Ehtimollik qanday hisoblangan. Klassik ehsonni hisoblash formulasi

Assotsiatsiya (mantiqiy) n tadbirlar tadbirni chaqiradi har safar kelganda kuzatiladi kamida bittasivoqealar . Xususan, A va B tadbirlar uyushmasi A.+ B. (Ba'zi mualliflarda
), qachon qachon kuzatiladi bo'lishyoki Ayoki B.yoki Ikkalasi ham bir vaqtning o'zida(7-rasm). Biror voqealarning matn formulalarida chorrahaning belgisi hisoblanadi "yoki".

Anjir. 7. A + B voqea kombinatsiyasi

Shuni yodda tutish kerakki, hodisaning ehtimolligi P (a) soyaning chap qismi kabi mos keladi. 7 shakl va uning markaziy qismi sifatida belgilangan
. B versiyasiga mos keladigan natijalar soyali rasmning o'ng tomonida va belgilangan qismning o'ng tomonida joylashgan
markaziy qism. Shunday qilib, qo'shganda va o'yin maydonchasi
haqiqatan ham ushbu miqdorni ikki marta kiriting va soyali hudud uchun aniq ifoda
.

Shunday qilib, uyushma ehtimoli Ikki hodisa a va b tengdir

Katta miqdordagi voqealar uchun umumiy kelishuv ifodasi o'zaro bir-biriga zid keladigan yo'nalishlar uchun ko'plab imkoniyatlarni hisobga olish kerakligi sababli juda katta ahamiyatga ega bo'ladi. Biroq, agar birlashgan voqealar to'liq bo'lmagan bo'lsa (33-betga qarang), joylarning o'zaro taqsimlanishi mumkin emas va qulay zona bevosita tadbirlarga mos keladigan joylar yig'indisi bilan belgilanadi.

Ehtimol uyushma o'zboshimchalik bilan raqamlar to'shaksizvoqealar ifoda bilan belgilanadi

1 ta roziyaly.: Tadbirlar to'liq guruhi to'liq bo'lmagan voqealardan iborat bo'lib, ulardan biri tajriba o'tkaziladi. Natijada, agar voqealar bo'lsa …
,to'liq guruh shakliKeyin ular uchun

Shunday qilib,

Danmuz 3. Biz qarama-qarshi so'zni hisobga olamiz "hech bo'lmaganda hech bo'lmaganda sodir bo'ladi …
"Bayonot" bu voqealardan hech biri …
amalga oshirilmagan. " Bular boshqacha qilib aytganda, voqealar tajribada kuzatiladi. , I. va ... va ... va "Dastlabki to'plamga qarama-qarshi voqealarni kesishish nima? Bu erdan (2 .0) hisobga olgan holda, biz olgan voqealarning o'zboshimchalik bilan birlashtirish uchun

2, 3-yillarda ba'zi bir voqea ehtimolligini zudlik bilan hisoblash muammosiz bo'lgan hollarda, u bilan bog'liq tadqiqotlar vaqtini baholashni baholash foydali bo'ladi. Axir, biling
, (2 .0) dan kerakli qiymatdan oling
endi hech qanday ish emas.

1. Murakkab tadbirlar ehtimolligini hisoblash misollari

1-misol. : Ikki talaba (Ivanov va Petrov) birgalikda menbirinchi 8 ta konni o'rgangan laboratoriya ishlarini himoya qilish uchun ko'chib o'tdiushbu ish uchun Trolny savollar mavjud. Tayyorlikni tekshirish,ochilish stantsiyasi har biridan birini belgilaydih Rasti-ni rag'batlantirgan savol. Quyidagi voqealar ehtimolligini aniqlang:

A. \u003d "Ivanov laboratoriya ishlarini himoya qiladi";

B. \u003d "Petrov laboratoriya ishlarini himoya qiladi";

C. \u003d "Ikkalasi laboratoriya ishlarini himoya qiladi";

D. \u003d "Talabalarning kamida bittasi ishni himoya qiladi";

E. \u003d "Talabalardan faqat bittasi ishlarni himoya qiladi";

F. \u003d "Ularning hech biri ishni himoya qiladi."

Qaror. E'tibor bering, ishni Ivanov singari himoya qilish qobiliyatiaK va Petrov alohida-alohida aniqlangan muammolar soni bilan belgilanadi, shoirw. . (Izoh: Ushbu misolda olingan kasrlarning qiymatlari hisob-kitob natijalarini soddalashtirish uchun ongli ravishda kamaytirilmagan.)

VoqeaC. Aks holda "ish Ivanovni ham, Petrovni himoya qiladi", ya'ni I.E. sodir bo'lmoqva voqeaA., va voqeaB.. Shunday qilib, voqeaC. Bu voqealar chorrahasiA. vaB.va (2 .0) ga muvofiq

voqealar voqea tufayli "7/9" boshlandiA. Bu shuni anglatadiki, Ivanovo "muvaffaqiyatli" savoliga ega bo'lib, bu qolgan 9 ta savoldan Petrov endi atigi 7 "yaxshi" muammoga ega ekanligini anglatadi.

VoqeaD. shuni anglatadiki, "ish himoya qiladiyoki Ivanov,yoki Petrovyoki Ikkalasi ham ", ya'ni. hech bo'lmaganda tadbirlardan birida bo'ladiA. vaB.. Shunday qilibD. Bu tadbirlar uyushmasiA. vaB.va (2 .0) ga muvofiq

qanday o'yinlarni kutmoqda, chunki Hatto har bir talaba uchun ham, muvaffaqiyat ehtimoli juda katta.

Dan"Sertifikat" degani "IVANOni himoya qiladiva Petrovda "n",yoki Ivanov muvaffaqiyatsizlikka uchraditartibga solib, Petrovni himoya qiladi. " Ikkita alternativ variant - bu mutlaq (to'liq bo'lmagan)

Va nihoyat, bayonotF. Faqatgina "agar" bo'lsa, u adolatli bo'ladiva Ivanov,va Petrov himoya bilanemas Chrast. " Shunday qilib,

Ushbu muammo bo'yicha vazifa tugadi, ammo quyidagi fikrlarni ta'kidlash foydalidir:

1. Olingan ehtimollikning har biri shartni qondiradi (1.0),o Agar uchun
va
mojaro olings. (1.0) Aslida bu mumkin emas, keyin
i.(2 .0) o'rniga (2 .0) ni tanlang (2 .0) aniq noto'g'riko'chmas mulk qiymati
. Bunday ehtimollikning qiymati tubdan imkonsiz va bunday paradoksas natijalarini olgandan so'ng, u darhol xato qidiruvga o'tadi.

2. Topilgan ehtimolliklar munosabatlarni qondiradim.

.

E.bu juda kutilgan, chunki VoqealarC., E. vaF. FAQAT FAQATuU guruhi va tadbirlarD. vaF. bir-birlariga qarshi. Bular buxgalteriya hisobibir tomondan munosabatlardan foydalanish mumkinhisob-kitoblarni qayta ko'rib chiqish uchun Vang, boshqa vaziyatda muammoni hal qilishning muqobil usullari uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Pechka retometr : Yozma fiksatsiyani e'tiborsiz qoldirmangtadbir aniq tahrir, aks holda, muammo hal davomida, siz beixtiyor aql bir xato sabab bo'ladi, bu hodisaning ma'nosi, yana bir talqin ko'chib mumkin.

