Schema generale della ricerca di funzioni online. Esplorazione e tracciatura delle funzioni complete

Oggi ti invitiamo a esplorare e tracciare un grafico di funzioni con noi. Dopo un attento studio di questo articolo, non dovrai sudare a lungo per completare questo tipo di attività. Non è facile esplorare e costruire un grafico di una funzione, il lavoro è voluminoso, richiede la massima attenzione e accuratezza dei calcoli. Per facilitare la percezione del materiale, studieremo gradualmente la stessa funzione, spiegheremo tutte le nostre azioni e calcoli. Benvenuti nel fantastico e affascinante mondo della matematica! Andare!

Dominio

Per esplorare e tracciare una funzione, è necessario conoscere alcune definizioni. Una funzione è uno dei concetti di base (di base) in matematica. Riflette la dipendenza tra più variabili (due, tre o più) con le modifiche. La funzione mostra anche la dipendenza degli insiemi.

Immagina di avere due variabili che hanno un certo intervallo di cambiamento. Quindi, y è una funzione di x, a condizione che ogni valore della seconda variabile corrisponda a un valore della seconda. In questo caso, la variabile y è dipendente e viene chiamata funzione. È consuetudine dire che le variabili xey sono in Per maggiore chiarezza di questa dipendenza, viene costruito un grafico della funzione. Che cos'è un grafico di funzione? Questo è un insieme di punti sul piano delle coordinate, dove ogni valore di x corrisponde a un valore di y. I grafici possono essere diversi: una linea retta, un'iperbole, una parabola, una sinusoide e così via.

Un grafico di funzione non può essere tracciato senza esplorazione. Oggi impareremo come condurre ricerche e tracciare un grafico di funzioni. È molto importante prendere appunti durante lo studio. Quindi sarà molto più facile affrontare il compito. Il piano di studio più conveniente:

1. Dominio.
2. Continuità.
3. Pari o dispari.
4. Periodicità.
5. Asintoti.
6. Zero.
7. Costanza.
8. Ascendente e discendente.
9. Estremi.
10. Convessità e concavità.

Partiamo dal primo punto. Troviamo il dominio di definizione, ovvero su quali intervalli esiste la nostra funzione: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Nel nostro caso, la funzione esiste per qualsiasi valore di x, ovvero il dominio di definizione è R. Questo può essere scritto come xОR.

Continuità

Ora esploreremo la funzione di discontinuità. In matematica, il termine "continuità" è apparso come risultato dello studio delle leggi del moto. Cos'è l'infinito? Spazio, tempo, alcune dipendenze (un esempio è la dipendenza delle variabili S e t in problemi di movimento), la temperatura dell'oggetto riscaldato (acqua, padella, termometro e così via), una linea continua (cioè una che si può disegnare senza toglierla dal foglio a matita).

Un grafico è considerato continuo se non si rompe a un certo punto. Uno degli esempi più ovvi di un tale grafico è un'onda sinusoidale, che puoi vedere nell'immagine in questa sezione. La funzione è continua in un punto x0 se sono soddisfatte alcune condizioni:

• una funzione è definita in un dato punto;
• i limiti destro e sinistro in un punto sono uguali;
• il limite è uguale al valore della funzione nel punto x0.

Se almeno una condizione non è soddisfatta, si dice che la funzione si interrompe. E i punti in cui la funzione si interrompe sono chiamati punti di interruzione. Un esempio di una funzione che si "spezzerà" quando visualizzata graficamente è: y=(x+4)/(x-3). Inoltre, y non esiste nel punto x = 3 (poiché è impossibile dividere per zero).

Nella funzione che stiamo studiando (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) tutto si è rivelato semplice, poiché il grafico sarà continuo.

Pari dispari

Ora esamina la funzione per la parità. Cominciamo con un po' di teoria. Una funzione pari è una funzione che soddisfa la condizione f (-x) = f (x) per qualsiasi valore della variabile x (dall'intervallo di valori). Esempi sono:

• modulo x (il grafico ha l'aspetto di una taccola, la bisettrice del primo e del secondo quarto del grafico);
• x al quadrato (parabola);
• coseno x (onda coseno).

