Dengelenmiş bir üçgende, taraflar eşittir. İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgen - Bu, iki tarafın birbirine eşit olduğu bir üçgendir. Eşit partilerin tarafa denir ve ikincisi temeldir. Tanım olarak, doğru üçgen de aynı derecede şık bir şekildedir, ancak zıt ifade yanlıştır.

Özellikleri

• Dengeli bir üçgenin eşit taraflarının karşısındaki köşeler birbirlerine eşittir. Ayrıca bu köşelerden yapılan bisektör, medyanlara ve yüksekliklere eşittir.
• Bisectrix, medyan, yükseklik ve bir orta dikey, tabana iletilen, birbirleriyle çakışır. CrimeScribed ve tarif edilen daireler bu hatta yatıyor.
• Eşit partilerin zıt köşeleri her zaman keskindir (eşitliklerinden takip eder).

İzin vermek a. - Eşit bir üçgenin iki eşit tarafının uzunluğu, b. - Üçüncü tarafın uzunluğu, α ve β - Uygun açılar, R. - tarif edilen dairenin yarıçapı, r. - yarıçap yazıldı.

Taraflar aşağıdaki gibi bulunabilir:

Köşeler aşağıdaki şekillerde ifade edilebilir:

Bir denge üçgenin çevresi aşağıdaki yollardan herhangi biri ile hesaplanabilir:

Üçgenin alanı aşağıdaki yollardan biriyle hesaplanabilir:

İşaretler

• İki üçgen açısı eşittir.
• Yükseklik medyan ile çakışıyor.
• Yükseklik bisektörle çakışıyor.
• Bissectrix medyan ile çakışıyor.
• İki yükseklik eşittir.
• İki medya eşittir.
• İki bisektör eşittir (Steiner teoremi - lemus).

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "eşit başkanlı üçgen" olanı izleyin:

Eşit bir üçgen, iki eşit tarafa sahip bir üçgen; Bu taraflara sahip köşeler de eşittir ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik Sözlük

Ve (basit) üçgen üçgen, koca. 1. Geometrik şekil, üç iç köşeden (mat) oluşturan üç karşılıklı kesişen üçte üçü sınırlıdır. Aptal üçgen. Outrich üçgen. Sağ üçgen ... ... ... ... Açıklayıcı Sözlük UShakov

Eşit, Aya, OE: İki eşit tarafa sahip olan eşit zincirli bir üçgen. | Uydurmak İktidarsız ve eşler. Ozhegov'un açıklayıcı sözlük. Sİ. Özhegov, N.Yu. İsvedov. 1949 1992 ... Ozhegov sözlük açıklayıcı sözlük

üçgen - ▲ Poligon, üç, köşe üçgeni olan en basit poligondur; Bir düz çizgide yatan 3 puan ayarlayın. üçgensel. akround. akut. Dikdörtgen Üçgen: Catat. hipotenüs. ikizkenar üçgen. ▼ ... ... ... Rus dilinin ideografik sözlüğü

üçgen - üçgen1 ve, m ya da ODA'sız. Geometrik bir şekle sahip olan nesne, üç iç köşeyi oluşturan üç kesişen üç ile sınırlıdır. Kocasının mektuplarını sararmış ön çizgi üçgenlerini taşıdı. Triangle2, A, M ... ... ... Rus isimler açıklayıcı sözlük

Bu terimin başka değerleri var, bkz. Üçgen (Değerler). Üçgen (öklid uzayda), üçte bir düz noktada yatmamak için üç bölümden oluşan geometrik bir şekildir. Üç nokta, ... ... wikipedia

Üçgen (çokgen) - Üçgenler: 1 Akut, dikdörtgen ve aptal; 2 doğru (eşkenar) ve eşittir; 3 bisektör; 4 medyan ve ağırlık merkezi; 5 yükseklik; 6 Ortocentre; 7 orta çizgi. Üçgen, 3 tarafı olan çokgen. Bazen altında ... ... ... Resimli ansiklopedik sözlük

ansiklopedik sözlük

üçgen - fakat; m. 1) a) üç iç köşeyi oluşturan üç kesişen üç ile sınırlandırılan geometrik bir şekil. Dikdörtgen, denge haydut / keten. Üçgen alanını hesaplayın. b) OTT. ODA'sız. Şekil veya böyle bir formun konusu. ... ... ... ... Birçok ifade sözlüğü

FAKAT; m. 1. Geometrik şekli, düz kesişen üç ile sınırlandırılmış, üç iç köşe oluşturur. Dikdörtgen, üçgenin alanını hesaplar. // Oda'dan ne ya da. Şekil veya böyle bir formun konusu. T. çatısı. T. ... ... ... ... ansiklopedik sözlük

Ödevini kontrol etme

№ 111.

Verilen: CD = BD. , 1 = 2

Kanıt: A. B. C - kablosuz

№ 107.

yan A. 2 kat daha az av

P \u003d 50 cm,

P \u003d 50 cm

x + 2x + 2x \u003d 50

x \u003d 10.

2 h.

2 h.

AC \u003d 10 cm,

Ab \u003d güneş \u003d 20 cm

Üçgenlerden hangisi eşit derecede şık? Denge üçgenleri için, taban ve yanları adlandırın.

Bu verilir: Reklam - BISECTER Δ BAC, BAC \u003d 74 0. Bul: BA D. (Şekil 1)

Danched: KL - Yükseklik Δ KMN. Bul: KLN. (İncir. 2)

Dana: QS - Median Δ PQR, PS \u003d 5.3cm. Bulun: pr. (Şekil 3)

• Verilir: Δ ABC AU, VK BISECTRIS, AC \u003d 46cm'nin tabanına çarptı. Bul: AK. (Şekil 4)
• Öyle verilir: Δ ABC AU, VK yüksekliği, ABC \u003d 46 0 tabanıyla şaşırmıştır. Bul: AVK. (Şek. 5)
• BT, BD ile BD Isceped ile BD ile BD, Da Median, VS \u003d 120 0. Bul: ADB. (Şekil 6)

7. sınıf

Eşit şekilde zincirlenmiş bir üçgenin özellikleri

Üç yol bilgiye çıkıyor:

Yansıtma yolu en asil yoldur

Taklit yolu en kolay yoldur,

Ve deneyim yolu, yolun en acı olduğu yoldur.

Konfüçyüs.

Dengelenmiş bir üçgende, tabandaki açılar eşittir.

DANO: ABC, daha önce

Kanıtlamak

Kanıt:

1. Biz Bisectris BD Açı V.

2. Δ AB D ve Δ CBD'yi düşünün:

Ab \u003d BC (durumun altında),

D - genel tarafında,

∠ BD \u003d ∠ BD ile

Δ AVD \u003d ΔCBD (1 üçgenlerin eşitliği işareti)

3. Eşit üçgenlerde, karşılık gelen açılar, ∠ a \u003d ∠ S'ye eşittir.

Tabana doğru yürütülen bir bisektör üçgeninde ortanca ve yüksekliktir.

Verilen: ABC, daha önce

FAKAT D - açıortay .

Kanıtlamak FAKAT D. - yükseklik,

FAKAT D. - Medyan.

Kanıt:

1) Dikkatin:

Δ BAD \u003d ΔCAD (üçgenlerin eşitliğinin 1 işareti).

2) Eşit üçgenlerde sırasıyla, ilgili taraf ve köşeler eşittir

1 \u003d 2 \u003d 90 ° (bitişik açılar).

Bu nedenle, reklam medyan ve yüksekliktir Δ ABC'dir.

Görevleri çözme.

Savrasova S.m., Yarstreyskysky G.A. "Hazır çizimlerde Planimetri Egzersizleri"

110

70

70

Görevleri çözme.

Danched: AV \u003d C'de, 1 \u003d 130 0.

L. S. Atanasyan. Geometri 7-9 No. 112.

Görevleri çözme.

Bul: AB D.

Üçgen

ABC - Eşit

D - Medyan'da

Yani, d - bisector

40 0

40 0

SANTİMETRE. Savrasova, G.A. Yatvilky "bitmiş çizimlerde egzersizler"

Ödev:

• s. 19 (s. 35 - 36), 109, 112, 118.

Bu derste "eşit üçgen ve özellikleri" teması dikkate alınacaktır. Neyi göründüğünü ve eşkenar ve eşkenar üçgenleri öğreneceksiniz. Teoremi, eşitlikli bir üçgenin tabanındaki açıların eşitliği üzerinde kanıtlayın. Ayrıca, erişilemeyen bir üçgenin kuruluşuna yapılan bisektördeki teoremi (ortanca ve yükseklik) düşünün. Dersin sonunda, eşit bir üçgenin tanımını ve özelliklerini kullanarak iki görevi analiz edeceksiniz.

Tanım:Eşit İki tarafın eşit olduğu bir üçgen denir.

İncir. 1. Eşit üçgen

Ab \u003d AC tarafı. Güneş temeldir.

