Sažetak: Prosječne vrijednosti korištene u statistici. Suština i značenje prosječnih vrijednosti u statistici

Ovo poglavlje opisuje svrhu prosječnih vrijednosti, razmatra se njihove glavne vrste i oblici, metoda izračuna. Prilikom proučavanja prikazanog materijala potrebno je asimilirati zahtjeve za izgradnju prosječnih vrijednosti, budući da njihovo poštivanje omogućuje vam da koristite te vrijednosti kao tipične karakteristike znakova za ukupnost homogenih jedinica.

Plijesni i vrste prosječnih vrijednosti

Prosječna vrijednost To je generalizirana karakteristika razine znakova, koja se dobiva po jedinici agregata. Za razliku od relativne veličine, koja je mjera omjera pokazatelja, prosječna vrijednost je mjera znaka po jedinici agregata.

Najvažnija imovina prosječne veličine leži u činjenici da ona odražava zajedničko, što je svojstveno svim jedinicama ispitivanja izgaranja.

Vrijednosti znaka pojedinih jedinica kombinacije mijenja se u jedan smjer ili drugi pod utjecajem mnoštva čimbenika, među kojima može biti značajna i slučajna. Na primjer, postotak stope na bankovni krediti određeni su čimbenicima za sve kreditne institucije (razina obvezne pričuve i osnovnu kamatnu stopu idu zajmove za poslovne banke od strane središnje banke, itd.), Kao i posebnosti Svaka specifična transakcija ovisno o riziku od ovog zajma., njegova veličina i rok dospijeća, troškovi za dizajn zajma i kontrolu nad njegovom otplatom, itd.

U prosjeku se generiziraju pojedinačne vrijednosti značajke i odražava se utjecaj općih uvjeta koji se najkarakterističnije za ovu cjelokupnost u određenim uvjetima mjesta i vremena. Suština prosjeka i laži da postoje međusobna odstupanja vrijednosti znakova pojedinačnih jedinica agregata zbog djelovanja slučajnih čimbenika, a uzimaju se u obzir promjene uzrokovane stvarnim čimbenicima. Prosječna vrijednost će odražavati tipičnu razinu značajke u ovom skupu jedinica, kada je dizajniran za kvalitativno homogeni agregat. U tom smislu, prosječna metoda se koristi u kombinaciji s metodom grupiranja.

Prosječne vrijednosti koje karakteriziraju cjelokupnost u cjelini nazivaju se uobičajen i prosjek, što odražava posebnost grupe ili podskupine, - skupina.

Kombinacija zajedničkih i skupina prosjeka omogućuje usporedbe tijekom vremena i prostora, značajno proširuje granice statističke analize. Na primjer, kada sumiraju popis stanovništva iz 2002. godine, utvrđeno je da je za Rusiju, kao i za većinu europskih zemalja karakterizirana starenje stanovništva. U usporedbi s dopisivanjem 1989. godine, prosječna starost stanovnika zemlje povećala se tri godine i iznosila je 37,7 godina, muškarci - 35,2 godine, žene - 40,0 godina (prema 1989., ovi pokazatelji bili su 34,7, 31, odnosno, 9 i 37.2 godine). Prema Rosstatu, očekivano trajanje života u rođenju 2011. godine, muškarci - 63 godine, žene - 75,6 godina.

Svaki prosjek odražava posebnost zajedničkog agregata na jednom znaku. Za usvajanje praktičnih rješenja, u pravilu, potrebna je kombinacija karakteristika za nekoliko značajki. U tom slučaju se koristi sustav prosječnih vrijednosti.

Na primjer, kako bi se postigla odgovarajuća razina profitabilnosti poslovanja na prihvatljivoj razini rizika bankarskih aktivnosti, uspostavljene su prosječne kamatne stope na izdane zajmove uzimajući u obzir prosječne kamatne stope na depozite i druge financijske instrumente.

Oblik, oblik i metodologija za izračunavanje prosječne vrijednosti ovise o svrsi studije, obliku i odnosima studiranih simptoma, kao i na prirodu izvornih podataka. Srednje vrijednosti podijeljene su u dvije glavne kategorije:

• 1) električni medij;
• 2) strukturni prosjeci.

Prosječna formula se određuje vrijednosti korištenja. S povećanim stupnjem k. Prosječna vrijednost se povećava u skladu s tim.

