Prova yöntemleri teoremleri. Matematiksel kanıtlar inşa etmek
Herhangi bir onayını kanıtlamak - Bu ifadenin mantıksal olarak gerçek ve ilgili ifadeler sisteminden takip ettiğini göstermek demektir.
Kanıt - Bu, herhangi bir onayının gerçeğinin diğer gerçek ve ilgili ifadelerle haklı gösterdiği mantıksal bir işlemdir. Bunun için son sonuç zinciri inşa edilmiştir ve her birinin sonucu (ikincisi hariç), aşağıdaki sonuçlardan birinde bir parseldir.
Temel yasalar mantığı:
1. Kimlik Yasası. Her düşünce, muhakemede tekrarlanan, kendisiyle aynı olmalıdır.
Kimlik yasası, akıl yürütme sürecinde, bir başkasının düşüncesini, bir başkası kavramının yerini almanız imkansız olduğu anlamına gelir. Aynı düşünceler için aynı düşünceler için özdeşleşmek imkansızdır - özdeştir.
2. Kanun çelişkisidir.Açıklama ve inkarları aynı anda doğru olamaz; En az bir tanesi kesinlikle yanlış.
Resmi mantıksal bir çelişki düşüncesinde (ve konuşmada) bulunursa, böyle bir düşünce yanlış kabul edilir ve çelişki akışlarının yanlış olduğu düşünüldüğü karar.
3. Hariç tutulan üçüncü kanun.Aynı konu ile ilgili iki çelişkili ifadenin - gerçekten - gerçekten, diğeri yanlıştır, üçüncüsü verilmez.
4. Yeterli Vakfın Kanunu.Her gerçek ifade, gerçeği kanıtlanmış diğer ifadelerin yardımıyla haklı olmalıdır.
Matematiksel kanıt söz konusu olduğunda, gereklidir:
¾ Gerçeğin kanıtlanması gereken bir ifadeye sahip olmak;
¾ Kanıtının bir tahliye sonuçlarının zinciri olduğunu anlamak; Mantık kurallarına ve yasalarına göre uygulanır;
¾ Kanıt işleminde diğer gerçek ifadelerin ne kullanılabileceğini anlayın.
Doğrudan ve dolaylı kanıtları yürütme yöntemine göre.
Doğrudan onay kanıtı Ve B, A'dan bir şekilde, mantıkın kurallarına ve yasalarına uyumu ve gerçeği kanıtlanmış olan açıklama sistemini kullanarak tutarlı bir şekilde yapılan bir düşen sonuçlar zincirinin yapımıdır.
(Dörtgenler üç açıyla düzse, o zaman bir dikdörtgendir)
Dolaylı kanıtların bir örneği Kötü yöntemle kanıttır. Öz, aşağıdaki gibidir. Teoremini A'yı kanıtlamanız gerekmesine izin verin. Metodun diğerinden ispatı ile, teoremin (C) sonuçlarının yanlış olduğu varsayılmaktadır ve bu nedenle inkarları doğrudur. Teklifin, kanıt sürecinde kullanılan gerçek parsellerin kombinasyonunda (örneğin, A), onayı, onayı, parsellerden birine aykırı olduğuna ve özellikle de A durumuna aykırı olan bir tahliye sonuçları ile oluşturulmuştur.
(A + 3\u003e 10, sonra ¹7)
Bilet 15 Setler arasında uygunluk kavramı. Uyumluluk ayarlama yöntemleri. Karşılıklı - açık değil. Eşit kümeler. Eşleştirme örnekleri (karşılıklı olarak - açıkça dahil).
Okul öncesi sayılarla çalışmada eksik indüksiyonu kullanmanın bir örneğini veriyoruz: hacimsel geometrik şekillerle, bir çocuğun görevi olan "Harika Kese" oyununu kullanarak: "Figürü ve ismi al." Birkaç girişimden sonra, çocuk bir varsayım yapar:
Top. Top. Top. Burada, muhtemelen tüm topları.
Görev 14.
Elde edilen onayın doğru olduğundan emin olmak için daha fazla akıl yürütme teklifiniz.
Kanıtların hayatımızdaki ve özellikle bilimdeki önemini abartmak mümkün değildir. Her şey kanıtlara başvurulur, ancak ne anlama geldiğini "kanıtlamak *. Pratik kanıt becerileri ve sezgisel fikirler birçok yerli amaç için yeterlidir, ancak bilimsel için değil.
Herhangi bir ifadeyi kanıtlamak, bu mantıksal ifadenin mantıksal olarak gerçek ve ilgili ifadeler sisteminden takip ettiğini göstermektir.
Kanıt, diğer doğru ve ilgili ifadelerle herhangi bir onayın gerçeğini haklı çıkarmak için mantıklı bir işlemdir.
Kanıtında üç yapısal eleman ayırt edilir:
1) kanıtlanmış iddiası;
2) kanıtlamanın gerçeğinin kanıtlandığı yardımıyla gerçek iddiaların sistemi;
3) PP arasında mantık bağlantısı. 1 ve 2.
Matematiksel kanıtların ana yoludur tümdengelimli çıktı.
Formlarında kanıt- Bu, gerçek parsellerden kanıtlayıcı ifadeye giden çıkan bir sonuç çıkarma sonucu veya zinciridir.
Matematiksel kanıtı, uyarılma sırası önemlidir. Ayırt edici tutma yöntemine göre doğrudan ve dolaylı kanıtlar. Doğrudan kanıtlar, sorusu 1.6 paragrafına giden sorunu tam olarak kabul etmeyi ifade eder.
Tam indüksiyon - Onay gerçeğinin tüm özel durumlarda gerçeğinden takip ettiği bir kanıt yöntemi.
Tam indüksiyon Genellikle okul öncesi olan oyunlarda kullanılır: "Bir kelimedeki isim."
"Herhangi bir dörtgendeki açıların toplamı 360 °" ifadesinin doğrudan kanıtının bir örneği:
"Keyfi bir dörtgen düşünün. İçinde bir köşegen geçirdikten sonra, 2 üçgen alırız. Dörtgen açıların toplamı, oluşturulan iki üçgenin açılarının toplamına eşit olacaktır. Herhangi bir üçgendeki açıların toplamı 180 ° olduğundan, 180 ° ve 180 ° katlandıktan sonra, köşelerin toplamını iki üçgen halinde elde ettik, 360 ° olacaktır. Sonuç olarak, herhangi bir dörtgendeki açıların miktarı 360 ", kanıtlaması istenmiştir."
Aşağıdaki sonuçlar yukarıdaki kanıtlarda ayırt edilebilir:
1. Şekil bir quadrilateral ise, o zaman içinde, dörtlü triangl'ı kıran bir diyagonal çizebilirsiniz. Bu rakam bir dörtgendir. Sonuç olarak, köşegen oluşturarak 2 üçgene ayrılabilir.
2. Herhangi bir üçgende, açıların toplamı ISO'ya eşittir. "Veri rakamları üçgenler. Sonuç olarak, her birinin açılarının toplamı 180 °.
3. Dörtgen iki üçgenden oluşuyorsa, köşelerinin toplamı bu üçgenlerin açılarının toplamına eşittir. Bu dörtgen, 180 ° köşeli iki üçgenden oluşur. 180 ° + 180O \u003d 360 °. Sonuç olarak, bu çerezdeki açıların toplamı 360 ° 'dir.
Listelenen tüm sonuçlar görüş kuralına göre yapılır, bu nedenle tümdengelimdir.
Dolaylı kanıtların bir örneği, yöntemin kötüdür. İÇİNDE bu durumda izin verilir Bu sonuç yanlıştır, bu nedenle inkarları doğrudur. Bu teklifi gerçek parsellerin toplamına takarak, akıl yürütme bir çelişki alana kadar gerçekleştirilir.
Karşı teoremden bir kanıt örneği veriyoruz: "İki doğrudan ise fakat ve B Üçüncü düz C'ye paralel olarak, sonra birbirlerine paraleldirler ":
"Bunu doğrudan varsayalım fakat ve b. Paralel değil, o zaman bir noktada, düz bir çizgiye ait değil. Sonra bu noktada, iki düz ve B'yi paralel geçirebiliriz. Bu, paralelliğin aksiyomunun aksine: "açısından
8. Çalışma zamanı tanımı kuralları ve tür farkı kelimesi.
9. Hangi tespit çağrısında bulunur:
Bağlamsal;
Ostense?
10. Bir ifade nedir ve işten çıkarılan form nedir?
11. "A ve B", "a veya b" türlerinin önerileri, "bir" değil "doğrudur ve ne zaman yanlıştır?
12. Topluluk ve varoluşun ölçekleyicilerini listeler. Tekliflerin gerçeğinin değerini çeşitli ölçülerde nasıl ayarlanır?
13. Teklifler arasında bir ilişki olduğunda ve ne zaman eşdeğerlik oranı? Nasıl belirlenir?
14. Sonuç nedir? Ne tür bir sonuçtan faydalanılır?
15. Sonuç kuralının sembollerinin yardımıyla, inkar etme kuralı, slogizmin kuralı.
16. Ne tür sonuçlar eksik indüksiyon denir ve analoji ile sonuçlar nelerdir?
17. Herhangi bir ifadeyi kanıtlamak ne anlama geliyor?
18. Matematiksel kanıt nedir?
19. Tam indüksiyonun tanımını verin.
20. Sofizm nedir?
Bibliyografik Açıklama: Grigoriev K.V., Ochirova A. B., Saragov A., Barlukova S. S., Muchkayev G. M. Matematiksel kanıtların çeşitliliği // genç bilim adamı. - 2017. - №1. - P. 45-46..03.2019).
Kanıttan, günlük yaşamda, formüle edilmiş onayın doğrulanmasını kastediyoruz. Doğrudan matematikte, ilişkiyi taşırken kavramlar ve kanıtlar özünde farklıdır.
Dörtgen halinde üç açı 90 derece olduğunda, böylece böyle bir kadran bir dikdörtgeni olduğunu kanıtlayalım.
90 dereceye eşit üç açı olan bir dörtgen düşünün. Dördüncü köşeyi ölçeceğiz ve derecesini bulacağız. Bununla doğrudan olacağı sonucuna vardık. Bu tür bir doğrulama bu ifadeyi onaylar, ancak kanıt değildir.
Bu onayı kanıtlamak için, 90⁰'ya eşit üç açı olan keyfi bir quadrangayı dikkate almak gerekir. Herhangi bir dışbükey dörtgende, açıların toplamı 360⁰, bu nedenle istenen açı 90⁰ (360⁰ - 90 ° * 3). Dikdörtgen, tüm köşelere doğrudan sahip olan bir dörtgendir. Böylece, bu dörtgen bir dikdörtgen olacaktır. Q.e.d.
Kanıtın ispatının anlamı, aşağıdaki gerçek ifadelerin aşağıdaki dizisidir: teoremler, aksiyomlar, mantıksal olarak kanıtlanması gereken iddiayı takip eden tanımlar. İfadeyi kanıtlamak için, bu ifadenin bir dizi gerçek ve ilgili ifadelerden mantıksal olarak takip ettiğini göstermektir.
Söz konusu ifadenin mantıksal olarak kanıtlanmış iddialardan izlenmesi durumunda, makul ve doğrudur. Matematiksel kanıtların temeli, tümdengelimli yöntemdir. Ve kanıtın kendisi bir sonuç zinciri olarak hareket eder ve her birinin sonucu, ikincisine ek olarak, aşağıdaki sonuçlardan birinde bir parseldir.
İNCELEME İLGİLİ SONUÇLARI RAPOR:
- Herhangi bir dışbükey dörtgende, köşelerin toplamı 360⁰; Bu rakam, bir dışbükey dörtgendir, bu nedenle, on 360⁰'daki açıların toplamı;
- Eğer dörttanın tüm açılarının toplamı ve üçünün toplamı biliniyorsa, çıkarma, çıkarma, dördüncü miktarın miktarı; Bu dörtgenin tüm açılarının toplamı 360 °, üç 270⁰ (90 ° C · 3 \u003d 270⁰), daha sonra farklarını tanımlayarak, 90⁰'ya eşit istenen açı bulacağız;
- Eğer dörtgende tüm köşeler doğrudan ise, bu dörtgen bir dikdörtgendir; Bizim durumumuzda, dörtgende, tüm köşeler doğrudan, bu nedenle bir dikdörtgendir.
Düşünülen sonuçlar, görüş kurallarına göre yapılır ve buna göre, tümdengelimdir.
En basit kanıt bir sonuçtan oluşur. Örneğin, 5 ifadesinin kanıtıdır.
Matematiksel kanıtların yapısı göz önüne alındığında, hepsinden önemlisi, kanıtlanmış bir ifade ve kanıtlanan doğru iddiaların yapıldığı bir ifade içerdiğini anlıyoruz.
Aynı zamanda matematiksel kanıtın sadece bir dizi sonuç olmadığını, ancak belirli bir düzende bulunan sonuçların olduğunu not etmek de önemlidir.
Doğrudan ve dolaylı kanıtları yürütme yöntemine göre. Daha önce düşünülen kanıtlar doğrudan ilişkilidir - içinde ayrı bir gerçek teklife dayanarak ve teoremin koşullarını göz önünde bulundurarak, doğrudan gerçek bir sonuca yol açan tümdengelimli sonuçlar bağlıydı.
Dolaylı kanıtların bir örneği olarak, kanıt, yöntemin kötüdür. Bunun özü aşağıdakilerden oluşur: Teorem A ⇒ V.'yu kanıtlamak için gerekli olmasını sağlayın. Yöntemden diğerinden ispat olarak, teoremin (C) sonucunun yanlış olduğu varsayılmaktadır ve bu nedenle, inkar gerçek olacak. Teklifin, prova işleminde kullanılan gerçek parsellerin kombinasyonuna (A), parsellerden birine aykırı olana kadar ve özellikle durumun birinin iddiasını elde edene kadar bir tahliye sonuçları zinciri ile yapılır. A. Yalnızca böyle bir çelişki kurulur, kanıt süreci tamamlanır ve ortaya çıkan çelişkinin Teorem A'nın gerçeğini kanıtladığı inancına gelin.
Görev 1. Eğer x + 2\u003e 10, x ≠ 8. Eğer yöntemin karşısında olduğunu kanıtlayın.
Görev 2. U² bile bir numara ise, daha sonra Y - hatta. Kötü yöntem.
Görev 3. Ardışık dört doğal sayı var. Bu sıranın ortalama sayısının ürününün 2'deki aşırı üründen daha büyük olduğu doğru mu? Eksik indüksiyon yöntemi.
Tam indüksiyon, onayın gerçeğinin tüm özel durumlarda gerçeğinden takip ettiği kanıt yöntemidir.
Görev 4. Her kompozit doğal sayının, 4'ten büyük, ancak küçük 20, iki basit sayının toplamını temsil ettiğini kanıtlamaktadır.
Böylece, matematiksel kanıt, herhangi bir onayın gerçeğini (Theorem), bir mantıksal sonuç zincirini, belirli bir aksiyom setinin ve sonuçların gerçeğine tabi olduğunu gösteren bir akıl yürütmedir, onay doğrudur.
Edebiyat:
- Geometri / 7-9 Sınıflar: Çalışmalar. Genel eğitim için. Kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev]. - 21 ed. - M.: Aydınlanma, 2011.
Ders 10. Matematiksel kanıt yöntemleri
1. Matematiksel kanıt yöntemleri
2. Doğrudan ve dolaylı kanıtlar. İğrenç yöntemiyle kanıt.
3. Temel Sonuçlar
Günlük yaşamda, çoğu zaman, kanıtlar hakkında konuştuklarında, sadece yapılan onayın doğrulanması anlamına gelir. Matematikte, kontrol ve kanıt, birbirine bağlı olsa da, farklı şeylerdir. Örneğin, eğer dörtlü üç köşesinde doğrudan ise, o zaman bir dikdörtgen olduğunu kanıtlamak için gereklidir.
Eğer bir quaddangayı alırsak, düz üç açıdır ve dördünciyi ölçen, gerçekten düz olduğundan emin olun, o zaman bu kontrol bu onayı daha fazla inandırır, ancak henüz kanıtlanmadı.
Bu ifadeyi kanıtlamak için, üç köşenin doğrudan olduğu keyfi bir kadran düşünün. Herhangi bir dışbükey dörtgende, açıların toplamı 360⁰, o zaman 360 °. Üç doğrudan açının toplamı 270 ° (90⁰ 3 \u003d 270⁰), ve dördüncünün 90⁰ değerinde (360⁰ - 270⁰) olması anlamına gelir. Dörtgenlerin tüm köşeleri düzse, sonra bir dikdörtgendir, bu nedenle bu dörtgen bir dikdörtgen olacaktır. Q.e.d.
Kanıtın ispatının özünün, onayının mantıksal olarak önerilmesi gereken bir dizi gerçek ifade (teoremler, aksiyomlar, tanımlar) oluşturmaktır.
Hiç herhangi bir ifadeyi kanıtlayın - bu ifadenin mantıksal olarak gerçek ve ilgili ifadeler sisteminden takip ettiğini göstermek demektir..
Mantıkta, dikkate alınan onayın, halihazırda kanıtlanmış iddialardan mantıksal olarak takip edilmesi durumunda, makul ve aynı zamanda sonuncusu olduğu gibi.
Böylece, matematiksel kanıtların temeli bir tahliye sonucudur. Ve kanıtın kendisi bir sonuç zinciridir ve her birinin sonucu (ikincisi hariç), aşağıdaki sonuçlardan birinde bir parseldir.
Örneğin, yukarıdaki kanıtda, aşağıdaki sonuçlar ayırt edilebilir:
1. Dörtgenden herhangi bir dışbükeyde, açıların toplamı 360 °; Bu rakam, bir dışbükey dörtgendir, bu nedenle, on 360⁰'daki açıların toplamıdır.
2. Dörtgenlerin tüm açılarının toplamı ve üçünün toplamı biliniyorsa, çıkarma, çıkarma, dördüncü miktarın miktarı; Bu dörtgenin tüm açılarının toplamı 360 °, üç 270⁰ (90⁰ 3 \u003d 270⁰), daha sonra dördüncü 360⁰ - 270⁰ \u003d 90⁰ büyüklüğündadır.
3. Dörtgende tüm köşeler doğrudan ise, o zaman bu dörtgen bir dikdörtgendir; Bu dörtgen, tüm köşeler doğrudan, bu nedenle bir dikdörtgendir.
Listelenen tüm sonuçlar görüş kuralına göre yapılır ve bu nedenle, tümdengelimdir.
En basit kanıt bir sonuçtan oluşur. Örneğin, 6'daki ifadenin kanıtıdır.< 8.
Dolayısıyla, matematiksel kanıtların yapısı hakkında konuşan, öncelikle kanıtlanmış bir ifade ve gerçek ifadelerin sistemi, hangi kanıtların yardımıyla olduğunu anlamamız gerekir.
Matematiksel kanıtların sadece bir dizi sonuç olmadığı da belirtilmelidir, bunlar belirli bir düzende bulunan sonuçlardır.
(Formda) ayırt etme yöntemine göre doğrudan ve dolaylı kanıtı. Önceden dikkate alınan kanıt, doğrudan gerçek cümleye dayanarak ve teoremin durumunu dikkate alarak, gerçek bir sonuca yola neden olan bir tahliye sonuçları oluşturuldu.
Dolaylı kanıtların bir örneği kanıtdır kötü yöntem . Öz, aşağıdaki gibidir. Teoremi ispatlamak için ihtiyaç duyun
A ⇒ V. Metodun tam tersinden kanıtında, teoremin (C) sonucunun yanlış olduğu varsayılmaktadır ve bu nedenle inkarının doğru olduğu varsayılmaktadır. "DEĞİLDİR" TEKLİFİNİN YAPMASI (A arası durumunun), bir ifade parsellerden birine aykırı olana kadar ve özellikle durumun aksine, A. Yalnızca böyle bir çelişki kurulur, kanıt süreci bitirir ve ortaya çıkan çelişkinin teoremin gerçeğini kanıtladığını söyler.
Görev 1. Eğer A + 3\u003e 10, sonra A ≠ 7 ise, yöntemi itiraz eder.
Görev 2. Eğer x² bile bir çift, x - hatta. Kötü yöntem.
Görev 3. Ardışık dört doğal sayı var. Bu dizinin ortalama sayısının ürününün 2'deki aşırı çalışmaların daha fazlası olduğu doğru mu? Eksik indüksiyon yöntemi.
Tam indüksiyon - Bu, onayın gerçeğinin tüm özel durumlarda gerçeğinden takip ettiği bir kanıt yöntemidir.
Görev 4. Her kompozit doğal sayının, 4'ten büyük, ancak küçük 20, iki basit sayının toplamını temsil ettiğini kanıtlamaktadır.
Görev 5, doğal numarası N'nin birden fazla 3 değilse, sonra N² + 2 daha fazla 2 kez ekspresyonun değeri? Tam indüksiyon yöntemi.
Broşürde, dil tarafından uygun fiyatlı diller, matematik biliminin inşa edildiği temel ilkelerin bir kısmını açıklar: Matematiksel kanıt kavramı, diğer bilimlerde ve günlük yaşamda benimsenen kanıtlar kavramından farklıdır. Kanıtların en basit uygulamaları, matematikte, "uygun" fikri fikri, böyle bir aksiyomatik yöntemin gerçek ve kanıt arasındaki farkın olduğu için olduğu fikri olarak kullanılır.
Liselerin okullarıyla başlayan çok geniş bir okuyucu çemberi için.
Matematik ve kanıt.
Matematik adamı ile yabancı matematik adamı ile yabancı değil, matematikte bir kitap alarak, bir kural olarak, bu kitabın gerçekten matematikte olduğu ve başka bir konu için değil. Ve bu sadece kesinlikle çok fazla formül olacaktır: her iki kitapta da fizikte, astronomi veya bir köprü binalarında formüller var. Gerçek şu ki, matematikte herhangi bir ciddi kitapta kesinlikle kanıtlar var. Matematiksel ifadelerin matematiksel metinlerde varlığının, matematiğin diğer bilgi alanlarından açıkça ayırt edilmesidir.
Bekar bir tezatiği kapsayan ilk girişimi Tüm matematik, IIII. Sonuç olarak, ünlü "başlangıç" euclida ortaya çıktı. Ve ikinci girişim sadece XX yüzyılda gerçekleşti. E. ve 1939'da "matematiğe başladım" bir çok hacimli bir çalışma yayınlaması için başlayan Nikol Burbaki'nin Fransız matematiğine aittir. Bu cümle, Bombaki'nin tezini açar: "Yunanlıların zamanlarından bu yana" Matematik "diyor," Kanıt "demek anlamına geliyor. Böylece, "Matematik" ve "Kanıt" - bu iki kelime neredeyse eşanlamlılar ilan edildi.
İÇİNDEKİLER
Matematik ve kanıt
Matematiksel terimlerin doğruluğu ve onun doğruluğu üzerinde
Etkileşim yöntemiyle kanıt
Dolaylı varoluş kanıtı. Prensip Dirichle
"Zıttan" kanıtı
En büyük ve en küçük ve sonsuz iniş yönteminin ilkeleri
İndüksiyon
Matematiksel indüksiyon ile kanıt
Tam indüksiyon ve eksik indüksiyon
Matematiksel kanıt fikri zamanla değişiyor.
İki aksiyomatik yöntem - gayri resmi ve resmi
Gayri resmi aksiyomatik yöntem
Resmi aksiyomatik yöntem
Gödel teoremi.
Ücretsiz indir E-kitap uygun bir formatta, bakın ve okuyun:
Kitabı indirin Matematiksel kanıtların en basit örnekleri, USPENSKY V.A., 2009 - Fileskachat.com, Hızlı ve ücretsiz indir.