Kvadrat tenglamalari 8-sinfda o'rganilmoqda, shuning uchun bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglamasi - 2 + bx + c \u003d 0 - bu erda A, B va C koeffitsientlari o'zboshimchalik bilan sonlardir va a ≠ 0.

Qarorning aniq usullarini o'rganishdan oldin, biz barcha maydon tenglamalarini uchta sinfga bo'lish mumkin:

1. Ildizi yo'q;
2. Aniq bitta ildizga ega bo'ling;
3. Ikki xil ildizlarga ega.

Bu lineardan kvadrat tenglamalari o'rtasidagi muhim farq, u erda ildiz har doim mavjud va o'ziga xosdir. Qancha ildizlar tenglama bor? Buning uchun ajoyib narsa bor - kamsinachi.

Kamsinachi

Mayroq tenglamasi 2 + bx + c \u003d 0 ni kiriting. Keyin kamsituvchi - bu faqat d \u003d b 2 - 4AC raqami.

Ushbu formulalar yurak tomonidan tanilishi kerak. U qayerda davom etadi - endi bu muhim emas. Boshqalar muhim: kamsituvchi belgisi qancha ildizi kvadrat tenglama borligini aniqlash mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar d \u003d 0 bo'lsa, aniq bir ildiz bor;
3. Agar D\u003e 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Eslatib o'tamiz: kamsituvchi biron bir sababga ko'ra, kamsituvchi ildizlarning sonini bildiradi, ba'zi sabablarga ko'ra ko'pchilik e'tiborga olinadi. Misollarni ko'rib chiqing - va siz hamma narsani tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar qancha

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Biz birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni rad etamiz va kamsituvchilarni topamiz:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 - 44 - 48 \u003d 16

Shunday qilib, kamsituvchi ijobiy, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Shunga o'xshab, ikkinchi tenglamani qismlarga ajrating:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 5 \u003d 140 \u003d -131.

Kamsituvchi salbiy, ildizlari yo'q. So'nggi tenglama qoladi:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 - 36 \u003d 36 \u003d 0.

Kamsituvchi nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

Shuni esda tutingki, har bir tenglama uchun koeffitsientlar zaryadsizlangan. Ha, bu uzoq vaqt, ha, bu zerikarli - lekin siz koeffitsientlarni chalkashtirib yuborasiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingizni tanlang: Tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lni to'ldirsangiz", birozdan keyin barcha koeffitsientlarni yozishimiz shart emas. Bunday operatsiyalar sizning boshingizda bajariladi. Ko'pchilik 50-70 ta tenglamalardan keyin bu erda buni qila boshlaydi - umuman olganda, unchalik emas.

Ildizlar maydoni tenglama

Biz endi qarorga murojaat qilamiz. Agar kamsituvchi D\u003e 0 bo'lsa, ildizlarni formulalar bilan topish mumkin:

Kvadrat tenglama ildizlarining asosiy formulasi

D \u003d 0 qachon ushbu formulalardan foydalanishingiz mumkin - bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · 1 (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ tenglama ikki ildizga ega. Ularni toping:

Ikkinchi tenglama:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ yana ikkita ildizga ega. Biz ularni topamiz

\\ [\\ boshlang'ich (((1) _ (1)) \u003d \\ FRAC (2+ \\ sqrayt) (2 \\ cdot \\ chap) \u003d - 5; \\\\ _ ((2)) \u003d \\ FRAC (2 \\ CDOT \\ chap (-1 tugma) \u003d 3. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Va nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 3 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Siz har qanday formuladan foydalanishingiz mumkin. Masalan, birinchi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar formulani bilsangiz va ko'rib chiqa olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, salbiy koeffitsientlar formulasida almashtirish paytida xatolar paydo bo'ladi. Bu erda yuqorida aytib o'tilgan ziyofat yordam beradi: rasmga qarab, har bir qadamni bo'yash uchun formulaga qarang - va tez orada xatolardan xalos bo'ling.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Bu kvadrat tenglama ta'rifida berilgan narsadan biroz farq qiladi. Masalan:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Ushbu tenglamalarda bu atamalarning hech biri yo'qligini ko'rish juda oson. Bunday kvadrat tenglamalar standartdan ko'ra osonroq: ular kamsituvchi deb hisoblash ham kerak emas. Shunday qilib, biz yangi kontseptsiya bilan tanishamiz:

Axt 2 + bx + c \u003d 0 tenglama, agar b \u003d 0 yoki C \u003d 0 bo'lsa, i.e. O'zgaruvchan X yoki bepul element bilan koeffitsienti nolga teng.

Albatta, ikkala koeffitsientlarning ikkalasi nolga teng bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bu holda tenglama 2 \u003d 0 shaklni oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x \u003d 0 mavjud .

Qolgan holatlarni ko'rib chiqing. B \u003d 0 0 bo'lsin, keyin biz AX 2 + C \u003d 0 ni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini olamiz. Biz uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat salbiy bo'lmagan raqamdan mavjud bo'lganligi sababli, bu tenglik faqat (-C / a) ≥ 0.-da manotni anglatadi.

1. Agar AX 2 + C \u003d 0 shaklida to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bo'lsa (-C / A) ≥ 0 chiqishi mumkin, ikki ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. If (-c / a)< 0, корней нет.

Ko'rinib turibdiki, kamsituvchi bo'lmaganlar kerak emas - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarida murakkab hisoblash mavjud emas. Aslida, hatto tengsizlikni (-C / A) yodda tutish kerak emas (-C / a) ≥ 0. X 2 qiymatini ifodalash uchun etarli va tenglik belgisining boshqa tomonida nimani anglatadi. Agar ijobiy raqam bo'lsa - ildizlari ikkitasi bo'ladi. Agar salbiy bo'lsa - ildizlarning umuman bo'lmaydi.

Endi biz 2 + bx \u003d 0 shaklidagi tenglamalar bilan tushunamiz, unda bepul element nolga teng. Bu erda hamma narsa juda oddiy: ildizlar har doim ikkitasi bo'ladi. Ko'plab ko'paytirgichlarni parchalash kifoya:

Qavs uchun ko'paytirgich

Hech bo'lmaganda ko'p ko'paytirgichlardan biri nolga teng bo'lgan ish nolga teng. Bu yerdan ildizlar mavjud. Xulosa qilib aytganda, biz bir nechta tenglamalarni tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat maydon tengorlari:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2/30 ⇒ x 2 \u003d -6. Ildizlari yo'q, chunki Kvadrat salbiy raqamga teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1.5.

