Čo sa rovná hypotenusu rovnostranného trojuholníka. Ako nájsť Katety, ak je známa hyptonuse

Po štúdiu témy o obdĺžnikových trojuholníkoch študenti často vydávajú všetky informácie o nich z ich hlavy. Vrátane toho, ako nájsť hyptotenuse, nehovoriac o tom, čo to je.

A márne. Vzhľadom k tomu, že v budúcnosti sa ukáže diagonálne obdĺžnika, aby to bola táto hyptotenuse a je potrebné nájsť. Alebo priemer kruhu sa zhoduje s najväčšou stranou trojuholníka, z ktorých jeden z rohov je rovný. A nie je možné ho nájsť bez týchto vedomostí.

Existuje niekoľko možností, ako nájsť trojuholník hypothenu. Voľba metódy závisí od datasetu Zdroja v hodnote hodnôt hodnôt.

Metóda číslo 1: Akákoľvek kategória

Toto je najpamätnejšia metóda, pretože používa Pythagoreova teorem. Iba niekedy učeníci zabúdajú, že tento vzorec je námestie hyptootenuse. Takže, aby ste našli stranu, budete potrebovať odstrániť druhú odmocninu. Preto vzor pre hyptotenuse, ktorý je obvyklý na označenie písmena "C" bude vyzerať takto:

c \u003d √ (a 2 + v 2)kde sú písmená "A" a "b" zaznamenané oboma kategóriami pravouhlého trojuholníka.

Metóda číslo 2: Pletenie Catt and Uhol, ktorý k nej ide

Aby ste zistili, ako nájsť hypotenuse, budete musieť vyvolať trigonometrické funkcie. Konkrétne Kosinus. Pre pohodlie predpokladáme, že cat "A" a uhol α.

Teraz musíme si uvedomiť, že Cosine z uhla pravouhlého trojuholníka sa rovná postoji oboch strán. Numerátor bude stáť hodnotu kategórie a v denominátor - hypotenusy. Z toho vyplýva, že tento formulár môže byť počítaný vzorcom:

c \u003d a / cos α.

Metóda na číslo 3: Dana Catat a uhol, ktorý leží pred ním

Aby sme neboli zmätení vo vzorci, predstavujeme označenie pre tento uhol - β a strana opustí bývalý "A". V tomto prípade je potrebná ďalšia trigonometrická funkcia - sínus.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, sínus sa rovná pomeru katechov pre hyptoénu. Vzorec tejto metódy vyzerá takto:

c \u003d A / SIN β.

Aby sme sa nemali zamieňať v trigonometrických funkciách, je možné si spomenúť na jednoduchú indigovanú Mnemonic: Ak je úloha hovoriť otVolezhaya uhlie, potom musíte použiť anU IF - O aleží, potom osínus. Mali by ste venovať pozornosť prvým samohlásky v kľúčových slovách. Tvoria pár o-i. alebo a.

Metóda číslo 4: polomerom popísaného kruhu

Teraz, aby sa naučili, ako nájsť hyptotenuse, bude potrebné spomenúť na majetok kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti pravouhlého trojuholníka. Hovorí nasledovné. Stred kruhu sa zhoduje s stredom hyptonenuse. Ak poviete inak, najväčšia strana pravouhlého trojuholníka sa rovná diagonálu kruhu. To je dvojitý polomer. Vzorec pre túto úlohu bude vyzerať takto:

c \u003d 2 * rkde je písmeno r označené slávnym polomerom.

Toto sú všetky možné spôsoby, ako nájsť obdĺžnikové hypotenus. Každá konkrétna úloha je potrebná touto metódou, ktorá je vhodnejšia pre súbor údajov.

Príklad číslo problému 1

Stav: Mediáns sa uskutočnili v obdĺžnikovom trojuholníku do oboch kategórií. Dĺžka jednej, ktorá bola vykonaná na väčšiu stranu, je √52. Ďalší medián má dĺžku √73. Vyžaduje sa vypočítať hyptootenutue.

Vzhľadom k tomu, v trojuholníku, mediáni boli vykonané, rozdeľujú cestty do dvoch rovnakých segmentov. Pre pohodlie uvažovania a zistenia, ako nájsť hypotenuse, musíte zadať niekoľko označení. Nech sú obe polovice väčšej kategórie označujú písmenom "X", a druhý je "y".

Teraz musíte zvážiť dve obdĺžnikové trojuholníky, s hypotenusmi, ktoré sú známymi mediánimi. Pre nich musíte zaznamenať vzorec pytagora teoremity:

(2y) 2 + x 2 \u003d (√52) 2

y) 2 + (2x) 2 \u003d (√73) 2.

Tieto dve rovnice tvoria systém s dvoma neznámymi. Rozhodovanie o nich, to je možné ľahko nájsť Kartets pôvodného trojuholníka a jeho hyptonuse na nich.

Najprv musíte v druhom stupni stavať všetko. Ukázalo sa:

4. 2 + x 2 \u003d 52

v 2 + 4x 2 \u003d 73.

Z druhej rovnice je možné vidieť, že v 2 \u003d 73 - 4x 2. Tento výraz musí byť nahradený v prvom a vypočítať "X":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Po konverzii:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 alebo 15x 2 \u003d 240.

Z posledného výrazu X \u003d √16 \u003d 4.

Teraz môžete vypočítať "u":

v 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Podľa údajov sa uchyľuje, že pomery pôvodného trojuholníka sú rovné 6 a 8. Takže môžete použiť vzorca z prvej metódy a nájsť hypotenuse:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odpoveď: Hypotenuse je 10.

Príklad Problém Číslo čísla 2.

Podmienka: Vypočítajte uhlopriečku stráveného v obdĺžniku s menšou stranou rovnej 41. Ak je známe, že rozdeľuje uhol k tým, ktoré sa týkajú 2 až 1.

V tomto probléme je uhlopriečka obdĺžnika najväčšou stranou v trojuholníku s uhlom 90 °. Preto všetko príde na to, ako nájsť hyptotenuse.

Úloha hovorí o rohoch. To znamená, že bude potrebné použiť jednu zo vzorcov, v ktorých sú prítomné trigonometrické funkcie. A najprv je potrebné určiť hodnotu jedného z ostrých rohov.

Nech je menší z rohov, ktoré sú predmetné v stave, budú indikované α. Potom sa pravý uhol, ktorý je rozdelený uhlopriečkou, sa rovná 3a. Matematické nahrávanie z toho vyzerá takto:

Z tejto rovnice jednoducho definujete α. Bude rovný 30º. Okrem toho bude ležať oproti menšej strane obdĺžnika. Preto sa vyžaduje vzorec opísaný v metódovom čísle 3.

Hypotenzuse sa rovná pomeru katechovu k sínusu opačného uhla, to znamená

41 / SIN 30º \u003d 41 / (0,5) \u003d 82.

Odpoveď: Hypotenuse je 82.

Katedy sa nazývajú dve strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria priamy uhol. Opačný priamy roh je najdlhšia strana trojuholníka sa nazýva hyptonuse. Aby ste objavili hypotenuse, potrebujete poznať dĺžku katézie.

Výučba

1. Dĺžky katézie a hypotenusy sú spojené so vzťahom, ktorý je opísaný v Pythagora teorem. Algebraické znenie: "V obdĺžnikovom trojuholníku sa štvorec dĺžky hyptotenuse rovná súčtu štvorcov dĺžky katódy." Vzorec Pythagora vyzerá takto: C2 \u003d A2 + B2, kde c Je dĺžka hypotenuse, A a B - dĺžka katét.

2. Poznanie dĺžky katézie, podľa teoremity pythagore, je nechá detegovať obdĺžnikový hypoténu: c \u003d? (A2 + B2).

3. Príklad. Dĺžka jednej z katódy je 3 cm, dĺžka iného je 4 cm. Súčet ich štvorcov je 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm ?. Hypotenuse. V našom prípade sa rovná odmocnine od 25 cm? - 5 cm. Stalo sa, dĺžka hypotenuse je 5 cm.