2-misol. : Katta to'plamda ishlab chiqarish sifatini nazorat qilishni amalga oshirmagan mikrossirlar, mahsulotlarning 30 foizi nuqsonli.Agar siz ushbu partiyaning ikkita chipini tanlashingiz kerak bo'lsa, unda nimaehtimollar ular orasida:

A. \u003d "Ikkalasi ham mos";

B. \u003d "Aniq 1 mos chip";

C. \u003d "Ikkala nuqsonli".

Keling, quyidagi fikrlarni tahlil qilaylik (Diqqat, xatoni o'z ichiga oladi):

Biz katta mahsulotlar partiyasi haqida gapirayotganimiz sababli, uni bir nechta chiplar bilan olib qo'yish mos va nuqsonli mahsulotlar sonining nisbatiga ta'sir qilmaydi va shu sababli ushbu partiyaning ba'zi mikrositalari har bir holatda o'zgarishsiz qolishi mumkin deb hisobga olinadi

= P.(nuqsonli mahsulot tanlandi) \u003d 0,3 va

= P.(Tanlangan ishlab chiqarish mahsuloti) \u003d 0.7.

Voqealar uchunA. bo'lishi kerakva Birinchidan,va Ikkinchi marta u voqealarni kesib o'tish uchun (bir-birining mustaqilligi mustaqilligini hisobga olgan holda) ikkinchi marta

Shunga o'xshab, tadbirning paydo bo'lishi uchun ikkala mahsulotning nuqsonli ekanligi va bda qarshi kurashni tanlash kerak va bittasi nuqsonli mahsulot.

Xato belgisi. H.yuqoridagi barcha ehtimolliklarva ular birgalikda tahlil qilinsa, u juda osonbunga o'zgartirish .Biroq, holatlarA., B. vaC. FAQAT FAQATamalga oshirilishi kerak bo'lgan voqealar guruhi .Ushbu qarama-qarshilik mulohazakor xatolarni ko'rsatadi.

Dan xatolar. Biz ko'rib chiqish uchun ikkita o'zgartirish kiritamizsher tadbirlari:

\u003d "Birinchi chip - mos, ikkinchi - nuqsonli";

\u003d "Birinchi chip nuqsonli, ikkinchisi - mos."

Shubhasiz, ushbu parametr yuqoridagi hisob-kitob hodisa ehtimolini olish uchun ishlatilgan.B.Hodisalar bo'lsa hamB. va e. emasqiziq. Aslida,
chunki ShakllantirishvoqealarB. chiplar orasida aniq talab qilinadibiri , lekin umumanavvaliga majbur emas U mos edi (va ikkinchisi nuqsonli edi). Shuning uchun voqea voqealar emas va hisobga olish kerakmustaqil ravishda tomosha qiling. Voqealarning to'liq emasligini hisobga olib va , Ularning mantiqiy miqdorining ehtimolligi teng bo'ladi

Belgilangan hisob-kitoblarni tuzatgandan so'ng bizda

qanday qilib ehtimol ehtimollikning to'g'riligini tasdiqlaydi.

Eslatma : Faqat turdagi voqealar tahriridan farqli ravishda alohida e'tibor beringavval listed elementlardan ... "va" faqatbiri Ro'yxatli elementlardaneshitishlar ... "kerak ...". So'nggi tadbir aniq kengroq va shu jumladant.uning tarkibida birinchi bo'lib (ehtimol ko'p sonli)x) Variantlar. Ushbu alternativ variantlar (hatto ularning ehtimolligi tasodifan) bir-birimizdan mustaqil ravishda qaralishi kerak.

Pechka retometr : "Foiz" so'zi "uchun. tsent.", Men.e."Yuz". Chastotalar va ehtimolliklarning foizi ko'proq qiymatlar bilan ishlashga imkon beradi, bu esa ba'zan "sud majlisida" qadriyatlari idrokini soddalashtiradi. Biroq, to'g'ri normallashtirish, ko'paytirish yoki "100%" noqulay va samarasiz ravishda foydalanish uchun foydalanish. Bu borada emasoBBUNI foydalanganda, eslatib o'tingkredit sifatida so'radi, ularni joylashish uchun iboralarni almashtirishbirdan bir qismi bir xil (masalan, hisoblashda 35% qayd etiladi)men natijalarni noto'g'ri normallashtirish xavfini minimallashtirish uchun "0.35") sifatida.

3-misol. : Rasmlar to'plami bitta rezistorni o'z ichiga oladi4 com, 8 com va oltita qarshilikka qarshi turingqarshilik 15 com. Tanlangan tezkorlar bir-biriga parallel ravishda bir-biriga bog'langan. Yakuniy qarshilikni olish ehtimolini 4 comdan yuqori emasligini aniqlang.

Qattiq . Parallel ulanishga chidamliligiisorov formula bilan hisoblash mumkin

.

Bu sizga tadbirni kiritishga imkon beradi, masalan

A. \u003d "15 com" uchun uchta tikan tanlanadi "\u003d"
”;

B. \u003d "B.15 com va qarshilik bilan ikkita qarshilikkam 8 com "\u003d"
”…

Muammoning holatiga mos keladigan to'liq tadbirlar boshqa bir xil variantni o'z ichiga oladi va bu aniq shundaysiflatlar qarshilikning eng muhim ehtiyojiga mos keladi. Biroq, hisob-kitobni (va undan keyingi so'mlik) qarorning "to'g'ri" yo'liushbu barcha voqealarni tavsiflovchi va to'g'ri bo'lgan ehtimolliklar, bunday usulda ta'sirchan.

E'tibor bering, 4 com dan kam bo'lgan so'nggi qarshilikka ega bo'lishqashshoqlik, hech bo'lmaganda qarshilik ko'rsatadigan kamida bitta qarshilik ko'rsatilishi uchun15 dan kam ovqatlaning. Shunday qilib, faqatA. Vazifaning talabi bajarilmaydi, i.e. voqeaA. buqarama-qarshi O'quv ostida. Biroq,

.

Shunday qilib, .

Pechka r. yorliq : Ba'zi bir voqea ehtimolini o'tkazishA., ta'rifning mehnat intensivligini tahlil qilishni unutmangmen unga qarshi bo'lgan voqealar ehtimoliman. Agar Russo'qish
oson, bu qaror qabul qilishingiz kerakvazifalaruning munosabati bilan yakunlanishi (2 .0).

Pechka 4 Rimmer. : Qutida mavjudn. Oqm. Qora I.k K. Qizil to'plar. To'pdan birma-bir to'plar qutidan olinadiva har bir qazib olishdan keyin qaytib keldi. Ehtimollikni aniqlangvoqealarA. \u003d "Oq to'pqoradan oldin olinadi” .

Qattiq . Quyidagi voqealarni ko'rib chiqing

\u003d "Birinchi urinish paytida olingan oq to'p";

\u003d "Avvaliga qizil to'p olindi va keyin - oq";

\u003d "Ikki marta qizil to'pni o'zgartirdi va uchinchi marta - oq”…

SO K.aK to'plari qaytariladi, keyin ketma-ketlikyayt Rasmiy ravishda cheksiz cho'zilishi mumkin.

