Qual è il principio di Huygens? Principio di Huygens

20.05.2024

Il principio di Huygens-Fresnel, sua espressione analitica

Definizione 1

Fresnel sviluppò il principio di Huygens, e questa posizione cominciò ad essere formulata come segue: qualsiasi punto appartenente al fronte d'onda si trasforma in una sorgente di onde secondarie (questo deriva dal principio di Huygens), mentre le sorgenti secondarie sono coerenti tra loro e il le onde secondarie da essi emesse interferiscono. Per una superficie coincidente con la superficie dell'onda, le potenze della radiazione secondaria di aree uguali sono le stesse. Inoltre, la luce che si propaga da ciascuna sorgente secondaria va nella direzione della normale esterna.

Rayleigh ha riassunto il principio di cui sopra:

Circondiamo tutti $S_1,S_2,S_3,\dots $ con una superficie chiusa $(F)$ di forma arbitraria. In questo caso qualsiasi punto della superficie $F$ può essere considerato una sorgente secondaria di onde che si propagano in tutte le direzioni. Queste onde sono coerenti, poiché sono eccitate dalle stesse sorgenti primarie. Il campo luminoso che appare come risultato della loro interferenza spaziale all'esterno della superficie $F$ coincide con il campo delle sorgenti luminose reali.

In questo modo le vere e proprie sorgenti luminose possono essere sostituite da una superficie luminosa che le circonda. Inoltre, sorgenti secondarie coerenti di onde luminose sembrano essere distribuite in modo continuo su tutta la superficie. La differenza con questa ipotetica superficie è che è trasparente a qualsiasi radiazione.

Supponiamo che la sorgente luminosa sia monocromatica e che il mezzo sia omogeneo e isotropo. Pertanto, secondo il principio corretto, ciascun elemento della superficie dell'onda $S$ (Fig. 1) è una sorgente di un'onda sferica secondaria, la cui ampiezza è proporzionale alla dimensione di questo elemento ($dS$).

Immagine 1.

Da qualsiasi sezione $dS$ della superficie dell'onda si verifica un'oscillazione fino al punto $A$ (Fig. 1), che si trova davanti alla superficie $S$, che può essere descritta dalla seguente equazione:

dove $\left(\omega t+(\alpha )_0\right)$ è la fase di oscillazione nella posizione della superficie $S$, $k$ è il numero d'onda, $r$ è la distanza dall'elemento di superficie ( $dS)$ fino al punto $A$, $a_0$ - ampiezza della vibrazione della luce nella posizione dell'elemento $dS$. $K$ è un coefficiente che dipende dall'angolo $\varphi $ tra la normale $\overrightarrow(n)$ all'area $dS$ e la direzione da essa al punto $4A$. Se $\varphi =0,\ $allora abbiamo $K=K_(max)$, con $\ \ \varphi =\frac(\pi )(2)$ $K=0.$

L'oscillazione totale nel punto A si trova come sovrapposizione di oscillazioni che vengono prese per tutta la superficie dell'onda $S$, ovvero:

La formula (2) è una formulazione integrale del principio di Huygens-Fresnel.

Interpretazione del principio di Huygens-Fresnel

Fresnel ha sostituito l'ipotesi artificiale di Huygens sull'inviluppo delle onde secondarie con una chiara posizione fisica lungo la quale le onde secondarie, quando aggiunte, interferiscono. In questo caso la luce è visibile nei massimi di interferenza, dove le onde si annullano a vicenda, c'è l'oscurità. Pertanto, viene spiegato il significato fisico della busta. Le onde secondarie si avvicinano all'involucro nelle stesse fasi, quindi l'interferenza provoca una maggiore intensità luminosa. Il principio di Huygens-Fresnel spiega l'assenza di un'onda regressiva. Le onde secondarie, che si propagano in avanti dal fronte d'onda, vanno nello spazio libere da disturbi. Allo stesso tempo, interferiscono solo tra loro. Le onde secondarie che vanno all'indietro cadono nello spazio dove è già presente un'onda diretta, quindi le onde secondarie smorzano l'onda diretta, quindi, dopo che l'onda è passata, lo spazio su di essa non presenta disturbi.

Nella formulazione di Rayleigh, il principio in questione significa che un'onda, che si è separata dalla sua sorgente, esiste poi autonomamente, indipendentemente dalla presenza delle sorgenti.

Il principio di Huygens-Fresnel permette di spiegare il fenomeno della diffrazione.

Esempio 1

Esercizio: Scrivi un'espressione per l'intensità del campo elettrico ($E$) nell'onda, se assumiamo che l'onda sia sferica e si propaga liberamente.

Soluzione:

Figura 2.

Consideriamo la propagazione libera di un'onda sferica in un mezzo omogeneo (Fig. 2), può essere descritta utilizzando l'equazione:

La superficie d'onda ausiliaria nel nostro caso è la superficie S, che ha raggio $r_0$. Secondo Fresnel ogni elemento di questa superficie ($dS$) emette un'onda sferica secondaria. In questo caso troviamo il campo d'onda emesso dall'elemento $dS$ nel punto $A$ come:

Utilizzando l’ipotesi di Fresnel abbiamo:

dove $K\left(\alpha \right)$ è una funzione che dipende dalla lunghezza d'onda e dall'angolo tra la normale al fronte d'onda e la direzione di propagazione dell'onda secondaria (Fig. 2).

Rappresentiamo il campo d'onda totale nel punto $A$ mediante l'integrale:

Prendiamo come elemento $dS$ l'area dell'anello, che è ritagliata dal fronte d'onda da due sfere concentriche infinitamente vicine i cui centri si trovano nel punto $A$ (Fig. 2). In questo caso possiamo scrivere che:

Prendiamo la distanza $r_1.$ come variabile di integrazione. Consideriamo costanti le quantità $r_0$ e $r$. Dal triangolo $DOA$ troviamo:

\[(r_1)^2=(r_0)^2+(\left(r_0+r\right))^2-2r_0\left(r_0+r\right)cos\beta \left(1.6\right).\ ]

Differenziamo l'espressione (1.6), abbiamo:

Sostituendo l'espressione (1.7) al posto di $dS$ nella formula (1.4), otteniamo:

dove funzione $K\sinistra(\alpha \destra)\ \considera\ come$ funzione $r_1$. In questo caso $r_(max)=r+2r_0.$

Risposta:$E=\frac(2\pi A_0)(\left(r_0+r\right))e^(i\left(\omega t-kr_0\right))\int\limits^(r_(max))_r (K\sinistra(r_1\destra)e^(-ikr_1))dr_1.$

Esempio 2

Esercizio: Come utilizzare il principio di Huygens-Fresnel per spiegare il fenomeno della diffrazione?