Hypotenzuse sa nazýva bok v pravouhlom trojuholníku, ktorá je opakom uhla 90 stupňov. Aby ste mohli vypočítať jeho dĺžku, stačí poznať dĺžku jednej z katódy a veľkosť jedného z ostrých rohov trojuholníka.

Výučba

1. S slávnou katedou a akútnym rohom obdĺžnikového trojuholníka, potom veľkosť hypotenuse môže byť rovná pomeru kódu na kosínus / sínus tohto uhla, ak je tento uhol opačný / susedí: H \u003d C1 (buď C2) / Hriech? H \u003d C1 (alebo C2) / COS ?. Napríklad: Nechajte ABC obdĺžnikový trojuholník s hypotenuisou AB a priamym uhlom C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol 30 stupňov dĺžky BC CATE 8 cm. Musíte detekovať dĺžku hyptotenuse. Na tento účel je možné použiť ktorúkoľvek z navrhovaných spôsobov: AB \u003d BC / COS60 \u003d 8 cm.AB \u003d BC / SIN30 \u003d 8 cm.

Hypotenuse - najdlhšia strana pravouhlého trojuholník . Nachádza sa oproti rovnému rohu. Spôsob, ako nájsť obdĺžnikové hyptotenuse trojuholník Záleží na tom, aké počiatočné údaje vlastníte.

Výučba

1. Ak vyhráte obdĺžnikovú certtier trojuholník , potom dĺžka hypotenutúry obdĺžnikového trojuholník Môže sa detegovať so subpásmovým pythagoreeným teoremom - štvorec dĺžky hyptotenuse sa rovná súčtu štvorcov spektrálnych dĺžok: C2 \u003d A2 + B2, kde A a B - dĺžka valcov pravouhlého trojuholník .

2. Ak podávame jeden z katát a ostrý uhol, potom vzorec pre nájdenie hyptotenuse bude závisieť od toho, čo je daný uhol vzhľadom na strážca susedí (umiestnený v blízkosti kategórie) alebo naopak (umiestnený naopak. V Prípad susedného uhla sa hyptotenuse rovná pomeru kategórie na kosíne tohto uhla: c \u003d A / cos ?; A uhol opaku, hyptotenuse sa rovná pomeru kategórie rohu: C \u003d AKO V?.

Video na tému

Hypotenzuse sa nazýva strana pravouhlého trojuholníka ležiaceho naopak. Je to najväčšia strana pravouhlého trojuholníka. Je to povolené teoremom Pythagora alebo s podporou vzorcov trigonometrických funkcií.

Výučba

1. Katedy sa nazývajú strany obdĺžnikového trojuholníka, susediacich s rovným rohom. Na obrázku sú katétre označené ako AB a BC. Nech je uvedená dĺžka oboch katéstie. Označujú ako | AB | a | BC |. Aby sme zistili dĺžku hypotenusov AC |, používame Pythagora teorem. Podľa tejto teorem je súčet štvorcov katézie rovná námesti hyptootenuse, t.j. V notácii nášho výkresu AB | ^ 2 + | BC | ^ 2 \u003d | AC | ^ 2. Zo vzorca dostaneme, že dĺžka AC Hypotenuse je ako AC | \u003d? (| Ab | ^ 2 + | bc | ^ 2).

2. Pozrime sa príklad. Nechajte dĺžku katézie nastavená AB | \u003d 13, | BC | \u003d 21. Podľa Pythagora teorem, získame to | AC | ^ 2 \u003d 13 ^ 2 + 21 ^ 2 \u003d 169 + 441 \u003d 610. Aby sa dosiahla dĺžka hyptotenuse, je potrebné odstrániť odmocný koreň súčet štvorcov katézie, tj Z 610: | AC | \u003d? 610. Použitie tabuľky štvorcov celé čísla, zistíme, že číslo 610 nie je kompletným námestím určitého celého čísla. Aby ste získali konečnú hodnotu dĺžky hyptonenuse, skúste preniesť celé námestie z koreňového znaku. Ak to chcete urobiť, rozložte číslo 610 pre multiplikátory. 610 \u003d 2 * 5 * 61. V tabuľke primitívnych čísel vidíme, že 61 je primitívnym číslom. Mimochodom, následná príčina čísla? 610 je nereálna. Dostaneme konečný výsledok AC | \u003d? 610. Ak sa štvorec hypotenuse rovná, napríklad 675, potom? 675 \u003d? (3 * 25 * 9) \u003d 5 * 3 *? 3 \u003d 15 *? 3 V prípade, že podobná presnosť je prípustná, vykonajte kontrolu návratu - vykonajte výsledok na námestí a porovnajte s počiatočnou hodnotou.

3. Pozrime sa na nás jednu z katéstie a uhol susedí. Pre definitívu, nech je to katétre | AB | a roh?. Potom môžeme využiť vzorec pre trigonometrickú funkciu Cosine - Cosine z uhla je rovnaká ako postoj susedných katechov pre hyptootenu. Tí. V našich označení cos? \u003d | Ab | / | AC | Panel Získajte dĺžku hyptootenuse | AC | \u003d | Ab | / Cos? Ak sme boli slávni pre nás Kart | BC | A uhol?, potom použijeme vzorec pre výpočet sínusového uhla - rohový sínus sa rovná postoji opačnej kategórie pre hyptootenuuse: hriech? \u003d | BC | / | AC | Dostaneme, že dĺžka hyptotenuse je ako AC | \u003d | BC | / Cos?

4. Pre jasnosť uvidíme príklad. Nech Dana Cate Dĺžka | AB | \u003d 15. A uhol? \u003d 60 °. Dostaneme AC | \u003d 15 / COS 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30. Uvidíme, ako to môže skontrolovať váš výsledok s Pythagorette teorem. Aby sme to urobili, musíme počítať dĺžku druhej kategórie Bc |. Použitie vzoru pre Tangenc TG Corner? \u003d | BC | / | AC |, Získajte | BC | \u003d | Ab | * TG? \u003d 15 * TG 60 ° \u003d 15 *? 3. Ďalej aplikovať Pythagore teorem, získame 15 ^ 2 + (15 *? 3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Test sa vykonáva.

Užitočné rady
Výpočet hypotenuse, vykonajte kontrolu - či sa získaná hodnota Pythagora teorem.

Na začiatku spomíname, že trojuholník je polyhedron, ktorý má 3 uhol. Ako nájsť obdĺžnikové hypotenuzu, ak sú známe ďalšie hodnoty trojuholníka?

Výučba

1. Známe dĺžkové katedy. V tomto prípade sa môže hypotenzuse vypočítať pomocou teoremom Pytagora. Táto teorem znie takto: súčet štvorcov katedrách sa rovná námesti hyptootenuse. Z toho vyplýva, že vypočítava dĺžku hyptotenuse, je potrebné vybudovať štvorec striedavo každej kategórii. Potom sa získané obrázky zložené a zo všeobecného výsledku už odstráňte druhú odmocninu.
2. Ako nájsť hypotenneuette v trojuholníku KFB, ak poznáte katatu (vc) a susedné uhol? Známy uhol je označený α. Jedna z vlastností obdĺžnikového trojuholníka hovorí, že pomer dĺžky obdĺžnikového trojuholníka na dĺžku hypotenzuse je rovný kosínus uhlu umiestneného medzi hypotenurusom a touto katemi. To môže byť napísané takto: FB \u003d BK * COS (α).
3. Známe ďalšie katasta (KF) a ten istý roh α, teraz to bude opak. Hypotentuse možno nájsť aj, ak aplikujete rovnaké vlastnosti obdĺžnikového trojuholníka. Tu dostaneme, pomer dĺžky pomeru obdĺžnikového trojuholníka k dĺžke jeho hyptotenuse je rovný sínusu uhla, opačného tónovania. Píšeme: FB \u003d KF * SIN (α).
4. Ako nájsť trojuholník hypotén, ak je kruh opísaný v blízkosti, ktorý je známy svojím polomerom. Z vlastností kruhu, ktorý je opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, je známe, že centrum má stred s bodom hyptonenuse, ktorý ju zdieľa na polovicu. Inými slovami, polomer sa rovná polovici hyptotenuse. To znamená, že dva polomer tvoria hypotenuse: fb \u003d 2 * R.

