Zadatak B7 - transformacija logaritamskih i indikativnih izraza. Logaritamski izrazi
Vrsta lekcije: Lekcija generalizacije i sistematizacije znanja
Ciljevi:
- ostvariti znanje studenata o logaritima i njihovim svojstvima u okviru generalnog ponavljanja i pripreme za uporabu;
- promicati razvoj mentalne aktivnosti studenata, vještine primjene teorijskog znanja pri obavljanju vježbi;
- promicati razvoj osobnih osobina studenata, vještina samokontrole i samoprocjene njihovih aktivnosti; Obrazujte naporan rad, pacijent, upornost, neovisnost.
Oprema:računalo, projektor, prezentacija (Prilog 1) Kartice s domaćom zadaćom (možete priložiti datoteku s zadatkom u elektroničkom dnevniku).
Tijekom nastave
I. Organizacijski trenutak. Pozdrav, raspoloženje u lekciju.
Ii. Rasprava domaća zadaća.
Iii. Teme i ciljevi lekcije. Motivacija.(Pomaknite 1) prezentaciju.
Nastavljamo generalizirati ponavljanje tečaja matematike u pripremi za ispit. I danas ćemo govoriti o logaritetima i njihovim svojstvima.
Zadaci za izračun logaritama i transformacija logaritamskih izraza nužno su prisutni u kontrolnim i mjernim materijalima obje osnovne i profilne razine. Stoga je svrha naše lekcije vratiti ideje o značenju koncepta "logaritma" i ažurirati vještine za transformaciju logaritamskih izraza. Zapišite predmet lekcije u bilježnicama.
Iv. Aktualizacija znanja.
1. / oralno /Za početak, sjetite se što se zove logaritam. (Slide 2)
(Logaritam pozitivnog broja B za bazu A (gdje A\u003e 0, AH? 1) naziva se pokazatelj stupnja u kojem se broj A treba uzeti da biste dobili broj b)
Logirajte b \u003d n<-> N \u003d b, (a\u003e 0 i 1, b\u003e 0)
Dakle, "Logarithm" je "pokazatelj stupnja"!
(Slide 3) Onda se n \u003d b može prepisati kao \u003d B je glavni logaritamski identitet.
Ako je baza \u003d 10, tada se logaritam naziva decimalni i označen LGB.
Ako je a \u003d e, onda se logaritam naziva prirodno i označava LNB.
2. / Pismeni / (Slide 4)Ispunite preskakanje da biste dobili vjernu jednakost:
Prijavite se? x + log a? \u003d Prijavite se? (? y)
Prijavite se? - Prijavite se? Y \u003d dnevnik? (X /?)
Log a x? \u003d PLOG? (?)
Ček:
jedan; jedan; a, y, x; X, A, Y; p, a, x.
To su svojstva logaritama. I također grupa nekretnina: (Slide 5)
Ček:
a, 1, N, X; n, X, P, a; X, B, A, Y; a, X, b; A, 1, B.
V. usmeni rad
(Slide 6) №1. Izračunati:
a b c d); e).
Odgovora : a) 4; b) - 2; na 2; d) 7; e) 27.
(Slide 7) №2. Pronađi x:
ali); b) (odgovori: a) 1/4; b) 9).
Broj 3. Ima li smisla uzeti u obzir takav logaritam:
ali); b); u)? (Ne)
Vi. Nezavisni rad u skupinama, jaki učenici - konzultanti. (Slide 8)
# 1. Izračunajte: 
.
2. Pojednostavite:
# 3. Pronađite vrijednost izraza ako
№ 4. Pojednostavite izraz: 
№ 5. Izračunajte:
№ 6. Izračunajte:№ 7. Izračunajte:
8. Izračunajte:
Nakon izvršenja - provjeru i raspravu o ubranom rješenju ili korištenjem dokumenta - kamere.
VII. Rješenje zadatka povećane složenosti(Snažan student na ploči, ostalo - u bilježnicama) (Slide 9)
Pronađite vrijednost izraza:
Viii. Domaći zadatak (na karticama) diferencirane.(Slide 10)
№1. Izračunati: 
Navedena jednakost u pretvaranju izraza s logaritmima se koriste i na desno lijevo i lijevo na desno.
Važno je napomenuti da zapamtite učinke iz nekretnina je opcionalno: prilikom obavljanja transformacija, moguće je učiniti s glavnim svojstvima logaritma i drugim činjenicama (na primjer, u tome s B≥00), od kojih odgovara posljedice toka. "Bočni učinak" ovog pristupa se očituje samo da će odluka biti nešto duže. Na primjer, bez istrage, koji se izražava formulom 
I odbijaju samo iz glavnih svojstava logaritama, morat ćete obaviti lanac transformacija sljedeće vrste: 
.
Isto se može reći o posljednjem imovini iz gore navedenog popisa, što odgovara formuli 
Budući da proizlazi i iz glavnih svojstava logaritama. Glavna stvar koju treba shvatiti da uvijek postoji mogućnost pozitivnog broja s logaritamom u indikatoru da promijeni temelj stupnja i broja ispod znaka logaritma. Radi pravosuđa, napominjemo da su primjeri koji impliciraju provedbu transformacija takve vrste rijetki u praksi. Dajemo nekoliko primjera ispod teksta.
Transformacija numeričkih izraza s logaritmima
Svojstva logaritma se sjećala, sada je vrijeme da naučite primijeniti ih u praksi pretvoriti izraze. Prirodno početi s transformacijom numeričkih izraza, a ne izrazi s varijablama, jer su prikladnije i lakše znati osnove. Tako ćemo učiniti, i početi s vrlo jednostavnim primjerima kako bismo naučili kako odabrati željeno svojstvo logaritam, ali ćemo postupno komplicirati primjere, do trenutka kada trebate koristiti nekoliko svojstava u nizu da biste dobili konačni rezultat.
Odabir željenih svojstava logaritama
Svojstva logaritama nisu tako malo, i jasno je da morate biti u mogućnosti odabrati od njih prikladno, koji će u ovom konkretnom slučaju dovesti do željenog rezultata. To je obično teško to učiniti, uspoređujući vrstu transformiranog logaritam ili ekspresiju s pogledom na lijevi i desni dijelove formula koji eksprimiraju svojstva logaritma. Ako lijeva ili desna strana jedne od formula podudara s određenim logaritamom ili izrazom, onda je najvjerojatnije da je to imovina koja se mora primijeniti prilikom pretvaranja. Slijedeći primjeri su jasno prikazani.
Počnimo s primjerima pretvaranja izraza pomoću definicije logaritam koji odgovara formuli A log A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0.
Primjer.
Izračunajte ako je moguće: a) 5 log 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), b) 
, d) 2 log 2 (-7), e).
Odluka.
U primjeru, pod slovom a), struktura je log A B jasno vidljiva, gdje je A \u003d 5, b \u003d 4. Ovi brojevi zadovoljavaju uvjete a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, tako da možete koristiti jednakost zapisnik B \u003d b. Imamo 5 log 5 4 \u003d 4.
b) Ovdje A \u003d 10, b \u003d 1 + 2 · π, uvjeti a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0 su napravljeni. U tom slučaju postoji jednakost od 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.
c) iu ovom primjeru bavimo se stupnjem tipa A B, gdje i B \u003d LN15. Tako 
.
Unatoč pripadnosti istoj vrsti dnevnika A B (ovdje A \u003d 2, B \u003d -7), izraz pod slovom d) ne može se pretvoriti formulom A log A B \u003d B. Razlog tome je što ne ima smisla, jer sadrži negativan broj pod znakom logaritma. Štoviše, broj B \u003d -7 ne zadovoljava uvjet B\u003e 0, koji ne dopušta da se pribjegne formuli A log A B \u003d B, budući da zahtijeva ispunjenje uvjeta a\u003e 0, 1, b \u003e 0. Dakle, nemoguće je govoriti o izračunu vrijednosti 2 log 2 (-7). U tom slučaju, snimanje 2 log 2 (-7) \u003d -7 će biti pogreška.
Slično, u primjeru pod slovom D), otopina se ne može donijeti 
Budući da početni izraz ne ima smisla.
Odgovor:
a) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , d), e) Izrazi nemaju smisla.
Često je korisno za konverziju na kojoj je pozitivan broj prikazan u obliku stupnja bilo kojeg pozitivnog i različitog broja s logaritamom u indikatoru. Temelji se na istoj definiciji logaritma A log A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, ali formula se nanosi na desno lijevo, to jest, u obliku b \u003d dnevnik A b. Na primjer, 3 \u003d e ln3 ili 5 \u003d 5 log 5 5.
Idite na primjenu svojstava logaritama za pretvaranje izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza: a) log -2 1, b) log 1 1, c) dnevnik 0 1, d) dnevnik 7 1, e) ln1, e) lg1, g) log 3,75, s) dnevnik 5 · π 7 1.
Odluka.
U primjerima ispod slova a), b) i c) izrazi log -2 1, log 1, log 0 1, koji ne ima smisla, jer u bazi logaritam ne bi trebao biti negativan broj, nula ili jedinica, jer smo odredili logaritam samo za pozitivno i različito od osnovne jedinice. Stoga, u primjerima a) - c) ne može biti pitanje pronalaženja vrijednosti ekspresije.
U svim ostalim zadacima očito je da postoje pozitivni i različiti brojevi iz jedinice 7, E, 10, 3,75 i 5 · π 7, odnosno, a pod znakovima logaritma svugdje postoje jedinice. I znamo imovinu logaritmske jedinice: log a 1 \u003d 0 za bilo koju A\u003e 0, a ≠ 1. Prema tome, vrijednosti izraza B) - e) jednake su nuli.
Odgovor:
a), b), c) izrazi ne smisliti, d) dnevnik 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) log 3,75 1 \u003d 0, h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.
Primjer.
Izračunati: a), b) lne, c) LG10, d) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2), e) log -3 (-3), e) log 1 1.
Odluka.
Jasno je da moramo iskoristiti svojstvo logaritam baze, što odgovara Formuli Log A \u003d 1 na A\u003e 0, a ≠ 1. Doista, u zadacima pod svim slovima, broj pod znakom logaritam podudara se sa svojom osnovom. Dakle, želim odmah reći da je značenje svakog od navedenih izraza 1. Međutim, nije potrebno požuriti s zaključcima: u zadacima pod slovima a) - d) vrijednosti izraza su doista jednake jednom, au zadacima d) i e) početni izrazi ne čine Smisao, stoga se ne može reći da su vrijednosti ovih izraza 1.
Odgovor:
a), b) lne \u003d 1, c) LG10 \u003d 1, d) log 5 · π 3 -2 (5 · π 3 -2) \u003d 1, D), e) Izrazi nemaju smisla.
Primjer.
Pronađite vrijednost: a) log 3 3 11, b) 
, c), d) log -10 (-10) 6.
Odluka.
Očito, pod znakovima logaritama postoje neki stupnjevi temelja. Na temelju toga, razumijemo da je korisno za nas ovdje stupanj temelja: log a P \u003d P, gdje je\u003e 0, a ≠ 1 i P je bilo koji važeći broj. S obzirom na to, imamo sljedeće rezultate: a) log 3 3 11 \u003d 11, b) 
, u) 
, Je li moguće snimiti sličnu jednakost za primjer pod slovom d) vrste log -10 (-10) 6 \u003d 6? Ne, to je nemoguće, budući da ekspresijski dnevnik -10 (-10) 6 nema smisla.
Odgovor:
a) log 3 3 11 \u003d 11, b) , u) , d) izraz ne ima smisla.
Primjer.
Zamislite izraz u obliku iznosa ili razlika logaritma na istoj osnovi: a) 
, b), c) LG ((- 5) · (-12)).
Odluka.
a) pod znakom logaritam je rad, a znamo imovinu logaritam rada log A (x · y) \u003d dnevnik AY + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. U našem slučaju, broj na dnu logaritma i broj u radu je pozitivan, odnosno zadovoljiti uvjete odabrane imovine, tako da ga možemo mirno primijeniti: 
.
b) Ovdje koristimo svojstvo logaritam privatnog, gdje je\u003e 0, a № 1, X\u003e 0, y\u003e 0. U našem slučaju, baza logaritam je pozitivan broj E, brojčanik i nazivnik π pozitivni su, što znači da su uvjeti imovine zadovoljavajući, tako da imamo pravo koristiti odabranu formulu: 
.
c) Prvo, napominjemo da izraz LG ((- 5) · (-12) ima smisla. Ali u isto vrijeme, za njega, nemamo pravo na primjenu logaritam formule rada dnevnika A (X · y) \u003d dnevnik AY + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, X\u003e 0, Y\u003e 0, budući da brojevi-5 i -12 - negativni i ne zadovoljavaju uvjete x\u003e 0, y\u003e 0. To jest, nemoguće je provesti takvu konverziju: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + lg (-12), I što učiniti? U takvim slučajevima, početni izraz treba preliminarnu transformaciju koja vam omogućuje da se udaljite od negativnih brojeva. Razgovarat ćemo o takvim slučajevima transformacije izraza s negativnim brojevima pod znakom logaritam u jednom od sljedećih primjera, što je razumljivo i bez objašnjenja: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.
Odgovor:
ali) b , c) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.
Primjer.
Pojednostavite izraz: a) Log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5, b).
Odluka.
Ovdje ćemo pomoći svim istim svojstvima logaritam rada i logaritam privatnog, koji smo koristili u prethodnim primjerima, samo ćemo ih primijeniti na desno na lijevo. To jest, količina logaritama se pretvara u logaritam rada, a razlika između logaritama - u logaritmu privatnog. Imati
ali) log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5 \u003d Log 3 (0.25 · 16 · 0.5) \u003d Log 3 2.
b 
.
Odgovor:
ali) log 3 0.25 + Log 3 16 + Log 3 0.5 \u003d Log 3 2b 
.
Primjer.
Riješite se u mjeri pod znakom logaritma: a) Log 0,7 5 11, b) 
, c) log 3 (-5) 6.
Odluka.
Lako je vidjeti da se bavimo izrazima dnevnika A b str. Odgovarajuća imovina logaritma ima vrstu dnevnika A b p \u003d p · log a b, gdje je\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, p je bilo koji važeći broj. To jest, pri obavljanju uvjeta A\u003e 0, 1, b\u003e 0 od logaritam stupnja dnevnika A b p, možemo se preseliti na proizvod p · Log A B. Provodit ćemo ovu konverziju s određenim izrazima.
a) U ovom slučaju, a \u003d 0,7, b \u003d 5 i p \u003d 11. Tako log 0.7 5 11 \u003d 11 · Log 0.7 5.
b) Ovdje se provodi uvjeti a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0. stoga 
c) ekspresijski dnevnik 3 (-5) 6 ima istu strukturu dnevnik A B P, A \u003d 3, B \u003d -5, p \u003d 6. Ali za B, uvjet B\u003e 0 nije zadovoljan, zbog čega nemoguće koristiti dnevnik A b p \u003d p · log B. Dakle, nemoguće je nositi se s zadatkom? Moguće je, ali je potreban prije pretvarajući izraz, o čemu ćemo detaljno razgovarati u nastavku u mjestu naslova. Odluka će biti: log 3 (-5) 6 \u003d log 3 5 6 \u003d 6 · log 3 5.
Odgovor:
a) Log 0.7 5 11 \u003d 11 · Log 0.7 5,
b
c) Log 3 (-5) 6 \u003d 6 · Log 3 5.
Vrlo često, logaritam formula stupnja tijekom transformacije je potrebno da se primijeni desno na lijevo kao p · log a b \u003d log A b p (to zahtijeva performanse istih uvjeta za A, B i P). Na primjer, 3 · l5 \u003d ln5 3 i lg2 · log 2 3 \u003d log 2 3 LG2.
Primjer.
a) Izračunajte vrijednost dnevnika 2 5, ako je poznato da LG2≈0,3010 i LG5≈0,6990. b) predstaviti frakciju u obliku logaritam na temelju 3.
Odluka.
a) formula za prijelaz na novu bazu logaritam omogućuje ovaj logaritam da predstavlja u obliku omjera decimalnih logarita, čije su nam vrijednosti poznate :. Ostaje samo za izvršavanje izračuna, imamo 
.
b) Ovdje je dovoljno iskoristiti prijelaz na novu bazu i primijeniti ga na desno lijevo, odnosno u obliku 
, Primati 
.
Odgovor:
a) dnevnik 2 5≈2.3223, b) .
U ovoj fazi dovoljno savjetoulozno smatramo konverzijom najjednostavnijih izraza koristeći glavna svojstva logaritma i definiciju logaritma. U tim primjerima morali smo primijeniti neku vrstu imovine i ništa više. Sada s mirnom savješću, možete se preseliti na primjere, čiji se transformacija zahtijeva korištenje nekoliko svojstava logarita i drugih dodatnih transformacija. Ući ćemo u sljedećeg paragrafa. Ali prije toga, ukratko, ukratko ćemo se usredotočiti na primjere posljedica glavnih svojstava logaritama.
Primjer.
a) riješite se korijena pod znakom logaritam. b) pretvoriti frakciju u logaritam na bazi 5. c) često od stupnjeva ispod logaritam znaka iu njegovom temeljima. d) izračunati vrijednost izraza 
, e) Zamijenite ekspresiju stupnja s bazom 3.
Odluka.
a) Ako se sjećate posljedice imovine logaritam 
Odmah možete odgovoriti: 
.
b) koristimo formulu 
pravo na lijevo imamo 
.
c) U ovom slučaju rezultat dovodi do formule , Primati 
.
d) i ovdje je dovoljno primijeniti posljedicu da je formula odgovorna 
, Tako 
.
e) Logaritam imovine Omogućuje nam da postignemo željeni rezultat: 
.
Odgovor:
ali) , b , u) 
, d) 
, e) .
Sekvencijalna upotreba nekoliko svojstava
Real zadaci za transformaciju izraza pomoću svojstava logaritama obično su kompliciraniji od strane onih koje su uključeni u prethodnom stavku. U njima, u pravilu, rezultat nije jedan korak, a otopina je već u dosljednoj primjeni jedne nekretnine za drugom, zajedno s dodatnim transformacijama identiteta, kao što je otkrivanje nosača, donoseći slične uvjete, smanjenje frakcija, itd , Tako ćemo se približiti takvim primjerima. U tome nema ništa teško, glavna stvar je djelovati uredno i dosljedno, promatrajući postupak za obavljanje radnji.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza (Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.
Odluka.
Razlika logaritama u zagradama za imovinu logaritam privatnog može se zamijeniti logaritMum log 3 (15: 5), i dodatno izračunati svoj dnevnik vrijednosti 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. A vrijednost izraza 7 log 7 5 po definiciji logaritam je jednak 5. Zamijenite ove rezultate u izvornom izrazu, dobivamo (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1 · 5 \u003d 5.
Dajte nam rješenje bez objašnjenja:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1 \u003d 5 \u003d 5.
Odgovor:
(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.
Primjer.
Koja je vrijednost brojčana ekspresija dnevnika 3 log 2 2 3 -1?
Odluka.
Prvo transformiramo logaritam, koji se nalazi ispod znaka logaritam, prema logaritMum formule: log 2 2 3 \u003d 3. Dakle, log 3 log 2 2 3 \u003d log 3 3 i daljnji dnevnik 3 3 \u003d 1. Tako log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.
Odgovor:
log 3 Log 2 2 3 -1 \u003d 0.
Primjer.
Pojednostaviti izraz.
Odluka.
Prijelaznu formulu u novu bazu logaritam omogućuje odnos logaritama na jednu bazu koja će biti predstavljena kao log 3 5. U tom slučaju, početni izraz će se oblikovati. Po definiciji logaritma 3 log 3 5 \u003d 5, to jest 
, A vrijednost dobivene ekspresije, zbog iste definicije logaritma, dva je.
Ovdje je kratka verzija rješenja koja se obično daje: 
.
Odgovor:
.
Za glatko prijelaz na sljedeće stavke stavke, pogledajmo izraze 5 2 + log 5 3 i LG0.01. Njihova struktura nije prikladna za bilo koju svojstva logaritama. Pa što se događa, ne mogu se pretvoriti koristeći svojstva logaritma? Moguće je ako možete provesti preliminarne transformacije koje pripremaju te izraze primjeni svojstava logaritama. Tako 5 2 + Log 5 3 \u003d 5 2 · 5 Log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, 
i lg0.01 \u003d lg10 -2 \u003d -2. Onda ćemo detaljno razumjeti kako se takva obuka izraza provodi.
Priprema izraza na primjenu svojstava logaritama
Logaritmi u sastavu transformiranog izraza vrlo se često razlikuju od lijevog i desnog dijela formula koji odgovaraju svojstvima logaritama. Ali ne manje često transformacija ovih izraza podrazumijeva uporabu svojstava logaritama: da bi ih koristili samo preliminarna priprema. I ova priprema je u obavljanju određenih identičnih transformacija vodećih logaritma u obliku, prikladan za primjenu svojstava.
Za pravednost primjećujemo da gotovo svaka transformacija izraza može djelovati kao preliminarne transformacije, od banalnog aktuatora takvih uvjeta korištenju trigonometrijskih formula. To je razumljivo, budući da transformirani izrazi mogu sadržavati bilo koji matematički objekti: nosači, moduli, frakcije, korijenje, stupnjevi itd. Dakle, morate biti spremni za obavljanje potrebne konverzije kako biste dodatno mogli koristiti svojstva logaritama.
Odmah, recimo da u ovom trenutku ne postavljamo zadatak da klasificiramo i rastavljamo sve zamislive preliminarne transformacije, što dodatno primjenjuje svojstva logaritma ili definiciju logaritam. Ovdje ćemo živjeti samo na četiri, koji su najkarakterističniji i najčešće se nalaze u praksi.
A sada detaljno o svakom od njih, nakon čega, kao dio naše teme, ostat će samo da se bave transformacijom izraza s varijablama pod znakovima logaritma.
Odabir stupnjeva pod znakom logaritma i u njegovom temeljima
Počnimo odmah iz primjera. Budimo logaritam. Očito, u ovom obliku, njegova struktura ne mora koristiti svojstva logaritama. Je li moguće nekako pretvoriti ovaj izraz kako bi je pojednostavio, pa čak i bolje izračunati njegovu vrijednost? Da biste odgovorili na ovo pitanje, pažljivo pogledajmo u brojkama 81 i 1/9 u kontekstu našeg primjera. Ovdje je lako notiti da ovi brojevi omogućuju prikaz stupnja broja 3, doista, 81 \u003d 3 i 1/9 \u003d 3 -2. U tom slučaju, početni logaritam prikazan je u obliku i mogućnost primjene formule , Tako, 
.
Analiza rastavljenog primjera stvara sljedeću misao: ako je moguće, možete pokušati istaknuti stupanj pod znakom logaritam iu njegovom temeljima da primijenimo svojstvo logaritma ili njegove posljedice. Ostaje samo da biste saznali kako dodijeliti ove stupnjeve. Dajmo neke preporuke o ovom pitanju.
Ponekad je prilično očito da je broj pod znakom logaritam i / ili u njegovoj temeljima neki od cijelog stupnja kao u gornjem primjeru. Praktično se stalno moram nositi s detektiranjem Twos, koji su bili dobro osmišljeni: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 2 3, 16 \u003d 2 4, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 29, 1024 \u003d 2 10. To se može reći o stupnju trostruke: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... općenito, ne boli ako će biti prije naših očiju stol stupnjeva prirodnih brojeva unutar desetak. Također nije teško raditi s cijelim stupnjevima od deset, stotina tisuća, itd.
Primjer.
Izračunajte vrijednost ili pojednostavili izraz: a) dnevnik 6 216, b), c) log 0.000001 0.001.
Odluka.
a) Očito je da 216 \u003d 6 3, stoga se bilježi 6 216 \u003d dnevnik 6 6 3 \u003d 3.
b) Tablica stupnjeva prirodnih brojeva omogućuje vam da prezentirate brojeve 343 i 1/243 u obliku stupnjeva 7 3 i 3 -4, respektivno. Stoga je moguće slijediti sljedeću transformaciju danog logaritma: 
c) kao 0,000001 \u003d 10-6 i 0,001 \u003d 10-3, zatim log 0.000001 0.001 \u003d Log 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.
Odgovor:
a) dnevnik 6 216 \u003d 3, b) 
, c) Log 0.000001 0.001 \u003d 1/2.
U složenijim slučajevima, kako bi se istaknuo stupnjevi brojeva.
Primjer.
Pretvorite izraz na jednostavniju vrstu dnevnika 3 648 · Log 2 3.
Odluka.
Da vidimo što je razgradnja broja od 648 po jednostavnim čimbenicima:
To jest, 648 \u003d 2 3,34. Na ovaj način, log 3 648 · log 2 3 \u003d log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3.
Sada se logaritam radova pretvara u količinu logaritama, nakon čega se primjenjuju svojstva logaritam stupnja:
log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3 \u003d (log 3 2 3 + log 3 3 4) · log 2 3 \u003d
\u003d (3 · log 3 2 + 4) · log 2 3.
Zbog istrage od vlasništva logaritam na koji je odgovorna formula Proizvod LOG32 · LOG23 je rad i poznato je da je jedan. S obzirom na to, dobivamo 3 · Log 3 2 · Zapis 2 3 + 4 · Zapis 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · Zapis 2 3 \u003d 3 + 4 · Zapis 2 3.
Odgovor:
log 3 648 · log 2 3 \u003d 3 + 4 · log 2 3.
Često, izrazi pod logaritmom znakom iu njegovom temeljima su radovi ili omjeri korijena i / ili stupnjeva nekih brojeva, na primjer. Takvi izrazi mogu biti predstavljeni kao stupanj. Za to je prijelaz s korijena do stupnjeva i primijenjen. Ove konverzije omogućuju vam da istaknute stupnjeve pod logaritam znakom iu njegovoj bazi, nakon čega primijenite svojstva logaritama.
Primjer.
Izračunati: a) 
, b).
Odluka.
a) izraz u podnožju logaritam je proizvod stupnjeva s istim bazama, prema odgovarajućem svojstvu stupnjeva, imamo 5 2 · 5 -0,5 · 5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.
Sada pretvaramo frakciju pod znakom logaritma: okrećemo se od korijena do stupnja, nakon čega ćemo koristiti imovinu stupnjeva s istim osnovama: 
.
Ostaje zamijeniti rezultate dobivene u početni izraz, upotrijebite formulu i završiti transformacije: 
b) od 729 \u003d 36, 1/9 \u003d 3 -2, tada se početni izraz može prepisati u obliku.
Zatim primijenite svojstvo korijena od stupnja, provodimo prijelaz iz korijena do stupnja i koristimo omjer stupnja da biste pretvorili logaritam u stupanj: 
.
S obzirom na posljednji rezultat, imamo 
.
Odgovor:
ali) 
, b).
Jasno je da općenito, za dobivanje stupnjeva pod znakom logaritam i, u njegovom temeljima, mogu biti potrebne različite transformacije različitih izraza. Dajemo nekoliko primjera.
Primjer.
Koja je vrijednost izraza: a) 
b 
.
Odluka.
Stoga napominjemo da navedeni izraz ima oblik dnevnika B p, gdje je A \u003d 2, b \u003d X + 1 i p \u003d 4. Brojčani izrazi takve vrste koje smo pretvarali vlasništvo logaritam od utrdeset log abp \u003d p · log ab, dakle, s određenim izrazom, želim učiniti isto kao i iz dnevnika 2 (x + 1) 4 Idite na 4 · Log 2 (x + 1). I sada ćemo izračunati vrijednost početnog izraza i izraza dobivenog nakon transformacije, na primjer, s X \u003d -2. Imaju dnevnik 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, i 4 · Zapis 2 (-2 + 1) \u003d 4 · Zapis 2 (-1) - ne znači izraz. To uzrokuje prirodno pitanje: "Što smo učinili krivo"?
A razlog je sljedeći: izveli smo log transformacije 2 (X + 1) 4 \u003d 4 · log 2 (x + 1), na temelju formule Log ABP \u003d P · Log AB, ali imamo pravo na to primijeniti ovo Formula samo kada stanje A\u003e 0, A ≠ 1, b\u003e 0, P - bilo koji važeći broj. To jest, konverzija koju obavljamo odvija se ako je X + 1\u003e 0, koji je isti X\u003e -1 (za A i P - uvjeti su napravljeni). Međutim, u našem slučaju, OTZ varijabla X za početni izraz sastoji se ne samo iz intervala X\u003e -1, već i iz razdoblja X<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Trebate uzeti u obzir ...
Nastavit ćemo rastavljati transformaciju dnevnika 2 (X + 1) 4 odabranih izraza od strane nas, a sada ćemo vidjeti što se događa s OTZ-om kada se premještate na izražavanje 4 · log 2 (x + 1). U prethodnom stavku, pronašli smo čak i izvorni izraz - to je skup (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Sada nalazimo područje dopuštenih vrijednosti varijable x za izražavanje 4 · log 2 (x + 1). Ona se određuje uvjetom X + 1\u003e 0, što odgovara setu (-1, + ∞). Očito, kada se premještate iz dnevnika 2 (X + 1) 4 do 4 · Zapis 2 (X + 1) pojavljuje se područje važećih vrijednosti. I složili smo se izbjegavati transformacije koje su dovele do sužavanja OTZ-a, jer to može dovesti do različitih negativnih posljedica.
Važno je ovdje zamisliti da je korisno kontrolirati OTZ na svakom koraku transformacije i spriječiti njegovo sužavanje. A ako je iznenada, u nekom fazi transformacije, postojala je sužavanje OST, onda je vrijedno pogledati vrlo pažljivo, i je li ta preobrazba dopuštena i imamo li pravo na to.
Na primjer, recimo da je u praksi, obično je potrebno raditi s izrazima, čije su OTZ varijable takve da, pri obavljanju transformacija, koristite svojstva logaritama bez ograničenja u obliku koji su nam već poznati, i oboje s lijeva desno i desno na lijevo. Brzo se naviknete na to, i početi provoditi transformacije mehanički, bez razmišljanja, i da li ih je bilo moguće provesti. I u takvim trenucima, kao ispražnjeni, papuče složeniji primjeri u kojima neaktivno korištenje svojstava logaritama dovodi do pogrešaka. Dakle, morate uvijek biti na čeku i slijedite da ne postoji sužavanje OTZ-a.
Ne boli odvojeno odabirom glavne transformacije temeljene na svojstvima logaritama koje trebaju provoditi vrlo pažljivo, što može dovesti do sužavanja OTZ-a, a kao rezultat - do pogrešaka:
Neke transformacije izraza prema svojstvima logaritama mogu dovesti do inverzne ekspanzije OTZ-a. Na primjer, prijelaz iz 4 · log 2 (X + 1) za prijavu 2 (X + 1) 4 se širi neparne iz seta (-1, + ∞) do (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Takve transformacije se javljaju ako ostaju unutar ODZD-a za početni izraz. Tako da je jedina spomenuta konverzija 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 odvija se na OTZ varijabli x za izvorni izraz 4 · log 2 (x + 1), to jest, s x + 1\u003e 0, što je isti (-1, + ∞).
Sada kad smo razgovarali o nijansama za koje trebate obratiti pozornost pri pretvaranju izraza s varijablama koristeći svojstva logaritama, ostaje da se shvati kako se ta preobrazba treba provoditi.
X + 2\u003e 0. Radi li u našem slučaju? Da biste odgovorili na ovo pitanje, pogledajte OTZ varijablu x. Određuje se sustavom nejednakosti 
što je ekvivalentno stanju X + 2\u003e 0 (ako je potrebno, pogledajte članak rješavanje sustava nejednakosti). Dakle, možemo mirno primijeniti imovinu logaritam.
Imati
3 · LG (X + 2) 7-lg (X + 2) -5 · lg (X + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · lg (X + 2) -l (X + 2) -5 · 4 · lg (X + 2) \u003d
\u003d 21 · lg (X + 2) -Lg (X + 2) -20 · lg (X + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · lg (X + 2) \u003d 0.
Možete djelovati i na drugi način, korist od OTZ-a dopušta, na primjer: 
Odgovor:
3 · LG (X + 2) 7-lg (X + 2) -5 · lg (X + 2) 4 \u003d 0.
A što učiniti kada nisu zadovoljni uvjeti za prateća svojstva logaritama? Mi ćemo se baviti ovim na primjerima.
Pretpostavimo od nas da pojednostavimo ekspresiju LG (X + 2) 4-lg (X + 2) 2. Transformacija ovog izraza, za razliku od izraza iz prethodnog primjera, ne dopušta zapisnik diplome logaritam. Zašto? OTZ varijabljivo x u ovom slučaju je kombinacija dvaju praznina X\u003e -2 i x<−2 . При x>-2 Možemo mirno primijeniti imovinu logaritam i djelovati kao rastavljeni gore: lG (X + 2) 4-lg (X + 2) 2 \u003d 4 · lg (X + 2) -2 · lg (X + 2) \u003d 2 · lg (X + 2), Ali OTZ sadrži još jedno razdoblje x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | X + 2 |) 4-lg (- | X + 2 |) 2 I dalje silom stupnjeva svojstava na LG | x + 2 | 4-lg | x + 2 | 2. Dobiveni izraz može se pretvoriti u imovinu logaritam, jer | X + 2 | 0 za bilo koje vrijednosti varijable. Imati lG | X + 2 | 4-lg | x + 2 | 2 \u003d 4 · LG | X + 2 | -2 · LG | X + 2 | \u003d 2 · LG | X + 2 |, Sada se možete osloboditi modula, kao i on svoj posao. Budući da provodimo konverziju na X + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Razmotrite još jedan primjer tako da je rad s modulima postao poznat. Neka smo zamislili iz izraza 
Idite na zbroj i razliku između logaritma linearne odbojnice X-1, X-2 i X-3. Prvo nalazimo ... 
U intervalu (3, + ∞) vrijednosti izraza X-1, X-2 i X-3 su pozitivne, tako da mirno primjenjujemo svojstva logaritma iznosi i razlika: 
I na intervalu (1, 2), vrijednosti ekspresije X-1 su pozitivne, a vrijednosti izraza X-2 i X-3 su negativne. Stoga, u razmatranju u razmatranju predstavljamo X-2 i X-3 pomoću modula kao - | X-2 | i - | x-3 | odnosno. U čemu 
Sada možete primijeniti svojstva logaritam rada i privatnog, jer je u intervalu (1, 2) vrijednosti izraza X-1, | X-2 | i | x-3 | - Pozitivno.
Imati 
Rezultati se mogu kombinirati:
Općenito, slični argumenti omogućuju formule logaritam na temelju logaritam, odnosa i stupnjeva kako bi se dobilo tri praktički korisne rezultate, koji su prilično prikladni za uporabu:
- Logaritam funkcionira dva proizvoljna izraza X i Y vrste dnevnika A (x · y) može se zamijeniti s kitom logaritms log A | X | + log a | y | , A\u003e 0, a ≠ 1.
- Logarithm Privatni dnevnik A (x: y) može se zamijeniti s razlikom između logaritma dnevnika a | x | -og a | y | , A\u003e 0, 1, X i Y - proizvoljni izrazi.
- Od logaritam nekog izraza B u ravnomjernoj studiji p od log a b p obrazac možete otići na izraz p · log a | b | , gdje je\u003e 0, a № 1, p je čak i broj i b - proizvoljan izraz.
Slični rezultati su dani, na primjer, u uputama za rješavanje indikativnih i logaritamskih jednadžbi u prikupljanju problema u matematici za prijavitelje na sveučilišta u skladu s urednicima M. I. Scanavi.
Primjer.
Pojednostaviti izraz 
.
Odluka.
Bilo bi dobro primijeniti svojstva logaritam, iznose i razlike. Ali možemo li to učiniti ovdje? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo znati Otz.
Definiramo ga: 
Prilično je očito da su izrazi X + 4, X-2 i (X + 4) 13 na vrijednostima dopuštenih vrijednosti varijable X mogu uzeti i pozitivne i negativne vrijednosti. Stoga ćemo morati djelovati kroz module. 
Svojstva modula omogućuju vam da prepišete kao, dakle 
Također ništa ne sprječava vlasništvo logaritamskog stupnja, a zatim donijeti slične pojmove: 
Drugi slijed transformacija dovodi do istog rezultata: 
A budući da izraz X-2 može pohađati i pozitivne i negativne vrijednosti, onda prilikom podnošenja ravnomjerne stope od 14
Zadatke čije rješenje leži transformacija logaritamskih izraza, često se sastaju na ispitu.
Uspješno se nositi s njima u minimalnom vremenu, osim glavnih logaritamskih identiteta, morate znati i ispravno koristiti neke formule.
Ovo je: log a b \u003d b, gdje a, b\u003e 0 i ≠ 1 (slijedi izravno iz definicije logaritma).
zapišite b \u003d log s b / log s ili log b \u003d 1 / log b a
gdje a, b, c\u003e 0; A, c ≠ 1.
log A M B N \u003d (m / n) Log | A | | b |
gdje a, b\u003e 0, a ≠ 1, m, n є r, n ≠ 0.
i prijavite se s b \u003d b log s a
gdje a, b, c\u003e 0 i a, b, s ≠ 1
Pokazati pravednost četvrte jednakosti, prologirajte lijevu i desnu stranu A. Dobivamo dnevnik A (i prijavite se s b) \u003d log (b log s a) ili se prijavite s b \u003d log s · log b; Prijavite se s b \u003d prijavite se pomoću · (log s b / log s a); Prijavite se s b \u003d log s b.
Dokazali smo jednakost logaritma, što znači jednako izrazima pod logaritmima. Dokazana je formula 4.
Primjer 1.
Izračunati 81 log 27 5 log 5 4.
Odluka.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 \u003d 1/3 log 3 5, log 5 4 \u003d log 3 4 / log 3 5. Prema tome,
log 27 5 · Log 5 4 \u003d 1/3 Log 3 5 · (Log 3 4 / Log 3 5) \u003d 1/3 log 3 4.
Zatim 81 log 27 5 log 5 4 \u003d (3 4) 1/3 log 3 4 \u003d (3 log 3 4) 4/3 \u003d (4) 4/3 \u003d 4 3 .4.
Možete samostalno izvršiti sljedeći zadatak.
Izračunajte (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.
Kao vrh 0.2 \u003d 1/5 \u003d 5 -1; Log 0.2 5 \u003d -1.
Odgovor: 5.
Primjer 2.
Izračunati (√11) dnevnik. √3 9- LOG 121 81.
Odluka.
Izvršite zamjenu izraza: 9 \u003d 3 2, √3 \u003d 3 1/2, log √3 9 \u003d 4,
121 \u003d 11 2, 81 \u003d 3 4, log 121 81 \u003d 2 log 11 3 (upotrijebljen je formula 3).
Zatim (√11) log √3 9- log 121 81 \u003d (11 1/2) 4-2 log 11 3 \u003d (11) 2- log 11 3 \u003d 11 2 / (11) log 11 3 \u003d 11 2 / ( 11 Log 11 3) \u003d 121/3.
Primjer 3.
Izračunajte dnevnik 2 24 / log 96 2- log 2 192 / log 12 2.
Odluka.
Logaritmi sadržani u primjeru, zamijenite logaritme s bazom 2.
log 96 2 \u003d 1 / log 2 96 \u003d 1 / log 2 (2 5 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 5 + log 2 3) \u003d 1 / (5 + log 2 3);
log 2 192 \u003d log 2 (2 6 · 3) \u003d (log 2 2 6 6 + log 2 3) \u003d (6 + log 2 3);
log 2 24 \u003d log 2 (2 3 · 3) \u003d (log 2 2 3 + log 2 3) \u003d (3 + log 2 3);
log 12 2 \u003d 1 / log 2 12 \u003d 1 / log 2 (2 2 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 2 + log 2 3) \u003d 1 / (2 + log 2 3).
Zatim log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2 \u003d (3 + log 2 3) / (1 / (5 + log 2 3) - ((6 + log 2 3) / (1 / ( 2 + log 2 3) \u003d
\u003d (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Nakon otkrivanja nosača i donoseći slične uvjete, dobivamo broj 3. (s pojednostavljenjem izraza, dnevnik 2 3 može odrediti preko N i pojednostaviti izraz
(3 + N) · (5 + N) - (6 + N) (2 + N)).
Odgovor: 3.
Možete samostalno izvršiti sljedeći zadatak:
Izračunati (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3.
Ovdje je potrebno napraviti prijelaz na logaritme na temelju 3 i razgradnje o jednostavnim multiplikatorima velikih brojeva.
Odgovor: 1/2.
Primjer 4.
Tri broja A \u003d 1 / (log 3 0,5), b \u003d 1 / (log 0,5 3), c \u003d log 0.5 12 - Log 0.5 3. Stavite ih u uzlazno redoslijed.
Odluka.
Mi transformiramo brojeve A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0.5 3 \u003d Log 0.5 12/3 \u003d Log 0.5 4 \u003d -2.
Usporedite ih
log 0.5 3\u003e Log 0.5 4 \u003d -2 i log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ili 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Odgovor. Prema tome, postupak postavljanja brojeva: c; ALI; U.
Primjer 5.
Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu (log 3 1/16; log 2 6 48).
Odluka.
Definiramo između stupnjeva broja 3 broj 1/16. Dobivamo 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Budući da se funkcija y \u003d log 3 x raste, onda se log 3 (1/2 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
lOG 6 48 \u003d LOG 6 (36 · 4/3) \u003d LOG 6 36 + LOG 6 (4/3) \u003d 2 + LOG 6 (4/3). Usporedite dnevnik 6 (4/3) i 1/5. A za to, usporedite brojeve 4/3 i 6 1/5. U 5 stupnjeva. Dobivamo (4/3) 5 \u003d 1024/243 \u003d 4 52/243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Prema tome, interval (log 3 1/16; log 6 48) uključuje interval [-2; 4] i cijeli brojevi se stavljaju na njega; -jedan; 0; jedan; 2; 3; četiri.
Odgovor: 7 cijelih brojeva.
Primjer 6.
Izračunajte 3 LGLG 2 / lg 3 - LG20.
Odluka.
3 LG LG 2 / lg 3 \u003d (3 1 / LG3) LG LG 2 \u003d (3 LO G3 10) LG LG 2 \u003d 10 LG LG 2 \u003d LG2.
Zatim 3 LGLG2 / LG3-LG 20 \u003d lg 2 - lg 20 \u003d lg 0.1 \u003d -1.
Odgovor: -1.
Primjer 7.
Poznato je da je log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6-2) \u003d A. Pronađite dnevnik 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).
Odluka.
Brojevi (√3 + 1) i (√3-1); (86-2) i (8 + 2) - konjugat.
Provest ćemo sljedeću transformaciju izraza
The33 - 1 \u003d (8-1) · (83 + 1)) / (83 + 1) \u003d 2 / (3 + 1);
TheR6 + 2 \u003d (√6 + 2) · (8-2)) / (8-2) \u003d 2 / (8-2).
Zatim se prijavite 2 (√3 - 1) + dnevnik 2 (√6 + 2) \u003d log 2 (2 / (√3 + 1)) + log 2 (2 / (((√6-2)) \u003d
Log 2 2 - log 2 (√3 + 1) + log 2 2 - log 2 (√6 - 2) \u003d 1 - log 2 (√3 + 1) + 1 - log 2 (√6 - 2) \u003d
2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6-2) \u003d 2 - A.
Odgovor: 2 - A.
Primjer 8..
Pojednostavite i pronađite približnu vrijednost izraza (LOG 3 2 · LOG 4 3 · LOG 5 4 · LOG 6 5 · ... · LOG 10 9.
Odluka.
Svi logaritms dajemo ukupnoj bazi 10.
(log 3 2 · dnevnik 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · ... · log 10 9 \u003d (LG 2 / lg 3) · (LG 3 / lg 4) · (LG 4 / lg 5) · ( LG 5 / LG 6) · ... · (LG 8 / lg 9) · lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010. (Približna vrijednost LG 2 može se naći pomoću tablice, logaritamske linije ili kalkulatora).
Odgovor: 0,3010.
Primjer 9..
Izračunajte dnevnik A 2 b 3 √ (11 b-3) ako je log √ a b3 \u003d 1. (u ovom primjeru i 2 b3 je baza logaritam).
Odluka.
Ako je log √ a b3 \u003d 1, zatim 3 / (0,5 log a b \u003d 1. i zapisuju b \u003d 1/6.
Zatim se logirajte 2 b 3√ (a 11 b-3) \u003d 1/2 log A 2 b3 (a 11 b-3) \u003d log a (11 b-3) / (2log A (2 b 3) ) \u003d (log aa 11 + log ab -3) / (2 (log aa 2 + log ab 3)) \u003d (11 - 3log ab) / (2 (2 + 3log ab)) S obzirom na to da je log b \u003d Dobiveno je 1/6 (11 - 3 · 1/6) / (2 (2 + 3 · 1/6)) \u003d 10.5 / 5 \u003d 2.1.
Odgovor: 2.1.
Možete samostalno izvršiti sljedeći zadatak:
Izračunajte dnevnik √3 6. 2.1 ako je log 0,7 27 \u003d a.
Odgovor: (3 + a) / (3a).
Primjer 10.
Izračunajte 6.5 4 / Log 3 169 · 3 1 / Log 4 13 + Log125.
Odluka.
6.5 4 / Log 3 169 · 3 1 / Log 4 13 + LOG 125 \u003d (13/2) 4/2 Log 3 13 · 3 2 / Log 2 13 + 2log 5 5 3 \u003d (13/2) 2 Log 13 3 · 3 2 log 13 2 + 6 \u003d (13 log 13 3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 \u003d (3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 \u003d (3 2 / (2 log 13 3) 2) · (2 \u200b\u200blog 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 \u003d 3 log 13 2 (formula 4))
Dobivamo 9 + 6 \u003d 15.
Odgovor: 15.
Imate pitanja? Ne znate kako pronaći vrijednost logaritamskog izraza?
Da biste dobili pomoć - Registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!
potrebna je stranica, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala na izvornom izvoru.
Logaritamski izrazi, rješavanje primjera. U ovom članku, mi ćemo razmotriti zadatke povezane s rješenjem logaritma. Zadaci postavljaju pitanje pronalaženja vrijednosti izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritam koristi u mnogim zadacima i razumije njegovo značenje je izuzetno važno. Što se tiče upotrebe, logaritam se koristi u rješavanju jednadžbi, u primijenjenim zadacima, također u zadacima povezanim s proučavanjem funkcija.
Dajemo primjere razumijevanja osjećaja logaritam:
Osnovni logaritamski identitet:
Svojstva logaritma koji se uvijek moraju pamtiti:
* Logaritam rada je jednak zbroju logaritma čimbenika.
* * *
* Privatni logaritam (frakcija) jednaka je razlici u logaritetima čimbenika.
* * *
* Logaritam je jednak proizvodu stupnja logaritam njegove baze.
* * *
* Prijelaz na novu bazu
* * *
Više nekretnina:
* * *
Izračun logaritama usko je povezan s korištenjem svojstava pokazatelja stupnjeva.
Navedite neke od njih:
Suština ovog nekretnina je da prilikom prijenosa brojača na imenovanje, i naprotiv, znakova pokazatelja se mijenja u suprotnoj strani. Na primjer:
Posljedica toga nekretnina:
* * *
Prilikom podizanja stupnja do određenog stupnja, temelj ostaje isti, a pokazatelji su varijabilni.
* * *
Kako ste vidjeli vrlo koncept logaritam jednostavno. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa koja daje određenu vještinu. Naravno, poznavanje formula mora. Ako se ne formira vještina u konverziji osnovnih logaritama, prilikom rješavanja jednostavnih zadataka možete jednostavno dopustiti pogrešku.
Vježbajte, prvo odlučite najjednostavniji primjeri iz matematike, a zatim idite na složeniji. U budućnosti ću definitivno pokazati kako se riješe "strašni" logaritmi, neće biti takvih na ispitu, ali oni su od interesa, ne propustite!
To je sve! Uspjeh vama!
Iskreno, Alexander Krutitsky
P.S: Bit ću vam zahvalan ako kažete o web-lokaciji na društvenim mrežama.
Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se presaviti, oduzeti i pretvoriti. Ali budući da logaritmi nisu prilično obični brojevi, postoje vlastita pravila koja se zove osnovna svojstva.
Ova pravila moraju nužno znati - bez njih se ne može riješiti ozbiljan logaritamski zadatak. Osim toga, oni su prilično malo - sve se može naučiti u jednom danu. Dakle, nastavite.
Dodatak i oduzimanje logaritama
Razmotrite dva logaritam s istim bazama: dnevnik a. x. i zapišite. a. y., Onda se mogu presaviti i oduzeti i:
- dnevnik. a. x. + Dnevnik. a. y. \u003d Dnevnik. a. (x. · y.);
- dnevnik. a. x. - Dnevnik. a. y. \u003d Dnevnik. a. (x. : y.).
Dakle, količina logaritama jednaka je logaritamu rada, a razlika je logaritam privatnog. Napomena: Ključna točka ovdje je iste temelje, Ako su temelji različiti, ta pravila ne rade!
Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne razmatraju pojedini dijelovi (vidi lekciju "što je logaritam"). Pogledajte primjere - i pobrinite se:
LOG 6 4 + LOG 6 9.
Budući da su baze u logaritetima iste, koristimo zbroj zbroja:
lOG 6 4 + LOG 6 9 \u003d LOG 6 (4 · 9) \u003d LOG 6 36 \u003d 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 - log 2 3.
Temelji su isti, koristeći formulu razlike:
lOG 2 48 - LOG 2 3 \u003d LOG 2 (48: 3) \u003d Log 2 16 \u003d 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 - log 3 5.
Opet su temelji isti, pa imamo:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.
Kao što možete vidjeti, početni izrazi čine "loši" logaritmi, koji se ne razmatraju odvojeno. Ali nakon transformacije dobivaju se prilično normalni brojevi. U toj činjenici, izgrađeni su mnogi testni radovi. Ali ono što je kontrola - takvi izrazi su u cijelosti (ponekad - gotovo nepromijenjeni) se nude na ispitu.
Izvršni stupanj iz logaritam
Sada malo komplicira zadatak. Što ako u bazi ili argumentu logaritam košta stupanj? Tada se pokazatelj ove mjere može izvesti iz logaritam znaka u skladu sa sljedećim pravilima:
Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje je zapamtiti, u nekim slučajevima značajno će smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ta pravila imaju smisla ako su usklađenost s OTZ logaritmom: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Također: naučiti primijeniti sve formule ne samo s lijeva na desno, već naprotiv, tj. Možete napraviti brojeve okrenutim logaritamom, na samog logaritma. To je najčešće potrebno.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: LOG 7 49 6.
Riješite se u mjeri u argumentu u prvoj formuli:
log 7 49 6 \u003d 6 · LOG 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
[Potpis na sliku]
Imajte na umu da u nazivniku postoji logaritam, baza i argument koji su točni stupnjevi: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Imamo:
[Potpis na sliku] Mislim da najnoviji primjer zahtijeva objašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo s nazivom. Predstavili su osnovu i argument logaritam u obliku stupnjeva i provedenih pokazatelja - primio je "trokatni" frakciju.
Pogledajmo sada osnovnu frakciju. Broj u brojčaniku i nazivnica je isti broj: dnevnik 2 7. Od log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti frakciju - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četiri se mogu prenijeti na brojnik, koji je učinjen. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prijelaz na novu bazu
Govoreći o pravilima za dodavanje i oduzimanje logaritama, posebno naglasio da rade samo s istim bazama. A što ako su temelji različiti? Što ako nisu točni stupnjevi istog broja?
Formule za prijelaz na novu bazu dolaze do spašavanja. Mi ih formulirati u obliku teorema:
Neka logarithm dnevnik a. x., Zatim za bilo koji broj c. tako da c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, istinska jednakost:
[Potpis na sliku]
Posebno, ako stavite c. = x.Dobit ćemo:
[Potpis na sliku]
Iz druge formule slijedi da se baza i argument logaritam mogu mijenjati na mjestima, ali u isto vrijeme izraz "okreće se", tj. Logarithm se ispostavlja da je u nazivniku.
Ove formule su rijetke u konvencionalnim numeričkim izrazima. Procjena koliko su prikladni, moguće je samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednakosti.
Međutim, postoje zadaci koji se općenito ne rješavaju bilo gdje kao prijelaz na novu bazu. Razmotrite nekoliko takvih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 · log 2 25.
Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni stupnjevi. Ja ću sažeti: LOG 5 16 \u003d LOG 5 2 4 \u003d 4LOG 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;
I sada "invert" drugi logaritam:
[Potpis na sliku]Budući da se rad ne mijenja od preraspodjele multiplikatora, mirno smo promijenili četiri i dva, a zatim se razvrstali s logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 · lg 3.
Temelj i argument prvog logaritam - točni stupnjevi. Pišemo ga i riješimo se pokazatelja:
[Potpis na sliku]Sada se riješite decimalnog logaritam, okretanjem u novu bazu:
[Potpis na sliku]Osnovni logaritamski identitet
Često se rješenje mora poslati broj kao logaritam za određenu bazu. U tom slučaju, formule će nam pomoći:
U prvom slučaju n. Postaje pokazatelj u mjeri u argumentu. Broj n. Može biti apsolutno svatko, jer je to samo logaritam vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrozirana definicija. Zove se: glavni logaritamski identitet.
Zapravo, što će se dogoditi ako je broj b. izgraditi u takvom stupnju da je broj b. do te mjere daje broj a.? Ispravno: ovo je najviše a., Pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi "objesiti" na njemu.
Kao i tranzicijske formule u novu bazu, glavni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
[Potpis na sliku]
Imajte na umu da je log 25 64 \u003d log 5 8 - samo je napravio kvadrat iz baze i argument logaritam. S obzirom na pravila za umnožavanje stupnjeva s istom bazom, dobivamo:
[Potpis na sliku]Ako netko nije svjestan, to je bio pravi zadatak ege :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku, dat ću dva identiteta da je teško imenovati nekretnine - umjesto toga, to je posljedica definicije logaritma. Stalno se nalaze u zadacima i, što je iznenađujuće, stvaraju probleme čak i za "napredne" studente.
- dnevnik. a. a. \u003d 1 je logaritamska jedinica. Snimajte jednom i zauvijek: logarithm na bilo kojoj osnovi a. Iz samoj bazi jednaka je jednom.
- dnevnik. a. 1 \u003d 0 je logaritamska nula. Baza a. Možda nekako, ali ako je argument jedinica - logarithm je nula! Jer a. 0 \u003d 1 je izravna posljedica definicije.
To su sva svojstva. Svakako vježbajte primijeniti ih u praksi! Preuzmite Crib na početku lekcije, ispričajte je - i riješite zadatke.