Tirik tizimlarni matematik modellashtirishning o'ziga xos xususiyati. Matematik biologiya

Tirik tizimlarni matematik modellashtirishning o'ziga xos xususiyati. Matematik biologiya
24.09.2019

Biologik tizimlarni etarli matematik apparat bilan tavsiflash usuli. Ta'rif mat. Qurilma biologik tizimlarning ishini etarli darajada aks ettiradi, ularning tasnifi bilan bog'liq murakkab vazifadir. Oddiy tizimlarga ko'ra, shkala bo'yicha badasi tizimlarining tasnifi (davlat raqamlarining logarifm) yordamida minglab davlatlarga, murakkab bo'lgan tizimlar mavjud millionlab va juda murakkab - milliondan ortiq davlatlar. Biosyme tizimining ikkinchi muhim xususiyati - bu davlatlarning ehtimolligini taqsimlash qonuni bilan ifodalangan naqsh. Ushbu Qonunga binoan K.Hannon ishining noaniqligini va nisbiy tashkilotni baholashdagi noaniqlikni aniqlash mumkin. T haqida. Biol. Tizimlar murakkablik bilan tasniflanishi mumkin (Maxiementsement) yoki nisbiy tashkiloti, I.E., Tashkilot darajasi (Biologik tizimlar tashkilotiga qarang).

Tasniflashning diagrammasi Biosentemalar:

Oddiy tizimlar;

Murakkab tizimlar;

Juda murakkab tizimlar;

Probiyslik tizimlar;

Preabilizm va aniqlovchi tizimlar;

Determinist tizimlar.

Shaklda. Biosizimlar tasniflash jadvali, davlat va logarifmlar sonini va tizimni tashkil etish darajasini tavsiflovchi davlatlar sonini va davlatlar logarifm sonini va nisbiy orgatsiya darajasiga ega bo'lgan eng yuqori noaniqlik o'qlarida keltirilgan. Diagrammada tegishli guruhlarning nomlari beriladi, masalan, 8 raqami 8-sonli maydon "juda murakkab prekabilli va aniqlash biosentistik" degan ma'noni anglatadi. Biosizimlarni o'rganish shuni ko'rsatadiki, agar o'rganilgan ko'rsatkichning og'izlarini taqsimlashning uning 1,0 dan 0,3 gacha bo'lsa, shuni taxmin qilishimiz mumkinki, biz bu aniq biosymenme ekanligini taxmin qilishimiz mumkin. Bunday tizimlar boshqaruv tizimlarini o'z ichiga oladi. Ma'murlar, asosan gormonal (kamchilik) boshqaruv tizimlari. Ichki neyron, ichki organlar. Ayrim parametrlarga ko'ra, sfera, metabolik tizimlar, shuningdek, aniqlashuvchan biosyofemalarga ham bog'liq bo'lishi mumkin. Mat. Bunday tizimlarning modellari fizik-kimyoviy moddalarga asoslangan. elementlar yoki tizim tanalari o'rtasidagi munosabatlar. Ushbu holatda modellashtirish kiritish, oraliq va chiqish ko'rsatkichlar dinamikasi. Bunday, masalan, asab hujayralari, yurak-qon tomir tizimining biofizik modellari, qon shakarni boshqarish tizimlari va boshqalar. Mat. Qurilma bunday detvinlistik biosentezatsiyaning xatti-harakatlarini etarlicha tavsiflaydi, farq nazariyasi. va ajralmas ur. Matga asoslangan. Biossiz tizimlar avtomatik boshqaruvni avtomatik boshqarish usullaridan foydalanish, DFF vazifasini muvaffaqiyatli hal qilishda foydalanishi mumkin. Davolashni aniqlash va optimallashtirish. Tekshirish bo'yicha piosinizmni modellashtirish sohasi eng maqbuldir.

Agar o'rganilgan indikator (yoki indikator tizimiga) bo'lgan biosizimlar 0,3 - 0,1 atrofida joylashgan bo'lsa, unda tizimlar prekabilik-detinistik deb hisoblanishi mumkin. Bularga tizimni boshqarish tizimlari kiradi. Rasmiylar asab tartibga solishning aniq tarkibiy qismi bo'lgan (masalan, yurak urishini boshqarish tizimi), shuningdek patologiya holatida gormonal tartibga solish tizimlari. Etarli to'r sifatida. Qurilma diff ko'rsatkichlari o'zgarishi dinamikasining taqdimoti bo'lishi mumkin. Kofirlar bilan urmitlar, ba'zi tarqatish qonunlariga rioya qilish. Bunday biosentmalarni simulyatsiyasi nisbatan zaif rivojlangan, ammo bu kibernetika tibbiyot maqsadlari uchun katta qiziqish uyg'otadi.

Probistik biosentestemlar 0,1 dan 0,1 gacha bo'lgan tashkilotning qiymati bilan tavsiflanadi. Bular atrof-muhit signallari va organizmning reaktsiyalari o'rtasidagi oddiylashtirilgan reaktsiyalar va murakkab munosabatlar, shu jumladan o'quv jarayonlarini o'z ichiga oladi. Etarli to'sig'i. Apparat

bunday biosentlarni aniqlash uchun, aniqlash va tasodifiy media, tasodifiy nazariy jarayonlar bilan o'zaro aloqada bo'lish.

Mat. BosiSystem modellashtirish eksperimental natijalarni statistik ishlov berishni o'z ichiga oladi (biologik tadqiqotlar matematik usullariga qarang), murakkablik va uyushgan biosentmalarni o'rganish, etarli to'sig'i tanlovi. Modellar va parametrlar sonining soniyal qiymatlarini aniqlash. Eksperimental ma'lumotlarga ko'ra modellar (Cybernetik biologik). Oxirgi vazifa umuman juda qiyin. Modellari tomonidan chiziqli different yordamida aniqlangan aniq biosentistlar uchun. URMS, modelning eng yaxshi ko'rsatkichlarini aniqlash (diff. Urnasi) Xatolik kvadratida yaxlitlikni baholash uchun nasl parametridagi bo'shliqda amalga oshirilishi (grentent usuliga qarang). Bunday holda, funktsionalni minimallashtirish uchun siz nasliylikni qo'llashingiz kerak

the T - davr, indikator uchun xarakterli kun, y Biosyme tizimi indikatori, y - eritma matida tajriba egri chizig'i. Modellar. Agar siz eng yaxshisini olishingiz kerak bo'lsa (kvadrat xatosining ajralmas ma'nosida) yaqinlashishi. Biosymemasining turli xil ko'rsatkichlar bo'yicha kamroq ko'rsatkichlar yoki turli xil xarakterli tashqi ta'sirlarda ishlashi uchun modellar, bu xususiy funktsiyalar miqdorini hisoblash usulidan foydalanish, xususiy funktsiyalar miqdorini minimallashtirish mumkin. Matni tanlash uchun bunday tartibni ishlatishda. Modellar bitta koeffitsiyani olish ehtimolini oshirishi mumkin. Qabul qilingan tuzilishga mos keladigan modellar. B. S bilan. mm nafaqat biosentemalar, uning elementlari va elementlarning o'zaro bog'liqligi xususiyatlarini, balki ularning ma'lum umumiy printsiplarini o'rnatish uchun nafaqat "botinlar ishi mezonlarini aniqlash maqsadga muvofiqdir. ishlashi. Yoritilgan. Glushkov v. M. Kirish kibernetikaga kirish. 1964 yil 1964 [Biblik. dan. 319-322]; Biologiya va tibbiyotda modellashtirish, in. 1-3. K., 1965-68; Bush R., Sapeller F. STOSTACKIYA TASHKILOT MOLLARI. Uchun. ingliz tilidan M., 1962 yil. Yu. G. Antiqam.


Gomel, 2003



UNC 57.082.14.002.2.

Ishlab chiqilgan: Starodubtseva M. N., Kuznetsov B. K.

"Biologik jarayonlarni matematik modellashtirish" mavzusida qo'llanma

Qo'lda qo'lda ikkita laboratoriya ishi, biologik jarayonlarni matematik modellashtirish asoslari bilan tanishtirib, ulardan biri (ikkita sinf) kompyuterning kompyuter algebri orqali amalga oshiriladi. Birinchi ishda "Yurak-qon tomir tizimining ishlashini modellashtirish" biologik jarayonlarni, shu jumladan yurak-qon tomir tizimining ishlashi modelini namoyish etadi. Murakkab ob'ektlar faoliyatini modellashtirish, biologik ob'ektning xatti-harakatlarini, shuningdek barqaror va beqaror holatlar, bifursiya, osilatorlar, jarayonlarni sinxronlashtirishni modellashtirish bo'yicha tizimli yondashuv hisoblanadi. Asarning amaliy qismi dam olish paytida qon aylanish parametrlarini hisoblash va tajriba ma'lumotlari va ularni statistik tahlil qilish usullariga qarab yuklash algoritmi mavjud. Kompyuter modellashtirish bilan bog'liq ikkinchi ishda Ma'nati tizimining asosiy usullari (arifmetik iboralar, diniy tenglamalar, differentsial tenglamalar va differentsial tenglamalar tizimining tavsifi ), qurilish grafikasining asoslari, ba'zi statistika funktsiyalari (o'rtacha qiymatni hisoblash, chiziqli regressiya tenglamalari va korrelyatsiya koeffitsientini topish).

Barcha fakultetlarning 1-yilgi tibbiyot muassasalari talabalari uchun.

Sharhlovchilar:

Chenkevich S. N.,

professor, D. B.N, Belgozuniert Sayt fakulteti biofizikasi bo'limi boshlig'i,

Assanjik O. D.,

k.F.-M.N., Gomel davlat texnik universitetining axborot texnologiyalari kafedrasi mudiri. P. O quri.

Institut Ilmiy-uslubiy kengashi tomonidan qo'llanma _____________ 2003, INTICKOL, ____ protokoli, "Biologik jarayonlarning matematik modellashtirish" mavzusida tasdiqlangan

Komon Gomel Davlat Tibbiyot Instituti, 2003 yil

Mavzu: Biologik-matematik modellashtirish

jarayonlar

Laboratoriya ishi 1.

Biologik jarayonlarni matematik modellashtirish.

Yurak-qon tomir ishlashi

tizimlar

Sinflar vaqti - 135 daqiqa.

Maqsad: Yurak-qon tomir tizimining zamonaviy modellarini o'rganish va murakkab biologik ob'ektlarning xatti-harakatlarining holati va identifikatsiyasini baholash uchun modellashtirish usulidan foydalanish samaradorligini ko'rsatish.

1.1. Savollar nazariyasi

1.1.1. Biologik jarayonlarni matematik modellashtirish. Kompleks tizimlarning biofizikasi.

Kompleks biologik tizimning ishlashi, shu jumladan yurak-qon tomir tizimi, uning tarkibidagi elementlar va jarayonlarning tarkibiy qismlarining o'zaro ta'siri natijasidir. Ta'kidlash joizki, harakat turlari (mexanik - kimyoviy - biologik - ijtimoiy-ijtimoiy), harakatning biologik shakli mexanik, fizik yoki kimyoviy shaklga to'liq qisqartirilishi mumkin emasligini yodda tutish kerak va biologik tizimlar ushbu harakatning har qanday turining nuqtai nazaridan to'liq tasvirlab bo'lmaydi. Harakatning ushbu shakllari qimirlashning biologik shaklining modellari, ya'ni o'zining soddalashtirilgan tasvirlari bo'lishi mumkin.

Tizimning birinchi mexanikasi, fizikaviy modelini qurishdan foydalangan holda kompleks biologik tizim jarayonlarini tartibga solishning asosiy printsiplarini aniqlash va keyinchalik matematik funktsiyalarning modellarini tavsiflovchi topilmalar, shu jumladan tenglamalar (matematik modellarni yaratish). Ierarxiya darajasi pastligi modelni osonroq, haqiqiy tizimning eng ko'p omillari hisobga olinmaydi.

Simulyatsiya - bu ma'lum bir kompleks ob'ektni (jarayon, hodisalar) o'rganish soddalashtirilgan analog - modellarni o'rganish bilan almashtirilgan usul. Fizika, kimyoviy, biologik va matematik modellar biofizika, biologiya va tibbiyotda keng qo'llaniladi. Masalan, tomirlarga ko'ra qon oqimi (jismoniy model) suyuqlik harakati bilan modellashtiriladi. Biologik model - bu boshqa murakkab biologik tizimlarning xususiyatlari bilan o'rganilgan tajriba tadqiqot uchun qulay bo'lgan oddiy biologiya ob'ektlari. Masalan, nerv tolali harakatlarining potentsialining paydo bo'lishi va tarqatish naqshlari biologik modelda o'rganildi - ulkan kamogiya qissasi.

Matematik model - bu matematik ob'ektlarning kombinatsiyasidir, ular tadqiqotchilarni qiziqtirgan haqiqiy ob'ektning xususiyatlari va xususiyatlarini aks ettiruvchi. Tegishli matematik model faqat ma'lum ma'lumotlarni jalb qilish bilan, murakkab jarayonlarning mexanizmlari to'g'risida aniq ma'lumotlar va g'oyalar bilan qurilishi mumkin. Qurilishdan so'ng, matematik model o'zining ichki qonunlarida "yashaydi", uning bilimi tizimning o'quv xususiyatlarini aniqlashga imkon beradi (1.1-rasmda sxemani ko'ring.). Simulyatsiya natijalari har qanday xususiyat jarayonlarini boshqarish uchun asosdir.

Biologik tizimlar juda murakkab tarkibiy va funktsional bo'linmalardir.


Anjir. 1.1. Biologik ob'ektni modellashtirishda tizimli yondashuv sxemasi.

Ko'pincha biologik jarayonlarning matematik modellari differentsial yoki farqli tenglamalar shaklida belgilanadi, ammo boshqa turdagi modellarning boshqa turlari ham mumkin. Model qurilgandan so'ng, vazifa uning xususiyatlarini matematik ajratish yoki modernizatsiyalash orqali o'z xususiyatlarini o'rganishga qisqartirildi.

Bir nechta alternativ modellarni o'rganayotganda odatda taklif etiladi. Ushbu modellarning ob'ektga sifatli rioya qilishini tekshiring. Masalan, tebranish rejimlarining mavjudligi modelida barqaror statsionar holatlar mavjudligini aniqlang. Tizim tizimiga eng mos keladigan model asosiy sifatida tanlanadi. Tanlangan model o'quv tizimida ma'lum tizimga nisbatan ko'rsatilgan. Eksperimental ma'lumotlarga ko'ra parametrlarning raqamli qiymatlarini o'rnating.

Murakkab hodisaning matematik modelini topish jarayoni qadamlarga, ketma-ketlik va munosabatlarga bo'linishi, sxema yoki anjirni aks ettiradigan ketma-ketlik va munosabatlarga bo'linishi mumkin. 1.2.


Anjir. 1. 2. Matematik modelning diagrammasi.

1-qadam o'rganilayotgan ob'ektni o'rganish to'g'risidagi ma'lumotlar to'planishiga to'g'ri keladi.

2-bosqichda sifatli xususiyatlar uchun mumkin bo'lgan alternativ modellardan asosli modelni (tenglamalar tizimi) tanlash amalga oshiriladi.

3-bosqichda namunaviy parametrlar eksperimental ma'lumotlarga muvofiq aniqlanadi.

4-bosqichda mustaqil eksperimental ma'lumotlarga oid modelning xatti-harakati amalga oshirilmoqda. Buning uchun qo'shimcha tajribalar o'tkazish kerak.

Modelga "mos kelmaslik" modelini tekshirish uchun eksperimental ma'lumotlar olinsa, ushbu yangi modellarning xususiyatlarini tekshirib, keyinchalik xulosa qilish imkoniyati bo'lgan tajribalarni tekshiring va keyinchalik tajriba o'tkazing ulardan birini afzal ko'rish haqida (5-qadam).

Zamonaviy biologiya matematik va kompyuter usullari bilan keng qo'llaniladi. Matematik usullardan foydalanmasdan, bunday general loyihalarni biomatik tarkibiy tuzilishni, yangi diagnostikani, yangi samarali dori-darmonlarni kompyuter simulyatsiyasini ("Drag-dizayni" kompyuterini simulyatsiya qilish, rejalashtirish choralarini belgilab bo'lmaydi. Epidemiya, sanoat ishi ob'ektlari, biotexnologiya va boshqa atrof-muhitning atrof-muhit oqibatlarini tahlil qilish.

So'nggi o'n yilliklarda biologiyaga matematik usullarni tezkor joriy etish, birinchi navbatda biologik tadqiqotlar tajriba fizik uslubiy usullarini ishlab chiqish bilan bog'liq. Rentgenografiya tarkibiy va spektroskopik (NMR, EPR) usullari, eksperimental natijalarni matematik qayta ishlashsiz DNK ketma-ketligini tahlil qilish mumkin emas.

Boshqa tomondan, matematik usullardan foydalanish ko'plab biologik jarayonlarning asosidagi qonunlarni tushunishga yordam berdi. Tavsiya etilgan adabiyotlarda ko'plab misollar keltirilgan. Ularning aholisidagi tsiklik tebranishlarining xususiyatlari, raqobatdosh turlar uchun raqobatdosh tebranish printsipi, atrof-muhitni ko'paytirish bo'yicha tamoyil, asab impulsining tarqalishi, har xil avtoulovlarning har xil turlari paydo bo'lishining shartlari, har xil avtoulovlarning har xil turlari paydo bo'lishining shartlari, har xil avtoulovlarning har xil turlari paydo bo'lishining shartlari, har xil avtoulovlarning har xil turlari paydo bo'lishi uchun sharoitlar mavjud faol to'qimalarda, xususan yurak mushaklarida va boshqa ko'plab.

Biologik maqsadlar matematikani boyitgan yangi matematik nazariyalarni yaratish tashildi. Piadan Pia-dan Pia-dan (13-asr) aholisining birinchi taniqli matematik modeli (13-asr) - bu Fibonachchi. Keyinchalik yangi matematik ishlab chiqarishga misollar tug'ilish va o'lim, diffuziya jarayoni, dik-diffuziya, cheklovlar bilan bog'liq tenglamalar, evolyutsion o'yinlar nazariyasi, nusxalash tenglamalari. Zamonaviy statistika asoslari biologik muammolarni o'rgangan R. Fisher tomonidan yaratilgan.

Biologiyada matematik modellar

Biologiyada matematik modellarga bag'ishlangan birinchi tizimli tadqiqotlar A.D ga tegishli. Patnis (1910-1920). Uning modellari ahamiyatini yo'qotmagan. Zamonaviy matematik nazariya asoschisi Italiya matematik nazariy nazariyasining asoschisi, biologik jamoalarning matematik nazariyasini ishlab chiqdi, ular turli xil va integro-differentsial tenglamalar bo'lib xizmat qiladi. (Vito Volterra. La Theorie Matematik de Lutte quying. Parij. Parij 1931). Keyingi o'n yilliklarda aholining dinamikasi asosan ushbu kitobda ifoda etilgan g'oyalar bilan rivojlandi. V. Volterra turdagi turdagi turdagi (1928) tarkibidagi eng mashhur "biologik model" ga egalik qiladi, u omatiklar nazariyasining barcha darsliklariga kiritilgan. Volterta kitobining rus tilidagi tarjimasi 1976 yilda: "Vaziyat uchun kurash nazariyasi", 1931-1976 yillarda matematik ekologiya rivojlanishi tarixi ko'rib chiqilgan. Tug'ilgan Yu.M.SvireJev ko'rib chiqiladi. 20-asrning qal'alaridan boshlab, matematik modellar bardoshli o'rinni egalladi: Novika va SZylard (1950) bitta hujayranizmning o'sishi shakllarini tasvirlashga imkon berdi.

Biologik tizimlarning ishi matematik modellarning rivojlanishi uchun juda muhimdir, Alanaturada "Morfogenez" (Ta'lim, 1952) poydevorini taqsimlangan biologik tizimlarga dinamik yondashuvning asosini yaratdi. Bu birinchi navbatda statsionar va indomoniya inshootlarining faol kinetik muhitida mavjud bo'lish imkoniyati ko'rsatilgan. Ushbu ishda olingan asosiy natijalar hayvonlarning terisini bo'yashni tasvirlaydigan morfogenezning ko'p sonli modellarining asosini shakllantirgan (Murrey 1993; Myurrey, 2009), chig'anoqlarning shakllanishi (Myurrey, 1995), dengiz yulduzlari va boshqa tirik organizmlar.

Matematik modellar asab impulsini ishlab chiqarish mexanizmlarini o'rganishda muhim rol o'ynadi. Xodgkin va E. Xoksli eksperimental o'rganish, eksperimental o'rganish, membrana orqali ion tashish jarayonlarini va membranadagi potentsial pulsning parchasi va membranadagi potentsial pulsning o'tishi ko'rsatilgan modelni taklif qildilar. Britaniya olimlarining ishi 1963 yildagi Nobel mukofoti (Sir Jon EKLs, Avstraliya) mukofotiga sazovor bo'ldi.

N. Wiener va Aning Aciomatik modellari yordamida yurak aritmik modellari yordamida, N. Wiener va AcenBlut (Wiener va Rostbluet 1946). Rus tilidagi tarjimasi kitobda: Kibernetik kolleksiya. M..3. 1961 yilgi umumta'lim shaklida, shunga o'xshash g'oyalar Sovet olimlari tomonidan Gelt va Zetlin (1963 yil; 1966), shuningdek, uyali modellar bo'yicha boshqa mualliflar tomonidan ishlab chiqilgan. Modellarni qurishda biologik ob'ektlarda hayajonlanish jarayoni va hayajonlanish jarayoni, xususan, asab to'qimalarida ushbu hodisaning rasmiy modelini qurishingiz mumkin bo'lgan bir qator aniq ko'rsatmalar mavjudligi hisobga olingan.

Rossiya ilmiy maktablari

Rossiya ilmiy maktablari matematik biologiya rivojiga katta hissa qo'shdi. A.N. Kolmogorov, I.G. Petrovskiy, N. 1937 yilda Piskunov "moddaning ko'payishi bilan bog'liq dik-dik-difrtlashishni tekshirish va uni bitta biologik muammoga qo'llash" to'lqin oldidagi cheklov tezligini pasaytirdi va old tomonning chegara shaklini aniqladi. Ushbu ish klassik bo'lib, turli xil tabiat tizimlarida avtoulovlardagi anhore hodisalarini nazariy va eksperimental o'rganish rivojlanishining boshlanishiga aylandi.

Rossiya biofizikasi V.I. Krinskiy, g.r. Ivanitskiy va boshqalar. Eksperimental o'rganish va hayajonli to'qimalarning boshlanishini (Ivanitskiy, kreinlar, selk. 1978). Hozirgi vaqtda yurak mushaklaridagi to'lqinlarning asab va tarqalish jarayonlarini o'rganish va kompyuter modellashtirish yo'nalishi jadal rivojlanmoqda. Ushbu sohadagi so'nggi yutuqlar "hujayralardagi jarayonlarning dinamik modellari" kitobida, 2010 yilgi eng rivojlangan modellar, elektr va mexanik kimyoviy jarayonlar, yurakning tarkibiy va geometrik aksariyatligini hisobga oladi.

Rossiya olimi B.P. Belousov (Belousov 1959, 1981) hozirda ma'lum bo'lgan taqsimlangan tizimlarning xatti-harakatlarining deyarli barcha turlarini kuzatishga imkon beradigan kimyoviy reaktsiyalar klassi tomonidan ochilgan. A.M. Zabototinskiy xodimlar bilan ushbu reaktsiyalarning xususiyatlari va ularning oqishi uchun sharoitlar, shuningdek, kuzatilgan hodisaning birinchi matematik modelini (Zabototinskiy, 1975 yil) taklif qildilar. Kelgusida Belomov-Zabotinskiy reaktsiyasi (BZ reaktsiyasi), dunyoning turli turlarini namoyish etuvchi taqsimlangan tizim modeli sifatida yuzlab laboratoriyalarda (maydoni va burger; vanag) 2008 yillarda tekshirildi. "Korson" universiteti (maydon, KoroS universiteti) tomonidan tashkil etilgan "KoroS va Al. 1974 yil; daychilik", deb taklif etadigan "Oregonator" modeli ishlab chiqilgan. "Matbuot" modeli tadqiqotchilar tomonidan biologik tadqiqotlar uchun Ilmiy markazning ilmiy markazi G. Pushchino (Rovinskiy va Zabotinsky) taklif qilingan.

Rossiya olimlari matematik nazariya rivojlanishiga katta hissa qo'shdilar. Bu, avvalambor, Rossiya Fanlar akademiyasining biologiya instituti kollektsiyalari instituti kollektsiyalari (1992 yilgacha - Rossiya Fanlar ilmiy hisoblash markazi) Fs Berezovskaya, ai chibnik) va Rossiya Fanlar akademiyasining hisoblash markazi xodimlari va "Djeevaykin, D. Saranscha", NV Saranscha, Nv Saranschaov boshchiligidagi jamoa. Pischik, vv shakin va boshqalar). Rossiya Fanlar akademiyasining Markaziy bankida, akademik N.N.Mizingisev, 20-asrning 70-80 yillarida global va mintaqaviy modellashtirish bo'yicha ishlar olib borildi. Bu erda "yadroviy qish" ning mashhur modeli yaratildi.