Vojske varijable imaju mnogo distribucije u statistici. Prosječne vrijednosti karakteriziraju visokokvalitetne pokazatelje komercijalnih aktivnosti: troškovi cirkulacije, dobit, profitabilnost itd.

Prosječan - Ovo je jedna od uobičajenih tehnika. Ispravno razumijevanje suštine prosjeka određuje svoj poseban značaj u uvjetima tržišne ekonomije, kada je prosjek kroz jedan i slučajni omogućuje vam da identificirate opće i potrebno, identificirati tendenciju obrazaca gospodarskog razvoja.

Prosječna vrijednost - To je generaliziranje pokazatelja u kojima se ispituje izraz djelovanja općih uvjeta, uzorci fenomena.

Statistički prosjeci izračunavaju se na temelju masovnih podataka pravilno statistički organizirani masovni nadzor (čvrsto i selektivno). Međutim, statistički prosjek će biti objektivan i tipičan ako se izračunava masovnim podacima za kvalitativno homogenu cjelokupnost (masovne fenomene). Na primjer, ako izračunate prosječnu plaću u zadrugama i državnim poduzećima, a rezultat se distribuira cijelom skupu, onda je prosječna izmišljena, budući da je dizajniran za nehomogeno agregat, a takav prosjek gubi bilo koje značenje.

Uz pomoć srednjeg, to se događa kao da zaglađivanje razlika u vrijednosti znaka, koji se pojavljuju za jedan ili drugi razlozi u pojedinačnim jedinicama promatranja.

Na primjer, proizvodnja prosječnog prodavatelja ovisi o mnogim razlozima: kvalifikacije, iskustva, dob, oblici usluga, zdravlje itd.

Prosječni razvoj odražava cjelokupnu imovinu cijele cjeline.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti ispitivanog atributa, stoga se mjeri u istoj dimenziji kao i ta značajku.

Svaka prosječna vrijednost karakterizira ukupnost proučavana na bilo koji znak. Kako bi dobili potpunu i sveobuhvatnu ideju zajedničkog agregata za niz bitnih značajki, općenito je potrebno imati sustav prosječnih vrijednosti koje mogu opisati fenomen s različitih strana.

Postoje različiti prosjeci:

prosječna aritmetika;

srednji geometrijski;

prosječni harmonik;

srednji kvadrat;

srednji kronološki.

Razmotrite neke vrste prosjeka koji se najčešće koriste u statistici.

Srednja aritmetika

Prosječna aritmetička jednostavna (nerazvijena) jednaka je zbroju pojedinačnih vrijednosti značajke podijeljene s brojem tih vrijednosti.

Odvojene vrijednosti značajke nazivaju se opcijama i označavaju X (); Broj jedinica agregata označen je n, prosječna vrijednost znakova je kroz , Prema tome, prosječna aritmetika je jednostavna jednaka:

Prema diskretnom nizu distribucije, može se vidjeti da se iste značajke značajke (opcije) ponavljaju nekoliko puta. Dakle, opcija X se broji zajedno 2 puta, a opcija X-16 puta, itd.

Broj identičnih vrijednosti značajke u distribucijskim redama naziva se frekvencija ili težina i označava N simbol.

Izračunavamo prosječnu plaću jednog radnika u rubaljama:

Fond za plaću za svaku skupinu radnika jednaka je opcijama rada za frekvenciju, a iznos tih radova daje zajednički fond za plaće svih radnika.

U skladu s tim, izračuni se mogu zastupati u općem obliku:

Rezultirajuća formula naziva se prosječna aritmetička ponderirana.

Statistički materijal kao rezultat obrade može se predstavljati ne samo u obliku diskretnih redova distribucije, nego iu obliku intervala varijacija s zatvorenim ili otvorenim intervalima.

Izračun prosjeka prema grupnim podacima donosi formulom srednje aritmetičke ponderirane:

U praksi ekonomske statistike, ponekad je potrebno izračunati prosjek prosječnog prosjeka ili prosječnim pojedinim dijelovima agregata (privatni prosjek). U takvim slučajevima, grupni ili privatni prosjeci su prihvaćeni za opcije (X), na temelju kojih se ukupni prosjek izračunava kao uobičajena prosječna aritmetička ponderirana.

Glavna svojstva srednje aritmetike .

Prosječna aritmetika ima brojne nekretnine:

1. Od smanjenja ili povećanja frekvencija svake vrijednosti znakova, vrijednost prosječne aritmetike neće se promijeniti.

Ako su sve frekvencije podijeljene ili pomnožene s bilo kojim brojem, vrijednost prosjeka neće promijeniti.

2. Opći čimbenik pojedinačnih znakova značajke može se prikazati za prosječni znak:

3. Prosječni iznos (razlika) dvije ili više vrijednosti jednaka je iznosu (razlika) njihovog prosjeka:

4. Ako je x \u003d c, gdje je C konstantna vrijednost, tada
.

5. Zbroj odstupanja vrijednosti znaka X iz srednjeg aritmetičkog X jednaka je nuli:

Srednji harmonik.

Uz prosječnu aritmetiku, prosječna harmonijska vrijednost se koristi u statistici, preokrenuti srednju aritmetiku povratnih vrijednosti. Kao i prosječna aritmetika, može biti jednostavna i suspendirana.

Karakteristike varijacijske serije, zajedno s prosjekom, su modni i medijan.

Moda - To je vrijednost znaka (opcija), najčešće se ponavlja u zajedničkom agregatu. Za diskretne redove modne raspodjele bit će vrijednost opcije s najvećom frekvencijom.

Za intervalne retke distribucije s jednakim intervalima mode određeni su formulom:

gdje
- početnu vrijednost intervala koja sadrži modu;

- veličinu modalnog intervala;

- učestalost modalnog intervala;

- učestalost intervala prije modal;

- učestalost intervala slijedeći modal.

Srednji - Ovo je opcija koja se nalazi u sredini varijacije. Ako je broj distribucije diskretan i ima neparan broj članova, onda će medijan biti varijanta u sredini naručene serije (naručeni redak je raspored jedinica agregata u rastućem ili silaznom redoslijedu).

Statistika koristi različite vrste prosječnih vrijednosti koje su podijeljene u dvije velike klase:

Srednji medij (prosječni harmonik, srednji geometrijski, prosječni aritmetički, srednji kvadre, srednje kubični);

Strukturni medij (moda, medijan).

Za izračun električni medijmorate koristiti sve dostupne vrijednosti značajki. Modai srednjiodređuje se samo struktura distribucije, tako da se nazivaju strukturni, pozicijski prosjeci. Medijan i moda se često koriste kao prosječna karakteristika u onima agregata, gdje je izračun srednje snage nemoguće ili nemoguće.

Najčešći tip srednje veličine je prosječna aritmetika. Pod, ispod srednja aritmetikapodrazumijeva se kao značenje znaka koji bi imao svaku jedinicu agregata, ako je ukupni rezultat svih znakova znaka bio ravnomjerno raspoređen između svih jedinica agregata. Izračun te vrijednosti je sveden na sabiranje svih vrijednosti varijacije i podjele ukupnog iznosa ukupnog broja jedinica za usklađenost. Na primjer, pet radnika izvršilo je nalog za proizvodnju detalja, dok je prvi napravljen 5 dijelova, drugi - 7, treći - 4, četvrti - 10, pet - 12. Od izvorne podatke, vrijednost svakog opcija je pronađena samo jednom, za određivanje

prosječna proizvodnja jednog radnika trebala bi primijeniti formulu jednostavne srednje aritmetike:

tj. U našem primjeru, prosječna generacija jedne radionice je jednaka

Uz jednostavnu Srednju aritmetičku studiju srednja aritmetička ponderirana.Na primjer, izračunavamo prosječne dobi studenata u skupini od 20 ljudi, od kojih se dobi razlikuje od 18 do 22 godine, gdje xi - opcije prosječnog znaka, fi - frekvencija koja pokazuje koliko je puta pronađeno i-e.vrijednost u agregatu (tablica 5.1).

Tablica 5.1

Studenti srednjih godina

Koristeći formulu srednje aritmetičke ponderirane, dobivamo:

Da biste odabrali prosječnu aritmetičku ponderirana, postoji određeno pravilo: ako postoji niz podataka o dva pokazatelja, za jedan od kojih je potrebno izračunati

poznate su prosječna vrijednost i numeričke vrijednosti nazivnika njegove logičke formule, a vrijednosti brojčanika su nepoznate, ali se mogu naći kao proizvod tih pokazatelja, prosječna vrijednost treba izračunati s srednjom aritmeticom formula.

U nekim slučajevima, priroda izvornih statističkih podataka je takva da izračun prosječne aritmetičke gubi svoje značenje i samo jedan tip srednje veličine može poslužiti kao jedini pokazatelj generalizacije - srednji harmonik.Trenutno su računalna svojstva prosječne aritmetike izgubila svoju važnost u izračunu generalnih statističkih pokazatelja zbog rasprostranjenog uvođenja elektroničkih računala. Velika praktična važnost stekla prosječnu harmonijsku vrijednost, koja je također jednostavna i suspendirana. Ako su poznate numeričke vrijednosti broja logičkih formula, a vrijednosti nazivnika su nepoznate, ali se mogu naći kao privatna podjela jednog indikatora na drugu, prosječna vrijednost se izračunava formulom prosječna harmonijska ponderirana.

Na primjer, neka se automobil prošao prvih 210 km brzinom od 70 km / h, a preostalih 150 km brzinom od 75 km / h. Odredite prosječnu brzinu vozila tijekom cijelog puta od 360 km pomoću srednje aritmetičke formule, to je nemoguće. Tako opcije su brzine u odvojenim područjima xJ.\u003d 70 km / h i X2\u003d 75 km / h, i vaganje (fi) smatraju se odgovarajućim segmentima puta, onda rad utega neće imati fizičko ni ekonomsko značenje. U tom slučaju, značenje se stječe privatnim dijelovima segmenata staze na odgovarajuće brzine (opcije Xi), tj. Troškovi vremena za prolaz pojedinih dijelova puta (FI / xi). Ako se segmenti staze određuju kroz fi, onda sve do izražavanja kako? FI, i vrijeme provedeno na cijelom putu - kako? fi / xi , Zatim se prosječna brzina može pronaći kao privatna od dijeljenja cijelog puta do ukupnih troškova vremena:

U našem primjeru dobivamo:

Ako koristite prosječnu harmonijsku težinu svih varijanti (F) jednaka, umjesto ponderiranog može se koristiti jednostavan (nevjerojatan) prosječni harmonik:

gdje su XI odvojene opcije; n. - broj uvjeta prosječne značajke. U primjeru, brzinom, jednostavan visok harmonik može se primijeniti ako je jednaka segmentima staze koja je prolazila na različitim brzinama.

Svaki prosjek se mora izračunati tako da prilikom zamjene svake verzije prosječne značajke, magnituda određenog konačnog, generalnog indikatora, koji je povezan s prosječnim indikatorom nije se promijenio. Dakle, pri zamjeni stvarnih brzina na odvojenim segmentima staza njihove prosječne veličine (prosječna brzina), ukupna udaljenost ne treba mijenjati.

Formula (formula) prosječne vrijednosti određena je prirodom (mehanizmom) odnosa ovog konačnog pokazatelja s prosječnim, tako da je konačni pokazatelj, čija se vrijednost ne smije mijenjati kada se zove opcije za njihovu prosječnu vrijednost određivanje indikatora.Za izlaz formule, prosjek mora biti sastavljen i riješen jednadžbom koristeći odnos prosječnog pokazatelja s odlučnim. Ova jednadžba je izgrađena zamjenom varijanti prosječne značajke (indikatora) njihove prosječne vrijednosti.

Osim srednjeg aritmetičkog i srednjeg harmonika u statistici, koriste se i druge vrste (oblika) prosječne vrijednosti. Sve su to posebni slučajevi prosjek snage.Ako izračunate sve vrste prosjeka snage za iste podatke, onda vrijednosti

oni će biti isti, ovdje je pravilo ranominasrednji. Uz povećanje prosječnog prosjeka povećava se prosječna vrijednost. Najčešće korištene formule za izračun različitih vrsta prosjeka snage prikazani su u tablici. 5.2.

Tablica 5.2.

Vrste medija za napajanje

Prosječne geometrijske primjene kada postoji n.koeficijenti rasta, dok su pojedinačne vrijednosti značajke, u pravilu, relativne vrijednosti zvučnika konstruirane u obliku lančanih vrijednosti kao odnos prema prethodnoj razini svake razine u brojnim zvučnicima , Prosječno karakterizira, tako, prosječni koeficijent rasta. Prosječni geometrijski jednostavanizračunate formulom

Formula srednja geometrijska suspendiranaima sljedeći obrazac:

Gore navedene formule su identične, ali se koristi kod trenutnih koeficijenata ili stope rasta, a drugi - s apsolutnim vrijednostima razine reda.

