Skaler ürün vektörleri

Vektörlerle başa çıkmaya devam ediyoruz. İlk derste Çaydanlıklar için Vektörler Vektör, vektörler, vektörler, vektör koordinatları ve vektörler ile en basit görevlere baktık. Bu sayfayı ilk kez arama motorundan girdiyseniz, yukarıdaki tanıtım makalesini okumanızı şiddetle tavsiye ederim, çünkü benim tarafımdan kullanılan terimlerin gezinmesi gerektiğinden, vektörler hakkında temel bilgilere sahip olmak ve mümkün olmak için gereklidir. temel görevleri çözmek için. Bu ders konunun mantıklı bir devamıdır ve bunun üzerine, vektörlerin skaler ürününün kullanıldığı tipik görevleri tanımlayacağım. Bu çok önemli bir meslek.. Örnekleri kaçırmaya çalışın, kullanışlı bir bonus, onlara bağlıdır - uygulama, analitik geometrinin ortak görevlerini çözmek için materyalin geçtiği ve "eli doldur" yapmanıza yardımcı olacaktır.

Vektörlerin eklenmesi, vektör ile çarpma .... Matematiğin başka bir şeyden gelmediğini düşünmek saf olurdu. Zaten gözden geçirilen eylemlere ek olarak, yani vektörlerle bir dizi başka işlem var. skaler ürün vektörleri, vektör sanat vektörel çizimler ve karışık vektörler. Vektörlerin skaler ürünü bize okuldan tanıdık, diğer iki eser geleneksel olarak daha yüksek matematik seyrini ifade eder. Temalar basittir, stemin birçok görevini çözmek için algoritma ve anlaşılabilir. Sadece bir şey. Bilgi terbiyelidir, bu yüzden her şeyi ustalaşmaya çalışmak istenmez. Bu özellikle çaydanlıklar için doğrudur, inan bana, yazar matematiğin Chikatilo hissetmek istemiyor. Peki, matematikten değil, tabii ki, \u003d) daha hazırlanmış öğrenciler, materyalleri seçici olarak, belirli bir anlamda, "eksik bilgiyi almak için, sizin için zararsız bir grafik olacağım, Dracula \u003d)

Açacağız, nihayet, kapı ve tutkuyla, iki versiyon birbiriyle tanıştığında ne olacağını göreceğiz ....

Vektörlerin bir skaler ürününün tanımı.
Skaler ürünün özellikleri. Tipik görevler

Skaler iş kavramı

İlk profesyonel Vektörler arasında açı. Bence herkes, vektörler arasında böyle bir açının, ancak sadece biraz daha olması durumunda sezgiseldir. Free sıfır olmayan vektörler ve. Bu vektörleri isteğe bağlı bir noktadan erteleyseniz, çoğunun zaten zihinsel olarak sunduğu resmi ortaya çıkar.

İtiraf ettim, burada durumu sadece anlayış düzeyinde özlüyorum. Vektörler arasındaki açının sıkı bir tanımına ihtiyacınız varsa, lütfen pratik görevler için lütfen ders kitabına başvurun, hiçbir şey için prensiptir. Ayrıca bundan sonra, küçük pratik önemi nedeniyle sıfır vektörleri yoksayacak yerlerde olacağım. Rezervasyon, özellikle bazı sonraki ifadelerin teorik olarak eksiksizliğinde beni suçlayabilen gelişmiş site ziyaretçileri için yapılmıştır.

0 ila 180 derece (0'dan radyansa kadar) değerleri dahil edebilir. Analitik olarak bu gerçek, çift eşitsizlikler biçiminde kaydedilir: veya (radyan cinsinden).

Literatürde, açı simgesi genellikle skip ve yazar.

Tanım: İki vektörün skaler ürünü, aralarındaki köşenin kosinüsündeki bu vektörlerin ürününe eşit sayı olarak adlandırılır:

Bu şimdi oldukça katı bir tanım.

Temel bilgilere odaklanıyoruz:

Tanımlama: Skaler ürün veya basitçe belirtilmiştir.

İşlemin sonucu bir sayıdır: Vektör vektör tarafından çarpılır ve sayı elde edilir. Aslında, vektörlerin uzunlukları sayılar, açının kosinüsü - sayı, sonra çalışmaları Ayrıca bir numara da olacak.

Hemen birkaç ısınma örneği:

Örnek 1.

