Što je jednako hipotenus jednakostraničnog trokuta. Kako pronaći Katete ako je poznato hipotenuse

Nakon proučavanja teme o pravokutnim trokutima, studenti često emitiraju sve informacije o njima iz njihovih glava. Uključujući kako pronaći hipotenut, da ne spominjemo što je to.

I uzalud. Budući da se u budućnosti dijagonale pravokutnika ispada da je to hipotenut, i treba ga pronaći. Ili se promjer kruga podudara s najvećom strani trokuta, od kojih je jedan od uglova ravan. I to je nemoguće pronaći bez tog znanja.

Postoji nekoliko mogućnosti kako pronaći hipoten trokuta. Izbor metode ovisi o izvoru skupa podataka u vrijednosti vrijednosti vrijednosti.

Broj metode 1: Bilo koja kategorija

To je najupečatljivija metoda, jer koristi Pythagoreovu teoremu. Samo ponekad učenici zaboravljaju da je ova formula je kvadrat hipotenuze. Dakle, da biste pronašli samu stranu, morat ćete ukloniti kvadratni korijen. Dakle, formula za hipotenuse, koja je uobičajena za označavanje slova "C" će izgledati ovako:

c \u003d √ (i 2 + u 2)gdje su slova "a" i "B" snimaju obje kategorije pravokutnog trokuta.

Metoda broj 2: pletenje catt i kut, koji ide na njega

Da biste saznali kako pronaći hipotenuzu, morat ćete se sjetiti trigonometrijske funkcije. Naime Kosinus. Za praktičnost pretpostavljamo da je katat "a" i kut α dani.

Sada moramo zapamtiti da je kosinuz kuta pravokutnog trokuta jednak stav obje strane. Brojčanik će podnijeti vrijednost kategorije, au aponijatoru - hipotenusima. Iz toga slijedi da se potonji može prebrojati formulom:

c \u003d a / cos α.

Metoda na broju 3: Dana catat i kut koji leži ispred njega

Da ne bi zbunili u formulama, uvodemo oznaku za ovaj kut - β, a strana će napustiti bivšu "a". U tom slučaju potrebna je još jedna trigonometrijska funkcija - sinus.

Kao iu prethodnom primjeru, sinus je jednak omjeru kateke za hipotenuse. Formula ove metode izgleda ovako:

c \u003d a / grijeh β.

Da se ne bi zbunili u trigonometrijskim funkcijama, moguće je zapamtiti jednostavan mnemonic potaknuti: ako to govori zadatak okoopolezhaya ugljen, onda morate koristiti s inUs ako - o ilaganje, onda okosinus. Trebate obratiti pozornost na prve samoglasnike u ključnim riječima. Oni tvore par o-i. ili i oko.

Metoda broj 4: Opisano radijusom kruga

Sada, kako bi naučili kako pronaći hipotenut, bit će potrebno prisjetiti se imovine kruga, što je opisano u blizini pravokutnog trokuta. Piše sljedeće. Središte kruga podudara se sa sredinom hipotenuze. Ako kažete drugačije, najveća strana pravokutnog trokuta jednaka je dijagonali kruga. To je dvostruki radijus. Formula za ovaj zadatak izgledat će ovako:

c \u003d 2 * rgdje je slovo r naznačeno poznatim radijusom.

To su svi mogući načini za pronalaženje pravokutnog hipotenusa. Svaki određeni zadatak je potreban tom metodom koja je prikladnija za skup podataka.

Primjer Broj problema 1

Stanje: Medijanci su provedeni u pravokutnom trokutu u obje kategorije. Duljina onoga koja je provedena na većoj strani je .52. Drugi medijan ima duljinu .73. Potrebno je izračunati hipotenut.

Budući da je u trokutu proveden medijana, oni dijele mačke u dva jednaka segmenta. Za praktičnost obrazloženja i pronalaženja kako pronaći hipotenut, morate unijeti nekoliko oznaka. Neka oba polovica veće kategorije bude označeno slovom "X", a drugi je "y".

Sada morate uzeti u obzir dva pravokutnog trokuta, s hipotezama koji su poznati medijani. Za njih, morate snimiti formulu Pythagora teorema:

(2Y) 2 + x 2 \u003d (√52) 2

(Y) 2 + (2x) 2 \u003d (833) 2.

Ove dvije jednadžbe čine sustav s dvije nepoznanice. Odlučujući ih, može se lako pronaći Katete početnog trokuta i njegov hipotenut na njima.

Prvo morate izgraditi sve u drugom stupnju. Ispada:

4. 2 + x 2 \u003d 52

u 2 + 4x 2 \u003d 73.

