Klasikinės tikimybės apibrėžimo užduotys. Sprendimų pavyzdžiai. Pagrindinė tikimybės teorijos samprata

"Nelaimingas atsitikimas nėra atsitiktinis" ... tai skamba kaip filosofas, bet iš tikrųjų studijuoti didžiojo matematikos mokslo atsitiktinumą. Matematikoje yra tikimybės teorijos tikimybė. Formulės ir užduočių pavyzdžiai, taip pat pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai bus pateikti straipsnyje.

Kas yra tikimybės teorija?

Tikimybės teorija yra viena iš matematinių disciplinų, kurie studijuoja atsitiktinius įvykius.

Kad būtų šiek tiek aiškesnis, mes duodame nedidelį pavyzdį: jei mesti monetą, jis gali nukristi "erelis" arba "pločio". Nors moneta yra ore, abi šios tikimybės yra įmanoma. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė koreliuoja 1: 1. Jei ištraukiate vieną iš denio su 36 kortelėmis, tikimybė bus nurodyta kaip 1:36. Atrodytų, kad nėra nieko ištirti ir prognozuoti, ypač su matematinėmis formulėmis. Tačiau, jei kartojate tam tikrą veiksmą daug kartų, galima nustatyti kai kuriuos reguliarumą ir grindžiamas jį prognozuoti įvykių rezultatus kitomis sąlygomis.

Jei apibendriname visus pirmiau minėtus dalykus, tikimybės klasikiniame supratimui teorija tyrinėja vieno iš galimų skaitinės vertės įvykių galimybę.

Nuo istorijos puslapių

Pirmųjų užduočių tikimybės, formulių ir pavyzdžių teorija pasirodė atstumo viduramžiais, kai bandoma prognozuoti kortelių žaidimų rezultatus pirmą kartą.

Iš pradžių tikimybės teorija neturėjo nieko bendro su matematika. Tai pateisinama su empiriniais faktais ar įvykio savybėmis, kurios galėtų būti atgamintos praktikoje. Pirmasis darbas šioje srityje kaip matematinėje disciplinoje pasirodė XVII a. Pascal ir Pierre Farm buvo šepečiu nei blazers. Ilgą laiką jie studijavo lošimus ir pamatė tam tikrus modelius, kuriuos jie nusprendė pasakyti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado "Huygens" krikščionys, nors jis nebuvo susipažinęs su Pascal ir ūkio studijų rezultatais. "Tikimybės" teorijos sąvoka, formulės ir pavyzdžiai, kurie yra laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje, buvo įvesta.

Jokūbas Bernoulli, Laplas ir Poisson teoremai yra svarbūs. Jie padarė tikimybės teoriją kaip matematinę discipliną. Jo dabartinis požiūris į tikimybių teoriją, formules ir pavyzdžių pagrindinių užduočių buvo gauti dėka Kolmogorovo aksiomų. Dėl visų pakeitimų tikimybės teorija tapo viena iš matematinių skyrių.

Pagrindinės tikimybės teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos koncepcija yra įvykis. Renginiai yra trys rūšys:

• Patikimas. Tie, kurie įvyks bet kuriuo atveju (moneta sumažės).
• Neįmanomas. Įvykiai, kurie neįvyks su jokiu būdu (moneta pakabinama ore).
• Atsitiktinai. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jie gali turėti įtakos skirtingiems veiksniams, kuriuos labai sunku prognozuoti. Jei kalbame apie monetą, tada atsitiktiniai veiksniai, kurie gali turėti įtakos rezultatui: fizinės monetos savybės, jos formos, pradinė padėtis, metimo jėga ir kt.

Visi pavyzdžių renginiai žymimi kapitalo lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kuris yra priskirtas dar vienas vaidmuo. Pavyzdžiui:

• A \u003d "Studentai atvyko į paskaitą."
• Â \u003d "Studentai nesikreipė į paskaitą."

Praktinėmis užduotimis įvykiai priimami įrašyti žodžius.

Vienas iš svarbiausių įvykių savybių yra jų pusiausvyros. Tai yra, jei mesti monetą, visos pradinio rudens parinktys yra įmanoma, kol jis sumažėjo. Bet taip pat renginiai nėra lygūs. Taip atsitinka, kai kažkas specialiai paveikia rezultatus. Pavyzdžiui, "pažymėtos" žaidimo kortelės arba kaulai, kuriuose keičiamas svorio centras.

Net įvykiai yra suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vieni kitų. Pavyzdžiui:

• A \u003d "Studentas atvyko į paskaitą."
• B \u003d "Studentas atvyko į paskaitą."

Šie įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o vieno iš jų išvaizda neturi įtakos kito išvaizdai. Nesuderinamais įvykiais lemia tai, kad vienos išvaizda pašalina kito išvaizdą. Jei kalbame apie tą pačią monetą, tada "patiekalas" praradimas neįmanoma pasirodyti "erelis" tame pačiame eksperimente.

Veiksmai apie įvykius

Renginius galima padauginti ir sulankstyti atitinkamai, loginiai raiščiai "ir" ir "arba" yra įvesta disciplina.

Šią sumą lemia tai, kad pasirodo įvykis A arba B arba du du kartus. Tuo atveju, kai jie yra nesuderinami, paskutinis variantas yra neįmanomas, nukrenta arba A arba V.

Įvykių dauginimas yra A ir vienu metu išvaizda.

Dabar galite pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau prisimintumėte tikimybės ir formulių pagrindus, teoriją. Kitas užduočių sprendimų pavyzdžiai.

1 pratimas: Bendrovė dalyvauja konkurse dėl trijų darbo veislių sutarčių. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

• A \u003d "Bendrovė gaus pirmąją sutartį."
• Ir 1 \u003d "įmonė negaus pirmosios sutarties."
• B \u003d "Įmonė gaus antrąją sutartį."
• 1 \u003d "įmonė negaus antrosios sutarties"
• C \u003d "įmonė gaus trečiąją sutartį."
• Nuo 1 \u003d "Bendrovė negaus trečiosios sutarties."

Naudojant veiksmus renginiuose, bandykime išreikšti šias situacijas:

• K \u003d "Įmonė gaus visas sutartis".

Matematinėje formoje lygtis turės tokią formą: k \u003d abc.

• M \u003d "Bendrovė negauna vienos sutarties."

M \u003d 1 1 s 1.

Užpildykite užduotį: H \u003d "Bendrovė gaus vieną sutartį." Kadangi tai nėra žinoma, kokia sutartis gaus bendrovę (pirmoji, antroji ar trečioji), būtina įrašyti visą galimų įvykių spektrą:

N \u003d 1 saulė 1 υ AV 1 C1 υ a 1 iš 1 C.

Ir 1 saulė 1 yra įvykių, kuriuose įmonė negauna pirmosios ir trečiosios sutarties, bet gauna antrą. Kiti galimi įvykiai įrašomi atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje rodo paketą "arba". Jei mes išversti nurodytą pavyzdį žmogaus kalba, įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmojo. Panašiai, kitos sąlygos gali būti įrašytos į disciplinos "tikimybės teoriją". Formulės ir pirmiau pateiktų užduočių sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šiame matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė koncepcija. Yra 3 tikimybių apibrėžimai:

• klasikinis;
• statistiniai;
• geometrinis.

Kiekvienas turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybės, formulių ir pavyzdžių teorija (9 klasė) daugiausia naudoja klasikinį apibrėžimą, kuris skamba taip:

• Situacijos tikimybė yra lygi rezultatų skaičiaus santykiui, kuris palankiai vertina savo išvaizdą, į galimų rezultatų skaičių.

Formulė atrodo taip: P (a) \u003d m / n.

A - Tiesą sakant, įvykis. Jei atvejis yra priešais A, jis gali būti parašytas kaip  arba 1.

m yra galimų palankių atvejų skaičius.

n - visi įvykiai.

Pavyzdžiui, a \u003d "Patraukite širdies kostiumo kortelę". Standartiniame 36 kortelių denyje, 9 iš jų kirminų. Todėl užduoties sprendimo formulė bus:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Kaip rezultatas, tikimybė, kad kirminų kostiumas bus ištrauktas iš denio, bus 0,25.

Į aukštesnę matematiką

Dabar ji tapo šiek tiek žinoma, kokia tikimybė, formulės ir pavyzdžių sprendžiant užduotis, kurios susiduria mokykloje programoje. Tačiau tikimybės teorija susitinka aukštesnėje matematikoje, kuri mokoma universitetuose. Dažniausiai ten veikia geometriniai ir statistiniai teorijos ir sudėtingos formulės apibrėžimai.

Labai įdomi tikimybės teorija. Formulės ir pavyzdžiai (aukštesnė matematika) Geriau pradėti mokytis nuo mažo vieno - nuo statistinio (arba dažnio) tikimybės nustatymo.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikei ir šiek tiek plečia. Jei pirmuoju atveju buvo būtina nustatyti, kuri labiau tikėtina įvykis, tada šiame metode būtina nurodyti, kaip dažnai tai įvyks. Čia įvesta nauja "santykinio dažnio" koncepcija, kurią galima pažymėti W N (a). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei klasikinė formulė apskaičiuojama dėl prognozės, tada statistikos - pagal eksperimento rezultatus. Paimkite, pavyzdžiui, nedidelę užduotį.

Technologijų kontrolės departamentas tikrina produktus už kokybę. Tarp 100 produktų rasta 3 žemos kokybės. Kaip rasti kokybės produkto dažnio tikimybę?

A \u003d "Aukštos kokybės prekių išvaizda".

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Taigi kokybės produkto dažnis yra 0,97. Kur gausite 97? Iš 100 produktų, kurie buvo patikrinti, 3 pasirodė esąs prastos kokybės. Nuo 100 posūkio 3, mes gauname 97, tai yra kokybiško produkto kiekis.

Šiek tiek apie kombinatorių

Kitas tikimybės metodas vadinamas deriniai. Jo pagrindinis principas yra tas, kad jei tam tikras pasirinkimas gali būti atliekamas pagal m skirtingais būdais, o b yra N pasirinkimas įvairiais būdais, tada A ir B pasirinkimas gali būti atliekamas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto ir mieste Vadovuose 5 keliuose. Nuo miesto iki miesto su 4 būdais. Kiek būdų galima pasiekti iš miesto ir miesto s?

Viskas yra paprasta: 5x4 \u003d 20, tai yra dvidešimt skirtingais būdais galima pasiekti nuo A taško iki S.

Apsunkinti užduotį. Kiek būdų sukurti korteles Solitaire? 36 kortelių denyje - tai yra pradinis taškas. Norėdami sužinoti būdų, jums reikia nuo pradinio taško "atimti" ant to paties žemėlapio ir dauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d rezultatas netelpa skaičiuoklės ekrane, todėl jis gali būti paprasčiausiai pažymėtas 36!. Ženklas "!" Netoli skaičiaus rodo, kad visas skaičius skaičius skiriasi vienas su kitu.

Kombinatoriai pateikia tokias sąvokas kaip Permutacija, apgyvendinimas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Užsisakytas rinkinių rinkinys yra vadinamas išdėstymu. Įdarbinimas gali būti su pakartojimais, tai yra, vienas elementas gali būti naudojamas kelis kartus. Ir be pakartojimų, kai daiktai nėra kartojami. N yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja apgyvendintuose. Įdarbinimo formulė be pakartojimo bus:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Junginiai iš N elementų, kurie skiriasi tik pagal paskirties tvarka yra vadinama Permutacija. Matematikoje jis turi formą: p n \u003d n!

Sujungia nuo N elementų M yra vadinami tokiais junginiais, kuriuose svarbu, kokie elementai buvo ir kokie jų bendra yra. Formulė apžvelgs:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli formulė. \\ T

Tikimybės teorija, taip pat kiekvienoje disciplinoje, yra puikių darbų savo mokslo darbuotojų, kurie atnešė jį į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra "Bernoulli" formulė, kuri leidžia nustatyti tam tikro įvykio tikimybę nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad eksperimento išvaizda nepriklauso nuo atsiradimo ar neatsižvelgiant į tą patį įvykį anksčiau atliktuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernoulli lygtis:

P N (m) \u003d C n m × p m × q N-m.

Įvykio (a) išvaizdos tikimybė (P) yra nepakitusi kiekvienam bandymui. Tikimybė, kad situacija įvyks tiksliai M kartus N kiekiai eksperimentų bus apskaičiuojamas pagal formulę, pateiktą pirmiau. Atitinkamai kyla klausimas, kaip išsiaiškinti numerį Q.

Jei įvykis yra atitinkamai, jis negali ateiti. Įrenginys yra numeris, kurį reikia žymėti visi disciplinos situacijos rezultatai. Todėl Q yra numeris, kuris reiškia neįmanomų įvykių galimybę.

Dabar žinote Bernoulli formulę (tikimybės teorija). Užduočių sprendimo pavyzdžiai (pirmasis lygis) Apsvarstykite toliau.

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas atliks pirkimą su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai lankėsi parduotuvėje. Kokia yra tikimybė, kad lankytojas atliks pirkimą?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų pirkti, vieną ar visus šešis, būtina apskaičiuoti visas galimas tikimybes naudodami Bernoulli formulę.

A \u003d "Lankytojas atliks pirkimą."

Šiuo atveju: P \u003d 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, Q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (nes parduotuvėje yra 6 lankytojai). Numeris m pasikeis nuo 0 (pirkėjas nepareiškia pirkimo) iki 6 (visi lankytojai saugoti kažką bus įsigytas). Kaip rezultatas, mes gauname sprendimą:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Nė vienas iš pirkėjų pirkti su 0,2621 tikimybe.

Kaip dar yra Bernoulli formulė (tikimybės teorija)? Pavyzdžiai sprendžiant problemas (antrasis lygis) toliau.

Po pirmiau minėto pavyzdžio kyla klausimų, kur pasidalinti su ir r. Palyginti su P numeriu iki 0 laipsnio bus lygi vienai. Kaip C, tai galima rasti formulėje:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje M \u003d 0, atitinkamai C \u003d 1, kuris iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudojant naują formulę, pabandykime išsiaiškinti, kokia yra tikimybė pirkti prekes dviem lankytojais.

P 6 (2) \u003d C6 2 × P2 × 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Ne taip sudėtinga tikimybės teorija. Bernoulli formulė, kurių pavyzdžiai pateikiami pirmiau, kuris yra tiesioginis įrodymas.

Formulė Poisson.

"Poisson" lygtis naudojama mažai tikimybėms apskaičiuoti atsitiktines situacijas.

Pagrindinė formulė:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

Šiuo atveju λ \u003d N x p. Tai toks paprastas poissono formulė (tikimybės teorija). Užduočių sprendimo pavyzdžiai toliau svarsto.

3 užduotis.: Gamykloje sudarė 100 000 vienetų kiekį. Sugedusios dalies išvaizda \u003d 0,0001. Kokia yra tikimybė, kad 5 trūkumai bus partijoje?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis ir ryšium su kuris yra naudojamas skaičiuoti polissono formulė (tikimybės teorija). Pavyzdžiai sprendžiant problemas tokio pobūdžio nesiskiria nuo kitų užduočių disciplinos, sumažintos formulės mes pakeisti būtinus duomenis:

A \u003d "Atsitiktinai pasirinktas elementas bus sugedęs."

p \u003d 0,0001 (pagal priskyrimo sąlygą).

n \u003d 100000 (dalių skaičius).

m \u003d 5 (defektinės dalys). Mes pakeisdami duomenis formulėje ir gauti:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Taip pat Bernoulli formulė (tikimybės teorija), sprendimų, kurių pagalba yra nurodyta pirmiau, pavyzdžiai, "Poisson" lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, jį galima rasti formulėje:

e -λ \u003d Lim N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Tačiau yra specialios lentelės, kuriose yra beveik visos vertės.

MoavorRow Laplaso teorema

Jei Bernoulli schemoje Bernoulli bandymų skaičius ir įvykio ir visose schemose tikimybė yra tokia pati, tada įvykių tikimybė ir tam tikras skaičius bandymų serijoje galima rasti kaip LAPLAPL formulė:

P N (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybės teoriją), užduočių pavyzdžiai žemiau.

Pirmiausia surasime X m, mes pakeisime duomenis (jie yra visi nurodyti aukščiau) formulėje ir gauti 0,025. Naudodamiesi lentelėmis, mes randame numerį φ (0,025), kurio vertė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis formulėje:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Taigi tikimybė, kad reklamos lapelis veiks tiksliai 267 kartus, yra 0,03.

Formulės Bayes.

"Bayes" formulė (tikimybės teorija), užduočių sprendimo pavyzdžiai, su kuriais bus parodyta toliau, yra lygtis, apibūdinanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti susijusios su ja. Pagrindinė formulė yra tokia forma:

P (a | b) \u003d p (a) x p (a) / p (c).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P (a | b) - sąlyginė tikimybė, ty įvykis gali įvykti a, su sąlyga, kad įvykis yra teisingas.

P (a) - įvykio sąlyginė tikimybė V.

Taigi, galutinė mažo kurso dalis "Tikimybės teorija" yra "Bayes" formulė, užduočių sprendimų pavyzdžiai, su kuriais toliau pateikiami.

5 užduotis.: Sandėlis atnešė telefonus iš trijų įmonių. Tuo pačiu metu dalis telefonų, kurie gaminami pirmame augale, yra 25%, antrajame - 60%, trečią - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinė defektinių produktų procentinė dalis pirmojoje gamykloje yra 2%, antrajame - 4%, o trečiame - 1%. Būtina rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas bus sugedęs.

A \u003d "Atsitiktinai paimta telefonas."

1-ame telefone, kuris padarė pirmąją gamyklą. Atitinkamai pasirodys 2 ir 3 įžanginė (antroji ir trečioji gamyklų).

Kaip rezultatas, mes gauname:

P (1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (2) \u003d 0,6; P (3) \u003d 0,15 - Taigi mes nustatėme kiekvienos galimybės tikimybę.

Dabar jums reikia rasti sąlyginę tikimybę norimo įvykio, tai yra, defektinių produktų tikimybė įmonėms:

P (A / IN 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / IN 2) \u003d 0,04;

P (a / in 3) \u003d 0,01.

Dabar mes pakeisime "Bayes" formulės duomenis ir gausime:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybės, formulių ir problemų sprendimo pavyzdžių teorija, tačiau tai yra tik ledkalnio disciplinos viršūnė. Ir po visų parašytų, tai bus logiška paklausti, ar tikimybės teorija reikalinga gyvenime. Sunku atsakyti į paprastą asmenį atsakyti, geriau paklausti apie tai, kas su savo pagalba, nepažeidė Jack-prakaito.

Trumpa teorija

Dėl kiekybinio palyginimo įvykių su galimybe jų išvaizdos laipsniu, įvesta skaitinė priemonė, kuri vadinama įvykio tikimybe. Atsitiktinio įvykio tikimybė Numeris, kuris yra tikslinės galimybės įvykio išvaizdos priemonės išraiška yra vadinamas.

Vertybės, kuriose nustatoma, kaip reikšmingi objektyvios priežastys yra tikimės įvykių tikimybe. Būtina pabrėžti, kad tikimybė yra objektyvia vertė, kuri yra nepriklausomai nuo mokymosi ir dėl visos sąlygų, kurios prisideda prie įvykio atsiradimo.

Paaiškinimai, kuriuos mes suteikėme tikimybės sąvoką, nėra matematinė apibrėžtis, nes jie nenustato šios koncepcijos kiekybiškai. Yra keletas tikimybių apibrėžimų atsitiktinio įvykio, kuris plačiai naudojamas sprendžiant konkrečias užduotis (klasikinės, aksiomatinės, statistikos ir tt).

Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas Palaiko šią koncepciją į išsamesnę pusiausvyros įvykių koncepciją, kuri nebėra apibrėžta ir manoma, kad yra intuityvi. Pavyzdžiui, jei žaidimo kaulas yra homogeniškas kubas, tada bet kurio šio kubo kraštų kritimas bus lygus renginiams.

Leiskite patikimam įvykiui dezintegruoti pusiausvyros atvejais, kurių suma suteikia įvykiui. Tai yra atvejai, kurių dezintegracija yra vadinami palanki tuo atveju, nes vieno iš jų išvaizda yra įžeidžiantis.

Renginių tikimybė bus pažymėta simboliu.

Renginio tikimybė yra lygi jai palanki dėžių skaičiaus santykiui nuo visų galimų, lygių ir neatitikimų skaičiaus, t. Y..

Tai yra klasikinis tikimybės apibrėžimas. Taigi, norint rasti įvykio tikimybę, būtina, atsižvelgdama į įvairius bandymo rezultatus, kad būtų galima rasti vienintelius, lygių ir nenuoseklių atvejų rinkinį, apskaičiuoti jų bendrą numerį N, m atvejais, kurie yra palankūs Šis įvykis ir tada apskaičiuoti skaičiavimą pagal aukščiau nurodytą formulę.

Renginio tikimybė, lygi palankių patirties patirties patirties skaičiaus santykiui, vadinami viso patirties rezultatų skaičiumi klasikinis tikimybė Atsitiktinis įvykis.

Nustatymas teka šias tikimybės savybes:

Nuosavybė 1. Patikimo įvykio tikimybė yra lygi vienai.

Nuosavybė 2. neįmanoma įvykio tikimybė yra nulis.

Nuosavybė 3. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius, sudarytas tarp nulio ir vieneto.

Nuosavybė 4. įvykių, sudarančių pilną grupę tikimybė, tikimybė yra lygi vienai.

NUTRAUKIMAS 5 Priešingo įvykio tikimybė yra apibrėžta taip pat, kaip įvykio įvykio tikimybė A.

Atvejų, palankių priešingo įvykio atsiradimo, skaičius. Iš čia esančio priešingo įvykio tikimybė yra lygi skirtumui tarp vieneto ir įvykio tikimybės:

Svarbus privalumas klasikinio apibrėžimo įvykio tikimybės yra tai, kad su savo pagalba, įvykio tikimybė gali būti nustatoma nenaudojant eksperimento ir remiantis logišku argumentu.

Atliekant sąlygas, patikimas įvykis tikrai įvyks, o neįmanoma nebūtinai įvykti. Tarp įvykių, kurie, sukuriant sąlygas, gali atsirasti, ir gali neįvyks, kai kurie gali pasikliauti didele baze, į kitų su mažesniu pagrindu išvaizda. Jei, pavyzdžiui, baltų kamuoliukų urn daugiau nei juoda, tada viltis dėl balto dubens išvaizdos, kai pašalinti iš URN daug daugiau priežasčių nei ant juodos dubenes išvaizda.

Problemos sprendimo pavyzdys

1 pavyzdys.

Dėžutėje yra 8 baltos, 4 juodos ir 7 raudonos rutuliai. Maršrutas Gauta 3 kamuoliukų. Raskite šių įvykių tikimybę: - ekstrahuojamas bent 1 raudonasis rutulys - yra mažiausiai 2 rutuliai vienos spalvos, - yra bent 1 raudona ir 1 balta kamuolys.

Problemos sprendimas

Bendras bandymų rezultatų skaičius bus rodomas kaip 19 (8 + 4 + 7) 3 derinių skaičius:

Raskite įvykio tikimybę - išgaunamas mažiausiai 1 raudonojo rutulio (1,2 arba 3 raudoni rutuliukai)

Norimą tikimybę:

Tegul įvykis - yra mažiausiai 2 dubenys vienos spalvos (2 arba 3 balti rutuliai, 2 arba 3 juodi rutuliai ir 2 arba 3 raudoni rutuliai)

Rezultatų, padedančių įvykiams, skaičius:

Norimą tikimybę:

Tegul įvykis - yra bent vienas raudonas ir 1 baltas rutulys

(1 raudona, 1 balta, 1 juoda arba 1 raudona, 2 balta arba 2 raudona, 1 balta)

Rezultatų, padedančių įvykiams, skaičius:

Norimą tikimybę:

Atsakymas:P (a) \u003d 0,773; p (c) \u003d 0,7688; P (d) \u003d 0,6068

2 pavyzdys.

Du žaidimo kaulai buvo išmesti. Raskite tikimybę, kad taškų kiekis yra ne mažesnis kaip 5.

Sprendimas Šis sprendimas

Tegul įvykis - mažiausiai 5 taškų kiekis

Mes naudojame klasikinę tikimybės apibrėžimą:

Bendras galimų bandymų rezultatų skaičius

Bandymų, palankių, suinteresuotų renginyje, skaičius

Dėl kritusios pirmojo žaidimo kubo veido, vienas taškas gali pasirodyti, du taškai ..., šeši taškai. Panašiai, šeši rezultatai yra įmanoma mesti antrą kubą. Kiekvienas iš mesti pirmuosius kauliukus rezultatus gali būti derinami su kiekvienu iš antrojo rezultatų. Taigi bendras galimų elementarių bandymų rezultatų skaičius yra lygus paskirties vietų su pakartojimais (pasirinkimas su 2 elementais nuo bendro 6 tūrio tūrio):

Raskite priešingo įvykio tikimybę - taškų kiekis yra mažesnis nei 5

Mėgstamiausias renginys bus tokie švytinčių taškų deriniai:

Nurodomas geometrinis tikimybės apibrėžimas ir pateikiamas plačiai žinomas susitikimo užduoties sprendimas.

Tikimybės teorija yra gana didelė nepriklausoma matematikos dalis. Mokymosi metais tikimybės teorija laikoma labai paviršutiniškai, tačiau yra užduočių šiai temai. Tačiau nėra taip sunku išspręsti mokyklos kurso užduotis (bent jau tai, kas susiję su aritmetinėmis operacijomis) - čia jums nereikia apsvarstyti išvestinių finansinių priemonių, imtis Integrals ir išspręsti sudėtingus trigonometrinius transformacijas - pagrindinis dalykas yra sugebėti dirbti Paprasti numeriai ir frakcijos.

Tikimybės teorija - pagrindiniai terminai

Pagrindinės tikimybės teorijos sąlygos yra bandymai, rezultatas ir atsitiktinis įvykis. Tikimybės teorijos testas vadinamas eksperimentu - mesti monetą, ištraukite kortelę, atkreipkite piešti - visus šiuos bandymus. Bandymo rezultatas, kaip jau atspėjote, vadinamas rezultatais.

Kas yra atsitiktinis įvykis? Tikimybės teorijoje manoma, kad bandymas atliekamas daug kartų daug rezultatų. Atsitiktinis įvykis vadinamas daugelio bandymų rezultatų. Pavyzdžiui, jei mesti monetą, gali atsirasti du atsitiktiniai įvykiai - Eagle ar Rush Falls.

Nepainiokite rezultatų ir atsitiktinio įvykio. Rezultatas yra vienas vieno bandymo rezultatas. Atsitiktinis įvykis yra įvairių galimų rezultatų. Beje yra toks terminas kaip neįmanoma įvykis. Pavyzdžiui, įvykis "nukrito numeris 8" ant standartinio žaidimo kubo yra neįmanoma.

Kaip rasti tikimybę?

Mes visi suprantame, kas yra tikimybė, ir gana dažnai naudoja šį žodį jūsų žodyne. Be to, mes galime padaryti dar keletą išvadų dėl konkretaus įvykio tikimybės, pavyzdžiui, jei už sniego lango, mes galime būti tikėtina, kad dabar nėra vasara. Tačiau kaip išreikšti šią prielaidą skaičiai?

Norint įvesti tikimybės paieškos formulę, pristatome kitą koncepciją - palankų rezultatą, t. Y. Rezultatas, kuris yra palankus tam tikram įvykiui. Apibrėžimas yra gana dviprasmiškas, žinoma, tačiau, atsižvelgiant į problemos būklę, visada aišku, kuris iš rezultatų yra palankus.

Pavyzdžiui: 25 klasei žmonės, trys iš jų Kati. Mokytojas skiria olya pareigą ir jai reikia partnerio. Kokia yra tikimybė, kad partneris taps katya?

Šiame pavyzdyje palanki rezultatai - Katya partneris. Šiek tiek vėliau išspręsime šią užduotį. Bet pirmiausia pristatome papildomos apibrėžimo formulės pagalba tikimybei.

• P \u003d A / N, kur P yra tikimybė, a yra palankių rezultatų skaičius, n yra bendras rezultatų skaičius.

Visi mokyklos iššūkiai verčia aplink vieną iš šios formulės, o pagrindiniai sunkumai paprastai susideda iš rezultatų paieškos. Kartais jie yra paprasti rasti, kartais - ne labai.

Kaip išspręsti tikimybės užduotis?

1 užduotis.

Taigi, dabar nuspręsime pirmiau minėtą užduotį.

Palankių rezultatų skaičius (mokytojas pasirenka katya) yra lygus trims, nes katinas trys klasei ir viso rezultatų - 24 (25-1, nes jau pasirinkta olya). Tada tikimybė yra lygi: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Taigi tikimybė, kad "Katya" pasirodys 12,5%. Ar tai lengva? Nuosiukime kažką išsamesnio.

2 užduotis.

Moneta buvo išmesta du kartus, kokia yra derinio tikimybė: vienas erelis ir vienas skubėjimas?

Taigi, mes manome, kad visi rezultatai. Kaip monetos išeina - Eagle / Eagle, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Taigi, bendras rezultatų skaičius - 4. Kiek palankių rezultatų? Du - erelis / skubėti ir skubėti / erelis. Taigi, erelio / skubėjimo derinys tikimybė yra lygi:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 arba 50 proc.

Ir dabar apsvarstykite tokią užduotį. Masha 6 monetų kišenėje: du - 5 rublių nominalas ir keturi - 10 rublių nominalas. Masha nukreipė 3 monetas į kitą kišenę. Kokia yra tikimybė, kad 5 rublių monetos bus skirtingose \u200b\u200bkišenėse?