Yozish tenglama

Ifoda D. \u003d B. 2 - 4 AC. Qo'ng'iroq qilmoq kamsinachi kvadrat tenglamasi. Agar a D. \u003d 0, tenglama bitta haqiqiy ildizga ega; Agar D \u003e 0, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega.
Holatda D. = 0 Ba'zan ular kvadrat tenglamasi ikkita bir xil ildizlarga ega.
Belgilangan joydan foydalanish D. \u003d B. 2 - 4 AC. , siz formulani (2) sifatida qayta yozishingiz mumkin

Agar a B. \u003d 2 k. Formula (2) shaklni oladi:

qayerda K K. \u003d B. / 2 .
Oxirgi formulani qaerda bo'lsa, ayniqsa qulaydir B. / 2 - butun son, i.e. koeffitsient B. - juft son.
1-misol: Tenglashtiring 2 X. 2 - 5 X. + 2 = 0 . Bu yerda a \u003d 2, b \u003d -5, c \u003d 2. Bor D. \u003d B. 2 - 4 AC = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Kabi D. > 0 , tenglama ikkita ildizga ega. Ularni formula bilan toping (2)

shunday qilib X. 1 \u003d (5 + 3) / 4 \u003d 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
ya'ni X. 1 = 2 va X. 2 = 1 / 2 - belgilangan tenglamaning ildizlari.
2-misol: Tenglashtiring 2 X. 2 - 3 X. + 5 = 0 . Bu yerda a \u003d 2, b \u003d -3, c \u003d 5. Biz kamsituvchi topamiz D. \u003d B. 2 - 4 AC = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Kabi D. 0 Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Agar kvadrat tenglamada bo'lsa Bolta. 2 + Bx. + C.. =0 Ikkinchi koeffitsient B. yoki bepul dik C. nolga teng, keyin kvadrat tenglamasi deyiladi tugallanmagan. To'liq bo'lmagan tenglamalar izolyatsiya qilinadi, chunki ularning ildizlarini topish uchun kvadrat tenglamaning ildiz formulalaridan foydalanmaslik mumkin - bu to'g'riligini omillarning chap qismini parchalash usuli bilan hal qilish osonroq.
1-misol: Tenglashtiring 2 X. 2 - 5 X. = 0 .
Bor X. (2 x. - 5) = 0 . Shunday qilib X. = 0 yoki 2 X. - 5 = 0 , ya'ni X. = 2.5 . Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega: 0 va 2.5
2-misol: Tenglashtiring 3 X. 2 - 27 = 0 .
Bor 3 X. 2 = 27 . Shunday qilib, ushbu tenglamaning ildizlari - 3 va -3 .

Vieta teoremasi. Agar kvadrat kvadrat tenglama bo'lsa X. 2 + px. + Q. =0 haqiqiy ildizlarga ega, keyin ularning miqdori teng - P. va ish tengdir Savol: , ya'ni

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 \u003d q

(Ushbu kvadrat tenglamaning ildizlarining summasi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga tengdir va ildizlarning mahsuloti bepul a'zoga teng).

Siz ushbu matematik dastur bilan siz qila olasiz kvadrat tenglamasini hal qiling.

Dastur nafaqat javob vazifasini beradi, balki echim jarayonini ikki usulda ko'rsatadi:
- kamsituvchi yordami bilan
- Veta teoremadan foydalanish (iloji bo'lsa).

Bundan tashqari, javob natijasiz, taxminiy emas.
Masalan, tenglama uchun \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) uchun javob bu shaklda chiqadi:

$$ x_1 \u003d \\ FRAC (81 \\ Sqrt (81), \\ Quad X_2 \u003d \\ Frac (81) (81). \\ (x_1 \u003d 0.247) ; \\ quad x_2 \u003d -0.5 \\)

Ushbu dastur test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rayotganda, imtihondan oldin bilim va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rayotganda, ota-matematika va algebradagi ko'plab muammolarni hal qilishda bilimlarni tekshirishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki siz o'qituvchi yollash yoki yangi darsliklarni sotib olish uchun juda qimmatmisiz? Yoki siz shunchaki uy vazifangizni matematika yoki algebra bilan imkon qadar tuzmoqchimisiz? Bunday holda, siz bizning dasturlarimizdan batafsil echim bilan foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning yoshingiz yoki opa-singillaringizning mashg'ulotlarini o'tkazish va / yoki o'qitishingizni amalga oshirishingiz mumkin, ammo hal qilingan vazifalar sohasida ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz kvadrat kvadratga kirish qoidalari bilan tanish bo'lmagan bo'lsangiz, biz ular bilan tanishishni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomiya kiritish qoidalari

O'zgaruvchan bo'lsa, har qanday lotin harfi bo'lishi mumkin.
Masalan: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, qiyalik va boshqalar) va boshqalar.

Raqamlar to'liq yoki kasrni kiritishi mumkin.
Bundan tashqari, fraktsiya raqamlari nafaqat o'nlik shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham qo'llanilishi mumkin.

O'nlik kasrlarni kiritish qoidalari.
Birlamchi kasrlarda, umuman to'liq qismini ajratish mumkin.
Masalan, siz shunga o'xshash o'nlik kasrlarni kiritishingiz mumkin: 2.5X - 3.5x ^ 2

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son raqamni hisoblagich, denominator va ulushning butun qismi bo'lishi mumkin.

Denominator salbiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli fraktsiyani kiritishda, denominatordan parchalanadigan belgi: /
Butun qismi FARATY AMPERTNED belgisidan ajratilgan: &
Kirish: 3 va 1/3 - 5 & 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Natija: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ FRAC (5) z + \\ frac (7) z ^ 2 \\)

Ifodaga kirishda siz qavslardan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, kvadrat tenglamani hal qilishda, birinchi marta soddalashtirilgan.
Masalan: 1/2 (y - 1) (y + 1) - (5y-10 va 1/2)

=0

Qaror qilmoq

Ushbu vazifani hal qilish uchun ba'zi skriptlar yuklanmasligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda adblock kiritilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni elektrdan uzing va sahifani yangilang.

Siz brauzeringizda JavaScript-ni ijro etishingiz bor.
Yechimni paydo qilish uchun siz JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Brauzeringizda JavaScript-ni yoqish bo'yicha ko'rsatmalar, qanday ko'rsatmalar.

Chunki Vazifani hal qilishni istagan vazifangiz juda ko'p, sizning so'rovingiz mos keladi.
Bir necha soniyadan keyin eritma quyida keltirilgan.
Iltimos kuting sek ...

Agar Siz hal qilishda xatolarni payqadiSiz bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarmang qaysi vazifani belgilang Siz qaror qildingiz va nima maydonga kiring.

Bizning o'yinlar, jumboqlar, emulalar:

Bir oz nazariya.

Kvadrat tenglama va uning ildizlari. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Har bir tenglamalar
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 1x ^ 2-7x \u003d 0, \\ Quad x ^ 2- Frac (9) \u003d 0 \\)
Tashqi ko'rinishi
\\ (Bolta ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
X u o'zgaruvchan, A, B va C - raqamlar.
Birinchi tenglama A \u003d -1, b \u003d 6 va C \u003d 1.4 va C \u003d 1, b \u003d 0 va C \u003d 1/9. Bunday tenglamalar deyiladi kvadrat tenglamalari.

Ta'rif.
Kvadrat tenglama 2 + bx + c \u003d 0 shaklining tenglamasi, u o'zgaruvchidir, A, b va C ba'zi raqamlar, \\ (a \\ niq 0 \\).

A, B va C raqamlari kvadrat tenglama koeffitsientlaridir. A sonining birinchi koeffitsienti deb ataladi, B raqami C - C ning ikkinchi koeffitsient va C raqami.

Axt shaklidagi har bir tenglamada 2 + bx + c \u003d 0, bu erda \\ (a \\ niq 0 \\), u - kvadratning eng katta darajasi. Demak, Ism: kvadrat tenglama.

E'tibor bering, kvadrat tenglamasi ham ikkinchi darajali tenglama deyiladi, chunki uning qismi ikkinchi darajali polinomga ega.

X 2-da koeffitsient 1 deb nomlanadigan kvadrat tenglama berilgan kvadrat tenglamasi. Masalan, kvadrat tenglamalar tenglamalardir
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ 2-8 \u003d 0 \\)

Agar kvadrat tenglamada 2 + bx + c \u003d 0 bo'lsa, B yoki C koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng, keyin bunday tenglama deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Shunday qilib, tenglamalar -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Birinchisida B \u003d 0, ikkinchi c \u003d 0, uchinchi B \u003d 0 va C \u003d 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari uch tur:
1) box 2 + c \u003d 0, qaerda \\ (c \\ niq 0 \\);
2) bob 2 + bx \u003d 0, qaerda \\ (b \\ niq 0 \\);
3) bob 2 \u003d 0.

Ushbu turlarning har birining tenglamalarini hal qilishni ko'rib chiqing.

Axt 2 + C \u003d 0 shaklining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun u o'zining bepul a'zosiga o'ng tomonda o'tkaziladi va quyidagi tenglamaning ikkala qismini quyidagi holga keltiradi:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ FRAC (a) \\trow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (a)) \\)

\\ (C \\ niq 0 \\), keyin \\ (- \\ frac (a) \\ niq 0 \\)

Agar \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\) bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.

Agar \\ (- \\ frac (a) 2 + Bx \u003d 0, \\ (bx \u003d 0) bilan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun ular chap qismini ko'paytiradilar va tenglamani ko'paytiradi
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\trow \\ chap \\ chap \\ (\\ boshlang'ich) (l) x \u003d 0 \\ \\ \\ \\ end + b \u003d 0 \\ end. \\ O'ngda \\ (\\ boshlang'ich) (L) X \u003d 0 \\ x \u003d - \\ FRAC (A) \\ End / To'g'ri. \\)

Shunday qilib, 2 + bx \u003d 0 shaklining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi har doim ikkita ildizga ega.

Formadagi funktsiyaning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi x 2 \u003d 0 tenglamaga teng va shuning uchun faqat ildiz 0 ga teng.

Kvadrat tenglama ildiz formulasi

Noma'lum va bepul a'zo bilan birga bo'lgan koeffitsientlar noldan farq qiladiganligini hozir ko'rib chiqing.

Umuman olganda, siz umuman diplom kvadrat tenglamasi va natijada biz ildiz formulasini olamiz. Keyin ushbu formula har qanday kvadrat tenglamani hal qilishda ishlatilishi mumkin.

Axt 2 + bx + c \u003d 0

Uning ikkala qismini a bilan ajratib turadigan, biz taqdim etilgan kvadrat tenglamasining ekvivalentiga egamiz
\\ (x ^ 2 + \\ fasc (a) x + \\ frac (a) \u003d 0 \\)

Biz ushbu tenglamani STREDIT MINTINI KO'RSATIShNI O'ZGARTIRADI:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cDOT \\ FRAC (2a) + \\ chap (\\ frac (b) (2a) \\ o'ng) ^ 2 \\ chap (\\a) \\ o'ngga) ^ 2 + \\ FRAC (C) (A) \u003d 0 \\trow \\)

\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (2a) + \\ chap (\\ Frac (B) (2a) \\ chap (\\ Frac (b) (2a) \\ o'ngga) ^ 2 - \\ FRAC (a) \\troww \\) \\ (x + \\ fasc (2a) \\ FRAC (2a \\ Frac (4a ^ 2) - \\ FRAC (c) (a) \\trown \\ chap (x + \\ fasc (2a) \\ o'ng) ^ 2 \u003d \\ 2-4ac (4a ^ 2) \\ o'ngtarw \\) \\ (x + \\ Frak (b) (2a) \u003d \\ pm \\ sqrt (4a ^ 2-4ac) (\\ 2-4ac) (B) (2a) (\\ pm \\ sqrt) ( B ^ 2 -4ac)) (2a) \\trow \\) \\ (x \\ frac (b ^ 2-4ac) (2a) \\)

Qo'riqchi ibora deyiladi kamsituvchi kvadrat tenglamasi Axt 2 + bx + c \u003d 0 ("kamsituvchi" lotin tilida o'ziga xosdir. D, I.00 harfi bilan belgilanadi
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Endi kamsituvchilarning belgisini ishlatish, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani qayta yozing:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ FRAC (d)) (2a) \\), qaerda \\ (d \u003d b ^ 2-44ac \\)

Bu aniq:
1) Agar D\u003e 0 bo'lsa, kvadrat tenglamasi ikkita ildizga ega.
2) Agar d \u003d 0 bo'lsa, kvadrat tenglamasi bitta ildizga ega \\ (x \u003d Frac (2a) \\).
3) Agar D kamsitish darajasiga qarab, kvadrat tenglamasi ikkita ildizga ega bo'lishi mumkin (d \u003d 0 bilan) yoki ildiz otganda (ddasi bilan) Ushbu formulaga quyidagicha murojaat qilish tavsiya etiladi:
1) kamsituvchilarni hisoblash va uni nol bilan taqqoslash;
2) Agar kamsituvchi ijobiy yoki teng bo'lmagan bo'lsa, unda kamsituvchi salbiy bo'lsa, ildiz formulalaridan foydalaning, so'ngra ildizlarni yozing.

Vieta teoremasi

Axted kvadrat tenglamasi 2 -7x + 10 \u003d 0 ildizlar mavjud, ammo mahsulot miqdori qarama-qarshi bo'lgan ikkinchi koeffitsientga teng belgisi va ildizlarning mahsuloti bepul a'zoga teng. Bunday xususiyat har qanday kvadrat tenglamaga ega.

Taqdim etilgan kvadrat tenglamaning ildizlarining yig'indisi qarama-qarshi belgisi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga tengdir va ildizlarning mahsuloti bepul a'zoga teng.

Ular. Vieta teoremasi ushbu kvadrat tenglamaning x 1 + x 2 ning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 ta mulkka ega ekanligini ta'kidlaydi:
\\ (\\ chap boshlanadi (\\ boshlang'ich) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\ x_1 \\ cDOT x_2 \u003d Q \\ OFH (CAYEY) \\ To'g'ri. \\ To'g'ri. \\

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganaman, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini topishni o'rganasiz.

Kiriklar yordamida faqat to'liq kvadrat tenglamalari, kvadrat tenglamalarini yechish uchun, "To'liq bo'lmagan kvadrat tengoralar" moddasi "maqolasida" Siz "maqolasida topiladi.

Qaysi kvadrat tenglamalar to'liq deb nomlanadi? u 1-chi tenglamalar Ah 2 + b x + c \u003d 0Koeffitsientlar A, B va nolga teng emas. Shunday qilib, to'liq kvadrat tenglamasini hal qilish uchun kamsituvchi D. ni hisoblash kerak.

D \u003d B 2 - 4AS.

Biz qanday ahamiyatga ega ekanligiga qarab biz javobni yozamiz.