Dengeli bir üçgenin alanı, tabanının üssünün yarısına eşittir.

Tanım:Eşkenar Üçgen, üç tarafın tümü eşittir.

İncir. 2. Ekipyal Üçgen

AB \u003d SUN \u003d SA.

Teorem 1: Dengelenmiş bir üçgende, tabandaki açılar eşittir.

Verilen: Au \u003d au.

Kanıtlamak ∠V \u003d ∠С.

İncir. 3. Teorem'e çizim

Kanıt: ABC Triangle \u003d Dr Üçgen İlk işarette (iki eşit tarafta ve aralarındaki köşede). Üçgenlerin eşitliği, ilgili tüm unsurların eşitliği takip eder. Yani, ispatlamak için gerekli olan ∠V \u003d ∠C.

Theorem 2: Eşit şekilde işlem görmüş bir üçgende açıortayyere yürütülen medyan ve yükseklik.

Verilen: AU \u003d AC, ∠1 \u003d ∠2.

Kanıtlamak CD \u003d DC, BC'ye dik reklam.

İncir. 4. teorem 2 çizim

Kanıt: ADB Triangle \u003d ADC Üçgeni İlk bazda (Reklam - Toplam, AV \u003d AC, ∠BAD \u003d ∠DAC). Üçgenlerin eşitliği, ilgili tüm unsurların eşitliği takip eder. BD \u003d DC, eşit köşelere karşı yalan söylerken. Yani, reklam medyandır. Ayrıca, eşit taraflara karşı yalan söylerken ∠3 \u003d ∠4. Ancak, ayrıca, miktarda eşittirler. Sonuç olarak, ∠3 \u003d ∠4 \u003d. Böylece, reklam, kanıtlaması gereken üçgenin yüksekliğidir.

Sadece durumda a \u003d b \u003d. Bu durumda, doğrudan AC ve CD dik olarak adlandırılır.

Bisector, yükseklik ve medyan aynı segment olduğundan, aşağıdaki ifadeler her ikisi de:

Tabana iletilen erişilemeyen bir üçgenin yüksekliği, ortanca ve bisektördür.

Medyan, tabanına yürütülen bir üçgendir, yükseklik ve bisektördür.

Örnek 1: Dengelenmiş bir üçgende, baz yandan iki kat daha azdır ve çevre 50 cm'dir. Üçgenin kenarlarını bulun.

Verilen: AU \u003d AC, SUN \u003d AC. P \u003d 50 cm.

Bulmak: Güneş, AV.

Karar:

İncir. 5. Örneğin Çizim 1

Uçağın tabanını A olarak belirtir, ardından AV \u003d AC \u003d 2A.

2A + 2A + A \u003d 50.

5A \u003d 50, A \u003d 10.

Cevap: Sun \u003d 10 cm, AC \u003d ab \u003d 20 cm.

Örnek 2: Tüm köşelerin eşdeğer üçgeninde olduğunu kanıtlayın.

Verilen: AB \u003d SUN \u003d SA.

Kanıtlamak ∠A \u003d ∠B \u003d ∠С.

Kanıt:

İncir. 6. Örneğin çizim

∠B \u003d ∠C, AV \u003d AC ve ∠A \u003d ∠'ten beri, hoparlör \u003d güneş.

Sonuç olarak, ispatlamak için gereken ∠A \u003d ∠V \u003d ∠c.

Cevap: Kanıtlanmış.

Bugünün dersinde, eşlik edilebilir bir üçgene baktık, temel özelliklerini inceledik. Bir sonraki derste, erişilemeyen ve eşkenar bir üçgenin alanını hesaplamak için erişilemez bir üçgen konusundaki zorlukları kestik.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik v.i. ve diğerleri. Geometri 7. - m.: Aydınlanma.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. ve ark. Geometri 7. 5. Ed. - M.: Aydınlanma.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova v.v. Geometri 7 / v.f. Butuzov, S.B. Kadomtsev, v.v. Prasolova, Ed. Sadovnichny v.a. - M.: Aydınlanma, 2010.

1. Akademisyen () 'de sözlükler ve ansiklopediler.
2. Pedagojik fikrin festivali "açık ders" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / v.f. Butuzov, S.B. Kadomtsev, v.v. Prasolova, Ed. Sadovnichny v.a. - M.: Aydınlanma, 2010.

2. Bir denge üçgeninin çevresi 35 cm'dir ve baz üç kat daha az yan taraftır. Üçgenin kenarlarını bulun.

3. Dana: Av \u003d Sun. ∠1 \u003d ∠2 olduğunu kanıtlayın.

4. Dengelenmiş bir üçgenin çevresi 20 cm'dir, yanlarından biri diğerinin iki katıdır. Üçgenin kenarlarını bulun. Kaç tane çözümün görevi var?

Medeniyetimizin ilk tarihçileri eski Yunanlılardır - Mısır'a geometri kökeninin bir yer olarak bakın. Onlarla aynı fikirde olmamak zor, bilerek, hangi şaşırtıcı doğruluk, firavunların dev mezarı olduğunu bilerek. Piramitlerin düzlemlerinin, oranlarındaki oranlarının, dünyanın yanlarında oryantasyonları - bu tür bir mükemmelliğe ulaşmak için, geometri temellerini bilmeden düşünülemez olacaktır.

"Geometri" kelimesi kendisi "toprak ölçümü" olarak çevrilebilir. Ve "Dünya" kelimesi, bir gezegen olarak değil - güneş sisteminin bir parçası değil, bir uçak olarak hareket eder. Tarımın bakımı altındaki alanın işaretlemesi, geometrik figürler, türleri ve özellikleri üzerindeki bilimin en ilk temeli olması muhtemeldir.

Üçgen, sadece üç nokta içeren (daha az yok) içeren en basit mekansal plansal figürdür. Vakfın temeli olabilir, çünkü onun içinde gizemli ve eski bir şey. Üçgenin içindeki OCO OCO, ünlü gizli işaretlerin en eskilerinden biri ve dağılımının coğrafyası ve zaman çerçevesi sadece şaşırtıcı hayal gücü. Eski Mısır, Sümerian, Aztek ve diğer medeniyetlerden, okulun etrafında dağınıktır.

Üçgenler nelerdir

Sıradan bir çok yönlü üçgen, hiçbiri doğrudan olmayan, farklı uzunlukların ve üç köşenin üç bölümünden oluşan kapalı bir geometrik şekildir. Ona ek olarak, birkaç özel tür var.

Üçgen akut, 90 derecenin altındaki tüm açılara sahiptir. Başka bir deyişle, böyle bir üçgenin tüm açıları keskindir.

Teorem'in bolluğu nedeniyle okul çocuklarının ağladığı dikdörtgen üçgen, 90 derecelik bir değere sahip veya doğrudan da olarak adlandırılır.

Aptal üçgen, köşelerinden birinin aptalca olduğu, yani değeri 90 dereceden fazla olduğu gerçeğiyle karakterizedir.

Eşkenar üçgenin aynı uzunlukta üç tarafı var. Böyle bir rakam da tüm açılara eşittir.

Son olarak, üç tarafın eşit bir üçgeninde ikisi kendi aralarında.

Ayırt edici özellikleri

Eşit bir üçgenin özellikleri ana, en önemlisi, farkın her iki tarafın eşitliğidir. Bu tarafların kalça (veya daha sık, yan tarafları) olarak adlandırılması kabul edilir, ancak üçüncü taraf "temel" olarak adlandırılır.

Olarak kabul edilen şekilde a \u003d b.

Eşit bir üçgenin ikinci işareti sinüs teoreminden takip eder. A ve B'nin yanları, zıt açıların sinüslerine eşit olduğundan:

a / SIN Γ \u003d B / SIN α, sahip olduğumuz yerden: SIN Γ \u003d SIN α.

Sinüslerin eşitliğinden, açıların eşitliği izlenir: Γ \u003d α.

Böylece, bir denge üçgeni ikinci işareti, tabanın bitişiğindeki iki açının eşitliğidir.

Üçüncü işareti. Üçgen bu tür unsurları yükseklik, bisektör ve medyan olarak ayırt eder.

Sorunu çözme sürecinde ise, üçgende dikkate alınan üçgenin, bu elemanlardan herhangi biri çakışıyorsa, bisector ile yükseklik; Medyan ile bissectrix; Medyan yüksekliğe sahip - açıkça üçgenin wasosbered olduğu sonucuna varabiliriz.

Şekilin geometrik özellikleri

1. Bir ISCED üçgenin özellikleri. Şekilin kendine özgü özelliklerinden biri, bazın bitişiğindeki açıların eşitliğidir:

<ВАС = <ВСА.

2. Başka bir özellik yukarıda tartışılmaktadır: Medyan, bisektör ve dengeli bir üçgenin yüksekliğinde, köşelerinin tabanına yapıldığı takdirde çakışır.