Si noti che tutti questi grafici sono simmetrici se visti rispetto all'asse y.

Che cosa allora si chiama funzione dispari? Queste sono quelle funzioni che soddisfano la condizione: f (-x) \u003d - f (x) per qualsiasi valore della variabile x. Esempi:

• iperbole;
• parabola cubica;
• sinusoide;
• tangente e così via.

Si noti che queste funzioni sono simmetriche rispetto al punto (0:0), ovvero all'origine. In base a quanto detto in questa sezione dell'articolo, una funzione pari e dispari deve avere la proprietà: x appartiene all'insieme di definizioni e anche -x.

Esaminiamo la funzione di parità. Possiamo vedere che non corrisponde a nessuna delle descrizioni. Pertanto, la nostra funzione non è né pari né dispari.

Asintoti

Cominciamo con una definizione. Un asintoto è una curva che è il più vicino possibile al grafico, cioè la distanza da un punto tende a zero. Esistono tre tipi di asintoti:

• verticale, cioè parallelo all'asse y;
• orizzontale, cioè parallelo all'asse x;
• obliquo.

Per quanto riguarda il primo tipo, queste linee dovrebbero essere cercate in alcuni punti:

• spacco;
• estremità del dominio.

Nel nostro caso, la funzione è continua e il dominio di definizione è R. Pertanto, non ci sono asintoti verticali.

Il grafico di una funzione ha un asintoto orizzontale, che soddisfa il seguente requisito: se x tende all'infinito o meno all'infinito e il limite è uguale a un certo numero (ad esempio a). In questo caso, y=a è l'asintoto orizzontale. Non ci sono asintoti orizzontali nella funzione che stiamo studiando.

Un asintoto obliquo esiste solo se sono soddisfatte due condizioni:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Quindi può essere trovato con la formula: y=kx+b. Anche in questo caso, nel nostro caso non ci sono asintoti obliqui.

Zero di funzione

Il passaggio successivo consiste nell'esaminare il grafico della funzione per gli zeri. È anche molto importante notare che il compito associato alla ricerca degli zeri di una funzione si verifica non solo nello studio e nel tracciamento di un grafico di funzione, ma anche come compito indipendente e come modo per risolvere le disuguaglianze. Potrebbe essere necessario trovare gli zeri di una funzione su un grafico o utilizzare la notazione matematica.

Trovare questi valori ti aiuterà a tracciare la funzione in modo più accurato. In parole povere, lo zero della funzione è il valore della variabile x, a cui y \u003d 0. Se stai cercando gli zeri di una funzione su un grafico, dovresti prestare attenzione ai punti in cui il grafico si interseca con l'asse x.

Per trovare gli zeri della funzione, devi risolvere la seguente equazione: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Dopo aver eseguito i calcoli necessari, otteniamo la seguente risposta:

segno di costanza

La fase successiva nello studio e nella costruzione di una funzione (grafica) è trovare gli intervalli di costanza dei segni. Ciò significa che dobbiamo determinare su quali intervalli la funzione assume un valore positivo e su quali intervalli assume un valore negativo. Gli zeri delle funzioni trovate nella sezione precedente ci aiuteranno a farlo. Quindi, dobbiamo costruire una linea retta (separatamente dal grafico) e distribuire gli zeri della funzione lungo di essa nell'ordine corretto dal più piccolo al più grande. Ora devi determinare quale degli intervalli risultanti ha un segno "+" e quale ha un "-".

Nel nostro caso, la funzione assume un valore positivo sugli intervalli:

• da 1 a 4;
• da 9 a infinito.

Significato negativo:

• da meno infinito a 1;
• dalle 4 alle 9.

Questo è abbastanza facile da determinare. Sostituisci qualsiasi numero dall'intervallo nella funzione e guarda quale segno è la risposta (meno o più).

Funzione crescente e decrescente

Per esplorare e costruire una funzione, dobbiamo scoprire dove aumenterà il grafico (salire su Oy) e dove cadrà (spostarsi lungo l'asse y).

