किसी कॉलम में घटाव कैसे करें

बहु-अंकीय संख्याओं का घटाव आम तौर पर एक कॉलम में किया जाता है, संख्याओं को एक के नीचे एक लिखा जाता है (ऊपर से घटाया जाता है, नीचे से घटाया जाता है) ताकि समान अंकों के अंक एक दूसरे के नीचे खड़े हों (इकाइयों को इकाइयों के नीचे, दहाई को नीचे) दसियों, आदि)। बाईं ओर संख्याओं के बीच एक क्रिया चिन्ह रखा गया है। उपशीर्षक के नीचे एक रेखा खींचें. गणना इकाइयों के निर्वहन से शुरू होती है: इकाइयों को इकाइयों से घटाया जाता है, फिर दहाई से - दहाई, आदि। घटाव का परिणाम पंक्ति के नीचे लिखा जाता है:

एक उदाहरण पर विचार करें जब किसी स्थान पर मीनूएंड का अंक सबट्रेंड के अंक से कम हो:

हम 2 में से 9 नहीं घटा सकते, ऐसी स्थिति में हमें क्या करना चाहिए? इकाइयों की श्रेणी में, हमारे पास कमी है, लेकिन दहाई की श्रेणी में, घटी हुई इकाई में पहले से ही 7 दहाई हैं, इसलिए हम इन दसियों में से एक को इकाइयों की श्रेणी में स्थानांतरित कर सकते हैं:

इकाइयों की श्रेणी में, हमारे पास 2 थीं, हमने एक दर्जन फेंक दीं, यह 12 इकाइयाँ हो गईं। अब हम 12 में से 9 को आसानी से घटा सकते हैं। हम इकाई के स्थान पर पंक्ति के नीचे 3 लिखते हैं। दहाई के स्थान पर, हमारे पास 7 इकाइयाँ थीं, हमने उनमें से एक को सरल इकाइयों में फेंक दिया, 6 दहाई बचे। हम पंक्ति के नीचे दहाई के स्थान पर 6 लिखते हैं। परिणामस्वरूप, हमें संख्या 63 प्राप्त होती है:

किसी कॉलम द्वारा घटाव को आमतौर पर इतने विस्तार से नहीं लिखा जाता है, इसके बजाय, अंक के अंक के ऊपर एक बिंदु रखा जाता है, जिसमें से इकाई पर कब्जा कर लिया जाएगा, ताकि यह याद न रहे कि किस अंक को अतिरिक्त रूप से घटाना होगा। इकाई:

साथ ही, वे यह भी कहते हैं: आप 2 में से 9 नहीं घटा सकते, हम एक लेते हैं, 12 में से 9 घटाते हैं - हमें 3 मिलता है, हम 3 लिखते हैं, दहाई के स्थान पर हमारे पास 7 इकाइयाँ थीं, हमने एक फेंक दिया, 6 बचे , हम 6 लिखते हैं।

अब शून्य वाली संख्याओं से कॉलम घटाने पर विचार करें:

आइए घटाना शुरू करें. हम 7 में से 3 घटाते हैं, 4 लिखते हैं। हम शून्य में से 5 नहीं घटा सकते हैं, इसलिए हम उच्चतम अंक में एक इकाई लेने के लिए मजबूर हैं, लेकिन हमारे पास उच्चतम अंक में 0 भी है, इसलिए इस अंक के लिए हम एक इकाई लेने के लिए मजबूर हैं। उच्चतर अंक. हम हजारों की श्रेणी से एक इकाई लेते हैं, हमें 10 सैकड़ों मिलते हैं:

हम सैकड़ों अंक की इकाइयों में से एक को सबसे कम महत्वपूर्ण अंक तक लेते हैं, हमें 10 दहाई मिलते हैं। 10 में से 5 घटाओ, 5 लिखो:

सैकड़े के स्थान पर हमारे पास 9 इकाइयाँ बची हैं, इसलिए हम 9 में से 6 घटाते हैं, 3 लिखते हैं। हज़ार के स्थान पर, हमारे पास एक इकाई थी, लेकिन हमने इसे निचले अंकों पर खर्च कर दिया, इसलिए यहाँ शून्य रहता है (आपको इसकी आवश्यकता नहीं है) इसे लिखने के लिए)। परिणामस्वरूप, हमें संख्या 354 मिली:

समाधान का इतना विस्तृत रिकॉर्ड यह समझने में आसान बनाने के लिए दिया गया था कि किसी कॉलम द्वारा शून्य वाली संख्याओं में से घटाव कैसे किया जाता है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, व्यवहार में समाधान आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है:

और उल्लिखित सभी क्रियाएं मन में ही की जाती हैं। घटाव को आसान बनाने के लिए, एक सरल नियम याद रखें:

यदि घटाने पर शून्य के ऊपर एक बिंदु हो तो शून्य 9 हो जाता है।

कॉलम घटाव कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको एक कॉलम द्वारा संख्याएँ घटाने में मदद करेगा। बस मीनूएंड और सबट्रेंड दर्ज करें और कैलकुलेट बटन पर क्लिक करें।

रोजमर्रा की जिंदगी में भी इसका बहुत महत्व है. किसी स्टोर में परिवर्तन की गिनती करते समय घटाव अक्सर काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, आपके पास एक हजार (1000) रूबल हैं, और आपकी खरीदारी की राशि 870 है। आप भुगतान करने से पहले पूछेंगे: "मेरे पास कितना परिवर्तन होगा?"। तो, 1000-870 130 होगा। और ऐसी कई अलग-अलग गणनाएं हैं और इस विषय में महारत हासिल किए बिना, वास्तविक जीवन में यह मुश्किल होगा। घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसके दौरान दूसरे नंबर को पहले नंबर से घटाया जाता है, और परिणाम तीसरा होगा.

जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ए - बी = सी

ए- वास्या के पास शुरू में सेब थे।

बी- पेट्या को दिए गए सेबों की संख्या।

सी- स्थानांतरण के बाद वास्या के पास सेब हैं।

सूत्र में स्थानापन्न:

संख्याओं का घटाव

किसी भी पहली कक्षा के विद्यार्थी के लिए संख्याओं को घटाना आसान है। उदाहरण के लिए, 6 में से 5 घटाया जाना चाहिए। 6-5=1, 6, 5 से एक बड़ा है, जिसका अर्थ है कि उत्तर एक होगा। जांचने के लिए आप 1+5=6 जोड़ सकते हैं। यदि आप जोड़ से परिचित नहीं हैं, तो आप हमारा लेख पढ़ सकते हैं।

एक बड़ी संख्या को भागों में विभाजित किया गया है, आइए संख्या 1234 लें और इसमें: 4-एक, 3-दहाई, 2-सैकड़ा, 1-हजार। यदि आप इकाइयाँ घटा दें, तो सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन आइए एक उदाहरण लें: 14-7. संख्या 14 में: 1 दस है, और 4 इकाई है। 1 दस - 10 इकाइयाँ। फिर हमें 10 + 4-7 मिलता है, आइए ऐसा करें: 10-7 + 4, 10 - 7 = 3, और 3 + 4 = 7। सही उत्तर मिल गया!

आइए एक उदाहरण 23-16 पर विचार करें। पहली संख्या 2 दहाई और 3 इकाई है, और दूसरी संख्या 1 दहाई और 6 इकाई है। आइए संख्या 23 को 10+10+3 और 16 को 10+6 के रूप में निरूपित करें, फिर 23-16 को 10+10+3-10-6 के रूप में निरूपित करें। फिर 10-10=0, 10+3-6 बचता है, 10-6=4, फिर 4+3=7. उत्तर मिल गया!

इसी प्रकार सैकड़ों और हजारों के साथ भी ऐसा किया जाता है

कॉलम घटाव

उत्तर: 3411.

भिन्नों का घटाव

एक तरबूज की कल्पना करो. एक तरबूज पूरा होता है, और आधा काटने पर हमें एक से कुछ कम मिलता है, है ना? आधी इकाई. इसे कैसे लिखें?

½, इसलिए हम एक पूरे तरबूज के आधे हिस्से को दर्शाते हैं, और यदि हम तरबूज को 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो उनमें से प्रत्येक को ¼ से दर्शाया जाएगा। और इसी तरह…

भिन्नों को कैसे घटाएं

सब कुछ सरल है. 2/4 ¼-वें से घटाएँ। घटाते समय, यह महत्वपूर्ण है कि एक भिन्न का हर (4) दूसरे भिन्न के हर के साथ मेल खाता हो। (1) और (2) को अंश कहा जाता है।

तो चलिए घटाते हैं. सुनिश्चित करें कि हर समान हों। फिर हम अंशों (2-1)/4 को घटाते हैं, इसलिए हमें 1/4 प्राप्त होता है।

घटाव सीमा

सीमाएं घटाना कठिन नहीं है. यहां एक सरल सूत्र पर्याप्त है, जो कहता है कि यदि कार्यों के अंतर की सीमा संख्या ए की ओर झुकती है, तो यह इन कार्यों के अंतर के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक की सीमा संख्या ए की ओर झुकती है।

मिश्रित संख्याओं का घटाव

मिश्रित संख्या भिन्नात्मक भाग वाला एक पूर्णांक है। अर्थात्, यदि अंश, हर से छोटा है, तो भिन्न एक से कम है, और यदि अंश, हर से बड़ा है, तो भिन्न एक से बड़ा है। मिश्रित संख्या एक भिन्न होती है जो एक से बड़ी होती है और उसका एक पूर्णांक भाग हाइलाइट किया जाता है, आइए एक उदाहरण का उपयोग करें:

मिश्रित संख्याओं को घटाने के लिए, आपको चाहिए:

भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

अंश में पूर्णांक भाग दर्ज करें

हिसाब लगाओ

घटाव पाठ

घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जिसके दौरान 2 संख्याओं का अंतर खोजा जाता है और तीसरे का उत्तर दिया जाता है। जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ए - बी = सी.

आप नीचे उदाहरण और कार्य पा सकते हैं।

पर अंश घटावयह याद रखना चाहिए कि:

भिन्न 7/4 को देखते हुए, हम पाते हैं कि 7, 4 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि 7/4, 1 से बड़ा है। पूर्ण भाग का चयन कैसे करें? (4+3)/4, तो हमें भिन्नों का योग 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4 मिलता है। परिणाम: एक संपूर्ण, तीन चौथाई.

घटाव ग्रेड 1

पहली कक्षा यात्रा की शुरुआत है, सीखने की शुरुआत और घटाव सहित बुनियादी बातें सीखना। शिक्षा को खेल के रूप में संचालित किया जाना चाहिए। हमेशा पहली कक्षा में, गणना सेब, मिठाई, नाशपाती पर सरल उदाहरणों से शुरू होती है। इस पद्धति का उपयोग व्यर्थ नहीं है, बल्कि इसलिए किया जाता है क्योंकि जब बच्चों के साथ खेला जाता है तो वे अधिक रुचि रखते हैं। और यही एकमात्र कारण नहीं है. बच्चों ने अपने जीवन में सेब, मिठाइयाँ और इसी तरह की चीज़ें बहुत बार देखी हैं और स्थानांतरण और मात्रा से भी निपटा है, इसलिए ऐसी चीज़ों को जोड़ना सिखाना मुश्किल नहीं होगा।

प्रथम ग्रेडर के लिए घटाव कार्य पूरे क्लाउड के साथ आ सकते हैं, उदाहरण के लिए:

कार्य 1।सुबह, जंगल से गुजरते हुए, हाथी को 4 मशरूम मिले, और शाम को, जब वह घर आया, तो हाथी ने रात के खाने में 2 मशरूम खाए। कितने मशरूम बचे हैं?

