DOPOJOVÉ METÓDY THEORY. Budovanie matematických dôkazov
Preukázať akékoľvek schválenie - Znamená to ukázať, že toto vyhlásenie logicky vyplýva zo systému pravdivej a súvisiacej výkazov.
Dôkaz - Ide o logickú operáciu, v procese, podľa ktorej je pravda akéhokoľvek schválenia odôvodnené inými pravdami a súvisiacimi vyhláseniami. Na tento účel je vybudovaný konečný reťazec záverov a záver každého z nich (okrem týchto) je balík v jednom z týchto záverov.
Základné zákony Logika:
1. Zákon totožnosti. Každá myšlienka, opakujúca sa v odôvodnení, by mala byť totožná s ním.
Zákon totožnosti znamená, že v procese odôvodnenia nie je možné nahradiť jednu myšlienku iného, \u200b\u200bjedného konceptu druhých. Nie je možné vydať identické myšlienky pre rôzne a iné - pre identické.
2. Zákon je nezápor.Vyhlásenie a jeho odmietnutie nemôžu byť súčasne pravdivé; Aspoň jeden z nich je určite nepravdivý.
Ak sa nájde formálny logický rozpor v myslení (a reči), potom sa takéto myslenie považuje za nesprávne a rozsudok, z ktorého je rozporné toky považované za nepravdivé.
3. Zákonom vylúčeného tretieho.Z dvoch protichodných vyhlásení o tom istom predmete jeden - skutočne, a druhý je nepravdivý, tretí nie je uvedený.
4. Zákon o dostatočnom nadácii.Každé skutočné vyhlásenie musí byť odôvodnené pomocou iných výrokov, ktorých pravda sa dokáže.
Pokiaľ ide o matematický dôkaz, je potrebné:
¾ mať vyhlásenie, že táto pravda musí byť dokázaná;
¾ pochopiť, že dôkaz je reťazec deduktívnych záverov; Je implementovaný v súlade s pravidlami a zákonmi logiky;
¾ pochopiť, aké iné skutočné vyhlásenia môžu byť použité v procese dôkazu.
Podľa spôsobu vykonávania priamych a nepriamych dôkazov.
Priamy dôkaz o schválení A B je výstavba reťazca deduktívnych záverov vykonávaných konzistentne od A do dodržiavania pravidiel a zákonov logiky a pomocou systému vyhlásenia, ktorého pravda sa preukáže.
(Ak sú štvorkolky tri uhol rovno, potom je to obdĺžnik)
Príklad nepriamych dôkazov Je to dôkaz metódou škaredého. Essence je nasledovná. Nech je potrebné, aby preukázala veta A. S dôkazom metódy od druhej, predpokladá sa, že uzavretie vety (c) je nepravdivé, a preto jeho odmietnutie je pravdivé. Pripojenie návrhu v kombinácii skutočných balíkov používaných v procese dôkazov (medzi ktorými podmienka A) je postavený reťazec deduktívnych záverov, kým schválenie je v rozpore s jedným z parcelov a najmä podmienkou A.
(A + 3\u003e 10, potom a ¹7)
Ticket 15 Koncepcia zhody medzi súpravami. Metódy nastavenia súladu. Navzájom - jednoznačné dodržiavanie. Rovnaké súbory. Príklady zhody (vrátane vzájomne sa - jednoznačné).
Uvedeme príklad používania neúplnej indukcie v práci s predškolákmi: pomocou hry "nádherné puzdro" s odelmetrickými geometrickými tvarmi, úlohou dieťaťa: "Získajte postavu a meno." Po niekoľkých pokusoch dieťa robí predpoklad:
Loptu. Loptu. Loptu. Tu, pravdepodobne, všetky loptičky.
Úloha 14.
Ponúknuť ďalšie odôvodnenie, aby ste sa uistili, že získané schválenie je pravdivé.
