Ehtimoliyatning klassik ta'rifi uchun vazifalar. Echimlarga misollar. Ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi

"Baxtsiz hodisa tasodifiy" ... Bu faylasuf kabi tuyuladi, lekin haqiqatda matematika fanining tasodifiyligini o'rganish. Matematikada ehtimollik nazariyasi bilan shug'ullanadi. Forulalar va vazifalar misollari, shuningdek ushbu fanning asosiy ta'riflari maqolada taqdim etiladi.

Ehtimollik nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy voqealarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Bir oz aniqroq bo'lish uchun biz kichik bir misol keltiramiz: agar siz tanga tashlasangiz, u "burgut" yoki "keng" ga tushishi mumkin. Tanganlar havoda bo'lsa-da, ikkala ehtimollikning ikkalasi ham mumkin. Ya'ni, mumkin bo'lgan oqibatlarga olib kelishi ehtimoli 1: 1. Agar siz 36 ta karta bilan kemani tortib olsangiz, ehtimol, ehtimollik 1:36 deb nomlanadi. Aftidan, matematik formulalar yordamida kashf qilish va taxmin qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, ba'zi muntazamlikni aniqlash mumkin va bunga boshqa sharoitdagi voqealar natijasini oldindan aytib berishga asoslanadi.

Agar biz yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirsak, klassik tushunchadagi ehtimollik nazariyasi bu mumkin bo'lgan voqealardan birining raqamli qiymatdagi bo'lishi mumkinligini o'rganishdir.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalari va misollar nazariyasi o'rta asrlarda birinchi marta karta o'yinlarining natijasini oldindan aytib berishga uringan paytda orqaga chiqdi.

Dastlab, ehtimollik nazariyasi matematika bilan bog'liq hech narsa yo'q edi. U amaliyot faktlari yoki amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning xususiyatlari bilan oqlandi. Ushbu sohada matematik intizomda bo'lgani kabi birinchi ish XVII asrda paydo bo'lgan. Paskal va Per fermasi blazerlarga qaraganda cho'tkasi edi. Uzoq vaqt davomida ular qimor o'yinlarini o'rganib, jamiyatga aytishga qaror qilgan muayyan naqshlarni ko'rishdi.

Xuddi shu texnikada Gyuygens xristianlari ixtiro qilingan, ammo u Paskal va fermer xo'jaligi tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmagan. "Ehtimollar nazariyasi" tushunchasi ular tomonidan birinchi bo'lib ko'rib chiqilgan birinchi formulalar va misollar joriy etildi.

Jacob Bernuylli, Laplas va Poisson teoremalari muhim ahamiyatga ega. Ular ehtimollik nazariyasini yanada ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimol, ehtimollik nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalar misollarining hozirgi munosabati Kolmogorovning aksiomalari tufayli olingan. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollik nazariyasi matematik bo'limlardan biriga aylandi.

Ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu tadbirning asosiy tushunchasi bu tadbir. Tadbirlar uch tur:

• Ishonchli. Har qanday holatda sodir bo'ladigan narsalar (tanga tushadi).
• Imkonsiz. Hech qanday holatda bo'lmagan voqealar (tanga havoda osilib turadi).
• Tasodifiy. Sodir bo'ladigan yoki bo'lmaydi. Ular bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillarga ta'sir qilishi mumkin. Agar biz tanga haqida gapiradigan bo'lsak, natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar: tanganing fizik xususiyatlari, shaklining fizik xususiyatlari, boshlang'ich holat, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha voqealar asosiy lotin harflari bilan belgilanadi, bu yana bir rolga tayinlangan Masalan:

• A \u003d "Talabalar ma'ruzaga kelishdi."
• Ā \u003d "Talabalar ma'ruzaga bormadi."

Amaliy vazifalarda voqealar yozib olish so'zlariga ko'ra tadbirlar qabul qilinadi.

Tadbirlarning eng muhim xususiyatlaridan biri bu ularning muvozanatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, boshlang'ich tushish uchun barcha variantlar tushguncha mumkin. Ammo voqealar ham teng emas. Bu, kimdir natijaga ta'sir ko'rsatganda sodir bo'ladi. Masalan, tortishish markazi siljigan kartalarni o'ynash yoki suyaklar o'ynash.

Hatto voqealar ham mos va mos kelmaydi. Mos keladigan voqealar bir-birlarini chiqarib tashlamaydi. Masalan:

• A \u003d "Talaba ma'ruzaga keldi."
• B \u003d "Talaba ma'ruzaga keldi."

Ushbu voqealar bir-biridan mustaqil va ulardan birining paydo bo'lishi boshqasining ko'rinishi ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan voqealar, kimdir paydo bo'lishi boshqasining ko'rinishini yo'q qiladi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, "idish" ning yo'qolishi xuddi shu tajribadagi "burgut" ko'rinishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Tadbirlar ko'paytirilishi va katlanmış, mos ravishda, mantiqiy ligamentlar "va" yoki "intizomga kiritiladi.

Ushbu miqdor a yoki b yoki bir vaqtning o'zida ikkita ko'rinishi bilan belgilanadi. Agar ular mos kelmasa, oxirgi variantning iloji yo'q, yoki A va V.

Tadbirlarni ko'paytirish - bu bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida ko'rinishi.

Endi siz ehtimollik va formulalarning asoslari, nazariyasi, nazariyasi, nazariyasi, nazariyasi yaxshiroqligini yaxshiroq eslash uchun bir nechta misollar keltirasiz. Keyingi vazifa echimlarining misollari.

MAShQ 1: Kompaniya uchta navning ishlashi bo'yicha shartnomalar tanlovida ishtirok etadi. Mumkin bo'lgan voqealar:

• A \u003d "Kompaniya birinchi shartnomani oladi."
• Va 1 \u003d "firma birinchi shartnomani olmaydi."
• B \u003d "firma ikkinchi shartnomani oladi."
• 1 \u003d "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
• C \u003d "firma uchinchi shartnomani oladi."
• 1 \u003d "Kompaniya uchinchi shartnomani olmaydi."

Tadbirlar bo'yicha harakatlardan foydalanish, keling, quyidagi vaziyatlarni ifoda etishga harakat qilaylik:

• K \u003d "Firma barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi shaklga ega bo'ladi: K \u003d ABC.

• M \u003d "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M \u003d 1 1 1da 1.

Vazifani bajaring: H \u003d "Kompaniya bitta shartnoma oladi." Ma'lumki, qanday shartnoma ma'lum bo'lmaganligi sababli, kompaniyani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi mumkin, bu mumkin bo'lgan voqealarni yozib olish kerak:

N \u003d a 1 Quyosh 1 A-1 C 1 bu 1 C.

1 Quyosh 1 - kompaniya birinchi va uchinchi shartnomani qabul qiladigan, ammo ikkinchisini qabul qiladi. Mumkin bo'lgan voqealar tegishli usulda qayd etiladi. Intizomdagi belgi bu to'plamni ko'rsatadi "yoki". Agar biz ushbu misolni inson tiliga tarjima qilsak, firma qabul qilinadi yoki uchinchi shartnomani yoki ikkinchisini yoki birinchi bo'ladi. Shunga o'xshab, boshqa sharoitlarni "ehtimollik nazariyasi" fanidan qayd etish mumkin. Ushbu formulalar va yuqorida keltirilgan vazifalarni hal qilish misollar buni o'zingiz qilishga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda tadbirning ehtimolligi markaziy tushunchadir. 3 ta ehtimollik ta'riflari mavjud:

• klassik;
• statistik;
• geometrik.

Ularning har biri ehtimoliy ehtimolliklarni o'rganishda o'z o'rnini egallaydi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan bunga o'xshash klassik ta'rifdan foydalanadi:

• Vaziyatning ehtimolligi natijalarning paydo bo'lishiga, mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbati bilan tengdir.

Formula quyidagicha ko'rinadi: p (a) \u003d m / n.

A - Aslida, voqea. Agar vaziyat a qarama-qarshi ko'rinsa, uni yoki 1 deb yozilishi mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar.

n - yuzaga keladigan barcha voqealar.