Paprastumas, mes žymi monetas su numeriais - 1,2 - penkių narių monetų, 3,4,5,6 - dešimties metrų monetų. Taigi, kaip monetos gali būti kišenėje? Iš viso yra 20 derinių:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad kai kurie deriniai dingsta, pavyzdžiui, 231, tačiau mūsų atveju deriniai 123, 231 ir 321 yra lygiaverčiai.

Dabar mes manome, kiek palankių rezultatų mes turime. Jiems mes priimame tuos derinius, kuriuose yra 1 numeris, arba numeris 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Taigi jie yra 12. Taigi, Tikimybė yra lygi:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 arba 60%.

Čia pateiktos tikimybės teorijos užduotys yra gana paprastos, tačiau nemanau, kad tikimybės teorija yra paprasta matematikos dalis. Jei nuspręsite tęsti mokymą universitete (išskyrus humanitarinius specialybes), jūs tikrai turėsite keletą aukštesnių matematikos, kuriai jūs susipažinsite su sudėtingesnėmis šios teorijos sąlygomis, o užduotys bus daug sunkiau .

Iš pradžių yra tik informacijos ir empirinių žaidimų stebėjimų susitikimas į kaulą, tikimybės teorija tapo tvirtu mokslu. Pirmasis, kuris davė savo matematinę sistemą buvo ūkis ir Pascal.

Nuo mąstymo apie amžinąjį į tikimybės teoriją

Du asmenybės, kurias privalo daug pagrindinių formulių, Blaise Pascal ir Thomas Bayes, yra žinomi kaip giliai tikinčiųjų, pastaroji buvo presbiterijos kunigas. Matyt, šių dviejų mokslininkų noras įrodyti nuomonę apie kažkokį laimę, suteikiant sėkmės savo augintiniams, davė impulsą moksliniams tyrimams šioje srityje. Galų gale, iš tiesų, bet kokie lošimai su savo laimėjimais ir nuostoliais yra tik matematinių principų simfonija.

Azarto Cavaller dėka, kuris buvo vienodai žaidėjas ir asmuo, kuris nėra abejingas mokslui, Pascal buvo priverstas rasti būdą apskaičiuoti tikimybę. Senefiliažas buvo suinteresuotas tokiu klausimu: "Kiek kartų turėtumėte mesti du kaulus poromis, kad tikimybė gauti 12 taškų viršijo 50%?". Antrasis klausimas yra labai domisi "Cavallar": "Kaip pasidalinti statymu tarp nebaigto žaidimo dalyvių?" Žinoma, Pascal sėkmingai atsakė į abu klausimus, kurie tapo priverstiniu impulsu tikimybės teorijos kūrimui. Įdomu tai, kad asmens asmuo išliko žinomas mene, o ne literatūroje.

Anksčiau nebuvo matematikas dar nesistengė apskaičiuoti įvykių tikimybių, nes buvo manoma, kad tai tik gady sprendimas. "Blaise Pascal" pirmą kartą pateikė pirmąjį įvykio tikimybės apibrėžimą ir parodė, kad tai yra konkretus skaičius, kuris gali būti pateisinamas matematinėmis priemonėmis. Tikimybių teorija tapo statistikos pagrindu ir yra plačiai naudojamas šiuolaikiniame moksle.

Kas yra nelaimingi atsitikimai

Jei manome, kad bandymas gali pakartoti begalinį kartų skaičių, galite nustatyti atsitiktinį įvykį. Tai yra viena iš tikėtinų patirties rezultatų.

Patirtis yra konkrečių veiksmų įgyvendinimas pastoviomis sąlygomis.

Norėdami dirbti su patirtimi, įvykiai paprastai žymimi raidėmis A, B, C, D, E ...

Atsitiktinio įvykio tikimybė

Kad galėtumėte pradėti matematinę dalį tikimybės, jums reikia apibrėžti visus jo komponentus.

Renginio tikimybė yra išreikšta tam tikro įvykio (A arba B) išvaizdos matavimo forma dėl patirties. Nurodoma, kad tikimybė, kad P (a) arba p b) tikimybė.

Tikimybės teorija atskirti:

• patikimas. \\ T Renginys yra garantuotas dėl eksperimento P (ω) \u003d 1;
• neįmanomas Renginys niekada negali įvykti p (Ø) \u003d 0;
• atsitiktinai Renginys yra tarp patikimų ir neįmanoma, tai yra, jo išvaizdos tikimybė yra įmanoma, bet ne garantuojama (atsitiktinio įvykio tikimybė visada yra per 0≤p (a) ≤ 1).

Santykiai tarp įvykių

Apsvarstykite tiek tą pačią ir A + B įvykių sumą, kai įvykis skaičiuojamas įgyvendinant bent vieną iš komponentų, A arba B arba abu - A ir V.

Vieni su kitam atžvilgiu įvykiai gali būti:

• Pusiausvyra.
• Suderinama.
• Nesuderinama.
• Priešais (tarpusavyje išskirtinę).
• Priklausomas.

Jei du įvykiai gali atsirasti vienodai tikimybe, tada jie pusiausvyra.

Jei įvykio išvaizda ir nesumažina įvykio pasirodymo tikimybės, tada jie suderinama.

Jei įvykiai A ir B niekada nevyksta tuo pačiu metu, jie vadinami nesuderinamas. \\ T. Mesti monetas yra geras pavyzdys: skubėjimo išvaizda automatiškai yra erelio kaltė.

Tokių nesuderinamų įvykių dydžio tikimybė susideda iš kiekvieno įvykio tikimybės:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Jei vieno įvykio pradžia neleidžia kitam įvykti, jie vadinami priešais. Tada vienas iš jų yra paskirtas kaip A, o kitas - Â (skaityti kaip "ne"). Įvykio išvaizda reiškia, kad neįvyko. Šie du įvykiai sudaro visą grupę su tikimybės suma, lygi 1.

Priklausomi įvykiai turi abipusę įtaką, mažinant arba didinant vieni kitų tikimybę.

Renginių santykiai. Pavyzdžiai. \\ T

Pavyzdžiai yra daug lengviau suprasti tikimybės teorijos ir įvykių derinių principus.

Patirtis, kuri bus atlikta yra ištraukti kamuoliukus iš dėžutės, o kiekvienos patirties rezultatas yra elementinis rezultatas.

Renginys yra vienas iš galimų patirties rezultatų - raudonas rutulys, mėlynas rutulys, kamuolys su šešiais skaičiais ir kt.

1 bandymo numeris. Dalyvauja 6 rutuliai, iš kurių trys yra nudažyti į mėlyną, ant jų taikomi nelyginiai skaičiai, o trys kiti yra raudonos su lygiais numeriais.

2 bandymo numeris. 6 rutuliai mėlynos su skaičiais nuo vieno iki šešių yra susiję.

Remiantis šiuo pavyzdžiu, galite skambinti derinius:

• Patikimas įvykis. Į №2 įvykis "gauti mėlyna kamuolys" yra patikimas, nes jo išvaizdos tikimybė yra lygi 1, nes visi rutuliai mėlyna ir praleisti negali būti. Kadangi įvykis "gauti kamuolį su 1" yra atsitiktinis.
• Neįmanoma įvykio. Į №1 su mėlyna ir raudona kamuoliukais įvykis "gauti violetinį rutulį" yra neįmanoma, nes jo išvaizdos tikimybė yra 0.
• EQUAL įvykiai. Į №1 įvykiai "Gaukite kamuolį su numeriu 2" ir "Gaukite kamuolį su 3" pusiausvyros ir įvykių "gauti kamuolį su lygiu" ir "gauti kamuolį su numeriu su 2" turi skirtingą tikimybę .
• Suderinami įvykiai. Du kartus iš eilės, kad gautumėte šešis į žaidimo kaulą - tai yra suderinami įvykiai.
• Nesuderinami įvykiai. Tame pačiame IPT. №1 įvykiai "gauti raudoną rutulį" ir "gauti kamuolys su nelyginiu skaičiumi" negali būti derinamas toje pačioje patirtį.
• Priešingus įvykius. Labiausiai stulbinantis pavyzdys yra mesti monetas, kai erelio traukimas yra prilygstantis upės nelaisvei, o jų tikimybių suma visada yra 1 (visa grupė).
• Priklausomi įvykiai. Taigi, IPT. №1 Galite nustatyti tikslą pašalinti raudoną balioną du kartus iš eilės. Jo gavyba arba nežinoma pirmą kartą paveikia tikimybę išgauti antrą kartą.

Galima matyti, kad pirmasis įvykis žymiai paveikia antrojo (40% ir 60%) tikimybę.

Renginių tikimybės formulė. \\ T

Perėjimas nuo gadetting reflections iki tikslių duomenų yra dėl vertimo temos į matematinę plokštumą. Tai reiškia, kad sprendimai apie atsitiktinį įvykį, pvz., "Didelę tikimybę" arba "minimalią tikimybę", galima perkelti į konkrečius skaitmeninius duomenis. Tokia medžiaga yra leistina įvertinti, palyginti ir įvesti sudėtingesnius skaičiavimus.

Atsižvelgiant į apskaičiavimo požiūriu, įvykio tikimybės apibrėžimas yra elementarių teigiamų rezultatų skaičiaus santykis su visų galimų rezultatų, susijusių su santykinai konkrečiu įvykiu, santykis. Jis nurodomas P (A) tikimybe, kur r reiškia žodį "Probababilit", kuris yra išverstas iš prancūzų kaip "tikimybė".

Taigi, tikimybės formulės įvykis:

Kur m yra palankių rezultatų už įvykį A, N - visų rezultatų sumą įmanoma šiai patirčiai. Šiuo atveju įvykių tikimybė visada yra nuo 0 iki 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Įvykio tikimybės apskaičiavimas. Pavyzdys

Paimkite kalbą. №1 su rutuliais, kurie anksčiau aprašyti: 3 mėlyni rutuliai su numeriais 1/3/5 ir 3 raudona su 2/4/6 numeriais.

Remiantis šiuo bandymu, galima peržiūrėti keletą skirtingų užduočių:

• A - raudonojo dubuo praradimas. Raudonieji rutuliai 3 ir visos parinktys 6. Tai paprasčiausias pavyzdys, kuriame įvykio tikimybė yra P (A) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - netgi skaičiaus praradimas. Iš viso net numeriai 3 (2,4,6), o bendras galimų skaitmenų variantai yra 6. Šio įvykio tikimybė yra P (B) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C yra skaičius, kurio skaičius yra didesnis nei 2. Bendros galimybės 4 (3,4,5,6) nuo bendros galimų rezultatų sumos 6. įvykio tikimybė, lygi P (c) \u003d 4/6 \u003d 0,67 .

Kaip matyti iš skaičiavimų, įvykis C turi didesnę tikimybę, nes tikėtinų teigiamų rezultatų skaičius yra didesnis nei A ir V.

Neteisingi įvykiai

Tokie įvykiai negali vienu metu atsirasti toje pačioje patirtyje. Kaip. \\ T №1 Neįmanoma vienu metu pasiekti mėlyną ir raudoną rutulį. Tai yra, galite gauti mėlyną arba raudoną rutulį. Taip pat žaidžiant kauluose, net ir nelyginis skaičius gali būti tuo pačiu metu.

Dviejų įvykių tikimybė laikoma jų sumos ar darbo tikimybe. Tokių įvykių suma A + B yra laikoma tokiu įvykiu, kuris susideda iš įvykio A arba B atsiradimo, o jų darbas yra abiem. Pavyzdžiui, dviejų šešių ištraukimas iš karto ant dviejų kubelių kraštų viename metimui.

Kelių įvykių suma yra įvykis, susijęs su bent vieno iš jų atsiradimu. Kelių įvykių darbas yra bendras jų išvaizda.

Tikimybės teorijoje, kaip taisyklė, Sąjungos naudojimas "ir" reiškia sumą, sąjungą "arba" - daugyba. Formulės su pavyzdžiais padės suprasti papildymo ir dauginimo logiką tikimybės teorijoje.

Neišsamių įvykių tikimybė

Jei svarstoma nenuoseklių įvykių tikimybė, įvykių dydžio tikimybė yra lygi jų tikimybės pridėjimui:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Pavyzdžiui: aš apskaičiuoju tikimybę, kad kompiuteryje. Nr. 1 su mėlynais ir raudonais rutuliais, 1 ir 4. skaičiuojant ne viename veiksme, tačiau pradinių komponentų tikimybių suma. Taigi, šioje patirtyje tik 6 rutuliai arba 6 iš visų galimų rezultatų. Numeriai, kurie atitinka sąlygą - 2 ir 3. 2 pav. Tikimybė yra 1/6, 3 paveikslo tikimybė taip pat yra 1/6. Tikimybė, kad skaitmuo bus nuo 1 iki 4 yra:

Visos grupės nesuderinamų įvykių tikimybė yra lygi 1.

Taigi, jei eksperimente su kubu, padėkite visų numerių kritimo tikimybes, tada gauname vienetą.

Taip pat tiesa priešingais įvykiais, pavyzdžiui, patirtimi su moneta, kur viena pusė yra įvykis, o kitas yra priešingas įvykis, kaip žinoma,

P (a) + p (a) \u003d 1

Nežiūrimų įvykių darbo tikimybė

Tikimybių dauginimas taikomos, kai jos apsvarstys dviejų ar daugiau neišsamių įvykių atsiradimą vienoje stebėjime. Tikimybė, kad A ir B įvykiai bus rodomi vienu metu, lygus jų tikimybių produktui, arba:

P (a * b) \u003d p (a) * P (b)

Pavyzdžiui, tikimybė, kad IPT. №1 dėl dviejų bandymų, mėlynas rutulys bus rodomas du kartus, lygus

Tai yra įvykio atsiradimo tikimybė, kai dėl dviejų bandymų pašalinti kamuoliukus, bus išgaunami tik mėlyni rutuliai, lygūs 25%. Labai lengva atlikti praktinius šios užduoties eksperimentus ir pamatyti, ar tai tikrai yra.

Bendri įvykiai

Renginiai laikomi kartu, kai vienos iš jų išvaizda gali sutapti su kito atsiradimu. Nepaisant to, kad jie yra bendra, laikoma nepriklausomų įvykių tikimybė. Pavyzdžiui, dveji žaidimo kaulai gali duoti rezultatą, kai skaičius 6 patenka į abu. Nors įvykiai sutapo ir pasirodė vienu metu, jie yra nepriklausomi vienas nuo kito - tik vienas šešis, antrasis kaulas neturi įtakos jo .

Bendrų įvykių tikimybė laikoma jų sumos tikimybe.

Bendrų įvykių sumos tikimybė. Pavyzdys

A ir B įvykių, susijusių su viena kitomis sąnariais, sumos tikimybė, lygi įvykio tikimybės sumai su jų darbo tikimybe suma (ty jų bendra įgyvendinimas):

P. (A + C) \u003d P (a) + p (b) - p (av)

Tarkime, kad tikimybė patekti į tikslą su vienu smūgiu yra 0,4. Tada įvykis a - pataikyti į tikslą į pirmąjį bandymą, į - antrajame. Šie įvykiai yra sąnarių, nes įmanoma, kad tikslas gali būti pasiektas ir nuo pirmojo ir nuo antrojo smūgio. Tačiau įvykiai nėra priklausomi. Kokia yra tikslinės nugalėjimo iš dviejų nuotraukų (bent vienas) atsiradimo tikimybė? Pagal formulę:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Atsakymas į klausimą yra toks: "Tikimybė patekti į tikslą iš dviejų kadrų yra 64%."

Šis įvykio tikimybės formulė taip pat gali būti taikoma neišsamamoms įvykiams, kai įvykio P (AV) išvaizdos tikimybė \u003d 0. Tai reiškia, kad neišsamių įvykių tikimybė gali būti laikoma ypatingu siūlomo formulės atveju.

Tikimybių geometrija aiškumo

Įdomu tai, kad bendrų įvykių dydžio tikimybė gali būti atstovaujama kaip du A ir B regionai, kurie susikerta kartu. Kaip matyti iš nuotraukos, jų asociacijos teritorija yra lygi visam jų sankirtos zonų plotai. Šis geometrinis paaiškinimas daro daugiau suprantamų nelogiška iš pirmo žvilgsnio formulės. Atkreipkite dėmesį, kad geometriniai sprendimai nėra neįprasti tikimybės teorijoje.

Nustatymo tikimybės nustatymas (daugiau nei du) bendri įvykiai yra gana sudėtingi. Norėdami jį apskaičiuoti, jums reikia naudoti šiems atvejams numatytas formules.

Priklausomi įvykiai

Priklausomi įvykiai vadinami tuo, kad vienos (a) puolimas paveikia kito (b) tikimybę. Be to, atsižvelgiama į abiejų įvykių A ir jo gedimų įtaka. Nors įvykiai vadinami priklausomai nuo apibrėžimo, tačiau tik vienas iš jų yra priklausomas. Įprasta tikimybė buvo paskirta P b punkte arba nepriklausomų įvykių tikimybė. Atsižvelgiant į priklausomybę, įvedama nauja koncepcija - sąlyginė tikimybė P a b), kuri yra priklausomo įvykio tikimybė, jei įvykis a (hipotezė) įvyko, iš kurios jis priklauso nuo to, iš kurio jis priklauso nuo jo.

Bet galų galų gale, įvykis taip pat atsitiktinai, todėl taip pat turi galimybę, kad jums reikia ir įmanoma atsižvelgti į apskaičiuotus skaičiavimus. Be to, pavyzdys bus rodomas, kaip dirbti su priklausomais įvykiais ir hipoteze.

Apskaičiuojant priklausomų įvykių tikimybę pavyzdys

Geras pavyzdys, skaičiuojant priklausomus įvykius, gali būti standartinis kortelių denis.

Apie denio pavyzdį 36 kortelėse, apsvarstyti priklausomus įvykius. Būtina nustatyti tikimybę, kad antroji kortelė, išgauta iš denio, bus tamburinas, jei pirmasis išgaunamas:

1. Bubnovy.
2. Kitas kostiumas.

Akivaizdu, kad antrojo įvykio tikimybė priklauso nuo pirmojo A. Taigi, jei pirmoji galimybė yra teisinga, kad denis tapo 1 kortele (35) ir 1 tamborine (8), įvykio tikimybė:

P a (b) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Jei antroji galimybė yra teisinga, denis tapo 35 kortelėmis, o bendras tamburino skaičius (9) vis dar yra išsaugotas, tada kito įvykio tikimybė:

P A (b) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Galima matyti, kad jei įvykis būtų susitarta dėl to, kad pirmoji kortelė yra tamburinas, tada įvykio tikimybė mažėja ir atvirkščiai.

Padauginti priklausomus įvykius

Vadovaujantis ankstesniu skyriumi, priimame pirmąjį įvykį (a) kaip faktą, bet jei mes sakome iš esmės, jis turi atsitiktinį pobūdį. Šio įvykio tikimybė, ty tamborino iš kortelių denio ekstrahavimas yra lygus:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Kadangi teorija savaime neegzistuoja, bet yra skirta tarnauti praktiniais tikslais, teisinga pažymėti, kad dažniausiai reikalinga priklausomų įvykių produkto tikimybė.

Pasak išlaikomųjų įvykių tikimybės iš esmės, bendrai priklausomų įvykių A ir B įvykių išvaizdos tikimybė yra lygi vienam įvykiui, padauginusi iš sąlyginio įvykio tikimybės (priklausoma a):

P (AB) \u003d P (a) * P a (b)

Tada pavyzdyje su deniu, dviejų kortelių ištraukimo tikimybė su "Tambatinos" MAHI yra:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 arba 5,7%

Ir ištraukimo tikimybė nėra pirmoji tamburina, o tada tamburinai yra lygūs:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 arba 19%

Galima matyti, kad įvykio išvaizdos tikimybė daugiau, su sąlyga, kad pirmoji ekstrahavimo kortelė išgaunama iš tamborino. Šis rezultatas yra gana logiškas ir suprantamas.

Visiškas įvykio tikimybė

Kai problema su sąlygine tikimybe tampa daugialypė, neįmanoma apskaičiuoti įprastų metodų. Kai hipotezės yra daugiau nei dvi, būtent A1, A2, ... ir N, .. Aušinimas pilnos grupės renginių:

• P (a i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ a j \u003d Ø, aš ≠ J.
• Σ k a k \u003d ω.

Taigi, formulė už visišką tikimybę įvykiui visoje atsitiktinių įvykių A1, A2, ... ir N yra:

Pažvelkite į ateitį

Atsitiktinio įvykio tikimybė yra labai reikalinga daugelyje mokslo sričių: ekonometriniai, statistika, fizika ir kt. Kadangi kai kurie procesai negali būti nustatyti, nes jie turi tikimybinio pobūdžio, reikalingi specialūs darbo metodai. Renginio tikimybės teorija gali būti naudojama bet kurioje technologinėje srityje kaip būdas nustatyti klaidos ar gedimo galimybę.

Galima sakyti, kad tikimybės mokymasis, mes darome teorinį žingsnį į ateitį tam tikru būdu, žiūri į jį per formulės prizmę.

Viskas pasaulyje nustatoma arba atsitiktinai ...
Aristotelis

Tikimybė: pagrindinės taisyklės

Tikimybės teorija apskaičiuoja įvairių įvykių tikimybę. Pagrindinis tikimybės teorijoje yra atsitiktinio įvykio koncepcija.

Pavyzdžiui, jūs išmeskite monetą, jis atsitiktinai patenka į herbo ar platų sluoksnį. Iš anksto nežinote, kokios monetos sumažės. Jūs pradedate į draudimo sutartį, iš anksto nežinote, ar nebus mokėjimų.

Aktuariniuose skaičiavimuose jūs turite sugebėti įvertinti įvairių renginių tikimybę, todėl tikimybės teorija atlieka pagrindinį vaidmenį. Jokia kita matematikos sritis gali veikti su įvykių tikimybėmis.

Apsvarstykite daugiau informacijos mesti monetą. Yra 2 tarpusavyje išskirtinis Exodus: herbo ar skubėjimo praradimas. Grandinės rezultatas yra atsitiktinis, nes stebėtojas negali analizuoti ir atsižvelgti į visus veiksnius, turinčius įtakos rezultatui. Kokia yra emblemos tikimybė? Dauguma atsakys į ½, bet kodėl?

Leiskite oficialiai Bet Nurodo rankų sluoksnio nusodinimą. Leiskite monetoms skubėti N. laikas. Tada įvykio tikimybė Bet Galima nustatyti, kaip tų metimų dalis, dėl kurių herbas patenka:

kur n. Iš viso metimų, n (a) Rankų kailio ištuščių skaičius.