Agar kamsituvchi salbiy raqam bo'lsa (D< 0),то корней нет.

Agar kamsituvchi nol bo'lsa, x \u003d (-b) / 2a. Kamsituvchi ijobiy raqam (D\u003e 0) bo'lsa,

keyin x 1 \u003d (-b - √) / 2a, va x 2 \u003d (-b + √) / 2a.

Masalan. Tenglashtiring x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Javob: 2

2 tengni hal qiling. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 \u003d - 23

Javob: Hech qanday ildiz emas.

2 tengni hal qiling. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · · · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Javob: - 3.5; biri.

Shunday qilib, keling, to'liq kvadrat tenglamalarini haqiqiy sxema bo'yicha 1-rasmda tasavvur qilaylik.

Ushbu formulalarga ko'ra, siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani hal qilishingiz mumkin. Siz faqat diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak tenglama standart turdagi ko'paytma bilan qayd etildi.

ammo x 2 + Bx + c, Aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, X + 3 + 2x 2 \u003d 0 tenglama yozuvida, u xato bilan hal qilinishi mumkin

a \u003d 1, b \u003d 3 va c \u003d 2. Keyin

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 1, so'ngra tenglama ikkita ildizga ega. Va bu noto'g'ri. (Yuqoridagi 2-misolning echimi).

Shuning uchun, agar tenglama standart turlarning ko'payishiga imkon bermasa, dastlabki kvadrat tenglamani standart turlarning ko'payishi bilan qayd etilsa (birinchi navbatda eng katta ko'rsatkich bilan olinishi kerak) ammo x 2 keyin kichikroq – bx.va keyin bepul dik dan.

Ushbu kvadrat tenglamani va hatto kvadrat tenglama bilan bir necha kvadrat tenglamani, ikkinchi muddatli boshqa formulalardan foydalanish mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishamiz. Agar ikkinchi muddatda to'liq kvadrat tenglama bo'lsa, koeffitsient hatto (b \u003d 2k), keyin 2-rasmdagi formulalar bo'yicha tenglama hal qilinishi mumkin.

To'liq kvadrat tenglama, agar koeffitsient bo'lsa, deyiladi x 2 bittaga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q \u003d 0. Bunday tenglamani yechish yoki barcha koeffitsientlarni koeffitsient tenglamaga bo'lish orqali olish mumkin ammoturish x 2 .

3-rasmda yuqorida ko'rsatilgan maydonni hal qilish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Ushbu moddada ko'rib chiqilgan formulalarni qo'llash misolida e'tibor bering.

Misol. Tenglashtiring

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Ushbu tenglamani 1-rasmda ko'rsatilgan formulalar yordamida hal qilaylik.

D \u003d 6 2 - 4 · 36) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√d \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√

x 1 \u003d (-6 - 6√) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3)))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√) / (2 · 3) \u003d (-1+ (-1+ (-1+ (3)))) / 6 \u003d -1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3

Ushbu tenglamada X-da kokarofi, ya'ni, b \u003d 6 yoki b \u003d 2k, bu erda k \u003d 3.. Diagrammada ko'rsatilgan formulalar bo'yicha tenglamani hal qilishga harakat qilamiz 1 \u003d 3 2 - 3 · 3 (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3 -√

x 1 \u003d (-3 - 3√) / 3 \u003d (-1 (-1 - √ (3)))) / 3 \u003d √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ - √ bu

x 2 \u003d (-3 + 3-raqam) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3)))) / 3 \u003d 1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linganligini va bo'linma-bo'linma teng bo'lgan kvadrat tenglamani aniqlangan kvadrat teng bo'linadi va 2 \u003d 0 ni ma'lum bir kvadrat uchun hal qilamiz
tenglamalar 3-rasm.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (d 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2 -√3

x 1 \u003d (-2 - 2√) / 2 \u003d (-1 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d √ - √ - √ - √ - √ - √ - 1

x 2 \u003d (-2 + 2-3) / 2 \u003d (-1+ √ (3)))) / 2 \u003d 1 + √3

Javob: -1 - √3; -1 + √3.

Ko'rinib turibdiki, ushbu tenglamani turli xil formulalarda hal qilishda biz xuddi shu javobni oldik. Shuning uchun, 1-rasmda ko'rsatilgan formulalarni yaxshi biladi, har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani hal qilishingiz mumkin.

sayt, asl manbaga nisbatan materialning to'liq yoki qisman nusxasini nusxalash kerak.

"Tenglamalar qarori" mavzusini davom ettirishda ushbu moddaning materiallari sizni kvadrat tenglamalari bilan tanishtiradi.

Biror narsani batafsil ko'rib chiqing: Kvadrat tenglamaning mohiyati va yozuvi bilan birga, ildizlar va kamsituvchi, ildizlar va koeffitsientlar formulasi bilan tanishamiz, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi aloqalarni o'rnatamiz. Va albatta biz amaliy misollarni namoyish etamiz.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Kvadrat tenglamasi, uning turlari

1-ta'rif.

Kvadratli tenglama - Bu quyidagi tenglama a · x 2 + B · X + C \u003d 0qayerda X. - o'zgaruvchi, A, B va C. - ba'zi raqamlar a.nol yo'q.

Ko'pincha kvadrat tenglamalari, shuningdek, ikkinchi darajali tenglamalarning nomi deb nomlanadi, chunki Kvadrat tenglama ikkinchi darajaning algebraik tenglamasi hisoblanadi.

Biz ushbu ta'rifni tasvirlash uchun misol keltiramiz: 9 · x 2 + 16 · 2 \u003d 0; 7, 5 İ X 2 + 3, 1 · X + 0, 11 \u003d 0 va boshqalar. - Bu kvadrat tenglamalar.

2-ta'rif.

A, B raqamlari C. - Bular kvadrat tenglama koeffitsientlari a · x 2 + B · X + C \u003d 0, koeffitsient bilan A. U birinchi yoki katta yoki katta yoki x 2, b - ikkinchi koeffitsient yoki qachon koeffitsientga qo'ng'iroq deyiladi X., lekin C. Bepul a'zo qo'ng'iroq qiling.

Masalan, kvadrat tenglamada 6 x X 2 - 2 · X - 11 \u003d 0 Katta katta koeffitsient 6, ikkinchi koeffitsient − 2 va bepul a'zo teng − 11 . Koeffitsientlar bo'lganda diqqat qiling B.va / yoki c salbiy, so'ngra hisob qaydnomasining qisqa shakli qo'llaniladi. 6 x X 2 - 2 · X - 11 \u003d 0, lekin emas 6 x x 2 + (- 2) · X + X + X + (- 11) \u003d 0.

Biz ham bu jihatni aniqlaymiz: agar koeffitsientlar bo'lsa A. va / yoki B. teng 1 yoki − 1 Keyin, keyinchalik kvadrat tenglamasini qayd etishda aniq ishtirok etish, ular ushbu raqamli koeffitsientlar yozuvining xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada Y 2 - y + 7 \u003d 0 Katta katta koeffitsient 1, ikkinchi koeffitsient − 1 .

Belgilangan va turmushsiz kvadrat tenglamalari

Birinchi koeffitsientning qiymati bo'yicha kvadrat tenglamalari yuqorida va to'lanmaganlarga bo'linadi.

3-ta'rif.

Kamaytirilgan kvadrat tenglama - Bu katta koeffitsient 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama. Kektarli koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglamasi yaroqsiz emas.

Biz misollar keltiramiz: Kvadrat tenglamalar x 2 - 4 · X + 3 \u003d 0, x 2 - X - 4 5 \u003d 0 - bu 1 yoshdan katta koeffitsienti 1.

9 x 5 - x - 2 \u003d 0 - birinchi koeffitsientning boshqacha farq qiladigan integral kvadrat tenglamasi 1 .

Agar har ikkala qismdan birinchi koeffitsientga (ekvivalent o'zgarishlar) ajratilgan bo'lsa, har ikkala qismdan ikkiga bo'lingan bo'lsa, har ikkala qismdan ajratilgan har qanday tartibsiz kvadrat tenglamasini amalga oshirish mumkin. O'rnatilgan tenglama belgilangan aqlli tenglama sifatida bir xil ildizlarga ega bo'ladi yoki umuman ildizlarga ega emas.

Muayyan misolni ko'rib chiqish, integral kvadrat tenglamaning hisobvarag'idan o'tishni aniq namoyish etishga imkon beradi.

1-misol.

Tenglama 6 · x 2 + 18 · X - 7 \u003d 0 . Dastlabki tenglamani yuqoridagi shaklda o'zgartirish kerak.

Qaror

Yuqoridagi ko'rsatilganlar sxemasi yuqori koeffitsientning yuqori koeffitsienti bo'yicha dastlabki tenglamaning ikkala qismi bilan ajratiladi. Keyin biz olamiz: (6 x x 5 + 18 · 18): 3 \u003d 0: 3Va bu quyidagicha: (6 İsh 2): 3 + (18 ·): 3 - 7: 3 \u003d 0 Va bundan tashqari: (6: 6) · 6) x 5 + (18: 6) · XO - 7: 6 \u003d 0. Bu yerdan: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0. Shunday qilib, tenglama belgilanadi.

Javob: x 2 + 3 · X - 1 1 6 \u003d 0.

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglama ta'rifiga murojaat qiling. Unda biz buni aniqladik A ≠ 0.. Bunday holat tenglashtirish kerak a · x 2 + B · X + C \u003d 0 Bu aniq kvadrat edi a \u003d 0 Bu asosan chiziqli tenglamaga aylaniladi B · X + C \u003d 0.

Koeffitsientlar bo'lganda B. va C.nolga teng (bu har biri, ham individual va birgalikda, ham mumkin) kvadrat tenglama to'liq emas deb nomlanadi.

4-ta'rif.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - bunday kvadrat tenglama a · x 2 + B · X + C \u003d 0,kamernitylardan kamida bittasi B.va C.(yoki ikkalasi ham) nol.

To'liq kvadrat tenglama - barcha raqamli koeffitsientlar nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglama.

Biz nima uchun kvadrat tenglamalar turlari aniq nomlar berilishini aytamiz.

B \u003d 0 kvadrat tenglama uchun ko'rinishni amalga oshiradi A · X 2 + 0 · X + C \u003d 0Xuddi shu narsa bu a · x 2 + c \u003d 0. Uchun C \u003d 0. Kvadrat tenglama yozib olinadi a · x 2 + B · X + 0 \u003d 0Bu teng a · x 2 + B · X \u003d 0. Uchun B \u003d 0. va C \u003d 0. Tenglama ko'rinishni oladi a · x 2 \u003d 0. Biz olgan tenglamalar to'liq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap qismlari x o'zgaruvchan yoki bepul a'zo yoki ikkalasida ikkalasida ham tarkibiga kirmaydi. Aslida, bu haqiqat bunday tenglamalarning nomi deb e'lon qilindi - to'liq emas.

Masalan, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 va 7 · X 2 - 2 \u003d 1, 3 \u003d 0 to'liq kvadrat tenglamalari; x 2 \u003d 0, - 5 · 2 \u003d 0; 11 · X + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · X \u003d 0 - To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori

Yuqoridagi ta'rif quyidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini ajratib turishga imkon beradi:

• a · x 2 \u003d 0, bu tenglama koeffitsientlarga mos keladi B \u003d 0. va c \u003d 0;
• a · X 2 + C \u003d 0 uchun b \u003d 0;
• a · x 2 + B · X \u003d 0 da c \u003d 0.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning har bir turining qarorini ko'rib chiqing.

A · X 2 \u003d 0 tenglama echimi

Yuqorida aytib o'tilganidek, tenglama koeffitsientlarga mos keladi B. va C.nolga teng. Tenglama a · x 2 \u003d 0 Tengilyatsiyani unga tenglashtirish mumkin x 2 \u003d 0qaysi biz olgan manbaning ikkala qismini raqam uchun almashtiramiz A.nolga teng emas. Tenglamaning ildizi aniq haqiqat x 2 \u003d 0 Bu noldir, chunki 0 2 = 0 . Boshqa ildizlar, bu tenglama darajasi darajasi haqida tushunarli: har qanday raqam uchun tushuntirilgan p,nolga teng emas, sodiq tengsizlik P 2\u003e 0Qachon bor P ≠ 0 tenglik P 2 \u003d 0hech qachon erishilmaydi.

1-ta'rif.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama uchun A · X 2 \u003d 0 faqat ildiz bor x \u003d 0..

2-misol.

Masalan, biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani hal qilamiz - 3 · x 2 \u003d 0. Bu tenglamaga tengdir x 2 \u003d 0, uning yagona ildizi x \u003d 0., Keyin boshlang'ich tenglama faqat ildizga ega - nol.

Qisqa qaror, shunchalik beriladi:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A · X 2 + C \u003d 0 tenglama echimi

Navbatda - b \u003d 0, c ≠ 0, ya'ni shakldagi tenglamalar a · x 2 + c \u003d 0. Biz ushbu tenglamani ikkinchisining bir qismidan boshqasiga o'zgartiramiz va belkuraning ikkala qismiga teng emas, balki raqamga teng emas:

• o'tkazmoq C. to'g'ri qismida tenglamani beradi A · x 2 \u003d - c;
• biz tenglamaning ikkala qismini ham ajratamiz A., Men X \u003d - c a en tugataman.

Bizning o'zgarishlarimiz mos ravishda, natijada tenglama ham manbaga teng, va bu haqiqat tenglamaning ildizlarini tuzishga imkon beradi. Ma'nosi nimadan A. va C.ifodaning qiymati bog'liq - c: u minus belgisi bo'lishi mumkin (aytaylik) a \u003d 1. va C \u003d 2., keyin - c a \u003d - 2 1 \u003d - - 2) yoki ortiqcha belgi (masalan, agar bo'lsa) A \u003d - - 2 va C \u003d 6., keyin - c a \u003d - 2 \u003d 3); Bu nol emas, chunki C ≠ 0.. Keling, vaziyatlarda batafsilroq yashaylik - C a< 0 и - c a > 0 .

Holatda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. Tenglik p 2 \u003d - c rost bo'lolmaydi.

Aks holda, qachon - c a\u003e 0: maksimal ildizni eslang, shundaki, x 2 \u003d - c tenglama x 2 \u003d - c a 2 \u003d - c a. Raqam ekanligini tushunish qiyin emas - c a x 2 \u003d - c a 2 \u003d - c a.

Boshqa ildizlar tenglama yo'q. Biz uni yomon usuldan foydalanib namoyish etishimiz mumkin. Boshlash uchun ildizlarning yuqoridagi belgilarni o'rnating x 1 va - x 1.. Men x 2 \u003d - c tenglama ham ildiz ekanligini taklif qilaman x 2ildizlardan farq qiladi x 1 va - x 1.. Biz buni tenglamaga almashtirishni bilamiz X. Uning ildizlari, biz tenglamani adolatli soniyal tenglikka aylantiramiz.

Uchun x 1 va - x 1. Biz yozamiz: x 1 2 \u003d - c a va uchun x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Summerlik tengliklar xususiyatlariga tayanib, bizga bitta to'g'ri tenglikni qaytaradi, bu bizga beradi: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. So'nggi tenglikni qayta yozish uchun harakatlarning xususiyatlaridan foydalaning (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Ma'lumki, ikki raqamning ishlashi nolga teng va faqat kamida kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Shundan keyin u quyidagicha x 1 - x 2 \u003d 0 va / yoki x 1 + x 2 \u003d 0xuddi shu narsa x 2 \u003d x 1 va / yoki x 2 \u003d - x 1. Aniq qarama-qarshilik paydo bo'ldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan x 2 farq qiladi x 1 va - x 1.. Shunday qilib, biz x \u003d - c a va x \u003d - - C uchun tenglamaning boshqa ildizlariga ega emasligini isbotladik.

Yuqoridagi barcha mulohazalarni umumlashtiramiz.

6-ta'rif.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a · x 2 + c \u003d 0 x 2 \u003d - c tenglama tenglamaga teng:

• qachondir - c a< 0 ;
• ikki ildiz x \u003d - c a va x \u003d - c a l\u003e 0.

Biz tenglamalar tenglamalariga misollar keltiramiz a · x 2 + c \u003d 0.

3-misol.

Kvadrat tenglamasi ko'rsatilgan 9 x 4 + 7 \u003d 0.Uning qarorini topish kerak.

Qaror

Biz bepul a'zoni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglama shaklni oladi 9 x 5 \u003d - 7.
Biz olingan tenglamaning ikkala qismini ham ajratamiz 9 , x 2 \u003d - 7 9 ga keling. O'ng tarafda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, ya'ni: belgilangan tenglamaning ildizi yo'q. Keyin asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama 9 x x 2 + 7 \u003d 0 Ildizi bo'lmaydi.

Javob: tenglama 9 x x 2 + 7 \u003d 0uning ildizlari yo'q.

4 misol.

Tenglamani hal qilish kerak - x 2 + 36 \u003d 0.

Qaror

Biz 36-ni o'ng tomonga siljitamiz: - x 2 \u003d - 36.
Biz ikkala qismni ham ajratdik − 1 , olish x 2 \u003d 36. O'ng tarafda - bu ijobiy raqam, biz bu erdan biz xulosa qila olamiz x \u003d 36 yoki X \u003d - 36.
Ildizni olib tashlang va yakuniy natijani yozing: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - x 2 + 36 \u003d 0 Ikki ildizga ega x \u003d 6. yoki x \u003d - 6.

Javob: x \u003d 6. yoki x \u003d - 6.

A · X 2 + B · X \u003d 0 tenglama echimi

Biz qachon tugallanmagan kvadrat tenglamalarining uchinchi turini ko'rib chiqamiz C \u003d 0.. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning qarorini topish a · x 2 + B · X \u003d 0Shuningdek, biz ko'paytirgichlarga parchalanish usulidan foydalanamiz. Qavslar uchun umumiy tenglamaning chap qismida joylashgan melinomiya oralig'ida tarqalish X.. Ushbu qadam to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani ekvivalentga aylantirish uchun imkoniyat yaratadi X (a · x x) \u003d 0. Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalarning umumiyligiga mos keladi x \u003d 0. va A · x + b \u003d 0. Tenglama A · x + b \u003d 0 Chiziqli va uning ildizi: x \u003d - b a.

Ta'rif 7.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a · x 2 + B · X \u003d 0 ikki ildizga ega bo'ladi x \u003d 0. va x \u003d - b a.

Materialni misol bilan mahkamlang.

5-misol.

2-tenglama echimini topish kerak 2 3 · X 2 - 2 2 7 · X \u003d 0.

Qaror

Keling, etakchilik qilaylik X. Qavslar uchun x · 2 3 3 · 0 tenglamani olish uchun. Ushbu tenglama tenglamalarga teng x \u003d 0. va 2 3 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Endi olib keladigan chiziqli tenglamani hal qilish kerak: 2 3 3 · X \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Shu tarzda yozish uchun tenglamani qisqa muddatli hal qilish:

2 3 3 3 x 2 - 2 2 7 · X \u003d 0 x · 2 3 · XE - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki x \u003d 3 3 7

Javob: x \u003d 0, x \u003d 3 7.

Kamsitish, kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamalarini eritma topish uchun, ildizlarning formulasi mavjud:

8-ta'rif.

x \u003d - b 2 funt qayerda D \u003d B 2 - 4 · C - kvadrat tenglamaning kamsituvchisi deb ataladi.

Emasda X \u003d - B 2 · A mohiyati x 1 \u003d - b + d 2roq, x 2 \u003d - D · 2 ni anglatadi.

Belgilangan formulalar qanday kelib chiqishi va uni qanday qo'llash kerakligini tushunish foydali bo'ladi.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini ishlab chiqarish

Keling, kvadrat tenglamani hal qilishda shubha ostiga qo'yaylik a · x 2 + B · X + C \u003d 0. Bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiring:

• biz ikkala tenglamaning ikkala qismini raqamga ajratdik a.Noldan tashqari, biz kamaytirilgan kvadrat tenglamalarini olamiz: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• biz qabul qilingan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni ta'kidlaymiz:
  x 2 + Baira + x 2 + 2 · B 2 - b 2 · 2 - b 2 · 2 + x 2 · 2 - b 2 · 2 + .
  Shundan so'ng, tenglama shakli: x + b 2 · 2 - b 2 · 2 + c a \u003d 0;
• endi oxirgi ikki atamani o'ng tomonda o'tkazib yuborish, shundan keyin biz buning aksini o'zgartirib: x + b 2 · 2 \u003d b 2 · 2 - c a;
• va nihoyat, biz so'nggi tenglikning o'ng tomonida qayd etilgan iborani o'zgartiramiz:
  B 2 · A 2 - C a \u003d b 2 4 · 2 - C a \u003d b 2 4 · 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Shunday qilib, biz x + b 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · AAO · C 4 · Taxminan manba tenglamaiga keldik a · x 2 + B · X + C \u003d 0.

Oldingi paragraflarda bunday tenglamalarni hal qilishni (to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori) ni tushundik. Geyts X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 elor 2 - 4 · AA 2-sonli tenglamaning ildizlari haqida xulosa qilishga imkon beradi:

• b 2 - 4 ellik 4 · 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 ellik 2 \u003d 0, tenglama x + b 2 · 2 \u003d 0, keyin x + b 2 · 0 ga ega.

Shunday qilib, yagona ildiz x \u003d - B 2 a ravshan;

• b 2 - 4 ellik uchun 2\u003e 0, to'g'ri bo'ladi: x + b 2 · a \u003d b 2 - b 2 - b 2 yoki x 2 a 2 - 4 · bir · bir xil bo'ladi C 4 · 2, deb X + - B 2 · a \u003d B 2 - 4 · a · C 4 · a 2 yoki X \u003d - B 2 · a - B 2 - 4 · A · C 4 · 2, i.e. Tenglama ikkita ildizga ega.

X + B 2 · A 2 \u003d 2-2 - 4 · C-C 4 · 2-sonning mavjudligi yoki yo'qligi degan xulosaga kelish mumkin (va shuning uchun boshlang'ich tenglama) iboraning belgisiga bog'liq 2 - 4 elemek 2, o'ng tomonda yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchi raqami bilan belgilanadi (denominator 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ibora belgisi B 2 - 4 · C. Bu ibora B 2 - 4 · C Ism kvadrat evakuatsiya qilishning kamsituvchisi va D harfining belgisi sifatida belgilanadi. Bu erda siz kamsituvchilarning mohiyatini yozib olishingiz mumkin - uning qiymati bo'yicha va belgisi, agar bo'lsa, ildizlarning soni - bir yoki ikkitasi.

X + B 2 · A TARMOQGA 2 \u003d B 2 - 4 · AA AAD 2. Uni kamssiz belgi yordamida qayta yozaman: x + b 2 · 2 \u003d d 4 · 2.

Xulosalarni yana bir bor shakllantiramiz:

Iding 9.

• uchun D.< 0 Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
• uchun D \u003d 0. Tenglama x \u003d - B 2 Ath;
• uchun D\u003e 0 Tenglama ikkita ildizga ega: x \u003d - b 2 · d 4 · 4 yoki X \u003d - b 2 a + d 4 · 2. Bu ildizlar radikallarning xususiyatlariga asoslangan bo'lishi mumkin: X \u003d - b 2 · d 2 aori yoki - b 2 va 2 · a. Va biz modullarni ochib bersak va fraksiyalarni umumiy denominatorga bersak, biz olamiz: X \u003d - B + D 2 · a, x \u003d d 2 a.

Shunday qilib, bizning mulohazalarimiz natijasida kvadrat tenglama ildizlarining formulasini olib tashlash edi:

x \u003d - b + d 2 · a, x \u003d d 2 air, kamsituvchi D. Formula bilan hisoblangan D \u003d B 2 - 4 · C.

Ushbu formulalar kamsitilganda, ikkalasi ham haqiqiy ildizlarni aniqlashni qiyinlashtiradi. Agar kamsituvchi nol bo'lsa, ikkala formuladan ham foydalanish kvadrat tenglamaning yagona eritmasi sifatida bir xil ildizni beradi. Agar kamsituvchi salbiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning ildiz formulalaridan foydalanishga harakat qilib, biz kvadrat ildizni, kvadrat ildizini salbiy sondan tashqarida olib tashlashga intilamiz. Salbiy kamsituvchi bilan, kvadrat tenglamasi haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, ammo biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan belgilanadigan har tomonlama bir-birlikdagi ildizlar mumkin.

Ildiz formulalarida kvadrat tenglamalarini echish uchun algoritm

Darhol kvadrat tenglamani hal qilish, ildizlarning formulani velosipedda, lekin ular kerak bo'lsa, murakkab ildizlarni topadi.

Asosiy holatlarda odatda u murakkab bo'lmagan, ammo kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlarini qidirish uchun nazarda tutilgan. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanishdan oldin optimal ravishda kamsituvchilarni belgilang va uning salbiy emasligini aniqlang (aks holda biz tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'qligini aniqlaymiz) va keyin ildiz qiymatini hisoblash uchun davom eting.

Yuqoridagi dalillar kvadrat tenglamani echish uchun algoritmni shakllantirish qobiliyatini yaratadi.

10-ta'rif.

Kvadrat tenglamani hal qilish a · x 2 + B · X + C \u003d 0, bu zarur:

• formulaga muvofiq D \u003d B 2 - 4 · C kamsituvchilarning qiymatini toping;
• d. bilan< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0 formula x \u003d - b 2 a formulasi uchun yagona ildizni toping;
• d\u003e 0 uchun X \u003d - B №2 formulasi bo'yicha ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.

E'tibor bering, kamsituvchi nolga teng bo'lsa, siz formulasi x \u003d - b likuladan foydalanishingiz mumkin, u formula x \u003d - b · a.

Misollarni ko'rib chiqing.

Kvadrat tenglamalarining echimlariga misollar

Biz kamsituvchilarning turli qadriyatlari bo'yicha misollarni hal qilamiz.

6-misol.

Tenglamaning ildizlarini topish kerak x 2 + 2 · X - 6 \u003d 0.

Qaror

Biz kvadrat tenglamaning raqamli koeffitsientlarini yozamiz: a \u003d 1, b \u003d 2 va C \u003d - 6. Keyin, biz algoritmda, i.e. Biz kamsituvchilarni hisoblashga o'tamiz, buning uchun biz koeffitsientlarni a, b va C. Kamsitish formulasida: D \u003d B 2 - 4 · AAF \u003d 2 2 - 4 · 4 · 4 · 1 (6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Shunday qilib, biz D\u003e 0 ni oldi va bu boshlang'ich tenglama ikkita haqiqiy ildizlarga ega bo'lishini anglatadi.
Ularni topish uchun biz ildiz formulasi x \u003d d - d · a dan foydalanamiz va tegishli qiymatlarni almashtiramiz, biz olamiz: X \u003d - 2 28 2 · 1. Natijada hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz, ildiz belgisi uchun multiplier qiladi, undan keyin kasrning kesilishi:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · · 7 yoki x \u003d - 2 - 2 2

x \u003d - 1 + 7 yoki x \u003d - 1 - 7

Javob: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7 misol.

Kvadrat tenglamani hal qilish kerak - 4 x x 28 · x 28 · X - 49 \u003d 0.

Qaror

Kamsituvchilarni aniqlang: D \u003d 28 2 - 4 · · 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Ushbu kamsituvchi qiymat bilan boshlang'ich tenglama formulasi x \u003d - b · a formulasi tomonidan aniqlanadi.

x \u003d - 28 2 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Javob: x \u003d 3, 5.

8 misol.

Tenglamani hal qilish kerak 5 + 6 · y + 2 \u003d 0

Qaror

Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari: a \u003d 5, b \u003d 6 va C \u003d 2. Biz ushbu qiymatlarni kamsituvchi topish uchun foydalanamiz: D \u003d B 2 - 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 36 - 40 \u003d - 4. Hisoblangan kamsituvchi salbiy, shuning uchun dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlariga ega emas.

Agar vazifa kompleks ildizlarni belgilash bo'lsa, ildiz formulalarini murakkab raqamlar bilan bajaring:

x \u003d - 6 ± 2 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 i i 10 yoki x \u003d - 6 - 2-i i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · I yoki X \u003d 3 5 - 1 5 - I.

Javob: Haqiqiy ildizlar yo'q; Murakkab ildizlar quyidagicha: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

Maktab dasturida murakkab ildizlarni izlashda hali ham talab yo'q, shuning uchun kamsituvchi kamsituvchi salbiy deb ta'riflangan bo'lsa, javob darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini qayd etadi.

Formuladan ham ikkinchi koeffitsientlar uchun ildizlar

Ilotlarning formulasi x \u003d d 2 · a (D \u003d B 2 - C) xda kvadrat tenglamalarining echimini topishga imkon beradigan boshqa formulani, yanada ixchamni olish imkonini beradi (yoki 2 turdagi koeffitsient bilan, masalan, 2 yoki 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · 7 · 7 · 7 ln 5). Ushbu formula qanday ko'rinishini ko'rsatamiz.

Keling, kvadrat tenglama echimini topish vazifasi A · X 2 + 2 · X + C \u003d 0. Biz algoritmda harakat qilamiz: kamsituvchi d \u003d (2 · n) 2 - 4 · · 2 - 4 · 2 - · 4 · 4 · 4 · · · · · · · · ·) Ildiz formulasi:

x \u003d - 2 ± d 2 a, x \u003d ± № 2 ± 2 va n 2 - № 2 n 2 - A ° № 2 \u003d - n ± n 2 - AA CA.

N 2 - ABA C-ni D 1 (Ba'zan D ») deb atashiga ruxsat bering. Keyinchalik, ikkinchi koeffitsient bilan ko'rib chiqilayotgan maydon tenglamalari ildizlarining formulasi shaklni oladi:

x \u003d - n 1 a, bu erda d 1 \u003d n 2 - AAli.

Ushbu d \u003d 4 · d 1 yoki d 1 \u003d d 4 ekanligini ko'rish juda oson. Boshqacha aytganda, D 1 kamsituvchilarning chorak qismidir. Ko'rinib turibdiki, d 1 belgisi bilan bir xil ekanligi aniq, bu d 1 belgisi, maydoni tenglamaning ildizlari yoki yo'qligining ko'rsatkichi bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Izoh 11.

Shunday qilib, 2 · n ikkinchi koeffitsient bilan kvadrat tenglamasini echimini topish kerak:

• d 1 \u003d n 2 - A;
• d 1 bilan.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0 uchun X \u003d - N a formulasi tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
• d 1\u003e 0 uchun X \u003d - N 1 a formulasi bo'yicha ikkita haqiqiy ildizlarni aniqlang.

9-misol.

Kvadrat tenglamani hal qilish kerak 5 · X 2 - 6 · X - 32 \u003d 0.

Qaror

Belgilangan tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2 · (3) sifatida tasvirlanishi mumkin. Keyin belgilangan kvadrat tenglamasini 5 · 2 + 2) · (32 \u003d 0, n \u003d 1 va C \u003d 32) sifatida qayta yozing.

Biz kamsituvchilarning to'rtinchi qismini hisoblaymiz: d 1 \u003d n 2 - A · A · (- 3) 2 - 5 · 5 + 160 \u003d 169. Qiymat ijobiy qiymat, bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega ekanligini anglatadi. Biz ularni tegishli ildiz formulasiga ko'ra aniqlaymiz:

x \u003d - n 1 a, x \u003d - - - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 yoki x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2

Hisob-kitoblarni va kvadrat tenglama ildizlarining odatdagi formulasi bilan, ammo bu holda echim juda qiyinroq bo'ladi.

Javob: x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2.

Kvadrat tenglamalar turlarini soddalashtirish

Ba'zida ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradigan manba tenglama turini optimallashtirish mumkin.

Masalan, 12 kvadrat tenglamasi 12 · X 2 - 4 · X - 7 \u003d 0 - bu 1200 · X 2 - 400 · 8 - 700 \u003d 0.

Ko'pincha kvadrat tenglama turini soddalashtirish ikkala qismning ko'payishi yoki bo'linishi bilan bir qator raqamga aylantiriladi. Masalan, biz 1200 · x 2 - 400 lagan - 700 \u003d 0, har ikkala qismni 100 ga ajratish orqali olgan sodda rekordni ko'rsatdik.

Kvadrat tenglama koeffitsientlari o'zaro oddiy raqamlar bo'lmaganda bunday konversiya mumkin. Shunda odatda tenglamaning ikkala qismini ham koeffitsientlarning mutlaq qiymatlarining mutlaq qiymatlarining eng katta umumiy bo'linmasiga bo'lish mumkin.

Bunga misol sifatida kvadrat tenglamadan foydalaning 12 · X 2 - 42 İF + 48 \u003d 0. Biz koeffitsientlarning mutlaq qiymatlarining mutlaq qiymatlari ostidagi tugunni belgilaymiz: tugunlar (12, 42, 48) \u003d tugun (12, 42), 48) \u003d tugun (6, 48) \u003d 6. Biz asl kvadrat tengligini 6 ga tenglashtiramiz va biz 2-ga teng kvadrat tenglamasini amalga oshiramiz 2 · X 2 - 7 · 8 \u003d 0.

Kvadrat tenglamaning ikkala qismining ko'payishi odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ladi. Shu bilan birga, uning koeffitsientlarining eng kichik umumiy general-mazhabi bilan ko'paytiriladi. Masalan, agar kvadrat tenglamaning har bir qismi bo'lsa, 1 6 x x 5 + 2 3 · X - 3 \u003d 0 MOQdan (6, 3, 1) \u003d 6, keyin u sodda shaklda qayd etiladi + 4 · X - 18 \u003d 0.

Va nihoyat, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsiyasida minusdan xalos bo'lishini ta'kidlaymiz va 1 qismning har bir qismining ko'payishi yoki ikki qismining ko'payishi natijasida erishilgan tenglamaning belgilarini o'zgartiradi. Masalan, kvadrat tenglamadan - 2 · X 2 - 3 · X + 7 \u003d 0, siz soddalashtirilgan versiyasiga 2 · 2 + 3 - 7 \u003d 0 ga borishingiz mumkin.

Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi aloqa

Kvadrat tenglamalarning ildizlarining formulasi X \u003d - B 2 · Biz allaqachon tanilgan, biz allaqachon ma'lum bo'lgan tenglamaning ildizlarini raqamli koeffitsientlar orqali ifodalaydi. Ushbu formulaga tayanib, bizda ildizlar va koeffitsientlar orasidagi boshqa qaramlikni o'rnatish imkoniyati mavjud.

Eng mashhur va qo'llanilishi Veta teoremasi formulalari:

x 1 + x 2 \u003d - b a va x 2 \u003d c a.

Xususan, qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar miqdori qarama-qarshi belgi bilan ikkinchi koeffitsient va ildizlarning mahsuloti bepul. Masalan, kvadrat tenglamasiga ko'ra, 3 · X 2 - 7 · X + 22 \u003d 0.

Shuningdek, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi boshqa boshqa havolalarni topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlarining kvadratlari yig'indisi koeffitsientlar orqali ifodalanishi mumkin:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · 1 x x x 5 \u003d - 2 2 - 2 a 2 a 2 a 2 - B 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 2.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing