V ekvilibrovanom trojuholníku sú strany rovnaké. Rovnoramenný trojuholník

Rovnoramenný trojuholník - Toto je trojuholník, v ktorom sú dve strany rovné dĺžke. Rovnaké strany sa nazývajú strana a druhá je základom. Podľa definície je správny trojuholník tiež rovnako chránil, ale opačné vyhlásenie je nesprávne.

Vlastnosť

• Rohy, oproti rovnakým stranám rovnocenného trojuholníka, sú rovnaké. Tiež rovné bisektoru, mediánov a výšok z týchto rohov.
• Bisectrix, medián, výška a stredná kolmo, vykonávaná na základňu, sa navzájom zhodujú. Centrá vpísané a opísané kruhy ležia na tomto riadku.
• Rohy, oproti rovnakým stranám, sú vždy ostré (vyplýva z ich rovnosti).

Byť a. - dĺžka dvoch rovnakých strán ekologického trojuholníka, \\ t b. - dĺžka tretej strany, \\ t α a β - vhodné uhly, \\ t R. - polomer opísaného kruhu, r. - polomer napísaný.

Strany možno nájsť takto:

Rohy môžu byť vyjadrené nasledujúcimi spôsobmi:

Perimeter rovnovážneho trojuholníka sa môže vypočítať niektorým z nasledujúcich spôsobov:

Oblasť trojuholníka môže byť vypočítaná jedným z nasledujúcich spôsobov:

Príznaky

• Dva trojuholníkový uhol sú rovnaké.
• Výška sa zhoduje s mediánom.
• Výška sa zhoduje s bisectorom.
• Bissectrix sa zhoduje s mediánom.
• Dve výšky sú rovnaké.
• Dvaja mediáni sú rovnaké.
• Dva bisector sú rovnaké (Steiner Theorem - LEMUS).

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Sledujte, čo je "rovnomerne predsedajúci trojuholník" v iných slovníkoch:

Ekologický trojuholník, trojuholník s dvoma rovnou stranou; Rohy s týmito stranami sú tiež rovné ... Vedecký a technický encyklopédový slovník

A (jednoduchý) trojuholníkový trojuholník, manžel. 1. Geometrický tvar, obmedzené tri vzájomne pretínajúce sa rovno, tvoriť tri vnútorné rohy (rohože). Hlúpy trojuholník. Outrich trojuholník. Správny trojuholník.… … Vysvetľujúci slovník Ushakov

Rovná, aya, oe: rovnako pripútaný trojuholník s dvoma rovnými stranami. | Sud Incobated a, ženy. Vysvetľujúci slovník ozhegov. S.I. OZHEGOV, N.YU. Swedov. 1949 1992 ... Vysvetľujúci slovník ozhegov

trojuholník - ▲ Polygón, ktorý má, tri, rohový trojuholník je najjednoduchší mnohouholník; Nastavte 3 body, ktoré nie sú ležiace na jednej priamke. trojuholníkový. akvrdu. akútne. Obdĺžnikový trojuholník: katasta. hyptotenuse. rovnoramenný trojuholník. ▼ ... ... Ideografický slovník ruského jazyka

trojuholník - Trojuholník1 a, m, alebo z ODA. Objekt, ktorý má formu geometrického tvaru, obmedzená tromi pretínajúcimi sa rovným, tvoriacim tri vnútorné rohy. Presunula svoje manželské listy žltou prednou čiarou. Trojuholník2, A, M ... ... Vysvetľujúci slovník ruských podstatných mien

Tento termín má iné hodnoty, pozri trojuholník (hodnoty). Trojuholník (v Euclidovskom priestore) je geometrický tvar tvorený tromi segmentmi, ktoré spájajú tri, ktoré nie sú ležiace na jednom mieste. Tri body, ... Wikipédia

Trojuholník (mnohouholník) - trojuholníky: 1 akútny, obdĺžnikový a hlúpy; 2 správny (rovnostranný) a udržaný; 3 bisector; 4 mediány a ťažisko; 5 výšok; 6 ortocentrov; 7 Stredná čiara. Trojuholník, mnohouholník s 3 stranami. Niekedy pod ... ... Ilustrovaný encyklopédový slovník

Encyklopedický slovník

trojuholník - ale; m. 1) a) geometrický tvar, ohraničený tromi pretínajúcimi sa rovným, tvoriacim tri vnútorné rohy. Obdĺžnikový, rovnovážny thug / ľan. Vypočítajte oblasť trojuholníka. b) Ott. Čo alebo z ODA. Alebo predmet takejto formy. ... ... Slovník mnohých výrazov

ALE; m. 1. Geometrický tvar, ohraničený tromi pretínajúcimi sa rovným, tvoriacim tri vnútorné rohy. Obdĺžnikové, rovnogil t. Vypočítajte oblasť trojuholníka. // čo alebo z ODA. Alebo predmetom takejto formy. T. Strecha. T. ... ... Encyklopedický slovník

Kontrola domácich úloh

№ 111.

Dané: Cd = BD. , 1 = 2

Preukázať: A. B. C - Bezdrôtové

№ 107.

bok A. 2 krát menej AV

P \u003d 50 cm,

P \u003d 50 cm

x + 2x + 2x \u003d 50

x \u003d 10.

2 h.

2 h.

AC \u003d 10 cm,

Ab \u003d slnko \u003d 20 cm

Ktorý z trojuholníkov je rovnako chránil? Pre rovnovážne trojuholníky názov základne a strany.

Uvádza sa: AD - Bisector δ BAC, BAC \u003d 74 0. Nájsť: BA D. (Obr.1)

Dančiat: KL - výška δ kmn. Nájsť: Kln. (Obr.2)

Dana: Qs - medián Δ pqr, PS \u003d 5,3 cm. Nájsť: pr. (Obr. 3)

• Je uvedené: Δ ABC je zakryté so základňou AU, VK Bisectris, AC \u003d 46 cm. Nájsť: AK. (Obr. 4)
• Je uvedené: Δ ABC je zakryté so základňou AU, VK Výška, ABC \u003d 46 0. Nájsť: AVK. (Obr. 5)
• Dáva sa: Δ s BD Iscaed s base B C, da mediánom, vs \u003d 120 0. Nájsť: ADB. (Obr. 6)

7. ročník

Vlastnosti rovnako pripútaného trojuholníka

Tri spôsoby vedú k vedomostiam:

Odrážajúca cesta je najviac ušľachtilá cesta

Imitácia cesta je najjednoduchšia cesta,

A cesta skúseností je cesta je najviac horká.

Konfucius.

V rovnovážnom trojuholníku sú uhly na báze rovnaké.

Dano: ABC je predchádzajúci

Ukázať

Dôkaz:

1. Vykonávame BISECTRIS BD ANGLE V.

2. Zvážte Δ ab d a δ cbd:

Ab \u003d bc (pod podmienkou), \\ t

V D - Všeobecná strana,

∠ a bd \u003d ∠ s bd

Δ AVD \u003d Δcbd (1 znak rovnosti trojuholníkov)

3. V rovnakých trojuholníkoch sú zodpovedajúce uhly rovné ∠ A \u003d ∠ S.

V rovnovážnom trojuholníku bisecu, ktorý sa uskutočnil na základňu, je stredná a výška.

Dané: ABC je predchádzajúci,

ALE D - bisector .

Ukázať ALE D. - výška,

ALE D. - medián.

Dôkaz:

1) Zvážte:

Δ zlé \u003d ΔCAD (1 znamenie rovnosti trojuholníkov).

2) V rovnakých trojuholníkoch sú príslušné strany a rohy rovnaké

1 \u003d 2 \u003d 90 ° (susedné uhly).

AD je medián a výška δ ABC.

Riešenie úloh.

SAVRASOVA S.M., YARSTREYSKYSKY G.A. "Cvičenia na planimetriu na hotové výkresy"

110

70

70

Riešenie úloh.

Danckované: AV \u003d v C, 1 \u003d 130 0.

L. S. Atanasyan. Geometria 7-9 č. 112.

Riešenie úloh.

Nájsť: AB D.

Trojuholník

ABC - EQUAL

V D - Medián

Tak, v D - Bisector

40 0

40 0

Cm. Savrasova, G.A. Yatrevilky "cvičenia na hotových výkresoch"

Domáca úloha:

• s. 19 (s. 35 - 36), č. 109, 112, 118.

V tejto lekcii sa zváži tému "rovnaký trojuholník a jeho vlastnosti". Naučíte sa, čo vyzerá a rovnostranné a rovnostranné trojuholníky. Dokážte teorem na rovnosť uhlov na základni ekvidilačného trojuholníka. Zvážte aj teorem na bisektore (medián a výška), ktorá sa uskutočnila na založenie neprístupného trojuholníka. Na konci lekcie budete analyzovať dva úlohy pomocou definície a vlastností rovnomerne trojuholníka.

Definícia:Vyrovnaný Nazýva sa trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké.

Obr. 1. Rovnaký trojuholník

Ab \u003d AC - bočné strany. Slnko je základom.

Oblasť ekvilibrovaného trojuholníka sa rovná polovici produktu jeho základne na výšku.

Definícia:Rovnostranný Trojuholník sa nazýva, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké.

Obr. 2. Usilovací trojuholník

Ab \u003d slnko \u003d sa.

Veta 1: V rovnovážnom trojuholníku sú uhly na báze rovnaké.

Dané: AU \u003d AU.

Ukázať ∠v \u003d ∠С.

Obr. 3. Kreslenie tormem

Dôkaz: ABC TRIANGLE \u003d DR TRIANGLE NA PRVÝMI PRIPOJENÍMI (DO DVA ROBÚKÝCH STRÁN A ROZHODNUTÝCH STRÁNKU). Z rovnosti trojuholníkov nasleduje rovnosť všetkých relevantných prvkov. Takže, ∠V \u003d ∠c, ktoré bolo potrebné dokázať.

Veta 2: V rovnako obchodnom trojuholníku bisectorvykonávané na zem medián a výška.

Dané: AU \u003d AC, ∠1 \u003d ∠2.

Ukázať CD \u003d DC, AD kolmá na Bc.

Obr. 4. Kresba na vetu 2

Dôkaz: ADB trojuholník \u003d ADC trojuholník na prvý báze (AD - Celkom, AV \u003d AC pre stav, ∠BAD \u003d ∠DAC). Z rovnosti trojuholníkov nasleduje rovnosť všetkých relevantných prvkov. BD \u003d DC, pretože ležia proti rovnakým rohom. Takže, reklama je medián. Tiež ∠3 \u003d ∠4, ako leží proti rovnakým stranám. Ale okrem toho sú rovnaké vo výške. V dôsledku toho ∠3 \u003d ∠4 \u003d. AD je výška trojuholníka, ktorá bola potrebná na preukázanie.

V jedinom prípade A \u003d B \u003d. V tomto prípade sa priame AC a CD nazývajú kolmo.

Keďže Bisector, výška a medián je rovnaký segment, nasledujúce tvrdenia sú oboje:

Výška neprístupného trojuholníka, ktorý sa vykonáva na základňu, je medián a bisector.

Medián je predchádzajúci trojuholník, ktorý sa vykonáva na základňu, je výška a bisektor.

Príklad 1: V rovnostanom trojuholníku je základňa dvakrát nižšia ako bočná strana a obvod je 50 cm. Nájdite strany trojuholníka.

Dané: AU \u003d AC, SUN \u003d AC. P \u003d 50 cm.

Nájsť: Slnko, as, av.

Rozhodnutie:

Obr. 5. Kreslenie napríklad 1

Označujú základňu lietadla ako A AV \u003d AC \u003d 2A.

2A + 2A + A \u003d 50.

5A \u003d 50, A \u003d 10.

Odpoveď: Slnko \u003d 10 cm, AC \u003d AB \u003d 20 cm.

Príklad 2: Dokážte, že v rovnostrannom trojuholníku sú všetky rohy rovnaké.

Dané: Ab \u003d slnko \u003d sa.

Ukázať ∠A \u003d ∠b \u003d ∠С.

Dôkaz:

Obr. 6. Kreslenie napríklad

∠B \u003d ∠c, pretože Av \u003d AC a ∠A \u003d ∠, pretože reproduktor \u003d slnko.

V dôsledku toho ∠A \u003d ∠V \u003d ∠c, ktoré bolo potrebné preukázať.

Odpoveď: Dokázal.

V dnešnej lekcii sme sa pozreli na rovnocenný trojuholník, študovali svoje základné vlastnosti. V ďalšej lekcii sme znížili výzvy na tému neprístupného trojuholníka, aby sme vypočítali oblasť neprístupného a rovnostranného trojuholníka.

1. Alexandrov A.D., Werner A.l., Ryzhik V.I. a iné. Geometria 7. - M.: Osvietenie.
2. Atanasyan L.S., butuzov v.f., kadomtsev s.b. a kol. geometria 7. 5. ed. - M.: Osvietenie.
3. Butuzov v.f., kadomtsev s.b., Prasolova v.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, s.b. KADOMTSEV, V.V. PRASOLOVA, ED. Sadovnichny v.a. - M.: Osvietenie, 2010.

1. Slovníky a encyklopédia na akademickom ().
2. Festival pedagogickej myšlienky "Otvorená lekcia" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. 29. Butuzov v.f., Kadomtsev s.b., Prasolova v.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, s.b. KADOMTSEV, V.V. PRASOLOVA, ED. Sadovnichny v.a. - M.: Osvietenie, 2010.

2. Perimeter rovnovážneho trojuholníka je 35 cm a základňa je trikrát menej bočná strana. Nájdite strany trojuholníka.

3. DANOTY: AV \u003d SUND. Dokážte, že ∠1 \u003d ∠2.

4. Perimeter rovnovážneho trojuholníka je 20 cm, jedna zo svojich strán je dvakrát druhá. Nájdite strany trojuholníka. Koľko riešení má úlohu?

Prvými historikmi našej civilizácie sú staroveké Gréci - odkazujú na Egypt ako miesto pôvodu geometrie. Je ťažké s nimi nesúhlasiť, s vedomím, s ktorou úžasnou presnosťou je obrovský hrobka faraónov. Vzájomné usporiadanie rovín pyramíd, ich proporcie, orientácie na stranách sveta - na dosiahnutie takejto dokonalosti by bolo nemysliteľné, nepoznajú základy geometrie.

Samotná slovo "geometria" môže byť preložená ako "meranie Zeme". A slovo "Zem" pôsobí nie ako planéta - časť slnečnej sústavy, ale ako lietadlo. Značka územia pod údržbou poľnohospodárstva bude pravdepodobne najpočnejšie základe vedy na geometrických číslach, ich typoch a vlastnostiach.

Trojuholník je najjednoduchšia priestorová hodnota planimetrie, ktorá obsahuje iba tri body - vrcholy (nie menej). Základom nadácie môže byť preto, že visí v ňom niečo tajomné a staroveké. Oco oco vo vnútri trojuholníka je jedným z najskôr slávnych okultných značiek a geografie jeho distribúcie a časový rámec jednoducho úžasný predstavivosť. Z starovekého egyptského, Sumeniana, Aztéca a ďalších civilizácií až po modernejšie komunity amatérov okultizmu roztrúsených po celom svete.

Čo sú trojuholníky

Bežný všestranný trojuholník je uzavretý geometrický obrázok, pozostávajúci z troch segmentov rôznych dĺžok a troch rohov, ktoré nie je priame. Okrem toho existuje niekoľko špeciálnych druhov.

Trojuholník akútne má všetky uhly menšie ako 90 stupňov. Inými slovami, všetky uhly takéhoto trojuholníka sú ostré.

Obdĺžnikový trojuholník nad ktorými školáci plačal vďaka hojnosti teorem, má jeden uhol s hodnotou 90 stupňov alebo, ako sa nazýva aj priamy.

Stupid trojuholník je charakterizovaný skutočnosťou, že jeden z jeho rohov je hlúpy, to znamená, že jeho hodnota je viac ako 90 stupňov.

Equlantálny trojuholník má tri strany tej istej dĺžky. Takáto postava je tiež rovná všetkým uhlom.

Nakoniec, v ekvidilačnom trojuholníku troch strán, dvaja sú medzi sebou.

Charakteristické rysy

Vlastnosti ekvidilačného trojuholníka určujú jeho hlavné, čo je najdôležitejšie, rozdiel je rovnosť oboch strán. Tieto strany sa považujú za to, že sa nazývajú boky (alebo, častejšie bočné strany), ale tretia strana sa nazýva "základňa".

Na zváženom obrázku A \u003d b.

Druhý znak ekvipodlažného trojuholníka vyplýva z tory sinusu. Vzhľadom k tomu, strany A a B sa rovná sinesom ich opačných uhlov:

a / SIN γ \u003d B / SIN α, odkiaľ máme: hriech γ \u003d hriech α.

Z rovnosti dutínov sa sleduje rovnosť uhlov: γ \u003d a.

Takže druhé znamenie rovnovážneho trojuholníka je rovnosť dvoch uhlov priľahlých k základni.

Tretie znamenie. Trojuholník rozlišuje také prvky ako výšku, bisector a medián.

Ak sa v procese riešenia problému ukáže, že pri posudzovaní trojuholníka, dvaja niektorý z týchto prvkov sa zhoduje: výška s bisectorom; Bissectrix s mediánom; Medián s výškou - jednoznačne môžeme dospieť k záveru, že trojuholník je wasrosbered.

Geometrické vlastnosti obrázku

1. vlastnosti trojuholníka ISCED. Jedným z charakteristických znakov obrázku je rovnosť uhlov v susediacich s základňou:

<ВАС = <ВСА.

2. Ďalšia nehnuteľnosť je diskutovaná vyššie: medián, bisector a výška v rovnovážnom trojuholníku sa zhodujú, ak sú postavené z jeho vrcholov na základňu.

3. Rovnosť Bissectris uskutočnená z vrcholov na základni:

Ak AE AE je bisectorom uhla teba, a CD je bisektice z uhla BCA, potom: AE \u003d DC.

4. Vlastnosti ekvidilačného trojuholníka tiež poskytujú rovnosť výšok, ktoré sa uskutočňujú z vrcholov na báze.

Ak postavíte výšku trojuholníka ABS (kde AV \u003d SUN) z vrcholov A a C, potom získané segmenty CD a AE budú rovnaké.

5. Mediány strávené z rohov na základni budú rovnaké.

Takže, ak AE a DC sú mediány, to znamená, AD \u003d DB a BE \u003d EC, potom AE \u003d DC.

Výška neprístupného trojuholníka

Rovnosť bočných strán a rohov s nimi predstavuje niektoré funkcie pri výpočte dĺžok prvkov posudzovaného čísla.

Výška v rovnovážnom trojuholníku rozdeľuje obrázok na 2 symetrických pravouhlých trojuholníkov, s hypotenusmi, v ktorých sú bočné strany. Výška v tomto prípade je určená podľa Pythagora teorem, ako je katasta.

Trojuholník sa môže rovnať všetkým tromi stranám, potom sa bude nazývať rovnostranné. Výška v rovnostrannom trojuholníku je určená rovnakým spôsobom, len pre výpočty stačí vedieť len jednu hodnotu - dĺžku strany tohto trojuholníka.

Môžete určiť výšku a iný spôsob, napríklad, poznať základňu a uhol susedí s ním.

Medián je predchádzajúci trojuholník

Typ trojuholníka sa zvažuje v dôsledku geometrických charakteristík, je vyriešený celkom jednoducho na minimálnom množstve zdrojových údajov. Vzhľadom k tomu, medián v rovnovážnom trojuholníku sa rovná svojej výške a jej bisector, algoritmus jeho definície sa nelíši od rádu výpočtu týchto prvkov.

Napríklad je možné určiť dĺžku mediánu v známej strane a veľkosti uhla v hornej časti.

Ako určiť obvod

Od príslušnej planimetrickej hodnoty sú tieto dve strany vždy rovnaké, potom stačí poznať dĺžku základne a dĺžku jednej zo strán, aby sa určil obvod.

Zvážte príklad, keď potrebujete určiť obvod trojuholníka na známej základni a výšku.

Obvod sa rovná súčtu základne a dvojnásobok dĺžky strany. Bočná strana, zase, sa určuje pomocou pythagora teorem ako obdĺžnikového hypotenusu. Jeho dĺžka sa rovná koreňovému štvorcovi súčtu štvorca výšky a štvorca polovičnej základne.

Štvorcový trojuholníkový trojuholník

To nespôsobuje, že je to pravidlo, ťažkosti a výpočet rovnomerného trojuholníka. Univerzálne pravidlo určenia plochy trojuholníka ako polovica produktu základne na jeho výške je použiteľná, samozrejme, v našom prípade. Avšak vlastnosti ekvilibrovaného trojuholníka opäť uľahčujú úlohu.

Predpokladajme, že výška a uhol susedí so základňou sú známe. Je potrebné určiť oblasť obrázku. Môžete to urobiť týmto spôsobom.

Vzhľadom k tomu, súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180 °, potom nie je ťažké určiť roh. Ďalej, s použitím pomeru zostaveného podľa theorem Sinus, je určená dĺžka základne trojuholníka. K dispozícii je všetko, základňa a výšky - dostatočné údaje na určenie oblasti - sú k dispozícii.

Ďalšie vlastnosti rovnovážneho trojuholníka

Poloha stredu kruhu opísaného okolo ekvilibrovaného trojuholníka závisí od veľkosti uhla vrcholu. Takže, ak je anostný trojuholník akútny, stred kruhu sa nachádza vo vnútri obrázku.

Stred kruhu, ktorý je opísaný okolo hlúpeho iscessed trojuholníka, leží mimo neho. A konečne, ak je veľkosť uhla v hornej časti 90 °, centrum leží presne uprostred základne, a cez základňu samotný priemeru kruhu.

Aby sa určil polomer kruhu opísaného v blízkosti rovnovážneho trojuholníka, postačuje rozdeliť bočnú stranu na dvojitú kosínus polovicu uhla rohu na vrchole.