Soluzione:

Supponiamo che un'onda piana incida sullo schermo perpendicolarmente al foro presente in esso. Secondo il principio di Huygens-Fresnel ogni punto della sezione del fronte d'onda, evidenziato da un foro sullo schermo, diventa sorgente di onde secondarie. Se il mezzo è omogeneo e isotropo le onde secondarie sono sferiche. Quando si costruisce l'inviluppo delle onde secondarie per un dato momento nel tempo, si scopre che il fronte dell'onda entra nella regione dell'ombra geometrica, il che significa che l'onda si piega attorno al buco.

I fenomeni di interferenza luminosa in tutta la loro diversità costituiscono la prova più convincente della natura ondulatoria dei processi luminosi. Tuttavia la vittoria finale dei concetti ondulatori era impossibile senza l'interpretazione dal punto di vista ondulatorio della legge fondamentale e ben confermata dall'esperienza della propagazione rettilinea della luce.

I concetti d'onda nella forma originale in cui Huygens li sviluppò (Trattato sulla Luce, 1690) non potevano dare una risposta soddisfacente alla domanda posta. La dottrina di Huygens sulla propagazione della luce si basa sul principio che porta il suo nome. Secondo le idee di Huygens, la luce, per analogia con il suono, sono onde che si propagano in un mezzo speciale: l'etere, che occupa tutto lo spazio, in particolare riempiendo gli spazi tra le particelle di qualsiasi sostanza, che sono, per così dire, immerse nell'oceano di etere. Da questo punto di vista era naturale supporre che il moto vibrazionale delle particelle eteriche si trasmetta non solo alla particella che si trova sul “percorso” del fascio luminoso, cioè sulla retta che collega la sorgente luminosa l, (Fig. 1.1) con il punto in questione UN, ma a tutte le particelle adiacenti a UN, cioè l'onda luminosa si propaga da UN in tutte le direzioni, come se fosse un punto UN fungeva da fonte di luce. La superficie che si piega attorno a queste onde secondarie è la superficie del fronte d'onda. Per il caso mostrato in Fig. 1.1, questo inviluppo (arco spesso) sarà rappresentato come parte di una superficie sferica con centro in l, delimitato da un cono che conduce ai bordi di un foro circolare nello schermo MN. Il principio di Huygens ha permesso di chiarire le questioni della riflessione e della rifrazione della luce, compreso il complesso problema della doppia rifrazione; ma il problema della propagazione rettilinea della luce non era sostanzialmente risolto, perché non veniva messo in relazione con i fenomeni di deviazione dalla rettilineità, cioè con i fenomeni di diffrazione.

La ragione sta nel fatto che il principio di Huygens nella sua forma originale era un principio il cui campo di applicazione era il campo dell'ottica geometrica. Nel linguaggio dell'ottica ondulatoria si riferiva ai casi in cui la lunghezza d'onda poteva essere considerata infinitesimale rispetto alla dimensione del fronte d'onda. Permise quindi di risolvere solo problemi relativi alla direzione di propagazione del fronte luminoso e non toccò sostanzialmente la questione dell'intensità delle onde che viaggiano in direzioni diverse. Questa carenza è compensata
Neil Fresnel, che diede un significato fisico al principio di Huygens, integrandolo con l'idea dell'interferenza delle onde. Grazie a ciò, la superficie dell'involucro delle onde elementari, introdotta da Huygens in modo puramente formale, acquisì un chiaro contenuto fisico come una superficie dove, a causa della mutua interferenza delle onde elementari, l'onda risultante ha una notevole intensità.

Il principio di Huygens-Fresnel così modificato diventa il principio base dell'ottica ondulatoria e rende possibile studiare questioni relative all'intensità dell'onda risultante in diverse direzioni, cioè risolvere problemi sulla diffrazione della luce (vedi sotto). In conformità con ciò, è stata risolta la questione dei limiti di applicabilità della legge di propagazione rettilinea della luce e il principio di Huygens-Fresnel si è rivelato applicabile per chiarire la legge di propagazione delle onde di qualsiasi lunghezza.

Per trovare l'intensità (ampiezza) dell'onda risultante, è necessario, secondo Fresnel, formulare il principio di Huygens come segue.

Circondiamo la fonte l superficie chiusa immaginaria S qualsiasi forma (Fig. 1.2). Il valore corretto dell'intensità (ampiezza) del disturbo in qualsiasi punto IN al di fuori S può essere ottenuto in questo modo: eliminare l e la superficie S lo considereremo come una superficie luminosa, la cui radiazione dei singoli elementi, arrivando a IN, determina con la sua totalità l'azione a questo punto. Radiazione di ciascun elemento ds superfici S bisogna immaginarla come un'onda sferica (onda secondaria), che porta ad un punto IN oscillazione:

Dove uno 0è determinato dall'ampiezza e φ - la fase dell'oscillazione effettiva da cui proviene l all'elemento ds situato a distanza R dal punto IN. In questo caso, le dimensioni dell'elemento ds si presume siano così piccoli che φ E R per ogni parte si può considerare che abbia gli stessi significati. In altre parole, ogni elemento dsè considerata come una fonte ausiliaria, quindi l'ampiezza uno 0, proporzionale all'area ds.

Il postulato di Fresnel, che ci permette di determinare uno 0 E φ attraverso l'ampiezza e la fase di ciò che ha raggiunto ds le fluttuazioni rappresentano una certa ipotesi, la cui idoneità può essere stabilita confrontando le conclusioni tratte con il suo aiuto con i risultati dell'esperimento.

Poiché le fasi di tutte le sorgenti ausiliarie sono determinate dai disturbi provenienti da l, quindi sono strettamente coerenti tra loro e, quindi, fonti ausiliarie coerente. Pertanto, le onde secondarie emanate da essi interferiranno tra loro. La loro azione combinata in ogni punto può essere definita come un effetto di interferenza, e quindi l’idea di Huygens del ruolo speciale dell’involucro cessa di essere un presupposto, ma dovrebbe essere solo una conseguenza delle leggi dell’interferenza. Secondo il postulato di Fresnel di cui sopra, la questione della sostituzione delle fonti ausiliarie l, viene risolto in modo univoco non appena viene selezionata la superficie ausiliaria S. La scelta di questa superficie è del tutto arbitraria; Pertanto, per ogni specifico problema, va scelto il modo più vantaggioso per risolverlo. Se la superficie ausiliaria S coincide con il fronte da cui proviene l'onda l. (rappresenta una sfera con centro in S), tutte le sorgenti ausiliarie avranno la stessa fase. Se la scelta S fatto diversamente, le fasi delle fonti ausiliarie non sono le stesse, ma le fonti, ovviamente, rimangono coerenti.

Nel caso in cui tra le fonti l e nel punto di osservazione sono presenti schermi opachi con fori, l'effetto di questi schermi può essere preso in considerazione come segue. Scegliamo la superficie S in modo che coincida ovunque con la superficie degli schermi e stringe i fori in essi in modo arbitrario, scelto a seconda del problema da analizzare. Sulla superficie degli schermi opachi le ampiezze delle sorgenti ausiliarie sono da considerarsi pari a zero; sulla superficie passante per i fori degli schermi, le ampiezze sono scelte secondo il postulato di Fresnel, cioè come se lo schermo fosse assente. Pertanto, si presuppone che il materiale dello schermo non abbia alcun ruolo a meno che lo schermo non sia trasparente.

Calcolando i risultati dell'interferenza delle onde elementari inviate da sorgenti ausiliarie, arriviamo al valore dell'ampiezza (intensità) in qualsiasi punto IN, cioè determiniamo lo schema di propagazione della luce. I risultati di questi calcoli sono confermati dai dati sperimentali. Utilizzando quindi il metodo di Huygens-Fresnel è possibile ottenere una corretta soluzione al problema della distribuzione dell'intensità luminosa sia nel caso di propagazione libera delle onde luminose (propagazione rettilinea) che in presenza di schermi bloccanti (diffrazione). .

Il primo problema che Fresnel dovette considerare, proponendo una nuova formulazione del principio di Huygens, fu quello della propagazione rettilinea della luce. Fresnel lo risolse considerando l'interferenza reciproca delle onde secondarie, utilizzando una tecnica estremamente visiva che sostituisce calcoli complessi ed è di importanza generale nell'analisi dei problemi di propagazione delle onde. Questo metodo è chiamato metodo Zone di Fresnel.

Consideriamo l'azione di un'onda luminosa emessa da un punto UN, in qualsiasi punto di osservazione IN. Secondo il principio di Huygens-Fresnel, sostituiamo l'azione della sorgente UN dall'azione di sorgenti immaginarie situate sulla superficie ausiliaria S.

In quanto tale superficie ausiliaria S scegliamo la superficie da cui proviene il fronte d'onda UN(superficie di una sfera con centro UN, Figura 1.3). Il calcolo del risultato dell'interferenza delle onde secondarie è notevolmente semplificato se applichiamo la seguente tecnica indicata da Fresnel: calcolare l'azione in un punto IN Collegare UN Con IN e rompere la superficie S in zone di dimensioni tali che le distanze dai bordi della zona a B differiscono di λ /2 cioè

M 1 B – M 0 B = M 2 B – M 1 B = M 3 B – M 2 B =…= λ/2

(vedi Fig. 1.3). Non è difficile calcolare le dimensioni delle zone così ottenute. Dalla fig. 1.4 otteniamo per la prima zona

r 2 =a 2 – (a – x) 2 = (b+ λ/2) 2 – (b+x) 2

Perché λ molto poco rispetto a UN O B, Quello

e quindi l'area del segmento sferico che rappresenta la prima zona o centrale è:

Per l'area del segmento che rappresenta le prime due zone, troviamo il valore , cioè. anche l'area della seconda zona è uguale . Ciascuna di tutte le zone successive avrà quasi la stessa area. Pertanto, la costruzione di Fresnel divide la superficie di un'onda sferica in zone uguali, ciascuna delle quali ha un'area

Per ulteriori calcoli, è sufficiente tenere conto dell'azione delle singole zone su un punto IN più piccolo è maggiore è l'angolo φ tra la normale alla superficie della zona e la direzione verso IN. Pertanto, l'effetto delle zone diminuisce gradualmente dalla zona centrale (circa M 0) alla periferica. L'introduzione arbitraria di questo fattore attenuante ausiliario è uno degli svantaggi del metodo Fresnel.

Per ottenere il risultato finale si può ragionare così: lasciare agire la zona centrale sul punto INè espresso dall'eccitazione di vibrazioni con un'ampiezza s1, l'azione della zona vicina è un'oscillazione di ampiezza S 2, il successivo - con ampiezza S 3 ecc. Come indicato, l'effetto delle zone diminuisce gradualmente (anche se lentamente) dal centro verso la periferia, così che s1> S 2 > S 3 > S 4 eccetera.; azione P th zona è n potrebbe essere molto piccolo se P grande abbastanza. Inoltre, grazie al metodo scelto di dividere in zone, è facile vedere che le azioni delle zone vicine si indeboliscono a vicenda. Infatti, da allora

M1B – M0B=λ/2 E M2B – M1B=λ/2

poi le sorgenti immaginarie della zona M0M1 situato ½ λ più vicino a IN rispetto alle sorgenti di zona corrispondenti M1M2, in modo che le vibrazioni inviate arrivino IN in fasi opposte. Quindi, per il punto IN l'azione della zona centrale sarà indebolita dall'azione della zona vicina, ecc. Continuando questi argomenti, troviamo che il valore finale ampiezze oscillazioni eccitate in un punto IN l’intero insieme delle zone, cioè l’intera onda luminosa, sarà pari a:

s=s 1 – s 2 + s 3 – s 4 + s 5 – s 6 +…=s 1 – (s 2 - s 3) – (s 4 – s 5) – (s 6 – s 7) – …(1.1)

Dalla condizione s1> S 2 > S 3 > S 4...ne consegue che tutte le espressioni tra parentesi sono positive, quindi S<s1. Illuminazione E al punto di osservazione INè proporzionale al quadrato dell'ampiezza della vibrazione risultante. Quindi, E ~ S 2 < s12|.

Quindi l'ampiezza S la vibrazione risultante risultante dalla mutua interferenza della luce che viaggia verso un punto IN provenienti da diverse parti della nostra onda sferica, è inferiore all'ampiezza creata dall'azione di una zona centrale. Quindi, l'azione dell'intera onda su un punto IN si riduce all'azione della sua piccola sezione, più piccola della zona centrale con un'area . Lunghezza d'onda della luce λ molto piccolo (per la luce verde λ = 5 10 -4 mm). Quindi anche a distanza UN E B dell'ordine di 1 m, l'area della parte efficace dell'onda è inferiore a 1 mm 2. Pertanto, la propagazione della luce da UN A IN avviene realmente come se il flusso luminoso passasse all'interno di un canale molto stretto AB, cioè in modo rettilineo.

Ciò non significa, però, che se ci mettiamo in gioco AB qualsiasi piccolo schermo opaco, quindi al punto IN la luce non arriverà; del resto introdurre uno schermo che copra, ad esempio, la prima zona, violerebbe la correttezza del nostro ragionamento. In questo caso, il primo termine della serie alternata (1.1) cadrà, e ora risulta che S < |S 2| ecc., cioè S meno modulo s m, Dove T- numero della prima zona aperta sul bordo dello schermo. Se T non eccezionale, per esempio T < 10, то освещенность в точке наблюдения IN sull'asse dello schermo rimarrà quasi lo stesso che in sua assenza. Ma se un piccolo schermo presenta bordi irregolari con bordi frastagliati paragonabili alla larghezza della zona di Fresnel lungo la quale passa questo bordo, allora riduce significativamente l'intensità nel punto di osservazione IN.

Lezione 21. Diffrazione della luce.

Principio di Huygens-Fresnel. Metodo della zona di Fresnel. Diagramma vettoriale. Diffrazione da un foro circolare e da un disco circolare. Diffrazione di Fraunhofer da una fenditura. La transizione definitiva dall’ottica ondulatoria all’ottica geometrica.

Diffrazione- si tratta del fenomeno di deviazione dalla propagazione rettilinea della luce, se non può essere conseguenza della riflessione, rifrazione o deflessione dei raggi luminosi causata da una variazione spaziale dell'indice di rifrazione. In questo caso, minore è la lunghezza d'onda della luce, minore è la deviazione dalle leggi dell'ottica geometrica.

Commento. Non esiste alcuna differenza fondamentale tra diffrazione e interferenza. Entrambi i fenomeni sono accompagnati da una ridistribuzione del flusso luminoso dovuta alla sovrapposizione delle onde.

Un esempio di diffrazione è il fenomeno in cui la luce cade su una partizione opaca con un foro. In questo caso, sullo schermo dietro la partizione si osserva un modello di diffrazione nella regione del confine dell'ombra geometrica.

È consuetudine distinguere tra due tipi di diffrazione. Nel caso in cui un'onda incidente su una parete divisoria possa essere descritta da un sistema di raggi paralleli tra loro (ad esempio, quando la sorgente luminosa è sufficientemente lontana), allora si parla di Diffrazione di Fraunhofer o diffrazione in raggi paralleli. In altri casi ne parlano Diffrazione di Fresnel o diffrazione in raggi divergenti.

Quando si descrivono i fenomeni di diffrazione è necessario risolvere il sistema di equazioni di Maxwell con le corrispondenti condizioni al contorno e iniziali. Tuttavia, trovare una soluzione esatta nella maggior parte dei casi è molto difficile. Pertanto, in ottica, vengono spesso utilizzati metodi approssimativi basati sul principio di Huygens nella formulazione generalizzata di Fresnel o Kirchhoff.

Principio di Huygens.

Formulazione del principio di Huygens. Ogni punto nell'ambiente, a cui in un certo punto nel tempo T il movimento delle onde è arrivato, funge da fonte onde sferiche secondarie. L'inviluppo di queste onde fornisce la posizione del fronte d'onda nel successivo momento ravvicinato nel tempo T+dt. I raggi delle onde secondarie sono uguali al prodotto della velocità di fase della luce e dell'intervallo di tempo
.

Un'illustrazione di questo principio usando l'esempio di un'onda incidente su una parete opaca con un foro mostra che l'onda penetra nella regione dell'ombra geometrica. Questa è una manifestazione di diffrazione.

Tuttavia, il principio di Huygens non fornisce stime dell'intensità delle onde che si propagano in direzioni diverse.

Principio di Huygens-Fresnel.

Fresnel integrò il principio di Huygens con l'idea dell'interferenza delle onde secondarie. Dalle ampiezze delle onde secondarie, tenendo conto delle loro fasi, si può trovare l'ampiezza dell'onda risultante in qualsiasi punto dello spazio.

Ogni piccolo elemento della superficie dell'onda è sorgente di un'onda sferica secondaria, la cui ampiezza è proporzionale alla dimensione dell'elemento dS e la cui equazione lungo il raggio ha la forma

H Qui UN 0 - coefficiente proporzionale all'ampiezza delle oscillazioni dei punti sulla superficie dell'onda dS,
- coefficiente dipendente dall'angolo tra il raggio e il vettore
, e tale che a
prende il valore massimo e quando
- minimo (vicino allo zero).

L'ampiezza dell'oscillazione risultante in un determinato punto di osservazione Rè determinato dall'espressione analitica del principio di Huygens-Fresnel, che è stato derivato Kirchhoff:

L'integrale viene rilevato sulla superficie dell'onda registrata in un determinato momento. Per un'onda che si propaga liberamente, il valore dell'integrale non dipende dalla scelta della superficie di integrazione S.

Calcolo esplicito dell'ampiezza dell'oscillazione risultante utilizzando la formula Kirchhoff una procedura piuttosto laboriosa, quindi in pratica usano metodi approssimativi trovare il valore di questo integrale.

Trovare l'ampiezza delle oscillazioni nel punto di osservazione P tutta la superficie dell'onda S diviso in sezioni ( Zone di Fresnel). Supponiamo di osservare la diffrazione in raggi divergenti (diffrazione di Fresnel), cioè consideriamo uno sferico che si propaga da una sorgente puntiforme l. L'onda si propaga nel vuoto.

