serisinin evrenselliğinin göstergelerinden biri olan tezahür koşullarından bağımsızlığının kanıtıdır.

4. Piramitler. Birçoğu Giza'daki piramidin sırlarını çözmeye çalıştı. Diğer Mısır piramitlerinden farklı olarak, bu bir mezar değil, daha ziyade çözülmez bir sayı kombinasyonları bilmecesidir. Ebedi sembolün yapımında kullandıkları piramidin mimarlarının dikkat çekici marifet, beceri, zaman ve emekleri, gelecek nesillere iletmek istedikleri mesajın son derece önemli olduğunu göstermektedir. Onların dönemi yazı öncesi, hiyeroglif öncesiydi ve semboller keşifleri kaydetmenin tek yoluydu. Uzun zamandır insanlık için bir gizem olan Giza'daki piramidin geometrik-matematiksel sırrının anahtarı, aslında Herodot'a, piramidin çevresinin öyle bir şekilde inşa edildiğini bildiren tapınak rahipleri tarafından verildi. yüzlerinin her biri yüksekliğinin karesine eşitti.

üçgen alan

356 x 440/2 = 78320

Kare alan

280 x 280 = 78400

Giza'daki piramidin tabanının kenarının uzunluğu 783,3 fit (238,7 m), piramidin yüksekliği 484.4 fit (147.6 m). Taban nervürünün uzunluğunun yüksekliğe bölümü Ф = 1.618 oranını verir. 484.4 fitlik bir yükseklik 5813 inç (5-8-13)'e karşılık gelir - bunlar Fibonacci dizisinden sayılardır. Bu ilginç gözlemler, piramidin tasarımının Φ = 1.618 oranına dayandığını gösteriyor. Bazı modern bilim adamları, eski Mısırlıların onu yalnızca gelecek nesiller için korumak istedikleri bilgiyi iletmek amacıyla inşa ettiklerini yorumlamaya meyillidirler. Giza'daki piramidin yoğun çalışmaları, o zamanlar matematik ve astrolojide ne kadar kapsamlı bilginin olduğunu göstermiştir. Piramidin tüm iç ve dış oranlarında 1.618 sayısı merkezi bir rol oynamaktadır.

Meksika'daki piramitler. Mısır piramitleri sadece altın oranın mükemmel oranlarına göre inşa edilmekle kalmaz, aynı fenomen Meksika piramitlerinde de bulunur. Hem Mısır hem de Meksika piramitlerinin ortak kökenli insanlar tarafından yaklaşık olarak aynı zamanda dikildiği fikri ortaya çıkıyor.

Evrende hala çözülmemiş birçok gizem var, bunlardan bazıları bilim adamlarının zaten tanımlayıp tanımlayabildiler. Fibonacci sayıları ve altın oran, etrafındaki dünyayı çözmenin, şeklini ve bir kişinin optimal görsel algısını oluşturmanın, yardımıyla güzelliği ve uyumu hissedebileceği temeli oluşturur.

altın Oran

Altın bölümün boyutunu belirleme ilkesi, yapı ve işlevlerinde tüm dünyanın ve parçalarının mükemmelliğinin temelini oluşturur, tezahürü doğada, sanatta ve teknolojide görülebilir. Altın oran doktrini, eski bilim adamları tarafından sayıların doğası üzerine yapılan çalışmaların bir sonucu olarak ortaya konmuştur.

Eski filozof ve matematikçi Pisagor tarafından yapılan bölümlerin bölümlerinin oranları ve oranları teorisine dayanmaktadır. Bir segmenti iki parçaya bölerken: X (daha küçük) ve Y (daha büyük), büyük olanın küçüğe oranının, toplamlarının oranına (tüm segment) eşit olacağını kanıtladı:

Sonuç denklemdir: x 2 - x - 1 = 0, hangi olarak çözüldü x = (1 ± √5) / 2.

1 / x oranını düşünürsek, o zaman eşittir 1,618…

Altın oranın antik düşünürler tarafından kullanıldığına dair kanıtlar, Öklid'in 3. yüzyılda yazdığı "Başlangıçlar" kitabında verilmiştir. Düzenli 5 gon oluşturmak için bu kuralı uygulayan BC. Pisagorcular arasında bu figür hem simetrik hem de asimetrik olduğu için kutsal kabul edilir. Pentagram yaşamı ve sağlığı simgeliyordu.

Fibonacci sayıları

İtalyan bir matematikçi olan ve daha sonra Fibonacci olarak tanınan Pisa Leonardo'nun ünlü kitabı Liber abaci 1202'de yayınlandı. İçinde, bilim adamı ilk kez sayıların düzenliliğinden bahseder; önceki 2 rakamın toplamı Fibonacci sayılarının sırası aşağıdaki gibidir:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, vb.

Bilim adamı ayrıca bir dizi kalıptan bahsetti:

Seriden bir sonrakine bölünen herhangi bir sayı, 0,618'e eğilimli bir değere eşit olacaktır. Üstelik ilk Fibonacci sayıları böyle bir sayı vermemektedir ancak dizinin başından itibaren hareket ettikçe bu oran giderek daha doğru hale gelecektir.
Serideki sayıyı bir öncekine bölersek sonuç 1.618'e koşar.
Birinden sonrakine bölünen bir sayı, 0,382'ye eğilimli bir değer gösterecektir.

Bağlantının ve altın oranın yasalarının uygulanması, Fibonacci sayısı (0,618) sadece matematikte değil, aynı zamanda doğada, tarihte, mimaride ve inşaatta ve diğer birçok bilimde bulunabilir.

Arşimet sarmal ve altın dikdörtgen

Doğada çok yaygın olan spiraller, denklemini bile türetmiş olan Arşimet tarafından araştırılmıştır. Spiral şekli, altın oran yasalarına dayanmaktadır. Bükümsüz olduğunda, oranların ve Fibonacci sayılarının uygulanabileceği uzunluk elde edilir, adım eşit olarak artar.

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki paralellik, kenarları 1,618:1 ile orantılı olan bir "altın dikdörtgen" oluşturularak görülebilir. Kenar uzunlukları satırdaki sayılara eşit olacak şekilde büyük bir dikdörtgenden küçük olanlara geçilerek yapılmıştır. Yapısı "1" kutusundan başlayarak ters sırada yapılabilir. Bu dikdörtgenin köşeleri kesişme noktalarının ortasındaki çizgilerle birleştirildiğinde, bir Fibonacci spirali veya logaritmik spiral elde edilir.

Altın oranların kullanım tarihi

Mısır'ın birçok antik mimari anıtı altın oranlar kullanılarak inşa edildi: ünlü Cheops piramitleri ve diğerleri.Antik Yunan mimarları bunları tapınaklar, amfitiyatrolar, stadyumlar gibi mimari nesnelerin yapımında yaygın olarak kullandılar. Örneğin, Parthenon antik tapınağının (Atina) ve antik mimarinin başyapıtları haline gelen diğer nesnelerin yapımında bu oranlar uygulandı ve matematiksel yasalara dayalı uyumu gösterdi.

