Riešenie indikatívnych trigonometrických rovníc. Komplexnejšie trigonometrické rovnice

Vyžaduje si znalosť základných vzorcov Trigonometrie - súčet štvorcov sinus a kosínu, vyjadrenie tangent cez sínus a kosínu a ďalšie. Pre tých, ktorí ich zabudli, alebo nevie, odporúčame prečítať článok "".
Takže poznáme základné trigonometrické vzorce, je čas ich použiť v praxi. Riešenie trigonometrických rovníc So správnym prístupom, spravodlivo vzrušujúcou aktivitou, ako napríklad, zbierať Rubik's Cube.

Na základe samotného mena možno vidieť, že trigonometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáme pod trigonometrickým funkciou.
Existujú takzvané jednoduché trigonometrické rovnice. Tu je to, čo vyzerajú: SINH \u003d A, COS X \u003d A, TG X \u003d A. Zvážiť ako vyriešiť takéto trigonometrické rovnicePre jasnosť budeme používať už známy trigonometrický kruh.

sINH \u003d A.

cos x \u003d a

tG X \u003d A

cOT X \u003d A

Akákoľvek trigonometrická rovnica je riešená v dvoch etapách: Dajte rovnicu na najjednoduchšiu formu a potom ju vyriešiť ako najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu.
Existuje 7 základných metód, s ktorými sa vyriešia trigonometrické rovnice.

1. Spôsob nahradenia premennej a substitúcie

Riešenie rovnice 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

Použitie vzorcov, dostaneme:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Nahraďte COS (X + / 6) na Y, aby ste zjednodušili a získali konvenčnú štvorcovú rovnicu:

2Y 2 - 3Y + 1 + 0

Korene, ktoré y1 \u003d 1, y2 \u003d 1/2

Teraz ideme v opačnom poradí

Náhradné hodnoty y a získame dve odpovede:

2. Riešenie trigonometrických rovníc prostredníctvom rozkladu multiplikátorov

Ako vyriešiť rovnicu SIN X + COS X \u003d 1?

Prenesieme všetko doľava na pravej strane 0:

sIN X + COS X - 1 \u003d 0

Vyvýšené identity používame na zjednodušenie rovnice:

sIN X - 2 SIN 2 (X / 2) \u003d 0

Robíme rozšírenie multiplikátorov:

2SIN (X / 2) * COS (X / 2) - 2 SIN 2 (X / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Získame dve rovnice

3. Prináša homogénnu rovnicu

Rovnica je homogénny vzhľadom na sínus a kosínu, ak všetci jeho členovia vztiahnuté na sínus a kosínus rovnakého stupňa rovnakého uhla. Na vyriešenie homogénnej rovnice zadajte nasledovne:

a) Preneste všetkých svojich členov na ľavú stranu;

b) vykonať všetky spoločné faktory pre zátvorky;

c) Rovnosť všetkých multiplikátorov a konzol na 0;

d) v zátvorkách získané homogénnu rovnicu v menšej miere je zase rozdelená na sínus alebo kosínus do vysokého stupňa;

e) vyriešiť výslednú rovnicu v porovnaní s Tg.

Riešenie rovnice 3sin 2 x + 4 SIN X COS X + 5 COS 2 X \u003d 2

Používame hriech 2 x + cos 2 x \u003d 1 vzorec a zbaviť sa otvorenej dvakrát doprava:

3SIN 2 x + 4 SIN X COS X + 5 COS X \u003d 2SIN 2 X + 2COS 2 X

sIN 2 x + 4 SIN X COS X + 3 COS 2 x \u003d 0

Rozdeľujeme sa na COS X:

tG 2 x + 4 TG X + 3 \u003d 0

Vymeníme TG X na Y a dostaneme štvorcovú rovnicu:

y 2 + 4Y +3 \u003d 0, korene y1 \u003d 1, y2 \u003d 3

Odtiaľ nájdeme dva riešenia zdrojovej rovnice:

x 2 \u003d ARCTG 3 + K

4. Riešenie rovníc, prostredníctvom prechodu na pol rohu

Riešenie rovnice 3sin x - 5cos x \u003d 7

Prejdite na X / 2:

6SIN (X / 2) * COS (X / 2) - 5COS 2 (X / 2) + 5SIN 2 (X / 2) \u003d 7SIN 2 (X / 2) + 7COS 2 (X / 2)

Preen Všetko vľavo:

2SIN 2 (X / 2) - 6SIN (X / 2) * COS (X / 2) + 12COS 2 (X / 2) \u003d 0

Rozdeľujeme sa na COS (X / 2):

tG 2 (X / 2) - 3TG (X / 2) + 6 \u003d 0

5. Zavedenie pomocného rohu

Na zváženie, vziať rovnicu formulára: hriech x + b cos x \u003d c,

tam, kde A, B, C je niektoré ľubovoľné koeficienty a X nie je známe.

Obe časti rovnice sú rozdelené do:



Teraz koeficienty rovnice podľa trigonometrických vzorcov majú vlastnosti hriechu a cos, a to: ich modul nie je viac ako 1 a súčet štvorcov \u003d 1. ich označuje, resp. COS a hriech, kde je to Takzvaný pomocný uhol. Potom bude rovnica mať formu:

cOS * SIN X + SIN * COS X \u003d C

alebo hriech (x +) \u003d c

Riešením tejto najjednoduchšej trigonometrickej rovnice bude

x \u003d (-1) K * Arcsin C - + K, kde



Treba poznamenať, že označenia COS a hriechu sú zameniteľné.

Riešenie Sin 3X Rovnica - COS 3X \u003d 1

V tejto rovnici koeficienty:

a \u003d, B \u003d -1, takže rozdelíme obe časti do \u003d 2

Video kurz "Získajte päť" zahŕňa všetky témy potrebné pre úspešnú skúšku v matematike na 60-65 bodov. Plne všetky úlohy 1-13 Profilová skúška v matematike. Je vhodný aj na uvedenie do prevádzky základného EGE v matematike. Ak chcete prejsť skúškou na 90-100 bodov, musíte vyriešiť časť 1 za 30 minút a bez chýb!

Príprava kurzu na skúšku pre 10-11 triedy, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie časti 1 EGE v matematike (prvých 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometria). A to je viac ako 70 bodov na skúške, a bez nich nie je robiť s pruhmi, ani humanitárou.

Všetky potrebné teórie. Rýchle spôsoby riešenia, pascí a tajomstiev skúšky. Všetky skutočné úlohy časti 1 z úloh Bank of OPPI sú demontované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám EGE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, za 2,5 hodiny. Každá téma je daná od nuly, spravodlivý a zrozumiteľný.

Stovky úloh na skúšku. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduchá a ľahko nezabudnuteľná úloha rieši algoritmy. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých druhov úloh používania. Stereometrie. Clamp techniky riešení, užitočné postieľky, vývoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - na úlohu 13. Pochopenie namiesto šoku. Vizuálne vysvetlenie komplexných konceptov. Algebra. Korene, stupne a logaritmy, funkcie a derivát. Základňa na riešenie komplexných úloh 2 časti skúšky.

Súlad s vaším súkromím je pre nás dôležitý. Z tohto dôvodu sme vyvinuli zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisuje, ako používame a uložíme vaše informácie. Prečítajte si naše zásady ochrany osobných údajov a informujte nás, ak máte akékoľvek otázky.

Zber a využívanie osobných údajov

Pod osobnými údajmi podlieha údajom, ktoré možno použiť na identifikáciu určitej osoby alebo komunikácie s ním.

Môžete byť požiadaní o poskytnutie vašich osobných údajov kedykoľvek, keď sa s nami pripojíte.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných informácií, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď zanecháte aplikáciu na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Zhromažďovali sme osobné údaje, ktoré nám umožňujú kontaktovať a podávať správy o jedinečných návrhoch, propagačných akciách a iných podujatiach a najbližších udalostiach.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odoslanie dôležitých oznámení a správ.
• Môžeme tiež použiť personalizované informácie pre interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby našich služieb a poskytnúť vám odporúčania pre naše služby.
• Ak sa zúčastňujete na ceny, súťaži alebo podobnej podujatí, môžeme použiť informácie, ktoré poskytnete na správu takýchto programov.

Informácie o zverejnení tretím stranám

Neodkaľujeme informácie získané od vás na tretie strany.

Výnimky:

• Ak je to potrebné - v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a / alebo na základe verejných dotazov alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie - odhaliť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak definujete, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, udržiavania zákona a poriadku alebo iných sociálne dôležitých prípadov.
• V prípade reorganizácie, fúzií alebo predaja môžeme sprostredkovať osobné údaje, ktoré zbierame zodpovedajúce tretej strane - nástupcom.

Ochrana osobných údajov

Urobíme preventívne opatrenia - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov zo straty, krádeže a bezohľadného použitia, ako aj z neoprávneného prístupu, zverejnenia, zmien a ničenia.

Súlad so svojím súkromím na úrovni spoločnosti

Aby ste sa uistili, že vaše osobné údaje sú bezpečné, prinášame našim zamestnancom normu dôvernosti a bezpečnosti a striktne dodržiavať vykonávanie opatrení dôvernosti.

Riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc.

Riešenie trigonometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti je v konečnom dôsledku znížiť na riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc. A v tomto najlepšom asistentovi sa opäť poukazuje na trigonometrický kruh.

Pripomeňme definíciu Cosine a Sinus.

Cosine z uhla je abscisa (to znamená, že súradnica na osi) bodu na jednotkovom kruhu zodpovedajúce otáčaniu v danom uhle.

Sinus uhla sa nazýva Radina (to znamená, že súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovom kruhu zodpovedajúce otáčaniu v danom uhle.

Pozitívny smer pohybu na trigonometrickom kruhu je pohybu proti smeru hodinových ručičiek. Zapnite 0 stupňov (alebo 0 Radian) zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0)

Tieto definície používame na riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc.

1. Riešenie rovnice

Táto rovnica spĺňa všetky takéto hodnoty uhla otáčania, ktoré zodpovedajú bodom kruhu, ktorej ordina sa rovná.

Upozorňujeme na osi Ordinácie bod s Orminátom:

Vykonávame horizontálnu čiaru rovnobežnú s osou osi abscou na križovatku s kruhom. Dostaneme dva body ležiace na kruhu a majú ordináciu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie a radiánov:

Ak by sme vychádzali z bodu zodpovedajúceho uhlu otáčania na radiáli, mzdy plného kruhu, potom prídeme do bodu zodpovedajúceho uhlu otáčania na radiáli a majú rovnakú ordináciu. To znamená, že tento roh rotácie tiež uspokojí našu rovnicu. Môžeme urobiť, koľko "nečinnosti" revolúcie, vracia sa do rovnakého bodu a všetky tieto uhly uspokojí našu rovnicu. Počet otáčok "nečinnosti" uvádza písmeno (alebo). Vzhľadom k tomu, že môžeme tieto otáčky, ako v pozitívnom aj v zápornom smere, (alebo) môže absolvovať všetky celočíselné hodnoty.

To znamená, že prvá séria riešení zdrojovej rovnice má formulár:

, - mnoho celé čísla (1)

Podobne má druhá séria riešení formulár:

kde,. (2)

Ako ste uhádli, bod kruhu je založený na tejto sérii roztokov, čo zodpovedá uhlu otáčania.

Tieto dve série riešení je možné kombinovať do jednej položky:

Ak berieme do tohto záznamu (to znamená, aj), potom dostaneme prvú sériu riešení.

Ak berieme do tohto záznamu (to je zvláštne), potom dostaneme druhú sériu riešení.

2. Teraz vyriešme rovnicu

Vzhľadom k tomu, že ide o osi miesta jedného kruhu získaného otočením k uhlu, poznámujeme na bod osi s osi:

Vertikálnu čiaru vykonávame rovnobežnú s osou na križovatku s kruhom. Dostaneme dva body ležiace na kruhu a majú abscissu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie a radiánov. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme záporný uhol rotácie:

Píšeme dve série riešení:

,

,

(Spadneme na požadovaný bod, ktorý prechádza z hlavného plného kruhu, ktorý je.

Tieto dve série kombinujeme v jednom zázname:

3. Riešenie rovnice

Linka dotyční prechádza bodom s súradnicami (1.0) jediného kruhu rovnobežne s osou OY

Poznamenávame, že bod na ňom, s ordináciou rovnakej 1 (hľadáme, dotyk, ktorého uhly je 1):

Pripojte tento bod so začiatkom súradníc priamej čiary a všimli sme si priesečníckych bodov priamky s jedným kruhom. Priesecové body priameho a kruhu zodpovedajú rohom zapnutia a:

Vzhľadom k tomu, body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu ležia vo vzdialenosti radiánu od seba, potom môžeme písať riešenie týmto spôsobom:

4. Riešenie rovnice

Linka katagénu prechádza bodom s súradnicami jedného kruhu rovnobežne s osou.

Poznámka na riadku kategórií, bod s ABSCISSA -1:

Pripojte tento bod so začiatkom súradníc priamo a pokračujte v krížovom kruhu. Tento priamy cez kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie a radiánov:

Vzhľadom k tomu, tieto body budú mať rozdiel od seba, rovnocenné, potom všeobecné riešenie tejto rovnice môžeme písať týmto spôsobom:

Vo vyššie uvedených príkladoch ilustrujúcich riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc sa použili tabuľkové hodnoty trigonometrických funkcií.

Ak však nie je hodnota tabuľky v pravej časti rovnice, potom nahrádzame hodnotu vo všeobecnom riešení rovnice:

Špeciálne riešenia:

Upozorňujeme sa na obvode bodu, ktorých ordinácie je 0:

Poznámka na kruhu, jediný bod, z toho je 1:

Poznámka na kruhu, jediný bod, ktorý je -1:

Vzhľadom k tomu, že je zvyčajné, že hodnoty, ktoré sú najbližšie k nulu, napíšeme riešenie:

Upozorňujeme sa na obvod bodu, ktorého abscisa je 0:

5.
Upozorňujeme na kruhu jediným bodom, ktorého abscia je 1:

Poznámka na kruhu, jediný bod, ktorej absca je -1:

A trochu zložitejšie príklady:

1.

Sine sa rovná jednej, ak je argument rovný

Argument z nášho sínus je rovnaký, takže dostaneme:

Rozdeľujeme obe časti rovnosti pre 3:

Odpoveď:

2.

Cosine je nula, ak je Cosine argument rovná

Argument z našej Cosine je rovnaký, takže dostaneme:

Express, na to, najprv presunúť doprava s opačným znamením:

Zjednodušujeme pravú stranu:

Rozdeľujeme obe časti na -2:

Všimnite si, že označenie sa nemení pred termínom, pretože k môže prijať všetky hodnoty celé číslo.

Odpoveď:

A záver, pozrite sa na video tutorial "výber koreňov v trigonometrickej rovnici pomocou trigonometrického kruhu"

Na tomto rozhovore o riešení najjednoduchších trigonometrických rovníc skončíme. Nabudúce budeme hovoriť o tom, ako vyriešiť.