Poznáte vlastnosti obdĺžnikového trojuholníka a pepragora teorem, je veľmi ľahké vypočítať dĺžku hyptootenutuse. Ak stále zistíte, že je ťažké zapamätať si všetky vlastnosti, potom sa len naučiť hotové vzorce, v ktorých je veľmi ľahké nahradiť známe hodnoty na výpočet dĺžky hyptotenuse.

Geometria nie je jednoduchá veda. Vyžaduje osobitnú pozornosť a znalosť presných vzorcov. Tento druh matematiky k nám prišiel zo starovekého Grécka a dokonca aj po niekoľkých tisíc rokoch nestratí ich význam. Nie je potrebné myslieť nadarmo, že je to zbytočná vec, ktorá skóruje vedúce študentov a školákov. V skutočnosti je geometria použiteľná v mnohých oblastiach života. Bez jej znalosti o geometrii nie je vytvorená žiadna architektonická štruktúra, autá, kozmické lode a lietadlá. Komplexné a nie veľmi spojenia ciest a kráľa - všetko potrebuje geometrické výpočty. Áno, dokonca aj opravy vo vašej izbe nemôžete robiť bez vedomia elementárnych vzorcov. Nepodceňujte význam tejto témy. Najčastejšie vzorce, ktoré sa musia používať v mnohých rozhodnutiach, študujeme v škole. Jedným z nich je zistenie hypotenusov v pravouhlom trojuholníku. Ak ho chcete zistiť, prečítajte si nižšie.

Predtým, ako pokračujete s praxou, začnime s základmi a definujeme, čo hyptotenuse v pravouhlom trojuholníku.

Hypotenzuse je jedna zo strán v pravouhlom trojuholníku, ktorá sa nachádza oproti uhlu 90 stupňov (priamy uhol) a je vždy najdlhšia.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť dĺžku požadovanej hyptonenuse v danej obdĺžnikovom trojuholníku.

V prípade, keď sú cats už známe, používame teorem pythagore, kde sme zložili súčet štvorcov dvoch katéstie, ktoré sa rovná námesti hyptotenuse.

a a B - roztomilé, c-hyptotenuse.

V našom prípade bude pre obdĺžnikový trojuholník, vzorca bude nasledovná:

Ak nahradíme známy počet katéstie A a B, nech je A \u003d 3 A B \u003d 4, potom C \u003d √32 + 42, potom získame C \u003d √25, C \u003d 5

Keď máme dĺžku iba jednej kategórie, môže byť vzorec previesť, aby ste našli dĺžku druhého. Vyzerá to takto:

V prípade, že podľa podmienok úlohy sme známa pre katatu a hyptotenuse c, potom môžete vypočítať priamy uhol trojuholníka, zavolajte to α.

Na to používame vzorec:

Nechajte druhý uhol, ktorý potrebujeme vypočítať, bude β. Vzhľadom k tomu, že poznáme súčet rohov trojuholníka, ktorý je 180 °, potom: p \u003d 180 ° -90 °-

V prípade, že poznáme hodnoty katódy, môžete nájsť hodnotu ostrého rohu trojuholníka podľa vzorca:

V závislosti od známych všeobecne uznávaných hodnôt sa nachádza strana obdĺžnika na rôznych vzorcoch. Tu sú niektoré z nich:

Pri riešení problémov s nájdením neznámych v obdĺžnikovom trojuholníku je veľmi dôležité zdôrazniť, že ste na vás poznali, a na základe toho nahradiť ich do požadovaného vzorca. Ihneď si pamätajte, že ich bude ťažké, takže vám poradíme, aby ste urobili malú rukopisovú výzvu a vznikli v notebooku.

Ako môžete vidieť, ak ste vo všetkých jemnosti tohto vzorca, môžete ľahko zistiť. Odporúčame sa snažiť vyriešiť niekoľko úloh na základe tohto vzorca. Potom, čo uvidíte váš výsledok, budete jasní, pochopili ste túto tému alebo nie. Snažte sa nezabudnúť, ale pľuvať do materiálu, bude to oveľa užitočnejšie. Po prvej kontrole sa zabudol zúbkovaný materiál a tento vzorec sa zistí pomerne často, takže ho najprv pochopíte a potom zapamätajte si. Ak tieto odporúčania neposkytli pozitívny účinok, to znamená, že má zmysel v dodatočných triedach tejto témy. A pamätajte: Učiteľské svetlo, nie učiť sa tma!

Existujú tri možnosti na riešenie tejto úlohy. Prvý - ak sa v podmienkach problému dostane k tomu, že cats sú rovnaké (v skutočnosti, máme pravouhlý anostný trojuholník). Druhá je, ak je ešte nejaký uhol stále (okrem uhla 45%, potom máme rovnaký trojuholník a návrat na prvú verziu). A tretí - keď je známa jedna z katéstie. Zvážte tieto možnosti podrobnejšie.

Ako nájsť rovnaké katédy, s dobre známym hyptotenuse

• prvá katatu (označujeme jej listom "A") sa rovná druhému katéfu ((označuje jej písmeno "B"): A \u003d B;

• size Cathets;

V tomto uskutočnení je riešenie problému založený na používaní pythagorean teorem. Používa sa na obdĺžnikové trojuholníky a jeho hlavná voľba znie ako: "Square of the hyptonenuse sa rovná súčtu štvorcov katedrách." Takže, môžeme sa nám rovnať, môžeme určiť obe kategórie s rovnakým parapetom: A \u003d B, to znamená A \u003d a.

1. Naše podmienené oznámenie nahrádzame v teoremici (vrátane vyššie uvedeného):
   C ^ 2 \u003d A ^ 2 + A ^ 2,
2. Ďalej zjednodušujeme vzorec čo najviac:
   C ^ 2 \u003d 2 * (A ^ 2) - skupina,
   C \u003d √2 * A - prineste obe časti rovnice na druhú odmocninu,
   A \u003d C / √2 - Vytrhneme požadované.
3. Substituovanú túto hodnotu hyptotenuse a získame riešenie:
   A \u003d X / √2

Ako nájsť Katenets, so známym hyptonenuse a uhlím

• hypotenzuse (označujú jej písmeno "C") rovné x cm: c \u003d x;
• uhol p je rovný q: β \u003d q;

• size Cathets;

Na vyriešenie tohto problému je potrebné použiť trigonometrické funkcie. Štyri ďalšie populárne dve z nich:

• sinus funkcia - sínus požadovaného uhla sa rovná postoji opačnej kategórie pre hyptootenuuse;
• cosine Funkcia - Cosine z požadovaného uhla sa rovná postoja susedného katechov pre hyptonuse;

Môžete použiť ľubovoľné. Zobrazí sa príkladom prvého. Nechajte katenets označiť znaky "A" (priľahlé k rohu) a "B" (naproti rohu). V súlade s tým, náš uhol leží medzi katedou "A" a hyptonuse.

1. Vybrané dohovory nahrádzame vo vzorci:
   sINDP \u003d B / C
2. Prinášame Catat:
   b \u003d C * SINP
3. Naše dané nahradíme a máme jednu katatu.
   b \u003d C * SINQ

Druhý katat možno nájsť pomocou druhej trigonometrickej funkcie, alebo prejdite na tretiu možnosť.

Ako nájsť jednu katatu, ak je známa hyptootenuse a iné katatu

• hypotenzuse (označujú jej písmeno "C") rovné x cm: c \u003d x;
• catat (označujeme jej písmeno "B") je rovné y cm: b \u003d y;

• veľkosť inej kategórie (označujeme jej list "A");

V tomto uskutočnení je riešením problému, rovnako ako v prvom, je použitie teoremistickej teoremity pythagores.

1. Náš pod podmienkou nahradíme v teorem:
   C ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2,
2. Vykonávame potrebnú katatu:
   A ^ 2 \u003d C ^ 2-B ^ 2
3. Verte, že obe časti rovnice na druhú odmocninu:
   a \u003d √ (c ^ 2-b ^ 2)
4. Tieto hodnoty nahrádzame a máte riešenie:
   a \u003d √ (x ^ 2-y ^ 2)