Od druge jednadžbe može se vidjeti da je u 2 \u003d 73 - 4x 2. Ovaj izraz mora biti zamijenjen u prvom i izračunavanje "X":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Nakon pretvaranja:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 ili 15x 2 \u003d 240.

Od posljednjeg ekspresije x \u003d ± 16 \u003d 4.

Sada možete izračunati "U":

u 2 \u003d 73-4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Prema podacima, ispostavlja se da su omjeri izvornog trokuta jednaki 6 i 8. tako da možete koristiti formulu iz prve metode i pronaći hipotenuzu:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odgovor: HipotenUse je 10.

Primjer problema broj 2.

Stanje: Izračunajte dijagonalnu potrošenu u pravokutniku s manjom strani jednake do 41. Ako se zna da dijeli kut onima koji se odnose na 2 do 1.

U ovom problemu dijagonala pravokutnika je najveća strana u trokutu s kutom od 90º. Stoga se sve svodi kako bi pronašao hipotenuzu.

Zadatak govori o uglovima. To znači da će biti potrebno koristiti jednu od formula u kojima su prisutne trigonometrijske funkcije. I prvo je potrebno odrediti vrijednost jednog od oštrih kutova.

Neka manji od uglova, koji su u pitanju u stanju, bit će naznačeno α. Tada je pravi kut koji je podijeljen dijagonalom bit će jednak 3a. Matematičko snimanje ovog izgleda ovako:

Iz ove jednadžbe jednostavno definirajte α. Bit će jednako 30º. Štoviše, ona će ležati nasuprot manjoj strani pravokutnika. Stoga će biti potrebna formula opisana u metodi broj 3.

Hipotenuse je jednak omjeru kateke na sinus suprotnog kuta, odnosno:

41 / SIN 30º \u003d 41 / (0.5) \u003d 82.

Odgovor: HipotenUse je 82.

Cates se nazivaju dvije strane pravokutnog trokuta koji čine ravni kut. Suprotno izravan kut je najduža strana trokuta se naziva hipotenuse. Da biste otkrili hipotenazu, morate znati duljinu kateteta.

Uputstvo

1. Duljine kateteta i hipotezama povezane su s odnosom, što je opisano Pythagora teorem. Algebarski tekst: "U pravokutnom trokutu, kvadrat duljine hipotekuse je jednak zbroju kvadrata duljine kateteta." Formula pitagore izgleda ovako: C2 \u003d A2 + B2, gdje c je duljina hipotenuse, a i b - duljina kateteta.

2. Znajući duljinu kateteta, prema Pythagore teoremu, dopušteno je otkriti pravokutni hipotenus: c \u003d? (A2 + B2).

3. Primjer. Duljina jednog od kateta je 3 cm, duljina drugog je 4 cm. Zbroj njihovih kvadrata je 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm? Hipotenuse. U našem slučaju, jednak je kvadratnom korijenu od 25 cm? - 5 cm. Postao je, duljina hipotenuse je 5 cm.

Hipotenuse se naziva strana u pravokutnom trokutu, što je suprotno od kuta od 90 stupnjeva. Da bi se izračunala njezina dužina, dovoljno je znati duljinu jednog od kaseta i veličinu jednog od oštrih kutova trokuta.

Uputstvo

1. Uz poznati katet i akutni kut pravokutnog trokuta, tada se veličina hipotekusa može biti jednaka omjeru cote do kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je ovaj kut suprotan / susjed: H \u003d C1 (bilo C2) / grijeh?; H \u003d C1 (ili C2) / COS? duljine BC Cate 8 cm. Morate otkriti duljinu AB hipotenuse. Da biste to učinili, dopušteno je koristiti bilo koju od gore navedenih metoda: ab \u003d bc / cos60 \u003d 8 cm.ab \u003d bc / sin30 \u003d 8 cm.

Hipotenuse - najduža strana pravokutnog trokut , Nalazi se nasuprot ravnom kutu. Način pronalaženja pravokutnog hipotenusesa trokut To ovisi o početnim podacima koje posjedujete.

Uputstvo

1. Ako osvojite pravokutni udarac trokut , zatim duljina hipotenupa pravokutnog trokut Može se otkriti s subband Pythagorea trokut .

2. Ako služimo jednom od kateteta i oštrom kut, tada će formula za pronalaženje hipotekusa ovisit će o tome što je navedeni kut s obzirom na sat u susjedstvu (nalazi se u blizini kategorije) ili suprotno (smješteno naprotiv. U Slučaj susjednog kuta, hipotenuse je jednak omjeru kategorije na kosinuz tog kuta: C \u003d A / COS?; e kut suprotnog, hipotenuzija je jednak omjeru kategorije kutka: C \u003d a / grijeh?

Video na temu

Hipotenuse se naziva strana pravokutnog trokuta koji leži na suprotnom izravnom kutu. To je najveća strana pravokutnog trokuta. To je dopušteno teoremom Pythagora ili uz potporu formulama trigonometrijskih funkcija.

Uputstvo

1. Cates se nazivaju strane pravokutnog trokuta, uz ravno kutak. Na slici, katete su naznačene kao AB i BC. Neka se određena duljina oba kateteta. Označavaju ih kao | ab | i | bc |. Kako bi se detektirala duljina hipotenaca | AC |, koristimo Pythagora teoremu. Prema ovom teoremu, zbroj kvadrata kateteta jednak je kvadratu hipotenuze, tj. U oznaci našeg crteža | ab | ^ 2 + | bc | ^ 2 \u003d | AC | ^ 2. Iz formule dobivamo da je duljina AC hipotenuze kao | AC | \u003d? (| Ab | ^ 2 + | bc | ^ 2).

2. Pogledajmo primjer. Neka duljina kateteta je postavljeno | ab | \u003d 13, | BC | \u003d 21. Prema Pitagori Teorem, dobivamo to | ac | ^ 2 \u003d 13 ^ 2 + 21 ^ 2 \u003d 169 + 441 \u003d 610. Da bi se dobila duljina hipotenuze, potrebno je ukloniti kvadratni korijen od zbroj kvadrata kateteta, tj među 610: | AC | \u003d? 610. Koristeći tablicu kvadrata cijelih brojeva, otkrivamo da broj 610 nije potpuni kvadrat nekog cijelog broja. Kako bi se dobila konačna vrijednost duljine hipotekultuma, pokušajte prenijeti puni kvadrat iz korijenskog znaka. Da biste to učinili, razgrađujete broj 610 za množitelje. 610 \u003d 2 * 5 * 61. U tablici primitivnih brojeva vidimo da je 61 broj primitivan. Usput, naknadni uzrok broja 610 je nerealan. Dobivamo konačni rezultat | AC | \u003d? 610. Ako je kvadrat hipotenuze bio jednak, na primjer, 675, zatim? 675 \u003d? (3 x 25 * 9) \u003d 5 * 3 *? 3 \u003d 15 *? 3 U slučaju da je slična točnost dopuštena, izvršavaju povratnu provjeru - uzmite rezultat na kvadratu i usporedite s početnom vrijednošću.

3. Poznati po nas jednom od kateta i kuta uz njega. Za određenost, neka bude kateti | ab | i kutak?. Tada možemo iskoristiti formulu za trigonometrijsku funkciju kosinusa u kutu jednaka stavu susjednog kateka za hipotenuse. Oni. U našim oznakama cos? \u003d | Ab | / | AC | Panel dobiti duljinu hipotenuse | AC | \u003d | Ab | / Cos?. Ako smo bili poznati po nama Kartat | BC | i kut?, Tada koristimo formulu za izračunavanje sinu kuta - kutni sinus je jednak stav suprotne kategorije na hipotenuzu: grijeh? \u003d | BC | / | AC | Dobivamo da je duljina hipotekusa kao | AC | \u003d | BC | / Cos?

4. Za jasnoću ćemo vidjeti primjer. Neka Dana Cate duljina | ab | \u003d 15. I kut? \u003d 60 °. Dobivamo | AC | \u003d 15 / cos 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30. Vidjet ćemo kako je dopušteno provjeriti vaš rezultat s teoremom Pitagorete. Da biste to učinili, moramo brojati duljinu druge kategorije | bc |. Koristeći formulu za tangent TG kutak? \u003d | BC | / | AC |, Get | BC | \u003d | Ab | * Tg? \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 *? 3. Nadalje primijeniti Pythagore Theorem, dobivamo 15 ^ 2 + (15 x 3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Test se izvršava.

Korisne savjete
Izračunavanje hipotenut, izvršava provjeru - hoće li dobivena vrijednost Pythagora teorema zadovoljiti.

Na samom početku se sjećamo da je trokut polihedron koji ima 3 kut. Kako pronaći pravokutni hipotenuzu, ako su poznate druge vrijednosti trokuta?

Uputstvo

1. Poznate katete. U tom slučaju, hipotenuzer se može izračunati pomoću teorema Pytagore. Ovaj teorem zvuči ovako: zbroj kvadrata kateteta jednaka je kvadratu hipotenuze. Iz toga slijedi da bi izračunali duljinu hipotenuze, potrebno je izgraditi kvadrat naizmjenično za svaku kategoriju. Nakon toga, dobivene slike su presavijeni, a od općeg rezultata već se ukloni kvadratni korijen.
2. Kako pronaći hipokneueuete u KFB trokutu Ako znate Catat (VC) i susjedni kut? Poznati kut označen je α. Jedna od svojstava pravokutnog trokuta kaže sljedeće, omjer duljine pravokutnog omjera trokuta do duljine hipotenuze je jednak kosinuznog kuta koji se nalazi između hipotenura i ovog kateta. To se može napisati kako slijedi: fb \u003d bk * cos (α).
3. Poznat još jedan katat (KF) i isti kutak α, sada će biti suprotno. HipotenUse se također može pronaći ako primijenite ista svojstva pravokutnog trokuta. Ovdje ćemo dobiti, omjer duljine omjera pravokutnog trokuta do duljine njegove hipotekuse je jednak sinusu kuta, suprotnu kateteru. Pišemo: fb \u003d kf * grijeh (α).
4. Kako pronaći trokut hipoten, ako je krug opisan blizu njega, koji je poznat po svom radijusu. Od svojstava kruga, koja je opisana oko pravokutnog trokuta, poznato je da centar ima centar s točkom hipotenuse, koji ga dijeli na pola. Drugim riječima, radijus je jednak polovici hipotekulture. To znači da dva polumjera čine hipotenuzu: fb \u003d 2 * R.

Znajući svojstva pravokutnog trokuta i teorema pepagore, vrlo je lako izračunati duljinu hipotenuse. Ako vam je i dalje teško zapamtiti sva svojstva, samo naučite gotove formule u kojima je vrlo lako zamijeniti poznate vrijednosti za izračunavanje duljine hipotenuse.

Geometrija nije jednostavna znanost. To zahtijeva posebnu pozornost i znanje o točnim formulama. Ova vrsta matematike došla nam je od drevne Grčke, a čak i nakon nekoliko tisuća godina ne gubi njihovu važnost. Nije potrebno uzalud razmišljati da je to beskorisna stvar koja postiže šef studenata i školske djece. Zapravo, geometrija se primjenjuje u mnogim sferama života. Bez njezina znanja o geometriji, ne stvaraju se arhitektonska struktura, stvaraju se automobili, kozmički brodovi i zrakoplovi. Kompleks i ne samo savez cesta i kralja - sve treba geometrijske izračune. Da, čak i ponekad popravak u vašoj sobi ne možete učiniti bez poznavanja elementarnih formula. Stoga ne podcjenjujte važnost ove teme. Najčešće formule koje se moraju koristiti u mnogim odlukama, studiramo u školi. Jedan od njih je pronalaženje hipotenija u pravokutnom trokutu. Da biste to shvatili, pročitajte u nastavku.

Prije nastavka s praksom, počnimo s osnovama i definiramo što hipotenuse u pravokutnom trokutu.

Hipotenuse je jedna od strana u pravokutnom trokutu, koja se nalazi nasuprot kutu od 90 stupnjeva (ravni kut) i uvijek je najduži.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje duljine željenog hipotenusa u određenom pravokutnom trokutu.

U slučaju kada su nam već poznate mačke, koristimo Pythagoreovu teoremu, gdje presavimo zbroj kvadrata dvaju kanteta, koji će biti jednak kvadratu hipotenuze.

a i B - Slatka, C-hipotenuse.

U našem slučaju, za pravokutni trokut, formula će biti sljedeća:

Ako zamijenimo poznate brojeve kateteta A i B, neka bude a \u003d 3 a B \u003d 4, zatim c \u003d ®32 + 42, zatim dobivamo C \u003d ®525, c \u003d 5

Kada imamo duljinu samo jedne kategorije, formula se može pretvoriti kako bi se pronašla duljina sekunde. Izgleda ovako:

U slučaju kada, prema uvjetima zadatka, mi smo poznati po Catatu A i Hypotenuse C, onda možete izračunati ravni kut trokuta, nazvati ga α.

Da biste to učinili, koristimo formulu:

Neka drugi kut koji trebamo izračunati bit će β. S obzirom da znamo zbroj uglova trokuta, koji je 180 °, onda: β \u003d 180 ° -90 ° -α

U slučaju kada znamo vrijednosti kateteta, možete pronaći vrijednost oštrog kuta trokuta pomoću formule:

Ovisno o poznatim općeprihvaćenim vrijednostima, strana pravokutnika može se naći na različitim formulama. Ovo su neki od njih:

Pri rješavanju problema s pronalaženjem nepoznatog u pravokutnom trokutu, vrlo je važno naglasiti pažnju na vas već poznat vama i, na temelju toga, zamijeniti ih u željenoj formuli. Odmah se sjećaju da će ih biti teški, pa savjetujemo vam da napravite mali rukom pisani prompt i nastali u bilježnici.

Kao što možete vidjeti, ako ste u svim suptilnostima ove formule, lako možete shvatiti. Preporučujemo da pokušate riješiti nekoliko zadataka na temelju ove formule. Nakon što vidite svoj rezultat, postat ćete jasni, shvatili ste ovu temu ili ne. Pokušajte ne pamtiti, nego ispljunuti u materijal, to će biti mnogo korisnije. Nazubljeni materijal se zaboravlja nakon prve kontrole, a ova formula će se naći vrlo često, tako da ga prvo razumijete, a zatim zapamtite. Ako ove preporuke nisu dali pozitivan učinak, to jest, ima smisla u dodatnim razredima ove teme. I zapamtite: učenje svjetla, ne učenje tame!

Postoje tri opcije za rješavanje ovog zadatka. Prvi - ako je u uvjetima problema s obzirom na to da su mačke jednaki (u stvari, imamo pravokutni anogrelski anogrel). Drugi je ako je još uvijek dat neka vrsta kuta (osim kuta od 45%, onda imamo isti anoskelski trokut i vratite se na prvu verziju). I treći - kada je poznat jedan od kateta. Razmotrite ove opcije detaljnije.

Kako pronaći jednake katetete, s poznatim hitotenuseom

• prvi katat (označavamo njegovom slovom "A") jednaka je drugoj kateletu ((označava njegovo slovo "B"): a \u003d b;

• kateše veličine;

U ovoj izvedbi, otopina problema temelji se na korištenju Pitagorejskog teorema. Primijenjen je na pravokutne trokute i glavnu opciju zvuči kao: "Trg hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateteta." Dakle, možemo biti jednaki nama, možemo odrediti obje kategorije s istim pralom: a \u003d b, to znači a \u003d a.

1. Zamijenimo našu uvjetnu notaciju u teoremu (uključujući i gore navedeno):
   C ^ 2 \u003d ^ 2 + a ^ 2,
2. Zatim pojednostavljujemo formulu što je više moguće:
   C ^ 2 \u003d 2 * (a ^ 2) - skupina,
   C \u003d √2 * a - donijeti oba dijela jednadžbe na kvadratni korijen,
   A \u003d c / √2 - podnosimo željenu.
3. Zamijeni ovu vrijednost hipotenut i dobivamo rješenje:
   a \u003d x / √2

Kako pronaći Katenet, s poznatim hipotenuse i ugljena

• hipotenuse (označeno slovom "C") jednaka x cm: c \u003d x;
• kut β je jednak Q: β \u003d q;

• kateše veličine;

Da biste riješili ovaj problem, potrebno je koristiti trigonometrijske funkcije. Još četiri popularna dva:

• funkcija sinusa - sinus željenog kuta jednak je stavu suprotne kategorije na hipotenuzu;
• funkcija kosine - kosinus željenog kuta jednaka je stavu susjednog kateka za hipotenuzu;

Možete koristiti bilo koji. Pojavit ću se primjer koristeći prvi. Neka katenet ukazuje na likove "a" (uz kut) i "B" (nasuprot kutu). Prema tome, naš kut leži između kateteta "a" i hipotenuse.

1. Zamijenimo odabrane konvencije u formuli:
   sINP \u003d B / C
2. Donosimo Catat:
   b \u003d c * sinββ
3. Zamijenimo naše dano i imamo jedan katat.
   b \u003d c * sinq

Drugi katat se može naći pomoću druge trigonometrijske funkcije ili idite na treću opciju.

Kako pronaći jedan katat ako je hipotenuzija poznat i drugi katat

• hipotenuse (označeno slovom "C") jednaka x cm: c \u003d x;
• catat (označavamo slovo "B") jednaka je y cm: b \u003d y;

• veličina druge kategorije (označavamo njegovom slovom "A");

U ovoj izvedbi, rješenje problema, kao u prvom, je korištenje teorema Pitagores.

1. Zamijenimo našu uvjetnu notaciju u teoremu:
   C ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2,
2. Izvodimo potrebne katat:
   a ^ 2 \u003d c ^ 2-b ^ 2
3. Vjerujte oba dijela jednadžbe na kvadratni korijen:
   A \u003d √ (c ^ 2-b ^ 2)
4. Zamijenimo te vrijednosti i imamo rješenje:
   a \u003d √ (x ^ 2-y ^ 2)