Issiqlashtirish usullari nazariylar. Matematik dalillarni qurish
Har qanday tasdiqni isbotlang - Bu degani, ushbu bayonot haqiqiy va tegishli bayonotlar tizimidan mantiqiy ravishda quyidagilarni kuzatib boradi.
Dalil - Bu jarayonda mantiqiy operatsiya, bu har qanday tasdiqning haqiqati boshqa haqiqiy va tegishli bayonotlar bilan asoslanadi. Buning uchun xulosalarning yakuniy zanjiri quriladi va ularning har birining xulosasi (keyingilardan tashqari) quyidagi xulosalardan birida posilka hisoblanadi.
Asosiy qonunlar mantig'i:
1. Shifokor qonuni. Har bir fikr, mulohaza yuritish, o'zi uchun bir xil bo'lishi kerak.
Idy qonuni tushunish jarayonida boshqalarning bitta fikrini, boshqalarning bir tushunchasini almashtirishning iloji yo'qligini anglatadi. Turli xil fikrlarni har xil va boshqacha - bir xil uchun ajratib bo'lmaydi.
2. Qonun ziddiyat emas.Bayonot va uni rad etish bir vaqtning o'zida amalga oshirilmaydi; Ulardan kamida bittasi shubhasiz yolg'on.
Agar fikrlash tarzida (va nutqda) rasmiy-mantiqiy qarama-qarshilik topilsa, bunday fikrlash noto'g'ri deb hisoblanadi va qarama-qarshilik oqilona hisoblanadi.
3. Istisno qilingan qonun.Ikkala mavzu bo'yicha bir xil mavzu haqida - chindan ham, boshqasi yolg'on, uchinchisi berilmaydi.
4. Etarli asos bo'lgan qonun.Har bir haqiqiy bayonot boshqa so'zlarning yordami bilan asosli bo'lishi kerak, uning haqiqati isbotlangan.
Matematik isbot haqida gap ketganda, quyidagilar zarur:
¾ haqiqatni isbotlash kerak degan bayonot berish;
Sabundlik da'vat xulosasi zanjiri ekanligini tushunish; Bu mantiqiy qoidalar va qonunlarga muvofiq amalga oshiriladi;
¾ Isbot jarayonida yana qanday haqiqiy bayonotlardan foydalanish mumkinligini tushunish.
To'g'ridan-to'g'ri va bilvosita dalillarni o'tkazish usuliga muvofiq.
Tasdiqlashning to'g'ridan-to'g'ri isboti Va B yoyilgan xulosalar zanjirining qurilishi - bu mantiqiy qonunlar va qonunlarga muvofiq ravishda amalga oshiriladi va uning haqiqati isbotlangan.
(Agar to'rtburchaklar uchta burchak bo'lsa, u to'rtburchaklar
Bilvosita dalillarning misoli Bu jirkanch usulining isbotidir. Mohiyati quyidagicha. Bu usulni boshqasidan kelib chiqqan holda, AREMni boshqasidan isbotlash kerak bo'lsa, unda teorema (c) xulosasi yolg'on, chunki uni rad etish haqiqatdir. Taklifni tasdiqlash jarayonida ishlatiladigan haqiqiy posilkalarning kombinatsiyasida (a) tasdiqlangan xulosalar zanjiri zimmasiga, tasdiqlash posilkalardan biriga zid kelguncha, A shartlariga zid kelgunga qadar qurilgan.
(A + 3\u003e 10, keyin a ¹7)
Bo'shliq 15 to'plamlar orasidagi muvofiqlik tushunchasi. Muvofiqlikni ta'minlash usullari. O'zaro - o'zaro muvofiqlik. Teng to'plamlar. Mos keladigan misollar (shu jumladan o'zaro-birlikcha).
Maktabgacha tarbiyachilar bilan ishlashda to'liq bo'lmagan induktsiyani quyidagicha ishlatamiz: "Ajoyib sumka" o'yinidan foydalanib, bolaning vazifasi: "Rasm va ismni oling." Bir necha urinishlardan so'ng, bola taxmin qiladi:
To'p. To'p. To'p. Bu erda, ehtimol, barcha to'plar.
14-vazifa.
Taklif qilinishi haqiqat ekanligiga ishonch hosil qilish uchun qo'shimcha mulohazalarni taklif qiling.
Hayotimizdagi va ayniqsa ilm-fan sohasidagi muhimligini engillashtirish mumkin emas. Hamma narsa dalillarga murojaat qilinadi, ammo har doim ham "isbotlash" degani haqida hech qachon o'ylamaydi. Amaliy dalillar va intuitiv g'oyalar ko'plab ichki maqsadlar uchun etarli, ammo ilmiy bo'lmagan.
Har qanday bayonotni isbotlash, ushbu mantiqiy bayonotni haqiqiy va tegishli bayonotlar tizimidan mantiqiy ravishda quyidagicha ko'rsatilishini ko'rsatadi.
Isbot - bu boshqa haqiqiy va tegishli bayonotlar bilan ma'qullashning haqiqatligini asoslashning mantiqiy operatsiyasi.
Isbot bo'yicha uchta tarkibiy elementlar ajralib turadi:
1) tasdiqlangan tasdiqlash;
2) tasdiqlangan haqiqat asosli bo'lgan haqiqiy da'volar tizimi;
3) HP o'rtasidagi mantiqiy ulanish. 1 va 2.
Matematik dalillarning asosiy usuli bu didgbatsiya chiqishi.
Ularning shaklida dalil- Bu haqiqiy posilkalardan haqiqiy posilkalardan kelib chiqadigan defrat xulosa yoki tasdiqlovchi xulosalar zanjiri.
Matematik isbot, uyg'onish tartibi muhimdir. Ajratish usuliga muvofiq to'g'ridan-to'g'ri va bilvosita dalillar. To'g'ridan-to'g'ri dalillar to'liq induktsiya qilishni anglatadi, uning savoli 1.6-bandga to'g'ri keldi.
To'liq induksion - tasdiqlash haqiqati, tasdiqlangan haqiqatning barchasi o'z haqiqatidan barcha alohida holatlarda amalga oshiriladi.
To'liq induksion Bu ko'pincha maktabgacha tarbiyachilar bilan o'tkazilgan o'yinlarda ishlatiladi: "Bitta so'z bilan ism."
"Har qanday to'rttani burchakli burchaklar yig'indisi 360 °" bayonotining to'g'ridan-to'g'ri dalillari:
"O'zboshimchalik bilan to'rtburchakni ko'rib chiqing. Unda diagonal sarflaganingizdan so'ng, biz 2 ta uchburchak olamiz. To'rtburchak burchaklar yig'indisi ikki shakllangan uchburchakning burchaklarining yig'indisiga teng bo'ladi. Har qanday uchburchakda burchaklar yig'indisi 180 °, 180 ° va 18 ° katlanadigandan so'ng, biz ikkita uchburchakda burchaklar yig'indisini olamiz, u 360 ° bo'ladi. Binobarin, har qanday to'rttalik burchaklar miqdori 360 ", uni isbotlash uchun talab qilinadi."
Quyidagi xulosalar yuqorida ko'rsatilgan dalillarni ajratib ko'rsatish mumkin:
1. Agar bu ko'rsatkich to'rtburchak bo'lsa, unda siz diagonalni 2 ta uchburchakka aylantiradigan diagonal chizishingiz mumkin. Bu raqam to'rtburchaklar. Shunday qilib, uni 2 ta uchburchakka bo'lish mumkin, diagonal qurish mumkin.
2. Har qanday uchburchakda burchaklar summasi ISO ga teng. "Ma'lumotlar raqamlari uchburchaklar. Shunday qilib, ularning har birining burchaklari 180 °.
3. Agar to'rtburchak ikkita uchburchakdan iborat bo'lsa, unda uning burchaklari yig'indisi ushbu uchburchaklar burchaklarining yig'indisiga teng. Ushbu to'rtburchaklar 180 ° burchakli ikkita uchburchakdan iborat. 180 ° + 180o \u003d 360 °. Binobarin, ushbu to'rtburchakning bu burchaklar yig'indisi 360 ° dir.
Barcha e'lon qilingan xulosalar qoida qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi, shuning uchun yadroga tushadi.
Bilvosita dalillarning misoli - bu ishlatish usulining isboti. Ichida bu holatga ruxsat beriladi Bu xulosa yolg'on, shuning uchun uning rad etilishi haqiqatdir. Ushbu taklifni haqiqiy posilkalarning yig'indisiga biriktirib, ular qarama-qarshilikni olmaguncha amalga oshiriladi.
Biz qarama-qarshi teoremadan dalillarga misol keltiramiz: "Agar ikkita to'g'ridan-to'g'ri lekin va B uchinchi tekis C uchun parallel, keyin ular bir-birlariga parallel ":
"Bu to'g'ridan-to'g'ri lekin va b. Parallel emas, keyin ular biron bir nuqtaga o'tadilar, ular bilan to'g'ri chiziqqa tegishli emas. Keyin biz buni a nuqta orqali olamiz, siz ikkita tekis va b, parallel ravishda o'tkazishingiz mumkin. Bu parallelizmning aksioma bilan ziddir: "Ucha
8. RUDTTIME TALAB QOIDALARI VA SESS farqlari.
9. Qanday qaror deb nomlanadi:
Kontekstda;
Mazax qilish?
10. Qanday bayonot va so'zi nima?
11. "A va B", "A yoki B", "A emas", "A va B" ni taklif qilganda haqiqat va noto'g'ri qachon?
12. Jamiyatning birja va mavjudlik miqyosidagi raqamlari ro'yxatini sanab bering. Qanday qilib turli-tumanliklar bilan takliflarning ahamiyatini qanday belgilash kerak?
13. Takliflar o'rtasida munosabatlar mavjud bo'lsa va unga tenglik nisbati qachon? Ular qanday qilib tayinlanadi?
14. Xulosa nima? Qanday xulosaga keltirish deyiladi?
15. Xulosa, rad qilish qoidasi, rad etish qoidasi, nozik qoidalarning ramzlari bilan yozib oling.
16. Qanday xulosalar to'liq bo'lmagan induksiya deb nomlanadi va taqqoslashning xulosalari qanday?
17. Har qanday bayonotni isbotlash nimani anglatadi?
18. Matematik dalillar nima?
19. To'liq induktsiya ta'rifini bering.
20. Sofizm nima?
Bibliografik tavsif: Grigorev K.V., Ochiirova A. B., Saraagov A. A., Barlyukova S. S. S., ko'pchilik matematik dalillar usullari // yosh olim. - 2017 yil. - 45-46 .....03.2019).
Isbot haqida gapirganda, kundalik hayotda biz shakllangan ma'qullashni anglatadi. To'g'ridan-to'g'ri matematikada tushunchalar va isbotlar mohiyatni olib yurgan bo'lsa-da, mohirona.
Keling, to'rtburchaklar bo'yicha uchta burchak 90 daraja bo'lsa, unda bunday to'rtburchaklar to'rtburchaklar.
90 darajaga teng bo'lgan uchta burchakli to'rtburchakni ko'rib chiqing. Biz to'rtinchi burchakni o'lchaymiz va uning darajasini topamiz. Biz ham to'g'ridan-to'g'ri bo'ladi degan xulosaga keldik. Ushbu turdagi tekshirish bu bayonotni tasdiqlaydi, ammo isbot emas.
Ushbu tasdiqni isbotlash uchun o'zboshimchalik kvadratini ko'rib chiqish kerak, unda 90˚ ga teng bo'lgan uchta burchak mavjud. Har qanday konveksdagi to'rtburchaklar, burchaklar yig'indisi 360 mln., Shuning uchun kerakli burchak 90˚ (360˚ - 90 ° * 3). To'rtburchaklar to'rtburchaklar, u barcha burchaklar to'g'ridan-to'g'ri. Shunday qilib, bu to'rt tomonlama to'rtburchak bo'ladi. Q.E.D.
Isbotni tasdiqlovchi hujjatning ma'nosi - bu haqiqiy bayonotlarning quyidagi ketma-ketligi: teoremalar, aksiomalar, mantiqiy tasdiqni tasdiqlaydigan ta'riflar. Bayonotni isbotlash - bu bayonot bir qator haqiqiy va tegishli bayonotlardan mantiqiy ravishda quyidagicha.
Agar bayonotda bayonot berilgan da'volardan mantiqiy da'volardan foydalanib, u oqilona va haqiqatdir. Matematik dalillarning asosi bug'u usuldir. Va islomning o'zi xulosalar zanjiri sifatida harakat qiladi va har birining xulosasi, ikkinchisidan tashqari, quyidagi xulosalardan birida posilka hisoblanadi.
Isbotlangan hujjatda quyidagi xulosalar ajratilishi mumkin:
- Har qanday konveksda burchaklar yig'indisi 360⁰; Bu raqam konvondir, shuning uchun unda 360⁰ da burchaklar yig'indisi;
- agar to'rtburchakning barcha burchaklari va uchtasining yig'indisi ma'lum bo'lsa, shunda ekish to'rtinchi sonni aniqlash mumkin; Ushbu to'rtburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 370 ° (90 ° · 270˚) summasi (90 · · 270˚) summasi (970˚) summasi 90˚ ga teng bo'lgan burchakni topamiz;
- Agar to'rtburchakda barcha burchaklar to'g'ridan-to'g'ri bo'lsa, unda bu to'rtburchaklar to'rtburchaklar; Bizning holatlarimizda, to'rtburchakda barcha burchaklar to'g'ridan-to'g'ri, shuning uchun bu to'rtburchaklar.
Barcha xulosalar qoida qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi va shunga mos keladi.
Eng sodda dalil bitta xulosadan iborat. Bunday, masalan, 5-Bayonotning isbotidir
Matematik dalillarning tuzilishini hisobga olgan holda, biz buni eng muhimi, isbotlangan bayonotni va asl tasdiqlash tizimini o'z ichiga oladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, matematik isboti nafaqat xulosalar to'plamidir, ammo ma'lum bir tartibda joylashgan xulosalar.
To'g'ridan-to'g'ri va bilvosita dalillarni o'tkazish usuliga muvofiq. Oldin ko'rib chiqilgan dalillar to'g'ridan-to'g'ri bog'liq - bu alohida haqiqiy taklifga asoslanib, tuzatuvchi xulosalar zanjiri to'g'ridan-to'g'ri haqiqiy xulosaga olib keldi.
Bilvosita dalillarning misoli sifatida, dalillar bu usulning jirkanchligining isboti. Uning mohiyati quyidagilardan iborat: MATTER V. usulini isbotlash uchun zarur bo'lsin, ikkinchisining isboti, teorema (C) ning xulosasi yolg'on va shuning uchun rad etish haqiqatdir. Isbot jarayonida ishlatiladigan haqiqiy posilkalarning kombinatsiyasiga (A) kombinatsiyasiga (a) bir qatorda posilkalardan biriga zid kelma va, xususan, shartlarga zid kelgunimizcha amalga oshiring. A. Faqat bunday qarama-qarshilik aniq belgilangan, dalil jarayoni yakunlandi va natijada yuzaga keladigan qarama-qarshilik "Teorem" ning haqiqatini isbotlaydi degan ishonchga keling.
Vazifa 1. Agar x + 2\u003e 10, x ≠ 8 bo'lsa, bunga qarshi.
Vazifa 2. agar u bo'lsa, y löz, ya'ni y. Nishiy usul.
Vazifa 3. To'rt ketma-ket to'rtta tabiiy raqam mavjud. Ushbu ketma-ketlikning o'rtacha sonining mahsuloti haddan tashqari oshirilgan mahsulotdan kattaroq ekanligiga to'g'ri keladimi? Tugallanmagan induktsiyaning usuli.
To'liq induktatsiya - bu tasdiqning haqiqati barcha alohida holatlarda uning haqiqatidan kelib chiqadigan dalillarning bu usuli hisoblanadi.
4-topshiriqni 4 dan katta bo'lgan har bir kompozital raqamni isbotlash, lekin 20-kichik 20, ikkita oddiy raqamlarning yig'indisi shaklida ifodalanganligini isbotlang.
Shunday qilib, matematik isboti har qanday tasdiqlash (teorema) haqiqatini aniqlash uchun mantiqiy xulosalar zanjiri, bu aniq aksiomalar va xulosaning haqiqatiga rioya qilish uchun mantiqiy xulosalar zanjiri, tasdiqlash haqiqatdir.
Adabiyotlar:
- Geometriya / 7-9 sinflar: tadqiqotlar. Umumiy ta'lim uchun. Muassasalar / [l. S. Atanasyan, V. F. butuzov, S. B. Kadomtsev). - 21 marta. - m.: Ma'rifat, 2011 yil.
Ma'ruza. Matematik dalillar usullari
1. Matematik dalillar usullari
2. To'g'ridan-to'g'ri va bilvosita dalillar. Jirkanch usulda isbot.
3. Asosiy xulosalar
Kundalik hayotda ko'pincha ular dalillar haqida gapirganda, ular tasdiqlashni tasdiqlashni anglatadi. Matematikada tekshirish va dalillar turli xil narsalar, ular o'zaro bog'langan bo'lsa ham. Masalan, agar to'rtburchakda uchta burchak to'g'ridan-to'g'ri bo'lsa, unda bu to'rtburchaklar ekanligini isbotlash kerak.
Agar biz to'rtburchakning to'rtinchi qismini olib, to'rtinchisini o'lchaydigan to'rtburchakka ega bo'lsak, u haqiqatan ham to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling, ammo bu tekshiruv buni yanada ishonchli qiladi, ammo hali isbotlanmaydi.
Ushbu bayonotni isbotlash uchun uchta burchak to'g'ridan-to'g'ri yo'naltirilgan o'zboshimchalik bilan to'rtburchakni ko'rib chiqing. Har qanday konveksda to'rtburchaklar summasi 360˚, keyin bu 360 °. Uchta to'g'ridan-to'g'ri burchaklar yig'indisi 270 ° (90⁰ 3 \u003d 270˚) va demak, to'rtinchisi 90˚ qiymatga ega (360˚ - 270˚). Agar to'rtburchakning barcha burchaklari to'g'ri bo'lsa, unda bu to'rtburchaklar bo'ladi, bu to'rtburchaklar to'rtburchak bo'ladi. Q.E.D.
Shuni yodda tutingki, dalilning isbotining mohiyati bu aniq bayonotlar ketma-ketligini (teoremalar, aksiomalar, ta'riflar) qurishdir, shundan tasdiqlov mantiqiy taklif qilinishi kerak.
Umuman har qanday bayonotni isbotlang - bu ushbu bayonot haqiqiy va tegishli bayonotlar tizimidan mantiqiy ravishda quyidagicha quyidagilarni ko'rsatadi..
Mantiqda, agar tasdiqlangan tasdiqlangan tasdiqlar asosida tasdiqlangan bo'lsa, u oqilona, \u200b\u200bshuningdek, oxirgi.
Shunday qilib, matematik dalillarning asosi ya'ni shardlik xulosadir. Va hujjatning o'zi xulosalar zanjiri va ularning har birining xulosasi (ikkinchisi bundan mustasno) quyidagi xulosalardan birida posilka hisoblanadi.
Masalan, yuqoridagi dalilda quyidagi xulosalar ajratilishi mumkin:
1. Kamchilikning har qanday konvektsiyasida burchaklar yig'indisi 360 °; Bu raqam konvonomidir, shuning uchun unda 360˚ da burchaklar yig'indisi.
2. Agar to'rtburchakning barcha burchaklarining yig'indisi va uchtasining yig'indisi ma'lum bo'lsa, unda ekish to'rtinchi sonni aniqlash mumkin; Ushbu to'rtburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 370 °, shundan keyin to'rtinchi 370˚ - 260˚ \u003d 90˚. 270˚.
3. Agar to'rtburchakda barcha burchaklar to'g'ridan-to'g'ri bo'lsa, unda bu to'rtburchaklar to'rtburchaklar; Ushbu to'rtburchakda barcha burchaklar to'g'ridan-to'g'ri, shuning uchun u to'rtburchaklar.
Barcha e'lon qilingan xulosalar qoida qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi va shu sababli, deddodlentatsiya qilinmoqda.
Eng sodda dalil bitta xulosadan iborat. Bunday, masalan, 6 ta bayonotning isboti< 8.
Shunday qilib, matematik dalillar tuzilmasi haqida gapirganda, biz birinchi navbatda isbotlangan bayonotni va haqiqiy bayonotlar tizimini o'z ichiga oladi.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, matematik dalil shunchaki xulosalar to'plamidir, bu esa ma'lum bir tartibda joylashgan xulosalar.
Farqlash usuliga muvofiq (shaklda) farqlash to'g'ridan-to'g'ri va bilvosita tasdiqlash. Avvalroq ko'rib chiqilgan isboti to'g'ridan-to'g'ri haqiqiy hukm asosida va teoremaning holatini hisobga olgan holda, bag'ishlangan xulosalar zanjiri qurilgan, bu esa haqiqiy xulosaga olib keldi.
Bilvosita dalillarning misoli isbotlangan nemasdan usul . Mohiyati quyidagicha. Teoremni isbotlashni talab qilsin
A ⇒ V. aksincha, teorema (C) xulosasi yolg'on ekanligi taxmin qilinadi va shuning uchun uni rad etish haqiqatdir. "Atsida emas" taklifini tasdiqlash uchun ishlatiladigan "AMAS" to'plamini biriktiruvchi elektron xulosalar zanjiri, bayonot posilkalardan biriga zid bo'lmaguncha va, xususan, shartlarga zid kelguncha qurilgan. A. Faqat bunday qarama-qarshilik aniq belgilangan, dalillar jarayoni boshlanadigan qarama-qarshiliklar nazariyaning haqiqatini isbotlaydi, deb aytdi
Vazifa 1. Agar + 3\u003e 10 bo'lsa, unda a ≠ 7. usul qarshi.
Vazifa 2. Agar x² hatto raqam bo'lsa, x juft bo'lsa ham. Nishiy usul.
Vazifa 3. To'rt ketma-ket to'rtta tabiiy raqam mavjud. Ushbu ketma-ketlikning o'rtacha sonining mahsuloti 2-chi ashaddiy ishning ko'payishi haqiqatmi? Tugallanmagan induktsiyaning usuli.
To'liq induksion - Bu tasdiqning haqiqati uning haqiqatdan kelib chiqqan holda, barcha alohida holatlarda tasdiqlangan dalillar usulidir.
4-topshiriqni 4 dan katta bo'lgan har bir kompozital raqamni isbotlash, lekin 20-kichik 20, ikkita oddiy raqamlarning yig'indisi shaklida ifodalanganligini isbotlang.
5-Vazifa - bu tabiiy son kamida 3-sonli bo'lmasa, unda N² + 2 marta 3-iboraning qiymati? To'liq induktsiya usuli.
Risolada tilda qo'llaniladigan tillar matematika fanlari tasvirlangan ba'zi asosiy printsiplarni tavsiflaydi: matematik dalillar boshqa fanlar va kundalik hayotda qabul qilingan dalillar tushunchasidan farq qiladi Dalillarning eng oddiy dasturlari matematikada qo'llaniladi, chunki bunday aksiomatik usul haqiqat va dalil o'rtasidagi farq tufayli ekanligini isbotlaydi.
O'rta maktab o'quvchilaridan boshlanadigan juda keng o'quvchilarning doirasi uchun.
Matematika va dalillar.
Hatto matematika odami bilan tanishib, matematikada kitob olib, odatda, boshqa mavzular uchun emas, balki bu kitob matematikaga emas, balki bu kitob matematikaga emas, balki ushbu kitob matematikaga emas, balki bu kitob matematikaga ega ekanligini aniq belgilab qo'yishi mumkin. Va shunchaki juda ko'p formulalar bo'ladi degani emas: fizikadagi ham, astronomiyada yoki ko'prik binolarida ham formulalar mavjud. Gap shundaki, matematikadagi har qanday jiddiy kitobda dalillar mavjud. Bu matematik bayonotlar, matematik matnlarda dalillarning mavjudligi, u boshqa bilimlarning boshqa sohalaridan matematika bilan ajralib turadi.
Yagona munosabatni qamrab olish uchun birinchi urinish butun matematika III asrda qadimiy yunon matematikidini bizning davrimizga olib bordi. Natijada mashhur "boshlanish" Evklid paydo bo'ldi. Ikkinchi urinish faqat XX asrda bo'lib o'tdi. E. va u 1939 yilda ko'p tomonlama shartnomani nashr etish uchun boshlangan Nikol Burbaki frantsuz matematikasiga tegishli. Ushbu ibora Bombaki risolasini ochib berdi: "Yunonlar davridan boshlab" Matematika "deydi. Shunday qilib, "Matematika" va "dalil" - bu ikki so'z deyarli sinonimlar deb e'lon qilinadi.
MUNDARIJA
Matematika va dalillar
Matematik atamalarning aniqligi va ma'nosizligi to'g'risida
O'zaro ta'sir qilish usuli bilan dalillar
Bilvosita dalillar. Dirichle printsip
"Aksincha"
Eng katta va eng kichik va cheksiz millatning printsiplari
Induksiya
Matematik induktsiya bo'yicha dalillar
To'liq inkrument va to'liq bo'lmagan induksiya
Matematik dalillar g'oyasi vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadi.
Ikkita aksiomatik usul - norasmiy va rasmiy
Norasmiy aksiomatik usul
Rasmiy aksiomatik usul
Godel teoremasi.
Qulay formatda elektron kitobni bepul yuklab oling, ko'ring va o'qing:
"Uspenskiy v.A" matematik dalillarning eng oddiy namunalarini yuklab oling.