Moskva davlat universiteti olimlari tomonidan energiya shakllantiruvchi membranalarda modellashtirish jarayonlarini rivojlantirish usullarini ishlab chiqishda muhim hissa qo'shdi. Fotosintezning dastlabki jarayonlarining kinetik modellari biologik olimlar (A.B. Reyting, G.Yu. Riznichkine, A.N. Tichiev, S.Aqnetova). So'nggi yillarda Moskva davlat universitetining biologiya fakulteti Biofizikasi kafedrasida bir qatorda bo'linmalarning ko'p chastotali kompyuterlar uchun to'g'ridan-tez uchasterali kompyuterlarni to'g'ridan-to'g'ri kompyuterlar simulyatsiyasining yangi usulini ishlab chiqish uchun faol olib borilmoqda (A.Bububin, g.Riznichenko, IB Kovalenko. DM Deigin)

Mualliflar jamoasining ilmiy ishlanmalari va kitoblari Yu.M. Romanovskiy, N.V............ Stepanova (Moskva davlat universitetining jismoniy fakulteti) va D. Chernavskiy (fian): "Biofizikadagi matematik modellar" M., 1976 yil; "Matematik biofizika" M., 1984; "Biofizikada matematik modellashtirish. Nazariy biofizikaga kirish »M-Izhevsk, 2004 yil. Biologiya kinik usullarida tarqatiladigan kontaktlar, biologik kinetikasi bo'yicha avtoulovlar, statistik jihatlardagi avtoulovlar, statistik jihatlar uchun avtoulovlar uchun. Ushbu yo'nalish Fianada rivojlanib bormoqda (A. Polezxayev, V.I.I.I. Volkov va boshqalar).

Biologiyada matematik modellashtirish bo'yicha ish olib boradigan institutlar

Zamonaviy Rossiyada biologiya bo'yicha matematik modellashtirish ustida ish olib boradi tadqiqot institutlari va universitetlarida amalga oshiriladi. Etakchi o'rinlardan biri Pushchindagi Ilmiy markaziga tegishli bo'lib, u erda Rossiya Fanlar akademiyasining ilmiy hisoblash markazi tashkil etildi, ular 1992 yilda Biologiya biologiyasining matematik muammolari bo'yicha institut maqomini qabul qildi . Shuningdek, Imphibaning hozirgi direktori V.D.D.D.Dakhno matematik biologiya va bioinformatika ilmiy kengashining ilmiy kengashining raisi bo'lgan Laxnodir. IMB RAS bu boradagi etakchi ilmiy institut bo'lib, "Matematik biologiya va bioinformatika" elektron jurnalini chiqaradi

Biologik jarayonlarni matematik modellashtirish bo'yicha ishlar Rossiya Fanlar akademiyasining Pushkin ilmiy markazida ham olib boriladi: Rossiya Fanlar akademiyasining biofizika hujayralari instituti. Direktori - Chl tuz. RAS E.E.Feshenko (asosan, biocomakomaculyes-quant-sonli-íarmik modellashtirish, va Rossiya Fanlar akademiyasining nazariy va eksperimental biofizikasi instituti direktori - Koryar. Ras G.R.Ivyanitskiy (o'zini o'zi tashkil etish jarayonlarini faol muhitda, Bustholnovna tirik hujayralar va biopiliylarda).

Akademik G. va Martok ilmiy maktabida modellashtirish usullari tibbiyotga nisbatan, xususan, immunitetning modellari va epidemiyalarning tarqalishi modellari ishlab chiqilmoqda.

Matematik modellardan foydalangan biologik tizimlarni o'rganish, SB Ras instituti (Novosibirsk) institutida Nijniy Novgorod, Saratov, Rostov-Don-Don, Yaroslavl universitetlarida, Moskva fizikasi va Davlat universiteti texnologiyasi, "MIPHY" milliy tadqiqotida va boshqalar.

Moskva davlat universitetida biologiyada matematik modellashtirish bo'yicha ishlar biologiya fakultetida faol ravishda o'tkaziladi (tuman tumir dinamikasi, oqsillar va biomlom dinamikasidagi boshqa jarayonlar, proteallar dinamikasi) (molekulyar mashinalar modellari) ), Matematika va kibernetikani hisoblash fakulteti (aholisi dinamikasi, matemurtar modeli, nazorat modellari, boshqarish modellari, boshqarish modellari), mexanika va o'simlikchilik modellari, o'simlik jamoalari modellari).

Davriy nashrlar

Biologiyada matematik modellar bo'yicha maqolalar muntazam ravishda nashr etiladi:

  • Biofizika (M., 1956 yil -),
  • "Matematik biofizika byulleteni" (1939 -1972); "Matematik biologiya byulleteni" (1972-); Nazariy biologiya haqida (1961 -),
  • Matematik biologiya jurnali (1974-);
  • Ekologik modellashtirish (1975-),
  • Kompyuter tadqiqoti va modellashtirish (2009 -).

Matematik modellashtirish bo'yicha alohida maqolalar jurnallarda ham chop etiladi:

  • Jismoniy fanlarning yutuqlari (1918 -)
  • Vestnik Moskva universiteti
  • Biosentmalar (1967)
  • Biologik tizimlar jurnali (1993)
  • Tibbiyotda hisoblash va matematik usullar (1997)
  • Matematik biocions (1967)
  • Matematik biodika va muhandislik
  • PNAS (1915)
  • Ilmiy jurnal (1880)
  • Jurnal tabiati (1869)
  • Aca Bioteoretiya (1935)
  • Nazariy biologiya bo'yicha sharhlar
  • Rivista de Biolog / Biologiya forumi (1996)
  • Timuni Nature / Enni Di biolog Teorika (1998)
  • Nazariy va amaliy genetika (1929)
  • Nazariy tibbiyot va bioetika (1980)
  • Nazariy aholi biologiya ()
  • Bioscients / Teorice-dagi nazariya
  • Tabiiy hodisalarning matematik modellashtirish (2006)

Nashr

Bitologiyalarda matematik modellashtirish bo'yicha kitoblar PCD-IKI nashriyoti tomonidan nashr etiladi. Matematik biologiya, "Ilm, ur va boshqa va'zgo'ylar ilmiy va o'quv adabiyotlari.

Ivanitskiy g.r., Krinskaya V.I., Selkov E.E. Matematik biofizik hujayralar. Ilm, 1978 yil.

Myurrey D. Matematik biologiya. 1. Yo'l: Kirish. Ed. IKI-RHF, M-Izhevsk, 2009

Matlev, V.D., Pantchenko L.A., Risnichenko G.Yu., Terhin A.T. Oliy matematika va uning biologiyaga arizalari. Ehtimollik va matematik statistika nazariyasi. Matematik modellar. Akademiya. M., 2009 yil.

Risnichenko G.Yu. Biologiyada matematik modellarda ma'ruzalar. Ed. RHF, M-Izhevsk, 2003 yil.

Risnichenko G.U., Rubin AB Ishlab chiqarish jarayonlarining biofizik dinamikasi. Ed. IKI-RCD, M-Izhevsk, 2004

Romanovskiy Yu.M., Stepanova N.V., Chernavskiy DS. Biofizikada matematik modellashtirish. Ed. IKI-RHF, 2004

Rubin AB Biofizika. T. I. M., 2004. T. 2. M., 2004 (ED. 3RD)

Swingjhev Yu.M., logohet d.o. Biologik jamoalarning barqarorligi. M., fan. 1978 yil.

Swingjhev Yu.M. To'siqsiz to'lqinlar. Ekologiyadagi jasoratli tuzilmalar va ofatlar. M., fan, 1987

Smirnova O.A. Radiatsiya va sutemizuvchi organizm: model yondoshish. Ed. RHF, M-Izhevsk, 2006

"Biologiyada matematik modellar" ma'ruzalari kursi

m. V. Lomonosov nomidagi Moskva davlat universitetining bakalavriy bakalavrining bakalavriy bakalavrining bakalavriy bakalavriatsiyasi talabalari uchun muallif tomonidan o'qiydi. Ma'ruzalar, seminarlar (amaliy mashg'ulotlar) o'tkaziladi, ularda ma'ruzalarda bilimlarni qamrab oladi va matematik modellarni tahlil qilish va hisoblash tajribalari uchun ishlatiladigan dasturiy ta'minot bilan tanishadi. Kursni o'tkazgandan so'ng, talabalar imtihondan o'tishadi. Kursda 14 ta akademik soatda 14 ta ma'ruzani o'z ichiga oladi.

  • Darslik Risnichenko G. Yu. Biologiyada matematik modellarda ma'ruzalar (Ed. 2-nusxasi.) RCD, 2011 yil 560 p. ISBN 978-5-939-8. Oldingi nashr (shunchalik qisqa!) Http://www.librarary.bingiz havolasi uchun Internetda bepul foydalanish mumkin.
  • Darslik Matlev, V.D., Pantchenko L.A., Risnichenko G.Yu., Terhin A.T. Ehtimollik va matematik statistika nazariyasi. Matematik modellar (ER. 2-chi, nusxalash.) M.: Yuray, 2018 yil. - 321 b. - (Seriya: Rossiya universitetlari). - ISBN 978-5-534-01698-7.
  • Qo'llanma Bundan tashqari, Fursova P. V., Torlova L. D., Risnichenko G. Yu. Biologiyada matematik modellar (Ed. 2-qo'shimcha darslar
  • Siz o'qituvchilarga savol berishingiz mumkin internet.Vafofor
  • Siz darsdan foydalanib, ma'ruza savollariga javob yuborishingiz mumkin internet.-Forum. Iltimos, forum qoidalarini o'qing

Ma'ruzalar o'qiladi Katta biologik auditoriyasi (BBA, 2-qavat) Moskva davlat universitetining biologiya fakulteti 2018 yil 17 sentyabrdan 21 dekabrgacha 13-juma kunlari 40 .

Kasallikning ma'ruza nazorati yoki elektron testini o'tkazib yuborganlar ularni 2018 yil 24 dekabrda 15.35 va 17.10 da yozishi mumkin.

1-qism. Kirish. Model tushunchasi. Ob'ektlar, maqsadlar va modellashtirish usullari. Turli xil fanlardagi modellar. Kompyuter va matematik modellar. Biologiyada birinchi modellarning tarixi. Biologik jarayonlarning zamonaviy tasnifi. Regressiya, taqlid, yuqori sifatli modellar. Simulyatsiya va modellarning misollari tamoyillari. Tirik tizimlarning o'ziga xos xususiyati.

  • Dastur: Ma'lumotlar va bilimlarning integratsiyasi. Modellashtirish maqsadlari. Asosiy tushunchalar
  • Qo'llanma: Kirish (1-nashrdan)
  • Kirish (2-nashrdan)
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

2 qism.. Bir differentsial tenglamaga olib boradigan modellar. Bitta avtonom differentsial tenglamani hal qilish tushunchasi. Statsionar davlat (muvozanat holati). Muvozanat holatining barqarorligi. Barqarorlikni baholash usullari.

  • Dastur:
  • Qo'llanma: birinchi tartibning bir differentsial tenglama bilan tavsiflangan biologik tizimlarning modellari
  • Taqdimot (yuklab olish)

Uzluksiz modellar: eksponent o'sishi, logistika o'sishi, eng kichik ahamiyatli sonli modellar. Inson o'sishi modeli. Qayta tiklanmagan avlodlar bilan modellar. Diskret logistika tenglama. Rasm va narvon lameyi. Parametrning turli qiymatidagi echimlar turlari: monoton va chirigan echimlar, tsikllar, kvaztastik xatti-harakatlar, raqamli kasalliklar. Populyatsiyalarning matritsasi naqshlari. Kechikishning ta'siri. Populyatsiyalarning ehtirosi.

  • Dastur: Avtonom differentsial tenglama tomonidan tasvirlangan modellar
  • Qo'llanma: birinchi tartibning bir differentsial tenglama bilan tavsiflangan biologik tizimlarning modellari
  • O'quv qo'llanma: populyatsiyalarning o'sish modellari
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

21 sentyabr. 3-ma'ruza.. Populyatsiyalarning o'sish modellari.

1-qism. Aholi sonining o'sishi modellari. Populyatsiyalarning matritsasi naqshlari. Kechikishning ta'siri. Populyatsiyalarning ehtirosi.

2. Ikki avtonom differentsial tenglamalar tizimi tomonidan tasvirlangan modellar. Faza tekisligi. Fazali portret. Isoklin usuli. Asosiy izoklinlar. Statsionar holatning barqarorligi. Chiziqli tizimlar. Yagona ballarning turlari: tugun, egar, diqqat markazida. Misol: kimyoviy reaktsiyalarni birinchi marta buyurtma qiling.

  • Dastur: ikkita avtonom differentsial tenglamalar tizimida tasvirlangan modellar
  • Qo'llanma: ikkita avtonom differentsial tenglamalar tizimi tomonidan tasvirlangan modellar
  • O'qitariya: Noma'lum bo'lmagan ikkinchi buyurtma tizimlarining statsionar davlatlarining barqarorligini tekshirish
  • Taqdimot: Matritsa populyatsiyasi (PDF-ni yuklab olish)
  • Taqdimot: Ikkita avtonom differentsial tenglamalar tomonidan tavsiflangan modellar (PDF-ni yuklab oling)

28 sentyabr. Ma'ruzasi 4.. Nofila bo'lmagan ikkinchi buyurtma tizimlarining statsionar davlatlarining barqarorligini tekshirish

Tetiklashtiradi. Barqaror barqaror sharoitlar bo'yicha tizimlarning misollari. Quvvat va parametrrik tetiklantirish. Evolyutsiya. Ikki va bir nechta teng turlardan birini tanlash. Cheklanmagan va cheklangan o'sish yuzasidan ikki tur tanlovi. Genetik tetik, Yoqub va Mono. Dinamik tizimlarni bifurkatsiya qilish. Bifurkatsiya turlari. Bifurcatsion diagrammalar va portretlarning fazasi. Falokat.

  • Dastur: Ko'p stantsiya tizimlari
  • O'quv qo'llanma: Ko'p bosqichli tizimlar
  • Qo'llanma: tez va sekin o'zgaruvchilar muammosi. Tixonov teoremasi. Bifurkatsiya turlari. Falokat
  • Taqdimot: Barqarorlik va asemottik barqarorlik (PDF-ni yuklab olish)
  • Taqdimot: biologik holatlar (PDF-ni yuklab oling)
  • Tabiiy ofatlar nazariyasi bo'yicha materiallar:
    • Arnold V.I. Katta fe'l // Ilm va hayot, 1989, № 10
    • Arnold V.I. Tabiiy ofatlar nazariyasi // dinamik tizimlar - 5, fan va ten natijalari. Ser. Zamonaviy Yuqoriga ko'tarilish. mat. Maqsadlar. Yo'nalishlar, 5, viniti, M., 1986, 219-277
    • Arnold V.I. Falokat nazariyasi. M., fan, 1990 - 128 p.

O'zini tebranish tushunchasi. Faza tekisligida avtoulovlararo tizimning xatti-harakati tasviri. Cheklash tsikllari. Chegara tsiklining mavjudligi uchun shartlar. Chegara tsiklining tug'ilishi. Andronova Bifurcation - Xopf. Yumshoq va tebranishlarning qattiq hayajonlanishi. Model Bryuseltor. Jonli tizimlarda o'zini o'zi tebranadigan tebranadigan jarayonlarning namunalari. Qorong'i fotosintez jarayonlarida tebranishlar. Glycoliz modelidagi avtokalbaniya. Kaltsiy kontsentratsiyasini ichidagi tebranish.

  • Dastur:
  • O'qitariya: biologik tizimlardagi o'zgarishlar
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

Dinamik tizimlar nazariyasining asosiy tushunchalari. Cheklovlar. Jalb qiluvchilar. G'alati jalb qiluvchilar. Dinamik tartibsizlik. Traektoriyalarning barqarorligini chiziqli tahlil qilish. Tarqalish tizimlari. Tartibsiz echimlarning barqarorligi. G'alati jalb qiluvchilarning o'lchamlari.

Statsionar holatlar va uch tur jamiyatidagi dinamik rejimlar. Turlarning o'zaro ta'siri modellarida dinamik tartibsizlik. Belgilangan miqdordagi modda bilan trofik tizimlar. To'rt biologik turlar tizimining modeli.

Fraktal o'lcham va fraktal o'lcham. Koha egri. Uchburchak va salote serin. Kantorlar to'plami. Zinapoyaning shlyapalari. Jonli tizimlarda fraktal to'plamlar misollari. Toj daraxtlarini shakllantirish. Alveola o'pka. Mitochordrial membranalar.

  • Dastur: kvaaztastik jarayonlar. Dinamik tartibsizlik
  • Darslik:
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

2 noyabr. Ma'ruza 9.. Ikki turdagi o'zaro ta'sir modellari. Mikrobial populyatsiyalarni simulyatsiya qilish

Volterra gipotezasi. Kimyoviy kinetikasi bilan bog'liq o'xshashliklar. Volterrov modellari o'zaro ta'siri. O'zaro aloqalar turlarini tasniflash. Musobaqa. Predator qurbonligi. Turlarning o'zaro ta'sirining umumiy modellari. Model Kolmogorov. Makarturarning ikki turini o'zaro ta'sirining modeli. Bazykin tizimining parametrik va fazali portretlari.

  • Dastur: Turlarning o'zaro ta'sirining modellari
  • Dastur: Mikrobiologiyada modellar
  • Qo'llanma: Ikki turdagi o'zaro ta'sir modellari
  • O'qitariya: dinamik tartibsizliklar. Biologik jamoalarning modellari
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

Tenglama reaktsiyasi - diffuziya. Nega davriy tuzilmalar va to'lqinlar paydo bo'ladi. Jonli tizimlardagi faol kinetik muhit. Shakllanish muammosi. Yig'ilish to'lqinlarining taqsimlanishi. Fazoviy tuzilmalar va kimyoviy va biokimyoviy reaktsiyalarda avtoulovlar.

Diffuzi tenglama. Asosiy va chegara shartlari. Diffuziya tenglamasini hal qilish. Bir hil diffuzlanish tenglamasini nol chegara sharoiti bilan hal qilish. O'zgaruvchilarni ajratish usuli. Assault-liowil vazifasining o'z qiymatlari va o'z funktsiyalari. Nol dastlabki sharoitlar bilan noaniq tenglikni hal qilish. Umumiy qiymat muammosini hal qilish. Bitta javob turi tenglamaining bir-biriga to'g'ri keladigan echimlarning barqarorligini chizish tahlili.

  • Dastur:
  • Darslik:
  • Darslik:
  • Darslik:
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

16 noyabr. 11-ma'ruza.. Taqsimlangan biologik tizimlar. Taqsimlangan Triggerlar va morfogenez. Hayvonlarning moviy terilari

Diffuziya reaktsiyasining ikkita tenglamalari tizimining bir xil barqarorligi. Tinch tuzilmalar. Bir hil statsionar holatning barqarorligini chizish tahlili. To'lqin sonidan beqarorlik turining qaramligi. Beqarorlik. Tarqatilgan Bryusseltorning bir hil holatining barqarorligini chizish. Beqarorlik ostonasi yaqinidagi toza tuzilmalar. Mahalliylashtirilgan qatli tuzilmalar. Elektrodjez reaktsiya tizimining chiziqli tahlili. Kosmik vaqt rejimlari turlari.

Taqsimlangan Triggerlar va morfogenez. Hayvonlarning terisini bo'yash modellari. Farqlash va morfogenez. Diffuziya (Chernavskiy va boshqalar) bo'lgan genetik tetik tetik tetikatining modeli. Bir hil statsionar holatning barqarorligini o'rganish. Substratlarning tarqalishini hisobga olgan holda genetik tetik. Girera-minerandt Girera. Simulyatsiya hayvonlarning terisini bo'yash. Modellar to'plami Ameb.

  • Dastur: jonli tizimlar va faol kinetetik muhit
  • O'qitariya: tarqatilgan biologik tizimlar. Diffuziya tenglamasi
  • O'qitariya: diffuzli tenglamani hal qilish. Bir hillarning statsionar holatlarining barqarorligi
  • O'qitariya: Konsentratsiya to'lqinini diffuziya tizimlarida taqsimlash
  • Taqdimot (PDF-ni yuklab olish)

23-noyabr. 12-ma'ruza.. Tuproqlar, frontlar va to'lqinlarni taqsimlash. Asab impulsining ko'payish modellari. Avtomobilologik jarayonlar va yurak aritmiyasi

Tuproqlar, frontlar va to'lqinlarni taqsimlash. Petrovskiy-kolmogorov-pisunova-baliq to'lqinining old qismini yoyish. Naslchilik va diffuziya jarayonlarining o'zaro ta'siri. Mahalliy ko'payish funktsiyalari. Avtomatik o'zgaruvchi. Ambrenziy barglarini taqsimlash.

Asab impulsining ko'payish modellari. Avtomobilologik jarayonlar va yurak aritmitmi. Asab impulsining tarqalishi. Eksperimentlar va Model Skkkun-Xuxley. Fitzhu-Nagummo kamaytirilgan. Mahalliy tizimning ajoyib elementi. Mavzu va chiqadigan uy. Ishlash pulslari. Kardiokitlarning batafsil modellari. Aqlimatik muhitning aksiomatik modellari. Avtomobilologik jarayonlar va yurak aritmitmi.

  • Dastur: jonli tizimlar va faol kinetetik muhit
  • Dastur: Turlarning o'zaro ta'sirining modellari
  • Dastur: Mikrobiologiyada modellar
  • O'qitariya: tarqatilgan biologik tizimlar. Diffuziya tenglamasi
  • O'qitariya: diffuzli tenglamani hal qilish. Bir hillarning statsionar holatlarining barqarorligi
  • Darslik:

Ushbu darslikda biofizik jarayonlarni tahlil qilish uchun asosiy zamonaviy matematik modellar, ekologiyadagi tirik tizimlar yaxshi vakili. Kitobda biofizika, populyatsiyalar va ekologiyadagi asosiy modellarni tasvirlaydigan uchta qismdan iborat bo'lib, tegishli hujjatlar va tegishli misollar keltirilgan, hisoblash usullari va statistik ma'lumotlar keltirilgan. Ayni paytda statistik ma'lumotlar eskirgan. Biroq, bu biologik jarayonlarni matematik modellashtirish bilan o'rganish jarayoniga tatbiq etishga jiddiy ta'sir ko'rsatmaydi va o'qituvchilar tomonidan hisobga olinishi mumkin.

1-qadam. Katalogdagi kitoblarni tanlang va "Xarid qilish" tugmasini bosing;

2-qadam. "Savat" bo'limiga o'ting;

3-qadam. Kerakli miqdorni belgilang, bloklar va etkazib berish bloklaridagi ma'lumotlarni to'ldiring;

4-qadam. "To'lov" tugmasini bosing.

Ayni paytda bosma kitoblarni, elektron kirish yoki kitoblarni sotib olish kunidagi sovg'a kutubxonasi sifatida faqat yuz foiz oldindan to'lovni amalga oshirish mumkin. To'lovdan keyin sizga elektron kutubxona ichidagi darslikning to'liq matni bilan ta'minlanadi yoki biz sizga bosmaxonada buyurtma berishni boshlaymiz.

Diqqat! To'lov usulini buyurtmalar bo'yicha o'zgartirishni so'raymiz. Agar siz har qanday to'lov usulini tanlagan bo'lsangiz va to'lovni amalga oshira olmasangiz, buyurtmani qayta tartiblashni va uni boshqa qulay yo'l bilan to'lashingiz kerak.

Siz buyurtma berish uchun taklif qilingan usullardan birida to'lashingiz mumkin:

  1. Naqd pulsiz usul:
    • Bank kartasi: siz shakldagi barcha maydonlarni to'ldirishingiz kerak. Ba'zi banklar to'lovni tasdiqlash so'raladi - buning uchun SMS kod sizning telefon raqamingizga keladi.
    • Onlayn banking: To'lov xizmati bilan hamkorlikda hamkorlik qilish uchun o'z shakllarini taklif etadi. Biz ma'lumotlarni barcha sohalarga kiritamiz.
      Masalan, uchun "Class \u003d" Matn-tuzilish "\u003e Sberbank onlayn Kerakli mobil telefon raqami va elektron pochta xabarlari. Uchun "Class \u003d" Matn-tuzilish "\u003e Alpha Bank Sizga alfa toza xizmat va elektron pochta manziliga kirish kerak bo'ladi.
    • Elektron hamyon: Agar sizda Yandex-Wallet yoki QIWI hamyoningiz bo'lsa, siz ular orqali buyurtma berishingiz mumkin. Buning uchun tegishli to'lov usulini tanlang va taklif qilingan maydonlarni to'ldiring, shunda tizim sizni schyot-fakturani tasdiqlash uchun Sahifaga yo'naltiradi.