Daha sonraki yüzyıllarda, Altın Oran'a olan ilgi azaldı ve kalıplar unutuldu, ancak Rönesans'ta Fransisken keşiş L. Pacioli di Borgo "İlahi Oran" (1509) kitabıyla birlikte yeniden başladı. Yeni adı "altın oran"ı birleştiren Leonardo da Vinci'nin çizimlerini içeriyordu. Ayrıca altın oranın 12 özelliği bilimsel olarak ispatlanmış ve yazar bunun doğada, sanatta kendini nasıl gösterdiğinden bahsetmiş ve buna "dünyayı ve doğayı inşa etme ilkesi" adını vermiştir.

Vitruvius Adamı Leonardo

Leonardo da Vinci'nin 1492'de Vitruvius'un kitabını resmetmek için kullandığı çizim, kolları birbirinden ayrılmış 2 pozisyonda bir insan figürünü tasvir ediyor. Şekil bir daire ve bir kare içine yazılmıştır. Bu çizim, Leonardo tarafından Roma mimarı Vitruvius'un incelemelerindeki çalışmalarına dayanarak açıklanan insan vücudunun (erkek) kanonik oranları olarak kabul edilir.

Göbek, kolların ve bacakların uçlarından eşit uzaklıkta bir nokta olarak vücudun merkezi olarak kabul edilir, kolların uzunluğu bir kişinin boyuna eşittir, maksimum omuz genişliği = yüksekliğin 1/8'i, mesafe göğsün tepesinden saça = 1/7, göğsün tepesinden başın üstüne = 1/6 vs.

O zamandan beri, çizim insan vücudunun iç simetrisini göstermek için bir sembol olarak kullanılmıştır.

Leonardo, bir insan figüründeki orantılı ilişkilere atıfta bulunmak için "Altın Oran" terimini kullandı. Örneğin, belden ayaklara kadar olan mesafe, göbekten başın tepesine kadar olan mesafenin yanı sıra birinci uzunluğa (belden aşağısı) kadar olan yükseklikle de ilgilidir. Bu hesaplama altın oran hesaplanırken bölümlerin oranına benzer şekilde yapılır ve 1.618'e yönelir.

Tüm bu uyumlu oranlar, sanatçılar tarafından güzel ve etkileyici parçalar yaratmak için sıklıkla kullanılır.

16-19. Yüzyıllarda Altın Oran Çalışmaları

Altın oran ve Fibonacci sayıları kullanılarak oranlar üzerine araştırmalar yüzyıllardır devam etmektedir. Alman sanatçı Albrecht Durer, Leonardo da Vinci'ye paralel olarak, insan vücudunun doğru oranları teorisinin geliştirilmesi üzerinde de çalıştı. Bunun için özel bir pusula bile yarattı.

16. yüzyılda. Fibonacci sayısı ile altın oran arasındaki ilişki sorusu, bu kuralları botaniğe ilk uygulayan astronom I. Kepler'in çalışmalarının konusuydu.

19. yüzyılda altın oranı yeni bir "keşif" bekliyordu. Alman bilim adamı Profesör Zeisig'in "Estetik Araştırmalar" adlı kitabının yayınlanmasıyla. Bu oranları mutlak seviyeye yükseltmiş ve tüm doğa olayları için evrensel olduklarını ilan etmiştir. Vücudun çeşitli bölümlerinin oranlarında istatistiksel olarak doğrulanmış kalıplar hakkında sonuçlara varılan sonuçlara dayanarak çok sayıda insan veya daha doğrusu vücut oranları (yaklaşık 2 bin) üzerinde çalışmalar yaptı: omuzların uzunluğu, önkollar, eller , parmaklar vb.

Sanat nesneleri (vazolar, mimari yapılar), müzik tonları, şiir yazarken boyutlar da incelendi - Zeisig tüm bunları bölümlerin ve sayıların uzunlukları aracılığıyla yansıttı, ayrıca "matematiksel estetik" terimini de tanıttı. Sonuçları aldıktan sonra bir Fibonacci dizisinin elde edildiği ortaya çıktı.

Fibonacci sayısı ve doğadaki altın oran

Bitki ve hayvan dünyasında, büyüme ve hareket yönünde gözlenen simetri şeklinde oluşum oluşturma eğilimi vardır. Altın oranların gözlendiği simetrik parçalara bölünme, birçok bitki ve hayvanda bulunan bir kalıptır.

Çevremizdeki doğa, örneğin Fibonacci sayıları kullanılarak tanımlanabilir:

herhangi bir bitkinin yapraklarının veya dallarının konumu ve ayrıca mesafeler, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ve daha fazla sayıda verilen sayılarla ilgilidir;
farklı yönlerde bükülmüş spiraller boyunca iki sıra halinde düzenlenmiş ayçiçeği tohumları (koniler üzerindeki pullar, ananas hücreleri);
kuyruk uzunluğunun ve kertenkelenin tüm gövdesinin oranı;
geniş kısmından koşullu olarak bir çizgi çizerseniz yumurtanın şekli;
bir kişinin elindeki parmakların büyüklüğünün oranı.

Ve elbette en ilginç şekiller, sarmal salyangoz kabukları, örümcek ağlarındaki desenler, rüzgarın kasırganın içindeki hareketi, DNA'daki çift sarmal ve galaksilerin yapısıdır - hepsi bir dizi Fibonacci sayılarını içerir. .

Sanatta altın oranın kullanımı

Sanatta altın oranın kullanımına dair örnekler arayan araştırmacılar, çeşitli mimari objeleri ve resimleri detaylı bir şekilde araştırıyorlar. Yaratıcıları altın oranlara bağlı olan ünlü heykel eserleri bilinmektedir - Olympian Zeus, Apollo Belvedere ve

Leonardo da Vinci'nin kreasyonlarından biri - "Mona Lisa'nın Portresi" - uzun yıllardır bilim adamları tarafından araştırma konusu olmuştur. Eserin kompozisyonunun tamamen düzenli bir beşgen yıldızda birleşmiş "altın üçgenlerden" oluştuğunu buldular. Da Vinci'nin tüm eserleri, La Gioconda'nın inanılmaz gizemli gülümsemesini yakalayabildiği için insan vücudunun yapısı ve oranları konusundaki bilgisinin ne kadar derin olduğunun kanıtıdır.

mimaride altın oran

Örnek olarak, bilim adamları "altın bölüm" kurallarına göre oluşturulan mimari şaheserleri incelediler: Mısır piramitleri, Pantheon, Parthenon, Notre Dame de Paris Katedrali, Aziz Basil Katedrali, vb.

Parthenon - Antik Yunanistan'ın en güzel yapılarından biri (MÖ 5. yy) - 8 sütunu ve farklı kenarlarda 17'si vardır, yüksekliğinin kenarların uzunluğuna oranı 0.618'dir. Cephelerindeki çıkıntılar "altın oran"a göre yapılmıştır (fotoğraf aşağıda).