Nie je možné preceňovať význam dôkazov v našich životoch a najmä vo vede. Všetko sa uchýlilo k dôkazom, ale nie vždy premýšľať o tom, čo to znamená "dokázať *. Praktické dôkazy zručnosti a intuitívne myšlienky sú dostatočné na mnohé domáce účely, ale nie pre vedecké.
Na preukázanie akéhokoľvek vyhlásenia je preukázať, že toto logické vyhlásenie logicky vyplýva zo systému pravdivej a súvisiacej výkazov.
Dôkazom je logická prevádzka odôvodnenia pravdy akéhokoľvek schválenia s inými pravdami a súvisiacimi vyhláseniami.
Tri štrukturálne prvky sa rozlišujú v dôkazov:
1) osvedčené tvrdenie;
2) Systém skutočných tvrdení, s pomocou ktorej je pravda o dokázaní odôvodnená;
3) Logické spojenie medzi PP. 1 a 2.
Hlavným spôsobom matematického dôkazu je deduktívny výstup.
Vo svojej forme dôkaz- Toto je deduktívny záver alebo reťazec deduktívnych záverov vedúcich zo skutočných balíkov na preukázanie vyhlásenia.
V matematickom odmysle je poradie vzrušenia dôležité. Podľa metódy rozlíšenia priame a nepriame dôkazy. Priamy dôkaz sa týka úplnej indukcie, ktorej otázka šla do odseku 1.6.
Úplná indukcia - spôsob dôkazov, v ktorom pravda o schválení vyplýva z jeho pravdy vo všetkých osobitných prípadoch.
Úplná indukcia Často sa používa v hrách s typu predškolákov: "Meno v jednom Slove".
Príklad priameho dôkazu o vyhlásení "Súčet uhlov v akejkoľvek štvorkolke je 360 \u200b\u200b°":
"Zvážte ľubovoľný štvorkolka. Po strávení diagonálu v ňom získame 2 trojuholníky. Súčet uhlov štvoruholníka sa bude rovnať súčtu uhlov dvoch tvarovaných trojuholníkov. Vzhľadom k tomu, súčet uhlov v akejkoľvek trojuholníku je 180 °, potom po zložení 180 ° a 180 °, získame súčet rohov v dvoch trojuholníkoch, bude to 360 °. V dôsledku toho je množstvo uhlov v akejkoľvek štvorkolke 360 \u200b\u200b", ktoré bolo potrebné dokázať."
V uvedenom dokumente možno rozlíšiť tieto závery:
1. Ak je postava je štvorstranná, potom v ňom môžete nakresliť diagonálnu, ktorá rozbije štvoruholník o 2 trojuholníky. Toto číslo je štvorkolka. V dôsledku toho je možné rozdeliť na 2 trojuholníky, budovanie uhlopriečky.
2. V každom trojuholníku je súčet uhlov rovná ISO. "Údaje predstavuje trojuholníky. V dôsledku toho sú súčet uhlov každého z nich 180 °.
3. Ak je štvoruholník zložený z dvoch trojuholníkov, súčet jeho rohov sa rovná súčtu uhlov týchto trojuholníkov. Tento štvoruholník sa skladá z dvoch trojuholníkov s 180 ° rohmi. 180 ° + 180O \u003d 360 °. V dôsledku toho je súčet uhlov v tomto štvorkolke 360 \u200b\u200b°.
Všetky uvedené závery sa vykonávajú podľa pravidla stanoviska, preto sú odpočítateľné.
Príkladom nepriameho dôkazu je dôkazom metódy od škaredého. V tento prípad je povolený Tento záver je preto nepravdivý, jeho odmietnutie je pravdivé. Pripojením tohto návrhu na agregát skutočných balíkov sa odôvodnenie vykonáva, kým nedostanú rozpor.
Uvádzame príklad dôkazov z opačnej teoremity: "Ak sú dvaja priame ale a B rovnobežné s tretím rovným c, potom sú navzájom rovnobežné ":
"Predpokladajme, že priame ale a b. Nie je paralelne, potom budú prekročiť v určitom bode A, nepatria do priamej čiary. Potom sa dostaneme cez bod A, môžete stráviť dva rovno a b, paralelne s. To je v rozpore s axiom paralelizmu: "Z hľadiska
8. Slovo Runtime Definition Pravidlá a rozdiel druhov.
9. Aké stanovenie sa nazýva:
Kontextové;
Ostesse?
10. Čo je to vyhlásenie a aký je základný formulár?
11. Keď návrhy druhov "A a B", "A alebo B", "nie" sú pravdivé a kedy sú nepravdivé?
12. Uveďte kvantifikátory Spoločenstva a kvantifikátory existencie. Ako nastaviť hodnotu pravdy návrhov s rôznymi kvantifikátormi?
13. Ak existuje vzťah medzi návrhmi, a kedy je pomer rovnocennosti? Ako sa označujú?
14. Aký je záver? Aký druh záveru sa nazýva deduktívny?
15. Record s pomocou symbolov záverov pravidla, pravidlo popieranie, pravidlo slogizmu.
16. Aké závery sa nazývajú neúplná indukcia a aké sú závery analogicky?
17. Čo to znamená preukázať akékoľvek vyhlásenie?
18. Čo je matematické dôkazy?
19. Uveďte definíciu úplnej indukcie.
20. Čo je to sofizmus?
Bibliografický popis: Grigoriev K.V., Ochirova A. B., Saragov A. A., Barlukova S. S., MUNDKAYEV G. M. METÓDY MATERIÁLOV MATEMATICKÉHO DÔKAZU // Mladý vedec. - 2017. - №1. - str. 45-46..03.2019).
Keď hovoríme o dôkaz, v každodennom živote myslíme overenie formulovaného schválenia. Priamo v matematike sú koncepcie a dôkaz líšiť v podstate, aj keď nesú vzťah.
Dokážme, že ak je tri uhol v štvorlastnej štvrti 90 stupňov, potom takýto štvorkolka je obdĺžnik.
Zvážte štvoruholník, ktorý má tri uhol rovný 90 stupňami. Štvrtý roh budeme merať a nájsť svoj titul. Dospel sme k záveru, že bude tiež priamy. Tento druh overovania potvrdzuje toto vyhlásenie, ale nie je dôkazom.
Na preukázanie tohto súhlasu je potrebné zvážiť ľubovoľný štvorkolka, ktorý má tri uhol rovný 90 °. Vzhľadom k tomu, že v každom konvexnom štvrťroku je súčet uhlov 360 °, preto je požadovaný uhol 90⁰ (360 ° - 90 ° * 3). Obdĺžnik je štvorkolka, ktorý má všetky rohy priamo. Takže, tento štvoruholník bude obdĺžnik. Q.E.ED.
Význam dôkazu o dôkazom je nasledujúci postup skutočných vyhlásení: teoremy, axiómy, definície, ktoré logicky riadia tvrdenie, ktoré musia byť preukázané. Na preukázanie vyhlásenia je preukázať, že toto vyhlásenie logicky vyplýva z viacerých skutočných a súvisiacich vyhlásení.
V prípade, že vyhlásenie o vyhlásení logicky vyplýva z osvedčených obvinení, je rozumné a pravdivé. Základom matematického dôkazu je deduktívna metóda. A dôkaz pôsobí ako reťazec záverov a záver každého z nich je okrem toho zásielka v jednom z týchto záverov.
Nasledujúce závery možno prideliť do preskúmaných dôkazov:
- v akejkoľvek konvexnej štvorkolka je súčet rohov 360 °; Toto číslo je teda konvexné štvoruholník, preto súčet uhlov v IT 360⁰;
- Ak sú známe súčet všetkých uhlov štvorkolka a súčet troch z nich, potom sa odčítanie nachádza množstvo štvrtej; Súčet všetkých uhlov tejto štvoruholníka je 360 \u200b\u200b°, súčet troch 270⁰ (90 ° · 3 \u003d 270⁰), potom definovaním ich rozdielu, nájdeme požadovaný uhol rovný 90 °;
- ak sú v štvorkolke, všetky rohy sú priame, potom tento štvoruholník je obdĺžnik; V našom prípade, v štvorkolka, všetky rohy sú priame, preto je to obdĺžnik.
Všetky zvažované závery sa vykonávajú podľa pravidla stanoviska, a preto sú odpočítané.
Najjednoduchší dôkaz pozostáva z jedného záveru. Taký, napríklad, je dôkazom o vyhlásení, že 5
Vzhľadom na štruktúru matematických dôkazov, chápeme, že predovšetkým obsahuje vyhlásenie, ktoré sa dokazuje, a systém skutočných tvrdení, prostredníctvom ktorého sa vykonáva dôkaz.
Je tiež dôležité poznamenať, že matematický dôkaz nie je len súborom záverov, ale závery nachádzajúce sa v určitom poradí.
Podľa spôsobu vykonávania priamych a nepriamych dôkazov. Dôkazy, ktoré sa predtým uvažovali, sú priamo súvisiace - v ňom na základe samostatného pravého návrhu a zohľadnenie podmienok teorem, bol prepojený reťazec deduktívnych záverov, čo priamo viedlo k skutočnému záveru.
Ako príklad nepriamych dôkazov, dôkazom je dôkazom metódy od škaredého. Podstatou spočíva v nasledujúcom texte: Nech je potrebné dokázať teorem a ⇒ V. V doklade o spôsobe od druhej, predpokladá sa, že záver vety (c) je nepravdivé, a preto jeho odmietnutie bude pravda. Pripojenie návrhu "nie v" kombinácii pravých balíkov používaných v procese dôkazu (medzi ktorým podmienkou A) vykonáva reťazec deduktívnych záverov, až kým nezískame tvrdenie, ktoré je v rozpore s jedným z parciel a najmä podmienky A. Iba takýto rozpor je zriadený, proces dôkazu je dokončený a príde na presvedčenie, že výsledný rozpor dokazuje pravdu teorem a ⇒ v.
Úloha 1. Dokážte, že ak x + 2\u003e 10, x ≠ 8. Metóda je proti.
Úloha 2. Dokážte, že ak U² je párne číslo, potom y - dokonca. Metóda od škaredého.
Úloha 3. Existujú štyri po sebe idúce prirodzené čísla. Je pravda, že produkt priemerného počtu tejto sekvencie je väčší ako produkt extrému na 2? Spôsob neúplnej indukcie.
Úplná indukcia je táto metóda dôkazov, v ktorej pravda o schválení vyplýva z jeho pravdy vo všetkých osobitných prípadoch.
Úloha 4. Dokážte, že každý kompozitný prirodzený počet, väčší ako 4, ale menší 20, predstavujú vo forme súčtu dvoch jednoduchých čísel.
Matematický dôkaz je teda dôvodom na odôvodnenie pravdy akéhokoľvek schválenia (teorem), reťazec logických záverov, čo ukazuje, že s výhradou pravdy určitého súboru axiómov a záveru je schválenie pravdivé.
Literatúra:
- Geometry / 7-9 Triedy: Štúdie. Pre všeobecné vzdelávanie. Inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev]. - 21 ed. - M.: Osvietenie, 2011.
Prednáška 10. Metódy matematických dôkazov
1. Metódy matematických dôkazov
2. Priame a nepriame dôkazy. Dôkaz metódou škaredého.
3. Základné závery
V každodennom živote, často, keď hovoria o dôkazoch, znamenajú len overenie schválenia. V matematike sú kontrola a dôkaz rôzne veci, aj keď prepojené. Nech je napríklad potrebné dokázať, že ak sú v štvorkolku tri rohy priame, potom je to obdĺžnik.
Ak si vezmeme štvoruholník, ktorý má tri uhol rovno, a meranie štvrtej, uistite sa, že je naozaj rovný, potom táto kontrola urobí toto schválenie viac dôveryhodné, ale ešte nie je preukázané.
Aby ste dokázali toto vyhlásenie, zvážte ľubovoľný štvorkolka, v ktorom sú tri rohy priame. Vzhľadom k tomu, že v každom konvexe štvorkolka je súčet uhlov je 360⁰, potom je 360 \u200b\u200b°. Súčet troch priamych uhlov je 270 ° (90 × 3 \u003d 270⁰), a to znamená, že štvrtá má hodnotu 90 ° (360⁰ - 270 °). Ak sú všetky rohy štvoruholník rovné, potom je to obdĺžnik, tento štvoruholník bude obdĺžnik. Q.E.ED.
Všimnite si, že podstatou dôkazu o dôkazom je vybudovať taký postup skutočných vyhlásení (teoremy, axiómy, definície), z ktorých je potrebné, aby sa schvaľovalo logicky.
Vôbec dokážte akékoľvek vyhlásenie - znamená to, že toto vyhlásenie logicky vyplýva zo systému pravdivej a súvisiacej \\ t.
V logike sa predpokladá, že ak sa schvaľuje logicky logicky vyplýva z už preukázaných tvrdení, je rozumná a tiež pravdivá, ako aj posledná.
Základom matematických dôkazov je teda deduktívnym záverom. A samotný dôkaz je reťazec záverov a záver každého z nich (okrem týchto) je balík v jednom z týchto záverov.
Napríklad v uvedených dôkazoch možno rozlíšiť tieto závery:
1. V každom konvexe štvoruholník je súčet uhlov 360 °; Toto číslo je teda konvexná štvorstranná, preto súčet uhlov v IT 360⁰.
2. Ak sú známe súčet všetkých uhlov štvorkolka a súčet troch z nich, potom sa odčítanie môže nájsť množstvo štvrtého; Súčet všetkých uhlov tejto štvoruholníka je 360 \u200b\u200b°, súčet troch 270⁰ (90 × 3 \u003d 270⁰), potom veľkosť štvrtého 360⁰ - 270⁰ \u003d 90⁰.
3. Ak sú v štvorkole všetkých rohy priame, potom tento štvoruholník je obdĺžnik; V tomto štvorstranstve sú všetky rohy priame, preto je to obdĺžnik.
Všetky uvedené závery sa vykonávajú podľa pravidla stanoviska, a preto sú odpočítateľné.
Najjednoduchší dôkaz pozostáva z jedného záveru. Taký, napríklad, je dôkazom o vyhlásení, že 6< 8.
Takže, povedané o štruktúre matematických dôkazov, musíme pochopiť, že primárne obsahuje vyhlásenie, ktoré sa dokazuje, a systém skutočných vyhlásení s pomocou ktorého dôkazy.
Treba tiež poznamenať, že matematické dôkazy nie sú len súborom záverov, to sú závery nachádzajúce sa v určitom poradí.
Podľa spôsobu udržiavania (vo forme) rozlišovať priame a nepriame dôkaz. Dôkaz, ktorý sa predtým uvažoval, bol priamo - v ňom, založený na nejakej pravdivej vete a s prihliadnutím na stav teorem, bol postavený reťazec deduktívnych záverov, čo viedlo k skutočnému záveru.
Príklad nepriameho dôkazu je dôkazom metóda od škaredého . Essence je nasledovná. Nechajte to vyžadovať, aby dokázal
A ⇒ V. V doklade o spôsobe z opaku sa predpokladá, že uzavretie vety (C) je nepravdivé, a preto jeho odmietnutie je pravdivé. Pripojenie návrhu "nie v" súborom skutočných balíkov používaných v procese dôkazov (medzi ktorými podmienka A) je postavený reťazec deduktívnych záverov, až kým vyhlásenie nie je v rozpore s jedným z balíkov a najmä podmienky A. Iba takýto rozpor je zriadený, proces dôkazu ukončí a povedať, že výsledný rozpor dokazuje pravdu teoremity
Úloha 1. Dokážte, že ak A + 3\u003e 10, potom a ≠ 7. Metóda je proti.
Úloha 2. Dokážte, že ak X² je párne číslo, X - dokonca. Metóda od škaredého.
Úloha 3. Existujú štyri po sebe idúce prirodzené čísla. Je pravda, že produkt priemerného počtu tejto sekvencie je viac z práce extrému na 2? Spôsob neúplnej indukcie.
Úplná indukcia - Ide o spôsob dôkazu, v ktorom pravda o schválení vyplýva z pravdy z toho vo všetkých osobitných prípadoch.
Úloha 4. Dokážte, že každý kompozitný prirodzený počet, väčší ako 4, ale menší 20, predstavujú vo forme súčtu dvoch jednoduchých čísel.
Úloha 5 je pravda, že ak prirodzené číslo n nie je viacnásobné 3, potom hodnota výrazu N² + 2 krát 3? Metóda úplnej indukcie.
V brožúre, jazyky, ktoré je možné, jazyk opisuje niektoré zo základných princípov, na ktorých je postavená veda matematiky: koncepcia matematických dôkazov sa líši od koncepcie dôkazov prijatých v iných vedách av každodennom živote Najjednoduchšie aplikácie dôkazov sa používajú v matematike, pretože myšlienka myšlienky "riadneho" dôkazu, že takáto axiomatická metóda je spôsobená rozdielom medzi pravdou a dôkazom.
Pre veľmi široký okruh čitateľov, počnúc školákmi stredných škôl.
Matematiky a dôkazy.
Dokonca aj neznámy s matematikou človeka, pričom sa kniha v matematike, môže spravidla okamžite určiť, že táto kniha je skutočne v matematike, a nie pre nejaký iný predmet. A nie je to len preto, že určite bude veľa vzorcov: Existujú vzorce v oboch knihách vo fyzike, na astronómii alebo v mostných budovách. Faktom je, že v akomkoľvek závažnej knihe v matematike sú určite dôkazy. Je to provisovateľnosť matematických vyhlásení, že prítomnosť dôkazov v matematických textoch je, že sa jasne vyznačuje matematikou z iných oblastí poznatkov.
Prvý pokus o pokrytie jednotného ošetrovania všetky matematiky vzali staroveký grécky matematik euclide v III. V dôsledku toho sa objavil slávny "začiatok" EUCLIDA. A druhý pokus sa uskutočnil len v XX storočí. E., a ona patrí do francúzskej matematiky Nikol Burbaki, ktorá začala v roku 1939 zverejniť viac-objemové ošetrovanie "začala matematika". Táto fráza otvára Bombaki jeho ošetrovanie: "Od chvíle Grékov," matematika "hovorí, to znamená povedať" dôkaz ". Tak, "matematika" a "dôkaz" - tieto dve slová sú vyhlásené za takmer synonymá.
OBSAH
Matematika a dôkazy
O presnosti a unampigitae matematických podmienok
Dôkazy spôsobu interakcie
Nepriamy dôkaz o existencii. Princíp dirichle
Dôkaz "z opaku"
Princípy najväčšieho a najmenšieho a spôsobu nekonečného pôvodu
Indukcia
Dôkazy matematickou indukciou
Úplná indukcia a neúplná indukcia
Myšlienka matematických dôkazov sa časom mení.
Dve axiomatické metódy - neformálne a formálne
Neformálna axiomatická metóda
Formálna axiomatická metóda
Gödel Theorem.
Bezplatne Stiahnuť E-Book V pohodlnom formáte, pozrite si a čítajte:
Stiahnite si knihu Najjednoduchšie príklady matematických dôkazov, USPENKY V.A., 2009 - Filesskachat.com, rýchle a bezplatné na stiahnutie.