La funzione aumenta solo se il valore maggiore della variabile x corrisponde al valore maggiore di y. Cioè, x2 è maggiore di x1 e f(x2) è maggiore di f(x1). E osserviamo un fenomeno completamente opposto in una funzione decrescente (più x, meno y). Per determinare gli intervalli di aumento e diminuzione, è necessario trovare quanto segue:

• ambito (lo abbiamo già);
• derivata (nel nostro caso: 1/3(3x^2-28x+49);
• risolvi l'equazione 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Dopo i calcoli, otteniamo il risultato:

Otteniamo: la funzione aumenta sugli intervalli da meno infinito a 7/3 e da 7 a infinito, e diminuisce sull'intervallo da 7/3 a 7.

Estremi

La funzione studiata y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) è continua ed esiste per qualsiasi valore della variabile x. Il punto estremo mostra il massimo e il minimo di questa funzione. Nel nostro caso, non ce ne sono, il che semplifica notevolmente il compito di costruzione. Altrimenti, si trovano anche usando la funzione derivata. Dopo averli trovati, non dimenticare di segnarli sul grafico.

Convessità e concavità

Continuiamo a studiare la funzione y(x). Ora dobbiamo verificarne la convessità e la concavità. Le definizioni di questi concetti sono abbastanza difficili da percepire, è meglio analizzare tutto con esempi. Per il test: una funzione è convessa se è una funzione non decrescente. D'accordo, questo è incomprensibile!

Dobbiamo trovare la derivata della funzione del secondo ordine. Otteniamo: y=1/3(6x-28). Ora uguagliamo il lato destro a zero e risolviamo l'equazione. Risposta: x=14/3. Abbiamo trovato il punto di flesso, cioè il punto in cui il grafico cambia da convesso a concavo o viceversa. Nell'intervallo da meno infinito a 14/3, la funzione è convessa e da 14/3 a più infinito è concava. È anche molto importante notare che il punto di flesso sul grafico dovrebbe essere liscio e morbido, non dovrebbero esserci angoli acuti.

Definizione di punti aggiuntivi

Il nostro compito è esplorare e tracciare il grafico della funzione. Abbiamo completato lo studio, ora non sarà difficile tracciare la funzione. Per una riproduzione più accurata e dettagliata di una curva o di una retta sul piano delle coordinate, puoi trovare diversi punti ausiliari. È abbastanza facile calcolarli. Ad esempio, prendiamo x=3, risolviamo l'equazione risultante e troviamo y=4. Oppure x=5 e y=-5 e così via. Puoi prendere tutti i punti aggiuntivi di cui hai bisogno per costruire. Almeno 3-5 di loro vengono trovati.

Tracciare

Avevamo bisogno di studiare la funzione (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Tutti i segni necessari nel corso dei calcoli sono stati eseguiti sul piano delle coordinate. Non resta che costruire un grafico, ovvero collegare tutti i punti tra loro. Collegare i punti è fluido e preciso, questa è una questione di abilità: un po' di pratica e il tuo programma sarà perfetto.

Istruzione

Trova l'ambito della funzione. Ad esempio, la funzione sin(x) è definita sull'intero intervallo da -∞ a +∞, e la funzione 1/x è definita da -∞ a +∞, ad eccezione del punto x = 0.

Definire aree di continuità e punti di interruzione. Di solito una funzione è continua nello stesso dominio in cui è definita. Per rilevare le discontinuità, è necessario calcolare quando l'argomento si avvicina a punti isolati all'interno del dominio di definizione. Ad esempio, la funzione 1/x tende all'infinito quando x→0+ ea meno infinito quando x→0-. Ciò significa che nel punto x = 0 ha una discontinuità del secondo tipo.
Se i limiti nel punto di discontinuità sono finiti ma non uguali, allora questa è una discontinuità del primo tipo. Se sono uguali, la funzione è considerata continua, sebbene non sia definita in un punto isolato.