Masalan, A \u003d "Bo'ri kostyumining kartasini torting." 36-standart 36-sonli kemada, ularning 9tasi qurtlar. Shunga ko'ra, vazifani hal qilish formulasi quyidagilardan iborat bo'ladi:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Natijada, qurt kostyumining kartasini kemadan chiqarib yuborilishi ehtimoli 0,25 ni tashkil qiladi.

Oliy matematikaga

Endi bu ehtimollik, formulalar va maktab dasturida o'tgan vazifalarni hal qilish misollari nimadan iborat edi. Biroq, ehtimoliy sharoitlar nazariyasi oliy matematikada bo'lib o'tadi, ular universitetlarda o'qitiladi. Ko'pincha nazariya va murakkab formulalarning geometrik va statistik ta'riflari bilan boshqariladi.

Juda qiziqarli ehtimollik nazariyasi. Forulalar va misollar (Oliy matematika) kichik bir kishidan - statistik (yoki chastota) ehtimollik aniqlanishidan yaxshiroq o'qish yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikka zid emas va uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda, ehtimol, voqeani yanada aniqlash kerak bo'lsa, unda ushbu usulda u qanchalik tez-tez uchraydigan ko'rsatishi kerak. Bu erda "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi joriy etiladi, ular W n n (a) tomonidan belgilanishi mumkin. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar klassik formulani bashorat qilish uchun hisoblangan bo'lsa, unda statistik - tajriba natijalariga ko'ra. Masalan, kichik vazifani oling.

Texnologik nazorat bo'limi sifat uchun mahsulotlarni tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 ta past sifatli. Sifat mahsuloti chastotasi ehtimolini qanday topish mumkin?

A \u003d "yuqori sifatli mahsulotlarning ko'rinishi."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0.97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. Siz 97 oldingizmi? Belgilangan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifat jihatidan kam emas. 100 navbatdan 37 olamiz, bu 97 olamiz, bu sifatli mahsulot miqdori.

Kombinator haqida ozgina

Ehtimoliyatning yana bir usuli kombinator deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundaki, agar ma'lum bir tanlovni har xil yo'llar bilan amalga oshirishi va b ni tanlash n har xil usulda, keyin tanlovni ko'paytirish mumkin.

Masalan, shahardan va shaharda 5 ta yo'l. Shahardan shahargacha 4 yo'l bilan. Shahardan va shahardan qancha usullarga erishish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4 \u003d 20, ya'ni, ya'ni har xil shaklda S. nuqtalariga qadar erishish mumkin.

Ishni murakkablashtiring. Solitaire-da kartalarni yotqizishning qancha usullari? 36 ta kartaning pastki qismida - bu boshlang'ich nuqtasi. Bir xil xaritada va ko'payish uchun "olib qochish" uchun boshlang'ich nuqtadan kerak bo'lgan usullar sonini bilish uchun.

Ya'ni, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d natija kalkulyator ekraniga mos kelmaydi, shuning uchun u 36! Belgisi "!" Raqam yaqinligi shuni ko'rsatadiki, sonlarning butun soni bir-biridan farq qiladi.

Kombinatorlar bunday tushunchalarni mazmun, turar joy va kombinatsiyalash kabi tushunchalarni taqdim etadilar. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

Buyurtma to'plamlar to'plamini joylashtirish deyiladi. Joylashtirish takrorlashlar bilan bo'lishi mumkin, ya'ni bir nechta elementdan bir necha marta foydalanish mumkin. Va narsalar takrorlanmasa, takrorlashsiz. n barcha elementlar, m - bu turar joylarda ishtirok etadigan elementlar. Radetsiz joylashtirish formulasi quyidagicha bo'ladi:

A n m \u003d n! / (N-M)!

Faqat joylashtirish tartibi bilan farq qiladigan nomuvofiqliklar taqsimlanadi. Matematikada u shakli bor: p n \u003d n!

N elementlaridan m uchun birlashtirilgan bunday elementlar, qaysi elementlar va ularning jami nima ekanligini anglatadi. Formulaga qarang:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernuvli formulasi

Ehtimol nazariya, shuningdek, har bir intizomda, uni yangi bosqichga olib chiqqan tadqiqotchilar sohasida ish olib boradi. Ushbu asarlardan biri - Bernuvli formulasi bo'lib, bu mustaqil sharoitda ma'lum bir voqea ehtimolini aniqlashga imkon beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, eksperimentning paydo bo'lishi paydo bo'lishiga bog'liq emas yoki ilgari o'tkazilmagan yoki keyingi testlarda paydo bo'lgan hodisaga bog'liq emas.

Bernuylli tenglamasi:

P n (m) \u003d c n m × p m × m.

Tadbirning paydo bo'lishi (a) har bir sinov uchun o'zgarishsiz (a) o'zgarmaydi. Vaziyat aniq tajriba bo'lib, tajribalarning miqdoridagi tajriba sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formulalar tomonidan hisoblanadi. Shunga ko'ra, savolning raqamini qanday aniqlash bo'yicha savol tug'iladi.

Agar voqea vaqtning mos ravishda bir necha marta sodir bo'lsa, u kelmasligi mumkin. Jihoz vaziyatning barcha natijalari bilan ifodalanishi kerak. Shuning uchun, Qning bir raqami, bu aloqada bo'lmagan voqealar ehtimolini anglatadi.

Endi siz bernuylli formulasini bilasiz (ehtimollik nazariyasi). Yaqinroq ko'rib chiqayotgan vazifalarni hal qilish misollari.

2-vazifa: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan sotib oladi. 6 ta tashrif buyuruvchilar do'konga tashrif buyurishdi. Mehmon sotib olish ehtimoli qanday?

Qaror: Bernuf formulasi yordamida qancha tashrif buyuruvchilar xaridorlar, bittasi sotib olishlari kerakligi noma'lum.

A \u003d "Mehmon sotib oladi."

Bunday holda: p \u003d 0,2 (vazifada ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q \u003d 1-0,2 \u003d 0.8.

n \u003d 6 (do'konda 6 ta mehmon bor). M raqami 0 dan o'zgaradi (xaridor sotib olinmaydi) 6 tagacha (biror narsani sotib olish uchun barcha tashrif buyuruvchilar sotib olinadi). Natijada biz echim olamiz:

P 6 (0) \u003d c 0 6 × p 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Xaridorlarning hech biri sotib olish imkoniyati 0.2621 ehtimolligi bilan sotib olinmaydi.

Bernuylli formulasi qanday (ehtimollik nazariyasi)? Keyingi muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi darajali).

Yuqoridagi misoldan so'ng, savollar qaerda bo'lish kerakligi haqida yuzaga keladi. P raqamiga nisbatan 0 darajaga nisbatan teng bo'ladi. C ga kelsak, uni formulada topish mumkin:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Birinchi misolda M \u003d 0 mos ravishda, C \u003d 1, bu natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, tovarlarni ikki tashrif buyuruvchi sotib olish ehtimoli qanday ekanligini bilib olaylik.

P 6 (2) \u003d c 6 2 × 5 \u003d (6 × 5 × 2 × 2 × 2 × 1 × 2 × 1) × (0,2) 2 × (0,2) 2 × ( 0.8) 4 \u003d 15 × 0.04 × 0,246.

Unchalik qiyin emas. Bernuylli formula, bunga misollar, yuqorida keltirilgan, bu to'g'ridan-to'g'ri tasdiqlanadi.

Formula Poisson

Poisson tenglamasi tasodifiy tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m) \u003d l m / m! × e (- p).

Bunday holda, l [n x p. Bu juda oddiy Poison formulasi (ehtimollik nazariyasi). Yaqinroq deb hisoblagan vazifalarni hal qilish misollari.

3-vazifa.: Zavodda 100000 dona miqdorida qismlarni ishlab chiqardi. Nuqsonli qismning ko'rinishi \u003d 0.0001. 5 ta nuqsonli qismlar partiyada bo'lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh tasodifiy voqeadir va Poison formulasi (ehtimollik nazariyasi) hisoblash uchun ishlatiladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari intizomning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz zarur ma'lumotlarni almashtiramiz:

A \u003d "Tasodifiy tanlangan mahsulot nuqsonli bo'ladi."

p \u003d 0.0001 (tayinlash holatiga ko'ra).

n \u003d 100000 (qismlar soni).

m \u003d 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni oling:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X e -10 \u003d 0.0375.

Shuningdek, Bernufylli formulasi (ehtimollik nazariyasi), yuqorida yozilgan yordamida echimlarning namunalari, Poisson tenglamasi noma'lum e. Aslida, u formulani topish mumkin:

e -LE \u003d LIME N -\u003e ∞ (1-/ n) n.

Biroq, deyarli barcha qadriyatlar mavjud bo'lgan maxsus jadvallar mavjud.

Mutavor Yaplati

Bernuvylli sxemadagi sinovlar soni va biron bir tadbirning va barcha sxemalar bir xil bo'lsa va unda bir qator voqealar va bir qator sinovlar son-sanoqsiz hodisalar va bir qator sinovlar "Laplace formulasi" kabi bir necha bor topilishi mumkin:

P n (m) \u003d 1 / √npq x ph (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Laplace (ehtimollik nazariyasi) formulasini yaxshiroq eslab qolish uchun, quyida yordam berish uchun vazifalarning misollari.

Avval X m ni topamiz, biz ma'lumotlarni (ular yuqorida aytilganlarning hammasi yuqorida ko'rsatilgan) formulada almashtiramiz va 0,025 ni oling. Jadval yordamida biz raqamni (0.025) topamiz, uning qiymati 0,3988 raqamini topamiz. Endi siz formulada barcha ma'lumotlarni almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) \u003d 1/yn / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.388 \u003d 3/4988 \u003d 0,03.

Shunday qilib, reklama varaqasi aniq 267 marta ishlayotgani ehtimoli 0,03.

Formula ko'rlari.

Baynes formulasi (ehtimoliy nazariya), quyida namoyish etiladigan vazifalarni echishda misollar, u bilan bog'liq bo'lgan holatlar asosida tadbirning ehtimolini tavsiflovchi tenglamadir. Asosiy formula quyidagi shaklga ega:

P (a | b) \u003d p (ichida A) x p (a) / p (c).

A va b aniq voqealar.

P (a | b) - shartli bo'lishi mumkin bo'lgan voqea a bo'lishi mumkin.

P (A | a) - Tadbirning shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimoliyat nazariyasi" kichik yo'lning oxirgi qismi bayinsiya formulasi, quyida joylashgan vazifalarni hal qilish misollari.

5-band.: Ombor uchta kompaniyadan telefon olib keldi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar hajmi 25%, ikkinchisida - 60%, uchinchi - 15%. Shuningdek, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha foizi 2%, ikkinchisida esa 4%, uchinchi yillarda 1% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan telefon nuqsonli bo'lishi ehtimolini topish kerak.

A \u003d "tasodifiy telefonni qabul qildi."

Birinchi zavodni tashkil etgan birinchi telefonda. Shunga ko'ra, 2 va 3 ga kirish (ikkinchi va uchinchi fabrikalar uchun) paydo bo'ladi.

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (2) \u003d 0,6; P (3) \u003d 0.15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz kerakli tadbirning shartli ehtimolligini, ya'ni firmalarda nuqsonli mahsulotlarning ehtimolligini topishingiz kerak:

P (a / ichida 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / ichida 2) \u003d 0,04;

P (a / ichida 3) \u003d 0,01.

Endi biz bayzazlar formulasidagi ma'lumotlarni almashtiramiz va quyidagilarni olishamiz:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0.4 + 0,15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Maqola ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollarini keltirilgan, ammo bu faqat aysberg keng intizomining verteksi. Va yozilgandan so'ng, hayotda ehtimollik nazariyasi zarurligini so'rash mantiqan. Javob berish uchun oddiy odamga javob berish qiyin, u o'z yordami bilan, uck-terni buzmaganligi haqida so'rash yaxshidir.

Qisqa nazariya

Tadbirlarni miqdoriy taqqoslash uchun ularning tashqi ko'rinishi darajasida soniy jihatdan o'lchov joriy etilgan, bu voqea ehtimoli deb ataladi. Tasodifiy voqea ehtimoli Tadbirning paydo bo'lishining ob'ektiv ehtimoli o'lchovining ifodasi ifodasi deb nomlanadi.

Voqealarni hisoblash uchun qanday maqsadli asoslar voqea ehtimoli ehtimolning ehtimolligi bilan ajralib turadi. Ta'kidlash kerakki, ehtimollik o'rganish va tadbirning paydo bo'lishiga hissa qo'shadigan barcha sharoitlar tufayli mavjud bo'lgan ob'ektiv qiymat ekanligini ta'kidlash kerak.

Ehtimollar tushunchasi biz matematik ta'rif emas, chunki ular bu kontseptsiya miqdorini aniqlamaydilar. Tasodifiy voqealar (klassik, aksiomommatik, statistik, statistik va boshqalar) tasodifiy tadbirning bir nechta ehtimolliklari mavjud.

Tadbir ehtimolini klassik ta'rif Ushbu kontseptsiyani yanada boshlang'ich tushuncha bilan qo'llab-quvvatlaydi, bu endi aniqlanmagan va sezgir deb taxmin qilingan. Masalan, agar suyak suyagi bir hil kub bo'lsa, unda bu kubning har qanday qirralarining tushishi voqealarga teng bo'ladi.

Ishonchli voqea muvozanat holatida ishonchli voqea almashsin, uning miqdori voqea beradi. Ya'ni, ushbu tadbirga parchalanadigan kasallik deb ataladigan holatlar, chunki ulardan birining paydo bo'lishi rad etadi.

Tadbirlarning ehtimoli belgi bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimoli shundaki, unga yoki raqamga teng va nomuvofiqliklar umumiy sonidan, I.E.

Bu klassik ehtimollik ta'rifi. Shunday qilib, hodisa ehtimolini topish, testning turli natijalarini aniqlash, ularning umumiy sonini hisoblash uchun faqat mumkin bo'lgan, teng va nomuvofiq holatlarning to'plamini, ularning umumiy sonini hisoblash uchun faqat teng va nomuvofiq holatlar to'plamini topishi kerak Ushbu tadbir va keyin yuqoridagi formulaga muvofiq hisob-kitobni hisoblang.

Tajriba natijalari bo'yicha umumiy sonning umumiy soniga teng bo'lgan tajriba tajribasi sonining soniga teng bo'lgan hodisaning ehtimoli deb ataladi klassik ehson Tasodifiy voqea.

Sarzlash quyidagi ehtimollik xususiyatlarini oqadi:

Mulk 1. Ishonchli tadbirning ehtimolligi birga teng.

Mulk 2. mumkin bo'lmagan voqeaning ehtimolligi nolga teng.

Mulk. Tasodifiy voqea ehtimolligi nol va birlik o'rtasida tuzilgan ijobiy raqam.

Mulk 4. To'liq guruhni shakllantirish ehtimoli bir narsaga teng.

5-mulk 5 Qarama-qarshi hodisa ehtimoli A hodisaning paydo bo'lishi ehtimoli bilan bir xil tarzda belgilanadi.

Qarama-qarshi voqea paydo bo'lishiga yordam beradigan holatlar soni. Bu yerdan qarama-qarshi hodisaning ehtimolligi bu birlik va voqea o'rtasidagi farqga teng:

Tadbir ehtimolining klassik ta'rifining muhimligi shundaki, uning yordami bilan, tadbirning ehtimoli eksperimentga murojaat qilmasdan va mantiqiy fikrlash asosida aniqlanishi mumkin.

Murakkab shart-sharoitlarni bajarayotganda ishonchli voqea albatta amalga oshadi va mumkin bo'lmagan narsa bu majburiy bo'lmaydi. Tadbirlar majmuasini yaratishda, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan holatlar yuzaga kelishi mumkin, ba'zilar ro'y berishi mumkin, ba'zilarning ko'rinishi katta bazaga, boshqalarning tashqi ko'rinishi bilan kichikroq asosga ega. Agar, masalan, qora sharqlarning qora kosasidan ko'proq, keyin qora idishning ko'rinishi bilan bir qatorda, otdan ko'proq sabablarga ko'ra oq piyola paydo bo'lishiga umid qiling.

Muammoni hal qilish misoli

1-misol.

8 ta oq, 4 qora va 7 ta qizil to'p bor. Yo'nalish 3 ta to'pni oldi. Quyidagi voqealar uchun ehtimolliklarni toping: - kamida 1 ta qizil to'p olinadi - kamida bitta rangli bir rang mavjud, - kamida bitta rang mavjud.

Muammoni hal qilish

Sinov natijalarining umumiy soni 3 (8 + 4 + 7) bo'lgan bir qator kombinatsiyalar sifatida 3:

Tadbir ehtimolini toping - kamida 1 ta qizil to'pni (1,2 yoki 3 ta qizil to'p) chiqarib tashlandi

Kerakli ehtimollik:

Tadbir - kamida ikkita piyola bitta rang (2 yoki 3 ta oq to'p, 2 yoki 3 qora ballar va 2 yoki 3 ta qizil to'plar mavjud)

Tadbirlarga olib boriladigan natijalarning soni:

Kerakli ehtimollik:

Tadbir - kamida bitta qizil va 1 ta oq to'p mavjud

(1 qizil, 1 oq, 1 qora yoki 1 qizil, 2 ta oq yoki 2 ta qizil, 1 oq)

Tadbirlarga olib boriladigan natijalarning soni:

Kerakli ehtimollik:

Javob:P (a) \u003d 0.773; p (c) \u003d 0.7688; P (d) \u003d 0.6068

2-misol.

Ikkita pichoqli suyaklar tashlandi. Ballar soni 5 dan kam bo'lmaganligi ehtimolini toping.

Qaror

Voqea - kamida 5 ball miqdori

Biz klassik ehtimollik ta'rifidan foydalanamiz:

Mumkin bo'lgan sinov natijalarining umumiy soni

Siz qiziqtirgan voqea uchun testlar soni

Birinchi o'yin kubining yiqilgan yuzida bir nuqta paydo bo'lishi mumkin, ikkita nuqta, oltita ochko. Shunga o'xshab, ikkinchi kubni otish paytida olti natija mumkin. Birinchi zarni tashlashning har biri ikkinchisining har biri bilan birlashtirilishi mumkin. Shunday qilib, mumkin bo'lgan boshlang'ich sinov natijalarining umumiy soni takrorlashlar bilan joylashish (2-jildning umumiy hajmidan 2 elementni joylashtirish bilan tanlash):

Qarama-qarshi hodisaning ehtimolini toping - ballar soni 5 dan kam

Sevimli tadbir yoriq ballar kombinatsiyasi bo'ladi:

Ehtimoliyatning geometrik ta'rifi belgilanadi va keng qamrovli yig'ilish vazifasini hal qilish.

Ehtimollar nazariyasi matematikaning juda keng tarqalgan mustaqil bir qismi. Maktab yilida ehtimollik nazariyasi juda yuzaki deb hisoblanadi, ammo bu mavzu bo'yicha vazifalar mavjud. Biroq, maktab kursining vazifalarini hal qilish unchalik qiyin emas (hech bo'lmaganda arifmetik operatsiyalar bilan bog'liq) - bu erda siz derivativlarni hisobga olmaysiz, integonik trigonometrik o'zgarishlarni hal qiling - asosiysi ishlov berish imkoniyatiga ega oddiy raqamlar va fraktsiyalar.

Ehtimollar nazariyasi - asosiy atamalar

Ehtimollar nazariyasining asosiy shartlari sinovdan, natijasi va tasodifiy voqea. Ehtimoliyat nazariyasidagi test, tajriba deb ataladi - tanga otish uchun kartani torting, ushbu testlarning barchasi. Sinovning natijasi, siz allaqachon taxmin qilganingizdek, natijasi.

Tasodifiy voqea nima? Ehtimollar nazariyasida test ko'plab natijalarga ko'p marotaba amalga oshiriladi deb taxmin qilinadi. Tasodifiy voqea ko'plab sinov natijalariga aylanadi. Masalan, agar siz tanga tashlasangiz, ikkita tasodifiy voqealar sodir bo'lishi mumkin - burgut yoki shoshilish tushadi.

Natija va tasodifiy voqeani chalkashtirib yubormang. Natija bitta sinov natijasidir. Tasodifiy voqealar turli xil mumkin bo'lgan natijalardir. Aytgancha, bunday atama imkonsiz voqea kabi. Masalan, standart o'yin kubida "8 raqamni tushirib yubordi" voqea mumkin emas.

Ehtimoliyatni qanday topish mumkin?

Barchamiz qanday ehtimollikni tushunamiz va ko'pincha bu so'zni lug'atda ishlatamiz. Bundan tashqari, biz biron bir hodisaning ehtimolligi to'g'risida ba'zi bir xulosalar chiqara olamiz, masalan, qor derazasi ortida, biz yozda emas, deb aytishingiz mumkin. Biroq, ushbu taxminni necha marta ifoda etish kerak?

Ehtimoliyatni topish uchun formulalarni joriy qilish uchun biz boshqa kontseptsiyani - qulay natijani, I.E. ma'lum bir voqea uchun qulay bo'lgan natijani taqdim etamiz. Ta'rif juda noaniq, shubhasiz, muammoning holatida, natijalardan qaysi biri qulayligi aniq.

Masalan: 25-sinfda, ulardan uchtasi kati. O'qituvchi Olya Bays tayinlaydi va unga sherik kerak. Hamkor pariyaga aylanishi ehtimoli nima?

Ushbu misolda, qulay natija - Katya sherigi. Birozdan keyin biz bu vazifani hal qilamiz. Ammo avval biz ehtimollikni topish uchun qo'shimcha ta'rif formulasi bilan tanishtiramiz.

• P \u003d A / N, ehtimol, ehtimol, bu qulay natijalarning soni, soni umumiy natijalarning umumiy sonidir.

Maktabdagi barcha muammolar ushbu formuladan biriga aylanib, asosiy qiyinchiliklar odatda natijalarni topishda tashkil etadi. Ba'zan ular juda oddiy, ba'zida - unchalik emas.

Qanday qilib vazifalarni qanday hal qilish kerak?

1-vazifa.

Shunday qilib, endi yuqoridagi vazifani hal qilaylik.

Qulay natijalarning soni (o'qituvchi Katya ni tanlaydi) uchga teng, chunki uch yoshdagi mushuk va umumiy natijalar - 24 (25-1, Oliy, chunki allaqachon tanlanganligi sababli). Keyin ehtimollik teng: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0.125. Shunday qilib, Katya 12,5 foizni tashkil etadigan ehtimoli. Bu osonmi? Keling, har tomonlama bir narsani hayratda qoldiramiz.

2-vazifa.

Tanga ikki marta tashlandi, kombinatsiya ehtimoli nima: bitta burgut va bitta shoshilinch?

Shunday qilib, biz umumiy natijalarni ko'rib chiqamiz. Qanday qilib tangalar chiqishi mumkin - Eagle / burgut, Rushka / Rushka, Burgut / Rush, Rushka / burgutmi? Shunday qilib, natijalarning umumiy soni - 4 ta eng ko'p qulay natijalarga ega? Ikkitasi - burgut / shoshilinch va shoshiling / burgut. Shunday qilib, burgut / rushning kombinatsiyasi quyidagilarga teng:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 yoki 50 foiz.

Va endi bunday vazifani ko'rib chiqamiz. 6 tanganing cho'ntagida Masha - ikkita - 5 rubl va to'rtta - 10 rubl dyomini aniqlash. Masha yana 3 ta cho'ntagiga siljidi. 5 ta so'mlik tanga turli xil cho'ntagida bo'ladi deb nima ehtimol?

Oddiylik uchun biz raqamlar bilan tangalarni - 1,2 - besh kishilik tanga, 3,4,5,6 - o'n metrli tangalar bilan belgilaymiz. Xo'sh, tangalar qanday qilib cho'ntagingizda yotadi? Jami 20 kombinatsiya mavjud:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Bir qarashda, ba'zi bir kombinatsiyalar g'oyib bo'lgan, masalan, 231, masalan, 231, bizning holatimizda 123, 231 va 321 kombinatsiyalar tengdir.

Endi bizda juda ko'p qulay natijalarga erishayotganini ko'rib chiqamiz. Ular uchun biz o'sha kombaynlarni 1 raqamli yoki 134, 134, 134, 145, 145, 146, 236, 246, 246, 246, 246, 246, 126, shuning uchun Ehtimollik quyidagilarga teng:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 yoki 60%.

Bu erda keltirilgan ehtimollik nazariyasidagi vazifalar juda oddiy, ammo ehtimol ehtimollik nazariyasi matematikaning oddiy qismidir deb o'ylamang. Agar siz universitetda ta'limni davom ettirishga qaror qilsangiz (gumanitar mutaxassisliklar bundan mustasno), siz ushbu nazariyaning yanada murakkab shartlari bilan tanishasiz va vazifalar ancha murakkab bo'ladi. .

Dastlab, suyakdagi o'yinning axborot va empirik kuzatuvlari bo'lib o'tadigan bo'lib, ehtimollik nazariyasi mustahkam ilmga aylandi. Uning matematik doirasini bergan birinchilar ferma va paskal edi.

Ehtimol, ehtimoliy ehtimollik nazariyasi haqida o'ylashdan

Ko'p fundamental formulalar, Blez Paskal va Tomas va Tomas va Tomas ko'rfazlari majburiy bo'lgan ikkita shaxsiyat, ikkinchisi Preseyteriya ruhoniysi edi. Ko'rinishidan, bu ikki olimning istaklari ba'zi bir boyliklarga bo'lgan istak, uy hayvonlariga omad keltiradi, bu sohada izlanishlarga turtki berdi. Axir, aslida, uning g'oliblari va yo'qotishlari bilan qimor o'ynash matematik printsiplarning simfonidir.

AzaTart Cavallerga rahmat, u bir o'yinchi va ilm-fanga befarq bo'lmagan odam, Paskal ehtimollikni hisoblash uchun yo'l topishga majbur bo'ldi. Dazeta bunday savolga qiziqdi: "Siz 12 ball olish ehtimoli 50 foizdan oshib ketish ehtimoli necha marta ikkita suyakqa tashlanishi kerak?". Ikkinchi savol kavilar bilan juda qiziqadi: "To'filmagan o'yin ishtirokchilari o'rtasida qanday qilib pul tikish kerak?" Albatta, Paskal ikkala savolga ham muvaffaqiyatli javob berdi, bu ehtimollik nazariyasini rivojlantirish uchun majburiy turtki bo'ldi. Qizig'i shundaki, odamning odami adabiyotda emas, balki san'atda tanilgan.

Ilgari, hech qanday matematik hodisalar ehtimolini hisoblash uchun harakat qilmagan, chunki bu shunchaki Gady qaroriga ishongan. Blez Paskal voqea ehtimolligining birinchi ta'rifini berdi va bu matematik vositalar bilan oqlanishi mumkin bo'lgan o'ziga xos raqam ekanligini ko'rsatdi. Ehtimollar nazariyasi statistikaga asos bo'lib, zamonaviy fanda keng qo'llaniladi.

Baxtsiz hodisalar nima

Agar siz cheksiz sonlarni takrorlashingiz mumkin bo'lgan sinovni ko'rib chiqsak, siz tasodifiy voqeani aniqlab olishingiz mumkin. Bu tajribaning ehtimoliy natijalaridan biridir.

Tajriba doimiy sharoitlarda aniq harakatlarning amalga oshirilishi.

Tajriba natijalari bilan ishlash, tadbirlar A, B, C, D, E ...

Tasodifiy voqea ehtimoli

Shunday qilib, ehtimol siz ehtimollikning matematik qismini boshlashingiz mumkin, siz uning barcha tarkibiy qismlarini aniqlashingiz kerak.

Tadqiqot natijasida ma'lum bir voqea (A yoki B) paydo bo'lishining soniy shaklida hodisa ehtimoli aniqlanadi. P (A) yoki P (b) ehtimoli ko'rsatilgan.

Ehtiyotkorlik nazariyasida, farqlang:

• ishonchli Tadbir kafedrani eksperiment (ō) \u003d 1;
• imkonsiz Tadbir hech qachon p (Ø) \u003d 0;
• tasodifiy Tadbir ishonchli va imkonsiz, ya'ni uning tashqi ko'rinishi ehtimoli bor, ammo kafolatlanmagan (har doim 0) ≤ 1 ichida).

Tadbirlar o'rtasidagi munosabatlar

Tadbir kamida bitta komponentlardan, a yoki B yoki ikkalasi bajarilgan holda yoki ikkalasi ham bajarilsa, ham xuddi shu va ikkala voqealar yig'indisini o'ylab ko'ring.

Bir-birlariga nisbatan voqealar quyidagilar bo'lishi mumkin:

• Muvozanat.
• Mos kelmaydi.
• Mos kelmaydi.
• Qarama-qarshi (o'zaro eksklyuziv).
• Bog'liq.

Agar teng ehtimollik bilan ikkita hodisa yuz bersa, unda ular muvozanat.

Agar biron bir hodisa paydo bo'lishi bo'lsa va bodisaning paydo bo'lishi ehtimolini kamaytirmasa, unda ular mos kelmaydi.

Agar a va b hodisalar bir vaqtning o'zida bir vaqtning o'zida hech qachon bo'lmaydi, ular deb nomlanadi mos kelmaydigan. Tangalar otish yaxshi o'rnakdir: shoshilishning ko'rinishi burgutning aybi avtomatik ravishda.

Bunday nomuvofiq voqealar miqdorining ehtimolligi har bir tadbirning ehtimolidan iborat:

P (A + C) \u003d P (a) + p (c)

Agar bitta tadbir boshlanishi boshqalarni uchratib etish imkonsiz bo'lsa, ular qarama-qarshi deb ataladi. Keyin ulardan biri a va ikkinchisi sifatida belgilanadi ("emas"). Hodisaning ko'rinishi ro'y bermagan degani. Ushbu ikki hodisa 1 ga teng ehtimollik summasi bilan to'liq guruhni tashkil qiladi.

Qarama-qarshi tadbirlar o'zaro ta'sirga, bir-birining ehtimolini kamaytiradi yoki kuchaytiradi.

Tadbirlar o'rtasidagi munosabatlar. Misollar

Misollar ehtimollik nazariyasi va tadbirlari kombinatsiyasining tamoyillarini tushunish osonroq.

O'tkazib yuboriladigan tajriba qutidan to'plarni tortib olishdir va har bir tajriba natijasi elemental natijadir.

Ushbu tadbir tajriba natijalaridan biri - qizil to'p, ko'k to'p, bir necha raqamli to'p va boshqalar.

1-raqam. 6 ta to'p aralashib boradi, ulardan uchtasi ko'k rangga bo'yalgan, toq sonlar ularga qo'llaniladi va boshqa uch kishi qizil rang bilan qizil rangga ega.

2 raqami. 6 tadan oltitagacha bo'lgan 6 ta ko'k to'plar jalb qilinadi.

Ushbu misol asosida siz kombinatsiyalarni chaqirishingiz mumkin:

• Ishonchli voqea. Ichida №2 voqea "ko'k to'pni oling" ishonchli, chunki uning paydo bo'lishi ehtimoli 1 ga teng, chunki ko'k va sog'inolmaydi. Holbuki voqea "1 raqamli to'pni olish" tasodifiydir.
• Mumkin bo'lmagan voqea. Ichida №1 ko'k va qizil to'plar bilan "Binafsharang to'pni oling", chunki uning paydo bo'lishi ehtimoli 0.
• Teng voqealar. Ichida №1 voqealar "to'pni 2 raqam bilan to'plang" va "to'pni oling" va "to'pni 3 raqamli to'p oling" va "Hujayra bilan to'pni oling" va "2 raqami bilan to'pni oling" va "2 raqami bilan to'pni oling" va "2 raqami bilan to'pni oling" va "2 raqami bilan to'pni" olib boring. .
• Mos keladigan voqealar. O'yin suyakini tashlash jarayonida ketma-ket ikki marta - bu mos keladigan voqealardir.
• Mos kelmaydigan voqealar. Bir xil ISP-da. №1 voqealar "Qizil to'pni oling" va "To'pni toq son bilan oling" bir xil tajribada birlashtirib bo'lmaydi.
• Qarama-qarshi hodisalar. Buning eng ajoyib misoli tangalarni tashlashdir, burgutni tortib olish daryoning asir bo'lmaganiga va ehtimolligi summasi har doim 1 (to'liq guruh).
• Qaram voqealar. Shunday qilib, ISPda. №1 Siz golni qo'yib, qizil balonni ketma-ket olib tashlashingiz mumkin. Uning olish yoki noma'lumligi birinchi marta ikkinchi marta qazib olish ehtimoliga ta'sir qiladi.

Ko'rinib turibdiki, birinchi voqea ikkinchi (40% va 60%) ehtimolga ta'sir qiladi.

Tadbir ehtimoli formulasi

Aniq ma'lumotlarga oldingi fikrlardan o'tish mavzularni matematik samolyotga tarjima qilish bilan bog'liq. Ya'ni, "yuqori ehtimollik" yoki "minimal ehtimoli" kabi tasodifiy voqea haqida aniq bir sonli ma'lumotlarga o'tkazilishi mumkin. Bunday materiallar yanada murakkab hisob-kitoblarni baholash, taqqoslash va joriy etishga joizdir.

Hisoblash nuqtai nazaridan, tadbir ehtimoli aniqroqligi - bu nisbatan ijobiy natijalarning sonining nisbatan nisbatan ijobiy natijalarning yuqori natijalari miqdorini nisbatan nisbatan aniq bir tadbirning barcha natijalari miqdorining nisbati. Bu P. (A) ning ehtimolligi bilan ko'rsatilgan, u erda R Fransuzdan "ehtimollik" deb tarjima qilingan "probabilit" so'zini anglatadi.

Shunday qilib, ehtimollik formulasi hodisasi:

Bu erda m - ushbu tajriba uchun barcha natijalarga erishish mumkin bo'lgan barcha natijalarning yig'indisi Bunday holda, voqealar ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha:

0 ≤ P (a) ≤ 1.

Tadbir ehtimolini hisoblash. Misol

Afsunni oling. Ilgari tasvirlangan to'plar bilan №1 1/3/5 va 3-sonli qizil rangli 3/4/6 raqamlari bo'lgan 3 ta ko'k to'plar.

Ushbu sinov asosida bir nechta turli xil vazifalarni ko'rish mumkin:

• A - qizil idishning yo'qolishi. Qizil to'plar 3 va jami variantlari 6. Bu voqea ehtimolligi p (A) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - hatto sonni yo'qotish. Hammasi bo'lib 3 (2,4,6) va mumkin bo'lgan raqamli variantlarning umumiy soni 6. Ushbu tadbirning ehtimolligi p (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C mumkin bo'lgan natijalarning umumiy miqdoridan 4 (3,4,5,6) dan kattaroq bo'lgan raqamni (3,4,5,6) yo'qotishi mumkin. 6 ga teng bo'lgan voqea ehtimoli. Teng (c) \u003d 4/6 \u003d 0.67 .

Hisob-kitoblardan ko'rinib turibdiki, C tadbiri katta ehtimolga ega, chunki ijobiy natijalar soni A va V ga qaraganda yuqori bo'ladi.

Noto'g'ri voqealar

Bunday voqealar bir vaqtning o'zida bir xil tajribada ko'rinmaydi. Kabi №1 bir vaqtning o'zida ko'k va qizil to'pga etib borolmaydi. Ya'ni, siz ko'k yoki qizil to'pni olishingiz mumkin. Xuddi shu tarzda o'yin suyagi, hatto va toq son bir vaqtning o'zida bo'lishi mumkin.

Ikki hodisaning ehtimolligi ularning summasi yoki ishining ehtimoli hisoblanadi. Bunday hodisalar miqdori A + B, A yoki B hodisasi paydo bo'lishidan iborat bo'lib, ularda ham AW ikkalasi ham ikkalasining ko'rinishi bilan bog'liq. Masalan, darhol ikkita kubning qirralarini bitta otishma-da ikki kubning paydo bo'lishi.

Bir nechta tadbirlarning yig'indisi kamida bittaning paydo bo'lishiga bog'liq voqea. Bir necha tadbirlarning ishi barchaning tashqi ko'rinishi.

Ehtimol, qoida tariqasida, qoida tariqasida, birlashmadan foydalanish "va" birlashma miqdorini, birlashma "yoki" kasanament "yoki" ko'p ko'paytirish. Misollar bilan formulalar ehtimollik nazariyasida qo'shimcha va ko'payishning mantiqiyligini tushunishga yordam beradi.

To'liq bo'lmagan voqealar ehtimoli

Agar nomuvofiq hodisalar ehtimoli hisoblanadi, hodisalar miqdorining ehtimolligi ularning ehtimolliklari qo'shilishiga teng:

P (A + C) \u003d P (a) + p (c)

Masalan: Men kompyuterda bo'lgan ehtimolni hisoblayman. №1 ko'k va qizil to'plar bilan 1 va 4. bir harakat emas, balki boshlang'ich tarkibiy qismlarning ehtimolliklari soniga kirmaydi. Shunday qilib, ushbu tajribada faqat 6 ta to'p yoki 6 ta natijalarning 6 ta natijalari. Shartni qoniqtiradigan raqamlar - 2 va 3. 2-rasmning ehtimoli 1/6, 3-rasmning ehtimoli 1/6 ni tashkil qiladi. Raqam 1 dan 4 gacha tushishi ehtimoli quyidagilardan iborat:

To'liq guruhning mos kelmaydigan voqealar ehtimoli 1 ga teng.

Shunday qilib, agar kub bilan tajriba bo'lsa, barcha raqamlarning pasayish ehtimolini keltirsa, natijada biz birlikni olamiz.

Shuningdek, bu qarama-qarshi voqealar uchun ham to'g'ri, masalan, bir tomoni a va boshqa tomoni bo'lgan tanga bilan tajriba, va boshqasi esa qarama-qarshi voqea

P (a) + p (Ā) \u003d 1

Noma'lum bo'lmagan voqealarning ehtimoli

Ikki yoki undan ortiq to'liq bo'lmagan voqealarning paydo bo'lishi paytida ehtimoliy ehtimollikni ko'paytirish qo'llaniladi. A va B voqealari bir vaqtning o'zida, ehtimoliy ehtimollik mahsulotiga teng bo'ladi yoki:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Masalan, ISP-dagi ehtimoli. №1 ikkita urinish natijasida ko'k to'p ikki marta ko'rinadi

Ya'ni, biron bir hodisaning paydo bo'lishining ehtimolligi, to'plarni olib tashlash bilan ikkita urinish natijasida faqat ko'k to'plar 25% ga teng bo'ladi. Ushbu vazifaning amaliy tajribalarini bajarish juda oson va bu haqiqatan ham shundayligini ko'ring.

Qo'shma tadbirlar

Voqealar ulardan birining paydo bo'lishi boshqasining paydo bo'lishiga to'g'ri kelishi mumkin bo'lgan paytda ko'rib chiqiladi. Ular qo'shma ekanligiga qaramay, mustaqil tadbirlarning ehtimoli hisoblanadi. Masalan, ikkita suyakni otish, ularning ikkalasiga ham to'g'ri keladi va bir vaqtning o'zida to'g'ri kelgan bo'lsa ham, ular bir-biridan mustaqil - faqat oltitasi unga ta'sir ko'rsatmaydi .

Qo'shma tadbirlarning ehtimoli ularning summalarining ehtimoli hisoblanadi.

Qo'shma tadbirlar yig'indisi ehtimoli. Misol

Bir-birining bir-biriga rioya qilishda A va B voqealari miqdorining ehtimolligi, tadbirning ehtimoli (ya'ni qo'shni amalga oshirish) bo'lgan tadbir ehtimoli miqdorini (qo'shma amalga oshirish) olib boradi:

P qo'shma. (A + c) \u003d p (a) + p (b) - p (AV)

Aytaylik, nishonga bitta zarbani ochish ehtimoli 0,4. Keyin voqea A - birinchi urinishda maqsadga zarba berish, ikkinchisida. Ushbu tadbirlar qo'shma, chunki nishonni urish va ikkinchisidan va ikkinchi zarbalardan o'tishi mumkin. Ammo voqealar bog'liq emas. Ikki kadrdan olingan maqsadli mag'lubiyatning paydo bo'lishi ehtimoli qanday (kamida bitta)? Formulaga muvofiq:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Savolga javob quyidagicha: "Ikkita kadrdan golga tushish ehtimoli 64%."

Ushbu tadbir ehtimolligi formulasi, shuningdek, Tadbirning paydo bo'lishi ehtimoli bilan ham tegishli bo'lishi mumkin, bu voqea holatining paydo bo'lishi ehtimoli, bu to'liq bo'lmagan voqealar ehtimoli taklif etilgan formulaga olib kelishi mumkin.

Ehtimol, aniqlik uchun geometriya

Qizig'i shundaki, qo'shma tadbirlar miqdorining ehtimolligi ikki mintaqa va b kesishadigan ikki mintaqa sifatida taqdim etilishi mumkin. Rasmdan ko'rinib turibdiki, ularning birlashmasining maydoni o'zaro chorrahalarining bir daqiqasi daqiqasiga tengdir. Ushbu geometrik tushuntirish birinchi qarashda birinchi qarashda yanada tushunarli emas. E'tibor bering, geometrik echimlar ehtimollik nazariyasida kam uchraydi.

To'plam summasi ehtimolini aniqlash (ikkidan ortiq) qo'shma tadbirlar juda noqulay. Uni hisoblash uchun siz ushbu holatlar uchun taqdim etilgan formulalardan foydalanishingiz kerak.

Qaram voqealar

Qarama-qarshi tadbirlar, agar ulardan biri (a) ning hujumlari boshqa bir (b) ehtirosiga ta'sir qilsa, deyiladi. Bundan tashqari, tadbirlarning ta'siri A va uning kamchiliklari hisobga olinadi. Hodisalar ta'rifga bog'liq bo'lsa-da, lekin ulardan faqat bittasi (b) bog'liq. Odatiy ehtimollik p b (b) yoki mustaqil tadbirlarning ehtimoli sifatida belgilandi. Qarindosh bo'lgan taqdirda, yangi kontseptsiya joriy qilingan - shartli ehtimollik per (b), agar ushbu hodisa (gipoteza) bo'lsa, u bog'liq bo'lgan taqdirda, bog'liq bo'lgan voqea.

Ammo, shuningdek, voqea ham tasodifan, shuning uchun sizga kerakli imkoniyatga ega va hisoblangan hisob-kitoblarda hisobga olinishi mumkin. Keyinchalik, misolda qanday ishlash va faraz bilan qanday ishlashi ko'rsatilgan.

Qaramlik hodisalarining ehtimolligini hisoblashning misoli

Qarindosh voqealarni hisoblash uchun yaxshi namuna standart kartochka bo'lishi mumkin.

36 ta kartadagi kemalarning misolida qaram voqealarni ko'rib chiqing. Ilovadan qazib olingan ikkinchi kartani olish ehtimolini aniqlash kerak, agar avval olinmagan bo'lsa:

1. Bubnovy.
2. Boshqa kostyum.

Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tadbirning ehtimolligi birinchi savolga bog'liqligi aniq, shuning uchun birinchi variant haqiqat bo'lsa (35) va 1 ta burilish (8) va 1 ta burilish (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq (8) kamroq, tadbirning ehtimoli bor.

P a (b) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Agar ikkinchi variant adolatli bo'lsa, kema 35 ta kartaga aylandi va ramburin (9) ning umumiy soni saqlanib qolmoqda, keyin keyingi tadbirda quyidagilar mavjud:

P a (b) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Ko'rinib turibdiki, agar voqea birinchi kartaning ramzi bo'lsa, unda voqeaning pasayishi ehtimoli bo'lsa va aksincha.

Qarindoshlik bilan bog'liq voqealar

Oldingi bobga yo'naltirilgan birinchi tadbirni (a) haqiqat sifatida qabul qilamiz, ammo agar biz aslida aytsak, bu tasodifiy belgiga ega. Ushbu hodisaning ehtimolligi, ya'ni karturinni kartalar kemasidan qazib olish, quyidagilarga teng:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Nazariy o'z-o'zidan mavjud bo'lmagan, ammo amaliy maqsadlarda xizmat qilish uchun mo'ljallanganligi sababli, qaramlik mahsulotining mahsulotining ehtimolligi ko'pincha kerak bo'lgan narsadir.

Teoremning so'zlariga ko'ra, qaramlikdagi bog'liq hodisalar ehtimolidagi, birgalikda bog'liq hodisalar paydo bo'lishi ehtimoli A va B bir tadbirning shartli ehtimolligidan (qaram) taxminiy ehtimoli bilan ko'paytirilgan.

P (AB) \u003d P (a) * p a (b)

Keyin kepkaning misolida, quyruqning Mahi bilan ikkita kartani qazib olish ehtimoli:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571 yoki 5.7%

Va qazib olish ehtimoli avval uilzin emas, keyin esa konlari teng:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19 yoki 19%

Shuni ko'rish mumkinki, tadbirning paydo bo'lishi natijasida paydo bo'lgan bo'lsa, birinchi ekstraksiya kartasi ramuqdan olinadi. Ushbu natija juda mantiqiy va tushunarli.

Tadbirning to'liq ehtimoli

Shartli ehtimollik bilan bog'liq muammo ko'p qirrali bo'lsa, odatdagi usullarni hisoblab bo'lmaydi. Farazlar ikkidan ko'p bo'lsa, ya'ni A1, A2, ..., va N, ... To'rtinchi tadbirlar guruhini sovutish:

• P (a i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ↑, a j \u003d Ø, i j.
• S k k \u003d ō.

Shunday qilib, A1, A2, ..., va N va n:

Kelajakka qarash

Tasodifiy voqeaning ilm-fanlar ehtimoli juda zarur: iqtisod, statistika, fizika va boshqalarda, chunki ba'zi jarayonlar aniqlanmaydi, chunki ularning o'zlari fohishalistik xususiyatga ega, ishning maxsus usullari zarur. Hodisa ehtimoli nazariyasi har qanday texnologik sohada xato yoki nosozlikni aniqlash usuli sifatida foydalanish mumkin.

Aytish mumkinki, biz ehtimollikni o'rganish, biz kelajakda nazariy qadamni qandaydir tarzda, formulani prizmasi orqali ko'rib chiqamiz.

Dunyodagi hamma narsa aniqlanadi yoki tasodifan ...
Aristotel

Ehtimollik: asosiy qoidalar

Ehtimollar nazariyasi turli tadbirlarning ehtimolligini hisoblaydi. Ehtimoliyat nazariyasidagi asosiy voqea tasodifiy hodisaning kontseptidir.

Masalan, siz tanga tashlaysiz, bu tasodifiy qo'llar yoki keng qamrab oladi. Siz oldindan taniganingiz haqida oldindan bilmaysiz. Siz sug'urta shartnomasiga kirasiz, siz oldindan to'lovlar bo'lmaydi yoki yo'qligini oldindan bilmaysiz.

Aktuar hisob-kitoblarda, siz turli xil tadbirlar ehtimolini baholashingiz kerak, shuning uchun ehtimoliy nazariya muhim rol o'ynaydi. Boshqa boshqa matematika sohasi tadbirlar ehtimoli bilan ishlashi mumkin emas.

Tanganni tashlash uchun batafsilroq ma'lumot bering. 2 ta eksklyuziv chekinish bor: qo'llarning qopqog'ini yoki shoshilishning yo'qolishi. Zanjirning natijasi tasodifiydir, chunki kuzatuvchi natijaga ta'sir qiladigan barcha omillarni hisobga olmaydi va hisobga olinmaydi. Gerbning ehtimoli nima? Ko'pchilik javob beradi, lekin nega?

Rasmiy ravishda ruxsat bering Lekin Qo'llarning qopqog'ini anglatadi. Tangalar shoshilsin N. vaqt. Keyin tadbirning ehtimoli Lekin Qurollarning paltosi tushishi natijasida ushbu tashish ulushini aniqlash mumkin:

qayerda n. Umumiy tashlanadigan ot n (a) Qo'llardagi qoplamalar soni.

Munosabat (1) chaqirilgan chastota Voqealar Lekin Uzoq sinovlarda.

Shuni ma'lum qiladiki, turli xil sinovlarda katta chastota n. ba'zi doimiy qadriyatlar haqida o'sadi R (a). Ushbu qiymat chaqiriladi hodisa ehtimoli Lekin Va xatni bildiradi R- inglizcha so'zdan qisqartirish ehtimollik - ehtimollik.

Rasmiy ravishda bizda:

(2)

Ushbu qonun deb nomlangan ko'p sonli qonun.

Agar tanga to'g'ri bo'lsa (nosimmik) bo'lsa, qo'llarning ko'tarilishining ehtimoli daryoning yo'qolishining ehtimoliga tengdir va ular ½ ga teng.

Bo'linmoq Lekin va Ichida Masalan, ba'zi tadbirlar, sug'urta hodisasi sodir bo'lgan yoki yo'q. Ikkita tadbirni birlashtirish tadbirni amalga oshirishda tashkil etilgan tadbir. Lekin, tadbirlar Ichidayoki ikkala tadbir ham birgalikda. Ikki tadbirning kesishishi Lekin va Ichida Ikkala tadbirni amalga oshirishda bo'lgan tadbir deb nomlangan Lekinva voqealar Ichida.

Asosiy qoidalar Voqealar ehtimolligi hisob-kitoblari quyidagicha:

1. Har qanday hodisaning ehtimolligi nol va birlik o'rtasida tuziladi:

2. BUNING BIRINCHI VA BIRINChI BOSING:

Shunga o'xshash o'qing: Ikkita tadbirni birlashtirish ehtimoli ushbu tadbirlarning ehtimoliy ehtimolligi yig'indisiga tengdir. Agar voqealar to'liq bo'lmagan yoki qisqa umr bo'lsa, ikkita tadbirni (miqdorini) birlashtirish ehtimoli ehtimollik summasiga tengdir. Ushbu Qonunga qonun deb ataladi qo'shimcha qo'shimchalar ehtimol.

Tadbirda ma'lum bir hodisalarni tahlil qilganda, voqealar amalga oshirilgan bo'lsa, voqealar amalga oshsa, voqealar amalga oshiriladi, deymiz. Ichida Voqealarda Lekin. Buning uchun joriy qilingan shartli ehtimollik :

(4)

Shunga o'xshash o'qing: hujum ehtimoli Lekin shartiga ko'ra Ichida chorrahaning ehtimolligini tenglashtiradi Lekin va Ichidavoqea ehtimoliga bo'linadi Ichida.
Formulada (4), tadbir ehtimoli deb taxmin qilinadi Ichida Noldan yuqori.

Formula (4) quyidagicha yozilishi mumkin:

(5)

Ushbu formula ehtimolliklarni ko'paytirish.

Shartli ehtimollik ham ham deyiladi opasteror Hodisa ehtimoli Lekin - hujum ehtimoli Lekin Oxiratdan keyin Ichida.

Bunday holda, ehtimollik deyiladi aori ehtimollik. Aktuar hisob-kitoblarda intensiv qo'llaniladigan yana bir muhim formulalar mavjud.

Formula to'liq ehtimoli

Aytaylik, tajriba oldindan amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tajriba o'tkaziladi. o'zaro Eksklyuziv taxminlar (farazlar):

Biz gipoteza yoki ... ham, deb taxmin qilamiz. Ushbu farazlarning ehtimolliklari ma'lum va teng:

Keyin formula bor to'la ehtimol :

(6)

Tadbirning ehtimoli Lekin hujum ehtimoli miqdoriga teng Lekin Har bir gipoteza bilan bu gipoteza ehtimoli bilan.

Formula ko'rlari.

Formula ko'rlari. Natijada yangi ma'lumotlar asosida gipotezalar ehtimolini qayta hisoblashga imkon beradi Lekin.

Bayula formulasi ma'lum ma'noda to'liq ehtimollik formulasining teskari.

Quyidagi amaliy vazifani ko'rib chiqing.

1-vazifa.

Aytaylik, samolyot halokati va ekspertlar uning sabablarini o'rganishda shug'ullanadi. Buning 4 sababi bor, bunda falokat sodir bo'lgan: sabab yoki yoki yoki yoki yoki yoki yoki yoki yoki. Mavjud statistikaga ko'ra, bu sabablar quyidagi ehtimolliklarga ega:

Tabiiy ofatlar joyini o'rganayotganda, yoqilg'i yoqishning izlari topildi, statistikaga ko'ra, ushbu tadbirning muayyan sabablari bilan ushbu tadbir ehtimolligi:

Savol: Falokatning sababi nimada?

Tadbir paydo bo'lishining sabablari ehtimolligini hisoblang Lekin.

Ko'rinib turibdiki, birinchi sabab eng ehtimol, chunki uning ehtimolligi maksimaldir.

2-vazifa.

Samolyotni aerodromda qo'nishni ko'rib chiqing.

Kulishda, ob-havo sharoiti bunday bo'lishi mumkin: kam bulutlilik () kam bulutlilik bor (). Birinchi holatda gullab-yashnagan qo'nish ehtimoli tengdir P1. Ikkinchi holatda - P2.. Bu aniq P1\u003e p2..

Ko'zi ojiz maydonchalar bilan ta'minlaydigan qurilmalar muammosiz muammolarga ega R. Agar ko'r erishning kam bulg'ati va asboblari bo'lsa, uni muvaffaqiyatli qo'nish ehtimoli tengdir P3va P3<Р2 . Ma'lumki, ushbu aerodrom uchun kam bulutlilik bilan yilning ulushi tengdir.

Samolyotning xavfsiz qo'nishi ehtimolini toping.

Imkoniyatni topish kerak.

Ikki o'zaro eksklyuziv variansiya mavjud: Ko'zi ojiz joylashadigan qurilmalar ishlaydi, ko'zi ochildi, shuning uchun bizda:

Shunday qilib, to'liq ehtimollik formulasi:

3-vazifa.

Sug'urta kompaniyasi hayotni sug'urtalash bilan shug'ullanadi. Sug'urtalanganlarning 10 foizi bu kompaniyada chekuvchilar. Agar Sug'urta chekmasa, uning o'limining yil davomida o'lim ehtimoli 0,01 ni tashkil qiladi, agar u chekuvchi bo'lsa, bu ehtimol 0,05.

Yil davomida vafot etgan Sug'urtalangan shaxslar orasida chekuvchilar qancha?

Javoblar variantlari: (A) 5%, (b) 20%, (c) 36%, (d) 56%, (e) 90%.

Qaror

Biz voqealarni tanishtiramiz:

Vazifa shartlari shuni anglatadi

Bundan tashqari, o'nlab juftliklarning to'liq guruhini shakllantiring, so'ngra.
Foiz ehtimoli.

Bayday formulasidan foydalanish, bizda:

shuning uchun variant haqiqatdir ( Ichida).

4-vazifa.

Sug'urta kompaniyasi hayotni sug'urtalash shartnomasini uchta toifaga sotadi: standart, imtiyozli va ultra bilan bog'liq.

Barcha sug'urtalanganlarning 50 foizi standart, 40% - imtiyozli va 10% - ultra bilan bog'liq.

Yil davomida o'lim ehtimoli 1,010, imtiyozli bo'lsa - 0,005 va Ultra imtiyozlari uchun - 0,001.

Marhum Sug'urtasini ultra tikish ehtimoli nima?

Qaror

Biz quyidagi tadbirlarni ko'rib chiqish uchun tanishtiramiz:

Ushbu tadbirlar nuqtai nazaridan, bizga qiziqish ehtimoli. Ahvol:

Tadbirlar, bizda quyidagicha mos kelmaydigan voqealar, bizda quyidagilar mavjud:

Tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning xususiyatlari

Masalan, tasodifiy qiymat olovdan yoki sug'urta to'lovlari miqdorini buzishga imkon bering.
Tasodifiy qiymati uning taqsimlash funktsiyasi bilan to'liq tavsiflanadi.

Ta'rif.Funktsiya chaqqon tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchi ξ .

Ta'rif.Agar o'zboshimchalik bilan bunday funktsiya bo'lsa a. bajarildi