कार्य 2.माशा रोटी के लिए दुकान पर गई। माँ ने माशा को 10 रूबल दिए, और रोटी की कीमत 7 रूबल थी। माशा को कितना पैसा घर लाना चाहिए?

कार्य 3.सुबह दुकान के काउंटर पर 7 किलोग्राम पनीर था। दोपहर के भोजन से पहले, आगंतुकों ने 5 किलोग्राम खरीदा। कितने किलोग्राम बचे हैं?

कार्य 4.रोमा ने वह मिठाइयाँ बाहर निकाल लीं जो उसके पिता ने उसे दी थीं। रोमा के पास 9 मिठाइयाँ थीं, और उसने 4 अपनी दोस्त निकिता को दे दीं। रोमा के पास कितनी मिठाइयाँ बचीं?

प्रथम-ग्रेडर अधिकतर उन समस्याओं को हल करते हैं जिनका उत्तर 1 से 10 तक की संख्या होती है।

घटाव ग्रेड 2

दूसरी कक्षा पहले से ही ऊंची है, और, तदनुसार, हल करने के लिए उदाहरण भी। तो चलो शुरू हो जाओ:

संख्यात्मक कार्य:

एकल अंक:

1. 10 - 5 =
2. 7 - 2 =
3. 8 - 6 =
4. 9 - 1 =
5. 9 - 3 - 4 =
6. 8 - 2 - 3 =
7. 9 - 9 - 0 =
8. 4 - 1 - 3 =

दोहरे आंकड़े:

1. 10 - 10 =
2. 17 - 12 =
3. 19 - 7 =
4. 15 - 8 =
5. 13 - 7 =
6. 64 - 37 =
7. 55 - 53 =
8. 43 - 12 =
9. 34 - 25 =
10. 51 - 17 - 18 =
11. 47 - 12 - 19 =
12. 31 - 19 - 2 =
13. 99 - 55 - 33 =

पाठ समस्याएँ

घटाव 3-4 ग्रेड

ग्रेड 3-4 में घटाव का सार बड़ी संख्याओं के कॉलम में घटाव है।

उदाहरण 4312-901 पर विचार करें। आरंभ करने के लिए, आइए संख्याओं को एक के नीचे एक लिखें, ताकि संख्या 901 से इकाई 2 के अंतर्गत, 0 के अंतर्गत 1, 9 के अंतर्गत 3 हो।

फिर हम दाएं से बाएं, यानी संख्या 2 से संख्या 1 घटाते हैं। हमें इकाई मिलती है:

तीन में से नौ घटाने पर आपको एक दस उधार लेना होगा। यानी 4 में से 1 दहाई घटाएं. 10+3-9=4.

और चूँकि 4 ने 1 लिया, तो 4-1 = 3

उत्तर: 3411.

घटाव ग्रेड 5

पांचवीं कक्षा विभिन्न हर वाले जटिल भिन्नों पर काम करने का समय है। आइए नियम दोहराएं: 1. अंश घटाए जाते हैं, हर नहीं।

तो चलिए घटाते हैं. सुनिश्चित करें कि हर समान हों। फिर अंशों (2-1)/4 को घटाएं, तो हमें 1/4 मिलता है। भिन्नों को जोड़ते समय केवल अंश ही घटाए जाते हैं!

2. घटाने के लिए, सुनिश्चित करें कि हर बराबर हों।

यदि भिन्नों के बीच कोई अंतर है, उदाहरण के लिए, 1/2 और 1/3, तो आपको एक भिन्न को नहीं, बल्कि दोनों को एक सामान्य हर में लाने के लिए गुणा करना होगा। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका यह है कि पहले भिन्न को दूसरे के हर से गुणा करें, और दूसरे भिन्न को पहले के हर से गुणा करें, हमें मिलता है: 3/6 और 2/6। (3-2)/6 जोड़ें और 1/6 प्राप्त करें।

3. अंश और हर को समान संख्या से विभाजित करके भिन्न को छोटा किया जाता है।

भिन्न 2/4 को ½ के रूप में घटाया जा सकता है। क्यों? भिन्न क्या है? ½ = 1: 2, और यदि आप 2 को 4 से विभाजित करते हैं, तो यह 1 को 2 से विभाजित करने के समान है। इसलिए, भिन्न 2/4 = 1/2 है।

4. यदि भिन्न एक से बड़ी है तो आप पूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं।

भिन्न 7/4 को देखते हुए, हम पाते हैं कि 7, 4 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि 7/4, 1 से बड़ा है। पूर्ण भाग का चयन कैसे करें? (4+3)/4, तो हमें भिन्नों का योग 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4 मिलता है। परिणाम: एक संपूर्ण, तीन चौथाई.

घटाव प्रस्तुति

प्रेजेंटेशन का लिंक नीचे है. प्रस्तुति में छठी कक्षा के घटाव की मूल बातें शामिल हैं: प्रस्तुति डाउनलोड करें

जोड़ और घटाव की प्रस्तुति

जोड़ और घटाव के उदाहरण

मानसिक गिनती के विकास के लिए खेल

स्कोल्कोवो के रूसी वैज्ञानिकों की भागीदारी से विकसित विशेष शैक्षिक खेल एक दिलचस्प खेल के रूप में मौखिक गिनती कौशल को बेहतर बनाने में मदद करेंगे।

खेल "त्वरित स्कोर"

गेम "क्विक काउंट" आपको अपना सुधार करने में मदद करेगा सोच. खेल का सार यह है कि आपके सामने प्रस्तुत चित्र में, आपको "क्या 5 समान फल हैं?" प्रश्न का उत्तर "हां" या "नहीं" चुनना होगा। अपने लक्ष्य का पालन करें और यह गेम इसमें आपकी सहायता करेगा।

खेल "गणितीय मैट्रिक्स"

"गणितीय मैट्रिक्स" बढ़िया बच्चों के लिए मस्तिष्क व्यायाम, जो आपको उसके मानसिक कार्य, मानसिक गिनती, सही घटकों की त्वरित खोज, चौकसता विकसित करने में मदद करेगा। खेल का सार यह है कि खिलाड़ी को प्रस्तावित 16 संख्याओं में से एक जोड़ी ढूंढनी है जो कुल मिलाकर एक दी गई संख्या देगी, उदाहरण के लिए, नीचे दी गई तस्वीर में, यह संख्या "29" है, और वांछित जोड़ी "5" है " और "24"।

खेल "संख्यात्मक कवरेज"

इस अभ्यास के साथ अभ्यास करते समय गेम "नंबर कवरेज" आपकी मेमोरी को लोड करेगा।

खेल का सार संख्या को याद रखना है, जिसे याद करने में लगभग तीन सेकंड लगते हैं। फिर आपको इसे खेलना होगा. जैसे-जैसे आप खेल के चरणों में आगे बढ़ते हैं, संख्याओं की संख्या बढ़ती है, दो से शुरू करें और आगे बढ़ें।

खेल "गणितीय तुलना"

एक अद्भुत खेल जिसके साथ आप अपने शरीर को आराम दे सकते हैं और अपने मस्तिष्क को तनावग्रस्त कर सकते हैं। स्क्रीनशॉट में इस गेम का उदाहरण दिखाया गया है, जिसमें तस्वीर से जुड़ा एक सवाल होगा और आपको जवाब देना होगा. समय सीमित है. आप कितनी बार उत्तर दे सकते हैं?

खेल "ऑपरेशन का अनुमान लगाएं"

खेल "गेस द ऑपरेशन" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार एक गणितीय चिह्न चुनना है ताकि समानता सत्य हो। स्क्रीन पर उदाहरण दिए गए हैं, ध्यान से देखें और वांछित "+" या "-" चिन्ह लगाएं ताकि समानता सही हो। चित्र के नीचे "+" और "-" चिह्न स्थित हैं, वांछित चिह्न का चयन करें और वांछित बटन पर क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

खेल "सरलीकृत करें"

खेल "सरलीकरण" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार गणितीय ऑपरेशन को शीघ्रता से पूरा करना है। ब्लैकबोर्ड पर स्क्रीन पर एक छात्र का चित्र बनाया गया है और एक गणितीय क्रिया दी गई है, छात्र को इस उदाहरण की गणना करनी है और उत्तर लिखना है। नीचे तीन उत्तर दिए गए हैं, जो संख्या आपको चाहिए उसे गिनें और माउस से क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

खेल "दृश्य ज्यामिति"

खेल "विज़ुअल ज्योमेट्री" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार छायांकित वस्तुओं की संख्या को तुरंत गिनना और उत्तरों की सूची से उसका चयन करना है। इस गेम में, कुछ सेकंड के लिए स्क्रीन पर नीले वर्ग दिखाए जाते हैं, उन्हें जल्दी से गिना जाना चाहिए, फिर वे बंद हो जाते हैं। टेबल के नीचे चार नंबर लिखे हुए हैं, आपको एक सही नंबर चुनना होगा और उस पर माउस से क्लिक करना होगा। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

गुल्लक खेल

खेल "पिग्गी बैंक" से सोच और स्मृति विकसित होती है। खेल का मुख्य सार यह चुनना है कि किस गुल्लक में अधिक पैसे हैं। इस खेल में, चार गुल्लक दिए जाते हैं, आपको गिनना होगा कि किस गुल्लक में अधिक पैसे हैं और इस गुल्लक को माउस से दिखाना है। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और आगे खेलना जारी रखते हैं।

अभूतपूर्व मानसिक अंकगणित का विकास

गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए हमने केवल हिमशैल के टिप पर विचार किया है - हमारे पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें: मानसिक गिनती में तेजी लाएं - मानसिक अंकगणित नहीं।

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30 दिनों में स्पीड रीडिंग

30 दिनों में अपनी पढ़ने की गति 2-3 गुना बढ़ाएँ। 150-200 से 300-600 शब्द प्रति मिनट या 400 से 800-1200 शब्द प्रति मिनट तक। पाठ्यक्रम तेजी से पढ़ने के विकास के लिए पारंपरिक अभ्यासों का उपयोग करता है, ऐसी तकनीकें जो मस्तिष्क के काम को तेज करती हैं, पढ़ने की गति को उत्तरोत्तर बढ़ाने की एक विधि, तेजी से पढ़ने के मनोविज्ञान और पाठ्यक्रम प्रतिभागियों के प्रश्नों को समझती है। प्रति मिनट 5,000 शब्द तक पढ़ने वाले बच्चों और वयस्कों के लिए उपयुक्त।

5-10 वर्ष के बच्चे में स्मृति और ध्यान का विकास

पाठ्यक्रम का उद्देश्य बच्चे की याददाश्त और ध्यान को विकसित करना है ताकि उसके लिए स्कूल में पढ़ाई करना आसान हो, ताकि वह बेहतर याद रख सके।

पाठ्यक्रम पूरा करने के बाद, बच्चा सक्षम होगा:

1. पाठ, चेहरे, संख्याएँ, शब्द याद रखने में 2-5 गुना बेहतर

   पैसा और करोड़पति की मानसिकता

   पैसों की समस्या क्यों होती है? इस पाठ्यक्रम में, हम इस प्रश्न का विस्तार से उत्तर देंगे, समस्या पर गहराई से विचार करेंगे, मनोवैज्ञानिक, आर्थिक और भावनात्मक दृष्टिकोण से पैसे के साथ हमारे संबंधों पर विचार करेंगे। पाठ्यक्रम से, आप सीखेंगे कि आपको अपनी सभी वित्तीय समस्याओं को हल करने, पैसे बचाने और भविष्य में निवेश करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है।

   पैसे के मनोविज्ञान को जानना और उसके साथ काम करने का तरीका एक व्यक्ति को करोड़पति बनाता है। आय में वृद्धि के साथ 80% लोग अधिक ऋण लेते हैं, और भी गरीब हो जाते हैं। दूसरी ओर, स्व-निर्मित करोड़पति, यदि शुरुआत से शुरुआत करें तो 3-5 वर्षों में फिर से लाखों कमा लेंगे। यह पाठ्यक्रम आय का उचित वितरण और लागत में कमी सिखाता है, आपको सीखने और लक्ष्य हासिल करने के लिए प्रेरित करता है, आपको पैसा निवेश करना और घोटाले को पहचानना सिखाता है।

दो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ज्ञात करने की एक सुविधाजनक विधि है - एक कॉलम में घटाव, या एक कॉलम में घटाव। इस विधि का नाम लघुअंत और अंतर को एक दूसरे के अंतर्गत लिखने की विधि से लिया गया है। तो आप संख्याओं के आवश्यक अंकों के अनुसार बुनियादी और मध्यवर्ती दोनों गणनाएँ कर सकते हैं।

इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है क्योंकि यह बहुत सरल, तेज़ और दृश्यमान है। सभी प्रतीत होने वाली जटिल गणनाओं को अभाज्य संख्याओं के जोड़ और घटाव तक कम किया जा सकता है।

नीचे हम देखेंगे कि इस पद्धति का उपयोग कैसे करें। अधिक स्पष्टता के लिए हमारे तर्क को उदाहरणों द्वारा समर्थित किया जाएगा।

कॉलम घटाव सीखने से पहले क्या समीक्षा की जानी चाहिए?

यह विधि कुछ सरल चरणों पर आधारित है जिन्हें हम पहले ही कवर कर चुके हैं। यह दोहराना आवश्यक है कि जोड़ तालिका का उपयोग करके सही तरीके से कैसे घटाया जाए। समान प्राकृतिक संख्याओं को घटाने की मूल संपत्ति को जानना भी वांछनीय है (शाब्दिक रूप से, इसे a − a = 0 के रूप में लिखा जाता है)। हमें निम्नलिखित समानताओं की आवश्यकता होगी a − 0 = a और 0 − 0 = 0, जहां a कोई मनमाना प्राकृतिक संख्या है (यदि आवश्यक हो, तो पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करने के मूल गुण देखें)।

इसके अलावा, यह जानना महत्वपूर्ण है कि प्राकृतिक संख्याओं का अंक कैसे निर्धारित किया जाए।

पहले चरण में मुख्य बात प्रारंभिक डेटा को सही ढंग से लिखना है। सबसे पहले, वह पहली संख्या लिखें जिसमें से हम घटाएंगे। इसके नीचे हम सबट्रेंड रखते हैं। श्रेणी को ध्यान में रखते हुए संख्याओं को एक दूसरे के नीचे सख्ती से स्थित होना चाहिए: दसियों के नीचे दसियों, सैकड़ों के नीचे सैकड़ों, इकाइयों के नीचे इकाइयां। प्रविष्टि दाएँ से बाएँ पढ़ी जाती है। इसके बाद, कॉलम के बाईं ओर एक माइनस लगाएं और दोनों नंबरों के नीचे एक रेखा खींचें। इसके नीचे अंतिम परिणाम लिखा होगा।

उदाहरण 1

आइए यह दिखाने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें कि कौन सी गिनती प्रविष्टि सही है:

पहले की मदद से हम पता लगा सकते हैं कि 56 - 9 कितना होगा, दूसरे की मदद से - 3004 - 1670, तीसरे की मदद से - 203604500 - 56777।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस पद्धति का उपयोग करके, आप अलग-अलग जटिलता की गणना कर सकते हैं।

इसके बाद, अंतर खोजने की प्रक्रिया पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम अंकों के मानों का वैकल्पिक घटाव करते हैं: पहले, हम इकाइयों से इकाइयाँ घटाते हैं, फिर दहाई से दहाई, फिर सैकड़ों से सैकड़ों, आदि। मान स्रोत डेटा को परिणाम से अलग करने वाली रेखा के नीचे लिखे गए हैं। परिणामस्वरूप, हमें एक संख्या मिलनी चाहिए, जो समस्या का सही उत्तर होगा, अर्थात। मूल संख्याओं के बीच का अंतर.

गणनाएँ वास्तव में कैसे की जाती हैं, यह इस चित्र में देखा जा सकता है:

हमने रिकॉर्डिंग और गिनती की सामान्य तस्वीर का पता लगाया। हालाँकि, इस पद्धति में कुछ बिंदु ऐसे हैं जिन पर स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरण देंगे और उन्हें समझाएंगे। आइए सबसे सरल कार्यों से शुरुआत करें और धीरे-धीरे जटिलता बढ़ाएं जब तक कि हम अंततः सभी बारीकियों को समझ न लें।

हम आपको सभी उदाहरणों को ध्यान से पढ़ने की सलाह देते हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक अलग-अलग समझ से बाहर के बिंदुओं को दर्शाता है। यदि आप अंत तक पहुँचते हैं और सभी स्पष्टीकरण याद रखते हैं, तो भविष्य में प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की गणना करने से आपको थोड़ी सी भी कठिनाई नहीं होगी।

उदाहरण 2

स्थिति:कॉलम घटाव का उपयोग करके अंतर 74,805 - 24,003 ज्ञात करें।

समाधान:

हम इन संख्याओं को एक दूसरे के नीचे लिखते हैं, अंकों को एक दूसरे के नीचे सही ढंग से रखते हैं, और उन्हें रेखांकित करते हैं:

घटाव दाएँ से बाएँ अर्थात् इकाई से प्रारम्भ होता है। हम विचार करते हैं: 5 - 3 = 2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के लिए तालिकाएँ दोहराएं)। हम कुल को उस पंक्ति के नीचे लिखते हैं जहाँ इकाइयाँ इंगित की गई हैं:

दहाई घटाएं. हमारे कॉलम में दोनों मान शून्य हैं, और शून्य में से शून्य घटाने पर हमेशा शून्य मिलता है (याद रखें, हमने बताया था कि हमें बाद में इस घटाव गुण की आवश्यकता होगी)। परिणाम सही स्थान पर लिखा गया है:

अगला कदम हजार के अंतर का मान ज्ञात करना है: 4 − 4 = 0। परिणामी शून्य को उसके उचित स्थान पर लिखा जाता है और परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

हमें 50 802 मिला, जो उपरोक्त उदाहरण के लिए सही उत्तर होगा। इससे गणना पूरी हो जाती है.

उत्तर: 50 802 .

चलिए एक और उदाहरण लेते हैं:

उदाहरण 3

स्थिति: एक कॉलम द्वारा अंतर ज्ञात करने की विधि का उपयोग करके गणना करें कि 5 777 - 5 751 कितना होगा।

समाधान:

हमें जो कदम उठाने की आवश्यकता है वे पहले ही ऊपर दिए जा चुके हैं। हम उन्हें नए नंबरों के लिए क्रमिक रूप से निष्पादित करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

परिणाम के पहले दो शून्य हैं। क्योंकि वे पहले हैं, फिर आप उन्हें सुरक्षित रूप से त्याग सकते हैं और उत्तर में 26 प्राप्त कर सकते हैं। यह संख्या हमारे उदाहरण का सही उत्तर होगी.

उत्तर: 26 .

यदि आप उपरोक्त दो उदाहरणों की शर्तों को देखें, तो यह देखना आसान है कि अब तक हमने केवल वही संख्याएँ ली हैं जो वर्णों की संख्या में समान हैं। लेकिन कॉलम विधि का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब मीनूएंड में सबट्रेंड की तुलना में अधिक वर्ण शामिल हों।

उदाहरण 4

स्थिति: 502 864 संख्या 2 330 का अंतर ज्ञात करें।

समाधान

हम अंकों के वांछित सहसंबंध को देखते हुए संख्याओं को एक दूसरे के नीचे लिखते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

अब हम एक-एक करके मानों की गणना करते हैं:

– इकाइयाँ: 4 − 0 = 4;

- दहाई: 6 - 3 = 3;

- सैकड़ा: 8 - 3 = 5;

- हजार: 2 − 2 = 0.

आइए लिखें कि हमें क्या मिला:

सबट्रेंड में दसियों और सैकड़ों हजारों के स्थान पर मान होते हैं, लेकिन मीनूएंड में नहीं। क्या करें? याद रखें कि गणितीय उदाहरणों में शून्यता शून्य के बराबर है। इसलिए हमें मूल मानों से शून्य घटाने की जरूरत है। किसी प्राकृतिक संख्या में से शून्य घटाने पर हमेशा शून्य मिलता है, इसलिए, हमारे लिए जो कुछ बचता है वह उत्तर क्षेत्र में मूल बिट मानों को फिर से लिखना है:

हमारी गणना पूरी हो गई है. हमें कुल मिला: 502 864 - 2 330 = 500 534।

उत्तर: 500 534 .

हमारे उदाहरणों में, सबट्रेंड के अंकों का मान हमेशा मीनूएंड के मान से कम निकला, इसलिए इससे गणना में कोई कठिनाई नहीं हुई। क्या होगा यदि माइनस में जाए बिना निचली पंक्ति के मान को शीर्ष पंक्ति के मान से घटाना असंभव है? फिर हमें उच्च क्रम के मूल्यों को "उधार" लेने की आवश्यकता है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण लें.

उदाहरण 5

स्थिति: 534-71 का अंतर ज्ञात कीजिए।

हम पहले से ही परिचित कॉलम लिखते हैं और गणना का पहला चरण लेते हैं: 4 - 1 = 3। हम पाते हैं:

इसके बाद, हमें दहाई की गिनती की ओर आगे बढ़ना होगा। ऐसा करने के लिए, हमें 3 में से 7 घटाना होगा। यह ऑपरेशन प्राकृतिक संख्याओं के साथ नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह केवल उस मिनट के लिए समझ में आता है जो सबट्रेंड से बड़ा है। इसलिए, इस उदाहरण में, हमें उच्चतम क्रम से एक इकाई "उधार" लेने और इस प्रकार इसका "विनिमय" करने की आवश्यकता है। अर्थात्, हम एक प्रकार से 100 को 10 दहाई में बदल देते हैं और उनमें से एक ले लेते हैं। इसके बारे में न भूलने के लिए, हम वांछित अंक को एक बिंदु से चिह्नित करते हैं, और दहाई में हम एक अलग रंग में 10 लिखते हैं। हमारे पास इस प्रकार का रिकॉर्ड है:

परिणामी परिणाम पंक्ति के नीचे सही स्थान पर लिखा गया है:

हमें सैकड़ा गिनकर गिनती पूरी करनी बाकी है। हमारे पास संख्या 5 के ऊपर एक बिंदु है: इसका मतलब है कि हमने पिछले अंक के लिए यहां से दस लिया है। तब 5 − 1 = 4 . चार में से कुछ भी घटाने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि सैकड़ों मानों के निर्वहन में घटाए जाने का कोई अर्थ नहीं है। हम स्थान पर 4 लिखते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

उत्तर: 463 .

अक्सर, आपको एक ही उदाहरण में कई बार "विनिमय" क्रिया निष्पादित करनी पड़ती है। आइए इस समस्या पर एक नजर डालें.

उदाहरण 6

स्थिति: 1 632 - 947 कितना है?

समाधान

गणना के पहले चरण में, सात में से दो को घटाना आवश्यक है, इसलिए हम तुरंत 10 इकाइयों के बदले दस पर "कब्जा" कर लेते हैं। हम इस क्रिया को एक बिंदु से चिह्नित करते हैं और 10 + 2 - 7 = 5 मानते हैं। यहां हमारी प्रविष्टि चिह्नों के साथ कैसी दिखती है:

इसके बाद, हमें दहाई गिनने की जरूरत है। निर्दिष्ट बिंदु का अर्थ है कि गणना के लिए हम इस बिट में एक नंबर कम लेते हैं: 3 − 1 = 2। ड्यूस से, हमें चार घटाना है, इसलिए हम सैकड़ों का "विनिमय" करते हैं। हमें (10 + 2) − 4 = 12 − 4 = 8 मिलता है।

सैकड़ों की गिनती करने के लिए आगे बढ़ें। छह में से, हमने पहले ही एक पर कब्जा कर लिया है, इसलिए 6 - 1 = 5। हम पांच में से नौ घटाते हैं, जिसके लिए हम अपने पास मौजूद हजार लेते हैं और इसे 10 सौ के लिए "एक्सचेंज" करते हैं। तो (10 + 5) - 9 = 15 - 9 = 6। अब हमारी नोट प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

हजारवें स्थान पर गणना करना हमारे लिए बाकी है। हम पहले ही यहां से एक यूनिट उधार ले चुके हैं, इसलिए 1 − 1 = 0। हम परिणाम को अंतिम पंक्ति के नीचे लिखते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:

इससे गणना पूरी हो जाती है. आरंभ में शून्य को छोड़ा जा सकता है। तो 1632 − 947 = 685।

उत्तर: 685 .

आइए इससे भी अधिक जटिल उदाहरण लें।

इसमें एक पद को योग से तथा दूसरे पद को ज्ञात करना शामिल है।

मूल रकम कहलाती है कम किया हुआ, ज्ञात शब्द - घटाया, और परिणाम (अर्थात, वांछित पद) कहा जाता है अंतर.

संख्या घटाव गुण

1. ए - (बी + सी) = (ए - बी) - सी = (ए - सी) - बी ;

2. (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी = ए + (बी - सी) ;

3. ए - (बी - सी) = (ए - बी) + सी .

अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़ और घटाव दोनों) के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं संख्या रेखा- यह एक सीधी रेखा है, जिसमें एक मूल बिंदु होता है (यह बिंदु शून्य से मेल खाता है) और इससे फैलने वाली दो किरणें होती हैं, जिनमें से एक सकारात्मक संख्याओं से मेल खाती है, और दूसरी नकारात्मक से।

संख्या रेखा पर घटाव का उदाहरण

इस संख्या रेखा पर, आप देख सकते हैं कि 0 के बाईं ओर की संख्याओं का मान ऋणात्मक है। एक ऋणात्मक संख्या (इस स्थिति में -1) में से एक को तीन बार घटाने पर, हमें संख्या -1 प्राप्त होती है।

धनात्मक संख्या 4 में से धनात्मक संख्या 3 (या ऋणात्मक संख्या -1 को तीन बार घटाने पर) हमें एक प्राप्त होता है

उदाहरण

एक कॉलम द्वारा संख्याओं का घटाव

पहले इकाइयाँ घटाई जाती हैं, फिर दहाई, सैकड़ा, इत्यादि। इसके नीचे प्रत्येक कॉलम का अंतर लिखा हुआ है। यदि आवश्यक हो, तो निकटवर्ती बाएँ स्तंभ से (अर्थात उच्चतम क्रम से) संलग्न किया जाता है 1 .

आइए नीचे स्तंभकार घटाव के कुछ उदाहरण देखें।

एक कॉलम द्वारा दो अंकों की संख्याओं को घटाने का एक उदाहरण

एक कॉलम में तीन अंकों की संख्या घटाने का उदाहरण

तीन अंकों की संख्याओं को घटाने का सिद्धांत दो अंकों की संख्याओं को घटाने की विधि के समान है, इस मामले में संख्याएँ अब दस नहीं, बल्कि सैकड़ों हैं।

एक कॉलम द्वारा चार अंकों की संख्याओं को घटाने का एक उदाहरण

चार अंकों की संख्याओं को घटाने का सिद्धांत तीन अंकों की संख्याओं को घटाने की विधि के समान है, इस मामले में संख्याएँ अब सैकड़ों नहीं, बल्कि हजारों हैं।

एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाने के लिए, हम लघुअंत के अंतर्गत उपप्रकार रखते हैं, इस प्रकार: इकाई के अंतर्गत इकाई, दहाई के अंतर्गत दहाई। उदाहरण के लिए, आइए एक दो अंकीय संख्या को लघुअंक के रूप में लें, और एक अंकीय संख्या को उपअंक के रूप में लें।

7 – 5 = 2 हम परिणाम को इकाइयों के अंतर्गत लिखते हैं।

अब हम दहाई में से दहाई घटाते हैं, लेकिन सबट्रेंड में दहाई नहीं है, इसलिए हम प्रतिक्रिया में घटाए गए दस को छोड़ देते हैं।

27 – 5 = 22

आइए अब दोनों दो अंकों वाली संख्याएँ लें:

लघुअंत की इकाइयों में से सबट्रेंड की इकाइयों को घटाएं:

6 – 4 = 2 परिणाम को इकाइयों के अंतर्गत लिखें

अब मिनटेंड के दहाई में से सबट्रेंड के दहाई को घटाएं:

8 – 3 = 5 हम परिणाम को दहाई के नीचे लिखते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें अंतर मिलता है:

86 – 34 = 52

दस के माध्यम से संक्रमण के साथ घटाव

आइए निम्नलिखित संख्याओं के बीच अंतर जानने का प्रयास करें:

इकाइयाँ घटाएँ. 7 में से 9 घटाना असंभव है, हम घटे हुए दहाई में से एक दस निकालते हैं। भूलने से बचने के लिए हम दहाई के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं।

17 – 9 = 8

अब दहाई में से दहाई घटाएं। सबट्रेंड में कोई दहाई नहीं है, लेकिन हमने मीनूएंड से एक दहाई उधार लिया है:

2 दहाई - 1 दहाई = 1 दहाई

परिणामस्वरूप, हमें अंतर मिलता है:

27 – 9 = 18

अब, उदाहरण के लिए, तीन अंकों की संख्याएँ लें:

इकाइयाँ घटाएँ. 2 कम 8 , इसलिए हम घटे हुए दहाई में से एक दहाई लेते हैं: 2 + 10 = 12 (हम 10 को दहाई के ऊपर लिखते हैं)। भूलने से बचने के लिए हम दहाई के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं।

12 – 8 = 4 परिणाम इकाइयों के अंतर्गत लिखा गया है।

हमने इकाइयों के लिए दहाई में से एक दस पर कब्जा कर लिया, जिसका अर्थ है कि कम किए गए एक में अब तीन दहाई नहीं हैं, बल्कि दो हैं ( 3 दहाई - 1 दहाई = 2 दहाई).

छह से दो दहाई कम, सैकड़ों में से एक सौ या 10 दहाई लें ( 2 दहाई + 10 दहाई = 12 दहाईलिखना 10 दसियों मिनट से अधिक), और न भूलने के लिए, हम सैकड़ों को समाप्त कर देते हैं। दहाई घटाएँ:

12 दहाई - 6 दहाई = 6 दहाई परिणाम दहाई के नीचे लिखा गया है।

हमने सैकड़ों में से एक सौ पर कब्ज़ा कर लिया है और दसियों में बदल दिया है, जिसका मतलब है कि हमारे पास नहीं है 9 सैकड़ों, और 8 सैकड़ों ( 9 शतक - 1 सौ = 8 शतक). सैकड़ों घटाएँ:

8 शतक - 7 शतक = 1 शतक . हम परिणाम को सैकड़ों के नीचे लिखते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

932 – 768 = 164

आइए कार्य को जटिल बनाएं। यदि जिस श्रेणी से आपको दस लेने की आवश्यकता है, वह शून्य के बराबर हो तो क्या करें? उदाहरण के लिए:

हम इकाइयों से शुरू करते हैं। 2 कम 8 , अर्थात दहाई से लेना आवश्यक है। लेकिन दसियों में कमी के लिए 0 , जिसका अर्थ है कि दसियों के लिए आपको सैकड़ों से उधार लेना होगा। मीनूएंड में भी सैकड़ों की संख्या में 0 , हजारों से उधार लेना। भूलने से बचने के लिए हम हजारों के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं।

घटते सैकड़ों अवशेषों में 9 चूँकि हम दस के बदले एक सौ लेते हैं: 10 – 1 = 9 लिखना 9 सैकड़ों से अधिक.

दहाई में भी रहता है 9 , चूँकि हमने इकाइयों के लिए एक दस लिया: 10 – 1 = 9 लिखना 9 हम दसियों से अधिक और इकाइयों से अधिक लिखते हैं 10 .

गिनती इकाइयाँ:

12 – 8 = 4 परिणाम को इकाइयों के अंतर्गत लिखें।

दसियों मिनट शेष हैं 9 , हमें विचार विमर्श करना है:

9 – 6 = 3 परिणाम को दहाई के नीचे लिखें।

सैकड़ों घटते बचे 9 , घटाए गए में कोई सैकड़ा नहीं है, छोड़ें 9 प्रतिक्रिया में सैकड़ों।

हजारों की संख्या में कम हो गया था 1 , हमने इस पर कब्जा कर लिया (हजारों से अधिक), इसलिए अब हजारों नहीं बचे हैं। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

1002 – 68 = 934

तो चलिए इसे संक्षेप में कहें।

दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए (स्तंभ घटाव) :

1. हम लघुअंत के अंतर्गत सबट्रैहेंड डालते हैं, हम इकाई के अंतर्गत इकाई लिखते हैं, दहाई के अंतर्गत दहाई लिखते हैं, इत्यादि।
2. थोड़ा-थोड़ा करके घटाएँ।
3. यदि आपको अगली श्रेणी से दस लेना है, तो जिस श्रेणी से आपने उधार लिया है, उस पर एक बिंदु लगा दें। जिस श्रेणी में हम रहते हैं उसके ऊपर हम 10 डालते हैं।
4. यदि जिस अंक से हम उधार लेते हैं वह 0 है, तो इसके लिए हम घटे हुए अगले अंक से उधार लेते हैं, जिसके ऊपर हम एक बिंदु लगाते हैं। जिस श्रेणी के लिए उन्होंने कब्जा किया, उसके ऊपर हमने 9 रखा, क्योंकि एक दस पर कब्जा था।