Özet: İstatistiklerde kullanılan ortalamalar. İstatistikte ortalamaların özü ve önemi

Bu bölümde ortalama değerlerin amacı açıklanmakta, bunların ana türleri ve biçimleri ile hesaplama metodolojisi tartışılmaktadır. Sunulan materyali incelerken, ortalama değerlerin oluşturulması için gereksinimlere hakim olmak gerekir, çünkü bunların gözetilmesi, bu değerleri bir dizi homojen birim için öznitelik değerlerinin tipik özellikleri olarak kullanmanıza izin verir.

Ortalama değerlerin formları ve türleri

ortalama değer popülasyonun birimi başına elde edilen özniteliğin değerlerinin düzeyinin genelleştirilmiş bir özelliğidir. Göstergelerin oranının bir ölçüsü olan nispi değerin aksine, ortalama değer, nüfusun birim başına karakteristiğinin bir ölçüsü olarak hizmet eder.

Ortalamanın en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimlerinde var olan geneli yansıtmasıdır.

Nüfusun bireysel birimlerinin öznitelik değerleri, aralarında önemli ve rastgele olanların olabileceği birçok faktörün etkisi altında bir yönde veya başka bir yönde dalgalanır. Örneğin, banka kredilerine ilişkin faiz oranları, tüm kredi kuruluşları için başlangıçtaki faktörler (karşılıklı karşılıkların düzeyi ve merkez bankası tarafından ticari bankalara sağlanan kredilerin taban faiz oranı vb.) Bu kredinin içerdiği riske, büyüklüğüne ve vadesine, bir krediyi işleme koyma ve geri ödemesini izleme maliyetlerine vb. bağlı olarak her belirli işlemin özellikleri.

Ortalama, özelliğin bireysel değerlerini özetler ve belirli bir yer ve zaman koşullarında belirli bir popülasyon için en tipik olan genel koşulların etkisini yansıtır. Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin etkisinin neden olduğu popülasyonun bireysel birimlerinin öznitelik değerlerindeki sapmaları telafi etmesi ve ana eylemin neden olduğu değişiklikleri dikkate alması gerçeğinde yatmaktadır. faktörler. Ortalama, niteliksel olarak homojen bir popülasyondan hesaplandığında, belirli bir birim popülasyonundaki özelliğin tipik düzeyini yansıtacaktır. Bu bağlamda, araçlar yöntemi, gruplama yöntemi ile birlikte kullanılır.

Nüfusu bir bütün olarak karakterize eden ortalama değerlere denir. Yaygın, ve grubun veya alt grubun özelliğini yansıtan ortalamalar, - grup.

Genel ve grup araçlarının kombinasyonu, zaman ve mekanda karşılaştırmalara izin verir, istatistiksel analizin sınırlarını önemli ölçüde genişletir. Örneğin, 2002 nüfus sayımının sonuçları özetlendiğinde, çoğu Avrupa ülkesinde olduğu gibi yaşlanan bir nüfusun Rusya'nın özelliği olduğu bulundu. 1989 nüfus sayımı ile karşılaştırıldığında, ülke sakinlerinin ortalama yaşı üç yıl arttı ve 37.7 yıl, erkekler - 35.2 yıl, kadınlar - 40.0 yıl oldu (1989 verilerine göre, bu göstergeler 34.7, 31 , 9 ve 37.2 idi) . Rosstat'a göre, 2011 yılında erkekler için doğumda beklenen yaşam süresi 63 yıl, kadınlar için - 75.6 yıl.

Her ortalama, çalışılan popülasyonun bazı niteliklere özgü özelliklerini yansıtır. Pratik kararlar vermek için, kural olarak, nüfusu çeşitli kriterlere göre karakterize etmek gerekir. Bu durumda, bir ortalama değerler sistemi kullanılır.

Örneğin, kabul edilebilir düzeyde bankacılık riski bulunan faaliyetlerin uygun kârlılık düzeyine ulaşması için, verilen kredilerin ortalama faiz oranları, mevduat ve diğer finansal araçların ortalama faiz oranları dikkate alınarak belirlenir.

Ortalama değeri hesaplamanın şekli, türü ve yöntemi, çalışmanın amacına, incelenen özelliklerin türüne ve ilişkisine ve ayrıca ilk verilerin doğasına bağlıdır. Ortalamalar iki ana kategoriye ayrılır:

• 1) güç ortalamaları;
• 2) yapısal ortalamalar.

Ortalamanın formülü, uygulanan ortalamanın derecesinin değeri ile belirlenir. Üs artışı ile k ortalama değer buna göre artar.

İstatistiklerde ortalama değerler yaygındır. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Ortalama yaygın genelleme tekniklerinden biridir. Ortalamanın özünün doğru bir şekilde anlaşılması, ortalamanın tek ve rastgele aracılığıyla, genel ve gerekli olanı tanımlamayı, yasaların eğilimini ortaya çıkarmayı mümkün kıldığı bir piyasa ekonomisi koşullarında özel önemini belirler. ekonomik gelişme.

ortalama değer - bunlar, genel koşulların eyleminin, incelenen fenomenin kalıplarının ifade edildiği genelleştirici göstergelerdir.

İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş kütle gözleminin (sürekli ve seçici) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücreti hesaplar ve sonucu tüm nüfusa genişletirseniz, ortalama, heterojen bir nüfus üzerinden hesaplandığı için hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını kaybeder.

Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özniteliğin değerindeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur.

Örneğin, bir satış elemanının ortalama çıktısı birçok nedene bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.

Ortalama çıktı, tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.

Ortalama değer, incelenen özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, bu nedenle bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Her ortalama değer, herhangi bir özellik için çalışılan popülasyonu karakterize eder. Bir dizi temel özellik için çalışılan popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, genel olarak, fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

Çeşitli ortalamalar vardır:

aritmetik ortalama;

geometrik ortalama;

ortalama harmonik;

Kök kare ortalama;

ortalama kronolojik.

İstatistiklerde en sık kullanılan bazı ortalama türlerini ele alalım.

Aritmetik ortalama

Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamına, bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.

Bir özelliğin bireysel değerlerine değişken denir ve x () ile gösterilir; popülasyondaki birim sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri ile gösterilir ... Bu nedenle, basit aritmetik ortalama:

Kesikli dağılım serisinin verilerine göre, özniteliğin (varyantların) aynı değerlerinin birkaç kez tekrarlandığı görülebilir. Yani, x seçeneği toplamda 2 kez ve seçenek x - 16 kez vb.

Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolü ile gösterilir.

Bir işçinin ortalama ücretini hesaplayalım ruble olarak:

Her işçi grubu için ücret faturası, seçeneklerin frekansa göre çarpımına eşittir ve bu ürünlerin toplamı tüm işçilerin toplam ücret faturasını verir.

Buna göre, hesaplamalar genel biçimde sunulabilir:

Elde edilen formüle ağırlıklı aritmetik ortalama denir.

İşlem sonucunda elde edilen istatistiksel malzeme, yalnızca kesikli dağılım serileri şeklinde değil, aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralıklı varyasyon serileri şeklinde de sunulabilir.

Gruplandırılmış veriler için ortalamanın hesaplanması, aritmetik ağırlıklı ortalama formülüne göre yapılır:

İktisadi istatistik uygulamasında, bazen ortalamayı grup araçlarıyla veya nüfusun bireysel bölümleriyle (özel araçlar) hesaplamak gerekir. Bu gibi durumlarda, toplam ortalamanın olağan ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplandığı temel alınarak grup veya kısmi ortalamalar seçenekler (x) olarak alınır.

Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .

Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:

1. x özniteliğinin her bir değerinin frekanslarındaki n kez bir azalma veya artıştan, aritmetik ortalamanın değeri değişmeyecektir.

Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, ortalamanın değeri değişmez.

2. Özelliğin bireysel değerlerinin ortak faktörü, ortalama işaretinden çıkarılabilir:

3. İki veya daha fazla değerin toplamının (farkının) ortalaması, ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:

4. Eğer x = c ise, burada c bir sabittir, o zaman
.

5. X özniteliğinin değerlerinin x aritmetik ortalamasından sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:

Ortalama harmonik.

Aritmetik ortalama ile birlikte, istatistikler, özelliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığı olan harmonik ortalamayı kullanır. Aritmetik ortalama gibi, basit ve ağırlıklı olabilir.

Ortalama ile birlikte varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.

Moda - Bu, çalışılan popülasyonda en sık tekrarlanan bir özelliğin (seçenek) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip varyantın değeri olacaktır.

Eşit aralıklı aralıklı dağılım serileri için mod, aşağıdaki formülle belirlenir:

nerede
- modu içeren aralığın ilk değeri;

- mod aralığının değeri;

- mod aralığının sıklığı;

- moddan önceki aralığın sıklığı;

kipi izleyen aralığın frekansıdır.

Medyan - bu, varyasyon serisinin ortasında bulunan bir varyanttır. Dağılım serisi kesikliyse ve tek sayıda üyeye sahipse, medyan sıralı satırın ortasında yer alan seçenek olacaktır (sıralı bir satır, popülasyon birimlerinin artan veya azalan düzende düzenlenmesidir).

İstatistikte, iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:

Güç ortalamaları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ortalama kare, kübik ortalama);

Yapısal araçlar (moda, medyan).

Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerler kullanılmalıdır. Moda ve medyan sadece dağılım yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda genellikle ortalama bir özellik olarak kullanılır.

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama Bir özelliğin anlamı, özelliğin tüm değerlerinin toplamı popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılırsa, popülasyonun her biriminin sahip olacağı anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen özelliğin tüm değerlerinin toplamına ve elde edilen toplamın popülasyondaki toplam birim sayısına bölünmesine indirgenir. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir sipariş verirken, ilki 5 parça, ikincisi - 7, üçüncü - 4, dördüncü - 10, beşinci - 12. İlk verilerde her birinin değeri belirlemek için seçenek yalnızca bir kez karşılaşıldı.

Bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit bir aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:

yani, örneğimizde, bir işçinin ortalama çıktısı eşittir

Basit aritmetik ortalama ile birlikte çalışırlar. ağırlıklı aritmetik ortalamaÖrneğin, yaşları 18 ile 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin yaş ortalamasını hesaplayalım. xi- ortalama özelliğin varyantları, fi- kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans ben toplam değer (Tablo 5.1).

Tablo 5.1

Öğrencilerin ortalama yaşı

Aritmetik ağırlıklı ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmek için belirli bir kural vardır: biri için hesaplanması gereken iki gösterge hakkında bir dizi veri varsa

ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri bilinmektedir ve payın değerleri bilinmemektedir, ancak bu göstergelerin ürünü olarak bulunabilir, daha sonra ortalama değer aritmetik ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanmalıdır.

Bazı durumlarda, ilk istatistiksel verilerin doğası öyledir ki, aritmetik ortalamanın hesaplanması anlamını kaybeder ve tek genelleştirici gösterge yalnızca başka bir tür ortalama olabilir - ortalama harmonik.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak tanıtılmasıyla bağlantılı olarak genelleştirici istatistiksel göstergeleri hesaplarken alaka düzeyini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen ortalama harmonik değer büyük pratik önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine bölüm bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü.

Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/s hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/s hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak 360 km'lik tüm yolculuk boyunca bir arabanın ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler bireysel bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/s ve X2= 75 km / s ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleridir, o zaman seçeneklerin ağırlıklara göre ürünlerinin ne fiziksel ne de ekonomik anlamı olmayacaktır. Bu durumda, yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi), yani yolun ayrı bölümlerinin geçişi için harcanan zaman (fi / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse, yolun tamamı Fi olarak ifade edilir ve yolun tamamında harcanan zaman - nasıl? fi / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam zamana bölünmesinin bölümü olarak bulunabilir:

Örneğimizde şunu elde ederiz:

Tüm seçeneklerin (f) ortalama harmonik ağırlıklarını kullanırken eşitse, ağırlıklı olanın yerine kullanabilirsiniz. basit (ağırlıksız) harmonik ortalama:

burada xi bireysel seçeneklerdir; n- ortalama özelliğin varyantlarının sayısı. Hızlı örnekte, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.

Herhangi bir ortalama değer, ortalaması alınmış özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, ortalamalı göstergeyle ilişkili bazı nihai, genelleştirici göstergenin değeri değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. Bu nedenle, yolun tek tek bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerleriyle (ortalama hız) değiştirirken toplam mesafe değişmemelidir.

Ortalama değerin formu (formülü), bu son göstergenin ortalama ile ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken nihai gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalamanın formülünü elde etmek için, ortalama göstergenin belirleyici olanla ilişkisini kullanarak bir denklem oluşturmanız ve çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalama özniteliğin (gösterge) değişkenlerinin ortalama değerleriyle değiştirilmesiyle oluşturulur.

Aritmetik ortalama ve harmonik ortalamaya ek olarak, istatistikte ortalamanın diğer türleri (formları) kullanılır. Hepsi özel durumlar. güç yasası ortalaması. Aynı veriler için her türlü güç yasası ortalamasını hesaplarsak, o zaman değerler

aynı olacaklar, burada kural geçerlidir büyük rütbeler orta. Ortalamaların üssündeki bir artışla, ortalama değerin kendisi de artar. Çeşitli güç yasası ortalama değerlerinin hesaplanması için pratik araştırmalarda en sık kullanılan formüller Tablo'da sunulmuştur. 5.2.

Tablo 5.2

Güç ortalamaları türleri

Mevcut olduğunda geometrik ortalama uygulanır. n büyüme faktörleri, özelliğin bireysel değerleri, kural olarak, dinamikler dizisindeki her seviyenin bir önceki seviyesi ile bir ilişki olarak, zincir miktarları şeklinde inşa edilen dinamiklerin göreceli değerleri iken . Ortalama böylece ortalama büyüme oranını karakterize eder. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır

formül geometrik ağırlıklı ortalama buna benzer:

Verilen formüller aynıdır, ancak biri mevcut oranlarda veya büyüme oranlarında, ikincisi ise seri seviyelerinin mutlak değerlerinde uygulanır.

Kök kare ortalama kare fonksiyonların değerleri ile hesaplanırken kullanılır, dağılım serilerinde aritmetik ortalama etrafındaki bir özelliğin bireysel değerlerinin değişkenlik derecesini ölçmek için kullanılır ve formül ile hesaplanır

Ağırlıklı ortalama kare farklı bir formül kullanılarak hesaplanır:

ortalama kübik kübik fonksiyonların değerleri ile hesaplanırken kullanılır ve formül ile hesaplanır

ağırlıklı ortalama kübik:

Yukarıda tartışılan tüm ortalamalar genel bir formül şeklinde sunulabilir:

ortalama değer nerede; - bireysel değer; n- incelenen popülasyonun birim sayısı; k Ortalamanın türünü belirleyen bir üsteldir.

Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, daha fazla k güç yasası ortalamasının genel formülünde, ortalama değer ne kadar büyükse. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında düzenli bir ilişki olduğu sonucuna varılır:

Yukarıda açıklanan ortalama değerler, çalışılan toplam hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan teorik, uygulamalı ve bilişsel değerleri tartışılmaz. Ancak, ortalamanın değerinin gerçekten mevcut seçeneklerin hiçbiriyle çakışmadığı görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde dikkate alınan ortalamalara ek olarak, oldukça fazla yer kaplayan belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. bir özelliğin sıralı (sıralı) bir dizi değerdeki kesin konumu. Bu değerler arasında en yaygın olanı; yapısal, veya açıklayıcı, orta- mod (Mo) ve medyan (Me).

Moda- belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Varyasyon serileri ile ilgili olarak, mod, sıralanmış serilerin en sık görülen değeridir, yani en yüksek frekansa sahip varyanttır. Moda, hangi mağazaların daha sık ziyaret edildiğini, bir ürün için en yaygın fiyatı belirlemek için kullanılabilir. Nüfusun önemli bir bölümünün özelliğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.

burada x0 aralığın alt sınırıdır; H- aralığın boyutu; FM- aralık frekansı; fm_ 1 - önceki aralığın sıklığı; FM + 1 - bir sonraki aralığın sıklığı.

Medyan sıralı satırın ortasında bulunan varyant olarak adlandırılır. Medyan, satırı her iki tarafında aynı sayıda nüfus birimi bulunacak şekilde iki eşit parçaya böler. Aynı zamanda, nüfusun birimlerinin yarısında, değişen özelliğin değeri medyandan daha az, diğerinde - ondan daha fazladır. Medyan, değeri dağıtım serisinin öğelerinin yarısından büyük veya ona eşit veya aynı anda daha az veya ona eşit olan bir öğeyi incelerken kullanılır. Medyan, özelliğin değerlerinin nerede yoğunlaştığı, başka bir deyişle merkezlerinin nerede olduğu hakkında genel bir fikir verir.

Medyanın tanımlayıcı niteliği, nüfus birimlerinin yarısının sahip olduğu değişen nitelik değerlerinin nicel sınırını karakterize etmesi gerçeğinde kendini gösterir. Kesikli bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemini çözmek kolaydır. Dizinin tüm birimlerine sıra sayıları atarsak, ortanca değişkenin sıra sayısı (n + 1) / 2 olarak tanımlanır ve tek sayıda n üye bulunur. Dizinin üye sayısı çift sayı ise , o zaman medyan, sıra sayılarıyla iki seçeneğin ortalaması olacaktır. n/ 2 ve n/ 2 + 1.

Aralık varyasyon serilerinde medyan belirlenirken öncelikle içinde bulunduğu aralık (medyan aralık) belirlenir. Bu aralığın özelliği, birikmiş frekansların toplamının, serinin tüm frekanslarının yarı toplamına eşit veya onu geçmesidir. Aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

nerede X0- aralığın alt sınırı; H- aralığın boyutu; FM- aralık frekansı; F- dizinin üye sayısı;

m -1 - bundan önceki dizinin birikmiş üyelerinin toplamı.

Ortanca ile birlikte, incelenen popülasyonun yapısının daha eksiksiz bir karakterizasyonu için, sıralanmış seride oldukça kesin bir konuma sahip olan seçeneklerin diğer değerleri kullanılır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler ve ondalık.Çeyrekler, serileri frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya, ondalıklar ise 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık vardır.

Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişen özniteliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları söndürmez ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada, genellikle ortalamanın yerine veya ortalamanın yanında kullanılırlar. Çalışılan popülasyonun değişken özelliğin çok büyük veya çok küçük bir değerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Seçeneklerin toplam değerleri için çok karakteristik olmayan, aritmetik ortalamanın değerini etkileyen bunlar, medyan ve modun değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel analiz için çok değerli göstergeler yapar.

İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamayı seçmenin gerekli olduğu çeşitli araştırma görevleri belirlenebilir. Bu durumda, aşağıdaki kurala göre hareket etmek gerekir: Ortalamanın payını ve paydasını temsil eden değerler mantıksal olarak ilişkili olmalıdır.

• güç ortalamaları;
• yapısal ortalamalar.

Aşağıdaki sözleşmeleri tanıtalım:

Ortalaması hesaplanan değerler;

Ortalama, yukarıdaki satır tek tek değerlerin ortalamasının alındığını gösterir;

Frekans (bir özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlanabilirliği).

Genel güç ortalaması formülünden çeşitli ortalamalar elde edilir:

(5.1)

k = 1 için - aritmetik ortalama; k = -1 - ortalama harmonik; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - kök-ortalama-kare.

Ortalama değerler basit ve ağırlıklıdır.

Ağırlıklı ortalamalarözelliğin değerlerinin bazı varyantlarının, her seçeneğin bu sayı ile çarpılması gerektiği ile bağlantılı olarak farklı sayılara sahip olabileceğini dikkate alan değerleri çağırırlar. Başka bir deyişle, "ağırlıklar", popülasyonun farklı gruplardaki birimlerinin sayılarıdır, yani. her seçenek frekansına göre "ağırlıklandırılır". f frekansına istatistiksel ağırlık veya ortalama ağırlık.

İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştiği biliniyor, satılan hisse sayısı satış oranından şu şekilde dağıtıldı:

1 - 800 ac. - 1010 ruble.

2 - 650 ac. - 990 ruble.

3-700 ac. - 1015 ruble.

4 - 550 ac. - 900 ruble.

5 - 850 ac. - 1150 ruble.

Ortalama hisse fiyatını belirlemek için ilk oran, toplam işlem tutarının (OSS) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır:

ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700 + 900 · 550 + 1150 · 850 = 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3550.

Bu durumda, ortalama hisse senedi fiyatı şuydu:

Hem kullanımı hem de hesaplanması için çok önemli olan aritmetik ortalamanın özelliklerini bilmek gerekir. İstatistiksel ve ekonomik hesaplamalarda aritmetik ortalamanın yaygın kullanımını en çok belirleyen üç ana özellik vardır.

Mülk bir (sıfır): Bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerinden pozitif sapmalarının toplamı, negatif sapmaların toplamına eşittir. Bu çok önemli bir özelliktir, çünkü rastgele sebeplerden kaynaklanan herhangi bir sapmanın (hem c + hem de c -) karşılıklı olarak iptal edileceğini gösterir.

Kanıt:

İkinci özellik (en az): özelliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamı, diğer herhangi bir sayıdan (a), yani. minimum sayı vardır.

Kanıt.

a değişkeninden sapmaların karelerinin toplamını oluşturalım:

(5.4)

Bu fonksiyonun ekstremumunu bulmak için türevini a'ya göre sıfıra eşitlemek gerekir:

Buradan şunu elde ederiz:

(5.5)

Sonuç olarak, karesel sapmaların toplamının uç noktasına ulaşılır. Bu ekstremum bir minimumdur, çünkü fonksiyonun bir maksimumu olamaz.

Mülkiyet üçüncü: sabit bir değerin aritmetik ortalaması şu sabite eşittir: a = const.

Aritmetik ortalamanın bu en önemli üç özelliğine ek olarak, tasarım özellikleri elektronik bilgi işlem teknolojisinin kullanımıyla bağlantılı olarak giderek önemini yitiren:

• her birimin özniteliğinin bireysel değeri sabit bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, aritmetik ortalama aynı miktarda artacak veya azalacaktır;
• aritmetik ortalama, her bir öznitelik değerinin ağırlığı (sıklığı) sabit bir sayıya bölünürse değişmeyecektir;
• her birimin özniteliğinin bireysel değerleri aynı miktarda azalır veya artarsa, aritmetik ortalama aynı miktarda azalır veya artar.

ortalama harmonik... Bu ortalama, k = -1 olduğunda bu değer kullanıldığından, ters aritmetik ortalama olarak adlandırılır.

Basit ortalama harmonik karakteristik değerlerin ağırlıkları aynı olduğunda kullanılır. Formülü, k = -1 ile değiştirilerek temel formülden türetilebilir:

Örneğin, aynı yolda ancak farklı hızlarda seyahat eden iki arabanın ortalama hızını hesaplamamız gerekiyor: ilki 100 km/s'de, ikincisi 90 km/s'de.

Harmonik ortalama yöntemini kullanarak ortalama hızı hesaplıyoruz:

İstatistiksel uygulamada, formülü şu şekilde olan harmonik ağırlıklı daha sık kullanılır:

Bu formül, her bir öznitelik için ağırlıkların (veya fenomen hacimlerinin) eşit olmadığı durumlarda kullanılır. Ortalamayı hesaplamak için orijinal oranda, pay bilinir, ancak payda bilinmiyor.

Örneğin ortalama fiyatı hesaplarken satılan miktarın satılan adet sayısına oranını kullanmalıyız. Satılan birimlerin sayısını bilmiyoruz (farklı mallardan bahsediyoruz), ancak bu farklı malların satış miktarını biliyoruz.

Satılan malların ortalama fiyatını bilmek istediğinizi varsayalım:

alırız

Buradaki aritmetik ortalama formülünü kullanırsanız, gerçekçi olmayacak ortalama fiyatı elde edebilirsiniz:

geometrik ortalama... Çoğu zaman, geometrik ortalama, özelliğin bireysel değerleri göreceli değerler şeklinde sunulduğunda, ortalama büyüme oranlarını (ortalama büyüme oranları) belirlemede uygulamasını bulur. Bir özelliğin minimum ve maksimum değerleri arasındaki ortalamayı (örneğin 100 ile 1.000.000 arasında) bulmak istediğinizde de kullanılır. Basit ve ağırlıklı geometrik ortalama için formüller vardır.

Basit geometrik ortalama için:

Ağırlıklı geometrik ortalama için:

Kök kare ortalama... Ana uygulama alanı, bir özelliğin toplamdaki varyasyonunu ölçmektir (standart sapmanın hesaplanması).

Basit kök ortalama kare formülü:

Ağırlıklı kök ortalama kare formülü:

(5.11)

Sonuç olarak, istatistiksel araştırma problemlerinin başarılı bir şekilde çözülmesinin, her bir özel durumda ortalama değer türünün doğru seçimine bağlı olduğunu söyleyebiliriz.

Ortalamanın seçimi aşağıdaki sırayı varsayar:

a) nüfusun genelleştirilmiş bir göstergesinin oluşturulması;

b) belirli bir genelleme göstergesi için değerlerin matematiksel oranının belirlenmesi;

c) bireysel değerlerin ortalama değerlerle değiştirilmesi;

d) uygun denklem kullanılarak ortalamanın hesaplanması.

Ortalama değerler hakkında konuşmaya başladıklarında, genellikle okuldan nasıl mezun olduklarını ve bir eğitim kurumuna nasıl girdiklerini hatırlarlar. Ardından, sertifikaya göre ortalama puan hesaplandı: tüm notlar (hem iyi hem de çok iyi değil) toplandı, elde edilen miktar sayılarına bölündü. Basit aritmetik ortalama olarak adlandırılan ortalamanın en basit şekli bu şekilde hesaplanır. Uygulamada, istatistikte çeşitli ortalama türleri kullanılır: aritmetik, harmonik, geometrik, ikinci dereceden, yapısal ortalamalar. Verilerin doğasına ve çalışmanın amaçlarına bağlı olarak türlerinden biri veya diğeri kullanılır.

ortalama değer Değişen işaretlerden birine göre aynı türden bir dizi fenomenin genelleme özelliğinin verildiği en yaygın istatistiksel göstergedir. Popülasyonun birimi başına özelliğin seviyesini gösterir. Ortalama değerlerin yardımıyla, değişen özelliklere göre çeşitli toplamların bir karşılaştırması yapılır, fenomenlerin gelişim kalıpları ve sosyal yaşam süreçleri incelenir.

İstatistikte iki sınıf araç kullanılır: güç (analitik) ve yapısal. Sonuncusu, varyasyon serilerinin yapısını karakterize etmek için kullanılır ve daha sonra Ch'de tartışılacaktır. sekiz.

Güç ortalamaları grubu, aritmetik ortalama, harmonik, geometrik, ikinci dereceden içerir. Hesaplamaları için bireysel formüller, tüm güç ortalamalarında ortak bir forma indirgenebilir, yani

burada m, güç yasası ortalamasının üssüdür: m = 1 için aritmetik ortalamayı hesaplamak için formülü elde ederiz, m = 0 için - geometrik ortalama, m = -1 - harmonik ortalama, m = 2 ile - ortalama kare;

x i - seçenekler (özniteliğin aldığı değerler);

f ben - frekanslar.

İstatistiksel analizde güç ortalamalarının kullanılabileceği ana koşul, nicel değerlerinde keskin bir şekilde farklılık gösteren ilk verileri içermemesi gereken popülasyonun homojenliğidir (literatürde bunlara anormal gözlemler denir).

Bu durumun önemini aşağıdaki örnekle gösterelim.

Örnek 6.1. Küçük bir işletmenin çalışanlarının ortalama maaşını hesaplayalım.

Ortalama ücreti hesaplamak için, işletmenin tüm çalışanlarına tahakkuk eden ücretleri toplamak (yani bordroyu bulmak) ve çalışan sayısına bölmek gerekir:

Ve şimdi toplamımıza sadece bir kişiyi (bu işletmenin yöneticisi) ekleyeceğiz, ancak 50.000 ruble maaşla. Bu durumda, hesaplanan ortalama tamamen farklı olacaktır:

Gördüğünüz gibi, 7.000 rubleyi aşıyor, vb. tek bir gözlem dışında, özelliğin tüm değerlerinden daha büyüktür.

Pratikte bu tür durumların olmaması ve ortalamanın anlamını kaybetmemesi için (Örnek 6.1'de olması gereken popülasyonun genelleyici bir özelliği rolünü artık yerine getirmiyor), ortalama, anormal, Keskin bir şekilde ayırt edilen gözlemler, bunu yaparak analiz ve konulardan hariç tutulmalı veya hariç tutulmalı, popülasyonu homojen hale getirmeli veya popülasyonu homojen gruplara ayırıp her grup için ortalama değerleri hesaplayıp genel ortalamayı değil, grup ortalamalarını analiz etmelidir. .

6.1. Aritmetik ortalama ve özellikleri

Aritmetik ortalama, basit veya ağırlıklı bir değer olarak hesaplanır.

Örnek 6.1'deki tabloya göre ortalama ücreti hesaplarken, özelliğin tüm değerlerini topladık ve sayılarına böldük. Hesaplamalarımızın seyrini basit bir aritmetik ortalama için bir formül şeklinde yazıyoruz.

nerede x ben - seçenekler (özelliğin bireysel değerleri);

n, toplamdaki birim sayısıdır.

Örnek 6.2. Şimdi örnek 6.1'deki tablodan verilerimizi gruplayalım. Ücret düzeyine göre ayrı bir varyasyonel işçi dağılımı serisi oluşturalım. Gruplandırma sonuçları tabloda sunulmaktadır.

Ortalama ücret düzeyini daha kompakt bir biçimde hesaplamak için bir ifade yazalım:

Örnek 6.2'de aritmetik ağırlıklı ortalama formülü uygulandı

nerede f ben - popülasyonun birimlerinin x i y özniteliğinin değerinin kaç kez oluştuğunu gösteren frekanslar.

Aritmetik ağırlıklı ortalamayı aşağıda gösterildiği gibi tablodan hesaplamak uygundur (Tablo 6.3):

Basit aritmetik ortalamanın, verilerin gruplanmadığı veya gruplandırılmadığı, ancak tüm frekansların eşit olduğu durumlarda kullanıldığına dikkat edilmelidir.

Genellikle gözlem sonuçları bir aralık dağılım serisi şeklinde sunulur (bakınız örnek 6.4'teki tablo). Daha sonra ortalama hesaplanırken aralıkların orta noktaları x i olarak alınır. İlk ve son aralıklar açıksa (sınırlardan birine sahip değilse), o zaman geleneksel olarak "kapalıdırlar", bitişik aralığın değerini bu aralığın değeri olarak alırlar vb. birincisi, ikincisinin değerine göre kapatılır ve sonuncusu - sondan bir öncekinin değerine göre.

Örnek 6.3. Nüfus gruplarından birinin örnek bir araştırmasının sonuçlarına dayanarak, kişi başına ortalama para gelirinin büyüklüğünü hesaplayacağız.

Yukarıdaki tabloda birinci aralığın ortası 500'dür. Gerçekten de ikinci aralığın değeri 1000'dir (2000-1000); daha sonra birincinin alt sınırı 0 (1000-1000) ve ortası 500'dür. Son aralıkta da aynısını yapıyoruz. Ortası olarak 25.000 alıyoruz: sondan bir önceki aralığın değeri 10.000 (20.000-10.000), daha sonra üst sınırı 30.000 (20.000 + 10.000) ve ortası sırasıyla 25.000'dir.

O zaman kişi başına ortalama aylık gelir