Zadatke za klasičnu definiciju vjerojatnosti. Primjeri otopina. Osnovni koncept teorije vjerojatnosti

"Nesreća nije slučajna" ... Zvuči kao da je filozof rekao, ali u stvarnosti da prouči slučajnost velikog znanosti o matematici. U matematici se bavi vjerojatnost da je teorija vjerojatnosti angažirana. Formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti bit će predstavljeni u članku.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koje studiraju slučajne događaje.

Biti malo jasniji, dajemo mali primjer: ako povučete novčić, može pasti "orlo" ili "širok". Dok je novčić u zraku moguće, obje ove vjerojatnosti su moguće. To jest, vjerojatnost mogućih posljedica korelira 1: 1. Ako izvučete jednu od palube s 36 kartica, onda će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da ne postoji ništa što treba istražiti i predvidjeti, osobito uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako mnogo puta ponovite određenu radnju, moguće je identificirati određenu pravilnost i temelji se na tome da predvidite ishod događaja u drugim uvjetima.

Ako generaliziramo sve gore navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom razumijevanju istražuje mogućnost jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Od stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u udaljenosti srednjem vijeku, kada su prvi put pokušali predvidjeti ishod kartica kartaških igara.

U početku, teorija vjerojatnosti nije imala ništa zajedničko s matematikom. To je opravdano s empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se može reproducirati u praksi. Prvi rad na ovom području kao u matematičkoj disciplini pojavio se u XVII. Stoljeću. Farma Pascal i Pierre su četkica od blazer. Dugo su studirali kockanje i vidjeli određene obrasce koje su odlučili reći društvu.

Ista tehnika je izumio Huygens kršćana, iako nije bio upoznat s rezultatima studija Pascala i farme. Pojam "teorije vjerojatnosti", formule i primjeri, koji se smatraju prvim u povijesti discipline, uvedeni su ih.

Jacob Bernoulli, Laplas i Poisson Teoremi imaju važnu važnost. Oni su napravili teoriju vjerojatnosti više poput matematičke discipline. Njegov trenutni pogled na teoriju vjerojatnosti, formula i primjera osnovnih zadataka dobivene su zahvaljujući aksiomima Kolmogorova. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedan od matematičkih dijelova.

Osnovne pojmove teorije vjerojatnosti. Događaji

Glavni koncept ove discipline je događaj. Događaji su tri vrste:

• Pouzdan. Oni koji će se dogoditi u svakom slučaju (kovanica će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi s bilo kojom vrstom (novčić će ostati u zraku).
• Slučajno. Oni koji će se dogoditi ili neće se dogoditi. Oni mogu utjecati na različite čimbenike koji su vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike kovanice, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja, itd.

Svi događaji u primjerima označeni su kapitalnim latinskim slovima, s izuzetkom P, koji je dodijeljen još jedna uloga. Na primjer:

• A \u003d "Učenici su došli na predavanje."
• Ā \u003d "Učenici nisu otišli na predavanje."

U praktičnim zadacima događaji se prihvaćaju da bilježe riječi.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova ravnoteža. To jest, ako bacite novčić, moguća su sve opcije za početni jesen dok ne padne. Ali i događaji nisu jednaki. To se događa kada netko posebno utječe na ishod. Na primjer, "označene" karte ili igranje kostiju u kojima se može pomaknuti centar gravitacije.

Čak i događaji su kompatibilni i nespojivi. Kompatibilni događaji se ne isključuju. Na primjer:

• A \u003d "Student je došao na predavanje."
• B \u003d "Student je došao na predavanje."

Ti su događaji međusobno neovisni, a izgled jednog od njih ne utječe na izgled drugog. Nekompatibilni događaji određuju se činjenicom da se pojava eliminira izgled drugog. Ako govorimo o istom novčiću, onda je gubitak "jela" čini nemogućim da se pojavi "orlo" u istom eksperimentu.

Radnje o događajima

Događaji se mogu pomnožiti i presaviti, odnosno, logički ligamenti "i" i "ili" uvedeni u disciplinu.

Iznos se određuje činjenicom da se pojavi događaj a ili b ili dva. U slučaju kada su nespojivi, posljednja opcija je nemoguća, ispada ili A ili V.

Množenje događaja je izgled a i u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako bi se bolje sjećali osnove, teoriju vjerojatnosti i formula. Primjeri rješenja za taskiranje sljedeći.

Vježba 1: Društvo sudjeluje u natječaju za ugovore za tri vrste rada. Mogući događaji koji se mogu pojaviti:

• A \u003d "Društvo će dobiti prvi ugovor."
• I 1 \u003d "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B \u003d "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• U 1 \u003d "tvrtka neće primiti drugi ugovor"
• C \u003d "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• Od 1 \u003d "Društvo neće primiti treći ugovor."

Korištenje radnji na događajima, pokušajmo izraziti sljedeće situacije:

• K \u003d "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će imati sljedeći oblik: k \u003d abc.

• M \u003d "Društvo neće dobiti jedan ugovor."

M \u003d 1 u 1 s 1.

Dovršite zadatak: H \u003d "Društvo će dobiti jedan ugovor." Budući da nije poznato točno kakav će ugovor dobiti tvrtka (prvi, drugi ili treći), potrebno je snimiti cijeli raspon mogućih događaja:

N \u003d 1 sunce 1 1 c 1 υ A 1 u 1 ° C.

I 1 sunce 1 je niz događanja u kojima tvrtka ne dobiva prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji bilježe odgovarajuću metodu. Simbol υ u disciplini ukazuje na snop "ili". Ako prevedimo dani primjer na ljudskom jeziku, tvrtka će primiti ili treći ugovor ili drugi ili prvi. Slično tome, drugi uvjeti mogu se zabilježiti u disciplini "teorija vjerojatnosti". Formule i primjeri rješavanja gore prikazanih zadataka pomoći će vam sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda, u ovoj matematičkoj disciplini, vjerojatnost događaja je središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formula i primjera (9 stupnja) uglavnom koriste klasičnu definiciju koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije jednaka je omjeru broja ishoda, koji favorizira svoj izgled, na broj mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P (a) \u003d m / n.

A - Zapravo, događaj. Ako se slučaj pojavi nasuprot a, može se napisati kao ā ili 1.

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu pojaviti.

Na primjer, a \u003d "povucite karticu odijela crva." U standardnoj palubi s 36 kartica, 9 od njih crvi. Prema tome, formula za rješavanje zadatka bit će:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će se kartica pužnog odijela izvući iz palube, bit će 0,25.

Na veću matematiku

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formula i primjera rješavanja zadataka koji dolaze u školskom programu su. Međutim, teorija vjerojatnosti zadovoljava se u višoj matematici, koja se uči na sveučilištima. Najčešće se upravljaju geometrijske i statističke definicije teorije i složenih formula.

Vrlo zanimljiva teorija vjerojatnosti. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi studirati s malog - od određivanja vjerojatnosti statističke (ili frekvencije).

Statistički pristup ne proturječi klasičnom i blago ga proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti što se događaju događaj, tada u ovoj metodi potrebno je naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti w n (a). Formula se ne razlikuje od klasičnog:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, zatim statistika - prema rezultatima eksperimenta. Uzmi, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava proizvode za kvalitetu. Među 100 proizvoda pronađeno je 3 niske kvalitete. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitete proizvoda?

A \u003d "izgled kvalitetne robe."

W N (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Dakle, učestalost kvalitetnog proizvoda je 0,97. Gdje ste dobili 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, 3 ispostavilo se da su loša kvaliteta. Od 100 okreta 3, dobivamo 97, to je količina kvalitete proizvoda.

Malo o kombinaciji

Druga metoda vjerojatnosti naziva se kombinatorici. Njegov glavni princip je da ako se određeni izbor a može provesti m na različite načine, a izbor B je n na različite načine, onda se izbor A i B može provesti množenjem.

Na primjer, iz grada i grada u vodi 5 cesta. Od grada do grada s 4 načina. Koliko se načina može doći od grada i do grada?

Sve je jednostavno: 5x4 \u003d 20, to jest, dvadeset na različite načine može se doći od točke A do točke S.

Komplicirati zadatak. Koliko načina postavljanja kartica u Solitairu? U palubi s 36 karticama - ovo je polazište. Da biste saznali broj načina, trebate od početne točke na "oduzeti" na istoj karti i pomnožite.

To je, 36x35x34x33x33x32 ... X2x1 \u003d Rezultat neće stati na zaslon kalkulatora, tako da se može jednostavno označiti 36! Znak "!" U blizini broja označava da se cijeli broj brojeva razlikuje jedni s drugima.

Kombinatorici predstavljaju takve pojmove kao permutaciju, smještaj i kombinaciju. Svaki od njih ima vlastitu formulu.

Naručeni skup skupova skupova naziva se plasman. Plasman može biti s ponavljanjem, to jest, jedan element se može koristiti nekoliko puta. I bez ponavljanja, kada se predmeti ne ponavljaju. n je svi elementi, m su elementi koji su uključeni u smještaj. Formula za položaj bez ponavljanja bit će:

N m \u003d n! / (N-m)!

Spojevi iz N elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu smještaja nazivaju se permutacija. U matematici ima oblik: p n \u003d n!

Kombinira se iz N elemenata na m nazivaju se takvi spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koji je njihov ukupnik. Formula će pogledati:

N m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, u svom području istraživača nalaze se radovi koji su ga donijeli na novu razinu. Jedan od tih djela je Bernoulli formula, što omogućuje određivanje vjerojatnosti određenog događaja u neovisnim uvjetima. To sugerira da izgled u eksperimentu ne ovisi o nastanku ili se ne pojavljuje isti događaj u prethodno provedenim ili naknadnim testovima.

Bernoulli jednadžba:

P N (m) \u003d C n M × P × q n-m.

Vjerojatnost (p) izglede događaja (a) je nepromijenjena za svaki test. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u količinama eksperimenata izračunata će se formulom koja je prikazana gore. Prema tome, postavlja se pitanje kako saznati broj Q.

Ako se događaj pojavi broj puta, on ne može doći. Jedinica je broj koji treba označiti svi ishodi situacije u disciplini. Stoga je Q broj koji znači mogućnost nedjelovanja događaja.

Sada znate Bernoulli formulu (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka (prva razina) razmatraju dalje.

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će kupovati s 0.2 vjerojatnost. 6 posjetitelji posjetili su trgovinu. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj kupiti kupnju?

Rješenje: Budući da nije poznato koliko posjetitelja treba napraviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću bernoulli formule.

A \u003d "posjetitelj će kupovati."

U ovom slučaju: p \u003d 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, Q \u003d 1-0.2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (budući da trgovina ima 6 posjetitelja). Broj m će se promijeniti od 0 (ne kupac ne kupuje) do 6 (svi posjetitelji pohranjuju nešto će biti kupljeno). Kao rezultat toga, dobivamo rješenje:

P6 (0) \u003d C 0 6 × P 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Niti jedan od kupaca ne kupuje s vjerojatnošću od 0,2621.

Kako je inače Bernoulli formula (teorija vjerojatnosti)? Sljedeći primjeri rješavanja problema (druga razina).

Nakon gore navedenog primjera, postavljaju se pitanja o tome gdje se dijeliti i r. U odnosu na P broj do stupnja 0 bit će jednak jednom. Što se tiče C, može se naći u formuli:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Od u prvom primjeru m \u003d 0, odnosno, c \u003d 1, koji u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati što je vjerojatnost kupnje robe s dva posjetitelja.

P6 (2) \u003d C6 2 1 × 2 × Q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 4 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Nije tako složena teorija vjerojatnosti. Bernoulli formula, čiji su primjeri prikazani gore, koji je izravan dokaz.

Formula Poisson

Poissonova jednadžba se koristi za izračunavanje nevjerojatnih slučajnih situacija.

Osnovna formula:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

U ovom slučaju, λ \u003d n x p. To je tako jednostavna formula Poissona (teorija vjerojatnosti). Primjeri zadataka rješavanja razmatraju dalje.

Zadatak 3.: U tvornici napravite dijelove u iznosu od 100.000 komada. Izgled neispravnog dijela \u003d 0.0001. Koja je vjerojatnost da će 5 neispravnih dijelova biti na zabavi?

Kao što možete vidjeti, brak je malo vjerojatan događaj i u vezi s kojom se koristi za izračunavanje Poissonova formula (vjerojatnost teorija). Primjeri rješavanja problema ove vrste ne razlikuju se od drugih zadataka discipline, u smanjenoj formuli zamjenjujemo potrebne podatke:

A \u003d "slučajno odabrana stavka bit će neispravna."

p \u003d 0,0001 (prema stanju zadatka).

n \u003d 100000 (broj dijelova).

m \u003d 5 (neispravni dijelovi). Zamijenimo podatke u formuli i dobili:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X e -10 \u003d 0.0375.

Kao i Bernoulli formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja uz pomoć koji su napisan gore, Poissonova jednadžba ima nepoznat e. Zapravo, može se naći u formuli:

e -λ \u003d lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Međutim, postoje posebni stolovi u kojima postoje gotovo sve vrijednosti.

Mouverdord Laplace Teorem

Ako je broj testova u Bernoulliju u Bernoulli shemu, te vjerojatnost događaja i svih shema je isti, onda je vjerojatnost događaja i određeni broj puta u nizu testova može se naći kao laplace formula:

P N (m) \u003d 1 / √Npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Kako bi se bolje zapamti formulu laplace (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka za pomoć u nastavku.

Prvo pronalazimo X m, zamjenjujemo podatke (svi su gore navedeni) u formuli i dobiti 0,025. Uz pomoć tablica nalazimo broj φ (0.025), čiji je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) X 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Stoga, vjerojatnost da će letak za oglašavanje raditi točno 267 puta, iznosi 0,03.

Lagane formule.

Bayes formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka s kojima će se prikazati u nastavku, jednadžba je opisuje vjerojatnost događaja, na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njom. Glavna formula ima sljedeći obrazac:

P (a | b) \u003d p (u | a) x p (a) / p (c).

A i B su određeni događaji.

P (a | b) - uvjetna vjerojatnost, to jest, događaj se može pojaviti, pod uvjetom da je događaj istinit.

P (u | a) - uvjetna vjerojatnost događaja V.

Dakle, završni dio malog tečaja "teorija vjerojatnosti" je Bayes formula, primjeri rješenja zadataka s kojima u nastavku.

Zadatak 5.: Skladište je donijelo telefone iz tri tvrtke. U isto vrijeme, dio telefona koji se proizvode u prvoj biljci iznosi 25%, u drugom i 60%, na trećem - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugom - 4%, au trećem - 1%. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.

A \u003d "slučajno uzeti telefon."

U prvom telefonu koji je napravio prvu tvornicu. Prema tome, pojavit će se uvodni u 2 i 3 (za druge i treće tvornice).

Kao rezultat toga, dobivamo:

P (u 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (u 2) \u003d 0,6; P (u 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada morate pronaći uvjetnu vjerojatnost željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtki:

P (a / u 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / in 2) \u003d 0,04;

P (a / in 3) \u003d 0,01.

Sada ćemo zamijeniti podatke u Bayes formulu i dobiti:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

U članku je prikazana teorija vjerojatnosti, formula i primjera rješavanja problema, ali to je samo vrh ekstenzivne discipline ledenjaka. I nakon sveg pisanog, to će biti logično pitati je li potrebna teorija vjerojatnosti u životu. Teško je odgovoriti na jednostavnu osobu da odgovori, bolje je pitati o tome tko, s njezinom pomoći, nije slomio Jack-znoj.

Kratka teorija

Za kvantitativnu usporedbu događaja u stupnju mogućnosti njihovog izgleda, uvedena je numerička mjera, koja se naziva vjerojatnost događaja. Vjerojatnost slučajnog događaja Broj koji je izraz mjere objektivne mogućnosti izgleda događaja.

Vrijednosti koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi računati na događaje karakteriziraju vjerojatnost događaja. Potrebno je naglasiti da je vjerojatnost objektivna vrijednost koja postoji neovisno o učenju i zbog cijelog skupa uvjeta koji doprinose pojavu događaja.

Objašnjenja koje smo dali koncept vjerojatnosti nisu matematička definicija, jer oni ne određuju taj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerojatnosti slučajnog događaja koji se naširoko koriste u rješavanju specifičnih zadataka (klasične, aksiomatske, statističke, itd.).

Klasična definicija vjerojatnosti događaja Podržava ovaj koncept elementarnijem konceptu ravnotežnih događaja, koji se više ne definira i pretpostavlja se da je intuitivno. Na primjer, ako je igranje kosti homogena kocka, onda je posljedica bilo kojeg rubova ove kocke biti jednak događajima.

Neka se pouzdan događaj raspao na ravnotežnim slučajevima, čiji iznos daje događaj. To jest, slučajevi koji se raspadaju nazivaju se povoljnim za događaj, budući da izgled jednog od njih pruža ofenzivu.

Vjerojatnost događaja bit će označena simbolom.

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja slučajeva pogodnim za njega, od ukupnog broja jedinih mogućih, jednakih i nedosljednosti na broj, tj.

Ovo je definicija klasične vjerojatnosti. Dakle, da bi pronašli vjerojatnost događaja, potrebno je, uzimajući u obzir različite ishode testa, kako bi pronašli skup jedinih mogućih, jednakih i nedosljednih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj M slova pridonose Ovaj događaj, a zatim izračunajte izračun prema gornjoj formuli.

Vjerojatnost događaja jednak omjeru broja povoljnih događaja iskustva iskustva s ukupnim brojem ishoda iskustva klasična vjerojatnost Slučajni događaj.

Određivanje teče sljedeća svojstva vjerojatnosti:

Imovina 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jednom.

Imovina 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Nekretnina 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj zaključen između nule i jedinice.

Imovina 4. Vjerojatnost pojave događaja koji formiraju potpunu skupinu jednaka je jednom.

Nekretnina 5 Vjerojatnost suprotnog događaja definira se na isti način kao i vjerojatnost pojave događaja A.

Broj slučajeva pogoduje pojavu suprotnog događaja. Odavde je vjerojatnost suprotnog natjecanja jednaka razlici između jedinice i vjerojatnosti događaja a:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je da uz njegovu pomoć, vjerojatnost događaja može se odrediti bez pribjegavanja eksperimentu, te na temelju logičkog razmišljanja.

Prilikom izvođenja kompleksa uvjeta, pouzdan će se događaj svakako dogoditi, a nemoguće se ne može nužno dogoditi. Među događajima koji se, pri stvaranju kompleksa uvjeta mogu pojaviti i ne mogu se dogoditi, na izgledu neki mogu računati na veliku bazu, na izgled drugih s manjom bazom. Ako, na primjer, u Urn bijelih lopti više od crne, onda se nada za pojavu bijele posude pri uklanjanju iz URN-a mnogo više razloga nego na izgled crne zdjele.

Primjer rješavanja problema

Primjer 1.

U kutiji ima 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih kuglica. Ruta preuzeta 3 loptice. Pronađite vjerojatnosti sljedećih događaja: - Barem 1 crvena kugla se ekstrahira - ima najmanje 2 kuglice jedne boje, - postoji najmanje 1 crvena i 1 bijela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda ispitivanja naći će se kao broj kombinacija od 19 (8 + 4 + 7) elemenata 3:

Pronađite vjerojatnost događaja - ekstrahira najmanje 1 crvenu kuglu (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Željenu vjerojatnost:

Neka događaj - Postoji najmanje 2 zdjele jedne boje (2 ili 3 bijele kuglice, 2 ili 3 crne kuglice i 2 ili 3 crvene kuglice)

Broj ishoda pridonosi događajima:

Željenu vjerojatnost:

Neka događaj - Postoji barem jedna crvena i 1 bijela kugla

(1 crveno, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda pridonosi događajima:

Željenu vjerojatnost:

Odgovor:P (a) \u003d 0.773; p (c) \u003d 0.7688; P (d) \u003d 0,6068

Primjer 2.

Bačena su dvije kosti za igru. Pronađite vjerojatnost da količina točaka nije manja od 5.

Odluka

Neka događaj - iznos bodova najmanje 5

Koristimo definiciju klasične vjerojatnosti:

Ukupan broj mogućih ishoda ispitivanja

Broj testova pogoduje događaju koji vas zanima

Na palom licu prve igranje kocke, može se pojaviti jedna točka, dvije točke ..., šest bodova. Slično tome, šest ishoda je moguće prilikom bacanja druge kocke. Svaki od ishoda bacanja prve kocke može se kombinirati sa svakim ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih elementarnih ishoda ishoda jednak je broju plasmana s ponavljanjem (izbor s postavljanjem 2 elementa iz ukupnog volumena volumena 6):

Pronađite vjerojatnost suprotnog događaja - količina bodova je manji od 5

Omiljeni događaj će biti sljedeće kombinacije sjajnih točaka:

Geometrijska definicija vjerojatnosti je navedena i dano je otopina široko poznatog zadatka sastanka.

Teorija vjerojatnosti je prilično opsežan neovisni dio matematike. U školskoj godini, teorija vjerojatnosti se smatra vrlo površno, međutim, postoje zadaci za ovu temu. Međutim, to nije tako teško riješiti zadatke školskog tečaja (barem ono što se tiče aritmetičkih operacija) - ovdje ne trebate razmotriti derivate, uzimajte integrale i rješavaju složene trigonometrijske transformacije - glavna stvar je da se mogu nositi jednostavni brojevi i frakcije.

Teorija vjerojatnosti - Osnovni pojmovi

Glavni uvjeti teorije vjerojatnosti su testiranje, ishod i slučajni događaj. Test u teoriji vjerojatnosti naziva se eksperiment - baciti novčić, povući karticu, izvući izvlačenje - sve te testove. Rezultat testa, kao što ste već pogodili, naziva se ishod.

Koji je slučajni događaj? U teoriji vjerojatnosti pretpostavlja se da se test provodi mnogo puta mnogo ishoda. Slučajni događaj naziva se mnogo ishoda ishoda. Na primjer, ako bacite novčić, mogu se pojaviti dva slučajna događaja - orao ili žuriti pada.

Nemojte brkati ishod i slučajni događaj. Ishod je jedan rezultat jednog testa. Slučajni događaj je razne moguće ishode. Usput, i takav izraz kao nemogući događaj. Na primjer, događaj "pao broj 8" na standardnu \u200b\u200bigru \u200b\u200bje nemoguće.

Kako pronaći vjerojatnost?

Svi razumijemo što je vjerojatnost i često koristi ovu riječ u vašem rječniku. Osim toga, možemo čak napraviti neke zaključke o vjerojatnosti određenog događaja, na primjer, ako iza snijega, možemo biti vjerojatno da ćemo reći da sada nije ljeto. Međutim, kako brojčano izraziti ovu pretpostavku?

Kako bismo uveli formulu za pronalaženje vjerojatnosti, uvodemo drugi koncept - povoljan ishod, tj. Ishod koji je povoljan za određeni događaj. Definicija je prilično dvosmislena, naravno, prema stanju problema, uvijek je jasno koji je od ishoda povoljan.

Na primjer: u razredu 25 ljudi, troje kati. Učitelj imenuje Olya dužnost, a ona treba partnera. Koja je vjerojatnost da će partner katya postati?

U ovom primjeru, povoljan ishod - Katya partner. Malo kasnije riješit ćemo ovaj zadatak. Ali prvo se uvodimo uz pomoć dodatne formule definicije za pronalaženje vjerojatnosti.

• P \u003d A / N, gdje je P vjerojatnost, A je broj povoljnih ishoda, n je ukupan broj ishoda.

Svi školski izazovi se vrte oko jedne od ove formule, a glavna se poteškoća obično sastoji u pronalaženju ishoda. Ponekad su jednostavni za pronalaženje, ponekad - ne baš.

Kako riješiti zadatke za vjerojatnost?

Zadatak 1.

Dakle, sada odlučujemo o gore navedenom zadatku.

Broj povoljnih ishoda (učitelj odabire Katyu) jednak je tri, jer je mačka u tri razreda i ukupnim ishodima - 24 (25-1, jer je već izabrana Olya). Tada je vjerojatnost jednaka: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Dakle, vjerojatnost da će Katya ispasti biti 12,5%. Je li lako? Pitamo se nešto sveobuhvatno.

Zadatak 2.

Kovanica je dvaput bačena, koja je vjerojatnost kombinacije: jedan orao i jedan žurba?

Dakle, smatramo potpuno ishodima. Kako kovanice mogu ispadati - orao / orao, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Dakle, ukupan broj ishoda - 4. Koliko povoljnih ishoda? Dva - orao / žurba i žurba / orao. Tako je vjerojatnost kombinacije orla / žurbe jednaka:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 ili 50 posto.

I sada razmislite o takvom zadatku. Masha u džepu 6 kovanica: dva - denominacija 5 rubalja i četiri - denominacija od 10 rubalja. Masha je pomaknula 3 novčića u drugi džep. Koja je vjerojatnost da će 5-rublje kovanica biti u različitim džepovima?

Za jednostavnost, označavamo kovanice s brojevima - 1,2 - pet članova kovanica, 3,4,5,6 - deset metara kovanica. Pa kako mogu li kovanice u vašem džepu? Ukupno ima 20 kombinacija:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvi pogled može se činiti da su neke kombinacije nestale, na primjer, 231, međutim, u našem slučaju, kombinacije 123, 231 i 321 su ekvivalentne.

Sada smatramo koliko povoljnih ishoda imamo. Za njih uzimamo one kombinacije u kojima postoji ili broj 1, ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Oni su 12. Tako, Vjerojatnost je jednaka:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 ili 60%.

Zadaci o teoriji vjerojatnosti prikazani su vrlo jednostavni, ali ne mislim da je teorija vjerojatnosti jednostavan dio matematike. Ako se odlučite nastaviti s obrazovanjem na sveučilištu (osim humanitarnih specijalnosti), svakako ćete imati nekoliko više matematike na kojima ćete biti upoznati s složenijim uvjetima ove teorije, a zadaci će biti mnogo teže ,

U početku, biti samo sastanak informacija i empirijskih zapažanja u igri u kosti, teorija vjerojatnosti postala je čvrsta znanost. Prvi koji je dao svoj matematički okvir bio je farma i pascal.

Od razmišljanja o vječnoj do teorije vjerojatnosti

Dvije osobe koje su dužne od strane mnogih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznate su kao duboko vjernici, a potonji je bio prezbiterijanski svećenik. Očigledno, želja ovih dva znanstvenika da dokažu zabludu pogleda na neku vrstu bogatstva, dajući sreću svojim kućnim ljubimcima, dao je poticaj za istraživanje u ovom području. Uostalom, zapravo, bilo kockanje s dobicima i gubicima samo je simfonija matematičkih načela.

Zahvaljujući Azartu Cavaller, koji je bio jednako igrač i osoba koja nije ravnodušna prema znanosti, Pascal je bio prisiljen pronaći način da izračuna vjerojatnost. Odlična odlična je zainteresirana za takvo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kosti u parovima, tako da je vjerojatnost dobivanja 12 bodova premašila 50%?". Drugo pitanje je izuzetno zainteresirano za Cavallar: "Kako podijeliti okladu između sudionika nedovršene igre?" Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja koja su postala nevoljni poticaj za razvoj teorije vjerojatnosti. Zanimljivo je da je osoba u struci ostala poznata, a ne u literaturi.

Prije toga, nijedan matematičar još nije pokušao izračunati vjerojatnosti događaja, jer se smatralo da je to samo gladna odluka. Blaise Pascal je dala prvu definiciju vjerojatnosti događaja i pokazala da je to određena figura koja se može opravdati matematičkim sredstvima. Teorija vjerojatnosti postala je osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj znanosti.

Što je nesreće

Ako razmotrimo test da možete ponoviti beskonačan broj puta, onda možete definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od važnih ishoda iskustva.

Iskustvo je provedba konkretnih aktivnosti u stalnim uvjetima.

Raditi s rezultatima iskustva, događaji se obično označavaju slova A, B, C, D, e ...

Vjerojatnost slučajnog događaja

Da biste mogli početi matematički dio vjerojatnosti, morate definirati sve svoje komponente.

Vjerojatnost događaja izgovara se u numeričkom obliku mjere pojave određenog događaja (a ili b) kao rezultat iskustva. Označena je vjerojatnost kao p (a) ili p (b).

U teoriji vjerojatnosti razlikuju:

• pouzdan Događaj je zajamčen kao rezultat eksperimenta p (ω) \u003d 1;
• nemoguće Događaj se nikada ne može pojaviti str (Ø) \u003d 0;
• slučajan Događaj leži između pouzdanog i nemoguće, to jest, moguća je vjerojatnost njegovog izgleda, ali ne i zajamčena (vjerojatnost da je slučajni događaj uvijek unutar 0 ≤P (a) ≤ 1).

Odnosi između događaja

Razmotrite i isti i zbroj događaja A + B, kada se događaj računa u provedbi najmanje jedne od komponenti, A ili B ili oboje - A i V.

U odnosu na drugu, događaji mogu biti:

• Ravnoteža.
• Kompatibilan.
• Nespojivo.
• Suprotno (međusobno isključivo).
• Ovisno.

Ako se mogu pojaviti dva događaja s jednakom vjerojatnošću, onda oni ravnoteža.

Ako izgled događaja i ne smanjuje vjerojatnost izgleda događaja B, onda oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, oni se nazivaju nespojiv, Bacanje kovanica je dobar primjer: izgled žurbe automatski je kriv od orla.

Vjerojatnost za količinu takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od vjerojatnosti svakog događaja:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Ako je početak jednog događaja nemoguće dogoditi drugi, oni se nazivaju suprotno. Tada je jedan od njih označen kao a, a drugi - Ā (čitati kao "ne"). Izgled događaja A znači da se ne dogodi. Ova dva događaja čine cjelovitu skupinu s zbrojem vjerojatnosti jednake 1.

Zavisni događaji imaju zajednički utjecaj, smanjenje ili povećanje vjerojatnosti jedni druge.

Odnosi između događaja. Primjeri

Primjeri su mnogo lakši za razumijevanje načela teorije vjerojatnosti i kombinacija događanja.

Iskustvo koje će se provesti je da izvučete loptice iz kutije, a rezultat svakog iskustva je elementarni ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda iskustva - crvenu loptu, plavu kuglu, loptu s brojem šest, itd.

Test broj 1. Uključeno je 6 lopti, od kojih su tri obojana u plave, na njima se primjenjuju neparni brojevi, a tri su crvene s čak i brojevima.

Test broj 2. Uključeno je 6 kuglice s brojevima od jednog do šest.

Na temelju ovog primjera možete nazvati kombinacije:

• Pouzdan događaj. U №2 Događaj "Nabavite plavu loptu" je pouzdana, jer je vjerojatnost njegovog izgleda jednaka 1, jer sve kuglice plave i propust ne mogu biti. Budući da je događaj "dobiti loptu s brojem 1".
• Nemoguće događaj. U №1 s plavim i crvenim kuglicama događaj "dobiti ljubičastu loptu" je nemoguća, jer je vjerojatnost njegovog izgleda 0.
• Jednaki događaji. U №1 Događaji "Uzmite loptu s brojem 2" i "dobiti loptu s ravnotežom brojem 3", a događaji "dobiti loptu s parnim brojem" i "dobiti loptu s brojem 2" imaju različitu vjerojatnost ,
• Kompatibilni događaji. Dva puta za redom da biste dobili šest u procesu bacanja kostiju - to su kompatibilni događaji.
• Nespojivi događaji. U istom ISP-u. №1 Događaji "Uzmite crvenu kuglu" i "dobiti loptu s neparnim brojem" ne može se kombinirati u istom iskustvu.
• Suprotne događaje. Najupečatljiviji primjer o tome je bacanje kovanica kada je izvlačenje orla jednako za neto zatočeništvo rijeke, a zbroj njihovih vjerojatnosti je uvijek 1 (puna skupina).
• Ovisni događaji, Dakle, u ISP-u. №1 Možete postaviti cilj da dvaput uklonite crveni balon u nizu. Njegova ekstrakcija ili nepoznata po prvi put utječe na vjerojatnost izdvajanja drugog puta.

Može se vidjeti da prvi događaj značajno utječe na vjerojatnost drugog (40% i 60%).

Formula vjerojatnosti događaja

Prijelaz iz refleksije gadetiranja na točne podatke je posljedica prevođenja temu u matematičku ravninu. To jest, prosudbe o slučajnom događaju poput "velike vjerojatnosti" ili "minimalne vjerojatnosti" mogu se prenijeti na određene numeričke podatke. Takav materijal je dopušten procjenjivati, usporediti i uvesti u složenije izračune.

Sa stajališta izračuna, definicija vjerojatnosti događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda na iznos svih mogućih ishoda iskustva relativno specifičnog događaja. To je označeno vjerojatnost P (a), gdje R znači riječ "Probabilite", koji je preveden s francuskog kao "vjerojatnost".

Dakle, manifestacija vjerojatnosti:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, N - zbroj svih ishoda moguće za to iskustvo. U tom slučaju vjerojatnost događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Izračunavanje vjerojatnosti događaja. Primjer

Uzmi čaroliju. №1 s loptima, koje su prethodno opisane: 3 plave kuglice s brojevima 1/3/5 i 3 crveno s 2/4/6 brojevima.

Na temelju ovog testa može se vidjeti nekoliko različitih zadataka:

• A - gubitak crvene zdjele. Crvene kuglice 3 i ukupne opcije 6. Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerojatnost događaja P (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - gubitak paran broj. Ukupno čak i brojevi 3 (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih varijanti je 6. Vjerojatnost ovog događaja je P (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C je gubitak broja veći od 2. ukupne opcije 4 (3,4,5,6) od ukupnog iznosa mogućih ishoda 6. Vjerojatnost događaja s jednakim P (c) \u003d 4/6 \u003d 0,67 ,

Kao što se može vidjeti iz izračuna, događaj C ima veću vjerojatnost, budući da je broj vjerojatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i V.

Nevažeći događaji

Takvi se događaji ne mogu istovremeno pojavljivati \u200b\u200bu istom iskustvu. Kao u №1 nemoguće je istovremeno doći do plave i crvene lopte. To jest, možete dobiti plavu ili crvenu loptu. Na isti način u igranju kosti, čak i neparan broj može biti u isto vrijeme.

Vjerojatnost dva događaja smatra se vjerojatnost njihovog iznosa ili rada. Iznos takvih događaja A + B smatra se takav događaj koji se sastoji u nastanku događaja A ili B, a rad od njih je u izgledu oba. Na primjer, izgled dvaju šesteraca odmah na rubovima dviju kocki u jednom bacanju.

Zbroj nekoliko događaja je događaj koji uključuje pojavu barem jednog od njih. Rad nekoliko događaja je zajednički izgled svih njih.

U teoriji vjerojatnosti, u pravilu, korištenje Unije "i" označava iznos, Uniju "ili" - umnožavanje. Formule s primjerima pomoći će razumjeti logiku dodavanja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerojatnost nepotpunih događaja

Ako se razmatra vjerojatnost nekonzistentnih događaja, vjerojatnost količine događaja jednaka je dodavanju njihove vjerojatnosti:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Na primjer: izračunam vjerojatnost da na računalu. 1 s plavim i crvenim kuglicama, broj 1 i 4. izračunaj ne u jednoj akciji, već zbroj vjerojatnosti elementarnih komponenti. Dakle, u ovom iskustvu samo 6 lopti ili 6 mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju stanje - 2 i 3. Vjerojatnost na slici 2 je 1/6, vjerojatnost na slici 3 je također 1/6. Vjerojatnost da će znamenka ispasti između 1 i 4 su:

Vjerojatnost nekompatibilnih događaja potpune skupine jednaka je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom, postavite vjerojatnosti ispadanja svih brojeva, onda kao rezultat dobivamo jedinicu.

Također je istina za suprotne događaje, na primjer, iskustvo s novcem, gdje je jedna strana događaj a, a drugi je suprotan događaj - kao što je poznato,

P (a) + p (m) \u003d 1

Vjerojatnost rada ne-istaknutih događaja

Multipliciranje vjerojatnosti primjenjuju se kada razmatraju pojavu dva ili više nepotpunih događaja u jednom promatranju. Vjerojatnost da će se događaji A i B pojaviti istovremeno, jednaka proizvodu svojih vjerojatnosti, ili:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Na primjer, vjerojatnost da u ISP-u. №1 Kao rezultat dva pokušaja, plava lopta će se pojaviti dvaput, jednaka

To jest, vjerojatnost pojave događaja, kada, kao rezultat dvaju pokušaja s uklanjanjem lopti, samo plave kuglice će biti izdvojene, jednake 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente ovog zadatka i vidjeti je li doista.

Zajedničke događaje

Događaji se razmatraju zajedno kada se pojave jednog od njih može podudarati s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, smatra se vjerojatnost nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvaju kosti mogu dati rezultat kada broj 6 padne na njih. Iako se događaji podudaraju i pojavili su se istodobno, oni su neovisni jedni od drugih - samo jedan šest, druga kost nema utjecaja na njega ,

Vjerojatnost zajedničkih događaja smatra se vjerojatnost njihovog iznosa.

Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja. Primjer

Vjerojatnost količine događaja A i B, koja u odnosu na međusobne zglobove, jednaka sumu vjerojatnosti događaja s odbitkom vjerojatnosti njihovog rada (to jest, njihova zajednička provedba):

P. (A + c) \u003d p (a) + p (b) - p (av)

Pretpostavimo da je vjerojatnost da ući u cilj s jednim pucanjem je 0,4. Tada događaj A - udaranje u cilj u prvom pokušaju, u drugi način. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da se cilj može pogoditi i od prvog i drugog metka. Ali događaji ne ovise. Koja je vjerojatnost pojave ciljanog poraz od dvije snimke (barem jedan)? Prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je sljedeći: "Vjerojatnost ulaska u gol iz dvije snimke je 64%."

Ova formula vjerojatnosti događaja također se može primjenjivati \u200b\u200bna nepotpune događaje, gdje je vjerojatnost izglede događaja p (Av) \u003d 0. To znači da se vjerojatnost nepotpunih događaja može smatrati posebnim slučajem predložene formule.

Geometrija vjerojatnosti za jasnoću

Zanimljivo je da se vjerojatnost količine zajedničkih događaja može predstavljati kao dvije regije A i B, koji se sijeku zajedno. Kao što se može vidjeti iz slike, područje njihovog udruženja jednaka je ukupnoj površini u minuti njihovih područja raskrižja. Ovo geometrijsko objašnjenje čini razumnije nelogične na prvi pogled formulu. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerojatnosti zbroja skupa (više od dva) zajednička događanja je prilično glomazna. Da biste je izračunali, morate koristiti formule koje se pružaju za te slučajeve.

Ovisni događaji

Zavisni događaji nazivaju se ako uvreda jednog (a) utječe na vjerojatnost drugog (b). Štoviše, uzet je u obzir utjecaj oba događaja a i njezine greške. Iako se događaji nazivaju ovisi o definiciji, ali samo jedan od njih (b) ovisi. Uobičajena vjerojatnost je označena kao P (b) ili vjerojatnost neovisnih događaja. U slučaju ovisnog, uveden je novi koncept - uvjetna vjerojatnost p a (b), koja je vjerojatnost ovisnog događaja u pod uvjetom da se događaj a (hipoteza) dogodila iz koje ovisi.

Ali nakon svega, događaj je također slučajno, tako da ima i mogućnost da vam je potrebno i može se uzeti u obzir u izračunatim izračunima. Zatim će se primjer prikazati kako raditi s ovisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerojatnosti ovisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje ovisnih događaja može biti standardna paluba kartica.

Na primjeru palube u 36 kartica, razmotrite ovisne događaje. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će druga kartica izvučena s palube biti tamburinski, ako je prvi ekstrahiran:

1. Bubnovy.
2. Drugo odijelo.

Očito je da je vjerojatnost drugog događaja ovisi o prvom A. Dakle, ako je prva opcija istinita da je paluba postala 1 kartica (35) i 1 tambrourin (8) manje, vjerojatnost događaja u:

P (b) \u003d 8/35 \u003d 0.23

Ako je druga opcija poštena, paluba je postala 35 karata, a ukupan broj tamburina (9) je još uvijek sačuvan, a zatim vjerojatnost sljedećeg događaja u:

P (b) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Može se vidjeti da ako je događaj dogovoren u činjenici da je prva kartica tamburinska, onda vjerojatnost događaja u smanjenju, i obrnuto.

Umnožavanje ovisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvaćamo prvi događaj (a) kao činjenicu, ali ako kažemo u biti, ima slučajni lik. Vjerojatnost ovog događaja, odnosno vađenje tamburine s palube kartica, jednaka je:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Budući da teorija ne postoji samo po sebi, ali je osmišljen tako da služi u praktične svrhe, pravo je napomenuti da je vjerojatnost da je proizvod ovisnih događaja najčešće potreban.

Prema teoremu na proizvodu vjerojatnosti ovisnih događaja, vjerojatnost pojave zajednički ovisnih događaja A i B jednaka je vjerojatnosti jednog događaja a, pomnoženog uvjetnom vjerojatnošću događaja u (ovisnoj a):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Zatim u primjeru s palubom, vjerojatnost ekstrakcije dviju karata s MAHI od tamburine je:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 ili 5,7%

I vjerojatnost ekstrakcije nije prvo tamburinska, a zatim su tamburine jednaki:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19, ili 19%

Može se vidjeti da je vjerojatnost pojave događaja u više, pod uvjetom da se prva ekstrakcijska kartica ekstrahira iz tamburine. Ovaj rezultat je prilično logičan i razumljiv.

Puna vjerojatnost događaja

Kada problem s uvjetnim vjerojatnosti postane multiceted, nemoguće je izračunati uobičajene metode. Kada su hipoteze više od dva, naime A1, A2, ... i n, .. Hlađenje cjelovitu skupinu događanja:

• P (a i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i j \u003d Ø, ja j.
• Σ k a k \u003d ω.

Dakle, formula za punu vjerojatnost za događaj u potpunoj skupini slučajnih događanja A1, A2, ... i N je:

Pogled u budućnost

Vjerojatno je neophodna u mnogim područjima znanosti: ekonometrijska, statistika, fizika itd. Kako se neki procesi ne mogu odrediti, jer oni sami imaju vjerojatnost vjerojatnosti, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerojatnosti događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj sferi kao način određivanja mogućnosti pogreške ili kvara.

Može se reći da, učenje vjerojatnosti, radimo teoretski korak u budućnost na neki način, gledajući ga kroz prizmu formule.

Sve u svijetu određuje se ili slučajno ...
Aristotel

Vjerojatnost: osnovna pravila

Teorija vjerojatnosti izračunava vjerojatnost raznih događanja. Glavni u teoriji vjerojatnosti je koncept slučajnog događaja.

Na primjer, bacite novčić, nasumično pada na grb ili širok. Ne znate unaprijed kakav će kovanica pasti. Ulazite u ugovor o osiguranju, ne znate unaprijed da li neće biti plaćanja.

U aktuarskim izračunima, morate biti u mogućnosti procijeniti vjerojatnost raznih događanja, stoga teorija vjerojatnosti igra ključnu ulogu. Nijedno drugo polje matematike ne može djelovati s vjerojatnostima događaja.

Razmotrite više detalja da biste bacili novčić. Postoje 2 međusobno isključiva egzodusa: emisija grba ili gubitak žurbe. Ishod lanca je slučajni, jer promatrač ne može analizirati i uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na rezultat. Koja je vjerojatnost amblema? Većina će odgovoriti ½, ali zašto?

Pustiti formalno ALI Označava taloženje grba. Neka novčić juri N. vrijeme. Onda vjerojatnost događaja ALI Moguće je odrediti kao udio onih bacanja, kao rezultat kojim pada grb:

gdje n. Ukupno bacanja, n (a) Broj pražnjenja grba.

Odnos (1) frekvencija događaji ALI U dugom nizu testova.

Ispada da u različitim nizovima testova odgovarajuće frekvencije na slobodi n. raste o nekim trajnim vrijednostima R (a), Ova se vrijednost zove vjerojatnost događaja ALI I označava pismo R- kratica s engleske riječi vjerojatnost - vjerojatnost.

Formalno, imamo:

(2)

Ovaj zakon se zove zakon velikih brojeva.

Ako je novčić točan (simetričan), vjerojatnost emisije grba je jednaka vjerojatnosti gubitka rijeke i jednaka je ½.

Neka biti ALI i U Neki događaji, na primjer, došlo je do toga ili nije osiguran događaj. Kombinirajući dva događaja je događaj koji se sastoji od izvršavanja događaja. ALI, Događaji Uili oba događaja zajedno. Sjecište dva događaja ALI i U nazvao se događaj koji se sastoji od provedbe oba događaja ALIi događaji U.

Temeljna pravila Izračuni vjerojatnosti događaja su sljedeći:

1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja se zaključuje između nule i jedinice:

2. Neka i u dva događaja, onda:

Čitajte ovako: Vjerojatnost kombiniranja dva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja minus vjerojatnost prelaska događaja. Ako su događaji nepotpuni ili kratkotrajni, vjerojatnost kombiniranja (količina) dva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti. Ovaj zakon se naziva zakonom dodaci vjerojatnost.

Kažemo da su događaji pouzdani ako je njegova vjerojatnost jednaka 1. Prilikom analize određenih fenomena, postavlja se pitanje, jer događaj utječe U Na događajima ALI, Za ovo uvedeno uvjetna vjerojatnost :

(4)

Čitajte ovako: Vjerojatnost uvredljivog ALI s obzirom na to U jednaka vjerojatnosti raskrižja ALI i Upodijeljena s vjerojatnošću događaja U.
U formuli (4) pretpostavlja se da je vjerojatnost događaja U Iznad nule.

Formula (4) također se može napisati kao:

(5)

Ova formula umnožavanje vjerojatnosti.

Također se naziva uvjetna vjerojatnost apusterior vjerojatnost događaja ALI - Vjerojatnost ofenzive ALI Nakon početka U.

U ovom slučaju, sama vjerojatnost se zove apriorno vjerojatnost. Postoje neke važnije formule koje se intenzivno koriste u aktuarskim izračunima.

Formula puna vjerojatnost

Pretpostavimo da se iskustvo provodi, čiji se uvjeti mogu obaviti unaprijed. uzajamno Ekskluzivne pretpostavke (hipoteze):

Pretpostavljamo da postoji ili hipoteza ili ... ili. Vjerojatnosti tih hipoteza su poznate i jednake:

Zatim postoji formula pun vjerojatnost :

(6)

Vjerojatnost događaja ALI jednak iznosu vjerojatnosti ofenziva ALI Sa svakom hipotezom o vjerojatnosti ove hipoteze.

Lagane formule.

Lagane formule. omogućuje vam da ponovno izračunate vjerojatnost hipoteza u svjetlu novih informacija koje je rezultat dao ALI.

Bayes formula u određenom smislu je inverzna od pune formule vjerojatnosti.

Razmotrite sljedeći praktični zadatak.

Zadatak 1.

Pretpostavimo da se dogodi s ravninom padom i stručnjaci se bave proučavanjem njegovih uzroka. Postoje 4 razloga za koje se dogodila katastrofa: ili razlog ili, ili, ili. Prema postojećim statistikama, ti razlozi imaju sljedeće vjerojatnosti:

Prilikom ispitivanja položaja katastrofe, pronađeni su tragovi paljenja goriva, prema statistikama, vjerojatnost ovog događaja s određenim razlozima je:

Pitanje: Što je uzrok katastrofe najvjerojatnije?

Izračunati vjerojatnosti razloga za pojavu događaja ALI.

Može se vidjeti da je prvi razlog najvjerojatnije, jer je njezina vjerojatnost maksimalna.

Zadatak 2.

Razmislite o slijetanje zrakoplova na zračnom luku.

Kada slijetanje, vremenski uvjeti mogu biti takve: ne postoji niska oblačnost (), postoji niska oblačnost (). U prvom slučaju vjerojatnost prosperitetnog slijetanja jednaka je P1, U drugom slučaju - P2., To je jasno P1\u003e p2..

Uređaji koji pružaju slijepo slijetanje imaju vjerojatnost bez problema R, Ako postoji niska oblačnost i uređaji slijepo slijetanje, vjerojatnost uspješnog slijetanja jednaka je P3.i P3.<Р2 , Poznato je da je za ovu zračnu luku udio dana godišnje s niskom oblakom jednak.

Pronađite vjerojatnost sigurnog slijetanja zrakoplova.

Potrebno je pronaći priliku.

Postoje dvije međusobno isključive opcije: uređaji slijepog slijetanja rade, uređaji slijepog slijetanja su odbijeni, pa imamo:

Stoga formula pune vjerojatnosti:

Zadatak 3.

Osiguravajuće društvo se bavi životnim osiguranjem. 10% osiguranika u ovoj tvrtki su pušači. Ako osigurani ne puši, vjerojatnost njegove smrti tijekom cijele godine je 0,01 ako je pušač, tada je ta vjerojatnost 0,05.

Koji je udio pušača među onima koji su umrli tijekom godine?

Odgovori Mogućnosti: (A) 5%, (b) 20%, (c) 36%, (d) 56%, (e) 90%.

Odluka

Uvodimo događaje:

Stanje zadatka znači to

Osim toga, od događanja i formirajte kompletnu skupinu nekompatibilnih događaja u paru, tada.
Vjerojatnost interesa je.

Koristeći Bayes formulu, imamo:

stoga je opcija istinita ( U).

Zadatak 4.

Osiguravajuće društvo prodaje ugovor o životnom osiguranju za tri kategorije: standard, povlašteni i ultra-rezistentirani.

50% svih osiguranika su standard, 40% - privilegirano i 10% - ultra-rezistentirano.

Vjerojatnost smrti tijekom godine za standardni osiguranik je 0,010, za povlaštene - 0,005, a za ultra povlaštene - 0,001.

Koja je vjerojatnost da je preminuli osiguranik ultra-elastični?

Odluka

Upoznajemo sljedeće događaje za razmatranje:

Što se tiče tih događaja, vjerojatnost zanimanja za nas je. Stanje:

Budući da događaji, formiraju potpunu skupinu nekompatibilnih događaja u paru koristeći Bayes formulu koju imamo:

Slučajne varijable i njihove karakteristike

Neka neka slučajna vrijednost, na primjer, oštećuje vatru ili količinu plaćanja osiguranja.
Slučajna vrijednost u potpunosti je karakterizirana njegovom distribucijskom funkcijom.

Definicija.Funkcija nazvan funkcija distribucije nasumična varijabla ξ .

Definicija.Ako postoji takva funkcija koja za proizvoljne a. gotov