Haqiqiy dunyoda imkonsiz raqamlar. Imtiyozli haqiqat deyiladi

29.06.2019

Shuningdek o'qing

Gilgamish haqida qadimgi panalashgan Hilgamesh afsonalarining ertaklari

Qadimgi Yunonistonning fighi tarixi Demal va iCar o'qish

Yunon mifologiyasining qahramonlari

Antik afsona qahramonlari yunon mifologiyasining qahramonlari

Onlayn o'qiydi boksli antik davrning afsonalari sakkizinchi kitob

Gu Onszmerazskaya asosiy kompozitsion maktabi

Mumkin bo'lmagan raqamlar

Yo'nalish: fizik va matematik

Ijrochi ish : Dippel Sergey talabasi Onserazhsk qishlog'ining Kachirskiy tumani Kachirskiy Ovana tumanining 6-sinfi

Menejer: Dovjenko Natalya Vladimirovna matematikachisi Onserazhskaya OSh

2013 yil

Xulosa / Izoh / ........................... ............................ 2

Kirish ............................................... ................................. 3

1. Bir oz hikoya ............................. ................. .5

2. Keraksiz raqamlar turlari ......................... ............9.9.9

3. Oskar Ruthesvard - Mumkin bo'lmagan rasm ............................................. ... 16

4. Mumkin bo'lmagan raqamlar - mumkin! ............................. ................................................. ...................................................

Xulosa ....................................... ....................................... 21 21

Foydalanishlar ro'yxati ............................... ....................... 22 22

Xulosa / Izoh /

Loyihaning bosqichlari:

1-bosqich.

Muammoni o'rnatish, axborot-tadqiqot ishlarining maqsadlari, vazifalarini belgilash;

Mumkin bo'lmagan raqamlar haqida suhbatlar o'tkazish;

Muammoli masalalarni shakllantirish, loyihani amalga oshirishga undash;

"Imtiyoz raqamlari" mavzusida oldindan ish olib borish;

Tajribali ish rejasini muhokama qilish va tayyorlash, g'oyalar va takliflar bankini yaratish. Axborot manbalarini tanlash.

2-bosqich. Loyihani amalga oshirish faoliyati.

Axborot va ma'rifiy suhbatlar;

Axborot qidiruv ishlari;

Eksperimental ish;

Adabiyot manbalarini haqida umumiy ma'lumot; Adabiyot sharhi

Maqsadlarning yutuqlari

Kirish

Bir muncha vaqt men bunday raqamlarga qiziqdim, ular birinchi qarashda odatdagidek ko'rinadi va ularda biron bir narsa bunday emasligini ko'rish mumkin. Men uchun asosiy qiziqish bu mumkin bo'lmagan narsalarga o'xshardi, ular haqiqiy dunyoda bo'lolmaydigan taassurot paydo bo'ldi. Men ular haqida ko'proq bilishni xohlardim.

Rok-rasmlar ortidan deyarli ma'lum bo'lishiga qaramay, ularning muntazam ravishda tadqiq qilinishi, ya'ni deyarli bizning matematikadan oldin, ulardan, ulardan ulardan silkitgan zerikarli tushunmovchilik.

1934 yilda Oskar Retservard (Oskar ReuterVard) tasodifan o'zining birinchi imkonsiz shaklini yaratdi - to'qqiz kubdan iborat uchburchak, ammo biror narsani tuzatishning o'rniga, birin-ketin boshqa imkonsiz raqamlarni yaratishni boshladi.

Hatto kub kabi oddiy shishalar, paralleleveded kabi paralleleveded kuzatuvchining ko'zidan turli xil rasmlarning kombinatsiyasi sifatida tasvirlangan. Har doim yaxlit rasmda birlashtirilgan qismlarning tasviri har doim chizish kerak.

"Mumkin bo'lmagan raqam - bu aslida mavjud bo'lmagan uchta o'lchovli ob'ekti, ammo ikki o'lchovli tasvir sifatida ko'rish mumkin." Bu turlardan biri optik xayolot, Birinchi qarashda, odatdagi uch o'lchovli ob'ektni puxta ko'rib chiqishni istagan raqam, bu raqamning ko'rinishi ko'rinadigan bo'lishi mumkin. Bunday raqamning mavjudligi iloji yo'q uch o'lchovli makonda yaratilgan.

Ularning mohiyatlari haqidagi aniq ta'rifi haqida imkonsiz bo'lmagan narsalar to'g'risida ko'plab nashrlarga qaramay, shakllantirilmaydi. Imkoniyat bo'lmagan raqamlar dunyoni idrok etishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq barcha optik xayolotni o'z ichiga olishini o'qish mumkin. Boshqa tomondan, bir kishi sizga yashil odam yoki o'n qo'l va besh boshni va bularning barchasi mumkin emasligini aytadi. Shu bilan birga, u o'z huquqlarida bo'ladi. Axir o'n oyoqli yashil odamlar yo'q. Bunda biz shaxsning aniq ko'rinib turgan raqamlarning tekis rasmlarini aniq tushunamiz, chunki ular bir kishi tomonidan idroksiz, aslida tasvirlar yoki buzilishlar aks ettirilmaydi va uch o'lchovli shaklda tasavvur qilinmaydi. Albatta, uch o'lchovli shaklda vakillik qilishning mumkin emasligi tushuniladi, albatta, imkonsiz bo'lmagan raqamlar ishlab chiqarishda maxsus vositalardan foydalanishni hisobga olmagan holda, har doim rasm yaratib bo'lmaydi, chunki har doim rasmlarni hakromik tizimni qo'llash mumkin emas, qo'shimcha elementlar va raqamning egilish elementlari, so'ngra uni to'g'ri burchakni suratga olishdi

Mening oldimda savol tug'ildi: "Haqiqiy dunyoda imkonsiz bo'lmagan raqamlar mavjudmi?"

Loyihaning maqsadlari:

1. Haqiqiy bo'lmagan raqamlar qanday yaratilganligini mashq qiling.

2. Keraksiz raqamlarni qo'llash joylarini toping.

Loyihaning vazifalari:

1. "Imtiyoz raqamlari" mavzusida mavzu bo'yicha adabiyotlar.

2. Keraksiz raqamlar tasnifini yarating.

3. Imkonsiz raqamlarni yaratishning munozarasi usullari.

4. Muvaffaqiyatsiz shaklni yarating.

Mening ishimning mavzusi muhimdir, chunki paradokslarning tushunchasi eng yaxshi matematika, olimlar va rassomlarning ijodiy salohiyatining turiga kiradi. "Intellektual matematik o'yinlarga" haqiqiy bo'lmagan ob'ektlar bilan ish olib borishi mumkin. Siz shunga o'xshash dunyoni matematik formulalar yordamida taqlid qilishingiz mumkin, odam shunchaki uni taqdim etmaydi. Va fazoviy tasavvurni rivojlantirish uchun imkonsiz shakllar foydalidir. Bir kishi o'zining sodda va tushunarli bo'lishini juda totirir. U atrofdagi ba'zi narsalar "imkonsiz" bo'lishi mumkinligini tasavvur ham qila olmaydi. Aslida, dunyo bitta, lekin siz buni turli tomonlardan hisoblashingiz mumkin.

Mumkin bo'lmagan raqamlar

Hikoyaning ozgina qismi

Tasmollanmagan raqamlar ko'pincha qadimgi gravirlar, rasmlar va piktogrammalarda uchraydi - ba'zi hollarda biz istiqbollarning uzatilishining aniq xatolariga, boshqalarida esa badiiy maqsad tufayli qasddan buzilishlar bilan aniq xatolar bilan bog'liq.

Biz fotosuratlarga ishonishga odatlanganmiz (va biroz kamroq - chizmalar va chizmalar), ular har doim qandaydir haqiqatga (haqiqiy yoki xayoliy) to'g'ri keladi deb ishonamiz. Birinchisining misoli - bu paralleleved, ikkinchisi - elf yoki yana bir ajoyib hayvon. AQShning kosmosining yo'qligi, biz kuzatgan vaqt yoki biz kuzatib bo'lmaydigan narsa degani emas. Iloji boricha (gips, plastinka yoki papier-mashinaning yordamiga ishonch hosil qilish oson). Ammo umuman bo'lmaydigan narsani qanday chizish kerak?! Nimani umuman qurish mumkin emas?!

"Imkoniyatsiz raqamlar" ning juda katta sinfi, xato bilan bog'liq bo'lgan narsalar paydo bo'ladi, ularda qiziqarli vizual effektlar paydo bo'lishi natijasida psixologlarga ish (ostida) ish printsiplari bilan shug'ullanishga yordam berishadi.

O'rta asrlardagi yapon va fors rassomlikda imkonsiz narsalar sharqiy badiiy uslubning ajralmas qismi bo'lib, ular o'z xohishlariga ko'ra, "" "" "" "" "Tafsilotlar" o'z xohishlariga ko'ra, "" "" Tafsilotchi "o'z xohishlariga ko'ra," "" "Kosher" o'z xohishlariga ko'ra, "" "" Tafsilotlari "o'z xohishlariga ko'ra," "" "Kosherni" o'z xohishiga ko'ra "" "mavzusida" bo'lishi kerak. Bu erda bizda maktab bor. Bizning e'tiborimiz kelib chiqadigan me'moriy tuzilmaga diqqat markazida, ya'ni aniq. Uni xonaning ichki devori sifatida va binoning tashqi devori sifatida talqin qilish mumkin, ammo biz ikkala talqinlar noto'g'ri, chunki biz bir vaqtning o'zida va tashqi va tashqi devor, ya'ni rasm namoyish etamiz odatdagi imkonsiz narsa.

Bosqichli nuqtai nazar bilan rasmlar birinchi ming yillikning boshida allaqachon topilgan. Miniatyura bo'yicha 1025 tagacha yaratilgan va Myunxendagi Bavariya davlat kutubxonasida saqlangan Madonna chaqaloq bilan chizilgan. Rasmda uchta ustundan iborat to'plam ko'rsatilgan va istiqbol qonunlariga muvofiq o'rtacha ustun Madonna oldidan joylashgan bo'lishi kerak, ammo bu tushunadigan narsaning ta'siri aks ettiriladi.

"Mumkin bo'lgan tartibda qo'llanma" maqolada ( buning uchun imkonsiz.info/russian/culpa/pewtectweoratyworder.dml.) Imkoniyat raqamlarining quyidagi ta'rifi keltirilgan: " Buning uchun imkonsiz shakl - bu bizning fasli idrokimiz tomonidan taklif etilgan ob'ekt mavjud bo'lmagan narsa, shuning uchun uni yaratishga urinish (geometrik) qarama-qarshiliklar, aniq ko'rinadigan kuzatuvchiga olib kelishi uchun, uch o'lchovli ob'ektning taassurotini keltirib chiqaradi". Taxminan bir xil yozish va jinsiy olatni ularning eslab bo'lmaydigan maqolalarida:" Shaklning har bir alohida qismi normal uch o'lchovli ob'ektga o'xshaydi, ammo rasm bo'laklarini noto'g'ri ulashganligi sababli, rasmni idrok etishning iloji yo'qolganga to'liq olib keladi", Lekin ularning hech biri savolga javob bermaydi: nega bularning hammasi sodir bo'ladi?

Shu bilan birga, hamma narsa oddiy. Bizning idrokimiz ikki o'lchovli raqamni qayta ishlash paytida ishlab chiqilgan, chunki miya buni hayotiy tajribaga yo'naltirgan holda, 3D-ni 3D-ni tashkil etishning eng oddiy usulini tanlaydi va yuqorida ko'rsatilgan, "mumkin bo'lmagan" raqamlar, bizning ongsizligimiz notanish, ammo ular bilan tanishgandan so'ng, miya hali ham sodda va faqat uzoq vaqtdan keyin Muddatli mashg'ulotlar, ongli ravishda ongli ravishda "vaziyatga kiradi" va "mumkin bo'lmagan raqamlarning ko'rinishi" g'ayritabiiy ravishda yo'qoladi.

Keling, o'pkadan boshlaylik. Rasmni ko'rib chiqing (ha, ha, bu kompyuter tomonidan yaratilgan flalik rassom tomonidan chizilgan flalik rassom tomonidan chizilgan flandiy rassom tomonidan chizilgan fotosurat emas. Savol shundaki, u qanday jismoniy voqelikka mos kelishi mumkin?

Bir qarashda, me'moriy tuzilmasi imkonsiz bo'lib tuyuladi, lekin ikkinchi zumkima ongini qabul qilish varaqasi kuzatuvchisiga kiradi va uchastkada uchraydigan versiyalarda uchraydi Masonri, lekin aslida bo'sh joy tanlangan proektsiyaning "muvaffaqiyatli" tufayli "yopiladi". Ohn bo'lgandan keyin "shifrlangan" rasmni, u (va shunga o'xshash barcha o'xshash tasvirlar) to'liq normal va geometrik qarama-qarshiliklar paydo bo'ladi.

Josaa de mayaning imkonsiz tasviri

"Sharshara" ("sharshara" yoki uning soddalashtirilgan kompyuter modelining mashhur rasmini ko'rib chiqing. Fotorealistik uslubda ishlab chiqarilgan. Bir qarashda bir qarashda paradokslar mavjud emas, bizda ... abadiy motorning chizilishi tasvirlangan oddiy rasm mavjud !!! Ammo, siz maktab o'quv yilidan ma'lum bo'lganingizdek, abadiy dvigatelingiz mumkin emas! Qanday qilib Eschru tabiatda nima bo'lishi mumkinligini tasvirlashga muvaffaq bo'ldi?!

Eskerning gigringida abadiy dvigatel.

Abadiy motor Eskerning kompyuter modeli.

Dvigatelni chizish bo'yicha (yoki uni ehtiyotkorlik bilan tahlil qilish bilan), "aldash" zudlik bilan - uch o'lchovli makonda, bunday tuzilmalar faqat qog'ozda, ya'ni qog'ozda bo'lishi mumkin Samolyot va "hajm" ning xayoloti faqat istiqbol belgilari tufayli yaratilgan (bu holda, ataylab buzilgan) va bunday eng yaxshi asarni osongina buzib tashlaymiz, proektsionerni ko'rsatib, ikki ochko to'plamaymiz Xatolar.

Kerakli raqamlar turlari.

"Imkonsiz raqamlar" 4 guruhga bo'linadi. Shunday qilib, birinchi

Ajablanarli uchburchak - urbar.

Bu - pasdasida chop etilgan birinchi imkonsiz ob'ekt mumkin. U 1958 yilda paydo bo'lgan. Uning mualliflari, otasi va o'g'li Lionell va Rojer Penope, genetik va matematika mos ravishda ushbu ob'ektni "uch o'lchovli to'rtburchaklar tuzilishi" deb belgilab qo'yishdi. Shuningdek, u "Tribar" nomini oldi. Bir qarashda, tribar teng tomonli uchburchakning tasviri ko'rinadi. Ammo tomonlar rasmning yuqori qismida birlashadi. Shu bilan birga, keyinchalik chap va o'ng yuzlar ham perpendikulyar bo'lib tuyuladi. Agar siz har bir tafsilotga alohida qarasangiz, haqiqiy ko'rinadi, lekin umuman olganda, bu raqam mavjud emas. Bu deformatsiyalanmaydi, ammo to'g'ri elementlar noto'g'ri ulangan.

Bu erda Tribariyaga asoslangan imkonsiz bo'lmagan raqamlarning yana bir nechta misollari.

Triple 12 kub dan tibar uchburchagi

Qanotli tibar uch baravar domino

Albatta, imkonsiz raqamlar bilan tanishish (ayniqsa Eskerni ijro etishda), albatta, ajoyib, ammo imkonsiz bo'lmagan shaxslarning haqiqiy uch o'lchovli dunyoda qurilishi mumkinligi, ehtiyot bo'lishga olib keladi.

Ma'lumki, ikki o'lchovli tasvir uch o'lchovli raqamni tekislikda (varag'ida) proektsioneridir. Joylashtirish usullari juda ko'p, ammo ularning har birida xaritalash, ya'ni uch o'lchovli raqam va uning ikki o'lchovli tasviri o'rtasida qat'iy yozishmalar mavjud. Ammo ekonometrik, izometrik va boshqa ommaviy proektsion usullar ma'lumotlarning yo'qolishi bilan amalga oshiriladigan antisizlikal o'zgarishlardir, shuning uchun teskari o'zgarishlar cheksiz usullar to'plami, ya'ni ikki o'lchovli rasm cheksiz tasvirga mos keladi Raqamlar va har qanday matematik har qanday ikki o'lchovli tasvir uchun bunday konversiya qilish mumkinligini osongina isbotlaydi. Bu, aslida imkonsiz raqamlar!

Keling, penroz uchburchagiga qaytib kelaylik va ikki o'lchovli samolyotda ko'rsatilgan uch o'lchovli raqamni ishlab chiqishga harakat qilaylik. Tabiiyki, bu to'g'ridan-to'g'ri bunday vazifani hal qila olmaydi, lekin agar siz yaxshi deb o'ylasangiz va to'g'ri burchakni tanlasangiz, ... mumkin bo'lgan variantlardan biri bu raqamda ko'rsatilgan.

Mumkin bo'lmagan uchburchak penroz.

Ammo Mateiu Gemacherza-dan yana bir xarita. Mumkin bo'lgan orqa tomon parametrlari. Juda ko'p. Cheksiz juda ko'p!

Har bir uchburchakli penroz turli burchaklarda.

Aytgancha, penroz uchburchagi Pertdagi haykal shaklida o'girilib, (Avstraliya). Brayan MakKay / Brayan Makkash rassomning sa'y-harakatlari bilan 1999 yilda u 1999 yilda u "imkonsiz" raqamni ko'rish mumkin.

Peruza uchburchagi Avstraliyada

Ammo bu fikr almashinuvi arziydi, chunki "imkonsiz" ning uchburchagi sifatida uchburchaklar bilan bog'liq bo'lmagan haqiqiy va estetik jihatdan yoqimsiz tuzilishga aylanadi.

Bu uchburchak penroz kabi ko'rinadi.

Cheksiz zinapoyalar

Ushbu raqam ko'pincha "cheksiz zinapoya", "Abadiy zinapoyasi" yoki "penrose zinali" deb nomlanadi - Yaratuvchisi nomi bilan. Shuningdek, u "doimiy ravishda ko'tarilayotgan va pastga yo'naltirish" deb ham nomlanadi.

Birinchi marta bu ko'rsatkich 1958 yilda nashr etilgan. Bizda zinapoya bor, yuqoriga, yuqoriga yoki pastga, lekin shu bilan birga u orasidan o'tib ketmaydi va yiqilmaydi. Ko'rinadigan marshrutini tugatgandan so'ng, u yo'lning boshida bo'ladi.

"Cheksiz zinapoyaning" rassomi Mastitz K. Eskirchi muvaffaqiyatli ishlatilgan, bu safar uning litografiyasida 1960 yilda yaratilgan.

To'rt yoki oilaviy qadam bilan zinapoya. Bu raqamni yaratish uchun muallif oddiy temir yo'l qatlamlarini ilhomlantirishi mumkin. Ushbu zinapoyada ko'tarilish uchun yig'ilganingizda, siz tanlashdan oldin turasiz: to'rt yoki ettita bosqichda ko'tarilish.

Ushbu zinapoyaning yaratuvchilari bir xil masofada joylashgan bloklarning cheklangan qismlarini ishlab chiqishda parallel chiziqlar ishlatilgan; Aftidan, ba'zi bir bloklar xayolga mos keladi.

Kosmik vilka.

"Kosmik vilkalar" ning umumiy nomi ostida keyingi raqamlar guruhi. Ushbu raqam bilan biz juda yadroga va imkonsizlarning mohiyatini kiritamiz. Ehtimol, bu mumkin bo'lmagan narsalarning eng ko'p sinfi.

1964 yilda uchta (yoki ikki vaqtli) tishlari bo'lgan bu dahshatli imkonsiz narsa 1964 yilda muhandis va jumboq ixlosmandlari bilan mashhur bo'ldi. Birinchi nashr 1964 yil dekabr oyida paydo bo'lgan g'ayrioddiy shaxsga bag'ishlangan birinchi nashr. Muallif uni "uchta elementdan iborat qavs" deb atadi.

Amaliy nuqtai nazardan, bu g'alati arxiv yoki qavs shaklidagi mexanizm mutlaqo qo'llanilmaydi. Ba'zilar uni shunchaki "zerikarli xato" deb atashadi. Aerokuza sanoatining vakillaridan biri o'z xususiyatlaridan biri, ichki kilogrammalarni qurishda foydalanishni taklif qildi.

Imkonsiz qutilar

"Crazy Box" - bu ichkaridagi kub ramkadan tashqarida. "Crazy Box" ning zudlik bilan oldingi "imkonsiz quti" (muallif Escher) va uning oldidan, o'z navbatida, marjon kubiga aylandi.

Bu imkonsiz narsa emas, ammo chuqurlik parametrini noaniq qabul qilish mumkin bo'lgan raqam.

Biz bo'yin kubini qidirib topganimizda, yuzning oldida yuzning old tomonida, keyin fonda bir pozitsiyadan sakrab chiqayotganini payqadik.

Oskar RutceVard - otasiz raqam.

Mumkin bo'lgan raqamlarning "otasi" - Shvetsiya rassomi Oskar Ruthervard. Shved rassomi Oskar Rutersvard, u matematikadan kam tushunilgan mutaxassisning ta'kidlashicha, u matematikadan kam tushunilgan, ammo shunga qaramay, u fan unvoniga sazovor bo'lgan, ammo an'anaviy bir qatorda iloji bo'lmagan raqamlarni yaratishni yaratdi naqshlar.

Oskar Reysentsning imkonsiz raqamlari.

Raqamlarni ikkita asosiy guruhga bo'lindi. Ulardan biri u "haqiqiy imkonsiz raqamlar" deb atadi. Bu uch o'lchovli tanalarning ikki o'lchovli tasvirlari, ular qog'ozga bo'yash va ularga soyalarni qo'llash mumkin, ammo ularda yaxlit va barqaror chuqurlikka ega emaslar.

Yana bir turi shubhali bo'lmagan raqamlar. Bu raqamlar yagona qattiq jismni anglatmaydi. Ular ikki yoki undan ortiq raqamlarning aralashmasi. Ular bo'yalgan va ularga engil va soyalarini qo'ymaslik kerak.

Haqiqiy imkonsiz elementlar belgilangan elementlarning belgilangan miqdoridan iborat bo'lib, shubhali "yo'qotish", agar siz ularni ko'zlarim bilan izlasangiz.

Ushbu imkonsiz raqamlarning bir versiyasi juda oson, va avtomatik ravishda telefonda gaplashayotganda avtomatik ravishda chizilganlarning ko'pi, u bir necha marta bajarilmagan. Besh, olti yoki etti yoki etti parallel chiziqlarni sarflash, turli xil maqsadlarni turli xil yo'llar bilan tugatish kerak - va mumkin bo'lmagan rasm tayyor. Agar, masalan, beshta parallel chiziqlarni o'tkazsangiz, ular bir tomondan ikkita nur va ikkinchisida uchta nur sifatida tugatish mumkin.

Rasmda biz shubhali bo'lmagan raqamlar uchun uchta variantni ko'ramiz. Etti satrda qurilgan uch etti qutidan qurilgan uch o'rinda, uchta nur yetti ga aylanadi. O'rta bir qatordan qurilgan, bitta nur ikki yumaloq yog'ochga aylanadi. To'rt qatordan qurilgan o'ngdagi rasm, unda ikki yumaloq yog'och ikkita nurga aylanadi

Ruters hayoti uchun 2500 ga yaqin raqamlarni tasvirlab berdi. Rutesvard kitoblari ko'plab tillarda, shu jumladan rus tillarida nashr etilgan.

Mumkin bo'lmagan raqamlar mumkin!

Ko'pchilik bunga imkonsiz bo'lmagan raqamlar haqiqatan ham imkonsizdir va ular haqiqiy dunyoda yaratilishi mumkin emas. Ammo shuni esda tutish kerakki, qog'oz varag'idagi har qanday rasm uch o'lchovli raqamning proektsiyasidir. Binobarin, qog'oz varag'ida chizilgan har qanday raqam uch o'lchovli makonda bo'lishi kerak. Rasmlardagi imkonsiz narsalar uch o'lchovli ob'ektlarning prognozidir, shuning uchun ob'ektlar haykaltaroshlik kompozitsiyalari sifatida amalga oshirilishi mumkin. Ularni yaratishning ko'plab usullari mavjud. Ulardan biri bu liniyalarni imkonsiz uchburchakning yon tomonlari sifatida ishlatishdir. Yaratilgan haykal faqat bitta nuqtadan imkonsiz ko'rinadi. Shu nuqtai nazardan, yon chiziqlar to'g'ri ko'rinadi va maqsadga erishiladi - haqiqiy "imkonsiz" ob'ekt yaratildi.

Rossiyalik rassom Anatoliy Konenko, bizning zamonaviy, imkonsiz joylarni 2 sinfga bo'linadi: voqelikka taqlid qilish mumkin, boshqalari modellashtirilmaydi. Imkoniyat bo'lmagan raqamlarning modellari Amem modellari deyiladi.

Men imkonsiz rasmimni qildim. Men qirq ikki kubni oldim va ularni yopishtirdim, bu kub bo'lib, unda chet elning bir qismi yo'q. Shuni ta'kidlash kerakki, to'liq xayol yaratish uchun to'g'ri ko'rinishi va to'g'ri yoritilishi kerak.

O. Kengashidan foydalanib imkonsiz raqamlarimni yarataman. Qog'ozda ettita parallel segmentni tugatdim. Ularni singan chiziqning pastki qismidan bog'lab, yuqoridan, ularga parallelitedlar shaklini berdi. Unga avval yuqoridan yuqoridan qarang. Ushbu raqamlarning cheksiz ko'pi bor.

Imkoniyat raqamlarini qo'llash

Ba'zida imkonsiz raqamlar kutilmagan foydalanishni topadi. Oskar Rutersvard "Ozjalgan Tadqiqot" kitobida psixoterapiya uchun inshootlardan foydalanish to'g'risida hikoya qiladi. Uning yozishicha, ularning parikoklari bilan rasmlar hayratlanarli, diqqatni ochish va istamaslik istagi paydo bo'lganligini yozadi. Psixolog Roger Shepard imkonsiz filning surati uchun jasad g'oyasini ishlatdi.

Shvetsiyada ular stomatologiya amaliyotida qo'llaniladi: ziyofatdagi rasmlarni hisobga olgan holda, bemor tish shifokori kabineti oldida yoqimsiz fikrlardan chalg'itadi.

Tasmol bo'lmagan raqamlar rassomlarni iloji boricha yangi yo'l-yo'riq yaratish uchun iloji yo'qligi bilan bir tomonlama yo'l-yo'riq yaratish uchun ilhomlantirgan. Nopokistlar Escher Gollandch Rassomiga kiradi. Uning Peru mashhur litografiyalarga egalik qiladi "sharsharalar", "toqqa chiqish va tushish" va "Belvedere". Rassom "cheksiz zinapoyaning" ta'siridan foydalangan, RUCTEVARD.

Chet elda, shahar ko'chalarida biz mumkin bo'lmagan joylarning me'moriy qismlarini ko'rishimiz mumkin.

Ommaviy madaniyatda imkonsiz bo'lmagan shaxslardan eng mashhur vositalar - Renault avtorontrastenining logotipi

Matematika, ikkalasi ham saroylar paydo bo'lishi mumkin bo'lgan saroylar paydo bo'lishi mumkinligini ta'kidlaydilar. Buning uchun siz faqat bunday tuzilishni uch o'lchovda yo'q qilishingiz kerak, ammo to'rt o'lchovli makonda ayting. Va virtual dunyoda zamonaviy kompyuter texnologiyalarini ochadi va uni amalga oshirish mumkin emas. Shunday qilib, hozirgi paytda u tongda imkonsiz olamlarning mavjudligiga ishongan odamning g'oyalari amalga oshirilmoqda.

Xulosa.

Mumkin bo'lmagan raqamlar bizning ongimizni birinchi marta ko'rishga majbur qiladi, keyin javobni qidirib toping - bu paradoksning mayizi yashirin emas. Va ba'zida javob ba'zan unchalik sodda emas - bu rasmlarni optik, psixologik, mantiqiy idrok etishda yashiringan.

Ilm-fanning rivojlanishi, yangi tarzda o'ylash, go'zal hayotning barcha talablari - bu fazoviy fikrlash, xayolotni o'zgartirishga qodir bo'lgan yangi usullarni izlaydi.

Mavzudagi adabiyotlarni o'rgangandan so'ng, men "Haqiqiy dunyoda imkonsiz raqamlar yo'qmi?" Savolga javob bera olmadimmi? Men imkonsiz va haqiqiy bo'lmagan shaxslar o'z qo'llari bilan amalga oshirilishi mumkinligini angladim. Men "Imem" modelini "imkonsiz Kuba" yaratdim. Imkonsiz raqamlarni qurish yo'llarini ko'rib chiqsak, men imkonsiz raqamlarimni jalb qila oldim. Men buni ko'rsatib oldim

Chiqish: Barcha imkonsiz raqamlar haqiqiy dunyoda bo'lishi mumkin.

Raqamlardan foydalanish imkonsiz bo'lgan boshqa sohalar mavjud.

Shunday qilib, imkonsiz raqamlar dunyosi juda qiziqarli va rang-barang. Imkoniyat raqamlarini o'rganish geometriya nuqtai nazaridan juda muhimdir. Ishchilarning fazoviy tafakkurini rivojlantirish uchun ishlash matematik sinflarda foydalanish mumkin. Ixtiroga moyil bo'lgan ijodkorlar uchun, tajriba - bu yangi, g'ayrioddiy narsalarni yaratish uchun qiyin narsa.

Adabiyotlar ro'yxati

Levitin Karl geometrik rapsodi. - m.: Bilim, 1984, -176 p.

Penroz l., penroz R. mumkin bo'lmagan narsalar, kvant, $ 51971, p.26

Qayta uchraydigan O. mumkin bo'lmagan raqamlar. - m .: Stroyzdat, 1990, 206 p.

Tkaxeva m.V. Aylanadigan kublar. - m.: 2002 yil. - 168 b.

Internet resurslari:

http://wikipedia.tomsk.ru.

http://www.konenko.net/imp.htm

http://www.im-posselle.info/russian/ ustalari/reut_imp/

Ini yaratish qobiliyati. fidokatial tasvirlar insonning umumiy intellektual rivojlanishi darajasini tavsiflaydi. Ichida psixologik tadqiqotlar insonning tendentsiyasi o'rtasidagi tajriba bilan tasdiqladi tegishli kasb I. mekantial vakolatxonalarning rivojlanishi darajasi statistik jihatdan ishonchli bog'liqlikni oladi. Ichkarida imkonsiz raqamlardan keng foydalanish arxitektura, rasm, psixologiya, geometriya va amaliy hayotning boshqa sohalarida siz ko'proq ma'lumot olishingiz mumkin turli kasblar I. sicha S. kelajakdagi kasbni tanlash.

Kalit so'zlar: tribar, cheksiz zinapoya, kosmik vilkalar, imkonsiz qutilar, uchburchak va ferroz zinapoyasi, escher kub, transfer uchburchagi.

Tadqiqotning maqsadi:3-d modellardan foydalangan holda imkonsiz bo'lmagan raqamlarning xususiyatlarini o'rganish.

Tadqiqot vazifalari:

Tekshirish turlarini tekshiring va imkonsiz raqamlarni tasniflashni amalga oshiring.
Keraksiz raqamlarni qurish usullarini ko'rib chiqing.
Kompyuter dasturi va 3D modellashtirish yordamida imkonsiz shakllarni yarating.

Kerakli raqamlar tushunchasi

Maqsadli tushuncha "mumkin bo'lmagan raqamlar" mavjud emas. Bitta manbadan mumkin bo'lmagan raqam - optik xayollar, odatdagi uch o'lchovli ob'ektni, diqqat bilan ko'rib chiqish bilan odatiy uch o'lchovli ob'ektni proektsiyalash, diqqat bilan ko'rib chiqilishi mumkin. Va boshqa manbalardan mumkin bo'lmagan raqamlar - Bular haqiqiy uch o'lchovli makonda mavjud bo'lmagan ob'ektlarning geometrik munozarali rasmlari. Vikromoliyalangan kosmik va rasmiy-matematik geometriyaning ongli ravishda tan olingan geometriyasi o'rtasidagi qarama-qarshilikdan kelib chiqadi.

Turli xil ta'riflarni tahlil qilish, biz xulosa qilamiz:

mumkin bo'lmagan raqam - Bu bizning fasli idrokimizning mavjud emasligi, bu fazoviy idrokimizning bunday taassurotini keltirib chiqaradigan tekis chizma, shuning uchun uni yaratishga urinish (geometrik) qarama-qarshiliklar, aniq ko'rinadigan kuzatuvchiga olib keladi.

Farsal ob'ektining taassurotini keltirib chiqaradigan rasmga nazar tashlaganimizda, fazoviy idrok tizimimiz fazoviy shaklni topishga, yo'nalishni va tuzilishni aniqlashni, yo'nalishni chuqurlashtirishni boshlaydi. Bundan tashqari, ushbu alohida qismlar ba'zi ob'ektlarning butun ob'ektning fazoviy tarkibi haqida umumiy gipotezani yaratish uchun birlashtiriladi va muvofiqlashtiriladi. Odatda, tekis tasvirda bir nechta fazoviy talqinlar paydo bo'lishi mumkinligiga qaramay, bizning sharhlanish mexanizmi faqat bitta - biz uchun eng tabiiydir. Aynan shu rasmni sharhlash ehtimoli emas, balki imkoniyati yoki qobiliyatsizligini tekshiradi. Imkonsiz talqin uning tuzilishida ziddiyat bilan olinadi - turli xil qisman talqinlar umumiy yaxlitlik uchun mos emas.

Agar ularning tabiiy talqinlari imkonsiz bo'lsa, raqamlar imkonsizdir. Biroq, bu shuni anglatadiki, u mavjud bo'lgan bir xil raqamning boshqa talqinlari yo'q. Shunday qilib, raqamlarni fazoviy talqinlarning aniq tavsifini aniqlash keyingi ishlarni amalga oshirishning imkoni va mexanizmlari bilan keyingi ishlarning asosiy usullaridan biridir. Agar siz turli xil tafsilotlarni osongina tasvirlashingiz mumkin bo'lsa, ularni taqqoslash, raqamni va uning turli xil talqinlarini tushunish (tarjimalarni yaratish mexanizmlarini tushunish), ularning muvofiqligini tekshirib ko'ring yoki nomuvofiqliklar turlarini belgilaydilar.

Keraksiz raqamlar turlari

Tasmol raqamlari ikki katta sinfga bo'linadi: ba'zilari haqiqiy uch o'lchovli modellarga ega va boshqalar uchun bu yaratib bo'lmaydi.

Mavzu bo'yicha ish jarayonida 4 turdagi imkonsiz raqamlar o'rganildi: tribar, cheksiz zinapoya, mumkin bo'lmagan qutilar va kosmik vilka. Ularning barchasi o'z yo'llarida noyobdir.

Tribar (penrooz uchburchagi)

Bu geometrik bo'lmagan raqam, uning elementlari ulangan bo'lishi mumkin emas. Ammo imkonsiz uchburchak mumkin. Shvetsiya rassomi Oskar Castehward 1934 yilda dunyoni kublardan iloji bo'lmagan uchburchakni kiritdi. Ushbu tadbirning sharafiga Shvetsiyada pochta markasi nashr etildi. Tribar qog'ozdan chiqarish mumkin. Origami sevuvchilar olimning oldingi boshchiligida bo'lib o'tgan narsalarning qo'llarini yaratish va ushlab turish uchun yo'l topdilar. Biroq, biz uchta perpendikulyar chiziqlarning uch o'lchovli ob'ektning proektsiyasini ko'rib chiqsak, bizning ko'zlarimiz aldanib qoladi. Kuzatuvchi uchburchakni ko'rayotganga o'xshaydi, ammo aslida bunday emas.

Cheksiz zinapoya.

Bionali Leyionel Penosos va uning o'g'li-matematik Rojer Rojer penos tomonidan ixtiro bo'lmagan dizaynni ixtiro qildi. Birinchi marta model 1958 yilda nashr etilgan, shundan so'ng u katta mashhurlikka erishdi, klassik bo'lmagan shaklga aylandi va uning asosiy tushunchasi rasm, arxitektura, psixologiyada qo'llanilgan. Penroz bosqichlarining modeli kompyuter o'yinlari, jumboqlar, optik xayolot sohasidagi boshqa raqamlar bilan taqqoslaganda eng katta taniqli shaxslarga erishdi. "Egamizni boshdan kechiring" - siz penros zinapasini tavsiflashingiz mumkin. Ushbu dizayn g'oyasi shundaki, soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilishda, qadamlar har doim yuqoriga ko'tariladi va qarama-qarshi. Shu bilan birga, "Abadiy zinapoya" faqat to'rtta belkurakdan iborat. Shunday qilib, to'rtta zinapoya yurishida, sayohatchi u erda bo'lgan joyda paydo bo'ladi.

Imkonsiz qutilar.

Yana bir imkonsiz ob'ekt 1966 yilda Chikagoda fotografning asl tajribalari natijasida doktor Charlz F. Qokorore paydo bo'ldi. Ko'plab imkonsiz bo'lmagan raqamlarni sevuvchilar "aqldan ozdir" bilan tajriba o'tkazdilar. Dastlab, muallif uni "bepul tortma" deb atadi va bu "katta miqdordagi imkonsiz narsalarni yuborish uchun mo'ljallangan" deb aytdi. "Crazy Box" ichidagi Kuba ramkasidan tashqarida. "Crazy Box" ning zudlik bilan avvalgi "imkonsiz quti" (muallif Escher) va uning oldidan, o'z navbatida, marjon kubiga aylandi. Bu imkonsiz narsa emas, ammo chuqurlik parametrini noaniq qabul qilish mumkin bo'lgan raqam. Biz bo'yin kubini qidirib topganimizda, yuzning oldida yuzning old tomonida, keyin fonda bir pozitsiyadan sakrab chiqayotganini payqadik.

Kosmik vilka.

Barcha iloji bo'lmagan raqamlar orasida imkonsiz ("FOYLI MAK") alohida o'rin egallaydi. Agar siz trolning o'ng tomonini yopsangiz, biz to'liq haqiqiy rasmni ko'ramiz - uch yumaloq tish. Agar siz Trisning pastki qismini yopsangiz, biz ham haqiqiy rasmni - ikkita to'rtburchakli tishlarni ko'ramiz. Ammo, agar biz umuman butun qalbni ko'rib chiqsak, uchta dumaloq tish asta-sekin ikki to'rtburchaklar ichiga aylanadi.

Shunday qilib, ushbu rasm mojaroning old va orqa rejalarini ko'rish mumkin. Ya'ni, oldingi oldingi narsa orqaga qaytdi va orqa reja (o'rta tish) oldinga chiqadi. Ushbu rasmdagi old va orqa rejalarning o'zgarishi bilan bir qatorda, javonning o'ng tomonining tekis yuzlari. Imkoniyatning ta'siri, miyamiz raqamning konturini tahlil qilish va tishlar sonini hisoblashga harakat qilishlari tufayli erishiladi. Miya raqamning chap va o'ng qismidagi raqamning tishlari sonini taqqoslaydi, chunki bu ko'rsatkichning mumkin emasligi hissi mavjud. Agar raqamdagi tishlar soni sezilarli darajada katta bo'lsa (masalan, 7 yoki 8 yoki 8), keyin bu paradoks kamroq talaffuz bo'ladi.

Chizmalar bo'yicha imkonsiz bo'lmagan raqamlar yaratish

Uch o'lchovli model - bu jismoniy jihatdan taqdim etiladigan ob'ekt, bu bo'shliqlar va egiluvchan narsa, bu mumkin emasligi xayolini yo'q qiladi va bu model "sehr" ni yo'qotadi. Ushbu modelni proektsiyalashganda, ikki o'lchovli samolyot imkonsiz shaklni chiqaradi. Ushbu imkonsiz joy (uch o'lchovli modeldan farqli o'laroq), imkonsiz ob'ektning taassurotini keltirib chiqaradi, bu faqat odamning tasavvurida, ammo kosmosda emas.

Tribar

Qog'oz modeli:

Imkonsiz barmoq

Qog'oz modeli:

Ichkarida imkonsiz raqamlardasturImkonsizKonstruktor.

Kuchsiz konstruktor dasturi kublardan imkonsiz shakllarning tasvirlarini qurish uchun ishlab chiqilgan. Ushbu dasturning asosiy kamchiliklari kerakli kubni tanlashning murakkabligi (dasturda 32 ta dasturda 32 ta istalgan kubni topish uchun kerakli kubni topish uchun), shuningdek, kublarning barcha variantlari berilmaganligi. Taklif etilayotgan dastur Kub (64 kub) to'liq to'plamini ta'minlaydi, shuningdek, kubometr quruvchi yordamida kerakli kubni topish uchun qulay kubni topadi.

Mumkin bo'lmagan raqamlarni simulyatsiya qilish.

3 bosma.D. Keraksiz raqamlarning modellari printerda

3D printerda chop etilgan to'rtta imkonsiz bo'lmagan raqamlarning amal qilish paytida.

Uchburchak penroz

Tribora yaratish jarayoni:

Men oxirida qildim:

Kub Escher

Kubni yaratish jarayoni: oxir-oqibat model olingan model:

Penros zinapoyasi(Hammasi bo'lib, to'rtta zinapoyaning mart oyida, harakat boshlangan joyda sayohatchi chiqadi):

Uchburchak reuterserverda(To'qqiz kubdan iborat birinchi iloji bo'lmagan uchburchak):

Matbuotga tayyorgarlik jarayoni amaliyotda samolyotda qanday stendlar ishlab chiqarishni o'rganish, tegishli samolyotdagi stol elementlarining prognozlarini amalga oshirishni va raqamlar qurilishi uchun algoritmlarni tozalash mumkinligini o'rganishga imkon berdi. Yaratilgan modellar imkonsiz bo'lmagan raqamlarning xususiyatlarini ko'rish va tahlil qilishga yordam berdi, ularni sterometrik raqamlar bilan solishtiring.

"Agar vaziyatni o'zgartira olmasangiz, unga boshqa burchakda qarang."

Ushbu taklif bevosita bu ishni anglatadi. Darhaqiqat, agar siz biron bir burchakka qarasangiz, mumkin bo'lmagan raqamlar mavjud. Tasmol bo'lmagan raqamlar dunyosi juda qiziqarli va xilma-xildir. Ular bizning zamonamizda qadimgi zamonlardan beri mavjud. Ular deyarli hamma joyda: san'at, arxitektura, ommaviy madaniyatda, rasmda, pilatelistikada rasmda. Mumkin bo'lmagan raqamlar psixologlar, kogviqchilar va evolyutsion biologlar uchun katta qiziqish uyg'otadi, ko'rish va fazoviy fikrlashimiz haqida ko'proq ma'lumotga ega. Bugungi kunda kompyuter texnologiyalari, virtual voqelik va progressiyalar o'zaro qiziqish bilan qarashingiz uchun imkoniyatlarni kengaytiradi. Imkoniyat bo'lmagan raqamlar bilan bog'liq bo'lgan ko'plab kasblar mavjud. Ularning barchasi zamonaviy dunyoda talabga ega, shuning uchun imkonsiz raqamlarni o'rganish dolzarb va zarurdir.

Adabiyotlar:

Qayta uchraydigan O. mumkin bo'lmagan raqamlar. - m .: Stroyzdat, 1990, 206 p.
Penroz l., penroz R. mumkin bo'lmagan narsalar, kvant, $ 51971, p.26
Tkaxeva m.V. aylanadigan kublar. - m.: 2002 yil. - 168 b.
http://www.im-posselle.info/russian/ ustalari/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Levitin Karl geometrik rapsodi. - m.: Bilim, 1984, -176 p.
http://www.geotcials.jp/iemat/3drireki.htm.
http://imo-posselle.info/russc/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzis/1111111085615
https://netewang.com/cepters/pross-ojeks.
http://www.psi.msu.ru/illyusion/pross_tml.
http://referatwork.ru/cegory/isstvo/View/730_nevozmojnye_figury.
http://geometry-and-and-an.ru/unn.html

Kalit so'zlar: trbar, cheksiz zinapoya, bo'sh joylar, uchburchak va penrosar, zinapoya, esker kub, va orqa uchburchak.

Izoh: Mekantial tasvirlar bilan yaratish va ishlash qobiliyati insonning umumiy intellektual rivojlanishi darajasini tavsiflaydi. Psixologik tadqiqotlar bo'yicha, shaxsning tegishli kasblariga va fazoviy vakolatxonalarni rivojlantirish darajasida statistik jihatdan ishonchli bog'liqlik yuzaga kelishi mumkinligini eksperimentik jihatdan tasdiqladi. Arxitektura, rasm, psixologiya, geometriya va amaliy hayotning boshqa sohalarida imkonsiz bo'lmagan shaxslarning keng qo'llanilishi turli kasblar haqida ko'proq ma'lumotga ega va kelajakdagi kasbni tanlash to'g'risida qaror qabul qilinishi mumkin.

1-rasm.

Bu mumkin bo'lmagan triblar. Ushbu o'yin fazoviy ob'ektning rasmi emas, chunki bunday ob'ekt mavjud bo'lmaydi. Bizning ko'zimiz bu haqiqatni va ob'ektning o'zi qiyinchiliksiz amalga oshiradi. Masalan, obuna qilishning iloji yo'qligi bilan bir qator tortishuvlar bilan tanishishimiz mumkin, yuzi gorizontal tekislikda, yuzi bizniki va B yuzi bizdan siltadi va agar Bu holatda ko'rib turganimizdek, A va B-ni boshqa tomonga yo'naltirish, ular ushbu holatda ko'rib turganimizdek, ular raqamning yuqori qismida uchrashishlari mumkin emas. Shuni ta'kidlashimiz mumkinki, triblar yopiq uchburchakni hosil qiladi, barcha uchta nur bir-biriga perpendikulyar bo'ladi va uning ichki burchaklar yig'indisi 270 darajaga teng, bu mumkin emas. Biz sterometrining asosiy asosiy printsiplarini, ya'ni uchta parallel bo'lmagan samolyotlar bir joyda har doim topilganligini ko'rsatamiz. Biroq, 1-rasmda biz quyidagilarni ko'ramiz:

Qorong'i kulrang tekisligi b tekislik bilan topiladi; Chorrseksiya chizig'i - l.;
Qorong'i kulrang tekisligi a engil kulrang tekislikda sodir bo'ladi; Chorrseksiya chizig'i - m.;
Oq tekislik b och kulrang tekisligi bilan sodir bo'ladi; Chorrseksiya chizig'i - n.;
Chiziqlar kesishish l., m., n. Uchta nuqtada kesishish.

Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan ko'rsatkich steromometryning asosiy bayonotlaridan birini qoniqtirmaydi, bu parallel bo'lmagan samolyotlar (bu holda, A, B, C) bir nuqtada uchrashishi kerak.

Biz xulosa qilamiz: qanchalik qiyin yoki sodda bo'lishidan qat'i nazar, fikrlashimiz, ko'zimizda hech qanday izohsiz qarama-qarshiliklar haqida bizga ta'sir qiladi.

Imkonsiz tribar bir necha jihatdan paradoksaldir. Ko'zni uzatish uchun bir soniyani talab qiladi: "Bu uchta bardan iborat yopiq ob'ekt". Bir lahzadan keyin quyidagicha: "Bu ob'ekt mavjud emas ...". Uchinchi xabarni quyidagicha o'qish mumkin: "... va shuning uchun birinchi taassurot noto'g'ri edi." Nazariyada bunday ob'ekt turli xil chiziqlarga aylanishi kerak, ular bir-birlari bilan jiddiy munosabatlarga ega emaslar va endi Tribara shaklida yig'ilmaydi. Biroq, bu ro'y bermaydi va ko'z signallari yana: "Bu ob'ekt, tribar". Qisqasi, xulosa shundaki, bu ob'ekt emas va bu birinchi paradoksdir. Ikkala talqin ham xuddi shu kuchga ega, go'yo ko'z yuqori indeksning yakuniy hukmini qoldirgandek.

Mumkin bo'lgan Tribaraning ikkinchi paradoksasi xususiyati uning dizayni haqida mulohaza yuritadi. Agar barga to'g'ri kelsa, va B - Bizdan, va ular qo'shilgan burchakka bir vaqtning o'zida ikki joyda yotishi kerak, ular bir vaqtning o'zida ikki joyda yotishlari kerak. (Xuddi shu narsa ikki burchakka ham tegishli, chunki ob'ekt boshqa bir burchakni qaytarganda, ob'ekt bir xil bo'lib qoladi.)

2. Rasm 2. Bruno Ernst, mumkin bo'lmagan trribora, 1985 yil
3-rasm. Jerar Trasarbax, "Barkamol vaqt", tuval / moy, 100x140 sm, 1985 yilda bosilgan
4-rasm. Dirk Guer, "kub", ya'ni 48x48 sm, 198X48 sm, 1984 yil

Imkonsiz narsalarning haqiqati

Tasmol raqamlari haqidagi eng qiyin muammolardan biri ularning haqiqatga tegishli: ular haqiqatan ham mavjudmi yoki yo'qmi? Tabiiyki, imkonsiz tribarning chizig'i mavjud va bu so'roq qilinmaydi. Biroq, bir vaqtning o'zida, biz uchun ko'z olgan uch o'lchovli shakl dunyoda emas. Shuning uchun biz imkonsiz gaplashishga qaror qildik ob'ektlar, mumkin emas raqamlar (Garchi ular ingliz tilida bo'lsa-da, ular ko'proq ma'lum). Aftidan, bu bu dilemmaning qoniqarli echimi. Ammo, masalan, diqqat bilan imkonsiz tangarni ko'rib chiqsak, uning fazoviy haqiqati bizni chalkashtirib yubormoqda.

Shaklning ba'zi qismlariga ajratilgan ob'ektga duch kelgan, ular shunchaki bar va kublarni bir-birlari bilan bog'lab qo'yish deyarli mumkin emas, siz kerakli imkonsiz tribarni olishingiz mumkin.

3-rasmda kristallografiya mutaxassislari uchun juda jozibali. Ob'ekt asta-sekin billur, kubiklar mavjud tuzilishning buzilmasdan mavjud kristalli panjara kiritiladi.

2-rasmda rasm haqiqiy, garchi haqiqiy, garchi sigaretlardan iborat va ma'lum bir burchakda suratga olingan tibar haqiqiy emas. Bu vizual hazil, birinchi maqolaning hammuallifi va imkonsiz qabila muallifi.

5-rasm.

5-rasmda 1x1x1 dm bo'lgan raqamlangan bloklardan tuzilgan triblar ko'rsatilgan. Biz bu raqamning hajmi 12 dm 3, xayrlashish uchun - 48 dm 2 ni oddiy hisoblashni aniqlab olishimiz mumkin.

6-rasm.
1-rasm.

Xuddi shu tarzda, biz tribardagi ladybug masofani hisoblashimiz mumkin (7-rasm). Har bir barning markaziy nuqtai, shuningdek, harakat yo'nalishi o'qlar bilan belgilangan. Shunday qilib, tibar yuzasi uzoq davom etadigan yo'l sifatida taqdim etiladi. Ladybug boshlang'ichga qaytishdan oldin to'rtta to'liq doirani tashkil qilishi kerak.

8-rasm.

Siz imkonsiz tribar o'zining ko'rinmas tomonida ba'zi sirlarga ega deb taxmin qilishingiz mumkin. Ammo osonlikcha shaffof bo'lmagan tribarni osonlashtirishi mumkin (8-rasm). Bunday holda, barcha to'rtta partiyaning ko'rinishi ko'rinadi. Biroq, ob'ekt juda haqiqiy ko'rinishda davom etmoqda.

Keling, yana bir savolni o'rnatamiz: aslida bunday turli yo'llar bilan talqin qilinishi mumkin bo'lgan narsa. Shuni esda tutish kerakki, ko'zning imkonsiz ob'ektning repinalidan, shuningdek oddiy buyumlarning tasvirlarini, shuningdek, libos yoki uyda qayta ishlaydi. Natijada "fazoviy tasvir". Ushbu bosqichda imkonsiz tribar va odatiy kafedra o'rtasida farq yo'q. Shunday qilib, imkonsiz tribar bizning miyamizning tubida biz atrofimizdagi boshqa barcha narsalar kabi darajada mavjud. Ko'zimizda tribariyning uch o'lchovli "hayotiyligini tasdiqlash uchun" uch o'lchovli "hayotdagi" ni tasdiqlash uchun boshimizda imkonsiz qabila mavjudligini kamaytiradi.

1-bobda biz imkonsiz narsa bilan uchrashdik, uning jismi hech qaerga g'oyib bo'ldi. "Yo'lovchi poezdi" (11-rasm) Fone de vogelerae rasmning chap tomonidagi temir ustun bilan bir xil printsipni ishlatgan. Agar biz ustunni yuqoridan pastgacha ko'rib chiqsak yoki rasmning pastki qismini yopsak, to'rtta tayanch tomonidan qo'llab-quvvatlanadigan ustunni ko'ramiz (faqat ikkitasi ko'rinadigan) ustunni ko'ramiz. Ammo, agar siz yuqoridan bir xil ustunga qarasangiz, biz u orqali poezd haydash mumkin bo'lgan juda keng ochilishni ko'ramiz. Qattiq tosh bloklari bir vaqtning o'zida bo'ladi ... yupqalangan havo!

Ushbu ob'ektni toif qilish uchun juda oson, ammo biz uni tahlil qilishda biz juda murakkab bo'lib chiqadi. Tadqiqotchilar, masalan, broydik tahdidi shuni ko'rsatdiki, ushbu hodisaning tavsifi qarama-qarshiliklarga olib keladi. Chegaralardan birida mojarolar. Ko'z avval konturlarni hisoblab chiqadi va keyin ularning shakllarini yig'adi. Imkoniyat 11-rasmda bo'lgani kabi, konturning bir muncha vaqt yoki raqamga yoki raqam bo'laklarida ikkita vazifaga ega bo'lganda sodir bo'ladi.

9-rasm.

Shunga o'xshash holat 9-rasmda amalga oshiriladi, bu raqamda chiziq kontur l. Shuningdek, u A shaklidagi va B forteksi chegarasi chegarasi sifatida ham namoyon bo'ladi. Ammo bu bir vaqtning o'zida ikkala shaklning chegarasi emas. Agar sizning ko'zlaringiz avval chizish tepasida ko'rinsa, keyin pastga tushiring, chiziq l. Bu A shaklida bo'lgani sifatida qabul qilinadi va u ochiq raqam ekanligi aniqlansa, qoladi. Ayni paytda ko'z chiziq uchun ikkinchi talqinni taklif qiladi l., ya'ni bu B. form chegarasi chegarasi l.Biz yana birinchi talqinga qaytamiz.

Agar bu noaniqlik bo'lsa, biz dumli ikki raqam haqida gaplashishimiz mumkin. Ammo xulosa qo'shimcha omillar, masalan, shaklning kelib chiqishi fonining fonida g'oyib bo'lish hodisalari, shuningdek, ko'z shaklining fazoviy namoyishi. Shu munosabat bilan siz 1-bobdan boshqacha yo'ldan 7,8 va 9-rasmlarni suratga olishingiz mumkin. Ushbu raqamlar haqiqiy fazoviy ob'ektlar sifatida o'zlarini tushunishimiz mumkin bo'lsa-da, vaqtincha ularni imkonsiz deb atashimiz va ularni tasvirlab berishimiz mumkin (lekin tushuntira olmaymiz). Ushbu ob'ektlar ushbu ob'ektlarning ikki xil o'zaro eksklyuziv uch o'lchovli shakllar bilan hisoblaydi , ammo, bu mavjud. Shu bilan birga. Buni 11-rasmda ko'rishimiz mumkinki, biz bizga yaxshilik ustunligi. Biroq, qayta ko'rib chiqilganda, u o'rtada ko'rsatilganidek, o'rtada keng interval bilan, poezd haydash mumkin.

10-rasm. Artur Stibbe, "old va orqada", karton / akril, 50x50 sm, 1986 yil
11-rasm. Fons de vogelaere, "yo'lovchi poezd", rasm rasmlari, 80x98 sm, 1984

Paradoks sifatida imkonsiz narsa

12-rasm. Oskar ReutersVärd, "Xayoliy Japonez n gdan 274 dda", 74x54 sm.

Ushbu bobning boshida biz uch o'lchovli paradoks, ya'ni sterografik elementlar bir-birlariga qarama-qarshi bo'lgan tasvirni ko'rdik. Ushbu paradoks yanada chuqurroq o'rganilishidan oldin, bunday hodisa piktofik paradoks sifatida mavjudligini tushunish kerak. Aslida, u mavjud - o'rta asrlar va uyg'onish davri vizual san'atida va boshqa ajoyib marosimlar haqida o'ylang. Ammo bu holda, ko'z, ayol + baliq \u003d Mermeyn va bilimlarimiz (ayniqsa biologiyani bilish) kabi pikografik tenglama bilan ishlamaydi. Faqat retinaning rasmidagi fazoviy ma'lumotlar bir-biriga zid bo'lgan joyda, ko'z bilan "avtomatik" ma'lumotlarni qayta ishlashning amalga oshmasligi kerak. Ko'z juda g'alati materialni boshqarishga tayyor emas va biz uchun yangi vizual tajriba bilan guvohlik beramiz.

Rasm 13A. "Paradoksik naqshlar" seriyasidan, Aralash moslamalari, Aralash moslamalari, 1973-78
13b-rasm. Garri aylanmasi, "burchak", Aralash texnikasi, 1978

Retinaning rasmidagi fazoviy ma'lumotlarni ajratishimiz mumkin (faqat bitta ko'z bilan) ikki sinfga - tabiiy va madaniy. Birinchi sinfda inson madaniy muhiti hech qanday ta'sir ko'rsatadigan va rasmlarda aniqlangan ma'lumotlar mavjud. Bunday haqiqiy "oshkora tabiat" quyidagilarni o'z ichiga oladi:

Xuddi shu o'lchamdagi narsalar, ular qanchalik kam bo'lsa, shuncha kam bo'ladi. Bu tiklanishdan beri eng muhim rol o'ynaydigan chiziqli nuqtai nazarning asosiy printsipi;
Qisman boshqa ob'ektni yoritadigan ob'ekt bizga yaqinroq;
Bir-biriga ulangan ob'ektning narsalar yoki qismlari bizdan bir xil masofadan turib;
Bizdan nisbatan uzoq masofada joylashgan ob'ektlar kam farq qiladi va fazoviy nuqtai nazarning ko'k tutuni bilan yashirin bo'ladi;
Yorug'likning qarama-qarshi tomondan yorqinroq va soya yorug' manbaga qarama-qarshi yo'nalishda ko'rsatilgan ob'ektning yon tomoni.

14-rasm. "Noto'g'ri raqamlar", Maskara / qog'oz, 30x21 sm, 1980 yil

Madaniy muhitda kosmosni baholashda quyidagi ikki omil muhim rol o'ynaydi. Odamlar to'g'ridan-to'g'ri burchaklar ustunlik qilishlari uchun odamlar yashash joylarini yaratdilar. Bizning me'morchiligimiz, mebel va ko'plab asboblar asosan to'rtburchaklardan iborat. Aytishimiz mumkinki, biz bizning dunyomizni to'g'ri chiziqlar va burchaklar dunyosida to'rtburchaklar koordinata tizimiga joylashtirdik.

15-rasm. Mitsusana Anno, "KU KUKLAR"
16-rasm. Mitsusana Anno, "O'rtacha yog'och jumboq"
17-rasm. Monika Buch, "Moviy kub", akril / yog'och, 80x80 sm, 1976 yil

Shunday qilib, fazoviy ma'lumotlarning ikkinchi sinfimiz madaniy, aniq va tushunishdir:

Boshqa tafsilotlarning tugashi bilan boshqa tafsilotlarga qadar davom etadigan samolyot
Uch samolyot bor, uchta asosiy yo'nalishni aniqlang, shuning uchun zigzag chiziqlari kengaytma yoki torayish bo'lishi mumkin.

18-rasm. Farcas, Kristal, Izlangan bosma, 40x29 sm, 1980
19-rasm. Frens Erens, Donconor, 1985 yil

Bizning kontekstimizda tabiiy va madaniy muhit o'rtasidagi farq juda foydali. Bizning vizual hissiyotimiz tabiiy muhitda rivojlangan, shuningdek, madaniy toifadagi fazoviy ma'lumotlarni aniq va aniq qayta ishlash qobiliyatiga ega.

Meksal bayonotlari o'zaro bog'liqligi sababli imkonsiz narsalar (kamida ularning aksariyati) o'zaro bog'liqligi sababli mavjud. Masalan, Jusa de "Qishki Arkadiyaga ikki marta qo'riqlanadigan shlyuz" (20-rasm), devorning yuqori qismida joylashgan tekis yuzasi turli xil masofada joylashgan tekis sirtning pastki yuzasi Kuzatuvchi. Turli xil masofalardagi taassurot, shuningdek, Artur Stibbe-da "Old tomonda" (10-rasm), yassi yuzaning qoidalariga zid bo'lgan. Frensning akvarellari franklari (19-rasm), oxirat miqdori gorizontal holatida pasayib, bizdan chiqib ketayotganini va bu ham qo'llab-quvvatlashga ham bog'liqligini aytadi vertikal bo'lgan usul. Rasmda "Besh Ayol" fona de vogelaere (21-rasm) Biz stereografik paradoklar soni hayratda qolamiz. Rasmda ob'ektlarning paradoksasi aks etmagan bo'lsa ham, unda paradoksik birikmalar mavjud. Bu markaziy shaxs shiftga ulangan qiziqishdir. Shiftni qo'llab-quvvatlaydigan beshta parapet va shiplar paradoksik ulanishlar sifatida paradoksik ulanishlar sifatida, ko'z ularni hisobga olish yaxshiroq deb hisoblaydigan.

20-rasm. Jos de Mey, "Qishki Arkadiyaga ikki marta qo'riqlanadigan shlyuz", tuval / akril, 60x70 sm, 1983
21-rasm. Fons de vogelaere, "beshta soqchi", rasm qalam, 80x98 sm, 1985

Siz rasmda paydo bo'ladigan har bir turdagi sterografik element bilan o'ylashingiz mumkin, bu mumkin bo'lmagan raqamlar haqida muntazam ravishda sharhlash uchun juda oson:

O'zaro nizolarda istiqbollar elementlarini o'z ichiga olganlar;
Ziddiyatli elementlar bilan qarama-qarshi elementlar bilan bog'liq istiqboldagi nuqtai nazarlar;
va hokazo.

Biroq, biz tez orada biz ko'plab bunday mojarolarga mavjud bo'lgan misollarni aniqlay olmaymiz, ammo imkonsiz narsalarning ba'zi imkonsiz narsalari shunga o'xshash tizimga kirish qiyin bo'ladi. Biroq, bunday tasnif bizga ko'plab noma'lum bo'lmagan narsalarni aniqlashga imkon beradi.

22-rasm. Siteo Fukuda, "xayolot rasmlari", ssenariy, 102x73 sm, 1984 yil

Ta'riflar

Ushbu bobning oxirida, imkonsiz narsalarni aniqlashga harakat qilaylik.

Rasmlarni iloji yo'qligi bilan birinchi nashrimda mk Taxminan 1960 yilda paydo bo'lgan Escher men quyidagi so'zlarga keldim: mumkin bo'lgan ob'ekt har doim uch o'lchovli ob'ektning vakili sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. Biroq, imkonsiz narsalar bo'lmaganda, bu proektsiya bu proektsiya, bu holda biz mumkin bo'lmagan ob'ektni - xayoliy vakillik qilishimiz mumkin. Ushbu ta'rif nafaqat to'liq emas, balki noto'g'ri (biz 7-bobga qaytamiz), chunki bu mumkin bo'lmagan narsalarning matematik tomoniga nisbatan qo'llaniladi.

23-rasm. "Kubik tashkiloti", siyoh chizilgan rasm chizish, 29x20,6 sm Oskar ReutersVärd.
Aslida, bu bo'shliq to'ldirilmagan, chunki kattaroq kublar kichik kublar bilan bog'liq emas.

Zeno'n Kulp quyidagi ta'rifni taklif qiladi: mumkin bo'lmagan ob'ektning tasviri mavjud uch o'lchovli ob'ektning taassurotini keltirib chiqaradigan ikki o'lchovli raqamdir va bu raqamni fazoviy talqin qilsak bo'lmaydi; Shunday qilib, uni yaratish uchun har qanday urinish tomoshabinga aniq ko'rinadigan (fazoviy) qarama-qarshilikka olib keladi.

Oxirgi kulpalarning oxirgi so'zi ob'ektning imkonsizligini yoki yo'qligini aniqlashtirishning bir amaliy usulini taklif etadi: uni o'zingiz yaratishga harakat qiling. Siz tez orada ko'rasiz, ehtimol siz buni qila olmaydigan dizaynning dizayniga qadar ham.

Men imkonsiz ob'ektni tahlil qilganda, ikki qarama-qarshi xulosalar paydo bo'lganligini ta'kidlaydigan ta'rifni afzal ko'raman. Men buni aynan shu ta'rifni aniq yoqtiraman, chunki u o'zaro qarama-qarshi xulosalarning sababini qoplaydi va bundan tashqari, bu mumkin bo'lmagan rasmning matematik mulki emas, balki bu ko'rsatkichni talqin qilishning mulki emasligiga aniqlik kiritadi tomoshabin.

Shu asosda men quyidagi ta'rifni taklif qilaman:

Keraksiz ob'ekt ikki o'lchovli vakilga ega, ular ko'zni uch o'lchovli ob'ekt sifatida izohlaydi va shu bilan birga bu ob'ekt uch o'lchovli bo'lishi mumkin emas, chunki bu ob'ektda fazoviy ma'lumotlar ziddir.

24-rasm. Oskar Reutersväird, "Mumkin bo'lmagan to'rt bar"
25-rasm. Bruno Ernst, "aralash xayolot", fotosurat, 1985

Kirish ............................................... ...........................................

Asosiy qism. Mumkin bo'lmagan raqamlar ..................................................... . 4

2.1. Biroz tarix ................................. ..................4.4

2.2. Keraksiz raqamlar turlari ............................. ........ .6

2.3. Oskar Ruthervard - imkonsiz bo'lgan raqamning otasi ...................1.1

2.4. Mumkin bo'lmagan raqamlar - mumkin! ...........................................

2.5. Keraksiz raqamlardan foydalanish ........................... 14

Xulosa ....................................... ................................... 15

Adabiyotlar ro'yxati………………………………………………………………16

Kirish

"Kerakli bo'lmagan raqamlar dunyosi" o'zining bo'ronli rivojlanishini faqat XX asr boshlarida olib kelgan eng qiziqarli mavzulardan biridir. Ammo ancha oldin, ko'plab olimlar va faylasuflar ushbu masalada ishtirok etdilar. Hatto kub kabi oddiy shishalar, paralleleveded kabi paralleleveded kuzatuvchining ko'zidan turli xil rasmlarning kombinatsiyasi sifatida tasvirlangan. Har doim yaxlit rasmda birlashtirilgan qismlarning tasviri har doim chizish kerak.

"Mumkin bo'lmagan raqam - bu aslida mavjud bo'lmagan uchta o'lchovli ob'ekti, ammo ikki o'lchovli tasvir sifatida ko'rish mumkin." Bu turlardan biri optik xayolot , Birinchi qarashda, odatdagi uch o'lchovli ob'ektni puxta ko'rib chiqishni istagan raqam, bu raqamning ko'rinishi ko'rinadigan bo'lishi mumkin. Bunday raqamning mavjudligi iloji yo'q uch o'lchovli makonda yaratilgan.

Mening oldimda savol tug'ildi: "Haqiqiy dunyoda imkonsiz bo'lmagan raqamlar mavjudmi?"

Loyihaning maqsadlari:

1. Mashq, K.aK kreditihaqiqiy bo'lmagan raqamlar.

2. Qo'llash joylarini toping Mumkin bo'lmagan raqamlar.

Loyihaning vazifalari:

1. "Imkonsiz raqamlar" mavzusida adabiyotlar mavzusi.

2 Tasniflash Mumkin bo'lmagan raqamlar.

3.r.mumkin bo'lmagan raqamlarni yaratish usullarini baholang.

4. sovuq imkonsizshakl.

Imkonsizraqamlar

Bir oz tarix

Ko'rishlar Mumkin bo'lmagan raqamlar.

"Imkonsiz raqamlar" 4 guruhga bo'linadi. Shunday qilib, birinchi

Ajablanarli uchburchak - urbar.

Bu erda Tribariyaga asoslangan imkonsiz bo'lmagan raqamlarning yana bir nechta misollari.

Uch karra tribar

12 kub miqdordagi uchburchak

Qanotli tibar

Uch qirrali domino

Cheksiz zinapoyalar

"Cheksiz zinapoyaning" rassomi Mastitz K. Eskirchi muvaffaqiyatli ishlatilgan, bu safar uning litografiyasida 1960 yilda yaratilgan.

Ushbu zinapoyaning yaratuvchilari bir xil masofada joylashgan bloklarning cheklangan qismlarini ishlab chiqishda parallel chiziqlar ishlatilgan; Aftidan, ba'zi bir bloklar xayolga mos keladi.

Kosmik vilka.

Imkonsiz qutilar

"Crazy Box" - bu ichkaridagi kub ramkadan tashqarida. "Crazy Box" ning zudlik bilan oldingi "imkonsiz quti" (muallif Escher) va uning oldidan, o'z navbatida, marjon kubiga aylandi.

Bu imkonsiz narsa emas, ammo chuqurlik parametrini noaniq qabul qilish mumkin bo'lgan raqam.

Biz bo'yin kubini qidirib topganimizda, yuzning oldida yuzning old tomonida, keyin fonda bir pozitsiyadan sakrab chiqayotganini payqadik.

Oskar RuterSUVARD - Ota imkonsiz raqam.

Haqiqiy imkonsiz elementlar belgilangan elementlarning belgilangan miqdoridan iborat bo'lib, shubhali "yo'qotish", agar siz ularni ko'zlarim bilan izlasangiz.

Ushbu imkonsiz raqamlarning bir versiyasi ijro etish juda oson va avtomatik ravishda geometrik chizmalarni jalb qiladiganlarning ko'pi

telefonda gaplashganda, u allaqachon bir necha marta qilingan. Besh, olti yoki etti yoki etti parallel chiziqlarni sarflash, turli xil maqsadlarni turli xil yo'llar bilan tugatish kerak - va mumkin bo'lmagan rasm tayyor. Agar, masalan, beshta parallel chiziqlarni o'tkazsangiz, ular bir tomondan ikkita nur va ikkinchisida uchta nur sifatida tugatish mumkin.

Ruters hayoti uchun 2500 ga yaqin raqamlarni tasvirlab berdi. Rutesvard kitoblari ko'plab tillarda, shu jumladan rus tillarida nashr etilgan.

Mumkin bo'lmagan raqamlar mumkin!

Men imkonsiz qutimning amm modelini qildim. Men qirq ikki kubni oldim va ularni yopishtirdim, bu kub bo'lib, unda chet elning bir qismi yo'q. Shuni ta'kidlash kerakki, to'liq xayol yaratish uchun to'g'ri ko'rinishi va to'g'ri yoritilishi kerak.

Men Eyler teoremadan foydalanib imkonsiz joylarni o'rganib chiqdim va quyidagi xulosaga keldi: har qanday konveksli pioshurga sodiq bo'lgan Euller teoremasi imkonsiz raqamlar uchun noto'g'ri, ammo Amem modellari uchun to'g'ri.

O. Kengashidan foydalanib imkonsiz raqamlarimni yarataman. Qog'ozda ettita parallel segmentlar yozdim. Ularni singan chiziqning pastki qismidan bog'lab, yuqoridan, ularga parallelitedlar shaklini berdi. Unga avval yuqoridan yuqoridan qarang. Ushbu raqamlarning cheksiz ko'pi bor. Ilovaga qarang.

Imkoniyat raqamlarini qo'llash

Shvetsiyada ular stomatologiya amaliyotida qo'llaniladi: ziyofatdagi rasmlarni hisobga olgan holda, bemor tish shifokori kabineti oldida yoqimsiz fikrlardan chalg'itadi.

Chet elda, shahar ko'chalarida biz mumkin bo'lmagan joylarning me'moriy qismlarini ko'rishimiz mumkin.

Ommaviy madaniyatda imkonsiz bo'lmagan raqamlardan eng mashhur vositalar - AutoConecer "Renault" logotipi

Xulosa.

Ilm-fanning rivojlanishi, yangi tarzda o'ylash, go'zal hayotning barcha talablari - bu fazoviy fikrlash, xayolotni o'zgartirishga qodir bo'lgan yangi usullarni izlaydi.

Mavzudagi adabiyotlarni o'rgangandan so'ng, men "Haqiqiy dunyoda imkonsiz raqamlar yo'qmi?" Savolga javob bera olmadimmi? Men imkonsiz va haqiqiy bo'lmagan shaxslar o'z qo'llari bilan amalga oshirilishi mumkinligini angladim. Men "imkonsiz Kuba" modelini yaratdim va unga Euller teoremasini tekshirdim. Imkonsiz raqamlarni qurish yo'llarini ko'rib chiqsak, men imkonsiz raqamlarimni jalb qila oldim. Men buni ko'rsatib oldim

Xulosa 1: Barcha imkonsiz raqamlar haqiqiy dunyoda bo'lishi mumkin.

Xulosa: Har qanday konveksli pioshur uchun sodiq Euller teoremasi imkonsiz bo'lmagan raqamlar uchun noto'g'ri, ammo ularning amm modellari uchun to'g'ri.

Xulosa 3: imkonsiz shakllardan foydalanib, boshqa sohalar mavjud.

Adabiyotlar ro'yxati

Levitin Karl geometrik rapsodi. - m.: Bilim, 1984, -176 p.

Penroz l., penroz R. mumkin bo'lmagan narsalar, kvant, $ 51971, p.26

Qayta uchraydigan O. mumkin bo'lmagan raqamlar. - m .: Stroyzdat, 1990, 206 p.

Tkaxeva m.V. Aylanadigan kublar. - m.: 2002 yil. - 168 b.