ناقلات المنتج العددية

نواصل التعامل مع المتجهات. في الدرس الأول ناقلات إبريق الشاي نظرنا إلى مفهوم المتجهات، والإجراءات ذات المتجهات، وتنسيق ناقلات وأبسط المهام مع ناقلات. إذا قمت بإدخال هذه الصفحة لأول مرة من محرك البحث، أوصي بشدة بقراءة مقالة مقدمة أعلاه، لأنه من الضروري التنقل في الشروط المستخدمة من قبل لي، تدويني، للحصول على المعرفة الأساسية حول المتجهات لحل المهام الابتدائية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع، وعلى ذلك، سأحدد المهام النموذجية التي يستخدم فيها المنتج العددي للمتجاهلات. هذا احتلال مهم جدا.وبعد حاول ألا تفوت الأمثلة، يتم إرفاق المكافأة المفيدة لهم - ستساعدك الممارسة في إصلاح المواد التي تم تمريرها و "ملء اليد" على حل المهام الشائعة للهندسة التحليلية.

إضافة ناقلات، مضاعفة ناقلات حسب الرقم .... سيكون من السذاجة أن تعتقد أن الرياضيات لم يأت بأي شيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي تم مراجعتها بالفعل، هناك عدد من العمليات الأخرى مع ناقلات، وهي: ناقلات المنتج العددية, ناقلات فنية ناقلات و ناقلات مختلطةوبعد إن المنتج العددي للمتجاهج مألوفة بالنسبة لنا من المدرسة، وأعمالان أخريين يشيران تقليديا إلى مسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة، خوارزمية لحل العديد من مهام الوثيقة ومفهومة. الشيء الوحيد. المعلومات لائق، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وعلى الفور. هذا صحيح بشكل خاص في أقداس الأقداح، صدقوني، المؤلف لا يريد أن يشعر شيكاتيلو من الرياضيات. حسنا، ليس من الرياضيات، بالطبع، أيضا \u003d) الطلاب المعدون يمكنهم استخدام المواد بشكل انتقائي، بمعنى معين، "للحصول على المعرفة المفقودة، لأنني سأكون رسم بياني غير ضار Dracula \u003d)

سنفتح، وأخيرا، الباب وترى عاطفي ما يحدث عندما تلبي نسختان بعضهما البعض ....

تعريف منتج العددية للمتجهات.
خصائص منتج العددية. المهام النموذجية

مفهوم عمل العددية

الموالية الأولى زاوية بين المتجهاتوبعد أعتقد أن الجميع بديهيون أن مثل هذه الزاوية بين المتجهات، ولكن فقط في حالة أكثر من ذلك بقليل. النظر في ناقلات غير صفرية مجانية و. إذا قمت بتأجيل هذه المخلفات من نقطة تعسفية، فسيظهر الصورة التي قدمها الكثيرون بالفعل عقليا:

أعترف، أنا هنا طعم الوضع فقط على مستوى الفهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف صارم للزاوية بين المتجهات بين المتجهات، فيرجى الاتصال بالكتب المدرسية، والمهام العملية، من حيث المبدأ من أجل لا شيء. فيما يلي أيضا، سأكون في أماكن لتجاهل ناقلات صفر بسبب أهميتها العملية الصغيرة. التحفظ جعل خصيصا للزائرين المتقدمة للموقع الذين يستطيعون موكبوني في النتيجة النظرية لبعض البيانات اللاحقة.

يمكن أن تأخذ القيم من 0 إلى 180 درجة (من 0 إلى الرضعين) شاملة. تحليليا يتم تسجيل هذه الحقيقة في شكل أوجه عدم المساواة المزدوجة: أو (في الراديان).

في الأدب، غالبا ما تخطى أيقونة الزاوية والكتابة ببساطة.

تعريف: يسمى المنتج العددي من ناقلات اثنين من العدد يساوي نتاج هذه المتجهات على جيب التمام في الزاوية بينهما:

هذا الآن تعريف صارم.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين: يتم الإشارة إلى المنتج العددية أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: يتضاعف المتجه بالمتجه، ويتم الحصول على الرقم. في الواقع، إذا كانت أطوال المتجهات هي الأرقام، جيب التغليح الزاوية - الرقم، ثم عملهم سيكون هناك أيضا عدد أيضا.

فورا بضع أمثلة الاحماء:

مثال 1.

قرار: نستخدم الصيغة وبعد في هذه الحالة:

إجابه:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثيوبعد أوصي بطباعة ذلك - سيكون من الضروري في جميع أقسام البرج تقريبا وستحتاج إلى عدة مرات.

