Κάθε περισσότερο ή λιγότερο προχωρημένος χρήστης του Διαδικτύου έχει συναντήσει επανειλημμένα όρους όπως SMO και SMM. Ο χειρισμός τους γίνεται εύκολα από κατοίκους, ωστόσο, οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν μια κάπως ασαφή ιδέα για το τι είναι στην πραγματικότητα το SMO και το SMM, και ακόμη περισσότερο - ποια είναι η διαφορά τους.

Αρχικά, ας ορίσουμε ότι το SMO και το SMM δεν είναι το ίδιο πράγμα. Μπορούμε να πούμε ότι το SMO είναι μέρος του SMM, αλλά αυτές οι έννοιες θα πρέπει να διαχωριστούν προκειμένου να κατανοηθούν πληρέστερα όλες οι πληροφορίες.

• Αυτό είναι το μάρκετινγκ μέσων κοινωνικής δικτύωσης, το οποίο συνίσταται στη διεξαγωγή ενός συνόλου εκδηλώσεων σε άλλους ιστότοπους (φόρουμ, ιστολόγια, ιστότοπους, συνομιλίες, πηγές ειδήσεων κ.λπ.) με σκοπό την προώθηση ενός προϊόντος, μιας υπηρεσίας, τη διαφήμιση υπηρεσιών και την κάλυψη εκδηλώσεων.
• Το SMM δεν είναι ανοιχτή διαφήμιση. Αυτή είναι μια κρυφή, διακριτική διαφήμιση που προσελκύει το κοινό-στόχο στο προωθούμενο προϊόν. Οι χρήστες δεν πρέπει να κατανοούν ότι τους προσφέρεται ανοιχτά ένα προϊόν - οι ίδιοι θα πρέπει να θέλουν να το αγοράσουν / να παραγγείλουν μια υπηρεσία λόγω των πληροφοριών που παρουσιάζονται.
• Το SMM ενθαρρύνει τη δημοσίευση προωθούμενων πληροφοριών σε κοινωνικά δίκτυα ή άλλους πόρους από άλλους χρήστες και το κοινό-στόχο που έχει δεχθεί επίθεση από το SMM. Όσο πιο σωστά παρουσιάζονται οι πληροφορίες, τόσο περισσότεροι άνθρωποι θα θέλουν να το πουν στους φίλους τους, δηλαδή σε πιθανούς αγοραστές.
• Η SMM παρέχει πληροφορίες για το προωθούμενο προϊόν στο κοινό-στόχο με τη μορφή κριτικών, επικοινωνίας μεταξύ του χρήστη και ανταλλαγής απόψεων.
• Προκειμένου το SMM να είναι επιτυχές, είναι σημαντικό να δημιουργηθεί μια ατμόσφαιρα εμπιστοσύνης μεταξύ των χρηστών. Αυτό αυξάνει το επίπεδο εμπιστοσύνης στη μη παρεμβατική διαφήμιση και ο χρήστης αρχίζει να εμπιστεύεται τις προτεινόμενες συμβουλές και κόλπα.
• Προκλητικοί τίτλοι, λαμπερές σκέψεις και ιδέες εφιστούν την προσοχή του κοινού στο προωθούμενο προϊόν και χάρη σε αυτό το SMM κερδίζει την προσοχή του κοινού.
• Έχοντας κερδίσει την προσοχή, το SMM προβλέπει την ενοποίηση του κοινού. Αυτό είναι που δημιουργεί μια ατμόσφαιρα εμπιστοσύνης και κατανόησης στην οποία οι χρήστες χάνουν την εγρήγορσή τους και δεν συνειδητοποιούν ότι τους προσφέρεται ένα προϊόν. Ακούνε μόνο προσωπικές απόψεις και εμπειρίες που μοιράζονται μαζί τους. Και το εκτιμούν.

• Το SMO είναι βελτιστοποίηση μέσων κοινωνικής δικτύωσης, αλλά δεν είναι έργο κοινωνικών μέσων. Το SMO είναι εργασία σε έναν προσωπικό ιστότοπο, με το περιεχόμενο που δημοσιεύεται σε αυτόν τον ιστότοπο.
• Ο σκοπός του SMO είναι να κάνει τον ιστότοπο ελκυστικό στους χρήστες κοινωνικών δικτύων, θα πρέπει να ενδιαφέρονται να επισκεφθούν τον ιστότοπο και να εξερευνήσουν το περιεχόμενο.
• Το SMO περιλαμβάνει την επιθυμία των χρηστών κοινωνικών δικτύων να μοιραστούν έναν σύνδεσμο προς έναν προωθημένο πόρο με τους φίλους τους.
• Το SMO βοηθά να μεταμορφώσετε τον πόρο σας με τέτοιο τρόπο ώστε το περιεχόμενο και τα τεχνικά χαρακτηριστικά να είναι ενδιαφέροντα και βολικά για τους χρήστες των κοινωνικών δικτύων.
• Ένα σημαντικό μέρος του SMO είναι ο μετασχηματισμός τοποθεσίας. Είναι απαραίτητο το προτεινόμενο περιεχόμενο να είναι γεμάτο με ενδιαφέρον υλικό βίντεο και πολύχρωμες εικονογραφήσεις που θα συνοδεύουν το κείμενο. Οποιοδήποτε κείμενο πρέπει να είναι φωτεινό και ελκυστικό. Μόνο με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να επιτύχετε μια ακαταμάχητη επιθυμία σε έναν χρήστη κοινωνικού δικτύου να προσθέσει σελιδοδείκτη σε αυτόν τον ιστότοπο και να ενημερώσει τους φίλους σχετικά με αυτό.
• Το ενδιαφέρον περιεχόμενο δεν είναι ο μόνος κανόνας του SMO. Είναι πολύ σημαντικό ο ιστότοπος να συναντά τους επισκέπτες του με ευχάριστο χρωματικό συνδυασμό, φιλική προς το χρήστη διεπαφή, καλά επιλεγμένες γραμματοσειρές. Το κείμενο θα πρέπει να σας κάνει να θέλετε να το διαβάσετε - θα πρέπει να είναι δομημένο. Τα «φύλλα» κειμένου χωρίς δομή είναι απίθανο να διαβαστούν από κανέναν και οι ειδικοί του SMO το γνωρίζουν αυτό.
• Η SMO δημιουργεί την υποδομή του ιστότοπου. Το περιεχόμενο δεν πρέπει μόνο να γίνεται εύκολα αντιληπτό. Οι χρήστες των κοινωνικών δικτύων πρέπει να μπορούν να το εξάγουν εύκολα (το κουμπί "κοινή χρήση" για κοινωνικά δίκτυα, εγγραφή σε λίστες αλληλογραφίας, προσθήκη του ιστότοπου σε σελιδοδείκτες, "αξιολόγηση" του κειμένου, δυνατότητα του χρήστη να τοποθετήσει έναν σύνδεσμο προς τον προωθούμενο ιστότοπο στον πόρο του).
• Ένας από τους στόχους του SMO είναι η μείωση της εγκατάλειψης των χρηστών. Μπαίνοντας στον ιστότοπο, ο χρήστης δεν τον κλείνει στην πρώτη ανοιχτή σελίδα, αλλά συνεχίζει να εξερευνά άλλες σελίδες του ιστότοπου. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί χάρη στο περιεχόμενο υψηλής ποιότητας και τη φιλική προς το χρήστη διεπαφή. Οι βολικά τοποθετημένες ανακοινώσεις επιτρέπουν στον χρήστη να πλοηγείται στις σελίδες του ιστότοπου με ευκολία, γεγονός που προσελκύει την προσοχή του. Δεν αποκλείονται οι προσκλήσεις για μετάβαση σε άλλες σελίδες.
• Η ικανότητα σχολιασμού και ανταλλαγής απόψεων είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα του SMO. Οι χρήστες με χαρά συμμετέχουν στις συζητήσεις που εκτυλίσσονται στον ιστότοπο. Αυτό αυξάνει την επισκεψιμότητα και φέρνει νέους επισκέπτες. Εάν ο ιστότοπος προστατεύεται από ανεπιθύμητα μηνύματα και υποστηρίζεται από τους καλύτερους σχολιαστές, η δημοτικότητα του ιστότοπου αυξάνεται σημαντικά.

Εισαγωγή ...................................................... ................................................ .. ...... 3

1 Αλυσίδες Markov με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων και διακριτό χρόνο 4

2 αλυσίδες Markov με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων και συνεχή χρόνο 8

3 Οι διαδικασίες της γέννησης και του θανάτου .......................................... .................... έντεκα

4 Βασικές έννοιες και ταξινόμηση συστημάτων αναμονής ... 14

5 Κύριοι τύποι συστημάτων ανοιχτής ουράς................................... 20

5.1 Μονοκαναλικό σύστημα αναμονής με βλάβες................... 20

5.2 Πολυκαναλικό σύστημα ουράς με βλάβες .............................. 21

5.3 Σύστημα ουράς μονού καναλιού με περιορισμένο μήκος ουράς ................................... ...................................................... ................................................................ 23

5.4 Σύστημα ουράς μονού καναλιού με απεριόριστη ουρά ................................... ...................................................... ................................................ 26

5.5 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με περιορισμένη ουρά ................................... ...................................................... ................................................ 27

5.6 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με απεριόριστη ουρά ................................... ...................................................... ................. ............................ τριάντα

5.7 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με περιορισμένη ουρά και περιορισμένο χρόνο αναμονής στην ουρά................................... ...................................................... ...... 32

6 Μέθοδος Μόντε Κάρλο ..................................................... ...................................... 36

6.1 Κύρια ιδέα της μεθόδου.......................................... .......................................... 36

6.2 Αναπαραγωγή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ...................................... 36

6.3 Τυχαία μεταβλητή με εκθετική κατανομή ................................ 38

7 Έρευνα του συστήματος αναμονής .............................................. .. 40

7.1 Έλεγχος της υπόθεσης της εκθετικής κατανομής .............................................. .. 40

7.2 Υπολογισμός των κύριων δεικτών του συστήματος αναμονής ........ 45

7.3 Συμπεράσματα σχετικά με το έργο του μελετημένου QS ................................... ..... ......... πενήντα

8 Διερεύνηση τροποποιημένου QS .............................................. ................................ 51

Συμπέρασμα................................................. ................................................ . 53

Κατάλογος χρησιμοποιημένων πηγών ..................................................... ................................ 54

Εισαγωγή

Το θέμα της διατριβής μου είναι η μελέτη του συστήματος αναμονής. Στην αρχική του κατάσταση, το QS που εξετάζω είναι μια από τις κλασικές περιπτώσεις, συγκεκριμένα M / M / 2/5 σύμφωνα με την αποδεκτή ονομασία Kendall. Μετά από μελέτη του συστήματος, εξήχθησαν συμπεράσματα για την αναποτελεσματικότητα του έργου του. Έχουν προταθεί μέθοδοι βελτιστοποίησης της λειτουργίας του QS, αλλά με αυτές τις αλλαγές, το σύστημα παύει να είναι κλασικό. Το κύριο πρόβλημα στη μελέτη των συστημάτων ουράς είναι ότι στην πραγματικότητα μπορούν να διερευνηθούν χρησιμοποιώντας την κλασική θεωρία της ουράς μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις. Οι ροές των εισερχόμενων και εξερχόμενων αιτημάτων μπορεί να μην είναι οι απλούστερες, επομένως, η εύρεση των περιοριστικών πιθανοτήτων των καταστάσεων που χρησιμοποιούν το σύστημα διαφορικών εξισώσεων Kolmogorov είναι αδύνατη, μπορεί να υπάρχουν κατηγορίες προτεραιότητας στο σύστημα, τότε ο υπολογισμός των κύριων δεικτών QS είναι επίσης αδύνατο.

Για τη βελτιστοποίηση της εργασίας του QS, εισήχθη ένα σύστημα δύο τάξεων προτεραιότητας και αυξήθηκε ο αριθμός των καναλιών εξυπηρέτησης. Σε αυτή την περίπτωση, συνιστάται η εφαρμογή μεθόδων προσομοίωσης, για παράδειγμα, η μέθοδος Monte Carlo. Η κύρια ιδέα της μεθόδου είναι ότι αντί για μια άγνωστη τυχαία μεταβλητή, η μαθηματική προσδοκία της λαμβάνεται σε μια αρκετά μεγάλη σειρά δοκιμών. Παίζεται μια τυχαία μεταβλητή (σε αυτήν την περίπτωση, αυτές είναι οι εντάσεις των εισερχόμενων και εξερχόμενων ροών) αρχικά ομοιόμορφα κατανεμημένες. Στη συνέχεια, η μετάβαση από μια ομοιόμορφη κατανομή σε μια εκθετική κατανομή πραγματοποιείται, μέσω τύπων μετάβασης. Ένα πρόγραμμα γράφτηκε στη VisualBasic που υλοποιεί αυτή τη μέθοδο.

1 Αλυσίδες Markov με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων και διακριτό χρόνο

Έστω κάποιο σύστημα S σε μια από τις καταστάσεις ενός πεπερασμένου (ή μετρήσιμου) συνόλου πιθανών καταστάσεων S 1 , S 2 ,…, S n , και η μετάβαση από τη μια κατάσταση στην άλλη είναι δυνατή μόνο σε ορισμένους διακριτούς χρόνους t 1 , t 2 , t 3 , που ονομάζονται βήματα.

Αν το σύστημα περάσει από τη μια κατάσταση στην άλλη τυχαία, τότε λέμε ότι υπάρχει μια τυχαία διαδικασία με διακριτό χρόνο.

Μια τυχαία διαδικασία ονομάζεται Μαρκοβιανή εάν η πιθανότητα μετάβασης από οποιαδήποτε κατάσταση Si σε οποιαδήποτε κατάσταση Sj δεν εξαρτάται από το πώς και πότε το σύστημα S έφτασε στην κατάσταση S i (δηλαδή, δεν υπάρχει συνέπεια στο σύστημα S). Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία του συστήματος S λέγεται ότι περιγράφεται από μια διακριτή αλυσίδα Markov.

Είναι βολικό να απεικονίζονται οι μεταβάσεις του συστήματος S σε διαφορετικές καταστάσεις χρησιμοποιώντας ένα γράφημα καταστάσεων (Εικ. 1).

Εικόνα 1 - Ένα παράδειγμα γραφήματος κατάστασης με ετικέτα

Οι κορυφές του γραφήματος S 1 , S 2 , S 3 δηλώνουν τις πιθανές καταστάσεις του συστήματος. Το βέλος που κατευθύνεται από την κορυφή S i στην κορυφή S j υποδηλώνει τη μετάβαση. ο αριθμός δίπλα στο βέλος υποδεικνύει την πιθανότητα αυτής της μετάβασης. Το βέλος που κλείνει στην i-η κορυφή του γραφήματος σημαίνει ότι το σύστημα παραμένει στην κατάσταση S i με την πιθανότητα του βέλους.

Ένα γράφημα συστήματος που περιέχει n κορυφές μπορεί να συσχετιστεί με έναν πίνακα NxN του οποίου τα στοιχεία είναι οι πιθανότητες μετάβασης p ij μεταξύ των κορυφών του γραφήματος. Για παράδειγμα, το γράφημα στο Σχ. Το 1 περιγράφεται από τον πίνακα P:

που ονομάζεται πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης. Τα στοιχεία μήτρας p ij ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:

Στοιχεία του πίνακα p ij - δίνουν τις πιθανότητες μεταβάσεων στο σύστημα σε ένα βήμα. Μετάβαση

Το S i – S j σε δύο βήματα μπορεί να θεωρηθεί ότι συμβαίνει στο πρώτο βήμα από το S i σε κάποια ενδιάμεση κατάσταση S k και στο δεύτερο βήμα από το S k στο S i. Έτσι, για τα στοιχεία του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης από S i στο S j σε δύο βήματα παίρνουμε:

Στη γενική περίπτωση μιας μετάβασης σε m βήματα, ο ακόλουθος τύπος ισχύει για τα στοιχεία του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης:

(3)

Παίρνουμε δύο ισοδύναμες εκφράσεις για:

Αφήστε το σύστημα S να περιγραφεί από τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Р:

Αν συμβολίσουμε με Р(m) έναν πίνακα του οποίου τα στοιχεία είναι pi πιθανότητες μετάβασης από S i στο S j σε m βήματα, τότε ισχύει ο παρακάτω τύπος

όπου ο πίνακας Р m προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα P με τον εαυτό του m φορές.

Η αρχική κατάσταση του συστήματος χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα κατάστασης συστήματος Q(q i) (ονομάζεται επίσης στοχαστικό διάνυσμα).

όπου q j είναι η πιθανότητα η αρχική κατάσταση του συστήματος να είναι η κατάσταση S j. Ομοίως με τα (1) και (2), οι σχέσεις

Σημειώστε με

διάνυσμα κατάστασης συστήματος μετά από m βήματα, όπου q j είναι η πιθανότητα μετά από m βήματα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση S i. Μετά η φόρμουλα

Εάν οι πιθανότητες μετάβασης P ij παραμένουν σταθερές, τότε τέτοιες αλυσίδες Markov ονομάζονται ακίνητες. Διαφορετικά, η αλυσίδα Markov ονομάζεται μη στάσιμη.

2. Αλυσίδες Markov με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων και συνεχή χρόνο

Εάν το σύστημα S μπορεί να μεταβεί σε άλλη κατάσταση τυχαία σε μια αυθαίρετη χρονική στιγμή, τότε μιλάμε για μια τυχαία διαδικασία με συνεχή χρόνο. Ελλείψει μεταγενέστερου αποτελέσματος, μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συνεχής αλυσίδα Markov. Στην περίπτωση αυτή, οι πιθανότητες μετάβασης για οποιαδήποτε i και j οποιαδήποτε στιγμή είναι ίσες με μηδέν (λόγω της συνέχειας του χρόνου). Για το λόγο αυτό, αντί για την πιθανότητα μετάβασης, εισάγεται μια τιμή - η πυκνότητα της πιθανότητας μετάβασης από κατάσταση σε κατάσταση, που ορίζεται ως όριο:

Αν οι ποσότητες δεν εξαρτώνται από το t, τότε η διαδικασία Markov ονομάζεται ομοιογενής. Εάν ένα σύστημα μπορεί να αλλάξει την κατάστασή του το πολύ μια φορά στο χρόνο, τότε η τυχαία διαδικασία λέγεται ότι είναι συνηθισμένη. Η τιμή ονομάζεται ένταση της μετάβασης του συστήματος από S i στο S j . Στο γράφημα των καταστάσεων του συστήματος, αριθμητικές τιμές τοποθετούνται δίπλα στα βέλη που δείχνουν μεταβάσεις στις κορυφές του γραφήματος.

Γνωρίζοντας τις εντάσεις των μεταβάσεων, μπορούμε να βρούμε τις τιμές p 1 (t), p 2 (t),…, p n (t) – τις πιθανότητες εύρεσης του συστήματος S στις καταστάσεις S 1 , S 2 ,…, S n, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή πληρούται η ακόλουθη προϋπόθεση:

Η κατανομή πιθανοτήτων των καταστάσεων του συστήματος, που μπορεί να χαρακτηριστεί από το διάνυσμα, ονομάζεται ακίνητη εάν δεν εξαρτάται από το χρόνο, δηλ. όλα τα διανυσματικά στοιχεία είναι σταθερές.

Οι καταστάσεις S i και Sj λέγεται ότι επικοινωνούν εάν είναι δυνατές οι μεταβάσεις.

Μια κατάσταση S i ονομάζεται ουσιαστική εάν οποιοδήποτε S j είναι προσβάσιμο από το S i επικοινωνεί με το S i. Μια κατάσταση S i ονομάζεται ασήμαντη εάν δεν είναι ουσιαστική.

Εάν υπάρχουν περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος:

,

ανεξάρτητα από την αρχική κατάσταση του συστήματος, τότε λέμε ότι στο , το ακίνητο καθεστώς εγκαθιδρύεται στο σύστημα.

Ένα σύστημα στο οποίο υπάρχουν περιοριστικές (τελικές) πιθανότητες καταστάσεων συστήματος ονομάζεται εργοδικό και μια τυχαία διεργασία που εμφανίζεται σε αυτό ονομάζεται εργοδική.

Θεώρημα 1. Εάν το S i είναι μη ουσιαστική κατάσταση, τότε δηλ. όταν το σύστημα εξέρχεται από οποιαδήποτε μη ουσιώδη κατάσταση.

Θεώρημα 2. Για να έχει ένα σύστημα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων μια μοναδική κατανομή πιθανότητας οριακής κατάστασης, είναι απαραίτητο και αρκετό όλες οι βασικές του καταστάσεις να επικοινωνούν μεταξύ τους.

Εάν μια τυχαία διεργασία που συμβαίνει σε ένα σύστημα με διακριτές καταστάσεις είναι μια συνεχής αλυσίδα Markov, τότε για τις πιθανότητες p 1 (t), p 2 (t), ..., p n (t) μπορεί κανείς να συνθέσει ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται εξισώσεις Κολμογκόροφ. Κατά τη σύνταξη εξισώσεων, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε το γράφημα κατάστασης του συστήματος. Στην αριστερή πλευρά καθενός από αυτά βρίσκεται η παράγωγος της πιθανότητας κάποιας (j-ης) κατάστασης. Στη δεξιά πλευρά - το άθροισμα των γινομένων των πιθανοτήτων όλων των καταστάσεων από τις οποίες είναι δυνατή η μετάβαση σε μια δεδομένη κατάσταση, με την ένταση των αντίστοιχων ροών, μείον τη συνολική ένταση όλων των ροών που βγάζουν το σύστημα από το δεδομένο (j-η) κατάσταση, πολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα της δεδομένης (j-ης) κατάστασης .

3 Διαδικασίες γέννησης και θανάτου

Αυτό είναι το όνομα μιας ευρείας κατηγορίας τυχαίων διεργασιών που συμβαίνουν σε ένα σύστημα του οποίου το γράφημα κατάστασης με ετικέτα φαίνεται στο Σχήμα. 3.

Εικόνα 2 - Γράφημα καταστάσεων για τις διαδικασίες θανάτου και αναπαραγωγής

Εδώ, οι τιμές, ,…, είναι οι εντάσεις των μεταβάσεων του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση από αριστερά προς τα δεξιά, μπορούν να ερμηνευθούν ως οι εντάσεις γέννησης (εμφάνιση εφαρμογών) στο σύστημα. Ομοίως, οι τιμές ,,…, – η ένταση των μεταβάσεων του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση από δεξιά προς τα αριστερά, μπορούν να ερμηνευθούν ως η ένταση του θανάτου (εκπλήρωση αιτημάτων) στο σύστημα.

Εφόσον όλες οι καταστάσεις είναι επικοινωνιακές και ουσιαστικές, υπάρχει (βάσει του Θεωρήματος 2) μια περιοριστική (τελική) κατανομή πιθανοτήτων των καταστάσεων. Λαμβάνουμε τύπους για τις τελικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος.

Υπό σταθερές συνθήκες, για κάθε κατάσταση, η ροή που εισέρχεται στη δεδομένη κατάσταση πρέπει να είναι ίση με τη ροή που εξέρχεται από τη δεδομένη κατάσταση. Έτσι, έχουμε:

Για την κατάσταση S 0:

Ως εκ τούτου:

Για την κατάσταση S 1:

Ως εκ τούτου:

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι :

(4)

, ,…, (5)

4. Βασικές έννοιες και ταξινόμηση συστημάτων αναμονής

Μια αίτηση (ή απαίτηση) είναι μια απαίτηση για την ικανοποίηση μιας ανάγκης (εφεξής, οι ανάγκες θεωρούνται του ίδιου τύπου). Η εκτέλεση ενός αιτήματος ονομάζεται εξυπηρέτηση ενός αιτήματος.

Ένα σύστημα ουράς (QS) είναι οποιοδήποτε σύστημα για την εκπλήρωση αιτημάτων που εισάγονται σε αυτό σε τυχαίους χρόνους.

Η παραλαβή μιας αίτησης στο QS ονομάζεται συμβάν. Η ακολουθία γεγονότων που συνίσταται στη λήψη αιτήσεων στο QS ονομάζεται εισερχόμενη ροή εφαρμογών. Η ακολουθία γεγονότων που συνίσταται στην εκπλήρωση των αιτημάτων στο QS ονομάζεται εξερχόμενη ροή αιτημάτων.

Η ροή των αιτημάτων ονομάζεται απλούστερη εάν πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) κανένα επακόλουθο, δηλ. οι αιτήσεις λαμβάνονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη·

2) στάσιμο, δηλ. η πιθανότητα λήψης ενός δεδομένου αριθμού αιτήσεων σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα εξαρτάται μόνο από την τιμή αυτού του τμήματος και δεν εξαρτάται από την τιμή του t 1, που μας επιτρέπει να μιλάμε για τον μέσο αριθμό αιτήσεων ανά μονάδα χρόνου, λ , που ονομάζεται ένταση της ροής των εφαρμογών.

3) συνηθισμένο, δηλ. Σε κάθε δεδομένη στιγμή, μόνο ένα αίτημα φτάνει στο QS και η άφιξη δύο ή περισσότερων αιτημάτων ταυτόχρονα είναι αμελητέα.

Για την απλούστερη ροή, η πιθανότητα p i (t) του i να ζητήσει ακριβώς η εισαγωγή του QS σε χρόνο t υπολογίζεται από τον τύπο:

(6)

εκείνοι. οι πιθανότητες κατανέμονται σύμφωνα με το νόμο Poisson με την παράμετρο λt. Για το λόγο αυτό, η απλούστερη ροή ονομάζεται επίσης ροή Poisson.

Η συνάρτηση κατανομής F(t) ενός τυχαίου χρονικού διαστήματος T μεταξύ δύο διαδοχικών αξιώσεων είναι, εξ ορισμού, ίση με . Όμως, πού είναι η πιθανότητα η επόμενη μετά την τελευταία εφαρμογή να μπει στο QS μετά την ώρα t, δηλ. κατά τη διάρκεια του χρόνου t, καμία αξίωση δεν θα φτάσει στο QS. Αλλά η πιθανότητα αυτού του γεγονότος βρίσκεται από το (6) στο i = 0. Έτσι:

Η πυκνότητα πιθανότητας f(t) μιας τυχαίας μεταβλητής T προσδιορίζεται από τον τύπο:

,

Η μαθηματική προσδοκία, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Τ είναι ίσες, αντίστοιχα:

Ένα κανάλι υπηρεσίας είναι μια συσκευή στο QS που εξυπηρετεί ένα αίτημα. Το QS που περιέχει ένα κανάλι υπηρεσίας ονομάζεται μονοκάναλο και περιέχει περισσότερα από ένα κανάλια υπηρεσίας - πολυκαναλικό.

Εάν μια εφαρμογή που εισέρχεται στο QS μπορεί να λάβει άρνηση υπηρεσίας (λόγω της απασχολημένης λειτουργίας όλων των καναλιών υπηρεσίας) και, σε περίπτωση άρνησης, αναγκαστεί να εγκαταλείψει το QS, τότε ένα τέτοιο QS ονομάζεται QS με αρνήσεις.

Εάν, σε περίπτωση άρνησης υπηρεσίας, οι εφαρμογές μπορούν να μπουν στην ουρά, τότε τέτοια QS ονομάζονται QS με ουρά (ή με αναμονή). Παράλληλα, διακρίνεται ένα QS με περιορισμένη και απεριόριστη ουρά. Η ουρά μπορεί να περιοριστεί τόσο από τον αριθμό των θέσεων όσο και από τον χρόνο αναμονής. Διακρίνετε τον ανοιχτό και τον κλειστό τύπο QS. Σε ένα ανοιχτού τύπου QS, η ροή των εφαρμογών δεν εξαρτάται από το QS. Ένα QS κλειστού τύπου εξυπηρετεί περιορισμένο εύρος πελατών και ο αριθμός των εφαρμογών μπορεί να εξαρτάται σημαντικά από την κατάσταση του QS (για παράδειγμα, μια ομάδα τεχνικών που συντηρούν μηχανές σε ένα εργοστάσιο).

Οι ΚΟΑ μπορεί επίσης να διαφέρουν ως προς την πειθαρχία της υπηρεσίας.

Εάν δεν υπάρχει προτεραιότητα στο QS, τότε οι εφαρμογές επιλέγονται από την ουρά προς το κανάλι σύμφωνα με διάφορους κανόνες.

Πρώτη φορά - πρώτη εξυπηρέτηση (FCFS - First Came - First Served)

· Τελευταία ήρθε - πρώτη εξυπηρέτηση (LCFS - Last Came - First Served)

Συντομότερος χρόνος υπηρεσίας Πρώτη υπηρεσία (SPT/SJE)

Προτεραιότητα εξυπηρέτησης αξιώσεων με τον συντομότερο χρόνο παρακολούθησης (SRPT)

・Αξιώσεις πρώτης εξυπηρέτησης συντομότερου μέσου χρόνου εξυπηρέτησης (SEPT).

Πρώτη εξυπηρέτηση αξιώσεων με τον μικρότερο μέσο χρόνο διεκπεραίωσης (SERPT)

Οι προτεραιότητες είναι δύο ειδών - απόλυτες και σχετικές.

Εάν μια απαίτηση μπορεί να αφαιρεθεί από το κανάλι κατά τη διάρκεια της υπηρεσίας και να επιστρέψει στην ουρά (ή να φύγει από το QS εντελώς) όταν φτάσει μια απαίτηση με υψηλότερη προτεραιότητα, τότε το σύστημα λειτουργεί με απόλυτη προτεραιότητα. Εάν η υπηρεσία οποιασδήποτε απαίτησης στο κανάλι δεν μπορεί να διακοπεί, τότε το QS λειτουργεί με σχετική προτεραιότητα. Υπάρχουν επίσης προτεραιότητες που επιβάλλονται από έναν συγκεκριμένο κανόνα ή ένα σύνολο κανόνων. Ένα παράδειγμα θα ήταν μια προτεραιότητα που αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.

Τα QS περιγράφονται από ορισμένες παραμέτρους που χαρακτηρίζουν την απόδοση του συστήματος.

είναι ο αριθμός των καναλιών στο QS.

- την ένταση παραλαβής των αιτήσεων στο QS.

– ένταση αιτημάτων εξυπηρέτησης·

– Συντελεστής φορτίου QS.

- τον αριθμό των θέσεων στην ουρά.

είναι η πιθανότητα άρνησης παροχής υπηρεσιών για μια αίτηση που ελήφθη από το QS.

είναι η πιθανότητα εξυπηρέτησης μιας αίτησης που ελήφθη από το QS (σχετική απόδοση του QS).

Εν:

(8)

A είναι ο μέσος αριθμός εφαρμογών που εξυπηρετούνται στο QS ανά μονάδα χρόνου (η απόλυτη απόδοση του QS)

είναι ο μέσος αριθμός αιτήσεων στο QS

είναι ο μέσος αριθμός καναλιών στο QS που απασχολούνται με αιτήματα εξυπηρέτησης. Ταυτόχρονα, αυτός είναι ο μέσος αριθμός αιτημάτων που εξυπηρετούνται στο QS ανά μονάδα χρόνου. Η τιμή ορίζεται ως η μαθηματική προσδοκία ενός τυχαίου αριθμού n καναλιών που συμμετέχουν στην εξυπηρέτηση.

, (10)

όπου είναι η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση S k.

– ποσοστό πληρότητας καναλιού

– μέσος χρόνος αναμονής για ένα αίτημα στην ουρά

– ένταση αιτημάτων που εγκαταλείπουν την ουρά

είναι ο μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά. Ορίζεται ως η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής m - ο αριθμός των εφαρμογών στην ουρά

(11)

Εδώ, είναι η πιθανότητα να βρεθείτε στην ουρά των i αιτημάτων.

– μέσος χρόνος παραμονής μιας αίτησης με QS

– μέσος χρόνος παραμονής στην ουρά

Για ανοιχτό QS, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

(12)

Αυτές οι σχέσεις ονομάζονται τύποι του Little και ισχύουν μόνο για σταθερές ροές αιτημάτων και υπηρεσιών.

Εξετάστε ορισμένους συγκεκριμένους τύπους QS. Σε αυτήν την περίπτωση, θα υποτεθεί ότι η πυκνότητα κατανομής του χρονικού διαστήματος μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων στο QS έχει μια εκθετική κατανομή (7) και όλες οι ροές είναι οι απλούστερες.

5. Κύριοι τύποι συστημάτων ανοιχτής ουράς

5.1 Μονοκαναλικό σύστημα αναμονής με βλάβες

Το γράφημα κατάστασης με ετικέτα ενός QS μονού καναλιού φαίνεται στο Σχήμα 3.

Εικόνα 3 - Γράφημα καταστάσεων ενός μονοκαναλικού QS

Εδώ και είναι η ένταση της ροής των αιτημάτων και η εκπλήρωση των αιτημάτων, αντίστοιχα. Η κατάσταση συστήματος S o σημαίνει ότι το κανάλι είναι ελεύθερο και S 1 σημαίνει ότι το κανάλι είναι απασχολημένο με την εξυπηρέτηση του αιτήματος.

Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων Kolmogorov για ένα τέτοιο QS έχει τη μορφή:

όπου p o (t) και p 1 (t) είναι οι πιθανότητες το QS να βρίσκεται σε καταστάσεις So και S1, αντίστοιχα. Οι εξισώσεις για τις τελικές πιθανότητες p o και p 1 λαμβάνονται εξισώνοντας με το μηδέν τις παραγώγους στις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

(14)

(15)

Η πιθανότητα p 0 κατά την έννοια της είναι η πιθανότητα εξυπηρέτησης του αιτήματος p obs, αφού το κανάλι είναι ελεύθερο, και η πιθανότητα p 1 με την έννοια του είναι η πιθανότητα άρνησης εξυπηρέτησης της αίτησης p ref εισερχόμενη στο QS, αφού το κανάλι είναι απασχολημένος με την εξυπηρέτηση του προηγούμενου αιτήματος.

5.2 Πολυκαναλικό σύστημα αναμονής με βλάβες

Έστω ότι το QS περιέχει n κανάλια, η ένταση της ροής εισερχόμενων αιτημάτων είναι ίση με , και η ένταση εξυπηρέτησης αιτήματος από κάθε κανάλι είναι ίση με . Το γράφημα κατάστασης συστήματος με ετικέτα φαίνεται στο Σχήμα 4.

Εικόνα 4 - Γράφημα καταστάσεων ενός πολυκαναλικού QS με αστοχίες

Η κατάσταση S 0 σημαίνει ότι όλα τα κανάλια είναι ελεύθερα, η κατάσταση S k (k = 1, n) σημαίνει ότι τα k κανάλια είναι απασχολημένα με την εξυπηρέτηση αξιώσεων. Η μετάβαση από τη μια κατάσταση στην άλλη γειτονική δεξιά γίνεται απότομα υπό την επίδραση της εισερχόμενης ροής αιτημάτων με ένταση ανεξάρτητα από τον αριθμό των καναλιών λειτουργίας (πάνω βέλη). Για τη μετάβαση του συστήματος από μια κατάσταση στη γειτονική αριστερή κατάσταση, δεν έχει σημασία ποιο κανάλι ελευθερώνεται. Η τιμή χαρακτηρίζει την ένταση των εφαρμογών σέρβις κατά την εργασία σε κανάλια QS k (κάτω βέλη).

Συγκρίνοντας τα γραφήματα στο Σχ. 3 και στο σχ. 5 είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι ένα πολυκαναλικό QS με βλάβες είναι μια ειδική περίπτωση του συστήματος γέννησης και θανάτου, εάν στο τελευταίο δεχθούμε και

(16)

Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι (4) και (5) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των τελικών πιθανοτήτων. Λαμβάνοντας υπόψη το (16), λαμβάνουμε από αυτά:

(17)

(18)

Οι τύποι (17) και (18) ονομάζονται τύποι Erlang, ο ιδρυτής της θεωρίας της ουράς.

Η πιθανότητα άρνησης εξυπηρέτησης του αιτήματος p ref είναι ίση με την πιθανότητα όλα τα κανάλια να είναι απασχολημένα, δηλ. το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση S n . Ετσι,

(19)

Βρίσκουμε τη σχετική απόδοση του QS από τις (8) και (19):

(20)

Βρίσκουμε την απόλυτη απόδοση από (9) και (20):

Ο μέσος αριθμός καναλιών που καταλαμβάνει το σέρβις μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (10), αλλά ας το κάνουμε πιο απλό. Δεδομένου ότι κάθε κατειλημμένο κανάλι εξυπηρετεί κατά μέσο όρο αιτήματα ανά μονάδα χρόνου, μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

5.3 Σύστημα ουράς μονού καναλιού με περιορισμένο μήκος ουράς

Σε ένα QS με περιορισμένη ουρά, ο αριθμός των θέσεων m στην ουρά είναι περιορισμένος. Κατά συνέπεια, μια αίτηση που φτάνει σε μια στιγμή που όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες απορρίπτεται και φεύγει από το QS. Το γράφημα ενός τέτοιου QS φαίνεται στο Σχήμα 5.

S0

Εικόνα 5 - Γράφημα καταστάσεων ενός QS μονού καναλιού με περιορισμένη ουρά

Οι καταστάσεις QS αντιπροσωπεύονται ως εξής:

S 0 - το κανάλι εξυπηρέτησης είναι δωρεάν,

S 1 - το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, αλλά δεν υπάρχει ουρά,

S 2 - το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, υπάρχει ένα αίτημα στην ουρά,

S k +1 – το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, υπάρχουν k αιτήματα στην ουρά,

S m +1 – το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες.

Για να ληφθούν οι απαραίτητοι τύποι, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι το QS στο Σχήμα 5 είναι μια ειδική περίπτωση του συστήματος γέννησης και θανάτου που φαίνεται στο σχήμα 2, εάν στο τελευταίο δεχθούμε και

(21)

Οι εκφράσεις για τις τελικές πιθανότητες των καταστάσεων του εξεταζόμενου QS μπορούν να βρεθούν από τα (4) και (5) λαμβάνοντας υπόψη το (21). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

Για p = 1, οι τύποι (22), (23) παίρνουν τη μορφή

Για m = 0 (δεν υπάρχει ουρά), οι τύποι (22), (23) μετατρέπονται σε τύπους (14) και (15) για QS μονού καναλιού με αστοχίες.

Ένα αίτημα που λαμβάνεται από το QS λαμβάνει άρνηση εξυπηρέτησης εάν το QS βρίσκεται στην κατάσταση S m +1, δηλ. Η πιθανότητα άρνησης εξυπηρέτησης του αιτήματος είναι ίση με:

Η σχετική απόδοση του QS είναι ίση με:

Ο μέσος αριθμός εφαρμογών που βρίσκονται στην ουρά L och βρίσκεται από τον τύπο

και μπορεί να γραφτεί ως:

(24)

Στο , ο τύπος (24) έχει τη μορφή:

– ο μέσος αριθμός αιτήσεων στο QS βρίσκεται από τον τύπο (10)

και μπορεί να γραφτεί ως:

(25)

Όταν , από το (25) λαμβάνουμε:

Ο μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο QS και στην ουρά βρίσκεται από τους τύπους (12) και (13), αντίστοιχα.

5.4 Σύστημα ουράς μονού καναλιού με απεριόριστη ουρά

Ένα παράδειγμα τέτοιου QS μπορεί να είναι ο διευθυντής μιας επιχείρησης, ο οποίος αργά ή γρήγορα πρέπει να επιλύσει ζητήματα της αρμοδιότητάς του, ή, για παράδειγμα, μια γραμμή σε ένα αρτοποιείο με έναν ταμία. Το γράφημα ενός τέτοιου QS φαίνεται στο Σχήμα 6.

Εικόνα 6 - Γράφημα καταστάσεων ενός QS μονού καναλιού με απεριόριστη ουρά

Όλα τα χαρακτηριστικά ενός τέτοιου QS μπορούν να ληφθούν από τους τύπους της προηγούμενης ενότητας, υποθέτοντας σε αυτούς . Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να διακρίνουμε δύο ουσιαστικά διαφορετικές περιπτώσεις: α) ; β) . Στην πρώτη περίπτωση, όπως φαίνεται από τους τύπους (22), (23), p 0 = 0 και p k = 0 (για όλες τις πεπερασμένες τιμές του k). Αυτό σημαίνει ότι, για , η ουρά αυξάνεται επ' αόριστον, δηλ. η υπόθεση αυτή δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν . Οι τύποι (22) και (23) θα γραφτούν ως εξής:

Εφόσον δεν υπάρχει όριο στο μήκος της ουράς στο QS, μπορεί να εξυπηρετηθεί οποιοδήποτε αίτημα, π.χ.

Το απόλυτο εύρος ζώνης είναι:

Ο μέσος αριθμός αιτημάτων στην ουρά λαμβάνεται από τον τύπο (24) για:

Ο μέσος αριθμός των εξυπηρετούμενων εφαρμογών είναι:

Ο μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο QS και στην ουρά προσδιορίζεται από τους τύπους (12) και (13).

5.5 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με περιορισμένη ουρά

Αφήστε την είσοδο ενός QS με κανάλια εξυπηρέτησης να λάβει μια ροή αιτημάτων Poisson με ένταση. Η ένταση της εξυπηρέτησης εφαρμογών από κάθε κανάλι είναι ίση με , και ο μέγιστος αριθμός θέσεων στην ουρά είναι ίσος με .

Το γράφημα ενός τέτοιου συστήματος φαίνεται στο σχήμα 7.

Εικόνα 7 - Γράφημα καταστάσεων ενός πολυκαναλικού QS με περιορισμένη ουρά

– όλα τα κανάλια είναι δωρεάν, δεν υπάρχει ουρά.

- απασχολημένος μεγάλοκανάλια ( μεγάλο= 1, n), δεν υπάρχει ουρά.

Όλα τα n κανάλια είναι απασχολημένα, υπάρχει ουρά Εγώεφαρμογές ( Εγώ= 1, m).

Η σύγκριση των γραφημάτων στο Σχήμα 2 και στο Σχήμα 7 δείχνει ότι το τελευταίο σύστημα είναι μια ειδική περίπτωση του συστήματος γέννησης και θανάτου, εάν γίνουν οι ακόλουθες αντικαταστάσεις σε αυτό (οι αριστεροί συμβολισμοί αναφέρονται στο σύστημα γέννησης και θανάτου):

Οι εκφράσεις για τις τελικές πιθανότητες είναι εύκολο να βρεθούν από τους τύπους (4) και (5). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

(26)

Ο σχηματισμός ουράς γίνεται όταν, τη στιγμή της παραλαβής του επόμενου αιτήματος στο QS, όλα τα κανάλια είναι κατειλημμένα, δηλ. υπάρχουν είτε n, είτε (n+1),…, είτε (n + m– 1) πελάτες στο σύστημα. Επειδή αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα, τότε η πιθανότητα να σχηματιστεί μια ουρά p och είναι ίση με το άθροισμα των αντίστοιχων πιθανοτήτων :

(27)

Η σχετική απόδοση είναι:

Ο μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά καθορίζεται από τον τύπο (11) και μπορεί να γραφτεί ως:

(28)

Μέσος αριθμός αιτήσεων στην ΚΟΑ:

Ο μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο QS και στην ουρά προσδιορίζεται από τους τύπους (12) και (13).

5.6 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με απεριόριστη ουρά

Το γράφημα ενός τέτοιου QS φαίνεται στο Σχήμα 8 και λαμβάνεται από το γράφημα στο Σχήμα 7 με .

Εικόνα 8 - Γράφημα καταστάσεων ενός πολυκαναλικού QS με απεριόριστη ουρά

Οι τύποι για τις τελικές πιθανότητες μπορούν να ληφθούν από τους τύπους για το n-κανάλι QS με περιορισμένη ουρά για . Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν η πιθανότητα p 0 = p 1 =… = p n = 0, δηλ. η ουρά μεγαλώνει επ' αόριστον. Επομένως, αυτή η υπόθεση δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον, και μόνο η περίπτωση εξετάζεται παρακάτω. Όταν από το (26) παίρνουμε:

Οι τύποι για τις υπόλοιπες πιθανότητες έχουν την ίδια μορφή όπως για το QS με περιορισμένη ουρά:

Από το (27) λαμβάνουμε μια έκφραση για την πιθανότητα σχηματισμού μιας ουράς εφαρμογών:

Εφόσον η ουρά δεν είναι περιορισμένη, η πιθανότητα άρνησης εξυπηρέτησης του αιτήματος είναι:

Απόλυτο εύρος ζώνης:

Από τον τύπο (28) στο , λαμβάνουμε μια παράσταση για τον μέσο αριθμό αιτημάτων στην ουρά:

Ο μέσος αριθμός των εξυπηρετούμενων αιτημάτων καθορίζεται από τον τύπο:

Ο μέσος χρόνος παραμονής στο QS και στην ουρά καθορίζεται από τους τύπους (12) και (13).

5.7 Σύστημα ουράς πολλαπλών καναλιών με περιορισμένη ουρά και περιορισμένο χρόνο αναμονής στην ουρά

Η διαφορά μεταξύ ενός τέτοιου QS και του QS που εξετάζεται στην Ενότητα 5.5 είναι ότι ο χρόνος αναμονής υπηρεσίας όταν ένας πελάτης βρίσκεται στην ουρά θεωρείται ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο, όπου είναι ο μέσος χρόνος αναμονής για ένας πελάτης στην ουρά και η ένταση της ροής των αιτημάτων που εγκαταλείπουν την ουρά. Το γράφημα ενός τέτοιου QS φαίνεται στο Σχήμα 9.

Εικόνα 9 - Γράφημα ενός πολυκαναλικού QS με περιορισμένη ουρά και περιορισμένο χρόνο αναμονής στην ουρά

Οι υπόλοιπες ονομασίες εδώ έχουν την ίδια σημασία όπως στην υποενότητα.

Σύγκριση γραφημάτων στο σχ. Τα σχ. 3 και 9 δείχνουν ότι το τελευταίο σύστημα είναι μια ειδική περίπτωση του συστήματος γέννησης και θανάτου, εάν γίνουν οι ακόλουθες αντικαταστάσεις (η αριστερή σημειογραφία αναφέρεται στο σύστημα γέννησης και θανάτου):

Οι εκφράσεις για τις τελικές πιθανότητες είναι εύκολο να βρεθούν από τους τύπους (4) και (5) λαμβάνοντας υπόψη την (29). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

,

που . Η πιθανότητα να σχηματιστεί μια ουρά καθορίζεται από τον τύπο:

Ένα αίτημα απορρίπτεται η εξυπηρέτηση όταν και οι m θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες, δηλ. πιθανότητα άρνησης υπηρεσίας:

Σχετική διεκπεραίωση:

Απόλυτο εύρος ζώνης:

Ο μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά βρίσκεται από τον τύπο (11) και είναι ίσος με:

Ο μέσος αριθμός των αιτήσεων που εξυπηρετούνται στο QS βρίσκεται με τον τύπο (10) και είναι ίσος με:

Ο μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο QS είναι το άθροισμα του μέσου χρόνου αναμονής στην ουρά και του μέσου χρόνου για την εξυπηρέτηση μιας εφαρμογής:

6. Μέθοδος Μόντε Κάρλο

6.1 Κύρια ιδέα της μεθόδου

Η ουσία της μεθόδου Monte Carlo είναι η εξής: πρέπει να βρείτε την τιμή ένακάποια αξία υπό μελέτη. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε μια τέτοια τυχαία μεταβλητή Χ, η μαθηματική προσδοκία της οποίας είναι ίση με: Μ(Χ)=α.

Στην πράξη, το κάνουν αυτό: κάνουν n δοκιμές, ως αποτέλεσμα των οποίων λαμβάνονται n πιθανές τιμές του X. υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο τους και λάβετε ως εκτίμηση (κατά προσέγγιση τιμή) ένα * επιθυμητός αριθμός α:

Δεδομένου ότι η μέθοδος Monte Carlo απαιτεί μεγάλο αριθμό δοκιμών, συχνά αναφέρεται ως μέθοδος στατιστικής δοκιμής.

6.2 Αναπαραγωγή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Ας είναι απαραίτητο να ληφθούν οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμονται στο διάστημα με την πυκνότητα. Ας αποδείξουμε ότι οι τιμές μπορούν να βρεθούν από την εξίσωση

όπου είναι μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα .

Εκείνοι. Έχοντας επιλέξει την επόμενη τιμή, είναι απαραίτητο να λύσουμε την εξίσωση (30) και να βρούμε την επόμενη τιμή . Για να το αποδείξετε, εξετάστε τη συνάρτηση:

Έχουμε τις γενικές ιδιότητες της πυκνότητας πιθανότητας:

Από τις (31) και (32) προκύπτει ότι , και το παράγωγο .

Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση αυξάνεται μονοτονικά από το 0 στο 1. Και κάθε ευθεία γραμμή , όπου , τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο, την τετμημένη της οποίας λαμβάνουμε ως . Έτσι, η εξίσωση (30) έχει πάντα μία και μοναδική λύση.

Ας επιλέξουμε τώρα ένα αυθαίρετο διάστημα που περιέχεται μέσα. Τα σημεία αυτού του διαστήματος αντιστοιχούν στις τεταγμένες της καμπύλης που ικανοποιούν την ανισότητα . Επομένως, αν ανήκει στο διάστημα , τότε

Ανήκει στο διάστημα και το αντίστροφο. Που σημαίνει: . Επειδή κατανέμεται ομοιόμορφα σε , τότε

, και αυτό σημαίνει απλώς ότι η τυχαία μεταβλητή , η οποία είναι η ρίζα της εξίσωσης (30), έχει πυκνότητα πιθανότητας .

6.3 Τυχαία μεταβλητή με εκθετική κατανομή

Η απλούστερη ροή (ή ροή Poisson) είναι μια τέτοια ροή αιτημάτων όταν το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών αιτημάτων είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σε ένα διάστημα με πυκνότητα

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία:

Μετά την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα, παίρνουμε:

.

Η παράμετρος είναι η ένταση της ροής των εφαρμογών.

Ο τύπος για το σχέδιο θα ληφθεί από την εξίσωση (30), η οποία σε αυτή την περίπτωση θα γραφεί ως εξής: .

Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα στα αριστερά, παίρνουμε τη σχέση . Από εδώ, εκφράζοντας , παίρνουμε:

(33)

Επειδή η τιμή κατανέμεται με τον ίδιο τρόπο όπως και, επομένως, ο τύπος (33) μπορεί να γραφτεί ως:

7 Μελέτη του συστήματος αναμονής

7.1 Έλεγχος της υπόθεσης της εκθετικής κατανομής

Η εγκατάσταση που διερευνώ είναι ένα σύστημα αναμονής δύο καναλιών με περιορισμένη ουρά. Η είσοδος λαμβάνει μια ροή αιτημάτων Poisson με ένταση λ. Η ένταση των εφαρμογών εξυπηρέτησης από κάθε κανάλι είναι μ και ο μέγιστος αριθμός θέσεων στην ουρά είναι m.

Αρχικές παράμετροι:

Ο χρόνος εξυπηρέτησης των εφαρμογών έχει εμπειρική κατανομή, που αναφέρεται παρακάτω, και έχει μέση τιμή .

Πραγματοποίησα μετρήσεις ελέγχου του χρόνου επεξεργασίας των αιτήσεων που ελήφθησαν από αυτό το QS. Για να ξεκινήσει η μελέτη, είναι απαραίτητο να θεσπιστεί ο νόμος κατανομής του χρόνου επεξεργασίας των αιτήσεων χρησιμοποιώντας αυτές τις μετρήσεις.

Πίνακας 6.1 - Ομαδοποίηση αιτημάτων κατά χρόνο επεξεργασίας

Διατυπώνεται μια υπόθεση για την εκθετική κατανομή του γενικού πληθυσμού.

Για να ελεγχθεί η υπόθεση ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο, σε επίπεδο σημαντικότητας, είναι απαραίτητο:

1) Βρείτε τη μέση τιμή δείγματος από τη δεδομένη εμπειρική κατανομή. Για να γίνει αυτό, κάθε i-ο διάστημα αντικαθίσταται από το μέσο του και φτιάχνουμε μια ακολουθία παραλλαγών σε ίση απόσταση και τις αντίστοιχες συχνότητές τους.

2) Αποδοχή ως εκτίμηση παραμέτρων λ εκθετική κατανομή, η αντίστροφη μέση τιμή του δείγματος:

3) Βρείτε τις πιθανότητες να πέσει το Χ σε μερικά διαστήματα χρησιμοποιώντας τον τύπο:

4) Υπολογίστε τις θεωρητικές συχνότητες:

πού είναι το μέγεθος του δείγματος

5) Συγκρίνετε τις εμπειρικές και τις θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας το τεστ Pearson, λαμβάνοντας τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας , όπου S είναι ο αριθμός των διαστημάτων του αρχικού δείγματος.

Πίνακας 6.2 - Ομαδοποίηση αιτήσεων κατά χρόνο επεξεργασίας με μέσο χρονικό διάστημα

Ας βρούμε το δείγμα μέσου όρου:

2) Ας πάρουμε ως εκτίμηση της παραμέτρου λ της εκθετικής κατανομής μια τιμή ίση με . Τότε:

()

3) Βρείτε τις πιθανότητες το X να εμπίπτει σε καθένα από τα διαστήματα χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Για το πρώτο διάστημα:

Για το δεύτερο διάστημα:

Για το τρίτο διάστημα:

Για το τέταρτο διάστημα:

Για το πέμπτο διάστημα:

Για το έκτο διάστημα:

Για το έβδομο διάστημα:

Για το όγδοο διάστημα:

4) Υπολογίστε τις θεωρητικές συχνότητες:

Τα αποτελέσματα των υπολογισμών καταχωρούνται στον πίνακα. Συγκρίνουμε τις εμπειρικές και τις θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας το κριτήριο Pearson.

Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις διαφορές, τα τετράγωνά τους και μετά τους λόγους. Συνοψίζοντας τις τιμές της τελευταίας στήλης, βρίσκουμε την παρατηρούμενη τιμή του κριτηρίου Pearson. Σύμφωνα με τον πίνακα των κρίσιμων σημείων κατανομής στο επίπεδο της σημασίας και του αριθμού των βαθμών ελευθερίας, βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο

Πίνακας 6.3 - Αποτελέσματα υπολογισμού

Εγώ
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
122

Επειδή , τότε δεν υπάρχει λόγος να απορριφθεί η υπόθεση για την κατανομή του Χ σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο. Με άλλα λόγια, τα δεδομένα παρατήρησης συνάδουν με αυτήν την υπόθεση.

7.2 Υπολογισμός των κύριων δεικτών του συστήματος αναμονής

Αυτό το σύστημα είναι μια ειδική περίπτωση του συστήματος του θανάτου και της αναπαραγωγής.

Γράφημα αυτού του συστήματος:

Εικόνα 10 - Γράφημα κατάστασης του μελετημένου QS

Δεδομένου ότι όλες οι καταστάσεις είναι επικοινωνιακές και ουσιαστικές, υπάρχει μια περιοριστική κατανομή πιθανότητας καταστάσεων. Υπό σταθερές συνθήκες, η ροή που εισέρχεται σε μια δεδομένη κατάσταση πρέπει να είναι ίση με τη ροή που εξέρχεται από τη δεδομένη κατάσταση.

(1)

Για την κατάσταση S 0:

Ως εκ τούτου:

Για την κατάσταση S 1:

Ως εκ τούτου:

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι :

Ομοίως, λαμβάνουμε εξισώσεις για τις υπόλοιπες καταστάσεις του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Η λύση σε αυτό το σύστημα θα μοιάζει με αυτό:

; ; ; ; ;

; .

Ή, δεδομένου (1):

Συντελεστής φορτίου CMO:

Έχοντας αυτό υπόψη, ξαναγράφουμε τις περιοριστικές πιθανότητες με τη μορφή:

Η πιο πιθανή κατάσταση είναι ότι και τα δύο κανάλια QS είναι απασχολημένα και όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες.

Πιθανότητα σχηματισμού ουράς:

Ένα αίτημα απορρίπτεται η εξυπηρέτηση όταν και οι m θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες, δηλ.:

Η σχετική απόδοση είναι:

Η πιθανότητα να εξυπηρετηθεί ένα νέο αίτημα είναι 0,529

Απόλυτο εύρος ζώνης:

Η CMO εξυπηρετεί κατά μέσο όρο 0,13225 εφαρμογές ανά λεπτό.

Μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά:

Ο μέσος αριθμός αιτημάτων στην ουρά είναι κοντά στο μέγιστο μήκος της ουράς.

Ο μέσος αριθμός αιτημάτων που εξυπηρετούνται στο QS μπορεί να γραφτεί ως:

Κατά μέσο όρο, όλα τα κανάλια QS είναι συνεχώς απασχολημένα.

Μέσος αριθμός αιτήσεων στην ΚΟΑ:

Για το ανοιχτό QS, ισχύουν οι τύποι του Little:

Μέσος χρόνος παραμονής μιας αίτησης με ΚΟΑ:

Μέσος χρόνος που ξοδεύει μια εφαρμογή στην ουρά:

7.3 Συμπεράσματα σχετικά με το έργο της μελέτης QS

Η πιο πιθανή κατάσταση αυτού του QS είναι η χρήση όλων των καναλιών και των θέσεων στην ουρά. Περίπου οι μισές από όλες τις εισερχόμενες αιτήσεις αφήνουν το ΚΟΑ χωρίς προβολή. Περίπου το 66,5% του χρόνου αναμονής δαπανάται σε αναμονή στην ουρά. Και τα δύο κανάλια είναι συνεχώς απασχολημένα. Όλα αυτά υποδηλώνουν ότι, γενικά, αυτό το σχήμα QS δεν είναι ικανοποιητικό.

Για να μειωθεί το φορτίο του καναλιού, να μειωθεί ο χρόνος αναμονής στην ουρά και να μειωθεί η πιθανότητα άρνησης, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των καναλιών και να εισαχθεί ένα σύστημα προτεραιοτήτων για εφαρμογές. Συνιστάται να αυξήσετε τον αριθμό των καναλιών σε 4. Είναι επίσης απαραίτητο να αλλάξετε την πειθαρχία υπηρεσιών από FIFO σε σύστημα με προτεραιότητες. Όλες οι εφαρμογές θα ανήκουν πλέον σε μία από τις δύο κατηγορίες προτεραιότητας. Οι αιτήσεις της κατηγορίας I έχουν σχετική προτεραιότητα σε σχέση με τις εφαρμογές της κατηγορίας II. Για τον υπολογισμό των κύριων δεικτών αυτού του τροποποιημένου QS, συνιστάται η εφαρμογή οποιασδήποτε από τις μεθόδους προσομοίωσης. Ένα πρόγραμμα γράφτηκε στη VisualBasic που υλοποιεί τη μέθοδο Monte Carlo.

8 Διερεύνηση τροποποιημένου QS

Όταν εργάζεται με το πρόγραμμα, ο χρήστης πρέπει να ορίσει τις κύριες παραμέτρους του QS, όπως την ένταση ροής, τον αριθμό των καναλιών, τις κατηγορίες προτεραιότητας, τις θέσεις στην ουρά (αν ο αριθμός των θέσεων στην ουρά είναι μηδέν, τότε QS με αστοχίες), καθώς και το χρονικό διάστημα διαμόρφωσης και τον αριθμό των δοκιμών. Το πρόγραμμα μετασχηματίζει τους παραγόμενους τυχαίους αριθμούς σύμφωνα με τον τύπο (34), έτσι ο χρήστης λαμβάνει μια ακολουθία χρονικών διαστημάτων που κατανέμονται εκθετικά. Στη συνέχεια επιλέγεται η εφαρμογή με το ελάχιστο και τοποθετείται στην ουρά, σύμφωνα με την προτεραιότητά της. Την ίδια ώρα, η ουρά και τα κανάλια υπολογίζονται εκ νέου. Στη συνέχεια, αυτή η λειτουργία επαναλαμβάνεται μέχρι το τέλος του χρόνου διαμόρφωσης που καθορίστηκε αρχικά. Στο σώμα του προγράμματος υπάρχουν μετρητές, βάσει των μετρήσεων των οποίων διαμορφώνονται οι κύριοι δείκτες του QS. Εάν έχουν καθοριστεί πολλές δοκιμές για την αύξηση της ακρίβειας, τότε η βαθμολογία για μια σειρά πειραμάτων λαμβάνεται ως τα τελικά αποτελέσματα. Το πρόγραμμα αποδείχθηκε αρκετά καθολικό· με τη βοήθειά του, μπορεί να διερευνηθεί το QS με οποιονδήποτε αριθμό τάξεων προτεραιότητας ή χωρίς καθόλου προτεραιότητες. Για να ελεγχθεί η ορθότητα του αλγορίθμου, εισήχθησαν σε αυτόν τα αρχικά δεδομένα του κλασικού QS, που μελετήθηκαν στην Ενότητα 7. Το πρόγραμμα προσομοίωσε ένα αποτέλεσμα κοντά σε αυτό που ελήφθη χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της θεωρίας ουρών (βλ. Παράρτημα Β). Το σφάλμα που προέκυψε κατά την προσομοίωση μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι διενεργήθηκε ανεπαρκής αριθμός δοκιμών. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν με το πρόγραμμα ΚΟΑ με δύο κατηγορίες προτεραιότητας και αυξημένο αριθμό καναλιών δείχνουν τη σκοπιμότητα αυτών των αλλαγών (βλ. Παράρτημα Β). Υψηλότερη προτεραιότητα έχει δοθεί στις «γρηγορότερες» εφαρμογές, επιτρέποντας τη γρήγορη εξέταση σύντομων εργασιών. Το μέσο μήκος της ουράς στο σύστημα μειώνεται και κατά συνέπεια ελαχιστοποιούνται τα μέσα για την οργάνωση της ουράς. Ως κύριο μειονέκτημα αυτής της οργάνωσης, μπορεί κανείς να ξεχωρίσει το γεγονός ότι οι «μακριές» αιτήσεις βρίσκονται στην ουρά για μεγάλο χρονικό διάστημα ή γενικά απορρίπτονται. Οι καταχωρημένες προτεραιότητες μπορούν να αντιστοιχιστούν εκ νέου μετά την αξιολόγηση της χρησιμότητας ενός ή άλλου τύπου αιτημάτων για QS.

συμπέρασμα

Σε αυτή την εργασία, διερευνήθηκε ένα QS δύο καναλιών με μεθόδους θεωρίας ουρών και υπολογίστηκαν οι κύριοι δείκτες που χαρακτηρίζουν τη λειτουργία του. Συνήχθη το συμπέρασμα ότι αυτός ο τρόπος λειτουργίας του QS δεν είναι βέλτιστος και προτάθηκαν μέθοδοι που μειώνουν το φορτίο και αυξάνουν την απόδοση του συστήματος. Για τη δοκιμή αυτών των μεθόδων, δημιουργήθηκε ένα πρόγραμμα που προσομοιώνει τη μέθοδο Monte Carlo, με τη βοήθεια του οποίου επιβεβαιώθηκαν τα αποτελέσματα υπολογισμού για το αρχικό μοντέλο QS και υπολογίστηκαν οι κύριοι δείκτες για το τροποποιημένο. Το σφάλμα του αλγορίθμου μπορεί να εκτιμηθεί και να μειωθεί αυξάνοντας τον αριθμό των δοκιμών. Η ευελιξία του προγράμματος καθιστά δυνατή τη χρήση του στη μελέτη διαφόρων QS, συμπεριλαμβανομένων των κλασικών.

1 Wentzel, E.S. Επιχειρησιακή έρευνα / Ε.Σ. Ο Βέντσελ. - Μ.: «Σοβιετικό ραδιόφωνο», 1972. - 552 σελ.

2 Gmurman, V.E. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματική στατιστική / V.E. Γκμούρμαν. - Μ .: "Γυμνάσιο", 2003. - 479 σελ.

3 Lavrus, O.E. Θεωρία της ουράς. Οδηγίες / Ο.Ε. Lavrus, F.S. Μιρόνοφ. - Samara: SamGAPS, 2002.- 38 σελ.

4 Sahakyan, G.R. Θεωρία ουρών: διαλέξεις / Γ.Ρ. Σαχακιάν. - Ορυχεία: YURGUES, 2006. - 27 σελ.

5 Avsievich, A.V. Θεωρία της ουράς. Ροές απαιτήσεων, συστήματα αναμονής / A.V. Avsievich, E.N. Αβσίεβιτς. - Samara: SamGAPS, 2004. - 24 σελ.

6 Chernenko, V.D. Ανώτερα μαθηματικά σε παραδείγματα και εργασίες. Στο 3. τ. Τ. 3 / V.D. Τσερνένκο. - Αγία Πετρούπολη: Πολυτεχνείο, 2003. - 476 σελ.

7 Kleinrock, L. Queuing Theory / L. Kleinrock. Μετάφραση από τα αγγλικά / Μετάφρ. Ι.Ι. Grushko; εκδ. ΣΕ ΚΑΙ. Neumann. - Μ.: Mashinostroenie, 1979. - 432 σελ.

8 Olzoeva, S.I. Μοντελοποίηση και υπολογισμός κατανεμημένων πληροφοριακών συστημάτων. Σχολικό βιβλίο / S.I. Ο Ολζόεφ. - Ulan-Ude: VSGTU, 2004. - 66 σελ.

9 Sobol, Ι.Μ. Μέθοδος Μόντε Κάρλο / Ι.Μ. Σαμούρι. - Μ.: «Νάουκα», 1968. - 64 σελ.

Στην επιχειρησιακή έρευνα, συναντά κανείς συχνά συστήματα σχεδιασμένα για επαναχρησιμοποιήσιμη χρήση για την επίλυση του ίδιου τύπου προβλημάτων. Οι διαδικασίες που προκύπτουν ονομάζονται διαδικασίες εξυπηρέτησηςκαι τα συστήματα συστήματα ουράς (QS). Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων είναι τηλεφωνικά συστήματα, συνεργεία επισκευής, συστήματα υπολογιστών, εκδοτήρια εισιτηρίων, καταστήματα, κομμωτήρια και παρόμοια.

Κάθε QS αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό μονάδων εξυπηρέτησης (όργανα, συσκευές, σημεία, σταθμούς), που θα ονομάσουμε κανάλια εξυπηρέτησης. Τα κανάλια μπορεί να είναι γραμμές επικοινωνίας, σημεία λειτουργίας, υπολογιστές, πωλητές κ.λπ. Ανάλογα με τον αριθμό των καναλιών, τα QS χωρίζονται σε μονοκάναλοκαι πολυκαναλικό.

Οι αιτήσεις συνήθως φτάνουν στην ΚΟΑ όχι τακτικά, αλλά τυχαία, σχηματίζοντας το λεγόμενο τυχαία ροή εφαρμογών (απαιτήσεις). Η εξυπηρέτηση των αιτημάτων, σε γενικές γραμμές, συνεχίζεται επίσης για κάποιο τυχαίο χρόνο. Η τυχαία φύση της ροής των εφαρμογών και του χρόνου εξυπηρέτησης οδηγεί στο γεγονός ότι το QS φορτώνεται άνισα: σε ορισμένες χρονικές περιόδους, συσσωρεύεται πολύ μεγάλος αριθμός εφαρμογών (είτε βρίσκονται στην ουρά ή αφήνουν το QS χωρίς εξυπηρέτηση), ενώ σε άλλες περιόδους που το QS λειτουργεί με υποφόρτιση ή είναι αδρανές.

Το θέμα της θεωρίας της ουράςείναι η κατασκευή μαθηματικών μοντέλων που συσχετίζουν τις δεδομένες συνθήκες λειτουργίας του QS (τον αριθμό των καναλιών, την απόδοσή τους, τη φύση της ροής των εφαρμογών κ.λπ.) με τους δείκτες απόδοσης του QS που περιγράφουν την ικανότητά του να αντιμετωπίζει τη ροή εφαρμογές.

Οπως και Δείκτες απόδοσης QSχρησιμοποιείται: ο μέσος αριθμός εφαρμογών που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου. ο μέσος αριθμός αιτήσεων στην ουρά. μέσος χρόνος αναμονής για την υπηρεσία? πιθανότητα άρνησης υπηρεσίας χωρίς αναμονή. η πιθανότητα ο αριθμός των εφαρμογών στην ουρά να ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή κ.λπ.

Τα QS χωρίζονται σε δύο κύριους τύπους (τάξεις): ΚΟΑ με αστοχίεςκαι QS με αναμονή (ουρά). Σε ένα QS με αρνήσεις, ένα αίτημα που φθάνει τη στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα λαμβάνει μια άρνηση, αποχωρεί από το QS και δεν συμμετέχει στην περαιτέρω διαδικασία εξυπηρέτησης (για παράδειγμα, ένα αίτημα για τηλεφωνική συνομιλία τη στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένοι λαμβάνει μια άρνηση και αφήνει το QS χωρίς εξυπηρέτηση). Σε ένα QS με αναμονή, μια αξίωση που φτάνει σε μια στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα δεν φεύγει, αλλά κάνει ουρές για εξυπηρέτηση.

Τα QS με αναμονή χωρίζονται σε διαφορετικούς τύπους ανάλογα με τον τρόπο οργάνωσης της ουράς: με περιορισμένο ή απεριόριστο μήκος ουράς, με περιορισμένο χρόνο αναμονής κ.λπ.

Για την ταξινόμηση του QS, είναι σημαντικό πειθαρχία υπηρεσιών, το οποίο καθορίζει τη σειρά επιλογής των αιτημάτων από τα ληφθέντα και τη σειρά διανομής τους μεταξύ των δωρεάν καναλιών. Σε αυτή τη βάση, η εξυπηρέτηση μιας εφαρμογής μπορεί να οργανωθεί σύμφωνα με την αρχή "πρώτης άφιξης - πρώτης εξυπηρέτησης", "τελευταία παρουσία - πρώτη εξυπηρέτηση" (αυτή η παραγγελία μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για παράδειγμα, κατά την αφαίρεση ειδών από μια αποθήκη για σέρβις, επειδή τα τελευταία από αυτά είναι συχνά πιο προσιτά) ή υπηρεσία προτεραιότητας (όπου εξυπηρετούνται πρώτα τα πιο σημαντικά αιτήματα). Η προτεραιότητα μπορεί να είναι είτε απόλυτη, όταν μια πιο σημαντική εφαρμογή "εκτοπίζει" μια κανονική εφαρμογή από την υπηρεσία (για παράδειγμα, σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης, η προγραμματισμένη εργασία των ομάδων επισκευής διακόπτεται μέχρι να εξαλειφθεί το ατύχημα) και σχετική, όταν πιο σημαντική εφαρμογή λαμβάνει μόνο την "καλύτερη" ουρά θέσης.

Η έννοια μιας στοχαστικής διαδικασίας Markov

Η διαδικασία εργασίας του SMO είναι τυχαία διαδικασία.

Κάτω από τυχαία (πιθανολογική ή στοχαστική) διαδικασίααναφέρεται στη διαδικασία αλλαγής της κατάστασης ενός συστήματος με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με πιθανολογικούς νόμους.

Η διαδικασία ονομάζεται διαδικασία διακριτής κατάστασης, εάν οι πιθανές καταστάσεις του μπορούν να απαριθμηθούν εκ των προτέρων, και η μετάβαση του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση γίνεται αμέσως (άλμα). Η διαδικασία ονομάζεται συνεχής χρονική διαδικασία, εάν οι στιγμές πιθανών μεταβάσεων του συστήματος από κατάσταση σε κατάσταση δεν έχουν καθοριστεί εκ των προτέρων, αλλά είναι τυχαίες.

Η διαδικασία λειτουργίας QS είναι μια τυχαία διαδικασία με διακριτές καταστάσεις και συνεχή χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η κατάσταση του QS αλλάζει απότομα σε τυχαίες στιγμές εμφάνισης κάποιων γεγονότων (για παράδειγμα, άφιξη νέας αξίωσης, λήξη υπηρεσίας κ.λπ.).

Η μαθηματική ανάλυση του έργου του QS απλοποιείται πολύ εάν η διαδικασία αυτής της εργασίας είναι Markov. Η τυχαία διαδικασία ονομάζεται Μαρκοβιανόςή τυχαία διαδικασία χωρίς συνέπειες, εάν για οποιαδήποτε στιγμή τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας στο μέλλον εξαρτώνται μόνο από την κατάστασή της αυτή τη στιγμή και δεν εξαρτώνται από το πότε και πώς το σύστημα έφτασε σε αυτήν την κατάσταση.

Ένα παράδειγμα διαδικασίας Markov: το σύστημα είναι ένας μετρητής σε ένα ταξί. Η κατάσταση του συστήματος αυτή τη στιγμή χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των χιλιομέτρων (δέκα των χιλιομέτρων) που έχει διανύσει το αυτοκίνητο μέχρι τη δεδομένη στιγμή. Αφήστε τη στιγμή που το μετρητή δείχνει . Η πιθανότητα ότι αυτή τη στιγμή ο μετρητής θα δείξει τον ένα ή τον άλλο αριθμό χιλιομέτρων (ακριβέστερα, τον αντίστοιχο αριθμό ρούβλια) εξαρτάται από το , αλλά δεν εξαρτάται από το χρόνο κατά τον οποίο οι ενδείξεις του μετρητή άλλαξαν μέχρι τη στιγμή .

Πολλές διαδικασίες μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση Μαρκοβιανές. Για παράδειγμα, η διαδικασία του παιχνιδιού σκάκι? σύστημα - μια ομάδα από πιόνια σκακιού. Η κατάσταση του συστήματος χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των κομματιών του αντιπάλου που παραμένουν στο ταμπλό αυτή τη στιγμή. Η πιθανότητα ότι αυτή τη στιγμή το υλικό πλεονέκτημα θα είναι στην πλευρά ενός από τους αντιπάλους εξαρτάται πρωτίστως από την κατάσταση του συστήματος τη δεδομένη στιγμή, και όχι από το πότε και με ποια σειρά εξαφανίστηκαν τα κομμάτια από το ταμπλό μέχρι τη στιγμή.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η προϊστορία των διαδικασιών που εξετάζονται μπορεί απλώς να παραμεληθεί και να χρησιμοποιηθούν μοντέλα Markov για τη μελέτη τους.

Κατά την ανάλυση τυχαίων διεργασιών με διακριτές καταστάσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε ένα γεωμετρικό σχήμα - το λεγόμενο γράφημα κατάστασης. Συνήθως, οι καταστάσεις του συστήματος αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια (κύκλοι) και οι πιθανές μεταβάσεις από κατάσταση σε κατάσταση αντιπροσωπεύονται με βέλη (προσανατολισμένα τόξα) που συνδέουν τις καταστάσεις.

Παράδειγμα 1Κατασκευάστε ένα γράφημα κατάστασης της ακόλουθης τυχαίας διαδικασίας: η συσκευή αποτελείται από δύο κόμβους, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να αποτύχει σε μια τυχαία χρονική στιγμή, μετά την οποία ξεκινάτε αμέσως να επισκευάζετε τον κόμβο, συνεχίζοντας για έναν προηγουμένως άγνωστο τυχαίο χρόνο.

Απόφαση.Πιθανές καταστάσεις του συστήματος: - και οι δύο κόμβοι είναι λειτουργικοί. - ο πρώτος κόμβος επισκευάζεται, ο δεύτερος είναι επισκευάσιμος. - ο δεύτερος κόμβος επισκευάζεται, ο πρώτος είναι επισκευάσιμος. Και οι δύο μονάδες είναι υπό επισκευή. Το γράφημα του συστήματος φαίνεται στο σχ. ένας.

Το βέλος που κατευθύνεται, για παράδειγμα, από σε , σημαίνει τη μετάβαση του συστήματος τη στιγμή της αστοχίας του πρώτου κόμβου, από το - τη μετάβαση τη στιγμή που ολοκληρώνεται η επισκευή αυτού του κόμβου.

Δεν υπάρχουν βέλη από προς και από προς στο γράφημα. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι αστοχίες κόμβων θεωρείται ότι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και, για παράδειγμα, η πιθανότητα αποτυχίας δύο κόμβων ταυτόχρονα (μετάβαση από σε ) ή η ταυτόχρονη ολοκλήρωση επισκευών δύο κόμβων (μετάβαση από σε ) μπορεί να παραμεληθεί .

Για μια μαθηματική περιγραφή μιας τυχαίας διαδικασίας Markov με διακριτές καταστάσεις και συνεχή χρόνο, που εμφανίζεται σε ένα QS, ας εξοικειωθούμε με μια από τις σημαντικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων - την έννοια μιας ροής γεγονότων.

Ροές εκδηλώσεων

Κάτω από η ροή των γεγονότωναναφέρεται σε μια ακολουθία ομοιογενών γεγονότων που ακολουθούν το ένα μετά το άλλο σε κάποια τυχαία στιγμή (για παράδειγμα, μια ροή κλήσεων σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, μια ροή αστοχιών υπολογιστή, μια ροή πελατών κ.λπ.).

Η ροή χαρακτηρίζεται ένταση- η συχνότητα εμφάνισης γεγονότων ή ο μέσος αριθμός γεγονότων που εισάγονται στο QS ανά μονάδα χρόνου.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται τακτικός, εάν τα γεγονότα διαδέχονται το ένα το άλλο σε συγκεκριμένα ίσα χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, η ροή των προϊόντων σε μια γραμμή συναρμολόγησης (με σταθερή ταχύτητα) είναι τακτική.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται ακίνητος, αν τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά του δεν εξαρτώνται από το χρόνο. Συγκεκριμένα, η ένταση μιας ακίνητης ροής είναι σταθερή τιμή: . Για παράδειγμα, η ροή των αυτοκινήτων σε μια λεωφόρο της πόλης δεν είναι ακίνητη κατά τη διάρκεια της ημέρας, αλλά αυτή η ροή μπορεί να θεωρηθεί ακίνητη κατά τη διάρκεια της ημέρας, ας πούμε, κατά τις ώρες αιχμής. Εφιστούμε την προσοχή στο γεγονός ότι στην τελευταία περίπτωση, ο πραγματικός αριθμός των διερχόμενων αυτοκινήτων ανά μονάδα χρόνου (για παράδειγμα, σε κάθε λεπτό) μπορεί να διαφέρει σημαντικά μεταξύ τους, αλλά ο μέσος αριθμός τους θα είναι σταθερός και δεν θα εξαρτάται από τον χρόνο .

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται ροή χωρίς αποτέλεσμα, εάν για οποιαδήποτε δύο χρονικά διαστήματα που δεν τέμνονται και - ο αριθμός των γεγονότων που συμβαίνουν σε ένα από αυτά δεν εξαρτάται από τον αριθμό των γεγονότων που συμβαίνουν στα άλλα. Για παράδειγμα, η ροή των επιβατών που εισέρχονται στο μετρό δεν έχει σχεδόν καμία επίπτωση. Και, ας πούμε, η ροή των πελατών που εγκαταλείπουν το γκισέ με τις αγορές τους έχει ήδη μια μεταγενέστερη επίδραση (έστω και μόνο επειδή το χρονικό διάστημα μεταξύ των μεμονωμένων πελατών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τον ελάχιστο χρόνο εξυπηρέτησης για καθέναν από αυτούς).

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται συνήθης, εάν η πιθανότητα δύο ή περισσότερων γεγονότων να χτυπήσουν ένα μικρό (στοιχειώδες) χρονικό διάστημα είναι αμελητέα μικρή σε σύγκριση με την πιθανότητα να σημειωθεί ένα συμβάν. Με άλλα λόγια, μια ροή γεγονότων είναι συνηθισμένη αν τα γεγονότα εμφανίζονται σε αυτήν ένα προς ένα και όχι σε ομάδες. Για παράδειγμα, η ροή των τρένων που πλησιάζουν το σταθμό είναι συνηθισμένη, αλλά η ροή των βαγονιών δεν είναι συνηθισμένη.

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται η απλούστερη (ή ακίνητος Poisson) εάν είναι ταυτόχρονα ακίνητο, συνηθισμένο και δεν έχει καμία επίπτωση.Η ονομασία "πιο απλό" εξηγείται από το γεγονός ότι το QS με τις απλούστερες ροές έχει την απλούστερη μαθηματική περιγραφή. Σημειώστε ότι μια κανονική ροή δεν είναι η πιο «απλή», αφού έχει ένα δευτερεύον αποτέλεσμα: οι στιγμές εμφάνισης γεγονότων σε μια τέτοια ροή είναι αυστηρά καθορισμένες.

Η απλούστερη ροή ως οριακή ροή προκύπτει στη θεωρία των τυχαίων διεργασιών εξίσου φυσικά όπως και στη θεωρία πιθανοτήτων μια κανονική κατανομή λαμβάνεται ως όριο για ένα άθροισμα τυχαίων μεταβλητών: κατά την επιβολή (υπέρθεση) ενός επαρκώς μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων, σταθερών και συνηθισμένων ροών (συγκρίσιμες μεταξύ τους σε εντάσεις, λαμβάνεται μια ροή που είναι κοντά στην απλούστερη με ένταση ίση με το άθροισμα των εντάσεων των εισερχόμενων ροών, δηλ. Θεωρήστε στον άξονα του χρόνου (Εικ. 1) την απλούστερη ροή των γεγονότων ως μια απεριόριστη ακολουθία τυχαίων σημείων.

Μπορεί να φανεί ότι για την απλούστερη ροή, ο αριθμός m των γεγονότων (σημείων) που εμπίπτουν σε ένα αυθαίρετο χρονικό διάστημα, κατανέμεται σε Ο νόμος του Πουασόν

για την οποία η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής ισούται με τη διακύμανσή της: .

Συγκεκριμένα, η πιθανότητα να μην συμβεί κανένα γεγονός κατά τη διάρκεια του χρόνου είναι ίση με

Ας βρούμε την κατανομή του χρονικού διαστήματος μεταξύ αυθαίρετων δύο γειτονικών γεγονότων της απλούστερης ροής.

Σύμφωνα με το (2), η πιθανότητα να μην εμφανιστεί κανένα από τα επόμενα γεγονότα στο χρονικό διάστημα είναι ίση με

και η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, δηλ. συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής , είναι

Η πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής της (Εικ. 3), δηλ.

Η κατανομή που δίνεται από την πυκνότητα πιθανότητας (5) ή τη συνάρτηση κατανομής (4) ονομάζεται αποκαλυπτικός(ή εκθετικός). Έτσι, το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών αυθαίρετων γεγονότων έχει εκθετική κατανομή, για την οποία η μαθηματική προσδοκία είναι ίση με την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής

και αντίστροφα ανάλογα με το μέγεθος της έντασης της ροής .

Η πιο σημαντική ιδιότητα της εκθετικής κατανομής (εγγενής μόνο στην εκθετική κατανομή) είναι η εξής: εάν το χρονικό διάστημα που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο έχει ήδη διαρκέσει για κάποιο χρονικό διάστημα, τότε αυτό δεν επηρεάζει τον νόμο κατανομής του υπόλοιπου μέρους του το διάστημα: θα είναι το ίδιο με τον νόμο κατανομής των πάντων διάστημα .

Με άλλα λόγια, για ένα χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών γειτονικών γεγονότων μιας ροής που έχει εκθετική κατανομή, οποιαδήποτε πληροφορία σχετικά με το χρονικό διάστημα που παρήλθε αυτό το διάστημα δεν επηρεάζει την κατανομή του υπολοίπου. Αυτή η ιδιότητα του εκθετικού νόμου είναι, στην ουσία, μια άλλη διατύπωση για την «έλλειψη επακόλουθου αποτελέσματος» - η κύρια ιδιότητα της απλούστερης ροής.

Για την πιο απλή ροή με ένταση, πιθανότητα χτυπήματος

(Σημειώστε ότι αυτός ο κατά προσέγγιση τύπος, που προκύπτει αντικαθιστώντας τη συνάρτηση μόνο με τους δύο πρώτους όρους της επέκτασής της σε μια σειρά ισχύος, είναι όσο πιο ακριβής, τόσο μικρότερος ).

Το SMO μεταφράζεται από τα αγγλικά ως βελτιστοποίηση μέσων κοινωνικής δικτύωσης. Επιδιώκει να προσελκύει και να διατηρεί επισκέπτες στα κοινωνικά δίκτυα. Η ΚΟΑ έχει επίσης κατευθυνθεί να εργαστεί για τον εκσυγχρονισμό της τοποθεσίας.

Η CMO είναι μια εσωτερική προώθηση, ενώ η CMM είναι μια εξωτερική.

Το CMO βελτιστοποιεί μόνο το εσωτερικό στοιχείο, δεν αφορά την προώθηση ιστοσελίδων στα κοινωνικά δίκτυα.

Κάθε πολλά υποσχόμενος επιχειρηματίας προσπαθεί να βελτιστοποιήσει και να προωθήσει τον ιστότοπό του. Αλλά μαζί με τη βελτιστοποίηση μηχανών αναζήτησης, υπάρχει και η κοινωνική βελτιστοποίηση. Αυτά είναι τα SMO και SMM. Η βελτιστοποίηση κοινωνικής δικτύωσης μπορεί να αυξήσει σημαντικά την προσέλευση του κοινού-στόχου. Επομένως, δεν πρέπει να περιορίζεστε μόνο στην προώθηση του ιστότοπού σας. Η διαδικασία CMO και CMM είναι ελαφρώς διαφορετική.

Εάν η προώθηση ιστότοπου στοχεύει σε αλγόριθμους ρομπότ, τότε το CMO και το CMM εργάζονται για τη βελτιστοποίηση του κοινού.

Στοιχεία εσωτερικής βελτιστοποίησης QS

Με το CMO, όλες οι εργασίες μπορούν να γίνουν στον ιστότοπο χωρίς επένδυση χρημάτων. Οι εσωτερικές εργασίες για τη βελτιστοποίηση περιλαμβάνουν τεχνικά στοιχεία και έλεγχο ιστότοπου, εργασίες για τη συμπλήρωση και την αλλαγή του περιεχομένου του ιστότοπου, εργασίες για την εμφάνιση, τη σύνδεση, την εγκατάσταση κουμπιών, τους χάρτες ιστότοπου, τα σχόλια από τα κοινωνικά δίκτυα, τη διαμόρφωση μπλοκ.

Ο έλεγχος περιλαμβάνει την ανάλυση των αδυναμιών του ιστότοπου και τη διόρθωσή τους. Αναθεωρημένος σχεδιασμός, βελτιστοποίηση εισαγωγικών λέξεων για ευκολία αναζήτησης, ανταγωνιστικότητα. Κατά τη διάρκεια ενός τεχνικού ελέγχου, το περιεχόμενο ελέγχεται για αλφαβητισμό, απόδοση συνδέσμου και ταχύτητα λήψης. Επίσης, κατά τον έλεγχο ελέγχονται και πολλές άλλες παράμετροι, και όλα αυτά στοχεύουν στην αποτελεσματική λειτουργία της σελίδας.

Δεν είναι μυστικό ότι το περιεχόμενο του ιστότοπου χρειάζεται συνεχώς ενημέρωση, αλλαγή και καινοτομία. Κατά κανόνα, μετά την ανάπτυξη ενός πλήρους ιστότοπου, η αλλαγή του περιεχομένου είναι μια συνεχής διαδικασία. Τα ικανά και συνεπή άρθρα είναι πολύ σημαντικά. Η συμπεριφορά συμπεριφοράς των συστημάτων μηχανών αναζήτησης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από αυτό.

Η εμφάνιση του ιστότοπου, ο σχεδιασμός του παίζει επίσης σημαντικό ρόλο. Θα πρέπει να είναι όμορφο, να μην υπερφορτώνεται με έντονα χρώματα, να διαφέρει από ανταγωνιστικές τοποθεσίες και να βρίσκεται σωστά. Η οπτική αντίληψη προσελκύει επίσης τους επισκέπτες. Εάν η εμφάνιση είναι όμορφη και συμπαγής, τότε κάνει θετική εντύπωση στον ιδιοκτήτη του ιστότοπου, καθώς παράγει αισθητική απόλαυση. Είναι επίσης πολύ σημαντικό οι πληροφορίες να είναι διατεταγμένες με σαφήνεια και λογική, ώστε να μπορείτε να βρείτε γρήγορα τις πληροφορίες που χρειάζεστε.

Η επανασύνδεση ιστότοπου επηρεάζει την πλοήγηση. Ο ιστότοπος γίνεται πιο κατανοητός για τις μηχανές αναζήτησης και τους χρήστες.

Καλό είναι να εγκαταστήσετε ένα sitemap που περιέχει συνδέσμους προς όλες τις σελίδες. Είναι καλύτερα να δημιουργήσετε μια ξεχωριστή σελίδα. Αυτό θα βελτιώσει την πλοήγηση και την ευκολία χρήσης.

Στον ιστότοπο πρέπει να δώσετε χώρο για σχόλια από τα κοινωνικά δίκτυα. Οι εγγεγραμμένοι χρήστες στα κοινωνικά δίκτυα θα μπορούν να σχολιάζουν άρθρα και άλλες εφαρμογές κειμένου του ιστότοπού σας. Αυτά τα σχόλια εμφανίζονται στα κοινωνικά δίκτυα, τα οποία θα χρησιμεύσουν ως διαφήμιση για εσάς.

Ένα άλλο χρήσιμο πράγμα είναι ο σχηματισμός μπλοκ. Στην άκρη της σελίδας του ιστότοπου, μπορείτε να τοποθετήσετε μια στήλη (πλευρική γραμμή) με φρέσκα και ενδιαφέροντα άρθρα. Αυτό θα προσελκύσει τους αναγνώστες καθώς οι άνθρωποι αγαπούν να ενημερώνονται. Ίσως αυτό θα είναι ένα καλό κίνητρο για να επισκεφθείτε τον ιστότοπο περισσότερες από μία φορές.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. Εάν δεν θέλετε να εμβαθύνετε σε όλες τις λεπτομέρειες και τα κόλπα της προώθησης ιστότοπου, τότε σας συνιστούμε να εμπιστευτείτε αυτό το θέμα σε επαγγελματίες. Το JoomStudio.com.ua ασχολείται με την προώθηση ιστοσελίδων στο Διαδίκτυο σε επαγγελματικό επίπεδο. Για την προώθηση του ιστότοπου, συνιστούμε να επικοινωνήσετε μαζί τους.

Τύποι συστημάτων ουράς

Ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζεται η εφαρμογή εάν όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα, υπάρχουν:

QS με αίτημα άρνησης υπηρεσίας και QS με προσδοκία.

Είναι χαρακτηριστικό για ένα QS με αποτυχία ότι ένας ισχυρισμός που βρίσκει όλα τα κανάλια απασχολημένα εγκαταλείπει αμέσως το σύστημα.

Σε ένα QS με αναμονή, μια αξίωση που έχει βρει όλα τα κανάλια απασχολημένα δεν φεύγει από το σύστημα, αλλά βρίσκεται στην ουρά και, όταν ένα από τα κανάλια γίνει ελεύθερο, εξυπηρετείται. Σε ένα QS αναμονής, η διαδικασία αναμονής για αιτήσεις στην ουρά μπορεί να υπόκειται ή να μην υπόκειται σε περιορισμούς. Στην τελευταία περίπτωση, λέμε ότι έχουμε να κάνουμε με ένα «καθαρό» QS με προσδοκία. Εάν επιβληθούν περιορισμοί στη διαδικασία αναμονής, τότε το QS ονομάζεται «σύστημα μικτού τύπου». Σε τέτοια συστήματα, λόγω των περιορισμών που επιβάλλονται, ενδέχεται να υπάρξουν περιπτώσεις που η εφαρμογή θα λάβει άρνηση εξυπηρέτησης, π.χ. Ένα QS μικτού τύπου δείχνει επίσης σημάδια ενός QS με αποτυχία.

Σε μικτά συστήματα, ενδέχεται να ισχύουν οι ακόλουθοι περιορισμοί:

α) τον αριθμό των αιτήσεων στην ουρά·

β) για το χρόνο που η αίτηση βρίσκεται στην ουρά.

γ) για το συνολικό χρόνο που η αίτηση ήταν στον ΚΟΑ.

Στην τεχνολογία REM, τα QS μικτού τύπου συναντώνται συχνότερα.

Μαθηματική περιγραφή του QS με αποτυχία

Σκεφτείτε ένα ασφαλές σύστημα ουράς με Πκαναλιών. Ας υποθέσουμε ότι η ροή των αιτημάτων που φτάνουν στο QS είναι η απλούστερη και έχει πυκνότητα l. Επιπλέον, θα υποθέσουμε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης για αιτήματα κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο

που M(Tob) -τη μαθηματική προσδοκία του χρόνου εξυπηρέτησης της εφαρμογής.

Επομένως, η πυκνότητα κατανομής χρόνου υπηρεσίας

Οι ακόλουθες καταστάσεις είναι δυνατές για το υπό εξέταση σύστημα:

x0- όλα τα κανάλια είναι δωρεάν.

x 1 -ένα κανάλι είναι απασχολημένο.

xk --απασχολημένος κκανάλια?

x n --όλοι είναι απασχολημένοι Πκαναλιών.

Τα δεδομένα κατάστασης συστήματος υπηρεσίας μπορούν να περιγραφούν με διαφορικές εξισώσεις Erlang. Η λύση τους καθιστά δυνατή τη λήψη τύπων για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων, οι οποίες είναι σταθερές για τη σταθερή κατάσταση. Αυτή η λειτουργία εμφανίζεται όταν t® ¥.

Ο συντελεστής ορίζεται ως

που M(Tob) -η μαθηματική προσδοκία του χρόνου εξυπηρέτησης ενός αιτήματος.

Οι τύποι Erlang ελήφθησαν για την περίπτωση της εκθετικής κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης, αλλά ισχύουν και για οποιονδήποτε άλλο νόμο, εφόσον η ροή των πελατών είναι η απλούστερη.

Η πιθανότητα μη εξυπηρέτησης της αίτησης ορίζεται ως

q

Το μέσο κλάσμα του χρόνου που το σύστημα υπηρεσιών θα παραμείνει σε αδράνεια μπορεί να προσδιοριστεί από την πιθανότητα της κατάστασης x 0,εκείνοι.

P idle \u003d p (x 0) \u003d p 0

Παράδειγμα.Αφήστε συσκευές με μέση πυκνότητα μεγάλο= 2 μονάδες/ώρα. Ο μέσος χρόνος σέρβις για ένα κομμάτι του εξοπλισμού είναι 24 λεπτά (0,4 ώρες). Ένα αίτημα που βρίσκει όλα τα κανάλια απασχολημένα απορρίπτεται η υπηρεσία.

Απαιτείται να προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά του QS με την υπόθεση ότι υπάρχει ένας χώρος εργασίας. Επιπλέον, απαιτείται να καθοριστεί πώς αλλάζουν τα χαρακτηριστικά του QS όταν εισάγεται ένας δεύτερος χώρος εργασίας.

Απόφαση.Με την προϋπόθεση του προβλήματος, έχουμε ένα QS με βλάβη. Θα υποθέσουμε ότι η ροή των εφαρμογών που εισέρχονται στο QS είναι η απλούστερη με μέση πυκνότητα l.

1. Υπολογίστε τον συντελεστή φόρτου καναλιού ή τη μειωμένη πυκνότητα αιτημάτων

2. Βρείτε τα χαρακτηριστικά QS για τον αριθμό των καναλιών n = 1. Πιθανότητα αιτημάτων μη παροχής υπηρεσιών:

Σχετικό εύρος ζώνης qαποφασίστε πώς

q=1- P απαιτείται = 1 – 0,44 = 0,56.

Κατά συνέπεια, περίπου το 56% των αιτήσεων που ελήφθησαν από τον ΚΟΑ θα εξυπηρετηθεί.

Πιθανότητα διακοπής λειτουργίας καναλιού p 0