Santykis (1) dažnis Renginiai Bet Ilgą bandymų seriją.

Pasirodo, kad įvairiose bandymų serijoje atitinkamas dažnis yra didelis n. auga apie kai kurias nuolatines vertes R (a). Ši vertė vadinama įvykio tikimybė Bet Ir žymi laišką R.- santrumpa iš anglų kalbos žodžio tikimybė - tikimybė.

Formaliai, mes turime:

(2)

Šis įstatymas vadinamas didelių skaičių įstatymas.

Jei moneta yra teisinga (simetriška), herbo kailio emisijos tikimybė yra lygi upės praradimo tikimybei ir yra lygi ½.

Leisti būti Bet ir. \\ T Į Kai kurie įvykiai, pavyzdžiui, įvyko arba nėra apdraustas įvykis. Dviejų renginių derinimas yra įvykis, sudarytas vykdant įvykį. Bet, įvykiai Įarba abu įvykiai kartu. Dviejų įvykių sankirta Bet ir. \\ T Į vadinamas įvykiu, kurį sudaro įvykiai Betir įvykiai Į.

Pagrindinės taisyklės Įvykių tikimybių skaičiavimai yra tokie:

1. Bet kokio įvykio tikimybė yra sudaryta tarp nulio ir vieneto:

2. Leiskite A ir dviejuose renginiuose, tada:

Skaitykite taip: Dviejų įvykių derinimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybės sumai, atėmus įvykių tikimybę. Jei įvykiai yra neišsamūs arba trumpalaikiai, dviejų įvykių derinimo (sumų) tikimybė yra lygi tikimybės sumai. Šis įstatymas vadinamas įstatymu papildymai. \\ T tikėjos.

Mes sakome, kad įvykiai yra patikimi, jei jo tikimybė yra lygi 1. Analizuojant tam tikrus reiškinius, kyla klausimas, nes įvykis turi įtakos Į Dėl įvykių Bet. Už tai įvedė sąlyginė tikimybė :

(4)

Skaitykite taip: tikimybė Bet turint omenyje Į lygus tikimybei Bet ir. \\ T Įpadalintas iš įvykio tikimybės Į.
4 formulėje daroma prielaida, kad įvykio tikimybė Į Virš nulio.

4 formulė taip pat gali būti parašyta kaip:

(5)

Ši formulė. \\ T tikimybių dauginimas.

Taip pat vadinamas sąlyginė tikimybė apsarus įvykio tikimybė Bet - tikimybė apie įžeidžiamą Bet Po pradžios Į.

Šiuo atveju pati tikimybė yra vadinama a priori. tikimybė. Yra keletas svarbesnių formulių, kurie intensyviai naudojami aktuariniuose skaičiavimuose.

Formulės pilna tikimybė

Tarkime, kad patirtis atliekama, kurio sąlygos gali būti atliekamos iš anksto. abipusiškai. \\ t Išskirtinės prielaidos (hipotezės):

Manome, kad yra hipotezė arba ... taip pat. Šių hipotezių tikimybės yra žinomos ir lygios:

Tada yra formulė pilnas tikimybė :

(6)

Įvykio tikimybė Bet lygus įžeidžiančio tikimybės sumai Bet Su kiekviena hipotezė dėl šios hipotezės tikimybės.

Formulės Bayes.

Formulės Bayes. Leidžia perskaičiuoti hipotezių tikimybę atsižvelgiant į naują informaciją, kurią davė rezultatas Bet.

"Bayes" formulė tam tikra prasme yra atvirkštinė tikimybės formulė.

Apsvarstykite šią praktinę užduotį.

1 užduotis.

Tarkime, kad atsiranda lėktuvo avarijos ir ekspertai užsiima studijuojant savo priežastis. Yra 4 priežastys, dėl kurių įvyko katastrofa: arba priežastis, arba, Or. Remiantis esamais statistika, šios priežastys yra šios tikimybės:

Nagrinėjant nelaimių vietą, buvo nustatyta degalų uždegimo pėdsakai, pagal statistiką, šio įvykio tikimybė su tam tikromis priežastimis yra:

Klausimas: Kokia yra katastrofos priežastis greičiausiai?

Apskaičiuokite įvykio atsiradimo priežasčių tikimybę Bet.

Galima matyti, kad pirmoji priežastis yra greičiausiai, nes jos tikimybė yra didžiausia.

2 užduotis.

Apsvarstykite galimybę iškrauti orlaivį į aerodromą.

Kai nusileidimas, oro sąlygos gali būti tokios: nėra mažo drumstumo (), yra maža drumstumo (). Pirmuoju atveju klestinčio iškrovimo tikimybė yra lygi P1.. Antruoju atveju - P2.. Tai aišku P1\u003e P2..

Įrenginiai, kurie užtikrina aklųjų nusileidimą, turi laisvų problemų R.. Jei yra mažas drumstumas ir aklųjų nusileidimo įtaisai, atsisakoma sėkmingo nusileidimo tikimybė yra lygi P3., ir P3.<Р2 . Yra žinoma, kad šiam aerodromui, vien dienų dalis su mažu drumstumu yra lygus.

Rasti saugaus orlaivio nusileidimo tikimybę.

Būtina rasti galimybę.

Yra dvi abipusiškai išskirtinės galimybės: aklųjų iškrovimo įrenginiai veikia, aklo nusileidimo įtaisai buvo paneigti, todėl turime:

Taigi visos tikimybės formulė:

3 užduotis.

Draudimo bendrovė užsiima gyvybės draudimu. 10% apdraustojo šioje įmonėje yra rūkaliai. Jei apdraustasis nerūkoma, jo mirties tikimybė per metus yra 0,01, jei jis yra rūkalius, tai tikimybė yra 0,05.

Kokia yra rūkalių dalis tarp tų apdraustųjų, kurie mirė per metus?

Atsakymų parinktys: (A) 5%, (b) 20%, (c) 36%, (d) 56%, (e) 90%.

Sprendimas Šis sprendimas

Pristatome įvykius:

Užduočių būklė reiškia, kad

Be to, nuo įvykių ir suformuoti visišką sujungimo nesuderinamų įvykių grupę.
Palūkanų tikimybė yra.

Naudojant "Bayes" formulę, turime:

todėl pasirinkimas yra teisingas ( Į).

4 užduotis.

Draudimo bendrovė parduoda gyvybės draudimo sutartį dėl trijų kategorijų: standartinių, privilegijuotų ir ultra pakeistų.

50% visų apdraustųjų yra standartiniai, 40% - privilegijuoti ir 10% - itin didinga.

Mirties tikimybė per metus už standartinio apdraustojo metus yra 0,010, privilegijuoti - 0,005, o itin privilegijuoti - 0,001.

Kokia yra tikimybė, kad mirusio apdraustas yra itin atsparus?

Sprendimas Šis sprendimas

Pristatome šiuos įvykius:

Kalbant apie šiuos įvykius, interesų tikimybė mums yra. Pagal sąlygą:

Kadangi įvykiai, sudaro pilną sujungimų nesuderinamų įvykių grupę naudojant "Bayes" formulę, mes turime:

Atsitiktiniai kintamieji ir jų savybės

Leiskite tam tikrą atsitiktinę vertę, pavyzdžiui, gaisro pažeidimą ar draudimo išmokų sumą.
Atsitiktinė vertė visiškai apibūdina jos platinimo funkcija.

Apibrėžimas.Funkcija vadinamas paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis ξ .

Apibrėžimas.Jei yra tokia funkcija, kuri yra savavališkai a. padaryta