Ushbu tadbirlar nomuvofiqliklardir va voqea sodir bo'lgan vaziyatlar to'plamini tashkil qiladiA.. Shunday qilib,

Komponentlarning tarkibiy qismlari hosil bo'lganligini payqash osongeometrik progressiya boshlang'ich element bilan
va denroinator
. Ammo summalarva cheksiz geometrik rivojlanish elementlari tengdir

Shunday qilib, . L.bu ehtimollik (olinganlardan kelib chiqadigan) o'ychanth ifoda) qutidagi qizil to'plarning soniga bog'liq emas.

Iqtisodiyotda, shuningdek, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda, doimiy ravishda oldindan taxmin qilinmaydigan voqealarni hal qilish kerak. Shunday qilib, tovarlarni sotish talabga bog'liq, uni sezilarli darajada o'zgartirish va deyarli haqiqiy bo'lmagan boshqa omillardan. Shuning uchun ishlab chiqarish va sotishni tashkil etishda, ularning avvalgi tajribasi yoki boshqa odamlarning o'xshash tajribasi yoki ko'p jihatdan tajribali ma'lumotlarga asoslanib, bunday tadbirlar natijalarini oldindan aytib berish kerak.

Qandaydir tarzda ushbu tadbir qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki aniq tartibga solish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan tadbirni aniqlash uchun muayyan sharoit yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiyAgar tajriba natijasida u sodir bo'lishi yoki bo'lmaydi.

Tadbir deyiladi ishonchliAgar bu tajriba natijasida, albatta paydo bo'lsa, va imkonsizAgar u ushbu tajribada ko'rinmasa.

Masalan, Moskvada 30-noyabr kuni qor yog'ishi tasodifiy voqea. Kundalik quyosh chiqishini ishonchli voqea deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishi mumkin bo'lmagan voqea sifatida ko'rish mumkin.

Ehtimoliyat nazariyasidagi asosiy vazifalardan biri bu voqea ehtimolining miqdoriy chorrahasini aniqlash vazifasidir.

Algebra voqealari

Agar ular xuddi shu tajribada kuzatilmasa, voqealar to'liq deb nomlanadi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikki va uchta mashina mavjudligi ikkita to'liq bo'lmagan voqealardir.

So'm Voqealar ushbu tadbirlarning kamida bittasida bo'lgan voqea deb nomlanadi.

Bunga misol sifatida, tadbirlarning miqdori kamida ikkita mahsulotdan bittasi bo'lishi mumkin.

Ish Voqealar bu barcha tadbirlarning bir vaqtining o'zida bir vaqtning o'zida paydo bo'lgan voqea deb nomlanadi.

Tashqi ko'rinishdagi ikki mahsulot do'konida bir vaqtning o'zida yuzaga kelgan voqea - bu tadbirlarning ishi: bitta mahsulot - boshqa mahsulotning ko'rinishi.

Tadbirlar tadbirda kamida bittasi paydo bo'lsa, tadbirlarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Misol. Port tomirlarni qabul qilish uchun ikkita ikki marotaba bor. Siz uchta tadbirni ko'rib chiqishingiz mumkin: - Bermentlar yo'qligi, ikki tomirdan bir tomirning mavjudligi - ikki karavotdagi ikkita idishning mavjudligi. Ushbu uchta tadbir tadbirlarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi To'liq guruhni tashkil etadigan ikkita mumkin bo'lgan ikkita voqea deb nomlanadi.

Agar belgilangan voqeadan biri, qarama-qarshi voqea odatda belgilanadi.

Tadbir ehtimolini klassik va statistik identifikatsiya qilish

Muvozanat sinov natijalarining har biri (tajribalar) boshlang'ich natijasi deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Masalan, suyak urishi. Boshlang'ich natijalari qirralarning nuqtalari soni bo'yicha oltita bo'lishi mumkin.

Boshlang'ich natijalardan siz yanada murakkab tadbirni amalga oshirishingiz mumkin. Shunday qilib, son-sanoqsiz ballar yo'qolgan voqea uchta natijaga uchraydi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan tadbirning paydo bo'lishi ehtimolining miqdoriy chorasi hisoblanadi.

Eng keng tarqalgan voqea sodir bo'lgan voqeaning ikkita ta'rifi keltirildi: klassik va statistik.

Klassik ehtimollik ta'rifi ijobiy natija tushunchasi bilan bog'liq.

Chiqish deyiladi qulay Agar uning tashqi ko'rinishi ushbu hodisaning boshlanishiga olib keladi.

Yuqoridagi misolda ushbu voqea yiqilgan yuzdagi hatto sonli ballar, uchta qulay natijaga erishgan. Bunday holda, u umumiy maqsadga ham ma'lum
Mumkin bo'lgan natijalar soni. Shunday qilib, bu erda siz tadbir ehtimoli klassik ta'rifidan foydalanishingiz mumkin.

Klassik ta'rifmumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatan qulay natijalarning sonini tenglashtiradi

qayerda - tadbirning ehtimoliy tadbirlari - natijalarning umumiy soni - mumkin bo'lgan natijalar soni.

Ko'rsatilgan misolda

Ehtimoliyatning statistik ta'rifi tajribadagi tadbirning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Tadbirning nisbiy chastotasi formulaga qarab hisoblanadi

u erda - seriyadagi tadbirlar soni tajribalardan (testlar).

Statistik ta'rif. Tadbirning ehtimoli ekspertizalar sonining cheksiz o'sishi bilan nisbiy o'sish bilan nisbiy o'sish bilan bog'liq (to'plam) ning qarindoshi deb ataladi.

Amaliy topshiriqlarda, nisbiy chastotani etarlicha ko'p sonli sinovlar bilan bog'liq bo'lishi mumkin.

Ushbu ehtimollik ta'riflaridan, tadbirni tengsizlik har doim amalga oshirilishini ko'rish mumkin.

Formula (1.1) asosida tadbir ehtimolligi ehtimolini aniqlash uchun Kombinator formulalari ko'pincha qo'llaniladi, bu juda yaxshi natijalarning sonini va mumkin bo'lgan natijalar sonining umumiy sonidir.

1-mavzu. . Klassik ehsonni hisoblash formulasi.

Asosiy ta'riflar va formulalar:

Eksperiment, natijasi oldindan aytib bo'lmaydi, qo'ng'iroq qiling tasodifiy tajriba (SE).

Ushbu seyada yuz berishi mumkin bo'lgan voqea yuz berishi mumkin va bunday bo'lmaydi tasodifiy voqea.

Boshlang'ich natijalar Talablar talablarni qondirish:

1. SE ning barcha bajarilishida bitta va faqat bitta boshlang'ich natijalar paydo bo'ladi;

2. Tadbir ba'zi bir kombinatsiya, ba'zi elementar natijalar.

Mumkin bo'lgan barcha elementar natijalarning to'plami SEni to'liq tasvirlaydi. Bunday narsa qabul qilindi boshlang'ich natijalarning maydoni (Pei). Ushbu SS ni tasvirlash uchun Pei tanlovi noaniq va hal qilingan vazifaga bog'liq.

P (a) \u003d n (a) / n,

bu erda n - muvozanat natijalarining umumiy soni,

n (a) - a) sodir bo'ladigan natijalar soni A tadbirga yordam beradigan darajada amalga oshiradigan natijalar soni.

"Facch" so'zlari "tasodifiy" so'zlari va tasodifiy boshlang'ich natijalarning muvozanatiga tasodifiy kafolat beradi.

Odatda misollarni hal qilish

1-misol. 5 ta qizil, 3 qora va 2 ta oq to'pni o'z ichiga olgan Urndan ipoteka 3 ta to'pni olib tashlaydi. Tadbirlar ehtimolini toping:

Lekin - "Barcha qazib olingan to'plar qizil rangda";

Ichida - "Barcha qazib olingan to'plar - bitta rang";

Dan - "aniq 2 ta qora".

Qaror:

Ushbu soatning boshlang'ich natijasi uchlik (tartibsiz!) To'plar. Shu sababli, natijalarning umumiy soni - bu kombinatsiyalar soni: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

Voqea Lekin U beshta qizil to'pdan olib tashlangan uchliklardan iborat, I.E. n (a) \u003d\u003d 10.

Voqea Ichida 10 ta qizil uchdan tashqari, qora qo'shinlar afzalliklari, ularning soni mos keladi \u003d 1. N (b) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

Voqea Dan 2 qora rangdagi to'plarning tepalari va bittasi qora emas. Ikkita qora sharni tanlashning har bir usuli bitta qora rangni tanlash bilan birlashtirilishi mumkin. Shuning uchun: n (c) \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Shunday qilib: R (a) = 10/120; P (b) = 11/120; P (c) = 21/120.

2-misol. Oldingi vazifa sharoitida, biz har bir rangdagi to'plar 1. Tadbirlarning ehtimolini topa oladigan ro'yxatga kiradi deb taxmin qilamiz:

D. - "Ekspirlangan maksimal raqam 4";

E. - "Olingan maksimal son 3".

Qaror:

N (d) ni hisoblash uchun biz o'nnda bitta to'p, bitta to'p, bir nechta to'p va kichik raqamlar bilan 8 ta to'p (3k + 3h + 2b). Voqea D. Kichik raqamlar bilan 4 va 2 ta to'p bilan to'pni o'z ichiga olgan eng yaxshi uchta to'pni qo'llab-quvvatlaydi. Shuning uchun: n (d) \u003d \u003d

P (d) \u003d 28/120.

N (E) ni hisoblash uchun biz: 3 raqamli, ikkita raqamli va oltita to'p bilan ikkita raqamli va olti to'p bilan (2k + 2h + 2b). Voqea E. Uch turdagi uch turdan iborat:

1. 3-raqamli bir va ikkitadan kichik raqamlar bilan bitta to'p;

2. 3 raqamli to'p va bir nechta raqam bilan.

Shuning uchun: n (e) \u003d \u003d

P (e) \u003d 36/120.

3-misol. Turli zarralarning har biri n hujayralardan biriga yuguradi. Tadbirlar ehtimolini toping:

Lekin - Barcha zarralar ikkinchi kameraga tushishdi;

Ichida - Barcha zarralar bitta kameraga kirdi;

Dan - Har bir hujayrada bir nechta zarracha (m £);

D. - Barcha hujayralar banddir (m \u003d n +1);

E. - Ikkinchi hujayrada muammosiz mavjud ga Zarralar.

Qaror:

Har bir zarra uchun bitta yoki boshqa katakka tushadigan n usullar mavjud. M birikmalari uchun kombinatorlarning asosiy printsipiga ko'ra, bizda n * n * n * ... n (m-vaqt). Shunday qilib, ushbu SE N \u003d n m natijalarning umumiy soni.

Har bir zarracha uchun bizda ikkinchi uyacha kirish uchun bitta imkoniyat bor, shuning uchun n (a) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 m \u003d 1, p (a) \u003d 1 / n m.

Bitta hujayraga (barcha zarralar) olish uchun birinchi bo'lib, ikkinchisiga yoki boshqalarga yoki boshqalarga kelishingizni anglatadi. Hammasi N dan. Ammo ushbu N variantlarning har biri bir tarzda amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun n (b) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (c) \u003d n / n m.

Tadbir har bir zarracha birlikni avvalgi zarrachaning undan kamroq joylashtirish usullari va birinchi navbatda N hujayralariga kirishi mumkin. Shuning uchun:

n (c) \u003d n * (n -1) * ... * (n + m -1) va p (c) \u003d

M \u003d N: p (c) \u003d ma'lum bir holatda

DAST DAks, hujayralardan biri ikkita zarrani o'z ichiga olganligini va qolgan hujayralarning har biri bitta zarrachani o'z ichiga oladi. N (d) ni topish uchun biz bu kabi bahslashamiz: ikki zarralar bo'lishi mumkin bo'lgan uyani tanlang, bu amalga oshirilishi mumkin; Keyin ushbu hujayra uchun ikkita zarrani tanlang, buning yo'llari mavjud. Shundan so'ng, qolgan (N -1) zarrachalar qolgan (n -1) hujayralarga taqsimlanadi, chunki buning uchun (n -1)! yo'llar.

Shunday qilib, n (d) \u003d

.

N (e) raqami quyidagicha hisoblash mumkin: ga Ikkinchi hujayra uchun zarralar (M - k) zarrachalar tasodifiy (n -1) hujayrasida (N -1) M -1 uchun taqsimlanadi. Shuning uchun:

"Baxtsiz hodisa tasodifiy" ... Bu faylasuf kabi tuyuladi, lekin haqiqatda matematika fanining tasodifiyligini o'rganish. Matematikada ehtimollik nazariyasi bilan shug'ullanadi. Forulalar va vazifalar misollari, shuningdek ushbu fanning asosiy ta'riflari maqolada taqdim etiladi.

Ehtimollik nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy voqealarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Bir oz aniqroq bo'lish uchun biz kichik bir misol keltiramiz: agar siz tanga tashlasangiz, u "burgut" yoki "keng" ga tushishi mumkin. Tanganlar havoda bo'lsa-da, ikkala ehtimollikning ikkalasi ham mumkin. Ya'ni, mumkin bo'lgan oqibatlarga olib kelishi ehtimoli 1: 1. Agar siz 36 ta karta bilan kemani tortib olsangiz, ehtimol, ehtimollik 1:36 deb nomlanadi. Aftidan, matematik formulalar yordamida kashf qilish va taxmin qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, ba'zi muntazamlikni aniqlash mumkin va bunga boshqa sharoitdagi voqealar natijasini oldindan aytib berishga asoslanadi.

Agar biz yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirsak, klassik tushunchadagi ehtimollik nazariyasi bu mumkin bo'lgan voqealardan birining raqamli qiymatdagi bo'lishi mumkinligini o'rganishdir.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalari va misollar nazariyasi o'rta asrlarda birinchi marta karta o'yinlarining natijasini oldindan aytib berishga uringan paytda orqaga chiqdi.

Dastlab, ehtimollik nazariyasi matematika bilan bog'liq hech narsa yo'q edi. U amaliyot faktlari yoki amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning xususiyatlari bilan oqlandi. Ushbu sohada matematik intizomda bo'lgani kabi birinchi ish XVII asrda paydo bo'lgan. Paskal va Per fermasi blazerlarga qaraganda cho'tkasi edi. Uzoq vaqt davomida ular qimor o'yinlarini o'rganib, jamiyatga aytishga qaror qilgan muayyan naqshlarni ko'rishdi.

Xuddi shu texnikada Gyuygens xristianlari ixtiro qilingan, ammo u Paskal va fermer xo'jaligi tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmagan. "Ehtimollar nazariyasi" tushunchasi ular tomonidan birinchi bo'lib ko'rib chiqilgan birinchi formulalar va misollar joriy etildi.

Jacob Bernuylli, Laplas va Poisson teoremalari muhim ahamiyatga ega. Ular ehtimollik nazariyasini yanada ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimol, ehtimollik nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalar misollarining hozirgi munosabati Kolmogorovning aksiomalari tufayli olingan. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollik nazariyasi matematik bo'limlardan biriga aylandi.

Ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu tadbirning asosiy tushunchasi bu tadbir. Tadbirlar uch tur:

• Ishonchli. Har qanday holatda sodir bo'ladigan narsalar (tanga tushadi).
• Imkonsiz. Hech qanday holatda bo'lmagan voqealar (tanga havoda osilib turadi).
• Tasodifiy. Sodir bo'ladigan yoki bo'lmaydi. Ular bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillarga ta'sir qilishi mumkin. Agar biz tanga haqida gapiradigan bo'lsak, natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar: tanganing fizik xususiyatlari, shaklining fizik xususiyatlari, boshlang'ich holat, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha voqealar asosiy lotin harflari bilan belgilanadi, bu yana bir rolga tayinlangan Masalan:

• A \u003d "Talabalar ma'ruzaga kelishdi."
• Ā \u003d "Talabalar ma'ruzaga bormadi."

Amaliy vazifalarda voqealar yozib olish so'zlariga ko'ra tadbirlar qabul qilinadi.

Tadbirlarning eng muhim xususiyatlaridan biri bu ularning muvozanatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, boshlang'ich tushish uchun barcha variantlar tushguncha mumkin. Ammo voqealar ham teng emas. Bu, kimdir natijaga ta'sir ko'rsatganda sodir bo'ladi. Masalan, tortishish markazi siljigan kartalarni o'ynash yoki suyaklar o'ynash.

Hatto voqealar ham mos va mos kelmaydi. Mos keladigan voqealar bir-birlarini chiqarib tashlamaydi. Masalan:

• A \u003d "Talaba ma'ruzaga keldi."
• B \u003d "Talaba ma'ruzaga keldi."

Ushbu voqealar bir-biridan mustaqil va ulardan birining paydo bo'lishi boshqasining ko'rinishi ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan voqealar, kimdir paydo bo'lishi boshqasining ko'rinishini yo'q qiladi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, "idish" ning yo'qolishi xuddi shu tajribadagi "burgut" ko'rinishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Tadbirlar ko'paytirilishi va katlanmış, mos ravishda, mantiqiy ligamentlar "va" yoki "intizomga kiritiladi.

Ushbu miqdor a yoki b yoki bir vaqtning o'zida ikkita ko'rinishi bilan belgilanadi. Agar ular mos kelmasa, oxirgi variantning iloji yo'q, yoki A va V.

Tadbirlarni ko'paytirish - bu bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida ko'rinishi.

Endi siz ehtimollik va formulalarning asoslari, nazariyasi, nazariyasi, nazariyasi, nazariyasi yaxshiroqligini yaxshiroq eslash uchun bir nechta misollar keltirasiz. Keyingi vazifa echimlarining misollari.

MAShQ 1: Kompaniya uchta navning ishlashi bo'yicha shartnomalar tanlovida ishtirok etadi. Mumkin bo'lgan voqealar:

• A \u003d "Kompaniya birinchi shartnomani oladi."
• Va 1 \u003d "firma birinchi shartnomani olmaydi."
• B \u003d "firma ikkinchi shartnomani oladi."
• 1 \u003d "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
• C \u003d "firma uchinchi shartnomani oladi."
• 1 \u003d "Kompaniya uchinchi shartnomani olmaydi."

Tadbirlar bo'yicha harakatlardan foydalanish, keling, quyidagi vaziyatlarni ifoda etishga harakat qilaylik:

• K \u003d "Firma barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi shaklga ega bo'ladi: K \u003d ABC.

• M \u003d "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M \u003d 1 1 1da 1.

Vazifani bajaring: H \u003d "Kompaniya bitta shartnoma oladi." Ma'lumki, qanday shartnoma ma'lum bo'lmaganligi sababli, kompaniyani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi mumkin, bu mumkin bo'lgan voqealarni yozib olish kerak:

N \u003d a 1 Quyosh 1 A-1 C 1 bu 1 C.

1 Quyosh 1 - kompaniya birinchi va uchinchi shartnomani qabul qiladigan, ammo ikkinchisini qabul qiladi. Mumkin bo'lgan voqealar tegishli usulda qayd etiladi. Intizomdagi belgi bu to'plamni ko'rsatadi "yoki". Agar biz ushbu misolni inson tiliga tarjima qilsak, firma qabul qilinadi yoki uchinchi shartnomani yoki ikkinchisini yoki birinchi bo'ladi. Shunga o'xshab, boshqa sharoitlarni "ehtimollik nazariyasi" fanidan qayd etish mumkin. Ushbu formulalar va yuqorida keltirilgan vazifalarni hal qilish misollar buni o'zingiz qilishga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda tadbirning ehtimolligi markaziy tushunchadir. 3 ta ehtimollik ta'riflari mavjud:

• klassik;
• statistik;
• geometrik.

Ularning har biri ehtimoliy ehtimolliklarni o'rganishda o'z o'rnini egallaydi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan bunga o'xshash klassik ta'rifdan foydalanadi:

• Vaziyatning ehtimolligi natijalarning paydo bo'lishiga, mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbati bilan tengdir.

Formula quyidagicha ko'rinadi: p (a) \u003d m / n.

A - Aslida, voqea. Agar vaziyat a qarama-qarshi ko'rinsa, uni yoki 1 deb yozilishi mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar.

n - yuzaga keladigan barcha voqealar.

Masalan, A \u003d "Bo'ri kostyumining kartasini torting." 36-standart 36-sonli kemada, ularning 9tasi qurtlar. Shunga ko'ra, vazifani hal qilish formulasi quyidagilardan iborat bo'ladi:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Natijada, qurt kostyumining kartasini kemadan chiqarib yuborilishi ehtimoli 0,25 ni tashkil qiladi.

Oliy matematikaga

Endi bu ehtimollik, formulalar va maktab dasturida o'tgan vazifalarni hal qilish misollari nimadan iborat edi. Biroq, ehtimoliy sharoitlar nazariyasi oliy matematikada bo'lib o'tadi, ular universitetlarda o'qitiladi. Ko'pincha nazariya va murakkab formulalarning geometrik va statistik ta'riflari bilan boshqariladi.

Juda qiziqarli ehtimollik nazariyasi. Forulalar va misollar (Oliy matematika) kichik bir kishidan - statistik (yoki chastota) ehtimollik aniqlanishidan yaxshiroq o'qish yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikka zid emas va uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda, ehtimol, voqeani yanada aniqlash kerak bo'lsa, unda ushbu usulda u qanchalik tez-tez uchraydigan ko'rsatishi kerak. Bu erda "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi joriy etiladi, ular W n n (a) tomonidan belgilanishi mumkin. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar klassik formulani bashorat qilish uchun hisoblangan bo'lsa, unda statistik - tajriba natijalariga ko'ra. Masalan, kichik vazifani oling.

Texnologik nazorat bo'limi sifat uchun mahsulotlarni tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 ta past sifatli. Sifat mahsuloti chastotasi ehtimolini qanday topish mumkin?

A \u003d "yuqori sifatli mahsulotlarning ko'rinishi."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0.97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. Siz 97 oldingizmi? Belgilangan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifat jihatidan kam emas. 100 navbatdan 37 olamiz, bu 97 olamiz, bu sifatli mahsulot miqdori.

Kombinator haqida ozgina

Ehtimoliyatning yana bir usuli kombinator deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundaki, agar ma'lum bir tanlovni har xil yo'llar bilan amalga oshirishi va b ni tanlash n har xil usulda, keyin tanlovni ko'paytirish mumkin.

Masalan, shahardan va shaharda 5 ta yo'l. Shahardan shahargacha 4 yo'l bilan. Shahardan va shahardan qancha usullarga erishish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4 \u003d 20, ya'ni, ya'ni har xil shaklda S. nuqtalariga qadar erishish mumkin.

Ishni murakkablashtiring. Solitaire-da kartalarni yotqizishning qancha usullari? 36 ta kartaning pastki qismida - bu boshlang'ich nuqtasi. Bir xil xaritada va ko'payish uchun "olib qochish" uchun boshlang'ich nuqtadan kerak bo'lgan usullar sonini bilish uchun.

Ya'ni, 36x35x34x33x32 ... x2x1 \u003d natija kalkulyator ekraniga mos kelmaydi, shuning uchun u 36! Belgisi "!" Raqam yaqinligi shuni ko'rsatadiki, sonlarning butun soni bir-biridan farq qiladi.

Kombinatorlar bunday tushunchalarni mazmun, turar joy va kombinatsiyalash kabi tushunchalarni taqdim etadilar. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

Buyurtma to'plamlar to'plamini joylashtirish deyiladi. Joylashtirish takrorlashlar bilan bo'lishi mumkin, ya'ni bir nechta elementdan bir necha marta foydalanish mumkin. Va narsalar takrorlanmasa, takrorlashsiz. n barcha elementlar, m - bu turar joylarda ishtirok etadigan elementlar. Radetsiz joylashtirish formulasi quyidagicha bo'ladi:

A n m \u003d n! / (N-M)!

Faqat joylashtirish tartibi bilan farq qiladigan nomuvofiqliklar taqsimlanadi. Matematikada u shakli bor: p n \u003d n!

N elementlaridan m uchun birlashtirilgan bunday elementlar, qaysi elementlar va ularning jami nima ekanligini anglatadi. Formulaga qarang:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernuvli formulasi

Ehtimol nazariya, shuningdek, har bir intizomda, uni yangi bosqichga olib chiqqan tadqiqotchilar sohasida ish olib boradi. Ushbu asarlardan biri - Bernuvli formulasi bo'lib, bu mustaqil sharoitda ma'lum bir voqea ehtimolini aniqlashga imkon beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, eksperimentning paydo bo'lishi paydo bo'lishiga bog'liq emas yoki ilgari o'tkazilmagan yoki keyingi testlarda paydo bo'lgan hodisaga bog'liq emas.

Bernuylli tenglamasi:

P n (m) \u003d c n m × p m × m.

Tadbirning paydo bo'lishi (a) har bir sinov uchun o'zgarishsiz (a) o'zgarmaydi. Vaziyat aniq tajriba bo'lib, tajribalarning miqdoridagi tajriba sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formulalar tomonidan hisoblanadi. Shunga ko'ra, savolning raqamini qanday aniqlash bo'yicha savol tug'iladi.

Agar voqea vaqtning mos ravishda bir necha marta sodir bo'lsa, u kelmasligi mumkin. Jihoz vaziyatning barcha natijalari bilan ifodalanishi kerak. Shuning uchun, Qning bir raqami, bu aloqada bo'lmagan voqealar ehtimolini anglatadi.

Endi siz bernuylli formulasini bilasiz (ehtimollik nazariyasi). Yaqinroq ko'rib chiqayotgan vazifalarni hal qilish misollari.

2-vazifa: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan sotib oladi. 6 ta tashrif buyuruvchilar do'konga tashrif buyurishdi. Mehmon sotib olish ehtimoli qanday?

Qaror: Bernuf formulasi yordamida qancha tashrif buyuruvchilar xaridorlar, bittasi sotib olishlari kerakligi noma'lum.

A \u003d "Mehmon sotib oladi."

Bunday holda: p \u003d 0,2 (vazifada ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q \u003d 1-0,2 \u003d 0.8.

n \u003d 6 (do'konda 6 ta mehmon bor). M raqami 0 dan o'zgaradi (xaridor sotib olinmaydi) 6 tagacha (biror narsani sotib olish uchun barcha tashrif buyuruvchilar sotib olinadi). Natijada biz echim olamiz:

P 6 (0) \u003d c 0 6 × p 0 × Q 6 \u003d Q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Xaridorlarning hech biri sotib olish imkoniyati 0.2621 ehtimolligi bilan sotib olinmaydi.

Bernuylli formulasi qanday (ehtimollik nazariyasi)? Keyingi muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi darajali).

Yuqoridagi misoldan so'ng, savollar qaerda bo'lish kerakligi haqida yuzaga keladi. P raqamiga nisbatan 0 darajaga nisbatan teng bo'ladi. C ga kelsak, uni formulada topish mumkin:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Birinchi misolda M \u003d 0 mos ravishda, C \u003d 1, bu natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, tovarlarni ikki tashrif buyuruvchi sotib olish ehtimoli qanday ekanligini bilib olaylik.

P 6 (2) \u003d c 6 2 × 5 \u003d (6 × 5 × 2 × 2 × 2 × 1 × 2 × 1) × (0,2) 2 × (0,2) 2 × ( 0.8) 4 \u003d 15 × 0.04 × 0,246.

Unchalik qiyin emas. Bernuylli formula, bunga misollar, yuqorida keltirilgan, bu to'g'ridan-to'g'ri tasdiqlanadi.

Formula Poisson

Poisson tenglamasi tasodifiy tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m) \u003d l m / m! × e (- p).

Bunday holda, l [n x p. Bu juda oddiy Poison formulasi (ehtimollik nazariyasi). Yaqinroq deb hisoblagan vazifalarni hal qilish misollari.

3-vazifa.: Zavodda 100000 dona miqdorida qismlarni ishlab chiqardi. Nuqsonli qismning ko'rinishi \u003d 0.0001. 5 ta nuqsonli qismlar partiyada bo'lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh tasodifiy voqeadir va Poison formulasi (ehtimollik nazariyasi) hisoblash uchun ishlatiladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari intizomning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz zarur ma'lumotlarni almashtiramiz:

A \u003d "Tasodifiy tanlangan mahsulot nuqsonli bo'ladi."

p \u003d 0.0001 (tayinlash holatiga ko'ra).

n \u003d 100000 (qismlar soni).

m \u003d 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni oling:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X e -10 \u003d 0.0375.

Shuningdek, Bernufylli formulasi (ehtimollik nazariyasi), yuqorida yozilgan yordamida echimlarning namunalari, Poisson tenglamasi noma'lum e. Aslida, u formulani topish mumkin:

e -LE \u003d LIME N -\u003e ∞ (1-/ n) n.

Biroq, deyarli barcha qadriyatlar mavjud bo'lgan maxsus jadvallar mavjud.

Mutavor Yaplati

Bernuvylli sxemadagi sinovlar soni va biron bir tadbirning va barcha sxemalar bir xil bo'lsa va unda bir qator voqealar va bir qator sinovlar son-sanoqsiz hodisalar va bir qator sinovlar "Laplace formulasi" kabi bir necha bor topilishi mumkin:

P n (m) \u003d 1 / √npq x ph (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Laplace (ehtimollik nazariyasi) formulasini yaxshiroq eslab qolish uchun, quyida yordam berish uchun vazifalarning misollari.

Avval X m ni topamiz, biz ma'lumotlarni (ular yuqorida aytilganlarning hammasi yuqorida ko'rsatilgan) formulada almashtiramiz va 0,025 ni oling. Jadval yordamida biz raqamni (0.025) topamiz, uning qiymati 0,3988 raqamini topamiz. Endi siz formulada barcha ma'lumotlarni almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) \u003d 1/yn / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.388 \u003d 3/4988 \u003d 0,03.

Shunday qilib, reklama varaqasi aniq 267 marta ishlayotgani ehtimoli 0,03.

Formula ko'rlari.

Baynes formulasi (ehtimoliy nazariya), quyida namoyish etiladigan vazifalarni echishda misollar, u bilan bog'liq bo'lgan holatlar asosida tadbirning ehtimolini tavsiflovchi tenglamadir. Asosiy formula quyidagi shaklga ega:

P (a | b) \u003d p (ichida A) x p (a) / p (c).

A va b aniq voqealar.

P (a | b) - shartli bo'lishi mumkin bo'lgan voqea a bo'lishi mumkin.

P (A | a) - Tadbirning shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimoliyat nazariyasi" kichik yo'lning oxirgi qismi bayinsiya formulasi, quyida joylashgan vazifalarni hal qilish misollari.

5-band.: Ombor uchta kompaniyadan telefon olib keldi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar hajmi 25%, ikkinchisida - 60%, uchinchi - 15%. Shuningdek, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha foizi 2%, ikkinchisida esa 4%, uchinchi yillarda 1% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan telefon nuqsonli bo'lishi ehtimolini topish kerak.

A \u003d "tasodifiy telefonni qabul qildi."

Birinchi zavodni tashkil etgan birinchi telefonda. Shunga ko'ra, 2 va 3 ga kirish (ikkinchi va uchinchi fabrikalar uchun) paydo bo'ladi.

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (2) \u003d 0,6; P (3) \u003d 0.15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz kerakli tadbirning shartli ehtimolligini, ya'ni firmalarda nuqsonli mahsulotlarning ehtimolligini topishingiz kerak:

P (a / ichida 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / ichida 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Endi biz bayzazlar formulasidagi ma'lumotlarni almashtiramiz va quyidagilarni olishamiz:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0.4 + 0,15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Maqola ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollarini keltirilgan, ammo bu faqat aysberg keng intizomining verteksi. Va yozilgandan so'ng, hayotda ehtimollik nazariyasi zarurligini so'rash mantiqan. Javob berish uchun oddiy odamga javob berish qiyin, u o'z yordami bilan, uck-terni buzmaganligi haqida so'rash yaxshidir.

Javoblarni ko'rishingiz mumkin bo'lgan mustaqil echim uchun vazifalar bo'ladi.

Muammoning umumiy holati: ba'zi tadbirlarning ehtimolligi ma'lum va bu tadbirlar bilan bog'liq boshqa voqealar ehtimolini hisoblash kerak. Ushbu vazifalar ehtimollik bo'yicha bunday harakatlarga bo'lgan ehtiyojni qondirishi va ko'payishi kabi harakatlarga ehtiyoj tug'diradi.

Masalan, ovga ikkita zarba. Voqea A. - O'tki, birinchi zarbalardan o'tib ketadi B. - Ikkinchi zarbani urdi. Keyin tadbirlar yig'indisi A. va B. - birinchi yoki ikkinchi zarbani yoki ikkita zarbani urish.

Boshqa turdagi vazifalar. Bir necha tadbirlar mavjud, masalan, tanga uch marta tashlanadi. Emblegi yoki uch marta tushishi yoki gerbning kamida bir marta tushishi ehtimolini aniqlashi kerak. Bu ehtimollikni ko'paytirish vazifasi.

To'liq bo'lmagan voqealar uchun qo'shimcha

Ehtimollik qo'shimchalari, tasodifiy hodisalarning kombinati yoki mantiqiy summasini hisoblash kerak bo'lganda ishlatiladi.

Tadbirlar miqdori A. va B. bildirmoq A. + B. yoki A. ∪ B.. Ikki hodisaning yig'indisi hech bo'lmaganda kamida bittasi paydo bo'lganida va faqat bir marta sodir bo'ladigan voqea deb ataladi. Bu shuni anglatadiki A. + B. - O'sha paytdagi va faqat voqea paytida voqea sodir bo'lgan taqdirda A.yoki voqea B.yoki bir vaqtning o'zida A.va B..

Agar voqealar bo'lsa A.va B.o'zaro nomuvofiqlik va ularning ehtimolligi beriladi, shunda bitta sinov natijasida ushbu tadbirlardan biri ehtimollik qo'shilganidan foydalangan holda hisoblab chiqiladi.

Ehtimollik qo'shimcha teoremasi. Ikki to'liq bo'lmagan voqealardan biri ushbu voqealar ehtimolligi yig'indisiga tengdir degani ehtimol:

Masalan, ovda ikkita kadrlar ishlab chiqarilgan. Voqea Lekin - O'tki, birinchi zarbalardan o'tib ketadi Ichida- Ikkinchi zarbani ur, voqea ( Lekin+ Ichida) - birinchi yoki ikkinchi zarbani yoki ikkita zarbani urish. Shunday qilib, agar ikkita voqea bo'lsa Lekinva Ichida - tugallanmagan voqealar, keyin Lekin+ Ichida- bu voqealardan kamida bittasi yoki ikkita tadbir boshlanishi.

1-misol.Bir xil o'lchamdagi 30 to'pni torting: 10 Qizil, 5 ko'k va 15 ta oq. Hechqisiz yoki rangda emas, balki rangga ega bo'lish ehtimolini hisoblang.

Qaror. Biz ushbu tadbirni olamiz Lekin- "Qizil to'p olinadi" va tadbir Ichida- "ko'k to'p olinadi." Keyin voqea "rangsiz (oq emas) to'p". Tadbir ehtimolini toping Lekin:

va voqealar Ichida:

Voqealar Lekinva Ichida - Bir-biringiz nomuvofiq bo'lsa, chunki agar bitta to'p olinmasa, unda siz turli xil ranglarning to'plarini olib ketolmaysiz. Shuning uchun biz ehtimollik qo'shilishidan foydalanamiz:

Bir nechta to'liq bo'lmagan voqealar uchun ehtimoliy qo'shimcha teorema. Agar voqealar to'liq tadbirlarni amalga oshirsa, ehtimol ularning ehtimolligi summasi 1:

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolligi summasi 1 ga teng:

Qarama-qarshi hodisalar tadbirlarning to'liq to'plamini tashkil qiladi va tadbirlarning to'liq to'plamining ehtimolligi 1.

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolligi kichik harflar bilan belgilanadi. p. va savol:. Ayniqsa,

qarama-qarshi voqealar kabi quyidagi formulalar quyidagicha kuzatiladi:

2-misol.Tashkiliyning maqsadi 3 zonaga bo'linadi. Birinchi zonada ma'lum bir otishma birinchi zonada 0,15, ikkinchi zonada - 0,23, uchinchi zonada - 0,17. Shotani nishonga tushishi va otish vositasi maqsaddan o'tgan bo'lishi ehtimoli bor imkoniyatini toping.

Qaror: otish vositasi golga tushishi ehtimolini topamiz:

Shotani nishonga tushishi ehtimolini topamiz:

Vazifalar yanada kengroqdir, bunda ehtimollik va ko'payishlar, ehtimollik qo'shimchalari va ko'payishining turli vazifalari qo'llanilishi kerak.

O'zaro qo'shma tadbirlarning ehtimoli

Ikki tasodifiy voqea, agar bitta tadbir boshlangan bo'lsa, ikkinchi tadbir boshlanishini bir xil kuzatuvda istisno qilmaydi. Masalan, o'yinni o'ynatayotganda Lekin4 raqamining tashlanishi ko'rib chiqiladi va tadbir Ichida- o'quvchini yo'qotish. 4 raqami juftlik bo'lsa, ushbu ikki hodisa mavjud. Amalda, o'zaro qo'shma tadbirlardan birining paydo bo'lishi ehtimolini hisoblash bo'yicha vazifalar mavjud.

Qo'shma tadbirlar uchun ehtimollik. Qo'shma tadbirlardan biri bu tadbirlarning ehtimolligi miqdoriga teng bo'lishi ehtimoli ham, ikkala tadbirning umumiy boshlanishi ehtimoli, ya'ni ehtimollik mahsuloti bo'lganligini anglatadi. Qo'shma tadbirlarning ehtimolliklari formulasi quyidagi shaklga ega:

Voqealar uchun Lekinva Ichida Mos keladigan, voqea Lekin+ Ichidaagar uchta mumkin bo'lgan uchta tadbirdan biri sodir bo'lsa, keladi: yoki Au. To'liq bo'lmagan voqealar qo'shilishi bo'yicha biz buni hisoblaymiz:

Voqea Lekinagar ikkita nomuvofiq hodisalardan biri bo'lsa, u keladi: yoki Au. Biroq, bir nechta to'liq bo'lmagan voqealardan bir nechta tadbirning paydo bo'lishi ehtimoli ushbu barcha voqealar ehtimolligi yig'indisiga tengdir:

Xuddi shunday:

(6) va (7) iborani (5) almashtirish, biz qo'shma tadbirlar uchun ehtimollik formulasini olamiz:

Formula (8) dan foydalanish paytida, bu voqealarni yodda tutish kerak Lekin va Ichidabo'lishi mumkin:

• o'zaro mustaqil.
• o'zaro bog'liq.

O'zaro mustaqil voqealar uchun ehtimollik formulasi:

O'zaro qaram tadbirlar uchun ehtimollik formulasi:

Agar voqealar bo'lsa Lekinva Ichidanomuvofiq, ularning tasodifiyligi mumkin bo'lmagan ish va shu tariqa, P.(Ab) \u003d 0. To'liq bo'lmagan voqealar uchun to'rtinchi ehtimollik formulasi quyidagicha:

3-misol.Avtotransport poygaida birinchi mashinada g'alaba qozonish ehtimoli, ikkinchi mashinada g'alaba qozonish ehtimoli. Topmoq:

• ikkala mashina ham g'alaba qozonishi ehtimoli;
• hech bo'lmaganda bitta mashina g'alaba qozonish ehtimoli;

1) Birinchi avtomashinada g'alaba qozonish ehtimoli ikkinchi avtomobil natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar Lekin(Birinchi avtoulovni yutib oling) va Ichida (Ikkinchi transport vositasi g'alaba qozonadi) - mustaqil tadbirlar. Ikkala mashina ham g'alaba qozonishi ehtimolini topamiz:

2) Ikkita mashinadan biri g'alaba qozonish ehtimoli ehtimolini topamiz:

Vazifalar yanada kengroqdir, bunda ehtimollik va ko'payishlar, ehtimollik qo'shimchalari va ko'payishining turli vazifalari qo'llanilishi kerak.

O'zingiz ehtimollik qo'shilishi uchun vazifani bajaring, so'ngra qarorni ko'rib chiqing

4 misol. Ikki tanga shoshildi. Voqea A. - birinchi tanganingdagi qo'llarning tarqalishi. Voqea B. - Ikkinchi tangada qo'llarning tovuqining yo'qolishi. Voqealar ehtimolini toping C. = A. + B. .

Anketingni ko'paytirish

Anketallarning ko'payishiga olib kelishi mumkin bo'lgan voqealar mantiqiy mahsuloti ehtimoli aniqlanganda.

Shu bilan birga, tasodifiy voqealar mustaqil bo'lishi kerak. Agar bitta tadbir boshlanishi ikkinchi tadbirning ehtimolligiga ta'sir qilmasa, ikkita tadbir o'zaro mustaqil deb nomlanadi.

Mustaqil voqelar uchun ehtimollik ko'payishi. Ikki mustaqil voqeaning bir vaqtning o'zida paydo bo'lish ehtimoli Lekinva Ichidabu ushbu tadbirlarning ehtimolligi mahsulotiga tengdir va formulada hisoblanadi:

5-misol.Tanga ketma-ket uch marta tashlanadi. Qo'llarning paltosi uch marta tushishi ehtimoli borligini toping.

Qaror. Tangalar birinchi otish bilan birinchi marta uchinchi marta tushish ehtimoli uchinchi marta. Biz gerb uch marta tushishi ehtimolini topamiz:

Ehtimolliklarni ko'paytirish uchun vazifalarni mustaqil ravishda bajaring va qarorni ko'rib chiqing

6-misol. To'qqizta yangi tennis to'plari bor. O'yin uchun uchta golni egallab, ular orqaga qaytishadi. To'plarni tanlashda futbolchilar kafedralardan ajralib turmaydi. Qutida uchta o'yindan keyin stullar qolmaydi?

7 misol. Rus alifbosining 32 ta harfi spllif alifbosida yozilgan. Beshta kartalar boshqalardan keyin tasodifiy ravishda olib tashlanadi va tashqi ko'rinishi tartibida stol ustiga qo'yilgan. "Oxirat" so'zi paydo bo'lish ehtimolini toping.

8 misol. To'rtta karta xaritalardan to'liq kesadi (52 varaq). Ushbu to'rtta kartalarning barchasi turli xil to'qima bo'lish ehtimoli ehtimolini toping.

9-misol. Xuddi shu vazifa shundaki, 8-misolda, ammo har bir karta kemaga qaytishni olib tashlaganidan keyin.

Vazifalar yanada kengroqdir, bunda ancha kengroq bo'lib, ular qo'shimcha va ko'paytirish kerak, shuningdek, "Anjumanni ko'paytirish va ko'paytirish uchun turli xil vazifalarni" hisoblash ".

Hech bo'lmaganda o'zaro mustaqil tadbirlardan kamida bittasi qarama-qarshi hodisalarning ehtimolligi, ya'ni qarama-qarshi hodisalarning 1 ta mahsulotidan ajratish ehtimoli bo'lishi mumkin.