Il triangolo impossibile dei cubi nel mondo reale. Realtà impossibile

Molti credono che le figure impossibili siano davvero impossibili, e non possono essere create nel mondo reale. Tuttavia, dall'anno scolastico della geometria, sappiamo che il disegno indicato su un foglio di carta è una proiezione di una figura tridimensionale su un aereo. Di conseguenza, qualsiasi figura disegnata su un foglio di carta dovrebbe esistere nello spazio tridimensionale. Inoltre, oggetti tridimensionali, quando la proiezione sul piano di cui la figura piana predeterminata è il set senza fine. Lo stesso vale per le figure impossibili.

Naturalmente, nessuna delle figure impossibili non può essere creata, recitando semplice. Ad esempio, se prendi tre barre di legno identiche, non sarai in grado di combinarli in modo che sia un triangolo impossibile. Tuttavia, quando si proietta una figura tridimensionale su un piano, alcune linee possono diventare invisibili, sovrapposte a vicenda, di entrare insieme l'uno con l'altro, ecc. Sulla base di ciò, possiamo prendere tre barre diverse e fare un triangolo, presentato nella foto sottostante (figura 1). Questa foto è stata creata dal famoso popolare dei lavori M.K. Escher, l'autore di un gran numero di libri Bruno Ernst. In primo piano della foto, vediamo la figura del triangolo impossibile. Sullo sfondo c'è uno specchio, che riflette la stessa figura da un altro punto di vista. E vediamo che in realtà la figura del triangolo impossibile non è chiuso, ma una figura aperta. E solo dal punto con cui trascuriamo la figura sembra che il pezzo verticale della figura vada oltre la barra orizzontale, come risultato della quale la figura sembra impossibile. Se avessimo spostato un po 'l'angolo di visione, saresti immediatamente visibile al divario nella figura, e avrebbe perso il loro effetto dell'impossibilità. Il fatto che la figura impossibile sembra impossibile solo da un punto di vista è caratteristica di tutte le figure impossibili.

Fico. uno. Foto di un triangolo impossibile realizzato da Bruno Ernst.

Come menzionato sopra, il numero di figure corrispondenti a una determinata proiezione, un insieme infinito, quindi l'esempio sopra non è l'unico modo per costruire un triangolo impossibile in realtà. L'artista belga Mathieu Hamachers (Mathieu Hamaeker) ha creato una scultura presentata in Fig. 2. La fotografia a sinistra mostra la vista frontale della figura, in cui sembra un triangolo impossibile, la foto centrale mostra la stessa figura, girata a 45 °, e la foto a destra è una figura, girato a 90 °.

Fico. 2. Una fotografia della forma del triangolo impossibile Mathie Chemacherz.

Come puoi vedere, non ci sono linee rette in questa figura, tutti gli elementi della forma sono curvi in \u200b\u200bun certo modo. Tuttavia, come nel caso precedente, l'effetto dell'impossibilità è evidente solo in un angolo della revisione, quando tutte le linee curve vengono proiettate in dirette e, se non si presta attenzione ad alcune ombre, la figura sembra impossibile.

Un altro modo per creare un triangolo impossibile è stato proposto dall'artista e dal designer russo Vyacheslav Koleichuk e pubblicato nella rivista "Estetica tecnica" n. 9 (1974). Tutti i bordi di questo design sono linee rette e i bordi sono piegati, sebbene la figura di questo piegato non sia visibile sulla forma frontale. Ha creato un tale modello triangolo albero.

Fico. 3. Modello del triangolo impossibile Vyacheslav Koleichuk.

Successivamente, questo modello è stato ricreato da un dipendente della Facoltà di Computer Sciences Institute of Technica in Israele Elber Gershon. La sua opzione (vedere la figura 4) è stata progettata per la prima volta sul computer, e quindi ricreata in realtà utilizzando una stampante tridimensionale. Se muovi un piccolo angolo di panoramica del triangolo impossibile, vedremo una figura simile alla seconda foto in fig. quattro.

Fico. quattro. Un'opzione per costruire un triangolo impossibile di Elbera Gershon.

Vale la pena notare che se guardassimo le figure ora, e non nelle loro foto, vedremmo immediatamente che nessuna delle figure presentata è impossibile, e qual è il segreto di ciascuno di loro. Saremmo semplicemente in grado di vedere queste figure impossibili, dal momento che abbiamo una visione stereoscopica. Cioè, i nostri occhi situati a una certa distanza l'uno dall'altro vedono lo stesso oggetto da due parenti, ma ancora diversi, punti di vista, e il nostro cervello, avendo ricevuto due immagini dai nostri occhi li combina in un'unica immagine. In precedenza è stato detto che l'oggetto impossibile sembra impossibile solo da un singolo punto di vista, e dal momento che trascuriamo l'oggetto da due punti di vista, poi vediamo immediatamente quei trucchi, con cui uno o un altro oggetto viene creato.

Questo significa che in realtà è ancora impossibile vedere l'oggetto impossibile? No tu puoi. Se chiudi un occhio e guarderai alla figura, sembrerà impossibile. Pertanto, nei musei, nel dimostrazione delle figure impossibili che costringono i visitatori a guardarli attraverso un piccolo buco nel muro con un occhio.

C'è un altro modo, con il quale puoi vedere la figura impossibile, con due occhi contemporaneamente. È il seguente: è necessario creare una figura enorme con una casa di alto piano, sistemarla su un ampio spazio aperto e guardarlo da una lunga distanza. In questo caso, anche guardando la figura con due occhi, lo percepirai come un impossibile a causa del fatto che entrambi i tuoi occhi riceveranno immagini praticamente nessun amico diverso. Una figura così impossibile è stata creata nella città australiana di Perth.

Se il triangolo impossibile è relativamente facile da costruire nel mondo reale, allora non è così facile creare un tridente impossibile nello spazio tridimensionale semplicemente. Una caratteristica di questa figura è la presenza di una contraddizione tra la parte anteriore e lo sfondo della figura quando i singoli elementi delle forme sono trasportatamente trasportati nello sfondo su cui si trova la figura.

Fico. cinque. Design simile al tridente impossibile.

All'Eye Optics Institute della città di Aquisgrana (Germania), questa attività è stata in grado di risolvere questo compito creando un'installazione speciale. Il design è composto da due parti. Tre colonne e colonne rotonde si trovano davanti alla parte anteriore. Questa parte è illuminata solo in basso. Le colonne sono lo specchio semiperio (mezzo permeabile) con uno strato riflettente, situato di fronte, cioè il visualizzatore non vede ciò che è dietro lo specchio e vede solo il riflesso delle colonne.

Fico. 6.Circuito di installazione, riproducendo tridente impossibile.

Istituzione educativa di bilancio municipale

"Lyceum №1"

Lavori di ricerca sull'argomento

"Figure impossibili"

Eseguito: Skichuk Danil Student 6b Class

Leader: insegnante di matematica

Kazmenko Elena Alexandrovna.

Introduzione 3.

1. Determinazione delle figure impossibili 4

2. Tipi di figure impossibili 8

2.1. Triangolo incredibile - TRYBAR 8

2.2. Scala infinita 9.

2.3. Space Fork 11.

2.4. Scatole impossibili 12.

3. Applicazione di figure impossibili 13

3.1. Figure impossibili in Iconopy 13

3.2. Figure impossibili in architettura e scultura 15

3.3. Figure del nome nella pittura 16

3.4. Figure del nogogening in Filatelalista 18

3.5. Figure chiare in Investigative Art 19

3.6. Figure chiare nell'animazione 20

3.7.Nogening figure in loghi e simboli 21

4. Creare figure impossibili 22

Conclusione 24.

Riferimenti 25.

introduzione

Le figure impossibili sono note quasi da quando i tempi di pittura a dondolo, il loro studio sistematico è iniziato solo a metà del 20 ° secolo, cioè quasi davanti ai nostri occhi, e prima di quella matematica, li scosse dal fastidioso fraintendimento.

Nel 1934, Oscar Rehethersvard (Oscar Reutersvard) ha creato accidentalmente la sua prima figura impossibile - un triangolo composto da nove cubi, ma invece di correggere qualcosa, cominciò a creare altre figure impossibili una dopo l'altra.

Anche tali semplici forme sfuse, come un cubo, piramide, parallelepipede possono essere rappresentate come una combinazione di diverse figure situate a diverse distanze dall'occhio dell'osservatore. Ci dovrebbe sempre essere una linea in cui l'immagine delle singole parti di combinazione in un'immagine olistica.

La "figura impossibile" è un oggetto tridimensionale fatto su carta, che non può effettivamente esistere, ma che, tuttavia, può essere visto come un'immagine bidimensionale. " Questo è uno dei tipi di illusioni ottiche, una cifra che sembra a prima vista la proiezione del solito oggetto tridimensionale, con un'attenta considerazione dei quali collegamenti contraddittori degli elementi della figura diventano visibili. L'illusione dell'impossibilità dell'esistenza di tale figura nello spazio tridimensionale è stata creata.

Nonostante il significativo numero di pubblicazioni sulle figure impossibili della loro definizione chiara sui meriti non sono formulate. È possibile leggere che le figure impossibili includono tutte le illusioni ottiche associate alle peculiarità della nostra percezione del mondo. D'altra parte, una persona può mostrarti una figura di un uomo verde o dieci mani e cinque teste e dire che tutte queste figure impossibili. Allo stesso tempo, sarà nei suoi diritti. Dopotutto, non ci sono persone verdi con dieci gambe. Sotto cifre impossibili, comprendiamo le immagini piatte delle figure percepite da una persona sicuramente, poiché sono disegnate senza percezione da parte di una persona, senza ulteriori, infatti, non disegnate immagini o distorsioni e che non possono essere rappresentate in forma tridimensionale. L'impossibilità di rappresentazione in forma tridimensionale è intesa, ovviamente, solo immediatamente senza tenere conto dell'uso di mezzi speciali nella produzione di figure impossibili, poiché è sempre impossibile fare una figura, applicando un sistema hitromico di slot, Elementi di supporto aggiuntivi e elementi di flessione della figura, e poi ha fotografato l'angolo retto

La domanda sorse di fronte a me: "Esistono figure impossibili nel mondo reale?"

Obiettivo del progetto:

1. considerare quanto siano create le cifre impossibili e dove vengono utilizzati.

Attività del progetto:

1. La letteratura del soggetto sull'argomento "figure impossibili".

2. Creare la classificazione di figure impossibili.

3. Modi di discussione per costruire figure impossibili.

4. Creare una figura impossibile.

L'argomento del mio lavoro è rilevante perché la comprensione dei paradossi è uno dei segni del tipo di potenziale creativo che la migliore matematica, scienziati e artisti possiedono. Molti lavori con oggetti irreali possono essere attribuiti a "giochi matematici intellettuali". Puoi simulare un mondo simile con l'aiuto di formule matematiche, una persona semplicemente non è in grado di presentarlo. E per lo sviluppo dell'immaginazione spaziale, le forme impossibili sono utili. Un uomo crea instancabilmente mentalmente intorno a lui che sarà semplice e comprensibile per lui. Non può nemmeno immaginare che alcuni oggetti che circondano può essere "impossibile". In effetti, il mondo è uno, ma puoi considerarlo dai lati diversi.

1. Determinazione delle figure impossibili

Fino ad ora, non c'è una chiara definizione di figure impossibili. Ho trovato diversi approcci diversi alla definizione di questo concetto.

La figura impossibile è uno dei tipi di illusioni ottiche, la figura che sembra a prima vista la proiezione del consueto oggetto tridimensionale, con un'attenta considerazione dei quali collegamenti contraddittori degli elementi della figura diventano visibili.

Le figure impossibili sono immagini geometricamente controverse di oggetti che non esistono nello spazio tridimensionale reale. L'incapacità deriva da una contraddizione tra la geometria subconsciamente percepita dello spazio raffigurato e geometria formale-matematica.

Le figure impossibili sono divise in due classi di grandi dimensioni: alcune hanno reali modelli tridimensionali e per gli altri è impossibile da creare.

Di norma, il modello tridimensionale della figura impossibile sembra impossibile, dovrebbe essere considerato da un certo angolo di visione, in modo che l'illusione dell'impossibilità sia nata.

È necessario chiarire la differenza tra i termini "figura impossibile", "oggetto impossibile" e "modello tridimensionale". Il modello tridimensionale è un oggetto fisicamente rappresentativo, quando si considera che nello spazio, tutte le slot e le curve diventano visibili, che distruggono l'illusione dell'impossibilità e questo modello perde la sua "magia". Quando proiezione di questo modello, il piano bidimensionale risulta la figura impossibile. Questa figura impossibile (in contrasto con il modello tridimensionale), crea l'impressione di un oggetto impossibile, che può esistere solo nell'immaginazione di una persona, ma non nello spazio.

Le figure impossibili si trovano spesso abbastanza spesso su antiche incisioni, dipinti e icone - in alcuni casi abbiamo con errori evidenti della trasmissione delle prospettive, in altri - con distorsioni intenzionali a causa dell'intento artistico.

Siamo abituati a credere a fotografie (e in qualche modo meno disegni e disegni), credendo ingenuamente che corrispondono sempre a una specie di realtà (reale o immaginaria). Un esempio del primo è un parallelepipedo, il secondo - un elfo o un'altra favolosa bestia. L'assenza di elfi nell'area spaziale / tempo osservata da noi non significa che non possano esistere. Eppure poiché possono (cosa è facile assicurarsi che l'aiuto di intonaco, plastilina o papier-mache). Ma come disegnare qualcosa che non può essere affatto?! Cosa non può essere costruito affatto?!

C'è un'enorme classe di cosiddette "figure impossibili", erroneamente o deliberatamente disegnate con errori di trasmissione di potenziali clienti, come risultato di ciò che sorgono effetti visivi divertenti, aiutando gli psicologi a gestire i principi del lavoro (sotto) coscienza.

Nella pittura medievale giapponese e persiana, gli oggetti impossibili sono parte integrante dello stile artistico orientale, che dà solo uno schizzo di pittura comune, i dettagli di cui "devono" pensare allo spettatore da soli, in conformità con le sue preferenze.

Le immagini con una prospettiva distorta si trovano già all'inizio del primo millennio. A in miniatura dal libro di Henry II, creato fino al 1025 e immagazzinato nella Biblioteca di Stato bavarese di Monaco, Madonna con un bambino è stato disegnato (Fig. 1). L'immagine mostra un set composto da tre colonne e la colonna media secondo le leggi delle prospettive dovrebbe essere situata in vista della Madonna, ma è dietro di esso, che conferisce all'immagine l'effetto della irrealtà.

Figura 1. "Madonna con bambino"

Nell'articolo "Guida dell'Ordine nell'impossibile" (impossibile.info/russian/articles/kulpa/peutting-order.html) è data la seguente definizione delle figure impossibili: "La figura impossibile è un modello piatto che crea il Impressione di un oggetto tridimensionale in modo tale che l'oggetto, la proposta della nostra percezione spaziale non può esistere, in modo che un tentativo di crearlo conduca a contraddizioni (geometriche), chiaramente visibile osservatore. " Approssimativamente lo stesso scrittore e il loro pene nel loro articolo memorabile: "Ogni singola parte della figura sembra un normale oggetto tridimensionale, ma a causa della connessione errata dei pezzi della figura, la percezione della figura porta completamente al lassoreria Effetto dell'impossibilità, "Ma nessuno di loro risponde alla domanda: perché tutto ciò accade?

Nel frattempo, tutto è semplice. La nostra percezione è progettata in modo che quando si elabora una figura bidimensionale, avendo segni di prospettiva (cioè lo spazio volumetrico), il cervello lo percepisce come tridimensionale, scegliendo il modo più semplice per trasformare 2D in 3D, guidato dall'esperienza di vita e come mostrato sopra, i prototipi reali "impossibili" figure sono strutture abbastanza tagliate con cui il nostro subconscio non è familiare, ma anche dopo la conoscenza con loro, il cervello continua a scegliere il più semplice (dal suo punto di vista) l'opzione di trasformazione e solo dopo Allenamenti a termine, il subconscio infine "entra nella situazione" e l'apparente anomalia delle "figure impossibili" scompare.

Considera un'immagine (sì, sì, è l'immagine, e non un disegno fotorealistico generato da un computer), disegnato dall'artista fiammingo di nome Jos de Mea / Jos de Mey (Fig. 2). La domanda è - quale realtà fisica potrebbe adattarsi?

A prima vista, la struttura architettonica sembra impossibile, ma dopo la seconda coscienza dello Zaminka trova un'opzione di salvataggio: la muratura è nel piano perpendicolare all'osservatore e si basa su tre colonne, i cui vertici sembrano essere localizzati a una distanza uguale da La muratura, ma in effetti lo spazio vuoto semplicemente "chiude" a causa del "successo" della proiezione selezionata. Dopo la coscienza "decifrata" l'immagine, (e tutte le immagini simili) è percepita perfettamente normale, e anche le contraddizioni geometriche sono inosservate, come appaiono.

Figura 2. Immagine impossibile di Josa de Maya

Considera la famosa immagine di Maurice Escher / Maurits Escher "Cascata" / "Cascata" (Fig. 3) e il suo modello di computer semplificato (figura 4), eseguito nello stile fotorealistico. A prima vista non ci sono paradossi, abbiamo una foto ordinaria, raffigurante ... Disegno del motore eterno !!! Ma dopotutto, come sai dall'anno scolastico della fisica, il motore eterno è impossibile! Come è riuscito a rappresentare Eschru per ritrarre ciò che in natura non può essere in natura?!

Figura 3. Motore eterno sull'incisione "Cascata" dell'Escher.

Figura 4. Modello del computer del motore ESCHER Eternal.

Quando si tenta di costruire il motore secondo il disegno (o con un'analisi attenta di quest'ultimo), "L'inganno" si apre immediatamente - nello spazio tridimensionale, tali strutture sono geometricamente contraddittorie e possono esistere solo su carta, cioè sul Aereo, e l'illusione del "volume" è creata solo a causa dei segni della prospettiva (in questo caso, è deliberatamente distorto) e alla lezione del disegno per un tale capolavoro vinceremo facilmente due punti, sottolineando la proiezione errori.

Tipi di figure impossibili

Le "figure impossibili" sono suddivise in 4 gruppi:

1. Un triangolo incredibile è Tribar (figura 5).

Figura 5. Tribar.

Questa figura è possibile il primo oggetto impossibile pubblicato nella stampa. È apparsa nel 1958. I suoi autori, padre e figlio Lionell e Roger Penrouse, genetico e matematico, rispettivamente, hanno determinato questo oggetto come una "struttura rettangolare tridimensionale". Ha anche il nome "Tribar". A prima vista, il Tribar sembra semplicemente un'immagine di un triangolo equilatero. Ma i lati convergono nella parte superiore del disegno sembrano perpendicolari. Allo stesso tempo, anche i facce sinistro e destro dell'Enceme sembrano anche perpendicolari. Se guardi ogni dettaglio separatamente, sembra reale, ma, in generale, questa figura non può esistere. Non è deformato, ma gli elementi corretti sono stati collegati in modo errato.

Ecco alcuni altri esempi di figure impossibili basate su Tribar (fig.6-9).

Figura 6. Tribar Tribar triplo 7. Triangolo di 12 cubi

Figura 8. Figura Tribar alata 9. Triple Domino La conoscenza di figure impossibili (specialmente nell'esecuzione di Escher), ovviamente, stupendi, ma il fatto che qualsiasi figure impossibile possa essere costruita nel mondo tridimensionale reale, porta ad attenzione. Come sapete, qualsiasi immagine bidimensionale è una proiezione di una figura tridimensionale su un piano (foglio di carta). Ci sono un sacco di metodi di proiezione, ma all'interno di ciascuno di loro la mappatura è decisamente eseguita, cioè c'è una stretta corrispondenza tra la figura tridimensionale e la sua immagine bidimensionale. Tuttavia, Axonometric, isometric e altri metodi di proiezione popolari sono trasformazioni unidirezionali effettuate con perdita di informazioni e quindi la trasformazione inversa può essere eseguita da un insieme infinito di modi, cioè, un'immagine bidimensionale corrisponde a un infinito multiplo tridimensionale Le figure e qualsiasi matematico dimostreranno facilmente che una simile conversione è possibile per qualsiasi immagine bidimensionale. Questo è, in realtà nessuna figura impossibile! Ma un'altra mappa da Mathieu Hemacherza. Possibili opzioni di visualizzazione inversa (fig.10). Infinitamente molto! Figura 10. Penrose del triangolo in vari angoli

1. Scala infinita

Questa figura è più spesso chiamata "scala senza fine", la "scala eterna" o "Scala di Penrose" - con il nome del suo creatore. Si chiama anche "continuamente ascendente e rivolto verso il basso" (Fig.11).

Figura 11. Scala infinita

Per la prima volta questa cifra è stata pubblicata nel 1958. Abbiamo una scala che porta, apparentemente in alto, su o giù, ma allo stesso tempo, una persona che camminava attraverso di esso non si alza e non cade. Dopo aver completato il suo percorso visivo, sarà all'inizio della strada.

L'artista "Endless Scarscase" Mauritz K. Escher è stato usato con successo, questa volta nella sua litografia "arrampicata e discesa" creata nel 1960.

Scala con gradini a quattro o familiari. Per creare questa figura con un gran numero di passi l'autore potrebbe ispirare un grappolo di normali traversine ferroviari. Avendo raccolto per arrampicarsi su questa scala, starai in piedi prima di scegliere: se aumentare in quattro o sette passaggi.

I creatori di questa scala utilizzavano linee parallele utilizzate nello sviluppo di parti finite di blocchi situati alla stessa distanza; Sembra che alcuni blocchi siano contorti per abbinare l'illusione.

1. Forchetta spaziale

Il prossimo gruppo di figure sotto il nome generale "Space Fork". Con questa figura entriamo nel nucleo e nell'essenza dell'impossibile. Forse questa è la classe più numerosa di oggetti impossibili (figura 12).

Figura 12. Forchetta spaziale

Questo famigerato oggetto impossibile con tre denti (o due volte) divenne popolare con gli ingegneri e gli amanti del puzzle nel 1964. La prima pubblicazione dedicata a una figura insolita è apparsa nel dicembre del 1964. L'autore ha chiamato "la parentesi costituita da tre elementi".

Da un punto di vista pratico, questo strano tridente o un meccanismo sotto forma di una parentesi non è assolutamente applicabile. Alcuni chiamano solo un "errore fastidioso". Uno dei rappresentanti dell'industria aerospaziale ha proposto di utilizzare le sue proprietà durante la costruzione di spacecap interdimali.

1. Scatole impossibili

Un altro oggetto impossibile è apparso nel 1966 a Chicago a causa degli esperimenti originali del fotografo Dr. Charles F. Kokrane. Molti amanti di figure impossibili hanno condotto esperimenti con una "scatola pazza". Inizialmente, l'autore lo ha definito una "scatola libera" e ha dichiarato che è stato "progettato per inviare oggetti impossibili in grandi quantità" (fig.14).

Figura 14. Scatole impossibili

"Crazy Box" è dentro fuori da una cornice cubica all'interno. Il predecessore immediato della "casella pazza" era la "casella impossibile" (Autrice Esher), e il suo predecessore, a sua volta, divenne il cubo del collo (figura 15).

Figura 15. Necker cubica

Non è un oggetto impossibile, tuttavia, è una figura in cui il parametro profondità può essere percepito ambiguamente.

Quando guardiamo nel cubo del necker, notiamo che il viso con un punto è sul davanti, poi sullo sfondo, salta fuori da una posizione all'altra.

Applicazione di figure impossibili

Le figure impossibili a volte trovano un uso inaspettato. Oscar RutherRrsvard racconta nel libro "Omojliga Funturer" sull'uso dei disegni Imp-Art per la psicoterapia. Scrive che i dipinti con i loro paradossi sono sorprendenti, affidano l'attenzione e il desiderio di decifrare. Lo psicologo Roger Shepard ha usato l'idea di un tridente per la sua foto dell'Elefante impossibile.

In Svezia, sono utilizzati nella pratica dentale: considerando i dipinti nella reception, i pazienti sono distratti da pensieri spiacevoli davanti al governo del dentista.

3.1. Figure impossibili nell'icona

Il cristianesimo ha usato molto raramente i modelli di figure inesistenti, ma le loro immagini si trovano spesso su icone e affreschi. Fino al nostro tempo, non ci sono così tanti modelli di figure impossibili nei templi. Il più famoso di loro è un'immagine di un triangolo impossibile situato sullo schermo davanti all'altare (fig.16). Si trova nella chiesa della Santissima Trinità, collocata dai monaci Benongensky dall'1150 al 1550. Successivamente, è stato distrutto, nel 1869 - restaurato e ricostruito.

Figura 16. Affresco davanti all'altare

Le immagini delle figure impossibili si verificano su icone e affreschi. Questo è solitamente il colonnato impossibile. La base della colonna centrale viene rimossa dal visualizzatore. Fino ad ora, i ricercatori non hanno concluso che un tale design dell'artista o di un errore.

Sull'icona "terribile tribunale" (precoce periodo) nel maiuscolo, l'immagine della Gerusalemme celeste sotto forma di città, scaricata con pareti con una moltitudine di torri e un cancello (figura 17).

Figura 17. Icona "Scary Court"

All'interno di lui, dietro gli otto troni, i santi sono presentati dai ranghi: gli apostoli, i martiri, il reverendo, gli eremiti (yarodovy), i profeti, santo, martiri e le mogli di reverenti. A poco a poco, questa immagine era sempre più stilizzata e semplificata. A metà del XV secolo nel maiuscolo, le icone erano già state un arco con sovrapposizioni impossibili.

Questi affreschi sono stati creati da Evgeny Madko nel tempio Pokrovsky nella regione di Voronezh. Ognuno di loro può vedere i disegni impossibili.

La decorazione della cappella del presepe della Vergine vicino al villaggio Izhevsk nella regione di Chernovetsky (Ucraina). Gli affreschi raffiguravano un gran numero di figure impossibili, che è la tecnica caratteristica dell'artista. Nella maggior parte degli altri esempi di utilizzo di progetti impossibili nel pittura dell'icona, l'emergere di disegni impossibili è collegata, piuttosto, con errori di artisti delle intenzioni consapevoli.

3.2. Quasi figure in architettura e scultura

All'estero, per le strade delle città, possiamo vedere le forme di realizzazione architettoniche delle figure impossibili.

Recentemente sono state create diverse mini sculture e modelli volumetrici di figure impossibili. Hanno persino messo un monumento.

Il triangolo di Penrose è immortalato nella città di Pietro in Australia. È stato installato nel 1999 e ora tutto ciò che passa, può vedere la figura impossibile (figura 18).

Figura 18. Peroodino del triangolo in Australia

Ma vale la pena di cambiare l'angolo di vista, come un triangolo dal "impossibile" si trasforma in una struttura reale ed esteticamente poco attraente che non ha alcuna relazione con i triangoli (figura 19).

Figura 19. Sembra un triangolo di Penrose d'altra parte

Come esempio delle figure impossibili nell'architettura, possono essere fornite le cosiddette case cubiche. Sono stati costruiti nel 1984 a Rotterdam (Paesi Bassi) dall'architetto in BAT Blomot. A casa sono implementati ad un angolo di 45 gradi e si trovano su una griglia esagonale. Il design è composto da 32 cubi collegati l'uno all'altro. Ogni casa cubica è composta da quattro piani. Al primo piano, l'ingresso, sul secondo è una cucina e un soggiorno, sul terzo - una camera da letto e un bagno, al quarto piano, spesso organizzano una serra. Tetti di case dipinte in colori bianchi e grigi, se visti, assomigliano a picchi di montagna coperti di neve. Questo complesso di edifici ha un'altra caratteristica interessante. Dall'altezza dell'occhiello di un uccello dell'edificio forma un design che sembra una figura impossibile.

3.3. Figure chiare nella pittura

Durante la pittura, c'è un'intera direzione che si chiama impossilismo ("incapacità") - un'immagine di figure impossibili, paradossi. L'interesse per l'impuusilismo è scoppiato entro il 1980. Questo termine è stato introdotto nell'appello di Teddy Brunio, professore di storia dell'arte dell'Università di Copenaghen. Questo termine determina accuratamente ciò che entra in questo nuovo concetto: un'immagine di oggetti che sembrano reali, ma non possono esistere nella realtà fisica.

La geometria frattale studia i modelli che si manifestano nella struttura di oggetti naturali, processi e fenomeni con una frammentazione esplicitamente pronunciata, la rottura e la curvatura.

Op-art (ENG. OP-Art - versione ottica abbreviata - Arte ottica - Arte ottica) - Il corso artistico della seconda metà del 20 ° secolo, utilizzando varie illusioni visive basate sulle peculiarità della percezione di figure piatte e spaziali. Una direzione indipendente in op-art è la cosiddetta Imp-art (Imp-art), che viene utilizzata per ottenere illusioni ottiche, le caratteristiche del display di oggetti tridimensionali sul piano.

I rappresentanti più famosi dell'op-art sono Maurice Escher, artista ungherese Ishthan Oros, artista fiammingo Jos de Mea, artista svizzero Sandro del pre. L'artista britannico Julian Beaver è uno degli artisti più famosi di questa zona, che raffigura i suoi capolavori non su carta, ma per le strade della città, le mura delle case urbane, dove possono ammirare tutto.

3.4. Figure del nome in filatelia

Nel 1982, secondo l'ordine del governo della Svezia, Oscar Reuturasvard ha fatto francobolli con immagini di figure impossibili (fig.20).

Figura 20. Marchi svedesi con immagini di forme famose

I marchi sono stati rilasciati da edizione limitata, oggi sono molto rari e sono molto richiesti tra i filatelisti. Nel prossimo futuro, sono pianificati un'altra circolazione. Il primo di questi marchi è stato dedicato al congresso matematico a Innsbruck (Austria), tenuto nel 1981. L'iscrizione del cassetto ESCHER è presa come base (fig.21).

Figura 22. Mark dedicato alla scorrogenza matematica

3.5.Nogening figure in arte investigativa

Le forme impossibili non rare sono utilizzate per progettare coperture del registro.

Sulla copertina del primo numero del 2008, la rivista "Matematica a scuola" raffigura un collage di frammenti delle immagini dell'artista belga Zhosa de Maya (fig.22).

Figura 22. Magazine "Matematica a scuola"

Qui puoi vedere due personaggi frequenti dei dipinti dell'artista - gufo e uomo con un cubo. Gufo per i belgi è un simbolo di conoscenza teorica, e allo stesso tempo soprannominato un uomo stupido. Una persona con un cubo impossibile è a sua volta uno degli eroi della litografia M.K. Escher Belvedere, che ha preso in prestito de mea per i suoi dipinti. Era de mica che ha dipinto i vestiti di questo personaggio in caratteristici colori olandesi. Puoi anche vedere altri frammenti delle immagini dell'artista belga - un grande design impossibile, dipinto da formule matematiche, così come un segno con una piazza magica di Durera.

Nella progettazione di libri di testo per l'algebra per il grado 7, le forme impossibili sono tradizionalmente utilizzate (fig.23).

Figura 23. Tutorial Algebra

3.6. Figure chiara nell'animazione

L'interesse per le cifre impossibili si rifletteva nell'animazione e nel cinema.

Chi nell'infanzia non guardava il cartone animato "nel mare blu, in schiuma bianca ...", girato allo studio di Armenfilm nel 1984. Il film racconta una fiaba su come il ragazzino frene dalla brocca del re del mare, dopo di che abmagina il ragazzo e lo trascina nel fondo del mare (fig.24).

Figura 24. Telaio dal cartone animato

All'inizio del cartone animato c'è una scena in cui ci sono violazioni delle prospettive. In loro, il re del mare opera con oggetti da lui ad alta distanza come se solo una piccola dimensione e si trovano accanto ad esso.

Nella moderna popolare serie di animazione americana Phineas e Ferb, è descritto su come due fratelli consolidati trascorrono le vacanze estive. Ogni giorno, ispirano un nuovo progetto Grand (fig.25).

Figura 25. Telaio dalla serie

Nell'episodio 35 della seconda stagione "Fuffstit Side of the Moon" Brothers Costruisce il più alto edificio del mondo, che raggiunge la luna. Una delle stanze dell'edificio ripete la relatività dell'Escher.

3.7. Figure chiara nei loghi e nei simboli

La figura 26 mostra il logo della società automobilistica francese Renault. Nel 1972, il suo simbolo era il quadrictro impossibile. Inoltre, il triangolo impossibile nel suo logo utilizza il negozio di mobili "Allucinazioni per mobili" (fig.27).

Figura 26. Logo Renault

Figura 27. Negozio di mobili logo

La figura 28 mostra il logo della campagna per la produzione e la vendita di Windows.

Figura 28. Campagna logo "Windows russo"

La matematica sostiene che entrambi i palazzi in cui possono essere discendenti le scale che portano al ritorno possono esistere. Per questo devi solo costruire una tale struttura non in tridimensionale, ma, ad esempio, in uno spazio tridimensionale. E nel mondo virtuale, che apre una moderna tecnologia informatica e non può essere fatto. Al giorno d'oggi, le idee dell'uomo sono svolte, che credevano ancora all'alba nell'esistenza di mondi impossibili.

Parte pratica

Creando figure impossibili

Come mostrato il sondaggio dei miei compagni di classe, la maggior parte dei ragazzi non conosce l'esistenza di figure impossibili (Appendice 1), sebbene molti disegnano meccanicamente meccanicamente di forme geometriche quando parlano del telefono e facilmente raffigurate forme impossibili. Ad esempio, puoi trascorrere cinque, sei o sette linee parallele, finisci queste linee in diverse estremità in diversi modi - e la figura impossibile è pronta. Se, ad esempio, spendere cinque linee parallele, quindi possono essere rifinite come due travi su un lato e tre sull'altro (fig.29).

Figura 29. Disegni semplici di figure impossibili

Ho creato diverse figure impossibili per immaginare più chiaramente come possono esistere. Per fare ciò, ho preso uno scanner per incollare su Internet (Appendice 2,3 e 4). La scansione del triangolo impossibile (Tribara) stampato sulla stampante. Di conseguenza, è stata scoperta una figura, a prima vista, un po 'simile al Tribar (Fig. 30).

Figura 30. Realizzato Tribar

All'inizio pensavo di sbagliarmi nella produzione, ma la guardava ad un certo angolo, tutto è risultato perfettamente. Noto che l'angolo di vista corretto e l'illuminazione corretta sono necessari per creare un'illusione completa.

Le seguenti figure 31 e 32 mostrano figure più complesse, oltre a MOT.

Figura 31. Figura 1 impossibile

Figura 32. Figura 2 impossibile

Conclusione

Le figure impossibili fanno prima vedere la nostra mente, vedere cosa non dovrebbe essere, quindi cercare una risposta - ciò che non è fatto come l'uvetta del paradosso è nascosto. E a volte la risposta a volte non è così semplice - è nascosta nella percezione ottica, psicologica e logica dei disegni.

Lo sviluppo della scienza, la necessità di pensare in un modo nuovo, la ricerca di una bella - tutte queste esigenze della vita moderna fa alla ricerca di nuovi metodi che sono in grado di cambiare il pensiero spaziale, l'immaginazione.

Dopo aver studiato la letteratura sull'argomento, puoi rispondere alla domanda "Esistono figure impossibili nel mondo reale?" Ho capito che l'impossibile è possibile e le figure non realistiche possono essere fatte con le loro mani. Ho creato i modelli Amem del "triangolo impossibile" e altre due figure. Sono riuscito a mostrare che figure impossibili possono esistere nel mondo reale.

Le cifre impossibili sono ampiamente utilizzate nella moderna pubblicità, nella grafica industriale, nella grafica industriale, dei poster, dell'arte e dei loghi di varie imprese, ci sono molte più aree in cui verranno utilizzate cifre impossibili.

Quindi, si può dire che il mondo di figure impossibili è estremamente interessante e diverso. Il lavoro può essere utilizzato nelle classi di matematica per lo sviluppo del pensiero spaziale degli studenti. Per le persone creative inclini all'invenzione, figure impossibili sono una specie di leva per creare qualcosa di nuovo, insolito. Tutto ciò ci consente di parlare della rilevanza dell'argomento in studio.

Bibliografia

Levitin Karl Geometric Rhapsody. - M.: Conoscenza, 1984, -176 p.

Penrose L., Penrose R. Impossible Objects, Quantum, No. 5.1971, P.26

Reethersward O. figure impossibili. - m.: Stroyzdat, 1990, 206 p.

Tkacheva m.v. Cubi rotanti. - m.: Drop, 2002. - 168 p.

La figura impossibile è uno dei tipi di illusioni ottiche, la figura che sembra a prima vista la proiezione del solito oggetto tridimensionale,

Con un'attenta considerazione di cui i composti contraddittori degli elementi della figura diventano visibili. L'illusione dell'impossibilità dell'esistenza di tale figura nello spazio tridimensionale è stata creata.

Figure impossibili

Le figure impossibili più famose: il triangolo impossibile, una scala infinita e un tridente impossibile.

Triangolo impossibile perru

Reutersvard Illusion (Reutersvard, 1934)

Prestare attenzione anche al fatto che il cambiamento nell'organizzazione "figura-background" ha reso possibile la percezione situata nel centro di "stelle".
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Impossible Cube Escher.

In effetti, tutte le cifre impossibili possono esistere nel mondo reale. Pertanto, tutti gli oggetti disegnati su carta sono proiezioni di oggetti tridimensionali, quindi, è possibile creare un oggetto tridimensionale così tridimensionale, che quando la proiezione per l'aereo sarà impossibile. Quando guardi un oggetto del genere da un punto specifico, sembrerà anche impossibile, ma quando una revisione da qualsiasi altro punto, l'effetto dell'impossibilità andrà perso.

La scultura di 13 metri del triangolo impossibile di alluminio è stata eretta nel 1999 a Perth (Australia). Qui, il triangolo impossibile è stato raffigurato nella forma più generale - nella forma di tre raggi collegati l'uno all'altro sotto gli angoli giusti.

Forchetta diotova.
Tra tutte le figure impossibili, il tridente impossibile occupa un posto speciale ("Damn Fork").

Se chiudi il lato destro del troll, vedremo un'immagine completamente reale - tre denti tondi. Se chiudi la parte inferiore del tridente, vedremo anche la vera immagine - due denti rettangolari. Ma, se consideriamo l'intera figura del tutto, si scopre che tre denti tondi stanno gradualmente trasformando in due rettangolari.

Quindi, si può vedere che i piani anteriori e posteriori di questo conflitto dell'immagine. Cioè, ciò che originariamente in primo piano torna, e il piano posteriore (dente medio) si esaurisce in avanti. Oltre al cambiamento dei piani anteriori e posteriori in questa immagine c'è un altro effetto - i volti piatti del lato destro del tridente diventano rotondi a sinistra.

L'effetto dell'incapacità è ottenuto a causa del fatto che il nostro cervello analizza il contorno della figura e tenta di calcolare il numero di denti. Il cervello confronta il numero di denti della figura nella parte sinistra e destra della figura, a causa del quale c'è una sensazione dell'impossibilità della figura. Se il numero di denti nella figura era significativamente più grande (ad esempio 7 o 8), allora questo paradosso sarebbe meno pronunciato.

Alcuni libri sostengono che il tridente impossibile appartiene alla classe di figure impossibili che non possono essere ricreate nel mondo reale. In effetti, non lo è. Tutte le figure impossibili possono essere viste nel mondo reale, ma saranno impossibili da guardare solo da un singolo punto di vista.

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Elefante impossibile


Quante gambe dell'elefante?

Psicologo da Stepford Roger Shepard (Roger Shepard) ha usato l'idea di un tridente per la sua immagine dell'Elefante impossibile.

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Scala di Penrose. (Scala infinita, scala impossibile)

La scala infinita "è una delle impossibilità classica più famosa.

È il design della scala in cui in caso di movimento lungo di esso in una direzione (nella figura all'articolo in senso antiorario), una persona solleverà infinitamente, e quando si muoverà nel contrario - scendisce costantemente.

In altre parole, appaiono la scala che porta, apparentemente su o giù, ma allo stesso tempo una persona che camminava lungo questo non aumenta e non cade. Dopo aver completato il suo percorso visivo, sarà all'inizio della strada. Se dovessi davvero passare attraverso questa scala, saresti arrampicato senza meta e discese il numero infinito di volte. Puoi chiamarlo un lavoro simpatico infinito!

Dal momento che Penrouse ha pubblicato questa figura, è apparsa in stampa più spesso di qualsiasi altro oggetto impossibile. La "scala senza fine" può essere trovata in libri su giochi, puzzle, illusioni, in libri di testo sulla psicologia e altri soggetti.

"Arrampicata e discesa"

La "infinita silvicoltura" "è stata utilizzata con successo dall'artista Mauritz K. Escher, questa volta nella sua affascinante litografia" arrampicata e discesa "creata nel 1960.
In questa immagine, riflettendo tutte le caratteristiche della figura della figura, una scala senza fine completamente riconoscibile è inscritta benisticamente nel tetto del monastero. I monaci nei cappucci si spostano continuamente lungo le scale nella direzione in senso orario e contro di esso. Vanno l'uno verso l'altro dal percorso impossibile. Non sono mai in grado di andare di sopra, né andare giù.

Di conseguenza, la "scale infinita" è diventata più probabile che sia associata a Escher, che ha portato ad esso che con Penrose, che si è inventato.

Quanti scaffali ci sono?

Dov'è la porta aperta?

Fuori o verso l'interno?

Le figure impossibili occasionalmente sono apparse sulle tele dei Maestri del passato, ad esempio, una tale forca sulla foto di Peter Bruegel (Senior)
"Quaranta on the Gallows" (1568)

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Arco impossibile

Jos de Mey - artista fiammingo, studiato alla Royal Academy of Fine Arts di Gand (Belgio), e poi ha insegnato agli studenti di progettare interni e colori per 39 anni. Dal 1968, il centro è diventato disegnato. È più famoso per le prestazioni attenti e realistiche di strutture impossibili.

Le figure impossibili più famose nelle opere dell'artista Maurice Escher. Se visti da tali disegni, ogni singolo oggetto sembra abbastanza plausibile, ma quando si cerca di rintracciare la linea, si scopre che questa linea è già, ad esempio, non è un angolo esterno del muro, ma interno.

"Relatività"

Questa litografia dell'artista olandese Escher è stata stampata per la prima volta nel 1953.

Sui litografie, è raffigurato un mondo paradossale, in cui non si applicano le leggi della realtà. In un mondo, tre realtà sono combinate, tre gravità sono dirette perpendicolari all'altro.

È stata creata una struttura architettonica, realtà combinata con le scale. Per le persone che vivono in questo mondo, ma in diversi piani di realtà, la stessa scalinata sarà diretta o su o giù.

"Cascata"

Questa litografia dell'artista olandese Escher è stata stampata per la prima volta nell'ottobre del 1961.

In questo lavoro, Escher raffigura un paradosso - la cascata che cade acqua controlla la ruota, che dirige l'acqua al vertice della cascata. La cascata ha la struttura del triangolo "impossibile" di Penrose: la litografia è stata creata sulla base dell'articolo nella rivista britannica della psicologia.

Il design è composto da tre barrette trasversali, si mettono a vicenda ad angolo retto. Cascata sulla litografia funziona come un motore eterno. Sembra anche che entrambe le torri siano le stesse; In effetti, quello è il diritto, sul pavimento sotto la torre sinistra.

Bene, lavoro più moderno: o)
Fotografia infinita

Costruzione incredibile

Scacchiera

Immagini invertite.

Cosa vedi: un enorme corvo con preda o pescatore in una barca, pesce e isola con alberi?

Rasputin e Stalin.

Gioventù e vecchiaia

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Welietto e Queen.

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Arrabbiato e allegro

Immagine 1.

Questo è l'impossibile Tribar. Questo disegno non è un'illustrazione di un oggetto spaziale, poiché tale oggetto non può esistere. Il nostro occhio prende questo fatto e l'oggetto stesso senza difficoltà. Possiamo inventare una serie di argomenti in difesa dell'impossibilità dell'oggetto ad esempio, il viso c giace nel piano orizzontale, mentre il viso A è inclinato a noi, e il volto B, inclinati da noi, e, se il Facce A e B si smorzano a vicenda, non possono incontrarsi in cima alla figura, come vediamo in questo caso. Possiamo notare che il Tribar forma un triangolo chiuso, tutti e tre i raggi sono perpendicolari l'uno all'altro, e la somma dei suoi angoli interni è ottenuta pari a 270 gradi, che è impossibile. Possiamo attirare i principi di base di base della stereometria, vale a dire che tre piani non paralleli si trovano sempre in un punto. Tuttavia, nella figura 1, vediamo quanto segue:

• Il piano grigio scuro c viene trovato con l'aereo B; Linea di intersezione - l.;
• Un piano grigio scuro c si verifica con un piano grigio chiaro A; Linea di intersezione - m.;
• L'aereo bianco B si verifica con piano grigio chiaro A; Linea di intersezione - n.;
• Intersezione delle linee l., m., n. intersecarsi in tre punti diversi.

Pertanto, il dato in esame non soddisfa una delle principali affermazioni di stereometria che tre piani non paralleli (in questo caso, A, B, C) devono incontrarsi in un punto.

Riassumentiamo: non importa quanto sia difficile o semplice, il nostro ragionamento, l'occhio ci segnala sulle contraddizioni senza alcuna spiegazione da parte sua.

L'impossibile Tribar è paradossale in diversi modi. L'occhio richiede un secondo diviso per trasferire il messaggio: "Questo è un oggetto chiuso composto da tre barre". Segue un attimo successivamente: "Questo oggetto non può esistere ...". Il terzo messaggio può essere letto come: "... e, quindi, la prima impressione era sbagliata." In teoria, un tale oggetto dovrebbe decadere in una varietà di linee che non hanno relazioni significative l'una con l'altra e non sono più assemblate sotto forma di Tribara. Tuttavia, questo non accade, e gli occhi firmano nuovamente: "Questo è un oggetto, Tribar". In breve, la conclusione è che è l'oggetto e non un oggetto, e questo è il primo paradosso. Entrambe le interpretazioni hanno la stessa forza di se l'occhio ha lasciato il verdetto finale dell'istanza superiore.

La seconda caratteristica paradossale dell'impossibile Tribara sorge dal ragionamento sul suo design. Se il bar A è mirato a noi, e il bar B - da noi, eppure si uniscono, poi l'angolo che si formano dovrebbe essere in due posti allo stesso tempo, uno più vicino all'osservatore, e l'altro oltre. (Lo stesso vale per due altri angoli, poiché l'oggetto rimane una forma identica quando respingono un altro angolo.)

Figura 2. Bruno Ernst, foto dell'impossibile Tribara, 1985
Figura 3. Gerard Traarbach, "Perfect Timing", tela / olio, 100x140 cm, 1985, stampato al contrario
Figura 4. Dirk Huizer, "Cube", Serigrafia irrisata, 48x48 cm, 1984

Realtà di oggetti impossibili

Una delle questioni più difficili sulle figure impossibili riguardano la loro realtà: esistono davvero o no? Naturalmente, il disegno dell'impossibile Tribar esiste, e questo non è messo in discussione. Tuttavia, allo stesso tempo, non c'è dubbio che una forma tridimensionale presentata dall'occhio per noi non è nel mondo in giro. Per questo motivo, abbiamo deciso di parlare di impossibile artificiale, non per impossibile figure (Anche se, sotto tale nome in inglese, sono più conosciuti). Sembra che questa sia una soluzione soddisfacente a questo dilemma. Eppure, quando, ad esempio, esaminiamo attentamente impossibile Tribar, la sua realtà spaziale continua a confonderci.

Di fronte a un oggetto nel smontato su alcune parti della forma, è quasi impossibile crederci, semplicemente collegando barre e cubetti l'uno con l'altro, è possibile ottenere il Tribar impossibile desiderato.

La figura 3 è particolarmente attraente per i professionisti della cristallografia. L'oggetto sembra essere il cristallo in crescita lentamente, i cubi sono inseriti nel reticolo di cristallo esistente senza violazione della struttura generale.

Un'immagine nella figura 2 è reale, anche se il Tribar composto da sigari e fotografato a un certo angolo è irreale. Questo è uno scherzo visivo, inventato da Roger Penrose, il coautore del primo articolo e l'impossibile Tribar.

Figura 5.

La figura 5 mostra il Tribar compilato dai blocchi numerati di 1x1x1 DM. Possiamo capire il semplice calcolo dei blocchi che il volume della figura è 12 DM 3 e per Arrivederci - 48 DM 2.

Figura 6.
Figura 7.

Allo stesso modo, possiamo calcolare la distanza che la coccinella nel Tribar passerà (figura 7). Il punto centrale di ciascuna barra è numerato e la direzione del movimento è segnata dalle frecce. Quindi, la superficie del Tribar è rappresentata come una lunga strada continua. Ladybug deve fare quattro cerchi completi prima di tornare al punto di partenza.

Figura 8.

Puoi iniziare a sospettare che l'impossibile Tribar abbia alcuni segreti sul suo lato invisibile. Ma può facilmente disegnare un Tribar impossibile trasparente (figura 8). In questo caso, tutte e quattro le parti sono visibili. Tuttavia, l'oggetto continua a sembrare piuttosto reale.

Imposta di nuovo la domanda: ciò che effettivamente rende la figura Tribar, che può essere interpretata con una tale varietà di modi. Va ricordato che l'occhio elabora l'immagine dell'oggetto impossibile dalla retina che delle immagini degli oggetti ordinari - sgabello oa casa. Il risultato è l'immagine "spaziale". In questa fase non c'è differenza tra il Tribar impossibile e la solita sedia. Quindi, il Tribar impossibile esiste nel profondo del nostro cervello allo stesso livello di tutti gli altri oggetti che ci circondano. Il rifiuto dell'occhio per confermare la "redditività" tridimensionale del Tribara nella realtà in nessun modo riduce il fatto della presenza del Tribar impossibile nella nostra testa.

Nel capitolo 1, ci siamo incontrati con un oggetto impossibile, il cui corpo è scomparso da nessuna parte. Nella figura di matita "Treno passeggeri" (Fig. 11) Fons de Vogelaere ha usato finemente lo stesso principio con una colonna rinforzata sul lato sinistro dell'immagine. Se diamo un'occhiata alla colonna dall'alto verso il basso, o chiudere la parte inferiore dell'immagine, vedremo una colonna che è supportata da quattro supporti (da cui solo due sono visibili). Tuttavia, se guardi la stessa colonna dal basso, vedremo un'apertura abbastanza ampia, attraverso la quale il treno può guidare. I blocchi di pietra solidi allo stesso tempo si rivelano ... Air addolmentato!

Questo oggetto è abbastanza facile da categorizzare, ma risulta essere abbastanza complicato quando iniziamo ad analizzare. I ricercatori, come Broydrick Thro, hanno dimostrato che la stessa descrizione di questo fenomeno conduce alle contraddizioni. Conflitto in uno dei confini. L'occhio calcola per la prima volta i contorni, quindi raccoglie le forme di loro. La confusione si verifica quando i contorni hanno due incarichi contemporaneamente in due diverse figure o pezzi della figura, come nella figura 11.

Figura 9.

Una situazione simile si verifica nella figura 9. In questa figura, il contorno della linea l. Si manifesta anche come un bordo della forma A e come bordo della forma B. Tuttavia, non è il confine di entrambe le forme allo stesso tempo. Se i tuoi occhi guardano prima sulla parte superiore del disegno, quindi cadere, linea l. Sarà percepito come il confine della forma A e rimarrà così finché si trova che A è una figura aperta. A questo punto, l'occhio offre una seconda interpretazione per la linea l., vale a dire che è il confine del modulo B. Se segui la vista esegue il backup della linea l., torneremo di nuovo alla prima interpretazione.

Se fosse l'unica ambiguità, potremmo parlare di una doppia figura pittografica. Ma la conclusione è complicata da fattori aggiuntivi, come il fenomeno della scomparsa della forma sullo sfondo dello sfondo, e, in particolare, la rappresentazione spaziale della forma degli occhi. A questo proposito, puoi già fotografare 7,8 e 9 dal capitolo 1 in un modo diverso. Sebbene questi tipi di figure si esibiscono come oggetti spaziali reali, possiamo chiamarli temporaneamente oggetti impossibili e descriverli (ma non spiegare) nei seguenti concetti comuni: l'occhio calcola sulla base di questi oggetti due diverse forme tridimensionali reciprocamente esclusive , che, tuttavia, esistono. Allo stesso tempo. Questo può essere visto nella figura 11 nel fatto che ci sembra è una colonna monolitica. Tuttavia, quando riesaminato, sembra essere aperto, con un intervallo spazioso nel mezzo attraverso il quale, come mostrato nella figura, un treno può guidare.

Figura 10. Arthur Stibu, "davanti e dietro", cartone / acrilico, 50x50 cm, 1986
Figura 11. Fons de Vogelaere, "Treno passeggeri", Foto Immagine, 80x98 cm, 1984

Oggetto impossibile come un paradosso

Figura 12. Oscar Reutersvärd, "Prospettiva Japonaise N ° 274 DDA", Disegno dipinto di mascara, 74x54 cm

All'inizio di questo capitolo, abbiamo visto un oggetto impossibile come un paradosso tridimensionale, cioè l'immagine, i cui elementi stereografici sono contraddizione tra loro. Prima di indagare su questo paradosso più profondo, è necessario comprendere se un tale fenomeno esiste come un paradosso piccole. Infatti, esiste - pensa a sirene, sfinge e altri bei esseri favolosi, spesso trovati nelle arti visive del Medioevo e nei primi rinascimenti. Ma in questo caso, l'occhio non funziona con un'equazione così pittografica come donna + pesce \u003d sirena, e nostra conoscenza (in particolare, conoscenza della biologia), secondo quale tale combinazione è inaccettabile. Solo dove i dati spaziali sull'immagine dalla retina si contraddicano reciprocamente, c'è un fallimento dell'elaborazione dei dati "automatica" con l'occhio. L'occhio non è pronto per gestire il materiale così strano, e testimoniamo la nuova esperienza visiva per noi.

Figura 13a. Harry Turner, attingendo dalle serie "Paradossical Patterns", elettrodomestici misti, 1973-78
Figura 13b. Harry Turner, "Corner", tecnica mista, 1978

Possiamo dividere le informazioni spaziali contenute nell'immagine dalla retina (quando guardiamo solo con un occhio) in due classi - naturali e culturali. La prima classe contiene informazioni su cui l'ambiente culturale umano non ha alcuna influenza e che viene anche rilevata nei dipinti. Una tale "natura non detta" include quanto segue:

• Gli oggetti della stessa dimensione sembrano meno, più sono. Questo è il principale principio di una prospettiva lineare, che svolge un ruolo importante nelle arti visive da revival;
• L'oggetto che accende parzialmente si accende un altro oggetto è più vicino a noi;
• Oggetti o parti dell'oggetto, collegati tra loro, sono alla stessa distanza da noi;
• Gli oggetti relativamente lontani da noi saranno meno distinguibili e saranno nascosti dal fumo blu della prospettiva spaziale;
• Il lato dell'oggetto su cui cade la luce è più luminosa del lato opposto, e l'ombra indica nella direzione opposta alla fonte di luce.

Figura 14. Zenon Kulpa, "figure impossibili", mascara / carta, 30x21 cm, 1980

Nell'ambiente culturale, i seguenti due fattori svolgono un ruolo importante nella nostra valutazione dello spazio. Le persone hanno creato il loro spazio vivente in modo che gli angoli diretti siano dominati. La nostra architettura, i mobili e molti strumenti sono essenzialmente composti da rettangoli. Possiamo dire che abbiamo imballato il nostro mondo a un sistema di coordinate rettangolari, nel mondo delle linee rette e degli angoli.

Figura 15. Mitsumasa Anno, "Sezione cubo"
Figura 16. Mitsumasa Anno, "Puzzle di legno complesso"
Figura 17. Monika Buch, "Blu Cube", acrilico / legno, 80x80 cm, 1976

Pertanto, la nostra seconda classe di informazioni spaziali è culturale, chiara e compresa:

• La superficie è un aereo che continua fino a quando altri dettagli ci dicono che non è finito;
• Gli angoli in cui ci sono tre piani, determinano le tre direzioni principali, e pertanto, le linee di zigzag possono indicare un'estensione o un restringimento.

Figura 18. Farcas Tamas, cristallo, stampa irrisata, 40x29 cm, 1980
Figura 19. Frans Erens, Acquerello, 1985

Nel nostro contesto, la differenza tra ambienti naturali e culturali è molto utile. La nostra sensazione visiva sviluppata in un ambiente naturale, e ha anche una straordinaria capacità di elaborare accuratamente e inconfondibilmente elaborare informazioni spaziali dalla categoria culturale.

Esistono oggetti impossibili (almeno la maggior parte di loro) a causa della presenza di dichiarazioni spaziali reciprocamente contraddittorie. Ad esempio, sulla foto di Josa de Maya "Gateway a doppia custodito verso l'inverno Arcadia" (Fig. 20), una superficie piatta che forma la parte superiore del muro decade nella parte inferiore di diversi aerei che sono a distanze diverse dal osservatore. L'impressione di diverse distanze è anche formata da pezzi sovrapposti della figura in Arthur Stibu "davanti e dietro" (figura 10), che sono contrari alle regole della superficie piana. Nell'acquerello Franchi di Frans Erens (figura 19), lo scaffale mostrato in fuga, decrescente nella quantità di fine ci dice che si trova orizzontalmente, lasciando via da noi, ed è anche attaccato ai supporti in tali un modo da essere verticalmente. Nella foto "I cinque porti" Fons de Vogelaere (figura 21) saremo sbalorditi dal numero di paradossi stereografici. Sebbene l'immagine non contiene sovrapposizione paradossale di oggetti, ci sono molti composti paradossali in esso. È un interesse in cui la figura centrale è collegata al soffitto. Cinque pezzi che supportano il soffitto collegano il parapetto e il soffitto come un gran numero di collegamenti paradossali che l'occhio viene inviato a una ricerca infinita per un punto con cui è meglio considerarli.

Figura 20. Jos de Mey, "Gateway a doppia custodito verso l'inverno Arcadia", tela / acril, 60x70 cm, 1983
Figura 21. Fons de Vogelaere, "I cinque porti", matita foto, 80x98 cm, 1985

Potresti pensare che con ogni possibile tipo di elemento stereografico, che appare nell'immagine, relativamente facile da creare una panoramica sistematica delle figure impossibili:

• Quelli che contengono elementi di prospettive in conflitto reciproco;
• Quelli in cui gli elementi della prospettiva nel conflitto con le informazioni spaziali specificate da elementi sovrapposti;
• eccetera.

Tuttavia, scopriremo presto che non saremo in grado di rilevare esempi esistenti per molti tali conflitti, mentre alcuni degli oggetti impossibili saranno difficili da stirare in un sistema simile. Tuttavia, tale classificazione ci consentirà di rilevare molti tipi ancora sconosciuti di oggetti impossibili.

Figura 22. Shigeo Fukuda, "immagini dell'illusione", Screenprint, 102x73 cm, 1984

Definizioni

In conclusione di questo capitolo, proviamo a definire gli oggetti impossibili.

Nella mia prima pubblicazione di immagini con oggetti impossibili mk Escher, che è apparso nel circa 1960, sono arrivato alla seguente formulazione: un possibile oggetto può sempre essere considerato come una proiezione - rappresentazione di un oggetto tridimensionale. Tuttavia, nel caso di oggetti impossibili, non esiste un oggetto tridimensionale, la cui rappresentazione è questa proiezione, e in questo caso possiamo chiamare l'oggetto impossibile - la rappresentazione illusoria. Questa definizione non è solo incompleta, ma anche sbagliata (torneremo al capitolo 7), poiché si applica solo al lato matematico degli oggetti impossibili.

Figura 23. Oscar Reutersvärd, "Organizzazione cubica dello spazio", Disegno dipinto di inchiostro, 29x20.6 cm.
In effetti, questo spazio non è pieno, dal momento che i cubi più grandi non sono associati a cubetti più piccoli.

Zenon Kulp suggerisce la seguente definizione: L'immagine dell'oggetto impossibile è una figura bidimensionale che crea un'impressione di un oggetto tridimensionale esistente, e questa figura non può esistere mentre lo interpretiamo spazialmente; Pertanto, qualsiasi tentativo di crearlo porta a contraddizioni (spaziali), che sono chiaramente visibili allo spettatore.

L'ultima osservazione di coltips offre un modo pratico per chiarire se l'oggetto è impossibile o meno: prova a crearlo da solo. Presto vedrai, forse anche prima del design del design che non puoi farlo.

Preferirei la definizione che sottolinea che l'occhio durante l'analisi dell'oggetto impossibile arriva a due conclusioni contraddittoria. Mi piace esattamente questa definizione esattamente, poiché copre la ragione per queste conclusioni reciprocamente conflittuali, e, inoltre, chiarisce il fatto che l'impossibilità non è la proprietà matematica della figura, ma la proprietà dell'interpretazione della figura di lo spettatore.

Basato su questo, suggerisco la seguente definizione:

L'oggetto impossibile ha una rappresentazione bidimensionale, che l'occhio interpreta come un oggetto tridimensionale e allo stesso tempo l'occhio determina che questo oggetto non può essere tridimensionale, poiché le informazioni spaziali contenute nella figura sono contraddittorie.

Figura 24. Oscar Reutersväird, "Impossibile a quattro barre con le barre trasversali"
Figura 25. Bruno Ernst, "Illusioni misti", Fotografia, 1985

Candidato delle scienze tecniche D. Rakov (Institute of Machine Studies. A. A. Blagonravov RAS).

C'è una grande classe di immagini, che si può dire: "Cosa vediamo? Qualcosa di strano". Questi sono disegni con una prospettiva distorta e oggetti impossibili nel nostro mondo tridimensionale e le combinazioni impensabili sono oggetti completamente reali. Apparendo all'inizio del XI secolo, oggi "strani" disegni e foto oggi divennero un'intera direzione dell'arte, chiamato Imp art.

William Hogard. "Prospettiva impossibile", dove ha intenzionalmente fatto almeno quattordici errori in futuro.

Madonna con bambino. 1025 anni.

Peter Bruegel. "Quaranta on the Gallows". 1568 anni.

Oscar Ruetevard. "Opus 1" (№293AA). 1934 anni.

Oscar Ruetevard. "Opus 2b". 1940.

Mauritz Cornelius Escher. "Arrampicata e discesa."

Roger Penrose. "Triangolo impossibile". 1954 anni.

Costruire un "triangolo impossibile".

Scultura "triangolo impossibile", vista da diversi lati. È costruito in elementi curvilineari e sembra impossibile solo da un punto.

Malato. 1. Classificazione della tabella morfologica di oggetti impossibili.

La persona inizia a ispezionare l'immagine dall'angolo in basso a sinistra (1), quindi lo sguardo si trasforma prima al centro (2), e quindi al punto 3.

A seconda della direzione della vista, vediamo diversi oggetti.

L'alfabeto impossibile è una combinazione di figure possibili e impossibili, tra cui esiste anche un elemento telaio. Figura autore.

Scienza e vita // Illustrazione

"Mosca" (schema di linee della metropolitana) e "due linee del destino". Disegni dell'autore; Elaborazione del computer. 2003. Le figure dimostrano nuove opportunità per la costruzione di schemi e grafici.

Scienza e vita // Illustrazione

Cubo a Cuba ("tre lumache"). L'immagine ruotata ha un grado maggiore di "impossibilità" rispetto a quella iniziale.

"Forchetta di Chertova". Sulla base di questa figura, sono state create molte immagini impossibili.

Cosa vediamo - una piramide o apertura?

Un po 'di storia

Le immagini con una prospettiva distorta si trovano già all'inizio del primo millennio. Su una miniatura di Henry II, creato fino al 1025 e immagazzinato nella biblioteca dello stato bavarese di Monaco di Baviera, Madonna è disegnata con un bambino. L'immagine mostra un set composto da tre colonne e la colonna media secondo le leggi della prospettiva dovrebbe essere situata in vista della Madonna, ma è dietro di esso, che conferisce all'immagine l'effetto del surrealismo. Sfortunatamente, non sappiamo mai se questa ammissione fosse l'atto consapevole dell'artista o del suo errore.

Le immagini delle figure impossibili, non come una direzione cosciente nella pittura, ma come tecniche che migliorano l'effetto della percezione dell'immagine si trovano in un numero di pittori di mezza età. Sul piter del Pieter Breughel (Pieter Breughel), creato nel 1568, la forca è visibile per il design impossibile, che dà l'effetto dell'intera immagine nel suo complesso. Durante l'incisione ampiamente conosciuta dell'artista inglese del XVIII secolo, William Hogarth (William Hogarth) è mostrato a quale assurdità può l'artista può portare l'ignoranza delle leggi della prospettiva.

All'inizio del XX secolo, l'artista Marseil Duchamp (Marcel Duchamp) ha dipinto il quadro pubblicitario "Apolinere smaltato" (1916-1917), immagazzinato nel Museo d'arte di Philadelphia. Nel design del letto sulla tela, puoi vedere l'impossibile tre e quadrangoli.

Il fondatore della direzione dell'arte impossibile - Imp-art (Imp-art, art impossibile) è giustamente chiamato l'artista svedese Oscar Ruetesevda (Oscar Reutersvard). La prima figura impossibile "Opus 1" (N 293AA) è disegnata da un Master nel 1934. Il triangolo è composto da nove cubi. Esperimenti con oggetti insoliti L'artista continuò e nel 1940 ha creato una figura di "Opus 2b", che rappresenta un triangolo impossibile ridotto costituito da soli tre cubi. Tutti i cubi sono reali, ma la loro posizione è impossibile nello spazio tridimensionale.

Lo stesso artista ha creato un prototipo "Scale impossibili" (1950). La figura classica più famosa "Impossible Triangle" inglese matematico Roger Penrose (Roger Penrose) creato nel 1954. Ha usato una prospettiva lineare, e non parallela, come Ruesviard, che ha dato all'immagine una profondità ed espressività e, quindi, un maggiore grado di impossibilità.

M. K. Escher è diventato l'artista più famoso IPT Art (M. C. Escher). Tra le sue opere più famose sono i dipinti "cascata" ("cascata") (1961) e "arrampicata e discesa" ("ascendente e discendente"). L'artista ha usato l'effetto della "scala infinita", aperto in Ruetyvard e ulteriormente integrato da Penrose. Sullo schieramento, sono raffigurate due file di uomini: quando si muovono in senso orario, le piccole persone sono costantemente sollevate e quando si muovono in senso antiorario, scese.

Una piccola geometria

Ci sono molti modi per creare illusioni ottiche (dalla parola latina "Iliusiio" - un errore, errore - percezione inadeguata del soggetto e delle sue proprietà). Uno dei più spettacolari è la direzione dell'imp-art, sulla base di immagini di figure impossibili. Gli oggetti impossibili sono disegni sul piano (immagini bidimensionali), eseguite in modo tale che lo spettatore crea un'impressione dell'impossibilità dell'esistenza di una struttura simile nel nostro vero mondo tridimensionale. Classico, come detto, e una delle forme più semplici simili è un triangolo impossibile. Ogni parte della figura (angoli triangolari) esiste separatamente nel nostro mondo, ma la loro combinazione è impossibile nello spazio tridimensionale. La percezione dell'intera figura come la composizione di connessioni errate tra le sue parti reali porta all'effettivo ingannevole della struttura impossibile. L'occhio scorre sui bordi della figura impossibile e non è in grado di percepirlo come un intero logico. Infatti, il look tenta di ripristinare la vera struttura tridimensionale (vedere la figura), ma incontra l'incoerenza.

Da un punto di vista geometrico, l'impossibilità del triangolo è che tre raggi collegati in coppie sono da sole dall'altra, ma in tre diversi assi del sistema di coordinate cartesiano, formano una figura chiusa!

Il processo di percezione di oggetti impossibili è diviso in due fasi: identificazione della forma come oggetto tridimensionale e consapevolezza della "scorrettezza" dell'oggetto e dell'impossibilità della sua esistenza nel mondo tridimensionale.

L'esistenza di figure impossibili

Molti credono che le figure impossibili siano davvero impossibili e non possono essere create nel mondo reale. Ma deve essere ricordato che qualsiasi disegno su un foglio di carta è una proiezione di una figura tridimensionale. Di conseguenza, qualsiasi figura disegnata su un foglio di carta dovrebbe esistere nello spazio tridimensionale. Gli oggetti impossibili nelle immagini sono proiezioni di oggetti tridimensionali e quindi gli oggetti possono essere implementati come composizioni scultoree (oggetti tridimensionali). Ci sono molti modi per crearli. Uno di questi è usare curve di linee come parti del processo impossibile. La scultura creata sembra impossibile solo da un singolo punto. Da questo punto, le curve laterali guardano dritte, e il bersaglio sarà raggiunto - è stato creato un vero oggetto "impossibile".

Sui benefici dell'imprato

Oscar Ruetyvard racconta nel libro "Omojliga Funturer" (c'è una traduzione in russo) sull'uso dei disegni Imp-Art per la psicoterapia. Scrive che i dipinti con i loro paradossi sono sorprendenti, affidano l'attenzione e il desiderio di decifrare. In Svezia, sono utilizzati nella pratica dentale: considerando i dipinti nella reception, i pazienti sono distratti da pensieri spiacevoli davanti al governo del dentista. Ricordando quanto tempo è necessario attendere la reception in vari tipi di edifici burocratici russi e altri stabilimenti, si può presumere che le immagini impossibili sulle pareti dei ricevimenti possano uccidere il tempo di attesa, i visitatori rilassanti e riducendo così l'aggressività sociale. Un'altra opzione sarebbe quella di installare nella ricezione di slot machine o, ad esempio, manichini con fisionomomie appropriate come obiettivi per freccette, ma, sfortunatamente, questo tipo di innovazione non è mai stato incoraggiato in Russia.

Usando la percezione dei fenomeni

È possibile ramentare in qualche modo l'effetto dell'impossibilità? "È impossibile" ci sono oggetti di altri? E qui le caratteristiche della percezione umana vengono in soccorso. Gli psicologi sono stati stabiliti che l'occhio inizia a ispezionare l'oggetto (modello) dall'angolo sinistro sinistro, quindi lo sguardo scivola direttamente al centro e cade nell'angolo in basso a destra dell'immagine. Tale traiettoria può essere dovuta al fatto che i nostri antenati in un incontro con il nemico guardano per la prima volta la mano destra più pericolosa, e poi lo sguardo spostato a sinistra, sul viso e nella figura. Pertanto, la percezione artistica dipenderà significativamente da come viene costruita la composizione del dipinto. Questa caratteristica nel Medioevo è chiaramente manifestata nella produzione di arazzi: il loro disegno è stato un riflesso specchio dell'originale e l'impressione che gli arazzi e gli originali producono.

Questa proprietà può essere utilizzata con successo durante la creazione di creazioni con oggetti impossibili, aumentando o riducendo il "grado di impossibilità". La prospettiva di ottenere composizioni interessanti utilizzando tecnologie informatiche o da diversi dipinti girati (magari utilizzando un diverso tipo di simmetria) è un parente ad un altro creando un'impressione diversa dagli spettatori dell'oggetto e una comprensione più profonda dell'essenza del piano o da uno, rotante (costantemente o cretini) con un semplice meccanismo per alcuni angoli.

Questa direzione può essere chiamata poligonale (poligonale). Ci sono immagini che hanno trasformato un parente all'altro. La composizione è stata creata come segue: il disegno su carta, realizzato in mascara e una matita, è stato scansionato, è stato tradotto in una forma digitale e lavorata in un editor grafico. Si può notare un motivo - l'immagine rotata ha un maggiore "grado di impossibilità" rispetto a quello iniziale. Questo è facilmente spiegato: l'artista durante il lavoro cerca inconsciamente per creare un'immagine "corretta".

Combinazioni, combinazione

C'è un gruppo di oggetti impossibili, l'implementazione scultorea di cui è impossibile. Il più, forse, noto da loro è il "tridente impossibile", o il "Damn Plug" (P3-1). Se guardi attentamente l'oggetto, puoi vedere che tre denti si spostano gradualmente in due su base totale, portando a un conflitto di percezione. Confrontiamo il numero di denti in alto e in basso e vogliamo alla conclusione dell'impossibilità dell'oggetto. Sulla base della "forchetta", è stata creata una grande serie di oggetti impossibili, compresi quelli in cui il cilindrico su un'estremità della parte diventa piazza sull'altro.

Oltre a questa illusione, ci sono molti altri tipi di ingressi ottici della vista (illusioni di dimensioni, movimento, colori, ecc.). L'illusione della percezione della profondità è una delle illusioni ottiche più lunghe e ben note. Questo gruppo appartiene al Necker Cube (1832), e nel 1895, Armand Thierry (Armand Thiery) ha pubblicato un articolo sulla forma speciale di figure impossibili. Questo articolo disegnato per la prima volta l'oggetto, ha successivamente ricevuto il nome di Thierry e innumerevoli tempi usati da artisti di op-art. L'oggetto è composto da cinque fili identici con parti 60 e 120 gradi. Nella figura puoi vedere due cubi collegati su una superficie. Se guardi il basso verso l'alto, il cubo inferiore con due pareti è chiaramente visibile in alto, e se si abbassa verso l'alto in basso - il cubo superiore con le pareti sottostanti.

La figura più semplice di Thierry-Like è, apparentemente, l'illusione della "Panoramica Pyramid-Panoramica", che è il rombo destro con la linea nel mezzo. È impossibile dire esattamente ciò che vediamo - una piramide che sorge sopra la superficie, o l'apertura (depressione) su di esso. Questo effetto è utilizzato nel grafico "Labyrinth (PIRAMID Plan)" 2003. L'immagine ha ricevuto un diploma presso la conferenza e la fiera internazionale matematica a Budapest nel 2003 "Ars (ARS) Symmetrica" \u200b\u200b03 ". Il lavoro ha utilizzato combinazioni dell'illusione della percezione della profondità e delle figure impossibili.

In conclusione, possiamo dire che la direzione di impressionata come parte integrante dell'arte ottica sta sviluppando attivamente, e nel prossimo futuro prevederemo indubbiamente nuove scoperte in questa zona.

LETTERATURA

RueteVard O. figure impossibili. - m.: Stroyzdat, 1990.

Firme per illustrazioni

Malato. 1. La tabella costruita dall'autore dell'articolo non fa finta di completare e ordine rigoroso, ma consente di valutare tutta la varietà di figure impossibili. La tabella è più di 300 mila combinazioni di vari elementi. Come illustrazioni, vengono utilizzate la grafica dell'autore e dei materiali del sito Vlad Alekseev.