Золотое сечение — что это такое? Числа Фибоначчи — это? Что общего между спиралью ДНК, ракушкой, галактикой и Египетскими пирамидами? Спираль фибоначчи — зашифрованный закон природы.

11.10.2019

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

В результате получается уравнение: х 2 - х - 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Спираль Архимеда и золотой прямоугольник

Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.

Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.

История применения золотых пропорций

Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.

В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».

Витрувианский человек Леонардо

Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.

С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.

Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.

Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.

Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:

расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
соотношение размеров пальцев на руке человека.

И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.

Использование золотого сечения в искусстве

Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и

Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.

Золотое сечение в архитектуре

В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).

Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.

Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.

Применение пропорций в дизайне

В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.

При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.

Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.

Применение золотого сечения в кибернетике и технике

Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.

Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.

Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.

Современные исследования теории о золотой пропорции

Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.

В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.

Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.

по материалам книги Б. Биггса «вышел хеджер из тумана»

О числах Фибоначчи и трейдинге

В качестве вступления к теме ненадолго обратимся к техническому анализу. Если говорить кратко, то технический анализ ставит задачей предсказать будущее движение цены актива, основываясь на прошлых исторических данных. Наиболее известная формулировка его сторонников — цена уже включает в себя всю необходимую информацию. Реализация технического анализа началась с развитием биржевых спекуляций и наверное полностью не закончена до сих пор, поскольку потенциально сулит неограниченные заработки. Наиболее известными методиками (терминами) в технализе являются уровни поддержки и сопротивления, японские свечи, фигуры, предвещающие разворот цены и др.

Парадоксальность ситуации на мой взгляд заключается в следующем — большинство описанных методов получили столь большое распространение, что, несмотря на отсутствие доказательной базы по их эффективности, действительно получили возможность влиять на поведение рынка. Поэтому даже скептикам, которые пользуются фундаментальными данными, стоит учитывать эти понятия просто потому, что их учитывает очень большое число других игроков («технарей»). Технический анализ может хорошо работать на истории, но стабильно зарабатывать с его помощью на практике не удается практически никому — гораздо проще разбогатеть, издав большим тиражом книгу «как стать миллионером, используя технический анализ»…

В этом смысле особняком стоит теория Фибоначчи, также применяемая для предсказания цены на разные сроки. Ее последователей обычно называют «волновиками». Особняком она стоит потому, что появилась не одновременно с рынком, а гораздо раньше — аж на целых 800 лет. Другая ее особенность в том, что теория нашла свое отражение чуть ли не как мировая концепция для описания всего и вся, и рынок является лишь частным случаем для ее приложения. Эффектность теории и срок ее существования обеспечивают ей как новых сторонников, так и новые попытки составить наименее спорное и общепризнанное описание поведения рынков на ее основе. Но увы — дальше отдельных удачных рыночных предсказаний, которые можно приравнять к везению, теория все-таки не продвинулась.

Суть теории Фибоначчи

Фибоначчи прожил долгую, особенно для своего времени, жизнь, которую посвятил решению ряда математических задач, сформулировав их в своем объемном труде «Книга о счетах» (начало 13 века). Его всегда интересовала мистика чисел — вероятно, он был не менее гениален, чем Архимед или Евклид. Задачи, связанные с квадратными уравнениями, ставились и частично решались и до Фибоначчи, например известным Омаром Хайямом — ученым и поэтом; однако Фибоначчи сформулировал задачу о размножении кроликов, выводы из которой и принесли ему то, что позволило его имени не затеряться в веках.

Вкратце задача заключается в следующем. В место, огороженное со всех сторон стеной, поместили пару кроликов, причем любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Размножение кроликов во времени при этом будет описываться последовательностью: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и т.д. С математической точки зрения последовательность оказалась просто уникальной, поскольку обладала целым рядом выдающихся свойств:

сумма двух любых последовательных чисел есть следующее число последовательности;
отношение каждого числа последовательности, начиная с пятого, к предыдущему, равно 1.618;
разница между квадратом любого числа и квадратом числа на две позиции левее, будет числом Фибоначчи;
сумма квадратов стоящих рядом чисел будет числом Фибоначчи, которое стоит через две позиции после большего из возведенных в квадрат чисел

Из этих выводов наиболее интересен второй, поскольку в нем используется число 1.618, известное как «золотое сечение». Это число было известно еще древним грекам, которые использовали его при постройке Парфенона (кстати, по некоторым данным служившим грекам Центробанком). Не менее интересно и то, что число 1.618 можно обнаружить в природе как в микро-, так и макромасштабе — от витков спирали на панцире улитки до больших спиралей космических галактик. Пирамиды в Гизе, созданные древними египтянами, при конструировании также содержали сразу несколько параметров ряда Фибоначчи. Прямоугольник, одна сторона которого больше другой в 1.618 раза, выглядит наиболее приятно для глаза — это соотношение использовал Леонардо да Винчи для своих картин, а в более житейском плане им иногда пользовались при создании окон или дверных проемов. Даже волну, как на рисунке в начале статьи, можно представить в виде спирали Фибоначчи.

В живой природе последовательность Фибоначчи проявляется не менее часто — ее можно найти в когтях, зубах, подсолнухе, паутине и даже размножении бактерий. При желании последовательность обнаруживается практически во всем, включая человеческое лицо и тело. И тем не менее существует мнение, что многие утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны - это распространенный миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.

Числа Фибоначчи на финансовых рынках

Одним из первых, кто наиболее плотно занимался приложением чисел Фибоначчи к финансовому рынку, был Р. Эллиот. Его труды не пропали даром в том смысле, что рыночные описания с применением теории Фибоначчи часто называются «волнами Эллиота». В основу развития рынков здесь была положена модель развития человечества из суперциклов с тремя шагами вперед и двумя назад. То, что человечество развивается нелинейно, очевидно почти каждому — знания Древнего Египта и атомистическое учение Демокрита было полностью утрачено в Средневековье, т.е. спустя примерно 2000 лет; 20 век породил такой ужас и ничтожность человеческой жизни, которые сложно было представить даже в эпоху Пунических войн греков. Однако даже если принять теорию шагов и их количество за истину, остается неясной размер каждого шага, что делает волны Эллиота сравнимыми с предсказательной силой орла и решки. Отправная точка и правильный расчет числа волн были и видимо будут главной слабостью теории.

Тем не менее локальные успехи у теории были. Боб Претчер, которого можно считать учеником Эллиота, правильно предсказал бычий рынок начала 80-х, а 1987 год — как поворотный. Это действительно случилось, после чего Боб очевидно чувствовал себя гением — по крайней мере, в глазах других он точно стал инвестиционным гуру. Подписка на Elliott Wave Theorist Пречтера в тот год выросла до 20 000, однако уменьшилась в начале 1990-х годов, поскольку предсказываемые далее «гибель и мрак» американского рынка решили немного повременить. Однако для японского рынка это сработало, и ряд сторонников теории, «опоздавших» там на одну волну, потеряли либо свои капиталы, либо капиталы клиентов своих компаний. Равным образом и с теми же успехами теорию нередко пытаются применить к торговле на валютном рынке.

Теория охватывает самые разные периоды торговли — от недельной, что роднит ее со стандартными стратегиями теханализа, до расчета на десятилетия, т.е. влезает на территорию фундаментальных предсказаний. Это возможно благодаря варьированию числа волн. Слабости теории, о которых говорилось выше, позволяют ее адептам говорить не о несостоятельности волн, а о собственных просчетах в их числе и неверном определении исходного положения. Это похоже на лабиринт — даже если у вас есть верная карта, то выйти по ней можно лишь при условии, что понимаешь, где именно находишься. Иначе пользы от карты нет. В случае же с волнами Эллиота есть все признаки сомневаться не только в правильности своего месторасположения, но и в верности карты как таковой.

Выводы

Волновое развитие человечества имеет под собой реальную основу — в средние века волны инфляции и дефляции чередовались между собой, когда войны сменяли относительно спокойную мирную жизнь. Наблюдение последовательности Фибоначчи в природе по крайней мере в отдельных случаях сомнения тоже не вызывает. Поэтому каждый на вопрос, кто есть Бог: математик или генератор случайных чисел — вправе давать собственный ответ. Лично мое мнение такого, что хотя всю человеческую историю и рынки можно представить в волновой концепции, высоту и продолжительность каждой волны не дано предугадать никому.

При этом 200 лет наблюдений за американским рынком и более 100 лет за остальными позволяют четко сказать, что фондовый рынок растет, проходя через различные периоды роста и стагнации. Этого факта вполне достаточно для долгосрочного заработка на фондовом рынке, не прибегая к спорным теориям и доверяя им больше капитала, чем следует в рамках разумных рисков.

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи «Мона Лиза», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи (род. ок. 1170 — умер после 1228) , итальянский математик . Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад.

После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Итак, числа, образующие последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи .

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его. (Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция . В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

* Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца);

* Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения;

* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:

«Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее.»

В природе

* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры — спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;

* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;

Всевышний Господь каждому Своему творению установил особую меру и придал соразмерность, что подтверждается на примерах, встречающихся в природе. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали.

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

Строение морских раковин

Ученые, изучавшие внутреннее и внешнее строение раковин мягкотелых моллюсков, обитающих на дне морей, констатировали:

«Внутренняя поверхность раковин безупречно гладкая, а внешняя вся покрыта шероховатостями, неровностями. Моллюск был в раковине и для этого внутренняя поверхность раковины должна была быть безупречно гладкой. Внешние углы-изгибы раковины увеличивают ее крепость, твердость и таким образом повышают ее прочность. Совершенство и поразительная разумность строения ракушки (улитки) восхищает. Спиральная идея раковин является совершенной геометрической формой и удивительна по своей отточенной красоте.»

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о логарифмической спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.

Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет логарифмическая форму ракушки?

Конечно же нет, потому что такой замысел невозможно осуществить без наличия разума и знаний. Но таковым разумом не обладают ни примитивные моллюски, ни бессознательная природа, которую, правда, некоторые ученые называют создательницей жизни на земле(?!)

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Биолог Сэр Д`арки Томпсон этот вид роста морских раковин называет «форма роста гномов».

Сэр Томпсон делает такой комментарий:

«Нет более простой системы, чем рост морских ракушек, которые растут и расширяются соразмерно, сохраняя ту же форму. Раковина, что самое удивительное, растет, но никогда не меняет формы.»

Наутилус, размером в несколько сантиметров в диаметре, представляет собой самый выразительный пример гномового вида роста. С.Моррисон так описывает этот процесс роста наутилуса, спланировать который даже человеческим разумом представляется довольно сложным:

«Внутри раковины наутилуса есть множество отделов-комнат с перегородками из перламутра, причем сама раковина внутри представляет собой спираль, расширяющуюся от центра. По мере роста наутилуса в передней части ракушки нарастает еще одна комнатка, но уже больших размеров, чем предыдущая, а перегородки оставшейся позади комнатки покрываются слоем перламутра. Таким образом, спираль все время пропорционально расширяется.»

Приведем лишь некоторые типы спиралевидных раковин имеющих логарифмическую форму роста в соответствии с их научными названиями:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Все обнаруженные ископаемые останки раковин также имели развитую спиральную форму.

Однако логарифмическая форма роста встречается в животном мире не только у моллюсков. Рога антилоп, диких козлов, баранов и прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции.

Золотое сечение в ухе человека

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации . Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Рога и бивни животных, развивающиеся в форме спирали

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны (виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали.

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно . К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

«Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц.»

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.

Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.

Очевидно, что фермер имеет одного кролика в первый месяц и одного кролика – во второй месяц. На третий месяц будет уже два кролика, на четвертый – три и т.д. Обозначим количество кроликов в n месяце как . Таким образом,
,
,
,
,
, …

Можно построить алгоритм, позволяющий найти при любомn .

Согласно условию задачи общее количество кроликов
вn +1 месяце раскладывается на три составляющие:

одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве

;

Таким образом, получим

. (8.1)

Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .

Если принять
и
, то с помощью формулы (8.1) можно определить все остальные числа Фибоначчи. Формула (8.1) называется рекуррентной формулой (recurrence – «возвращение» на латыни).

Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?

Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.

В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Для того чтобы ответить на заданный вопрос при произвольном n , обозначим количество вариантов как , и попробуем определить
по известными
. Если мы стартуем с единичного шага, то имеем комбинаций для оставшихсяn ступенек. Если стартуем с двойного шага, то имеем
комбинаций для оставшихсяn –1 ступенек. Общее количество вариантов для n +1 ступенек равно

. (8.2)

Полученная формула как близнец напоминает формулу (8.1). Тем не менее, это не позволяет отождествлять количество комбинаций с числами Фибоначчи. Мы видим, например, что
, но
. Однако имеет место следующая зависимость:

Это справедливо для n = 1, 2, и также справедливо для каждого n . Числа Фибоначчи и количество комбинаций вычисляются по одной и той же формуле, однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.

Пример 8.2. Этотпример имеет практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования. Найдем число всех двоичных слов длины n , не содержащих несколько нулей подряд. Обозначим это число через . Очевидно,
, а слова длины 2, удовлетворяющие нашему ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
. Пусть
– такое слово изn символов. Если символ
, то
может быть произвольным (
)-буквенным словом, не содержащим несколько нулей подряд. Значит, число слов с единицей на конце равно
.

Если же символ
, то обязательно
, а первые
символа
могут быть произвольными с учетом рассматриваемых ограничений. Следовательно, имеется
слов длины n с нулем на конце. Таким образом, общее число интересующих нас слов равно

С учетом того, что
и
, полученная последовательность чисел – это числа Фибоначчи.

Пример 8.3. В примере 7.6 мы нашли, что число двоичных слов постоянного веса t (и длиной k ) равно . Теперь найдем число двоичных слов постоянного весаt , не содержащих несколько нулей подряд.

Рассуждать можно так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах. В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями, в каждом из которых находится одна или несколько единиц. Предполагается, что
. В противном случае нет ни одного слова без рядом стоящих нулей.

Если из каждого промежутка удалить ровно по одной единице, то получим слово длины
, содержащеенулей. Любое такое слово может быть получено указанным образом из некоторого (и притом только одного)k -буквенного слова, содержащего нулей, никакие два из которых не стоят рядом. Значит, искомое число совпадает с числом всех слов длины
, содержащих ровнонулей, т.е. равно
.

Пример 8.4. Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого. Символ
обозначаетнаименьшее целое число, большее или равное . Например, если
, то
; а если
, то
ceil («потолок»). Также встречается символ
, который обозначаетнаибольшее целое число, меньшее или равное . По-английски эту операцию называютfloor («пол»).

Если
, то
. Если
, то
. Если
, то
.

Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:

И оно действительно выполняется:

Здесь мы использовали полученную ранее формулу (4.4):
.

Сумма чисел Фибоначчи

Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:

Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:

Эта сумма должна быть равна
.

Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).

Формула для чисел Фибоначчи

Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле

Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:

Мы видим, что отношение этих чисел колеблется около значения 1.618 (если игнорировать несколько первых значений). Этим свойством числа Фибоначчи напоминают члены геометрической прогрессии. Примем
, (
). Тогда выражение

преобразуется в

которое после упрощений выглядит так

Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:

Теперь можем записать:

(где c является константой). Оба члена и не дают чисел Фибоначчи, например
, в то время как
. Однако разность
удовлетворяет рекуррентному уравнению:

Для n =0 эта разность дает, то есть:
. Однако при n =1 мы имеем
. Чтобы получить
, необходимо принять:
.

Теперь мы имеем две последовательности: и
, которые начинаются с одинаковых двух чисел и удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле. Они должны быть равны:
. Теорема доказана.

При возрастании n член становится очень большим, в то время как
, и роль членав разности сокращается. Поэтому при больших n приближенно можем записать

Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).

Отношение
называется золотым сечением , его используют за пределами математики (например, в скульптуре и архитектуре). Золотым сечением является отношение между диагональю и стороной правильного пятиугольника (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали

Для обозначения золотого сечения принято использовать букву
в честь известного афинского скульптора Фидия.

Простые числа

Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.

Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.

Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма, позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является решето Эратосфена (3 век до нашей эры). Этот метод заключается в отсеивании (например, путем зачеркивания) тех целых чисел заданной последовательности
, которые делятся хотя бы на одно из простых чисел, меньших
.

Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .

Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :

при
. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда, откуда следует тождество Эйлера: