Úlohy pre klasickú definíciu pravdepodobnosti. Príklady riešení. Základná koncepcia teórie pravdepodobnosti

"Nehoda nie je náhodná" ... to znie ako filozof povedal, ale v skutočnosti študovať náhodnosť veľkej vedy matematiky. V matematike sa angažuje šanca na teóriu pravdepodobnosti. Formulárne a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy budú uvedené v článku.

Čo je pravdepodobnostná teória?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktoré štúdie náhodné udalosti.

Ak chcete byť mierne jasnejší, dávame malý príklad: ak vyhodíte mincu, môže spadnúť "orol" alebo "široký". Kým minca je vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov koreluje 1: 1. Ak vytiahnete jednu z paluby s 36 kartami, potom bude pravdepodobnosť označená ako 1:36. Zdá sa, že by nebolo nič skúmať a predpovedať, najmä s pomocou matematických vzorcov. Avšak, ak mnohokrát opakujete určitú akciu, je možné identifikovať určitú pravidelnosť a je na ňom založená na tom, aby predpovedal výsledok udalostí v iných podmienkach.

Ak by sme zovšeobecnili všetky vyššie uvedené, teória pravdepodobnosti v klasickom porozumení skúma možnosť jedného z možných udalostí v číselnej hodnote.

Z historických stránok

Teória pravdepodobnosti, vzorcov a príkladov prvých úloh sa objavili v diaľke stredoveku, keď sa prvýkrát pokúsili predpovedať výsledok kartových hier prvýkrát.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. To je odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktorá by sa mohla reprodukovať v praxi. Prvá práca v tejto oblasti ako v matematickej disciplíne sa objavili v XVII storočí. Pascal a Pierre Farm boli kefy ako blejzre. Po dlhú dobu študovali hazardné hry a videli určité vzory, ktoré sa rozhodli povedať spoločnosti.

Rovnaká technika bola vynájdená Huygens kresťanmi, hoci nebol oboznámený s výsledkami štúdií Pascal a farmy. Koncepcia "teórie pravdepodobnosti", vzorcov a príkladov, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny, boli zavedené.

JACOB BERNULLLI, LAPLAS A Poisson teoremy majú dôležitý význam. Urobili teóriu pravdepodobnosti viac ako matematická disciplína. Jeho súčasný pohľad na teóriu pravdepodobností, vzorcov a príkladov základných úloh bola získaná vďaka axiómom Kolmogorova. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jednou z matematických sekcií.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je udalosť. Udalosti sú tri druhy:

• Spoľahlivé. Tí, ktoré sa vyskytnú v každom prípade (minca klesá).
• Nemožné. Udalosti, ktoré sa nestane s akoukoľvek druhu (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodné. Tie, ktoré sa vyskytnú alebo sa nestanú. Môžu ovplyvniť rôzne faktory, ktoré sú veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jeho tvaru, počiatočnú polohu, silu hádzania atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené kapitálom latinskými písmenami s výnimkou P, ktorá je pridelená iná úloha. Napríklad:

• A \u003d "študenti prišli k prednáške."
• Ā \u003d "Študenti nešli na prednášku."

V praktických úlohách sú udalosti akceptované na nahrávanie slov.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnováha. To znamená, že ak hodíte mincu, sú možné všetky možnosti počiatočného pádu, kým padli. Ale aj udalosti nie sú rovnaké. To sa stane, keď niekto špeciálne ovplyvňuje výsledok. Napríklad "označené" hracie karty alebo hranie kostí, v ktorých sa posunie ťažiska.

Dokonca aj udalosti sú kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti sa navzájom nevylučujú. Napríklad:

• A \u003d "Študent prišiel k prednáške."
• B \u003d "Študent prišiel k prednáške."

Tieto udalosti sú navzájom nezávislé a vzhľad jedného z nich nemá vplyv na vzhľad iného. Nekompatibilné udalosti sú určené skutočnosťou, že vzhľad človeka eliminuje vzhľad druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata "misky" znemožňuje objaviť "orol" v tom istom experimente.

Akcie na udalosti

Udalosti sa môžu vynásobiť a zložiť, logické väzy "a" a "alebo" sú zavedené v disciplíne.

Suma je určená skutočnosťou, že udalosť A, alebo B alebo dva súčasne sa zobrazí. V prípade, že sú nekompatibilné, posledná možnosť je nemožná, vypadne von alebo A alebo V.

Násobenie udalostí je vzhľad a v rovnakom čase.

Teraz môžete dať niekoľko príkladov, aby ste lepšie pamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešení úloh Ďalej.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje na konkurencii o zmluvy pre tri odrody práce. Možné udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť:

• A \u003d "Spoločnosť dostane prvú zmluvu."
• A 1 \u003d "Firma nedostane prvú zmluvu."
• B \u003d "Firma dostane druhú zmluvu."
• V 1 \u003d "Firma nedostane druhú zmluvu"
• C \u003d "Firma dostane tretiu zmluvu."
• Od 1 \u003d "Spoločnosť nedostane tretiu zmluvu."

Pomocou akcie na udalosti sa pokúsme vyjadriť nasledujúce situácie:

• K \u003d "Firma dostane všetky zmluvy."

V matematickej forme bude mať rovnica nasledujúci formulár: K \u003d ABC.

• M \u003d "Spoločnosť nedostane jednu zmluvu."

M \u003d 1 v 1 s 1.

Dokončiť úlohu: H \u003d "Spoločnosť dostane jednu zmluvu." Vzhľadom k tomu, že nie je známe, aký druh zmluvy dostane spoločnosť (prvá, druhá alebo tretina), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

N \u003d 1 Slnko 1 υ AV 1 C1 υ A 1 v 1 C.

A 1 Sun 1 je niekoľko udalostí, v ktorých spoločnosť nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale prijíma druhú. Ďalšie možné udalosti sú zaznamenané zodpovedajúcim spôsobom. Symbol υ v disciplíne označuje zväzok "alebo". Ak preložíme daný príklad na ľudský jazyk, firma dostane alebo tretiu zmluvu alebo druhý, alebo prvý. Podobne môžu byť iné podmienky zaznamenané v disciplíne "Teória pravdepodobnosti". Vzorce a príklady riešenia vyššie uvedených úloh vám pomôžu urobiť sami.

Skutočne, pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti centrálnou koncepciou. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrické.

Každý má svoje miesto v štúdii pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorcov a príkladov (stupeň 9) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú svoj vzhľad, k počtu možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: p (a) \u003d m / n.

A - Vlastne, udalosť. Ak sa prípad objaví oproti A, môže byť napísaný ako ā alebo 1.

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - Všetky udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť.

Napríklad a \u003d "vytiahnite kartu červa obleku." V štandardnej 36 kartách, 9 z nich červy. Vzorec pre riešenie úlohy bude teda:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

V dôsledku toho je pravdepodobnosť, že karta oblek červov sa vytiahne z paluby, bude 0,25.

Na vyššiu matematiku

Teraz sa stalo trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh, ktoré sa stretávajú v školskom programe. Pravdepodobnosť teórie sa však stretáva s vyššou matematikou, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie je tu prevádzkované geometrickými a štatistickými definíciami teórie a komplexných vzorcov.

Veľmi zaujímavá teória pravdepodobnosti. Formulárne a príklady (vyššia matematika) Je lepšie začať študovať z malej - od stanovenia štatistickej (alebo frekvencie).

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasikou, a mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, ktorý pravdepodobnejšie nastane udalosť, potom je potrebné v tejto metóde potrebné uviesť, ako často sa vyskytne. Tu je zavedený nový koncept "relatívnej frekvencie", ktorá môže byť označená W N (A). Vzorec sa nelíši od klasiky:

Ak sa klasický vzorec vypočíta na predikciu, potom štatistické - podľa výsledkov experimentu. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologického kontroly kontroluje výrobky pre kvalitu. Medzi 100 produktov našlo 3 nízko kvalitné. Ako nájsť pravdepodobnosť frekvencie kvalitného produktu?

A \u003d "Vzhľad vysoko kvalitného tovaru."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Kde ste dostali 97? 100 produktov, ktoré boli skontrolované, 3 sa ukázalo ako zlá kvalita. Od 100 otáčok 3 získame 97, toto je množstvo kvalitného produktu.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorics. Jeho hlavným princípom je, že ak určitá voľba A môže byť vykonaná M rôznymi spôsobmi, a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B môže byť vykonaná vynásobením.

Napríklad, z mesta a v meste v mestách 5 ciest. Z mesta do mesta so 4 spôsobmi. Koľko spôsobov je možné dosiahnuť z mesta a do mesta?

Všetko je jednoduché: 5x4 \u003d 20, to znamená, že dvadsať rôznymi spôsobmi je možné dosiahnuť z bodu A do bodu S.

Komplikovať úlohu. Koľko spôsobov, ako položiť karty v Solitaire? V 36 kartách - toto je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, potrebujete z počiatočného bodu na "odobrať" na rovnakej mape a znásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32 ... X2x1 \u003d výsledok sa nezmestí obrazovky kalkulačky, takže môže byť jednoducho označený 36!. Znamenie "!" V blízkosti čísla označuje, že celý počet čísel sa navzájom líši.

Combinatorics predstavuje takéto koncepty ako permutácia, ubytovanie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Umiestnenie sa nazýva objednaná sada súborov súborov. Umiestnenie môže byť s opakovaním, to znamená, že jeden prvok môže byť použitý niekoľkokrát. A bez opakovania, keď sa položky neopakujú. n Sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sú zapojené do ubytovania. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Zlúčeniny z n prvkov, ktoré sa líšia len poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácia. V matematike má formulár: p n \u003d n!

Kombinuje z n prvkov na m sa nazývajú takéto zlúčeniny, v ktorých je dôležité, ktoré prvky boli a aké sú ich celkom. Vzorec sa pozrie na:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli Formula

Pri teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne existujú v oblasti výskumných pracovníkov vynikajúce práce, ktorí ho priniesli na novú úroveň. Jedným z týchto diel je Bernoulli Formula, ktorý umožňuje určiť pravdepodobnosť určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že vzhľad a v experimente nezávisí od vzniku alebo sa nezobrazuje rovnaká udalosť v predtým vykonávaných alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliová rovnica:

P n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.

Pravdepodobnosť (P) vzhľadu udalosti (A) sa nezmení pre každý test. Pravdepodobnosť, že sa situácia stane presne m-krát v n množstvách experimentov sa vypočíta vzorcom, ktorý je uvedený vyššie. V súlade s tým, že otázka nastane, ako zistiť číslo Q.

Ak sa udalosť nastáva, v tomto poradí, nemusí prísť. Jednotka je číslo, ktoré sa má označiť všetkými výsledkami situácie v disciplíne. Preto Q je číslo, ktoré znamená možnosť nenosených udalostí.

Teraz poznáte Formula Bernoulli (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh (prvá úroveň) sa ďalej zvažujú.

Úloha 2: Návštevník obchodu urobí nákup s 0,2 pravdepodobnosťou. 6 návštevníkov navštívili obchod. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník urobí nákup?

Riešenie: Vzhľadom k tomu, že nie je známe, koľko návštevníkov by mal urobiť nákup, jednu alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A \u003d "Návštevník urobí nákup."

V tomto prípade: p \u003d 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým, Q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (pretože obchod má 6 návštevníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny kupujúci nevytvorí nákup) na 6 (všetci návštevníci na ukladanie niečoho bude zakúpené). V dôsledku toho získame riešenie:

P6 (0) \u003d CO 6 x p 0 × Q6 \u003d Q6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Žiadny z kupujúcich nevykoná nákupu s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak je bernoulli vzorca (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) Ďalej.

Po vyššie uvedenom príklade sa otázky vznikajú o tom, kde sa majú zdieľať a r. V porovnaní s číslom P na stupeň 0 sa rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno nájsť vo vzorci:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Pretože v prvom príklade m \u003d 0, c \u003d 1, ktorý v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa snažme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) \u003d C62 × p2 × q 4 \u003d (6 × 5 × 4 x 3 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 x 0,4096 \u003d 0,246.

Nie tak zložitá teória pravdepodobnosti. Bernoulli vzor, \u200b\u200bz ktorých príklady sú uvedené vyššie, čo je priamy dôkaz.

Vzorec Poisson

Poissonová rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

P n (m) \u003d λ m / m! × e (-λ).

V tomto prípade λ \u003d n x p. Toto je taký jednoduchý poissonový vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh sa ďalej zvažujú.

Úloha 3.: Pri výrobnom z výroby boli diely vo výške 100 000 kusov. Vzhľad chybnej časti \u003d 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že 5 chybných častí bude v strane?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobné udalosť, a v súvislosti s ktorými sa na výpočet použije poissonový vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov tohto druhu sa nelíšia od iných úloh disciplíny, v redukovanom vzorci sme nahrádzali potrebné údaje:

A \u003d "náhodne vybraná položka bude chybná."

p \u003d 0,0001 (podľa stavu priradenia).

n \u003d 100000 (počet častí).

m \u003d 5 (chybné časti). Náhradnú údaje vo vzorci a získame:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Rovnako ako Firemný vzorec Bernoulli (teória pravdepodobnosti), príklady riešení s pomocou, ktorého sú napísané vyššie, poissonová rovnica má neznámy e. V skutočnosti možno nájsť vo vzorci:

e -λ \u003d LIM N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, v ktorých sú takmer všetky hodnoty.

Moavaroors Laplace Theorem

Ak je počet testov v Bernoulli v systéme Bernoulli, a pravdepodobnosť udalosti a vo všetkých schémach je rovnaká, potom je pravdepodobnosť udalostí a určitý počet časov v sérii testov nájdete ako Laplace Formula:

P n (m) \u003d 1 / √NPQ x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Ak chcete lepšie zapamätať sa na vzorec Laplace (teória pravdepodobnosti), príklady úloh na pomoc nižšie.

Najprv nájdeme x m, nahrádzame údaje (všetky sú uvedené vyššie) vo vzorci a získajú 0,025. S pomocou tabuliek nájdeme číslo φ (0,025), ktorej hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Tak, pravdepodobnosť, že reklamný leták bude fungovať presne 267 krát, je 0,03.

Vzorec.

Bayes Formula (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia úloh, s ktorými budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá opisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ním mohli súvisieť. Hlavný vzorec má nasledujúci formulár:

P (a | b) \u003d p (v | a) x p (a) / p (c).

A A B sú určité udalosti.

P (a | b) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť môže nastať a za predpokladu, že udalosť je pravdivá.

P (v | a) - podmienená pravdepodobnosť podujatia V.

Takže posledná časť malého kurzu "teória pravdepodobnosti" je vzorec Bayes, príklady riešení úloh, s ktorými nižšie.

Úloha 5.: Sklad priniesol telefóny z troch spoločností. Súčasne je časť telefónov, ktoré sú vyrobené v prvej závode 25%, v druhej - 60%, na treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvej továrni je 2%, v druhej - 4% av treťom - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A \u003d "náhodne prijatý telefón."

V 1. telefóne, ktorý urobil prvú továreň. Zdá sa teda úvodná strana v 2 a 3 (pre druhú a tretiu továrne).

V dôsledku toho dostaneme:

P (v 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (v 2) \u003d 0,6; P (v 3) \u003d 0,15 - takže sme našli pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienenú pravdepodobnosť požadovanej udalosti, to znamená, že pravdepodobnosť chybných výrobkov v firmách:

P (a / v 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / v 2) \u003d 0,04;

P (a / b3) \u003d 0,01.

Teraz budeme nahradiť údaje v Bayes Formule a získajte:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorcov a príklady riešenia problémov, ale je to len vrchol ľadovcovej rozsiahlej disciplíny. A po všetkých napísaných, bude logické opýtať sa, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Je ťažké odpovedať na jednoduchú osobu na odpoveď, je lepšie sa opýtať na to, kto, s jej pomocou, netrhal Jack-pot.

Stručná teória

Pre kvantitatívne porovnanie udalostí v stupni možnosti ich vzhľadu sa zavádza numerické opatrenie, ktoré sa nazýva pravdepodobnosť udalosti. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti Vyzýva sa číslo, ktoré je vyjadrením miery objektívnej možnosti vzhľadu udalosti.

Hodnoty, ktoré určujú, aké významné objektívne dôvody sa majú počítať s udalosťami, sa vyznačujú pravdepodobnosťou udalosti. Je potrebné zdôrazniť, že pravdepodobnosť je objektívnou hodnotou, ktorá existuje nezávisle od učenia a z dôvodu celého súboru podmienok, ktoré prispievajú k vzniku udalosti.

Vysvetlenia, ktoré sme poskytli koncepciu pravdepodobnosti, nie sú matematické definície, pretože kvantitatívne neurčujú túto koncepciu. Existuje niekoľko pravdepodobnostných definícií náhodnej udalosti, ktorá sa široko používa pri riešení špecifických úloh (klasických, axiómických, štatistických, atď.).

Klasická definícia pravdepodobnosti udalosti Podporuje tento koncept na priaznivejší koncept rovnovážnych udalostí, ktoré už nie sú definované a predpokladá sa, že je intuitívne. Napríklad, ak je hracím kosti homogénna kocka, potom sa spád nad ktorýmkoľvek z okrajov tejto kocky bude rovný udalostiam.

Nechajte spoľahlivú udalosť rozpadať na rovnovážnych prípadoch, ktorých množstvo poskytuje udalosť. To znamená, že prípady, ktoré sa rozpadnú, sa vzťahujú na podujatie, pretože vzhľad jedného z nich poskytuje ofenzívu.

Pravdepodobnosť udalostí bude označená symbolom.

Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu prípadov, ktoré k nemu prispievajú z celkového počtu jediných možných, rovnakých a nezrovnalostí k číslu, t.j.

Toto je definícia klasickej pravdepodobnosti. Preto je potrebné nájsť pravdepodobnosť udalosti, je potrebné, aby sa zvážili rôzne výsledky testu, aby ste našli súbor jediných možných, rovnakých a nekonzistentných prípadov, aby sa vypočítali ich celkový počet N, počet M prípady, ktoré prispievajú k Táto udalosť a potom vypočíta výpočet podľa vyššie uvedeného vzorca.

Pravdepodobnosť udalosti rovnajúceho sa pomeru počtu priaznivých udalostí skúseností so skúsenosťami na celkovom počte výsledkov skúseností sa nazýva klasická pravdepodobnosť Náhodná udalosť.

Stanovenie tečie nasledujúce vlastnosti pravdepodobnosti:

Majetok 1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je rovná jednému.

Majetku 2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Nehnuteľnosť 3. Pravdepodobnosť náhodného udalosti je kladné číslo uzatvorené medzi nulou a jednotkou.

Majetku 4. Pravdepodobnosť výskytu udalostí tvoriacich kompletnú skupinu je rovná jednej.

Nehnuteľnosť 5 Pravdepodobnosť opačnej udalosti je definovaná rovnakým spôsobom ako pravdepodobnosť výskytu udalosti A.

Počet prípadov vedúcich k vzniku opačnej udalosti. Odtiaľ sa pravdepodobnosť opačnej udalosti rovná rozdielu medzi jednotkou a pravdepodobnosťou udalosti A:

Dôležitou výhodou klasickej definície pravdepodobnosti udalosti je, že s jeho pomocou, pravdepodobnosť udalosti môže byť určená bez uchýlenia sa k experimentu, a na základe logického uvažovania.

Pri vykonávaní komplexu podmienok sa určite stane spoľahlivá udalosť a nemožné sa nemusí nevyhnutne nastať. Medzi udalosti, ktoré môžu pri vytváraní komplexu podmienok, môžu nastať, a nemusí sa stať, na vzhľade niektorých sa môže počítať s veľkou základňou, k vzniku druhých s menšou základňou. Ak napríklad v Urn bielych loptičiek viac ako čierna, potom nádej na vzhľad bielej misky pri odstraňovaní z URN oveľa viac dôvodov ako na výskyte čiernej misy.

Príklad riešenia problému

Príklad 1.

V krabici je 8 biela, 4 čierna a 7 červených guľôčok. Trasa získaná 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí: - aspoň 1 červená guľa je extrahovaná - existuje aspoň 2 guľôčky jednej farby, - existuje aspoň 1 červená a 1 biela guľa.

Riešenie problému

Celkový počet testovacích výsledkov nájde ako niekoľko kombinácií 19 (8 + 4 + 7) prvkov 3:

Nájsť pravdepodobnosť udalosti - extrahuje aspoň 1 červenú guľu (1,2 alebo 3 červené gule)

Požadovaná pravdepodobnosť:

Nechajte udalosť - Existujú aspoň 2 misky jednej farby (2 alebo 3 biele gule, 2 alebo 3 čierne gule a 2 alebo 3 červené gule)

Počet výsledkov vedúcich k udalostiam:

Požadovaná pravdepodobnosť:

Nechajte udalosť - Tam je aspoň jedna červená a 1 biela guľa

(1 červená, 1 biela, 1 čierna alebo 1 červená, 2 biela alebo 2 červená, 1 biela)

Počet výsledkov vedúcich k udalostiam:

Požadovaná pravdepodobnosť:

Odpoveď:P (a) \u003d 0,773; p (c) \u003d 0,7688; P (d) \u003d 0,6068

Príklad 2.