3. Üsteki köşelerden yapılan bissectris eşitliği:

AE, sizin açının bisektörü ise ve CD, BCA açısının bisektriğidir, o zaman: AE \u003d DC.

4. Eşit bir üçgenin özellikleri ayrıca, tabandaki köşelerden gerçekleştirilen yüksekliklerin eşitliği de sağlar.

ABS üçgenin yüksekliğini (AV \u003d Sun) köşeleri A ve C'den birleştirirseniz, elde edilen CD segmentleri ve AE'ye eşit olacaktır.

5. Temeldeki köşelerden harcanan medyanlar da eşit olacaktır.

Yani, AE ve DC medyanlar ise, yani, AD \u003d DB ve \u003d EC, sonra AE \u003d DC.

Erişilemez bir üçgenin yüksekliği

Yan tarafların eşitliği ve köşeleri, dikkate alınarak rakamın elemanlarının uzunluklarını hesaplarken bazı özellikler sunar.

Dengelenmiş bir üçgendeki yükseklik, 2 simetrik dikdörtgen üçgen üzerindeki rakamı, yan tarafların olduğu hipotenuslarla ayrılır. Bu durumda yükseklik, Catat gibi Pythagora teoremine göre belirlenir.

Üçgen, üç tarafa da eşit olabilir, o zaman eşdeğer olarak adlandırılır. Eşkenar üçgenin yüksekliği aynı şekilde belirlenir, yalnızca hesaplamalar için sadece bir değer bilmek yeterlidir - bu üçgenin kenarının uzunluğu.

Örneğin, tabanı ve buna bitişiğin açısını bilerek yüksekliği ve diğer yolu belirleyebilirsiniz.

Medyan daha önce bir üçgendir

Geometrik özellikler nedeniyle üçgenin türü göz önünde bulundurulur, sadece en az kaynak veri kümesinde tamamen çözülür. Dengeli bir üçgendeki medyan boyuna eşit olduğundan ve bisektörü, tanımının algoritması bu elemanları hesaplama sırasından farklı değildir.

Örneğin, medyanın iyi bilinen tarafta ve üstteki açının büyüklüğünü belirlemek mümkündür.

Çevre nasıl belirlenir

Söz konusu planimetrik şekilden bu yana, iki taraf her zaman eşittir, o zaman bazın uzunluğunu ve taraflardan birinin uzunluğunu bilmek yeterlidir.

Ünlü taban ve yükseklikte üçgenin çevresini belirlemeniz gerektiğinde bir örneği düşünün.

Çevre, tabanın toplamına ve iki katı tarafın uzunluğuna eşittir. Yan tarafta, sırayla, Pythagora teoremi, dikdörtgen bir hipotenus olarak kullanılarak belirlenir. Uzunluğu, boyun yarısının yüksekliğinin ve karenin karesinin toplamının kök karesine eşittir.

Eşit zincirli bir üçgenin karesi

Bir kural, zorluklar ve eşit olmayan bir üçgen alanın hesaplanmasına neden olmaz. Üçgenin alanını belirlemenin evrensel kuralı, zammımızın yüksekliğindeki üssün yarısı, elbette, durumumuzda uygulanabilir. Ancak, dengeli bir üçgenin özellikleri tekrar görevi kolaylaştırır.

Tabana bitişik olan yüksekliğin ve açının bilindiğini varsayalım. Şekilin alanını belirlemek gerekir. Bunu bu şekilde yapabilirsiniz.

Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180 ° olduğundan, köşeyi belirlemek zor değildir. Daha sonra, sinüs teoremine göre derlenen oranı kullanarak, üçgen tabanın uzunluğu belirlenir. Her şey, taban ve yükseklik - alanı belirlemek için yeterli veri - mevcuttur.

Bir denge üçgenin diğer özellikleri

Dengeli bir üçgenin etrafında tarif edilen dairenin merkezinin konumu, köşe açısının büyüklüğüne bağlıdır. Bu nedenle, bir anossel üçgeni akut ise, dairenin merkezi figürün içinde bulunur.

Aptal bir sözlü üçgenin etrafında açıklanan dairenin merkezi, dışında yatıyor. Ve nihayet, eğer üstteki açının büyüklüğü 90 ° 'dir, merkez tam olarak tabanın tam ortasında yatmaktadır ve tabanın kendisi için de dairenin çapını geçer.

Dengeli bir üçgenin yakınında açıklanan dairenin yarıçapını belirlemek için, yan yan tarafı, köşedeki köşenin açısının yarısının çift kosinüsüne bölmek için yeterlidir.