بحتة من وجهة نظر رياضية من عرض المنتج العددية أبعاد، وهذا هو، والنتيجة، في هذه الحالة، هو ببساطة الرقم وهذا هو ذلك. من وجهة نظر مهام الفيزياء، يكون المنتج العددي دائما معنى مادي معين، أي بعد النتيجة، تحتاج إلى تحديد وحدة مادية معينة. يمكن العثور على المثال الكنسي لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة بالضبط هو منتج العددية). يتم قياس عمل القوة في جول، لذلك، سيتم تسجيل الإجابة على وجه التحديد، على سبيل المثال،.

مثال 2.

العثور على إذا والزاوية بين المتجهات مساوية.

هذا مثال على قرار مستقل، الإجابة في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة المنتج العددية

على سبيل المثال 1، كان المنتج العددي إيجابيا، ويمثل 2 - سلبي. تعرف على علامة المنتج العددية يعتمد. نحن ننظر إلى صيغة لدينا: وبعد تكون أطوال المتجهات غير المزدوجة دائما إيجابية: لذلك قد تعتمد الإشارة فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم أفضل للمعلومات أدناه، من الأفضل استكشاف جدول جيب التمام في الأساليب الرسوم البيانية وخصائص الوظيفةوبعد نرى كيف يتصرف جيب التمام على القطاع.

كما لاحظ بالفعل، قد تختلف الزاوية بين المتجهات داخل والحالات التالية ممكنة:

1) إذا زاوية بين المتجهات بصير: (من 0 إلى 90 درجة)، ثم ، أنا. المنتج العددية سيكون إيجابيا soncedatedيعتبر الزاوية بينهما صفر، وسوف يكون المنتج العددي إيجابيا. منذ أن الصيغة مبسطة :.

2) إذا زاوية بين المتجهات غبي: (من 90 إلى 180 درجة) ، وفي المقابل، منتج العددية سلبية:. حالة خاصة: إذا كان ناقلات موجهة عكس ذلكثم يتم النظر في الزاوية بينهما الراحل: (180 درجة). المنتج العددي هو أيضا سلبي ل

البيانات العادلة والعودة:

1) إذا، فإن الزاوية بين بيانات المتجهلات حادة. بدلا من ذلك، مغلفة ناقلات.

2) إذا، فإن الزاوية بين متجهات البيانات هي غبية. بدلا من ذلك، يتم توجيه ناقلات المقابل.

لكن الحالة الثالثة ذات أهمية خاصة:

3) إذا زاوية بين المتجهات مستقيم: (90 درجة)، ثم المنتج العددية هو الصفر:. العكس صحيح أيضا: إذا، إذن. يتم وضع بيان مدمج على النحو التالي: المنتج العددي من متجهين هو الصفر إذا وفقط إذا كانت هذه المخلفات هي متعامدةوبعد تسجيل رياضي قصير:

! ملحوظة : يكرر أساسيات المنطق الرياضي: عادة ما تتم قراءة أيقونة النتيجة المنطقية في اتجاهين "إذا وفقط بعد ذلك"، "في هذا القضية وفقط في الحالة". كما ترون، يتم توجيه الأسهم في كلا الجانبين - "هذا يتبع من هذا، والعودة - من ذلك، يتبع". ماذا، بالمناسبة، الفرق من أيقونة الانفرادية التالية؟ أيقونة توافق على ذلك هذا فقطأن "هذا يتبع من هذا"، وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ولكن ليس كل وحش هو النمر، لذلك في هذه الحالة يستحيل استخدام الرمز. في الوقت نفسه، بدلا من أيقونة تستطيع استخدام أيقونة اتجاه واحد. على سبيل المثال، حل المهمة، اكتشفنا أننا خلصنا إلى أن المتجهات هي متعامدة: - سيكون هذا السجل صحيحا، وحتى أكثر أهمية من .

الحالة الثالثة لها أهمية عملية كبيرة.لأنه يسمح لك بالتحقق من ناقلات متعامدة أم لا. نحل هذه المهمة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص قطعة العددية

دعنا نعود إلى الوضع عند نسختين soncedatedوبعد في هذه الحالة، فإن الزاوية بينهما صفر، وصيغة المنتج العددية يأخذ النموذج :.

وما الذي سيحدث إذا مضروب المتجهات بنفسك؟ من الواضح أن المتجه مغلفا بنفسه، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

يسمى الرقم ساحة العددية ناقل، ويشار إليه باسم.