Trova gli asintoti verticali, se presenti. I calcoli del passaggio precedente ti aiuteranno qui, poiché l'asintoto verticale si trova quasi sempre nel punto di discontinuità del secondo tipo. Tuttavia, a volte non sono i singoli punti ad essere esclusi dal dominio di definizione, ma interi intervalli di punti, e quindi gli asintoti verticali possono trovarsi ai bordi di questi intervalli.

Controlla se la funzione ha proprietà speciali: pari, dispari e periodica.
La funzione sarà pari se per ogni x nel dominio f(x) = f(-x). Ad esempio, cos(x) e x^2 sono funzioni pari.

La periodicità è una proprietà che dice che esiste un certo numero T chiamato periodo, che per ogni x f(x) = f(x + T). Ad esempio, tutte le funzioni trigonometriche di base (seno, coseno, tangente) sono periodiche.

Trova punti. Per fare ciò, calcola la derivata della funzione data e trova quei valori x dove svanisce. Ad esempio, la funzione f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ha una derivata g(x) = 3x^2 + 18x che svanisce in x = 0 e x = -6.

Per determinare quali punti estremi sono massimi e quali minimi, traccia la variazione dei segni della derivata negli zeri trovati. g(x) cambia segno da più in x = -6 e torna da meno a più in x = 0. Pertanto, la funzione f(x) ha un minimo nel primo punto e un minimo nel secondo.

Quindi, hai anche trovato aree di monotonia: f(x) aumenta monotonicamente sull'intervallo -∞;-6, diminuisce monotonicamente su -6;0 e aumenta di nuovo su 0;+∞.

Trova la derivata seconda. Le sue radici mostreranno dove il grafico di una data funzione sarà convesso e dove sarà concavo. Ad esempio, la derivata seconda della funzione f(x) sarà h(x) = 6x + 18. Svanisce in x = -3, cambiando il suo segno da meno a più. Pertanto, il grafico f (x) prima di questo punto sarà convesso, dopo di esso - concavo e questo punto stesso sarà un punto di flesso.

Una funzione può avere altri asintoti, ad eccezione di quelli verticali, ma solo se il suo dominio di definizione include . Per trovarli, calcola il limite di f(x) quando x→∞ o x→-∞. Se è finito, allora hai trovato l'asintoto orizzontale.

L'asintoto obliquo è una linea retta della forma kx + b. Per trovare k, calcola il limite di f(x)/x come x→∞. Per trovare b - limite (f(x) – kx) con la stessa x→∞.

Tracciare la funzione sui dati calcolati. Etichetta gli asintoti, se presenti. Segna i punti estremi e i valori della funzione in essi. Per una maggiore precisione del grafico, calcolare i valori della funzione in molti altri punti intermedi. Ricerca completata.

I punti di riferimento nello studio delle funzioni e nella costruzione dei loro grafici sono punti caratteristici: punti di discontinuità, estremi, flesso, intersezione con gli assi coordinati. Con l'aiuto del calcolo differenziale, è possibile stabilire le caratteristiche del cambiamento delle funzioni: aumento e diminuzione, massimi e minimi, la direzione della convessità e della concavità del grafico, la presenza di asintoti.

Uno schizzo del grafico della funzione può (e dovrebbe) essere abbozzato dopo aver individuato gli asintoti ei punti estremi, ed è conveniente compilare la tabella riassuntiva dello studio della funzione nel corso dello studio.

Di solito, viene utilizzato il seguente schema di ricerca delle funzioni.

1.Trova il dominio, gli intervalli di continuità e i punti di interruzione di una funzione.

2.Esaminare la funzione per pari o dispari (simmetria assiale o centrale del grafico.

3.Trova gli asintoti (verticale, orizzontale o obliquo).

4.Trova e studia gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione, i suoi punti estremi.

5.Trova gli intervalli di convessità e concavità della curva, i suoi punti di flesso.

6.Trova i punti di intersezione della curva con gli assi delle coordinate, se esistono.

7.Compila una tabella riassuntiva dello studio.

8.Costruire un grafico, tenendo conto dello studio della funzione, svolto secondo i punti precedenti.

Esempio. Esplora la funzione

e traccialo.

7. Facciamo una tabella riassuntiva dello studio della funzione, dove inseriremo tutti i punti caratteristici e gli intervalli tra di essi. Data la parità della funzione, otteniamo la seguente tabella:

Per uno studio completo della funzione e per tracciarne il grafico, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1) trovare l'ambito della funzione;

2) trovare i punti di discontinuità della funzione e gli asintoti verticali (se esistono);

3) indagare il comportamento della funzione all'infinito, trovare gli asintoti orizzontali e obliqui;

4) indagare la funzione per l'uniformità (stranezza) e per la periodicità (per le funzioni trigonometriche);

5) trovare estremi ed intervalli di monotonia della funzione;

6) determinare gli intervalli di convessità e punti di flesso;

7) trovare i punti di intersezione con gli assi delle coordinate, se possibile, e alcuni punti aggiuntivi che rifiniscono il grafico.

Lo studio della funzione viene effettuato contemporaneamente alla costruzione del suo grafico.

Esempio 9 Esplora la funzione e costruisci un grafico.

1. Ambito di definizione: ;

2. La funzione si interrompe in punti
,
;

Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti verticali.

;
,
─ asintoto verticale.

;
,
─ asintoto verticale.

3. Indaghiamo la funzione per la presenza di asintoti obliqui e orizzontali.

Dritto
─ asintoto obliquo, se
,
.

,
.

Dritto
─ asintoto orizzontale.

4. La funzione è anche perché
. La parità della funzione indica la simmetria del grafico rispetto all'asse y.

5. Trova gli intervalli di monotonia ed estremi della funzione.

Troviamo i punti critici, es. punti in cui la derivata è 0 o non esiste:
;
. Abbiamo tre punti
;

. Questi punti dividono l'intero asse reale in quattro intervalli. Definiamo i segni su ciascuno di essi.

Sugli intervalli (-∞; -1) e (-1; 0) la funzione aumenta, sugli intervalli (0; 1) e (1; +∞) diminuisce. Quando si passa per un punto
la derivata cambia segno da più a meno, quindi, a questo punto, la funzione ha un massimo
.

6. Troviamo gli intervalli di convessità, i punti di flesso.

Troviamo i punti in cui è 0 o non esiste.

non ha vere radici.
,
,

punti
e
dividere l'asse reale in tre intervalli. Definiamo il segno ad ogni intervallo.

Quindi, la curva sugli intervalli
e
convesso verso il basso, sull'intervallo (-1;1) convesso verso l'alto; non ci sono punti di flesso, poiché la funzione nei punti
e
non determinato.

7. Trova i punti di intersezione con gli assi.

con asse
il grafico della funzione si interseca nel punto (0; -1) e con l'asse
il grafico non si interseca, perché il numeratore di questa funzione non ha radici reali.

Il grafico della funzione data è mostrato in Figura 1.

Figura 1 ─ Grafico della funzione

Applicazione del concetto di derivata in economia. Elasticità della funzione

Per studiare i processi economici e risolvere altri problemi applicati, viene spesso utilizzato il concetto di elasticità della funzione.

Definizione. Elasticità della funzione
è detto limite del rapporto tra l'incremento relativo della funzione all'incremento relativo della variabile a
, . (VII)

L'elasticità di una funzione mostra approssimativamente di quale percentuale la funzione cambierà
quando si cambia la variabile indipendente dell'1%.

L'elasticità di una funzione viene utilizzata nell'analisi della domanda e del consumo. Se l'elasticità della domanda (in valore assoluto)
, allora la domanda è considerata elastica se
─ neutrale se
─ anelastico rispetto al prezzo (o reddito).

Esempio 10 Calcola l'elasticità di una funzione
e trova il valore dell'indice di elasticità per = 3.

Soluzione: secondo la formula (VII) l'elasticità della funzione:

Sia x=3 allora
Ciò significa che se la variabile indipendente aumenta dell'1%, il valore della variabile dipendente aumenterà dell'1,42%.

Esempio 11 Lascia che la domanda funzioni per quanto riguarda il prezzo ha la forma
, dove ─ coefficiente costante. Trova il valore dell'indice di elasticità della funzione di domanda al prezzo x = 3 den. unità

Soluzione: calcolare l'elasticità della funzione di domanda utilizzando la formula (VII)

Supponendo
unità monetarie, otteniamo
. Ciò significa che al prezzo
unità monetaria un aumento del prezzo dell'1% provocherà una diminuzione della domanda del 6%, cioè la domanda è elastica.

Per uno studio completo della funzione e per tracciarne il grafico, si consiglia il seguente schema:
A) trovare il dominio di definizione, i punti di interruzione; indagare il comportamento della funzione vicino a punti di discontinuità (trovare i limiti della funzione a sinistra ea destra in questi punti). Specificare gli asintoti verticali.
B) determinare l'uniformità o la disparità della funzione e trarre una conclusione sulla presenza di simmetria. Se , allora la funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse OY; per , la funzione è dispari, simmetrica rispetto all'origine; e se è una funzione della forma generale.
C) trovare i punti di intersezione della funzione con gli assi coordinati OY e OX (se possibile), determinare gli intervalli del segno della funzione. I limiti degli intervalli di costanza del segno di una funzione sono determinati dai punti in cui la funzione è uguale a zero (gli zeri della funzione) o non esiste e dai limiti del dominio di definizione di tale funzione. Negli intervalli in cui il grafico della funzione si trova sopra l'asse OX e dove - sotto questo asse.
D) trovare la derivata prima della funzione, determinarne gli zeri e gli intervalli di costanza. Negli intervalli in cui la funzione aumenta e in cui diminuisce. Trarre una conclusione sulla presenza di estremi (punti in cui esistono la funzione e la derivata e quando passa attraverso i quali cambia segno. Se cambia segno da più a meno, allora a questo punto la funzione ha un massimo, e se da meno a più, quindi un minimo). Trova i valori delle funzioni nei punti estremi.
E) trova la derivata seconda, i suoi zeri e gli intervalli di costanza. Negli intervalli dove< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) trova gli asintoti obliqui (orizzontali) le cui equazioni hanno la forma ; dove
.
In il grafico della funzione avrà due asintoti obliqui, e ogni valore di x at e può corrispondere a due valori di b.
G) trovare punti aggiuntivi per rifinire il grafico (se necessario) e costruire un grafico.

Esempio 1 Esamina la funzione e traccia il suo grafico. Soluzione: A) dominio di definizione; la funzione è continua nel dominio di definizione; – punto di rottura, perché ; . Quindi è l'asintoto verticale.
B)
quelli. y(x) è una funzione generale.
C) Troviamo i punti di intersezione del grafico con l'asse OY: poniamo x=0; allora y(0)=–1, cioè il grafico della funzione incrocia l'asse nel punto (0;-1). Zeri della funzione (punti di intersezione del grafico con l'asse OX): assumiamo y=0; poi
.
Il discriminante di un'equazione quadratica è minore di zero, quindi non ci sono zeri. Allora il confine degli intervalli di costanza è il punto x=1, dove la funzione non esiste.
Il segno della funzione in ciascuno degli intervalli è determinato dal metodo dei valori parziali:

Si può vedere dal diagramma che nell'intervallo il grafico della funzione si trova sotto l'asse OX, e nell'intervallo sopra l'asse OX.
D) Scopriamo la presenza di punti critici.
.
I punti critici (dove o non esiste) si trovano dalle uguaglianze e .

