Εργασία B7 - Μετασχηματισμός λογαριθμικών και ενδεικτικών εκφράσεων. Λογαριθμικές εκφράσεις
Τύπος μαθήματος: Μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης
Στόχοι:
- για την πραγματοποίηση της γνώσης των φοιτητών σχετικά με τους λογαρίθμους και τις ιδιότητές τους στο πλαίσιο μιας γενικευμένης επανάληψης και προετοιμασίας για τη χρήση.
- να προωθήσουν την ανάπτυξη της ψυχικής δραστηριότητας των φοιτητών, τις δεξιότητες εφαρμογής θεωρητικών γνώσεων κατά την εκτέλεση ασκήσεων ·
- να προωθήσουν την ανάπτυξη προσωπικών ιδιοτήτων των φοιτητών, των δεξιοτήτων αυτοελέγχου και της αυτοαξιολόγησης των δραστηριοτήτων τους · Εκπαιδεύστε τη σκληρή δουλειά, τον ασθενή, την επιμονή, την ανεξαρτησία.
Εξοπλισμός:Υπολογιστής, προβολέας, παρουσίαση (Συνημμένο 1), Κάρτες με μια εργασία (μπορείτε να επισυνάψετε ένα αρχείο με μια εργασία σε ένα ηλεκτρονικό ημερολόγιο).
Κατά τη διάρκεια των τάξεων
Ι. Οργανωτική στιγμή. Χαιρετισμός, διάθεση στο μάθημα.
Ii. Συζήτηση εργασία για το σπίτι.
III. Θέματα μηνυμάτων και στόχους του μαθήματος. Κίνητρο.(Διαφάνεια 1) Παρουσίαση.
Συνεχίζουμε να γενικεύουμε την επανάληψη της πορείας των μαθηματικών για την προετοιμασία για τις εξετάσεις. Και σήμερα στο μάθημα θα μιλήσουμε για τους λογαρίθμους και τις ιδιότητές τους.
Οι εργασίες για τον υπολογισμό των λογαρίθμων και ο μετασχηματισμός των λογαριθμικών εκφράσεων είναι απαραίτητα παρόντες σε υλικά ελέγχου και μέτρησης τόσο των βασικών όσο και των επιπέδων προφίλ. Ως εκ τούτου, ο σκοπός του μαθήματος μας είναι να αποκαταστήσουμε τις ιδέες για την έννοια της έννοιας του "λογαρίθμου" και να ενημερώσετε τις δεξιότητες για να μετατρέψετε λογαριθμικές εκφράσεις. Καταγράψτε το θέμα του μαθήματος σε σημειωματάρια.
Iv. Την πραγματοποίηση της γνώσης.
1. / από του στόματος /Για να ξεκινήσετε, θυμηθείτε τι ονομάζεται λογάριθμος. (Διαφάνεια 2)
(Ο λογάριθμος του θετικού αριθμού Β για τη βάση Α (όπου A\u003e 0, ΑΗ 1) ονομάζεται δείκτης του βαθμού στον οποίο πρέπει να ληφθεί ο αριθμός Α για να πάρει τον αριθμό Β)
Καταγράψτε ένα b \u003d n<-> Ένα n \u003d b, (a\u003e 0, και 1, b\u003e 0)
Έτσι, ο "Logarithm" είναι ο "δείκτης του βαθμού"!
(Διαφάνεια 3) τότε ένα n \u003d b μπορεί να ξαναγραφεί ως \u003d B είναι η κύρια λογαριθμική ταυτότητα.
Εάν η βάση είναι \u003d 10, τότε ο λογάριθμος ονομάζεται δεκαδικός και δηλώνεται LGB.
Εάν a \u003d e, τότε ο λογάριθμος ονομάζεται φυσικός και υποδηλώνει το LNB.
2. / ΓΡΑΠΤΗ / (Διαφάνεια 4)Συμπληρώστε τα skips για να πάρετε πιστή ισότητα:
ΚΟΥΤΣΟΥΡΟ? x + log a; \u003d Σύνδεση; ("y"
Καταγράψτε ένα; - Σύνδεση; Y \u003d log; (Χ /?)
Καταγράψτε ένα x; \u003d Plog; (?)
Ελεγχος:
ένας; ένας; a, y, x; x, a, a, y; p, a, x.
Αυτές είναι οι ιδιότητες των λογαρίθμων. Και επίσης μια ομάδα ιδιοτήτων: (Διαφάνεια 5)
Ελεγχος:
Α, 1, Ν, Χ; n, x, p, a; x, b, a, y; Α, Χ, Β, Α, 1, Β.
V. Προφορική εργασία
(Διαφάνεια 6) №1. Υπολογίζω:
Α Β Γ Δ) ; μι).
Απαντήσεις : α) 4; β) - 2; σε 2; δ) 7; ε) 27.
(Διαφάνεια 7) №2. Βρείτε x:
αλλά) ; β) (Απαντήσεις: α) 1/4; β) 9).
Αριθμός 3. Έχει νόημα να θεωρηθεί ένας τέτοιος λογάριθμος:
αλλά) ; σι); σε) ? (Δεν)
Vi. Ανεξάρτητη εργασία σε ομάδες, ισχυρούς μαθητές - συμβούλους. (Διαφάνεια 8)
# 1. Υπολογίστε: 
.
Όχι 2. Απλοποιήστε:
# 3. Βρείτε την τιμή της έκφρασης εάν
№ 4. Απλοποιήστε την έκφραση: 
№ 5. Υπολογίστε:
№ 6. Υπολογίστε:№ 7. Υπολογίστε:
Όχι. 8. Υπολογίστε:
Μετά την εκτέλεση - τον έλεγχο και τη συζήτηση σχετικά με τη συγκομιδή διάλυμα ή χρησιμοποιώντας το έγγραφο - κάμερες.
VII. Λύση του καθήκοντος της αυξημένης πολυπλοκότητας(Ένας ισχυρός φοιτητής στο διοικητικό συμβούλιο, τα υπόλοιπα - σε σημειωματάρια) (Διαφάνεια 9)
Βρείτε την αξία της έκφρασης:
Viii. Η εργασία (σε κάρτες) διαφοροποιήθηκε.(Διαφάνεια 10)
№1. Υπολογίζω: 
Η καταχωρημένη ισότητα στη μετατροπή των εκφράσεων με λογαρίθμους χρησιμοποιούνται τόσο προς τα αριστερά όσο και προς τα αριστερά προς τα δεξιά.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η απομνημόνευση των επιπτώσεων από τις ιδιότητες είναι προαιρετική: όταν πραγματοποιείτε μετασχηματισμούς, είναι δυνατόν να πραγματοποιηθούν με τις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων και άλλων περιστατικών (για παράδειγμα, σε αυτό με το B≥0), εκ των οποίων το αντίστοιχο Οι συνέπειες Ροή. Το "παρενέργεια" αυτής της προσέγγισης εκδηλώνεται μόνο ότι η απόφαση θα είναι ελαφρώς μεγαλύτερη. Για παράδειγμα, να πράξει χωρίς την έρευνα, η οποία εκφράζεται από τον τύπο 
Και απέρριψε μόνο από τις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων, θα πρέπει να πραγματοποιήσετε μια αλυσίδα μετασχηματισμών του ακόλουθου τύπου: 
.
Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για την τελευταία ιδιότητα από την παραπάνω λίστα, η οποία αντιστοιχεί στον τύπο 
Δεδομένου ότι ακολουθεί επίσης από τις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων. Το κύριο πράγμα που κατανοεί ότι υπάρχει πάντα η πιθανότητα ενός θετικού αριθμού με έναν λογάριθμο στον δείκτη για να αλλάξει το θεμέλιο του βαθμού και τον αριθμό κάτω από το σήμα λογαρίθμου. Για χάρη της δικαιοσύνης, σημειώνουμε ότι τα παραδείγματα που συνεπάγονται την εφαρμογή των μετασχηματισμών ενός τέτοιου είδους είναι σπάνιες στην πράξη. Δίνουμε μερικά παραδείγματα κάτω από το κείμενο.
Μετασχηματισμός αριθμητικών εκφράσεων με λογάριθμους
Οι ιδιότητες των λογαρίθμων θυμούνται, τώρα ήρθε η ώρα να μάθουμε να τις εφαρμόζουμε στην πράξη για τη μετατροπή των εκφράσεων. Φυσικά ξεκινήστε με τη μετατροπή των αριθμητικών εκφράσεων και όχι οι εκφράσεις με μεταβλητές, καθώς είναι πιο βολικές και πιο εύκολο να γνωρίζουν τα βασικά. Έτσι θα κάνουμε και θα ξεκινήσουμε με πολύ απλά παραδείγματα για να μάθουμε πώς να επιλέξετε την επιθυμητή ιδιοκτησία του λογαρίθμου, αλλά θα περιπλέξουμε σταδιακά παραδείγματα, μέχρι τη στιγμή που πρέπει να χρησιμοποιήσετε αρκετές ιδιότητες στη σειρά για να πάρετε το τελικό αποτέλεσμα.
Επιλογή των επιθυμητών ιδιοτήτων των λογαρίθμων
Οι ιδιότητες των λογαρίθμων δεν είναι τόσο λίγες και είναι σαφές ότι πρέπει να είστε σε θέση να επιλέξετε από αυτούς το κατάλληλο, το οποίο σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση θα οδηγήσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Είναι συνήθως δύσκολο να το κάνετε αυτό, συγκρίνοντας τον τύπο του μετασχηματισμένου λογαριού ή της έκφρασης με τις απόψεις του αριστερού και του δεξιού τμήματος των τύπων που εκφράζουν τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Εάν η αριστερή ή δεξιά πλευρά ενός από τους τύπους συμπίπτει με έναν δεδομένο λογάριθμο ή έκφραση, τότε πιθανότατα είναι αυτή η ιδιότητα που πρέπει να εφαρμοστεί κατά τη μετατροπή. Τα ακόλουθα παραδείγματα αποδεικνύονται σαφώς.
Ας ξεκινήσουμε με παραδείγματα μετατροπής εκφράσεων χρησιμοποιώντας τον ορισμό ενός λογαρίθμου που αντιστοιχεί στον τύπο A Σύνδεση A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε εάν είναι δυνατόν: α) 5 log 5 4, b) 10 lg (1 + 2 · π), β) 
, D) 2 LOG 2 (-7), Ε).
Απόφαση.
Στο παράδειγμα, κάτω από το γράμμα Α), η δομή ένα ημερολόγιο Α Β είναι σαφώς ορατό, όπου a \u003d 5, b \u003d 4. Αυτοί οι αριθμοί πληρούν τις συνθήκες A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, ώστε να μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ισότητα ενός καταγραφικού A B \u003d B. Έχουμε 5 log 5 4 \u003d 4.
β) ΕΔΩ \u003d 10, B \u003d 1 + 2 · π, συνθήκες A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μια ισότητα 10 LG (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π.
γ) και σε αυτό το παράδειγμα ασχολούμαστε με ένα βαθμό τύπου Α Β, όπου και το B \u003d LN15. Έτσι 
.
Παρά το που ανήκει στον ίδιο τύπο ενός καταγραφικού Α Β (εδώ Α \u003d 2, Β \u003d -7), η έκφραση κάτω από το γράμμα D) δεν μπορεί να μετατραπεί από τον τύπο A Log a b \u003d B. Ο λόγος είναι ότι δεν έχει νόημα, καθώς περιέχει αρνητικό αριθμό κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου. Επιπλέον, ο αριθμός B \u003d -7 δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση B\u003e 0, η οποία δεν επιτρέπει την καταφύγια στον τύπο A B \u003d B, δεδομένου ότι απαιτεί την εκπλήρωση των συνθηκών a\u003e 0, a ≠ 1, b \u003e 0. Επομένως, είναι αδύνατο να μιλήσουμε για τον υπολογισμό της αξίας 2 αρχείου 2 (-7). Σε αυτή την περίπτωση, η εγγραφή 2 log 2 (-7) \u003d -7 θα είναι ένα σφάλμα.
Ομοίως, στο παράδειγμα υπό το γράμμα δ), η λύση δεν μπορεί να φέρει 
Δεδομένου ότι η αρχική έκφραση δεν έχει νόημα.
Απάντηση:
α) 5 log 5 4 \u003d 4, b) 10 lg (1 + 2 · π) \u003d 1 + 2 · π, c) , δ), ε) οι εκφράσεις δεν έχουν νόημα.
Είναι συχνά χρήσιμο για τη μετατροπή στην οποία ένας θετικός αριθμός παρουσιάζεται υπό τη μορφή βαθμού οποιουδήποτε θετικού και διαφορετικού αριθμού με λογάριθμο στην ένδειξη. Βασίζεται στον ίδιο ορισμό του λογαρίθμου ένα αρχείο καταγραφής A B \u003d B, A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, αλλά ο τύπος εφαρμόζεται στο δεξί αριστερό, δηλαδή, στη φόρμα Β \u003d ένα αρχείο καταγραφής β. Για παράδειγμα, 3 \u003d e LN3 ή 5 \u003d 5 log 5 5.
Μεταβείτε στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων για να μετατρέψετε εκφράσεις.
Παράδειγμα.
Βρείτε την τιμή της έκφρασης: α) log -2 1, b) LOG 1 1, C) LOG 0 1, D) LOG 7 1, E) LG1, E) LG1, G) LOG 3,75, S) 5 · π 7 1.
Απόφαση.
Στα παραδείγματα κάτω από τα γράμματα α), β) και γ) τις εκφράσεις του log -2 1, το αρχείο καταγραφής 1 1, το ημερολόγιο 0 1, το οποίο δεν έχει νόημα, διότι στη βάση του λογαριού δεν πρέπει να είναι αρνητικός αριθμός, μηδέν ή μονάδα, επειδή αποφασίσαμε λογάριθμος μόνο για θετική και διαφορετική από τη μονάδα βάσης. Επομένως, στα Παραδείγματα Α) - Γ) δεν μπορεί να υπάρξει εύρεση της αξίας έκφρασης.
Σε όλες τις άλλες εργασίες, είναι προφανές ότι υπάρχουν θετικοί και διαφορετικοί αριθμοί από τη μονάδα 7, E, 10, 3.75 και 5 · π 7, αντίστοιχα και κάτω από τα σημάδια λογαρίθμων παντού υπάρχουν μονάδες. Και γνωρίζουμε την ιδιότητα της μονάδας LogarithM: log a 1 \u003d 0 για οποιοδήποτε A\u003e 0, A ≠ 1. Έτσι, οι τιμές των εκφράσεων β) - ε) είναι ίσες με το μηδέν.
Απάντηση:
α), β), γ) εκφράσεις δεν έχουν νόημα, δ) log 7 1 \u003d 0, d) ln1 \u003d 0, e) lg1 \u003d 0, g) log 3,75 1 \u003d 0, h) log 5 · e 7 1 \u003d 0.
Παράδειγμα.
Υπολογισμός: α), β) LNE, C) LG10, D) lOG 5 · Π 3 -2 (5 · Π 3 -2), E) LOG -3 (-3), E) LOG 1 1.
Απόφαση.
Είναι σαφές ότι πρέπει να επωφεληθούμε από την ιδιότητα του λογαρίθμου της βάσης, η οποία αντιστοιχεί στον τύπο καταγραφής A \u003d 1 σε a\u003e 0, A ≠ 1. Πράγματι, στα καθήκοντα βάσει όλων των επιστολών, ο αριθμός υπό το σημάδι του λογαρίθμου συμπίπτει με τη βάση της. Έτσι, θέλω να πω αμέσως ότι η έννοια καθεμιάς από τις συγκεκριμένες εκφράσεις είναι 1. Ωστόσο, δεν είναι απαραίτητο να βιαστείτε τα συμπεράσματα: στα καθήκοντα με τα έγγραφα α) - δ) Οι αξίες των εκφράσεων είναι πραγματικά ίσες με μία και στα καθήκοντα δ) και ε) οι αρχικές εκφράσεις δεν κάνουν Επομένως, η αίσθηση δεν μπορεί να ειπωθεί ότι οι τιμές αυτών των εκφράσεων είναι 1.
Απάντηση:
α), β) LNE \u003d 1, C) LG10 \u003d 1, D) lOG 5 · Π 3 -2 (5 · Π 3 -2) \u003d 1, Δ), ε) οι εκφράσεις δεν έχουν νόημα.
Παράδειγμα.
Βρείτε μια τιμή: α) log 3 3 11, b) 
, γ), δ) log -10 (-10) 6.
Απόφαση.
Προφανώς, κάτω από τα σημάδια των λογαρίθμων υπάρχουν μερικοί βαθμοί θεμελίωσης. Με βάση αυτό, καταλαβαίνουμε ότι είναι χρήσιμο για εμάς εδώ το βαθμό του Ιδρύματος: καταγράψτε ένα P \u003d P, όπου a\u003e 0, A ≠ 1 και P είναι οποιοσδήποτε έγκυρος αριθμός. Λαμβάνοντας αυτό, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: α) log 3 3 11 \u003d 11, b) 
, σε) 
. Είναι δυνατόν να καταγράψετε παρόμοια ισότητα για το παράδειγμα κάτω από το γράμμα D) του τύπου log -10 (-10) 6 \u003d 6; Όχι, είναι αδύνατο, αφού το αρχείο καταγραφής έκφρασης -10 (-10) 6 δεν έχει νόημα.
Απάντηση:
α) log 3 3 11 \u003d 11, b) , σε) , δ) Η έκφραση δεν έχει νόημα.
Παράδειγμα.
Φανταστείτε μια έκφραση με τη μορφή ενός ποσού ή τη διαφορά των λογαρίθμων στην ίδια βάση: α) 
, β), γ) LG ((- 5) · (-12)).
Απόφαση.
α) Κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου είναι ένα έργο και γνωρίζουμε την ιδιοκτησία του λογαρίθμου του έργου του log a (x · y) \u003d log log + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Στην περίπτωσή μας, ο αριθμός στη βάση του λογαρίθμου και ο αριθμός στο έργο είναι θετικός, δηλαδή, ικανοποιώντας τις συνθήκες της επιλεγμένης ιδιοκτησίας, έτσι ώστε να μπορούμε να το εφαρμόσουμε ήρεμα: 
.
β) Εδώ χρησιμοποιούμε την ιδιοκτησία του λογαρίθμου του ιδιωτικού, όπου a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0. Στην περίπτωσή μας, η βάση του λογαρίθμου είναι ένας θετικός αριθμός Ε, ο αριθμητής και ο παρονομαστής π είναι θετικοί, πράγμα που σημαίνει ότι οι συνθήκες του ακινήτου είναι ικανοποιημένοι, οπότε έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τον επιλεγμένο τύπο: 
.
γ) Πρώτον, σημειώνουμε ότι η έκφραση LG ((- 5) · (-12)) έχει νόημα. Αλλά ταυτόχρονα, γι 'αυτόν, δεν έχουμε το δικαίωμα να εφαρμόσουμε τον φόρμουλα Logarithm του έργου του log a (x · y) \u003d ag + log + log ay, a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0, y\u003e 0, από τους αριθμούς -5 και -12 - αρνητικά και δεν ικανοποιούν τις συνθήκες x\u003e 0, y\u003e 0. Δηλαδή, είναι αδύνατο να διεξαχθεί μια τέτοια μετατροπή: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (-5) + LG (-12). Και τι να κάνετε; Σε τέτοιες περιπτώσεις, η αρχική έκφραση χρειάζεται έναν προκαταρκτικό μετασχηματισμό που σας επιτρέπει να ξεφύγετε από τους αρνητικούς αριθμούς. Θα μιλήσουμε για τέτοιες περιπτώσεις μετασχηματισμού των εκφράσεων με αρνητικούς αριθμούς κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου λεπτομερώς σε ένα από τα ακόλουθα παραδείγματα, τα οποία είναι κατανοητά και χωρίς εξήγηση: lG ((- 5) · (-12)) \u003d LG (5 · 12) \u003d LG5 + LG12.
Απάντηση:
αλλά) σι) , γ) LG ((- 5) · (-12)) \u003d LG5 + LG12.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την έκφραση: α) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b).
Απόφαση.
Εδώ θα βοηθήσουμε όλες τις ίδιες ιδιότητες του λογαρίθμου του έργου και του λογαρίθμου του ιδιωτικού, την οποία χρησιμοποιήσαμε σε προηγούμενα παραδείγματα, μόνο τώρα θα τα εφαρμόσουμε προς τα δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, η ποσότητα των λογαρίθμων μετατρέπονται στον λογάριθμο της εργασίας και τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων - στον λογάριθμο του ιδιωτικού τομέα. Εχω
αλλά) log 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 (0.25 · 16 · 0.5) \u003d log 3 2.
σι) 
.
Απάντηση:
αλλά) log 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5 \u003d log 3 2σι) 
.
Παράδειγμα.
Απαλλαγείτε από την έκταση κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου: α) log 0,7 5 11, B) 
, γ) log 3 (-5) 6.
Απόφαση.
Είναι εύκολο να δούμε ότι έχουμε να κάνουμε με τις εκφράσεις του καταγραφικού a b p. Η αντίστοιχη ιδιοκτησία του λογαρίθμου έχει το είδος του καταγραφικού A B P \u003d P · LOG A B, όπου a\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P είναι οποιοσδήποτε έγκυρος αριθμός. Δηλαδή, κατά την εκτέλεση συνθηκών A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0 από τον λογάριθμο του βαθμού log a b p, μπορούμε να μετακινηθούμε στο προϊόν p · log a b. Θα πραγματοποιήσουμε αυτή τη μετατροπή με συγκεκριμένες εκφράσεις.
α) Στην περίπτωση αυτή, a \u003d 0,7, b \u003d 5 και p \u003d 11. Έτσι log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5.
β) Εδώ, πραγματοποιούνται συνθήκες A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0. ως εκ τούτου 
γ) Το αρχείο καταγραφής έκφρασης 3 (-5) 6 έχει την ίδια δομή καταγραφής Α Β Ρ, Α \u003d 3, Β \u003d -5, Ρ \u003d 6. Αλλά για το b, η κατάσταση B\u003e 0 δεν είναι ικανοποιημένη, γεγονός που καθιστά αδύνατο να χρησιμοποιήσετε το αρχείο καταγραφής a b p \u003d p · log a b. Έτσι, είναι αδύνατο να αντιμετωπίσετε το έργο; Είναι δυνατόν, αλλά απαιτείται μια προ-μετατροπή έκφρασης, θα μιλήσουμε λεπτομερώς παρακάτω στο σημείο κλάσης. Η απόφαση θα είναι: lOG 3 (-5) 6 \u003d LOG 3 5 6 \u003d 6 · LOG 3 5.
Απάντηση:
α) log 0,7 5 11 \u003d 11 · log 0,7 5,
σι)
γ) log 3 (-5) 6 \u003d 6 · LOG 3 5.
Πολύ συχνά, ο τύπος λογαρίθμου του βαθμού κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού είναι απαραίτητος για να εφαρμοστεί το δικαίωμα προς τα αριστερά ως p · log a b \u003d log a b p (αυτό απαιτεί την απόδοση των ίδιων συνθηκών για a, b και p). Για παράδειγμα, 3 · LN5 \u003d LN53 και LG2 · LOG 2 3 \u003d LOG 2 3 LG2.
Παράδειγμα.
α) Υπολογίστε την τιμή του log 2 5, εάν είναι γνωστό ότι LG270,3010 και LG5≈0,6990. β) Παρουσιάστε ένα κλάσμα με τη μορφή λογάριθμου με βάση 3.
Απόφαση.
α) Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογαρίθμου επιτρέπει αυτόν τον λογάριθμο να αντιπροσωπεύει με τη μορφή αναλογίας δεκαδικών λογαριθμών, των οποίων οι τιμές είναι γνωστές σε εμάς :. Παραμένει μόνο για να πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς, έχουμε 
.
β) εδώ αρκεί να επωφεληθείτε από τη μετάβαση σε μια νέα βάση και να το εφαρμόσετε στο δεξί αριστερό, δηλαδή, με τη μορφή του 
. Λαμβάνω 
.
Απάντηση:
α) log 2 5≈22.3223, B) .
Σε αυτό το στάδιο, θεωρήσαμε επαρκώς σχολαστικά τη μετατροπή των πιο απλών εκφράσεων χρησιμοποιώντας τις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων και τον ορισμό του λογαρίθμου. Σε αυτά τα παραδείγματα, έπρεπε να εφαρμόσουμε κάποιο είδος περιουσίας και τίποτα περισσότερο. Τώρα με μια ήρεμη συνείδηση, μπορείτε να μετακινηθείτε σε παραδείγματα, ο μετασχηματισμός του οποίου απαιτεί τη χρήση αρκετών ιδιοτήτων λογαρίθμων και άλλων πρόσθετων μετασχηματισμών. Θα πάμε στην επόμενη παράγραφο. Αλλά πριν, με λίγα λόγια, θα επικεντρωθούμε εν συντομία στα παραδείγματα των συνεπειών των κύριων ιδιοτήτων των λογαρίθμων.
Παράδειγμα.
α) να απαλλαγείτε από τη ρίζα κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου. β) Μετατρέψτε το κλάσμα στον λογάριθμο στη βάση 5. γ) Συχνά από τους βαθμούς κάτω από το σήμα λογαρίθμου και στην ίδρυσή του. δ) Υπολογίστε την τιμή της έκφρασης 
. ε) Αντικαταστήστε την έκφραση του βαθμού με τη βάση 3.
Απόφαση.
α) Αν θυμάστε για τη συνέπεια της ιδιοκτησίας του λογαρίθμου 
Μπορείτε να απαντήσετε αμέσως: 
.
β) Χρησιμοποιούμε τον τύπο 
δικαίωμα να φύγουμε 
.
γ) Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα οδηγεί τον τύπο . Λαμβάνω 
.
δ) και εδώ αρκεί να εφαρμοστεί η συνέπεια ότι ο τύπος είναι υπεύθυνος 
. Έτσι 
.
ε) λογαρίθμος ακινήτου Μας επιτρέπει να επιτύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα: 
.
Απάντηση:
αλλά) . σι) . σε) 
. ρε) 
. μι) .
Διαδοχική χρήση διαφόρων ιδιοτήτων
Τα πραγματικά καθήκοντα για τη μετατροπή των εκφράσεων που χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των λογαρίθμων είναι συνήθως πιο περίπλοκες από εκείνους που ασχολούμαστε με την προηγούμενη παράγραφο. Σε αυτά, κατά κανόνα, το αποτέλεσμα δεν είναι ένα βήμα, και η λύση είναι ήδη στη συνεπή εφαρμογή μιας ιδιότητας μετά την άλλη, μαζί με πρόσθετους μετασχηματισμούς ταυτότητας, όπως η αποκάλυψη παρενθέσεων, η μείωση των κλάδων κ.λπ. . Ας πάρουμε τόσο πιο κοντά σε τέτοια παραδείγματα. Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο σε αυτό, το κύριο πράγμα είναι να ενεργήσετε τακτοποιημένα και σταθερά, παρατηρώντας τη διαδικασία για την εκτέλεση ενεργειών.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε την τιμή της έκφρασης (Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5.
Απόφαση.
Η διαφορά των λογαρίθμων σε παρένθεση για την ιδιοκτησία του λογαρίθμου ενός ιδιωτικού μπορεί να αντικατασταθεί με το λογαριθμικό αρχείο Log 3 (15: 5) και να υπολογίσει περαιτέρω το αρχείο καταγραφής αξίας 3 (15: 5) \u003d log 3 3 \u003d 1. Και η αξία της έκφρασης 7 Το Log 7 5 εξ ορισμού του λογαρίθμου είναι ίσο με 5. Αντικαταστήστε αυτά τα αποτελέσματα στην αρχική έκφραση, παίρνουμε (log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 1,5 \u003d 5.
Ας δώσουμε μια λύση χωρίς εξήγηση:
(Log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d log 3 (15: 5) · 5 \u003d
\u003d log 3 3 · 5 \u003d 1,5 \u003d 5.
Απάντηση:
(log 3 15-log 3 5) · 7 log 7 5 \u003d 5.
Παράδειγμα.
Ποια είναι η τιμή του αριθμού αριθμητικής έκφρασης 3 Log 2 2 3 -1;
Απόφαση.
Μετασχόμαστε πρώτα τον λογαρίθμο, το οποίο βρίσκεται κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου, σύμφωνα με τον φόρμουλα Logarithm: log 2 2 3 \u003d 3. Έτσι, log 3 log 2 2 3 \u003d log 3 3 και περαιτέρω log 3 3 \u003d 1. Έτσι log 3 log 2 2 3 -1 \u003d 1-1 \u003d 0.
Απάντηση:
lOG 3 LOG 2 2 3 -1 \u003d 0.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την έκφραση.
Απόφαση.
Ο τύπος μετάβασης στη νέα βάση του λογαρίθμου επιτρέπει τη σχέση των λογαρίθμων σε μία βάση που θα αντιπροσωπεύεται ως log 3 5. Σε αυτή την περίπτωση, η αρχική έκφραση θα λάβει τη φόρμα. Με τον ορισμό του λογαρίθμου 3 log 3 5 \u003d 5, δηλαδή 
Και η τιμή της έκφρασης που αποκτήθηκε, λόγω του ίδιου ορισμού του λογαρίθμου, είναι δύο.
Εδώ είναι μια σύντομη έκδοση της λύσης που συνήθως δίνεται: 
.
Απάντηση:
.
Για μια ομαλή μετάβαση στις ακόλουθες πληροφορίες στοιχείων, ας ρίξουμε μια ματιά στις εκφράσεις 5 2 + log 5 3 και LG0.01. Η δομή τους δεν είναι κατάλληλη για οποιαδήποτε από τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Έτσι τι συμβαίνει, δεν μπορούν να μετατραπούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων; Είναι εφικτό εάν μπορείτε να πραγματοποιήσετε προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς που προετοιμάζουν αυτές τις εκφράσεις στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων. Έτσι 5 2 + log 5 3 \u003d 5 2 · 5 log 5 3 \u003d 25 · 3 \u003d 75, 
και LG0.01 \u003d LG10 -2 \u003d -2. Στη συνέχεια, θα κατανοήσουμε λεπτομερώς τον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιείται τέτοια εκπαίδευση των εκφράσεων.
Προετοιμασία εκφράσεων στην εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων
Οι λογαρίθμοι στη σύνθεση της μετασχηματισμένης έκφρασης πολύ συχνά διαφέρουν από τα αριστερά και τα δεξιά μέρη των τύπων που αντιστοιχούν στις ιδιότητες των λογαρίθμων. Αλλά όχι λιγότερο συχνά ο μετασχηματισμός αυτών των εκφράσεων συνεπάγεται τη χρήση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων: η χρήση τους απαιτεί προκαταρκτική προετοιμασία. Και αυτό το παρασκεύασμα βρίσκεται σε εξέλιξη ορισμένους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς που οδηγούν Logarithms στη φόρμα, βολική εφαρμογή ιδιοτήτων.
Για δίκαιη, σημειώνουμε ότι σχεδόν οποιεσδήποτε μετασχηματισμοί εκφράσεων μπορούν να λειτουργήσουν ως προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς, από τον βραχίονα ενεργοποιητή αυτών των όρων όσον αφορά τη χρήση τριγωνομετρικών τύπων. Αυτό είναι κατανοητό, καθώς οι μετασχηματισμένες εκφράσεις μπορεί να περιέχουν οποιαδήποτε μαθηματικά αντικείμενα: αγκύλες, μονάδες, κλάσματα, ρίζες, βαθμούς κλπ. Έτσι, πρέπει να είστε έτοιμοι να εκτελέσετε οποιαδήποτε αναγκαία μετατροπή για να είστε σε θέση να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων.
Ας πούμε ότι σε αυτό το σημείο δεν θέτουμε τον εαυτό μας το καθήκον να ταξινομήσετε και να αποσυναρμολογήσετε όλους τους φανταστικούς προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς, οι οποίοι εφαρμόζουν περαιτέρω τις ιδιότητες των λογαρίθμων ή τον ορισμό του λογαρίθμου. Εδώ θα κατοικήσουμε μόνο σε τέσσερα από αυτά, τα οποία είναι πιο χαρακτηριστικά και συχνά βρίσκονται στην πράξη.
Και τώρα λεπτομερώς για κάθε ένα από αυτά, μετά από το οποίο, ως μέρος του θέματος μας, θα παραμείνει μόνο για να αντιμετωπίσει τη μετατροπή των εκφράσεων με μεταβλητές κάτω από τα σημάδια των λογαρίθμων.
Επιλογή πτυχίων κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου και στην ίδρυσή του
Ας ξεκινήσουμε αμέσως από το παράδειγμα. Ας είμαστε λογάριθμοι. Προφανώς, σε αυτή τη μορφή, η δομή της δεν χρειάζεται να χρησιμοποιεί τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Είναι δυνατόν να μετατρέψει με κάποιο τρόπο αυτή την έκφραση να την απλοποιήσει και ακόμη καλύτερα να υπολογίσει την αξία του; Για να απαντήσετε σε αυτή την ερώτηση, ας δούμε προσεκτικά τους αριθμούς 81 και 1/9 στο πλαίσιο του παραδείγματος μας. Είναι εύκολο να παρατηρηθεί εδώ ότι αυτοί οι αριθμοί επιτρέπουν την αναπαράσταση του βαθμού αριθμού 3, πράγματι 81 \u003d 34 και 1/9 \u003d 3-2. Στην περίπτωση αυτή, ο αρχικός λογάριθμος παρουσιάζεται με τη μορφή και τη δυνατότητα εφαρμογής του τύπου . Ετσι, 
.
Μια ανάλυση του αποσυναρμολογημένου παραδείγματος δημιουργεί την ακόλουθη σκέψη: Εάν είναι δυνατόν, μπορείτε να προσπαθήσετε να επισημάνετε το βαθμό κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου και στην ίδρυσή του να εφαρμόσετε την ιδιοκτησία του λογαριτικού ή της συνέπεθες της. Παραμένει μόνο για να μάθετε πώς να διαθέσετε αυτούς τους βαθμούς. Ας δώσουμε κάποιες συστάσεις για το θέμα αυτό.
Μερικές φορές είναι μάλλον προφανές ότι ο αριθμός κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου ή / και στην ίδρυσή του είναι μερικά από ολόκληρο το βαθμό όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Πρακτικά συνεχώς πρέπει να αντιμετωπίσουν ανιχνεύσεις από δύο, τα οποία ήταν καλά μελετημένα: 4 \u003d 2 2, 8 \u003d 23, 16 \u003d 24, 32 \u003d 2 5, 64 \u003d 2 6, 128 \u003d 2 7, 256 \u003d 2 8 , 512 \u003d 2 9, 1024 \u003d 2 10. Αυτό μπορεί να ειπωθεί για το βαθμό τριπλάσιο: 9 \u003d 3 2, 27 \u003d 3 3, 81 \u003d 3 4, 243 \u003d 3 5, ... γενικά, δεν βλάπτει αν θα είναι πριν από τα μάτια μας Πίνακας βαθμών φυσικών αριθμών μέσα σε μια δωδεκάδα. Δεν είναι επίσης δύσκολο να εργαστούμε με ακέραιους βαθμούς δέκα, εκατοντάδες χιλιάδων κλπ.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε την τιμή ή απλοποιήστε την έκφραση: α) log 6 216, b), γ) log 0.000001 0.001.
Απόφαση.
α) Είναι προφανές ότι 216 \u003d 6 3, επομένως log 6 216 \u003d log 6 6 3 \u003d 3.
β) Ο πίνακας πτυχίων φυσικών αριθμών σάς επιτρέπει να παρουσιάζετε τους αριθμούς 343 και 1/243 με τη μορφή βαθμών 7 και 3-4, αντίστοιχα. Επομένως, είναι δυνατόν να ακολουθήσετε τον ακόλουθο μετασχηματισμό ενός δεδομένου λογαρίθμου: 
γ) ως 0.000001 \u003d 10 -6 και 0.001 \u003d 10-3, έπειτα log 0.000001 0.001 \u003d LOG 10 -6 10 -3 \u003d (- 3) / (- 6) \u003d 1/2.
Απάντηση:
α) log 6 216 \u003d 3, b) 
, γ) log 0.000001 0.001 \u003d 1/2.
Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, για να επισημανθούν οι βαθμοί των αριθμών πρέπει να καταφύγουν.
Παράδειγμα.
Μετατρέψτε την έκφραση σε έναν απλούστερο τύπο ημερολογίου 3 648 · Log 2 3.
Απόφαση.
Ας δούμε τι είναι μια αποσύνθεση ενός αριθμού 648 ανά απλό παράγοντες:
Δηλαδή, 648 \u003d 2 3 · 3 4. Με αυτόν τον τρόπο, lOG 3 648 · LOG 2 3 \u003d LOG 3 (2 3 · 3 4) · Σύνδεση 2 3 3.
Τώρα ο λογάριθμος των έργων μεταμορφώνεται στην ποσότητα των λογαρίθμων, μετά την οποία ισχύουν οι ιδιότητες του λογάριθμου του βαθμού:
lOG 3 (2 3 · 3 4) · LOG 2 3 \u003d (LOG 3 2 3 + LOG 3 3 4) · Σύνδεση 2 3 \u003d
\u003d (3 · Log 3 2 + 4) · Σύνδεση 2 3.
Λόγω της έρευνας από την ιδιοκτησία του λογαρίθμου στην οποία ο τύπος είναι υπεύθυνος Το αρχείο Log32 · Το Log23 είναι ένα έργο και είναι γνωστό ότι είναι ένα. Λαμβάνοντας υπόψη, παίρνουμε 3 · Log 3 2 · Log 2 3 + 4 · Log 2 3 \u003d 3 · 1 + 4 · Log 2 3 \u003d 3 + 4 · Log 2 3.
Απάντηση:
lOG 3 648 · LOG 2 3 \u003d 3 + 4 · LOG 2 3.
Πολύ συχνά, οι εκφράσεις κάτω από το σήμα λογαρίθμου και στην ίδρυσή του είναι έργα ή αναλογίες ριζών και / ή πτυχίων ορισμένων αριθμών, για παράδειγμα,. Τέτοιες εκφράσεις μπορούν να εκπροσωπούνται ως πτυχίο. Για αυτό, η μετάβαση από τις ρίζες σε βαθμούς και εφαρμόζεται. Αυτές οι μετατροπές σας επιτρέπουν να επισημάνετε τους βαθμούς κάτω από το σήμα λογαρίθμου και στη βάση του, μετά την εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε: α) 
, β).
Απόφαση.
α) Η έκφραση στη βάση του λογαρίθμου είναι το προϊόν των βαθμών με τις ίδιες βάσεις, σύμφωνα με την κατάλληλη ιδιότητα των βαθμών, έχουμε 5 2,5-5,5,5 -1 \u003d 5 2-0,5-1 \u003d 5 0,5.
Τώρα μετατρέπουμε το κλάσμα κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου: γυρίζουμε από τη ρίζα στο βαθμό, μετά από την οποία θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των βαθμών με τους ίδιους λόγους: 
.
Παραμένει η αντικατάσταση των αποτελεσμάτων που ελήφθησαν στην αρχική έκφραση, χρησιμοποιήστε τον τύπο και μετασχηματισμοί τερματισμού: 
β) Από 729 \u003d 3 6 και 1/9 \u003d 3 -2, τότε η αρχική έκφραση μπορεί να ξαναγραφεί στη φόρμα.
Στη συνέχεια, εφαρμόστε την ιδιοκτησία της ρίζας από το πτυχίο, πραγματοποιούμε τη μετάβαση από τη ρίζα στο βαθμό και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του λόγου πτυχίου για τη μετατροπή του λογαρίθμου στο βαθμό: 
.
Λαμβάνοντας υπόψη το τελευταίο αποτέλεσμα, έχουμε 
.
Απάντηση:
αλλά) 
, β).
Είναι σαφές ότι γενικά, για να ληφθούν πτυχία κάτω από το σημάδι του λογαρίθμου και, στην ίδρυσή της, μπορεί να απαιτηθούν διάφορες μετασχηματισμοί διαφόρων εκφράσεων. Δίνουμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Ποια είναι η αξία της έκφρασης: α) 
σι) 
.
Απόφαση.
Επομένως, παρατηρούμε ότι η καθορισμένη έκφραση έχει τη μορφή καταγραφής Α ΒΡ, όπου Α \u003d 2, Β \u003d Χ + 1 και p \u003d 4. Αριθμητικές εκφράσεις ενός τέτοιου είδους μετατράπηκαν από την ιδιοκτησία του λογαρίματος του έκταση του καταγραφικού ABP \u003d P · log ab, επομένως, με μια δεδομένη έκφραση, θέλω να κάνω το ίδιο όπως και από το αρχείο καταγραφής 2 (x + 1) 4 Μεταβείτε στο 4 · Log 2 (x + 1). Και τώρα ας υπολογίσουμε την τιμή της αρχικής έκφρασης και της έκφρασης που λαμβάνονται μετά τον μετασχηματισμό, για παράδειγμα, με Χ \u003d -2. Έχετε το αρχείο καταγραφής 2 (-2 + 1) 4 \u003d log 2 1 \u003d 0, και 4 · log 2 (-2 + 1) \u003d 4 · log 2 (-1) - Δεν υπάρχει έννοια της έκφρασης. Αυτό προκαλεί μια φυσική ερώτηση: "Τι κάναμε λάθος";
Και ο λόγος έχει ως εξής: Εκτέλεξα το αρχείο καταγραφής μετασχηματισμού 2 (x + 1) 4 \u003d 4 · Log 2 (x + 1), με βάση το αρχείο καταγραφής του τύπου ABP \u003d P · log ab, αλλά έχουμε το δικαίωμα να το εφαρμόσουμε αυτό Τύπος μόνο κατά την κατάσταση A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, P - Οποιοσδήποτε έγκυρος αριθμός. Δηλαδή, η μετατροπή που πραγματοποιείται από τις ΗΠΑ λαμβάνει χώρα εάν x + 1\u003e 0, η οποία είναι η ίδια Χ\u003e -1 (για Α και Ρ - οι συνθήκες γίνονται). Ωστόσο, στην περίπτωσή μας, η μεταβλητή OTZ X για την αρχική έκφραση συνίσταται όχι μόνο από το διάστημα X\u003e -1, αλλά και από την περίοδο x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Η ανάγκη να ληφθεί υπόψη ...
Θα συνεχίσουμε να αποσυναρμολογήσουμε τη μετασχηματισμό του log 2 (x + 1) 4 επιλεγμένων εκφράσεων από εμάς και τώρα ας δούμε τι συμβαίνει με το OTZ όταν μετακινείται στην έκφραση 4 · log 2 (x + 1). Στην προηγούμενη παράγραφο, βρήκαμε ακόμα και την έκφραση προέλευσης - αυτό είναι ένα σετ (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Τώρα βρίσκουμε την περιοχή επιτρεπτών τιμών της μεταβλητής Χ για έκφραση 4 · log 2 (x + 1). Προσδιορίζεται με την κατάσταση x + 1\u003e 0, η οποία αντιστοιχεί στο σύνολο (-1, + ∞). Προφανώς, κατά τη μετακίνηση από το LOG 2 (x + 1) 4 έως 4 · log 2 (x + 1), εμφανίζεται η περιοχή των έγκυρων τιμών. Και συμφωνήσαμε να αποφύγουμε μετασχηματισμούς που οδηγούν στη στένωση του OTZ, καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε διάφορες αρνητικές συνέπειες.
Αξίζει να σημειωθεί εδώ για τον εαυτό σας ότι είναι χρήσιμο να ελέγχετε το OTZ σε κάθε βήμα του μετασχηματισμού και να αποτρέψετε τη μείωση της. Και αν ξαφνικά, σε κάποιο στάδιο του μετασχηματισμού, υπήρξε μια στένωση του OST, τότε αξίζει να φανεί πολύ προσεκτικά, και αν αυτός ο μετασχηματισμός είναι επιτρεπτός και αν έχουμε το δικαίωμα να το πραγματοποιήσουμε.
Για παράδειγμα, ας πούμε ότι στην πράξη, είναι συνήθως απαραίτητο να συνεργαστούμε με τις εκφράσεις, των οποίων οι μεταβλητές OTZ είναι τέτοια που, κατά τη διεξαγωγή μετασχηματισμών, χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των λογαρίθμων χωρίς περιορισμούς στη μορφή που είναι ήδη γνωστές σε εμάς και και οι δύο από αριστερά σε δεξιά και δεξιά προς τα αριστερά. Γρήγορα το συνηθίζετε και αρχίζετε να πραγματοποιείτε μετασχηματισμούς μηχανικά, χωρίς να σκέφτεστε και αν ήταν δυνατόν να τα διεξαχθούν. Και σε τέτοιες στιγμές, όπως αποφορτιστεί, παντόφλες πιο περίπλοκα παραδείγματα στα οποία η ανεκτική χρήση των ιδιοτήτων των λογαρίθμων οδηγεί σε σφάλματα. Έτσι πρέπει πάντα να είστε σε έλεγχο και να ακολουθήσετε ότι δεν υπάρχει στενότητα του OTZ.
Δεν βλάπτει ξεχωριστά να επιλέξει τους κύριους μετασχηματισμούς που βασίζονται στις ιδιότητες των λογαρίθμων που πρέπει να πραγματοποιηθούν πολύ προσεκτικά, πράγμα που μπορεί να οδηγήσει σε στένωση του OTZ και ως αποτέλεσμα - σε σφάλματα:
Μερικοί μετασχηματισμοί εκφράσεων σύμφωνα με τις ιδιότητες των λογαρίθμων μπορούν να οδηγήσουν στην αντίστροφη επέκταση του OTZ. Για παράδειγμα, η μετάβαση από 4 · το αρχείο καταγραφής 2 (x + 1) έως το αρχείο καταγραφής 2 (x + 1) 4 επεκτείνεται μονό από το σετ (-1, + ∞) έως (-∞, -1) ∪ (-1, + ∞). Τέτοιοι μετασχηματισμοί συμβαίνουν εάν παραμείνουν εντός του ODZD για την αρχική έκφραση. Έτσι, η μόνη αναφορά μετατροπής 4 · log 2 (x + 1) \u003d log 2 (x + 1) 4 λαμβάνει χώρα στην μεταβλητή OTZ X για την αρχική έκφραση 4 · log 2 (x + 1), δηλαδή με το x + 1\u003e 0, το οποίο είναι το ίδιο (-1, + ∞).
Τώρα που συζητήσαμε τις αποχρώσεις για τις οποίες πρέπει να δώσετε προσοχή όταν μετατρέπουν τις εκφράσεις με μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, παραμένει να υπολογίσετε πόσο σωστά πρέπει να πραγματοποιηθούν αυτοί οι μετασχηματισμοί.
X + 2\u003e 0. Εργάζεται στην περίπτωσή μας; Για να απαντήσετε σε αυτή την ερώτηση, ρίξτε μια ματιά στη μεταβλητή OTZ X. Καθορίζεται από το σύστημα ανισότητας 
η οποία ισοδυναμεί με την κατάσταση x + 2\u003e 0 (εάν είναι απαραίτητο, δείτε το άρθρο Επίλυση συστημάτων ανισότητας). Έτσι, μπορούμε να εφαρμόσουμε ήρεμα την ιδιοκτησία του λογαρίθμου.
Εχω
3 · LG (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · LG (x + 2) 4 \u003d
\u003d 3 · 7 · LG (X + 2) -LG (x + 2) -5 · 4 · LG (x + 2) \u003d
\u003d 21 · LG (x + 2) -lg (x + 2) -20 · LG (x + 2) \u003d
\u003d (21-1-20) · LG (x + 2) \u003d 0.
Μπορείτε να ενεργήσετε και διαφορετικά, το όφελος του OTZ το επιτρέπει να κάνει, για παράδειγμα: 
Απάντηση:
3 · LG (x + 2) 7 -lg (x + 2) -5 · LG (x + 2) 4 \u003d 0.
Και τι να κάνετε όταν οι συνθήκες για τις συνημμένες ιδιότητες των λογαρίθμων δεν ικανοποιούνται; Θα ασχοληθούμε με αυτό σχετικά με τα παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε από εμάς να απλοποιήσουμε την έκφραση LG (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2. Ο μετασχηματισμός αυτής της έκφρασης, σε αντίθεση με την έκφραση από το προηγούμενο παράδειγμα, δεν επιτρέπει το αρχείο καταγραφής του πτυχίου LogarithM. Γιατί; Otz μεταβλητή x σε αυτή την περίπτωση είναι ένας συνδυασμός δύο κενών x\u003e -2 και x<−2 . При x>-2 Μπορούμε να εφαρμόσουμε ήρεμα την ιδιοκτησία του λογαρίθμου και να ενεργήσετε όπως αποσυναρμολογείται παραπάνω: lG (x + 2) 4 -lg (x + 2) 2 \u003d 4 · LG (x + 2) -2 · LG (x + 2) \u003d 2 · LG (x + 2). Αλλά ο Otz περιέχει μια άλλη περίοδο x + 2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lG (- | x + 2 |) 4 -lg (- | x + 2 |) 2 Και περαιτέρω με δύναμη των ιδιοτήτων πτυχίου σε LG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2. Η προκύπτουσα έκφραση μπορεί να μετατραπεί από την ιδιότητα LogarithM, αφού | X + 2 |\u003e 0 για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής. Εχω lG | X + 2 | 4 -LG | X + 2 | 2 \u003d 4 · LG | x + 2 | -2 · lg | x + 2 | \u003d 2 · lg | x + 2 |. Τώρα μπορείτε να απελευθερώσετε τον εαυτό σας από την ενότητα, καθώς έκανε τη δουλειά του. Δεδομένου ότι διεξάγουμε μετατροπή στο x + 2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα, έτσι ώστε η εργασία με τις μονάδες να γίνει εξοικειωμένη. Αφήστε να έχουμε συλληφθεί από την έκφραση 
Πηγαίνετε στο άθροισμα και τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων γραμμικών αναπηδών X-1, Χ-2 και Χ-3. Πρώτα βρίσκουμε ... 