Srednji kvadratnikoristi se u izračunu s vrijednostima kvadratnih funkcija, koristi se za mjerenje stupnja količine pojedinačnih vrijednosti značajke oko prosječne aritmetike u redovima distribucije i izračunava se formulom

Srednja kvadratna ponderiranaizračunati za drugu formulu:

Srednji kubičnikoristi se u izračunu s vrijednostima kubičnih funkcija i izračunava se formulom

srednja kubična ponderirana:

Svi gore navedeni prosjeci mogu biti predstavljeni kao opća formula:

gdje je prosječna vrijednost; - individualna vrijednost; n. - broj jedinica zajedničkog agregata; k. - indikator koji određuje vrstu medija.

Kada koristite iste izvorne podatke od više k.u općoj formuli, medij za napajanje, veća je prosječna vrijednost. Iz toga slijedi da između vrijednosti prosjeka snage postoji redoviti omjer:

Gore opisane prosječne vrijednosti pružaju generaliziranu zastupljenost zajedničkog agregata i s ove točke gledišta njihov teorijski, primijenjeni i kognitivni značaj nesumnjivo. No, to se događa da se vrijednost prosjeka ne podudara s bilo kojom od zapravo postojećih opcija, tako da osim značenja razmatra se u statističkoj analizi, preporučljivo je koristiti vrijednosti određenih opcija koje zauzimaju u naručenom (rangirani) znak znakova vrlo specifičnog položaja. Među takvim vrijednostima se najčešće koriste strukturniili opisan, prosjek - Moda (MO) i Medijan (ME).

Moda - vrijednost znaka koji se najčešće nalazi u ovoj ukupnosti. Što se tiče varijacije niza mode, najčešća vrijednost rangiranog retka, tj. Mogućnost s najvišom frekvencijom. Moda se može koristiti u određivanju trgovina koje se češće posjećuju najčešća cijena za bilo koji proizvod. Pokazuje veličinu znaka, koja je karakteristična za značajan dio ukupnosti, određuje se formulom

gdje je X0 donja granica intervala; h. - veličinu intervala; fm. - učestalost intervala; fm_1 - učestalost prethodnog intervala; fM +.1 - učestalost sljedećeg intervala.

Srednjinazvana je opcija koja se nalazi u središtu rangiranog retka. Srednji dijeli broj na dva jednaka dijela na takav način da na obje strane je isti broj jedinica agregata. U isto vrijeme, u jednoj polovici jedinica agregata, vrijednost varirajućeg znaka je manja od medijana, druga je više. Medijan se koristi u proučavanju elementa čija je vrijednost veća ili jednaka ili u isto vrijeme manja ili jednaka polovici elemenata raspodjele raspodjele. Mediana daje opću ideju o tome gdje su znakove usredotočene, drugim riječima gdje se nalazi njihov centar.

Deskriptivna priroda medijana manifestira se u činjenici da karakterizira kvantitativnu granicu vrijednosti karakteristike varijacije, koja ima polovicu jedinica agregata. Zadatak pronalaženja medijana za diskretni raspon varijacija je jednostavno riješen. Ako su sve jedinice niza rednim brojevima, redoslijed broja srednje varijante definiran kao (P +1) / 2 s neparnim brojem članova p. Ako je broj članova redova čak i broj, onda će medijan biti prosječna vrijednost dvije opcije koje imaju brojeve sekvence n./ 2 I. n./ 2 + 1.

Prilikom određivanja medijana u redovima intervala varijacije, određuje se interval u kojem je (medijan interval). Ovaj interval karakterizira činjenica da je njegov akumulirani iznos frekvencija jednak ili premašuje Hemishamm svih frekvencija retka. Izračun medijana broja intervalnih varijacija je izrađen formulom

gdje X0. - donje granice intervala; h. - veličinu intervala; fm. - učestalost intervala; f.- broj članova serije;

M. -1 - zbroj akumuliranih članova serije koji su prethodili tome.

Uz srednje vrijednosti za potpunije karakteristike strukture ukupnog skupa, koriste se i druge vrijednosti opcija koje su zauzele rangirani redak potpuno određenog položaja. To uključuje četvrtinei decil.Snovice dijele brojne frekvencije u 4 jednake dijelove i decil - na 10 jednakih dijelova. Tri četvrtine su tri, a decile - devet.