Dve hracie kosti boli vyhodené. Zistite pravdepodobnosť, že množstvo bodov nie je menšia ako 5.

Rozhodnutie

Nechajte udalosť - množstvo bodov aspoň 5

Používame definíciu klasickej pravdepodobnosti:

Celkový počet možných skúšobných výsledkov

Počet testov vedúcich k udalosti, o ktorú máte záujem

Na padli tvár prvej hracej kocky sa môže objaviť jeden bod, dva body ..., šesť bodov. Podobne je možné, že šesť výsledkov je možné pri hádzaní druhej kocky. Každý z výsledkov hádzania prvej kocky sa môže kombinovať s každým z výsledkov druhého. Celkový počet možných výstupných výsledkov testu sa teda rovná počtu umiestnení s opakovaním (voľba s umiestnením 2 prvkov z celkového objemu objemu 6):

Zistite pravdepodobnosť opačnej udalosti - množstvo bodov je menej ako 5

Obľúbené Udalosť bude nasledovné kombinácie žiariacich bodov:

Uvádza sa geometrická definícia pravdepodobnosti a je uvedený riešenie široko známych úlohy schôdzky.

Teória pravdepodobnosti je pomerne rozsiahla nezávislá časť matematiky. V školskom roku sa teória pravdepodobnosti považuje za veľmi povrchne, avšak existujú úlohy pre túto tému. Nie je však tak ťažké vyriešiť úlohy školského kurzu (aspoň to, čo sa týka aritmetických operácií) - tu nemusíte zvážiť deriváty, vziať integrály a riešiť komplexné trigonometrické transformácie - hlavná vec je byť schopná zvládnuť Jednoduché čísla a frakcie.

Pravdepodobnosť Teória - základné pojmy

Hlavné podmienky teórie pravdepodobnosti skúšajú, výsledok a náhodnú udalosť. Test v teórii pravdepodobnosti sa nazýva experiment - hodiť mincu, potiahnite kartu, nakreslite remízu - všetky tieto testy. Výsledok testu, ako ste už uhádli, sa nazýva výsledok.

Aká je náhodná udalosť? V teórii pravdepodobnosti sa predpokladá, že test sa vykonáva mnohokrát veľa výsledkov. Náhodná udalosť sa nazýva veľa testovacích výsledkov. Napríklad, ak hodíte mincu, môžu sa vyskytnúť dve náhodné udalosti - orol alebo spech padne.

Nezamieňajte výsledok a náhodnú udalosť. Výsledok je jeden výsledok jedného testu. Random udalosť je rôzne možných výsledkov. Mimochodom, a taký termín ako nemožná udalosť. Napríklad udalosť "klesla číslo 8" na štandardnej hernej kocke je nemožné.

Ako nájsť pravdepodobnosť?

Všetci chápeme, čo je pravdepodobnosť, a často často používajú toto slovo vo vašej slovnej zásobe. Okrem toho môžeme dokonca vykonať nejaké závery týkajúce sa pravdepodobnosti konkrétnej udalosti, napríklad, ak za snehovým oknom, môžeme pravdepodobne povedať, že teraz nie je leto. Ako však vyjadriť tento predpoklad numericky?

Aby sme zaviedli vzorec pre nájdenie pravdepodobnosti, zavádzame ďalšiu koncepciu - priaznivý výsledok, t.j. výsledok, ktorý je priaznivý pre konkrétnu udalosť. Definícia je skôr nejednoznačná, samozrejme, ale podmienkou problému, je vždy jasné, ktoré z výsledkov je priaznivé.

Napríklad: v triede 25 ľudí, tri z nich Kati. Učiteľ vymení povinnosť OLYA a potrebuje partner. Aká je pravdepodobnosť, že sa partnera stane Katya?

V tomto príklade priaznivý výsledok - Kathyho partner. O niečo neskôr túto úlohu vyriešime. Najprv však predstavujeme pomocou ďalšieho vzoru definície pre nájdenie pravdepodobnosti.

• P \u003d A / N, kde P je pravdepodobnosť, A je počet priaznivých výsledkov, n je celkový počet výsledkov.

Všetky výziery školy sa točia okolo jedného z tohto vzorca a hlavné obtiažnosti zvyčajne spočíva v hľadaní výsledkov. Niekedy sú jednoduché nájsť, niekedy - nie veľmi.

Ako riešiť úlohy pre pravdepodobnosť?

Úloha 1.

Teraz sa rozhodneme vyššie uvedenú úlohu.

Počet priaznivých výsledkov (Učiteľ si vyberie Katya), sa rovná tri, pretože mačka v troch a celkových výsledkoch - 24 (25-1, pretože OLYA je už vybraná). Potom je pravdepodobnosť rovnaká: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Preto pravdepodobnosť, že Katya sa ukáže, že je 12,5%. Je to jednoduché? Zaujímajme si niečo komplexnejšie.

Úloha 2.

Minca bola dvakrát hodená, aká je pravdepodobnosť kombinácie: jeden orol a jeden spech?

Domnievame sa však, že celkové výsledky. Ako môžu mince vypadnúť - orol / orol, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Tak celkový počet výsledkov - 4. Koľko priaznivých výsledkov? Dvaja - Eagle / Rush a Rush / Eagle. Pravdepodobnosť kombinácie orla / Rush sa teda rovná:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 alebo 50 percent.

A teraz zvážte takúto úlohu. Masha vo vrecku z 6 mincí: Dva - Denomácia 5 rubľov a štyri - denominácia 10 rubľov. Masha posunul 3 mince do iného vrecka. Aká je pravdepodobnosť, že 5-rubľové mince budú v rôznych vreckách?

Pre jednoduchosť, označujeme mince s číslami - 1,2 - päťčlennými minciami, 3,4,5,6 - mince metrov. Tak ako môže byť mince vo vrecku? K dispozícii je 20 kombinácií:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že niektoré kombinácie zmiznú napríklad 231, avšak v našom prípade sú kombinácie 123, 231 a 321 ekvivalentné.

Teraz považujeme za to, koľko priaznivých výsledkov máme. Pre nich berieme tie kombinácie, v ktorých existuje buď číslo 1, alebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. sú teda 12. Pravdepodobnosť sa rovná:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 alebo 60%.

Úlohy na teóriu pravdepodobnosti, ktoré sú tu prezentované, sú pomerne jednoduché, ale nemyslite si, že teória pravdepodobnosti je jednoduchá časť matematiky. Ak sa rozhodnete pokračovať v oblasti vzdelávania na univerzite (s výnimkou humanitárnych špecialít), určite budete mať niekoľko vyšších matematiky, na ktorých budete oboznámení s zložitejšími podmienkami tejto teórie a úlohy budú oveľa ťažšie .

Spočiatku, byť len stretnutie informácií a empirických pozorovaní hry v kosti, teória pravdepodobnosti sa stala pevnou vede. Prvý, kto jej dal matematický rámec, bola farma a Pascal.

Od premýšľania o večnosti na teóriu pravdepodobnosti

Dve osobnosti, ktoré sú povinní mnohými základnými vzorcami, Blaise Pascal a Thomas Bayes, sú známe ako hlboko veriaci, ten bol presbyteriánsky kňaz. Zdá sa, že túžba týchto dvoch vedcov dokázať omyl pohľadávok na nejaký druh bohatstva, čo dáva šťastiu svojich domácich zvierat, dal impulz výskum v tejto oblasti. Koniec koncov, v skutočnosti, akékoľvek hazardné hry so svojimi výhrumi a stratami je len symfónia matematických princípov.

Vďaka AZART Cavaller, ktorý bol rovnako hráč a osoba, ktorá nie je ľahostajná k vede, bol Pascal nútený nájsť spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť. Vyváža sa zaujímať o takúto otázku: "Koľkokrát by ste mali hodiť dva kosti vo dvojiciach, takže pravdepodobnosť získania 12 bodov prekročila 50%?". Druhá otázka je mimoriadne zaujímavá o Cavallar: "Ako zdieľať stávku medzi účastníkmi nedokončenej hry?" Samozrejme, Pascal úspešne reagoval na obe otázky, ktoré sa stali nedobrovoľným impulzom pre rozvoj pravdepodobnosti teórie. Zaujímavé je, že osoba osoba zostala v odbore známa, a nie v literatúre.

Predtým žiadny matematik ešte nevykonal pokusy o výpočet pravdepodobnosti udalostí, pretože sa verilo, že je to len gady rozhodnutie. Blaise Pascal poskytol prvú definíciu pravdepodobnosti udalosti a ukázala, že ide o konkrétnu hodnotu, ktorá môže byť odôvodnená matematickými prostriedkami. Pravdepodobnosť teória sa stala základom štatistiky a je široko používaná v modernej vede.

Čo je nehody

Ak zvážime test, ktorý môžete opakovať nekonečné číslo, potom môžete definovať náhodnú udalosť. Toto je jeden z pravdepodobných výsledkov skúseností.

Skúsenosti je implementácia konkrétnych opatrení v konštantných podmienkach.

Ak chcete pracovať s výsledkami skúseností, udalosti sú zvyčajne označené písmenami A, B, C, D, E ...

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti

Aby ste mohli začať matematickú časť pravdepodobnosti, musíte definovať všetky jeho komponenty.

Pravdepodobnosť udalosti je vyslovovaná v numerickej forme opatrenia vzhľadu určitej udalosti (A alebo B) v dôsledku skúseností. Uvádza sa pravdepodobnosť, že p (a) alebo p (b).

V teórii pravdepodobnosti rozlišuje:

• spoľahlivý Udalosť je zaručená v dôsledku experimentu p (ω) \u003d 1;
• nemožný Udalosť sa nikdy nemôže nastať p (Ø) \u003d 0;
• náhodný Podujatie leží medzi spoľahlivým a nemožným, to znamená, že pravdepodobnosť jeho vzhľadu je možná, ale nie je zaručená (pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vždy do 0 \u003cp (a) ≤ 1).

Vzťahy medzi udalosťami

Zvážte to isté aj súčet udalostí A + B, keď sa udalosť počíta do implementácie aspoň jednej zo zložiek, A alebo B alebo oboch - A aj V.

Vo vzťahu k sebe môžu byť udalosti:

• Rovnováhu.
• Kompatibilný.
• Nekompatibilné.
• Oproti (vzájomne sa exkluzívne).
• Závislý.

Ak sa môžu vyskytnúť dve udalosti s rovnakou pravdepodobnosťou, potom rovnováha.

Ak je vzhľad udalosti a neznižuje pravdepodobnosť vzhľadu udalosti B, potom kompatibilný.

Ak sa udalosti A a B nikdy nestali súčasne v rovnakej skúsenosti, nazývajú sa nekompatibilný. Hádzacie mince je dobrým príkladom: Vzhľad Rush je automaticky chyba orla.

Pravdepodobnosť množstva takýchto nekompatibilných udalostí sa skladá z pravdepodobnosti každej z udalostí:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Ak sa nástup jednej udalosti znemožňuje vyskytnúť iné, nazývajú sa naproti. Potom je jeden z nich označený ako a druhý - ā (čítať ako "nie"). Vzhľad udalosti A znamená, že sa nestalo. Tieto dve podujatia tvoria kompletnú skupinu so súčtom pravdepodobnosti rovnej 1.

Závislé udalosti majú vzájomný vplyv, znižujú alebo zvyšujú pravdepodobnosť.

Vzťahy medzi udalosťami. Príklady

Príklady sú oveľa jednoduchšie pochopiteľné princípy kombinácií teórie pravdepodobnosti a udalostí.

Skúsenosti, ktoré budú vykonané, je vytiahnuť loptičky z krabice a výsledkom každej skúsenosti je elementárnym výsledkom.

Udalosť je jedným z možných výsledkov skúseností - červená guľa, modrá guľa, lopta s číslom šesť, atď.

Skúšobné číslo 1. Zúčastňuje sa 6 loptičiek, z ktorých tri sú natreté do modrej, nepárne sa na nich a tri ďalšie sú červené s párnymi číslami.

Skúšobné číslo 2. Zúčastňuje sa 6 guličiek modrej s číslami od jedného do šiestich.

Na základe tohto príkladu môžete volať kombinácie:

• Spoľahlivá udalosť. V №2 Udalosť "Získajte modrú loptu" je spoľahlivá, pretože pravdepodobnosť jeho vzhľadu je rovná 1, pretože všetky gule modré a miss nemôžu byť. Keďže udalosť "Získajte guľu s číslom 1" je náhodná.
• Nemožné udalosti. V №1 s modrými a červenými loptami udalosť "Získajte fialovú guľu" je nemožná, pretože pravdepodobnosť jeho vzhľadu je 0.
• Rovnakých udalostí. V №1 Udalosti "Získajte loptu s číslom 2" a "dostať loptu s číslom 3" rovnovážnosť, a udalosti "dostať loptu s párnym číslom" a "dostať loptu s číslom 2" mať inú pravdepodobnosť .
• Kompatibilné udalosti. Dvakrát v rade získať šesť v procese hádzania hracej kosti - to sú kompatibilné udalosti.
• Nekompatibilné udalosti. V tom istom ISP. №1 Udalosti "Získajte červenú guľu" a "dostať loptu s nepárne číslo" nie je možné kombinovať v rovnakom zážitku.
• Opačných udalostí. Najvýraznejším príkladom toho je hádzať mince, keď je orol ťahanie rovnajúce na nezajazdnosť rieky a súčet ich pravdepodobnosti je vždy 1 (plná skupina).
• Závislé udalosti. Takže v ISP. №1 Môžete nastaviť cieľ na odstránenie červeného balónu dvakrát v rade. Jeho extrakcia alebo neznáma prvýkrát ovplyvňuje pravdepodobnosť extrakcie druhého času.

Je možné vidieť, že prvá udalosť výrazne ovplyvňuje pravdepodobnosť druhej (40% a 60%).

Vzorec pravdepodobnosti udalosti

Prechod od reflexie Galettingu na presné údaje je spôsobené prekladateľskou témou do matematickej roviny. To znamená, že rozsudky o náhodnej udalosti, ako je "vysoká pravdepodobnosť" alebo "minimálna pravdepodobnosť", môžu byť prevedené na špecifické numerické údaje. Takýto materiál je prípustný na vyhodnotenie, porovnávanie a zaviesť do zložitejších výpočtov.

Z hľadiska výpočtu je definícia pravdepodobnosti udalosti pomer počtu základných pozitívnych výsledkov k výške všetkých možných výsledkov skúseností relatívne špecifickej udalosti. Je indikovaný pravdepodobnosťou P (A), kde R znamená slovo "pravdepodobnosť", ktorá je preložená z francúzštiny ako "pravdepodobnosť".

Takže pravdepodobnosť vzorec

Kde M je počet priaznivých výsledkov pre podujatie A, N - súčet všetkých výsledkov možných pre túto skúsenosť. V tomto prípade pravdepodobnosť udalostí vždy leží medzi 0 a 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti. Príklad

Vezmite si kúzlo. №1 s guľôčkami, ktoré sú opísané vyššie: 3 modré gule s číslami 1/3/5 a 3 červenou s číslami 2/4/6.

Na základe tohto testu je možné zobraziť niekoľko rôznych úloh:

• A - Strata červenej misky. Červené gule 3 a celkové možnosti 6. Toto je najjednoduchší príklad, v ktorom je pravdepodobnosť udalosti p (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - Strata párneho čísla. Celkom aj čísla 3 (2,4,6) a celkový počet možných numerických variantov je 6. Pravdepodobnosť tejto udalosti je P (B) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C je strata čísla väčšia ako 2. Celkové možnosti 4 (3,4,5,6) z celkového množstva možných výsledkov 6. Pravdepodobnosť udalosti s rovným p (C) \u003d 4/6 \u003d 0,67 .

Ako je možné vidieť z výpočtov, udalosť C má väčšiu pravdepodobnosť, pretože počet pravdepodobných pozitívnych výsledkov je vyšší ako v A a V.

Neplatné udalosti

Takéto udalosti sa nemôžu súčasne objaviť v rovnakej skúsenosti. Podobne №1 Nie je možné súčasne dosiahnuť modrú a červenú guľu. To znamená, že môžete dostať buď modrú alebo červenú guľu. Rovnakým spôsobom v hracej kosti môže byť aj a nepárne číslo súčasne.

Pravdepodobnosť dvoch podujatí sa považuje za pravdepodobnosť ich sumy alebo práce. Množstvo takýchto udalostí A + B sa považuje za také udalosť, ktorá spočíva v vzniku udalosti A alebo B, a práca z nich je vo vzhľade oboch. Napríklad vzhľad dvoch šiestich ihneď na okrajoch dvoch kocky v jednom hodení.

Súčet niekoľkých udalostí je udalosť, ktorá zahŕňa vznik aspoň jedného z nich. Práca niekoľkých udalostí je spoločným vzhľadom na všetky.

V teórii pravdepodobnosti, spravidla použitie Únie "a" označuje sumu, Úniu "alebo" - množenie. Formuly s príkladmi pomôžu pochopiť logiku pridávania a množenia v teórii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť neúplných udalostí

Ak sa zvažuje pravdepodobnosť nekonzistentných udalostí, pravdepodobnosť množstva udalostí sa rovná pridaniu ich pravdepodobnosti:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Napríklad: Vypočítam pravdepodobnosť, že v PC. Č. 1 s modrými a červenými guľôčkami, číslo 1 a 4. vypočítať nie je v jednej akcii, ale súčet pravdepodobností základných zložiek. Takže v tejto skúsenosti len 6 loptičiek alebo 6 všetkých možných výsledkov. Čísla, ktoré spĺňajú stav - 2 a 3. Pravdepodobnosť obrázku 2 je 1/6, pravdepodobnosť obrázku 3 je tiež 1/6. Pravdepodobnosť, že číslica vypadne medzi 1 a 4, sú:

Pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí kompletnej skupiny sa rovná 1.

Takže, ak je v experimente s kockou, položte pravdepodobnosti spadnutia všetkých čísel, potom v dôsledku toho získame jednotku.

Je to tiež pravda pre opačné udalosti, napríklad skúsenosti s mincou, kde je jedna strana udalosť A, a druhá je opačná udalosť ā, ako je známe,

P (a) + p (Â) \u003d 1

Pravdepodobnosť práce non-prominentných udalostí

Násobenie pravdepodobností platí, keď zvažujú vznik dvoch alebo viacerých neúplných udalostí v jednom pozorovaní. Pravdepodobnosť, že udalosti A a B sa zobrazia súčasne, rovnajúcom sa výrobku ich pravdepodobnosti, alebo:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Napríklad pravdepodobnosť, že v ISP. №1 V dôsledku dvoch pokusov sa modrá guľa objaví dvakrát, rovná

To znamená, že pravdepodobnosť výskytu udalosti, keď v dôsledku dvoch pokusov s odstránením guličiek, budú extrahované len modré guličky, ktoré sa rovná 25%. Je veľmi ľahké robiť praktické experimenty tejto úlohy a zistiť, či je to naozaj.

Spoločné udalosti

Udalosti sa považujú za spoločne, keď sa objav jednej z nich môže zhodovať s vznikom iného. Napriek tomu, že sú spoločné, sa považuje pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Napríklad, hádzanie dvoch hracích kostí môže poskytnúť výsledok, keď číslo 6 spadne na oboch z nich. Hoci udalosti sa zhodovali a objavili sa súčasne, sú nezávislé od seba - len jedna šesť, druhá kosť nemá vplyv na to .

Pravdepodobnosť spoločných udalostí sa považuje za pravdepodobnosť ich sumy.

Pravdepodobnosť súčtu spoločných udalostí. Príklad

Pravdepodobnosť množstva udalostí A a B, ktorá vo vzťahu k sebe navzájom sa rovná súčtu pravdepodobnosti podujatia s odpočítaním pravdepodobnosti ich práce (to znamená ich spoločné implementácia):

P kĺb. (A + C) \u003d P (A) + P (B) - P (AV)

Predpokladajme, že pravdepodobnosť dostať sa do cieľa s jedným záberom je 0,4. Potom udalosť A - Biť cieľ v prvom pokuse, v druhom pokuse. Tieto udalosti sú spoločné, pretože je možné, že cieľ môže byť zasiahnutý a od prvého az druhého výstrelu. Ale udalosti nie sú závislé. Aká je pravdepodobnosť výskytu cieľovej porážky z dvoch záberov (aspoň jeden)? Podľa vzorca:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpoveď na otázku je nasledovná: "Pravdepodobnosť dostať sa do cieľa z dvoch záberov je 64%."

Tento vzorec pravdepodobnosti udalosti môže byť tiež použiteľný na neúplné udalosti, kde pravdepodobnosť vzhľadu udalosti P (AV) \u003d 0. To znamená, že pravdepodobnosť neúplných udalostí možno považovať za špeciálny prípad navrhovaného vzorca.

Pravdepodobnosť geometrie pre jasnosť

Zaujímavé je, že pravdepodobnosť množstva spoločných udalostí môže byť zastúpená ako dve oblasti A a B, ktoré sa pretínajú spolu. Ako je zrejmé z obrázku, oblasť ich združenia sa rovná celkovej ploche za minútu priesečníckych oblastí. Toto geometrické vysvetlenie robí zrozumiteľnejší v prvom vzorec. Všimnite si, že geometrické riešenia nie sú nezvyčajné v teórii pravdepodobnosti.

Stanovenie pravdepodobnosti súčtu množiny (viac ako dva) kĺbové udalosti je dosť ťažkopádne. Ak chcete vypočítať, musíte použiť vzorce, ktoré sú uvedené pre tieto prípady.

Závislé udalosti

Závislé udalosti sa nazývajú, ak je ofenzívna jedna (a) ovplyvňuje pravdepodobnosť iného (b). Okrem toho sa zohľadňuje vplyv oboch udalostí A a jeho chýb. Hoci udalosti sa nazývajú v závislosti od definície, ale len jeden z nich (b) je závislý. Zvyčajná pravdepodobnosť bola označená ako P (B) alebo pravdepodobnosť nezávislých udalostí. V prípade závislého, nová koncepcia je zavedená - podmienená pravdepodobnosť P A (B), ktorá je pravdepodobnosťou závislej udalosti v za predpokladu, že udalosť A (hypotéza) nastala, z ktorej závisí.

Ale koniec koncov, udalosť je tiež náhodou, takže má tiež šancu, že potrebujete a možno ich zohľadniť vo vypočítaných výpočtoch. Ďalej sa zobrazí príklad, ako pracovať so závislými udalosťami a hypotézou.

Príklad výpočtu pravdepodobnosti závislých udalostí

Dobrým príkladom pre výpočet závislých udalostí môže byť štandardné balíček kariet.

Na príklade paluby v 36 kartách, zvážte závislé udalosti. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že druhá karta extrahovaná z paluby bude tamburín, ak prvý extrahuje:

1. BUBNOVY.
2. Ďalší oblek.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť druhej udalosti je závislá od prvej A. Takže, ak je prvá možnosť pravda, že paluba sa stala 1 kartou (35) a 1 tamburína (8) menej, pravdepodobnosť podujatia v:

P a (b) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ak je druhá možnosť veľtrhu, paluba sa stala 35 kartami a celkový počet Tamburine (9) je stále zachovaný, potom pravdepodobnosť ďalšieho udalosti v:

P a (b) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Je možné vidieť, že ak je udalosť dohodnutá v tom, že prvá karta je tamburín, potom pravdepodobnosť podujatia v znižovaní a naopak.

Násobenie závislých udalostí

Vedená predchádzajúcou kapitolou, prijímame prvú udalosť (A) ako fakt, ale ak v podstate povieme, má náhodný charakter. Pravdepodobnosť tejto udalosti, konkrétne extrakcie tamburínu z paluby kariet, sa rovná:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Vzhľadom k tomu, teória sama osebe neexistuje, ale je navrhnutá tak, aby slúžila na praktické účely, je správne poznamenať, že pravdepodobnosť produktu závislých udalostí je najčastejšie potrebná.

Podľa teorem na výrobku pravdepodobnosti závislých udalostí sa pravdepodobnosť vzhľadu spoločne závislých udalostí A a B rovná pravdepodobnosti jednej udalosti A, vynásobená podmienenou pravdepodobnosťou udalosti v (závislých A):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Potom v príklade s palubou, pravdepodobnosť extrakcie dvoch kariet s Mahi Tamburine je:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571, alebo 5,7%

A pravdepodobnosť extrakcie nie je tamburín najprv a potom sa tamburíny rovnajú:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19, alebo 19%

Je možné vidieť, že pravdepodobnosť vzhľadu udalosti vo viac za predpokladu, že prvá extrakčná karta sa extrahuje z tamburínu. Tento výsledok je pomerne logický a zrozumiteľný.

Plná pravdepodobnosť udalosti

Keď sa problém s podmienenými pravdepodobnosťmi stáva mnohostrannými, nie je možné vypočítať obvyklé metódy. Keď sú hypotézy viac ako dve, menovite A1, A2, ... a N, .. Chladenie kompletnej skupiny udalostí poskytovaných:

• P (a i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A I ∩ A J \u003d Ø, I ≠ J.
• Σ k a k \u003d Ω.

Tak, vzor pre plnú pravdepodobnosť udalosti v kompletnej skupine náhodných udalostí A1, A2, ... a N je:

Pozrite sa do budúcnosti

Pravdepodobnosť náhodného udalosti je mimoriadne nevyhnutná v mnohých oblastiach vedy: ekonometrické, štatistiky, fyziky atď. Ako niektoré procesy nemožno určiť, pretože sami majú pravdepodobnostný charakter, sú potrebné špeciálne metódy práce. Teória pravdepodobnosti udalosti môže byť použitá v akejkoľvek technologickej sfére ako spôsob, ako určiť možnosť chyby alebo poruchy.

Je možné povedať, že, učenie sa pravdepodobnosti, robíme teoretický krok do budúcnosti nejakým spôsobom, pozerá sa na to prostredníctvom hranoly vzorca.

Všetko na svete je určené alebo náhodou ...
Aristotle

Pravdepodobnosť: Základné pravidlá

Pravdepodobnosť teória vypočíta pravdepodobnosť rôznych udalostí. Hlavným teóriou pravdepodobnosti je koncepcia náhodnej udalosti.

Napríklad hádzate mincu, náhodne padá na erb alebo široký. Vopred neviete, aký druh mincí padne. Vstúpte do poistnej zmluvy, vopred neviete, či nebudú žiadne platby.

Pri poistno-matematických výpočtoch musíte byť schopní zhodnotiť pravdepodobnosť rôznych udalostí, preto teória pravdepodobnosti zohráva kľúčovú úlohu. Žiadna iná oblasť matematiky nemôže pracovať s pravdepodobnosť udalostí.

Zvážte viac detailov, aby ste hodili mincu. Existujú 2 vzájomne exkluzívne exodus: emisie srsti zbraní alebo stratu spechu. Výsledok reťazca je náhodný, pretože pozorovateľ nemôže analyzovať a vziať do úvahy všetky faktory, ktoré ovplyvňujú výsledok. Aká je pravdepodobnosť znaku? Väčšina z nich odpovie ½, ale prečo?

Formálne ALE Označuje ukladanie srsti ramien. Nechajte mincu ponáhľať N. čas. Potom pravdepodobnosť udalosti ALE Je možné určiť, ako je to podiel tých hodov, v dôsledku čoho srsť zbraní padá:

kde n. Celkové hody, n (a) Počet párov srsti.

Vzťah (1) frekvencia diania ALE V dlhej sérii testov.

Ukazuje sa, že v rôznych sériách testov zodpovedajúcu frekvenciu vo veľkom n. rastie o niektorých trvalých hodnotách R (a). Táto hodnota sa volá pravdepodobnosť udalosti ALE A označuje list Ročník- skratka z anglického slova pravdepodobnosť - pravdepodobnosť.

Formálne máme:

(2)

Tento zákon sa volá zákonom veľkých čísel.

Ak je minca správna (symetrická), pravdepodobnosť emisií srsti ramien je rovnaká ako pravdepodobnosť straty rieky a je rovná ½.

Byť ALE a V Niektoré udalosti sa napríklad vyskytli alebo nie je poistená udalosť. Kombinácia dvoch podujatí je udalosť spočívajúca v realizácii udalosti. ALE, diania Valebo obe udalosti spolu. Priesečník dvoch podujatí ALE a V Nazýva sa udalosť pozostávajúca z implementácie oboch udalostí ALEa udalosti V.

Základné pravidlá Výpočty pravdepodobnosti udalostí sú nasledovné:

1. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti sa uzatvára medzi nulou a jednotkou:

2. Nechajte a a v dvoch podujatiach:

Čítať takto: Pravdepodobnosť kombinácie dvoch podujatí sa rovná súčtu pravdepodobnosti týchto udalostí mínus pravdepodobnosť prekročenia udalostí. Ak sú udalosti neúplné alebo krátkodobé, pravdepodobnosť kombinácie (množstva) dvoch podujatí sa rovná súčtu pravdepodobnosti. Tento zákon sa nazýva zákon prílohy pravdepodobné.

Hovoríme, že udalosti sú spoľahlivé, ak je jeho pravdepodobnosť rovná 1. Pri analýze určitých javov, vzniká otázka, keďže udalosť ovplyvňuje V Na udalostiach ALE. Pre toto zavedené podmienečná pravdepodobnosť :

(4)

Čítať takto: pravdepodobnosť urážku ALE Vzhľadom na to V sa rovná pravdepodobnosti križovatky ALE a Vrozdelená pravdepodobnosťou udalosti V.
Vo vzorci (4) sa predpokladá, že pravdepodobnosť udalosti V Nad nulou.

Vzorec (4) môže byť tiež napísaný ako:

(5)

Tento vzorec násobenie pravdepodobností.

Nazývajú sa aj podmienená pravdepodobnosť ospravedlňujúci sa pravdepodobnosť udalosti ALE - Pravdepodobnosť ofenzívy ALE Po nástupe V.

V tomto prípade sa volá pravdepodobnosť a priori pravdepodobnosť. Existuje niekoľko dôležitejších vzorcov, ktoré sa intenzívne používajú v poistno-matematických výpočtoch.

Pravdepodobnosť vzorec

Predpokladajme, že sa uskutoční skúsenosti, ktorých podmienky možno vykonať vopred. vzájomne Exkluzívne predpoklady (hypotézy):

Predpokladáme, že buď je to hypotéza alebo ... Pravdepodobnosti týchto hypotéz sú známe a rovnaké:

Potom je tu vzor plný pravdepodobnosť :

(6)

Pravdepodobnosť udalosti ALE rovná množstvu pravdepodobnosti urážku ALE S každou hypotézou o pravdepodobnosti tejto hypotézy.

Vzorec.

Vzorec. Umožňuje vám prepracovať pravdepodobnosť hypotéz vzhľadom na nové informácie, ktoré výsledok dal ALE.

Vzorec Bayes v určitom zmysle je inverzná vzorec plného pravdepodobnosti.

Zvážte nasledujúcu praktickú úlohu.

Úloha 1.

Predpokladajme, že sa vyskytnú s haváriou lietadla a odborníci sa zaoberajú štúdiom jeho príčin. Existujú 4 dôvody, pre ktoré nastala katastrofa: buď dôvod alebo, alebo alebo. Podľa existujúcich štatistík majú tieto dôvody tieto pravdepodobnosti: \\ t

Pri skúmaní miesta katastrofy sa zistili stopy zapaľovania paliva podľa štatistík, pravdepodobnosť tejto udalosti s určitými dôvodmi je:

Otázka: Aká je príčina katastrofy s najväčšou pravdepodobnosťou?

Vypočítať pravdepodobnosti dôvodov výskytu udalosti ALE.

Je možné vidieť, že prvý dôvod je najpravdepodobnejší, pretože jeho pravdepodobnosť je maximálna.

Úloha 2.

Zvážte pristátie lietadla na letisku.

Pri vykládke, poveternostné podmienky môžu byť také: neexistuje žiadna nízka oblačnosť (), je tu nízka oblačnosť (). V prvom prípade je pravdepodobnosť prosperujúceho pristátia rovná Pl. V druhom prípade - P2.. Je to jasné P1\u003e P2..

Zariadenia, ktoré poskytujú slepé pristátie, majú pravdepodobnosť bezproblémov Ročník. Ak existuje nízka oblačnosť a zariadenia slepého pristátia odmietnuté, pravdepodobnosť úspešného pristátia sa rovná P3a P3<Р2 . Je známe, že pre toto letisko je podiel dní ročne ročne s nízkym oblačou.

Nájdite pravdepodobnosť bezpečného pristátia lietadla.

Je potrebné nájsť šancu.

Existujú dve vzájomne sa exkluzívne možnosti: Zariadenie slepého pristátia pôsobia, zariadenia slepého pristátia boli odmietnuté, takže máme:

Preto vzorec úplnej pravdepodobnosti:

Úloha 3.

Poisťovňa sa zaoberá životným poistením. 10% poisteného v tejto spoločnosti sú fajčiari. Ak poistený nefajčí, pravdepodobnosť jeho smrti počas celého roka je 0,01, ak je fajčiar, potom táto pravdepodobnosť je 0,05.

Aký je podiel fajčiarov medzi poistenými, ktorí zomreli počas roka?

Možnosti odpovede: A) 5%, b) 20%, c) 36%, d) 56%, e) 90%.

Rozhodnutie

Predstavujeme udalosti:

Podmienka úlohy znamená, že

Okrem toho, pretože udalosti a tvoriť kompletnú skupinu párových nekompatibilných udalostí.
Pravdepodobnosť záujmu je.

Používanie vzorec Bayes máme:

preto je možnosť pravda ( V).

Úloha 4.

Poisťovňa predáva zmluvu o životnom poistení pre tri kategórie: štandardné, privilegované a ultra-resilované.

50% všetkých poistencov je štandardom, 40% - privilegované a 10% - ultra-resilited.

Pravdepodobnosť smrti počas roka pre štandardnú poistenú je 0,010, pre privilegované - 0.005 a pre ultra privilegované - 0,001.

Aká je pravdepodobnosť, že zosnulý poistený je ultra-pružný?

Rozhodnutie

Predstavujeme nasledujúce udalosti:

Pokiaľ ide o tieto udalosti, je pravdepodobnosť záujmu na nás. Podľa stavu:

Vzhľadom k tomu, udalosti, tvoria kompletnú skupinu párových nekompatibilných udalostí pomocou vzorca Bayes máme:

Náhodné premenné a ich vlastnosti

Nechajte nejakú náhodnú hodnotu, napríklad poškodenie požiaru alebo výšku poistných platieb.
Náhodná hodnota je plne charakterizovaná jeho distribučnou funkciou.

Definícia.Funkcia zavolaný distribučná funkcia náhodná premenná ξ .

Definícia.Ak existuje taká funkcia, ktorá pre svojvoľné a. hotový