Στο διάστημα (3, + ∞) οι τιμές των εκφράσεων Χ-1, Χ-2 και Χ-3 είναι θετικά, οπότε εφαρμόζουμε ήρεμα τις ιδιότητες του λογάριθμου των ποσών και των διαφορών: 
Και στο διάστημα (1, 2), οι τιμές της έκφρασης Χ-1 είναι θετικές και οι τιμές των εκφράσεων Χ-2 και Χ-3 είναι αρνητικές. Επομένως, στο υπό εξέταση διάστημα, παρουσιάζουμε το x-2 και το x-3 χρησιμοποιώντας την ενότητα ως - | x-2 | και - | x-3 | αντίστοιχα. Εν 
Τώρα μπορείτε να εφαρμόσετε τις ιδιότητες του λογάριθμου του έργου και του ιδιωτικού, όπως συμβαίνει στο διάστημα (1, 2) τις τιμές των εκφράσεων x-1, | x-2 | και | x-3 | - Θετικός.
Εχω 
Τα αποτελέσματα μπορούν να συνδυαστούν:
Σε γενικές γραμμές, παρόμοια επιχειρήματα επιτρέπουν στους τύπους λογαρίθμων με βάση τον λογάριθμο, τις σχέσεις και τους βαθμούς να αποκτήσουν τρία πρακτικά χρήσιμα αποτελέσματα, τα οποία είναι αρκετά βολικά στη χρήση:
- Οι εργασίες λογαρίθμησης δύο αυθαίρετων εκφράσεων x και y του τύπου του ημερολογίου Α (x · y) μπορούν να αντικατασταθούν με το λογισμικό λογάριθμων Log a | x | + log a | y | , A\u003e 0, A ≠ 1.
- Logarithm ιδιωτικό αρχείο καταγραφής Α (x: y) μπορεί να αντικατασταθεί με τη διαφορά μεταξύ λογαριθμικών λογαριτών a | x | -log a | y | | , A\u003e 0, A ≠ 1, x και y - αυθαίρετες εκφράσεις.
- Από τον λογάριθμο ορισμένης έκφρασης Β σε ένα ακόμη βαθμό P of the log a b p μορφή μπορείτε να μεταβείτε στην έκφραση p · log a | b | , όπου A\u003e 0, A ≠ 1, P είναι ένας ακόμη αριθμός και Β - μια αυθαίρετη έκφραση.
Παρόμοια αποτελέσματα δίνονται, για παράδειγμα, σε οδηγίες για την επίλυση ενδεικτικών και λογαριθμικών εξισώσεων στη συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για τους υποψήφιους σε πανεπιστήμια κάτω από τους συντάκτες του Μ. Ι. Scanavi.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την έκφραση 
.
Απόφαση.
Θα ήταν καλό να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου, των ποσοτήτων και των διαφορών. Αλλά μπορούμε να το κάνουμε εδώ; Για να απαντήσετε σε αυτή την ερώτηση, πρέπει να γνωρίζουμε τον Otz.
Το ορίζουμε: 
Είναι μάλλον προφανές ότι οι εκφράσεις x + 4, x-2 και (x + 4) 13 στις τιμές των επιτρεπόμενων τιμών της μεταβλητής X μπορούν να λάβουν τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Επομένως, θα πρέπει να δράσουμε μέσω ενοτήτων. 
Οι ιδιότητες της μονάδας σας επιτρέπουν να ξαναγράψετε όπως, επομένως, 
Επίσης, τίποτα δεν εμποδίζει την ιδιοκτησία του πτυχίου λογαρίθμου, στη συνέχεια να φέρει παρόμοιους όρους με: 
Η άλλη ακολουθία των μετασχηματισμών οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα: 
και δεδομένου ότι η έκφραση X-2 μπορεί να πάρει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές, τότε κατά την υποβολή ενός ακόμη βαθμού βαθμού 14
Καθήκοντα των οποίων η λύση βρίσκεται Μετασχηματισμός λογαριθμικών εκφράσεων, αρκετά συχνά συναντώνται στις εξετάσεις.
Για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία τους με ελάχιστο χρόνο, εκτός από τις κύριες λογαριθμικές ταυτότητες, πρέπει να γνωρίζετε και να χρησιμοποιείτε σωστά ορισμένους τύπους.
Αυτό είναι: ένα αρχείο καταγραφής a b \u003d b, όπου a, b\u003e 0, και ≠ 1 (προκύπτει απευθείας από τον ορισμό του λογαριού).
Καταγράψτε ένα b \u003d log με b / log με ένα ή καταγραφικό a b \u003d 1 / log b a
όπου a, b, c\u003e 0; Α, C ≠ 1.
log a m b n \u003d (m / n) log | a | | B |
όπου a, b\u003e 0, a ≠ 1, m, n є r, n ≠ 0.
και συνδεθείτε με το b \u003d b log με ένα
όπου a, b, c\u003e 0 και a, b, s ≠ 1
Να δείξει τη δικαιοσύνη της τέταρτης ισότητας, να προλάβετε το αριστερό και τη δεξιά πλευρά του Α. Λαμβάνουμε ένα αρχείο A (και το αρχείο καταγραφής B) \u003d log a (b log με a) ή συνδεθείτε με b \u003d log με a · log a b; Σύνδεση με B \u003d log με ένα · (Σύνδεση με b / log με a); Σύνδεση με b \u003d log με b.
Έχουμε αποδεδειγμένη ισότητα των λογαρίθμων, πράγμα που σημαίνει ίση με τις εκφράσεις υπό λογάριθμους. Ο τύπος 4 αποδεικνύεται.
Παράδειγμα 1.
Υπολογίστε 81 log 27 5 log 5 4.
Απόφαση.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
lOG 27 5 \u003d 1/3 LOG 3 5, LOG 5 4 \u003d LOG 3 4 / LOG 3 5. Συνεπώς,
lOG 27 5 · LOG 5 4 \u003d 1/3 LOG 3 5 · (LOG 3 4 / LOG 3 5) \u003d 1/3 LOG 3 4.
Στη συνέχεια, 81 log 27 5 log 5 4 \u003d (34) 1/3 log 3 4 \u003d (3 log 34) 4/3 \u003d (4) 4/3 \u003d 4 3 √4.
Μπορείτε να εκτελέσετε ανεξάρτητα την ακόλουθη εργασία.
Υπολογισμός (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.
Ως άκρη 0.2 \u003d 1/5 \u003d 5-1; Log 0,2 5 \u003d -1.
Απάντηση: 5.
Παράδειγμα 2.
Υπολογίστε (√11) Κούτσουρο. √3 9- Αρχείο 121 81.
Απόφαση.
Εκτελέστε την αντικατάσταση των εκφράσεων: 9 \u003d 3 2, √3 \u003d 3 1/2, log √3 9 \u003d 4,
121 \u003d 11 2, 81 \u003d 34, log 121 81 \u003d 2 log 11 3 (Formula 3).
Στη συνέχεια (√11) log √3 9- Log 121 81 \u003d (11 1/2) 4-2 log 11 3 \u003d (11) 2- Log 11 3 \u003d 11 2 / (11) Log 11 3 \u003d 11 2 / ( 11 LOG 11 3) \u003d 121/3.
Παράδειγμα 3.
Υπολογίστε το αρχείο καταγραφής 2 24 / log 96 2- LOG 2 192 / log 12 2.
Απόφαση.
Οι λογαρίθμοι που περιέχονται στο παράδειγμα, αντικαταστήστε τους λογάριθμους με βάση 2.
log 96 2 \u003d 1 / log 2 96 \u003d 1 / log 2 (2 5 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 5 + log 2 3) \u003d 1 / (5 + log 2 3);
lOG 2 192 \u003d LOG 2 (2 6 · 3) \u003d (LOG 2 2 6 + LOG 2 3) \u003d (6 + log 2 3).
lOG 2 24 \u003d LOG 2 (2 3 · 3) \u003d (LOG 2 2 3 + LOG 2 3) \u003d (3 + log 2 3).
log 12 2 \u003d 1 / log 2 12 \u003d 1 / log 2 (2 2 · 3) \u003d 1 / (log 2 2 2 + log 2 3) \u003d 1 / (2 + log 2 3).
Τότε LOG 2 24 / LOG 96 2 - LOG 2 192 / LOG 12 2 \u003d (3 + LOG 2 3) / (1 / (5 + LOG 2 3)) - ((6 + log 2 3) / (1 / ( 2 + log 2 3)) \u003d
\u003d (3 + λογότυπο 2 3) · (5 + λογότυπο 2 3) - (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
Αφού αποκαλύψουν αγκύλες και φέρνοντας παρόμοιους όρους, λαμβάνουμε τον αριθμό 3. (με απλοποίηση της έκφρασης, το αρχείο καταγραφής 2 3 μπορεί να ορίσει μέσω n και να απλοποιήσει την έκφραση
(3 + η) · (5 + η) - (6 + η) (2 + Ν)).
Απάντηση: 3.
Μπορείτε να εκτελέσετε ανεξάρτητα την ακόλουθη εργασία:
Υπολογισμός (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3.
Εδώ είναι απαραίτητο να κάνετε μια μετάβαση στους λογαρίθμους που βασίζονται σε 3 και αποσύνθεση σε απλούς πολλαπλασιαστές μεγάλων αριθμών.
Απάντηση: 1/2.
Παράδειγμα 4.
Τρεις αριθμοί Α \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,53), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Τοποθετήστε τις σε αύξουσα σειρά.
Απόφαση.
Μετατρέπουμε τους αριθμούς Α \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,53. C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.
Σύγκρινέ τα
log 0,5 3\u003e log 0,5 4 \u003d -2 και log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Ή 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Απάντηση. Κατά συνέπεια, η διαδικασία τοποθέτησης αριθμών: c; ΑΛΛΑ; ΣΕ.
Παράδειγμα 5.
Πόσοι ακέραιοι εντοπίζονται στο διάστημα (log 3 1/16, LOG 2 6 48).
Απόφαση.
Ορίζουμε μεταξύ των πτυχίων του αριθμού 3 είναι ο αριθμός 1/16. Παίρνουμε 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Δεδομένου ότι η λειτουργία y \u003d log 3 x αυξάνεται, τότε το αρχείο καταγραφής 3 (1/2 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 \u003d log 6 (36 · 4/3) \u003d log 6 36 + log 6 (4/3) \u003d 2 + log 6 (4/3). Συγκρίνετε το αρχείο καταγραφής 6 (4/3) και το 1/5. Και για αυτό, συγκρίνετε τους αριθμούς 4/3 και 6 1/5. Ανέθεσε και τους δύο αριθμούς σε 5 βαθμούς. Λαμβάνουμε (4/3) 5 \u003d 1024/243 \u003d 4 52/243< 6. Следовательно,
log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Κατά συνέπεια, το διάστημα (log 3 1/16; Το Log 6 48) περιλαμβάνει το διάστημα [-2; 4] και οι ακέραιοι τίθενται σε αυτό. -ένας; 0; ένας; 2; 3; τέσσερα.
Απάντηση: 7 ακέραιοι.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.
Υπολογίστε 3 LGLG 2 / LG 3 - LG20.
Απόφαση.
3 LG LG 2 / LG 3 \u003d (3 1 / LG3) LG LG2 \u003d (3 LO G310) LG LG2 \u003d 10 LG LG2 \u003d LG2.
Στη συνέχεια 3 LGLG2 / LG3 - LG 20 \u003d LG 2 - LG 20 \u003d LG 0,1 \u003d -1.
Απάντηση: -1.
Παράδειγμα 7.
Είναι γνωστό ότι το αρχείο καταγραφής 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) \u003d Α. Βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).
Απόφαση.
Αριθμοί (√3 + 1) και (√3 - 1). (√6 - 2) και (√6 + 2) - συζυγές.
Θα διεξαγάγουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό των εκφράσεων
√3 - 1 \u003d (√3 - 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) \u003d 2 / (√3 + 1).
√6 + 2 \u003d (√6 + 2) · (√6-2)) / (√6 - 2) \u003d 2 / (√6 - 2).
Τότε LOG 2 (√3 - 1) + LOG 2 (√6 + 2) \u003d LOG 2 (2 / (√3 + 1)) + LOG 2 (2 / (√6 - 2)) \u003d
Log 2 2 - Σύνδεσμοι 2 (√3 + 1) + log 2 2 - log 2 (√6 - 2) \u003d 1 - log 2 (√3 + 1) + 1 - log 2 (√6 - 2) \u003d
2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) \u003d 2 - Α.
Απάντηση: 2 - Α.
Παράδειγμα 8..
Απλοποιήστε και βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της έκφρασης (log 3 · log 4 · log 5 4 · log 6 5 · ... · log 10 9.
Απόφαση.
Όλοι οι λογαρίτες που δίνουμε στη συνολική βάση 10.
(LOG 3 2 · LOG 4 · LOG 5 4 · LOG 6 5 · ... · LOG 10 9 \u003d (LG2 / LG3) · (LG3 / LG 4) · (LG 4 / LG 5) · LG 5 / LG 6) · ... (LG 8 / LG 9) · LG 9 \u003d LG 2 ≈ 0.3010. (Η τιμή κατά προσέγγιση LG 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, λογαριθμική γραμμή ή αριθμομηχανή).
Απάντηση: 0,3010.
Παράδειγμα 9..
Υπολογίστε το αρχείο καταγραφής A 2 B 3 √ (A 11 b -3) εάν το αρχείο καταγραφής √ a b 3 \u003d 1. (σε αυτό το παράδειγμα και 2 b 3 είναι η βάση του λογαριτικού).
Απόφαση.
Εάν log √ a b 3 \u003d 1, κατόπιν 3 / (0,5 καταγραφής a b \u003d 1. και καταγράψτε ένα b \u003d 1/6.
Στη συνέχεια, καταγράψτε ένα 2 B 3√ (A 11 b -3) \u003d 1/2 log A 2 B 3 (A 11 b -3) \u003d log a (A 11 B -3) / (2Log a (A 2 B 3) ) \u003d (Log AA 11 + LOG AB -3) / (2 (Σύνδεση AA 2 + LOG AB 3)) \u003d (11 - 3LOG AB) / (2 (2 + 3LOG ab)) Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το αρχείο καταγραφής B \u003d Λαμβάνεται 1/6 (11 - 3 · 1/6) / (2 (2 + 3 · 1/6)) \u003d 10,5 / 5 \u003d 2.1.
Απάντηση: 2.1.
Μπορείτε να εκτελέσετε ανεξάρτητα την ακόλουθη εργασία:
Υπολογίστε το αρχείο καταγραφής √3 6 √2.1 Εάν το αρχείο καταγραφής 0,7 27 \u003d α.
Απάντηση: (3 + Α) / (3Α).
Παράδειγμα 10.
Υπολογίστε 6.5 4 / LOG 3 169 · 3 1 / LOG 4 13 + LOG125.
Απόφαση.
6.5 4 / log 3 169 · 3 1 / log 4 13 + log 125 \u003d (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2 / log 2 13 + 2log 5 5 3 \u003d (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 LOG 13 2 + 6 \u003d (13 LOG 13 3/2 LOG 13 3) 2 · (3 LOG 13 2) 2 + 6 \u003d (3/2 LOG 13 3) 2 · (3 LOG 13 2) 2 + 6 \u003d (3 2 / (2 LOG 13 3) 2) · (2 \u200b\u200bLOG 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 \u003d 3 log 13 2 (Formula 4))
Λαμβάνουμε 9 + 6 \u003d 15.
Απάντηση: 15.
Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να βρείτε την αξία της λογαριθμικής έκφρασης;
Για να πάρετε μια βοήθεια του εκπαιδευτή - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
Η θέση, με πλήρη ή μερική αντιγραφή της αναφοράς υλικού στην αρχική πηγή.
Λογαριθμικές εκφράσεις, επίλυση παραδείγματα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τα καθήκοντα που σχετίζονται με τη λύση των λογαρίθμων. Τα καθήκοντα εγείρουν το ζήτημα της εύρεσης της έκφρασης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια του λογαρίθμου χρησιμοποιείται σε πολλά καθήκοντα και κατανοεί το νόημά της είναι εξαιρετικά σημαντικό. Όσον αφορά τη χρήση, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται στην επίλυση εξισώσεων, σε εφαρμοσμένες εργασίες, και στις εργασίες που σχετίζονται με τη μελέτη των λειτουργιών.
Δίνουμε παραδείγματα για να κατανοήσουμε την αίσθηση του λογαρίθμου:
Βασική λογαριθμική ταυτότητα:
Οι ιδιότητες των λογαρίθμων που πρέπει πάντα να θυμόμαστε:
* Ο λογάριθμος του έργου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων.
* * *
* Ο ιδιωτικός λογάριθμος (κλάσμα) είναι ίσος με τη διαφορά στους λογαρίτες των παραγόντων.
* * *
* Ο λογάριθμος είναι ίσος με το προϊόν του βαθμού στον λογάριθμο της βάσης του.
* * *
* Μετάβαση σε μια νέα βάση
* * *
Περισσότερα ακίνητα:
* * *
Ο υπολογισμός των λογαρίθμων συνδέεται στενά με τη χρήση των ιδιοτήτων των δεικτών βαθμού.
Καταγράψτε μερικά από αυτά:
Η ουσία αυτής της ιδιοκτησίας είναι ότι όταν μεταφέρετε τον αριθμητή στον παρονομαστή, και αντίθετα, το σύμβολο του δείκτη αλλάζει στο αντίθετο. Για παράδειγμα:
Συνέπεια αυτής της ιδιοκτησίας:
* * *
Κατά την ανέγερση βαθμού σε ένα βαθμό, το ίδρυμα παραμένει το ίδιο και οι δείκτες είναι μεταβλητές.
* * *
Πώς βλέπετε την ίδια την έννοια του λογαρίθμου απλού. Το κύριο πράγμα είναι ότι απαιτείται καλή πρακτική, η οποία δίνει μια ορισμένη δεξιότητα. Φυσικά, η γνώση των τύπων πρέπει. Εάν η ικανότητα στη μετατροπή των στοιχειωδών λογαρίθμων δεν σχηματίζεται, τότε κατά την επίλυση απλών εργασιών, μπορείτε εύκολα να επιτρέψετε ένα σφάλμα.
Πρακτική, αποφασίστε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα από την πορεία των μαθηματικών, τότε πηγαίνετε στο πιο περίπλοκο. Στο μέλλον, σίγουρα θα δείξω πώς λυθούν οι "τρομεροί" λογαρίθμοι, δεν θα υπάρξουν τέτοια πράγματα στην εξέταση, αλλά δεν έχουν ενδιαφέρον, δεν λείπουν!
Αυτό είναι όλο! Επιτυχία σε σας!
Ειλικρινά, Αλέξανδρος Κουτσίτσκυ
P.s: Θα είμαι ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Οι λογαρίθμοι, όπως όλοι οι αριθμοί, μπορούν να διπλωθούν, να αφαιρέσουν και να μετατρέψουν. Αλλά δεδομένου ότι οι λογαρίθμοι δεν είναι αρκετά συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν οι δικοί τους κανόνες που ονομάζονται Βασικές ιδιότητες.
Αυτοί οι κανόνες πρέπει αναγκαστικά να γνωρίζουν - καμία σοβαρή λογαριθμική εργασία λυθεί χωρίς αυτούς. Επιπλέον, είναι αρκετά λίγο - όλα μπορούν να μάθουν σε μια μέρα. Έτσι, προχωρήστε.
Προσθήκη και αφαίρεση λογαρίθμων
Εξετάστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log ΕΝΑ. Χ. και το αρχείο καταγραφής. ΕΝΑ. y.. Στη συνέχεια, μπορούν να διπλωθούν και να αφαιρεθούν, και:
- Κούτσουρο. ΕΝΑ. Χ. + Σύνδεση. ΕΝΑ. y. \u003d Σύνδεση. ΕΝΑ. (Χ. · y.);
- Κούτσουρο. ΕΝΑ. Χ. - Σύνδεση. ΕΝΑ. y. \u003d Σύνδεση. ΕΝΑ. (Χ. : y.).
Έτσι, το ποσό των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο της εργασίας και η διαφορά είναι ο λογάριθμος του ιδιωτικού. Σημείωση: Το βασικό σημείο εδώ είναι Ίδιοι λόγοι. Εάν τα θεμέλια είναι διαφορετικά, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!
Αυτοί οι τύποι θα βοηθήσουν στον υπολογισμό της λογαριθμικής έκφρασης ακόμη και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη μεμονωμένα εξαρτήματα (δείτε το μάθημα "Τι είναι ο λογάριθμος"). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα - και βεβαιωθείτε ότι:
Log 6 4 + log 6 9.
Δεδομένου ότι οι βάσεις στους λογαρίτες είναι οι ίδιοι, χρησιμοποιούμε το άθροισμα του ποσού:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης: log 2 48 - log 2 3.
Τα θεμέλια είναι τα ίδια, χρησιμοποιώντας τη φόρμουλα διαφορά:
lOG 2 48 - LOG 2 3 \u003d LOG 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης: log 3 135 - log 3 5.
Και πάλι τα θεμέλια είναι τα ίδια, οπότε έχουμε:
lOG 3 135 - LOG 3 5 \u003d LOG 3 (135: 5) \u003d LOG 3 27 \u003d 3.
Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από "κακούς" λογάριθμους, οι οποίοι δεν θεωρούνται ξεχωριστά ξεχωριστά. Αλλά μετά το μετασχηματισμό, λαμβάνονται αρκετά κανονικοί αριθμοί. Σε αυτό το γεγονός, κατασκευάζονται πολλές εργασίες δοκιμής. Αλλά ποιος είναι ο έλεγχος - οι εκφράσεις τέτοιες είναι πλήρως (μερικές φορές - σχεδόν αμετάβλητες) προσφέρονται στην εξέταση.
Εκτελεστικό πτυχίο από λογάριθμο
Τώρα λίγο περιπλέκω το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το επιχείρημα του λογαρίθμου κοστίζει ένα βαθμό; Στη συνέχεια, ο δείκτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το σήμα λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
Είναι εύκολο να δούμε ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τις δύο πρώτες τους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμηθούμε, σε ορισμένες περιπτώσεις, θα μειώσει σημαντικά το ποσό των υπολογισμών.
Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν η συμμόρφωση με τον λογάριθμο OTZ: ΕΝΑ. > 0, ΕΝΑ. ≠ 1, Χ. \u003e 0. Και επίσης: Μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους φόρμουλες όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά αντίθετα, δηλ. Μπορείτε να κάνετε τους αριθμούς που αντιμετωπίζουν τον λογαρίθμο, στον ίδιο τον Logarithm. Που απαιτείται συχνότερα.
Μια εργασία. Βρείτε την αξία της έκφρασης: log 7 49 6.
Να απαλλαγείτε από το βαθμό στο επιχείρημα στην πρώτη φόρμουλα:
lOG 7 49 6 \u003d 6 · LOG 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12
Μια εργασία. Βρείτε την αξία της έκφρασης:
[Υπογραφή στο σχήμα]
Σημειώστε ότι στον παρονομαστή υπάρχει ένας λογάριθμος, η βάση και το επιχείρημα των οποίων είναι ακριβείς βαθμοί: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Εχουμε:
[Υπογραφή στο σχήμα] Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί επεξήγηση. Πού εξαφανίστηκαν οι λογαρίτες; Μέχρι την τελευταία στιγμή, δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσίασαν τη βάση και το επιχείρημα ενός λογαρίθμου εκεί με τη μορφή βαθμών και πραγματοποίησαν δείκτες - έλαβε ένα "τριώροφο" κλάσμα.
Τώρα ας δούμε το βασικό κλάσμα. Ο αριθμός στον αριθμητή και ο παρονομαστής είναι ο ίδιος αριθμός: log 2 7. Από το αρχείο LOG 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - 2/4 θα παραμείνει στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, οι τέσσερις μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, το οποίο έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.
Μετάβαση σε μια νέα βάση
Μιλώντας για τους κανόνες για την προσθήκη και αφαίρεση των λογαρίθμων, υπογράμμισα ειδικά ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Και τι γίνεται αν τα θεμέλια είναι διαφορετικά; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς βαθμοί του ίδιου αριθμού;
Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε μια νέα βάση έρχονται στη διάσωση. Τα διαμορφώνουμε με τη μορφή θεώρημα:
Αφήστε το Log LogarithM ΕΝΑ. Χ.. Στη συνέχεια, για οποιονδήποτε αριθμό ΝΤΟ. έτσι ώστε ΝΤΟ. \u003e 0 Ι. ΝΤΟ. ≠ 1, Αληθινή Ισότητα:
[Υπογραφή στο σχήμα]
Ειδικότερα, αν βάζετε ΝΤΟ. = Χ.Θα πάρουμε:
[Υπογραφή στο σχήμα]
Από τη δεύτερη φόρμουλα ακολουθεί ότι η βάση και το επιχείρημα του λογαρίθμου μπορεί να αλλάξει σε μέρη, αλλά ταυτόχρονα η έκφραση "μετατρέπεται", δηλ. Ο λογάριθμος αποδεικνύεται ότι βρίσκεται στον παρονομαστή.
Αυτοί οι τύποι είναι σπάνιοι σε συμβατικές αριθμητικές εκφράσεις. Αξιολογώντας πόσο βολικό είναι, είναι δυνατόν μόνο κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ανισοτήτων.
Ωστόσο, υπάρχουν καθήκοντα που γενικά δεν λυθούν οπουδήποτε ως μετάβαση σε μια νέα βάση. Σκεφτείτε μερικά τέτοια:
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης: log 5 16 · log 2 25.
Σημειώστε ότι τα επιχειρήματα και των δύο λογαριτών είναι ακριβείς βαθμοί. Θα συνοψίσω: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;
Και τώρα "andvert" ο δεύτερος λογάριθμος:
[Υπογραφή στο σχήμα]Δεδομένου ότι η εργασία δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των πολλαπλασιαστών, αλλάξαμε ήρεμα τα τέσσερα και τα δύο, και στη συνέχεια ταξινομημένα με λογαρίθμους.
Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης: log 9 100 · LG 3.
Τη βάση και το επιχείρημα του πρώτου λογαρίθμου - ακριβείς βαθμούς. Το γράφουμε και απαλλαγούμε από τους δείκτες:
[Υπογραφή στο σχήμα]Τώρα απαλλαγείτε από τον δεκαδικό λογαρίνα, γυρίζοντας στη νέα βάση:
[Υπογραφή στο σχήμα]Βασική λογαριθμική ταυτότητα
Συχνά, η λύση απαιτείται να υποβάλει έναν αριθμό ως λογάριθμο για μια καθορισμένη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, οι φόρμουλες θα μας βοηθήσουν:
Στην πρώτη περίπτωση Ν. Γίνεται δείκτης του βαθμού στο επιχείρημα. Αριθμός Ν. Μπορεί να είναι απολύτως κανείς, επειδή είναι μόνο μια τιμή λογαρίθμου.
Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραπαρισμένος ορισμός. Ονομάζεται: η κύρια λογαριθμική ταυτότητα.
Στην πραγματικότητα, τι θα συμβεί αν ο αριθμός ΣΙ. να οικοδομήσουμε σε τέτοιο βαθμό που ο αριθμός ΣΙ. Σε αυτή την έκταση δίνει τον αριθμό ΕΝΑ.; Σωστά: αυτό είναι το πιο ΕΝΑ.. Διαβάστε προσεκτικά αυτή την παράγραφο και πάλι - πολλά "κρεμάστε" σε αυτό.
Όπως και οι τύποι μετάβασης σε μια νέα βάση, η κύρια λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.
Μια εργασία. Βρείτε την αξία της έκφρασης:
[Υπογραφή στο σχήμα]
Σημειώστε ότι το λογότυπο 25 64 \u003d log 5 8 - μόλις έκανε ένα τετράγωνο από τη βάση και το επιχείρημα του λογαρίθμου. Δεδομένων των κανόνων για τον πολλαπλασιασμό των πτυχίων με την ίδια βάση, παίρνουμε:
[Υπογραφή στο σχήμα]Αν κάποιος δεν γνωρίζει, ήταν ένα πραγματικό καθήκον του EGE :)
Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν
Συμπερασματικά, θα δώσω δύο ταυτότητες ότι είναι δύσκολο να αναφέρουμε τις ιδιότητες - μάλλον, αυτή είναι η συνέπεια του ορισμού του λογαρίθμου. Βρίσκονται συνεχώς σε εργασίες και, που προκαλούν έκπληξη, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και για "προχωρημένους" φοιτητές.
- Κούτσουρο. ΕΝΑ. ΕΝΑ. \u003d 1 είναι μια λογαριθμική μονάδα. Εγγραφή μία φορά και για πάντα: λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση ΕΝΑ. Από την ίδια τη βάση είναι ίση με ένα.
- Κούτσουρο. ΕΝΑ. 1 \u003d 0 είναι λογαριθμικός μηδέν. Βάση ΕΝΑ. Ίσως κάπως, αλλά αν το επιχείρημα είναι μια μονάδα - ο λογαρίθμος είναι μηδέν! Επειδή ΕΝΑ. 0 \u003d 1 είναι μια άμεση συνέπεια του ορισμού.
Αυτές είναι όλες οι ιδιότητες. Βεβαιωθείτε ότι η πρακτική εφαρμογή τους στην πράξη! Κατεβάστε το παχνί στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το - και λύστε τις εργασίες.