Mimari nesneler ("modülatör" olarak adlandırılan) için modüler orantı sisteminin iyileştirilmesini icat eden ve başarıyla uygulayan bilim adamlarından biri Fransız mimar Le Corbusier'di. Modülatör, insan vücudunun bölümlerine koşullu bölünme ile ilişkili bir ölçüm sistemine dayanmaktadır.

Moskova'da çeşitli konut binalarının yanı sıra Kremlin'deki Senato binaları ve Golitsyn Hastanesi (şimdi NI Pirogov'un adını taşıyan 1. Klinik) inşa eden Rus mimar M. Kazakov, yasaları kullanan mimarlardan biriydi. altın oran ile ilgili tasarım ve yapım.

Tasarımda oranların uygulanması

Giyim tasarımında, tüm moda tasarımcıları, doğası gereği tüm insanlar ideal oranlara sahip olmasa da, insan vücudunun oranlarını ve altın oran kurallarını dikkate alarak yeni görüntüler ve modeller yaparlar.

Peyzaj tasarımı planlanırken ve bitkiler (ağaçlar ve çalılar), çeşmeler ve küçük mimari nesneler kullanılarak hacimsel park kompozisyonları oluşturulurken, "ilahi oranlar" yasaları da uygulanabilir. Sonuçta, parkın kompozisyonu, içinde özgürce dolaşabilen ve kompozisyon merkezi bulabilen ziyaretçi üzerinde bir izlenim yaratmaya odaklanmalıdır.

Parkın tüm unsurları, geometrik yapı, karşılıklı düzenleme, aydınlatma ve ışık yardımıyla bir kişiye uyum ve mükemmellik izlenimi verecek oranlardadır.

Altın Oranın Sibernetik ve Mühendislikte Uygulanması

Altın oranın ve Fibonacci sayılarının kalıpları, enerji geçişlerinde, kimyasal bileşikleri oluşturan temel parçacıklarla meydana gelen süreçlerde, uzay sistemlerinde, DNA'nın genetik yapısında da kendini gösterir.

İnsan vücudunda da benzer süreçler meydana gelir, kendilerini hayatının biyoritimlerinde, örneğin beyin veya görme gibi organların eyleminde gösterir.

Altın oranların algoritmaları ve kalıpları, modern sibernetik ve bilgisayar biliminde yaygın olarak kullanılmaktadır. Acemi programcıların çözmesi için verilen basit görevlerden biri, bir formül yazmak ve programlama dillerini kullanarak belirli bir sayıya kadar Fibonacci sayılarının toplamını belirlemektir.

Altın oran teorisi üzerine modern araştırma

20. yüzyılın ortalarından bu yana, problemlere ilgi ve altın oran modellerinin insan yaşamı üzerindeki etkisi keskin bir şekilde ve çeşitli mesleklerden birçok bilim insanının tarafında: matematikçiler, etnos araştırmacıları, biyologlar, filozoflar, tıp işçiler, ekonomistler, müzisyenler vb.

1970'lerden bu yana, bu konuda çalışmaların yayınlandığı ABD'de The Fibonacci Quarterly dergisi yayınlanmaktadır. Basında altın oran ve Fibonacci serisinin genelleştirilmiş kurallarının çeşitli bilgi dallarında kullanıldığı eserler bulunmaktadır. Örneğin, kodlama bilgisi, kimyasal araştırma, biyolojik vb.

Bütün bunlar, eski ve modern bilim adamlarının, altın oranın bilimin temel konularıyla çok taraflı olarak ilişkili olduğu ve çevremizdeki dünyanın birçok yaratılışının ve fenomeninin simetrisinde kendini gösterdiğine dair sonuçlarını doğrulamaktadır.

B. Biggs'in kitabına dayanarak "hedger sisten çıktı"

Fibonacci sayıları ve ticareti hakkında

Konuya giriş olarak kısaca teknik analize dönelim. Kısacası, teknik analiz, geçmiş tarihsel verilere dayanarak bir varlığın fiyatının gelecekteki hareketini tahmin etmeyi amaçlar. Destekçilerinin en ünlü ifadesi, fiyatın zaten gerekli tüm bilgileri içermesidir. Teknik analizin uygulanması, hisse senedi spekülasyonlarının geliştirilmesiyle başladı ve potansiyel olarak sınırsız kazanç vaat ettiği için muhtemelen şu ana kadar tamamen bitmedi. Teknik analizdeki en ünlü teknikler (terimler), destek ve direnç seviyeleri, Japon mum çubukları, fiyatın geri dönüşünü ön plana çıkaran modeller vb.

Bence durumun paradoksu şu şekildedir - açıklanan yöntemlerin çoğu o kadar yaygınlaştı ki, etkinlikleri için bir kanıt temeli olmamasına rağmen, piyasanın davranışını gerçekten etkileme fırsatı buldular. Bu nedenle, temel verileri kullanan şüpheciler bile, çok sayıda başka oyuncu ("teknisyenler") tarafından dikkate alındıkları için bu kavramları dikkate almalıdır. Teknik analiz tarih üzerinde iyi çalışabilir, ancak pratikte hiç kimse pratikte onunla tutarlı bir şekilde para kazanamaz - "Teknik Analizi Kullanarak Nasıl Milyoner Olunur" kitabının büyük bir tirajını yayınlayarak zengin olmak çok daha kolaydır .. .

Bu anlamda, farklı dönemler için fiyatları tahmin etmek için de kullanılan Fibonacci teorisi ayrılıyor. Takipçilerine genellikle “dalga liderleri” denir. Piyasayla aynı anda değil, çok daha erken ortaya çıktığı için ayrı duruyor - 800 yıl kadar. Bir başka özelliği de, teorinin yansımasını neredeyse her şeyi ve herkesi tanımlayan bir dünya kavramı olarak bulması ve piyasanın sadece uygulanması için özel bir durum olmasıdır. Teorinin etkinliği ve süresi, ona hem yeni destekçiler hem de piyasaların davranışının en az tartışmalı ve genel kabul görmüş tanımını kendi temelinde oluşturma konusunda yeni girişimler sağlar. Ancak ne yazık ki teori, şansla eşitlenebilecek bireysel başarılı piyasa tahminlerinden daha fazla ilerlemedi.

Fibonacci teorisinin özü

Fibonacci, özellikle bir dizi matematik problemini çözmeye adadığı ve onları hacimli çalışması "Abaküs Kitabı" (13. yüzyılın başlarında) içinde formüle ettiği hayatı boyunca uzun yaşadı. Her zaman sayıların gizemiyle ilgilendi - muhtemelen Arşimet veya Öklid'den daha az zeki değildi. İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, örneğin bir bilim adamı ve şair olan ünlü Omar Khayyam tarafından Fibonacci'den önce ortaya kondu ve kısmen çözüldü; bununla birlikte, Fibonacci tavşan yetiştirme problemini formüle etti ve bu sonuçlardan, adının yüzyıllar içinde kaybolmamasını sağlayan şeyi getirdi.