في هذا الطريق، ميدان سكالة متجه يساوي مربع طول هذا المتجه:

من هذه المساواة، يمكنك الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

في حين أنه يبدو دون انقطاع، إلا أن مهام الدرس سوف تختفي في مكانها. لحل المشاكل، سنحتاج أيضا خصائص قطعة العددية.

للنقل التعسفي وأي عدد، الخصائص التالية صالحة:

1) - الحركة أو التخفيف قانون العمل العددي.

2) - التوزيع أو توزيع قانون العمل العددي. ببساطة، يمكنك الكشف عن الأقواس.

3) - تنفس أو ترابطي قانون العمل العددي. يمكن أن يؤخذ الثابت من منتج العددية.

في كثير من الأحيان، كل أنواع الخصائص (التي لا تزال هناك حاجة إليها!) ينظر إليها الطلاب على أنها سلة مهملات غير ضرورية، والتي يجب أن يتم إرسالها فورا بعد الامتحان مباشرة. يبدو أن هناك مهما هنا، كل شيء وهكذا من الدرجة الأولى تعرف أن العمل لا يتغير من التقليب المضاعفات :. يجب أن يحذر، في الرياضيات العليا مع وجود نهج مماثل، من السهل حظر الحطب. لذلك، على سبيل المثال، فإن الخاصية الانتقالية ليست عادلة مصفوفات الجبريةوبعد من الخطأ ناقلات الفن ناقلاتوبعد لذلك، في أي خصائص ستلتقي خلال الرياضيات العليا، على الأقل، من الأفضل أن تفهم ما يمكنك القيام به، ولكن لماذا يستحيل.

مثال 3.

.

قرار:أولا، توضيح الوضع مع المتجه. ما هو على الإطلاق؟ مجموع المتجهات هو متجه محدد تماما، يشار إليه من خلال. يمكن العثور على التفسير الهندسي للإجراءات مع ناقلات في المقال ناقلات إبريق الشايوبعد نفس البقدونس مع ناقل هو مجموع المتجهات و.

لذلك، حسب الشرط، يجب أن يكون مطلوبا للعثور على منتج العددية. من الناحية النظرية، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل لكن المشكلة هي أننا غير معروفين بطول المتجهات والزاوية بينهما. ولكن في حالة تعطى معلمات مماثلة للمتجهات، لذلك سنذهب بطرق مختلفة:

(1) نحن استبدل التعبير عن المتجهات.

(2) تكشف بين قوسين وفقا لقاعدة الضرب من متعدد الحدود، يمكنك العثور على تعويذة في المقالة. ارقام مركبة أو دمج وظيفة عقلانية كسوروبعد لن أكرر \u003d) بالمناسبة، للكشف عن الأقواس لنا جميع ملكية توزيع المنتج العددية. لدينا الحق.

(3) في الأجل الأول والأخير، تكون المربعات العددية من المتجهات مدمجة: وبعد في الثانية، نستخدم إعادة ترتيب المنتج العددية :.

(4) نعطي مصطلحات مماثلة :.

(5) في الفصل الدراسي الأول، نستخدم صيغة مربع العددية، والتي ذكرت منذ وقت طويل. في الفصل الماضي، وفقا لذلك، فإن نفس الشيء يعمل :. المدى الثاني يتوسع وفقا للصيغة القياسية .

(6) نحن استبدل هذه الظروف ، وتنفيذ بعناية الحسابات النهائية.

إجابه:

تنص القيمة السلبية للمنتج العددية على حقيقة أن الزاوية بين المتجهات هي حادة.

المهمة النموذجية، إليك مثال على حل مستقل:

مثال 4.

العثور على منتج العددية من المتجهات، وإذا كنت تعرف ذلك .

الآن مهمة شائعة أخرى هي مجرد صيغة طول ناقلات جديدة. ستكون التعيينات هنا تتزامن بعض الشيء، لذلك من أجل الوضوح سأعيد كتابتها بحرف آخر:

مثال 5.

العثور على طول المتجه إذا .

قرار سيكون كما يلي:

(1) نحن توريد التعبير عن المتجه.

(2) استخدام صيغة الطول:، بينما مثل ناقلات "ve"، لدينا تعبير عدد صحيح.

(3) نستخدم صيغة ملخص الموجزة الصيفية. يرجى ملاحظة كيف يعمل الغريب هنا: "في الواقع، هذا مربع من الفرق، وفي الواقع، إنه". أولئك الذين يرغبون في إعادة ترتيب المتجهات في الأماكن: - اتضح نفس الشيء مع دقة القلويات.

(4) أكثر دراية بالفعل من المهامتين السابقة.

إجابه:

إذا كنت تتحدث عن الطول، فلا تنس تحديد البعد - "الوحدات".

مثال 6.

العثور على طول المتجه إذا .

هذا مثال على حل مستقل. حل كامل والإجابة في نهاية الدرس.

نواصل الضغط على الأشياء المفيدة من المنتج العددية. مرة أخرى دعونا ننظر إلى صيغة لدينا وبعد وفقا لسيادة النسبة لإعادة ضبط طول المتجهات في قاسم الجانب الأيسر:

وقطع الأجزاء تغيير الأماكن:

ما معنى هذه الصيغة؟ إذا كانت أطوال ناقلات المنتجين ومنتجهم العددية معروفين، فيمكن احتساب جيب التغلين بين قاتلة البيانات، وبالتالي زاوية نفسها.

منتج Scalar هو رقم؟ عدد. طول المتجهات - الأرقام؟ أعداد. لذلك، الكسر هو أيضا بعض العدد. وإذا كان جيب التمام في الزاوية معروف: ، من السهل العثور على زاوية نفسها باستخدام وظيفة عكسية: .

مثال 7.

ابحث عن الزاوية بين المتجهات، وإذا كان معروفا ذلك.

قرار: نستخدم الصيغة:

في المرحلة النهائية من الحسابات، تم استخدام الاستقبال التقني - القضاء على عدم الاصنفاد في المقام. من أجل القضاء على اللاعقلانية، أنا domended the nizer والقاسم على.

حتى إذا ، ومن بعد:

يمكن العثور على قيم الوظائف المثلثية معكوس من قبل الجدول المثلثيوبعد على الرغم من أنها تحدث نادرا. في مهام الهندسة التحليلية، يبدو أن نوعا ما من الدب الغامض يبدو في كثير من الأحيان، ويجب أن تجد قيمة الزاوية تقريبا استخدام الآلة الحاسبة. في الواقع، سوف نستطيع كرر هذه الصورة.

إجابه:

مرة أخرى، لا تنس الإشارة إلى البعد - الرضيات والدرجات. شخصيا، سأكون متأكدا من "إزالة جميع الأسئلة"، وأفضل الإشارة إلى كل ذلك (إذا، بشرط، بالطبع، ليس من الضروري تقديم الإجابة فقط في الراديان أو بدرجات فقط).

الآن يمكنك التعامل مع مهمة أكثر تعقيدا:

مثال 7 *

الهجرة - أطوال المتجهات، والزاوية بينهما. العثور على الزاوية بين المتجهات،.

المهمة ليست معقدة للغاية مثل متعددة.
سنقوم بتحليل خوارزمية الحل:

1) تحت الشرط مطلوب للعثور على الزاوية بين المتجهات، لذلك تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) العثور على منتج العددية (انظر الأمثلة رقم 3، 4).

3) نجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5، 6).

4) إنهاء القرار يتزامن مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم، وبالتالي فمن السهل العثور على زاوية نفسها:

حل موجز والإجابة في نهاية الدرس.

يتم تخصيص القسم الثاني من الدرس لنفس المنتج العددية. إحداثيات. سيكون أسهل من في الجزء الأول.

منتج العددية من ناقلات،
طلب الإحداثيات في الأساس غير العظمي

إجابه:

ما نقوله، للتعامل مع الإحداثيات هو أكثر متعة للغاية.

مثال 14.

العثور على منتج العددية من المتجهات وإذا

هذا مثال على حل مستقل. هنا يمكنك استخدام الزملاء في العملية، وهذا هو، لا تعول، ولكنه جلب على الفور الثلاثة الأوائل خارج المنتج العددية والترقية إلى ذلك الماضي. الحل والإجابة في نهاية الدرس.

في اختتام مثال الفقرة الاستفزازي على حساب طول المتجه:

مثال 15.

العثور على ناقلات طول ، اذا كان

قرار:تظهر طريقة القسم السابق مرة أخرى: ولكن هناك طريق آخر:

العثور على ناقل:

وطولها في صيغة تافهة :

المنتج العددي ليس هنا على الإطلاق.

ليس كما لا، عند حساب طول المتجه:
قف. لا تستفيد من الممتلكات الواضحة لطول المتجه؟ ماذا يمكن أن يقال عن طول المتجه؟ هذا المتجه هو ناقل أطول 5 مرات. الاتجاه هو العكس، لكنه لا يلعب دورا، لأن الكلام عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي العمل وحدة أرقام لطول المتجه:
- علامة الوحدة النمطية "تأكل" رقم ناقص ممكن.

في هذا الطريق:

إجابه:

صيغة جيب التمام الزاوية بين المتجهات التي تحددها الإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة أن تكون مشتقة سابقا من صيغة جيب التمام التمام بين المتجهات من خلال إحداثيات المتجهات:

زاوية جيب التمام بين ناقلات الطائرة وتحديد في الأساس غير العظام، يتم التعبير عن الصيغة:
.

زاوية جيب التمام بين ناقلات الفضاء محددة في الأساس غير العظام يتم التعبير عن الصيغة:

مثال 16.

يتم إعطاء ثلاث رؤوس من المثلث. العثور (زاوية في الأعلى).

قرار:حسب الشرط، الرسم غير مطلوب، ولكن لا يزال:

تتميز الزاوية المرغوبة بالقوس الأخضر. تذكر على الفور تعيين المدرسة من الزاوية: - اهتمام خاص ل وسط الرسالة هي الجزء العلوي من الزاوية التي تحتاجها. للحصول على الإيجاز، كان من الممكن أيضا تسجيله ببساطة.

من الواضح من الرسم أن زاوية مثلث تتزامن مع الزاوية بين المتجهات، وبعبارة أخرى: .

يفضل أن يتعلم التحليل أداء عقليا.

العثور على ناقلات:

نحن نحسب المنتج العددية:

وطول المتجهات:

جيب الجنين

هذا الإجراء لأداء المهمة التي توصي الشاي. يمكن للمزيد من القراء المعدون تسجيل حسابات "سطر واحد":

هنا مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة التي تم الحصول عليها ليست نهائية، لذلك لا يوجد شعور خاص بالتخلص من عدم الاصناد في المقام.

ابحث عن الزاوية نفسها:

إذا نظرت إلى الرسم، فإن النتيجة صادقة تماما. للتحقق من الزاوية يمكن قياسها أيضا الناقل. لا تلحق الضرر بطلاء الشاشة \u003d)

إجابه:

ردا على ذلك، لا تنس ذلك سأل عن زاوية مثلث (وليس حول الزاوية بين المتجهات)، لا تنس تحديد الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: وجدت باستخدام الحاسبة.

أولئك الذين استمتعوا بالعملية بحساب الزوايا، وتأكد من عدالة المساواة القانونية

مثال 17.

يتم إعطاء المساحة من قبل إحداثيات مثلث من رؤوسهم. العثور على الزاوية بين الطرفين و

هذا مثال على حل مستقل. حل كامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تكريس القسم النهائي الصغير للتوقعات التي يكون فيها المنتج العددي أيضا "المعني":

توقعات ناقلات على ناقل. إسقاط ناقل على المحاور الإحداثية.
أدلة جيب التمام

النظر في المتجهات و:

سبروجيت ناقلات على المتجه، لهذا، خارج بداية ونهاية ناقل حذف بطبع على ناقل الخطوط الخضراء المتقطعة). تخيل أن أشعة الضوء تقع بشكل عمودي في المتجه. ثم الجزء (الخط الأحمر) سيكون "الظل" للمتجه. في هذه الحالة، فإن الإسقاط المتجه على هذا المتجه هو طول القطاع. وهذا هو، الإسقاط هو رقم.

يشار إلى هذا الرقم كما يلي: "" ناقل كبير "تشير إلى ناقل التي الإسقاط، "ناقل الركيزة الصغيرة" تشير إلى ناقل على ال الذي هو من المتوقع.

يتم قراءة السجل نفسه مثل هذا: "إسقاط المتجه" أ "على ناقل".

ماذا يحدث إذا كان المتجه هو "قصير جدا"؟ نحن ننفذ خط مستقيم يحتوي على ناقل. وسيتم توقع ناقل "أ" بالفعل على اتجاه المتجه "كن"ببساطة - على خط مستقيم يحتوي على ناقل. يحدث الشيء نفسه إذا تم تأجيل المتجه "A" في الثلاثينيات من المملكة - لا يزال من السهل انحناء خط مستقيم يحتوي على ناقلات.

إذا كان الزاوية بين المتجهات بصير (كما في الشكل)، ثم

إذا ناقلات متعامد، إذن (الإسقاط نقطة، أبعادها تعتبر صفر).

إذا كان الزاوية بين المتجهات غبي(في الشكل، إعادة ترتيب عقليا سهم ناقل)، ثم (نفس الطول، ولكن اتخذت مع علامة ناقص).

سأؤجل هذه المخلفات من نقطة واحدة:

من الواضح، عند تحريك المتجه، لا يتغير الإسقاط

ستكون هناك مهام لحل مستقل يمكنك أن ترى الإجابات.

إذا كان في مهمة وطول المخلفات، ويتم تقديم الزاوية بينها "على صحن مع محرك أقراص أزرق"، ثم شرط المشكلة وحلها يبدو وكأنه هذا:

مثال 1.ناقلات شاسعة. ابحث عن منتج عدد من المتجهات إذا تم تقديم أطوالها وبين زاوية بينهما بالمعنى التالي:

يتم تحديد تعريف آخر أيضا، يعادل تماما التعريف 1.

تعريف 2.وبعد يسمى المنتج العددي للمتجاهج الرقم (العددية)، يساوي طول مدة طول هذه المخلفات على إسقاط متجه آخر على المحور الذي يحدده أول ناقلات محددة. الصيغة وفقا للتعريف 2:

تم حل المهمة مع استخدام هذه الصيغة بعد النقطة النظرية المهمة التالية.

تحديد منتج العددية للمتجهات من خلال الإحداثيات

يمكن الحصول على نفس العدد إذا تم تعيين ناقلات المتغيرات من قبل إحداثياتهم.

تعريف 3. المنتج العددي من المتجهات هو رقم يساوي مجموع الأعمال الزوجية للإحداثيات الخاصة بهم.

على السطح

إذا تم تعريف نسختين وعلى الطائرة من قبل اثنين إحداثيات مستطيلة الديكارتي

المنتج العددي لهذه المتجهلات يساوي مجموع الأعمال الزوجية للإحداثيات الخاصة بهم:

.

مثال 2.ابحث عن الحجم العددي للإسقاط المتجه على المحور بالتوازي مع المتجه.

قرار. نجد نتاج العدد العددي من المتجهات، وقم بطي أعمال الإحداثيات الزوجية الخاصة بهم:

الآن نحتاج إلى مساواة المنتج العددي الناتج من متجه طول المتجهات على الإسقاط المتجه على المحور الموازي للمتجه (وفقا للتصميم).

نجد طول المتجه كجذر مربع من مجموع المربعات من تنسيقه:

.

نحن تجميع المعادلة وحلها:

إجابه. القيمة العددية المرغوبة هي ناقص 8.

في الفضاء

إذا تم تعريف الإصدارين والمساحة من قبل إحداثياتهم الثلاثة الديكارتية

,

المنتج العددي لهذه المتجهلات يساوي أيضا مجموع أعمال الاقتران من إحداثياتهم الخاصة بهم، فقط الإحداثيات هي بالفعل ثلاثة:

.

مهمة العثور على منتج العددية مع الطريقة التي تم النظر فيها - بعد تحليل خصائص المنتج العددية. لأن المهمة ستحتاج إلى تحديد أي زاوية نماذج متغيرة الناقلات.

خصائص المنتج العددي للمتجهات

خصائص الجبرية

1. (نقل الخاصية: من التغيير في أماكن المتجهات المتغيرة، لا يتغير حجم منتجهم العددية).

2. (المضمون رقم الهاتف Proport: المنتج العددي للمجهز مضروبا من قبل بعض المضاعف، ومتجه آخر، يساوي المنتج العددية لهذه المتجهات، مضروبة في نفس العامل).

3. (توزيع نسبة إلى مجموع الممتلكات المسافر: المنتج العددي لمجموع متجهين في المتجه الثالث يساوي مجموع الأعمال العددية من المتجهات الأول على المتجه الثالث والمجهر الثاني على المتجه الثالث).

4. (سكالة ساحة متجه أكثر صفر)، إذا كان هذا متجه غير صفري، وإذا كان ناقلات صفر.

خصائص هندسية

في تعريفات العملية المرنة، قلت بالفعل مفهوم الزاوية بين متجهين. حان الوقت لتوضيح هذا المفهوم.

يعرض الرقم أعلاه ناقجي، والتي تظهر في بداية العام. وأول شيء يجب الانتباه إليه: هناك زاوية بين هذه المتجهات - φ 1 و φ 2 وبعد أي من هذه الزوايا تظهر في تعريفات وخصائص المنتج العددي للمتجهات؟ مقدار الزوايا المعتبرية يساوي 2 π وبالتالي، فإن سداد هذه الزوايا متساوون. يشتمل تعريف منتج العدد العددي على جيب زجاج الزاوية فقط، وليس معنى تعبيره. ولكن بزاوية واحدة فقط تعتبر في العقارات. وهذا هو واحد من زوايا لا يتجاوز π هذا هو 180 درجة. في الصورة، يتم الإشارة إلى هذه الزاوية φ 1 .

1. اتصل اثنان ناقص متعامد و الزاوية بين هذه المتجهات - مباشرة (90 درجة أو π / 2) إذا المنتج العددي من هذه المتجهلات هو الصفر :

.

تقويم الأسهم في مجهول الجبر هو عمودي ناقلات اثنين.

2. اثنين من ناقلات غير صفرية تشكل زاوية حادة (من 0 إلى 90 درجة، أو، وهو نفسه - أقل π منتج العددية بشكل إيجابي .

3. اثنين من ناقلات غير صفرية تشكل زاوية منفرجة (من 90 إلى 180 درجة، أو أن نفس الشيء هو أكثر π / 2) إذا وفقط عندما منتج العددية سلبية .

مثال 3. يتم إعطاء ناقلات في الإحداثيات:

.

حساب الأعمال العددية لجميع أزواج هذه المتجهات. ما الزاوية (حاد، مستقيم، غبي) تشكل هذه أزواج من المتجهات؟

قرار. احسب ستكون إضافة أعمال الإحداثيات ذات الصلة.

تلقى رقم سلبي، لذلك فإن المتجهلات تشكل زاوية غبية.

تلقى رقم إيجابي، لذلك فإن المتجهلات تشكل زاوية حادة.

تلقى الصفر، وبالتالي فإن المتجهات تشكل زاوية مستقيمة.

تلقى رقم إيجابي، لذلك فإن المتجهلات تشكل زاوية حادة.

.

تلقى رقم إيجابي، لذلك فإن المتجهلات تشكل زاوية حادة.

للاختبار الذاتي يمكنك استخدامها آلة حاسبة عبر الإنترنت منتج عرقلة من المسافر وزوايا التمام .

مثال 4. يتم تقديم أطوال ناقلين والزاوية بينهما:

.

تحديد، مع ما قيمة عدد المتجهات وغير المتعامدة (عمودي).

قرار. نقل المتجهات وفقا لحكم الضرب من متعدد الحدود:

الآن نحن نحسب كل مصطلح:

.

قم بإجراء معادلة (مساواة عمل الصفر)، ونحن نقدم أعضاء مماثلة وحل المعادلة:

الجواب: حصلنا على قيمة λ \u003d 1.8، حيث تكون المتجهات متعامدة.

مثال 5.إثبات أن هذا المتجه متعامد (عمودي) ناقل

قرار. للتحقق من المتعاملات والمتاجر المتغيرة وكعنوات متعددة، استبدال بدلا من تعبيرها المقدمة في حالة TERK:

.

للقيام بذلك، يتضاعف كل عضو (مصطلح) من أول متعدد الحدود إلى كل عضو في المرتبة الثانية والأعمال التي تم الحصول عليها مطوية:

.

في النتيجة الناتجة، يتم تقليل الكسر على حساب. يتم الحصول على النتيجة التالية:

الخلاصة: نتيجة الضرب، صفر، لذلك، يتم إثبات متعامدة (العمودية) من المتجهات.

حل المهمة بنفسك، ثم انظر القرار

مثال 6. يتم إعطاء أطوال المتجهات و، والزاوية بين هذه المخلفات متساو π / أربعة. تحديد ما القيمة μ ناقلات وعمودي طلي.

للاختبار الذاتي يمكنك استخدامها آلة حاسبة عبر الإنترنت منتج عرقلة من المسافر وزوايا التمام .

مصفوفة تمثيل منتج العدد العددي من المتجهات ومنتج ناقلات N-VIDELAL

في بعض الأحيان يكون الفوز في الوضوح هو تمثيل متجاثين متغيرين في شكل مصفوفات. ثم يتم تمثيل متجه الأول كسلسلة مصفوفة، والثاني - في شكل مصفوفة عمود:

ثم المنتج العددي للمتجاهج سيكون نتاج هذه المصفوفات :

والنتيجة هي نفس الطريقة التي تم الحصول عليها، والتي نظرنا إليها بالفعل. تلقينا رقم واحد واحد، ومنتج سلسلة مصفوفة على مصفوفة العمود هو أيضا رقم واحد.

في شكل مصفوفة إنه مناسب لتمثيل نتاج ناقلات N- الأبعاد مجردة. وبالتالي، فإن نتاج متجهات من أربع الأبعاد سيكون نتاج سلسلة المصفوفة بأربعة عناصر على مصفوفة العمود أيضا مع أربعة عناصر، ومنتج ناقلات خمسة الأبعاد - نتاج سلسلة مصفوفة مع خمسة عناصر على مصفوفة العمود أيضا مع خمسة عناصر وهلم جرا.

مثال 7. البحث عن أعمال العددية من ناقلات البخار

,

باستخدام تمثيل مصفوفة.

قرار. أول زوج من المتجهات. نقدم أول ناقل في شكل سلسلة مصفوفة، والثاني - في شكل مصفوفة عمود. نجد منتجا عددا من هذه المتجهات كمنتج لسلسلة مصفوفة على مصفوفة العمود:

وبالمثل، نقدم الزوج الثاني والعثور على:

كما نرى، اتضح النتائج نفس الأزواج نفسها من مثال 2.

زاوية بين ناقلات اثنين

إن إخراج صيغة جيب التمام في الزاوية بين متجهين جميلة وجيزة جدا.

للتعبير عن منتج العدد العدد

(1)

في نموذج الإحداثيات، سنجد التقدير المنتج العددية من Ort. المنتج العددي للمجال على نفسه بحكم التعريف:

ما يتم تسجيله في الصيغة أعلاه يعني: المنتج العددي للمتجه على نفسه يساوي مربع طولهوبعد جيب الصفر يساوي واحد، لذلك سوف يكون مربع كل أوراق يساوي واحد:

منذ ناقلات

بضعة عمودي، ثم ارتفع زوج العمل من برامج البريد:

الآن أداء الضرب من كثير ناقلات متعددة الأغراض:

نحن استبدلون المساواة في قيم الأعمال العددية المقابلة لتقويم المجموعات:

نحصل على صيغة جيب التمام الزاوية بين ناقلات:

مثال 8.وترد ثلاث نقاط أ.(1;1;1), ب.(2;2;1), جيم(2;1;2).

العثور على زاوية.

قرار. نجد إحداثيات المتجهات:

,

.

وفقا لصيغة جيب التمام، نحصل على:

لذلك، .

للاختبار الذاتي يمكنك استخدامها آلة حاسبة عبر الإنترنت منتج عرقلة من المسافر وزوايا التمام .

مثال 9.دانا اثنين ناقلات

العثور على المبلغ والفرق والطول والمنتج العددية والزاوية بينهما.

2. تماسك

1. يتم رسم المنتج العددي إلى الصفر في ذلك وفقط في الحالة عندما تكون واحدة على الأقل من المتجهات صفر أو إذا كان المتجهات عموديا. في الواقع، إذا كانت كذلك، أو ذلك.

مرة أخرى، إذا كان المتجهات المتغيرة ليست صفرية، فبسبب الشرط

عندما يتبع:

نظرا لأن اتجاه ناقل الصفر غير مؤكد، يمكن اعتبار متجه الصفر عموديا على أي متجه. لذلك، يمكن صياغة الخاصية المحددة لمنتج العدد العددية باختصار: يتم رسم المنتج العددية إلى الصفر في ذلك وفقط الحالة عندما تكون المتجهات عمودي.

II. المنتج العددي لديه خاصية تتحرك:

هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف:

لأن التعيينات المختلفة لنفس الزاوية.

III. القانون التوزيع مهم للغاية. استخدامه كبير كما هو الحال في الحساب أو الجبر المعتاد، حيث يتم صياغته على النحو التالي: مضاعفة المبلغ، تحتاج إلى مضاعفة كل بئر ومطوية الأعمال التي تم الحصول عليها، I.E ..

من الواضح، يعتمد الضرب للأرقام متعددة الشركات في الحساب أو متعدد الحدود في الجبر على هذه الخاصية من الضرب.

هذا القانون له نفس الأهمية الرئيسية في الجبر المتجه، لأنه على أساس ذلك يمكننا التقدم بطلب للحصول على مكافحة القاعدة المعتادة للعنصر.

نثبت ذلك لأي ناقلات ثلاثة أ، ب، مع المساواة

وفقا للتعريف الثاني لمنتج العدد العددي، عبرت عن الصيغة، نحصل على:

تقدم الآن خاصية 2 توقعات من الفترة من § 5، نجد:

q.D.

IV. المنتج العددي لديه دقة الجمع بالنسبة للعامل العددي؛ يتم التعبير عن هذه الخاصية على النحو التالي:

أي. ألا تضاعف المنتج العددي للمتجهات من قبل الرقم، يكفي أن يتضاعف بهذا الرقم الأول من العوامل.