Otteniamo: x1=1, x2=0, x3=2. Creiamo una tabella ausiliaria

Tabella 1

(La prima riga contiene i punti critici e gli intervalli in cui questi punti sono divisi dall'asse OX; la seconda riga indica i valori della derivata nei punti critici e i segni sugli intervalli. I segni sono determinati dal metodo di valori parziali La terza riga indica i valori della funzione y(x) nei punti critici e mostra il comportamento della funzione - crescente o decrescente agli intervalli corrispondenti dell'asse numerico.Inoltre, la presenza di un minimo o è indicato il massimo.
E) Trova gli intervalli di convessità e concavità della funzione.
; costruiamo una tabella come al paragrafo D); solo nella seconda riga scriviamo i segni e nella terza indichiamo il tipo di rigonfiamento. Perché ; allora il punto critico è uno x=1.
Tavolo 2

Il punto x=1 è il punto di flesso.
E) Trova gli asintoti obliqui e orizzontali

Allora y=x è un asintoto obliquo.
G) In base ai dati ottenuti, costruiamo un grafico della funzione

1). Ambito della funzione.
Ovviamente questa funzione è definita su tutta la linea dei numeri, ad eccezione dei punti “” e “”, perché in questi punti il ​​denominatore è uguale a zero e, quindi, la funzione non esiste, e le linee e sono asintoti verticali.

2). Comportamento della funzione quando l'argomento tende all'infinito, esistenza di punti di discontinuità e verifica di asintoti obliqui.
Per prima cosa controlliamo come si comporta la funzione quando ci avviciniamo all'infinito a sinistra ea destra.

Pertanto, a , la funzione tende a 1, cioè è l'asintoto orizzontale.
In prossimità dei punti di discontinuità, il comportamento della funzione è definito come segue:


Quelli. avvicinandosi ai punti di discontinuità a sinistra la funzione diminuisce all'infinito, mentre a destra aumenta all'infinito.
Determiniamo la presenza di un asintoto obliquo considerando l'uguaglianza:

Non ci sono asintoti obliqui.

3). Punti di intersezione con assi coordinati.
Qui è necessario considerare due situazioni: trovare il punto di intersezione con l'asse Ox e con l'asse Oy. Un segno di intersezione con l'asse x è il valore zero della funzione, cioè devi risolvere l'equazione:

Questa equazione non ha radici, quindi il grafico di questa funzione non ha punti di intersezione con l'asse Ox.
Un segno di intersezione con l'asse Oy è il valore x \u003d 0. In questo caso
,
quelli. - il punto di intersezione del grafico della funzione con l'asse Oy.

4).Determinazione dei punti estremi e degli intervalli di aumento e diminuzione.
Per approfondire questo problema, definiamo la derivata prima:
.
Uguagliamo a zero il valore della derivata prima.
.
Una frazione è zero quando il suo numeratore è zero, cioè .
Determiniamo gli intervalli di incremento e decremento della funzione.

Pertanto, la funzione ha un punto estremo e non esiste in due punti.
Pertanto, la funzione aumenta sugli intervalli e e diminuisce sugli intervalli e .

5). Punti di flesso e aree di convessità e concavità.
Questa caratteristica del comportamento della funzione è determinata utilizzando la derivata seconda. Per prima cosa determiniamo la presenza di punti di flesso. La derivata seconda della funzione è

Per e la funzione è concava;

for e la funzione è convessa.

6). Tracciare una funzione.
Utilizzando i valori trovati in punti, costruiamo un grafico schematico della funzione:

Soluzione
La funzione data è una funzione non periodica di forma generale. Il suo grafico passa per l'origine, poiché .
Il dominio della funzione data sono tutti i valori della variabile , tranne e , in cui il denominatore della frazione svanisce.
Pertanto, i punti e sono punti di interruzione della funzione.
Perché ,

Perché ,
, allora il punto è un punto di discontinuità del secondo tipo.
Le rette e sono gli asintoti verticali del grafico della funzione.
Equazioni degli asintoti obliqui , dove , .
In ,
.
Pertanto, for e il grafico della funzione ha un asintoto .
Troviamo gli intervalli di incremento e decremento della funzione ei punti degli estremi.
.
La derivata prima della funzione at e , quindi, at e la funzione aumenta.
Per , quindi, per , la funzione è decrescente.
non esiste per , .
, quindi, a il grafico della funzione è concavo.
In , quindi, a il grafico della funzione è convesso.

Passando per i punti , , cambia segno. Quando la funzione non è definita, quindi, il grafico della funzione ha un punto di flesso.
Costruiamo un grafico della funzione.