Karar: Formülü kullanıyoruz . Bu durumda:

Cevap:

Kosinüs değerleri bulunabilir trigonometrik masa. Yazdırmayı öneririm - kulenin hemen hemen tüm bölümlerinde gerekli olacak ve birçok kez gerekecek.

Tamamen matematiksel bir bakış açısıyla skaler ürün boyutsuzca, yani bu durumda, bu durumda, sadece sayıdır ve bu. Fizik görevlerinin bakış açısına göre, skaler ürününün her zaman belirli bir fiziksel anlamı vardır, yani sonuçtan sonra belirli bir fiziksel birim belirtmeniz gerekir. Kuvvet çalışmalarının hesaplanmasının kanonik örneği herhangi bir ders kitabında bulunabilir (formül tam olarak bir skaler üründür). Güç çalışması joule cinsinden ölçülür, bu nedenle cevap, örneğin, örneğin, oldukça özel olarak kaydedilecektir.

Örnek 2.

Bul ve vektörler arasındaki açı eşittir.

Bu, bağımsız bir karar için bir örnek, dersin sonundaki cevabı.

Vektörler ve skaler ürünün değeri arasındaki açı

Örnek 1'de, skaler ürünü pozitifti ve Örnek 2 - negatif. Skaler ürününün işaretinin ne olduğuna neden olduğunu öğrenin. Bizim formüle bakıyoruz: . Sıfırsız vektörlerin uzunlukları her zaman pozitifdir: bu nedenle işaret sadece kosinüs değerine bağlı olabilir.

Not: Aşağıdaki bilgilerin daha iyi anlaşılması için, yöntemlerdeki kosinüs takvimini keşfetmek daha iyidir. İşlevin çizelgeleri ve özellikleri. Segmentteki kosininin nasıl davrandığını görün.

Daha önce belirtildiği gibi, vektörler arasındaki açı değişebilir Ve aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğer açı Vektörler arasında akut: (0 ila 90 derece), sonra , BEN. skaler ürün olumlu olacak sondajlıAralarındaki köşe sıfır olarak kabul edilir ve skaler ürünü de olumlu olacaktır. O zamandan beri, formül basitleştirildi:.

2) Eğer açı Vektörler arasında aptal: (90 ila 180 dereceden) ve buna göre, skaler ürün negatif:. Özel Durum: Vektörler zıt yönlendirildiSonra aralarındaki köşe kabul edilir ayrıldı: (180 derece). Skaler ürün de olumsuz çünkü

Fuar ve İade İlişkileri:

1) Eğer, vektörlerin verileri arasındaki açı keskindir. Alternatif olarak, vektörler kaplanmıştır.

2) Veri vektörleri arasındaki açı aptalca ise. Alternatif olarak, vektörler tersidir.

Ancak üçüncü dava özellikle ilgi:

3) Eğer açı Vektörler arasında düz: (90 derece), o zaman skaler ürün sıfırdır:. Karşılıklar da doğrudur: eğer, sonra. Kompakt ifade aşağıdaki gibi formüle edilmiştir: İki vektörün skaler ürünü sıfırdır ve sadece bu vektörler ortogonal ise. Kısa matematiksel kayıt:

K! Not : Tekrar et matematiksel Mantık Temelleri: İki yönlü bir mantıksal sonuç simgesi genellikle "eğer ve sadece sonra", "içinde ve sadece durumunda" okur. Gördüğünüz gibi, oklar her iki tarafa da yönlendirilir - "bu bundan takip eder ve bundan sonra takip eder." Bu arada, tek taraflı olan simgesinin farkı nedir? Simge onayladı sadece bu"Bu bundan takip ediyor", bunun tersi doğru olmadığı gerçeği değil. Örneğin: ama her canavar bir panter değildir, bu durumda simgeyi kullanmak imkansızdır. Aynı zamanda, simge yerine yapabilmek Tek yönlü bir simge kullanın. Örneğin, görevi çözme, vektörlerin ortogonal olduğu sonucuna vardığımızı öğrendik: - Böyle bir kayıt doğru olacak ve daha da ilgili olacaktır. .

Üçüncü durumda, büyük pratik önemi var.Çünkü kontrol etmenizi, ortogonal vektörleri veya olmamanızı sağlar. Bu görevi, dersin ikinci bölümünde çözeriz.

Skaler bir parçanın özellikleri

İki versiyon olduğunda duruma geri dönelim sondajlı. Bu durumda, aralarındaki açı sıfırdır ve skaler ürününün formülü formu alır :.

Ve vektör kendinize çarpılırsa ne olacak? Vektörin kendisiyle kaplandığı açıktır, bu yüzden yukarıdaki basitleştirilmiş formülü kullanırız:

Sayı denir skaler kare Vektör ve olarak adlandırılır.

Böylece, Vektör Skaler Meydanı, bu vektörün uzunluğunun karesine eşittir:

Bu eşitlikten, vektörün uzunluğunu hesaplamak için bir formül alabilirsiniz:

Kesintisiz görünürken, ancak dersin görevleri hepsi yerine kaybolur. Sorunları çözmek için, biz de ihtiyacımız olacak skaler bir parçanın özellikleri.

Keyfi vektörler ve herhangi bir sayı için, aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1) - Hareket veya taşkınlık Skaler çalışmanın yasası.

2) - Dağıtım veya dağıtım Skaler çalışmanın yasası. Basitçe, parantezleri ifşa edebilirsiniz.

3) - Nefes alabilir veya ilişkisel Skaler çalışmanın yasası. Sabit skaler ürününden çıkarılabilir.

Genellikle, öğrenciler tarafından yalnızca sınavın güvenli bir şekilde unutulmasından hemen sonra gönderilmesi gereken gereksiz çöpler olarak algılanan her türlü mülk (hala gereklidir!). Burada önemli olduğu görülüyor, her şey ve böylece birinci sınıftan işin çarpıcıların permütasyonundan geçmediğini biliyor. Uyarmalı, daha yüksek matematikte benzer bir yaklaşımla yakacak odun bloke etmek kolaydır. Yani, örneğin, geçiş özelliği için adil değil cebirsel matrisler. Bunun için yanlış vektör sanat vektörel çizimler. Bu nedenle, daha yüksek matematik sürecinde buluşacağınız herhangi bir özellikte, en azından ne yapabileceğinizi anlamak için delmek daha iyidir, ancak neden imkansızdır.

Örnek 3.

.

Karar:İlk önce, vektör ile durumu netleştirin. NEDİR? Vektörlerin toplamı, gösterilen tamamen tanımlanmış bir vektördür. Vektörler ile yapılan eylemlerin geometrik yorumu makalede bulunabilir. Çaydanlıklar için Vektörler. Bir vektör ile aynı maydanoz, vektörlerin toplamıdır ve.

Bu nedenle, durumla, bir skaler bir ürün bulmak gerekir. Teoride, çalışma formülünü uygulamanız gerekir. Ancak sorun, vektörlerin uzunluğu ve aralarındaki açıyla bilinmemiz. Ancak, vektörler için benzer parametreler verilen durumda, bu yüzden farklı şekillerde gideceğiz:

(1) Biz vektörlerin ifadesini değiştiriyoruz.

(2) Polynomların çoğalması kuralına göre braketleri açığa çıkarın, makalede bir büyü bulabilirsiniz. Karışık sayılar veya Kesirli bir rasyonel fonksiyonu entegre etmek. Bu arada tekrar etmeyeceğim, bu arada, parantezleri bize skaler ürünün tüm dağıtım özelliğini ortaya çıkarmak için. Doğru var.

(3) İlk ve son dönemde, vektörlerin skaler kareleri kompakt: . İkincisinde, skaler ürünün yeniden düzenlenmesini kullanıyoruz :.

(4) Benzer terimler veriyoruz :.

(5) Birinci dönemde, çok uzun zaman önce belirtilen bir Skaler Meydanı formülünü kullanıyoruz. Son dönemde, buna göre, aynı şey çalışır :. İkinci terim standart formüle göre genişliyor .

(6) Bu koşulları değiştiriyoruz ve dikkatlice son hesaplamaları gerçekleştirir.

Cevap:

Skaler ürünün olumsuz değeri, vektörler arasındaki açının kör olduğunu belirtir.

Tipik görev, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 4.

Vektörlerin bir skaler ürünü bulun ve eğer bunu biliyorsanız .

Şimdi başka bir ortak görev sadece yeni bir vektör uzunluğu formülü. Buradaki atamalar biraz çakışacak, böylece netlik için başka bir mektupla yeniden yazacağım:

Örnek 5.

Vektörün uzunluğunu bulun .

Karar Aşağıdaki gibi olacak:

(1) Vektörin ifadesini tedarik ediyoruz.

(2) Uzunluk formülünü kullanarak:, "ve" olarak iken, bir tamsayı ifademiz var.

(3) Yaz özet özeti formülünü kullanıyoruz. Lütfen burayı nasıl merak ettiğini unutmayın: "Aslında, bu farkın bir karesidir ve aslında, bu." İsteyenler Vektörleri yerlerde yeniden düzenleyebilir: - Alkalilerin doğruluğu ile aynı şekilde ortaya çıktı.

(4) daha önce önceki iki görevden zaten aşinadır.

Cevap:

Uzunluktan bahsediyorsanız, "birimler" boyutunu belirlemeyi unutmayın.

Örnek 6.

Vektörün uzunluğunu bulun .

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Skaler üründen faydalı şeyleri sıkmaya devam ediyoruz. Yine formülümüze bakalım . Sol tarafın payında vektörlerin uzunluğunu sıfırlamak için orantılı bir kurallara göre:

Ve parçalar yerleri değiştirecek:

Bu formülün anlamı nedir? İki vektörün uzunlukları ve skaler ürünleri biliniyorsa, veri vektörleri arasındaki açının kosinüsü hesaplanabilir ve sonuç olarak, açının kendisidir.

Skaler ürün bir sayı mı? Numara. Vektör uzunluğu - sayılar? Sayılar. Böylece, kesir de bir sayıdır. Ve köşenin kosinüsü biliniyorsa: , Ters işlevi kullanarak bir açıyla bulmak kolaydır: .

Örnek 7.

Vektörler arasındaki açı bulun ve eğer biliniyorsa.

Karar: Formülü kullanıyoruz:

Hesaplamaların son aşamasında, teknik alım kullanıldı - paydamalitenin mezuniyetinin ortadan kaldırılması. İrrasyonaliteyi ortadan kaldırmak için, Nizer ve paydayı açtım.

Öyleyse, eğer , sonra:

Ters trigonometrik fonksiyonların değerleri tarafından bulunabilir trigonometrik masa. Nadiren olmasına rağmen. Analitik geometrinin görevlerinde, bir çeşit belirsiz ayı çok daha sık görünmektedir ve açı değerinin yaklaşık olarak hesap makinesini kullanarak bulmak zorundadır. Aslında, hala böyle bir resmi tekrarlayacağız.

Cevap:

Yine, boyutları - radyan ve dereceleri göstermeyi unutmayın. Şahsen, "Tüm soruları kaldırmayı" emin olacağım, hem bu durumun, tabii ki, tabii ki, cevabı yalnızca radyolarda ya da sadece derecelerde sunmak gerekli değilse) emin olacağından emin olacağım.

Şimdi daha karmaşık bir görevle başa çıkabilirsiniz:

Örnek 7 *

Danies - vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açı. Vektörler arasındaki açıyı bulun.

Görev, çoklu kadar karmaşık bile değil.
Çözüm algoritmasını analiz edeceğiz:

1) durumun altında vektörler arasındaki açıyı bulmak gerekir ve bu nedenle formülü kullanmanız gerekir. .

2) Skaler bir ürün bulun (bkz. 3, 4 numune örnekleri).

3) Vektörin uzunluğunu ve vektörün uzunluğunu buluruz (bkz. Örnek 5, 6).

4) Kararın sona ermesi Örnek 7 ile çakışıyor - sayıyı biliyoruz ve bu nedenle bir açının kendisi bulmak kolaydır:

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Dersin ikinci kısmı aynı skaler ürüne adanmıştır. Koordinatlar. İlk bölümden daha kolay olacaktır.

Vektörlerin skaler ürünü,
ortonormal bazda Koordinatlar sordu

Cevap:

Söyleyecek, koordinatlarla uğraşmak çok daha hoş.

Örnek 14.

Vektörlerin bir skaler ürünü bulun ve eğer

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Burada, işlemin ilişkisini kullanabilir, yani sayılmaz, ancak derhal ilk üçünü skaler ürünün dışına çıkarın ve sonuna kadar yükseltin. Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Vektörün uzunluğunun hesaplanmasında Paragraf kışkırtıcı örneğinin sonucunda:

Örnek 15.

Uzunluk vektörel çözüm bulmak , Eğer bir

Karar:Önceki bölümün yöntemi tekrar belirir: ama başka bir yol var:

Bir Vektör Bul:

Ve önemsiz formüldeki uzunluğu :

Skaler ürün burada değil.

Vektörin uzunluğunu hesaplarken yapmaz gibi değil:
Dur. Vektör uzunluğunun bariz özelliğinden faydalanmayın? Vektörin uzunluğu hakkında ne söylenebilir? Bu vektör 5 kez daha uzun vektör. Yön tersidir, ancak rol oynamıyor, çünkü uzunluk hakkında konuşun. Açıkçası, vektörün uzunluğu işe eşittir modül Vektörün uzunluğu için sayılar:
- "Yemek" modülünün işareti olası bir eksi numarası.

Böylece:

Cevap:

Koordinatlar tarafından belirlenen vektörler arasındaki açının kosinüs formülü

Şimdi, vektörlerin koordinatları aracılığıyla vektörler arasındaki Cosine Cosine formülünden daha önce türetilecek eksiksiz bilgilerimiz var:

Uçak vektörleri arasında kosinüs açısı ve ortonormal bazda belirtilen, formül eksprese edilir:
.

Uzay vektörleri arasında kosinüs açısı ortonormal bazda tanımlanır formül eksprese edilir:

Örnek 16.

Üçgenin üç köşesi verilir. Bul (üstteki açı).

Karar:Durumla, çizim gerekli değildir, ancak yine de:

İstenilen açı, yeşil bir yayla işaretlenmiştir. Hemen köşenin okul tanımını hatırlayın: - Özel dikkat orta Mektup, ihtiyacınız olan köşenin üstündeki. Kısalık için, basitçe kaydetmek de mümkündü.

Çizimden, üçgen açının vektörler arasındaki açıyla ve başka bir deyişle çakıştığı açıktır: .

Analiz tercihen zihinsel olarak gerçekleştirmeyi öğrenmektir.

Vektörleri Bul:

Skaler ürününü hesaplıyoruz:

Ve vektörlerin uzunluğu:

Kosinüs köşesi:

Çaydanlıkları öneren görevi gerçekleştirmek için bu prosedürdür. Daha hazırlanmış okuyucular "bir satır" hesaplamalarını kaydedebilir:

İşte "kötü" bir kosinüs değerine bir örnek. Elde edilen değer kesin değildir, bu nedenle paydaşa mantıksızlıktan kurtulmak için özel bir anlam yoktur.

Açı kendisini bulun:

Çizime bakarsanız, sonuç oldukça inanılırdır. Açıyı kontrol etmek için ayrıca ölçülebilir ve taşıyıcı. Monitör kaplamasına zarar vermeyin \u003d)

Cevap:

Cevap olarak, bunu unutma üçgenin köşesinde sordu (ve vektörler arasındaki açı hakkında değil), kesin cevabı belirtmeyi unutmayın: ve açının yaklaşık değeri: Hesap makinesini kullanarak bulundu.

Sürecin tadını çıkaranlar açıları hesaplayabilir ve kanonik eşitliğin adaleti olduğundan emin olabilirler.

Örnek 17.

Alan, köşelerinin üçgen koordinatları tarafından verilir. Taraflar arasındaki açı bulmak ve

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Küçük nihai bölüm, skaler ürünün de "dahil" olduğu projeksiyonlara ayrılacaktır:

Vektör projeksiyon vektör. Koordinat eksenlerinde vektörün projeksiyonu.
Kosinüs rehberleri vektör

Vektörleri düşünün ve:

Vektör üzerinde vektör, bunun için, vektörün başlangıcı ve bitişinden çıkma perpendikalar Vektörde (yeşil kesikli çizgiler). Işık ışınlarının dik olarak vektöre girdiğini hayal edin. Sonra segment (kırmızı çizgi) vektörün bir "gölge" olacaktır. Bu durumda, vektördeki vektör projeksiyon segmentin uzunluğudur. Yani, projeksiyon bir sayıdır.

Bu numara aşağıdaki gibi gösterilir: "Büyük vektör" vektörü gösterir HANGİSİ projeksiyon, "küçük bir substrat vektör" vektörünü gösterir ÜZERİNDE hangi yansıtılır.

Kayıt kendisi böyle okunur: "Vector" a "vektörün projeksiyonu."

Vektör olması "çok kısa" ise ne olur? Vektör olanı içeren düz bir çizgi yaptık. Ve "A" vektörü zaten yansıtılacak vektörin yönünde "olun"Basitçe - Vektör olanı içeren düz bir çizgide. Aynısı, "A" vektörünün krallığın otuzunda ertelenmesi durumunda gerçekleşir - hala vektörü içeren düz bir çizgiye kolayca dökün.

Köşe ise Vektörler arasında akut (Şekilde olduğu gibi), o zaman

Eğer vektörler dikey, daha sonra (projeksiyon bir nokta, boyutları sıfır olarak kabul edilir).

Köşe ise Vektörler arasında aptal(Şekilde, zihinsel olarak vektörün okunu yeniden düzenleyin), daha sonra (aynı uzunluk, ancak eksi işareti ile alınır).

Bu vektörleri bir noktadan erteleyeceğim:

Açıkçası, vektörü hareket ettirirken, projeksiyonu değişmez

Cevapları görebileceğiniz bağımsız bir çözüm için görevler olacaktır.

Vektörlerin görevi ve uzunluğu ise ve aralarındaki açı "mavi tahrikli bir daire üzerinde" sunulursa, sorunun durumu ve çözümü şöyle görünür:

Örnek 1.Vast vektörler. Aralarındaki uzunlukları ve açıları aşağıdaki anlamda sunulduysa, vektörlerin bir skaler ürünü bulun:

Başka bir tanım da tanımlanmış, tanım 1'e tam olarak eşdeğerdir.

Tanım 2.. Vektörlerin skaler ürünü, bu vektörlerin uzunluğunun uzunluğuna eşit, bu vektörlerin, belirtilen vektörlerin ilki tarafından belirlenen eksen üzerinde başka bir vektörün izdüşümündeki bu vektörlerin uzunluğuna eşittir. Tanım 2'ye göre formül:

Bu formülün kullanımına sahip görev, bir sonraki önemli teorik noktadan sonra çözülür.

Koordinatlar yoluyla vektörlerin skaler ürününün belirlenmesi

Değişken vektörler koordinatları tarafından belirlenirse aynı sayı elde edilebilir.

Tanım 3. Vektörlerin skaler ürünü, kendi koordinatlarının çift yönünün toplamına eşit bir sayıdır.

Yüzeyde

İki versiyon ve uçakta iki kişi tarafından tanımlanırsa kartezyen dikdörtgen koordinatları

bu vektörlerin skaler ürünü, kendi koordinatlarının çift yönünün toplamına eşittir:

.

Örnek 2.Vektör projeksiyonunun vektöre paralel eksen üzerindeki sayısal büyüklüğünü bulun.

Karar. Koordinatlarının çift yönündeki işlerini katlayarak, vektörlerin bir skaler ürünü buluruz:

Şimdi, vektör uzunluğunun vektörünün vektörün vektörünün vektörün vektörün vektörün vektörüne paralel vektör çıkıntısına (formüle göre) eşleştirmemiz gerekiyor.

Vektörin uzunluğunu, koordinatının karelerinin toplamından bir kare kök olarak buluruz:

.

Denklemini derleriz ve çözelim:

Cevap. İstenilen sayısal değer eksi 8'dir.

Boşlukta

İki versiyon ve alan üç kartezyen dikdörtgen koordinatları ile tanımlanırsa

,

bu vektörlerin skaler ürünü de, kendi koordinatlarının eşleştirme çalışmalarının toplamına da eşittir, sadece koordinatlar zaten üçdür:

.

Skaler ürünün özelliklerini ayrıştırdıktan sonra, kabul edilen yönteme sahip bir skaler ürün bulma görevi. Çünkü görevin hangi açı formu değişken vektörlerini belirlemesi gerekir.

Vektörlerin Skaler Ürününün Özellikleri

Cebirsel Özellikler

1. (mülkü taşı: Değişken vektörlerin yerlerdeki değişimden, skaler ürünlerinin büyüklüğü değişmez).

2. (birleştirin telefon numarası proper: Vektörin skaler ürünü, bir miktar çarpan ve başka bir vektör, bu vektörlerin skaler ürününe eşit, aynı faktörle çarpılır).

3. (vektörlerin mülkünün toplamına göre dağıtım: Üçüncü vektördeki iki vektörün toplamının skaler ürünü, üçüncü vektördeki ilk vektörün skaler çalışmalarının toplamına ve üçüncü vektördeki ikinci vektörün toplamına eşittir).

4. (skaler kare vektör daha sıfır), sıfır olmayan bir vektör ise ve eğer - sıfır vektör ise.

Geometrik Özellikler

Düzleştirilmiş operasyonun tanımlarında, iki vektör arasındaki açı kavramını zaten ilgilendiriyoruz. Bu kavramı netleştirmenin zamanı geldi.

Yukarıdaki şekil, genel başlangıçta gösterilen iki vektörü göstermektedir. Ve dikkat edilmesi gereken ilk şey: Bu vektörler arasında iki açı var - φ 1 ve φ 2 . Bu açılardan hangisi vektörlerin skaler ürününün tanımları ve özelliklerinde belirir? Düşünülen açıların miktarı 2'ye eşittir. π Bu nedenle, bu açıların kosterleri eşittir. Skaler ürünün tanımı, sadece açının kosinüsünü içerir ve ifadesinin anlamı değildir. Ancak özelliklerde sadece bir açı kabul edilir. Ve bu, aşmayan iki açıdan biridir. π , yani 180 derece. Resimde, bu açı olarak belirtilir. φ 1 .

1. İki vektör çağrısı dikey ve bu vektörler arasındaki açı - Doğrudan (90 derece veya π / 2) Eğer bu vektörlerin skaler ürünü sıfırdır :

.

Vektör cebirindeki ortodalizm, iki vektörün dikeyliğidir.

2. İki sıfır olmayan vektör oluşturur keskin köşe (0 ila 90 derece arasında veya aynı olanıdır - daha az π skaler Ürün Olumlu .

3. İki sıfır olmayan vektör oluşturur geniş açı (90 ila 180 derece arasında veya aynı şey daha fazla π / 2) Eğer ve sadece zamanlarsa skaler ürün negatif .

Örnek 3. Vektörler koordinatlarda verilmiştir:

.

Bu vektörlerin tüm çiftlerinin skaler işlerini hesaplayın. Bu vektörlerin bu çiftlerini ne aç (keskin, düz, aptal) oluşturur?

Karar. Hesapla, ilgili koordinatların eserlerinin eklenmesi olacaktır.

Negatif bir sayı aldı, böylece vektörler aptal bir açı oluşturur.

Pozitif bir sayı aldı, böylece vektörler keskin bir açı oluşturur.

Sıfır aldı, böylece vektörler düz bir köşe oluşturur.

Pozitif bir sayı aldı, böylece vektörler keskin bir açı oluşturur.

.

Pozitif bir sayı aldı, böylece vektörler keskin bir açı oluşturur.

Kendini sınama için kullanabilirsiniz online Hesap Makinesi Vektör Çizimlerin Skaler Ürünü ve Aralarında Kosinüs Köşeleri .

Örnek 4. İki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir:

.

Vektörler ve ortogonal sayısının (dikey) değerinin değerini belirleyin.

Karar. Vektörleri polinomların çoğalması kuralına göre hareket ettirin:

Şimdi her terimi hesaplıyoruz:

.

Bir denklemi yapın (sıfır işinin eşitliği), benzer üyeler sunuyoruz ve denklemi çözüyoruz:

Cevap: Bir değer aldık λ \u003d 1.8, vektörlerin ortogonal olduğu.

Örnek 5.O vektör kanıtlamak ortogonal (dik) vektör

Karar. Ortogonallığı, değişken vektörlerini ve polinom olarak kontrol etmek için, Terk durumunda verilen ifadesi yerine ikame:

.

Bunu yapmak için, ilk polinomların her bir üyesi (terimi), ikincisinin her bir üyesine çarpın ve elde edilen çalışmalar katlanır:

.

Sonuçta ortaya çıkan, fraksiyon masraftan azaltılır. Aşağıdaki sonuç elde edilir:

Sonuç: Çarpma, sıfır, bu nedenle vektörlerin ortogonallığı (dikeylik) bir sonucu olarak kanıtlanmıştır.

Görevi kendin çöz ve kararını gör

Örnek 6. Vektörlerin uzunlukları verilir ve bu vektörler arasındaki açı eşittir π / dört. Hangi değeri belirlemek μ Vektörler ve karşılıklı dik.

Kendini sınama için kullanabilirsiniz online Hesap Makinesi Vektör Çizimlerin Skaler Ürünü ve Aralarında Kosinüs Köşeleri .

Vektör çizimlerin skaler ürününün matris gösterimi ve N-boyutlu vektörlerin ürünü

Bazen netlik için kazanma, iki değişken vektörün matrisler şeklinde temsilidir. Sonra ilk vektör bir matris dizesi olarak temsil edilir ve ikincisi - bir sütun matrisi formunda:

Sonra vektörlerin skaler ürünü olacak bu matrislerin ürünü :

Sonuç, zaten düşündüğümüz, elde edilen yöntemle aynıdır. Tek bir numara aldık ve matris dizisinin sütun matrisindeki ürünü de tek bir sayıdır.

Matris formunda, soyut N boyutlu vektörlerin ürününü temsil etmek uygundur. Böylece, iki dört boyutlu vektörün ürünü, dört elemanın, iki beş boyutlu vektörün ürünü olan sütun matrisinde dört eleman içeren matris dizesinin ürünü olacaktır. Sütun matrisi ayrıca beş eleman ve benzeri ile.

Örnek 7. Buhar vektörlerinin Skaler Eserlerini Bulun

,

bir matris gösterimi kullanarak.

Karar. İlk vektör çifti. İlk vektörü bir matris dizesi şeklinde ve ikincisi - bir sütun matrisi biçiminde sunuyoruz. Bu vektörlerin bir skaler ürünü, bir sütun matrisinde bir matris dizesinin ürünü olarak buluyoruz:

Benzer şekilde, ikinci çifti sunuyoruz ve buluruz:

Gördüğümüz gibi, sonuçlar Örnek 2'deki aynı çiftlerle aynı şekilde ortaya çıktı.

İki vektör arasındaki köşe

İki vektör arasındaki köşenin kosinüs formülünün çıktısı çok güzel ve kısa.

Vektörlerin skaler bir ürününü ifade etmek

(1)

koordinat formunda, ort'ın skaler ürününü iyi bulacağız. Vektörün skaler ürünü kendi tanımına göre kendi kendine:

Yukarıdaki formülde kaydedilen şey şu anlama gelir: vektörün kendi başına skaler ürünü, uzunluğunun karesine eşittir.. Sıfır kosinüsüne eşittir, bu nedenle her ort'ın karesi birine eşit olacaktır:

Vektörlerden beri

parly dikey, daha sonra emtlerin çifti işleri sıfır olacaktır:

Şimdi vektör polinomların çarpımını gerçekleştirin:

Ortops'un karşılık gelen skaler eserlerinin değerlerinin eşitliğini değiştiriyoruz:

İki vektör arasındaki köşenin kosinüs formülünü elde ediyoruz:

Örnek 8.Üç puan verildi A.(1;1;1), B.(2;2;1), C.(2;1;2).

Bir açı bul.

Karar. Vektörlerin koordinatlarını buluruz:

,

.

Kosinüs formülüne göre, biz:

Dolayısıyla.

Kendini sınama için kullanabilirsiniz online Hesap Makinesi Vektör Çizimlerin Skaler Ürünü ve Aralarında Kosinüs Köşeleri .

Örnek 9.Dana iki vektör

Aralarında miktarı, fark, uzunluk, skaler ürün ve açı bulun.

2. ayrılma

I. Skaler ürünü, ancak yalnızca vektörlerden en az birinin sıfır olduğunda veya vektörler dik olması durumunda sıfıra çekilir. Aslında, eğer ya da öyle.

Arka, değişken vektörler sıfır değilse, durum nedeniyle

aşağıdakilerde:

Sıfır vektörün yönü belirsiz olduğundan, sıfır vektör, herhangi bir vektöre dik olarak kabul edilebilir. Bu nedenle, skaler ürünün belirtilen özelliği kısa içinde formüle edilebilir: Skaler ürünü, yalnızca vektörlerin dik olduğu durumlarda sıfıra çizilir.

II. Skaler ürünün hareketli bir özelliği vardır:

Bu özellik tanımından doğrudan takip ediyor:

Çünkü aynı köşedeki çeşitli atamalar.

III. Dağıtım yasası son derece önemlidir. Kullanımı, olağan aritmetik veya cebirde olduğu kadar büyüktür, burada formüle edilmiştir: miktarı çarpmak için, her bir kuyuyu çarpmanız ve elde edilen çalışmaları katlamanız gerekir, yani ..

Açıkçası, aritmetik veya polinomlardaki çok değerli sayıların cebirinde çarpılması, çarpma özelliğine dayanmaktadır.

Bu yasa, vektör cebirinde aynı önemli öneme sahiptir, çünkü buna dayanarak, polinomların normal çarpma kuralını vektörlere başvurabiliriz.

Herhangi bir üç vektör için A, B, eşitlik ile olduğunu kanıtlıyoruz.

Skaler ürünün ikinci tanımına göre, formül tarafından ifade edilen, elde ediyoruz:

Şimdi § 5'ten 2 çıkıntıların özelliğini uygulayarak buluruz:

q.e.d.

İv. Skaler ürün, sayısal faktöre göre kombinasyonun doğruluğuna sahiptir; Bu özellik aşağıdaki gibi ifade edilir:

yani Vektörlerin skaler ürününü sayıya göre çarpmak için, bu numaralı faktörlerden biriyle çarpmak yeterlidir.