Srednji i modni, za razliku od prosječne aritmetike, ne isplaćuju individualne razlike u vrijednostima različitih značajki i stoga su dodatne i vrlo važne karakteristike statističkog agregata. U praksi se često koriste umjesto prosječnog ili zajedno s njim. Posebno je poželjno izračunati medijan i mode u slučajevima kada ukupni skup sadrži određeni broj jedinica s vrlo velikom ili vrlo malom vrijednošću znaka varijacije. To, ne vrlo karakteristično za postavljenu vrijednost opcija, koja utječu na vrijednost prosječne aritmetike, ne utječu na srednje i modne vrijednosti, što čini najnovije vrlo vrijedne za ekonomsku i statističku analizu.

U fazi statističke obrade može se isporučiti širok raspon istraživačkih zadataka, za rješavanje koje je potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U isto vrijeme, potrebno je biti vođen slijedećim pravilom: vrijednosti koje su brojnik i prosječni nazivnik moraju biti logički međusobno povezani.

• medij za napajanje;
• strukturni prosjeci.

Predstavljamo sljedeće konvencije:

Vrijednosti za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje osobine iznova ukazuje na to da postoji u prosjeku pojedinačnih vrijednosti;

Frekvencija (ponovljivost pojedinačnih vrijednosti znakova).

Različiti medij proizlaze iz opće formule prosjeka snage:

(5.1)

na k \u003d 1 - prosječna aritmetika; k \u003d -1 - prosječni harmonik; k \u003d 0 - srednje geometrijske; k \u003d -2 - srednji kvadrat.

Srednje vrijednosti su jednostavne i ponderirane.

Ponderirani prosjeci Nazvali su vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke opcije za znakove mogu imati različite brojeve, stoga svaka opcija mora umnožiti taj broj. Drugim riječima, "utezi" su broj jedinica agregata u različitim skupinama, tj. Svaka je opcija "težila" na svojoj frekvenciji. Frekvencija F naziva se statistička težina ili srednja težina.

Poznato je da su transakcije provedene u roku od 5 dana (5 transakcija), broj dionica prodanih na prodajnoj stopi raspodijeljen je na sljedeći način:

1 - 800 ak. - 1010 utrljati.

2 - 650 AK. - 990 rubalja.

3 - 700 AK. - 1015 utrljati.

4 - 550 AK. - 900 rubalja.

5 - 850 AK. - 1150 rubalja.

Početni odnos za određivanje prosječne stope vrijednosti dionica je omjer ukupnog iznosa transakcija (OSS) na broj prodanih dionica (KPA):

OSS \u003d 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 \u003d 3 634 500;

KPa \u003d 800 + 650 + 700 + 550 + 850 \u003d 3550.

U tom slučaju, prosječna stopa vrijednosti dionica bila je jednaka:

Potrebno je znati svojstva aritmetičkog prosjeka, što je vrlo važno i za njegovu uporabu i prilikom izračunavanja. Mogu se razlikovati tri glavna svojstva, koja je najčešće dovela do širokog korištenja aritmetičkih prosjeka u statističkim i ekonomskim izračunima.

Svojstvo prvo (nula): Zbroj pozitivnih odstupanja pojedinih vrijednosti značajke iz prosječne vrijednosti jednaka je zbroju negativnih odstupanja. To je vrlo važna imovina, jer pokazuje da će se sva odstupanja (i C + i C -) uzrokovane slučajnim uzrocima međusobno otplatiti.

Dokaz:

Drugog objekta (minimum): Zbroj kvadrata odstupanja pojedinih vrijednosti značajke iz prosječne aritmetike manje nego s bilo kojeg drugog broja (a), tj. Postoji minimalni broj.

Dokaz.

Napravit ćemo zbroj kvadrata odstupanja od varijable a:

(5.4)

Da biste pronašli ekstremne ove funkcije, potrebno je izjednačiti ga:

Odavde dobivamo:

(5.5)

Prema tome, ekstremni suma kvadrata odstupanja se postiže. Ovaj ekstrem je minimum, jer funkcija ne može imati maksimum.

Imovina je treća: Prosječna aritmetička konstantna vrijednost jednaka je ovoj konstanci: kada je \u003d const.

Osim ove tri, najvažnija svojstva prosječne aritmetike postoji tzv. procijenjena svojstvakoji postupno gube značaj zbog korištenja elektroničkih računala:

• ako je pojedinačna vrijednost značajke svake jedinice pomnožena ili podijeljena u konstantan broj, tada se prosječna aritmetička povećava ili smanjuje u isto vrijeme;
• prosječna aritmetika neće se mijenjati ako je težina (frekvencija) svake vrijednosti znakova podijeljena u konstantan broj;
• ako su pojedinačne vrijednosti značajke svake jedinice smanjene ili povećane za istu vrijednost, prosječna aritmetika će se smanjiti ili povećati istu vrijednost.

Srednji harmonik, Ova sredina se naziva obrnuta srednja aritmetika, jer se ta vrijednost koristi u k \u003d -1.

Jednostavan Srednji Harmonic Koristi se kada su utezi znakova isti. Njegova formula može se izvesti iz bazične formule, zamjenjujući K \u003d -1:

Na primjer, moramo izračunati prosječnu brzinu dva automobila koja su prošla na isti način, ali na različitim brzinama: prva - brzinom od 100 km / h, drugi je 90 km / h.

Primjena srednje harmonijske metode izračunavamo prosječnu brzinu:

U statističkoj praksi se češće koristi harmonijska ponderirana formula:

Ova formula se koristi u slučajevima gdje utezi (ili volumeni fenomena) nisu jednaki za svaki znak. U izvornom omjeru za izračunavanje prosječnog poznatog numeratora, ali nazivnik je nepoznat.

Na primjer, pri izračunavanju prosječne cijene moramo koristiti omjer iznosa realizacije s brojem provedenih jedinica. Mi ne znamo da je broj ostvarenih jedinica (govorimo o različitim proizvodima), ali je zbroj provedbe ovih različitih dobara poznat.

Pretpostavimo da je potrebno znati prosječnu cijenu provedenih proizvoda:

Primati

Ako je ovdje formula za srednju aritmetiku, onda možete dobiti prosječnu cijenu koja će biti nestvarna:

Srednji geometrijski, Najčešće, prosječni geometrijski pronalazi uporabu u određivanju prosječnih stopa rasta (prosječni koeficijenti rasta), kada se pojedinačne vrijednosti značajke prikazuju kao relativne vrijednosti. Također se koristi ako je potrebno pronaći prosjek između minimalnih i maksimalnih vrijednosti značajke (na primjer, između 100 i 100.000.000). Postoje formule za jednostavnu i suspendiranu geometriju medija.

Za jednostavno geometrijsko:

Za suspendirane geometrijske medije:

Srednja kvadratna vrijednost, Glavni opseg njegove primjene je mjerenje varijacije značajke u agregatu (izračun prosječnog kvadratnog devijacije).

Jednostavna srednja kvadratna formula:

Ponderirana prosječna kvadratna formula:

(5.11)

Kao rezultat toga, možemo reći da uspješno rješenje zadataka statističke studije ovisi o pravom izboru vrste prosječne vrijednosti u svakom slučaju.

Izbor prosjeka pretpostavlja takav slijed:

a) uspostavljanje sažetka agregata;

b) definiciju ovog sažetka pokazatelja matematičkog omjera vrijednosti;

c) zamjena pojedinačnih vrijednosti po prosječnim vrijednostima;

d) izračun prosjeka uz pomoć odgovarajuće jednadžbe.

Počevši od razloga o prosječnim vrijednostima, najčešće se sjećati kako završiti školu i otišao u obrazovnu ustanovu. Tada je srednji rezultat izračunat na certifikatu: sve procjene (i dobro, a ne vrlo) bile su presavijene, rezultirajuća količina je podijeljena s njihovim brojem. To je najlakši tip srednjeg, koji se naziva prosječna aritmetička jednostavna. U praksi se u statistiku koriste različite vrste srednjih veličina: aritmetički, harmonijski, geometrijski, kvadratni, strukturni medij. Ovo ili da se njihova vrsta koristi ovisno o prirodi podataka i ciljevima studije.

Prosječna vrijednost To je najčešći statistički pokazatelj, uz pomoć kojih se generalizirajuća karakteristika skupa jednog tipa prikazuje u skladu s jednim od znakova varijacije. To pokazuje razinu karakteristike po jedinici agregata. Uz pomoć medija uspoređuje se usporedba različitih skupova različitih značajki, proučavaju se uzorci razvoja fenomena i javnih životnih procesa.

U statistici koriste se dvije klase medija: snaga (analitička) i strukturna. Potonji se koriste za karakterizaciju strukture serije varijacije i raspravljat će se kasnije u ch. osam.

Grupa prosjeka snage odnosi se na prosječnu aritmetičku, harmoničnu, geometrijsku, kvadratnu. Pojedine formule za njihov izračun mogu se podnijeti na pamet, zajedničke svim prosjecima snage, naime

gdje je m pokazatelj prosjeka snage: na m \u003d 1 dobivamo formulu za izračunavanje srednje aritmetike, na M \u003d 0 - mediemetrijskom, m \u003d -1 - prosječnom harmoniku, na m \u003d 2 - srednji kvadrat;

x i - opcije (vrijednosti koje su usvojene);

f i - frekvencije.

Glavni uvjet u kojem se može koristiti snažan prosjek u statističkoj analizi je ujednačenost seta, koji ne bi trebao sadržavati izvorne podatke, oštro razlikovati u njihovoj kvantitativnoj vrijednosti (nazivaju se anomalno promatranje u literaturi).

Pokazat ćemo važnost ovog stanja na sljedećem primjeru.

Primjer 6.1. Izračunam prosječnu plaću zaposlenika malog poduzeća.

Da biste izračunali prosječnu veličinu plaće, potrebno je sažeti plaće na svim zaposlenicima poduzeća (tj. Pronaći fond za plaću) i podijeljen brojem zaposlenika:

A sada ću dodati samo jednu osobu našu cjelokupnost (direktor ovog poduzeća), ali s plaćom od 50.000 rubalja. U tom slučaju izračunati prosjek će biti potpuno drugačiji:

Kao što možete vidjeti, ona premašuje 7000 rubalja., Itd. To je više od svih znakova znaka, osim jednokratnog promatranja.

Kako bi se takvi slučajevi ne bi događali u praksi, a prosjek ne bi izgubio značenje (u Primjeru 6.1, više ne ispunjava ulogu generalizacijskih karakteristika agregata, koji bi trebao biti), pri izračunavanju prosjeka, Nenormalne, oštro istaknute opažanja ili isključuju iz analize i tema, najviše povezane s homogenim, ili razbiti agregat za homogene skupine i izračunati srednje vrijednosti za svaku skupinu i analizirati ne ukupni prosječni, ali grupni prosjeci.

6.1. Prosječna aritmetika i njegova svojstva

Prosječna aritmetika se izračunava ili jednostavna ili kao ponderirana vrijednost.

Prilikom izračunavanja prosječne plaće u skladu s tablicom primjera 6.1 smo prekrižili sve znakove i podijelili ih. Tečaj naših izračuna će pisati u obliku formule srednje aritmetičke jednostavne

gdje je x i je opcije (pojedinačne vrijednosti značajke);

p je broj jedinica u agregatu.

Primjer 6.2. Sada je grupirao naše podatke iz tablice primjera 6.1, itd. Konstruirat ćemo diskretni varijacijski raspon raspodjele plaće u pogledu razine. Rezultati grupiranja prikazani su u tablici.

Pišemo izraz izračunavanja prosječne razine plaća u kompaktnijem obliku:

U primjeru 6.2 primjenjuje se prosječna aritmetička formula

gdje je f i - frekvencije koje pokazuju koliko je puta karakterizacija X i y jedinica agregata naišao.

Izračun prosječne aritmetičke ponderirane prikladno se provodi u tablici, kao što je prikazano u nastavku (Tablica 6.3):

Treba napomenuti da se prosječna aritmetika koristi u slučajevima kada se podaci nisu grupirani ili grupirani, ali sve frekvencije su jednaka jedni drugima.

Često, rezultati promatranja prikazani su u obliku intervalnog raspona distribucije (vidi tablicu u primjeru 6.4). Zatim, pri izračunavanju prosjeka kao X uzimam usred intervala. Ako su prvi i zadnji intervali otvoreni (nemaju jedan od granica), uvjetovano su "zatvorene", preuzimanjem vrijednosti ovog intervala veličine susjednog intervala, itd. Prvi je zatvoren na temelju druge vrijednosti, a posljednji je najveći od pretposljednjeg.

Primjer 6.3. Prema rezultatima selektivnog ispitivanja jedne od skupina stanovništva, izračunamo veličinu prosječnog prihoda od novca po glavi stanovnika.

Navedena talas sredine prvog intervala je 500. Doista, vrijednost drugog intervala je 1000 (2000-1000); Zatim niža granica prvog je 0 (1000-1000), a sredinom 500. Slično tome, radimo s posljednjim intervalom. Za svoje sredine uzimamo 25.000: veličinu pretposljednjeg intervala 10 000 (20.000-10,000), a zatim njegovu gornju granicu - 30.000 (20.000 + 10.000), a sredina, iznosi 25.000.

Tada će biti prosječni trajni mjesečni prihod