Fissiamo la superficie dell'onda ad un certo punto nel tempo T. Sia il raggio di questa superficie UN. Linea LP interseca la superficie dell'onda nel punto O. Supponiamo che la distanza tra i punti DI E R equivale B. Dal punto R tracciamo in sequenza sfere i cui raggi
. Due sfere vicine “tagliano” le sezioni dell'anello sulla superficie dell'onda, chiamate Zone di Fresnel. (Come è noto, due sfere si intersecano lungo una circonferenza giacente in un piano perpendicolare alla retta su cui giacciono i centri di tali sfere). Troviamo la distanza dal punto O al confine del numero della zona M. Lascia che il raggio del confine esterno della zona di Fresnel sia uguale a R M. Perché il raggio della superficie dell'onda è UN, Quello .

In cui,

Ecco perché
, Dove
.

Per lunghezze d'onda visibili e valori numerici non molto grandi M possiamo trascurare il termine
paragonato a M. Pertanto, in questo caso
e per il raggio quadrato otteniamo l'espressione
, in cui l’ultimo termine può essere nuovamente trascurato. Poi il raggio M th Zona di Fresnel (per la diffrazione di raggi divergenti)

Conseguenza. Per la diffrazione a raggi paralleli (diffrazione di Fraunhofer), il raggio delle zone di Fresnel si ottiene passando al limite UN:

Ora confrontiamo le aree delle zone di Fresnel. Area di un segmento di superficie sferica giacente all'interno M la zona, come è noto, è uguale a
. Zona con numero M racchiuso tra i confini delle zone numerate M E M-1. Quindi la sua area è uguale

Dopo le trasformazioni, l'espressione assumerà la forma
.

Se trascuriamo il valore
, quindi dall'espressione
ne consegue che per numeri piccoli l'area delle zone non dipende dal numero M.

Trovare l'ampiezza risultante nel punto di osservazione R viene fatto come segue. Perché le onde secondarie emesse sono coerenti e le distanze dai confini adiacenti al punto R differiscono della metà della lunghezza d'onda, quindi la differenza di fase delle oscillazioni provenienti da sorgenti secondarie a questi confini che arrivano al punto R, è uguale a  (come si suol dire, le oscillazioni sono in antifase). Allo stesso modo, per qualsiasi punto in qualsiasi zona, c'è sicuramente un punto nella zona vicina, da cui provengono le oscillazioni. R in antifase. L'ampiezza del vettore d'onda è proporzionale all'area della zona
. Ma le superfici delle zone sono le stesse, e man mano che il numero aumenta M l'angolo  aumenta, quindi il valore
diminuisce. Pertanto, è possibile scrivere una sequenza ordinata di ampiezze. Sul diagramma del vettore ampiezza, tenendo conto della differenza di fase, questa sequenza è rappresentata da vettori diretti in modo opposto, quindi

Dividiamo la prima zona in un gran numero N zone interne come sopra, ma ora le distanze dai confini di due zone interne adiacenti al punto R differirà di una piccola quantità
. Pertanto, la differenza di fase tra le onde che arrivano in un punto R sarà uguale a un valore piccolo
. Nel diagramma ampiezza-vettore, il vettore ampiezza di ciascuna delle zone interne verrà ruotato di un piccolo angolo rispetto al precedente, quindi l'ampiezza dell'oscillazione totale delle prime zone interne corrisponderà al vettore
collega l'inizio e la fine di una linea spezzata. All'aumentare del numero della zona interna, la differenza di fase totale aumenterà e al confine della prima zona diventerà uguale a. Ciò significa il vettore ampiezza dall'ultima zona interna
diretto opposto al vettore ampiezza dalla prima zona interna
. Nel limite di un numero infinitamente grande di zone interne, questa linea spezzata si trasformerà in parte della spirale.

UN l'ampiezza delle oscillazioni della prima zona di Fresnel corrisponderà quindi al vettore , da due zone - eccetera. Nel caso tra il punto R e non ci sono ostacoli con la sorgente luminosa, dal punto di osservazione saranno visibili un numero infinito di zone, quindi la spirale si avvolgerà attorno al punto focale F. Quindi un'onda libera con intensità IO 0 corrisponde al vettore ampiezza , diretto a un punto F.

Dalla figura si può vedere che per l'ampiezza dalla prima zona si può ottenere la stima
, quindi l'intensità dalla prima zona
- 4 volte l'intensità dell'onda incidente. Uguaglianza
può essere interpretato in altro modo. Se per un numero infinito di zone aperte l'ampiezza totale viene scritta nel modulo

(Mè un numero pari), quindi from
segue la valutazione
.

Commento. Se in qualche modo cambi le fasi delle oscillazioni nel punto R dalle zone pari o dispari di , o per chiudere le zone pari o dispari, l'ampiezza totale aumenterà rispetto all'ampiezza dell'onda aperta. Ha questa proprietà piastra di zona- una lastra di vetro piano parallela con cerchi concentrici incisi, il cui raggio coincide con i raggi delle zone di Fresnel. La piastra di zona “spegne” le zone di Fresnel pari o dispari, il che porta ad un aumento dell'intensità della luce nel punto di osservazione.

Diffrazione da un foro rotondo.

Il ragionamento sopra esposto ci permette di concludere che l'ampiezza dell'oscillazione nel punto R dipende dal numero di zone Fresnel. Se per un punto di osservazione è aperto un numero dispari di zone di Fresnel, allora in questo punto ci sarà un'intensità massima. Se un numero pari di zone è aperto, allora è il minimo.

Lo schema di diffrazione di un foro rotondo sembra un'alternanza di anelli chiari e scuri. All'aumentare del raggio del foro (e del numero delle zone di Fresnel), l'alternanza degli anelli scuri e luminosi verrà osservata solo vicino al confine dell'ombra geometrica e l'illuminazione all'interno rimarrà praticamente invariata.

Formulare il principio di Huygens-Fresnel. 1. tutte le sorgenti secondarie del fronte d'onda proveniente da una sorgente sono coerenti tra loro; 2. per le fonti secondarie vale il principio di sovrapposizione; 3. Aree uguali della superficie dell'onda emettono intensità uguali quando si calcola l'ampiezza delle oscillazioni luminose eccitate dalla sorgente S 0 in un punto arbitrario M, la sorgente S 0 può essere sostituita da un sistema equivalente di sorgenti secondarie - piccole sezioni dS di qualsiasi superficie ausiliaria chiusa S, disegnata così in modo che copra la sorgente S 0 e non copra il punto M considerato

le sorgenti secondarie sono coerenti S 0 tra loro, pertanto le onde secondarie da esse eccitate interferiscono quando sovrapposte
L'ampiezza dA delle oscillazioni eccitate nel punto M da una sorgente secondaria è proporzionale al rapporto tra l'area dS della corrispondente sezione dell'onda superficiale S e la distanza r da essa al punto M e dipende dall'angolo tra la normale esterna all'onda di superficie S la superficie dell'onda e la direzione dall'elemento dS al punto M.
Se parte della superficie S è occupata da schermi opachi, le sorgenti secondarie corrispondenti non emettono e il resto emette come in assenza di schermi.

Principio di Huygens-Fresnel. La sua essenza è la seguente: per ogni compito specifico, il fronte d'onda dovrebbe essere diviso in un certo modo in sezioni (zone di Fresnel), che sono considerate come sorgenti d'onda identiche e indipendenti; l'ampiezza (e l'intensità) dell'onda nel punto di osservazione è determinata come risultato dell'interferenza delle onde presumibilmente create dalle singole zone.

Spiegare l'ingresso della luce nella regione di un'ombra geometrica utilizzando il principio di Huygens. Ogni punto della sezione del fronte d'onda isolato dal foro funge da sorgente di onde secondarie che si incurva attorno ai bordi del foro. Ogni punto della sezione di fronte d'onda evidenziato dal foro funge da sorgente di onde secondarie che si incurva attorno ai bordi del foro buco.

Cos'è la diffrazione? Il fenomeno delle onde luminose che si deviano dalla propagazione in linea retta quando passano attraverso i fori e vicino ai bordi degli schermi è chiamato diffrazione (la flessione della luce attorno agli ostacoli in arrivo). Il fenomeno della deviazione delle onde luminose dalla propagazione rettilinea quando passano attraverso i fori e in prossimità dei bordi degli schermi è chiamato diffrazione (flessione della luce attorno agli ostacoli che incontrano). di cui sono paragonabili alla lunghezza d'onda e associati a deviazioni dalle leggi dell'ottica geometrica

Definire la diffrazione di Fresnel e la diffrazione di Fraunhofer. se la figura di diffrazione viene osservata ad una distanza finita dall'oggetto che provoca la diffrazione e si deve tenere conto della curvatura del fronte d'onda, allora si parla di Diffrazione di Fresnel. Con la diffrazione di Fresnel, sullo schermo viene osservata un'immagine di diffrazione di un ostacolo;

se i fronti d'onda sono piatti (i raggi sono paralleli) e la figura di diffrazione viene osservata a una distanza infinitamente grande (per questo vengono utilizzate le lenti), allora stiamo parlando di Diffrazione di Fraunhofer.

Cos'è il metodo della zona di Fresnel? La divisione della superficie ondulatoria S in zone, i confini della prima zona (centrale) sono i punti della superficie S situati a una distanza l+λ\2 dal punto M. I punti della sfera si trovano a una distanza l+2λ\2, l+3λ\2 dal punto M, immagine zone di Fresnel. Quando queste oscillazioni si sovrappongono si indeboliscono reciprocamente A=A 1 -A 2 +A 3 -A 4 …+A i All'aumentare del numero di zone, diminuendo l'intensità di radiazione della zona nella direzione t.M, cioè diminuendo A i A 1 > A i > A 3 …> A i

Perché nel metodo delle zone di Fresnel vengono scelte in modo tale che le distanze dalle zone vicine differiscono di /2? /2 è la differenza della corsa. Le oscillazioni eccitate nel punto P, tra due zone adiacenti, sono di fase opposta

LAm = (LAm-1 + LAm+1)/2; A=A 1/2

Cos'è un reticolo di diffrazione? Un reticolo di diffrazione è un dispositivo ottico che funziona secondo il principio della diffrazione della luce ed è una raccolta di un gran numero di linee regolarmente spaziate (fessure, sporgenze) applicate su una determinata superficie. La prima descrizione del fenomeno fu fatta da James Gregory, che utilizzò le piume degli uccelli come reticolo.

Qual è il periodo di un reticolo di diffrazione? La distanza attraverso la quale si ripetono le linee sul reticolo è chiamata periodo del reticolo di diffrazione. Indicato con la lettera d. Se il numero di colpi è noto ( N), per 1 mm di griglia, il periodo di grattugia si trova con la formula: 0,001 / N

Perché la luce naturale si divide in uno spettro quando passa attraverso un reticolo di diffrazione? La posizione dei massimi principali dipende dalla lunghezza d'onda λ, quindi, quando la luce bianca passa attraverso il reticolo, tutti i massimi tranne quello centrale (m = 0) si decomporranno in uno spettro, la cui regione viola sarà rivolta verso il centro dello schema di diffrazione, la regione rossa verso l'esterno.

Qual è la risoluzione di un reticolo di diffrazione? La risoluzione del reticolo risulta essere pari a R = mN. Pertanto, la risoluzione del reticolo dipende dall'ordine m dello spettro e dal numero totale N di linee della parte operante del reticolo, cioè quella parte attraverso la quale passa la radiazione in studio e da cui dipende il modello di diffrazione risultante. La risoluzione / di un reticolo di diffrazione caratterizza la capacità del reticolo di separare i massimi di illuminazione per due lunghezze d'onda  1 e  2 vicine tra loro in un dato spettro. Qui   2 – 1 . Se /kN, allora i massimi di illuminazione per  1 e  2 non sono risolti nello spettro di ordine k-esimo.

Cos'è la diffrazione della luce

La diffrazione è un insieme di fenomeni osservati durante la propagazione della luce in un mezzo con forti disomogeneità e associati a deviazioni dalle leggi dell'ottica geometrica.

La diffrazione delle onde luminose determina la qualità dei dispositivi ottici, in particolare la loro risoluzione.

La deflessione delle onde sonore attorno agli ostacoli (cioè la diffrazione delle onde sonore) è osservata costantemente nella vita di tutti i giorni. Per osservare la diffrazione delle onde luminose, è necessario creare condizioni speciali. Ciò è dovuto alle brevi lunghezze d'onda della luce. Sappiamo che nel limite l→ 0 le leggi dell'ottica ondulatoria si trasformano nelle leggi dell'ottica geometrica. Di conseguenza, le deviazioni dalle leggi dell'ottica geometrica, a parità di altre condizioni, risultano tanto minori quanto più corta è la lunghezza d'onda.

Principio di Huygens Fresnel.

La penetrazione delle onde luminose nella regione di un'ombra geometrica può essere spiegata utilizzando il principio di Huygens. Questo principio però non fornisce informazioni sull’ampiezza, e quindi sull’intensità, delle onde che si propagano in direzioni diverse. Fresnel ha integrato il principio di Huygens con l'idea dell'interferenza delle onde secondarie, cioè, secondo Fresnel, tutte le sorgenti secondarie sono coerenti tra loro. Prendere in considerazione le ampiezze e le fasi delle onde secondarie ci permette di trovare l'ampiezza dell'onda risultante

Fig.8.3

in qualsiasi punto dello spazio. Il principio di Huygens così sviluppato è chiamato principio di Huygens-Fresnel.

Secondo il principio di Huygens-Fresnel, ciascun elemento della superficie d'onda S (Fig. 8.3) funge da sorgente di un'onda sferica secondaria, la cui ampiezza è proporzionale al valore dell'elemento dS. L'ampiezza di un'onda sferica diminuisce con la distanza r dalla sorgente secondo la legge 1/r (Di conseguenza, da ogni sezione dS della superficie d'onda, un'oscillazione arriva al punto P antistante tale superficie

In questa espressione, la fase di oscillazione nella posizione della superficie dell'onda S, k è il numero d'onda, r è la distanza dall'elemento di superficie dS al punto P. Il moltiplicatore è determinato dall'ampiezza dell'oscillazione della luce nella posizione dS. Il coefficiente K dipende dall'angolo j tra la normale n al sito dS e la direzione da dS al punto P. A j = 0 questo coefficiente è massimo, a j = p/2 va a zero.

L'oscillazione risultante nel punto P è una sovrapposizione di oscillazioni prese per l'intera superficie dell'onda S:

Questa formula è un'espressione analitica del principio di Huygens-Fresnel.

Ciò significa che nel calcolare l'ampiezza dell'oscillazione generata nel punto P da un'onda luminosa che si propaga da una sorgente reale, è possibile sostituire tale sorgente con un insieme di sorgenti secondarie poste lungo la superficie dell'onda. E questa è l'essenza del principio di Huygens-Fresnel.

Poiché le sorgenti secondarie sono coerenti tra loro, il modello di diffrazione rappresenterà una ridistribuzione dell'intensità del flusso luminoso. Non esiste alcuna differenza fisica significativa tra interferenza e diffrazione. Entrambi i fenomeni comportano la ridistribuzione del flusso luminoso come risultato della sovrapposizione delle onde. Per ragioni storiche, la ridistribuzione dell'intensità risultante dalla sovrapposizione di onde eccitate da un numero finito di sorgenti coerenti discrete è comunemente chiamata interferenza d'onda. La ridistribuzione dell'intensità che avviene a seguito della sovrapposizione di onde eccitate da sorgenti coerenti poste ininterrottamente viene solitamente chiamata diffrazione d'onda. L'osservazione della diffrazione viene solitamente eseguita secondo il seguente schema. Nel percorso di un'onda luminosa che si propaga da una determinata sorgente, viene posta una barriera opaca, che copre parte della superficie ondulatoria dell'onda luminosa. Dietro la barriera c'è uno schermo su cui appare un modello di diffrazione.

Esistono due tipi di fenomeni di diffrazione a seconda della distanza del punto di osservazione dall'ostacolo o dalla disomogeneità, nonché dal tipo di fronte d'onda nel punto di osservazione. Se il punto di osservazione si trova sufficientemente lontano dall'ostacolo e un'onda piana arriva al punto di osservazione dopo aver interagito con la disomogeneità, allora si parla di diffrazione di Fraunhofer. In altri casi si parla di diffrazione di Fresnel.

Ad esempio, consideriamo l'interazione di un flusso luminoso proveniente da una sorgente con una barriera piatta opaca in cui è tagliato un foro di forma arbitraria. Nella diffrazione di Fresnel (Fig. 8.4a), le onde sferiche arrivano al punto di osservazione situato sullo schermo a distanza finita dall'ostacolo da una sorgente situata a distanza finita dall'ostacolo e da punti sul contorno che delimitano il foro. Durante la diffrazione Fraunhofer (Fig. 8.4b) di un'onda luminosa proveniente da una sorgente infinitamente distante dall'ostacolo, le onde piane arrivano al punto di osservazione, anch'esso infinitamente distante dall'ostacolo.

Fig.8.4

Ne consegue che la diffrazione di Fresnel si manifesta sotto forma di interferenza di onde sferiche (cilindriche) che arrivano al punto di osservazione dalla disomogeneità con cui interagisce l'onda elettromagnetica (luce). L'interferenza delle onde cilindriche, che è un caso particolare dell'interferenza delle onde sferiche, si verifica nel caso in cui sia l'onda luminosa che la disomogeneità del mezzo di propagazione abbiano un asse di simmetria comune, per cui il campo ondulatorio e la disomogeneità i parametri sono gli stessi in qualsiasi sezione perpendicolare all'asse di simmetria.

La diffrazione di Fraunhofer è causata dall'interferenza di onde piane parallele (raggi) che arrivano al punto di osservazione da una disomogeneità con cui interagisce un'onda elettromagnetica (luce). Utilizzando l'obiettivo 2 (Fig. 8.5)

Fig.8.5

La diffrazione di Fraunhofer può essere osservata su uno schermo posto a una distanza finita dall'ostacolo con cui interagisce la luce (un'onda elettromagnetica). La lente 1 (Fig. 8.6), al centro della quale si trova la sorgente, viene utilizzata per illuminare un foro nel bersaglio con un'onda piana.

Zone di Fresnel

Come segue dal principio di Huygens-Fresnel, l'ampiezza dell'onda nel punto di osservazione (Fig. 8.3), creata dalla sorgente di un'onda elettromagnetica monocromatica nel punto, può essere trovata come sovrapposizione delle ampiezze delle onde sferiche emesse da sorgenti secondarie su una superficie chiusa arbitraria che copre il punto secondo l'espressione ( 8.2).

I calcoli utilizzando la formula (8.2) sono, in generale, un compito molto difficile. Tuttavia, come dimostrò Fresnel, nei casi caratterizzati da simmetria, l'ampiezza della vibrazione risultante può essere trovata mediante semplice somma algebrica o geometrica.

Per comprendere l'essenza del metodo sviluppato da Fresnel, l'ampiezza della vibrazione luminosa eccitata nel punto P da un'onda sferica che si propaga in un mezzo isotropo omogeneo da una sorgente puntiforme S (Fig. 8.6). Le superfici d'onda di tale onda luminosa sono simmetriche rispetto alla linea retta SP. Approfittando di ciò, dividiamo la superficie d'onda mostrata in figura in zone anulari, costruite in modo che le distanze dai bordi di ciascuna zona al punto P differiscano di l/2. Le zone con questa proprietà sono chiamate zone Fresnel.

Fig.8.6

Dalla fig. 8.6 è chiaro che la distanza b m dal bordo esterno del m è pari a

(8.3)

(b è la distanza dalla sommità della superficie dell'onda O al punto P). Le oscillazioni che arrivano al punto P da punti simili di due zone adiacenti (cioè da punti che si trovano al centro delle zone, o ai bordi esterni delle zone, ecc.) sono in antifase. Pertanto, le oscillazioni risultanti create da ciascuna delle zone nel loro insieme differiranno in fase p per le zone vicine.

Calcoliamo il raggio delle zone di Fresnel. Pertanto, il confine della zona di Fresnel () è separato dalla linea retta (Fig. 8.6) ad una distanza chiamata raggio della zona di Fresnel. Troviamo il raggio della zona di Fresnel. Come segue da considerazioni geometriche (Fig. 8.7):

dove è la distanza lungo una linea retta dalla sorgente al centro del fronte d'onda; - distanza lungo una linea retta dal centro del fronte d'onda al punto di osservazione.

Dalla 8.4, trascurando , per quelli non molto grandi troviamo:

(8.5)

Usando questa relazione dalla (8.4) troviamo

(8.6)

Figura8.7

Nel caso particolare di una sorgente infinitamente distante dal punto di osservazione (), il fronte d'onda è un piano e il raggio della m-esima zona di Fresnel è determinato dalla formula

Tenendo conto (Fig. 8.5), troviamo l'area di un segmento sferico di raggio e altezza

e troviamo che l'area della esima zona di Fresnel è:

non dipende da . Ciò significa che in ciascuna zona di Fresnel è presente lo stesso numero di sorgenti secondarie e, quindi, l'ampiezza totale delle sorgenti secondarie può essere sostituita dall'ampiezza della zona di Fresnel.

Quindi, le aree delle zone di Fresnel sono approssimativamente le stesse. La distanza b m dalla zona al punto P aumenta lentamente con il numero della zona m. Anche l'angolo j tra la normale agli elementi della zona e la direzione del punto P aumenta con m. Tutto ciò porta al fatto che l'ampiezza E m dell'oscillazione eccitata dalla zona m-esima nel punto P diminuisce monotonicamente all'aumentare di m. Pertanto, le ampiezze delle oscillazioni eccitate nel punto P dalle zone di Fresnel formano una sequenza monotonicamente decrescente:

E 1 > E 2 > E 3 > E m > E m + n

Le fasi delle oscillazioni eccitate dalle zone vicine differiscono di p.

Infatti, siano le ampiezze create dalla prima, dalla seconda, ecc. Zone di Fresnel. Quindi l'ampiezza richiesta nel punto , creata da tutte le zone di Fresnel nel punto di osservazione, è uguale a

Allora dall'espressione (8.10) otteniamo:

Pertanto, l'ampiezza dell'oscillazione risultante risultante dalla mutua interferenza della luce che arriva al punto P da diverse parti dell'onda sferica è inferiore all'ampiezza della prima zona di Fresnel. Poiché in un mezzo isotropo omogeneo l'intensità della luce che si propaga è determinata solo dall'ampiezza della prima zona di Fresnel, possiamo stimare il raggio del canale cilindrico attraverso il quale si propaga la luce: sia a = b = 1 m, l = 0,5 μm, allora r 1 = 0,5 mm . Di conseguenza, la propagazione della luce dal punto S al punto P avviene in un canale stretto, cioè rettilineo, che corrisponde alle leggi dell'ottica geometrica. Pertanto, la teoria delle zone di Fresnel non contraddice le leggi dell'ottica geometrica.

Considerando che l'intensità dell'onda è proporzionale al quadrato del modulo dei vettori elettromagnetici, possiamo concludere che l'intensità del campo creato dalla prima zona di Fresnel è quattro volte maggiore dell'intensità dell'onda sorgente nel punto di osservazione creato da tutte le fonti secondarie in superficie:

Piastre di zona.

Abbiamo trovato un'espressione per i raggi delle zone di Fresnel delle onde luminose sferiche

(8.13)

Utilizzando questa espressione, è possibile preparare uno schermo costituito da anelli trasparenti e opachi alternati in sequenza, i cui raggi soddisfano la condizione 8.13 per determinati valori di a, b e l. La piastra così preparata è chiamata piastra a zona di ampiezza. Le oscillazioni delle zone di Fresnel pari e dispari sono in antifase e quindi si indeboliscono a vicenda. Se si posiziona un piatto preparato sul percorso dell'onda luminosa, che coprirebbe tutte le zone pari o dispari, l'intensità della luce nel punto P aumenta notevolmente. Tale piastra agisce come una lente convergente.

Fig.8.8

Nella fig. La Figura 8.8 mostra una piastra che copre le zone con numeri pari.

Un effetto ancora maggiore può essere ottenuto non sovrapponendo le zone pari (o dispari), ma modificando la fase delle loro oscillazioni di p. Questo può essere fatto con l'aiuto

una lastra trasparente, il cui spessore nei punti corrispondenti alle zone pari o dispari differisce di una quantità opportunamente selezionata. Tale piastra è chiamata piastra a zona di fase. Rispetto alla piastra della zona di ampiezza che si sovrappone alla zona, la piastra di fase fornisce un ulteriore aumento dell'ampiezza di due volte e dell'intensità della luce di quattro volte.

Per una lamina di fase, l'ampiezza risultante del vettore luce può essere scritta come segue.

Qual è il principio di Huygens? Principio di Huygens

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