Uchun har qanday tasodifiy tadbirning paydo bo'lishi ehtimolini taxmin qilish, boshqa voqealar qanchalik rivojlanib borayotganidan farq qiladigan voqealar ehtimoliyatini taxmin qilish uchun juda muhimdir.

Klassik sxema bo'lsa, barcha natijalar teng bo'lsa, biz allaqachon bizga qiziqish uyg'otadigan narsalarning qadriyatlarini baholashimiz mumkin. Agar tadbir bir nechta boshlang'ich natijalarning murakkab to'plamidir bo'lsa ham buni amalga oshirishimiz mumkin. Va agar bir vaqtning o'zida bir nechta tasodifiy voqealar yoki ketma-ket bo'lsa? Bu bizga qiziqish ehtimoli qanday ta'sir qiladi?

Agar men bir necha marta o'ynashimni bir necha marta o'ynasam va men "olti" yiqilmoqchi bo'lsam va men har doim baxtli emasman, bu ehtimoliy imkoniyatlar nazariyasiga ko'ra, men tikish nazariyotiga ko'ra, men omad tilaymizmi? Afsuski, ehtimollik nazariyasi shunga o'xshash narsani tasdiqlamaydi. Na suyaklar ham, na tanga ham qanday yodlashni bilmayman Ular oxirgi marta bizga qanday ko'rsatdilar. Ular butunlay parvo qilmaydi, birinchi marta yoki o'ninchi safar men taqdirimni boshdan kechiraman. Har safar men otishni takrorlaganimda faqat bitta narsani bilaman: bu safar "olti" ning "oltitasi" ga yana oltinchi ga teng. Albatta, bu sizga kerak bo'lgan raqam hech qachon tushmaydi degani emas. Bu faqat birinchi otishdan keyin va boshqa tashiyotgandan keyin mening yo'qotishim faqat mustaqil voqealarni anglatadi.

A va B voqealari deyiladi mustaqilAgar ulardan birini amalga oshirish boshqa voqea ehtimoliga ta'sir qilmasa. Masalan, ikkita quroldan mag'lub bo'lish ehtimoli maqsad boshqa vositaga tegishiga bog'liq emas, shuning uchun "birinchi qurol gol urdi" va "Ikkinchi vositani" mustaqil ravishda amalga oshirdi.

Agar ikki hodisa va mustaqil bo'lsa, ularning har birining ehtimoli ma'lum bo'lsa, bir vaqtning o'zida paydo bo'lish va hodisalar va hodisalar (belgilangan AB) (belgilangan AB) (belgilangan AB) ushbu teoremadan foydalangan holda hisoblash mumkin.

Mustaqil voqealar uchun ehtimollik ko'payishi

P (AB) \u003d P (A) * P (b) - ehtimollik bir vaqtda Ikkining boshlanishi mustaqil Hodisalar teng ishushbu tadbirlarning ehtimolligi.

Misol.Maqsadni birinchi va ikkinchi vositalar otishma-shuviyotiga kiritish ehtimollari mos ravishda teng: p 1 \u003d 0,7; p 2 \u003d 0,8. Bir vaqtning o'zida ikkala qurol bilan bitta volleyka olish ehtimolini toping.

Qaror:biz voqealarni ko'rganimizdek, A (birinchi qurol urdi) va In (ikkinchi vositani urgan) mustaqil, i.e. P (AV) \u003d p (a) * p (c) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0.56.

Bizning hisob-kitoblarimizda mustaqil bo'lmagan bo'lsa nima bo'ladi? Oldingi misolni biroz o'zgartiraylik.

Misol.Musobaqalardagi ikki o'qni davom ettiring va agar ulardan biri yorliqni otsa, raqib asabiylasha boshlaydi va natijasi yomonlashadi. Ushbu kundalik vaziyatni matematik vazifa va uni hal qilish usullariga qanday aylantirish kerak? Tadbirlarni rivojlantirishning ikkita variantini qandaydir tarzda ajratish, ikkita stsenariyni, ikkita turli vazifani tuzish kerak. Birinchi holda, agar raqibni o'tkazib yuborgan bo'lsa, skript asab sportchisi va uning aniqligi yuqori bo'ladi. Ikkinchi holda, agar raqib o'z imkoniyatini aniq anglasa, ikkinchi sportchi uchun nishonga urish ehtimolligi pasayadi.

Mumkin bo'lgan stsenariylarni ajratish uchun (ular ko'pincha giptezlar deb nomlanadi), biz ko'pincha "ehtimoliy daraxt" sxemasidan foydalanamiz. Ushbu sxema siz bilan shug'ullanishingiz kerak bo'lgan qarorlarning ma'nosiga o'xshash. Har bir filial - bu tadbirni rivojlantirishning alohida stsenariysi, faqat hozir u deb ataladigan narsasi bor shartli Ehtimollik (1-savol, Q 2, Q 1 -1, Q 2 -1).

Ushbu sxema ketma-ket tasodifiy tasodifiy hodisalarni tahlil qilish uchun juda qulaydir.

Yana bir muhim savolni bilish uchun davom etadi: dastlabki ehtimollik qiymatlari qayerdan keladi Haqiqiy vaziyatlar ? Axir, ehtimoliy nazariya bir xil tangalar bilan ishlamoqda va suyaklar bilan o'ynayaptimi? Odatda ushbu hisob-kitob statistikadan olinadi va statistik ma'lumotlar bo'lmasa, biz o'z tadqiqotimizni olib boramiz. Ko'pincha uni ma'lumot to'plashdan boshlash kerak emas, ammo savoldan nima kerak?

Misol.Aytaylik, biz shaharda yuz ming aholisi bo'lgan yangi mahsulotning bozor hajmini, masalan, bo'yalgan sochlar parvarishi uchun balzam uchun baholashimiz kerak. "Ehtimollar daraxti" sxemasini ko'rib chiqing. Shu bilan birga, har bir "filial" dagi ehtimolligi biz taxminan baholashimiz kerak. Shunday qilib, bizning bozor sig'imimiz hisob-kitoblarimiz:

1) Ayollar shahrining barcha aholisidan 50%,

2) barcha ayollarning faqat 30% bo'yash tez-tez,

3) ulardan atigi 10% bo'yalgan sochlar uchun balzamdan zavqlaning,

4) ulardan atigi 10% yangi mahsulotni sinab ko'rish uchun jasoratga ega bo'lishi mumkin,

5) Bularning 70 foizi odatda hammamiz bizdan, balki raqobatchilarimizdan sotib oladi.

Qaror:Ko'plikning ko'payishi to'g'risidagi qonunga ko'ra, biz bizga qiziqish uyg'otadigan voqealar ehtimolini aniqlaymiz

Shahar aholisining soniga ushbu qiymatni ko'paytiring. Natijada bizda atigi 45 potentsial xaridor bor va agar biz bir necha oy davomida ushbu fondning bitta pufagi etarli deb hisoblasak, savdo juda band emas.

Shunga qaramay, hisob-kitoblarimizdan foyda keltiradi.

Birinchidan, biz turli xil biznes g'oyalarini bashorat qilishimiz mumkin, ular turli xil "rivojlanish" ni, albatta, ehtimollik qadriyatlari ham boshqacha bo'ladi.

Ikkinchidan, biz allaqachon aytgandek, tasodifiy qiymat tasodifiy deb ataladigan tasodifiy deb ataladigan tasodifiy deb ataladigan narsa emas. Faqat uni aniq Qiymat oldindan ma'lum emas. Biz bilamizki, xaridorlarning o'rtacha soni ko'payishi mumkin (masalan, yangi mahsulotni reklama qilish bilan). Shunday qilib, ehtimolliklarning tarqalishi bizga, ayniqsa ta'sir ko'rsatishi mumkin bo'lgan omillarga mos kelmaydigan "rivojlanish" ga e'tibor qaratish mantiqiy ahamiyatga ega.

Mijozlarning xatti-harakatlarini o'rganishning yana bir miqdoriy namunasini ko'rib chiqing.

Misol.Kun davomida oziq-ovqat bozori o'rtacha 10000 kishiga tashrif buyuradi. Bozorga tashrif buyuruvchi sut mahsulotlarining pavilyoniga kirishi ehtimoli 1/2 ni tashkil qiladi. Ma'lumki, ushbu pavilyonda kuniga 500 kg turli xil mahsulotlar sotiladi.

Pavilyonda o'rtacha sotib olish faqat 100 g og'irlikdagi og'irlik deb ta'kidlash mumkinmi?

Munozara.Albatta, bu mumkin emas. Pavilyonga kirganlarning hammasi hammasi ham u erda bir narsa sotib olgani aniq.

Sozlamada ko'rsatilganidek, sotib olishning o'rtacha og'irligi haqidagi savolga javob berishimiz kerak, savolga javob topishi kerak, pavilyonga kelgan odam o'sha erda biron bir narsa sotib oladi. Agar bizning ixtiyorimizda bunday ma'lumotlar bo'lmasa va ularga kerak bo'lsa, pavilonning mehmonxonasini tomosha qilgandan so'ng, siz ularni bir muncha vaqt tomosha qilgandan so'ng, ularni o'zingiz olishingiz kerak. Aytaylik, bizning kuzatuvlarimiz pavilon mehmonlarining beshdan bir qismi nimanidir sotib oladi.

Ushbu taxminlar biz tomonidan olinishi bilanoq, vazifa oddiy bo'ladi. Bozorga kelgan 10000 kishidan 5000 nafar sut mahsulotlarining pavilyoniga kiradi, xarid qilish atigi 1000 ga teng. O'rtacha xaridning o'rtacha vazni 500 gramm. Shunisi qiziqki, nima bo'layotganini to'liq tasvirlash uchun, taxminiy "Baterlar" ning har bir bosqichida, shuningdek, "ma'lum bir" vaziyat bilan emas, balki "ma'lum bir" vaziyatda ishladik. ehtimollik.

O'z-o'zini tekshirish uchun vazifalar

1. Aytaylik, ulangan elementlarning seriyasidan iborat elektr ayirboshlash, ularning har biri qolganlardan mustaqil ravishda ishlaydi.

Ehtimol, har bir elementning tartibida ma'lum. Zanjirning butun hududining ishlash ehtimolini aniqlang (hodisa a).

2. Talaba 25 ta imtihon savollaridan 20 ta narsani biladi. Talaba o'zi taklif etgan uchta savolni biladigan ehtimollikni toping.

3. Ishlab chiqarish to'rtta qadamdan iborat, ularning har biri keyingi oy ichida muvaffaqiyatsizliklar mos ravishda p 1, p 2, p 3 va p 4 bilan teng. Bir oy ichida uskunalar nosozlik tufayli ishlab chiqarishning yagona to'xtash joyi bo'lmaydi degan ehtimolni toping.

Haqiqatan ham yoki bizning tasavvurimizda 3 guruhga bo'linishi mumkin. Bu aniq voqealar, imkonsiz hodisalar va tasodifiy hodisalar keltiradigan ishonchli voqealardir. Tekshirish nazariyasi tasodifiy hodisalar bilan o'rganiladi, i.e. Sodir bo'lishi yoki sodir bo'lishi mumkin bo'lgan voqealar. Ushbu maqolada formulalar nazariyasining qisqa shaklida bo'lib, ular matematik ee (profil darajalari) ning 4 vazifaida bo'lishi mumkin bo'lgan muammolarni hal qilish misolida namoyish etiladi.

Nega sizga ehtimollik nazariyasi kerak?

Tarixan, 17-asrda qimor o'yinlarini rivojlantirish va izohlash munosabati va kazino ko'rinishi munosabati bilan ushbu muammolarni o'rganish zarurati. Bu uning o'qish va tadqiqotini talab qiladigan haqiqiy hodisa edi.

Kartalar, suyaklar, ruletka o'yinlari teng bo'lganlar soni yuz berishi mumkin bo'lgan holatlar yuzaga keldi. Bir yoki boshqa tadbirning paydo bo'lishi ehtimolini raqamli baholash zarurati bor edi.

XX asrda bu mikrometrda sodir bo'ladigan asosiy jarayonlarni bilishda muhim ahamiyatga ega ekanligi ma'lum bo'ldi. Zamonaviy ehtimollik nazariyasi yaratildi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari

Ehtimollar nazariyasini o'rganish ob'ekti bu voqealar va ularning ehtimolligi. Agar voqea murakkab bo'lsa, ehtimol, ehtimolliklarni topish oson bo'lgan oddiy tarkibiy qismlarga bo'lish mumkin.

A va B voqealarning yig'indisi C tadbiri deb ataladi, bu yoki bir vaqtning o'zida yoki bir vaqtning o'zida sodir bo'lgan voqealar yoki voqealar mavjudligi.

A va B voqealarining ishi voqea a va voqeani hisobga olgan holda ko'rib chiqiladi.

A va B voqealari bir vaqtning o'zida sodir bo'lmasangiz, keltirib chiqariladi.

Agar sodir bo'lolmasa, A hodisasi mumkin emas deb ataladi. Ushbu tadbir ramz bilan ko'rsatilgan.

Astavni aniq amalga oshiradigan ishonchli deb nomlanadi. Ushbu tadbir ramz bilan ko'rsatilgan.

Har bir voqea p (a) raqamiga muvofiq joylashtiring. Ushbu raqam p (a) ushbu turdagi shartlar bajarilgan bo'lsa, ushbu holatning ehtimolligi deb ataladi.

Ovozli boshlang'ich natijalari bo'lgan holat, o'zboshimchalikiy natijalari A. ushbu holatda, ehtimol, ehtimollik formulasi tomonidan kiritilishi mumkin bo'lgan holat muhimdir. Shu tarzda joriy qilingan ehtimollik klassik ehson deb ataladi. Shuni isbotlash mumkinki, bu holda 1-4 xususiyatlari qilingan.

Matematikada imtihonda topilgan ehtimolliklar nazariyasining vazifalari asosan klassik ehtiros bilan bog'liq. Bunday vazifalar juda sodda bo'lishi mumkin. Namoyish variantlarida ehtimollik nazariyasining vazifalari ayniqsa sodda. Qulay natijalarning sonini hisoblash oson kechadi, to'g'ridan-to'g'ri holatda barcha natijalarning sonini yozib qo'yadi.

Javob formula tomonidan olinadi.

Matematika so'zidan misolning misoli, ehtimollikni aniqlash

Stolda 20 ta pire - karam, 7 ta olma va 8 bilan guruch bilan. Marina patosni olishni xohlaydi. Guruch bilan patfere olish ehtimoli qanday?

Qaror.

Umumiy boshlang'ich natijalarda 20, ya'ni Marina 20 ta pirogni olishi mumkin. Ammo biz Marina guruch bilan pidrritni, ya'ni guruch bilan qo'g'irchoqni tanlash ehtimolini qadrlashimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, bizda faqat qulay natijalarga ega (guruch bilan piroglar) borligi bor (guruch bilan piroglar) bor. Keyin ehtimollik formulada aniqlanadi:

Mustaqil, qarama-qarshi va o'zboshimchalik bilan bog'liq tadbirlar

Biroq, Ochiq bankda vazifalar yanada murakkab vazifalarni bajara boshladi. Shuning uchun, ehtimollik nazariyasida o'qigan boshqa masalalarga e'tibor bering.

A va B voqealari mustaqil deb nomlanadi, agar ularning har birining ehtimoli boshqa voqea sodir bo'lishiga bog'liq bo'lmasa.

B hodisasi shundaki, voqea sodir bo'lmayapti, i.e. B hodisasi A davomiyligi A. Qarama-qarshi hodisaning ehtimolligi to'g'ridan-to'g'ri voqea ehtimoli bo'lgan bir minusga tengdir. I.E. .

Qo'shimcha teoremalar va ehtimolliklarni ko'paytirish, formulalar

O'zboshimchalik bilan hodisalar uchun a va ushbu tadbirlar miqdorining ehtimolligi ularning qo'shma tadbirlari ehtimoli bo'lmagan ehtimollik summasiga teng, I.E. .

Mustaqil voqealar uchun, a va ushbu tadbirlarning ishi ehtimoli ularning ehtimolligi uchun tengdir, I.E. Ushbu holatda .

So'nggi 2 ta bayonotga qo'shimcha teoremalar va ehtimolliklarni ko'paytirish deb ataladi.

Har doim ham natijalarning sonini hisoblash juda oddiy. Ba'zi hollarda kombinator formulalaridan foydalanish kerak. Bunday holda, eng muhimi, ma'lum shartlarni qondiradigan voqealar sonini hisoblash. Ba'zida bunday hisoblash mustaqil vazifalar bo'lishi mumkin.

6 ta bepul joylarda 6 ta talabani qancha usulda ko'rishim mumkin? Birinchi talaba 6 o'rinni egallaydi. Ushbu variantlarning har biri ikkinchi talabaga to'g'ri keltirishning 5 usullariga to'g'ri keladi. Uchinchi talaba uchun 4 ta bo'sh joy mavjud, to'rtdan 3 tasi, beshinchi - 2, oltinchisi yolg'iz qolgan joyni egallaydi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz 6 ramz bilan ko'rsatilgan mahsulotni topishingiz kerak! Va "oltita faktor" ni o'qing.

Umuman olganda, bu savolga javob, bizning ishimizdagi PUPS-dan o'tkazilgan pullar sonining formulasini beradi.

Hozirgi kunda bizning o'quvchilarimiz bilan yana bir ishni ko'rib chiqaylik. Men 2 ta talabalarga qancha usulda o'tirsam bo'ladi? Birinchi talaba 6 o'rinni egallaydi. Ushbu variantlarning har biri ikkinchi talabaga to'g'ri keltirishning 5 usullariga to'g'ri keladi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz ish topishingiz kerak.

Umuman olganda, bu savolga javob, K elementlaridan, K elementlari bo'yicha turar joylar sonini beradi

Bizning holatda.

Va ushbu seriyali so'nggi ish. Siz 6 dan uchta talabani tanlashingiz mumkin? Birinchi talaba ikkinchi usulda 6 tanlab olinishi mumkin - uchinchi usulda 5. Ammo ushbu variantlardan biri talabalar va bir xillarning yuqori qismi 6 marta topiladi. Barcha variantlar sonini topish uchun siz qiymatni hisoblashingiz kerak:. Umuman olganda, bu savolga javob elementlardagi kombinatsiyalar soni uchun formulalarni keltiradi:

Bizning holatda.

Ehtimollik ta'rifini aniqlash uchun muammolarni matematikadan hal qilish misollari

Vazifa 1. To'plamdan. Yashchenko.

30 ta plastinkada: 3 Go'sht bilan, 18 va 9 gilos bilan 9 bilan. Tasodifiy ravishda Sasha bitta patosni tanlaydi. Bu gilos bilan bo'lish ehtimolini toping.

.

Javob: 0.3.

Vazifa 2. To'plamdan. Yashchenko.

O'rtacha 20 ta nuqsonli 1000 ta yorug'lik lampalarining har bir partiyasida. Tasodifiy lampochka partiyadan tasodifiy lampochka yaxshi bo'ladi degan ehtimolni toping.

Qaror: 1000-20 \u003d 980. Keyin partiyaning chiroqli lampochkasini olib kelgan ehtimol yaxshi bo'ladi.

Javob: 0.98.

Matematikaning talabasi bo'yicha sinov paytida sinov paytida 9 dan ortiq vazifalar 9 dan ortiq vazifalarni hal qiladi 0,67 ga teng. U siz 8 dan ortiq vazifalarni to'g'ri hal qiladi, 0,73 ga teng. U US-ni toping, aniq 9 ta vazifani to'g'ri hal qiladi.

Agar biz raqamli to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri tasavvur qilsak va 8 va 9-bandlarni ta'kidlaymiz, biz buni "W" holatini ko'ramiz. U aniq 9 ta vazifani "V." Vazifatsiyasida amalga oshiriladi. 8 dan ortiq vazifalarni hal qilish to'g'ri, "Ammo shartga taalluqli emas" W. Bu 9 dan ortiq vazifalarni hal qiladi. "

Biroq, shart "U. Bu 9 dan ortiq vazifalarni hal qiladi "U. Bu 8 dan ortiq vazifalarni hal qiladi. " Shunday qilib, agar biz voqealarni bildirsak: "" W. Aniq 9 vazifani hal qilish to'g'ri "- A orqali" W. Bu 8 dan ortiq vazifalarni to'g'ri hal qiladi "- B," W. Bu 9 dan ortiq vazifalarni "C." orqali hal qiladi. Eritma quyidagicha ko'rinadi:

Javob: 0,06.

Geometriya imtihonida maktab o'quvchisi ekspertiza masalalari ro'yxatidan bitta savolga javob beradi. Bu "trigonometriya" mavzusida bu savol tug'ilishi ehtimoli 0,2. "Tashqi burchaklar" mavzusidagi bu savol 0,15. Bir vaqtning o'zida ushbu ikkita mavzuni nazarda tutadigan savollar, yo'q. Talaba imtihoni ushbu ikkita mavzudan biri haqida savol olish ehtimolini toping.

Keling, bizning voqealarimiz qanday berilganligi haqida o'ylaymiz. Bizga ikkita to'liq bo'lmagan voqea beriladi. Ya'ni, shuni ham, "trigonometriya" mavzusiga yoki "tashqi burchak" mavzusiga tegishli bo'ladi. Tusuriy bo'lmagan voqealar bo'yicha har bir voqeaning ehtimoliylari ehtimoliga teng, biz ushbu hodisalarning ehtimolligi summasini topishi kerak:

Javob: 0.35.

Xona uchta chiroqli chiroq bilan yoritilgan. Yil davomida bitta chiroqni buzish ehtimoli 0,29 ni tashkil qiladi. Yil davomida kamida bitta chiroq muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimolini toping.

Mumkin bo'lgan voqealarni ko'rib chiqing. Bizda uchta engil lampochka bor, ularning har biri boshqa yorug'lik lampochkasini mustaqil ravishda engib yoki tushirish mumkin. Bular mustaqil voqealardir.

Keyin biz bunday tadbirlar uchun imkoniyatlarni belgilaymiz. Belgilashni qabul qilamiz: yorug'lik kuyishi, lampochka yonib ketdi. Va darhol, biz tadbir ehtimolini hisoblaymiz. Masalan, uchta mustaqil "Optbo lampochka yoqdi", "Oyli lampochka yoqdi", "Chiroq lampochka yoqadi", "Yengil lampochka" hodisaning ehtimolligi sifatida hisoblanadi. "Nur lampochk" tadbiriga qarama-qarshi voqea, xususan:.

Shuni esda tutingki, bizda faqat qulay to'liq bo'lmagan voqealar mavjud. Bunday tadbirlarning ehtimoli har bir tadbirning ehtimoliylari miqdoriga tengdir:.

Javob: 0,975608.

Siz quyidagi rasmda boshqa vazifani qidirishingiz mumkin:

Shunday qilib, biz rasmlar va muammoning versiyasida uchrashishingiz mumkin bo'lgan muammolarni hal qilish ehtimoli nazariy ma'noga ega ekanligini tushunamiz.

Ehtimol nima?

Ushbu atamaga birinchi marta duch kelgan, men nima ekanligini tushunmasdim. Shuning uchun men mavjudligini tushuntirishga harakat qilaman.

Ehtimollik - bu sizga kerak bo'lgan voqea sodir bo'ladi.

Masalan, siz do'stga borishga qaror qilgan, u yashaydigan kirish va hatto polni eslaysizmi. Ammo xonaning joylashuvi va joylashuvi unutildi. Va siz zinapoyada turib, sizlar oldida eshik oldingiz oldida.

Siz birinchi eshikni chaqirsangiz, qanday imkoniyat (ehtimollik), do'stingizni ochasizmi? Umumiy kvartiralar va do'stlar faqat ular uchun yashaydi. Teng imkoniyat bilan biz biron bir eshikni tanlashimiz mumkin.

Ammo bu imkoniyat nima?

Eshiklar, kerakli eshigi. Birinchi eshikni chaqirib taxmin qilish ehtimoli:. Ya'ni uchtadan bir marta siz taxminsiz.

Biz qo'ng'iroq vaqtlari bilan tanishishni xohlaymiz, eshikni qanchalik tez-tez taxmin qilamiz? Keling, barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

1. Siz B. deb nomladingiz. 1y. eshik
2. Siz B. deb nomladingiz. 2y eshik
3. Siz B. deb nomladingiz. 3Yas. eshik

Endi do'stingiz bo'lishi mumkin bo'lgan barcha imkoniyatlarni ko'rib chiqing:

ammo. Har tomonga 1i Eshik
b. Har tomonga 2y Eshik
Ichida. Har tomonga 3i Eshik

Biz barcha variantlarni stol shaklida taqqoslaymiz. Belgilangan belgilar, siz tanlagan do'stingiz, xochning joyiga to'g'ri kelganda, parametrlarni ko'rsatadi.

Siz hamma narsani ko'rganingizdek ehtimol Variantlar Do'stning joylashuvi va tanlovingiz, qaysi eshikni chaqiring.

Lekin qulay natijalar jami natijalari . Ya'ni, sizning taxmin qilganingiz uchun, eshikni bir marta qo'ng'iroq qiling, y. .

Bu ehtimollik - qulay natijalarning nisbati (sizning tanlaganingiz do'stingizning manziliga to'g'ri kelganda) mumkin bo'lgan voqealar soniga to'g'ri keladi.

Ta'rif - bu formula. Ehtimol, p, shunday deyish mumkin.

Ushbu formula juda qulay emas, shuning uchun biz qulay natijalar sonini qabul qilamiz va natijalar umumiy soni.

Ehtimollik foiz sifatida qayd etilishi mumkin, buning natijasida hosil bo'lgan natijasini ko'paytirishingiz kerak:

Ehtimol, "natijalari" sizga shoshildi. Matematika turli xil harakatlarni chaqirgani uchun (bizda bunday harakat bor - bu qo'ng'iroq jiringlash) tajribalari, so'ngra bunday tajribalar natijasi, natijada natijaga ko'ra odatiy.

Natijada, natijalar ijobiy va noqulay.

Keling, bizning o'rnagimizga qaytaylik. Aytaylik, biz eshiklardan birini chaqirdik, ammo notanish odam bizga ochdi. Biz taxmin qilmadik. Qolgan eshiklardan birini chaqirsangiz, biz do'stimizni ochamiz degani qanday?

Agar bu xato deb o'ylasangiz. Keling bilan shug'ullanamiz.

Bizda ikkita eshik bor. Shunday qilib, bizda mumkin bo'lgan qadamlar mavjud:

1) Qo'ng'iroq 1-uu eshik
2) qo'ng'iroq qiling 2 uu eshik

Do'stim, bularning barchasi, ulardan biri, ulardan biri (biz chaqirganimiz uchun emas, balki emas):

a) do'stim 1-chi Eshik
b) har biri 2-O. Eshik

Keling, yana stolni chizamiz:

Ko'rinib turibdiki, shuni variantlar mavjud. Ya'ni ehtimol tengdir.

Nimaga?

Biz ko'rib chiqayotgan vaziyat - qaramlik hodisalariga misol. Birinchi voqea eshikdagi birinchi qo'ng'iroq, ikkinchi voqea ikkinchi eshik qo'ng'irog'idir.

Va ularga bog'liqligi, chunki ular quyidagi harakatlarga ta'sir qiladi. Axir, agar birinchi qo'ng'iroqdan keyin, biz eshik oldida bir do'stni ochdik, keyin u boshqa ikkalasidan birida nima degani? O'ngdan,.

Ammo agar qaram tadbirlar bo'lsa, unda bo'lishi kerak mustaqil? To'g'ri, mavjud.

Darslik misoli tanga tashlaydi.

1. Tanga vaqtini tashlang. Burgutning yiqilib tushishi ehtimoli qanday? Bu to'g'ri -, chunki barchaning variantlari (burgut yoki shoshilish, biz tanganing ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz), ammo biz faqat tashkil etamiz.
2. Ammo shoshilib tushdi. Yaxshi, yana tashlang. Burgut tushishi ehtimoli qanday? Hech narsa o'zgarmadi, hamma narsa bir xil. Qancha variantlar? Ikkinchisi. Va qanchaga mos keladi? Biri.

Va ketma-ket ming marta shoshilib qolishiga yo'l qo'ying. Burgutning pasayish ehtimoli hammasi ham bo'ladi. Variantlar har doim va qulay -.

Tegishli hodisalarni mustaqil ravishda farqlash:

1. Agar tajriba bir marta (ular tanga tashlasalar, 1 marta eshikni va boshqalarga qo'ng'iroq qilinglar), keyin voqealar har doim mustaqil bo'ladi.
2. Agar tajriba bir necha bor amalga oshirilsa (bir marta tanga tashlanadi, eshik bir necha bor chaqiriladi), keyin birinchi tadbir har doim mustaqil. Va keyin, agar barcha natijalarning soni o'zgarsa, hodisalar o'zgaradi, agar bo'lmasa, mustaqil.

Keling, ehtimol bir oz tishlaylik.

1-misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Burgut ketma-ket ikki marta tushishi ehtimoli qanday?

Qaror:

Barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqing:

1. Burgut-orel
2. Burgut-yugurish
3. Rush-orel
4. Rusk-Ruska.

Siz butun variantni ko'rayotganingiz kabi. Ulardan biz faqat mamnunmiz. Bu ehtimollik:

Agar shart shunchaki ehtimollikni topa olsa, javob o'nlik kasr shaklida berilishi kerak. Agar javobni foiz sifatida berilishi kerak bo'lsa, biz ko'paytiramiz.

Javob:

2-misol.

Konfet qutisida barcha konfet bir xil o'ramga qadoqlangan. Biroq, konfetdan - yong'oq bilan, konyak bilan, gilos bilan, karamel va Nuga bilan.

Bitta konfetni olish ehtimoli qanday, yong'oq bilan konfetni oling. Javob foizni oshiring.

Qaror:

Qancha mumkin bo'lgan natijalar? .

Ya'ni bitta konfetni olish mavjud kataklardan biri bo'ladi.

Va qancha qulay natijalarga olib keladi?

Chunki kosada faqat yong'oq bilan konfetlar.

Javob:

3-misol.

Qutilarda. Ulardan oq, - qora.

1. Oq to'pni tortib olish ehtimoli qanday?
2. Biz qutiga qora sharni qo'shdik. Endi oq to'pni tortib olish ehtimoli qanday?

Qaror:

a) butun to'p qutisiga. Ulardan oq.

Ehtimollik:

b) Endi qutidagi to'plar bo'ldi. Va oq ranggacha -.

Javob:

To'liq ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan voqealar ehtimoli () ga teng.

Red va yashil to'plar tortmasida taxmin qiling. Qizil to'pni tortish ehtimoli nima? Yashil to'pmi? Qizil yoki yashil to'pmi?

Ehtimollik qizil to'pni chiqaradi

Yashil to'p:

Qizil yoki Yashil to'p:

Ko'rinib turibdiki, barcha mumkin bo'lgan voqealar yig'indisi (). Ushbu lahzani tushunish sizga ko'plab vazifalarni hal qilishga yordam beradi.

4 misol.

Qutida Yolg'izlik belgilari: yashil, qizil, ko'k, sariq, qora.

Qizil rangli kigizni tortib olish ehtimoli qanday?

Qaror:

Keling, sonni ko'rib chiqaylik qulay natijalar.

Qizil rangli kigizni emas, yashil, ko'k, sariq yoki qora degan ma'noni anglatadi.

Hodisa sodir bo'lmaydi, voqea sodir bo'ladigan ehtimollikni minusga tengdir.

Mustaqil voqealar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Siz bilgan mustaqil voqealar nima.

Agar ikkita (yoki undan ko'p) mustaqil tadbirlar ketma-ket amalga oshiriladigan ehtimolni topishingiz kerak bo'lsa va ketma-ket amalga oshiriladimi?

Aytaylik, tanga vaqtini otish ehtimoli qanday ehtimollikni bilishni istaymiz, burgutni ikki marta ko'ramizmi?

Biz allaqachon o'yladik.

Va agar siz tanga vaqt o'tkazsangiz? Burgutni ketma-ket ko'rish ehtimoli qanday?

Umumiy variantlar:

1. Burgut
2. Burgut
3. Burgut
4. Burgut
5. Burgut
6. Shoshqaloqlik
7. Burgut shoshqaloqlik
8. Rusk-shoshilish

Men qanday ekanligingizni bilmayman, lekin men adashib, ushbu ro'yxatni yaratdim. Voy-buy! Va faqat variant (birinchi) bizga mos keladi.

5 ta otish uchun siz o'zingiz mumkin bo'lgan natijalar ro'yxatini tuzishingiz mumkin. Ammo matematika siz kabi qiyin emas.

Shuning uchun ular birinchi marta payqadilar, keyin har safar bir tadbir ehtimolligi ehtimolida mustaqil tadbirlarning ketma-ketligi ehtimolligi aniqlanganligini isbotladilar.

Boshqa so'z bilan,

Xuddi shu, yomon tangalar, tangalarning misolini ko'rib chiqing.

Testda burgut ehtimoli? . Endi biz tanga vaqt tashlaymiz.

Ketma-ket burgutning ehtimoli nima?

Ushbu qoida nafaqat ketma-ket bir necha bor bir necha marta sodir bo'ladigan voqea bo'lish ehtimolini topishni so'ralganda, bu qoida nafaqat mavjud.

Agar biz daryo burgutining ketma-ketligini topmoqchi bo'lsak, ketma-ket bosh suyagi bo'lsa, biz ham shunday qilamiz.

Yiqilib tushish ehtimoli - burgut -.

Daryoning burgut-daryo-daryo-daryo-daryolar ketma-ketligini buzish ehtimoli:

Siz o'zingizni tekshirib ko'rishingiz mumkin, stolga yetib borishingiz mumkin.

To'liq bo'lmagan voqealarning oldini olish qoidasi.

Shunday qilib, to'xtang! Yangi ta'rif.

Keling bilan shug'ullanamiz. Eskirgan tanga oling va uni vaqtni tashlang.
Mumkin variantlar:

1. Burgut
2. Burgut
3. Burgut
4. Burgut
5. Burgut
6. Shoshqaloqlik
7. Burgut shoshqaloqlik
8. Rusk-shoshilish

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan voqealar, bu aniq, belgilangan voqealar ketma-ketligi. - Bular to'liq bo'lmagan voqealardir.

Agar biz ikkita (yoki undan ko'p) to'liq bo'lmagan voqealar ehtimolligi, biz ushbu voqealar ehtimolini katlayapmiz.

Burgut yoki Rushning pasayishi ikkita mustaqil voqea ekanligini tushunish kerak.

Agar ketma-ketlik ehtimoli (yoki boshqa har qanday) nima ekanligini aniqlamoqchi bo'lsak, unda biz ehtimollikning ko'payishi qoidalaridan foydalanamiz.
Burgutni birinchi otishiga tushish ehtimoli nima va ikkinchi va uchinchi shoshilish paytida?

Ammo agar biz bir necha ketma-ket bir necha ketma-ketlardan biri, masalan, burgut aniq vaqt tushganda, masalan, ya'ni i.e. Variantlar va biz ushbu ketma-ketliklarning ehtimollarini katlashimiz kerak.

Umumiy imkoniyatlar, bizga mos keladi.

Har bir ketma-ketlik paydo bo'lishi ehtimolini yaratish orqali biz bir xil narsani olishimiz mumkin:

Shunday qilib, biz ba'zi bir voqealar yoki hodisalarning to'liq emas, ketma-ketligi ehtimolini aniqlamoqchi bo'lganimizni aniqlaymiz.

Mumpuberatsiyalanganda chalkashliklarga yordam beradigan mukammal qoida mavjud va qachon

Masalan, tanga vaqtini tashlab, biz burgut vaqtlarini ko'rishni istaymiz.
Nima bo'ladi?

Yiqilish kerak:
(Burgut va shoshilinch) yoki (shoshiling va burgut va rush) yoki (shoshilib, burgut).
Shunday qilib, u shunday bo'ladi:

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

5-misol.

Qutida qalam bilan yotadi. Qizil, yashil, to'q sariq va sariq va qora. Qizil yoki yashil qalamlarni tortish ehtimoli qanday?

Qaror:

6-misol.

Suyaklar ikki marta tashlanadi, 8 ball miqdorida 8 ball tushadi?

Qaror.

Qanday qilib ko'zoynak olishimiz mumkin?

(lar) yoki (va) yoki (va) yoki (va (va).

Bir yuzni (har qanday) yiqilish ehtimoli.

Biz ehtimollikni ko'rib chiqamiz:

Tayyorlamoq.

O'ylaymanki, endi siz ularni qo'shganingizda va qachon ko'paytirishingiz mumkinligini ko'rib chiqishingiz kerak deb o'ylayman. Shunday emasmi? Keling, biroz mashq qilaylik.

Vazifalar:

Kartalar, cho'qqisi, qurtlar, 13 trubkinada kartalar, cho'qqilar, 13 ta tampurda kartalar kemasini oling. Har bir kostyumning ace dan.

1. Trni ketma-ket tortib olish ehtimoli qanday (birinchi nuqta pallasiga qaytargan birinchi nuqta)?
2. Qora xaritani (cho'qqilar yoki mayda) tortish ehtimoli qanday?
3. Rasmni tortib olish ehtimoli qanday (Warda, xonim, qirol yoki ace)?
4. Ikkita rasmni ketma-ket tortib olish ehtimoli (biz birinchi nuqta kartasini kemadan olib tashlaymiz)?
5. Ikkita karta olish, ikkita kartani to'plash, kombinatsiyani to'plang - (valyuta, xonim yoki podshoh) va kartalar chiqaradigan ketma-ketlikning ahamiyati yo'q.

Javoblar:

Agar siz barcha vazifalarni hal qila olsangiz, unda siz katta! Endi imtihonda ehtimollik nazariyasidagi qiyinchiliklar siz yong'oq kabi tugmachani bosasiz!

Ehtimollik nazariyasi. O'RTACHA DARAJASI

Misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, biz suyakni tashlaymiz. Bu qanday suyakni bilasiz? Bu qirralarda raqamlar bilan kub deb ataladi. Qancha yuz, shunchalik ko'p raqamlar: qancha? Oldin oldin.

Shunday qilib, suyakni tashlaymiz va yiqilib yoki yiqilib tushishni xohlayman. Va u tushadi.

Ehtimoliyat nazariyasida ular nima bo'lganini aytishadi qulay voqea (Oxirat bilan aralashtirmang).

Agar tushib ketgan bo'lsa, tadbir ham qulay bo'lar edi. Umumiy ikkita ijobiy hodisalar bo'lishi mumkin.

Va qancha noqulay? Mumkin bo'lgan voqealardan beri, bu voqealar noqulay bo'lganligi (bu tushib ketgan bo'lsa yoki).

Ta'rif:

Ehtimollik barcha mumkin bo'lgan voqealar soniga nisbati miqdorining nisbati deb nomlanadi.. Ya'ni, ehtimollik barcha mumkin bo'lgan voqealarning qaysi nisbati ijobiy tomonga tushishini ko'rsatadi.

Lotin harfining ehtimolligini bildiradi (ehtimol, inglizcha so'z ehtimolligi ehtimoldan).

Ehtimol ehtimolni foizni o'lchash odat tusiga kiradi (mavzuga qarang). Buning uchun ehtimollik qiymatini ko'paytirish kerak. Masalan, o'yin suyagi, ehtimollik.

Va foizlar:

Misollar (o'zingizni hal qilish):

1. Tanga tashlaganda qanday ehtimollik bor? Qanday qilib shoshilish qanday tushadi?
2. Suyakni tashlaganida, hatto sonni otish ehtimoli qancha? Va g'alati nima bilan?
3. Oddiy, ko'k va qizil qalam qutisida. Tasodifiy Tirantni bitta qalam bilan. Oddiy tortish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

1. Qancha variantlar? Burgut va rush - atigi ikki. Va ularning nechtalari qulay? Faqat bitta - burgut. Demak ehtimoli

   Shlyapa bilan bir xil:.

2. Umumiy imkoniyatlar: (kubning qancha tomoni, juda ko'p turli xil variantlar). Ularning ijobiy tomonlari: (Bularning barchasi juftlar :).
   Ehtimollik. To'g'ri, tabiiyki, bir xil.
3. Jami :. Qulay :. Ehtimollik :.

To'liq ehtimollik

Yashil qutidagi barcha qalamlar. Qizil qalamni tortish ehtimoli nima? Hech qanday imkoniyat yo'q: ehtimol (hamma, ijobiy voqealardan keyin -).

Bunday voqea mumkin emas deb ataladi.

Yashil qalamni tortib olish ehtimoli qanday? Qulay hodisalar hamma narsadagi voqealar bilan bir xil (barcha tadbirlar qulaydir). Bu ehtimollik teng yoki ehtimolga tengdir.

Bunday voqea ishonchli deb nomlanadi.

Agar yashil va qizil qalam qutisida, yashil yoki qizil rangni tortib olish ehtimoli qanday? Yana yana. Bunday narsaga e'tibor bering: yashil tortish ehtimoli teng va qizil -.

Summada bu ehtimolliklar aniq narsaga teng. Ya'ni, barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolligi summasi yoki.

Misol:

Qalam qutida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, sariq, sariq va qolganlari to'q sariq rangda. Yashilni tortib olish ehtimoli qanday?

Qaror:

Barcha ehtimollik miqdoriga berilishini unutmang. Va yashil tortish ehtimoli tengdir. Bu shuni anglatadiki, ehtimol bu yashil rangni tortib ololmaydi.

Ushbu usulni eslang:hodisa paydo bo'lishi ehtimoli paydo bo'lishi ehtimoli paydo bo'ladi.

Mustaqil voqelar va ko'paytirish qoidasi

Siz tanga vaqtni tashlaysiz va ikkinchisida ikkalangiz ham yiqilib tushishini xohlaysiz. Buning sababi nimada?

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ishga tushiramiz va ularning nechtalari:

Burgut-burgut, daryo-burgut, Eagle-daryoning, Rushka-daryosi. Yana nima?

Jami variant. Biz uchun faqat bitta narsa javob beradi: burgut orel. Umumiy ehtimollik teng.

Xop. Va endi biz tanga vaqt tashlaymiz. O'zingizni tinchlang. Sodir bo'ldi? (javob).

Siz har bir keyingi tashish qo'shilishi bilan, ehtimollik kamayadi. Umumiy qoida deyiladi ko'plab ko'payish qoidasi:

Mustaqil voqealar ehtimolligi o'zgaruvchan.

Mustaqil voqealar nima? Hammasi mantiqiy: Bular bir-birlariga bog'liq bo'lmaganlar. Masalan, biz bir necha bor tanga tashlaganimizda, yangi otish ishlab chiqariladi, natijada oldingi barcha buzg'unchilikka bog'liq emas. Xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz bir vaqtning o'zida ikkita turli xil tanga tashlaymiz.

Ko'proq misollar:

1. Suyak ikki marta tashlanadi. Ikkala marta ham tushishi ehtimoli qanday?
2. Tangalar bir necha marta otiladi. Burgut birinchi marta tushishi ehtimoli qanday va keyin ikki marta shoshilmaysizmi?
3. O'yinchi ikkita suyakni tashlaydi. Ularning soni qancha teng bo'lishi ehtimoli qancha?

Javoblar:

1. Voqealar mustaqil, bu ko'payish qoidasi quyidagilarni anglatadi:.
2. Burgutning ehtimolligi tengdir. Rushning ehtimoli ham. Muqobil:
3. 12 Agar ikki yo'lning pasayishi bo'lsa, faqat ishlaydi:.

To'liq bo'lmagan voqealar va qo'shimcha qoida

Muxbirlar bir-birlarini to'liq ehtimolgacha to'ldiradigan hodisalar deb ataladi. Ular bir vaqtning o'zida ro'yobga chiqa olmasliklari aniq. Masalan, agar siz tanga tashlasangiz, u burgut yoki shoshilish bo'lishi mumkin.

Misol.

Qalam qutida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, sariq, sariq va qolganlari to'q sariq rangda. Yashil yoki qizilni tortib olish ehtimoli qanday?

Qaror.

Yashil qalamni tortib olish ehtimoli bir xil. Qizil -.

Hammasi bo'lib ijobiy voqealar: yashil + qizil. Bu shuni anglatadiki, ehtimol yashil yoki qizil rang tengdir.

Ushbu ehtimollik ushbu shaklda ifodalanishi mumkin:.

Bu qo'shimcha qoida:to'liq bo'lmagan voqealar ehtimolligi katlanmoqda.

Aralashtirilgan turdagi vazifalar

Misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. O'tishning natijasi boshqacha bo'lish ehtimoli nima?

Qaror.

Agar birinchi burgut yiqilib tushganida, ikkinchisi shoshilib, aksincha. Ma'lum bo'lishicha, ikki juft mustaqil voqea bor va bu juftliklar bir-birlari bilan tushunarsiz. Qayerda ko'paytirish kerakligini, lekin qaerga qayerga burilish kerak.

Bunday vaziyatlar uchun oddiy qoida mavjud. "Kasaba uyushmalari" va "yoki" yoki "yoki" ni bog'lash orqali nima sodir bo'lishi kerakligini tasvirlashga harakat qiling. Masalan, bu holda:

Yiqilishi kerak (burgut va shoshilinch) yoki (Rushka va burgut).

Alyans bor joyda "va", ko'payish va qaerda qo'shimcha bo'ladi:

O'zingizni sinab ko'ring:

1. Ikkala otish tangalari bilan ikki marta tushadimi?
2. Suyak ikki marta tashlanadi. Ballar tushish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

Yana bir misol:

Tanga vaqtini tashlang. Burgut kamida bir marta tushishi ehtimoli qanday?

Qaror:

Ehtimollik nazariyasi. Qisqacha asosiy narsa haqida

Ehtimollik - bu barcha mumkin bo'lgan voqealar soniga nisbati.

Mustaqil voqealar

Agar ikkinchisining boshlanishining bir sababi paydo bo'lsa, ikkita tadbir mustaqil bo'lmasa, mustaqil emas.

To'liq ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan voqealar ehtimoli () ga teng.

Hodisa sodir bo'lmaydi, voqea sodir bo'ladigan ehtimollikni minusga tengdir.

Mustaqil voqealar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Mustaqil voqealar ketma-ketligi ehtimolligi har bir voqeaning ehtimoliy mahsulotiga tengdir.

Noto'g'ri voqealar

Tugallanmagan voqealar eksperiment natijasida bir vaqtning o'zida ro'y bermaydi. Bir qator to'liq bo'lmagan voqealar tadbirlarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

To'liq bo'lmagan voqealar ehtimolligi katlanmoqda.

Allianlik "yoki" yoki "o'rniga" yoki "o'rniga" yoki "o'rniga" va "o'rniga" yoki "o'rniga" yoki "o'rniga" dan foydalanish kerakligini tasvirlash.

Mavzu tugadi. Agar siz ushbu chiziqlarni o'qib chiqsangiz, siz juda ajoyibsiz.

Chunki atigi 5% odam o'z-o'zidan biror narsani o'zlashtirishga qodir. Agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz ushbu 5% ga kirdingiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takrorlayman, u ... shunchaki super! Siz tengdoshlaringizning mutlaq ko'pchiligidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Foydalanishning muvaffaqiyatli o'tishi uchun institutga byudjetga va eng muhimi, hayot uchun.

Men sizni hech narsa ishonmayman, men shunchaki bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ta'lim olgan odamlar buni olmaganlarnikidan ko'proq pul ishlashadi. Bular statistika.

Ammo bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular baxtliroq (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, chunki ular foydasi va hayot yanada yorqinroq bo'lish imkoniyatlari mavjud? Bilmayman...

Ammo, o'zimni o'ylab ko'ring ...

Imtihonga bo'lgan boshqalarga qaraganda yaxshiroq bo'lishingizga va oxir-oqibat ... baxtli bo'lishingizga ishonchingiz komilmi?

Ushbu mavzu bo'yicha vazifalarni hal qilish orqali qo'lni to'ldiring.

Siz imtihonda nazariyani so'ramaysiz.

Sizga kerak bo'ladi vazifalarni bir muddat hal qiling.

Agar ularni hal qilmasangiz, albatta, adashtirasiz yoki vaqtingiz yo'q.

Bu sportda kabi - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlashingiz kerak.

To'plamni xohlagan joyda toping, majburiy echimlar, batafsil tahlil Va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (majburiy emas) va biz, albatta, ularga maslahat beramiz.

Qo'lni vazifalarimiz yordamida to'ldirish uchun siz hozir o'qiyotganingiz uchun siz xohlagan kishining markaziga hayotni uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga ochiq kirish - 299 ishqa.
2. Darslikning barcha 99 moddalarida barcha yashirin vazifalarga kirish - 499 ishqa.

Ha, bizda 99 ta maqolada 99 ta maqola va barcha vazifalar uchun kirish va barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun mavjudligi uchun taqdim etiladi.

Yakunida...

Agar bizning vazifalarimiz yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya haqida to'xtamang.

"Men tushunaman" va "men qaror qilishim mumkin" mutlaqo boshqacha mahorat. Siz ham kerak.

Vazifani toping va qaror qiling!

1-bo'lim. Tasodifiy voqealar (50 soat)

TIMIYA FRIKENT ISHLARI UChUN TARKIB-TARTIBILARNI TALAB QILINADI

Trening o'quvchilarini tematik intizom rejasi

2.3. Tarkibiy va mantiqiy intizom sxemasi

Matematika 2-qism. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika nazariyasi

1-bo'limda tasodifiy hodisalar

Matematik statistika elementlari

2-bo'limda tasodifiy qiymatlar

2.5. Amaliy blok

2.6. Ballerer reyting tizimi

Intizomning axborot resurslari

Bibliografik ro'yxat Asosiy:

3.2. "Matematika 2-qismida" stavkalarini qo'llab-quvvatlash. Matematik statistika ehtimoli va elementlari nazariyasi "Kirish

1-bo'lim. Tasodifiy voqealar

1.1. Tasodifiy voqea tushunchasi

1.1.1. To'plar nazariyasidan ma'lumot

1.1.2. Boshlang'ich voqealar maydoni

1.1.3. Tadbirlarni tasniflash

1.1.4. Voqealar hajmi va ishi

1.2. Tasodifiy hodisalarning ehtimoli.

1.2.1. Nisbiy tadbir chastotasi, ehtimollik nazariyasi iziga. Klassik ehtimollik ta'rifi

1.2.2. Ehtimollikning geometrik ta'rifi

Kombinatorial tahlil elementlari orqali tadbir ehtimolligini hisoblash

1.2.4. Voqealarning xususiyatlari

1.2.5. Mustaqil voqealar

1.2.6. Qurilmaning muammosiz ishlashi ehtimolini hisoblash

Voqealar ehtimolligini hisoblash uchun formulalar

1.3.1. Mustaqil testlar ketma-ketligi (Bernuyl sxemasi)

1.3.2. Tadbirning shartli ehtimoli

1.3.4. To'liq ehtimollik va ko'rfazlarning formulasi formulasi

2-bo'lim. Tasodifiy o'zgaruvchilar

2.1. Tasodifiy o'zgaruvchilarning tavsifi

2.1.1. Tasodifiy o'zgaruvchini aniqlash va ehtimoliy ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan birini tasodifiy o'zgaruvchi tushuncha hisoblanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar ba'zi misollarini ko'rib chiqing:

Tasodifiy miqdorni o'rnatish uchun siz uning tarqatish to'g'risidagi qonunni belgilashingiz kerak. Tasodifiy o'zgaruvchilar Yunon harflari , ,  va ularning qiymatlari - indekslar, yi, zi bilan lotin harflari.

2.1.2. Tasodifiy tasodifiy o'zgaruvchilar

AI voqealarni o'z ichiga olgan barcha boshlang'ich voqealarni o'z ichiga olgan eng muhim tadbirlarni ko'rib chiqing:

Pi AI tadbirining ehtimolligini bildiradi:

2.1.3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar

2.1.4. Tarqatish funktsiyasi va xususiyatlari

2.1.5. Ehtimollar taqsimotining zichligi va uning xususiyatlari

2.2. Tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xususiyatlari

2.2.1. Tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish

2.2.2. Tasodifiy o'zgaruvchini tarqatish

2.2.3. Tasodifiy o'zgaruvchini normal taqsimlash

2.2.4. Binom tarqalishi

2.2.5. Poisson tarqatish

3-bo'lim. Matematik statistika elementlari

3.1. Asosiy ta'riflar

bar chizig'i

3.3. Tarqatish parametrlari haqida ko'rsatmalar

Asosiy tushunchalar

Matematik kutish va tarqalishning nuqtai nazarini baholash

3.4. Intervalli baholar

Intervalni baholash tushunchasi

Amaliy hisob-kitoblarni qurish

Statistik statistika

Oddiy taqsimotni matematik taxminlarning intervali

Normal taqsimot o'zgarishini interval baholash

Xulosa

Lug'at

4. Laboratoriya ishlari uchun uslubiy ko'rsatmalar

Bibliografik ro'yxat

Laboratoriya ishi 1 Tasodifiy o'zgaruvchilarning tavsifi. Raqamli xususiyatlar

Laboratoriya ishlarini bajarish tartibi

Laboratoriya ishi 2 Asosiy ta'riflar. Tanlovni tizimlashtirish. O'simlik tarqatish parametrlari. Vaqt oralig'i baholari.

Tarqatish shakli haqidagi statistik gipoteza tushunchasi

Laboratoriya ishlarini bajarish tartibi

Uyali kod qiymati

5. Sinash uchun sinov ishi vazifasini bajarish uchun uslubiy ko'rsatmalar

Sinov ishlarini bajarish va ehtimolliklarini bajarish uchun uslubiy ko'rsatmalar

Tasodifiy o'zgaruvchilar

O'rtacha kvadrat og'ish

Matematik statistika elementlari

6. Tarishni boshqarish boshqaruvi bo'limi

Kursda imtihon uchun savollar "Matematika 2-qismida. Matematik statistika ehtimoli va elementlari nazariyasi

B jadvalning davomi.

B jadvalining oxiri.

Bir xil taqsimlangan tasodifiy raqamlar

Tarkib

1-bo'lim. Tasodifiy tadbirlar ........................... ... o'n sakkiz

2-bo'lim. Tasodifiy o'zgaruvchilar

3-bo'lim. Matematik statistika elementlari ................ 64.

4. Laboratoriyani amalga oshirish uchun uslubiy ko'rsatmalar

5. Nazoratni amalga oshirish uchun uslubiy ko'rsatmalar

1. Voqealar ehtimolligini hisoblash uchun formulalar

1.3.1. Mustaqil testlar ketma-ketligi (Bernuyl sxemasi)

Aytaylik, ba'zi tajriba bir xil sharoitda qayta-qayta amalga oshirilishi mumkin. Ushbu tajriba ishlab chiqarilsin n. Bir marta, ya'ni, ketma-ketlik amalga oshiriladi n. Sinovlar.

Ta'rif. Ketma-ketlik n. testlar deb nomlanadi o'zaro mustaqil mustaqil Agar ushbu sinov bilan bog'liq biron bir hodisa boshqa sinovlarga tegishli har qanday tadbirlarga bog'liq bo'lmasa.

Aytaylik, ba'zi tadbir A. ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin p. Bir sinov natijasida yoki ehtimol ehtimol bo'lmaydi savol:= 1- p..

Ta'rif . Ketma-ketlik n.agar quyidagi shartlar bajarilsa, Bernuylli sxemasi sinovlari:

ketma-ketlik n. Sinovlar o'zaro mustaqil

2) tadbir ehtimoli A. Sinovga test sinovidan farq qilmaydi va natijada boshqa sinovlar bilan bog'liq emas.

Voqea A. Ular testning "muvaffaqiyat" deb atashadi va aksincha aksincha "muvaffaqiyatsizlik". Tadbirni ko'rib chiqing

\u003d (B. n. Sinovlar Rivne sodir bo'ldi m. "Muvaffaqiyat").

Ushbu voqea ehtimolini hisoblash uchun Bernuylli formulasi haqiqiydir

p.() =
, m. = 1, 2, …, n. , (1.6)

qayerda - kombinatsiyalar soni n. Elementlar m. :

=
=
.

1.16-misol. Kublar uch marta otadi. Topmoq:

a) 6 ball ikki marta tushishi ehtimoli;

b) oltmish soni ikki martadan ko'proq ko'rinmasligi ehtimoli ehtimol.

Qaror . "Muvaffaqiyat" sinovlari 6 ball bilan yuzning kubiga tushadi.

a) Sinovlarning umumiy soni - n.\u003d 3, "muvaffaqiyat" soni - m. \u003d 2. "Muvaffaqiyat" ehtimoli - p.=, Va "muvaffaqiyatsizlik" ehtimoli - savol:\u003d 1 - \u003d. Bernuvli formulasiga ko'ra, kubni ikki marta kubni ikki marta quyish natijasi olti ochkodan ikki marta pasayishi ehtimoli pasayadi

.

b) tomonidan belgilanadi Ammo Ba'zida yuzning soni bilan yuzma-yuz bo'lishi ikki martadan oshmasligi kerakligi haqidagi voqea. Keyin tadbirni ifodalash mumkin uchta nomuvofiqlik summasi Voqealar A \u003d.
,

qayerda Ichida 3 0 - qiziqish chizig'i hech qachon ko'rinmasa,

Ichida 3 1 - Foizlar yuzi bir marta paydo bo'lganda,

Ichida 3 2 - Foizlar yuzi ikki marta paydo bo'lganda.

Bernuvli formulasiga ko'ra (1.6) Biz topamiz

p.(Ammo) \u003d P (
) = p.(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Tadbirning shartli ehtimoli

Shartli ehtimollik bitta tadbirning boshqasining ehtimoli bo'yicha ta'sirini aks ettiradi. Tajriba amalga oshiriladigan sharoitlarni o'zgartirish ham o'zgaradi

qiziqarli voqea paydo bo'lish ehtimoli.

Ta'rif. Bo'linmoq A. va B. - ba'zi voqealar va ehtimollik p.(B.)> 0.

Shartli ehtimollik Voqealar A. "voqea B. allaqachonbu sodir bo'ldi "Ushbu tadbirlarning mahsulotining mahsuloti nisbati, ehtimol, ehtimol bu topilishi kerak bo'lgan voqeadan oldin sodir bo'lgan voqea. Shartli ehtimollik sifatida ko'rsatilgan p.(A. B.). Keyin ta'rifi bilan

p. (A.  B.) =
. (1.7)

1.17-misol. Ikki kub yugurish. Boshlang'ich voqealar maydoni buyurtma qilingan juft sonlardan iborat

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

1.16-misol voqea sodir bo'ldi A. \u003d (birinchi kubta\u003e 4) va voqea soni C. \u003d (Ballar soni 8) bog'liq. Munosabatlar orasida

.

Ushbu munosabatlarni quyidagicha talqin qilish mumkin. Aytaylik, birinchi otish natijasi birinchi kubda ochkolar soni 4 ta fikrlar soni\u003e ikkinchi kubni quyish tadbirni tashkil etadigan 12 ta natijalarga olib kelishi mumkin A.:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Bir vaqtning o'zida voqea C. Ulardan faqat ikkitasi (5..2) ga mos kelishi mumkin (6.2). Bunday holda, tadbir ehtimoli C. teng bo'ladi
. Shunday qilib, voqea sodir bo'lishi haqida ma'lumot A. voqea ehtimoliga ta'sir qiladi C..

Voqealar ishining ehtimoli

Tuplanish teoremasi

Voqealar ishining ehtimoliA. 1 A. 2  A. n. Formula aniqlanadi

p.(A. 1 A. 2  A. n.) \u003d P.(A. 1) P.(A. 2  A. 1)) p.(A. n.  A. 1 A. 2  A. n- 1). (1.8)

Ikki tadbirning ishi uchun bunga amal qiladi

p.(Ab) \u003d P.(A. B) p.{B.) \u003d P.(B. A.) P.{A.). (1.9)

1.18-misol. 25 ta mahsulotning 5 ta mahsuloti nuqsonli. Ikkita mahsulot ketma-ket tanlanadi. Barcha tanlangan mahsulotlar nuqsonli ekanligini aniqlang.

Qaror. Voqealarni bildiradi:

A. 1 \u003d (birinchi mahsulotning nuqsonli),

A. 2 \u003d (ikkinchi mahsulot nuqsonli),

A. 3 \u003d (uchinchi mahsulotning nuqsonli),

A. \u003d (Barcha mahsulotlar nuqsonli).

Voqea Ammo uchta tadbirning ishlashi mavjud A. = A. 1 A. 2 A. 3 .

Teorem (1.6) dan ko'payish qabul qilmoq

p.(A.) \u003d P ( A. 1 A. 2 A. 3 ) = p.(A. 1) p.(A. 2  A. 1))p.(A. 3  A. 1 A. 2).

Klassik ehtimollik ta'rifi sizga topishga imkon beradi p.(A. 1) mahsulotning umumiy soniga nisbatan nuqsonli mahsulotlar sonining nisbati:

p.(A. 1)= ;

p.(A. 2) – bu qolgan mahsulotlarning umumiy soniga nisbatan qolgan nuqsonli mahsulotlar sonining nisbati:

p.(A. 2  A. 1))= ;

p.(A. 3) shunday ikki nuqsonni tortib olishdan keyin qolgan nuqsonli mahsulotlar sonining qolgan mahsulotning umumiy soniga nisbati:

p.(A. 3  A. 1 A. 2)=.

Keyin tadbirning ehtimoli A. teng bo'ladi

p.(A.) ==
.

Ko'pchilik "ehtimollik nazariyasi" tushunchasiga duch kelmoqda, deb o'ylashadi, bu chidab bo'lmas narsa, juda murakkab, juda murakkab. Ammo hamma narsa aslida unchalik fojiali emas. Bugun biz muayyan misollar bo'yicha muammolarni hal qilishni o'rganishning asosiy tushunchasini ko'rib chiqamiz.

Fan

"Ehtimollar nazariyasi" kabi matematik qismni qanday o'rganadi? Bu naqshlar va qiymatlarni qayd etadi. Birinchi marta bu savol, olimlar qimor o'yinlarida o'rganilganda XVIII asrga qiziqish bildirishdi. Ehtimol, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi voqea. Bu tajriba yoki kuzatish orqali aytilgan har qanday dalil. Ammo tajriba nima? Ehtimollik nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Bu shuni anglatadiki, vaziyatning ushbu tarkibi tasodifan yaratilmagan, ammo ma'lum bir maqsad bilan. Kuzatuvga kelsak, bu erda tadqiqotchi tajribada qatnashmaydi, ammo ma'lumotlar shunchaki guvoh bo'lgan narsa, u nima bo'layotganiga ta'sir qilmaydi.

Voqealar

Biz ehtimollik nazariyasining asosiy kontseptsiyasi voqea, ammo tasnif deb hisoblanmasliklarini bilib oldik. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'lingan:

• Ishonchli.
• Imkonsiz.
• Tasodifiy.

Qaysi voqealardan qat'i nazar, tajribada kuzatilgan yoki yaratilgan voqealardan qat'iy nazar, ularning barchasi ushbu tasnifga duchor bo'ladi. Biz alohida tanishish uchun har bir tur turini taklif qilamiz.

Ishonchli voqea

Bu zarur tadbirlar to'plami amalga oshiriladigan holat. Aslini yaxshiroq bekor qilish uchun ba'zi misollar keltirgan yaxshiroqdir. Fizika va kimyo va iqtisodiyot va oliy matematika ushbu Qonunga bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi shunga o'xshash muhim tushunchaga ishonchli voqea sifatida kiradi. Biz misollar keltiramiz:

• Ish haqi shaklida ishlaymiz va ish haqini olamiz.
• Yaxshi imtihon topshirildi, musobaqada biz ushbu uchun o'quv muassasasiga qabul qilish shaklida mukofot olamiz.
• Biz bankka pul sarfladik, agar kerak bo'lsa, ularni qaytarib olamiz.

Bunday tadbirlar ishonchli. Agar biz barcha zarur sharoitlarni bajarsa, biz albatta kutilgan natijaga erishamiz.

Mumkin bo'lmagan voqealar

Endi biz ehtimollik nazariyasining elementlarini ko'rib chiqamiz. Biz keyingi tadbirning izohiga borishni taklif qilamiz, ya'ni bu mumkin emas. Avvaliga biz eng muhim qoidani muhokama qilamiz - mumkin bo'lmagan voqeaning nolsi nolga teng.

Ushbu formuladan boshlab muammolarni hal qilishda chekinish mumkin emas. Tushuntirish uchun biz bunday tadbirlarga misol keltiramiz:

• Suv harorat va o'ntadan iborat (bu mumkin emas).
• Hech qanday elektr energiyasi ishlab chiqarishga ta'sir qilmaydi (avvalgidek, avvalgidek, bu mumkin emas).

Yuqorida tavsiflanganidek ko'proq misollar berilmasligi kerak, chunki yuqorida aytilganidek ushbu toifadagi mohiyatni aks ettiradi. Hech qanday sharoitda imkonsiz voqea hech qachon bo'lmaydi.

Tasodifiy voqealar

Ehtimollar nazariyasining elementlarini o'rganish, ushbu turdagi tadbirlarga alohida e'tibor berilishi kerak. Bu bu ilmiy tadqiqotlar. Tajriba natijasida biror narsa sodir bo'lishi mumkin yoki yo'q. Bundan tashqari, test cheksiz miqdordagi vaqtni amalga oshirish mumkin. Yorqin misollar quyidagilarga xizmat qilishi mumkin:

• Tangalar kasti - bu tajriba yoki sinov, burgut tushishi voqea.
• To'pni ko'r-ko'rona torting - sinov, qizil to'p ushlandi - bu voqea va hokazo.

Bunday misollar cheksiz miqdor bo'lishi mumkin, ammo umuman olganda, mohiyat aniq bo'lishi kerak. Voqealar bo'yicha olingan bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish uchun jadval beriladi. Ehtimollar nazariyasi faqat taqdim etilganlarning so'nggi nuqtai nazaridan.

ism	ta'rif
Ishonchli	Muayyan sharoitlarga rioya qilganda 100% kafolatlangan voqealar.	Kirish imtihonini yaxshi topshirish bilan o'quv muassasasiga qabul qilish.
Imkonsiz	Hech qanday sharoitda hech qachon sodir bo'lmaydi.	Havo haroratida qor bor va o'ttiz daraja.
Tasodifiy	Tajriba / sinov paytida sodir bo'lishi mumkin bo'lgan voqea.	Basketbol to'pini uzukka tashlaganda aql yoki sog'inish.

Qonunlar

Ehtimollik nazariyasi - bu har qanday tadbirni tugatish qobiliyatini o'rganadigan fan. Boshqalar singari, unda ba'zi qoidalar mavjud. Ehtimol, ehtimollik nazariyasining quyidagi qonunlari mavjud:

• Tasodifiy o'zgaruvchi ketma-ketliklarning yaqinlashuvi.
• Ko'p sonli qonun.

Muloqlanish imkoniyatini hisoblashda siz natijaga erishish oson va tezkorlik bilan erishish uchun oddiy hodisalar majmuasidan foydalanishingiz mumkin. Ehtiyotsizlik, ehtimol, ehtimollik nazariyasining qonunlari ba'zi teoremalarni ishlatib, ularni osongina isbotlaydi. Biz birinchi qonun bilan tanishishni taklif qilamiz.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning konvergentsiyasi

E'tibor bering, konvergensiya turlari biroz:

• Tasodifiy o'zgaruvchilarning ketma-ketligi ehtimol ehtimoli bilan istalgan.
• Deyarli imkonsiz.
• R ning kvadrat konvergentsiyasi.
• Tarqatish konvergentsiyasi.

Shunday qilib, yoz bilan mohiyatni mazmunga kiritish juda qiyin. Biz ushbu mavzuni aniqlashga yordam beradigan ta'riflarni beramiz. Birinchi qarashdan boshlash. Ketma-ketlik deyiladi tez-tez ehtimollik kabiAgar quyidagi shartlar kuzatilsa: n cheksizlikka moyil bo'ladi, ketma-ketlik intilib, yanada nolga teng va bu bilan bog'liq.

Quyidagi shaklga o'ting Deyarli ehtimol. Aytishlaricha, ketma-ketlik o'zgaradi deyarli ehtimol N uchun tasodifiy o'zgaruvchiga, cheksizlikka intilib, kattalikka intiling.

Keyingi tur alergiya rustik. SK - konvergentsiyasidan foydalanganda, vektorli tasodifiy jarayonlarni o'rganish ularning koordinata orqali tasodifiy jarayonlar o'rganilishiga qisqartirildi.

So'nggi tur qoldi, qisqacha tushunib, bu vazifalarni hal qilishga bevosita o'tish uchun. Tarqatishning yaqinlashuvi yana bir ism - "kuchsiz", keyin nima uchun tushuntiring. Kuchsiz konvergentsiya - Bularni tarqatish funktsiyalarining barcha joylashuv funktsiyasining barcha joylashuv funktsiyasining turg'unligi.

Va'da bilan ishonch hosil qiling: kuchsiz konvergensiya tasodifiy qiymat probiyotik makonda aniqlanmaganligi sababli barcha narsadan farq qiladi. Bu mumkin, chunki holat faqat tarqatish funktsiyalaridan foydalaniladi.

Ko'p sonli qonun

Ushbu Qonunning isboti, ushbu Qonunning isboti bo'lgan ajoyib yordamchilar, masalan:

• Chebishev tengsizlik.
• Chebishev teoremasi.
• Umumiy Chebishev teoremasi.
• Markovning teoremasi.

Agar biz ushbu nazariyani ko'rib chiqsak, bu masala bir necha o'nlab varaqlarni kechiktirishi mumkin. Bizda asosiy vazifa bor - bu amaliyotda ehtimollik nazariyasidan foydalanish. Biz sizga hozir taklif qilamiz va buni bajaramiz. Ammo bundan oldin, ehtimollik nazariyasining aksiomalarini ko'rib chiqing, ular muammolarni hal qilishda asosiy yordamchilar bo'ladi.

Aksiomalar

Avvalo biz imkonsiz voqea haqida gaplashganda biz allaqachon uchrashganmiz. Eslaylik qilaylik: imkonsiz voqeaning ehtimolligi nolga teng. Misol juda yorqin va esdalik olib keldik: qor o'ttiz darajadagi havo haroratida qor yog'di.

Ikkinchi tovushlar quyidagicha: ishonchli voqea ehtimolga teng bo'lishi mumkin. Endi biz matematik tilning yordami bilan uni qanday yozishni qanday yozishni ko'rsatamiz: p (c) \u003d 1.

Uchinchisi: Tasodifiy voqea sodir bo'lishi mumkin yoki yo'q, lekin har doim noldan biriga qarab o'zgaradi. Biror qiymat qanchalik yaqin bo'lsa, ehtimol ko'proq; Agar qiymat nolga yaqinlashsa, ehtimol juda kichik. Biz uni matematik tilda yozamiz: 0<Р(С)<1.

So'nggi, to'rtinchi Axiomni ko'rib chiqing: ikkita voqeaning natijasi ularning ehtimolligi ularning ehtimolligi summasiga tengdir. Biz matematik tilni yozamiz: p (A + C) \u003d P (A) + P (b).

Ehtimoliy nazariy nazariy ma'noda eslab qolish qiyin bo'lmagan eng oddiy qoidalardir. Keling, olgan bilimlarga tayanib, ba'zi vazifalarni hal qilishga harakat qilaylik.

Lotereya chiptasi

Boshlash uchun, oddiy misolni ko'rib chiqing - lotereya. Siz omad uchun bitta lotereya chiptasini sotib olganingizni tasavvur qiling. Siz kamida yigirma rublni yutib olish ehtimoli qanday? Biri, biridan besh yuz rubl, o'n yuz rubl, ellik yigirma rubl, bir yuz-besht. Ehtimollar nazariyasi bo'yicha vazifalar omadning imkoniyatini topish uchun asoslanadi. Endi biz birgalikda taqdim etilgan vazifaning yuqoridagi echimni tahlil qilamiz.

Agar biz xat bo'lsak va besh yuz rublning yutib olishini istasa, yiqilib tushish ehtimoli 0,001 ga teng bo'ladi. Biz buni qanday oldik? Siz shunchaki o'z raqamlarini baham ko'rish uchun "baxtli" chiptalar sonini baham ko'rishingiz kerak (bu holatda: 1/1000).

B - yuz rublning yutishi, ehtimol 0,01 ga teng bo'ladi. Endi biz avvalgi harakatda bo'lgani kabi bir xil printsipda harakat qildik (10/1000)

C - yutish yigirma rublga teng. Biz ehtimollikni topamiz, u 0,05 ga teng.

Qolgan chiptalar AQShga qiziqmaydi, chunki ularning mukofot basseyn holatida belgilanganidan kamroq. To'rtinchi Aciomni qo'llang: kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli p (a) + p (c) + p (c). P harfi ushbu tadbirning kelib chiqishi ehtimoli bilan belgilanadi, biz ularni avvalgi harakatlarda topdik. Bu faqat kerakli ma'lumotlarni katlatish uchun qoladi, biz javobdan 0.061 olamiz. Bu raqam va vazifa masalasiga javob bo'ladi.

Kartochkaning kemasi

Ehtimollar nazariyasi bo'yicha vazifalar yanada murakkabroq, masalan, quyidagi vazifani bajaradi. Sizdan oldin o'ttiz oltita kartochkadan oldin. Sizning vazifangiz birlamchi stackni aralashtirmasdan ketma-ket ikkita xaritalarni tortib olishdir, birinchi va ikkinchi kartalar ACES bo'lishi kerak, kostyum hech narsa yo'q.

Avvalambor, birinchi kartaning birinchi kartasi bo'lishi ehtimolini o'ttiz olti uchun ajratish ehtimolini topamiz. Uni chetga suraladi. Ikkinchi kartani bering, u uchta o'ttiz beshinchi ehtimolning ehtimolligi bilan bog'liq bo'ladi. Ikkinchi tadbirning ehtimolligi biz birinchilarni birinchi bo'lib tortganimizga bog'liq, biz ajablantiramiz, bu Ace yoki yo'q deb hayron bo'lamiz. Ushbu voqea A hodisasiga bog'liqligi shundan dalolat beradi.

Keyingi harakatlar bir vaqtning o'zida A va B kattilayotgan A va B ni amalga oshirish ehtimolini topamiz. Birinchi voqea ro'y berganligini hisoblab chiqadigan narsaning shart-sharoitini ko'paytiramiz. Ya'ni biz birinchi bo'lib Ace-ga tortdik.

Hamma narsa ravshan bo'lish uchun biz bunday elementga voqealar kabi belgilaymiz. Ushbu tadbir voqea sodir bo'lganligini taxmin qilib hisoblab chiqiladi. U quyidagicha hisoblangan: p (v / a).

Keling, bizning muammomizni davom ettiraylik: P (A * C) \u003d P (A) * P (A) yoki P (A * C) \u003d P (C) * P (A / C). Ehtimollik (4/36) * ((3/35) / (4/36). Yuzisiga aylantiring. Bizda: 0.11 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09. Ehtimollik Biz ketma-ket ikki belkurakni uzaytiramiz. Qiymat juda kichik, bu voqea juda oz ekanligiga rioya qiladi.

Unutilgan raqam

Biz ehtimollik nazariyasini o'rganadigan vazifalar uchun yana bir nechta variantlarni qismlarga ajratishni taklif qilamiz. Ushbu maqolada ko'rgan ba'zilarini echishda misollar: bola do'stining telefon raqamining oxirgi raqamini unutib qo'ygan, ammo qo'ng'iroq juda muhim bo'lganligi sababli, keyin hamma narsani o'z navbatida qabul qila boshladi . Biz u uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimolini hisoblashimiz kerak. Muammo muammosi ehtimollik nazariyasining qoidalari, qonunlari va aksiomalari mavjud bo'lsa, eng sodda.

Yechimni tomosha qilishdan oldin o'zingizni hal qilishga harakat qiling. Biz bilamizki, oxirgi raqam noldan to'qqizgacha bo'lishi mumkin, ya'ni o'n qiymat mavjud. Istalganini yozish ehtimoli 1/10.

Keyinchalik, biz tadbirning kelib chiqishi variantini ko'rib chiqishimiz kerak, deylik, bola taxmin qiladi va shu zahotiyoq kerakli tadbir ehtimolligi 1/10. Ikkinchi variant: Slipning birinchi qo'ng'irog'i va nishonga ikkinchi. Natijada bunday hodisaning ehtimolligini hisoblang: Natijada 9/9 ga ko'paytiring, natijada biz 1/10 olamiz. Uchinchi varianti: birinchi va ikkinchi chaqiruv manzili emas, faqat uchinchi bola tomonidan u xohlagan joyida bor edi. Bunday hodisaning ehtimolligini hisoblang: 9/10 8/9 va 1/8 ga ko'paytiring, natijada 1/10 olamiz. Vazifaning ahvoli bo'yicha boshqa variantlar AQShga qiziqmaydi, natijada bizda 3/10 bor. Javob: Bola uch martadan oshmasligi ehtimoli 0,3 ga teng.

Raqamli kartalar

Sizdan oldin to'qqizta karta mavjud bo'lib, ularning har biri birdan to'qqizgacha yozilgan, raqamlar takrorlanmaydi. Ular qutiga solib, yaxshilab aralashtirildi. Ehtimol ehtimolni hisoblashingiz kerak

• hatto raqam ham tushadi;
• ikki xonali.

Yechimga o'tishdan oldin, m, m - bu muvaffaqiyatli holatlarning soni, va ularning umumiy soni. Raqam hatto bo'lish ehtimolini topamiz. To'rtta raqamni hisoblash qiyin emas, bu bizning m, hamma narsada to'qqizta variant, ya'ni m \u003d 9. Keyin ehtimollik 0,44 yoki 4/9 ehtimol.

Ikkinchi holatni ko'rib chiqamiz: to'qqiz uchun variantlar soni, umuman, muvaffaqiyatli natija berishi mumkin emas, ya'ni m nolga teng. Ajoyib kartani ikki xonali raqamni o'z ichiga olganligi ehtimoli nolga teng.