Kısacası, görev aşağıdaki gibidir. Her tarafı duvarla çevrili bir yere bir çift tavşan yerleştirilmiş ve her bir çift tavşan, varlığının ikinci ayından itibaren her ay başka bir çift doğurur. Tavşanların zaman içinde üremesi şu sıra ile tarif edilecektir: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, vb. Matematiksel bir bakış açısından, bir dizi olağanüstü özelliğe sahip olduğundan, dizinin basitçe benzersiz olduğu ortaya çıktı:

ardışık iki sayının toplamı, dizideki bir sonraki sayıdır;
beşinciden başlayarak dizideki her sayının bir öncekine oranı 1.618'dir;
herhangi bir sayının karesi ile soldaki iki numaralı pozisyonun karesi arasındaki fark Fibonacci sayısı olacaktır;
bitişik sayıların karelerinin toplamı, kare sayılardan büyük olandan iki konum sonra olan Fibonacci sayısı olacaktır.

Bu sonuçlardan ikincisi, Altın Oran olarak bilinen 1.618 sayısını kullandığı için en ilginç olanıdır. Bu sayı, Parthenon'un yapımında kullanan eski Yunanlılar tarafından zaten biliniyordu (bu arada, bazı raporlara göre Merkez Bankası Yunanlılara hizmet etti). 1.618 sayısının doğada hem mikro hem de makro ölçekte bulunabilmesi daha az ilginç değildir - bir salyangoz kabuğundaki spiral dönüşlerden kozmik galaksilerin büyük spirallerine kadar. Eski Mısırlılar tarafından inşaları sırasında yaratılan Giza'daki piramitler, aynı anda Fibonacci serisinin birkaç parametresini de içeriyordu. Bir kenarı diğerinden 1,618 kat daha büyük olan bir dikdörtgen göze en hoş gelen şeydir - bu oran Leonardo da Vinci tarafından resimlerinde kullanılmıştır ve daha gündelik anlamda bazen pencere veya pencere oluşturmak için kullanılmıştır. kapılar. Makalenin başındaki şekilde olduğu gibi bir dalga bile bir Fibonacci spirali olarak temsil edilebilir.

Canlı doğada, Fibonacci dizisi kendini daha az sıklıkta göstermez - pençelerde, dişlerde, ayçiçeklerinde, örümcek ağlarında ve hatta bakterilerin üremesinde bulunabilir. İstenildiği takdirde insan yüzü ve vücudu dahil hemen hemen her şeyde tutarlılık bulunur. Yine de, doğal ve tarihsel olaylarda Fibonacci sayılarını bulan birçok ifadenin yanlış olduğuna dair bir görüş var - bu, genellikle istenen sonuca tam olarak uymadığı ortaya çıkan yaygın bir efsanedir.

Finansal piyasalarda Fibonacci sayıları

Fibonacci sayılarının finans piyasasına uygulanmasıyla en yakından ilgilenen ilk kişilerden biri R. Elliot'tur. Fibonacci teorisini kullanan piyasa tanımlarının genellikle "Elliot dalgaları" olarak adlandırılması anlamında çalışması boşuna değildi. Buradaki pazarların gelişimi, üç adım ileri ve iki adım geri ile süper döngülerden insani gelişme modeline dayanıyordu. İnsanlığın doğrusal olmayan bir şekilde geliştiği gerçeği hemen hemen herkes için açıktır - Eski Mısır bilgisi ve Demokritos'un atomist doktrini Orta Çağ'da tamamen kaybolmuştur, yani. yaklaşık 2000 yıl sonra; 20. yüzyıl, Yunanlıların Pön savaşları döneminde bile hayal edilmesi zor olan insan yaşamının bu kadar korkunç ve önemsiz olmasına yol açtı. Bununla birlikte, adımlar teorisini ve sayılarını doğru olarak kabul etsek bile, her adımın boyutu belirsizliğini koruyor, bu da Elliot dalgalarını yazı ve yazıların tahmin gücüyle karşılaştırılabilir hale getiriyor. Başlangıç noktası ve dalga sayısının doğru hesaplanması teorinin temel zayıflığıydı ve muhtemelen öyle olacaktır.

Bununla birlikte, teori yerel başarılara sahipti. Elliot'un öğrencisi sayılabilecek Bob Pretcher, 80'lerin başındaki boğa piyasasını ve 1987'yi çok önemli bir yıl olarak doğru bir şekilde öngördü. Aslında oldu, bundan sonra Bob açıkça bir dahi gibi hissetti - en azından başkalarının gözünde kesinlikle bir yatırım gurusu oldu. Prechter'ın Elliott Wave Theorist aboneliği o yıl 20.000'e yükseldi.ancak 1990'ların başında Amerikan pazarının öngördüğü “kıyamet ve kasvet” biraz ertelemeye karar verdiği için azaldı. Bununla birlikte, Japon pazarı için çalıştı ve orada bir dalga ile "geç" kalan teorinin bir dizi destekçisi ya sermayelerini ya da şirketlerinin müşterilerinin sermayelerini kaybetti. Aynı şekilde ve aynı başarı ile, teori genellikle döviz piyasasındaki ticarete uygulanmaya çalışılmaktadır.

Teori, standart teknik analiz stratejileriyle ilgili olan haftalıktan, on yıllar boyunca hesaplamaya kadar çeşitli ticaret dönemlerini kapsar. temel tahminler alanına girer. Bu, dalga sayısını değiştirerek mümkündür. Teorinin yukarıda bahsedilen zayıflıkları, yandaşlarının dalgaların tutarsızlığı hakkında değil, ilk pozisyonun yanlış belirlenmesi de dahil olmak üzere kendi yanlış hesaplamaları hakkında konuşmalarına izin verir. Bir labirent gibi görünüyor - doğru haritaya sahip olsanız bile, ancak tam olarak nerede olduğunuzu anlarsanız içinden geçebilirsiniz. Aksi takdirde kart bir işe yaramaz. Elliott dalgaları söz konusu olduğunda, yalnızca konumunun doğruluğundan değil, aynı zamanda kartın doğruluğundan da şüphe etmek için tüm işaretler vardır.

sonuçlar

İnsanlığın dalga gelişiminin gerçek bir temeli vardır - Orta Çağ'da, savaşlar nispeten sakin, barışçıl bir yaşamın yerini aldığında, enflasyon ve deflasyon dalgaları birbiriyle değişti. Fibonacci dizisinin doğada gözlemlenmesi, en azından bazı durumlarda da şüphe götürmez. Bu nedenle, herkesin Tanrı'nın kim olduğu sorusuna kendi cevabını verme hakkı vardır: bir matematikçi veya rastgele sayı üreteci. Benim kişisel görüşüm, tüm insanlık tarihi ve piyasalar bir dalga konseptinde temsil edilebilmesine rağmen, hiç kimse her bir dalganın yüksekliğini ve süresini tahmin edemez.

Aynı zamanda, 200 yıllık Amerikan piyasasını gözlemlemek ve geri kalanından 100 yıldan fazla bir süre sonra, borsanın büyümekte olduğunu, çeşitli büyüme ve durgunluk dönemlerinden geçtiğini açıkça ortaya koymaktadır. Bu gerçek, tartışmalı teorilere başvurmadan ve makul riskler dahilinde olması gerekenden daha fazla sermaye emanet etmeden, borsada uzun vadeli kazançlar için oldukça yeterlidir.

Eski Mısır piramitleri, Leonardo da Vinci'nin "Mona Lisa" tablosu, ayçiçeği, salyangoz, çam kozalağı ve insan parmakları arasında ortak olanı bulalım mı?

Bu sorunun cevabı keşfedilen inanılmaz sayılarda gizli Orta Çağ'ın İtalyan matematikçisi Pisa'lı Leonardo, daha çok Fibonacci adıyla bilinir (yaklaşık 1170 doğumlu - 1228'den sonra öldü), italyan matematikçi ... Doğu'da seyahat ederken Arap matematiğinin başarılarıyla tanıştım; Batı'ya transferine katkıda bulundu.

Onun keşfinden sonra bu sayılar ünlü matematikçinin adıyla anılmaya başlandı. Fibonacci dizisinin şaşırtıcı özü, bu dizideki her sayı, önceki iki sayının toplamından elde edilir.

Böylece, diziyi oluşturan sayılar:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

"Fibonacci sayıları" olarak adlandırılır ve dizinin kendisine Fibonacci dizisi denir.

Fibonacci sayılarında çok ilginç bir özellik var. Diziden herhangi bir sayıyı satırda önündeki sayıya bölerken, sonuç her zaman 1.61803398875 irrasyonel değeri etrafında dalgalanan bir değer olacaktır ... ve zaman geçtikçe ya yükselir ya da ulaşmaz. (Not: irrasyonel bir sayı, yani ondalık gösterimi sonsuz olan ve periyodik olmayan bir sayı)

Üstelik dizideki 13. bölümden sonra bu bölme sonucu süresiz sabit oluyor... Orta Çağ'da İlahi oran olarak adlandırılan bu sabit sayıdaki bölünmedir ve günümüzde buna altın oran, altın ortalama veya altın oran denir. ... Cebirde bu sayı Yunanca phi (Ф) harfi ile gösterilir.

Yani, Altın Oran = 1: 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

İnsan vücudu ve altın oran

Sanatçılar, bilim adamları, moda tasarımcıları, tasarımcılar hesaplamalarını, çizimlerini veya eskizlerini altın oran oranına göre yaparlar. Altın oran ilkesine göre oluşturulan insan vücudundan ölçümler kullanırlar. Leonardo Da Vinci ve Le Corbusier, başyapıtlarını yaratmadan önce, Altın Oran yasasına göre oluşturulan insan vücudunun parametrelerini aldılar.

Tüm modern mimarların en önemli kitabı olan E. Neufert'in "Yapı Tasarımı" referans kitabı, altın oranı içeren insan vücudunun parametrelerinin temel hesaplamalarını içerir.

Vücudumuzun çeşitli bölgelerinin oranları altın orana çok yakın bir sayı oluşturur. Bu oranlar altın oranın formülüyle örtüşüyorsa, bir kişinin görünümü veya gövdesi mükemmel bir şekilde katlanmış olarak kabul edilir. İnsan vücudundaki altın ölçünün hesaplanması ilkesi bir diyagram olarak gösterilebilir:

M / m = 1.618

İnsan vücudunun yapısındaki altın oranın ilk örneği:
Göbek noktasını insan vücudunun merkezi ve bir kişinin ayakları ile göbek noktası arasındaki mesafeyi bir ölçü birimi olarak alırsak, bir kişinin boyu 1.618 sayısına eşittir.

Ek olarak, vücudumuzun birkaç temel altın oranı daha vardır:

* parmak uçlarından bileğe dirseğe kadar olan mesafe 1: 1.618'dir;

* omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafe ve başın büyüklüğü 1: 1.618'dir;

* göbek noktasından başın tepesine ve omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafe 1: 1.618'dir;

* Göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi 1: 1.618'dir;

* çene ucundan üst dudak ucuna ve üst dudak ucundan burun deliklerine kadar olan mesafe 1:1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1: 1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1: 1.618:

Kusursuz güzellik için bir ölçüt olarak insan yüz hatlarındaki altın oran.

İnsan yüz özelliklerinin yapısında altın oran formülünün değerine yaklaşan birçok örnek de bulunmaktadır. Ancak, tüm insanların yüzlerini ölçmek için cetvelden hemen sonra acele etmeyin. Çünkü bilim adamlarına ve sanat adamlarına, sanatçılara ve heykeltıraşlara göre altın orana tam karşılıklar ancak mükemmel güzelliğe sahip insanlarda bulunur. Aslında bir kişinin yüzündeki altın oranın tam olarak varlığı, insan gözü için ideal güzelliktir.

Örneğin ön iki üst dişin genişliğini toplayıp bu miktarı dişlerin yüksekliğine bölersek Altın Oran numarasını aldıktan sonra bu dişlerin yapısının ideal olduğu söylenebilir.

İnsan yüzünde, altın oran kuralının başka enkarnasyonları vardır. İşte bu ilişkilerden bazıları:

* Yüz yüksekliği / yüz genişliği;

* Dudakların burun tabanına birleştiği merkez noktası/burun uzunluğu;

* Yüz yüksekliği / çene ucundan dudakların birleşme noktasının orta noktasına kadar olan mesafe;

* Ağız genişliği / burun genişliği;

* Burun genişliği / burun delikleri arasındaki mesafe;

* Gözbebekleri arasındaki mesafe / kaşlar arasındaki mesafe.

insan eli

Avucunuzu şimdi kendinize yaklaştırmanız ve işaret parmağınıza dikkatlice bakmanız yeterlidir ve içindeki altın oranın formülünü hemen bulacaksınız. Elimizin her parmağı üç falandan oluşur.

* Parmağın ilk iki falanksının tüm uzunluğuna göre toplamı ve altın oranın numarasını verir (başparmak hariç);

* Ayrıca orta parmak ile küçük parmak arasındaki oran da altın orana eşittir;

* Bir kişinin 2 eli vardır, her eldeki parmaklar 3 falankstan oluşur (başparmak hariç). Her elin 5 parmağı yani toplam 10 parmağı vardır ancak iki bifalangeal başparmak dışında altın oran ilkesine göre sadece 8 parmak oluşturulur. Tüm bu 2, 3, 5 ve 8 sayıları Fibonacci dizisinin sayılarıdır:

İnsan akciğerlerinin yapısındaki altın oran

Amerikalı fizikçi B.D. West ve Dr. A.L. Goldberger, fiziksel ve anatomik çalışmaları sırasında, insan akciğerlerinin yapısında da altın oranın bulunduğunu tespit etti.

İnsan akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği, asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar, biri (solda) daha uzun ve diğeri (sağda) daha kısa olan iki ana solunum yolundan oluşur.

* Bronşların dallarında, tüm küçük hava yollarında bu asimetrinin devam ettiği bulundu. Ayrıca kısa ve uzun bronşların uzunluk oranı da altın oranı oluşturur ve 1:1.618'e eşittir.

Altın ortogonal dörtgen ve spiralin yapısı

Geometride, bu en-boy oranına sahip bir dikdörtgene altın dikdörtgen denir. Uzun kenarları, 1.168: 1 oranında kısa kenarlarla karşılaştırılır.

Altın dikdörtgen ayrıca birçok şaşırtıcı özelliğe sahiptir. Altın dikdörtgenin birçok olağandışı özelliği vardır. Altın dikdörtgenden, kenarı dikdörtgenin küçük kenarına eşit olan bir kareyi keserek, yine daha küçük bir altın dikdörtgen elde ederiz. Bu işlem süresiz olarak devam ettirilebilir. Kareleri kesmeye devam ettikçe daha da küçülen altın dikdörtgenler elde edeceğiz. Ayrıca, doğal nesnelerin (örneğin salyangoz kabukları) matematiksel modellerinde önemli olan logaritmik bir spiral boyunca yer alacaklardır.

Spiral kutup, ilk dikdörtgenin köşegenlerinin ve kesilecek ilk dikey kesimin kesişme noktasında yer alır. Ayrıca, sonraki tüm azalan altın dikdörtgenlerin köşegenleri bu köşegenler üzerindedir. Tabii bir de altın üçgen var.

İngiliz tasarımcı ve estetisyen William Charlton, insanların spiral şekilleri göze hoş bulduklarını ve binlerce yıldır kullandıklarını belirterek bunu şu şekilde açıklamıştır:

"Spiralin görünüşünü seviyoruz çünkü görsel olarak kolayca görebiliyoruz."

Doğada

* Spiralin yapısının altında yatan altın oran kuralı, doğada eşsiz güzellikteki kreasyonlarda sıklıkla bulunur. En canlı örnekler - ayçiçeği tohumlarının düzenlenmesinde ve çam kozalaklarında, ananaslarda, kaktüslerde, gül yapraklarının yapısında vb.

* Botanikçiler, dal, ay çekirdeği veya çam kozalakları üzerindeki yaprakların dizilişinde Fibonacci serisinin açıkça ortaya çıktığını ve bu nedenle altın bölüm yasasının tezahür ettiğini belirlemişlerdir;

Yüce Rab, yaratılışının her biri için özel bir ölçü ve orantılılık belirlemiştir ki bu doğada bulunan örneklerle de doğrulanmıştır. Canlı organizmaların büyüme sürecinin logaritmik bir sarmal şekline sıkı sıkıya bağlı olarak gerçekleştiğine pek çok örnek verilebilir.

Bobindeki tüm yaylar aynı şekle sahiptir. Matematikçiler, yayların boyutundaki bir artışla bile, spiral şeklinin değişmediğini bulmuşlardır. Matematikte spiralle aynı benzersiz özelliklere sahip başka bir form yoktur.

Deniz kabuklarının yapısı

Denizlerin dibinde yaşayan yumuşak gövdeli yumuşakçaların kabuklarının iç ve dış yapısını inceleyen bilim adamları şunları söyledi:

“Kabukların iç yüzeyi kusursuz pürüzsüz, dış yüzeyi ise pürüzlülük ve düzensizliklerle kaplı. İstiridye kabuğun içindeydi ve bunun için kabuğun iç yüzeyinin tamamen pürüzsüz olması gerekiyordu. Kabuğun dış köşeleri-kıvrımları, mukavemetini, sertliğini arttırır ve böylece mukavemetini arttırır. Kabuğun (salyangoz) yapısının mükemmelliği ve şaşırtıcı zekası inanılmaz. Kabukların sarmal fikri mükemmel bir geometrik şekildir ve cilalı güzelliğinde şaşırtıcıdır."

Kabuklu salyangozların çoğunda, kabuk logaritmik bir spiral şeklinde büyür. Ancak bu mantıksız canlıların sadece logaritmik sarmal hakkında bir fikirleri olmadığı gibi, kendileri için bir sarmal kabuk oluşturacak en basit matematik bilgisine de sahip olmadıklarına şüphe yoktur.

Ama o zaman bu mantıksız varlıklar, sarmal bir kabuk biçimindeki ideal büyüme ve varoluş biçimini kendileri için nasıl tanımlayabilir ve seçebilir? Dünya bilim adamlarının ilkel yaşam biçimleri olarak adlandırdıkları bu canlılar, bir kabuğun logaritmik formunun varlıkları için ideal olacağını hesaplayabilirler mi?

Elbette hayır, çünkü böyle bir plan akıl ve bilgi olmadan gerçekleştirilemez. Ancak ne ilkel yumuşakçalar ne de bilinçsiz doğa, ancak bazı bilim adamlarının dünyadaki yaşamın yaratıcısı olarak adlandırdığı (?!)

Böyle en ilkel canlıların bile kökenini, bazı doğal koşulların tesadüfi tesadüfleri ile açıklamaya çalışmak en azından saçmadır. Bu projenin bilinçli bir yaratım olduğu açıktır.

Biyolog Sir D'arkey Thompson, bu tür deniz kabukları büyümesini şöyle adlandırıyor: "Cücelerin büyüme formu."

Sir Thompson şu yorumu yapıyor:

“Aynı şekli koruyarak orantılı olarak büyüyen ve genişleyen deniz kabuklarının büyümesinden daha basit bir sistem yoktur. Kabuk, en şaşırtıcı şekilde büyür, ancak asla şekil değiştirmez. "

Birkaç santimetre çapındaki nautilus, cüce tipi büyümenin en çarpıcı örneğidir. S. Morrison, nautilus'un insan zihni tarafından bile planlanması oldukça zor olan bu büyüme sürecini şu şekilde açıklamaktadır:

“Nautilus kabuğunun içinde sedef bölmeli birçok bölme-oda vardır ve kabuğun kendisi merkezden genişleyen bir spiraldir. Nautilus büyüdükçe, kabuğun ön kısmında başka bir oda büyür, ancak zaten bir öncekinden daha büyüktür ve odanın geride kalan bölümleri bir sedef tabakası ile kaplanır. Böylece spiral her zaman orantılı olarak genişliyor."

İşte bilimsel isimlerine göre logaritmik büyüme gösteren bazı spiral kabuk türleri:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Keşfedilen tüm kabuk fosil kalıntıları da gelişmiş bir spiral şekle sahipti.

Bununla birlikte, logaritmik büyüme formu, hayvanlar aleminde sadece yumuşakçalarda bulunmaz. Antilop, yaban keçisi, koç ve benzeri hayvanların boynuzları da altın oran kanunlarına göre spiral şeklinde gelişir.

insan kulağındaki altın oran

Bir kişinin iç kulağında, ses titreşimi iletme işlevini yerine getiren Koklea ("Salyangoz") adı verilen bir organ vardır.. Bu kemikli yapı sıvı ile doldurulur ve aynı zamanda sabit bir logaritmik spiral şekil = 73º 43' içeren bir salyangoz şeklinde oluşturulur.

Spiral şeklinde gelişen hayvanların boynuzları ve dişleri

Fillerin ve soyu tükenmiş mamutların dişleri, aslanların pençeleri ve papağanların gagaları logaritmiktir ve spirale dönüşme eğiliminde olan bir eksen şeklini andırır. Örümcekler ağlarını her zaman logaritmik bir spiral içinde örerler. Plankton (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida türleri) gibi mikroorganizmaların yapısı da spiral şeklindedir.

Mikro dünyaların yapısındaki altın oran

Geometrik şekiller yalnızca üçgenler, kareler, beşgenler veya altıgenlerle sınırlı değildir. Bu şekilleri farklı şekillerde birbirine bağlarsak, yeni üç boyutlu geometrik şekiller elde ederiz. Bunun örnekleri, küp veya piramit gibi şekillerdir. Ancak bunlara ek olarak, günlük hayatta karşılaşmak zorunda kalmadığımız ve belki de ilk defa adını duyduğumuz üç boyutlu figürler de var. Bu üç boyutlu şekiller bir tetrahedron (düzenli bir dört kenarlı şekil), bir oktahedron, bir dodecahedron, bir ikosahedron vb. içerir. Dodekahedron, 20 üçgenden oluşan ikosahedron olan 13 beşgenden oluşur. Matematikçiler, bu rakamların matematiksel olarak çok kolay dönüştürüldüğünü ve dönüşümlerinin altın oranın logaritmik sarmalının formülüne göre gerçekleştiğini belirtiyorlar.

Mikrokozmosta, altın oranlara göre oluşturulmuş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde bulunur. ... Örneğin, birçok virüs, ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kaplaması, belirli bir sırayla düzenlenmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 birim protein hücresi bulunur ve bu köşelerden başak benzeri yapılar uzanır.

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'lerde keşfedildi. London Birkbeck College A. Klug ve D. Kaspar'dan bilim adamları. 13 Polyo virüsü, logaritmik biçimde ortaya çıkan ilk virüstür. Bu virüsün formunun Rhino 14 virüsününkine benzer olduğu bulundu.

Soru ortaya çıkıyor, virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklımızın bile inşa etmesi oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu formları nasıl oluşturuyor? Bu virüs formlarını keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor:

"Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel zarfı için en uygun şeklin simetri olduğunu gösterdik, örneğin ikosahedron şekli gibi. Bu düzenleme, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir ... Buckminster Fuller jeodezik yarım küre küplerinin çoğu benzer bir geometrik prensip üzerine inşa edilmiştir. 14 Bu tür küplerin kurulumu, son derece doğru ve ayrıntılı bir açıklayıcı diyagram gerektirir. Oysa bilinçsiz virüslerin kendileri, elastik, esnek protein hücre birimlerinden oluşan böylesine karmaşık bir kabuk oluştururlar."

İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşadı ve Avrupa'da Arapça (Hint) sayıları kullanan ilk kişilerden biriydi. Bir çiftlikte yetiştirilen, tamamı dişi kabul edilen, erkeklerin görmezden gelindiği tavşanlarla ilgili biraz yapay bir problem ortaya attı. Tavşanlar iki aylık olduktan sonra üremeye başlarlar ve daha sonra her ay bir tavşan doğururlar. Tavşanlar asla ölmez.

Çiftlikte kaç tane tavşan olacağının belirlenmesi gerekmektedir. n aylar, eğer başlangıçta sadece bir yeni doğan tavşan varsa.

Açıkçası, çiftçinin ilk ayda bir tavşanı ve ikinci ayda bir tavşanı var. Üçüncü ayda iki tavşan olacak, dördüncü - üç vb. Tavşan sayısını belirtelim. n ay gibi. Böylece,
,
,
,
,
, …

bulmak için bir algoritma oluşturulabilir. herhangi n.

Problemin durumuna göre toplam tavşan sayısı
v n+1 ay üç bileşene ayrılmıştır:

üreme yeteneği olmayan bir aylık tavşanlar, miktar olarak

;

Böylece, elde ederiz

. (8.1)

Formül (8.1), bir dizi sayıyı hesaplamanıza olanak tanır: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Bu dizideki sayılara denir. Fibonacci sayıları .

kabul edersen
ve
, daha sonra formül (8.1) kullanılarak diğer tüm Fibonacci sayıları belirlenebilir. Formül (8.1) denir tekrarlayan formüle göre ( tekrarlama - Latince "dönüş").

Örnek 8.1. Diyelim ki bir merdiven var n adımlar. Bir adımlık bir adımla veya - iki adımlık bir adımla tırmanabiliriz. Kaç farklı kaldırma yöntemi kombinasyonu var?

Eğer n= 1, problemin tek bir çözümü var. İçin n= 2 2 seçenek vardır: iki tek adım veya bir çift. İçin n= 3 3 seçenek vardır: üç birim adım veya bir birim ve bir ikili veya bir ikili ve bir birim.

sonraki durumda n= 4, 5 ihtimalimiz var (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Rastgele sorulan soruya cevap verebilmek için n, seçenek sayısını şu şekilde gösterelim: ve tanımlamaya çalışın
iyi bilinenlere göre ve
... Tek bir adımla başlarsak, kalanlar için kombinasyonlar n adımlar. Çift adımla başlarsak,
kalanlar için kombinasyonlar n–1 adım. için toplam seçenek sayısı n+1 basamak eşittir

. (8.2)

Ortaya çıkan formül, formül (8.1)'e ikiz olarak benzer. Ancak bu, kombinasyon sayısının belirlenmesine izin vermez. Fibonacci sayıları ile ... örneğin şunu görüyoruz
, ancak
... Ancak, aşağıdaki ilişki gerçekleşir:

Bu doğru n= 1, 2 ve her biri için de geçerlidir n... Fibonacci sayıları ve kombinasyon sayısı aynı formül kullanılarak hesaplanır, ancak ilk değerler
,
ve
,
Onlar farklı.

Örnek 8.2. Bu örnek, hata düzeltme kodlama sorunları için pratik öneme sahiptir. Uzunluğundaki tüm ikili kelimelerin sayısını bulun n arka arkaya birkaç sıfır içermeyen. Bu sayıyı şu şekilde belirtiriz: ... Açıkça,
, ve kısıtlamamızı karşılayan uzunluk 2 sözcükleri şunlardır: 10, 01, 11, yani.
... İzin vermek
- böyle bir söz n karakterler. eğer sembol
, sonra
keyfi olabilir (
) -bir satırda birkaç sıfır içermeyen hazır sözcük. Bu nedenle, sonunda bir birim olan kelime sayısı
.

eğer sembol
, o zaman kesinlikle
ve ilk
sembol
dikkate alınan kısıtlamalar dikkate alınarak keyfi olabilir. Bu nedenle, var
kelime uzunluğu n sonunda bir sıfır ile. Böylece, bizi ilgilendiren toplam kelime sayısı eşittir

Verilen
ve
, elde edilen sayı dizisi Fibonacci sayılarıdır.

Örnek 8.3.Örnek 7.6'da, sabit ağırlıklı ikili sözcük sayısının T(ve uzunluk k) eşittir ... Şimdi sabit ağırlıklı ikili kelimelerin sayısını buluyoruz. T arka arkaya birkaç sıfır içermeyen.

Böyle akıl yürütebilirsin. İzin vermek
Söz konusu kelimelerdeki sıfır sayısı. herhangi bir kelime var
her biri bir veya daha fazla birlik içeren en yakın sıfırlar arasındaki boşluklar. tahmin ediliyor ki
... Aksi takdirde, bitişik sıfırları olmayan tek bir kelime yoktur.

Her aralıktan tam olarak bir birim çıkarırsak, o zaman bir kelime uzunluğu elde ederiz.
kapsamak sıfırlar. Bu tür herhangi bir kelime, bazılarından (ve dahası, sadece birinden) belirtilen şekilde elde edilebilir. k-içeren gerçek kelime sıfırlar, hiçbiri yan yana değil. Bu nedenle, gerekli sayı, uzunluktaki tüm kelimelerin sayısı ile çakışmaktadır.
tam olarak içeren sıfırlar, yani eşittir
.

Örnek 8.4. toplamı olduğunu ispatlayalım.
herhangi bir tam sayı için Fibonacci sayılarına eşittir ... Sembol
belirtir büyük veya eşit en küçük tam sayı ... örneğin, eğer
, sonra
; farzedelim
, sonra
tavan("tavan"). Ayrıca sembolü oluşur
hangi anlamına gelir küçük veya eşit en büyük tam sayı ... İngilizce'de bu işlem denir zemin ("zemin").

Eğer
, sonra
... Eğer
, sonra
... Eğer
, sonra
.

Böylece, ele alınan durumlar için toplam gerçekten Fibonacci sayılarına eşittir. Şimdi genel durum için bir kanıt veriyoruz. Fibonacci sayıları, tekrarlayan denklem (8.1) kullanılarak elde edilebileceğinden, eşitlik sağlanmalıdır:

Ve aslında yapar:

Burada daha önce elde edilen formülü (4.4) kullandık:
.

Fibonacci sayılarının toplamı

İlkinin toplamını belirleyelim. n Fibonacci sayıları.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Her denklemin sağ tarafına birlik ekleyerek tekrar Fibonacci sayısını elde ettiğimizi görmek kolaydır. Birincinin toplamını belirlemek için genel formül n Fibonacci sayıları:

Bunu matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlayalım. Bunu yapmak için şunu yazın:

Bu miktar şuna eşit olmalıdır:
.

Denklemin sol ve sağ taraflarını -1 ile azaltarak denklem (6.1) elde ederiz.

Fibonacci sayıları için formül

Teorem 8.1. Fibonacci sayıları formül kullanılarak hesaplanabilir

Kanıt... Bu formülün geçerliliğini doğrulayalım. n= 0, 1 ve sonra bu formülün geçerliliğini keyfi bir şekilde kanıtlayın n indüksiyon yoluyla. En yakın iki Fibonacci sayısının oranını hesaplayalım:

Bu sayıların oranının 1.618 civarında dalgalandığını görüyoruz (ilk birkaç değeri yok sayarsak). Bu özelliğiyle, Fibonacci sayıları geometrik bir ilerlemenin üyelerine benzer. kabul edeceğiz
, (
). Daha sonra ifade

dönüştürüldü

hangi basitleştirmelerden sonra böyle görünüyor

Kökleri eşit olan ikinci dereceden bir denklemimiz var:

Şimdi yazabiliriz:

(nerede C sabittir). Her iki üye ve gibi Fibonacci sayıları vermeyin
, süre
... Ancak, fark
tekrarlayan denklemi karşılar:

İçin n= 0 bu fark verir , yani:
... Bununla birlikte, n= 1 bizde
... Elde etmek üzere
, kabul etmek gerekir:
.

Şimdi iki dizimiz var: ve
aynı iki sayı ile başlayan ve aynı yineleme formülünü sağlayan. Eşit olmalılar:
... Teorem kanıtlanmıştır.

artan nüye çok büyürken
ve üyenin rolü aradaki fark azalır. Bu nedenle, büyük için n kabaca yazabiliriz

1/2'yi yok sayarız (çünkü Fibonacci sayıları sonsuza kadar n sonsuzluğa).

Davranış
aranan altın Oran, matematiğin dışında kullanılır (örneğin heykel ve mimaride). Altın oran, köşegen ile kenar arasındaki orandır. normal beşgen(şekil 8.1).

Pirinç. 8.1. Düzgün beşgen ve köşegenleri

Altın oranı belirtmek için harfi kullanmak gelenekseldir.
ünlü Atinalı heykeltıraş Phidias'ın onuruna.

asal sayılar

Tüm doğal sayılar, büyük birimler iki sınıfa ayrılır. Birincisi, bir ve kendisi olmak üzere tam olarak iki doğal bölenine sahip olan sayıları içerir - ikincisi - tüm diğerleri. Birinci sınıf numaralar denir basit, ve ikinci - kurucu... İlk üç onluktaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Asal sayıların özellikleri ve tüm doğal sayılarla ilişkileri Öklid (MÖ 3. yy) tarafından incelenmiştir. Asal sayıları arka arkaya yazarsanız, göreceli yoğunluklarının azaldığını fark edeceksiniz. Bunlardan ilk onda 4 tane, yani yüzde 40, yüzde 25, yani. %25, binde - 168, yani. %17'den az, milyonda - 78498, yani %8'den az, vb. Ancak toplam sayıları sonsuzdur.

Asal sayılar arasında, aralarındaki fark ikiye eşit olan (sözde basit ikizler), ancak bu tür çiftlerin sonluluğu veya sonsuzluğu kanıtlanmamıştır.

Öklid, yalnızca asal sayıların çarpılmasıyla tüm doğal sayıların elde edilebileceğini ve her doğal sayının asal sayıların benzersiz bir ürünü olarak (faktörlerin sırasına göre) temsil edilebileceğini açıkça düşündü. Böylece, asal sayılar doğal seriler için çarpımsal bir temel oluşturur.

Asal sayıların dağılımının incelenmesi, asal tabloları elde etmenizi sağlayan bir algoritmanın oluşturulmasına yol açtı. Bu algoritma Eratosten elek(MÖ 3. yüzyıl). Bu yöntem, belirli bir dizinin tam sayılarının ayıklanmasından (örneğin, üstü çizilerek) oluşur.
'den küçük asal sayılardan en az birine bölünebilen
.

teorem 8 . 2 . (Öklid teoremi). Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

Kanıt... Leonard Euler (1707-1783) tarafından önerilen yöntemle Euclid'in asal sayıların sonsuzluğu teoremini kanıtlayalım. Euler, çarpımı tüm asal sayılar üzerinde düşündü P:

NS
... Bu ürün yakınsar ve eğer onu genişletirsek, doğal sayıların asal faktörlere ayrışmasının benzersizliği nedeniyle, serinin toplamına eşit olduğu ortaya çıkar. , Euler'in kimliği buradan gelir: